Determinacion de alta exactitud del centro de gravedad para pesas de diferentes

simetrıas

Jhon Escobar

Laboratorio de MasaGrupo de trabajo de Metrologıa

Superintendencia de Industria y Comercio, Bogota D.C.

Marzo 15 de 2010

Resumen

El desconocimiento de la localizacion del centro de gravedad dentro de la metrologıa de masa de alta exactitud es una de lasfuentes de error al momento de determinar la masa de un objeto de prueba, en particular cuando este ultimo y el patron detrabajo difieren en su forma geometrica, de allı que se vuelva necesario el desarrollo de un metodo para calcular dicho valor.Siguiendo esta idea, diversos laboratorios de masa como los ubicados en el Bureau International des Poids et Mesures (BIPM)o el Centro Nacional de Metrologıa de Mexico (CENAM) implementaron un metodo para conocer la ubicacion del centro degravedad con una incertidumbre del orden de los micrometros. En este trabajo se presenta un montaje experimental similaral propuesto en el BIPM y el CENAM y se calcula el centro de gravedad de varios objetos de prueba, algunos de ellos congeometrıa cilındrica y uno de ellos con simetrıa de cuello y cabeza de boton cuyo centro de gravedad se conoce por documentoanexado al certificado de calibracion. Finalmente se analiza la aplicabilidad del metodo propuesto y su implementacion en elLaboratorio de Masa de la SIC.

1. Introduccion

1.1. ¿Como calcular el centro de masa de unobjeto?

El centro de masa de un conjunto de partıculas o de cuerposextendidos se entiende como un punto en donde se consideraque la masa total del sistema se encuentra concentrada y todaslas fuerzas externas actuan sobre el [1]. Este concepto es degran utilidad a nivel operativo en fısica debido a que permiterealizar calculos relacionados con la cinematica y la dinamicade sistemas de partıculas o de cuerpos rıgidos de manera agil ysencilla.

Antes de mostrar una forma teorica para calcular el centro demasa de un objeto debe hacerse claridad frente a los conceptosde centro de masa y centro de gravedad, siendo este ultimo eltermino importante durante el desarrollo del presente trabajo.En la mayorıa de textos los terminos centro de masa y cen-tro de gravedad son usados de manera indistinta debido a quela gravedad puede ser considerada uniforme1. Sin embargo, enproblemas en donde las dimensiones del objeto de estudio sontan grandes que el vector gravedad no puede ser consideradoconstante (es decir, el no paralelismo de las lıneas del campo

gravitacional no puede ser considerado despreciable), la posi-cion del centro de gravedad cambia ligeramente con respectoal centro de masa del sistema, y por lo tanto ambos conceptosdeben ser diferenciados2. En las paginas siguientes, y tenien-do en cuenta que la gravedad puede ser considerada uniforme,los terminos de centro de masa y centro de gravedad van a serequivalentes y por lo tanto seran usados de manera indistinta.

Figura 1.1. Sistema extendido en un sistema de coordenadas cartesiano.(Imagen tomada de [1].)

Para calcular el centro de masa de un cuerpo extendido,supongamos que este es dividido en N elementos de masa. Si rj

1Una forma de visualizar el concepto gravedad uniforme se obtiene al suponer que el no paralelismo de las lıneas de campo gravitacional esconsiderado despreciable para el problema de estudio.

2Para una discusion mas detallada se recomienda al lector ver [2], cap. 19.

1

es la posicion de la j-esima partıcula y mj es su masa, entoncesel centro de masa del sistema se puede escribir como

R =1M

N∑j=1

mjrj (1)

Tomando el lımite en el cual N tiende a un valor infinito, lasumatoria mostrada en la ecuacion (1) se transforma en unaintegral, por lo tanto se tiene

R =1M

∫rdm (2)

Ahora bien, para visualizar mejor esta integral, supongamosque el elemento de masa mostrado en la figura 1.1 tiene un vo-lumen dV , entonces para un objeto con una densidad ρ tenemosdm = ρdV , y la ecuacion (2) se reescribe como

R =1M

∫rρdV (3)

De esta ultima ecuacion vemos dos cosas: primero, el calcu-lo del centro de masa implica el desarrollo de una integral devolumen que, para objetos no simetricos, puede llegar a serbastante complicada de resolver de manera exacta; segundo, laubicacion del centro de masa depende en gran medida del tipode material usado para la fabricacion del objeto de estudio,esto debido a que si la densidad del mismo no es uniforme laintegral de la ecuacion (3) puede ser complicada de calcular.Para el caso especıfico de las pesas usadas como patrones demedicion en los laboratorios de masa, la geometrıa y densidadde estas esta muy bien determinada (es decir, la densidad delas pesas patron puede ser considerada uniforme)3, de allı queesta expresion llegue a ser bastante util en el calculo teoricodel centro de masa para pesas patron. El calculo del centro demasa para objetos de alta simetrıa como discos, laminas, cilin-dros o esferas es bastante sencillo de realizar debido a que paraeste tipo de objetos el centro de masa va a estar ubicado sobreel eje de simetrıa principal y a la mitad de la altura total delcilindro, luego

h =H

2(4)

1.2. Centro de gravedad en metrologıa demasa de alta exactitud

En metrologıa de masa de alta exactitud, cuando se real-iza la comparacion de dos patrones de masa, la diferencia en lageometrıa o en la densidad de estos hace que en general varıe laposicion del centro de gravedad de estos cuerpos, y por lo tan-to se deba hacer una correccion debida al gradiente vertical delcampo gravitacional terrestre [4, 5]. Tomando como referencia[6], el termino de correcion viene dado por la expresion

−∂g

∂hH = 3, 086× 10−6H (5)

en donde la constante tiene unidades de [m s−2m−1]. Este val-or muestra que, para una diferencia de altura de centros degravedad de 1 cm se tiene un gradiente gravitacional igual a3,086×10−8 m s−2, lo cual implica una correccion de aproxi-madamente 3 µg para dos patrones de 1 kg [4, 5]. Cabe notarque el valor del gradiente gravitacional dado por la ecuacion(5) es una aproximacion teorica en la cual se ha supuestoque el planeta es un cuerpo solido de densidad uniforme cuyomovimiento de rotacion se da a una velocidad constante, porlo tanto este valor va a cambiar para cada lugar de la tierradependiendo de las condiciones geologicas y la latitud del ter-reno donde se ubique el laboratorio de calibracion, de allı quesea necesario calcular este termino de manera experimental.Un ejemplo de esto se observa en el laboratorio de masa delInstituto Nacional de Metrologıa de Brasil INMETRO, el cualreporta un valor local del gradiente gravitacional igual a 1,9×10−6 m s−2m−1, que implica correcciones del orden de 2,9µg para la comparacion entre su patron de 1 kg de Pt-Ir y pe-sas con la geometrıa referenciada en [3], y del orden de 1,6 µgpara la comparacion entre su patron de Pt-Ir y una pesa congeometrıa cilındrica [7]. Un ejemplo de mediciones realizadascon el valor teorico del gradiente gravitacional dado por [6] seobserva en [8], en el cual se hacen correciones de hasta 50 µga la diferencia en masa para comparaciones entre pesas patrony combinaciones de masas patron. Ejemplos como estos mues-tran claramente la importancia de la determinacion del centrode gravedad de una pesa en el contexto de la metrologıa demasa de alta exactitud.

2. Equipo y principio de operacion

2.1. Equipo

El montaje disenado para este experimento, el cual fue de-sarrollado e implementado en el BIPM [4] y el CENAM [5] (verFig. 2.1), consta de las siguientes partes:

Un puente rectangular fabricado en bronce con una hen-didura en forma de cuna a todo lo largo de este; dichopuente es acoplado en sus extremos a dos barras fabri-cadas tambien en bronce y cuyos extremos inferiores sondisenados en forma de cuchilla. El puente es representadopor la letra C en las figuras 2.1 y 2.2.

La longitud de este puente fue determinada en el Labora-torio de Metrologıa Dimensional de la Superintendenciade Industria y Comercio (SIC) usando una maquina decoordenadas, obteniendose

L = (150, 027± 0, 031) mm (6)3Ver [3], Anexo A y numeral 10

2

El factor de cobertura usado es k=2.

Una columna de altura variable y fabricada en acero, quees usada como soporte para el puente y ası poder nivelarla altura a la cual el puente va a estar colocado. Esta esrepresentada mediante la letra B en las figuras 2.1 y 2.2.

Como instrumento de pesaje es usado una balanza Me-ttler Toledo modelo PB4002-S/FACT, el cual tiene uncapacidad de medicion maxima de 3100 g y una resolu-cion de 0,01 g; en las figuras 2.1 y 2.2 es representadomediante la letra A.

Figura 2.1. Montaje experimental (posicion 1).

2.2. Principio de operacion

Colocando el objeto de prueba (el cual es identificado co-mo D) en la posicion indicada en la figura 2.1, y aplicando lasecuaciones de equilibrio estatico y rotacional para el sistemaconformado por la pesa, el puente y ambos objetos a la vez4 seobtiene la expresion

h =(m0 −m1)

m0L + d tanβ (7)

donde h representa la altura del centro de gravedad5, m0 es lamasa del objeto de prueba, m1 es la indicacion del instrumentode pesaje cuando el objeto de prueba es colocado en dicha posi-cion, L es la longitud de la barra, d es la distancia del centrode gravedad al eje x, y β es el angulo formado por el platillodel instrumento de pesaje y el eje x.

Figura 2.2. Montaje para la posicion 2.

Ahora bien, cambiando el objeto de prueba a la posicionmostrada en la figura 2.2 y realizando el mismo procedimiento,se obtiene

h =m2

m0L− d tanβ (8)

donde m2 es la indicacion del instrumento cuando el objeto deprueba es colocado en dicha posicion. Combinando las ecua-ciones (7) y (8) se llega a la expresion

h =[(m0 −m1 + m2)

m0

]L

2(9)

Con respecto al resultado obtenido en la ecuacion (9) debe no-tarse que, aunque no aparece explıcitamente el valor del anguloβ, existe una contribucion al error en la medicion del centro degravedad del objeto de prueba asociado al valor de este angulo.Como ejercicio, supongase que β = 0, con esto el valor de lamasa de la pesa debe ser igual a la suma de las marcaciones delintrumento de pesaje en las posiciones 1 y 2, esto es

m0 = m1 + m2 (10)

Bajo esta condicion es claro que las ecuaciones (7) y (8) sereescriben como

h1 =(m0 −m1)

m0L (11)

h2 =m2

m0L (12)

En estas ecuaciones, h1,2 representa la posicion del centro degravedad obtenido en la posicion 1,2. Bajo este resultado, esclaro que la ecuacion (9) puede ser entendida como un prome-dio de los valores de h1,2 bajo la suposicion β = 0.

4Se ha tomado como origen de coordenadas el punto de contacto de la cuchilla y el platillo del instrumento de pesaje, con el eje x paralelo al puente,sobre el eje definido por las cuchillas del puente.

5Medida desde la base del objeto de prueba

3

3. Procedimiento y resultados

3.1. Procedimiento

El experimento consta de tres fases:

La primera fase tiene en cuenta la colocacion del puente.Una de las cuchillas del puente debe ser ubicada en elcentro del platillo de la balanza, y la otra cuchilla es ubi-cada sobre la columna de altura variable. Una vez hechoesto, se debe tratar que las dos cuchillas queden ubicadasa la misma altura con el fin de evitar al maximo una con-tribucion al error en el calculo de la altura del centro degravedad debido a la elevacion del puente, tal como sedescribio en la seccion anterior.

La colocacion de la cuchilla en el centro del platillo tam-bien es otro factor que debe tenerse muy en cuenta, estodebido a que si esta condicion no se cumple deben imple-mentarse correcciones relacionadas con la excentricidadde la balanza. Esta contribucion al error puede ser mini-mizada tomando la lectura de cero antes de cada medi-cion.

Una vez el puente este nivelado, la balanza se pone encero6 y luego se coloca el objeto de prueba, tal como semuestra en la figura 2.1, una vez se ha tomado la lecturarespectiva se anota la lectura de cero.

Despues de hacer lo anterior, vuelve y se coloca el objetode prueba, esta vez como se muestra en la figura 2.2, seanota la indicacion respectiva y al retirarse el objeto deprueba se registra nuevamente la lectura del cero.

Se usaron seis objetos de prueba para hacer este experimento:

Una pesa con geometrıa cilındrica, masa nominal 1 kg yfabricada en bronce (pesa 1).

Dos pesas con geometrıa cilındrica, masa nominal 1 kg yfabricadas en acero inoxidable (pesas 2 y 3)

Una pesa con geometrıa cilındrica, masa nominal de 100g y fabricada en bronce (pesa 4).

Una pesa con geometrıa cilındrica cuyas dimensiones sonsimilares al patron internacional de masa localizado enParıs, esta pesa esta fabricada con acero inoxidable7, porlo tanto su masa no es de 1 kg (pesa 5)8.

Por ultimo, se uso una pesa de masa nominal 1 kg congeometrıa de cuello y cabeza de boton cuya altura y cen-tro de gravedad es conocido por documento de la MettlerToledo anexo al certificado de calibracion, esta pesa seidentifica como PTB-00206.

Con estas pesas es posible hacer un analisis sobre que tan confi-able es este metodo en la determinacion de la altura del centrode gravedad de una pesa y cual es el error intrınseco en lamedida debido a todas las variables que se discutieron ante-riormente. La altura total de las pesas cilındricas fue medidaen el Laboratorio de Metrologıa Dimensional de la SIC, y la al-tura del centro de gravedad para estas pesas se supone conocidousando la ecuacion (4).

Pesa Masa H UH (k=2) h

1 1 kg - 20,64 mg 65,873 mm 0,037 mm 32,936 mm

2 1 kg - 13,35 mg 70,032 mm 0,018 mm 35,016 mm

3 1 kg - 631,01 mg 70,560 mm 0,039 mm 35,280 mm

4 100 g - 2,01 mg 31,214 mm 0,015 mm 15,607 mm

5 364,15592 g 39,325 mm 0,032 mm 19,662 mm

PTB-00206 1 kg - 0,21 mg 80,300 mm - 36,258 mm

Tabla 3.1. Informacion basica de las pesas usadas en el experimento. El termino H hacereferencia a la altura total de la pesa.

Durante el experimento se realizaron 10 series de datos, cadauna de estas consta de 30 datos tomados para las posiciones 1y 2 mas las lecturas del cero anotadas antes de la lectura enestas dos posiciones, lo cual nos da un total de 120 datos porcada serie.

3.2. Resultados

Para la determinacion del centro de gravedad de las pesas1 a 5 y PTB-00206 se realizaron los siguientes pasos: para cadadato registrado en las posiciones 1 y 2 se realizo la correciondebido al empuje del aire y luego, usando la ecuacion (9) secalculo h, por lo tanto se tienen 30 valores de h por cada se-rie de medicion; de esta forma, el valor del centro de gravedadcalculado viene dado por el promedio de estos 30 valores. En latabla 3.2.1. se observan los resultados del centro de gravedad yla desviacion estandar obtenidos para cada una de las pesas deprueba.

3.2.1. Incertidumbre tipo A

Como se observa en las tabla 3.2.1, se tienen 10 valores deh asociados a cada serie, por esto la incertidumbre tipo A escalculada como la raız de la suma cuadratica de la desviacionestandar obtenida para cada una de las series dividida entre laraız del numero total de series, luego

uA =

√u2

1 + u22 + · · ·+ u2

10√N

6Es decir, se tara.7Debe recordarse que fue usada una aleacion de platino e iridio para fabricar el patron internacional de masa. La gran diferencia en densidad entre

la aleacion de Pt-Ir (ρ=21400 kg m−3) y el acero inoxidable (ρ=8000 kg m−3) es la responsable directa de la diferencia en masa entre el patroninternacional y el cilindro usado en el experimento.

8Las pesas 2, 3 y 5 fueron disenadas y fundidas en Colombia por Produpesas.

4

Numero de Pesa 1 Pesa 2 Pesa 3 Pesa 4 Pesa 5 Pesa PTB-00206

serie h (mm) uh (mm) h (mm) uh (mm) h (mm) uh (mm) h (mm) uh (mm) h (mm) uh (mm) h (mm) uh (mm)

1 33,236 0,007 35,457 0,009 35,725 0,035 15,924 0,015 20,089 0,004 36,551 0,002

2 33,235 0,011 35,458 0,009 35,733 0,027 15,897 0,006 20,093 0,004 36,552 0,003

3 33,248 0,013 35,455 0,008 35,743 0,019 15,935 0,014 20,094 0,004 36,557 0,002

4 33,247 0,010 35,457 0,010 35,725 0,027 15,929 0,006 20,094 0,006 36,535 0,004

5 33,214 0,012 35,458 0,009 35,722 0,033 15,929 0,012 20,095 0,005 36,528 0,005

6 33,207 0,004 35,458 0,009 35,723 0,035 15,917 0,010 20,094 0,005 36,525 0,003

7 33,214 0,005 35,457 0,010 35,730 0,040 15,943 0,010 20,109 0,008 36,529 0,005

8 33,213 0,004 35,459 0,011 35,723 0,038 15,932 0,007 20,100 0,005 36,539 0,004

9 33,204 0,005 35,460 0,008 35,728 0,032 15,945 0,012 20,105 0,006 36,530 0,004

10 33,213 0,003 35,458 0,010 35,731 0,039 15,962 0,017 20,106 0,005 36,533 0,004

Tabla 3.2.1. Datos obtenidos para la pesas 1 a 5 y PTB-00206.

3.2.2. Incertidumbre tipo B

Las componentes de incertidumbre tipo B que se evaluaronson:

Incertidumbre asociada a la masa de prueba (um0).

Para la pesa PTB-00206 se uso el valor de incertidumbreincluido en su certificado de calibracion, mientras que laspesas 1 a 5 fueron calibradas en el Laboratorio de Masade la SIC y a partir de la incertidumbre calculada enla calibracion se determino que podıa ser usado un val-or de incertidumbre correspondiente a pesas clase M1 deacuerdo con [3], tabla 1. Debido a que en esta tabla semuestran las incertidumbres expandidas para estas pesascon un factor de cobertura k=2, es claro que um0 vienedado por

um0 =Um0

2

Incertidumbre asociada a la longitud del puente (uL)

Esta termino viene dada por la expresion

uL =UL

2

donde UL es la incertidumbre expandida del puente re-portada en la ecuacion (6).

Incertidumbre asociada a la resolucion de la balanza(ures)

Para calcular la contribucion a la incertidumbre por re-solucion de la balanza, se siguio la indicacion de [3],ecuacion C.6.4-2, la cual es de la forma

ures =d

2√

3

donde d representa la resolucion de la balanza. Para estecaso, se obtiene ures=0,003 g.

Incertidumbre asociada al empuje del aire (ua)

La ecuacion usada para evaluar este tipo de incertidum-bre esta dada por

u2a = ρ2

a[(2× 104)2 + (3, 4× 103uT )2 + (10−3uP )2

+ (9× 10−5uHrel)2] (13)

donde uT , uP y uHrelson las desviaciones estandar cor-

respondientes a la medicion de temperatura, presion yhumedad relativa durante la toma de datos, y sus valoresvienen dados por:

uT = 0, 5◦CuP = 0, 3 mbar

uHrel= 1, 96 %

Estos datos son tomados de certificados de calibracion ex-pedidos por la SIC. Con estos datos y usando la ecuacion(13), la contribucion por efecto del empuje del aire esua = 0, 00155 mg/cm3.

A partir de esto, la expresion para el calculo de la incertidumbretipo B es de la forma

u2B =

[L(m1 −m2)

2m20

]2

u2m0

+[m0 −m1 + m2

2m0

]2

u2L+2

[L

2m0

]2

χ2

donde el termino χ2 viene dado por

χ2 = (V ua)2 + u2res

siendo V el volumen de la pesa. De este modo, la desviacionestandar combinada es calculada a partir de la expresion

uc =√

u2A + u2

B

5

En la tabla 3.2.2 se observan los valores de la altura del centrode gravedad calculado para cada pesa, su incertidumbre ex-pandida con factor de cobertura k=2 y el error obtenido en elcalculo del centro del centro de gravedad con respecto al valorteorico reportado en la tabla 3.1.

Pesa h(mm) Uh (mm) Error (mm)

1 33,223 0,017 0,287

2 35,458 0,020 0,442

3 35,728 0,068 0,448

4 15,931 0,025 0,324

5 20,098 0,011 0,436

PTB-00206 36,538 0,011 0,280

Tabla 3.2.2. Centro de gravedad promedio e incertidumbre expandida calculado para cadauna de las pesas.

En los resultados mostrados en la tabla 3.2.2 se pueden vercosas muy interesantes; primero, a partir de lo comentado en laseccion 3.1, es posible clasificar las pesas usadas en tres gruposque son: dos pesas de bronce, tres pesas de acero inoxidable fa-bricadas en Colombia y una pesa de acero inoxidable fabricadaen Alemania. Al observar el error calculado en la determinaciondel centro de gravedad se nota que para las dos pesas de broncese obtiene un error del orden de los 300 µg, y para las tres pesasde acero inoxidable colombianas se obtiene un error del ordende los 440 µg, lo cual, junto con el error obtenido para la pesaPTB-00206, muestra que la densidad de las pesas juega un fac-tor determinante en el calculo del centro de gravedad de estas.Ahora bien, es razonable pensar que la diferencia en el errorcalculado entre las pesas colombianas y la pesa PTB-00206 re-fleja la diferencia en densidad entre el tipo de acero usado en lafabricacion de estas pesas, y lleva a pensar que el acero usadopara fabricar las pesas colombianas es menos homogeneo en suestructura con respecto al acero aleman.

Ahora bien, es claro que el metodo usado muestra un error sis-tematico en la medicion del centro de gravedad, error que puedeatribuirse a factores tales como:

La condicion β = 0 no se cumple de manera exacta.

Al colocar y retirar la pesa, la cuchilla ubicada sobre elplatillo de la balanza alcanza a moverse un poco, lo cualse evidencia en un cambio en la lectura del cero.

La cara inferior de las pesas de acero inoxidable no estotalmente plana, por el contrario tiene un pequeno su-midero en forma de cuna y por lo tanto hace que el centrode gravedad del objeto se desplace un poco con respectoa su valor teorico.

Las caras internas del puente no son lo suficientementeplanas, causando que la cara inferior de las pesas no quedeen contacto pleno con el puente, generando ası pequenosdesplazamientos en la posicion del centro de gravedad conrespecto al eje principal del montaje experimental.

Finalmente, aunque la incertidumbre en la determinacion delcentro de gravedad es muy buena (del orden de las decenas

de micrometros), lo cual evidencia la eficiencia del metodo em-pleado para determinar esta variable, tambien es cierto que laaplicabilidad de este metodo puede ser cuestionable desde elpunto de vista de la cantidad de mediciones que se llevaron acabo. En los datos reportados en [5] se obtienen valores de in-certidumbre del mismo orden obtenido en este trabajo con unacantidad mucho menor de mediciones, esto debido a que en [5]se uso un instrumento de pesaje con una resolucion de 1 mg,mientras que en el presente trabajo se uso una balanza con unaresolucion de 100 mg. Esto hace ver que, si se llega a disponerde una balanza con una mejor resolucion es posible realizar uncalculo del centro de gravedad con una buena precision y conun numero menor de mediciones por pesa, lo que implica unamejor aplicabilidad de este metodo en el Laboratorio de Masa.

4. Conclusiones

Se observo que el montaje experimental implementado parala determinacion de la posicion del centro de gravedad para pe-sas con simetrıa cilındrica y con cuello y cabeza de boton semanejan incertidumbres en el calculo del orden de los micro-gramos, sin embargo se nota la existencia de un error intrınsecoen la medicion con respecto al valor teorico del mensurando quepuede ser atribuido a diversos factores asociados tanto a la ca-lidad de las pesas (homogeneidad en la densidad de estas y elacabado superficial de las mismas), y al montaje experimentalen sı (resolucion del instrumento de pesaje usado, calidad enel diseno del puente, movimientos de la cuchilla del puente quedescansa sobre el platillo de la balanza y la condicion de β=0);se estima que mejorando estos factores se puede reducir el errorintrınseco en el calculo de la posicion del cento de gravedad yse puede mantener el mismo rango de incertidumbre con unnumero menor de mediciones por pesa.

Las ideas mencionadas anteriormente muestran que, una vezmejorado el montaje experimental teniendo en cuenta los prob-lemas antes mencionados, y aprovechando la sencillez del mon-taje experimental, la posibilidad de implementar el calculo dela posicion del centro de gravedad es totalmente viable en elLaboratorio de Masa, todo esto con el objetivo de introduciren el calculo de error en masa el termino de correccion por gra-diente gravitacional terrestre. La introduccion de este factor decorreccion es de vital importancia al momento de realizar in-tercomparaciones con otros institutos nacionales de metrologıa,para la ampliacion del rango de acreditacion ante el DeutscheAkkreditierungsstelle (DAKKS), para la calibracion de pesasclase E1, de acuerdo a lo establecido en la OIML R-111, y paramejorar la calidad del servicio prestado por el laboratorio.

Referencias

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6

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