Grupo diédricoEl grupo diédrico de orden n, denotado Dn, es el conjunto de las trasformaciones lineales que

dejan globalmente invariable a un polígono regular de n lados.

Da lo mismo decir que deja globalmente invariable a sus n vértices. Por tanto, una trasformación

perteneciente a Dn se caracteriza por su acción sobre estos n vértices, es decir como los permuta;

luego es parte del grupo simétrico Sn.

Dn constituye un grupo, con el producto definido por la ley de composición de las

aplicaciones º porque si σ y τ dejan invariable al polígono entonces también lo harán la recíproca σ -

1 por una parte y la trasformación compuesta τºσ (que se notará en adelante τσ, prescindiendo del

"º") por otra parte.

El centro O del polígono, como isobaricentro de sus vértices, es invariable por todo elemento de Dn.

Entonces Dn sólo contiene a rotaciones cuyo centro es O y a simetrías cuyos ejes pasan por O.

Estas rotaciones envían un vértice sobre otro, que hace un ángulo de 

grados   radianes, con k entero relativo, luego son múltiples de la rotación

fundamental r, de ángulo  . Las rotaciones son por tanto id = r0, r, r2... y rn-1 = r-1 porque rn = id.

Si se nota s la simetría cuyo eje pasa por el centro O y la arista "1", es fácil ver que deja el

polígono invariable (por razones de ... ¡simetría!); entonces las trasformaciones sr, sr2, ... srn-1 son

otras tantas simetrías (la composición de una simetría por una rotación es una simetría); además

no hay otras en Dn: si σ es otra simetría, entonces σs es una rotación de centro O (como

composisión de dos simetrías cuyos ejes se cortan en O), y es id, r, r2 ... o rn-1. Componiendo por s

a la derecha se obtiene el resultado anunciado.

En resumen: Dn = {id, r, r2 ... rn-1, s, sr, sr2 ... srn-1 } y su cardinal es #Dn = |Dn| = 2n.

Se han dibujado los grupos diédricos del triángulo (n = 3) y del cuadrado (n = 4). En rojo figuran los

ejes de simetría (en ambos casos se ha tomado para s la simétria que permuta los vértices 1 y 2

(en el caso del cuadrado tamién permuta 3 y 4), y en azul las rotaciones r (azul oscuro: la que

realiza la permutación 1 → 2 → 3 → ....) y r-1 (en azul claro).

Cuando n es impar, todas la simetrías dejan exactamente un vértice fijo, mientras que con n par,

una simetría puede dejar fijo cero (como sen D4) o dos vértices (como sr).

Para conocer perfectamente Dn hace falta describir su estructura como grupo. Esto se puede llevar

a cabo de distintas maneras.

El primer método consiste en trazar su grafo, definido a partir de generadores del grupo y de

relaciones entre ellos.

El grupo es generado por r y s, que verifican las relaciones rn = id, s2 = id y rsrs = id (pues rs es una

simetría luego (rs)2 = id). Se representa la composición a la izquierda por r con una arista orientada

azul, y la de s con una arista no orientada (porque s = s-1) roja. Cada vértice del grafo debe tener

una arista azul entrante y otra saliente, además de una roja (que es a la vez entrante y saliente);

Se empieza el grafo a partir del vértice id y se añaden aristas y vértices hasta que no sea más

posible. La relación rn = id da polígonos azules de n vértices, y rsrs = id da cuadrilateros (trapezios

en este esquema) bicolores. Se obtiene el diagrama dibujado en el caso n = 7.

El segundo método consiste en tratar de escribir Dn mediante grupos conocidos, los grupos

cíclicos Zn (que también son anillos).

Dn = {id, r, r2 ... rn-1, s, sr, sr2 ... srn-1 } es, como conjunto, el producto de {id, s} por {id, r, r2 ... rn-1},

que son isomorfos a Z2 y Zn respectivamente.

Sin embargo s y r no conmutan por tanto Dn no puede ser el producto directo de Z2 y Zn.

Como rsrs = id luego rs = sr-1 (porque s = s-1). Por inducción sobre b se demuestra que sb = s-b,

luego, sabiendo que sc = id cuando c es par y sc = s cuando ces impar, se obtiene rbsc = scr(-

1)cb para b y c enteros relativos cualquiera. Entonces:

(sarb)·(scrd) = sa(rbsc)rd =  sascr(-1)cbrd = sa+cr(-1)cb+d

Ver Dn como un producto de {id, s} por {id, r, r2 ... rn-1} implica reescribir los sarb bajo la forma ( sa, rb)

y evidenciar su modo de multiplicarse: 

( sa, rb ) * ( sc, rd ) = ( sa+c, r(-1)cb+d ).

El isomorfismo entre {id, s} × {id, r, r2 ... rn-1} y Z2 × Zn se realiza borrando las s y las r y dejando

solamente los exponentes: 

( sa, rb) → (a, b).     (a módulo 2 y b módulo n)

Luego Dn es isomorfo al producto indirecto Z2 ×i Zn con la ley de multiplicación siguiente:

(a, b) * (c, d) = (a + c, (-1)c·b + d )

El factor (-1)c es el responsable de que el producto no sea directo, lo que ya se podía observar en

el grafo anterior pues los dos polígonos azules no tenían la misma orientación.