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Gravitación y Geometría
Marc Mars
Encuentros Relativistas Españoles, Mallorca 2006
Gravitación a principios del siglo XX
Gran éxito para describir el movimiento planetario
Isaac Newton
Ley de la gravitación universal (1685)
Detección de Neptuno
Movimiento anómalo de Urano ¿Posible planeta no detectado? Le Verrier (Adams)
Galle (1846)
Controversia Franco-Británica
¿Qué problema hay con la gravedad Newtoniana?
• Existían unas pocas observaciones sin explicar, precesión del perihelio de Mercurio
Le Verrier propuso explicar laprecesión mediante un nuevo planeta(Vulcano) muy cercano al Sol (1855)
Búsqueda infructuosa, pero no parecíaun gran problema
El problema principal era mas bien teórico: entraba en colisión conla reciente teoría de la relatividad especial de Einstein
Relatividad especial (Einstein 1905)
Postulado 1Las leyes de la naturaleza y los resultados de los experimentosfísicos son iguales en un sistema de referencia inercial y en cualquier otro que se mueva respecto a él con velocidad constante
Postulado 2 La velocidad de la luz es finita e independiente del movimiento de la fuente que la emite
Diversas consecuencias: Las partículas masivas se mueven a velocidad menor que la de la luz
No se puede transmitir información a velocidad superior a la de la luz
Sucesos que son simultáneos en un sistema de referencia, pueden dejarde serlo en otro sistema de referencia La simultaneidad
es relativaSegún la teoría Newtoniana la fuerza gravitatoria se propaga instantáneamente
Podríamos transmitir información instantáneamente
Propagación instantánea, ¿Con respecto a qué sistema de referencia?
Principio de Equivalencia
Aristóteles: Los objectos más pesados caenmás rapido que los más ligeros
Ley de caída libre de Galileo:Todos los objetos caen con la misma aceleración
Museo de la ciencia, Florencia
La campana suena cuando la bolapasa por debajo
Medición de tiempos de paso
Bolas de distinto peso y material caían igual
Apollo XV
Cámara de vacío
Principio de equivalencia de Galileo
Comprobado experimentalmente infinidad de veces
Astronautas “flotando”en el espacio Gota de agua
en caída libre
La trayectoria de un cuerpo en caída libre en el vacío depende solamente de su posición y velocidad inicial (no depende de su peso, forma, composición , color ....)
Ley de gravitación de Newton:La fuerza gravitatoria que actúa sobreun objeto es proporcional a su masa Masa gravitatoria
Una fuerza dada acelera un cuerpode forma inversamente proporcional a su masa
Masa inercial
Principio de equivalencia de Newton:
¿Por qué deberían ser iguales?
“La masa gravitatoria coincide con la masa inercial”
Justificación Newtoniana del principio de equivalencia
2ª ley de Newton:
¿Es una casualidad?
La atracción eléctrica entre cuerpos cargados depende se su carga eléctrica, nada que ver con su masa
m
Astronauta saltando: Siente la masa gravitatoria
Astronauta girando: Siente la masa inercial
m g
i
m mg = i
La “Idea Feliz” de Einstein
Es decir, mediante movimientos acelerados (caída libre) podemos dejar desentir el campo gravitatorio (peso).
En regiones del espacio suficientemente pequeñas, ningún proceso físico permitedistinguir entre un sistema de referencia acelerado sin campo gravitatorio o unsistema de referencia inercial con un campo gravitatorio.
Principio de Equivalencia de Einstein:
Extiende la equivalencia a toda la física, nosólo a la mecánica
Aceleración es equivalente a gravitación (localmente)
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Ningún experimento en suinterior puede distinguirentre si estás acelerandoen el espacio o bien enreposo en un campogravitatorio uniforme
Todos los experimentos dan resultados idénticos
Imaginemos una habitación aislada (no se puede ver el exterior) y pequeña. Supongamos quecuando dejamos un objeto este se acelera hacia “abajo” (es decir, se cae)
Principo de equivalencia:
Si un ascensor se acelera muy rápidamente y un haz de luz lo atraviesa, ¿Qué veríamos?
Principio de equivalencia: ¡Un campo gravitatorio debe curvar los rayos de luz!
Incompatible con la teoría electromagnética del siglo XIX → ¡Física nueva!
Predicción de la teoría de la Relatividad General de Einstein
Desde el ascensor veríamosque el rayo de luz se tuerce
Los rayos de luz se curvanen sistemas de referenciaacelerados
Curvatura del espacio
Trayectoria que sigue un rayo de luz en el espacio
Diversas definiciones de línea recta:
La luz se curva cuando hay un campo gravitatorio
¿Cómo puede ser si la masa m=0?
Cambio de punto de vista: La luz no securva, sino que sigue trayectorias “rectas”en un espacio que está curvado
Línea más corta que une dos puntos dados
Podemos insistir en que se desvía porqueactúa una fuerza sobre ella, pero
El principio de equivalencia (la universalidadde la fuerza gravitatoria) permite considerar a lagravedad como una deformación del propio espacio.
Gravedad como GeometríaLa masa de una planeta (o estrella) deforma elespacio (y el tiempo) y eso afecta a lamanera de moverse de los objetos
Ejemplo cotidiano:
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“Curvatura” del tiempo¿Afecta el campo gravitatorio a la forma de medir tiempo?
Para medir tiempo necesitamos algún proceso físico periódico:podemos considerar por ejemplo un láser con frecuencia definida �
¿Afecta el campo gravitatorio a la frecuencia del láser?
Gedankenexperiment
Enviamos el fotón desde la superficie de la Tierra al extremo superior de una torre
Los átomos excitados tienen más masa que los no excitados
E = M c
El átomo vuelve absorberlo cuando está arriba
¡¡Podríamos realizar trabajo sin gasto de energía,móvil perpetuo!!El fotón tiene que perder energía cuando “escala” el campogravitatorio → La frecuencia debe disminuir
El campo gravitatorio afecta tanto a la manerade medir tiempo como a la manera de medir espacio
2
¿Como podemos describir estoscambios en la geometría?
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Longitud de una curva Si hacemos las divisiones másy más pequeñas nos iremosaproximando a la longitud realde la curva
Queremos medir la longitud de cada uno de lostrozos �l
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Introducimos un sistema dereferencia cartesiano
Teorema de Pitágoras
Al afinar las divisiones
Infinitamente pequeño
Elemento de longitudEuclídea
Trayectorias sobre una superficie curva, p. ej. La Tierra
Para conocer la posición sobre la superficiesolamente necesitamos conocer dos coordenadas
Por ejemplo en la Tierra, la longitud y la latitud determinan un punto.
Decimos que el movimiento se produce sobreuna superficie de dos dimensiones
Podemos proyectar la superficie en un plano
Esta proyección produce distorsionesen las distancias
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La distancia entre dos puntos ya no será
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Mercator
RobinsonLambert
Proyección “ geográfica”
Distancias a lo largo de losmeridianos Correcta
Distancias a lo largo de losparalelos Incorrecta
La distorsión aumentaconforme nos acercamosa los polos
Existen muchas proyeccionesposibles
Cada una de ellas tendra supropia forma de medir distancias,es decir su propio dl
La trigonometría nos dice x
y
En y=0 (Ecuador) tenemosel elemento de distancia euclídeo
Cerca de los polos y= �/2dl es muy distinto al euclídeo
Decimos que cadaproyección tiene supropia métrica
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Ejemplosde geodésicas:
La luz en el espacio euclídeo se mueve siguiendo líneas rectas.
¿Como podemos definir “ línea recta” en un espacio curvado (no euclídeo)?
Dados dos puntos en la superficie, hay muchaslíneas que unen ambos puntos
La línea recta en el espacio euclídeo es la que tienelongitud menor
En superficies curvas también habrá una curva quetenga longitud menor
Curvas geodésicas
Ejemplos decurvas geodésicas
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En ausencia de gravedad la luz no solo se mueve enlínea recta, además se mueve con velocidad constante “ c”
Debemos incorporar el tiempo en la descripción
Además ya sabemos que los campos gravitatoriosafectan al transcurrir del tiempo
Para describir movimientos, dibujamos un diagrama espacio-temporal en el que la posición en el espacio se representa en los ejes horizontales y el instante de tiempo en el eje vertical
Diagrama espacio-temporal
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La luz se mueve en línea recta y a velocidadconstante en el espacio (sin gravedad). Su diagrama espacio-temporal será una recta.Como se puede mover en cualquier direccióntendremos un cono El cono de luz
Órbita de la Tierra alrededor del Sol
La órbita regresa al mismo punto del espacio (respecto al Sol) después de un año
Los tiempos de salida y de llegada son distintos(ha pasado un año). no está en el mismopunto del espacio-tiempo
La inclinación es la velocidad de la luz
tiempo
posición
La órbita en el diagrama espacio-temporalno se cierra, porque el tiempo no se puededetener, siempre avanza
Ninguna partícula se puede mover más rápido quela luz todas las trayectorias de los objetosquedarán dentro del cono de luz
En el espacio euclídeo, las partículas libres (sobre las que no actúa ninguna fuerza)se mueven en línea recta y a velocidad constante.
Estas curvas en el espacio-tiempo no minimizan distancia sinoel llamado “ intervalo espacio-temporal”
Aunque espacio y tiempo están unidos el espacio-tiempo, el signo menos en esteintervalo es el que permite finalmente distinguir tiempos de espacios.
Para dos sucesos muy cercanos, podemos calcular ds
Puntos A y B
Si ds es negativo, los sucesos estanseparados temporalmente, y ds mide el intevalode tiempo que transcurre entre ambos
Si ds es positivo, los sucesos estanseparados espacialmente, y ds mide la distanciaque hay entre ambos
Puntos A y C
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2
2
2
2
Si ds=0, los sucesos están separados luminosamente.Existe un rayo de luz que une ambos sucesos. Entre ambosno hay separación ni temporal ni espacial
A y cualquier punto encima del cono
2
Determinar ds involucra conocer10 funciones
$\alpha, \beta =0,1,2,3$
10 potenciales gravitatorios
Los campos gravitatoriosmodifican las trayectoriasde la luz
Los conos de luz se puedendeformar, inclinar de maneradistinta en cada sucesodel espacio-tiempo
Conocer el campo gravitatorioconsiste fundamentalmente enconocer los conos de luz en cadasuceso
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Para ello necesitamos conocer dsen cada suceso del espacio-tiempo
Con ello conocemos completamente lamanera de medir distancias, tiemposy las trayectorias de la luz
Métrica espacio-tiempo = Campo gravitatorio = Geometría espacio-temporal
2
2
Lentes gravitatorias
Los campos gravitatoriosdesvían la luz
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Igual que las lentes ópticas
No sólo se modifica laintensidad de la fuente,y se desplaza, tambiénpueden aparecer:
•Imágenes múltiples•Anillos•Arcos
Cúmulo Abell 2218
Copyright – A. Fruchter (STScI)
Copyright – Charles R Evans (UNC)
Copyright – J. Rhoads, WIYN
Einstein Ring
Copyright – L. J. King (U. Manchester)
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