matemàtiques ·GrupZERO V

les lun.:ions e•ponen.:ial

i loga•ifn1i1:a B.U.P. 2

l.C.E. DE LA UNIVERSITAT AUTÒNOMA DE BARCELONA �editorial vicens-vives

•

matemàtiques GrupZERO V

le1 lunc:ion1 e•ponenc:ial

ï logal'ifmïc:a B.U.P. 2

l.C.E. DE LA UNIVERSITAT AUTÒNOMA DE BARCELONA

�editorial vicens-vives

Direcció d'edició: Anna Vicens

_______ GRUP ZERO (BARCELONA) ___ ____ __,

Formen part del GRUP ZERO:

Carmen Azcarate, Dolors Benach, Marta Berini, Daniel Bosch, Marti

Casadevall, Ester Casellas, M.ª José Castelló, Montse Comas, Rubi Cor­

beró, Jordi Deulofeu, Belén Escudé, Joan Estafanell, Cristina Fabregat,

Elena Gomis, Jaume Jorba, Carles Lladó, Antoni Montes, Paca Moreno,

Manuel Udina.

Il·lustrat per: Nando

Portada: Pintura (Fragment). RICHARD P. LOHSE

Primera edició, 1981

Dipòsit Legal: B. 15.284-1981 ISBN: 84-316-1879-5 N.O d'Ordre V. V.: B-914

Llibre presentat al Departament d'Ensenyament i Cultura de la Generalitat de Catalunya per la seva aprovació el 6-X-1981

© GRUP ZERO; Carmen Azc�rate, Dolors Benach, Marta Berini, Daniel Bosch, Martí Casadevall, Ester Casellas, M.ª Josè Castelló, Montse Comas, Rubl Cor­bero, Jordi Deulofeu, Belén Escud�, Joan Estafanell, Cristina Fabregat, Elena Gomis, Jaume Jorba, Carles Llad6, Antoni Montes, Paco Moreno i Manuel Udlna. Sobre la part literària

Reservats tots els drets d'edició a favor de Edicions Vicens-Vives, S.A. Prohibida la reproduccl6 total o parcial per qualsevol mitjà.

IMPRÈS A ESPANYA PRINTED IN SPAIN

Editat per Eciiclons VI CENS-VIVES, S.A. Avda. de Sarrià, 130. Barcelona-17. Imprès per Gràfiques INSTAR, S.A. Constitució, 19. Barcelona-14.

Presentació

Els llibres que formen la present col·lecció han estat preparats, experimentats i revi­

sats durant cinc anys, des del juliol del 1975 fins a l'edició actual del juny del 1980. La

seva utilització experimental ens ha portat a redactar una guia per al professor que

conté les intencions del GRUP ZERO en presentar aquest material, descriu en detall l'es­

tructura i el contingut dels temes, i dóna suggeriments de cara al seu ús pràctic; recull,

en part, l'experiència obtinguda durant l'etapa d'experimentació.

Al nostre pafs no és freqüent que els llibres d'ensenyament siguin projectats í expe­

rimentats degudament abans de ser autoritzats per a l'ensenyament, com s'exigeix a al­

tres països. En el nostre cas això ha estat possible gràcies a l'ICE de la Universitat Au­

tònoma de Barcelona, en el marc del qual i dintre del projecte d'investigació «L'ense­

nyament de les Matemàtiques al BUP» s'ha portat a terme. Hem comptat també amb el

suport del Col·legi de Doctors i Llicenciats de Catalunya i Balears.

La idea bàsica que va motivar aquest projecte és la necessitat de disposar d'un ma­

terial que faciliti un ensenyament de les Matemàtiques que no sigui purament deductiu,

que respecti el procés genètic del coneixement, tot buscant la motivació de l'alumne en

les aplicacions dels mètodes matemàtics a situacions reals.

Els fascicles que constitueixen la col·lecció fins ara són:

l. La mesura i els nombres.

11. Estudi de les funcions lineals i quadràtiques.

11 l. Estadística i atzar.

IV. Progressions.

V. Estudi de les funcions exponencial logarítmica.

VI. Introducció a les derivades.

VII. Les funcions circulars.

Un primer curs de Matemàtiques es pot enfocar bàsicament a partir dels fascicles l,

11 i 11 l. Els temes IV, V, VI i VII constituirien el nucli d'un segon curs. Cal complementar

els dos cursos amb qüestions de Geometria.

Actualment estan en preparació altres fascicles que completarien el programa de

BUP.

Pròleg

La fotografia de l'arribada dels corredors a la meta no ens diu res sobre el tipus de cursa que han fet. No ens diu si la cursa ha estat d'obstacles o eren els 100 metres lli­sos. Si ha estat d'obstacles, no ens permet descobrir quins obstacles han hagut de su­perar els corredors, ni tampoc ens permet de saber en quines condicions aquests han hagut de córrer.

Els qui formem el Grup Zero creiem que la majoria dels llibres de text de Matemàti­ques que podem trobar en aquests moments són com fotografies (tot deixant de banda els que són simples fotocòpies; almenys la fotografia pot suposar una certa originalitat), fotografies, com dèiem, de l'etapa final d'un treball, del resultat d'un cert procés, d'una cursa que, estigueu-ne segurs, ha estat d'obstacles. Però, què ha caracteritzat aquest treball? Quin tipus de treball ha estat? Quins motius hi havia per tal de dedicar temps a realitzar-lo?

Les Matemàtiques 110 les podem reduir a fotografies, a instantànies dels resultats del treball fet per uns altres. Saber Matemàtiques no és «posseir informació mate­màtica», sinó que vol dir SABER FER Matemàtiques. La matemàtica fonamentalment és un mètode. En aquest sentit, podria ser il·lustrativa del treball matemàtic, del mètode 111atemàtic, una pel·lícula, però mai una fotografia.

Saber Matemàtiques significa poder-ne fer: saber plantejar i resoldre problemes, criticar arguments, utilitzar el llenguatge matemàtic amb facilitat, reconèixer un con­cepte matemàtic en una situació concreta ...

De tota manera no us volem presentar cap pel·lícula, sinó aquest material de treball que ara teniu a les mans. L'objectiu d'aquest material de treball és introduir-vos en el mètode propi de les Matemàtiques. Un treball dur, difícil, que exigeix molt més esforç per part de tots. molta més disciplina de treball, però que a la llarga és molt més fruc­tífer.

Aquest llibre no és, doncs, un «llibre;,de text» habitual, en el sentit que la teoria no hi és recollida de forma estructurada. Caldrà elaborar-la a partir del treball fet sobre els problemes. Així, cada alumne construirà el propi text a posteriori, seguint els guions que hi ha al final del tractament dels diversos temes. És necessari que aquest treball sigui després útil com a material de repàs i d'estudi i. per això, cal que tingui una bona pre­;;entació, gràfics ben fets (en paper mil·limetrat), etc., que reculli una selecció dels pro­blemes més interessants i tots els aspectes teòrics que han sortit.

index

A. LA FUNCIÓ EXPONENCIAL. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1. Exponents naturals. Propietats fonamentals . . . . . . . . . . . . . . . 2 2. Exponents enters . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 3. Exponents racionals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 O 4. Estudi de la funció exponencial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 5. Equacions exponencials . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 Treball de la funció exponencial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

B. LA FUNCIÓ INVERSA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 Treball de la funció inversa . . . . . . . . . . . . . . . . . . • . . . . . . . . . . 34

C. ESTUDI DE LA FUNCIÓ LOGARITMICA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

D. LA FUNCIÓ LOGARITMICA l EL CALCUL . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 1. Propietats . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 2. Construcció d'una taula de logaritmes senzilla . . . . . . . . . . . . . 44 3. Construcció i utilització d'una taula de logaritmes decimals . . . . 46

E. PROBLEMES D'APLICACIÓ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51 Treball de la funció logarftmica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56

F. PROBLEMES DE CONSOLIDACIÓ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57

G. ESTUDIS. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66

A

la fu nció

exponencial

Recorda que les progressions geomètriques són funcions de: IN� IR

el terme general de les quals ve donat per una fórmula o expressió del tipus an = kr", que utilitzant les variables x, y s 'escriuria y = kr", on l'exponent és un nombre natural. Per tant, el gràfic resulta ser un conjunt de punts que no es poden unir per una línia contínua.

Molts problemes reals estudien fenòmens les lleis d'evolució dels quals vénen donades per fórmules del tipus y = ka' (com les de les pro­gressions geomètriques ) on x pot prendre valors no necessàriament na tu rals . Ens plantejarem, doncs, l 'ampliació progressiva d'aquesta funció a tota mena d'exponents, de manera que s'obtingui una funció definida per a tots els nombres reals i de gràfic una línia contínua .

Es tractarà de donar valors a expressions de la forma 2-3, 4115, 3 vi, ...

Ho farem de manera que a cada ampliació successiva es mantinguin les propietats de les potències d'exponents naturals.

Val a dir que l'interès d'aquesta nova funció ampliada, que en direm funció exponencial, no és purament teòric, sinó fruit d 'una necessitat de molts problemes reals tal com hem esmentat abans.

1

1. EXPONENTS NATURALS. PROPIETATS FONAMENTALS

Estudiem el desenvolupament d'un ou de gripau. A partir d'un ou fecundat es formen les primeres cèl·lules del nou ésser. El primer pas és la divisió de l'ou en dos blastòmers, després cada blastòmer es divideix en dos, i així successivament fins a arribar a formar la mòrula (quan hi ha 64 cèl·lules). Aquest nom ve del fet que el seu aspecte recorda una móra (fruit de l'esbarzer). És important tenir en compte que, mentre duren aquestes divisions, el volum es manté constant.

Ens interessa estudiar la llei que relaciona el nombre de divisions amb el nombre de cèl·lules (blastòmers). Ho podem escriure en forma de taula.

X (nombre de divisions) o 1 2 3

Y(nombre de blastòmers) 1 2 4 = 22 8 = 33

Divisions successives de l'ou fins a formar la mòrula.

2

a) Completa l a tau l a anterior , fins que es forma la mòru la , i escriu l a funció

x y = f (x)

que relaciona el nombre de divisions amb el nombre de blastòmers. Quin és e l seu domini?

b) Dibuixa e l gràfic d 'aquesta funçjó. ¿Té sentit u nir e ls punts mitjan­çant una l ínia contínua?

e) Ara veurem a lgunes propietats d 'aquesta funció :

En el moment i n icial x = O h i ha una cèl · l u l a , per tant

f (O) = 2º = 1

Després de la pr imera div is ió hi ha dues cèl·l u les , per tant

f ( 1 ) = 21 = 2 Si observes la tau la , remarcaràs que a l a successió de divisions O , 1 , 2, 3, 4, . . . que és una progressió aritmètica de diferènc ia 1 , l i correspon una successió de l nombre de b lastòmers 1 , 2, 4, 8, . . . que és una progressió geomètrica de raó 2. Sabent que a l a segona divisió l i corresponen 4 b lastòmers , ¿pots preveure q uants en corresponen a la tercera d ivisió?

Podem escriure:

f (3) = f (2 + 1 ) = f (2) . 2 és a d i r :

23 = 22+ l = 22 • 2 Anàlogament, s i x és una d ivisió qualsevo l , podrem escriure,

f (x + 1 ) = f (x) · 2 = f (x) · f ( 1 )

és a dir :

2•+1 = 2' . 2 Quina relació h i ha entre f (2), f (3) i f (5) ?

l entre f (2), t (4) i f (6)? És una relació del mate ix t ipus que l 'anterior?

Completa l es igualtats següents , ten int en compte això que acabem d 'observar:

22+4 = . 24 23+1 = 23.

3

d) Coneixent el nombre de cèl·l u les en una determi nada d iv is ió (que s igu i igual o més gran que 1 J és fàc i l trobar e l nombre d e cèl·lu les corresponents a l a d iv is ió anterior. Quina operació has de real itzar? Completa l es igua ltats :

i:s a d i r

f ( 3 - 1 ) = f ( 3 )

f (4- 1 )

f (x- 1 )

Qu ina relació h i ha entre f (2 ) , f (5) i f (5 - 2) ?, i entre f (2 ) , f (6) i f (6- 2 ) ?

Quina quantitat de b lastòmers correspon a la d iferència de dos nom­bres x i y? Compl eta l a igua ltat (suposant x > y) .

L'emissió de rad iació d'una substància radioactiva és un fenomen d 'atzar, de manera que no es pot preveure quin serà l 'àtom que es desi nte­grarà o que emetrà una rad iació. Però, si ten im un gran nombre d 'àtoms , e s pot assegurar que aproximadament la meitat s 'hauran desintegrat e n un temps característic de cada substància rad ioactiva. Aquest temps s'anomena període de semidesintegració . Així, e l radi ( metal l fortament radioactiu ;) té un període de 1.600 anys ; s i agafem un gram de rad i , podem preveure que d 'aquí a 1.600 anys només e n quedarà 1 / 2 g i d 'aquí a 3 .200 anys 1 l4 g.

Constru i rem, ara, una tau la en la qual veurem qu ina és l a quantitat d e substància q u e queda sense de$integrar-se quan ha passat un temps igual a 1 , 2, etc . , períodes de semidesi ntegració.

t (temps expressat en nombre de períodes) o 1

m (massa de substància no desintegrada expressad� en g) 1 1/2

a) Completa la tau la fins a t = 6. Escriu la funció :

4

t m = f (t)

2 . . .

. . . ...

b) En aquest cas , la raó de la progress ió geomètrica és 1 /2. Tal com ho has fet en e l problema anterior, completa l es igualtats següents :

a}

b)

(1/2)º =

(1/2)1=

(1/2)x+l =

(1/2)x-1 = �;.

Calcu l a les expressions següents:

(�r (-:r (-+r (�r Calcu l a de dues maneres les expressions:

43+1 ( �) 2+3

(-: r-1 (: r-3

e) Resol les equacions següents :

(1/2)2+3 = (1/2)2.

(1/2)6-2 =

(1/2p+v =

(1/2)'-v =

(:r (-4)º

( ! r-3

(-�r-2 7x = 49 2•+3 = 128 3•-2 = 27 5x-3 = 1

xº = 1 x3 = 64 329x = 1

Volem calcu lar l 'express ió (a•) Y; Abans calcu l a :

a) (23)2 23 . 2 b) (32)4 38

e) Justifica la igualtat de ls resultats trobats . d) Completa la igua ltat (a•)Y =

Justifica e l resu ltat.

1 x3=-

27

5

-Ara sistematitzarem els resultats obtinguts en els problemes ante­

riors. Les funcions estudiades aquí són del tipus:

x y = ax

on a, que és un no111bre real fix per a cada problema, s'anomena base de la funció ix, que és la variable independent, també es diu que és l'expo­nent de l'expressió a'.

a) Per a quins valors de x saps calcular ax? Quin és, doncs, el domini per al qual pots definir ax?

b) Dóna la definició de aº, si n E IN. Quin valor té a1?

e) A partir d'aquesta definició comprova que 23 • 2• = 27

d) Demostra l a propietat fonamental d'aquestes funcions: aº · am = a0+m

e) Demostra, anàlogament, que si n > m:

an -- = an-m a°'

f) Què passa amb la propietat anterior si fas n = m? Com definiries aº?

g) Fent servir les propietats ànteriors que et calguin, demostra que (an)ni=8n.m

2. EXPONENTS ENTERS

Hauràs observat que els exponents que apare1x1en a l'apartat anterior �ren sempre nombres naturals. Veurem ara, a través d'uns problemes con­crets, la necessitat de les potències d'exponents negatius.

La definició d'aquestes potències la farem de manera que compleixin les propietats de les d'exponents positius.

A l'intestí humà hi ha un tipus de bactèria, anomenada Escherichia Coli, encarregada de sintetitzar la vitamina K (antihemorràgica). Aquesta bc::ctèria, quan està en un cultiu en condicions apropiades, duplica la seva concentració cada 20 minuts.

6

Suposem que en ten im una suspensió e n u n l íqu id amb una concen­trac ió d'u n m i l ió de bactèr ies per cm3• Al cap d 'un període de 20 min podem preveure que la concentració serà de 2 mi l ions i a l cap de dos periodes, de 4 m i l ions . En canvi, 20 min a bans l a concentració era només de mig mi l ió , i dos períodes abans d'un quart de mi l ió .

a) Compl eta la tau l a següent cons iderant e l s valors negatius de la x com a períodes passats .

X [temps expressat en nombre de períodes) - 4 - 3 - 2 - 1 o 1 2

Y(concentració en milions de bactèries per cm') 1/2 1 2

b) Representa l a funció corresponent a l a tau l a anterior . Aquest gràfic el necess itarem durant tot el tema; és per a ixò que cal fer- lo bé (mi· l lor en paper mi l·l imetrat) : agafa un itats de 4 cm en l 'e ix d 'ordenades i de 2 cm en e l d 'absc isses .

e) I ntentarem trobar ara la fórmul a d 'aquesta funció . Observa e ls valors de x posit ius de la taula i veuràs que la funció corresponent és una progressió geomètrica. Quina és la base d 'aquesta funció? Escri u-ne la fórmu l a :

x f (x) =

d) Si observes la tau la: f(- 1 ) = 1 /2 . Si volem manten i r per als expo­nents negatius la fórmu la f(x) = 2', haurem de conven i r que 2-1 = 1/2. Anàlogament ti ndrem: ·

x o -1 -2 - 3

Lectura f (O) = 1 1 1 1

f(-1 ) = - f(-2) - - f(-3) = - . . . -a la taula 2 4 8

Segons 2° = 1

1 1 1 2-1 = - 2-2 = - 2-3 =- . . .

la fórmula 2 4 8

Segons això, com et sembla lòg ic de defi n i r 2-"?

7

La pressió atmosfèrica

Vivim en un medi p le d 'a i re : l 'atmosfera. L 'a ire pesa; per tant, q ua l ­sevol cos que estigu i en l 'atmosfera haurà de s uportar e l pes de la co lumna d'a i re que h i ha sobre d 'e l l , que s '<momena pressió atmosfèrica.

-

Com més en la í re estigui el cos respecte a l n ivel l de l a mar , menys a i re hi haurà per sobre d'el l i , per tant, més petita serà la pressió que haurà de suportar. Al revés passa en baixar per sota de l nive l l de l a mar : l a pressió augmenta.

Per a mesurar la pressió s 'empren e l s baròmetre s . Com a unitat de pressió s 'uti l itza , entre d 'a ltres , / 'atmosfera , la qua l equiva l a 1 ,033 kg/cm2, i és l a pressió a nive l l de l a mar .

Les diferències de pressió que es produeixen en pujar una muntanya o en ba ixar a zones de depressió són l es causes del "mal de muntanya» i de l umal d'oïda», respectivament.

Quan var ia l 'a l çada, l a pressió en cada punt és aproximadament 0 ,9 vegades l a pressió e n u n a ltre punt d 'una a l çada inferior en un km; aquest fet s'ha comprovat experimental ment i es pot deduir teòricament a parti r d e l es l leis de ls gasos .

5000m

Ara estud iarem la funció que ens dóna l a pressió segons l 'a l çada o profunditat.

Agafarem com a a l çada O la del n ivel l de la mar .

8

a) Compl eta la tau la següent:

X (alçada o profunditat en km) -5 -4 Y(pressió en atmosferes)

-3 -2 -1 o 1 2 3 4 5

Aquestes profunditats per sota de! n ive l l de la mar et poden semblar i rrea l s , però pots imaginar que pr�tenem fer u n v iatge cap a l centre de la Terra (coneixes el l l i b re de Juies Verne?) .

b) Fes e l gràfic de la funció en paper mi l ·l imetrat com en e l probl ema anterior. Agafa aun itats d '1 cm sobre l 'eix d 'absci sses i de 20 cm sobre el d'ordenades.

e) Escr iu la fórmu la d 'aquesta funció:

x f (x) Si uses la fórmu l a per a l s valors negati us de la x t indràs que:

0,9-3 =

d) Com defin i r ies en general a-" si n E IN?

0 ,9-n =

e) Hem arribat a aquesta defin ic ió d 'una manera i ntuïtiva a través de dos problemes . Veurem ara que hauríem arribat a la mate ixa defi n ició suposant que les potències d'exponents negatius tar.nbé han de comp l i r les propi etats de les d 'exponents pos it ius . Per a ixò com­p leta la igua l tat següent i aïl la a-":

a" . a-n = an+(-n) =

a) Ca lcu la les potències següents:

(0 ,9) -5 (0 ,9) -l

( + ) -3 (0,7) -4

b ) Resol l e s equacions següents:

1 2' = -

1 3x = - 1 x-4 = -

8 3 16

( + ) -1

( - � r3

( � r=4

2-1

2-2

x-4 = 81

9

' Comprovarem ara que si a-" = l/ a" ( n E IN), les potències d 'exponents

negatius compleixen també les propietats de les potències d 'exponents po­sitius . a) Utilitzant l a definició de a-" i les propietats ja demostrades a l pro­

b lema A.5 per a l s exponents natura l s , fes e ls cà lcu ls següents :

a-2 a-s= ª3 a-4 = a-2. as=

ª3 as a-2 a-3

7= = -as ª3 a-7

b) Calcu la també:

a-m a" = a-n a-m = a" a-m=

a-m a-m am

a-n a" a-n

e) Enuncia la reg l a per multiplicar i d ividir dues potències amb igua l base i exponents enters qua lssevol .

d) Calcu la també a partir de l a defin ició de a-":

e) Calcu la també :

(a") -m =

(a3) -2 =

f ) Dóna l a regla per a e l evar una potència a una altra per a exponents enters qua lssevo l .

3. EXPONENTS RACIONALS

l Tal com hem fet en l 'apartat anterior, ampliat;em el domini de 7L a Q.

mam En el p rob lema A.6 l a concentració de bactèries a mesura que passa

el temps varia de manera contínua . Per tant, tindrà sentit preguntar quina

1 0

és l a concentrac ió a l cap de m i g període ( 1 0 min) o d 'un quart de període , o de dos terços de període, o d 'un període i m i g , o qu in era fa tres quarts de període.

la fórmu l a f [x) = 2', vàl ida fins ara per a valors enters de x, ha de cont inuar ten i nt sentit per a aquests nous exponents fraccionaris. Per tant, se 'ns presenta el problema de calcular les expressions:

2112 21/4 22/3 21.s

Com un pr imer pas per reso ldre aquesta qüestió farem ús del gràfic de l a funció que ja has d ibu ixat en e l prob lema A.6. Per a ixò, une ix e ls seus punts amb una l ín ia contínua.

a) Troba, a part ir de l gràfic de l problema A.6, qui nes són les imatges dels punts d 'abscisses 1/2, 1/4, 2/3, 1,5 i -3/4.

b) Per donar una defin ic ió precisa d 'una potència d 'exponent fraccio­nar i suposarem que han de cont inuar essent và l ides l es propi etats de l es potències d'exponents enters . Així , si anomenem b el va lor a112

b = a112

i e levem e ls dos membres a l quadrat:

b2 = (a1/2) 2 = 8112 . 2 = a1 = 8

és a d i r b2 = a i per tant b = ± Va Veiem, doncs, que si s 'ha de comp l i r l a propietat (ax) Y = axy només podem defi n i r a1t2 de dues maneres : o bé + va o bé - va. Obser­vant e l g ràfic resu l ta lòg ic prendre e l va lor posit i u , és a d i r :

a1/2 =Va

Així , s i agafem a = 2, 2112 = -,/2. Compara aquest valor amb e l que has obtingut a part i r de l g ràfic a l 'apartat a) .

e) Seguint e l model anterior, troba l a defin ic ió prec isa d e a1!4 i, en ge­neral, de a1/q.

d) Fes e l mate ix per a2l3, a-314 i , en genera l , per ap/q (p E Z). Dóna l a defin ic ió corresponent.

e ) Calcu la ara , segons l a defin ic ió de potència d'exponent fraccionar i , l es expressions 2114, 2213, 21•5 i 2-314• Compara e ls resu ltats a m b e ls valors aprox imats obtinguts a l 'apartat a). Pots ara afinar e l g ràfic de la funció y = 2'.

11

A.11 També en e l cas d el prob lema A.7 l a pressió varia de manera contínua ,

i té sentit par lar de press ió a 0,5 km , 1 /3 km, 2 ,5 km. - 0,5 km, .. . Per tant, uneix els punts del gràfic de l a func ió f (x) = 0,9x que ja has d ibu ixat en el problema A.7.

a) Troba a parti r de l g ràfic una aproxi mació d e :

0 ,91/3 = 0 ,92.s =

q b) Ca lcu la les expressions ante riors a partir de l a defín ic ió , aP/q = -Y"8P:

Compara e ls resultats anteriors amb e ls d e l 'apartat a).

l Fins ara hem considerat només potències de base positiva . Veurem ara què passaria si la base fos negativa.

A.12 a)

b)

cl d)

Dibuixa el gràfic de y = (- 2) • per a val ors enters de x. Podries ca lcu lar gràficament (- 2) 1 12 ? Qu ina d i ficultat h i trobes? q Intenta ca lcu lar (- 2) 1 12 segons la defin ic ió , , aP/q = :.rar_ En genera l: quina dif icu ltat h i ha per a defi n i r (-a)' a m b a E 1R+ quan x és un nombre com 1 /2, 3/4, . . . ?

Hem vist que, si han de continuar essent vàlides les propietats de les potències d'exponents enters , aP/Q s 'ha d'interpretar com el nombre R.

Comprovarem ara que, agafant aquesta definició, les potències d'expo­nents fraccionaris compleixen també les propietats dels exponents enters ..

1 2

La primera de les propietats que hem de comprovar és :

p r -+-=ªq s

Per poder abordar aquesta qüestió ens calen algunes propietats dels radicals que encara no coneixem.

Per exemple, si ens proposem calcular 2112 • 2213, recolzant-nos en el q fet que ap/q = R, tindrem que el problema es redueix a un producte de radicals :

.• 3 2112 • 22/3 = .,¡z V2!

Aquest problema encara no sabem resoldre'l perq•1è a primer curs ens havíem limitat al cas d'índexs iguals . És necessari, doncs, reduir els dos radicals a radicals del mateix índex . Per fer-ho necessitem una propietat anomenada simplificació de radicals que tot seguit estudiarem ( no oblidis que les propietats dels radicals cal demostrar-les a partir de la definició de Va, sense utilitzar en cap moment exponents fraccionaris ) .

Simplificació de radicals

n n a) Fent serv i r la defin ic ió de Va ( recorda que Va= b equival a

a = bn) , comprova s i són certes les igua ltats següents : 4 V'P= 2

6 3 -...12.4 = ff

15 s Y27 = V3

b) D 'igua l manera comprova que les dues propietats següents són certes:

c) Demostra que:

.71.: �4� v a = v a-

n� =::.r-a d) · Observa que l a igua ltat anter ior ens permet de passar d 'un rad ica l a

u n a ltre d ' igua l però amb índex més gran o més petit. Apl ica- la per completar les igua ltats :

4 Va= fi

e) Fina l ment, demostra que :

6 1a V7 = -vt

np n v amp = vam

1 3

A.14

i enuncia aquesta prop i etat que ens permet de fer a l lò que s 'anomena s i mp l i ficació d 'u n rad ical .

l Tenim ja els jJ1Strumems necessaris per resoldre la qüestió de la multi­plic-1ció de radicals. De primer, et proposem alguns exercicis amb radicals del mateix índex j, després, resoldrem el cas general.

a) Escr iu en forma de radical ún ic les expressions :

5 5 V3. V7

7 7 V5. V§

3 b) Calcularem ara Y2 · V2!. Per fer-ho , hauràs de passar- los a radi-

cals amb índexs iguals uti litzant l a propi etat demostrada a l proble­ma A .1 3 , apartat e). Només ca l que afegeix is els índexs i exponents que falten en l 'expressió:

Dóna e l resu ltat com més s impl ificat m i l lor.

e) De manera semblant calcula :

1 4

12 8 15 ft. V5 . ..¡g

3 4 \14. V9

6 4 9 Y2·V3·V8

d) Calcu la-ho i

5 7 yg. -i/3

-,/2

expressa'n el resu l tat com

3 5 \14. V7 9 3 VT6 . V2

�.

més

>

s impl i ficat mil lor :

3 fl. V5" 4 7 VS· V5

1 e) Prenent com a val ors aprox imats de V3 = 1 ,2457 i V2 = 1 , 1 04 1

ca lcu l a :

ffl m m 81

7 VT6

49 VT28

35 v 69984

Ara podem ja comprovar que les potències d'exponents fraccionaris compleixen també les propietats de les d'exponents enters .

a) Calcu la-ho, fent servi r l es regles d 'operació amb rad ica l s :

5_ 5 V23 • V2

3 5 V'52· V52

3 5 Y'ST: V5'2

b) Expressa e l s càlcu ls fets a a), escrivint les arre ls com a potències . Quines conc lus ions en treus ?

e) Demostra , partint de l a defin ic ió de aP/q i de les reg les d 'operacions amb radicals, que:

p p r - -+-a q · a' = a q ' d) Demostra tam b é :

e)

� r p r

aq : a' = aq ' Fent serv i r l a defin ició de 'Va. comprova que:

- 3� 6 _s� 20 VY3=Y3 YV2=V2

f) Demostra: ( ) s p p r

a q = aq •

n mn Vm __ _ Va= Va

15

A.16 Calcu la de dues maneres d i ferents (fent e ls càlculs amb rad icals

fent-los a m b potènc ies d 'exponents fraccionaris) les expressions:

a) (23/4 • 8112) 4

b) (a4/3 : 83/2) -4

25/3 . 3112 • V2.5 43

4. ESTUDI DE LA FUNCIÓ EXPONENCIAL

3 fl. 94/3

fl v'l25 . 53/4 • 0.2-2

252/3 • 0 ,043

Per acabar la construcció de la funció exponencial ens falta calcular potències d 'exponent irracional i d 'aquesta manera el domini serà j a tot el conjunt !R dels nombres reals . És a dir, ens falta trobar el valor d'expres­sions del tipus 2 VZ: 3'", . . . Les calcularem d'una manera aproximada.

A.17 a) A part i r de ls gràfics que ja tens fets de l es funcions y = 2' i y = 0 ,9'

troba el valor aproximat de :

212 2F 0 ,95 0,9vs 0 ,9"

b) Considerant que V2 = 1 ,4 1 4 . . . és entre els va lors 1 i 2, e ntre q u i ns val ors pot assegurar que és 20

e) Si agaféssim més bones aproxi macions per excés i per defecte de '12. obt indr íe m aproximacions de 2ffamb u n marg e d 'e rror m és petit.

Completa les expressions següents:

1 < V2 < 2 => 21 < 2V2 < 22

1 ,4 < V2 < 1 ,5 => 2 < 2 < 2

1 ,4 1 < V2 < 1 .42=>

1 ,4 1 4 < V2 < 1 ,4 1 5=>

d) Fes u n quadre d 'aproxi macions per excés i per defecte de 0 ,9". a proximant 7t fins a l es deu m i l·lèsi mes. Observa el g ràfic de l a funció i vés en compte amb e l sentit de l es desigua ltats.

16

Ara que ja tenim construïda la funció exponencial per a tot tipus d 'expo­nents , estudiarem algunes de les seves característiques .

a) D ibuixa els gràfics de les funcions :

y = ( 1 /3 ) • Y = 3x

b) Per quin punt passen totes l es corbes?

e) Qu ines són creixents i qu ina decreixent?

y = 2,5•

d) De què depèn que el gràfic s igu i creixent o decre ixent?

e) Quina re lac ió hi ha entre les bases de dues funcions exponenci a l s ta ls q u e e ls seus gràfics són s imètrics respecte a l 'e ix d 'ordenades ?

f) En e l cas de l a funció y = (1 /3) • , a mesura que dónes a l a x valors més i més grans , a qu in va lor s 'acosten les corresponents imatges ?

M ira e l mateix per a l a funció y = 3• a mesura que dónes a la x valors més i més negati us .

g) És per a ixò, que d i rem que la recta y = O és una asímptota horit­zontal d 'aquestes funcions . Qu ina asímptota horitzontal té l a funció y = 2,5•?

Tenint en compte les propietats anteriors de ls gràfics de les funcions exponenc ia ls :

a ) Digues , sense fer c a p càlc u l , q u ins dels va lors següents són més grans que 1 , i qu ins més petits:

( 3 ,2) 1,5 (5 ,2) -0,3 (0,7) 0,3

(0,2) -3 (3/4) 312 (2/5) 1/3

b) Digues també, sense calcular res, qu in s igne tindrà l a x en l es expres­s ions següents:

2' = 100 2' = 0,3 0,3' = 7 0,3' = 0,005 25

(3/5) ' = -4

17

e) També sense fer cap càlcu l , digues si l a base a és més gran o més petita que 1 en les igua l tats següents :

ª3 = 2 ª2,5 = 0,5 a112 = 5 a-2/3 = 6

A.20 Tornant a l problema A .2, si en comptes d'haver-hi 1 gram de subs­

tànc ia al moment i n ic ia l n 'h i hagués 5: quina quantitat n 'hi hauria des­prés d '1 període, de 2, de 3/2, etc .? Qu ina seri a la funció en aquest cas ? Fes-ne el gràfic .

Genera l i tza el problema (és a d i r , comenta l es característ iques genera l s de l a funció) en e l cas que l a quantitat i n ic i a l ( m assa en e l mo­n'lent x = O) s igu i mo.

A.21 a) Fes e l s gràfics de l es funcions :

Y = 2 • 3' Y = 2 • 3-x y = 2· (1 / 3 ) '

b) Quines són cre ixents , q u i nes decre ixents ?

Y = 2 (1 /3 ) -x

e) Per q u i n punt passen totes aquestes corbes? Compara-les a m b les corbes del prob lema A . 1 6. ¿Sabr ies exp licar per què no passen pel mate ix punt que les d 'aquest prob lema?

d) Quines són les asímptotes horitzontals?

e) Algunes d 'aquestes funci ons tenen e ls gràfics s i mètrics l 'un de l 'a ltre respecte a l 'eix d 'ordenades? Sabries exp l icar-ne el perquè ?

A.22 a) La funció y = 3 · 2' pot descr i ure a lgun procés anàleg a l del pro­

b lema A.1 ? Redacta amb prec is ió el cas corresponent.

b) Escriu l 'enunc iat d 'un problema e l procés del qua l s i g u i descrit per

l a funció y = 7 · ( +) x. 1 8

Descr iu , sense d ibu ixar-ne el gràfic , les característiques principals de l es funcions exponencia ls:

Y = 5x

y = 0,2'

y = -3. 2'

Y = 5-x

Y = 3 · 2x ·'!': y=-3(1/3)'

Y = 2 · 4x

y = 3(1/2)'

Y = (1/4)-x

Has de d i r si són creixents , decreixents, en qu in punt ta l len l 'e ix d 'or­denades , qu ines en seran les asímptotes , si n ' h i ha que tenen e ls gràfics s i mètrics l 'un de l 'a ltre respecte a l 'e ix de les y; si n 'hi ha que són l a mateixa funció i justificar totes l es respostes .

Ja hem d efin it a' [a positiu ) per a un exponent qualsevol .

a) Quin és e l dom i n i de l a funció y = a' ?

b) Pot ser a' negati u? Per què?

e) Quina d i ficu ltat trobar ies per defi n i r l a funció s i a fos negati u , per exemple si y = (- 2) x.

d) Dóna la defin ic ió de a' per a x natura l , negati u , rac ional.

e) Per què es defineix aº = 1?

f ) Enuncia l es pr inc ipa l s propi etats de l a func ió y =a'.

g) Quina diferència i mportant tenen e ls gràfics de les funcions y = ax segons sigu i a > 1 o bé O < a < 1?

h) Què vo l d i r que la recta y = O és una asímptota horitzontal de l a funció y = a'? Distingeix e ls dos casos a > 1, O < a < 1.

i) Quines són les principals característ iques del gràfic d'una funció y = k · a'? Cons idera e ls d i ferents casos segons e ls valor de k i a.

5. EQUACIONS EXPONENCIALS

Donada una funció exponencial y = 3', la determinació de l'antiimatge de 27 ens porta a una equació de la forma:

3' = 27

1 9

equació anomenada equació exponencial perquè té la incògnita a l 'exponent. La resolució de l'equació anterior no presenta gaire dificultat, ja que la

podem reduir a : Y=Y

i com que pels gràfics dibuixats fins ara sabem que cada valor de y E IR+ té una i només una antiimatge , en podem deduir:

x = 3

En general, les. equacions exponencials poden ptdentar un aspecte més complicat, però sempre s 'haurà d'arribar a una equació del tipus anterior.

A.25 Resol les equacions següents :

a) 3x . (32) x = 93

b) 2x'-l = 8

2x-l v'2T6 = 6

sx+4 16'+3 = 256 8

•

1 O' : 1 03 = VTITTF

128'+ l = 2•'-x-2

En alguns casos es útil i ntroduir una incògnita auxil iar , per exemple l 'equació

2' + 2•+ l + 2•+2 = 7

es pot reso ldre senzi l lament i ntroduint z = 2'.

a) Fes aquesta substitució ( hauràs d 'uti l itzar l es propietats de la fun­c ió exponenc ia l ) i ca lcu la x.

b) De forma semblant resol: gx - 2 • 3x+2 + 81 = O

72x+3_8 • 7x+l + 1 = O

20

gx+ 1 - 28 • 3' + 3 = O

3 5x+l = 1 0 + --5x-2

32x-3 + 1 = 4 , 3x-2

A vegades ca ldrà i ntrodu i r , no u na, s 1 no dues incògn ites auxi l i ars . Resol e ls següents s istemes d'equac ions :

2' • 3Y = 648 } 3x • 2Y = 432

3 · 5x + 2 · 6Y+ l = 807 } 1 5 • 5x-l --6Y = 339

2' + 2Y = 24 } 2x+y = 1 28

2'+2y = 32 } 23x-5y = 1 6

x y 12 Va·Va = fi } x y � : V'84 = 1

22' +22Y = 85 } 4x+y = 324

En un antic manual rus de matemàtiques , que porta l 'ampul ·lós títol Gurs complet de matemàtiques pures elaborat per Efim Voijiajorski, cadet d'artilleria i professor particular, per a ús i profit de la joventut i de tots els qui s'exercitin en Matemàtiques ( 1 785) , hi ha el prob lema següent:

Un soldat veterà obté una recompensa d ' 1 còpec per la pr imera ferida rebuda; 2 per la segona; 4 per la tercera , etc. Quan es va fer el recompte, el so ldat resu l tà recompensat amb 65 .535 còpecs . Quin va ésser el nom­bre de ferides rebudes per aquest soldat?

)\

21

A.29 Demostra que s i X1, x2 i X3 són en prog ress ió ar itmètica , l es seves

imatges f(xi), f[x2), f(x3) per l a funció exponenc ia l f [x) = a• són en progress ió geomètr ica .

A.30 1

D i b u ixa e l g ràfic de l a funció y = - (2• + 2-•). Fes-ho dibuixant 2

d'antuvi e l s gràfics de les funci ons y = 2· i y = 2-x.

A.31 Una colòn i a de bactè r ies es desenvo l upa en el temps segons una l lei

exponenc i a l :

a) Determ i na r No i a sabent que l a co lòn ia comprèn 200.000 bactèries a l cap de 3 d ies i 1 .600.000 a l cap de 4 ,5 d ies .

b) Qui n és e l nombre de bactèr ies a l cap de 5 d ies?

e) Al cap de quant temps h i ha 800.000 bactèr ies?

22

TREBALL DE LA FUNCIÓ EXPONENCIAL ---------

En aquest treball es tracta de segui.r el camí fet per a la construcció de la funció exponencial partint dels exponents naturals, remarcant a cada pas que es conserven les propietats de les ampliacions anteriors . - Funció exponenc ia l d'expdnent natura l , y = aº per n E rN.

( Defi n i c ió de aº per n natura l . G ràfic i característiques . Prop ie· tats fonamenta l s . )

- Fu nció exponencia l d 'exponent enter, y = a• p e r x E "11...

(Defin icions de aº i de a-", j ustificades a part ir de les propi etats fonamenta ls . Demostració de què , a m b les defin ic ions anter iors , continuen comp l i nt-se les propi etats fonamenta l s . )

- Ampl iac ió de l domin i a Q. ( Defin ic ió justificada de aP/q per lJ E "ll... Comentar l a poss i b i l itat o no de defin i r la funció expon-enc ia l per a bases negatives. Conservació de l es propietats fonamenta ls . )

- Ampl iac ió de l dom i n i a IR. ( Exp l i ca com ho faries per ampl iar l a défi n ic ió de l a funció a l s exponents i rraciona l s . I l·l ustra-ho amb diverses exemples . )

- Estudi de l a func ió y = a'. ( Do m i n i . Conjunt imatge . Pr0pietats . G ràfic . Comentar les carac­terístiques de ls gràfics segons a > 1 o O < a < 1 . Asímptotes de la funció exponenci a l . )

- Estudi de l a funció exponencia l genera l i tzada y = ka'. (Fes u n estudi semb lant a l 'anter ior , reco l l i nt a més a més les característiques de l gràfic segons e ls diferents val ors de a i de k.)

23

l

l

B

la fu nció •

inversa

La funció exponencial estudiada a l problema A. 7 té un gran interès pràctic . En efecte, si construïm la taula que ens dóna la pressió y a distintes alçades x, la podrem utilitzar a l 'inrevés .

Així, coneixent la pressió en un punt donat de l 'atmosfera (i pres­cindint d 'altres efectes atmosfèrics que també hi poden influir ) podrem, mitjançant un baròmetre, saber l 'alçada del punt considerat, respecte al nivell de la mar .

Els altímetres baromètrics són aparells que donen directament l 'alçada respecte al nivell de la mar, basant-se en la pressió. Acompleixen un paper important en la navegació aèria i són molt utilitzats pels excursionistes.

Els altímetres associen, doncs, a cada pressió una alçada. Es tracta de la funció inversa de la funció exponencial . Fixa't que la seva taula és la ma­teixa que la de la funció exponencial, però llegida a l 'inrevés .

Aquesta funció, l 'anomenarem funció logarítmica. En e l cas que estem considerant, la funció exponencial era de base 0,9; la seva inversa serà la funció logarítmica de base 0,9, qu� s 'escriu

x y = log x 0,9 i es llegeix: y és el logaritme de base 0,9 de x.

Aquesta funció dóna l'alçada y que correspon a cada pressió x.

24

-a) Completa l a tau l a i dibu ixa e l gràfic corresponent:

X (pressió e n atmosferes) 0 ,66 0 ,73 0 ,8 1 0 ,90 1 ,00 1 ' 1 1 1 ,23 1 ,37

f ogo,9X (alçada en km)

Des de qu ina a lçada serà l a pressió i nferior a 0 ,5 atmosferes?

b) En aquest cas : té sentit un i r e ls punts de l gràfic m itjançant una l ín i a contínua ? Justifica l a resposta .

e) Quin és e l dom i n i d'aquesta funció?

d) Pot ésser nu l·la l a pressió atmosfèrica ? A qu ina a l çada ?

És important que remarquis que l a funció anterior no descriu amb total exactitud l a variació de l a pressió atmosfèrica, pu ix que , s i fos a ixí , l 'atmosfera no s 'acabaria mai , l a qua l cosa no correspon a l a rea l itat. Això que fem servir no és s inó un model matemàtic aproxi mat.

Hem dit que la funció logarítmica és la inversa de la funció exponen­cial, en el sentit que la seva taula és la mateixa, però llegida a l'inrevés . Volem saber si, sempre que llegim la taula d'una funció al revés, s 'obté una nova funció, la seva inversa . Per això, veiem primer alguns exemples .

Al nostre país mesurem la temperatura en graus centígrads o Cels ius (O graus per a l punt de fus ió de l g laç i 1 00 graus per a l punt d'ebu l l ic ió de l 'a igua ) , però segur que saps que en a ltres països, com, per exemple , Anglaterra , s 'usa una esca la diferent, l 'esca l a Fahrenheit , en la qua l e l punt de fusió de l g l a ç es pren igual a 3 2 graus i e l punt d'ebu l l ic ió de l 'a igua s 'agafa igua l a 2 1 2 graus , i es divideix l ' interval comprès entre aquests dos punts en 1 80 parts igua l s ; cadascuna d 'e l les és 1 grau Fahrenheit .

a) Sabries dir qu in és e l valor de l a temperatura normal de l cos humà en graus Fahrenheit?

b) Si l es temperatures extremes de l dia 23 de novembre van ser a G i rona de 1 4 ºC l a màxima i de - 4 ºC l a m ín ima : qu ins són aquests valors a l 'esca l a Fahrenheit?

25

e) Di buixa e l gràfic de l a funció

t : x y on x és e l va lor de la temperatura en graus centígrads i y aquest mateix valor en graus Fahrenheit .

d) Qui na és l a fórmul a d 'aquesta funció?

e) Suposa que tens un amic anglès que t'escriu d i ent que ha estat ma la lt a m b temperatures de 1 00 ºF. H a estat greu l a seva ma la l t ia?

f ) La tempe ratura necessària per a l a combustió de l paper és de 451 ºF ( recordes l a pel·l ícula titulada Fahrenheit 45 1 ?) . Qui n és aquest valor expressat en graus centígrads ?

g) T'hauràs adonat que per calcular el valor de la temperatura e n g ra us ce.ntígrads des de l seu va l.or e n graus Fahrenheit , n'h i ha · prou de l l eg i r a l ' i nrevés la taul a de l a funció t. Recordant e l concepte de funció : creus que l l eg int l a taul a a l ' i nrevés ens donarà una funció? Per què? Escriu l a nova taul a .

h ) D i buixa e l gràfic d 'aquesta nova funció, que anomenare m t-1 , i com­para ' l amb el gràfic fet a l 'apartat e) . Qui na re lació hi ha entre e ls pendents d 'ambdues rectes? En qu ins punts ta l len l 'e ix? Observes a lguna s i metri a ?

26

a) Fes una tau l a de valors per a l es funcions rea ls de vari ab le rea l :

f (x) = 2x + 1

D i bu ixa e ls gràfics .

g (x) = x2 - 2

b) Observa s i en a m bdós casos en l l elj i r l a tau l a a l ' inrevés s 'obté una func ió . Expl i ca-ho .

e) Quin és e l domin i de l a funció f? l el de l a seva i nversa ? Qu in és e l conjunt i m atge de f? l e l de l a seva i nversa?

d) Què passa amb l a funció g?

e) Escriu a lguns e lements de l g ràfic de f i e ls corresponents de l g ràfic de la seva i nversa f-1 •

Donada una funció f, resulta, doncs, que per obtenir una nova funció ( la funció inversa f-1 ), en llegir la taula al revés, ha de passar que cadà element del conjunt d'arribada tingui una i només una antiimatge . Les fun­cions que compleixen aquesta condició s'anomenen funcions bijectives.

Quin ha de ser el conjunt d 'arr ibada de l a funció exponenc i a l perquè l a i nversa sigui una funció? Què passaria s i agaféss i m tot IR?

D'aquelles funcions en les quals cada element del conjunt d'arribada té almenys una antiimatge, en direm funcions exhaustives. En aquestes fun­cions, el conjunt d'arribada coincideix amb el conjunt imatge .

Qu in conjunt d 'a rri bada haurem de cons iderar en l a funció :

g (x) = x2 - 2

perquè s igu i exhaustiva ? És g, agafant aquest nou conjunt d 'arr ibada, una funció b ijectiva ? Per què? Per contestar les preguntes et pots ajudar a m b e l g ràfic de l a funció.

27

Aquelles funcions en les quals cada element del conjunt d'arribada té com a màxim una antiimatge, les anomenarem funcions in¡ectives.

Són i njectives l es funcions y = x3 , y = x2? ( D i bu ixa'n e ls gràfics prèviament.)

Tota funció b i jectiva és exhaustiva? Tota funció b i jectiva és i njectiva? Per què?

Comprova si la correspondència que ass igna a cada cart i l la de la Seguretat Socia l e l seu titu l ar , és una funció . És i njectiva? S i considerem com a conju nt d 'arribada e l conju nt de tots e ls trebal ladors, és exhaus­tiva?

Entre el conjunt de tots els europeus casats i e l conjunt de les seves dones estab l im la correspondència que ass igna a cada home la seva dona.

a) És una apl icació? De qu in tipus? Quina és la seva funció i nversa?

b) Si agafem com a conjunt de sortida tots e ls homes casats de l món, cont inuen essent và l ides les respostes de l 'apartat a) ? Per què?

8.10 Les autoritats governatives tenen molt i nterès que l 'apl icació que

associ a a cada cotxe la seva matrícu la s igu i b i jectiva.

a) Què passaria si no fos i njectiva?

b) l s i no fos exhaustiva?

e) Quina és l'apl icació i nversa?

d) Quina de les dues apl icacions creus que fan serv ir les autoritats? En quins casos?

28

L'apl icació que fa correspondre a cada espectador d'un c inema l a seva butaca :

a) Pot no ser i njectiva ? Pot no ser exhaustiva ?

b) Pot ser i njectiva i no exhaustiva ? En q u i n cas? �·· · e) Pot ser exhaustiva i no i nj ectiva ? En qu in cas?

d) Per què l 'empresari prefereix que s igui sempre bijectiva ?

Fins aquí, per determinar si una funció real de variable real, donada per la seva fórmula, era injectiva exhaustiva o bijectiva t'has recolzat en el seu gràfic. Aquest procediment, a part d ésser laboriós, implica conèixer els principals trets de l a funció, perquè altrament la representació gràfica d'una funció pot esdevenir un problema més complex que el que pretenem resoldre .

Veurem ara un procediment analític per a esbrinar si una funció és injectiva o exhaustiva que moltes vegades ens permetrà de resoldre fàcil­ment la qüestió.

Considera una funció f rea l de variab le real

f:A IR

x y = f (x)

a) Dóna la defin ic ió de func ió injectiva .

b) X1 i x2 són dos e l ements del dom in i ta ls que X1 oF- x2 i f és i njectiva. Quina de les dues condic ions -és certa :

Per què?

e) X1 i X2 són dos e l ements de l dom in i ta l s que f (x 1 } = f (x2} f és injectiva . Quina de les dues condi cions és certa :

1 ) X 1 ::::: X2 ; 2) X1 oF- Xi

29

d) Comprova que afirmar que f és injectiva és equ iva lent a cadascuna de les dues condic ion s :

1 ) Si f (x1 ) = f (x2) l l avors x1 = x2 2) Si X1 � X2 l l avors f (x1) � f (x2)

La primera de les condicions anteriors és més manejable perquè només comporta igualtats.

Podem dir, doncs : Una funció f és injectiva si i només si compleix la condició:

Si f(x1) = f(x2), llavors x1 = x2.

e) Apl ica aquesta defin ic ió per determinar s i les funcion s :

y = 4x + 1

són injectives.

3x + 4 y = ---3x - 2

B.13 Són injectives l es següents funcions rea l s de variab l e rea l :

y = 3x + 5 1

y =�

x Y

=x + 5

Y = Ixi

y = lx - 31

Resol e l prob lema de pr imer gràficament i després ana l ít icament.

B.14

a)

b)

30

Considerem l a funció real de varia b l e rea l :

x + 6 y = ---5x - 2

Dóna l a defin ic ió de funció exhaustiva . .;.-

Busca la o l es ant i imatges de 1 . Observa que a ixò queda reduït a resoldre l 'equació:

x + 6 5x - 2

e) F l . 3 1 es e mateix per a O , - i - -. 2 4

d) Fes e l mateix per a a , on a E IR. ¿ H i ha anti imatge per a tots els pos­s i b l es va lors que pot prendre a? ( Recorda la defi n ic ió de fracc ió . )

Aquest és el procediment per detergiinar s i una funció és exhaustiva. Per tant, podem dir : ·

Una funció f és exhaustiva si i només si per tot y del conjunt d'arribada existeix almenys un x del domini tal que f( x ) = y .

e) Apl ica aquesta defin ic ió per a determ inar s i l a func ió :

y = 3x - 4

és exhaustiva .

Són exhaustives les funcions de l prob lema B . 1 3 ?

a) Dóna la so luc ió de pr imer gràficament i després ana l íticament.

b) Per a aque l les funcions que no ho s igu i n , restri ngeix e l conju nt d'arri bada fins aconseguir-ho.

Donades l es funcions :

1 f (x ) = -­

x - 1

a) Quins en són e l s dom i n i s ?

b) Són injectives? S ó n exhaustives?

g (x) 3x + 1

2

e) Són bi jectives? Per a l a que no ho és , determ ina 'n e l conju nt d'arri­bada perquè ho s igu i .

� l Havies ja vist que si una funció f és bijectiva existeix la funció inversa ¡-1,

perquè en llegir la taula a l 'inrevés s 'obté una nova funció .

31

Si d'una funció en coneixem la fórmula, per exemple : y = 4x - 12 llegint la taula a l 'inrevés no fem altra cosa que aïllar la x. I com que el costum és representar Ja variable independent per x i la dependent per y, un cop aïllada la x s 'ha de canviar x per y i viceversa. D'aquesta manera la recerca de la funció inversa és relativament senzilla.

a) Troba la funció i nversa de l a funció anterior.

b) Què s ign ifica gràficament canviar l a x per l a y i viceversa?

e) Com seran e ls gràfics de dues funcions i nverses?

B.18 Troba les funcions i nverses de les següents funcions b ijectives:

f : IR IR

x y = 3x - 1

�onades les funciong ,

y = 3x Y = lx - 21

a) Tenen funcions i nverses?

b) En cas afirmati u , troba- les .

g : IR - { 2 } IR - { 3 }

3x - 5 x y = ---x - 2

x y = --­

x - 1 y = x2 - 2x

e) D ibu ixa 'n e ls gràfics i comprova que són s i mètrics . Respecte a qu ina recta ?

B.20 Fes e l mateix per a les funcions del problema 8 . 1 3 .

B.21 Sigui f una funció b ij ectiva tal que :

f (2 ) = 5 f ( 1 ) = - 2 f ( O) = - 3 f (- 1 ) = - 4

a) Anomenem g l a funció i nversa de f. Compl eta les igua ltats :

g (S ) = g (- 2 ) = g (- 4) =

32

b) Alguna de les funcions po l i nòmiques :

y = x3 + 2 y = x2 - 1 y = x3 -3 y = x + 4

coincideix amb la funció f? Qu ina és? Dedueix qu ina ser ia l a fórmu l a de g , suposant q u e f fos l a dita funció po l i nòmica.

e) D igues qu i nes de l es igua ltats segi,i.ents són certes , i qu ines no :

f(g (2 ) ) = 2 g(f (4) ) = 4 1 (2 ) = g (5 )

f (- 4) = g (- 1 ) f ( 1 ) = f (g (- 2 ) ) f ( O ) = g(f (- 3) )

Considerem l a funció f : [O , 1 J � [O , 1 ] donada per l a fórmu l a f (x) = x2

a) Dibu ixa- la .

b) Té i nversa la funció f? Dóna'n la fórm u l a .

e) D ibu ixa en un mateix gràfic l a funció f i la seva i nversa.

d) Si prenem com a domin i de f tot IR, existi r ia la funció inversa? Per què?

Són inverses l 'una de l 'a ltra les pare l les de funcions següents ? :

a ) y = 1 + 2x

b ) y = X3

e) y = x2 - 4x - 1

1 y = 2 (x - 1 )

3 y = Yx y = 2 + v'S+X

D ibu ixa-les i precisa 'n e ls dom in is .

D ibu ixa l es funcions donades en aquest probl ema , i l es i nverses s i en tenen. Dóna l a fórmu l a de les funcions inverses i precisa e l seu camp d'existènc ia . ( Recorda la notac ió f- 1 , g- 1 , etc. per a designar les funcions i nverses ) :

f (x) = 2x - 3 g (x ) = (x - 3) 3

p (x) = 0,7x q (x) = x4

h (x) = x2 + x + 1

r (x) = --­

x - 1

33

l

l

l 11

l

TREBALL DE LA FUNCIÓ INVERSA -----------

- Correspondència i funció . (Conjunts de sortida i d'arribada, conjunt or ig i n a l , dom i n i , conj unt i m atge . )

- Funcions i njectives , exhaustives i b i jectives . ( Expressions ana l í­t iques de les condicions d ' injectivitat i exhaustivitat.)

- Correspondència i nversa d'una funció. Condic ions perquè la correspondènc ia ínv_ersa sigui funció. (Cà lcu l de la fórmu l a de funció i nversa . R estricció del conjunt d'arr i bada per aconseg u i r que una funció i nj ectiva s igu i b ij ectiva. Restri cció d e l domi n i p e r aconsegu i r que u n a funció s i g u i i njectiva .)

34

C

est u d i d e la fu nció

loga rít m ica

En els problemes A.7 i A. 1 1 hem estudiat la funció x � y = ( 0 ,9 )'

on x és l 'alçada o profunditat expressada en km i y la pressió expressada en atmosferes . Aquesta funció ens dóna la pressió, coneixent l 'alçada.

També a l 'apartat B ens he:m interessat pel problema invers, el pro­blema de l 'altímetre, és a dir, donada la pressió trobar l 'alçada. Aquesta funció inversa de l'anterior, l 'hem anomenada funció logarítmica de base 0,9:

x y = log0•9x

on x és la pressió i y l 'alçada. Estudiarem ara les propietats de la funció logarítmica de base qualsevol. Això ens permetrà, en particular, de calcular l 'alçada corresponent a una

pressió qualsevol, tal com 0,7 atm, la qual no és a la taula del problema B . l .

a) Considerant la func ió :

f : IR IR

X 2x

3 5

d ibuixa e l gràfic de la func ió :

fog2 : IR+ IR

Fes e ls d i bu ixos en paper m i l·l imetrat.

b) Considerant ara la func ió :

g : IR IR

X ( 1 /2 ) x

d ibuixa e l gràfic de la func ió :

fog112 : IR+ --� 1R

x --� fog 112x

Fes e l s d ibu ixos en paper m i l·l imetrat .

Deus haver observat que és e l mateix escri ure

fog2 1 = O que 2° = 1

fog2 2 = 1 que 2 1 ·= 2

fog2 4 = 2 que 22 = 4

fog2 8 = 3 que 23 = 8

a) Escr iu l 'express ió exponencia l equivalent a : fog2 x = y

36

Escr iu l 'express ió logarítmica equiva lent a :

2x = Y Escr iu l ' expressió exponencia l equivalent a :

fog 1 12x = y .. fog. x = y

Escr iu l 'expressió logarítm ica equ iva lent a :

y = 8112

l

b) Ca lcu la :

1 logs 1 25 fog. a fog2 51 2 fog 1 ¡2 -2

fog2 225 fog1 ¡2 4 log3 35 fog. a3

1 1 1 1 /og2 s log1 ¡2 - log1 - fog. 2 8 7 a

a) Comprova l es igualtats següents :

fog2 (4 · 32) = log2 4 + fog2 32 fog2 (32 : 4) = fog2 32 - fog2 4

b) General itza- les a fi de ca lcu lar

fog. (m · n) i /og. (m : n}

e) Et proposem que demostris les igua ltats que has escrit a b). Ano­mena amb les l l etres x, y, z, respectivament, e ls nombres fog. m, fog. n i fog. (m · n ) . El mètode q u e has de segu i r és escri ure l es igua ltats logarítm iques en la seva expressió exponenci a l ; després apl ica l es propietats que ja cone ixes de la funció exponencia l i , fina l­ment, torna a escr iure les igualtats trobades en expressió loga­rítm ica.

a) Ten int en compte que 45 = 4 · 4 · 4 · 4 · 4 , uti l itza la propi etat:

fog. m · n = fog. m + fog. n

b)

e)

d)

per a ca lcu lar fog. 45 suposant que coneixes fog. 4.

General itza e l resu ltat anterior per obten i r una fórm u la que ens doni fog, nP en funció de l fog. n.

¿ Serà và l ida la fórmu la anterior per a un exponent p que no s igu i un nombre natura l ? Per demostrar que és a ixí hauràs de segu i r e l mè­tode de l 'apartat e) de l 'anterior prob lema. Escriu tots e l s passos amb deta l l .

q Recordant que Vn = n1/q uti l i tza la propi etat anteri or per expressar

fog. ':.rn en funció de fog, n.

37

! -

11

Resumeix les propi etats de la funció logarítmica que has trobat fins ara :

a) Defin ic ió de la funció loga rítm ica de base qua lsevol a part ir de l 'expo­nenc ia l . Has de precisar e ls conj unts de sortida i d 'arr ibada i la fórmu la .

b) Escriu el mem bre de la dreta de les igua ltats següents :

fog, 1 =

fog, x" =

m fog, - =

n

fog, m · n =

fog. a =

fog. Vx =

e) Dibuixa en un mateix gràfic les funcions logarítm iques de base 2 , 3 , 1 0 , 1 /2 i 1 /3 .

d) Digues qu i nes són les característi ques genera ls de l gràfic d 'una fun­ció logarítm ica segons que la base s igu i més gran o més petita que 1 . (Asímptotes , creixement, etc . )

e) Té sentit par lar de l logar itme d 'u n nombre negati u ? l de l ogaritme de base 1 ? l de logar itme de base - 3? Per què?

a) Troba q u i na és la base de la funció loga rítm ica , tal que e l seu gràfic passa pel punt (243 ,5 ) .

b) Com escriu r ies e l nom bre 3 en forma de potència de base 2 ?

Representa gràficament l e s func ions :

y = fog2 2x y = fog2 (x - 2 ) y = fog2 x2

i expl ica com es poden obten i r a pa rti r del gràfic de la funció y = log2 x .

38

D la fu nció

Ioga rít m ica càlcu l

1. INTRODUCCIÓ

� l e l

Les propietats de la funció logarítmica són molt útils per al càlcul, per­què la funció logaritme transforma un producte en una suma, un quocient en una diferència, una potència en un producte senzill i una radicació en un quocient. Evidentment, les segones operacions són més senzilles que les pri­meres. I a més a més ens permetrà de trobar expressions que fins ara n9més sabíem calcular de manera gràfica i aproximada, com per exemple V3 , 2 1º·1, . . .

Uti l itzarem la funció y = fog2 x com a i nstrument auxi l iar per a

calcular una aproximació decimal de � El procés és el següent:

5 a) Calcu la fog2 V3. Per això cerca fog2 3 a l gràfic de l problema C.1 n 1

apartat a) , i apl ica la propi etat de ls logaritmes fog. -Vx = - fog. x. n

39

l l

l i l

b)

D 'aquest primer pas se'n diu prendre logaritmes

imatge

s 5 Busca v'3 a l gràfic anterior com a anti i matge del valor log2 V3 trobat abans.

D 'aquest segon pas se 'n d iu trobar / 'antilogaritme

l _sf'> antiimatge . sf'>

og2 v 3 = v 3

Aquest procés l 'hauríem pogut fer .agafant com a funció auxi l iar una func ió logaritme de base qua lsevo l .

Hem vist, doncs , que l a funció logaritme e s pot emprar com una eina per a efectuar càlculs que abans no podíem abordar o per a simplificar-ne d'altres massa complexos . Però el procés seguit té alguns defectes ; primer, no és còmode : cal fer el gràfic en cada cas ; i segon, és molt inexacte : cal llegir sobre un dibuix .

Per reduir aquests defectes, els passos anomenats «aplicar logarit­mes» o «prendre logaritmes» , no es fan sobre el gràfic sinó que es poden construir unes taules que ens donin el valor de la funció logaritme amb l'aproximació desitjada .

Et proposem un treball de construcció d'una taula de logaritmes sen­zilla. Abans presentarem una nota històrica, perquè vegis els passos fets pels matemàtics fins arribar al descobriment del càlcul logarítmic i a la construcció de les primeres taules .

Nota històrica

La noció de progressió geomètrica formada per les potències succes­sives d'un mateix nombre es troba ja en les matemàtiques egípcies i babilò­niques, i era una noció familiar per als matemàtics grecs . En els Elements d'EucLIDES (Llibre IX, prop 1 1 ), s 'hi troba un enunciat general equivalent a la regla am . an = am+n per a exponents enters positius .

A l 'Edat Mitjana, el matemàtic francès N. ÜRESME ( segle xrv) torna a trobar aquesta regla, i per primera vegada apareix la noció d'exponent frac-

40

Euclides

Primera pàgina dels Elements

cionari pos1trn, amb una notació ja semblant a la nostra, i algunes regles de càlcul referents a ells, per exemple, les dues regles que avui dia escrivim ( a · b )1fn = a1fn · b1f0 , (am )pfq = (amp )Jfq. Però les idees d'Oresme eren massa avançades, respecte a la matemàtica de la seva època, per a poder exercir una influència sobre els seus contemporanis ; és per això que el seu tractat va ésser oblidat ràpidament.

Un segle més tard, N. CHUQUET enuncià de bell nou la regla d'Euclides i no dubtà a emprar l 'exponent O i exponents enters negatius .

Però els primers càlculs de tipus logarítmic e s troben a l 'obra Arithme­tica integra ( 1544) de STIFEL . Aquest va adonar-se que si es comparen les progressions següents :

- 5 - 4 - 3 - 2 - 1 o l 2 3 4 5 6 7 8 9

l

32

l

16

l

8

l

4

l

2 l 2 4 8 1 6 32 64 128 256 5 1 2

s'observa que da suma, a l a progressió aritmètica, correspon a l a multipli­cació a la progressió geomètrica; i la diferència al quocient» .

D'aquesta manera es poden rebaixar en un grau les operacions de divisió i multiplicació . Per exemple per calcular 8 · 64 :

41

l

l i l

lr . Es llegeixen els nombres que hi ha sobre el 8 i el 64, és a dir, el 3 i el 6 .

2 n . Se sumen : 3 + 6 = 9 . 3 r . Es llegeix e l nombre que h i ha sota del 9 o sigui 5 1 2 , que é s el

resultat.

. . . 3 t

. . . 8

. . . 6 t . . . 64

Per tant, 8 X 64 = 512

. . . 9-·--1 3 + 6 = 9 1 �

5 1 2

Igualment, per calcular 256 : 3 2 , e s llegeixen els nombres que hi ha sobre el 256 i el 32, és a dir el 8 i el 5 ; es resten : 8 - 5 = 3 i el nombre que hi ha sota del 3 , el 8 , és el resultat.

r . . . 3

� . . . 8

l 5 t

. . . 32

Per tant, 256 : 32 = 8

l 8 t

. . . 256

l µ 1 8 - 5 = 3

També s 'observa que multiplicar per un nombre en la progressió arit­mètica correspon a elevar a una potència igual en aquest nombre en la pro­gressió geomètrica; i la divisió per un nombre en la primera és com l'extrac­ció d'una arrel d'índex aquest nombre en la segona. Per exemple, per calcu­lar 83, busquem la imatge de 8 , que és 3 i multipliquem per 3 ; dóna 9 i la imatge de 9 és 512 , així 83 = 5 1 2 .

42

l . . . 3

t . . . 8

9 -· -1 3 x 3 = 9 1 �

. . . 5 12

Per tant, 8 3 = 5 1 2

• Un altre exemple és el del càlcul de V 256: es busca la imatge de 256

que és 8 i es divideix per 4 que dóna 2 , la imatge de 2, el 4 , és el resultat .

�

l . . . 2 i

. . . 4 Per tant, v 256 = 4

�---1 8 : 4 = 2 1 . . . 256

D'aquesta manera queda clar que es poden rebaixar en un grau les principals operacions aritmètiques . Stifel va estendre aquests resultats a exponents negatius i fraccionaris .

Els seus treballs foren re�ollits per l 'escocès J. NEPER ( 1550- 1 6 1 7 ) i e l suís J. BüRGI ( 1552- 1632 ) , els quals veieren que es podien escriure aquestes successions per a qualsevol raó de la progressió geomètrica . Això donava la possibilitat d'augmentar el nombre de càlculs possibles, que en la successió anterior es limitaven a potències de 2 .

Allò que interessava era que la raó de la progressió geomètrica fos com més petita millor de manera que els termes de la successió fossin suficient­ment pròxims entre ells, condició necessària perquè pràcticament qualsevol nombre es pogués trobar a les dues successions .

Els seus treballs culminaren amb l a definició dels logaritmes i l a cons­trucció de les primeres taules, tasca portada a cap entre 1 6 1 4 i 1 620 inde­pendentment per J. Neper i J. Bürgi, l 'obra del qual no es va conèixer fins el 1620, encara que la idea es remuntés als primers anys del segle.

Biblíografia:

N . BouRBAKI. Elementos de la historia de las matematicas. (Alianza Univer­sidad. )

E . CoLERUS. Breve historia de las matematicas. (Ed . Doncel. ) 43

1 1 l

2. CONSTRUCCIÓ D'UNA TAULA DE LOGARITMES SENZILLA

Fins ara només sabem calcular els logaritmes dels nombres que són potències enteres de la base . Per exemple, tenim:

log2 0,25 = log2 1 /4 = log2 2 -2 = - 2

log2 0,5 = log2 1 /2 = log2 2-1 = - l

log2 l

log2 2

log2 4

= log2 2° = o = log2 2 1 = l

= log2 22 = 2

logw 0,01 = logio 1 0 -2 = - 2

logw 0 , 1 = logw 1 0 - 1 = - l

logw l = logw 1 0° O logw 1 0 = logio 1 01 l

logw 1 00 = logw 1 02 2

Com cak:ular el logaritme dels altres nombres? Intentem calcular, per exemple, el logaritme de 3 1 .752 (de la base que més convingui) . Podem descompondre l'esmentat nombre en factors primers i obtenim:

3 1 7 52 = 23 • y . 72

i, aplicant les propietats dels logaritmes, resulta: foga 3 1 752 = 3 loga 2 + 4 loga 3 · + 2 loga 7

Si coneixem els logaritmes ckls nombres primers 2 , 3 i 7 , el problema estaria resolt .

A més, els logaritmes d 'aquests nombres permetran de calcular els d'aquells altres nombres que es puguin expressar com a productes de potèn­cies ; per exemple 4, 6, 8, 9, 1 2 , 14 , etc . ( i n'hi ha infinits ) .

44

Ens interessa doncs, calcular els logaritmes de 2, 3 , 5 , 7 , etc. Hi ha un procediment molt elemental per calcular-los de base 1 0, de manera apro­ximada.

Calculem, de primer, les successives potències de 2 :

2 1 = 2 22 = 4 23 = g 24 = 16 2 5 = 32

2 6 = 64 27 = 128 28 = 256 29 = 5 1 2 210 = 1 024

L'última potència calculada és pròxima al nombre 1 000. Podem prendre 1 03 com una aproximació de 210

210 = 103

Aquesta expressió ens permet d'obtenir un valor aproximat de log10 2 ; no hem de fer sinó aplicar logaritmes .

per tant : 1 0 logw 2 = 3 log10 10 = 3

3 log10 2 = - = O 3 1 0

'

De manera semblam podem calculal' potències successives de 3 fins a trobar-ne :i.ma tan pròxima com sigui possible a una potència entera de 1 0

}1 = 3 Y = 9

-

y = 27 321 = 1 0 .460.353 .203

a) Ca lcu la un valor aprox imat de /og10 3 a part ir de la potència 321 •

b) Per ca lcu lar /og10 5 no ca l repet ir e l procés anterior , n 'h i ha prou de ten i r en compte que 5 = 1 0/2 . Així podem expressar di rectament log10 5 en funció de /og10 2 . Efectua aquest cà lcu l i dóna el correspo· nent va lor aprox imat de /og10 5 .

e) Ca lcu la un va lor aproxi mat de /og10 7 a parti r de l 'express ió :

719 = 1 1 .398 .895 . 1 85 .373 . 1 43

45

l i l

d) Podries obte n i r va lors més aproxi mats de ls loga ritmes calcu lats prenent potències més e levades ?

Per fer-ho, torna a ca lcu lar e ls loga ritmes de base 1 O , de 2, 3 , 5 , 7 a ixí com el d ' 1 1 a part i r de les expressions :

293 = 1 028 r1 = 1 060 1 1 24 = 1 02s Arrodoneix e ls valors obti nguts fins a l a quarta xifra dec i m a l .

e) Amb e ls valors de ls loga ritmes de base 1 O de ls nombres 2 , 3 , 5 , 7 i 1 1 obti nguts a d) pots, ara , fer una taula de logaritmes dec imals per a tots e ls nombres enters de 1 ' 1 a l 1 00 tals que en l a seva descompo­s ic ió en factors pri mers només ti ngu in com a factors e ls nombres 2, 3, 5 , 7 i 1 1 . Fes l a tau l a (agafant sempre 4 decimals) .

Nota: Atès que des d 'ara tots e ls logaritmes que usarem seran loga­ritmes de base 1 O , ometren des d 'ara l a base quan es tracti d 'aquests logaritmes.

f) Fes un gràfic ben ampl i at amb les dades obti ngudes i i ntenta d 'u n i r e l s punts m i tjançant una l ín ia contínua (ut i l itza paper m i l·l i m�trat) .

g) H e m après a ca lcu lar e l logaritme dec imal d 'a lguns nombres. Justi­fica , a parti r del g ràfi c , s i els restants valors de ls logaritmes de ls nombres enters entre 1 i 1 00 es poden ca lcu lar per i nterpo lac ió , essent l 'error comès sufici entment petit. Completa en aquest cas l a tau l a anterior , interpo lant entre e l s valors m é s pròx ims .

h) Què pots d i r tocant a ls e rrors introduïts en aquests cà lcu ls?

3. CONSTRUCCIÓ l UTILITZACIÓ D'UNA TAULA DE LOGARITMES DECIMALS

l � Es pl anteja ara e l prob lema· de ca lcu lar e l l ogar itme de base 1 O de

qua l sevol nom bre .

a) Exemples . Ca lcu la fog 54.000 amb l 'ajut de l a tau la anter ior i ten int en compte que 54 .000 = 54 · 1 03 .

Fes una descomposic ió semblant per ca lcu lar fog 0,0002 1 .

46

b) Calcu la pel mateix proced i ment e ls logaritmes de ls nombres se­güents :

3 ,5 35

0 ,35

350

0 ,035

3 .500

0 ,0035

3 .500.000

0 ,0000035

e) Com hauràs observat, e l s l ogaritmes de ls nombres anteriors només es d i ferencien en un nombre enter.

Tots tenen l a mateixa part deci mal i sols es diferencien per la part entera .

Tingues en compte que qualsevol nombre real es pot descompondre en una part entera i una part decimal que sempre ha d'ésser positiva.

Per exemple : 2 ,928 = 2 + 0 ,928

Part entera 2; part decimal 0 ,928 - 2 ,928 = - 3 + 0,072

Part entera - 3 ; part decimal O ,072 Què és a l lò que determina l a part dec ima l del logaritme d 'un nombre? l l a part enterc:i ?

-Qualsevol nombre posit iu M es pot eser iure en l a form a :

M = m · 1 0"

on m és un nombre més gran que 1 i més petit que 1 O, i n és un nombre enter .

a) Escriu en la forma ind icada e ls nombres següents :

3 .528 352,8 3 .528 .000 0 ,03528 3 ,528

b) Calcu l a , a pa rti r de la fòr m u l a donada /og10 M. Observa quant va l l a part entera d 'aquest logaritme , i quant v a l l a part dec i ma l . ( La part entera s 'anomena característica , i l a part deci mal mantissa . )

e) Aproximadament és fog 3 ,528 = 0 ,5475 . Quant va len e ls logar itmes de tots els nombres de a) ? Precisa en cada cas quant val la caracte­rística i quant la mantissa .

47

¡ l

d) Escriu tres nombres d i ferents de característica 4 i tres nombres de mantissa 0 ,301 O . . .

a) Construe ix , a partir dels logaritmes que ja has ca lcu lat als apar­tats e) i g) de D .2 l a tau la de loga ritmes de base 1 O de ls nombres 1 :'.'S m < 1 0 de dèci ma en dèc i m a . Fes una taula de doble entrada i col·l oca l es un itats a les fi les i les dècimes a les co l umnes , i e n cada case l l a e l va lor de l logaritme corresponent , p e r exemple , a l a casel la corresponent a l a pr imera fi la i pr imera co lumna e l valor de fog 1 ,0 , a l a case l l a corresponent a la pr imera f i l a i segona columna e l fog 1 , 1 , etc . La tau la pot ésser de l a forma :

o 1 2 3 4 5 6 7 8 9

1

2

3

4

b) Emprant aquesta tau l a , escriu e ls logar itmes dels següents nombres ind ica 'n separadament la característica i l a manti ssa :

240 ; 8 1 .000 .000 ; 84.000 ; 0 ,00 1 2 ; 0 , 1 5 ; 0 ,0000036

e) Per ca lcu lar e ls loga ritmes de ls nombres amb més de dues xifres s ign ificatives , caldria constru i r unes tau l es més comp letes. Però es pot donar una aproximació , i nterpo lant entre e ls va lors més pròx ims que figur in a la tau l a . Fes les i nterpolacions necessàries a f i de ca lcu la r e ls logaritmes de ls nombres següents :

3,75 24,3 545 0 ,0447 0,001 59

d ) Si no h a s q uedat sati sfet amb les aprox imacions efectuades, e t pro­posem que busqu is mètod�.s per a m i l lorar- les .

Uti l itzant la tau la de logaritmes que has construït i ap l i cant e l proce­s d i ment de l prob lema 0. 1 , ca lcu la .:.;3 i 21 º·7•

48

Algunes "eines" de càlcul: àbac, calculadora electrònica, regla de càlcul, taules de loga­

ritmes

49

1 1

Compara e l primer resu ltat amb l 'obti ngut a l prob lema 0 . 1 .

Les taules de logaritmes han estat molt usades per enginyers, qu1m1cs, físics, matemàtics . . . , per a fer diferents càlculs més..o menys complicats .

Per no haver de portar sempre a sobre un llibre, es van construir les regles de càlcul, fàcils de transportar i manejar . El seu funcionament es basa en el càlcul logarítmic i els resultats trobats són, en general, valors apro­ximats .

Fa uns anys, j a hi havia al nostre país màquines de calcular, però les seves dimensions no permetien de portar-les a la butxaca com les regles de càlcul, i a més el seu preu era molt elevat.

Avui dia s 'ha generalitza t l 'ús de calculadores de butxaca (el seu preu s 'ha abaratit considerablement ) . Aquest fet ha tingut com a conseqüència la progressiva desaparició de les taules de logaritmes i de les regles de càlcul, puix que amb una màquina es pot calcular ràpidament i amb més bons resul­tats ( més exactes o aproximats) qualsevol potència o qualsevol arrel .

A Matemàtiques s 'han anat emprant distintes «eines» per a calcular, les quals amb el desenvolupament de la tecnologia han anat evolucionant :

àbac notació decimal taules de logaritmes

regla de càlcul màquines de calcular mecàniques calculadores electròniques

i més que se n 'aniran descobrint. Hem de viure per veure-ho !

50

Canvi de base

p roble m es

d �a plicació

Estud iem la re lació entre les funcions logarítm iques de bases d is­ti ntes .

Per expressar fog2 x en funció de fogio x seg u i rem aquest passos :

y = fog2X escrivim l 'equació exponencia l equiva lent :

2Y = X tra ient loga ritmes dec ima ls obte n i m :

/og x y · fog 2 = fog x i per tant /og2 x = --­/og 2

a) Uti l itza la tau la de logar itmes en base 1 0 que has construït i e l que acabem de veure , per a ca lcu lar :

b) Troba l a relació entre /ogo.9 x i /og10 x segu int un camí a nà leg a l que hem seguit abans .

e) Busca la relació que hi ha entre fog,x i fogbx.

51

Logaritmes neperians

Hem estud iat les funcions exponencia l i logar ítm ica de base qua l ­sevo l . En molts problemes apareix l a func ió exponenc ia l de base e on e = 2 .7 1 828 1 8 . . . i de l a corresponent funció i nversa , logaritme de base e, s e 'n d i u també logaritme neperià (de NEPER , un de ls descobridors de l logaritme) .

Com hem vist en e l prob lema anter ior , e ls loga ritmes en dues bases d i ferents són funcions proporciona l s , l a qual cosa vol dir que s i d isposem d 'u nes tau les de logaritmes en una base qua lsevol ens servi ran per a ca lcu lar e ls loga ritmes en qua l sevol a l tra base . Les funcions logarít­m iques més úti Is són l a de base 1 O (sabies d i r per què ? ) i 1 8 de base e, aquesta perquè té propi etats matemàtiques que l a fan més senz i l l a que d 'a ltres .

Per saber d 'on surt aquest nombre és molt interessant que fac is l 'es­tudi proposat a l fi na l del l l i bre (G .3 ) .

a ) Fes e l g ràfic de l a funció y = ex. b) Dibu ixa l a funció i nversa ( l ogaritme neperià) y = In x.

e) Expressa In x en funció del /og x. (Nota : /og e = 0 .43429.)

Equacions logarítmiques

De manera semblant a com en certes equacions la incògnita podia apa­rèixer a l'exponent (equacions exponencials ), certes situacions reals ens portaran a problemes en què intervingui el logaritme d'alguna de les incòg-

JJ nites . Per exemple, l 'equació : logz x = 4

la podem resoldre escrivint la seva expressió exponencial equivalent : 24 = x; és a .dir x = 1 6

Però, en general, e s presenten equacions més complicades, i caldrà apli­car les propietats dels logaritmes que ja coneixes . Per exemple:

2 log x - log 2 = 2 + log 1 8 (quan n o s 'escriu la base en l'expressió log x , s e suposa que es tracta del logaritme en base 1 0 )

52

log x2 - log 2 = log 102 + log 1 8

x2 log - = log 1 800

2

x2 - = 1 800 2

x2 = 3600 és a dir x = ± 60

Observa que la solució de l'equació només és 60 perquè no podem par­lar de logaritme d'un nombre negatiu .

Et proposem de reso l d re les equaci ons següents :

a) fog x - fog 4 = fog 2 ; fog3 x + f og3 5 = 1

b) 2 fog x = 3 fog x ; 2 fog x - 4 fog 2 = 3 fog 3

e)

d)

x fog x + fog - = 2 ; 2 f og2 [x - 1 ) - f og2 x = 3

4

fog (25 - x2) fog (25 - x3) - 3 fog (4 - x) = O ;

f J = 2

og (x - 1

e)

f)

(x2 - 5x + 9) · fog 2 + fog 1 25 = 3 ; 2 fog x = 1 + fog ( x + � � ) x ( 1 - fog 5) = fog (2x + x - 1 )

-Resol e ls següents s istemes d 'equacions logarítmiques. En a lgun cas

pots s impl i ficar e l s cà lcu ls , i ntrodu int i ncògnites auxi l iars .

a) x + y = 40 } fog10 x + fog10 y = 2 } f og2 x + f og2 y = 8 f og2 x - f og2 y = 3

b) x - y = 990 } fog x - fog y = 2

fog x = fog 5y + fog 1 4 - fog 7 } x2 = 20y2 + 1 Sx + 20

e) fogx (y - 1 8) = � } fogv (x + 3) = 2

fog x + 3 fog y = 5 } x2

fog - = 3 y

53

, r

d) /og (x + y) + /og (x - y) = /og 33 } eY

ex = -

e4

2 /og x - 3 Jog y = 7 } /og x + log y = 1

un nombre x per 25 , e l seu logaritme

Troba les funcions i nverses de les funcions següents prec isa e ls seus conjunts de sort ida i d 'arr ibada

a) y = 3 + Jog2 x ; y = a2x- l x+l

b) Y = - 1 + 2 /og3 (x - 2) ; y = 4 + 3x-2 Recorda que en el prob lema 8.1 h avíem vist que l a funció que ens

donava l 'a lçada segons l a pressió atmosfèrica venia donada per:

y = /ogo,9X on y és l 'a lçada (km) i x l a pressió mesurada en atmosferes .

a) Fes una tau la de l a funció pressió alçada per a va lors de l a pressió q u e var iïn de dècima en dècima entre 1 ,3 atm i 0 , 1 atm.

b) Disposem d 'un baròmetre , amb una esca la graduada en atmosferes , com el de l a figura . D i bu ixa una a l tra escala amb l a graduació cor­responent en a lçades.

res s o r t

54

e) L 'exactitud d 'un a lt ímetre depèn de la pressió atmosfèr ica . De q u i n ord re s ó n e ls errors ?

U n capital de 50 .000 ptes . h a estat produ int i nteressos a i nterès compost del 7 % anu a l . Quants anys han passat quan e l saldo és de 1 05 .243 ptes .? ...

U n senyor ha tornat 500 .000 ptes . a un banc per sa ldar un préstec que se l i va fer fa 6 anys , a un i nterès compost de l 20 % . De quant era e l préstec?

La pob lac ió de l 'Estat espanyol e l 1 900 era de 1 8 m i l ions d 'habitants . De l 1 900 a l 1 977 s 'h a dup l i cat. Suposant que e l creixement demogràfic durant aquest període hag i mantingut una taxa anual constant, es de­mana :

a) Quina fóra l a fórm u l a de l a funció t p? [t és e l nombre d 'anys a part ir de l 1 900 i p és la pob lac ió de l 'Estat espanyol corresponent) .

b) Quina ha estat la taxa de creixement anua l (en tant per u) d u rant aquests a nys ?

Nota: aquest valor s 'anomena taxa m itjana de creixement dura nt aquest període , ten i nt en compte que el creixement rea l no és e l mate ix d 'u n any a l 'a ltre.

e) Suposant que e l ritme de creixement anua l es manti ngui : qu ina serà l a pob l ació de l 'Estat espanyol a l 'any 2000?

d) Quant de temps tardarà a haver-h i una pob l ac ió de 50 m i l ions?

E l gas radó és rad ioactiu i es va desi ntegrant a l r itme donat per la tau la següent:

dies o 1 2 3 4

quantitat de Rn 1 00 84 70 59 49,5

a) Fes un g ràfic que reflecte ixi l es dades de la tau la .

b) Quin és e l període de semides i ntegració de l radó?

5 6 7 42 34,5 29

55

e) Es tenen 2 dec igrams de radó : quant de temps passarà f ins que només en quedin 0 ,25 decigrams ? l s i se 'n tenen 0 ,58 dg?

d ) E n q u i n tant per cent d i sminueix d iàr i ament l a quantitat de Rn?

E.12 Donada l a func ió :

determ ina :

a) El seu dom i n i .

9 - 3 /og2 (3x - 2 ) y =

6 + 2 1092 (3x - 2 )

b) La fu nció i nversa (si existe ix) .

E.13 Suposem que e l Govern calcu la una pujada de ls sa lar is de l 4 % anua l .

S i e n u n determinat sector e l conven i e s fa cada tres anys : e n q u i n per­centatge s 'haurà d 'apujar per ten i r el mate ix i ncrement que en e ls con­venis renovats anua l ment?

E .14 Quantes x ifres dec ima ls té el nombre 2321 ?

TREBALL D E LA FUNCIÓ LOGARlTMICA ---------Defin i c ió de funció logarítm ica . ( R estricció del conj unt d 'arr i ­bada de la funció exponencia l perquè sigui b i jectiva .)

Estudi de l a funció y = fog. x. ( Domin i , conjunt, imatge , s i m bo­l itzac ió , propietats , g ràfic segons a > 1 o O < a < 1 , asímptotes de la funció logarítmica . )

- Canvi de base.

56

-

F

proble m_es d e

consolidació

Hem anomenat funció exponencia l la func ió :

f : IR IR x ax a E IR

l a q u a l , entre d 'a ltres , té l a propietat :

f (O) = aº = 1

Però en molts prob lemes , com , per exemple , a l F.2 , per a x = O l a i m atge f (O) � 1 i t é un va lor q u e ind icarem p e r pa, f (O ) = pa. En aquest cas la funció és

f : IR IR X poax

Així, l a funció exponencia l més genera l , és de la forma:

y = Po . ax

i , per tant, depèn de dos paràmetres : pa que representa e l valor de l a funció per a x = O i a q u e é s l a base .

a) Troba e ls valors de pa i a per a l a func ió y = poax, sabent que passa pels punts (3, 243) i (- 2, 32) .

57

l l

l l

En q u i n tant per u augmenta l a funció quan x augmenta una un i tat?

Repete ix a) i b) en e l cas que la funció pass i pels punts ( +· 3 ) i ( 2 , 384) .

La Tau la següent dóna l 'evo luc ió de l a pob lac ió espanyol a durant e l s ú lt ims deu anys. ( Font: Informe Econòmic del Banc de Bilbao, 1975, pàg . 1 03 . )

Any Població Increment anual Tant per u de (milers d'habitants) (mi lers d'habitants) creixement anual

1 965 3 1 .9 1 3 340 0 ,0 1 065

1 966 32 .253 342 0 ,0 1 060

1 967 32 .595 347 0 ,01 064

1 968 32 .942 350 0,01 062

1 969 33.292 354 0 ,0 1 063

1 970 33 .646 357 0 ,0 1 06 1

1 97 1 34.003 362 0,01 065

1 972 34.365 365 0 ,0 1 062

1 973 34.730 369 0 ,0 1 062

1 974 35 .099 373 0 ,0 1 063

a) Expl ica com es ca lcu len la tercera i la quarta co lumna a part i r de l a segona.

b) Observant les esmentades co lum n es tercera i quarta : podríem d i r que l a població h a augmentat l a mate ixa quantitat cada any?

E l cre ixement de la pob lac ió a què s 'asse m b l a més, a una progress ió aritmètica o bé a una geomètrica ?

e ) Agafant q = 0 ,01 063 com a m itjana de l tant p e r u de creixement anua l , escr i u l a fórmu la de la progressió geomètr ica de pr imer terme 3 1 .9 1 3 ( pob lació de l 'any Í965 expressada en m i l ers) i de raó 1 ,0 10 63 ( 1 + q , q és e l tant per u de creixement anual ) .

58

Amb l 'ajut d 'una màq u i na de calcu lar , comprova s i els termes d 'aquesta progressió donen correctament l 'evo luc ió de la població d u rant aquests deu anys.

d ) Qui nes són les pr incipa ls causes que provoquen que l a pob lac ió creixi en progressió geomètrica , és a d i r , amb un creixement re l at iu ( tant per u ) anua l constant?

e) Emprant la fórmu la obtinguda a l 'apartat e) : qui nes previs ions es poden fer respecte a l a població dels anys 1 980 i 2000? Qui nes garan­ties tenen aquestes predicc ions ?

f) Uti l itza la mateixa fórmu la per cal cu�ar l a població que hi havia e ls anys 1 900, 1 9 1 0 , 1 920 , 1 930, 1 940, 1 950, 1 960. Compara e l s resultats trobats amb les x i fres rea ls donades a la tau l a següent. ( Font: La població espanyola , Jordi Nada l . )

Any 1 900 1 9 1 0 1 920 1 930 1 940 1 950 1 960

Població 1 8 .594 1 9 .927 2 1 .303 23 .564 25 .878 27 .977 30.43 1 (mi lers d'habi tants)

-Al prob lema F.2 hem vist també que l a base en aquest cas era :

a = 1 + q

on q representa e l tant per u de crei xement de l a funció quan x augmenta en 1 .

a ) Comprova que per a l a funció exponenc ia l :

X po ( 1 + q) x

es comp leix que e l tant per u de creixement quan x augmenta en és q . És a d i r , comprova que :

f (x + 1 ) - f (x)

f (x) = q

b) Representa gràficament les funcions rea l s de vari ab le real

f : X 2x

g : x 3 . 2·

h : X 0 ,4 · 2x

e) Quina és l a imatge de O per a cadascuna d 'aquestes funcions?

d) La funció exponenci a l :

y = po ( 1 + q) x

59

l l

l

es pot escri ure en l a forma:

Y = po2x/T

usant u n nou paràmetre T. Calcu la T en funció de q.

e) Quin és e l valor de la funció quan x = T?

f ) Si Xo és u n valor donat de x , ca lcu la f (xo) i f (xo + T) i expressa f (xo + T) en funció de f (xo) . Observant aquest resu ltat, qu in nom donaries a l paràmetre T?

g) A l 'apartat d ) has ca lcu lat la fórmula que dóna T en funció de q. Calcu l a ara la funció i nversa, és a dir , l a funció que expressa el tant per u de creixement q en funció del període T.

Al prob lema F.2 hem v ist que l a població espanyo l a ha crescut de manera exponencia l durant els deu ú lt ims anys .

Però aquest resu ltat és molt més genera l ; e l creixement d 'una pob l a­c ió b io lòg ica qua lsevol (una espècie determinada d i ns u n ecosistema tancat) , que es desenvo lupa en condi c ions favorables , és exponenc ia l fins que e l seu creixement trenca l es condicions d 'equ i l ibri favorab l e ( esgota e ls a l i ments , competeix amb a ltres espèc ies , etc .) . U n exemple molt conegut d 'aquest creixement exponencia l , és e l desenvolupament de ls con i l l s a Austrà l i a .

A Austrà l i a no hi havia coni l l s ; h i v a n portar a lgunes pare l les i , com que l es cond ic ions per a l seu desenvol upament eren favorab les , comen­çaren a reprodu i r-se i augmentar de manera exponenc i a l . Van arri bar a esgotar e l past i a destru i r l 'eq u i l i bri ecològ ic ; s 'hagué de l i m itar e l seu creixement.

Veiem ara u n a ltre exemple . Suposa que en u n parc nacional hi han portat una pare l la de cérvols perquè es reprodueix in . S i l es condic ions són favorab les , e l creixement de l a població de cérvols serà exponenci a l . Però , evidentment, aquest creixement quedarà l i m itat a l g u n d ia p e r l a seva mateixa pressió demogràfica.

S i vo lguéss i m saber s i s 'està arri bant a l 'equ i l ibri o bé que la pob l ac ió cont inua augmentant, agafaríem dades del nombre tota l de cérvo ls que h i ha a l parc , durant uns quants anys . S i e l cre ixement durant aquests anys ha estat exponencia l , vol dir que encara no s 'ha arri bat a l 'equi l ibr i ; a ltrament, e l creixement decaur ia .

60

l a Suposa que e l resultat d 'aquestes observacions tau la :

l t l o 2,5

y 20 30 52

. �

4,25

88

són els donats - .;;��. pel'; .. ,

6

1 28

o n : t és e l temps expressat en anys i comptat des de la data de la pr imera determi nació , efectuada c inc anys després de la i ntroducció de la pri mera pare l l a t i y és e l nombre de cérvo l s .

Comprovarem tot seguit s i ja es presenten símptomes d ' u n proper equ i l ibr i , o s i , contràr iament, la població continua creixent exponen­c ia lment.

Per a ixò:

a) Suposant un creixement exponencia l de l t ipus :

Y = Po2�/T

Quina dependència h i ha entre fog y i t? Escriu l a fórmu l a de l a funci ó :

t fog y b) A part ir de ls va lors de la tau la , d i bu ixa el gràfic de la funció experi-

menta l t fog y i , agafant el mate ix s istema de referència , d ibu ixa l a funció teòrica de l 'apartat a) .

e) S'ajusta e l g ràfic experimenta l al model teòr ic? Es pot d i r que som a prop d 'un equ i l ib r i ?

d) Quin valor et sembla que és e l més correcte per a T ( període de dupl i cació de l a pob lac ió de cérvols ) ten i nt en compte e ls va lors de l a tau l a ?

Un capita l d e 40.000 pts . s 'ha ingressat en una l l i b reta d 'estalvi a i nterès compost.

a) Després de dos anys , el sa ldo és de 48.400 pts . Qui n ha estat e l rèdit, expressat en tant p e r u , q u e donava e l banc?

b) l s i e l capita l s 'ha convertit en 44. 1 00 pts . a l cap de dos anys?

e) l s i en vuit anys e l sa ldo fos de 59.098 pts ?

61

¡ -

l l

Hom ha observat que e ls pol ls ( paràsits humans) es reprodueixen doblant e l nombre cada quatre dies (mentre no s 'arr iba a l a saturació , i en absència de tractament) . Si en un cert moment h i havia 50 pol ls a l cap d 'una persona :

a) Quants n 'h i haurà a l cap dé ,.vuit d ies?

b) Dóna l a fórmu l a de l a funció p N, on p és e l nombre de períodes de quatre d ies transcorreguts , i N el nombre de pol ls .

e) Anomenem t el nombre de d ies transcorreguts . Expressa p en funció de t .

dl Dóna la fórmula de la funció t � N .

e) Quants pol ls h i haurà a l cap de s is d ies?

l f) Quant temps tardarà a haver-hi 300 po l l s ?

l

Poll comú

f Pediculus humanus capitis)

Hom està cu ltivant un teixit an ima l a l l aboratori . Es mantenen les cond icions de nutri c ió i temperatu ra adequades perquè l a taxa de creixe­ment de l cu lt iu s igu i constant. l n i c i a l ment hi havia 450 cèl·l u l es , i al cap de c inc d i es n 'h i havia 720.

62

a) Quina és l a l l e i de creixement de l cu l ti u ?

b) Quantes cèl·l u l es h i haurà a l final del pr imer d i a ?

e) Quina és la taxa d iàr ia de creixement del teixit?

d) Al cap de quants d ies h i haurà 2 .000 cèl·l u les?

En un cert med i , e l s bacteris d 'un cert t ipus A tenen un període de dup l icació de 30 mi nuts , i e l s d 'una a l tre t ipus B de 60 mi nuts . Barregem N cèl·lu les de l t ipus A amb 1 6N del t ipus 8. Quant temps trigarà a haver­hi l es mateixes cèl·lu l es de cada t ipus?

E l carboni 14 ( 14C) és un e lement que s 'uti l itza per a determ i nar l 'edat d 'a lguns res idus an ima ls . El seu període de semidesintegració és de 5 .570 anys, a ixò s ign ifica que la quantitat de 14C es redueix a l a meitat en aquest i nterva l de temps.

Durant l a vida de les p lantes i e ls an ima ls , la proporc ió de 14C en el carbo n i , que constitueix els teixits de ls éssers vius, es manté constant. Això és degut a l fet que aquest carboni procedeix per síntesi d i recta o ind irecta de l 'atmosfera i en aquesta e l 14C que es va desi ntegrant es compensa amb e l que es va prod u i nt , per l a i nteracció de ls ra igs còsmics , a l es capes més e l evades .

En morir , l 'ésser vivent deixa d ' a l i mentar-se i , per t�nt, d 'ass i m i lar 14C; i e l que forma part de ls seus teixits es va desintegrant.

a) Suposem que es descobreixen l es restes d 'un esque l et. Sabem que 1 kg de carboni de l 'esque let en morir tenia aproxi madament 1 mg de 14C. Si actua lment 1 kg de carboni de l 'esque let en té aproxi mada­ment O, 1 2 mg. Ou.ants períodes fa que és mort? Quants anys té l 'es­quelet?

b) l s i 1 kg de carboni de l 'esquelet només en conté 0 ,05 mg. Quants períodes fa que és mort? Quants anys té l 'esquelet?

e) Dóna l a fórmula de l a quantitat de 14C que resta a l. cap de p períodes .

d) Dóna l a fórmu la de l a quantitat de 1 4C que resta a l cap de t anys .

e) Ou in tant per cent de 14C es desintegra cada . any?

63

l l

l

H i ha en el mercat diversos tipus de papers quadr icu lats per a fer gràfics amb una certa prec is ió . E l paper logarítmic i e l paper semíloga­rítmic tenen relació amb l es funcions estud i ades en aquest tem a . En veurem tot seguit l a uti l itat.

Les quadrícu l es del paper logarítmic estan fetes del mode següent:

Partint d 'una longitud un itat, hom interpreta cada punt com e l nom­bre que e l té per logaritme. Així , se situa el nombre 1 a l 'esquerra (en e l punt O) i e l 1 0 a l 'extrem d e l a dreta d e l a longitud citada . En e l paper logarítmic e l 2 se s ituaria a l l loc que correspon a l 0 ,301 O de l 'esca la norma l , i a ixí success ivament. L'esca la normal no figura i mpresa en e l paper logarítm ic , però és fàc i l d i bu ixar- la quan ca lgu i .

E l paper logarítm ic té l e s dues esca les , abscisses i ordenades, g ra­duades d 'aquesta manera , i el paper semi logarítm ic té les abscisses en esca l a normal i l es ordenades en esca la logarítmica .

Estud iarem ara l a dependència rea l entre les variab les x i y en e l cas en què e l gràfic e n u n paper logarítmic ( o semi logarítmic) s igu i una l ín i a recta.

1 0

8

6

4

2

1

64

1

�� i.... ....-_ ..,..

� _ .... _..... .... , ....

_,,,. -

-.... ,,.

, _

a)

b)

e)

d)

e)

f)

Cons idera e l gràfic d i bu ixat en e l paper semi logarítmi c . D ibu ixa amb cura l 'escala normal a l costat de l 'e ix Y, que e.n e l paper està graduat en escala logarítmica .

Tingues en compte que les d i stànc ies que mesures sobre l 'e ix Y són en rea l itat valors de l fog y, i no de y. Mesura, doncs, e l pendent i l 'or­denada a l 'or igen de la recta, i escriu la dependènc ia que observes entre /og10 y i x. _., Calcu la ara l a fórmula de l a funció x y.

Comprova que aquesta fórmu la dóna correctament e l s valors de (x, y) que es poden observar a l gràfic .

Quina uti l itat creus que pot ten i r aquest t ipus de paper? Per a qu in t ipus de funcions serà conven ient emprar- lo?

Fes u n estudi s i m i l a·r per a l cas de l gràfic de l paper l ogarítm i c .

4------- --2-1--+-+-l-����++++H-f.1+-+-+-H-+lH++hH--+--+-+-H-++-H++H++-t-+-++-�

2 4 6 8 101 2 4 6

Ara hauràs de d i buixar les escales norma ls a cada u n dels e ixos , i ten i r en compte que l es d istànc ies que mesuris et servi ran per a trobar l a dependènc i a entre /og10 y i /og10 x.

g) Busca en a lgun l l i bre de geografia o d 'econom i a a lgun gràfic d i bu ixat en escala logarítm ica .

65

l

G

est u d i s

Presentarem ara un petit estud i necessari per a poder constru i r una gu itarra . T'hauràs adonat que les gu itarres tenen uns trasts transversa ls sobre e l mànec, separats per d istàncies precises, e ls qua ls permeten que cada corda pugu i donar notes d i fere nts. Les notes musica ls són r;roduïdes per vibracions. Als i nstruments de corda , com la gu itarra , a l lò que v ibra són l es cordes (que comuniquen l a seva vi bració a l a caixa de resso­nànci a ) .

La gu itarra té 6 cordes, afinades en e ls tons mi, fa , re, sol, si, mi ( e l pr imer mi correspon a l bordó , l a corda de to més greu ; i l 'ú l t im mi a la pr ima o corda de to més a lt) .

El to depèn de l a freqüència de les v ibracions de l a corda . E ls tons la es prenen com a referència . La freqüència del to la a la qual s 'ha d 'afinar l a c inquena corda de l a gu itarra ( la corda més greu després de l bordó) és d e 1 1 0 vibracions per segon.

Considerarem , doncs, aquesta corda . Amb aquesta corda no solament es pot tocar e l to la, que sona 'quan v ibra l l iu rement, sinó que posant el d it sobre la corda es poden produ i r a ltres tons .

Això s 'exp l ica de l a manera següent: en posar e l d it sobre l a corda i gràci es a ls trasts transversa ls , s 'escurça l a long itud de corda que pot vibrar, augmentant a ix í la freqüència de vi bració i el to. La relació e ntre

66

l a freqüència i l a long itud de l a corda és molt senz i l l a . Quan l a l ong itud es redueix a la m eitat, la freqüència es dup l ica ; si es redueix a 1 /3 es tri­p l ica , etc. En resum, l a l ongitud i la freqüència són invérsament propor­c iona ls .

Per a una gu itarra amb cordes de 65 cm, la freqüència amb què vi bra l a c i nquena corda quan l a seva longitud queda reduïda a l cm vi ndrà do-nada per d

f = 1 1 o 65 = 7 . 1 50 l l

a) Justifica aquesta fórm u l a recordant que f i l són inversament proporciona l s .

Estud iem a ra l a tona l itat associada a l a freqüènc ia . Quan reduïm l a long itud a l a meitat (32 ,5 cm) , l a freqüència e s dup l ica i e l t o augmenta en una octava , és a d i r , passa a ser el pr imer harmònic la del to base. Aquesta relació entre octaves és sempre constant; és a d ir , s i tornem a red u i r l a nova long itud a l a meitat ( 1 5 ,25 cm) el to resu ltant és e l la corresponent a l 'octava superior .

O s igu i , l a re lació entre l a long itud i e l to és tal que, en d iv id i r per 2 f a longitud , e l to augmenta en 1 octava .

L 'octava està d iv id ida en 1 2 sem itons :

la la # si do do # re re # ml fa ta # sol sol # la '-v-' '-r-' '-v-' '-r-' '-v-" '-v-' '"--v--" --.r '-.r' � -v-"

1 2 3 4 5 6 7 8 g 1 0 1 1 1 2

Prendrem t = O per a l to fonamenta l la (corresponent a 1 1 0 vi bra­cions per segon) i t = 1 2 per al la de l 'octava superior .

Així ten i m que , quan t augmenta en 1 2 , l a freqüència es m u lt ip l ica per 2. La funció t f és tal que

t f

0 ---+ 1 1 0 lao

1 2 220 = 1 1 O · 2 lai

24 440 = 1 1 O · 4 la2

b) Escriu l a fórmu la d 'aquesta funció .

e) Usant aquesta fórmu l a , ca lcu la l es freqüències corresponents a ls tons do, mi , sol de l 'octava determinada per lao i lai.

67

l l l

d ) És vàl ida aquesta fórmula per a qua lsevol to ? Les tecles d e l p iano comencen amb el /a_2 o s igu i dues octaves més ava l l que e l lao i acaben amb dos, és a d i r , el do s ituat entre /as i /a6. Quines són les freqüències més baixa i més a lta que pot donar e l p iano?

e) Tornem a la gu itarra . Si volguéss im constru i r una gu itarra hauríem de saber a q u i n l loc col·loquem els trasts transversals o e l que és e l mate ix , hauríem de calcu lar les longituds de la corda corresponents a cada semitò . Per fer-ho busca la fórmu l a de la func ió :

t --�

f) Calcu la per a u na gu itarra de cordes de 65 cm, les pos 1 c 1ons de ls trasts corresponents a ls 1 2 sem itons (des del lao f ins a l /a, ) . Quant va l l ' interva l fins a l primer trast? l l 'ú l t im abans del /a1 ?

g ) Quin ser ia e l to amb què sonaria la cinquena corda d e la gu itarra s i es fes vi brar a m b u n a longitud de 45,8 cm? Escriu la fórmula de la funció :

__ _,. t

-l A la revista «lnvestigación y Ciencia" , núm. 1 (octubre 1 976) , en un art ic le sobre e l càncer s 'estudia la i ncidència de la morta l itat per càncer en funció de l 'edat. S'observa que aquesta i ncidència cre ix fortament amb l 'edat.

A l 'esmentat art ic le hi ha e l gràfic següent amb una nota a l peu.

E LS VELLS constitueixen la subpoblació que es troba més exposada al risc de càncer. La incidència de quasi totes les formes canceroses creix dramàticament amb l 'edat. Aquí s 'expressa gràficament la variació amb l 'edat, de la taxa de mortalitat als Estats Units d'un tipus de tumor molt representatiu, el d 'intestí gros. Hom pot observar que el logaritme de la taxa de mortalitat es troba en relació amb el logaritme de l 'edat. La relació es pot interpretar amb la hipòtesi segons la qual calen diver­ses mutacions per originar un càncer i que la probabilitat de cada muta­ció és proporcional a l 'edat. El p_endent de la línia suggereix cinc mu-tacions.

...-

L'objecti u d 'aquest estudi és i ntentar comprendre aquesta nota . Per què es d i u que el pendent de la recta suggereix cinc mutacions a parti r de les cè l·lu l es normals abans de converti r-se en cèl·l u l es can­ceroses?

68

Ill -C a -:o a .c. "C :Q ï� ... QJ o.

-a :J C a .... a -e; -.... o �

10.000

1.000

1 00

10

/

1 20

/ --,, 7 .. /

Per entendre a ixò :

"v

30

� , .. ,, /

�

�·

.. �

�

40 50 Edat

...,. � 7

,

60

IJ9 y

17 ,/

70 80 90

a) Llegeix l 'art ic le o consu lta algun l l ibre per poder exp l i car què s ign i­fiquen l es esmentades mutacions, com es produeixen i com s 'ob­serven .

b) El gràfic està d ibu ixat en paper logarítmic . Això s ignifica que , en l loc d e representar la variab'le , es representa e l seu logaritme (com que considerem logaritmes decim_al s , no i nd i carem la base) .

69

l l

Cons idera , de pri mer , l a var iab le dependent y = morta l itat anual (per m i l ió d 'hab i tants ) .

A l 'e ix d 'ordenades :

on h i ha y = 1 és l a pos ic ió corresponent a fog y = fog 1 = O

on h i ha y = 1 O és l a pos ic ió corresponent a fog y = fog 1 O = 1

on h i ha y = 1 00 és l a pos ic ió corresponent a fog y = fog 1 00 = 2

on h i h a y = 1 .000 és l a pos ic ió corresponent a fog y = fog 1 .000 = 3

on h i ha y = O , 1 és l a pos ic ió corresponent a fog y = fog 0, 1 = -1

Escriu a l costat de ls valors de y (O , 1 ; 1 ; 1 O ; 1 00 ; 1 .000) e ls va lors corresponents a fog y (- 1 ; O ; 1 ; 2 ; 3 ) .

Igua l ment es pot fer per a valors de y que no s i g u i n potències e nte­res de 1 O. Per a a ixò , d iv ideix en 1 O parts igua ls e l s i nterva ls d 'ex­trems e l s va lors enters de fog y i comprova que , per exemple , l a pos ic ió corresponent a y = 30 està s ituada a l 'esca la q u e has cons­truït , a una a lçada corresponent a fog y = fog 30 = 1 ,477.

e) Repete ix aquest procés per a l a variab le t = edat i assenya la les d iv i ­s ions corresponents a l s va lors de fog t de 1 ,4 ; 1 ,5 ; 1 ,6 ; 1 ,7 ; 1 ,8 ; 1 ,9 . Són equ id istants ?

d) Amb les esca les que has d i bu ixat resu lta, doncs , que h i ha una re lac ió l i neal ( representada per una recta) entre les variab les fog t i fog y. Per tant, pots escr iu re una fórmu la del t ipus

fog y = a fog t + b

per a l a fu nc ió :

fog t fog y A part i r de l g ràfic i de les esca les que has d i bu ixat troba e ls valors de a i b ( pendent i ordenada a l 'or igen) .

e) Usant l es propietats de ls logar itmes, transforma l a fórmula anterior en la fórmula de la funció

---+ y Quina cl asse de 'funció és?

70

f) L'object iu de l 'estudi és interpretar la fórmu l a anterior, però abans s 'ha de ten i r en compte que l es un itats en què estan expressades t i y són arbitràries i se'n pod ien haver agafat d 'a ltres. Què passar ia s i en l l oc d 'expressar t en anys , l 'expresséss i m en mesos (t' = 1 2t)

i y en morts per 1 00 .000 hab itants ( y' - !__) ? Qu ina seria la fór-- 1 0

mu la d e l a nova func ió? _ .. t' y'

Canvia el valor de l 'exponent de la variab le independent? Com justi· fica ries que l a fórm u l a de la funció t y suggere ix 5 mutacions, suposant que l a probab i l itat de cada mutació és proporc iona l a l 'edat? (Recorda que la probab i l itat del succés A n B és igua l a p (A ) · p (B) quan e ls successos A i B són independents . )

g) Fes u n i nforme escrit sobre l es conc lusions a què hagis arribat.

El nombre e

En el problema f. 2 havíem parlat de l nombre e. Ara veurem un pro­b lema on apareix aquest nombre .

Com saps, en imposar una quantitat en un banc a i nterès compost, cada cert període de temps es fa la reactual ització del capita l , és a d i r , es ca lcu la e l sa ldo (capital + i nteressos fins aquel l moment) i aquest sa ldo passa a ser e l nou capita l que produeix i nteressos a parti r d 'a leshores . En genera l , quan es par la d ' i nterès compost, l a reactua l ització es fa cada any, però es pot fer cada 1 /2 any o a vegades cada mes.

En aquest problema ca lcu larem e l sa ldo a l cap d'un any produït per 1 pta suposant que l a reactua l ització es fes cada 1 /2 any, o cada 1 /3 , 1 /4 d 'any . . . , o bé cada 1 /n d 'any.

La pregunta que ens fem és, doncs : Imposem 1 pta . a l 1 00 % anua l en un banc. Qu in saldo ten i m al cap d 'u n any? - Si es tractés d ' i nterès s imp le , e ls i nteressos serien d ' 1 pta . i e l sa ldo

fóra 2 ptes. - Si l a reactua l ització de l cap ita l es fes cada 1 /2 any ti ndríe m :

a l cap de 1 / 2 a n y e l s i nteressos serie n : i = 1 /2 . 1 = 0,5 sa ldo : s = 1 + 0,5 = 1 ,5

a l cap de l 'any e ls i nteressos serien : i = 1 ,5 . 1 /2 · 1 = 0 ,75 saldo fina l : s = 1 ,5 · 0 ,75 = 2 ,25

71

a) Calcu la e l sa ldo que t indr íem si la reactual ització de capital es fes cada 1 /3 d 'any o cada 1 /4 d 'any. ( Fes una tau l a on aparegu in e l s sa l ­dos corresponents a l es d iv is ions de l ' any . ) Ca lcu l a també e l sa ldo corresponent a períodes de 1 / 1 2 d 'any (un mes) .

b) Compl eta l a tau l a següent per calcular e l sa ldo que s 'obti ndr ia a l cap de l 'any s i l a reactua l i tzació es fes cada 1 /n d 'any.

temps o 1 /n 2/n 3/n . . . . . . . . 1 interessos - 1 /n ( 1 + 1 /n) · 1 /n · · · · · · · ·

saldo 1 ( 1 + 1 /n l ( 1 + 1 /n) 2 · · · · · · · · ·

Veiem que, com més cu rts són e l s períodes , més gran é s e l sa ldo fina l . De fet, però , l a quantitat que es pot obten i r és coneguda : e l nom­b re e. Segons e l que estem veient es diu que

e = tim ( 1 + * r Veurem a ra que per qua l sevo l m , ( 1 + � ) m < 3 . Això ens donarà

una pr imera aproximació de e: 2 < e < 3 .

En efecte :

( � ) 1 "' + ( 7 ) 1 m - I : + ( ; ) 1 m-2 :2 + . . . +

1 mm

e l sumand r-ès im és

72

_ ( m ) _1 _

_ _.!.__ m ( m - 1 l (m - 2 ) . . . (m - r + 1 l A, - -

r m1 r ! m'

1 m m - 1 m - 2 m - r + 1 r !

< m m m m

1 < - · 1 1 . . . 1 < < 2r- l r ! · 2 · 3 . . . r 1 . 2 . 2 . . . 2

i per tant:

1 + - :::;; 1 + 1 + - + - + . . . + --( 1 ) m 1 1 1 m 2 22 2m-l

e) Calcu la la suma del segon membre de la darrera des igua ltat, i com-

prova que ( 1 + ; ) m < 3 . ..

d) Amb la i nterpretació que hem fet és c lar que :

( 1 + � ) m < ( 1 + m� 1 ) m+ l

Exp l i ca-ho i prova de demostrar-ho d i rectament.

e) Troba ( 1 + � ) " per n = 4 , 40, 400, 4000, 40000. ( Ut i l itza l a calcu­

ladora.)

73

•

�OOo�@[JD©Jíl vicens-vives