guía 100: real-mente

t

CH-FyA-0516

Guía 100: Real-Mente

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Guía

100 Meta 34

GRADO 11

GUÍA DEL ESTUDIANTE

REAL - MENTE

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Guías de Aprendizaje de Cualificar Matemáticas

Fe y Alegría Colombia

Fe y Alegría Colombia

Víctor Murillo

Director Nacional

Desarrollo de contenidos pedagógicos y educativos

Jaime Benjumea - Marcela Vega

Autores de la guía 100

Ashley Miyereth Gallo Silva, I.E Minuto de Dios Policarpa Salavarrieta

Luis Alberto Avellaneda Cáceres, I.E Minuto de Dios Policarpa Salavarrieta

Coordinación pedagógica

Francy Paola González Castelblanco

Andrés Forero Cuervo

GRUPO LEMA www.grupolema.org

Revisores

Jaime Benjumea

Karla Yelitza Florez Carrero, I.E Minuto de Dios Policarpa Salavarrieta

Francy Paola González Castelblanco

Andrés Forero Cuervo

http://www.grupolema.org/

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Guía

100 GRADO 11

REAL - MENTE

GRADO 11 - META 34 - PENSAMIENTO - ALEATORIO

Guía 100

(Duración 13 h)

ACTIVIDAD 1

• Números reales (Representación en

la recta númerica.

• Relación de orden, operaciones

entre números reales.

ACTIVIDAD 2

• Intervalos.

• Inecuaciones (desigualdades)

lineales de una incógnita.

Guía 101

(Duración 13 h)

• Funciones a trozos

• Funciones inversas

• Dominio y rango de una función

inversa

Guía 102

(Duración 13 h)

● Funciones racionales

● Asíntotas de una función.

● Familias de funciones

trigonométricas

● Funciones trigonométricas

inversas.

● Ecuaciones trigonométricas

sencillas

● Asíntotas de funciones

trigonométricas.

META DE APRENDIZAJE N. 34

Analizo y resuelvo problemas en contextos en los que se estudian ingresos, utilidades según costo de producción,

velocidad media, interés compuesto, crecimiento poblacional, tasa de natalidad y mortalidad, entre otros.

Representar estas situaciones con funciones (polinómicas, racionales, trigonométricas; funciones a trozos),

identifico rangos de variación y procesos de aproximación sucesiva en algunos intervalos, para ver cómo varía la

función cuando la variable se aproxima tanto como se quiera a un punto dado o infinito. Con gráficas, tablas numéricas

y software o applets de Geogebra, analizo y visualizo intuitivamente límites de funciones (cuyo valor es un número o

infinito).

PREGUNTAS ESENCIALES:

Actividad 1:

● ¿En qué situaciones de la vida cotidiana podemos evidenciar la presencia de los números reales?

● ¿Conoces situaciones reales en las que puedas aplicar la relación de orden y explicarlas matemáticamente?

Actividad 2:

● ¿Cómo nos pueden ayudar los intervalos para estimar ciertas situaciones cotidianas como por ejemplo, establecer

la duración de una cita o una reunión, indicar un rango de precios o indicar el rango de edades?

● ¿Cómo crees que las inecuaciones me pueden ayudar en problemas como límites de velocidad en la autopista,

pagos mínimos en las tarjetas de crédito, el número de mensajes de texto que puedes enviar desde tu celular

cada mes, el tiempo que te toma llegar al trabajo?

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EVIDENCIAS DE APRENDIZAJE

Actividad 1:

● Identificó la contenencia que se presenta entre los conjuntos numéricos.

● Estimo el error posible de un cálculo aproximado haciendo uso de la notación científica o de números con una

expansión decimal infinita.

Actividad 2:

● Reconozco los intervalos como subconjuntos de los reales, los represento mediante desigualdades y los

grafico en la recta numérica.

● Resuelvo en el contexto de situaciones problema inecuaciones de la forma f(x)≥k y

f(x)≥g(x) dadas gráfica o algebraicamente.

Servicio 2: Desarrollo de contenidos pedagógicos y educativos La innovación educativa para las instituciones educativas de Fe y Alegría Colombia. Ambiente Cualificar. Documento interno

GUÍA 100 GRADO

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ACTIVIDAD

1

6

ACTIVIDAD 1: NÚMEROS REALES

Conozcamos la clasificación de los números reales y cómo podemos representarlos en la recta real.

A) Activando saberes previos

RECUERDA QUE...

A partir de las necesidades del ser humano surgieron diferentes conjuntos de números

El primer conjunto ideado fue el conjunto de los números naturales o también llamado conjunto de los

números enteros positivos, que no es otra cosa que los números que utilizamos para contar. Este conjunto

lo escribimos como:

El segundo conjunto llamado conjunto de los números enteros se obtiene de unir los naturales con sus

opuestos aditivos y el cero; este conjunto se nota así:

El tercer conjunto se denomina números racionales y está formado por todos los números que se pueden

expresar como la razón entre dos números enteros. Recuerde que no se puede dividir entre cero. Este

conjunto se determina por comprensión así:

Existe un cuarto conjunto llamado números irracionales que está formado por aquellos números que no se

pueden expresar como el cociente de dos números enteros. Este se nota con la letra.

Algunos números irracionales son:

Finalmente, el conjunto de los números reales resulta de la unión entre el conjunto de los números racionales

y los números irracionales.

El siguiente esquema muestra la clasificación del conjunto de los números reales.


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ACTIVIDAD

1

7

PRÁCTICA

1. Observe y analice el diagrama dado, que muestra la relación de contenencia entre los conjuntos

numéricos.

Basándose en el diagrama anterior complete las expresiones dadas con los signos ⊂

(contenido) o = (igual) según la relación entre los conjuntos dados sea de contenencia o

de igualdad


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ACTIVIDAD

1

8

2. Determine si la afirmación es verdadera (V) o falsa (F). En todos los casos, justifique su respuesta.

____ Todos los números racionales son también números enteros.

____ Algunos números enteros son irracionales.

____ Todos los números racionales son también números reales.

____ El 0 es un número entero pero no es un número racional.

____ Todos los números reales son también números irracionales.

3. En cada casilla escriba Sí, si el número dado es un elemento del conjunto indicado en la primera

columna, en caso contrario escriba No.


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ACTIVIDAD

1

9

Verifica las respuestas de la sección A con tu profesor.

B) CONCEPTOS

EXPLORACIÓN.

Andrés observó que la distancia desde su casa a su colegio está entre 3 y 6 kilómetros. Luego de observar

la recta numérica dijo que los únicos números que había entre 3 y 6 eran 4 y 5.

¿ Qué opinas de la conclusión dada por Andrés?

En realidad entre 4 y 5 hay una cantidad infinita de números. Por ejemplo, si se toma la unidad entre 4 y 5

y se halla su punto medio, se encuentra el número 4,5. Si luego se halla el punto medio entre 4,5 y 5 se

halla un nuevo punto: 4,75. Si se continúa de esa forma, se seguirán encontrando más y más números sin

que se termine el proceso.

Como todo en matemáticas, si conocemos los cuidados que es necesario tener, podemos salir adelante al

localizar puntos en la recta y coordenadas en el plano cartesiano. Como tantas cosas en matemáticas, asusta

un poco (o un mucho) cuando no se entiende.

Analicemos la siguiente situación:

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ACTIVIDAD

1

10

Aquiles y la tortuga

Aquiles se dispone a correr frente a una tortuga que los dioses han enviado a modo de desafío para el de

los pies alados. Puesto que Aquiles se siente muy superior propone que la tortuga salga algún tiempo antes

que él. La tortuga sabia acepta la ventaja y parte antes. Todo lo que Aquiles tiene que hacer es alcanzarla

y luego rebasarla para llegar antes a la meta. Para ello, tiene que alcanzar primero el punto que la tortuga

tenía en el momento en que el parte. Cuando llega allí, la tortuga ha avanzado hasta un punto más allá que

Aquiles tendrá que alcanzar antes de dar caza a la tortuga. Cuando llega a este nuevo punto la tortuga ya

lo ha abandonado para hallarse un poco más allá. Por tanto, si la tortuga no se detiene, Aquiles nunca será

capaz de alcanzarla.

En conclusión :

1. Para que un cuerpo en movimiento alcance a otro, también en movimiento, que se halla en un punto A es

preciso que el primero pase antes por cada uno de los puntos A1<A2...<An<... que aquel va dejando atrás en

la persecución.

2. El cuerpo perseguidor tiene que completar una serie infinita de tareas antes de alcanzar al perseguido,

Por tanto: El segundo cuerpo (el perseguidor) nunca puede alcanzar a otro (el perseguido) si este no se

detiene.

LA RECTA REAL: La recta numérica es una línea recta en la que se pueden ubicar todos los números reales

debido a que está graduada, es decir, tiene marcados los números enteros ordenados y espaciados

homogéneamente (a la misma distancia cada uno y el siguiente).

Las flechas indican que continúa hasta el infinito en ambos sentidos. Al centro de la recta numérica va el

número cero, a la derecha van los positivos y a la izquierda los negativos. Recordemos que el cero no tiene

signo. El número con el que se identifica cualquier punto en la recta numérica indica la distancia de dicho

punto hacia el centro de la misma.

Los números enteros se ubican directamente en la posición correspondiente al número. El -2 está 2

unidades a la izquierda (por ser negativo) del 0 mientras que el 1 está 1 unidad a la derecha (por ser

positivo) del 0.


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ACTIVIDAD

1

11

Para ubicar las fracciones es necesario tener ciertos cuidados

Paso 1: Acude a tu docente y pide mayor información.

Paso 2: haz los ejemplos que el docente te oriente.

paso 3: practica tú mismo algunos ejercicios dados por el docente.

Las fracciones propias positivas siempre van entre el 0 y el 1. Para ubicar 3/4, por ejemplo, se divide la

unidad en cuatro partes y se elige la tercera división. Para ubicar 1/2, se divide la unidad en dos partes y

se elige la primera división.

Las fracciones aparentes son realmente números enteros, por lo que van en la posición entera

correspondiente:

Las fracciones impropias podemos reescribirlas como números mixtos para que sea más sencillo ubicarlas.

Es muy importante que la recta numérica tenga al menos hasta la unidad siguiente al ubicar un número

mixto, para que la partición de la última unidad pueda hacerse adecuadamente.

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ACTIVIDAD

1

12

Para ubicar los números con decimales (como los irracionales), se parte la unidad en 10 partes y se ubica

tan aproximado como se pueda la posición del punto. 1.45 está a la mitad entre 1.4 y 1.5:

Para tomar en cuenta

A la recta numérica también se le conoce como recta real y se le considera una representación visual del

conjunto de los números reales, los cuales tienen un orden que se aprecia en la recta. Como habíamos

mencionado, cualquier número a la derecha de otro es mayor a él.

LA RELACIÓN DE ORDEN:

El conjunto de los números reales es un conjunto ordenado. Lo anterior significa que: Dados dos números

reales, siempre se pueden comparar y decidir si son iguales, cuál es el mayor o cuál es el menor.

Recordemos:

En la recta a < b, significa que el punto que corresponde a a está a la izquierda del punto que corresponde

a b.

Si a < b, ¿qué se puede afirmar de “b” con respecto a “a”?

Propiedad de tricotomía: Si a y b son dos números reales, se cumple sólo una de las siguientes relaciones:

a = b a b

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ACTIVIDAD

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Propiedad transitiva: Si a, b, y c son números reales tal que

a < b y b < c, entonces a < c.

Propiedad aditiva: Si a < b y c es un número real, entonces

a + c bc

MINI-EXPLICACIONES: REPRESENTACIÓN EN LA RECTA NUMÉRICA

Números reales

en la recta

numérica

Observa cómo se ubican números reales en la recta numérica.

Represente en la recta numérica los siguientes números racionales:

Solución:

Recordemos además que el número racional a/b se puede considerar como el cociente

que se obtiene al dividir “a” por “b”; en donde “b” indica el número de partes en que

se divide la unidad y “a” el número de partes que se toman.

De esta manera, si se divide en dos partes iguales cada segmento unidad en la recta

numérica, podemos representar los números racionales cuya representación

fraccionaria tiene como denominador 2.


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ACTIVIDAD

1

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Números irracionales en la recta numérica

A cada número racional le corresponde un punto en la recta pero en realidad estos

no completan la recta, también la constituyen los irracionales. En general,

representar un número con infinitas cifras decimales no periódicas es imposible y

por lo tanto nos tendríamos que conformar con una aproximación.

Recordemos que los Números irracionales . Son los elementos de la recta real que

no pueden expresarse mediante el cociente de dos enteros y se caracterizan por

poseer infinitas cifras decimales.No los podemos expresar como fracciones debido

a que sus decimales siguen para siempre sin repetirse. Algunos ejemplos son:


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ACTIVIDAD

1

15

Operaciones con

números reales

Sin embargo, con la ayuda del Teorema de Pitágoras no es difícil representar

geométricamente muchos números irracionales como √2, √3, √5, √6, √7,

√8, √10,etc.

Veamos como se puede representar, por ejemplo, √2

Para representarlo debemos seguir los siguientes pasos:

Paso 1: construir sobre la recta numérica un triángulo rectángulo de dimensiones 1

cm de ancho 1 cm de alto y vamos a llamar x a la hipotenusa.

Paso 2: aplicar el Teorema de Pitágoras como sigue:

Paso 3: Ya sabemos que el valor de la hipotenusa tiene como valor raíz

de 2, luego con la ayuda de un compás podemos representar en la recta

el valor de √2 de la siguiente manera. Con tu compás toma la dimensión

de la hipotenusa, que en este caso es √2, y toma como centro el cero.

Luego trazamos un arco de circunferencia y el punto de corte con la

recta numérica será el valor de raíz de 2 (longitud desde el punto cero

al punto P).


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ACTIVIDAD

1

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En el recuadro se escribió la expresión dada pero aplicando alguna propiedad de las

operaciones entre números reales.

Ejemplo 1: Escriba la propiedad o propiedades que se aplican en cada proceso

ilustrado.

.

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ACTIVIDAD

1

17

C) Resuelve y practica

1. Representa en la recta numérica los siguientes números reales. Luego, ordénelos de menor a mayor

2. recordando cómo se representa geométricamente el número irracional haga la construcción

(utilizando escuadras y compás) del número 2 + √2

3. Observe la gráfica dada a continuación y complete las expresiones con los signos < (menor que), o, >

(mayor que) según corresponda en cada caso.


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ACTIVIDAD

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18

4. En la siguiente tabla se muestra la marca, el precio por litro y la cantidad de litros de helado

vendidos por un distribuidor en cuatro tiendas distintas.

a) ¿Cuál es la marca de helado que más ha vendido el distribuidor en las cuatro tiendas?

______________

b) ¿Cuál tienda fue la que más dinero tuvo que darle al distribuidor?

_______________________________

5. Escriba el número real que resulta al resolver cada adición.

6. Simplifique las expresiones dadas aplicando las propiedades de los números reales.


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ACTIVIDAD

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7. Resuelve las siguientes situaciones problema


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ACTIVIDAD

1

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D) Resumen


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ACTIVIDAD

1

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E) Valoración

i) Califica tu comprensión por tema en tu

cuaderno

Evidencias ⚫⚪⚪ Todavía no

entiendo los

conceptos

⚫⚫⚪ Voy bien pero

quiero más

práctica

⚫⚫⚫ Comprendí

muy bien el

tema

1.

2.

3.

4.

Evidencias actividad 1:

● Identificó la contenencia que se presenta

entre los conjuntos numéricos.

● Estimo el error posible de un cálculo

aproximado haciendo uso de la notación

científica o de números con una expansión

decimal infinita.

i) auto-diagnóstico.

Este es un espacio de auto-evaluación, acá el

estudiante valora cómo se siente frente al alcance de

las evidencias, de acuerdo, con la escala de la tabla.

ii) Preguntas de comprensión

Escribe verdadero o falso. Justifica tu

respuesta.

1) El opuesto de un número real es siempre un

número real negativo. ( )

2) Los números reales negativos son menores

que 0. ( )

3) √4 es un número irracional. ( )

4) ¿Los números racionales ocupan todos los

puntos de la recta? ( )

5) Se sabe que la suma de tres números es

850. El primer número es un tercio del

segundo y el tercer número es el doble del

segundo. ¿Cuáles son los números? Apóyese en

el esquema de barras para solucionar el

problema.

(Verifica las respuestas con tu profesor)

iii) Resuelvo un problema El terreno donde Camila siembra verduras mide 20 metros de ancho por 30 metros de largo; su área

está dada por la expresión: 20 m × 30 m = 600 𝑚2. Camila quiere sembrar una mayor área así que

decide ampliarlo, como se muestra en la figura.


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ACTIVIDAD

2

22

ACTIVIDAD 2: INTERVALOS

Aprendiendo sobre el conjunto de números Reales comprendidos entre dos valores fijos llamados extremos

del intervalo.

A) Activando saberes previos

RECUERDA QUE...

Se llama intervalo en la Recta Real, a todo subconjunto de la misma comprendido entre dos puntos fijos

llamados extremos.

Clases de intervalos:

Abierto: es aquel en el que los extremos no forman parte del mismo, es decir, todos los puntos de

la recta comprendidos entre los extremos forman parte del intervalo, salvo los propios extremos.

⮚ En otras palabras , observa que se trata de desigualdades

estrictas.

⮚ También se expresa en ocasiones como .

⮚ Gráficamente:

Cerrado: es aquel en el que los extremos si forman parte del mismo, es decir, todos los puntos de la

recta comprendidos entre los extremos, incluidos éstos, forman parte del intervalo.

✔ En otras palabras , observa que ahora no se trata de desigualdades

estrictas.

✔ Gráficamente:

Semiabierto: es aquel en el que solo uno de los extremos forma parte del mismo, es decir, todos los

puntos de la recta comprendidos entre los extremos, incluido uno de éstos, forman parte del intervalo.

a b

a b


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ACTIVIDAD

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23

✔ Semiabierto por la derecha, o semicerrado por la izquierda, el extremo superior no forma parte

del intervalo, pero el inferior si, en otras palabras , observa que el

extremo que queda fuera del intervalo va asociado a una desigualdad estricta.

✔ También se expresa en ocasiones como .

✔ Semiabierto por la izquierda, o semicerrado por la derecha, el extremo inferior no forma parte

del intervalo, pero el superior si, en otras

CONCLUSIÓN: la recta real no tiene cotas superiores ni inferiores, no está acotada,

ya que por definición es una sucesión ilimitada de puntos puestos éstos unos a continuación de los otros.

➢ Observación 1: un intervalo es cerrado cuando posee máximo y mínimo.

➢ Observación 2: un intervalo es abierto cuando no posee ni máximo ni mínimo.

Un INTERVALO es la expresión de un subconjunto de números reales y sirve para indicar que un elemento

puede estar en cualquier posición entre dos valores.

Te presento algunas situaciones de la vida diaria en donde puedes utilizar intervalos:

1. Para definir los horarios de atención al público de un local: atendemos de 9 am a 12 pm y de 2pm a 5pm.

2. Para establecer la duración de una cita o una reunión: la conferencia tendrá lugar de 10 am a 11 pm

3. Para indicar un rango de precios: las entradas al concierto están entre los 45$ y los 120$

4. Para indicar el rango de edades de una muestra: el estudio de mercado fue hecho para una población de

entre 15 y 29 años

5. Para indicar la cantidad de personas que pueden estar en un sitio: un auto compacto está hecho para

entre 1 y 5 pasajeros.

PRÁCTICA

2 5


GUÍA 100 GRADO

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ACTIVIDAD

2

24

Intervalos.

Un intervalo es un conjunto de Números Reales comprendidos entre dos valores fijos llamados extremos

del intervalo.

I. Dibujar los siguientes intervalos en la recta real, clasifícalos como abiertos, cerrados o

semiabiertos y expresarlos en forma de conjunto:

A = [-3, 3] ; B = (-3, 3) ; C = [-1, 4] ; D = (-4, 5]; E = ( - ∞, 2]; F= (- 6 , ∞)

II. Usando la notación de conjunto y de intervalo; escribir los siguientes intervalos que están

representados en la recta real:

B) CONCEPTOS

MINI-EXPLICACIÓN: DESIGUALDADES

En matemáticas, una desigualdad es una relación de orden que se da entre dos valores cuando estos son

distintos (en caso de ser iguales, lo que se tiene es una igualdad).

Si los valores en cuestión son elementos de un conjunto ordenado, como los enteros o los reales, entonces

pueden ser comparados.

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ACTIVIDAD

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25

La notación a b significa a es mayor que b

Estas relaciones se conocen como desigualdades

estrictas, puesto que a no puede ser igual a b;

también puede leerse como "estrictamente menor

que" o "estrictamente mayor que".

La notación a ≥ b significa a es mayor o igual que b;

estos tipos de desigualdades reciben el nombre de

desigualdades amplias (o no estrictas).

La notación a ≠ b '' significa que “a” no es igual a “b”. Tal expresión no indica si uno es

mayor que el otro, o siquiera si son comparables.

Generalmente se tienden a confundir los operadores según la posición de los elementos que se están

comparando; didácticamente se enseña que la abertura está del lado del elemento mayor. Otra forma de

recordar el significado, es recordando que el signo señala/apunta al elemento menor.

Recordemos los símbolos de mayor que, menor que, mayor-igual que, menor-igual que.

> (mayor) < (menor)

≥( mayor-igual que) ≤(menor-igual que)

Sean a y b números reales. Entonces tenemos que:

GUÍA 100 GRADO

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ACTIVIDAD

2

26

a > b si y sólo si a – b > 0 (a – b es positivo)

si y sólo si a > b o a = b

a a y a su vez a – b < 0 (a – b es negativo)

si y sólo si a 2 porque 7 – 2 > 0

b) – 8 > - 12 porque (-8) – (-12) = - 8 + 12 = 4 y 4 > 0

c) – 5 < - 2 porque (- 5) – (-2) = - 5 + 2 = - 3 < 0

MINI-EXPLICACIÓN: INECUACIONES

Una inecuación es una desigualdad algebraica en la que aparecen una o más incógnitas. Resolver una

inecuación es encontrar los valores de la incógnita para los cuales se cumple la desigualdad. La solución de

una inecuación es, por lo general, un intervalo o una unión de intervalos de números reales. El método para

resolver una inecuación es similar al utilizado para resolver ecuaciones, pero teniendo presente las

propiedades de las desigualdades. Es conveniente ilustrar la solución de una inecuación con una gráfica. Si

la solución incluye algún extremo del intervalo, en la gráfica representamos dicho extremo con un círculo

en negrita; en cambio, si la solución no incluye el extremo, lo representamos mediante un círculo blanco

(transparente).

¿Para qué sirven las inecuaciones?

Una de las principales utilidades de las inecuaciones es su aplicación a los problemas de decisión: se trata

de programar una situación con el objetivo de decidirse por una alternativa que sea óptima. En general, el

proceso de optimizar consiste en lograr un resultado máximo o mínimo según convenga al problema

planteado.

Una inecuación es una desigualdad algebraica en la que sus dos miembros aparecen ligados por uno de

estos signos:

< menor que 2x − 1 <

7


GUÍA 100 GRADO

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ACTIVIDAD

2

27

≤ menor o igual que 2x − 1 ≤

7

> mayor que 2x − 1 >

7

≥ mayor o igual que 2x − 1 ≥

7

Resolución de inecuaciones de primer grado

1º Quitar paréntesis.

2º Quitar denominadores.

3º Agrupar los términos en x a un lado de la desigualdad y los términos independientes en el otro.

4º Efectuar las operaciones 5º Como el coeficiente de la x es negativo multiplicamos por −1, por lo que cambiará

el sentido de la desigualdad.

6º Despejamos la incógnita.

Obtenemos la solución como una desigualdad, pero ésta también podemos expresarla:

De forma gráfica

Ejemplo ilustrativo 1:

las reglas para la solución de una inecuación son prácticamente las mismas que se emplean para la resolución

de ecuaciones.

se puede ilustrar la solución de una inecuación con una gráfica, utilizando la recta numérica y marcando el

intervalo entre los números que dan solución a la desigualdad. Si la solución incluye algún extremo definido

del intervalo, en la gráfica representamos dicho extremo con un círculo en negrita; en cambio, si la solución

no incluye el extremo, lo representamos mediante un círculo en blanco.

Ejemplo:

Los valores mayores e iguales a

7 se representan a la derecha de la recta numérica e incluyen al 7.

Ejemplo: Observa cómo se resuelve 2x + 1 ≥ 11 + 7x

OJO: cuando en una inecuación se pasa a multiplicar o dividir un número

negativo a otro lado, se debe invertir la desigualdad.


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ACTIVIDAD

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28

Resolver el siguiente problema:

La fábrica la hacienda las flores paga a sus representantes $10 por artículo vendido más una cantidad fija

de $500. La fábrica palmacará que es la competencia paga $15 por artículo y $300 fijas. ¿Cuántos artículos

debe vender el representante de la competencia para ganar más dinero que el primero?

MINI-EXPLICACIÓN: VALOR ABSOLUTO

El valor absoluto de un número real cualquiera es el mismo número pero con signo positivo. En otras palabras,

es el valor numérico sin tener en cuenta su signo, ya sea positivo o negativo.

Por ejemplo, el valor absoluto del número −4 se representa como |−4| y equivale a 4, y el

valor absoluto de 4 se representa como |4|, lo cual también equivale a 4.

El valor absoluto de todo número real está definido por:

Así pues, |𝑎|es la distancia que existe entre el número a y el cero, la cual siempre es positiva.

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ACTIVIDAD

2

29

Ejemplo:

PROPIEDADES BÁSICAS DE VALOR ABSOLUTO

Propiedad 1

El valor absoluto de un número es siempre no

negativo:

EJEMPLO: |−2| = 2 |2| = 2

Propiedad 2

El valor absoluto de un número

x es 0 si, y sólo si, x=0

EJEMPLO | 0 | = 0

Propiedad 3

El valor absoluto de un producto es el producto de

los valores absolutos de sus

factores:

Ejemplo:

Propiedad 4

Valor absoluto del opuesto:

Ejemplo:

C) RESUELVE Y PRACTICA

I. Usando la notación de intervalos; escribir los siguientes intervalos que están en lenguaje de

conjunto:

1) {x ∈ R / - 6 ≤ x < 8} = [- 6, 8)

2) {x ∈ R / - 4 ≤ x < 0} =

3) {x ∈ R / - 4 ≤ x < ½} =

4) {x ∈ R / - 4 ≤ x ≤ 7} =

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ACTIVIDAD

2

30

5) {x ∈ R / -3 < x < 1} =

6) {x ∈ R / -2 ≤ x ≤ 2} =

7) {x ∈ R x / -2 ≤ x ≤ 4} =

8) {x ∈ R / ¼ ≤ x < 1} =

II. El intervalo está formado por...

A. todos los números del al

B. ambos inclusive. todos los números del al ,

C. sin incluir ni el ni el .

D. los números y .

III. El intervalo está formado por ...

A. todos los números comprendidos entre y incluyendo el pero no el .

B. todos los números comprendidos entre y incluyendo el pero no el .

C. todos los números comprendidos entre y no incluidos por no ser cerrado el intervalo.

IV. Escribir es equivalente a escribir...

A.

B.

C.

V. Escribir es equivalente a ...

A. (3, 7)

B.

C.

VI . Representa gráficamente el intervalo

VII. La representación gráfica ¿Qué valores comprende?


GUÍA 100 GRADO

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ACTIVIDAD

2

31

D) RESUMEN

GUÍA 100 GRADO

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ACTIVIDAD

2

32

E) VALORACIÓN

i) Califica tu comprensión por tema en tu cuaderno

Evidencias ⚫⚪⚪ Todavía no

entiendo los

conceptos

⚫⚫⚪ Voy bien pero

quiero más

práctica

⚫⚫⚫ Comprendí

muy bien el

tema

5.

6.

7.

8.

Evidencias actividad 2:

● Reconozco los intervalos como subconjuntos de los

reales, los representa mediante desigualdades y los

grafica en la recta numérica.

● Resuelvo en el contexto de situaciones problema

inecuaciones de la forma f(x)≥k y f(x)≥g(x) dadas

gráfica o algebraicamente.

ii) Preguntas de comprensión

1. Observe las distancias de A a B y de B

a C. Represéntelas como valor Absoluto y

justifique si son iguales o no.

2. Determina el intervalo solución de las

siguiente inecuación de primer grado,

2x < 4

a) (-infinito, 2) b) (-infinito, 4)

c) (2, infinito) d) (4, infinito).

3. Determina el intervalo solución de las

siguiente inecuación de primer grado, -

6 < (x+6)/2 < 0

a) (-18, -6) b) (6,18)

c) (-6, 18) d) otro (justifica)

3. ¿Si a los dos miembros de una

desigualdad se les suma o resta un mismo

número o una expresión algebraica se

obtiene otra desigualdad del mismo

sentido?

a) falso b) verdadero

(Verifica las respuestas con tu profesor)

iii) Resuelvo un problema Un estudiante necesita para aprobar su curso un promedio mínimo de 80. En los primeros tres exámenes

obtuvo 72, 80 y 91. ¿Qué calificación debe obtener en el cuarto examen para aprobar el curso?.

guía 100: real-mente

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