I

GRAFICAS DE LAS FUNCIONES TRIGONOMETRICAS.

1. FUNCIÓN TRIGONOMÉTRICA

Las funciones trigonométricas son funciones muy utilizadas en las ciencias naturales para

Analizar fenómenos periódicos tales como: movimiento ondulatorio, corriente eléctrica

Alterna, cuerdas vibrantes, oscilación de péndulos, ciclos comerciales, movimiento periódico de los planetas,

ciclos biológicos, etc. En aplicaciones de las funciones trigonométricas relacionadas con fenómenos que se

repiten periódicamente, se requiere que sus dominios sean conjuntos de números reales. Para la obtención

de valores de las funciones trigonométricas de números reales con una calculadora por ejemplo, se debe

usar el modo radián.

1.1Función Seno:

La función seno es la función definida por: f(x)= sen x.

-Características de la función seno:

1. Dominio: IR

Recorrido: [-1, 1]

2. El período de la función seno es 2 π.

3. La función y=sen x es impar, ya que sen(-x)=-sen x, para todo x en IR.

4. La gráfica de y=sen x intercepta al eje X en los puntos cuyas abscisas son: x =n π. para

todo número entero n.

5. El valor máximo de senx es 1, y el mínimo valor es -1. La amplitud de la función

y=senx es 1.

1.2Función coseno:

La función coseno es la función definida por: f(x)= cos x.

Características de la función coseno

1. Dominio: IR

Recorrido: [-1, 1]

2. Es una función periódica, y su período es 2 π.

3. La función y=cosx es par, ya que cos(-x)=cos x, para todo x en IR.

La gráfica de y=cosx intercepta al eje X en los puntos cuyas abscisas son: x =(π/2) + nπ,

para todo número entero n.

5. El valor máximo de cos x es 1, y el valor mínimo valor es -1. La amplitud de la

Función y=cosx es 1.

II

1.3Función tangente:

La función tangente es la función definida por: f(x)= tan x..

Características de la función tangente

1. La función tangente es una función periódica, y su período es π.

2. La función y=tan x es una función impar, ya que tan(-x)=-tan x.

3. La gráfica de y=tan x intercepta al eje X en los puntos cuyas abscisas son: x =n π , para

todo número entero n.

Las otras tres funciones trigonométricas: cotangente, secante y cosecante son también

funciones periódicas.

Las funciones trigonométricas fueron sistematizadas por Newton y Leibniz, quienes había

Dado expansiones en forma de serie para las mismas. Pero fue Euler quien dio el tratamiento completo y

sistemático a las funciones trigonométricas. La periodicidad de estas funciones y la introducción de la

medida de los ángulos por radianes, fue realizada por Euler en su Introducido in Analysis Infinitorum en

1748.

III

1.4 Función Cotangente

Función cotangente: asocia a cada número real , x , el valor de la cotangente del ángulo cuya m edida en radianes es x .

f (x) = cotg x

Propiedades de la función cotangente

Dominio:

Recorrido:

Continuidad: Continua en

Período:

Decreciente en:

Máximos: No tiene.

Mínimos: No tiene.

Impar: cotg(−x) = −cotg x

Cortes con el eje X:

IV

1.5 FUNCION SECANTE

La función secante asocia a cada número real, x, el valor de la secante del ángulo cuya medida

en radianes es x.

f(x) = sec x

Propiedades de la función secante

Dominio:

Recorrido: (- ∞, -1] [1, ∞)

Período:

Continuidad: Continua en

Creciente en:

Decreciente en:

Máximos:

Mínimos:

Par: sec(-x) = sec x

Cortes con el eje OX: No corta

V

1.6 FUNCION COSECANTE:

La función cosecante asocia a cada número real, x, el valor de la cosecante del ángulo cuya

medida en radianes es x.

f(x) = cosec x

Propiedades de la función cosecante

Dominio:

Recorrido: (- ∞, -1] [1, ∞)

Período:

Continuidad: Continua en

Creciente en:

Decreciente en:

Máximos:

Mínimos:

Impar: csc(-x) = -csc x

Cortes con el eje OX: No corta

Transformaciones de gráficas

2. Transformaciones de gráficas de funciones trigonométricas

Las reglas para desplazar, dilatar, contraer, reflejar la gráfica de una función se pueden aplicar a las

funciones trigonométricas, recordadas en el siguiente diagrama:

���� � ����� � ����α� � ������ � �� � �

A = Amplitud

B = Periodo

C = Desplazamiento horizontal

D = Desplazamiento vertical

2.1 Amplitud: La amplitud es la distancia vertical entre una cresta y el punto medio de la onda.

���� � ������

Amplitud

A > 1

A < 1

-A se invierte

���� � 2������

Amplitud

Transformaciones de gráficas

2.2 Periodo:

El tiempo que tarda en cumplir un ciclo.

���� � ����� � 2�� � ������

En la función seno el periodo es 2π

Formula: B > 1 T

Periodo B < 1 T

T = ��� � � 180 -B Función se invierte

�� � ����2�� ���� � ����2��

T = ��� � ��

� � � � 180

F(x) = sen(x)

2.3 Desplazamiento Horizontal.

Es el valor donde comienza el ciclo que comenzaba en 0 (también se conoce como desfase)

Desfase = � �� C

���� � ����� � �/2�

Desfase = � �� = -π/2 = -90O

D- = adelante D+ = atrasado ���� � ����� � �/2�

Transformaciones de gráficas

���� � ��� �� � �� Desfase = � �

� = �!"#= 60o

���� � ��� �� � ��

2.4 Desplazamiento vertical:

La gráfica de la ecuación de la forma y = f(x) + k es la gráfica de y = f(x) desplazada hacia arriba si k es

positiva y desplazada hacia abajo si k es negativa. De manera que, la gráfica de y = f(x) + k se puede obtener de la

gráfica de y = f(x) al trasladar verticalmente la gráfica de y = f(x), k unidades hacia arriba si k es positiva y k unidades

hacia abajo si k es negativa.

���� � ������ � �

���� � ������ � 0.5

���� � ������ � 1

Transformaciones de gráficas

3. Ejercicios resueltos:

&�'� � ()*+�(' � ,/-� � .

/ � 2πB � 2�

2 � � � 180°

� � �3B � �

��32 � �

6 � 30°

Valor supuesto del eje x Valor supuesto del

eje y

Valor real del eje x

(sumamos mas 30°)

Valor real del eje

y

0° 0 30° -1

45° 1 75° 1

90° 0 120° -1

135° -1 165° -3

180° 0 210° -1

Gráfica:

Transformaciones de gráficas

&�'� � � .( )*+ �(' � 9

: � .

/ � 2πB � 2�

2 � � � 180°

� � �3B � �

�42 � ��

8 � �22.5°

Valor supuesto del eje x Valor supuesto del

eje y

Valor real del eje x

(restamos�22.5°)

Valor real del eje

y

0° 0 �22.5° -1

45° 1 22.5° -1.5

90° 0 67.5° -1

135° -1 112.5° -0.5

180° 0 157.5° -1

Gráfica:

Transformaciones de gráficas

&�'� � )*+�-' � 9� � .

/ � 2πB � 2�

3 � 120°

� � �3B � ��

3 � ��3 � �60°

Valor supuesto del eje x Valor supuesto del

eje y

Valor real del eje x

(restamos�60°)

Valor real del eje

y

0° 0 �60° 1

30° 1 �30° 2

60° 0 0° 1

90° -1 30° 0

120° 0 60° 1

Gráfica:

4. Ejercicios Propuestos

a. &�'� � )*+ �(' � .( ,

b. &�'� � 3)*+ �(' � .( , � 2

c. &�'� � 2;<+�.(' � , � 3

d. &�'� � #� =>) �:' � (

-, � 2

e. &�'� � 3)*= �?' � .-, � 1

f. &�'� � )*+�('� � @�� � 1�

g. &�'� � 2=>) �' � .( , � AB����

h. &�'� � ;<+�' � .( , � C�D��E�2�, 2�G