grupo 4

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AJUSTE DE NIVELACIÓN DIFERENCIAL DE TERCER ORDEN POR ELMÉTODO DE MÍNIMOS CUADRADOS

CAMARGO BAEZ ERIK MARKCOD 200582032003

CAMARGO PARDO JOSÉ GIOVANNYCOD 20111032047

GARCÍA ROJAS DIANA CAROLINA

COD 20111038050MOLINA GUZMÁN SALOMÓN EFRAÍNCOD 20111032054

SOLA RONDEROS JUAN CARLOSCOD 20111032065

URIBE CASTAÑEDA JOSÉ DAVIDCOD 20111032067

A:ASTRID VARGAS TORRESINGENIERA TOPGRÁFICA

UNIVERSIDAD DISTRITAL FRANCISCO JOS DE CALDASFACULTAD DEL MEDIO AMBIENTE Y RECURSOS NATURALES

INGENIERÍA TOPOGRÁFICAGEODESIA POSICIONAL

BOGOTÁ D.C., 2011



CONTENIDO

1. INTRODUCCIÓN 4

2. OBJETIVOS 5

2.1 GENERAL 5

2.2 ESPECÍFICOS 5

3. MARCO TEORICO 6

3.1 CONCEPTOS Y DEFINICIONES 6

3.2 TIPOS DE NIVELACIONES 7

3.2.1 NIVELACIÓN GEOMÉTRICA 7

3.2.2 NIVELACIÓN TRIGONOMÉTRICA 83.2.3 NIVELACIÓN BAROMÉTRICA 8

3.2.4 NIVELACIÓN SATELITAL 9

3.2.5 AJUSTE POR MÍNIMOS CUADRADOS 9

3.3 INSTRUMENTOS PARA NIVELACIÓN GEOMÉTRICA 9

4. CARTERAS DE CAMPO 12

5. PROCEDIMIENTOS Y RESULTADOS 13

5.1 TRABAJO DE CAMPO 13

5.2 TRABAJO DE OFICINA 145.3 RESULTADOS 15

5.3.1 AJUSTE RED NIVELACIÓN 16

6. CONCLUSIONES 21

7. BIBLIOGRAFÍA 22

ANEXOS 23

LISTA DE FIGURASFigura 1 Nivelación Geométrica Simple ____________________________________________________ 7

Figura 2 Nivelación trigonométrica ________________________________________________________ 8

Figura 3 Antiguo nivel de plano. ____________________________________________________________ 10

Figura 4 Nivel reversible de colimación manual, ____________________________________________ 10

Figura 5 Nivel automático _________________________________________________________________ 11

Figura 6 Gráfico Red de NIvelación ______________________________________________________ 16



LISTA DE IMÁGENES

Imágen 1 Ecuaciones de condición 17

Imágen 2 Matriz A 17

Imágen 3 Matriz L 18

Imágen 4 Matriz P 18

Imágen 5 Matriz A Traspuesta 18

Imágen 6 Resultado Matriz A traspuesta * Matriz L 19

Imágen 7 Resultado Matriz (A traspuesta * Matriz L) * Matriz A 19

Imágen 8* Resultado Matriz Inversa de A traspuesta *L*A 19

Imágen 9 Matriz con valores de corrección 20

Imágen 10 Matriz cotas ajustadas 20

LISTA DE TABLAS

Tabla 1 Cartera de Nivelación 12

Tabla 2 Cartera de nivelación Línea V-10-2 - V-2 15

Tabla 3 Cartera de nivelación línea V-2 - V-7 15

Tabla 4 Datos red de nivelación 16

Tabla 5 Cota NP59CD 17



1. INTRODUCCIÓN

El control vertical es el proceso para determinar alturas (elevaciones) sobre el

nivel medio del mar. En posicionamiento terrestre con fines cartográficos no hay

problema en el hecho de que las posiciones horizontales estén referidas al

elipsoide, y las elevaciones referidas al geoide. Sin embargo la información

geodésica de precisión requiere un ajuste en la información vertical que compense

por las ondulaciones del geoide, por encima o por debajo del elipsoide, la

superficie matemática regular. El ajuste usa técnicas geodésicas avanzadas y

complejas.

La red básica de control vertical se establece usando nivelaciones geodésicas. La

densificación se realiza por métodos suplementarios. El nivel medio del mar se

usa como referencia (datum vertical) en todos los métodos. Este nivel se

determina obteniendo el promedio horario de las variaciones del agua durante un

año o más en una estación mareográfica. Existen varias técnicas de nivelación:geométrica o diferencial, trigonométrica y barométrica, y cada una genera

precisiones diferentes, siendo la primera de las citadas, la más precisa de las tres.

Para comprender de una mejor forma el proceso de nivel vertical se en este

trabajo se describirán aspectos y conceptos de este, específicamente de la

nivelación diferencial de tercer orden y su ajuste por el método de mínimos

cuadrados, la red de nivelación se realizó en la Universidad Distrital Francisco

José de Caldas, Sede El Vivero, en la ciudad de Bogotá.



2. OBJETIVOS

2.1 GENERAL

1. Ajustar una nivelación diferencial de tercer orden por el método de mínimos

cuadrados.

2.2 ESPECÍFICOS

1. Realizar el reconocimiento y estudio del terreno de las respectivas líneas a

nivelar.

2. Nivelar con los equipos apropiados y correctamente ajustados las líneas del

circuito, teniendo en cuenta los errores máximos permitidos.

3. Calcular los datos finales de la cartera y ajustar las cotas por mínimos

cuadrados.



3. MARCO TEORICO

3.1 CONCEPTOS Y DEFINICIONES

El término nivelación se aplica a cualquiera de los procedimientos a través de los

cuales se determinan elevaciones o diferencias entre las mismas

Superficie de nivel: es una superficie curva que en cada punto es perpendicular a

la línea de la plomada o sea la dirección de la gravedad. Las superficies de nivel

son de forma esferoidal y el mejor ejemplo de una de ellas es la superficie de lasaguas en reposo. Las superficies de nivel a diferentes alturas se consideran

concéntricas, en áreas localizadas. Sin embargo, debido al aplanamiento de la

Tierra en la dirección polar, las superficies de nivel entre un punto y otro no son

exactamente concéntricas.

Diferencia de nivel o de elevación entre dos puntos: es la distancia vertical entre

las superficies de nivel que pasan por cada uno de los puntos.

Línea de nivel: es una línea contenida en una superficie de nivel y que es por tanto

curva.

Plano horizontal: es un plano perpendicular a la dirección de la gravedad. En

topografía plana es un plano perpendicular a la línea de la plomada. Es un plano

tangente en un punto a una superficie de nivel.

Plano de referencia: es una superficie de nivel hacia la cual se refieren las

elevaciones.



Elevación de un punto: es la altura sobre un datum de referencia. El datum de

referencia puede ser un elipsoide(elevación elipsoidal), un geoide (elevación

ortométrica) sobre el nivel del mar o sobre una superficie de referencia definida

localmente.

Datum horizontal: es la definición matemática de una superficie desde donde las

coordenadas de un sistema cartográfico tienen su referencia.

3.2 TIPOS DE NIVELACIONES

3.2.1 NIVELACIÓN GEOMÉTRICA

Con el instrumento puesto en “estación” se hacen lecturas en dos “miras”

calibradas, en posición vertical, colocadas atrás y adelante del instrumento. La

diferencia de lecturas es la diferencia en elevación entre los puntos donde están

las miras. El instrumento óptimo usado para la nivelación consta de un nivel de

burbuja que se ajusta en posición paralela al geoide. Cuando el instrumento está

bien centrado en un punto, el telescopio tiene una posición horizontal (nivel) de

modo que puede rotar 360° libremente. En toda línea de nivelación debe

conocerse la elevación exacta de cuando menos un punto de ella para poder

determinar las elevaciones de los puntos restantes.

Figura 1 Nivelación Geométrica Simple

Fuente: http://ocw.upm.es/ingenieria-cartografica-geodesica-y-fotogrametria/topografia-ii/Teoria_NG_Tema4.pdf. Consultado el 20 de marzo de 2011, hora: 10:45 am.

http://ocw.upm.es/ingenieria-cartografica-geodesica-y-fotogrametria/topografia-ii/Teoria_NG_Tema4.pdf





3.2.2 NIVELACIÓN TRIGONOMÉTRICA

Consiste en medir un ángulo vertical desde una distancia conocida utilizando un

teodolito, calculando la elevación del punto. Con este método se pueden hacermediciones verticales al mismo tiempo que se hacen las mediciones de los

ángulos horizontales de una triangulación. Es un método más económico pero

menos preciso que la nivelación geométrica. Con frecuencia es el único método

para establecer control vertical preciso en áreas montañosas.

Figura 2 Nivelación trigonométrica

Fuente: http://www.fagro.edu.uy/~topografia/docs/nivelacion_geometrica_2006.pdf . Consultado el 20 de marzo de 2011, hora:10:45.

3.2.3 NIVELACIÓN BAROMÉTRICA

Se determinan diferencias de altura midiendo las diferencias de presiónatmosférica en varios puntos. La presión del aire se mide con barómetros de

mercurio o aneroides, o con un termómetro con punto de vapor. Aunque el grado

de precisión posible con este método no es tan grande como en los otros dos, es

el método con el que se pueden obtener rápidamente alturas relativas de puntos

http://www.fagro.edu.uy/~topografia/docs/nivelacion_geometrica_2006.pdf





muy distantes entre sí. Este método se usa ampliamente en levantamientos de

reconocimiento o exploratorio, donde se harán más tarde levantamientos de mayor

precisión o no se requieran éstos.

3.2.4 NIVELACIÓN SATELITAL

Con el surgimiento de la geodesia satelital con GPS, se efectúan lecturas que le

permiten establecer las alturas de los puntos referidas a un sistema específico de

referencia (geoide). También se puede, a partir de lecturas sobre puntos de

elevación conocida.

3.2.5 AJUSTE POR MÍNIMOS CUADRADOS

Cuando se efectúa un levantamiento de control de nivel, para establecer nuevos

puntos de nivel es común realizar crear varias rutas de llegada o redes de

nivelación. Esto permite establecer nuevos bancos de nivel usando observaciones

redundantes.

Al ajustar redes de nivelación de nivelación, la diferencia observada en elevaciónde cada línea se trata como una observación que contiene un solo error aleatorio

se escriben las ecuaciones con las elevaciones desconocidas de los bancos de

nivel implicados estos datos pueden procesarse por medio de las ecuaciones

matriciales para obtener valores ajustados de los bancos de nivel y sus

desviaciones estándar .

3.3 INSTRUMENTOS PARA NIVELACIÓN GEOMÉTRICA.

Los instrumentos para realizar nivelación geométrica son los niveles de anteojo,

de colimación manual o colimación automática. El nivel manual tiene un anteojo

topográfico y un nivel tubular adosado al mismo.



Figura 3 Antiguo nivel de plano.

Fuente: http://www.fagro.edu.uy/~topografia/docs/nivelacion_geometrica_2006.pdf Consultado el 20 de marzo de 2011, hora: 10:45.

Nivel reversible de colimación manual , es un nivel de alta precisión con el cual se

puede trabajar en dos posiciones y eliminar errores. Sin embargo, en este

momento interesa destacar un aspecto y es referente al trabajo de verificación del

estado de regulación del instrumento.

Figura 4 Nivel reversible de colimación manual,

Fuente: http://www.fagro.edu.uy/~topografia/docs/nivelacion_geometrica_2006.pdf Consultado el 20 de marzo de 2011, hora: 10:45.

Niveles automáticos, la visual o línea de colimación se nivelaautomáticamente(dentro de ciertos límites) mediante un compensador óptico o de

otro tipo, suspendido como un péndulo y que se inserta en el camino de los rayos

a través del anteojo. La burbuja del nivel circular se centra mediante el dispositivo

de nivelación, con lo cual el anteojo queda aproximadamente horizontal. Siempre

que el anteojo esté dentro de +/- 15 minutos respecto de la horizontal, el péndulo









tomará una posición vertical exacta y todo rayo luminoso horizontal que entre al

anteojo será transmitido automáticamente al centro del retículo. Los niveles de alta

precisión como los niveles para geodesia siguen siendo del tipo manual con nivel

de burbuja, es decir, no son automáticos.

Figura 5 Nivel automático

Fuente: http://www.directindustry.es/prod/topcon/niveles-automaticos-22493-51222.html. Consultado el 20 de marzo de 2011, hora: 10:50.

http://www.directindustry.es/prod/topcon/niveles-automaticos-22493-51222.html





4. CARTERAS DE CAMPO

Tabla 1 Cartera de Nivelación

N° Of Station

Thread

Reading

Back Sigth

MeanThread

Interval

Sum of

Intervals

Thread

Reading Fore

Sigth

MeanThread

Interval

Sum of

IntervalsRemarks

V-10-2 2,015 0,015

2,000 2,000 0,031

1,984 0,016

C3 4,299 0,055 0,480 0,024

4,244 4,244 0,111 0,456 0,456 0,047

4,188 0,056 0,433 0,023

V2 1,929 0,032 0,219 0,033

1,897 1,897 0,063 0,186 0,186 0,066

1,866 0,031 0,153 0,033

C2 2,893 0,053 0,415 0,0172,840 2,840 0,106 0,398 0,398 0,034

2,787 0,053 0,381 0,017

C1 1,968 0,188 0,411 0,013

1,780 1,779 0,378 0,398 0,398 0,025

1,590 0,190 0,386 0,012

V7 0,602 0,095

0,507 0,508 0,188

0,414 0,093

Σ 12,760 12,760 0,689 1,946 1,946 0,360

ΔΣ 0,000 ΔΣ 0,000

NIVELACIÓN

Fuente: Autores

En el capítulo de anexos se pueden consultar las carteras originales de campo ylos formatos de reconocimiento de campo.



5. PROCEDIMIENTOS Y RESULTADOS

Para realizar una nivelación geodésica se divide en dos trabajos, primero un

trabajo en campo y un trabajo de oficina.

5.1 TRABAJO DE CAMPO

Una brigada de nivelación está comprendida por:

1 observador

1 anotador

2 portamiras

Trabajo del observador: debe ser una persona con experiencia el cual leerá las

lecturas obtenidas del punto.

Trabajo del anotador: anotara las lecturas obtenidas por el observador, además

comprobara con operaciones aritméticas si dichas lecturas cumplen o no con losrequisitos.

Trabajo de los portamiras: materializar los cambios, portar las miras con eficacia y

conocer los requisitos del trabajo.

Procedimientos de observador

El punto donde se coloca el nivel se llama punto de estación, se debe tener en

cuenta que las distancias de lectura de las miras de vistas atrás y adelante

deberán ser relativamente similares, es decir que la mira si está a 20 metros atrás

entonces estaría situándose a unos aproximados 20 metros adelante.



El anotador llevara el formato de nivelación comprobando las lecturas obtenidas

al mismo tiempo para así determinar si dicha lectura se adapta a los estándares

de la nivelación.

Es necesario tener un orden de trabajo para así obtener mejores resultados y con

un menor tiempo.

5.2 TRABAJO DE OFICINA

Luego de obtener la nivelación se deberá realizar algunos procedimientos

aritméticos para así completar la cartera de nivelación los cuales se presentaran

a continuación.

MEAN= ∑ (de las tres lecturas de los hilos) ÷ sobre 3

Este resultado será igual a la lectura del hilo medio

TBREAD INTERVAL=∑de hilo superior –hilo medio= deberá ser iguales o +- 0.002

a la

∑ de hilo medio –hilo inferior =

SUM FO INTERCALS = ∑ de LOS TBREAD INTERVAL

COMPROBACIÓN DE LECTURAS

Se suman todas las lecturas de vistas mas (TBREAD READING BACK SIGHT) y

este resultado se divide sobre 3.

Este resultado deberá ser igual a la ∑ de los MEAN de cada lectura.

Distancia será igual a =∑ de los SUM FO INTERCALS de vistas atrás y adelante

multiplicado por la constante taquimétrica la cual es 100.



Una vez verificados los datos y sin sobrepasar los erroes máximos permitidos se

procede al ajuste de la nivelación por mínimos cuadrados.

5.3 RESULTADOS

Para el trabajo asignado de la línea V 10.2 - V 2 y V2 – V7, se obtuvieron los

siguientes datos y resultados:

Tabla 2 Cartera de nivelación Línea V-10-2 - V-2

No.

EstaciónVista Atrás Promedio Intervalo

Suma

Intervalo

Vista

Adelante Promedio Intervalo

Suma

Intervalo

No.


Suma

Intervalo

Vista


Suma

Intervalo

2,015 0,0150

2,000

1,984 0,0160

4,299 0,0550 0,480 0,0240

4,244 0,456

4,188 0,0560 0,433 0,0230

0,219 0,0330

0,186

0,153 0,0330

umatoria 6,243 2,0811 0,142 0,642 0,6423 0,1130

0,0310

0,1860 0,0660

V-10-2 1,9997

Distancia 25,5000 Diferencia de Nivel 5,6010

C3 4,2437 0,1110 0,4563 0,0470

V-2

Fuente:Autores

Tabla 3 Cartera de nivelación línea V-2 - V-7 No.


Suma

Intervalo

Vista


Suma

Intervalo

No.


Suma

Intervalo

Vista


Suma

Intervalo

1,929 0,0330

1,897

1,866 0,0330

2,893 0,0530 0,415 0,0170

2,840 0,398

2,787 0,0530 0,381 0,0170

1,968 0,1880 0,411 0,0130

1,780 0,3981,590 0,1900 0,386 0,0120

0,602 0,0950

0,507

0,414 0,0930

umatoria 6,517 6,5167 0,5500 1,304 1,3040 0,2470

C2 2,840 0,106

V2 1,897 0,066

0,1880

0,398 0,0340

C1 1,7793 0,378 0,398 0,0250

V7 0,508

Distancia 79,70* Diferencia de Nivel 5,2127

* Para el ajuste de la red el dato de la distancia de esta línea se toma de los datos proporcionados para estandarizar resultados.

Fuente: Autores



5.3.1 AJUSTE RED NIVELACIÓN

Figura 6 Gráfico Red de NIvelación

Fuente: Datos Niv Grupo II. VARGAS TORRES, Astrid.

Tabla 4 Datos red de nivelación

Línea

Desnivel Distancia Grupo

NP59CD VIVERO4 -2,656 52,6 Grupo 3

VIVERO4 VIVERO3 -5,663 89,100Grupo 5

VIVERO3 V5 20,389 134,875

V5 V6 8,5545 59,5 GRUPO 6

V6 V7 -2,036 48,7Grupo 1

V7 VIVERO 2 -5,204 75,500

VIVERO 2 V10.2 -5,601 25,5 Grupo 4V10.2 VIVERO4 -10,446 100,3 GRUPO 6

Fuente: Datos Niv Grupo II. VARGAS TORRES, Astrid.



Tabla 5 Cota NP59CDPUNTO COTA

NP59CD 2714,068 Fuente: Datos Niv Grupo II. VARGAS TORRES, Astrid.

Imágen 1 Ecuaciones de condición

1

2

3

4

5

6

7

8

COTAVIV3 + Δh3 - COTAVIV5 + V3=0





COTAVIV10-2 + Δh8 - COTAVIV4 + V8=0

COTANP59CD + Δh1 - COTAVIV4 + V1=0


ECUACIONES

Fuente: Autores

Imágen 2 Matriz A

1 2 3 4 5 6 7

1 1 0 0 0 0 0 0

2 -1 1 0 0 0 0 0

3 0 -1 1 0 0 0 0

4 0 0 -1 1 0 0 0

5 0 0 0 -1 1 0 0

6 0 0 0 0 -1 1 0

7 0 0 0 0 0 -1 1

8 1 0 0 0 0 0 -1 8x7

A

Fuente: Autores



Imágen 3 Matriz L

1 2 3 4 5 6 7 8

1 0,019 0 0 0 0 0 0 0

2 0 0,01122 0 0 0 0 0 03 0 0 0,00741 0 0 0 0 0

4 0 0 0 0,0168 0 0 0 0

5 0 0 0 0 0,020534 0 0 0

6 0 0 0 0 0 0,01325 0 0

7 0 0 0 0 0 0 0,0392 0

8 0 0 0 0 0 0 0 0,01 8x8

L Fuente: Autores

Imágen 4 Matriz P

2711,412

-5,663

20,389

8,5545

-2,036

-5,204

-5,601

-10,446 8x1

p

Fuente: Autores

Imágen 5 Matriz A Traspuesta

1 2 3 4 5 6 7 8

1 1 -1 0 0 0 0 0 1

2 0 1 -1 0 0 0 0 0

3 0 0 1 -1 0 0 0 0

4 0 0 0 1 -1 0 0 0

5 0 0 0 0 1 -1 0 0

6 0 0 0 0 0 1 -1 0

7 0 0 0 0 0 0 1 -1 7x8

At

Fuente: Autores



Imágen 6 Resultado Matriz A traspuesta * Matriz L

1 2 3 4 5 6 7 8

1 0,019 -0,011 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,0102 0,000 0,011 -0,007 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000

3 0,000 0,000 0,007 -0,017 0,000 0,000 0,000 0,000

4 0,000 0,000 0,000 0,017 -0,021 0,000 0,000 0,000

5 0,000 0,000 0,000 0,000 0,021 -0,013 0,000 0,000

6 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,013 -0,039 0,000

7 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,039 -0,010 7x8

At x L

Fuente: Autores

Imágen 7 Resultado Matriz (A traspuesta * Matriz L) * Matriz A1 2 3 4 5 6 7

1 0,04 -0,01122 0 0 0 0 -0,01

2 -0,011 0,01864 -0,0074 0 0 0 0

3 0 -0,00741 0,02422 -0,017 0 0 0

4 0 0 -0,0168 0,0373 -0,020534 0 0

5 0 0 0 -0,021 0,033779 -0,01325 0

6 0 0 0 0 -0,013245 0,05246 -0,0392

7 -0,01 0 0 0 0 -0,03922 0,0492 7X7

(At x L) X A Fuente: Autores

Imágen 8* Resultado Matriz Inversa de A traspuesta *L*A

1 2 3 4 5 6 7

1 52,6 52,6 52,6 52,6 52,6 52,6 52,6

2 52,6 126,8 104,3 94,4 86,2 73,6 69,4

3 52,6 104,3 182,5 157,6 137,1 105,4 94,7

4 52,6 94,4 157,6 185,4 159,6 119,4 105,9

5 52,6 86,2 137,1 159,6 177,9 130,9 115,1

6 52,6 73,6 105,4 119,4 130,9 148,7 129,27 52,6 69,4 94,7 105,9 115,1 129,2 134,0 7X7

((At x L) X A)-1 Fuente: Autores



Imágen 9 Matriz con valores de corrección1

1 51,507

2 -0,215

3 0,0074 0,186

5 0,027

6 0,151

7 -0,115 7X1

(At x L) X P Fuente: Autores

Imágen 10 Matriz cotas ajustadas1

VIV4 1 2711,412

VIV3 2 2705,750

VIV5 3 2726,141

VIV6 4 2734,696

VIV7 5 2732,661

VIV2 6 2727,457

VIV10-2 7 2721,857 7x1

((At x L) X A)-1 X (At x L) X P) Fuente: Autores



6. CONCLUSIONES

Uno de los métodos empleados en Topografía para el ajuste deobservaciones condicionadas es el de las ECUACIONES DE CONDICIÓN,basado en relacionar entre sí los valores obtenidos directamente de lasobservaciones topográficas de campo formulando matemáticamente entreéstos una serie de condiciones lógicas y geométricas, que darán lugar a lasllamadas ecuaciones de condición, cuya resolución nos proporcionó lascorrecciones necesarias para que las observaciones de campo cumplan

aquellas condiciones. Para efectos de la distancia de la línea V7 -v2 se tomaron los datos

proporcionados por los resultados generales de la red de nivelación, y lalínea V 2 – V 10-2 se tomó a partir de las mediciones realizadas por estegrupo.

La red de nivelación está dentro del rango permisible, pues no excede a 12mm raíz de S.

El ajuste de nivelación se realizó por el método de mínimos cuadrados.

Las líneas de nivelación tienen distancias relativamente cortas, la mayordistancia es la de vivero 3 a vivero 5 con 134.87.



7. BIBLIOGRAFÍA

• NIVELACION GEOMETRICA. En línea:

http://www.fagro.edu.uy/~topografia/docs/nivelacion_geometrica_2006.pdf. Consultado el 20 de marzo de 2011, hora: 10:45.

• TEMA 4: NIVELACIÓN GEOMÉTRICA. En línea:http://ocw.upm.es/ingenieria-cartografica-geodesica-y-fotogrametria/topografia-ii/Teoria_NG_Tema4.pdf. Consultado el 20 demarzo de 2011, hora: 10:40.

• INTRODUCCIÓN A LA APLICACIÓN DEL MÉTODO DE MÍNIMOS CUADRADOS PARA EL

AJUSTE DE REDES FOTOGRÁFICAS. MÉTODO DE LAS ECUACIONES DE CONDICIÓN. En línea:http://www.mappinginteractivo.com/plantilla-ante.asp?id_articulo=62. Consultado el20 de marzo de 2011, hora: 10:50.






http://www.mappinginteractivo.com/plantilla-ante.asp?id_articulo=62









ANEXOS



REGISTRO FOTOGRÁFICO

grupo 4

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