GRAFICOS DE CONTROL

JESSIKA LORENA LARROTTA

DORELLY ISABEL MATEUS

MARIA HELENA VARGAS

Gráficos de Control

Concepto:

Herramienta estadística utilizada para detectar variaciones de la calidad de un producto, durante un proceso de fabricación.

Causas de las variaciones

• Causas no asignables o aleatorias: debidas al azar, no son identificables, no pueden ser reducidas o eliminadas.

Producen variaciones pequeñas.

• Causas asignables: identificables y que deben ser eliminadas. Producen variaciones grandes.

Un gráfico de control permite identificar causas asignables y determinar si un proceso está bajo o fuera de control.

Bajo control: trabaja en presencia de variaciones aleatorias.

Fuera de control: hay variaciones debidas a causas asignables.

Estructura de un gráfico de control.

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 21 23 25

Número de muestra

Car

acte

ríst

ica

de

cali

dad

Límite superior de control

Línea

central

Límite inferior de control

Gráficos de Control por variables

Gráficos - R

Se utilizan cuando la característica de calidad quese desea controlar es una variable continua.

Se requieren N muestras de tamaño n.

• Los gráficos X − R se utilizan para controlar dosparámetros básicos de un proceso: la media y ladispersión. Para determinar si un proceso está ono bajo control conviene utilizar los dos gráficos.

x

CONSTRUCCIÓN DE LOS GRÁFICOS -R.

Paso 1. Calcular media y rango para cada muestraNo. muestra Mediciones

1 2 3 4 5 6 R

1 50.04 50.08 50.09 50.1 50.24 50.04 50.1 0.2

2 50.14 49.97 50.07 49.97 50.03 50.1 50.05 0.17

3 49.99 50.13 50.18 50.04 50.08 50.08 50.08 0.19

4 50.03 50.18 50.08 50.08 50.01 50.12 50.1 0.15

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.30 49.98 50.08 50.08 50.03 50.08 50.1 50.06 0.12

x

x

Paso 2. Calcular la media de medias y la media de los rangos.

R = (Máx Xi − Mín Xi)

N

XX

i

iX: media de la muestra i

N : número de muestras

N

RR

i

Ri : cantidad de muestras

Paso 3. Cálculo de los límites de control.

Límites de control para el gráfico

RA2XLSC

XCentralLínea

x

RA2XLIC

Límites de control para el gráfico R

RLSC 4D

RCentralLínea

RLIC 3D

TABLA

Factores críticos de las gráficas o cartas de control

Gráfica para

medias Gráfica para rangos Factor para el Factor para

límite de control la recta central Factores de los límites de controln A2 = 3/( d2√ ) d2 D3 = 1-3(d3/ d2) D4 = 1+3(d3/ d2) d3 2 1,881 1,128 -1,267=0 3,267 0,8525 3 1,023 1,693 -0,574=0 2,574 0,8884 4 0,729 2,059 -0,282=0 2,282 0,8798 5 0,577 2,326 -0,114=0 2,114 0,8641 6 0,483 2,534 -0,004=0 2,004 0,8480 7 0,419 2,704 0,076 1,924 0,8330 8 0,373 2,847 0,136 1,864 0,8200 9 0,337 2,970 0,184 1,816 0,8080 10 0,308 3,078 0,223 1,777 0,7970 11 0,285 3,173 0,256 1,744 0,7870 12 0,266 3,258 0,284 1,716 0,7780 13 0,249 3,336 0,308 1,692 0,7700 14 0,235 3,407 0,329 1,671 0,7620 15 0,223 3,472 0,348 1,652 0,7550 16 0,212 3,532 0,364 1,636 0,7490 17 0,203 3,588 0,379 1,621 0,7430 18 0,194 3,640 0,392 1,608 0,7380 19 0,187 3,689 0,404 1,596 0,7330 20 0,180 3,735 0,414 1,586 0,7290 21 0,173 3,778 0,425 1,575 0,7240 22 0,167 3,819 0,434 1,566 0,7200 23 0,162 3,858 0,443 1,557 0,7160 24 0,157 3,895 0,452 1,548 0,7120 25 0,153 3,931 0,459 1,541 0,7090

Ejemplo ilustrativo

Una fábrica elabora planchas de madera para tapas de mesas, las

cuales deben cumplir ciertas especificaciones de tamaño. Para

garantizar que se cumplan estos estándares de calidad, se

recolecta N= 24 muestras (subgrupos) de tamaño n = 6, y mide su

largo. Los resultados aparecen en la siguiente tabla:

a) Calcular el rango promedio

b) Calcular el límite superior de control para el rango

c) Calcular el límite inferior de control para el rango

d) Elaborar la gráfica R.

e) Calcular

f) Calcular el límite superior de control para las medias

g) Calcular el límite inferior de control para las medias

h) Elaborar la gráfica

Solución:

Calculando manualmente el rango se obtiene:

Recuerde que el rango es igual al valor mayor menos el valor

menor, es decir: R= Xmáx- Xmin

x

x

Nº DE

MUESTRA MEDIAS MUESTRALES R

1 14,5 15,9 15,7 16,3 14,5 16,2 1,8

2 15,4 15,2 15,9 15,2 14,5 14,5 1,4

3 16,5 15,9 14,8 16,2 16,5 16,2 1,7

4 14,8 16,8 15,5 15,2 15,2 14,2 2,6

5 15,7 14,5 16,9 14,2 14,5 15,2 2,7

6 15,9 15,4 17,1 14,8 16,8 14,8 2,3

7 15,2 14,2 18,5 15,8 15,9 15,7 4,3

8 14,5 14,8 17,2 16,2 15,0 16,8 2,7

9 15,6 15,7 19,2 16,1 16,8 15,9 3,6

10 16,5 16,8 18,4 14,8 18,9 16,1 4,1

11 14,5 15,8 14,2 14,5 18,7 16,3 4,5

12 17,1 15,8 16,2 15,4 15,7 16,2 1,7

13 18,5 15,9 17,2 14,2 15,9 14,7 4,3

14 17,2 15,7 16,8 14,8 14,8 14,9 2,4

15 19,2 15,7 15,9 15,7 15,5 14,8 4,4

16 18,4 16,8 15,0 16,8 16,9 14,7 3,7

17 14,2 16,9 16,8 15,8 17,1 15,4 2,9

18 16,2 17,2 18,9 15,8 18,5 18,9 3,1

19 17,2 17,6 18,7 15,9 17,2 16,0 2,8

20 16,8 14,5 19,8 15,7 18,2 18,7 5,3

21 15,9 17,9 18,7 15,7 18,4 17,5 3,0

22 15,0 18,0 18,2 16,8 14,2 17,8 4,0

23 16,8 18,9 20,0 16,9 16,2 18,5 3,8

24 18,9 17,9 17,4 17,5 17,2 16,5 2,4

Total 75,5

a) Calculando el rango promedio se tiene: R= ∑R = 75.5 =3.146

N 24

b) Calcular el límite superior de control para el rango con la lectura en la tabla

para n = 6 se obtiene D4= 2.004

Calculando el límite superior se obtiene: LSCR =D4R = 2.004* 3.146 = 6.3

c) Calcular el límite inferior de control para el rango con la lectura en la tabla

para n = 6 se obtiene D3=0

Calculando el límite inferior se obtiene: LICR= D3R = 0* 3.146 =0

Interpretación: Observando la gráfica se concluye que la misma está bajo control, ya que no existen variaciones de causa asignable, es decir, no existe ningún punto que se salga de los límites de control.

e) Calculando se obtiene: x

Nº DE

MUESTRA MEDIAS MUESTRALES 1 14,5 15,9 15,7 16,3 14,5 16,2 15,52 2 15,4 15,2 15,9 15,2 14,5 14,5 15,12 3 16,5 15,9 14,8 16,2 16,5 16,2 16,02 4 14,8 16,8 15,5 15,2 15,2 14,2 15,28 5 15,7 14,5 16,9 14,2 14,5 15,2 15,17 6 15,9 15,4 17,1 14,8 16,8 14,8 15,80 7 15,2 14,2 18,5 15,8 15,9 15,7 15,88 8 14,5 14,8 17,2 16,2 15,0 16,8 15,75 9 15,6 15,7 19,2 16,1 16,8 15,9 16,55 10 16,5 16,8 18,4 14,8 18,9 16,1 16,92 11 14,5 15,8 14,2 14,5 18,7 16,3 15,67 12 17,1 15,8 16,2 15,4 15,7 16,2 16,07 13 18,5 15,9 17,2 14,2 15,9 14,7 16,07 14 17,2 15,7 16,8 14,8 14,8 14,9 15,70 15 19,2 15,7 15,9 15,7 15,5 14,8 16,13 16 18,4 16,8 15,0 16,8 16,9 14,7 16,43 17 14,2 16,9 16,8 15,8 17,1 15,4 16,03 18 16,2 17,2 18,9 15,8 18,5 18,9 17,58 19 17,2 17,6 18,7 15,9 17,2 16,0 17,10 20 16,8 14,5 19,8 15,7 18,2 18,7 17,28 21 15,9 17,9 18,7 15,7 18,4 17,5 17,35 22 15,0 18,0 18,2 16,8 14,2 17,8 16,67 23 16,8 18,9 20,0 16,9 16,2 18,5 17,88 24 18,9 17,9 17,4 17,5 17,2 16,5 17,57

Total 391,53

x

Calculando se obtiene: = ∑__ = 391.53 = 16.314

N 24f) Con lectura en la tabla para n = 6 se obtiene A2=0.483

Calculando el límite superior se obtiene: LSC = + A2R = 16.314 + 0.483* 3.146 = 17.83

g) Calculando el límite inferior se obtiene: LIC = - A2R = 16.314 - 0.483* 3.146 = 14.79

xx x

x x

x x

Interpretación: Observando la gráfica se concluye que la misma

está fuera de control, ya que, la muestra 23 representa una

variación de causa asignable, es decir, la muestra 23 se sale del

límite superior de control.

PUNTOS A CONSIDERAR PARA CONSTRUIR GRÁFICOS DE

CONTROL

Tamaño de la muestra y frecuencia del muestreo:

a)Tomar con frecuencia muestras pequeñas (4, 5, 6 cadamedia hora)

b) Tomar muestras grandes con una frecuencia menor (20 cadados horas)

Número de muestras: (aprox. 25 muestras, entre 100-150observaciones)

GRÁFICAS DE CONTROLPROMEDIOS Y DESVIACION ESTANDAR

SX

Ya sabemos que siempre que se intente controlar una característica de calidad cuantitativa, es una práctica habitual controlar el valor medio de la característica de calidad y su variabilidad.

Las cartas de control x – s tienen como principal indicador la desviación estándar lo cual las hace muy sensibles a los cambios que puedan ocurrir dentro del proceso de medición y por esta razón son muy útiles para el estudio de la variabilidad de dicho proceso y detectar la posible existencia de casusas especiales..

X

X

S

S

k = número de subgrupos

n = número de muestras en cada subgrupo

= promedio para un subgrupo

= promedio de todos los promedios de los subgrupos

= Desviación estándar de un subgrupo

= Desviación est. promedio de todos los subgrupos

TERMINOLOGÍA

N

XXXX N....21

K

XXXX K.......21

SAXLSC X 3

SAXLIC X 3

SBLSCS 4

SBLICS 3

Gráficos de control por atributos

• Se utilizan para controlar características de calidad que no pueden ser medidas, y que dan lugar a una clasificación del producto: defectuoso o no defectuoso

• Tipos:

Gráfico p, gráfico np, gráfico c.

Gráfica de Control por Atributos

Gráfica de Control

de Atributos

Piezas Defectuosas

Gráfica p Gráfica np

Defectos por pieza

Gráfica u Gráfica c

Gráfico p

Se usa para estudiar la variación de laproporción de artículos defectuosos.

p = no. de artículos defectuosos / N

N: tamaño de la muestra

Límites de controlpara el gráfico p.

n

pppLSC

)1(3

pLC

n

pppLIC

)1(3

Ejemplo ilustrativo

Durante la fase de análisis del modelo Seis Sigma DMAIC, se recolectaron los datos de las disconformidades

diariamente de una muestra de 200 habitantes de un hotel. La siguiente tabla lista el número y proporción de

habitaciones disconformes para cada día durante un periodo de 4 semanas.

Día Habitaciones Habitaciones no Proporción (X/n) N estudiadas (n) preparadas (X)

16 200 13 0,065 17 200 15 0,075 18 200 10 0,05 19 200 14 0,07 20 200 25 0,125 21 200 19 0,095 22 200 12 0,06 23 200 6 0,03 24 200 12 0,06 25 200 18 0,09 26 200 15 0,075 27 200 20 0,1 28 200 22 0,11 Total 5600 463 2,315

1 200 16 0,08 2 200 7 0,035 3 200 21 0,105 4 200 17 0,085 5 200 25 0,125 6 200 19 0,095 7 200 16 0,08 8 200 15 0,075 9 200 11 0,055 10 200 12 0,06 11 200 22 0,11 12 200 20 0,1 13 200 17 0,085 14 200 26 0,13 15 200 18 0,09

Para estos datos, N= 28, = ∑ Pi = 2,315, n= n = 200, p= ∑Pi = 2.315 = 0,0827 N 28

Reemplazando valores en

Se obtiene:

Entonces LSC = 0,0827+0,0584 = 0,1411 LIC = 0,0827-0,0584 = 0,0243

n

pppLSC

)1(3

200

)0827.01(0827.030827.0

Interpretación: Se observa que la proporción de disconformidades es mayor en el día Nº 14 y menor en el día Nº 23.No hay causas especiales de variación, ya que las proporciones están dentro de los límites de control .

Mide los números de muestras defectuosas por muestra contante y no la proporción.

– Se utiliza para graficar las unidades defectuosas

– Tamaño de muestra es constante

– Principales objetivos:

• Conocer las causas que contribuyen al proceso

• Obtener el registro histórico de una o varias características de una operación con el proceso productivo.

GRÁFICA NP

pnpnpLSC 13

pnpnpLIC 13

Los límites son calculados mediante la siguientes fórmulas.

k

k

nnn

npnpnpp

.....

....

21

21

El porcentaje defectuoso promedio para los k subgrupos se calcula con la siguiente fórmula:

pnLCc

Ejemplo

Un fabricante de latas de aluminio registra el número de partes

defectuosas, tomando muestras cada hora de n = 50, con 30

subgrupos. Realizar la gráfica de control para la siguiente serie de

datos obtenida durante el muestreo.

Muestra Latas defectuosas Muestra Latas defectuosas

np np

1 12 16 8

2 15 17 10

3 8 18 5

4 10 19 13

5 4 20 11

6 7 21 20

7 16 22 18

8 9 23 24

9 14 24 15

10 10 25 9

11 5 26 12

12 6 27 7

13 17 28 13

14 12 29 9

15 22 30 6

Calcule la fracción defectuosa para cada muestra:

Muestra Latas defectuosas Fracción defectuosa Muestra Latas defectuosas Fracción defectuosa

np p np p

1 12 0.24 16 8 0.16

2 15 0.30 17 10 0.20

3 8 0.16 18 5 0.10

4 10 0.20 19 13 0.26

5 4 0.08 20 11 0.22

6 7 0.14 21 20 0.40

7 16 0.32 22 18 0.36

8 9 0.18 23 24 0.48

9 14 0.28 24 15 0.30

10 10 0.20 25 9 0.18

11 5 0.10 26 12 0.24

12 6 0.12 27 7 0.14

13 17 0.34 28 13 0.26

14 12 0.24 29 9 0.18

15 22 0.44 30 6 0.12

2313.01500

347p

k

k

nnn

npnpnpp

.....

....

21

21

510.207687.02313.0503)2313.0)(50(

pnpnpLSC 13

pnpnpLIC 13

621.27687.02313.0503)2313.0)(50(

pnLCc

57.11)2313.0(50LCc

3020100

25

20

15

10

5

0

Sample Number

Sam

ple

Count

NP Chart for cantidad

1

1

NP=11.57

3.0SL=20.51

-3.0SL=2.621

MUESTRA:15=22 latas defectuosas23=24 latas defectuosas

CONSTRUCCIÓN DE LOS GRÁFICOS DE CONTROL DE NÚMERO DE

DISCONFORMIDADES POR UNIDAD ("U")

• Elaborar el plan de muestreo (Tamaño de muestra, frecuencia de muestreo y número de muestras)

• Recoger los datos según el plan establecido• Calcular el número de disconformidades por unidad, "u"Para cada muestra se registrarán los siguientes datos:- El número de unidades inspeccionadas "n".- El número de disconformidades total de la muestra.- El número de disconformidades por unidad "u" según la fórmula:u = suma de disconformidades de la muestra / n

• Calcular los limites de control

a) Calcular la media de disconformidades por unidad u.u = (u1 +..... uN)/Nui = es el número de disconformidades por unidad de la muestra i.N = número de muestras

b) Calcular el Límite de Control Superior LCSu.- Calcular el tamaño medio de las muestras nn = (n1 + ....+ nN)/N- Calcular el valor de LCSu según la fórmula:LCSu = u + 3 u / n

c) Calcular el Límite de Control Inferior LCIu según la fórmulaLCIu = u - 3 u / n

• Definir las escalas del gráfico

• Representar en el grafico la línea central y los limites de control

• Incluir los datos pertenecientes a las muestras en el gráfico

• Comprobación de los datos de construcción del Gráfico de Control "u"

• Analisis y resultados

CONSTRUCCIÓN DE LOS GRÁFICOS DE CONTROL DE NÚMERO DEDISCONFORMIDADES ("C")

• Elaborar el plan de muestreo (Tamaño de muestra, frecuencia de muestreo y número de muestras)

• Recoger los datos según el plan establecido• Registrar el número de disconformidades, "c"Para cada muestra se registra el siguiente dato:- El número de disconformidades "c".

• Calcular los Límites de Control

a) Calcular la media de disconformidades del proceso c .c = (c1 + ...... + cN)/Nci = número de disconformidades de la muestra iN = número de muestras

b) Calcular el Límite de Control Superior LCSc según la fórmula:LCSc = c + 3 c

c) Calcular el Límite de Control Inferior LCIc según la fórmula:LCIc = c - 3 c

• Definir las escalas del gráfico

• Representar en el gráfico la Línea Central y los Límites de Control

• Incluir los datos pertenecientes a las muestras en el gráfico

• Comprobación de los datos de construcción del Gráfico de Control "c«

• Análisis y resultados

INTERPRETACIÓN

Identificación de causas especiales o asignablesLa función primaria de un Gráfico de Control es mostrar el comportamiento olas pautas de funcionamiento de un proceso.Mediante el análisis de estas pautas de funcionamiento se puede identificar laexistencia de causas de variación especiales (proceso fuera de control).Cuando esto ocurra, se dejará constancia escrita de la situación.A continuación se comentan algunas de las pautas de comportamiento queinforman sobre cambios en el proceso:a) Un punto exterior a los límites de control.Se estudiará la causa de una desviación del comportamiento tan fuerte.b) Dos puntos consecutivos muy próximos al límite de control.La situación es anómala, estudiar las causas de variación.

c) Cinco puntos consecutivos por encima o por debajo de la línea central.Investigar las causas de variación pues la media de los cinco puntos indica unadesviación del nivel de funcionamiento del proceso.d) Fuerte tendencia ascendente o descendente marcada por cinco puntosconsecutivos.Investigar las causas de estos cambios progresivos.e) Cambios bruscos de puntos próximos a un límite de control hacia el otrolímite.Examinar esta conducta errática.

LOS DEFECTOS EN EL PAPEL

En una fábrica de papel se controlaba de forma continua el proceso deproducción, utilizando Gráficos de Control de Número de Disconformidades("c").

Los Límites de Control correspondientes al proceso bajo control eran:c = 27 ; LCSc = 42,6 ; LCIc = 11,4

El plan de muestreo habitual consistía en tomar, cada hora, una muestra de 10 metros. Como disconformidades se consideraban todos los defectos (manchas, agujeros, etc...) observables a simple vista.

El siguiente gráfico de control contiene los valores medidos en los últimos dos días:

Evidentemente dos de las muestras tomadas el 15/06/1991 están fuera de losLímites de Control, presentando un número de defectos mayor del explicablepor la variación normal del proceso.Analizando los acontecimientos ocurridos alrededor de las 10.00 y de las 13.00(horas en las que se tomaron las muestras fuera de los Límites de Control) seconsiguió identificar la causa especial del aumento de defectos: En los doscasos, un técnico de planta había abierto la máquina en marcha para explicarsu funcionamiento a clientes de la empresa, causando manchas en el papel.Puesto que las visitas de clientes interesados en el proceso de producción eranbastante frecuentes, se procuró poner un plástico de protección en la tapa dela máquina, evitando así producir desecho cada vez que se quería mostrar sufuncionamiento.

PROCESO BAJO CONTROL

• Si no hay puntos fuera de los límites de control y no se encuentran patrones no aleatorios, se adoptan los límites calculados para controlar la producción futura

• Una vez determinado que el proceso esta bajo control estadístico entonces se puede evaluar la capacidad del proceso.

Es una herramienta simple y efectiva para lograr un control estadístico.

El operario puede manejar las cartas en su propia área de trabajo, por lo cual puede darinformación confiable a la gente cercana a la operación en el momento en que se deben detomar ciertas acciones.

Cuando un proceso está en control estadístico puede predecirse su desempeño respecto a lasespecificaciones. En consecuencia, tanto el productor como el cliente pueden contar conniveles consistentes de calidad y ambos pueden contar con costos estables para lograr esenivel de calidad.

Una vez que un proceso se encuentra en control estadístico, su comportamiento puede sermejorado posteriormente reduciendo la variación.

Al distinguir ente las causas especiales y las causas comunes de variación, dan una buenaindicación de cuándo un problema debe ser corregido localmente y cuando se requiere deuna acción en la que deben de participar varios departamentos o niveles de la organización