graduat en educació secundària mòdul comú 2 … · monedes a la guardiola, aniríem enumerant...
TRANSCRIPT
Generalitat de CatalunyaDepartament d’Educació
Economia domèstica
Mòdul comú
Àmbit de les Matemàtiques, de la Ciènciai de la Tecnologia
Graduat en Educació Secundària
2
QU
AD
ER
N D
E T
RE
BA
LL
SUMARI
ORGANITZACIÓ DELS MÒDULS I LES UNITATS 7
INTRODUCCIÓ 9
PUNT DE PARTIDA 1 1
UNITAT 1 DIVISIBILITAT
QUÈ TREBALLARÀS? 15
CONTINGUTS 17
ACTIVITATS D’APRENENTATGE 27
ACTIVITATS D’AVALUACIÓ 33
SOLUCIONS DE LES ACTIVITATS D’APRENENTATGE 35
SOLUCIONS DE LES ACTIVITATS D’AVALUACIÓ 43
QUÈ HAS TREBALLAT? 47
COM HO PORTO? 49
UNITAT 2 ELS RACIONALS
QUÈ TREBALLARÀS? 53
CONTINGUTS 55
ACTIVITATS D’APRENENTATGE 65
ACTIVITATS D’AVALUACIÓ 69
SOLUCIONS DE LES ACTIVITATS D’APRENENTATGE 71
SOLUCIONS DE LES ACTIVITATS D’AVALUACIÓ 75
QUÈ HAS TREBALLAT? 79
COM HO PORTO? 81
UNITAT 3 PROPORCIONALITAT
QUÈ TREBALLARÀS? 85
CONTINGUTS 87
ACTIVITATS D’APRENENTATGE 97
ACTIVITATS D’AVALUACIÓ 101
SOLUCIONS DE LES ACTIVITATS D’APRENENTATGE 103
SOLUCIONS DE LES ACTIVITATS D’AVALUACIÓ 107
QUÈ HAS TREBALLAT? 1 1 1
COM HO PORTO? 113
UNITAT 4 EL MERCAT
QUÈ TREBALLARÀS? 117
CONTINGUTS 119
ACTIVITATS D’APRENENTATGE 127
ACTIVITATS D’AVALUACIÓ 131
SOLUCIONS DE LES ACTIVITATS D’APRENENTATGE 133
SOLUCIONS DE LES ACTIVITATS D’AVALUACIÓ 137
QUÈ HAS TREBALLAT? 139
COM HO PORTO? 141
PUNT D’ARRIBADA 143
ACTIVITATS D’AVALUACIÓ DEL MÒDUL 143
SOLUCIONS DE LES ACTIVITATS D’AVALUACIÓ DEL MÒDUL 147
Mat
emàt
iqu
es, C
ièn
cia
i Tec
no
log
ia2
. EC
ON
OM
IA D
OM
ÈS
TIC
AO
RG
AN
ITZ
AC
IÓ D
EL
S M
ÒD
UL
S I
LE
S U
NIT
AT
S
7ORGANITZACIÓ DELS MÒDULS I LES UNITATS
A l’inici del mòdulmòdulmòdulmòdulmòdul hi trobaràs sempre dos apartats:
Introducció del mòdul:És la presentació del mòdul. Ens situa en quin nivell es troba, si és comú o opcio-nal i en quines unitats es divideix.
Punt de partida:Fa reflexionar sobre els aspectes que es treballen en el mòdul. T’ajudarà a situar-te i a fer una avaluació inicial del que saps sobre el tema que es tractarà abans decomençar les unitats.
Cada unitatunitatunitatunitatunitat didàctica està estructurada en:
Què treballaràs?:Presenta els objectius que es treballaran en la unitat i que al final hauràs d’haverassolit.
Bloc de continguts
Bloc d’activitatsACTIVITATS D’APRENENTATGE: Inclou activitats per practicar i consolidar els con-ceptes que s’expliquen en el bloc de continguts.ACTIVITATS D’AVALUACIÓ: Contenen tots els aspectes que s’han treballat en launitat i permeten consolidar l’assoliment dels objectius plantejats al principi dela unitat.
Bloc de solucionsSOLUCIONS DE LES ACTIVITATS D’APRENENTATGE: Inclou les respostes de lesactivitats d’aprenentatge.SOLUCIONS DE LES ACTIVITATS D’AVALUACIÓ: Són les respostes de les activi-tats d’avaluació.
Què has treballat?:És una proposta d’esquema o d’un mapa conceptual que et relaciona o et resu-meix els continguts treballats en la unitat. És una eina per facilitar-te la compren-sió i estudi dels continguts de la unitat.
Com ho porto?:Presenta un quadre d’autoavaluació que facilita comprovar si s’han assolit elsobjectius proposats a l’inici de la unitat.
Al final del mòdul hi trobaràs un últim apartat:
Punt d’arribada:Facilita l’autoavaluació de tots els continguts treballats en el mòdul i l’assolimentdels objectius. Conté:ACTIVITATS D’AVALUACIÓ DEL MÒDUL: Inclou les activitats que permeten auto-avaluar els continguts del mòdul.SOLUCIONS DE LES ACTIVITATS D’AVALUACIÓ DEL MÒDUL: Són les respostes ales activitats d’avaluació del mòdul.
Mat
emàt
iqu
es, C
ièn
cia
i Tec
no
log
ia2
. EC
ON
OM
IA D
OM
ÈS
TIC
A
INT
RO
DU
CC
IÓ
9INTRODUCCIÓ
El mòdul Economia domèstica es distribueix en quatre unitats didàctiques quesón: Divisibilitat, Els racionals, Proporcionalitat i El mercat.
Economia domèstica és un mòdul de continguts bàsicament procedimentals.Aquests continguts es presenten en diferents contextos de la vida quotidiana.Sovint, a la nostra vida, fem anar càlculs i estratègies matemàtiques d’unamanera tan natural com automàtica. Aquest mòdul ajuda a entendre el fona-ment i mecanisme d’aquests càlculs i estratègies.
En les activitats proposades en les diferents unitats es recomana no utilitzar lacalculadora per tal d’afavorir el càlcul mental o per tempteig. Tanmateix, hi haactivitats en què s’indica la necessitat del seu ús.
Situació del mòdul, «Economia domèstica», dins dels nivells de l’àmbit de lesmatemàtiques, la ciència i la tecnologia.
MÒDULS COMUNS
1. La temperatura Nivell 1
2.2.2.2.2. Economia domèsticaEconomia domèsticaEconomia domèsticaEconomia domèsticaEconomia domèstica
3. La salut
4. Recursos naturals
5. Transformacions d’expressions algebraiques Nivell 2
6. El món invisible
7. Tecnologia i habitatge Nivell 3
8. Trigonometria
9. Genètica
10. Un món feliç?
Els continguts del mòdul estan estructurats en quatre unitats.
Unitat 1Unitat 1Unitat 1Unitat 1Unitat 1Es treballa amb els múltiples i els divisors dels nombres i les seves propietats.Es presenten els nombres primers i les seves aplicacions com el càlcul delsdivisors d’un nombre, descomposició factorial i càlcul del màxim comú divisori del mínim comú múltiple de nombres.
Unitat 2Unitat 2Unitat 2Unitat 2Unitat 2Es treballen les fraccions i els nombres decimals.
Unitat 3Unitat 3Unitat 3Unitat 3Unitat 3Es treballen les raons, les proporcions i les seves aplicacions, com l’escala, laregla de tres i els percentatges.
Unitat 4Unitat 4Unitat 4Unitat 4Unitat 4Es treballen problemes i situacions de caràcter domèstic i econòmic que re-quereixen conceptes com la regla de tres i el tant per cent per a la seva resolu-ció. També es dedica un petit apartat als drets dels consumidors.
Mat
emàt
iqu
es, C
ièn
cia
i Tec
no
log
ia2
. EC
ON
OM
IA D
OM
ÈS
TIC
AP
UN
T D
E P
AR
TID
A
11
?PUNT DE PARTIDA
Posa la data d’avui en la primera columna. Per res-pondre les preguntes posa un número de l’1 al 3 enfunció del que sàpigues.
11111. No en sé res.22222. En sé alguna cosa.
33333. Ho sé bé.
Quan acabis d’estudiar el mòdul emplena la segonacolumna. Així podràs veure el que has après.
Data: Data:
Saps trobar un conjunt de números quemultiplicats entre si donin l’any delteu naixement?
Saps quina diferència hi ha entredos quarts d’hora i mitja hora?
Saps calcular quantes hores dura una cintade vídeo de 210 minuts?
Saps calcular les mides reals d’un objectea partir de la seva maqueta?
Saps calcular el percentatge d’homes queviuen en una ciutat si dels 14.345 habitantsque hi viuen 6.315 són dones?
Saps distingir en una nòmina quina partdels diners es destinen a pagar impostos?
Mat
emàt
iqu
es, C
ièn
cia
i Tec
no
log
ia2
. EC
ON
OM
IA D
OM
ÈS
TIC
AU
NIT
AT
1D
IVIS
IBIL
ITA
T
13Unitat 1DIVISIBILITAT
quèM
atem
àtiq
ues
, Ciè
nci
a i T
ecn
olo
gia
2. E
CO
NO
MIA
DO
MÈ
ST
ICA
QU
È T
RE
BA
LL
AR
ÀS
?
14
treballaràs?En acabar la unitat has de ser capaç de:
· Identificar i determinar els múltiples i divisors d’unnombre.
· Reconèixer les propietats dels múltiples i divisors.
· Reconèixer i utilitzar els criteris de divisibilitat delsnombres 2, 3, 4, 5, 6, 9, 10 i 11.
· Reconèixer els nombres primers.
· Calcular tots els divisors d’un nombre.
· Calcular el mcd i el mcm d’un nombre.
· Utilitzar els conceptes de mcd i mcm per resoldre pro-blemes de la vida quotidiana.
Mat
emàt
iqu
es, C
ièn
cia
i Tec
no
log
ia2
. EC
ON
OM
IA D
OM
ÈS
TIC
AU
NIT
AT
1D
IVIS
IBIL
ITA
T
151. Múltiples i divisors
El disseny de les cares de la moneda de l’euro depèn de cada país de la UnióEuropea, però el que no varia és el valor d’aquestes monedes. Que hi hagimonedes d’1 cèntim d’€, 2 cèntims d’€ o 5 cèntims d’€, o bé monedes d’1€,2€, o bitllets de 5€, no és per què sí. De fet hi ha una explicació matemàtica. Estreballa amb l’1, el 2 i el 5 perquè així s’aconsegueix sumar qualsevol quantitatde diners amb el mínim de monedes.
Imagina que has de repartir 16€ entre 5 persones. Si es fa la divisió que resol elproblema es té que:
Com que l’euro també disposa de monedes de cèntim, a cada persona li corres-pondran 3,2€ o, el que és el mateix, 3€ i 20 cèntims.
Però, què passaria si l’euro no disposés de cèntims? En aquest cas, en la divisióanterior, no podríem utilitzar la coma ni tampoc els decimals.
A cada persona li correspondrien 3€ i sobraria 1€ en el repartiment. Quan esdóna aquesta situació es diu que la divisió no és exactala divisió no és exactala divisió no és exactala divisió no és exactala divisió no és exacta. Perquè la divisió fosexacta la quantitat de diners a repartir entre les cinc persones hauria de ser obé 5€, o bé 10€, o bé 15€, o bé 20€...
Que una divisió no sigui exacta és un problema que acostuma a passar amb elsnombres naturals N = { 1, 2, 3, 4, 5, ..., 10, ..., 100, ..., 1.000, ... }. Només quan ladivisió és exacta, el resultat de dividir dos nombres naturals és un altre nom-bre natural.
Una divisió és exacta quan el seu residu val zeroUna divisió és exacta quan el seu residu val zeroUna divisió és exacta quan el seu residu val zeroUna divisió és exacta quan el seu residu val zeroUna divisió és exacta quan el seu residu val zero. Recorda que els elements del’operació divisió són: dividend, divisor, quocient i residu.
Observa que dels exemples anteriors de divisions exactes tenim que:5 = 5 x 110 = 5 x 215 = 5 x 320 = 5 x 4... ....... ....
16
Mat
emàt
iqu
es, C
ièn
cia
i Tec
no
log
ia2
. EC
ON
OM
IA D
OM
ÈS
TIC
AU
NIT
AT
1D
IVIS
IBIL
ITA
T
Fixa’t que es compleix el següent:
dividend = divisor x quocient.dividend = divisor x quocient.dividend = divisor x quocient.dividend = divisor x quocient.dividend = divisor x quocient.
Quan es dóna aquesta situació es diu que:
a és un múltiple de ba és un múltiple de ba és un múltiple de ba és un múltiple de ba és un múltiple de b
a és divisible per ba és divisible per ba és divisible per ba és divisible per ba és divisible per b
b és divisor de ab és divisor de ab és divisor de ab és divisor de ab és divisor de a
Observa que els conceptes de múltiple i divisor són inversos l’un de l’altre.
Imagina que tens dues guardioles. En una guardes només monedes de 2€ i enl’altra bitllets de 5€. Trenquem la primera guardiola, la que guarda només mo-nedes de 2€. Comencem a comptar els diners que hi tenim: 2€, 4€, 6€, 8€,10€, 12€, 14€, 16€, 18€, 20€, 22€, 24€,..., 58€, 60€. Totes les quantitats queanem comptant són múltiples de 2. Ara trenquem la segona guardiola i anemfent recompte dels diners que hi tenim: 5€, 10€, 15€, 20€, 25€, 30€, 35€,40€,..., 55€, 60€. En aquest cas totes les quantitats que anem comptant sónmúltiples de 5. Observa que:
Múltiples de 2:Múltiples de 2:Múltiples de 2:Múltiples de 2:Múltiples de 2: Múltiples de 5:Múltiples de 5:Múltiples de 5:Múltiples de 5:Múltiples de 5:
2 x 1 = 2 5 x 1 = 5
2 x 2 = 4 5 x 2 = 10
2 x 3 = 6 5 x 3 = 15
... ... ... ...
2 x 10 = 20 5 x 10 = 50
... ... ... ...
2 x 29 = 58 5 x 11 = 55
2 x 30 = 60 5 x 12 = 60
Els múltiples d’un nombre s’obtenen multiplicant aquest nombre per qualsevol nombrenatural.
També es considera múltiple d’un nombre natural el zero. En conseqüència, elconjunt dels múltiples d’un nombre és il·limitat:
Conjunt dels múltiples de 2 = {0, 2, 4, 6, ... , 20, ... , 200, ... , 2.000, ... }
Conjunt dels múltiples de 5 = {0, 5, 10, 15, ... , 50, ... , 500, ... , 5.000, ... }
· Activitats d’aprenentatge 1, 2, 3, 4 i 5
Mat
emàt
iqu
es, C
ièn
cia
i Tec
no
log
ia2
. EC
ON
OM
IA D
OM
ÈS
TIC
AU
NIT
AT
1D
IVIS
IBIL
ITA
T
172. Propietats dels múltiples i dels divisors d’un nombre
Fixa’t en el recompte de diners de les guardioles. Tant en una guardiola com enl’altra hem començat el recompte pel valor de la moneda que hem guardat: 2 i5. És, doncs, natural que 2 i 5 siguin múltiples d’ells mateixos, és a dir, de 2 i de5 respectivament. De la mateixa manera, en cas d’existir monedes de 3€, elrecompte de la guardiola, sempre que no estigui buida, començaria per 3 i pertant el nombre 3 seria múltiple d’ell mateix. Dit d’una altra manera, qualsevolqualsevolqualsevolqualsevolqualsevol
nombre natural és múltiple d’ell mateixnombre natural és múltiple d’ell mateixnombre natural és múltiple d’ell mateixnombre natural és múltiple d’ell mateixnombre natural és múltiple d’ell mateix.
Com que els conceptes de múltiple i divisor són inversos l’un de l’altre, és lògicpensar que:
Si 2 és múltiple de 2, 3 és múltiple de 3, 5 és múltiple de 5, etc., aleshores 2 és2 és2 és2 és2 ésdivisor de 2, 3 és divisor de 3, 5 és divisor de 5, etcdivisor de 2, 3 és divisor de 3, 5 és divisor de 5, etcdivisor de 2, 3 és divisor de 3, 5 és divisor de 5, etcdivisor de 2, 3 és divisor de 3, 5 és divisor de 5, etcdivisor de 2, 3 és divisor de 3, 5 és divisor de 5, etc.....
En efecte, totes les divisions són exactes i en totes el quocient val 1.
Imagina ara que tens una tercera guardiola on tens guardades monedes d’1€.Fem el recompte de diners que hi tens: 1€, 2€, 3€, 4€, 5€,.... Totes les quanti-tats que anem comptant seran múltiples d’1. A més, si es pogués tenir infinitesmonedes a la guardiola, aniríem enumerant un a un tots els nombres naturals.Per tant, qualsevol nombre natural és múltiple d’1. I a la inversa, la unitat ,1, ésqualsevol nombre natural és múltiple d’1. I a la inversa, la unitat ,1, ésqualsevol nombre natural és múltiple d’1. I a la inversa, la unitat ,1, ésqualsevol nombre natural és múltiple d’1. I a la inversa, la unitat ,1, ésqualsevol nombre natural és múltiple d’1. I a la inversa, la unitat ,1, és
divisor de qualsevol nombredivisor de qualsevol nombredivisor de qualsevol nombredivisor de qualsevol nombredivisor de qualsevol nombre.
2€, 4€, 6€, 8€, 10€,..., 56€, 58€, 60€ són quantitats de diners que podemreunir amb monedes de 2€.
Per exemple:
Per reunir 8€ calen 4 monedes de 2€ 8 = 2 x 4Per reunir 10€ calen 5 monedes de 2€ 10 = 2 x 5... ... ... ... ...Per reunir 58€ calen 29 monedes de 2€ 58 = 2 x 29Per reunir 60€ calen 30 monedes de 2€ 60 = 2 x 30
Comprova que si sumes algunes d’aquestes quantitats, el resultat és una quan-titat de diners que també es pot reunir utilitzant només monedes de 2€.
Per exemple:
10€ + 60€ = 70€
Per reunir 70€ ens caldran 35 monedes de 2€ 70 = 2 x 35
18
Mat
emàt
iqu
es, C
ièn
cia
i Tec
no
log
ia2
. EC
ON
OM
IA D
OM
ÈS
TIC
AU
NIT
AT
1D
IVIS
IBIL
ITA
T
El mateix passa amb els bitllets de 5€.
Per exemple:
Per reunir 5€ ens cal un bitllet de 5€ 5 = 5 x 1Per reunir 10€ ens calen 2 bitllets de 5€ 10 = 5 x 2... ... ... ... ...Per reunir 30€ ens calen 6 bitllets de 5€ 30 = 5 x 6... ... ... ... ...Per reunir 55€ ens calen 11 bitllets de 5€ 55 = 5 x 11Per reunir 60€ ens calen 12 bitllets de 5€ 60 = 5 x 12
Comprova que si sumes algunes d’aquestes quantitats, el resultat torna a seruna quantitat de diners que es pot reunir amb només bitllets de 5€.
Per exemple:
30€ + 60€ = 90€
Per reunir 90€ ens caldran 18 bitllets de 5€ 90 = 5 x 18
Observa que la suma de nombres múltiples de 2 torna a ser un nombre múltiple de 2 ique la suma de nombres múltiples de 5 torna a ser un nombre múltiple de 5.
Fixa’t que aquesta propietat sobre els múltiples d’un nombre serà vàlida per aqualsevol altre nombre.
Aquesta propietat es pot reescriure per a la resta de múltiples d’un nombre.
Pots comprovar com la suma de múltiples de 3 també és múltiple de 3 i que laresta de múltiples de 3 també és múltiple de 3.
Hem vist que la suma de múltiples de 2 és un múltiple de 2, i que la suma demúltiples de 5 és un múltiple de 5. És 2 un divisor d’aquesta suma? I 5? Quinapropietat pots escriure sobre els divisors d’un nombre?
3. Nombres compostos
Tant en la guardiola de monedes de 2€ com en la guardiola de bitllets de 5€ hiha reunits un total de 60€. En una guardiola hi tenim 30 monedes de 2€ i enl’altra 12 bitllets de 5€:
60 = 2 x 30
i
60 = 5 x 12.
Fixa’t que 60€ també els podem reunir amb 60 monedes d’1€: 60 = 1 x 60.
O bé amb 6 bitllets de 10€: 60 = 6 x 10.
O bé amb 3 bitllets de 20€: 60 = 3 x 20.
Mat
emàt
iqu
es, C
ièn
cia
i Tec
no
log
ia2
. EC
ON
OM
IA D
OM
ÈS
TIC
AU
NIT
AT
1D
IVIS
IBIL
ITA
T
19El nombre 60 es diu que és un nombre compost nombre compost nombre compost nombre compost nombre compost perquè es pot descompondre de mésd’una manera com a producte de dos factors.
1 x 602 x 303 x 20
60 =
4 x 155 x 126 x 10
Aquestes són totes les descomposicions possibles del nombre 60 com a pro-ducte de dos factors. Aquestes descomposicions permeten trobar tots els divi-divi-divi-divi-divi-sors d’un nombresors d’un nombresors d’un nombresors d’un nombresors d’un nombre: cada factor és un divisor:
Divisors de 60 = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30, 60}
4. Nombres primers
En canvi, hi ha nombres que només admeten una sola descomposició com aproducte de dos factors. Aquests nombres s’anomenen nombres primers.
Per exemple:
El nombre 2 només es pot descompondre com 2 = 1 x 2.El nombre 5 només es pot descompondre com 5 = 1 x 5.El nombre 17 només es pot descompondre com 17 = 1 x 17.
ACTIVITAT
Sabries dir si 3 és un nombre primer o no? I 13? Per què?
Observa que en els exemples anteriors els únics divisors dels nombres primerssón el propi nombre i la unitat.
Divisors de 2 = {1, 2 }Divisors de 5 = {1, 5}Divisors de 17 = {1, 17}
Deixant de banda l’1, un nombre és primer si només és divisible per ell mateix i per launitat.
L’1 es pot considerar nombre primer o no. Això dependrà de l’autor, de les defi-nicions... o fins i tot de la cultura, com és el cas, per exemple, dels antics grecs,els quals començaven els nombres pel dos, ja que per a ells l’u representavaúnicament la unitat.
De nombres primers n’hi ha infinits. El garbell d’Eratòstenes permet d’una ma-nera senzilla, encara que una mica lenta, aconseguir tots els nombres primersmés petits que 100.
▼▼
▼▼
▼▼
20
Mat
emàt
iqu
es, C
ièn
cia
i Tec
no
log
ia2
. EC
ON
OM
IA D
OM
ÈS
TIC
AU
NIT
AT
1D
IVIS
IBIL
ITA
T
El garbell d’Eratòstenes:• Elimina el nombre 1, que no el considerarem primer en aquest mòdul.• 2 és un nombre primer. Elimina tots els seus múltiples que, òbviament, no
seran nombres primers ja que com a mínim seran divisibles per 2.• 3 és el nombre primer que segueix. Com abans, elimina els seus múltiples.• Fes el mateix amb els nombres primers que segueixen, és a dir, el 5 i el 7.• Un cop hem acabat aquest procés, els nombres que no han estat eliminats
són justament els nombres primers més petits que 100. Si anéssim més en-llà del 100, continuaríem el procés amb els nombres 11, 13, 17, etc.
• Activitats d’aprenentatge 6, 7, 8, 9 i 10
5. Descomposició d’un nombre en factors primersPer a molts matemàtics els nombres primers estan considerats els àtoms de lamatemàtica. Això es deu al fet que qualsevol nombre enter es pot construir apartir dels nombres primers.
Recorda que has pogut reunir 60€ tant en monedes de 2€ com en bitllets de5€. 2 i 5 són divisors de 60 i al mateix temps 2 i 5 són nombres primers. Fixa’tque es pot construir el nombre 60 de la següent manera:
60 = 2 x 5 x 6
primer primer compost
Al mateix temps, el nombre 6 es pot construir de la manera següent:
6 = 2 x 3
primer primer
▼ ▼ ▼
▼ ▼
Mat
emàt
iqu
es, C
ièn
cia
i Tec
no
log
ia2
. EC
ON
OM
IA D
OM
ÈS
TIC
AU
NIT
AT
1D
IVIS
IBIL
ITA
T
21
x
x
x
x
x
x
Per tant:
60 = 2 x 5 x 2 x 3
O el que és el mateix:
60 = 2 x 2 x 3 x 5
Descompondre un nombre en factors primersDescompondre un nombre en factors primersDescompondre un nombre en factors primersDescompondre un nombre en factors primersDescompondre un nombre en factors primers significa expressar aquest nombre enforma de producte de potències de nombres primers.
60 = 22 x 3 x 5
Un mètode que permet descompondre un nombre en factors primers consis-teix a dividir aquest nombre pel primer més petit pel qual és divisible. Es fa elmateix amb el resultat obtingut, i així successivament fins que obtenim un 1 enel quocient.
La descomposició l’escrivim en forma de producte de potències.
Exemple:
Descomposició en factors primers del nombre 18.
18 2 2 és el primer més petit que divideix el 18 9 3 3 és el primer més petit que divideix el 9 3 3 3 és el primer més petit que divideix el 3 1
18 = 2 x 3 x 3 = 2 x 32
La descomposició d’un nombre en factors primers permet trobar tots els divi-sors d’aquest nombre.
1
18 és divisible per
2
1
18 és divisible per 3
32
Per calcular tots els divisors del nombre 18 anem fent productes dels divisorsanteriors:
1 = 11
2 = 2
1 = 33
2 = 6
1 = 932
2 = 18
22
Mat
emàt
iqu
es, C
ièn
cia
i Tec
no
log
ia2
. EC
ON
OM
IA D
OM
ÈS
TIC
AU
NIT
AT
1D
IVIS
IBIL
ITA
T
Per tant, tots els divisors del nombre 18 són:
Divisors de 18 = { 1, 2, 3, 6, 9, 18 }.
Segur que ja t’has adonat que a diferència del que passa amb el conjunt delsmúltiples d’un nombre, el conjunt dels seus divisors no és un conjunt il·limitat.És més, pots trobar tots els divisors d’un nombre, per exemple, a partir de laseva descomposició factorial en nombres primers.
• Activitats d’aprenentatge 11, 12 i 13
6. Criteris de divisibilitat
Hi ha regles que ajuden a saber si un nombre és divisible per un altre. Això etpot anar molt bé quan hagis de descompondre un nombre en factors primers oquan hagis de trobar-li divisors a un nombre. Aquestes regles s’anomenen cri-teris de divisibilitat. Aquí en tenim algunes:
• Divisibilitat per 2Divisibilitat per 2Divisibilitat per 2Divisibilitat per 2Divisibilitat per 2: Un nombre és divisible per dos si acaba en zero o en xifraparella.
• Divisibilitat per 3Divisibilitat per 3Divisibilitat per 3Divisibilitat per 3Divisibilitat per 3: Un nombre és divisible per tres si la suma de les sevesxifres és múltiple de tres.
• Divisibilitat per 4Divisibilitat per 4Divisibilitat per 4Divisibilitat per 4Divisibilitat per 4: Un nombre és múltiple de quatre quan les seves duesúltimes xifres o bé són dos zeros o bé formen un número múltiple de quatre.
• Divisibilitat per 5Divisibilitat per 5Divisibilitat per 5Divisibilitat per 5Divisibilitat per 5: Un nombre és múltiple de cinc quan acaba en zero o encinc.
• Divisibilitat per 6Divisibilitat per 6Divisibilitat per 6Divisibilitat per 6Divisibilitat per 6: Un nombre és divisible per sis quan ho és per tres i perdos.
• Divisibilitat per 9Divisibilitat per 9Divisibilitat per 9Divisibilitat per 9Divisibilitat per 9: Un nombre és divisible per nou quan la suma de les sevesxifres és múltiple de nou.
• Divisibilitat per 10Divisibilitat per 10Divisibilitat per 10Divisibilitat per 10Divisibilitat per 10: Un nombre és divisible per deu si acaba en zero. Anàlo-gament, si acaba en 00 serà divisible per 100, si acaba en 000 serà divisibleper mil, etc.
• Divisibilitat per 11Divisibilitat per 11Divisibilitat per 11Divisibilitat per 11Divisibilitat per 11: Un nombre és divisible per onze quan la diferència entrela suma de les xifres que ocupen una posició parella i la suma de les xifresque ocupen una posició senar és múltiple d’onze.
• Activitats d’aprenentatge 14 i 15
Mat
emàt
iqu
es, C
ièn
cia
i Tec
no
log
ia2
. EC
ON
OM
IA D
OM
ÈS
TIC
AU
NIT
AT
1D
IVIS
IBIL
ITA
T
237. Màxim comú divisor i mínim comú múltiple
Torna a mirar-te les dues guardioles del començament: la que conté monedesde 2€ i la que conté bitllets de 5€. Torna a fixar-te en el recompte de diners decadascuna:
Guardiola 2€ 1r 2n 3r 5è 10è 15è 20è 25è 30è
2€ 4€ 6€ 1010101010€ 20€ 30€ 40€ 50€ 60€
Guardiola 5€ 1r 2n 3r 4t 5è 6è 8è 10è 12è
5€ 1010101010€ 15€ 20€ 25€ 30€ 40€ 50€ 60€
En totes dues guardioles hi ha quantitats que es repeteixen: 10€, 20€, 30€,40€, 50€ i 60€. Per tant, aquestes quantitats es poden reunir tant en mone-des de 2€ com en bitllets de 5€. Dit d’una altra manera, els nombres 10, 20, 30,40, 50 i 60 són múltiples tant de 2 com de 5. Observa que d’entre aquestsmúltiples comunsmúltiples comunsmúltiples comunsmúltiples comunsmúltiples comuns el més petit és el nombre 10. Es diu que 10 és el mínim comúmínim comúmínim comúmínim comúmínim comú
múltiplemúltiplemúltiplemúltiplemúltiple dels nombres 2 i 5. mcm (2, 5) = 10.
El mínim comú múltiple de dos o més nombres és el múltiple comú més petit de tots ellsEl mínim comú múltiple de dos o més nombres és el múltiple comú més petit de tots ellsEl mínim comú múltiple de dos o més nombres és el múltiple comú més petit de tots ellsEl mínim comú múltiple de dos o més nombres és el múltiple comú més petit de tots ellsEl mínim comú múltiple de dos o més nombres és el múltiple comú més petit de tots ells.
Per calcular-lo es pot utilitzar la següent regla pràctica:
a) descomponem els nombres en factors primers;b) agafem els factors comuns i no comuns dotats de l’exponent més gran i fem
el seu producte.
Anàlogament es pot definir el màxim comú divisor de dos o més nombres.Imagina que has de reunir 20€ per una banda i 40€ per l’altra. Tant en un cascom en l’altre ho podries fer utilitzant només monedes d’1€, o bé monedes de2€, o bé bitllets de 5€, o bé de 10€, o bé de 20€. Ara bé, si es vol reunir totesdues quantitats amb la mateixa moneda i utilitzant el mínim de bitllets, és clarque s’haurà de fer amb bitllets de 20€ ja que només caldrà un bitllet per reunirla primera quantitat i 2 bitllets per reunir la segona. De fet, 20 és el màximcomú divisor dels nombres 20 i 40. mcd (20, 40) = 20.
El màxim comú divisor de dos o més nombres és el més gran dels divisors comuns detots ells.
Per calcular-lo es pot utilitzar la següent regla pràctica:a) descomponem els nombres en factors primers;b) agafem els factors comuns dotats de l’exponent més petit i calculem el seu
producte.
• Activitats d’aprenentatge 16, 17, 18, 19, 20, 21 i 22
24
Mat
emàt
iqu
es, C
ièn
cia
i Tec
no
log
ia2
. EC
ON
OM
IA D
OM
ÈS
TIC
A
UN
ITA
T 1
AC
TIV
ITA
TS
D’A
PR
EN
EN
TAT
GE
ACTIVITATS D’APRENENTATGE
Activitat 1
Completa els productes següents.
a) 0 = 5 x .... e) 10 = 5 x ....
b) .... = 5 x 3 f) 25 = .... x 5
c) 5 = .... x 1 g) 55 = 5 x ....
d) 30 = 5 x .... h) 40 = .... x ....
Activitat 2
Escriu cinc múltiples de 7. Com ho fas per trobar-los?
Activitat 3
Si un nombre és múltiple de 6, també ho és de 3? Per què?
Activitat 4
Troba tots els divisors de 28 més petits que ell. Fes-ne la suma.
................................ + ................................ + ................................ + ................................ + ................................ = ................................
Què observes?
Els nombres naturals que tenen aquesta propietat es diuen nombres perfec-tes. Fes el mateix amb el nombre 6.
Mat
emàt
iqu
es, C
ièn
cia
i Tec
no
log
ia2
. EC
ON
OM
IA D
OM
ÈS
TIC
A
UN
ITA
T 1
AC
TIV
ITA
TS
D’A
PR
EN
EN
TAT
GE
25Activitat 5
Digues com podríem saber, amb l’ajut de la calculadora, si un nombre és múlti-ple d’un altre.
Determina si 440 i 896 són múltiples de 8.
Activitat 6
Podem dir que 1 és múltiple de qualsevol nombre? Per què? I divisor? Per què?
Activitat 7
Sense fer les operacions, digues si 3 és divisor de:
a) 21 + 54
b) 33 — 12
c) 9 + 6
d) 105 — 72
Activitat 8
Escriu els divisors de 4, 6, 9 i 12. Ara fes el mateix amb els nombres 2, 3, 5, 7.Quina diferència observes amb els divisors del primer grup de nombres i elsdel segon grup de nombres? Quin nom reben els nombres del segon grup?
26
Mat
emàt
iqu
es, C
ièn
cia
i Tec
no
log
ia2
. EC
ON
OM
IA D
OM
ÈS
TIC
A
UN
ITA
T 1
AC
TIV
ITA
TS
D’A
PR
EN
EN
TAT
GE
Activitat 9
Construeix un garbell d’Eratòstenes que contingui els nombres primers méspetits que 100.
Activitat 10
Hi ha algun nombre parell que sigui primer? Per què?
Activitat 11
Descompon en factors primers els nombres 48 i 225.
Activitat 12
Completa les següents descomposicions factorials en nombres primers ireescriu-les en forma de potències.
Exemple:
24 = 2 x .... x .... x ....
24 = 2 x 2 x 2 x 3 = 23 x 3
45 = 3 x 5 x .... = .... x ....
156 = 2 x 39 x .... = .... x ....
125 = 5 x 5 x .... = ....
48 = 2 x .... x .... x .... x 3 = .... x ....
Mat
emàt
iqu
es, C
ièn
cia
i Tec
no
log
ia2
. EC
ON
OM
IA D
OM
ÈS
TIC
A
UN
ITA
T 1
AC
TIV
ITA
TS
D’A
PR
EN
EN
TAT
GE
27Activitat 13
Troba tots els divisors del nombre 56.
Activitat 14
Aplica el criteri de divisibilitat per 3 per saber quins dels nombres següentssón múltiples de 3.
576 831 119 13 216
Activitat 15
Digues quin valor ha de tenir «b» perquè els nombres que obtinguem siguindivisibles per 11.
21b2
b3
1819b
Activitat 16
Calcula el mcd i el mcm de les següents parelles de nombres.
a) 28 i 77 b) 54 i 105
Activitat 17
Escriu una parella de nombres que tingui com a mcd el 2.
28
Mat
emàt
iqu
es, C
ièn
cia
i Tec
no
log
ia2
. EC
ON
OM
IA D
OM
ÈS
TIC
A
UN
ITA
T 1
AC
TIV
ITA
TS
D’A
PR
EN
EN
TAT
GE
Activitat 18
Escriu una parella de nombres primers i calcula’n el mcd i el mcm. Què obser-ves? Creus que passarà el mateix amb qualsevol parella de nombres primers?
Activitat 19
Calcula:
a) mcd (3, 17) b) mcd (13, 21) c) mcd (15, 14)
Quan el màxim comú divisor de dos nombres és la unitat es diu que aquestsnombresnombresnombresnombresnombres són primers entre ellsprimers entre ellsprimers entre ellsprimers entre ellsprimers entre ells.
Activitat 20
Escriu el nombre més petit que en dividir-lo per 3, 15 i 18 dóna sempre 2 deresidu.
Activitat 21
Baixem al poble a visitar la família cada 2 setmanes i el nostre germà gran hofa cada 3. Cada quants dies coincidirem?
Activitat 22
En el comerç on treballem volem oferir cistelles de Nadal als nostres clients.Per muntar-les disposem de 92 ampolles de cava, 230 capses de neules i 138pots d’anxoves de l’Escala.Quantes cistelles iguals podrem muntar sense que sobri cap producte? Quantsproductes de cada hi haurà en una cistella?
Mat
emàt
iqu
es, C
ièn
cia
i Tec
no
log
ia2
. EC
ON
OM
IA D
OM
ÈS
TIC
A
UN
ITA
T 1
AC
TIV
ITA
TS
D’A
VA
LU
AC
IÓ
29ACTIVITATS D’AVALUACIÓ
Activitat 1
Troba un múltiple i un divisor de cadascun d’aquests nombres.
a) 3b) 11c) 20d) 36e) 52
Activitat 2
Escriu els set primers múltiples de 17. Quin serà el múltiple que fa 10? I el que fa100?
Activitat 3
Dels nombres següents, digues quins són divisors de vint-i-vuit.
4, 6, 8, 12, 14, 28
Activitat 4
Sense fer les operacions, digues si 5 és divisor de:
20 + 5
35 — 10
10 + 60
1005 — 70
Activitat 5
Dels nombres següents, digues quins són primers i per què.
13, 27, 56, 49, 17, 21, 97, 101, 3, 19, 23
30
Mat
emàt
iqu
es, C
ièn
cia
i Tec
no
log
ia2
. EC
ON
OM
IA D
OM
ÈS
TIC
A
UN
ITA
T 1
AC
TIV
ITA
TS
D’A
PR
EN
EN
TAT
GE
Activitat 6
Descompon en factors primers els nombres 6, 8 i 60.
Activitat 7
Troba tots els divisors del nombre 12.
Activitat 8
Calcula quin ha de ser el valor de «x» en cada cas.
a) x2 és divisible per 2 i per 3
b) 52x és divisible per 4 i per 5
c) x130 és divisible per 2, per 3 i per 5
Activitat 9
Calcula el mcd i el mcm de les següents parelles de nombres.
a) 16 i 32 b) 180 i 45
Activitat 10
El dia del nostre aniversari volem repartir uns anissos als companys de la fei-na. El cas és que no tenim gaire clar de quants anissos disposem, però sí quesabem que els podem repartir o bé en saquets de 12 anissos, o bé en saquetsde 15 anissos o bé en saquets de 14 anissos. En qualsevol cas no tenim més de500 anissos. Quants anissos tindrem per repartir?
Mat
emàt
iqu
es, C
ièn
cia
i Tec
no
log
ia2
. EC
ON
OM
IA D
OM
ÈS
TIC
A
UN
ITA
T 1
SO
LU
CIO
NS
AC
TIV
ITA
TS
D’A
PR
EN
EN
TAT
GE
31SOLUCIONS DE LES ACTIVITATS D’APRENENTATGE
Activitat 1
Completa els productes següents.a) 0 = 5 x .... e) 10 = 5 x ....b) .... = 5 x 3 f) 25 = .... x 5c) 5 = .... x 1 g) 55 = 5 x ....d) 30 = 5 x .... h) 40 = .... x ....a) 0 = 5 x 0 e) 10 = 5 x 2b) 15 = 5 x 3 f) 25 = 5 x 5c) 5 = 5 x 1 g) 55 = 5 x 11d) 30 = 5 x 6 h) 40 = 5 x 8. Tanmateix, hi ha més solucions.
Activitat 2
Escriu cinc múltiples de 7. Com ho fas per trobar-los?
7, 14, 21, 28, 35.
Hem calculat els cinc primers múltiples de 7. Per calcular-los es multiplica elnombre 7 pels cinc primers nombres naturals.
7 x 1 = 77 x 2 = 147 x 3 = 217 x 4 = 287 x 5 = 35
Nota: En cas d’haver començat multiplicant per zero els múltiples serien: 0, 7,14, 21, 28.
Activitat 3
Si un nombre és múltiple de 6, també ho és de 3? Per què?
La resposta és que sí, perquè de fet 6 és un múltiple de 3, 6 = 3 x 2. Si calculemqualsevol múltiple de 6:6 x 1 = 66 x 2 = 126 x 3 = 186 x 4 = 24... ....obtenim el següent:3 x 2 x 1 = 63 x 2 x 2 = 123 x 2 x 3 = 183 x 2 x 4 = 24... ....3 x 2 = 63 x 4 = 123 x 6 = 183 x 8 = 24... ....En efecte 6, 12, 18, 24 ..., també són múltiples de 3.
32
Mat
emàt
iqu
es, C
ièn
cia
i Tec
no
log
ia2
. EC
ON
OM
IA D
OM
ÈS
TIC
A
UN
ITA
T 1
SO
LU
CIO
NS
AC
TIV
ITA
TS
D’A
PR
EN
EN
TAT
GE
................................ + ................................ + ................................ + ................................ + ................................ = ................................
Activitat 4
Troba tots els divisors de 28 més petits que ell. Fes-ne la suma.
................................ + ................................ + ................................ + ................................ + ................................ = ................................
Què observes?
Els nombres naturals que tenen aquesta propietat es diuen nombres perfec-tes. Fes el mateix amb el nombre 6.
Els divisors de 28 més petits que ell mateix són:
1, 2, 4, 7 i 14.
1 2 4 7 14 28
S’observa que la suma dels divisors de 28 més petits que ell mateix dóna elpropi nombre. 28 és, doncs, un nombre perfecte.
Els divisors de 6 més petits que ell mateix són:
1, 2 i 3.
1 + 2 + 3 = 6.
El nombre 6 és també un nombre perfecte.
Activitat 5
Digues com podríem saber, amb l’ajut de la calculadora, si un nombre és múlti-ple d’un altre.
Determina si 440 i 896 són múltiples de 8.
Per saber si un nombre és múltiple d’un altre amb l’ajut de la calculadora, no-més cal dividir el nombre més gran pel més petit i comprovar que la divisiósigui exacta, és a dir, en el resultat que ens doni la calculadora no ha de sortircap xifra decimal.
Per saber si 440 i 896 són múltiples de 8 amb l’ajut de la calculadora farem elscàlculs 440 : 8 i 896 : 8. El primer resultat és exacte: 55. El segon també: 112.Per tant, tots dos nombres, 440 i 896, són múltiples de 8.
Activitat 6
Podem dir que 1 és múltiple de qualsevol nombre? Per què? I divisor? Per què?
1 no pot ser múltiple de qualsevol nombre perquè donat un nombre qualsevol,la manera d’obtenir-ne un múltiple és multiplicant aquest nombre per qualse-vol natural. Aquest producte mai ens donarà 1 llevat que multipliquem el nom-bre 1 per ell mateix. Per tant, com a molt podrem dir que 1 és múltiple d’1.
En canvi, 1 sí que és divisor de qualsevol nombre ja que si dividim qualsevolnombre per 1, la divisió sempre serà exacta.
Mat
emàt
iqu
es, C
ièn
cia
i Tec
no
log
ia2
. EC
ON
OM
IA D
OM
ÈS
TIC
A
UN
ITA
T 1
SO
LU
CIO
NS
AC
TIV
ITA
TS
D’A
PR
EN
EN
TAT
GE
33Activitat 7
Sense fer les operacions, digues si 3 és divisor de:a) 21 + 54b) 33 — 12c) 9 + 6d) 105 — 72
Per resoldre l’activitat utilitzarem les propietats dels múltiples i dels divisors.
21 és divisible per 3 (21 : 3 = 7). 54 és divisible per 3 (54 : 3 = 18). Aleshores lasuma, 21 + 54, és divisible per 3.
33 és divisible per 3 (33 : 3 = 11). 12 és divisible per 3 (12 : 3 = 4 ). Aleshores laresta, 33 — 12, és divisible per 3.
9 és divisible per 3 (9 : 3 = 3 ). 6 és divisible per 3 (6 : 3 = 2). Aleshores la suma,9 + 6, és divisible per 3.
105 és divisible per 3 (105 : 3 = 35). 72 és divisible per 3 (72 : 3 = 24). Aleshoresla resta, 105 — 72 és divisible per 3.
Activitat 8
Escriu els divisors de 4, 6, 9 i 12. Ara fes el mateix amb els nombres 2, 3, 5, 7.Quina diferència observes amb els divisors del primer grup de nombres i elsdel segon grup de nombres? Quin nom reben els nombres del segon grup?
Divisors de 4 = {1, 2, 4}
Divisors de 6 = {1, 2, 3, 6}
Divisors de 9 = {1, 3, 9}
Divisors de 12 = {1, 2, 3, 4, 6, 12}
Divisors de 2 = {1, 2}
Divisors de 3 = {1, 3}
Divisors de 5 = {1, 5}
Divisors de 7 = {1, 7}
Els nombres del segon grup, a diferència dels del primer grup, només tenendos divisors que són els trivials: la unitat i ells mateixos. Els nombres del segongrup s’anomenen primers.
Activitat 9
Construeix un garbell d’Eratòstenes que contingui els nombres primers méspetits que 100.
Fet a la unitat didàctica.
Activitat 10
Hi ha algun nombre parell que sigui primer? Per què?
Sí, només n’hi ha un i és el nombre 2. Tots els altres parells, en ser múltiples de2, tindran com a divisor el nombre 2, a més d’ells mateixos i de la unitat. Això jafa un mínim de tres divisors.
34
Mat
emàt
iqu
es, C
ièn
cia
i Tec
no
log
ia2
. EC
ON
OM
IA D
OM
ÈS
TIC
A
UN
ITA
T 1
SO
LU
CIO
NS
AC
TIV
ITA
TS
D’A
PR
EN
EN
TAT
GE
Activitat 11
Descompon en factors primers els nombres 48 i 225.
48 2 225 324 2 75 312 2 25 56 2 5 53 3 11
48 = 24 x 3 225 = 32 x 52
Activitat 12
Completa les següents descomposicions factorials en nombres primers ireescriu-les en forma de potències.
Exemple:24 = 2 x .... x .... x ....24 = 2 x 2 x 2 x 3 = 23 x 3
45 = 3 x 5 x .... = .... x ....312 = 2 x 39 x .... = .... x ....125 = 5 x 5 x .... = ....48 = 2 x .... x .... x .... x 3 = .... x ....
45 = 3 x 5 x 3 = 32 x 5156 = 2 x 39 x 2 = 22 x 39125 = 5 x 5 x 5 = 53
48 = 2 x 2 x 2 x 2 x 3 = 24 x 3
Activitat 13
Troba tots els divisors del nombre 56.
Descomponem 56 factorialment.
56 228 214 27 71
56 = 23 x 71
56 és divisible per222
23
156 és divisible per
7
Mat
emàt
iqu
es, C
ièn
cia
i Tec
no
log
ia2
. EC
ON
OM
IA D
OM
ÈS
TIC
A
UN
ITA
T 1
SO
LU
CIO
NS
AC
TIV
ITA
TS
D’A
PR
EN
EN
TAT
GE
35Escrivim tots els productes:1 = 1
17 = 7
1 = 22
7 = 14
1 = 422
7 = 28
1 = 823
7 = 56
Divisors de 56 = { 1, 2, 4, 7, 8, 14, 28, 56}
Activitat 14
Aplica el criteri de divisibilitat per 3 per saber quins dels nombres següentssón múltiples de 3.
576 831 119 13 216
5 + 7 + 6 = 18. 18 és múltiple de 3. Aleshores 576 és divisible per 3.8 + 3 + 1 = 12. 12 és múltiple de 3. Aleshores 831 és divisible per 3.1 + 1 + 9 = 11. 11 no és múltiple de 3. Aleshores 119 no és divisible per 3.1 + 3 = 4. 4 no és múltiple de 3. Aleshores 13 no és divisible per 3.2 + 1 + 6 = 9. 9 és múltiple de 3. Aleshores 216 és divisible per 3.
Activitat 15
Digues quin valor ha de tenir «b» perquè els nombres que obtinguem siguindivisibles per 11.
21b2 b3 1819b
21b2. b = 1 ja que (1+2) – (2+1) = 3 – 3 = 0 que és múltiple d’11.Resultat: 2112b3. b = 3 ja que 3 – 3 = 0 que és múltiple d’11.Resultat: 331819b. b = 4 ja que (8+9) – (1+1+4) = 17 – 6 = 11 que és múltiple d’11.Resultat: 18194
x
x
x
x
x
x
x
x
36
Mat
emàt
iqu
es, C
ièn
cia
i Tec
no
log
ia2
. EC
ON
OM
IA D
OM
ÈS
TIC
A
UN
ITA
T 1
SO
LU
CIO
NS
AC
TIV
ITA
TS
D’A
PR
EN
EN
TAT
GE
Activitat 16
Calcula el mcd i el mcm de les següents parelles de nombres.
a) 28 i 77 b) 54 i 105
28 2 77 714 2 11 11 7 7 1 1
28 = 22 x 7 77 = 7 x 11
mcd (28,77) = 7mcm (28,77) = 22 x 7 x 11 = 308
b) 54 2 105 327 3 35 59 3 7 73 3 11
54 = 2 x 33 105 = 3 x 5 x 7
mcd (54,105) = 3mcm (54, 105) = 2 x 33 x 5 x 7 = 1890
Activitat 17
Escriu una parella de nombres que tingui com a mcd el 2.
Exemples de parelles:4 i 614 i 1834 i 2210 i 12etc.
Activitat 18
Escriu una parella de nombres primers i calcula’n el mcd i el mcm. Què obser-ves? Creus que passarà el mateix amb qualsevol parella de nombres primers?
Per exemple: 7 és primer i 13 també és primer.mcd (7,13) = 1mcm (7,13) = 7 x 13 = 91
Observació: el mcd és 1 i el mcm és el producte de tos dos nombres.
Això passarà sempre amb qualsevol parella de nombres primers pel fet de notenir divisors comuns.
Mat
emàt
iqu
es, C
ièn
cia
i Tec
no
log
ia2
. EC
ON
OM
IA D
OM
ÈS
TIC
A
UN
ITA
T 1
SO
LU
CIO
NS
AC
TIV
ITA
TS
D’A
PR
EN
EN
TAT
GE
37Activitat 19
Calcula:
a) mcd (3, 17) b) mcd (13, 21) c) mcd (15, 14)
Quan el màxim comú divisor de dos nombres és la unitat es diu que aquestsnombresnombresnombresnombresnombres són primers entre ellsprimers entre ellsprimers entre ellsprimers entre ellsprimers entre ells.
a) mcd (3, 17) = 1. 3 i 17 són nombres primers entre ells.b) mcd (13, 21) = 1. 13 i 21 són nombres primers entre ells.c) mcd (15, 14) = 1. 15 i 14 són nombres primers entre ells.
Activitat 20
Escriu el nombre més petit que en dividir-lo per 3, 15 i 18 dóna sempre 2 deresidu.
Es calcula el mcm de 3, 15 i 18. A aquest resultat se li suma 2. D’aquesta maneras’aconsegueix que la divisió entre 3, 15 i 18 no sigui exacta i que a més doni 2 deresidu.
mcm (3, 15, 18) = 32 x 5 x 2 = 9090 + 2 = 92
Activitat 21
Baixem al poble a visitar la família cada 2 setmanes i el nostre germà gran hofa cada 3. Cada quants dies coincidirem?
És clar que anirem coincidint cada múltiple de 2 i de 3 setmanes a la vegada.Només cal calcular el múltiple comú més petit de 2 i de 3.
mcm (2,3) = 6
Coincidirem amb el nostre germà cada 6 setmanes o, el que és el mateix, cada42 dies.
38
Mat
emàt
iqu
es, C
ièn
cia
i Tec
no
log
ia2
. EC
ON
OM
IA D
OM
ÈS
TIC
A
UN
ITA
T 1
SO
LU
CIO
NS
AC
TIV
ITA
TS
D’A
PR
EN
EN
TAT
GE
Activitat 22
En el comerç on treballem volem oferir cistelles de Nadal als nostres clients.Per muntar-les disposem de 92 ampolles de cava, 230 capses de neules i 138pots d’anxoves de l’Escala.
Quantes cistelles iguals podrem muntar sense que sobri cap producte? Quantsproductes de cada hi haurà en una cistella?
Tots aquests productes s’han de repartir entre un nombre determinat de ciste-lles. Per tant, el nombre de cistelles haurà de ser un divisor comú a 92, 230 i138. Calculem, doncs, el mcd.
mcd (92, 230, 138) = ?
92 2 230 2 138 246 2 115 5 69 323 23 23 23 23 23
1 1 1
92 = 22 x 23 230 = 2 x 5 x 23 138 = 2 x 3 x 23
mcd (92, 230, 138) = 2 x 23 = 46
Podrem muntar sense que sobri cap producte 46 cistelles i en cada cistella hihaurà:2 ampolles de cava ( 92 : 46 = 2 )5 capses de neules ( 230 : 46 = 5 )3 pots d’anxoves de l’Escala ( 138 : 46 = 3 ).
Mat
emàt
iqu
es, C
ièn
cia
i Tec
no
log
ia2
. EC
ON
OM
IA D
OM
ÈS
TIC
A
UN
ITA
T 1
SO
LU
CIO
NS
AC
TIV
ITA
TS
D’A
VA
LU
AC
IÓ
39SOLUCIONS DE LES ACTIVITATS D’AVALUACIÓ
Activitat 1
Troba un múltiple i un divisor de cadascun d’aquests nombres.
a) 3 b) 11 c) 20 d) 36 e) 52
NombreNombreNombreNombreNombre MúltipleMúltipleMúltipleMúltipleMúltiple DivisorDivisorDivisorDivisorDivisor
3 6 3
11 22 11
20 40 5
36 72 4
52 104 2
Activitat 2
Escriu els set primers múltiples de 17. Quin serà el múltiple que fa 10? I el que fa100?
17 x 1 = 1717 x 2 = 3417 x 3 = 5117 x 4 = 6817 x 5 = 8517 x 6 = 10217 x 7 = 119
El múltiple de 17 que fa 10 serà: 17 x 10 = 170.El múltiple de 17 que fa 100 serà: 17 x 100 = 1.700.
Activitat 3
Dels nombres següents, digues quins són divisors de vint-i-vuit.
4, 6, 8, 12, 14, 28
Els nombres divisors de 28 són 4, 14 i 28. Comprovem que en efecte les divisi-ons són exactes:28 : 4 = 728 : 14 = 228 : 28 = 1
Activitat 4
Sense fer les operacions, digues si 5 és divisor de:
20 + 535 — 1010 + 601.005 — 7020 és divisible per 5. 5 és divisible per 5. Aleshores la suma és divisible per 5.35 és divisible per 5. 10 és divisible per 5. Aleshores la resta és divisible per 5.10 és divisible per 5. 60 és divisible per 5. Aleshores la suma és divisible per 5.1.005 és divisible per 5. 70 és divisible per 5. Aleshores la resta és divisible per 5.
40
Mat
emàt
iqu
es, C
ièn
cia
i Tec
no
log
ia2
. EC
ON
OM
IA D
OM
ÈS
TIC
A
UN
ITA
T 1
SO
LU
CIO
NS
AC
TIV
ITA
TS
D’A
VA
LU
AC
IÓ
Activitat 5
Dels nombres següents, digues quins són primers i per què.
13, 27, 56, 49, 17, 21, 97, 101, 3, 19, 23
13, 17, 97, 101, 3, 19 i 23 són nombres primers perquè tots ells tenen com a únicsdivisors ells mateixos i la unitat.
Activitat 6
Descompon en factors primers els nombres 6, 8 i 60.
6 2 8 2 60 23 3 4 2 30 21 2 2 15 3
1 5 51
6 = 2 x 3 8 = 23 60 = 22 x 3 x 5
Activitat 7
Troba tots els divisors del nombre 12.
Descomponem el nombre 12 factorialment:
12 26 23 31
12 = 22 x 31
12 és divisible per 222
112 és divisible per
3
Escrivim tots els productes:
1 = 11
3 = 3
1 = 22
3 = 6
1 = 422
3 = 12
Divisors de 12 = {1, 2, 3, 4, 6, 12}
x
x
x
x
x
x
Mat
emàt
iqu
es, C
ièn
cia
i Tec
no
log
ia2
. EC
ON
OM
IA D
OM
ÈS
TIC
A
UN
ITA
T 1
SO
LU
CIO
NS
AC
TIV
ITA
TS
D’A
VA
LU
AC
IÓ
41Activitat 8
Calcula quin ha de ser el valor de «x» en cada cas.
a) x2 és divisible per 2 i per 3b) 52x és divisible per 4 i per 5c) x130 és divisible per 2, per 3 i per 5
a) x = 1, x = 4, x = 7 ....b) x = 0c) x = 2, x = 5, x = 8 ....
Activitat 9
Calcula el mcd i el mcm de les següents parelles de nombres.
a) 16 i 32 b) 180 i 45
a) 16 2 32 28 2 16 24 2 8 22 2 4 21 2 2
116 = 24 32 = 25
mcd (16,32) = 24 = 16mcm (16,32) = 25 = 32
b) 180 2 45 390 2 15 345 3 5 515 3 1 5 5 1
180 = 22 x 32 x 5 45 = 32 x 5
mcd (180,45) = 32 x 5 = 45mcm (180,45) = 22 x 32 x 5 = 180
42
Mat
emàt
iqu
es, C
ièn
cia
i Tec
no
log
ia2
. EC
ON
OM
IA D
OM
ÈS
TIC
A
UN
ITA
T 1
SO
LU
CIO
NS
AC
TIV
ITA
TS
D’A
VA
LU
AC
IÓ
Activitat 10
El dia del nostre aniversari volem repartir uns anissos als companys de la fei-na. El cas és que no tenim gaire clar de quants anissos disposem, però sí quesabem que els podem repartir o bé en saquets de 12 anissos, o bé en saquetsde 15 anissos o bé en saquets de 14 anissos. En qualsevol cas no tenim més de500 anissos. Quants anissos tenim per repartir?
Si podem fer saquets d’anissos de 12, 15 i 14 unitats sense que en sobri cap ésperquè el nombre d’anissos serà un múltiple comú de 12, 15 i 14. De múltiplescomuns sabem calcular el més petit. Calculem-lo a veure què passa.12 = 22 x 315 = 3 x 514 = 2 x 7
mcm (12, 15, 14) = 22 x 3 x 5 x 7 = 420.
420 és un resultat que ens va bé perquè és inferior a 500. Qualsevol altremúltiple comú ja estaria per sobre de 500 ja que pel nombre més petit quepodem multiplicar 420 és 2 i el resultat, 840, supera 500.
Tindrem, doncs, 420 anissos per repartir.
què
Mat
emàt
iqu
es, C
ièn
cia
i Tec
no
log
ia2
. EC
ON
OM
IA D
OM
ÈS
TIC
A
U
NIT
AT
1Q
UÈ
HA
S T
RE
BA
LL
AT
?
43
has treballat?
DIVISIBILITAT
Múltiples i divisorsNombres primers
i nombres compostos
Propietats Descomposició en factors primers
Criteris de divisibilitatMàxim comú divisor
i mínim comú múltiple
comM
atem
àtiq
ues
, Ciè
nci
a i T
ecn
olo
gia
2. E
CO
NO
MIA
DO
MÈ
ST
ICA
U
NIT
AT
1C
OM
HO
PO
RT
O?
44
ho porto?
Reconèixer i calcular múltiplesi divisors d’un nombre.
Aplicar les propietats dels múltiplesi divisors d’un nombre.
Distingir nombres compostosi nombres primers.
Aplicar criteris de divisibilitat.
Descompondre un nombreen factors primers.
Resoldre problemes senzillsmitjançant el càlcul del mcd i el mcm.
Omple la graella següent posant una creu on correspongui.
En acabar la unitat, sóc capaç de...
Bé A mitges Malament
Mat
emàt
iqu
es, C
ièn
cia
i Tec
no
log
ia2
. EC
ON
OM
IA D
OM
ÈS
TIC
A U
NIT
AT
2E
LS
RA
CIO
NA
LS
45Unitat 2ELS RACIONALS
quèM
atem
àtiq
ues
, Ciè
nci
a i T
ecn
olo
gia
2. E
CO
NO
MIA
DO
MÈ
ST
ICA
UN
ITA
T 2
QU
È T
RE
BA
LL
AR
ÀS
?
46
treballaràs?En acabar la unitat has de ser capaç de:
· Representar mitjançant les fraccions quantitats o re-lacions entre quantitats.
· Representar nombres racionals sobre la recta numè-rica.
· Comparar i ordenar fraccions.
· Reconèixer i calcular fraccions equivalents.
· Operar amb fraccions.
· Operar amb nombres decimals.
· Aproximar nombres decimals per arrodoniment i pertruncament.
· Conèixer l’existència de nombres que no provenen decap fracció.
Mat
emàt
iqu
es, C
ièn
cia
i Tec
no
log
ia2
. EC
ON
OM
IA D
OM
ÈS
TIC
A U
NIT
AT
2E
LS
RA
CIO
NA
LS
471. Els nombres racionals. Concepte de fracció
Xarrup de llimonaXarrup de llimonaXarrup de llimonaXarrup de llimonaXarrup de llimona
Ingredients (per a 6 persones)1/4 quilo de sucre1/2 litre d’aigua2/10 litres de suc de llimona
Els nombres 1/4, 1/2 i 2/10 tenen tots tres la mateixa expressió: a/ba/ba/ba/ba/b. Aqueststipus de nombres s’anomenen fraccionsfraccionsfraccionsfraccionsfraccions.La divisió dins del conjunt dels nombres enters només és possible quan la divisióés exacta.
: 1 2 3 4 5
—5 —5 ? ? ? —1
—4 —4 —2 ? —1 ?
—3 —3 ? —1 ? ?
—2 —2 —1 ? ? ?
—1 —1 ? ? ? ?
0 0 0 0 0 0
1 1 ? ? ? ?
2 2 1 ? ? ?
3 3 ? 1 ? ?
4 4 2 ? 1 ?
5 5 ? ? ? 1
Mitjançant les fraccions es troba la solució a aquestes divisions que no sónexactes.
: 1 2 3 4 5
—5 —5 —5/2 —5/3 —5/4 —1
—4 —4 —2 —4/3 —1 —4/5
—3 —3 —3/2 —1 —3/4 —3/5
—2 —2 —1 —2/3 —2/4 —2/5
—1 —1 —1/2 —1/3 —1/4 —1/5
0 0 0 0 0 0
1 1 1/2 1/3 1/4 1/5
2 2 1 2/3 2/4 2/5
3 3 3/2 1 3/4 3/5
4 4 2 4/3 1 4/5
5 5 5/2 5/3 5/4 1
El conjunt dels nombres racionalsnombres racionalsnombres racionalsnombres racionalsnombres racionals està format pels nombres enters i per les fraccions ies representa amb la lletra Q.
Q= {...., —3/2,...., —1,...., —1/2,...., 0,...., 1/2,...., 1,...., 3/2,....}
48
Mat
emàt
iqu
es, C
ièn
cia
i Tec
no
log
ia2
. EC
ON
OM
IA D
OM
ÈS
TIC
A U
NIT
AT
2E
LS
RA
CIO
NA
LS
En el conjunt dels nombres racionals l’operació divisió sempre té solució. Elquocient de dos nombres racionals sempre és un altre nombre racional.
En aquest sentit, una fracció pot representar simplement la divisió entre dosuna fracció pot representar simplement la divisió entre dosuna fracció pot representar simplement la divisió entre dosuna fracció pot representar simplement la divisió entre dosuna fracció pot representar simplement la divisió entre dos
nombres entersnombres entersnombres entersnombres entersnombres enters.
Però una fracció pot representar també una part de la unitat o una part delPerò una fracció pot representar també una part de la unitat o una part delPerò una fracció pot representar també una part de la unitat o una part delPerò una fracció pot representar també una part de la unitat o una part delPerò una fracció pot representar també una part de la unitat o una part delconjunt totalconjunt totalconjunt totalconjunt totalconjunt total.
Imagina que el dia del teu aniversari et gastes 12€ en un pastís que comparti-ràs amb els teus amics. Com que sou 6 persones en total, dividiràs el pastís en6 trossos iguals, naturalment.
El que passa és que dos dels teus amics no en volen, de pastís, per allò delrègim. Fixa’t que la fracció 4/6 representa els trossos de pastís que us menja-reu, de 6 que n’hi ha en total.
En canvi, el gràfic següent representa la part de pastís que no es consumirà.Dit d’una altra manera, aquest gràfic representa la fracció 2/6.
Mat
emàt
iqu
es, C
ièn
cia
i Tec
no
log
ia2
. EC
ON
OM
IA D
OM
ÈS
TIC
A U
NIT
AT
2E
LS
RA
CIO
NA
LS
49En termes econòmics hauràs malgastat 4€ ja que hauràs de llençar dos tros-sos de pastís i fixa’t que cada tros té un valor de 2€.
Com que no es consumeixen 2/6 parts de pastís, es malgastaran 2/6 parts de2/6 parts de2/6 parts de2/6 parts de2/6 parts de1212121212€. I acabem de veure que 2/6 parts de 12€ són 4€.
2/6 de 12€ = 4€
Una manera ràpida de fer aquests càlculs és:
2x122/6 de 12 = = 4
6
és a dir, es multiplica el numerador pel total, que en aquest cas és 12, i es divi-deix pel denominador.
Sovint en les retransmissions dels partits de bàsquet per la televisió s’oferei-xen unes dades numèriques en forma de fracció que indiquen els encerts acistella respecte dels intents d’alguns jugadors. Per exemple: 10 de 16 cistellesde 2 punts vol dir que, del total d’intents que ha fet el jugador, en aquest cas 16,n’ha encertat només 10. És a dir, 16 és el total d’intents i 10 una part d’aquestsintents. Aquesta informació es representa de la forma 10/16.
10/16 és una fracció que serveix per expressar la relació entre els encerts i els intents.10/16 és una fracció que serveix per expressar la relació entre els encerts i els intents.10/16 és una fracció que serveix per expressar la relació entre els encerts i els intents.10/16 és una fracció que serveix per expressar la relació entre els encerts i els intents.10/16 és una fracció que serveix per expressar la relació entre els encerts i els intents.
En aquest sentit es pot dir que les fraccions són relacions entre nombres enters.En aquest sentit es pot dir que les fraccions són relacions entre nombres enters.En aquest sentit es pot dir que les fraccions són relacions entre nombres enters.En aquest sentit es pot dir que les fraccions són relacions entre nombres enters.En aquest sentit es pot dir que les fraccions són relacions entre nombres enters.
Una fracció està formada pel numerador, el denominador i la barra que els separa.Una fracció està formada pel numerador, el denominador i la barra que els separa.Una fracció està formada pel numerador, el denominador i la barra que els separa.Una fracció està formada pel numerador, el denominador i la barra que els separa.Una fracció està formada pel numerador, el denominador i la barra que els separa.
10 numerador=
16 denominador
El numerador i el denominador són nombres entersEl numerador i el denominador són nombres entersEl numerador i el denominador són nombres entersEl numerador i el denominador són nombres entersEl numerador i el denominador són nombres enters.
· Activitats d’aprenentatge 1, 2, 3, 4 i 5
50
Mat
emàt
iqu
es, C
ièn
cia
i Tec
no
log
ia2
. EC
ON
OM
IA D
OM
ÈS
TIC
A U
NIT
AT
2E
LS
RA
CIO
NA
LS
2. Comparació i ordenació de fraccions
Compara els encerts d’aquests dos jugadors de bàsquet:
El jugador núm. 15 ha fet 7 cistelles de 10 intents.
El jugador núm. 7 n’ha fet 3 de 5.
Quin dels dos jugadors ha fet més cistelles respecte dels intents?
Per poder comparar les fraccions cal ordenar-les. L’ordenació de fraccions noés tan immediata com la de nombres enters.
7/10 és més gran o més petit que 3/5? Per poder ordenar fraccions han dePer poder ordenar fraccions han dePer poder ordenar fraccions han dePer poder ordenar fraccions han dePer poder ordenar fraccions han detenir el mateix denominador. És el que s’anomena reduir les fraccions a deno-tenir el mateix denominador. És el que s’anomena reduir les fraccions a deno-tenir el mateix denominador. És el que s’anomena reduir les fraccions a deno-tenir el mateix denominador. És el que s’anomena reduir les fraccions a deno-tenir el mateix denominador. És el que s’anomena reduir les fraccions a deno-minador comúminador comúminador comúminador comúminador comú..... Un cop s’està en aquesta situació, només cal comparar els nu-meradors: el numerador més gran correspondrà a la fracció més gran i el nu-merador més petit correspondrà a la fracció més petita.
Per reduir les fraccions a denominador comú se segueixen els passos següents:1) Es calcula el mínim comú múltiple dels denominadors de les fraccions.
Les fraccions que volem comparar són 7/10 i 3/5. Els denominadors de ca-dascuna de les fraccions són 10 i 5. Per tant, s’ha de calcular el mcm (10,5).Si ho calcules veuràs que el mcm és 10. 10 serà el nou denominador en totesdues fraccions.
2) Es divideix el mcm pel denominador de cada fracció i es multiplica el quoci-ent que s’obté pel numerador.
7 10:10x7 7= =
10 10 10
3 10:5x3 6= =
5 10 10
Per comparar 7/10 i 3/5 només cal comparar els numeradors de les fraccionsreduïdes a denominador comú: 7/10 i 6/10. Com que 7 és més gran que 6 alesho-res 7/10 és més gran que 6/10. Equivalentment 7/10 és més gran que 3/5. El juga-dor núm. 15 ha fet més cistelles respecte dels intents que el jugador núm. 7.
00000 1/101/101/101/101/10 2/102/102/102/102/10 3/103/103/103/103/10 4/104/104/104/104/10 5/105/105/105/105/10 6/106/106/106/106/10 7/107/107/107/107/10 8/108/108/108/108/10 9/109/109/109/109/10 11111
Imagina que tens tres gots amb diferents quantitats d’aigua: 1/4 de litre, 2/4 delitre i 3/4 de litre.
00000 1/41/41/41/41/4 2/42/42/42/42/4 3/43/43/43/43/4 11111
Fixa’t que aquestes quantitats no superen la unitat que en aquest cas és 1 litred’aigua.
||||| ||||| ||||| ||||| |||||· ··
||||| ||||| ||||| ||||| ||||| ||||| ||||| ||||| ||||| ||||| |||||· ·
6/106/106/106/106/10 7/107/107/107/107/10
Mat
emàt
iqu
es, C
ièn
cia
i Tec
no
log
ia2
. EC
ON
OM
IA D
OM
ÈS
TIC
A U
NIT
AT
2E
LS
RA
CIO
NA
LS
51Observa que per les fraccions que has vist fins ara sembla que aquestes nohagin de superar mai la unitat. Però no sempre és així. Si agafem els tres gotsd’abans i els aboquem en una ampolla d'1 litre, aquesta vessarà, ja que si su-mem un quart, més dos quarts, més tres quarts, ens donarà sis quarts, i això ésmés d’un litre d’aigua ja que un litre són quatre quarts de litre. Quan les fraccionstenen el numerador més gran que el denominador, llavors superen la unitat.
· Activitats d’aprenentatge 6, 7 i 8
3. Operacions amb fraccions
Per sumar les fraccions d’abans, 1/4, 2/4 i 3/4, com que tenen el mateix deno-minador, només cal sumar els numeradors.
1 2 3 1+2+3 6+ + = =
4 4 4 4 4
Segur que algun cop has comprovat que si a mig litre d’aigua n’hi afegeixes unquart, obtens 3/4 de litre d’aigua. Si escrivim això en forma de fraccions es té:
1/2+1/4=3/4
Sabem el resultat, però aquesta vegada com s’han fet els càlculs?
Com que les fraccions 1/2 i 1/4 tenen diferent denominador, 2 i 4, el que fem ésreduir-les a denominador comú. S’ha de calcular el mcm (2,4). Pots comprovarque dóna 4.
1 4:2x1 2= =
2 4 4
1 4:4x1 1= =
4 4 4
Per tant:
1 1 2 1 3+ = + =
2 4 4 4 4
Si et beus 1/4 de litre de refresc de cola d’una ampolla de litre et queden encara3/4 de litre de refresc per consumir. Per expressar els càlculs corresponents espot representar 1 litre de refresc de cola mitjançant la fracció 1/1, ja que siinterpretem la fracció com el quocient entre dos nombres el resultat és el nom-bre sencer 1.
1 1 1 31 — = — =
4 1 4 4
Com abans, sabem el resultat, però com s’han fet els càlculs?
52
Mat
emàt
iqu
es, C
ièn
cia
i Tec
no
log
ia2
. EC
ON
OM
IA D
OM
ÈS
TIC
A U
NIT
AT
2E
LS
RA
CIO
NA
LS
Com en la suma, per restar fraccions de diferent denominador es redueixen adenominador comú. En aquest cas cal calcular el mcm (1,4) que és evident quedóna 4.
1 1 4:1x1 1 4 1 3— = — = — =
1 4 4 4 4 4 4
El doble de 1/2 litre d’aigua és un litre d’aigua.
La meitat de 1/2 litre d’aigua és 1/4 de litre d’aigua.
1x 2 = 1 litre
2
1 1: 2 = litre
2 4
Com es fan aquests càlculs?
Per multiplicar fraccions només cal multiplicar els numeradors i multiplicar elsdenominadors.
a c axcx =
b d bxd
En l’exemple d’abans, si escrivim 2 de la forma 2/1 es té que:
1 2 1x2 2x = = =1 litre
2 1 2x1 2
Per dividir dues fraccions se li multiplica a la primera fracció la segona peròamb el numerador i el denominador invertits:
a c a d: = x
b d b c
En l’exemple d’abans, si escrivim 2 de la forma 2/1 es té que:
1 2 1 1 1: = x = litre
2 1 2 2 4
· Activitats d’aprenentatge 9 i 10
4. Fraccions equivalents
Si en una ampolla d’un litre d’aigua buida s’aboca primer 1/4 de litre d’aigua iseguidament un altre 1/4 de litre d’aigua s’obté 1/2 litre d’aigua.
Si fem els càlculs corresponents es té que:
1 1 2+ =
4 4 4
Mat
emàt
iqu
es, C
ièn
cia
i Tec
no
log
ia2
. EC
ON
OM
IA D
OM
ÈS
TIC
A U
NIT
AT
2E
LS
RA
CIO
NA
LS
53Aleshores, perquè 2/4 de litre d’aigua i 1/2 litre d’aigua és el mateix?
Fixa’t en el gràfic que representa l’ampolla plena amb 2/4 de litre d’aigua.
Per comptes de dividir el litre en quatre quarts, el dividim en dues meitats. Defet, un litre també és dos mitjos litres. Observa que la part plena de l’ampollacorresponent a 2/4 de litre coincideix amb una part de les dues que hem fet ara.
1/2 i 2/4 representen la mateixa part de la unitat o la mateixa part del total1/2 i 2/4 representen la mateixa part de la unitat o la mateixa part del total1/2 i 2/4 representen la mateixa part de la unitat o la mateixa part del total1/2 i 2/4 representen la mateixa part de la unitat o la mateixa part del total1/2 i 2/4 representen la mateixa part de la unitat o la mateixa part del totalsegons el cas. 1/2 i 2/4 es diu que són fraccions equivalentssegons el cas. 1/2 i 2/4 es diu que són fraccions equivalentssegons el cas. 1/2 i 2/4 es diu que són fraccions equivalentssegons el cas. 1/2 i 2/4 es diu que són fraccions equivalentssegons el cas. 1/2 i 2/4 es diu que són fraccions equivalents.....
Fixa’t que:
2 1x2=
4 2x2
Per trobar fraccions equivalents a una altra, només cal multiplicar-li el nume-rador i el denominador pel mateix nombre. En aquest cas hem multiplicat pelnombre 2.
3 1x3=
6 2x3
En aquest cas hem multiplicat pel nombre 3.
Per tant, 1/2 i 3/6 també són fraccions equivalents.
Una manera ràpida d’identificar si una parella de fraccions són equivalents ésmultiplicant-les en creu. Si s’obté el mateix producte és senyal que són equiva-equiva-equiva-equiva-equiva-
lentslentslentslentslents:
a c=
b d són equivalents si: a x d = b x csón equivalents si: a x d = b x csón equivalents si: a x d = b x csón equivalents si: a x d = b x csón equivalents si: a x d = b x c
· Activitats d’aprenentatge 11 i 12
54
Mat
emàt
iqu
es, C
ièn
cia
i Tec
no
log
ia2
. EC
ON
OM
IA D
OM
ÈS
TIC
A U
NIT
AT
2E
LS
RA
CIO
NA
LS
5. Els nombres decimals
Des de l’arribada de l’euro, els nombres decimalsnombres decimalsnombres decimalsnombres decimalsnombres decimals estan presents en la nostravida. Els preus dels productes són de la forma: 12,23€, 10,50€, 4,05€, etc. A noser que el preu sigui exacte. En aquest cas 12,00€ són directament 12€. Lesmonedes de l’euro han de permetre la construcció de qualsevol import ambuna exactitud de dos decimals. Les monedes que permeten construir la partdecimal dels imports són:
1 cèntim = 0,01 euros2 cèntims = 0,02 euros5 cèntims = 0,05 euros10 cèntims = 0,1 euros20 cèntims = 0,2 euros50 cèntims = 0,5 euros
El que es fa són parts de la unitat: l’euro es divideix en cent partsEl que es fa són parts de la unitat: l’euro es divideix en cent partsEl que es fa són parts de la unitat: l’euro es divideix en cent partsEl que es fa són parts de la unitat: l’euro es divideix en cent partsEl que es fa són parts de la unitat: l’euro es divideix en cent parts. Cada unad’aquestes parts s’anomena cèntim. El valor d’aquestes monedes es pot ex-pressar amb fraccions: la unitat, 1la unitat, 1la unitat, 1la unitat, 1la unitat, 1€ són 100 cèntims són 100 cèntims són 100 cèntims són 100 cèntims són 100 cèntims. Aleshores la moneda d’1cèntim d’euro es pot expressar com 1 cèntim entre 100 cèntims, la moneda de2 cèntims es pot expressar com 2 entre 100, etc.
1 cèntim = 1/100 €2 cèntims = 2/100 €5 cèntims = 5/100 €10 cèntims = 10/100 €20 cèntims = 20/100 €50 cèntims = 50/100 €
Aquestes fraccions s’anomenen fraccions decimalsfraccions decimalsfraccions decimalsfraccions decimalsfraccions decimals perquè tenen com a deno-minador la unitat seguida de zeros.
Fixa’t que els nombres decimals estan relacionats amb les fraccionsels nombres decimals estan relacionats amb les fraccionsels nombres decimals estan relacionats amb les fraccionsels nombres decimals estan relacionats amb les fraccionsels nombres decimals estan relacionats amb les fraccions. Les uni-uni-uni-uni-uni-tats decimalstats decimalstats decimalstats decimalstats decimals són:
1/10 = 0,1, què és la dècima1/10 = 0,1, què és la dècima1/10 = 0,1, què és la dècima1/10 = 0,1, què és la dècima1/10 = 0,1, què és la dècima1/100 = 0,01, què és la centèsima1/100 = 0,01, què és la centèsima1/100 = 0,01, què és la centèsima1/100 = 0,01, què és la centèsima1/100 = 0,01, què és la centèsimai 1/1000 = 0,001, què és la mil·lèsima.1/1000 = 0,001, què és la mil·lèsima.1/1000 = 0,001, què és la mil·lèsima.1/1000 = 0,001, què és la mil·lèsima.1/1000 = 0,001, què és la mil·lèsima.
Així, el número: 0,386 té 3 dècimes, 8 centèsimes i 6 mil·lèsimes.
0,386 es llegeix tres-centes vuitanta-sis mil·lèsimes.
Recorda que 1€ equival a 166,386 pessetes.
6. Aproximacions de nombres decimals
La conversió de pessetes a euros es fa per arrodonimentarrodonimentarrodonimentarrodonimentarrodoniment. Quan es divideix unaquantitat de pessetes per 166,386 per saber quants euros són, de vegadessurten quantitats amb una cua molt llarga de decimals. Però l’euro només tre-balla amb dues xifres decimals. Per arrodonir una cua de decimals a les centè-simes, ens fixem en la xifra de les mil·lèsimes. Si és més petita que 5 mantenimla xifra de les centèsimes, i si és igual que 5 o més gran augmentem una unitatla xifra de les centèsimes.
Mat
emàt
iqu
es, C
ièn
cia
i Tec
no
log
ia2
. EC
ON
OM
IA D
OM
ÈS
TIC
A U
NIT
AT
2E
LS
RA
CIO
NA
LS
55Per exemple: El preu d’una entrada de cinema en pessetes són 700 pts. Eneuros són 4,21€.
Si fem els càlculs:
700 : 166,386 = 4,2070847....
Com que la xifra de les mil·lèsimes és un 7, que és més gran que 5, la xifra de lescentèsimes, que és 0, augmenta en una unitat i passa a ser un 1. Per tant,4,2070847... s’arrodoneix a 4,21.
Una altra tècnica d’aproximació d’un nombre decimal a les unitats que ensinteressi és el truncamenttruncamenttruncamenttruncamenttruncament. Per exemple, per truncar el nombre 166,386 per lescentèsimes s’escriu el nombre fins a les centèsimes i se n’eliminen les xifres dela dreta: 166,38.
ACTIVITAT
Com seria el nombre 166,386 arrodonit a les centèsimes?
Solució
166,39
7. Suma i resta de nombres decimals
El preu d’una barra de pa és de 45 cèntims. Aquesta quantitat es pot pagaramb una moneda de 20 cèntims, dues monedes de 10 cèntims i finalment unamoneda de 5 cèntims. Amb aquestes monedes s’abona l’import exacte.
20 cèntims + 10 cèntims + 10 cèntims + 5 cèntims = 45 cèntims.
Dit d’una altra manera:
0,20€ + 0,10€ + 0,10€ + 0,05€ = 0,45€
0,45€ és una altra manera de donar el preu de la barra de pa.
Fixa’t que per pagar la barra de pa s’han de sumar nombres decimals.
Si es paga la barra de pa amb una moneda d’1€, el canvi serà de 55 cèntims jaque 1€ equival a 100 cèntims i per tant:
100 cèntims — 45 cèntims = 55 cèntims.
Dit d’una altra manera:
1€ — 0,45€ = 0,55€.
Fixa’t que per tornar el canvi s’han de restar nombres decimals.
· Activitats d’aprenentatge 13 i 14
56
Mat
emàt
iqu
es, C
ièn
cia
i Tec
no
log
ia2
. EC
ON
OM
IA D
OM
ÈS
TIC
A U
NIT
AT
2E
LS
RA
CIO
NA
LS
8. El nombre ∏
Si fem la divisió entre el numerador i el denominador d’una fracció, la majoriade les vegades ens donarà un nombre decimal llevat que ens doni directamentun nombre enter.
En canvi, no tots els nombres decimals es poden posar en forma de fracció.
El nombre Π és un d’aquests nombres.
L’origen del nombre Π s’ha de buscar en el càlcul de la longitud de la circumfe-rència. Aquest càlcul fou una obsessió per a Arquimedes, màxima figura de lamatemàtica grega. Des de feia força temps ja es va veure que la relació entrela longitud d’una circumferència i el seu diàmetre donava sempre el mateixnombre. Aquesta relació es pot expressar en forma de fracció. En el numera-dor apareix la longitud de la circumferència i en el denominador el seu diàme-tre: L/d. A aquest valor, se’l va anomenar nombre d’Arquimedes i resultavamolt difícil de calcular perquè la divisió no era exacta.
Avui dia sabem que el nombre Π no prové de cap fracció i que està format peruna cua amb infinits decimals. Gràcies als ordinadors s’han pogut trobar mésde mil milions de xifres decimals d’aquest nombre i es continua investigant.
Π = 3,14159265358979...
Mat
emàt
iqu
es, C
ièn
cia
i Tec
no
log
ia2
. EC
ON
OM
IA D
OM
ÈS
TIC
A
UN
ITA
T 2
AC
TIV
ITA
TS
D’A
PR
EN
EN
TAT
GE
57 ACTIVITATS D’APRENENTATGE
Activitat 1
Representa en forma de fracció la part acolorida de les figures següents:
Activitat 2
Reconstrueix la figura completa si la figura representa les 3/6 parts del total.
Activitat 3
Mitja hora, quina fracció representa respecte d’una hora? I tres quarts d’hora?I 40 minuts?
Activitat 4
Completa els espais en blanc:
2de ............ és 8
5
3de ............ és 9
7
.......de 10 és 5
2
3de 10 és 5
.......
58
Mat
emàt
iqu
es, C
ièn
cia
i Tec
no
log
ia2
. EC
ON
OM
IA D
OM
ÈS
TIC
A
UN
ITA
T 2
AC
TIV
ITA
TS
D’A
PR
EN
EN
TAT
GE
Activitat 5
Quants diners són 2/3 de 600€?
Activitat 6
Dibuixa una recta horitzontal. Marca el —1, el 0 i l’1. Després marca els nombressegüents:
—1/3 i 3/4.
Activitat 7
Ordena de més petita a més gran les fraccions següents:
a) 1/7, 9/7, 3/7
b) —2/5, 1/5
c) 1/2, 2/5, 1/3
Activitat 8
En un concurs de menjadors de calçots un participant s’ha menjat 1/8 part delscalçots de què es disposava, mentre que un altre participant se n’ha menjat2/9 parts. Quin dels dos participants ha menjat més calçots? Si en total esdisposava de 720 calçots per al concurs, quants calçots s’ha menjat cada par-ticipant?
Activitat 9
Calcula el doble de les fraccions següents:
1/2, 3/4, 1/12, 5/10.
Mat
emàt
iqu
es, C
ièn
cia
i Tec
no
log
ia2
. EC
ON
OM
IA D
OM
ÈS
TIC
A
UN
ITA
T 2
AC
TIV
ITA
TS
D’A
PR
EN
EN
TAT
GE
59Activitat 10
Completa les taules segons l’operació que s’indica:
Activitat 11
Completa la següent sèrie de fraccions equivalents:
30 ...... ...... 15= = =
48 144 8 ......
Activitat 12
Digues quines de les següents parelles de fraccions són equivalents:
39 21 100 13 10 5i i i
26 15 500 65 12 6
Activitat 13
Un menú de restaurant abans costava 1.000 pessetes. Quin és actualment elpreu d’aquest menú en euros? Si paguem el menú amb un bitllet de 10€, quantseuros i quants cèntims ens tornaran en el canvi? (S’ha d’usar l’aproximació perarrodoniment. Recorda que 1€ = 166,386 pessetes. Pots utilitzar la calculadora.)
+++++ 1/2 1/3 3/4
3/2
2/3
1/4
xxxxx 1/2 1/3 3/4
3/2
2/3
1/4
60
Mat
emàt
iqu
es, C
ièn
cia
i Tec
no
log
ia2
. EC
ON
OM
IA D
OM
ÈS
TIC
A
UN
ITA
T 2
AC
TIV
ITA
TS
D’A
PR
EN
EN
TAT
GE
Activitat 14
Arrodoneix a les centèsimes els següents nombres decimals:
0,0056 =
166,386 =
4,012 =
Mat
emàt
iqu
es, C
ièn
cia
i Tec
no
log
ia2
. EC
ON
OM
IA D
OM
ÈS
TIC
A
U
NIT
AT
2A
CT
IVIT
AT
S D
’AV
AL
UA
CIÓ
61ACTIVITATS D’AVALUACIÓ
Activitat 1
Ordena de més petita a més gran les fraccions següents. Representa-les sobrela recta numèrica marcant prèviament els punts de referència 0 i 1.
3/4, 3/2, 1/4, 1/2.
Activitat 2
D’1/2, quants quarts se’n treuen?
Activitat 3
Indica quina fracció d’un bitllet de 10€ representa:
a) Una moneda d’1€
b) Una moneda de 2€
c) Un bitllet de 5€
Activitat 4
Del nombre 36 escriu el que val:
La meitat
Un terç
Un quart
I una novena part
Activitat 5
Les 3/5 parts d’una garrafa de vi s’emplenen amb vi del Priorat i les 2/7 partsamb vi de la Terra Alta. Quina fracció de la garrafa s’ha emplenat amb aquestamescla?
62
Mat
emàt
iqu
es, C
ièn
cia
i Tec
no
log
ia2
. EC
ON
OM
IA D
OM
ÈS
TIC
A
U
NIT
AT
2A
CT
IVIT
AT
S D
’AV
AL
UA
CIÓ
Activitat 6
Són equivalents les parelles de fraccions següents?
2 2x5 7 7x3i i
9 9x5 2 2x3
Quina propietat observes?
Activitat 7
El preu d’uns texans abans era de 6.000 pessetes. Quin és actualment el seupreu en euros? Si es paguen els texans amb un bitllet de 50€, quin serà elcanvi? (S’ha d’usar l’aproximació per arrodoniment. Recorda que 1€ = 166,386pessetes. Pots utilitzar la calculadora.)
Mat
emàt
iqu
es, C
ièn
cia
i Tec
no
log
ia2
. EC
ON
OM
IA D
OM
ÈS
TIC
A
UN
ITA
T 2
SO
LU
CIO
NS
AC
TIV
ITA
TS
D’A
PR
EN
EN
TAT
GE
63SOLUCIONS DE LES ACTIVITATS D’APRENENTATGE
Activitat 1
Representa en forma de fracció la part acolorida de les figures següents:
a) b) c)
1 2 4a) b) c)
4 8 6
Activitat 2
Reconstrueix la figura completa si la figura representa les 3/6 parts del total.
Si es completa la figura anterior amb tres quadrats més s’obté un rectangledividit en sis parts iguals:
En efecte la figura inicial representa les 3/6 parts del total del rectangle.
Activitat 3
Mitja hora, quina fracció representa respecte d’una hora? I tres quarts d’hora?I 40 minuts?
Mitja hora: 1/2
Tres quarts d’hora: 3/4
40 minuts: 40/60. Recorda que una hora són 60 minuts.
64
Mat
emàt
iqu
es, C
ièn
cia
i Tec
no
log
ia2
. EC
ON
OM
IA D
OM
ÈS
TIC
A
UN
ITA
T 2
SO
LU
CIO
NS
AC
TIV
ITA
TS
D’A
PR
EN
EN
TAT
GE
Activitat 4
Completa els espais en blanc:
2de 20 és 8
5
3de 21 és 9
7
Activitat 5
Quants diners són 2/3 de 600€?
2 2x600 1200de 600 = = = 400
3 3 3
2/3 de 600€ són 400€.
Activitat 6
Dibuixa una recta horitzontal. Marca el –1, el 0 i l’1. Després marca els nombressegüents: —1/3 i 3/4.
Activitat 7
Ordena de més petita a més gran les fraccions següents.
a) 1/7, 9/7, 3/7
b) –2/5, 1/5
c) 1/2, 2/5, 1/3
a) 1/7 < 3/7 < 9/7
b) –2/5 < 1/5
c) mcm (2,5,3) = 30
1 15 2 12 1 10= = =
2 30 5 30 3 30
10/30 < 12/30 < 15/30
Per tant: 1/3 < 2/5 < 1/2
1de 10 és 5
2
3de 10 és 15
2
||||| ||||| ||||| ||||| ||||| ||||| |||||· ··—1—1—1—1—1 —2/3—2/3—2/3—2/3—2/3 —1/3—1/3—1/3—1/3—1/3 00000 1/31/31/31/31/3 2/32/32/32/32/3 11111
||||| ||||| ||||| ||||| ||||| ||||| ||||| ||||| |||||· · ·—1—1—1—1—1 —3/4—3/4—3/4—3/4—3/4 —2/4—2/4—2/4—2/4—2/4 —1/4—1/4—1/4—1/4—1/4 00000 1/41/41/41/41/4 2/42/42/42/42/4 3/43/43/43/43/4 11111
Mat
emàt
iqu
es, C
ièn
cia
i Tec
no
log
ia2
. EC
ON
OM
IA D
OM
ÈS
TIC
A
UN
ITA
T 2
SO
LU
CIO
NS
AC
TIV
ITA
TS
D’A
PR
EN
EN
TAT
GE
65Activitat 8
En un concurs de menjadors de calçots un participant s’ha menjat 1/8 part delscalçots de què es disposava, mentre que un altre participant se n’ha menjat 2/9parts. Quin dels dos participants ha menjat més calçots? Si en total es dispo-sava de 720 calçots per al concurs, quants calçots s’ha menjat cada partici-pant?
Per comparar 1/8 i 2/9 s’han de reduir les fraccions a denominador comú.
mcm (8,9) = 72
1 9 2 16= =
8 72 9 72
16/72 és més gran que 9/72. Per tant 2/9 és més gran que 1/8.
1 1x720 2 2x720de 720 = = 90 de 720 = = 160
8 8 9 9
Els participants s’han menjat 90 i 160 calçots respectivament.
Activitat 9
Calcula el doble de les fraccions següents:
1/2, 3/4, 1/12, 5/10.
1 2 3 62x = = 1 2x =
2 2 4 4
Activitat 10
Completa les taules segons l’operació que s’indica:
Activitat 11
Completa la següent sèrie de fraccions equivalents:
30 90 5 15= = =
48 144 8 24
+++++ 1/2 1/3 3/4
3/2 2 11/6 9/4
2/3 7/6 1 17/12
1/4 3/4 7/12 1
xxxxx 1/2 1/3 3/4
3/2 3/4 3/6 9/8
2/3 2/6 2/9 6/12
1/4 1/8 1/12 3/16
1 2 5 102x = 2x = = 1
12 12 10 10
66
Mat
emàt
iqu
es, C
ièn
cia
i Tec
no
log
ia2
. EC
ON
OM
IA D
OM
ÈS
TIC
A
UN
ITA
T 2
SO
LU
CIO
NS
AC
TIV
ITA
TS
D’A
PR
EN
EN
TAT
GE
39 21i
26 15
Activitat 12
Digues quines de les següents parelles de fraccions són equivalents:
39 21 100 13 10 5i i i
26 15 500 65 12 6
Usarem la propietat a/b = c/d (són equivalents) vol dir a x d = b x d
39 x 15 = 585
26 x 21 = 546
39/26 i 21/15 no són fraccions equivalents.
100 x 65 = 6.500
500 x 13 = 6.500
100/500 i 13/65 són fraccions equivalents.
10 x 6 = 60
12 x 5 = 60
10/12 i 5/6 són fraccions equivalents.
Activitat 13
Un menú de restaurant abans costava 1.000 pessetes. Quin és actualment elpreu d’aquest menú en euros? Si paguem el menú amb un bitllet de 10€, quantseuros i quants cèntims ens tornaran en el canvi? (s’ha d’usar l’aproximació perarrodoniment. Recorda que 1€ = 166,386 pessetes. (Pots utilitzar la calculadora).
Per saber quants euros són 1.000 pessetes hem de dividir:
1000 : 166,386 = 6,010121 ....
Si arrodonim a les centèsimes tenim que 1.000 pts. = 6,01€.
10 – 6,01 = 3,99
Si paguem amb un bitllet de 10€ el canvi serà de 3€ i 99 cèntims.
Activitat 14
Arrodoneix a les centèsimes els següents nombres decimals:
a) 0,0056 = 0,01
b) 166,386 = 166,39
c) 4,012 = 4,01
100 13i
500 65
10 5i
12 6
Mat
emàt
iqu
es, C
ièn
cia
i Tec
no
log
ia2
. EC
ON
OM
IA D
OM
ÈS
TIC
A
U
NIT
AT
2S
OL
UC
ION
S A
CT
IVIT
AT
S D
’AV
AL
UA
CIÓ
67SOLUCIONS DE LES ACTIVITATS D’AVALUACIÓ
Activitat 1
Ordena de més petita a més gran les fraccions següents. Representa-les sobrela recta numèrica marcant prèviament els punts de referència 0 i 1.
3/4, 3/2, 1/4, 1/2.
mcm (2,4) = 4Reduïm les fraccions a denominador comú:3/43/2 = 6/41/41/2 = 2/4
Si ordenem de més petit a més gran fixant-nos en els numeradors tenim que:1/4 < 2/4 < 3/4 < 6/4Per tant:1/4 < 1/2 < 3/4 < 3/2
Activitat 2
D’1/2, quants quarts se’n treuen?
D’1/2 es treuen dos quarts ja que si d’un litre d’aigua es treuen quatre quartsde litre, de mig litre d’aigua es trauran dos quarts de litre.
També es pot resoldre mitjançant una divisió:
1 1 1 4 4: = x = = 2
2 4 2 1 2
1/2 conté dos cops 1/4.
Activitat 3
Indica quina fracció d’un bitllet de 10€ representa:
a) Una moneda d’1€ a) 1/10b) Una moneda de 2€ b) 2/10c) Un bitllet de 5€ c) 5/10
||||| ||||| ||||| ||||| ||||| |||||
00000 1/41/41/41/41/4 1/21/21/21/21/2 3/43/43/43/43/4 11111 3/23/23/23/23/2
68
Mat
emàt
iqu
es, C
ièn
cia
i Tec
no
log
ia2
. EC
ON
OM
IA D
OM
ÈS
TIC
A
U
NIT
AT
2S
OL
UC
ION
S A
CT
IVIT
AT
S D
’AV
AL
UA
CIÓ
Activitat 4
Del nombre 36 escriu el que val:
La meitatUn terçUn quartI una novena part
La meitat de 36 Un terç de 36
1 36 1 36de 36 = = 18 de 36 = = 12
2 2 3 3
Un quart de 36 Una novena part de 36
1 36 1 36de 36 = = 9 de 36 = = 4
4 4 9 9
Activitat 5
Les 3/5 parts d’una garrafa de vi s’emplenen amb vi del Priorat i les 2/7 partsamb vi de la Terra Alta. Quina fracció de la garrafa s’ha emplenat amb aquestamescla?
mcm (5,7) = 35
3 2 21 10 31+ = + =
5 7 35 35 35
S’han emplenat 31/35 parts de la garrafa amb aquesta mescla.
Activitat 6
Són equivalents les parelles de fraccions següents?
2 2x5 7 7x3i i
9 9x5 2 2x3
Quina propietat observes?
2 2x5 2x5 10i =
9 9x5 9x5 45
2/9 = 10/452 x 45 = 909 x 10 = 90
Per tant 2/9 = 10/45.
7 7x3 7x3 21i =
2 2x3 2x3 6
7/2 = 21/67 x 6 = 422 x 21 = 42Per tant 7/2 = 21/6.
?
?
Mat
emàt
iqu
es, C
ièn
cia
i Tec
no
log
ia2
. EC
ON
OM
IA D
OM
ÈS
TIC
A
U
NIT
AT
2S
OL
UC
ION
S A
CT
IVIT
AT
S D
’AV
AL
UA
CIÓ
69La propietat que s’observa és que en multiplicar el numerador i el denomina-dor d’una fracció pel mateix nombre s’obté una altra fracció que és equivalenta la primera.
Activitat 7
El preu d’uns texans abans era de 6.000 pessetes. Quin és actualment el seupreu en euros? Si es paguen els texans amb un bitllet de 50€, quin serà elcanvi? (S’ha d’usar l’aproximació per arrodoniment. Recorda que 1€ = 166,386pessetes. Pots utilitzar la calculadora.)
6.000 : 166,386 = 36,06072...Si arrodonim a les centèsimes 6.000 pessetes. són 36,06€.
50 — 36,06 = 13,94Si paguem amb un bitllet de 50€ el canvi serà de 13€ i 94 cèntims.
què
Mat
emàt
iqu
es, C
ièn
cia
i Tec
no
log
ia2
. EC
ON
OM
IA D
OM
ÈS
TIC
A
U
NIT
AT
2Q
UÈ
HA
S T
RE
BA
LL
AT
?
71
has treballat?
NOMBRES RACIONALS
FRACCIONS DECIMALS
Expressió i
representació
Comparació i
ordenació
Fraccions
equivalents
Operacions
(+, —, x, :)
ExpressióOperacions
(+, —)Aproximació
comM
atem
àtiq
ues
, Ciè
nci
a i T
ecn
olo
gia
2. E
CO
NO
MIA
DO
MÈ
ST
ICA
UN
ITA
T 2
CO
M H
O P
OR
TO
?
72
ho porto?
Representar mitjançant les fraccionsquantitats o relacions entre quantitats.
Representar sobre la recta numèricanombres racionals.
Comparar i ordenar fraccions.
Identificar i calcular fraccionsequivalents.
Operar amb fraccions.
Operar amb decimals.
Aproximar decimals per arrodonimenti per truncament.
Omple la graella següent posant una creu on correspongui.
En acabar la unitat, sóc capaç de...
Bé A mitges Malament
Mat
emàt
iqu
es, C
ièn
cia
i Tec
no
log
ia2
. EC
ON
OM
IA D
OM
ÈS
TIC
A U
NIT
AT
3P
RO
PO
RC
ION
AL
ITA
T
73Unitat 3PROPORCIONALITAT
quèM
atem
àtiq
ues
, Ciè
nci
a i T
ecn
olo
gia
2. E
CO
NO
MIA
DO
MÈ
ST
ICA
UN
ITA
T 3
QU
È T
RE
BA
LL
AR
ÀS
?
74
treballaràs?En acabar la unitat has de ser capaç de:
· Diferenciar entre raó de proporció i proporcionalitat.
· Calcular les mides reals a partir de representacionsa escala.
· Calcular les mides a escala de distàncies reals perelaborar plànols, mapes, etc.
· Utilitzar la propietat fonamental de les proporcions.
· Trobar dades mitjançant la regla de tres.
· Calcular percentatges.
· Trobar dades reals en casos concrets a partir delsseus percentatges.
Mat
emàt
iqu
es, C
ièn
cia
i Tec
no
log
ia2
. EC
ON
OM
IA D
OM
ÈS
TIC
A U
NIT
AT
3P
RO
PO
RC
ION
AL
ITA
T
751. Raó i proporcionsEl Dry Martini és un còctel que es prepara barrejant ginebra amb una quantitatvariable de vermut blanc i que s’acostuma a adornar amb una oliva o un trossetde pell de llimona. Existeixen, doncs, moltes variants del Dry Martini. Una deles receptes podria ésser aquesta:
Dry MartiniDry MartiniDry MartiniDry MartiniDry Martini
1 Part de vermut blanc3 Parts de ginebra1 Oliva
Fixa’t que per preparar el Dry Martini hauríem de barrejar, en una cocteleraamb gel, 1 part de vermut blanc i tres de ginebra. Això ho podríem escriure enforma de fracció:
Parts de vermut blanc 1=
Parts de ginebra 3
La relació entre les parts de ginebra i les parts de vermut blanc és el que ano-menem raóraóraóraóraó i és un nombre que ens dóna una idea de la relació entre les partsde vermut i les parts de ginebra. En aquest cas la relació és d’una a tres.
Una raóraóraóraóraó és el quocient de dues quantitats comparables. La raó ens indica el nombre devegades que el dividend conté el divisor.
Segur que has estat temptat de dir que la proporció de ginebra i de vermutblanc en un Dry Martini és d’un terç. De fet, en el llenguatge del carrer, quanparlem de raons les anomenem proporcions, però matemàticament una pro-porció és una altra cosa, com veuràs d’aquí a uns moments.
Imagina ara que vols preparar dos Dry Martini, la quantitat de ginebra i devermut serà, lògicament, el doble. I per tant la raó entre les dues quantitatsserà:
Parts de vermut blanc 2=
Parts de ginebra 6
I si en volguéssim tres? Lògicament, hauríem de posar tres parts de vermutblanc i nou de ginebra. La raó entre les dues quantitats, en aquesta ocasió,seria de:
Parts de vermut blanc 3=
Parts de ginebra 9
Fixa’t que en tots els casos hi ha tres vegades més ginebra que vermut blanc.Això és així ja que 1/3, 2/6 i 3/9 representen la mateixa raó ja que:
1 2 3= = = 0,33
3 6 9
Una proporcióproporcióproporcióproporcióproporció és la igualtat entre dues raons.
La raó de proporcióraó de proporcióraó de proporcióraó de proporcióraó de proporció és en aquest cas 0,33.
76
Mat
emàt
iqu
es, C
ièn
cia
i Tec
no
log
ia2
. EC
ON
OM
IA D
OM
ÈS
TIC
A U
NIT
AT
3P
RO
PO
RC
ION
AL
ITA
T
ACTIVITAT
Quan reveles un rodet de fotografies pots demanar que les còpies te les facin adiferents formats, 7x10, 10x15, 18x24, 20x30, etc. Aquests nombres ens indi-quen les mides dels costats de les fotografies. Tenint en compte que la midadel negatiu és de 3,6 cm x 2,4 cm, digues quins formats són proporcionals a lamida del negatiu.
Resolució
La raó de proporció del negatiu és
Per tant, els formats de fotografies que estan en proporció amb els negatiussón aquells que tenen la mateixa raó de proporció:
10 cm7x10 = = 1,43
7 cm
15 cm10x15 = = 1,5
10 cm
24 cm18x24 = = 1,33
18 cm
30 cm20x30 = = 1,5
20 cm
Els formats de fotografies proporcionals als negatius són, per tant, el 10x15 i el20x30, ja que tots tres tenen la mateixa raó de proporció.
Fixa’t en les figures següents:
A primera vista ja es veu que un és més gran que l‘altre, però tenen la mateixaforma? És evident que no, el segon és més quadrat que el primer. És a dir, amés de ser de mides diferents, les seves proporcions són diferents.
3,6 cm= 1,5
2,4 cm
Mat
emàt
iqu
es, C
ièn
cia
i Tec
no
log
ia2
. EC
ON
OM
IA D
OM
ÈS
TIC
A U
NIT
AT
3P
RO
PO
RC
ION
AL
ITA
T
77ACTIVITAT
Mesura amb un regle els costats dels quadrats anteriors i calcula les sevesraons de proporció.
Resolució
Si mesures els quadrats veuràs que el primer fa 3 cm x 2,1 cm i el segon 5,4 cmx 4,4 cm. Les seves raons de proporció són:
2,1 cm 4,4 cm= 0,7 i = 0,81
3 cm 5,4 cm
Ja hem vist que les mides dels seus costats no eren proporcionals; per tant,com és lògic, les seves raons de proporció són diferents.
Fixa’t ara en aquests dos rectangles:
Torna a ésser evident que el segon és bastant més gran que el primer, però, i laforma? Són diferents o són iguals? És a dir, guarden la mateixa proporció?Aparentment sí, però no ho sabrem del cert si no calculem la raó de proporcióde cadascun d’ells i la comparem. Anem a fer-ho.
ACTIVITAT
Mesura amb un regle els costats dels rectangles anteriors i calcula la raó deproporció de cadascun d’ells.
Resolució
Si mesures els rectangles veuràs que el primer fa 2,1 cm x 3 cm i el segon4,2 cm x 6 cm. Les seves raons de proporció són:
2,1 cm 4,2 cm= 0,7 i = 0,7
3 cm 6 cm
Efectivament, els dos rectangles són proporcionals ja que tots dos tenen lamateixa raó de proporció i per tant:
2,1 cm 4,2 cm= = 0,7
3 cm 6 cm
· Activitats d’aprenentatge 1, 2 i 3
78
Mat
emàt
iqu
es, C
ièn
cia
i Tec
no
log
ia2
. EC
ON
OM
IA D
OM
ÈS
TIC
A U
NIT
AT
3P
RO
PO
RC
ION
AL
ITA
T
2. Escales: plànols, mapes i maquetesLa proporcionalitat ens permet dibuixar figures de diferents mides, però ambla mateixa forma. Això ho utilitzem per dibuixar objectes que són massa gransper representar-los a mida real. Imagina que vas a visitar la Catedral de Gironai li fas una fotografia. Evidentment quan la revelis tindràs una imatge de laCatedral, amb la mateixa forma que la Catedral, però molt més petita. Comhem vist, si conserva la mateixa forma, és perquè totes les mesures tenen lamateixa proporció respecte a la Catedral.
Quan fem un dibuix d’una habitació o un plànol d’una ciutat o d’un país, totesles distàncies es redueixen seguint la mateixa raó de proporció. En aquest casla raó s’anomena escala.
L’escalaescalaescalaescalaescala d’un plànol o d’un mapa és la relació entre la distància sobre el paper i la distàn-cia real
Distància sobre el paperEscala =
Distància real
Anem a calcular les mides reals d’aquesta habitació. L’escala és 1:100. Això ensdiu que una unitat del plànol correspon a 100 unitats de la realitat. Fixa’t queles escales no tenen unitats. Podem utilitzar les que vulguem, sempre que uti-litzem les mateixes per al plànol o mapa i per a la distància real.
L’escala 1:100 pot significar:
· 1 cm sobre el paper correspon a 100 cm en la realitat, és a dir, a 1 m.
· 1 dm sobre el paper correspon a 100 dm en la realitat, és a dir, a 10 m.
· 1 mm sobre el paper correspon a 100 mm en la realitat, és a dir, a 0,1 m.
Si mesurem l’amplada de l’habitació, veiem que sobre el mapa fa 3,5 cm, pertant:
Amplada real de l’habitació = 3,5 cm x 100 = 350 cm = 3,5 m
ACTIVITAT 1:
Calcula la llargada de l’habitació.
Resolució:
Si mesurem sobre el plànol, trobem que la llargada de l’habitació és de 4,2 cm.
Mat
emàt
iqu
es, C
ièn
cia
i Tec
no
log
ia2
. EC
ON
OM
IA D
OM
ÈS
TIC
A U
NIT
AT
3P
RO
PO
RC
ION
AL
ITA
T
79Per tant:
Llargada real de l’habitació = 4,2 cm x 100 = 420 cm = 4,2 m
ACTIVITAT 2:
Calcula la distància real entre Manresa i Barcelona.
Resolució
L’escala del mapa és 1:2.500.000, és a dir:
1 cm en el mapa són 2.500.000 cm en la vida real
1cm 2.500.000 cm = 25 Km
Per tant, cada centímetre damunt del mapa representa 25 quilòmetres en lavida real. La distància entre Manresa i Barcelona, en el mapa, és d’1,9 cm, i pertant en la vida real és de:
1,9 x 25 Km = 47,5 Km.
· Activitats d’aprenentatge 4 i 5
▼
Barcelona
Manresa
Lleida
Tarragona
Berga
GironaLa Bisbal d’Empordà
Escala 1: 2.500.000
0 25 50 75 km
80
Mat
emàt
iqu
es, C
ièn
cia
i Tec
no
log
ia2
. EC
ON
OM
IA D
OM
ÈS
TIC
A U
NIT
AT
3P
RO
PO
RC
ION
AL
ITA
T
3. La raó de proporció ens permet buscar dadesPensa un moment en el que hem fet fins ara:
· Les proporcions ens permeten representar, a escala, objectes i espais que en la reali-tat són massa grans per poder fer-ne representacions a la mateixa mida.
· Les proporcions ens permeten trobar dades que desconeixem a partir d’altres dades.
Quedem-nos aquí un moment, ja que això és més important del que sembla.Fixa’t, sabem l’escala del mapa, 1:2.500.000, i sabem la distància entre duesciutats damunt del paper i volem trobar la distància real entre les dues ciutats.No sabem aquesta distància, però sabem una cosa fonamental: la distànciareal és proporcional a les altres tres dades.
Existeix una propietat anomenada propietat fonamental de les proporcionspropietat fonamental de les proporcionspropietat fonamental de les proporcionspropietat fonamental de les proporcionspropietat fonamental de les proporcionsque ens permet trobar aquesta quarta dada i que és la base de la regla de tres.Tornem al cas de les fotografies. Dèiem que els formats 10x15 i 20x30 erenproporcionals entre ells:
15 30=
10 20
Fixa’t que això ho podem escriure d’una altra manera:
15 : 10 = 30 : 20
La propietat fonamental de les proporcions diu:
En una proporció, el producte dels extrems és igual al producte dels mitjansEn una proporció, el producte dels extrems és igual al producte dels mitjansEn una proporció, el producte dels extrems és igual al producte dels mitjansEn una proporció, el producte dels extrems és igual al producte dels mitjansEn una proporció, el producte dels extrems és igual al producte dels mitjans
Producte dels extrems:
15 x 20 = 300
Producte dels mitjans:
10 x 30 = 300
ACTIVITAT
Busca el valor que falta en les proporcions següents:
2 3 5 x x 4 x 10 a)a)a)a)a) = b)b)b)b)b) = c)c)c)c)c) = d)d)d)d)d) =
4 x 3 9 1 6 3 5
Resolució
12a) 2 · x = 3 · 4 2 · x = 12 x = x = 6
2
Fixa’t que per trobar el valor de la x, el nombre que l’està multiplicant passa al’altre costat de l’igual dividint.
▼ ▼ ▼
Mat
emàt
iqu
es, C
ièn
cia
i Tec
no
log
ia2
. EC
ON
OM
IA D
OM
ÈS
TIC
A U
NIT
AT
3P
RO
PO
RC
ION
AL
ITA
T
81 45b) 5 · 9 = 3 · x 3 · x = 45 x = x = 15
3
4c) 6 · x = 4 · 1 6 · x = 4 x = x = 0,67
6
30d) 5 · x = 3 · 10 5 · x = 30 x = x = 6
5
Hi ha dades que depenen d’altres
Un treballador cobra per hores segons la taula següent:
Hores treballadesHores treballadesHores treballadesHores treballadesHores treballades € cobrats cobrats cobrats cobrats cobrats
5 60
6 72
7 84
8 96
Lògicament, aquestes dues magnituds depenen l’una de l’altra. Com més ho-res treballa més cobra, i a l’inrevés, si cobra més és perquè treballa més. És adir, quan una de les dues magnituds augmenta, l’altra també ho fa i a l’inrevés.A més, en aquest cas l’augment és proporcional:
60 72 84 96= = = = 12
5 6 7 8
Quan en augmentar una magnitud una altra també augmenta i, a més, ho fa de formaproporcional, diem que són dues magnituds directament proporcionalsdirectament proporcionalsdirectament proporcionalsdirectament proporcionalsdirectament proporcionals.
Per trobar la quarta, la regla de tres
Imagina que anem a comprar tomàquets. Comprem dos quilos i ens costen 4€.En arribar a casa veiem que no en tenim prou i baixem a comprar-ne més.Quant ens costarà?
És evident que això depèn de la quantitat de tomàquets que comprem. Commés tomàquets comprem més haurem de pagar. Fixa’t que aquestes dues mag-nituds (quantitat de tomàquets i preu total) són directament proporcionals.
Decidim comprar-ne 4 quilos. Quant ens constaran?
Analitzem la situació:· Tenim dues magnituds que són directament proporcionals· Coneixem tres quantitats, dues de la quantitat de tomàquets i una del preu
total
Quantitat de tomàquets (kg)Quantitat de tomàquets (kg)Quantitat de tomàquets (kg)Quantitat de tomàquets (kg)Quantitat de tomàquets (kg) Preu totalPreu totalPreu totalPreu totalPreu total
2 4€
4 ?
▼ ▼ ▼
▼ ▼ ▼
▼ ▼ ▼
82
Mat
emàt
iqu
es, C
ièn
cia
i Tec
no
log
ia2
. EC
ON
OM
IA D
OM
ÈS
TIC
A U
NIT
AT
3P
RO
PO
RC
ION
AL
ITA
T
De fet, atès que són magnituds proporcionals podem aplicar la propietat fona-mental de les proporcions, la qual cosa ens permet trobar el valor que bus-quem
2 4=
4 x
162x = 4 · 4 x = x = 8
2
Com és evident, si 2 quilos valen 4€, el doble de quilos valdran el doble d’euros:8€.
Aquesta manera de resoldre els problemes és el que anomenem regla de tresregla de tresregla de tresregla de tresregla de tres iencara ho podem expressar d’una altra manera:
Si 2 Kg valen 4€
Aleshores 4 Kg valen x €
ACTIVITAT
Un grup d’excursionistes caminen a una mitjana de 3 Km cada hora. Volen feruna travessia de 15 Km i volen saber quantes hores hi invertiran.
Resolució
Els quilòmetres recorreguts i el temps invertit són magnituds directament pro-porcionals, per la qual cosa podem aplicar la regla de tres.
Si a fer 3 Km triguen 1 horaaleshores a fer 15 Km triguen x hores
O el que és el mateix:
3 1=
15 x
Si fem les operacions:
153x = 15 · 1 x = x = 5
3
Els excursionistes trigaran 5 hores.
Raons per entendre les dades: el tant per cent
Mira’t la notícia següent apareguda a El Periódico el mes de juny de 2002.
... La troballa que més ha preocupat els autors de l’estudi és l’alt percentatged’adolescents –un 22% de nois i un 9% de noies– que han conduït intoxicatsper alcohol o drogues. Un 40% ha pujat a un cotxe conduït per una personaèbria. «Una de les característiques de l’adolescència és assumir riscos, i aquestaés una forma clara i conscient de fer-ho», afirma la investigadora.
Només que obris qualsevol diari, veuràs moltes notícies que ens parlen de per-centatges (un 22% de nois, un 9% de noies, un 40% d’adolescents,...). Però,què és exactament un percentatge? Quan diem que un 40% d’adolescents han
▼ ▼
▼ ▼
Mat
emàt
iqu
es, C
ièn
cia
i Tec
no
log
ia2
. EC
ON
OM
IA D
OM
ÈS
TIC
A U
NIT
AT
3P
RO
PO
RC
ION
AL
ITA
T
83pujat en un cotxe conduït per una persona sota els efectes de l’alcohol volemdir que de cada 100 adolescents 40 ho han fet.
L’enquesta a què fa referència la notícia es va realitzar a 6.952 alumnes deSecundària i Batxillerat de Catalunya. D’aquests, 2.781 alumnes van reconèixerhaver anat en un cotxe conduït per una persona èbria. Fixa’t que si diguéssim2.781 de cada 6.952 et seria molt difícil saber si són molts o pocs o fins i totseria difícil comparar-ho amb d’altres dades. És molt més fàcil fer-se una ideadel valor d’aquestes dades si parlem del 40% o fins i tot de 4 de cada deu.
Per trobar el percentatge d’unes dades hem de buscar una fracció proporcio-nal en què el denominador sigui cent.
ACTIVITAT
En una classe de 30 persones 9 porten ulleres. Quin és el percentatge?
Resolució
Si de 30 persones duen ulleres 9Aleshores de 100 persones en duran x
30 9 900= 30x = 9 · 100 x = x = 30
100 x 30
Un 30% dels alumnes de la classe porta ulleres.
Ara ja sabem com calcular el tant per cent a partir d’unes dades, però i alrevés, sabries fer-ho? Anem a veure-ho.
ACTIVITAT
Calcula el 23% de 5.000.
Un tant per cent és en ell mateix una raó de proporció entre dos nombres(23/100) i recorda que dèiem que si són proporcionals ens calen tres nombresper trobar el quart (tenim 23, 100 i 5.000). No ens ha d’ésser difícil, per tant,trobar la solució.
Resolució
23 x 23= 5.000 = x x = 1.150
100 5.000 100
El 23% de 5.000 és 1.150.
Dèiem que un percentatge és una raó de proporció i, per tant, també es potexpressar en forma decimal. Imagina que sabem que el 20% dels habitantsd’un país tenen els ulls blaus i volem saber quanta gent d’una ciutat de 350.000habitants té els ulls blaus. Evidentment ho podríem fer com a l’exemple anteri-or, però hi ha una manera més ràpida de fer-ho. Anem pas a pas.
20 x 20= 350.000 = x
100 350.000 100
▼ ▼ ▼
▼ ▼
▼
84
Mat
emàt
iqu
es, C
ièn
cia
i Tec
no
log
ia2
. EC
ON
OM
IA D
OM
ÈS
TIC
A U
NIT
AT
3P
RO
PO
RC
ION
AL
ITA
T
Aturem-nos un moment. Fixa’t que per calcular el percentatge d’una quantitatel que fem és multiplicar aquesta quantitat per la raó de proporció que repre-senta el tant per cent:
X = 350.000 · 0,20 = 70.000
70.000 persones tenen els ulls blaus.
El tant per mil
Tornem a la ciutat d’abans. Imagina que dels 350.000 habitants, 1.500 fan mésde dos metres d’alçada. Si volguéssim saber quin percentatge representa aixòfaríem:
x 1.500 150.000= 1.500 · 100 = 350.000x = x
100 350.000 350.000
El 0,43% de la població mesura més de 2,00 metres d’alçada. Una altra formad’expressar-ho seria respecte de cada 1.000 habitants, enlloc de cada 100.
x 1.500 1.500.000= 1.500 · 1.000 = 350.000x = x
1.000 350.000 350.000
Igualment podríem dir que els habitants que superen els dos metres són el4,3‰ (és a dir, el 4,3 per mil).
· Activitats d’aprenentatge 6, 7 i 8
▼ ▼
▼ ▼
Mat
emàt
iqu
es, C
ièn
cia
i Tec
no
log
ia2
. EC
ON
OM
IA D
OM
ÈS
TIC
A
UN
ITA
T 3
AC
TIV
ITA
TS
D’A
PR
EN
EN
TAT
GE
85ACTIVITATS D’APRENENTATGE
Activitat 1
Indica si les quantitats següents són proporcionals:
3 9 2 5 3 6a) i b) i c) i
5 15 7 9 2 4
Activitat 2
Emplena els espais buits de manera que representin la mateixa raó de propor-ció:
3 2,5 1,52,5 = = = = =
1,2 2 3
Activitat 3
Mesura els rectangles següents i digues si alguns d’ells són proporcionals:
86
Mat
emàt
iqu
es, C
ièn
cia
i Tec
no
log
ia2
. EC
ON
OM
IA D
OM
ÈS
TIC
A
UN
ITA
T 3
AC
TIV
ITA
TS
D’A
PR
EN
EN
TAT
GE
Activitat 4
En un plànol una habitació mesura 4 cm x 6 cm. Si l’escala del plànol és d’1:100,quina és l’àrea de l’habitació real? Nota: l’àrea d’una habitació es calcula mul-tiplicant l’amplada per la llargada.
Activitat 5
Troba la distància aproximada entre Berga i la Bisbal d’Empordà. Utilitza elmapa de Catalunya de l’apartat 2.
Activitat 6
Una habitació mesura 5 m x 6 m. Si volem fer-ne un plànol a escala 1:50, quanmesurarà cada costat en el plànol?
Activitat 7
Un treballador d’una empresa de repartiment cobra per paquet entregat. Sidilluns, en entregar-ne 15 va cobrar 45€, dimarts, que en va entregar 12, quantva cobrar?
Mat
emàt
iqu
es, C
ièn
cia
i Tec
no
log
ia2
. EC
ON
OM
IA D
OM
ÈS
TIC
A
UN
ITA
T 3
AC
TIV
ITA
TS
D’A
PR
EN
EN
TAT
GE
87Activitat 8
L’any 1999 van arribar a Catalunya 13.296 immigrants.a) Si d’aquests immigrants 5.168 provenien d’África, quin percentatge repre-
senten?b) Si sabem que el 30,61% d’immigrants provenien d’Amèrica, quin és el total
d’immigrants americans que van arribar?
88
Mat
emàt
iqu
es, C
ièn
cia
i Tec
no
log
ia2
. EC
ON
OM
IA D
OM
ÈS
TIC
A
U
NIT
AT
3A
CT
IVIT
AT
S D
’AV
AL
UA
CIÓ
ACTIVITATS D’AVALUACIÓ
Activitat 1
Indica si les afirmacions següents són vertaderes o falses:
a) Una raó és el quocient entre dues quantitats: ..................
b) La relació entre la base i l’alçada d’un rectangle és la proporció del rectan-gle: ..................
c) Dos triangles que mesuren 3 cm de base i 4 cm d’altura i 6 cm de base i 8 cmd’altura respectivament estan en proporció: ..................
d) Una escala és una proporció: ..................
e) L’escala 1:5.000 ens diu que un centímetre del plànol representa 50 Km dela realitat: ..................
f) L’escala 1:5.000 ens diu que un centímetre del plànol representa 5 Km de larealitat: ..................
g) En una proporció el producte dels extrems és igual al producte dels mitjans:..................
h) Per aplicar una regla de tres les magnituds han d’ésser directament propor-cionals: ..................
i) El 20% de 200 és 180: ..................
j) El 50% de 500 és 25: ..................
Activitat 2
Digues si les següents quantitats són proporcionals.
2 5 2 4 a) i b) i
4 3 4 8
Activitat 3
Calcula el valor de les lletres en les igualtats següents:
2 a 6 3 5 10 d 10 a) = b) = c) = d) =
3 4,5 1 b c 3 2 5
Mat
emàt
iqu
es, C
ièn
cia
i Tec
no
log
ia2
. EC
ON
OM
IA D
OM
ÈS
TIC
A
U
NIT
AT
3A
CT
IVIT
AT
S D
’AV
AL
UA
CIÓ
89Activitat 4
Calcula el perímetre i l’àrea de l’habitació representada en el mapa.
Activitat 5
Tres litres de llet valen 2,5€. Quant costaran 16 ampolles de litre i mig?
Activitat 6
Una determinada marca de xocolata conté un 53% de cacau. Calcula quinaquantitat de cacau hi ha en tres quilograms de xocolata.
90
Mat
emàt
iqu
es, C
ièn
cia
i Tec
no
log
ia2
. EC
ON
OM
IA D
OM
ÈS
TIC
A
UN
ITA
T 3
SO
LU
CIO
NS
AC
TIV
ITA
TS
D’A
PR
EN
EN
TAT
GE
SOLUCIONS DE LES ACTIVITATS D’APRENENTATGE
Activitat 1
Indica si les quantitats següents són proporcionals:
3 9a)a)a)a)a) i
5 15
3 9= 0,6 i = 0,6
5 15
Efectivament, són proporcionals.
3 9= = 0,6
5 15
2 5b)b)b)b)b) i
7 9
2 5= 0,29 i = 0,56
7 9
No són proporcionals ja que:
2 5‡
7 9
3 6c)c)c)c)c) i
2 4
3 6= 1,5 i = 1,5
2 4
3/2 i 6/4 són proporcionals ja que:
3 6=
2 4
Activitat 2
Emplena els espais buits de manera que representin la mateixa raó de propor-ció:
3 5 2,5 7,5 1,52,5 = = = = =
1,2 2 1 3 0,6
Mat
emàt
iqu
es, C
ièn
cia
i Tec
no
log
ia2
. EC
ON
OM
IA D
OM
ÈS
TIC
A
UN
ITA
T 3
SO
LU
CIO
NS
AC
TIV
ITA
TS
D’A
PR
EN
EN
TAT
GE
91Activitat 3
Mesura els rectangles següents i digues si alguns d’ells són proporcionals
El primer i el quart rectangles són proporcionals ja que
2 4=
3 6
Activitat 4
En un plànol una habitació mesura 4 cm x 6 cm. Si l’escala del plànol és d’1:100,quina és l’àrea de l’habitació real? Nota: l’àrea d’una habitació es calcula mul-tiplicant l’amplada per la llargada.
Amplada4 cm x 100 = 400 cm = 4 m
La longitud de l’amplada de l’habitació és 400 cm, és a dir, 4 m.6 cm x 100 = 600 cm = 6 m.
La longitud de la llargada de l’habitació és 600 cm, és a dir, 6m.
L’àrea de l’habitació és 6 m x 4 m = 24 m2.
Activitat 5
Troba la distància aproximada entre Berga i la Bisbal d’Empordà. Utilitza el mapade Catalunya de l’apartat 2.
La distància entre Berga i la Bisbal d’Empordà, en el mapa, és de 4 cm, per tant:
4 cm x 2.500.000 = 10.000.000 cm = 100 Km
La distància real entre Berga i la Bisbal d’Empordà és, aproximadament, de 100 Km.
92
Mat
emàt
iqu
es, C
ièn
cia
i Tec
no
log
ia2
. EC
ON
OM
IA D
OM
ÈS
TIC
A
UN
ITA
T 3
SO
LU
CIO
NS
AC
TIV
ITA
TS
D’A
PR
EN
EN
TAT
GE
Activitat 6
Una habitació mesura 5 m x 6 m. Si volem fer-ne un plànol a escala 1:50, quanmesurarà cada costat en el plànol?
1 x 5= 50x = 5 · 1 x = = 0,1 m = 10 cm
50 5 50
1 x 6= 50x = 6 · 1 x = = 0,12 m = 12 cm
50 6 50
L’habitació en la representació del plànol és de 10 cm x 12 cm.
Activitat 7
Un treballador d’una empresa de repartiment cobra per paquets entregats. Sidilluns, en entregar-ne 15 va cobrar 45 €, dimarts, que en va entregar 12, quantva cobrar?
Si per 15 paquets cobra 45per 12 paquets cobra x
15 45 540= 15 x = 12 · 45 x = = 36 €
12 x 15
Activitat 8
L’any 1999 van arribar a Catalunya 13.296 immigrants.a) Si d’aquests immigrants 5.168 provenien d’África, quin percentatge repre-
senten?
Si de 13.296 immigrants 5.168 són africansde cada 100 immigrants x seran africans.
13.296 5.168 516.800= 13.296x = 5.168 · 100 x = = 38,87%
100 x 13.296
Els immigrants arribats de l’Àfrica representen el 38,87% del total d’immi-grants.
b) Si sabem que el 30,61% d’immigrants provenien d’Amèrica, quin és el totald’immigrants americans que van arribar?
Si de cada 100 immigrants 30,61 són americansde 13.296 immigrants x seran americans.
100 30,61 406.991= 100x = 30,61 · 13.296 x = = 4.070
13.296 x 100
En total van arribar 4.070 immigrants d’Amèrica.
▼ ▼
▼ ▼
▼ ▼
▼ ▼
▼ ▼
Mat
emàt
iqu
es, C
ièn
cia
i Tec
no
log
ia2
. EC
ON
OM
IA D
OM
ÈS
TIC
A
U
NIT
AT
3S
OL
UC
ION
S A
CT
IVIT
AT
S D
’AV
AL
UA
CIÓ
93SOLUCIONS DE LES ACTIVITATS D’AVALUACIÓ
Activitat 1
Indica si les afirmacions següents són vertaderes o falses:a) Una raó és el quocient entre dues quantitats. VERTADERAb) La relació entre la base i l’alçada d’un rectangle és la proporció del rectan-
gle. FALSAc) Dos triangles que mesuren 3 cm de base i 4 cm d’altura i 6 cm de base i 8 cm
d’altura respectivament estan en proporció. VERTADERAc) Una escala és una proporció. FALSAd) L’escala 1:5000 ens diu que un centímetre del plànol representa 50 Km de la
realitat. FALSAe) L’escala 1:5000 ens diu que un centímetre del plànol representa 5 Km de la
realitat. FALSAf) En una proporció el producte dels extrems és igual al producte dels mitjans.
VERTADERAg) Per aplicar una regla de tres les magnituds han d’ésser directament propor-
cionals. VERTADERAh) El 20% de 200 és 180. FALSAi) El 50% de 500 és 25. VERTADERA
Activitat 2
Digues si les següents quantitats són proporcionals.
2 5 2 5 a) i a) = 0,5 i = 1,67
4 3 4 3
No són proporcionals.
2 4 2 4 b) i b) = 0,5 i = 0,5
4 8 4 8
Efectivament, són proporcionals.
2 4= = 0,5
4 8
94
Mat
emàt
iqu
es, C
ièn
cia
i Tec
no
log
ia2
. EC
ON
OM
IA D
OM
ÈS
TIC
A
U
NIT
AT
3S
OL
UC
ION
S A
CT
IVIT
AT
S D
’AV
AL
UA
CIÓ
Activitat 3
Calcula el valor de les lletres en les igualtats següents:
2 a 9 a) = a) 2 · 4,5 = 3a a = = 3
3 4,5 3
6 3 3 b) = b) 6b = 3 · 1 b = = 0,5
1 b 6
5 10 15 c) = c) 10c = 5 · 3 c = = 1,5
c 3 10
d 10 20 d) = d) 5d = 10 · 2 d = = 4
2 5 5
Activitat 4
Calcula el perímetre i l’àrea de l’habitació representada en el mapa.
L’habitació en el plànol mesura 4 cm x 5 cm. Per tant, les mesures reals són:
4 cm x 100 = 400 cm = 4m5 cm x 100 = 500 cm = 5m
Càlcul del perímetre:
4 + 4 + 5 + 5 = 18 m
Càlcul de l’àrea:
4 · 5 = 20 m2
▼▼
▼▼
1:100
Mat
emàt
iqu
es, C
ièn
cia
i Tec
no
log
ia2
. EC
ON
OM
IA D
OM
ÈS
TIC
A
U
NIT
AT
3S
OL
UC
ION
S A
CT
IVIT
AT
S D
’AV
AL
UA
CIÓ
95Activitat 5
Tres litres de llet valen 2,5€. Quant costaran 16 ampolles de litre i mig.
16 ampolles de litre i mig són: 16·1,5 = 24 litres.
3 2,5 24 · 2,5= x = = 20 €
24 x 3
Activitat 6
Una determinada marca de xocolata conté un 53% de cacau. Calcula quinaquantitat de cacau hi ha en tres quilograms de xocolata.
Si en 100 Kg de xocolata hi ha 53 Kg de cacauen 3 Kg de xocolata hi ha x Kg de cacau
100 53 159= 100x = 53 · 3 x = = 1,59
3 x 100
En tres quilograms de xocolata hi haurà 1,59 Kg de cacau.
▼ ▼
▼
què
Mat
emàt
iqu
es, C
ièn
cia
i Tec
no
log
ia2
. EC
ON
OM
IA D
OM
ÈS
TIC
A
U
NIT
AT
3Q
UÈ
HA
S T
RE
BA
LL
AT
?
97
has treballat?PROPORCIONALITAT
Raó de proporció Proporcions
Escales
Propietat
fonamental de les
proporcions
Regla de tres
Tant per cent
i tant per mil
comM
atem
àtiq
ues
, Ciè
nci
a i T
ecn
olo
gia
2. E
CO
NO
MIA
DO
MÈ
ST
ICA
UN
ITA
T 3
CO
M H
O P
OR
TO
?
98
ho porto?Omple la graella següent posant una creu on correspongui.
En acabar la unitat, sóc capaç de...
Bé A mitges Malament
Diferenciar entre raó de proporciói proporcionalitat.
Calcular les mides reals a partirde representacions a escala.
Calcular les mides a escala de distànciesreals per elaborar plànols, mapes, etc.
Utilitzar la propietat fonamentalde les proporcions.
Trobar dades mitjançant la regla de tres.
Calcular percentatges.
Trobar dades reals en casos concretsa partir dels seus percentatges.
Mat
emàt
iqu
es, C
ièn
cia
i Tec
no
log
ia2
. EC
ON
OM
IA D
OM
ÈS
TIC
A
UN
ITA
T 4
EL
ME
RC
AT
99Unitat 4EL MERCAT
quèM
atem
àtiq
ues
, Ciè
nci
a i T
ecn
olo
gia
2. E
CO
NO
MIA
DO
MÈ
ST
ICA
UN
ITA
T 4
QU
È T
RE
BA
LL
AR
ÀS
?
100
treballaràs?En acabar la unitat has de ser capaç de:
· Diferenciar béns i serveis.
· Reconèixer la llei de l’oferta i la demanda.
· Reconèixer les magnituds proporcionals presents enl’economia.
· Calcular el tant per cent en comissions.
· Calcular el tant per cent en recàrrecs.
· Utilitzar el tant per cent per fer descomptes.
· Aplicar els percentatges dels impostos.
Mat
emàt
iqu
es, C
ièn
cia
i Tec
no
log
ia2
. EC
ON
OM
IA D
OM
ÈS
TIC
A
UN
ITA
T 4
EL
ME
RC
AT
1011. Oferta i demanda
Comprar, vendre o intercanviar no és exclusiu de la nostra societat, ni tan solsdel nostre temps. Des de les primeres civilitzacions l’home ha tingut la necessi-tat d’adquirir aquells productes que necessitava i que no podia produir. Així, lagent intercanviava els productes que li sobraven per aquells que necessitava.Posteriorment aparegué el diner i la compravenda es va simplificar. Actual-ment la utilització de les targetes de crèdit ha introduït en el mercat una formadiferent d’intercanvi.
La compra, tot i ésser un acte que cada dia realitzem diverses vegades, és unaacció molt més important del que ens pensem. Cada vegada que comprem unproducte no estem cobrint únicament una necessitat. El senzill fet de comprarun objecte, per petit que sigui, fa que indirectament estem decidint l’estil devida i el tipus de societat on volem viure. Imaginem que ha arribat l’hora dedinar: podem triar entre menjar un entrepà en una multinacional de menjarsràpids o bé decidir-nos per un restaurant tradicional de menús casolans. D’al-guna manera, quan triem quin tipus de producte volem i en quin tipus d’esta-bliment l’hem de comprar és com si votéssim a favor d’aquella opció.
Les necessitats que es poden cobrir mitjançant la compra poden ser de béns ode serveis.
Els bénsbénsbénsbénsbéns són tots aquells objectes físics que podem comprar; per exemple, un tros decarn, una peça de roba, un llapis, un cotxe, un llibre. En canvi, els serveisserveisserveisserveisserveis no són objectesque ens puguem endur a casa, són un conjunt d’activitats de les quals podem gaudir. Perexemple una visita al metge, l’escola, una hora de pàrking, un viatge, el dret a banyar-seen un piscina, poder veure una pel·lícula, etc.
Tots el béns i serveis tenen el seu preu; alguns els paguem directament de lanostra butxaca però n’hi ha d’altres que paguem mitjançant els impostos.
D’altra banda, per què l’or i els diamants són tan cars i l’aigua i la sorra, posemper cas, són tan barats? Qui fixa el preu dels productes? Els empresaris? L’es-tat? Els compradors? En una societat com la nostra els preus dels productes,tant siguin béns com serveis, vénen fixats per la llei de l’oferta i la demanda.
L’ofertaofertaofertaofertaoferta és la quantitat d’un producte que els fabricants poden produir i per tant vendre.
La demandademandademandademandademanda és la quantitat de producte que els consumidors volen comprar.
Així, segons la llei de l’oferta i la demanda, si la demanda d’un producte és mésgran que l’oferta, el producte puja de preu, però si l’oferta és més gran que lademanda el producte baixa de preu.
demanda ↑ + oferta ↓ = preu ↑
demanda ↓ + oferta ↑ = preu ↓
Tots sabem que quan hi ha un acte esportiu important, al voltant dels estadises produeix la revenda d’entrades. Els revenedors compren moltes entrades ales taquilles al preu estipulat i d’aquesta manera provoquen que aquestes s’es-gotin, és a dir, que disminueixi l’oferta. Qui vulgui una entrada no tindrà mésremei que comprar-la a un revenedor. Com que l’oferta és escassa els revene-dors pugen els preus.
102
Mat
emàt
iqu
es, C
ièn
cia
i Tec
no
log
ia
2
. EC
ON
OM
IA D
OM
ÈS
TIC
A
UNITAT 4
EL M
ERCAT
25 = 0,25 )100
80 = 0,8100
Quan l’acte esportiu no és important, la demanda d’entrades baixa i a les taqui-lles hi ha suficient oferta de tal forma que les entrades no s’exhaureixen.
Un altre factor que afecta de manera molt important la compra de productes és la publicitat. La publicitat emet una informació que prové del fabricant inte-ressat a vendre el seu producte. No es tracta d’una informació objectiva i molt sovint el seu objecte és crear en el públic la necessitat de comprar allò que és anunciat.
2. Percentatges aplicats a l’economia
Comissions i recàrrecs
Comissions
En el cas dels revenedors d’entrades, la seva comissió serien els diners que guanyen en la venda de cada entrada.
Les comissions són els guanys que es cobren per cada producte que es ven.
Normalment els representants de productes o d’empreses acostumen a tenir una comissió, és a dir, guanyen un % sobre els articles que venen. Així, si un viatjant té una comissió del 25% vol dir que per cada 100€ de venda guanya
25€. (El 25% =
Si un dia fa vendes per valor de 540€ el 25% serà: 540 x 0,25 = 135€.
Haurà guanyat 135€.
Amb la calculadora el càlcul del resultat es faria:
540 x 25 % 135€
· Activitat d’aprenentatge 1
Recàrrec o augment
Les empreses i les botigues, quan posen un article a la venda, li augmenten el preu de cost per obtenir els beneficis. Aquest augment el calculen aplicant el %.
Per exemple, una botiga de calefaccions vol obtenir un benefici del 80% en la venda d’un radiador que ha comprat a la fàbrica per 18,50€.
El preu de venda serà: el preu de cost + % de benefici = 18,5€ + 80% de 18,50€.
Un recàrrec del 80% =
Per tant, el 80% de 18,50€ és: 18,50 x 0,8 = 14,80€ són els guanys.
El preu de venta del radiador serà: 18,50 + 14,80 = 33,30€.
Amb la calculadora el càlcul del resultat es faria:
18,50 x 80 % + 33,30€
▼
▼
Mat
emàt
iqu
es, C
ièn
cia
i Tec
no
log
ia
2
. EC
ON
OM
IA D
OM
ÈS
TIC
A
UNITAT 4
EL M
ERCAT
103
175 = 1,75100
· Activitat d’aprenentatge 2
Els productes van augmentant successivament de preu des que són fabricats fins que arriben a mans del consumidor. A mesura que un producte passa del fabricant al distribuïdor i d’aquest a la botiga, se li apliquen successivament uns percentatges de benefici.
Així, un frigorífic que a la fàbrica li costa 320€ pot ser venut a un majorista un 40% més car. El majorista el ven a la botiga amb un 65% de recàrrec i el botiguer el posa a la venda aplicant-li el 70% sobre el preu que ha pagat.
El preu de venda de la fàbrica serà: Preu de cost + 40% del preu de cost.
El preu de venda del majorista serà: Preu de fàbrica + 65% del preu de fàbrica.
El preu de venda de la botiga: Preu de majorista + 70% del preu del majorista.
El preu de venda de la fàbrica serà:
El 40% de 320€ = 320 x 0,4 = 128€
320 + 128 = 448€
El preu de venda del majorista serà:
El 65% de 448 = 448 x 0,65 = 291,20€
448 + 291,20 = 739,20€
El preu de venda de la botiga serà:
El 70% de 739,20€ és: 739,20 x 0,70 = 517,44€
739,20 + 517,44 = 1.256,64€
Per tant, un frigorífic que a la fàbrica li costa 320€ pot acabar valent 1.256,64€ (sense tenir en compte els impostos) a causa dels percentatges que li han anat aplicant.
Nota: El preu final no es pot calcular sumant els successius percentatges d’augment.
ACTIvITAT
Comprova que el preu final del producte anterior no és el resultat d’aplicar el percen-tatges successius.
Solució
Per fer la prova se sumen els %.
40% + 65% + 70% = 175 %
S’aplica el percentatge de 175% al preu inicial de 320€.
175 % =
320 x 1,75 = 560€
El preu final seria 320 + 560 = 880€, que no correspon als 1.256,64€ del resultat anterior.
104
Mat
emàt
iqu
es, C
ièn
cia
i Tec
no
log
ia
2
. EC
ON
OM
IA D
OM
ÈS
TIC
A
UNITAT 4
EL M
ERCAT
10 = 0,1100
30 = 0,3100
Descomptes, rebaixes i liquidacions
Els productes a la venda estan subjectes a descomptes, rebaixes i liquidaci-ons.
Descomptes
Un descompte és la quantitat deduïda de l’import d’un producte.
Et vols comprar uns pantalons esportius que valen 95€ i decideixes anar a la botiga del teu amic que saps que et farà un descompte del 10%.
Ja saps que un 10% vol dir que de cada 100€ que has de pagar et trauran 10€ i només pagaràs 90€.
Per calcular el preu dels pantalons hem de fer: 95€ - 10% de 95.
Un descompte del 10% =
El 10% de 95€ és: 95 x 0,1 = 9,50€ que t’has estalviat.
Els pantalons et costaran: 95 — 9,50 = 85,50€
Amb la calculadora el càlcul del resultat es faria:
95 x 10 % — 85,50€
Rebaixes
Les rebaixes són descomptes generalitzats en els preus dels productes. Les rebaixes només es poden oferir durant uns determinats períodes de l’any, els quals estan establerts per l’adminis-tració competent.
Les temporades de rebaixes són una de les èpoques de més vendes. Els botiguers volen eliminar els estocs que els han quedat i per això han de baixar els preus. És a dir, s’han de rebaixar aquelles peces en què l’oferta ha estat més gran que la demanda, per donar-los sortida, però hem d’anar amb compte que no ens rebaixin alhora la qualitat.
Els comerciants utilitzen diferents tècniques per tal de cridar l’atenció dels clients. En època de rebaixes els productes tenen els típics descomptes d’aquestes èpoques, un 10 %, un 25% i fins i tot un 50% en alguns articles. Però hi ha altres tècniques per cridar l’atenció d’un possible client, pensem en anuncis de 3x2. Pagues dos parells de sabates i te’n duus tres.
A les rebaixes, en una sabateria fan un descompte del 30 % en unes sabates que valen 105€.
Les mateixes sabates estan en una altra botiga que fan el 3x2. Com puc saber què em surt més a compte?
Calculem el preu de les sabates a la primera botiga.
Per calcular el preu de les sabates hem de fer: 105€ — 30% de 105€.
Un descompte del 30% =
El 30% de 105€ és: 105 x 0,3 = 31,50€ que ens estalviem.
Les sabates costaran: 105 — 31,50 = 73,50€.
▼
Mat
emàt
iqu
es, C
ièn
cia
i Tec
no
log
ia2
. EC
ON
OM
IA D
OM
ÈS
TIC
A
UN
ITA
T 4
EL
ME
RC
AT
105
▼
Amb la calculadora el càlcul del resultat es faria:
105 x 30 % — 73,50€
Calculem el preu d’un parell de sabates a la botiga de 3x2.
Comprem 2 parell a 105€ cada u. Per tant paguem: 105 x 2 = 210€.
Si ens emportem 3 parells de sabates, cada parell ens costarà: 210:3 = 70€.
En aquest cas són més barates les sabates a la botiga de 3x2.
Liquidacions
Les liquidacionsliquidacionsliquidacionsliquidacionsliquidacions són vendes de caràcter extraordinari i amb gran rebaixa de preus quefan els establiments comercials per cessació, reforma o trasllat.
A les liquidacions que fa una botiga de mobles per canvi d’exposició compremuna taula per 480€. Tenim curiositat per saber quant costava abans de fer-nos el 40% de descompte.
Un descompte del 40% vol dir que de cada 100 ens han tret 40, per tant, hempagat el 60%.
És a dir, el 60% correspon als 480€.
60 correspon a 480€
100 correspon a x
Això escrit en forma de proporcionalitat:
60 480=
100 x
48.000x = = 800 €
60
El preu inicial era de 800€.
· Activitats d’aprenentatges 3, 4 i 5
Impostos
Com ja hem dit, la principal manera de cobrir les nostres necessitats és com-prant i per tant pagant-les, però els pagaments poden ser directes o indirectes.Tots aquells serveis que són gratuïts: l’assistència mèdica, les escoles, la poli-cia, la neteja dels carrers, la construcció de carreteres i tantes altres coses, elspaguem mitjançant els impostos.
Els impostosimpostosimpostosimpostosimpostos són tributs o retencions econòmiques que rep el govern cada vegada quees fan actes de naturalesa econòmica com poden ser negocis, compres, etc.
106
Mat
emàt
iqu
es, C
ièn
cia
i Tec
no
log
ia2
. EC
ON
OM
IA D
OM
ÈS
TIC
A
UN
ITA
T 4
EL
ME
RC
AT
Els impostos més coneguts són:
· L’IRPF (l’impost sobre la renda de les persones físiques)L’IRPF (l’impost sobre la renda de les persones físiques)L’IRPF (l’impost sobre la renda de les persones físiques)L’IRPF (l’impost sobre la renda de les persones físiques)L’IRPF (l’impost sobre la renda de les persones físiques) és un percentatgeque grava els guanys obtinguts per cadascú de nosaltres en un període de-terminat; qui més guanya més paga.
· L’impost sobre el valor afegit, conegut com a IVAL’impost sobre el valor afegit, conegut com a IVAL’impost sobre el valor afegit, conegut com a IVAL’impost sobre el valor afegit, conegut com a IVAL’impost sobre el valor afegit, conegut com a IVA, és un valor que s’afegeixcada vegada que es compra un producte.Hi ha tres tipus de d’IVA que s’apliquen segons el producte. El tipus normald’IVA és del 16%, que s’aplica a la majoria de productes, però també hi ha tipusd’IVA reduïts com el de l’alimentació, que és d’un 7%, i d’altres que tenen un4% d’IVA
· Activitats d’aprenentatge 6, 7, 8 i 9.
Mat
emàt
iqu
es, C
ièn
cia
i Tec
no
log
ia2
. EC
ON
OM
IA D
OM
ÈS
TIC
A
UN
ITA
T 4
EL
ME
RC
AT
107Interessos
Els bancs i les caixes d’estalvi utilitzen el % en les seves operacions:
· Quan reben diners dels clients i els col·loquen en un compte corrent o en undipòsit a termini donen uns beneficis aplicant uns percentatges.
· Quan fan préstecs i hipoteques cobren unes quantitats superiors als dinersprestats.
Per fer els càlculs es fan servir unes fórmules que tenen en compte diversosfactors, entre ells el % i el temps que dura el dipòsit de diners o el préstec.
Hi ha altres operacions, com el canvi de divises, en les quals els bancs obtenenbeneficis aplicant un percentatge.
Si vols fer un viatge a l’estranger, com per exemple als EUA, i necessites 850$per fer-lo, pots anar al banc o a la caixa a fer el canvi de moneda.
Fas els càlculs per saber quants euros necessites canviar. Suposem que en aquellmoment 1€ val 0,944$.
0,944 $ és 1 €
850 $ seran x €
0,944 1=
850 x
850x = = 900,42 €
0,944
Necessites canviar 900,42€.
En el banc et demanen 904,92€ en lloc dels 900,42€ que tu havies previst.Això vol dir que el banc et cobra una comissió de 904,92 — 900,42 = 4,5€.
Hem de saber 4,5€ a quin % correspon.
4,5 x=
900,42 100
450x = = 0,5
900,42
T’han aplicat un 0,5% de comissió.
3. Economia domèstica
Els drets dels consumidors
El consumidor té dret a conèixer amb tota claredat les condicions de compra.Davant de qualsevol dubte o greuge, el comprador es pot dirigir a les associa-cions de defensa del consumidor per demanar informació.
La reclamacióreclamacióreclamacióreclamacióreclamació és la queixa que hom presenta per una injustícia soferta en el procés decompravenda, per tal d’exigir-ne la reparació.
108
Mat
emàt
iqu
es, C
ièn
cia
i Tec
no
log
ia2
. EC
ON
OM
IA D
OM
ÈS
TIC
A
UN
ITA
T 4
EL
ME
RC
AT
Pressupost: ingressos i despeses
La gran majoria de compres a la nostra societat es realitzen mitjançant diners.Tenim una sèrie d’ingressosingressosingressosingressosingressos i de despesesdespesesdespesesdespesesdespeses que hem d’equilibrar. Cal, per tant,fer un pressupost personal o familiar a fi d’evitar que en un moment determi-nat ens quedem sense diners.
El pressupost pressupost pressupost pressupost pressupost ha de tenir en compte tant les entrades de diners, els ingressos,com les sortides de diners, les despeses.
Els ingressos poden ser molt variats, però en general es basen en els salaris, ésa dir, en els nostres sous, i en les pagues i rendes. Els ingressos ens permetranfer front a les despeses.
Mat
emàt
iqu
es, C
ièn
cia
i Tec
no
log
ia2
. EC
ON
OM
IA D
OM
ÈS
TIC
A
UN
ITA
T 4
AC
TIV
ITA
TS
D’A
PR
EN
EN
TAT
GE
109ACTIVITATS D’APRENENTATGE
Activitat 1
A un representant d’una fàbrica d’embotits li donen el 3,5% de les vendes quefa. En una xarcuteria ven per valor de 1.500€. Quant cobrarà de comissió?
Activitat 2
A una botiga venen un televisor al comptat per 750€. Però si es compra aterminis carreguen un 12%. Quin és el preu del televisor si es compra a termi-nis?
Activitat 3
El lloguer d’un pis era de 420€, però davant de la manca de pisos de lloguer enel mercat, el preu ha anat pujant: el primer any un 15% i el segon any un 20%més. Quin és el preu del lloguer de cada any?
Activitat 4
Completa la taula següent.
ArticleArticleArticleArticleArticle Preu (Preu (Preu (Preu (Preu (€))))) 20% descompte20% descompte20% descompte20% descompte20% descompte Preu finalPreu finalPreu finalPreu finalPreu final
Jersei 50
Samarreta 12
Sabates 80
Mitjons 3
110
Mat
emàt
iqu
es, C
ièn
cia
i Tec
no
log
ia2
. EC
ON
OM
IA D
OM
ÈS
TIC
A
UN
ITA
T 4
AC
TIV
ITA
TS
D’A
PR
EN
EN
TAT
GE
Activitat 5
Ens fan un descompte del 18% en la compra d’un televisor i paguem 730€.Quin era el preu inicial del televisor?
Activitat 6
Vols posar una persiana nova a casa teva i tens dos pressupostos:
En el primer, de «Persianes González», el preu de la persiana és de 195€, peròet fan un 20% i després t’augmenten el 16% d’IVA.
En el segon, d’«Iturbe-persianes», el preu també és de 195€, però primer t’apli-quen el 16% d’IVA i després et fan un descompte del 20%.
Quin és el pressupost millor?
Activitat 7
Si el teu sou brut és de 1.500€ i cobres 1.230€, quin és el % d’IRPF que t’handescomptat?
Activitat 8
Fixa’t en la nòmina de l’apartat 2 i digues què passaria en els casos següents:a) Quant ens retindran d’IRPF si ens pugen la remuneració total un 25%.b) Ens pugen la retenció de l’IRPF a un 15%.
Activitat 9
Mat
emàt
iqu
es, C
ièn
cia
i Tec
no
log
ia2
. EC
ON
OM
IA D
OM
ÈS
TIC
A
UN
ITA
T 4
AC
TIV
ITA
TS
D’A
PR
EN
EN
TAT
GE
111Fixa’t en la factura de l’apartat 2. Què hauria hagut de pagar si hagués com-prat un llibre i dos pantalons?
112
Mat
emàt
iqu
es, C
ièn
cia
i Tec
no
log
ia2
. EC
ON
OM
IA D
OM
ÈS
TIC
A
U
NIT
AT
4A
CT
IVIT
AT
S D
’AV
AL
UA
CIÓ
ACTIVITATS D’AVALUACIÓ
Activitat 1
Un venedor de cotxes té una comissió del 5,5%. Si cada cotxe val 1.270€ i havenut 3 cotxes, quants diners ha guanyat de comissió?
Activitat 2
Et vols comprar una enciclopèdia que val 720€. Si et fan un 12% de descompte,quant pagaràs per l’enciclopèdia?
Activitat 3
Un botiguer compra una remesa de 200 camises per 2.400€. Per posar el preucarrega un 50% i després aplica el 16% d’IVA. Quin serà el preu que marcaràl’etiqueta?
Activitat 4
Pagues 180€ de multa per haver anat amb excés de velocitat. T’has estalviat el20% per haver-la pagat en el termini que t’havien indicat. Quin era el preuoriginal de la multa?
Activitat 5
Quin és el percentatge que ha augmentat el preu de l’entrada d’un espectaclesi l’any passat costava 15€ i enguany 17€?
Mat
emàt
iqu
es, C
ièn
cia
i Tec
no
log
ia2
. EC
ON
OM
IA D
OM
ÈS
TIC
A
UN
ITA
T 4
SO
LU
CIO
NS
AC
TIV
ITA
TS
D’A
PR
EN
EN
TAT
GE
113SOLUCIONS DE LES ACTIVITATS D’APRENENTATGE
Activitat 1
A un representant d’una fàbrica d’embotits li donen el 3,5% de les vendes quefa. En una xarcuteria ven per valor de 1.500€. Quant cobrarà de comissió?
Una comissió del 3,5% =
El 3,5% de 1.500 = 1.500 x 0,035 = 52,50€.
La comissió és de 52,50€.
Activitat 2
A una botiga venen un televisor al comptat per 750€. Però si es compra aterminis carreguen un 12%. Quin és el preu del televisor si es compra a termi-nis?
El 12% de 750€ = 750 x 0,12 = 90€.
El preu a terminis és: 750 + 90 = 840€.
Activitat 3
El lloguer d’un pis era de 420€, però davant de la manca de pisos de lloguer enel mercat, el preu ha anat pujant: el primer any un 15% i el segon any un 20%més. Quin és el preu del lloguer de cada any?
El primer any augmenta un 15%: 420 x 0,15 = 63€.
El preu del lloguer del primer any és: 420€ + 63 = 483€.
El segon any augmenta un 20% sobre el preu del primer any:483 x 0,20 = 96,60€.
El preu del lloguer del segon any és: 483€ + 96,60 = 579,60€.
Activitat 4
Completa la taula següent.
ArticleArticleArticleArticleArticle Preu (Preu (Preu (Preu (Preu (€))))) 20% descompte20% descompte20% descompte20% descompte20% descompte Preu finalPreu finalPreu finalPreu finalPreu final
Jersei 50 10 40
Samarreta 12 2,40 9,60
Sabates 80 16 64
Mitjons 3 0,60 2,40
Descompte del 20% =
3,5= 0,035
100
20= 0,2
100
114
Mat
emàt
iqu
es, C
ièn
cia
i Tec
no
log
ia2
. EC
ON
OM
IA D
OM
ÈS
TIC
A
UN
ITA
T 4
SO
LU
CIO
NS
AC
TIV
ITA
TS
D’A
PR
EN
EN
TAT
GE
Jersei50 x 0,2 = 10€
50 — 10 = 40€
Samarreta
12 x 0,2 = 2,40€
12 — 2,40 = 9,60€
Sabates
80 x 0,2 = 16€
80 — 16 = 64€
Mitjons
3 x 0,2 = 0,60€
3 — 0,6 = 2,40€
Activitat 5
Ens fan un descompte del 18% en la compra d’un televisor i paguem 730€.Quin era el preu inicial del televisor?
Si ens hem estalviat el 18% vol dir que hem pagat el 82%.
Hem pagat 82€ de cada 100€
Hem pagat 730€ del preu inicial x
82 730=
100 x
73.000x = = 890,24
82
El preu del televisor era de 890,24€.
Activitat 6
Vols posar una persiana nova a casa teva i tens dos pressupostos:
En el primer, de «Persianes González», el preu de la persiana és de 195€, peròet fan un 20% i després t’augmenten el 16% d’IVA.
En el segon, d’«Iturbe-persianes», el preu també és de 195€ però primer t’apli-quen el 16% d’IVA i després et fan un descompte del 20%.
Quin és el pressupost millor?
Primer pressupost:
El 20% de 195€ és = 195 x 0,20 =39€.
195 — 39 = 156€ val després del descompte.
Augmenten el 16% d’IVA = 156 x 0,16 = 24,96€ d’impost.
156 + 24,96 = 180,96€ és el preu final.
Mat
emàt
iqu
es, C
ièn
cia
i Tec
no
log
ia2
. EC
ON
OM
IA D
OM
ÈS
TIC
A
UN
ITA
T 4
SO
LU
CIO
NS
AC
TIV
ITA
TS
D’A
PR
EN
EN
TAT
GE
115Segon pressupost:
Augmenten el 16% d’IVA = 195 x 0,16 =31,20€.
195 + 31,20 = 226,20€ val després de l’augment.
Apliquen el descompte del 20% sobre 226,20€.
226,20 x 0,20 = 45,24€
El preu final serà 226,20 — 45,24 = 180,96€ que és el mateix preu del pressu-post anterior.
Activitat 7
Si el teu sou brut és de 1.500€ i cobres 1.230€, quin és el % d’IRPF que t’handescomptat?
T’han retingut 1.500 — 1.230 = 270€.
Si de 1.500€ et descompten 270€, el que et descompten de cada 100€ seràl’IRPF expressat en percentatge.
270 x=
1.500 100
27.000x = = 18
1.500
L’IRPF és del 18%.
Activitat 8
Fixa’t en la nòmina de l’apartat 2 i digues què passaria en els casos següents:a) Quant ens retindran d’IRPF si ens pugen la remuneració total un 25%.b) Ens pugen la retenció de l’IRPF a un 15%.
Fixa’t que l’IRPF es calcula a partir de la remuneració total (que és la suma delsalari base i de la paga de beneficis).
El 6% de 705,24€ són:705,24 x 0,06 = 42,31€
a) Si la remuneració total puja un 25% tenim:El 25% de 705,24€ són:705,24 x 0,25 = 176,31€La remuneració final serà 705,24 + 176,31 = 881,55€. La retenció de l’IRPFserà:El 6% de 881,55 són:
881,55 x 0,06 = 52,89€
b) Si ens pugen la retenció al 15%:El 15% de 705,24 són:705,24 x 0,15 = 105,79€
La retenció per l’IRPF serà de 105,79€. Per tant, cobrarem:705,24 — 38,25 — 12,61 — 0,81 — 105,79 = 547,78€
Activitat 9
116
Mat
emàt
iqu
es, C
ièn
cia
i Tec
no
log
ia2
. EC
ON
OM
IA D
OM
ÈS
TIC
A
UN
ITA
T 4
SO
LU
CIO
NS
AC
TIV
ITA
TS
D’A
PR
EN
EN
TAT
GE
Fixa’t en la factura de l’apartat 2. Què hauria hagut de pagar si hagués com-prat un llibre i dos pantalons?
Un llibre val 6,10 i l’IVA és del 4%.El 4% de 6,10€ són:6,10 x 0,04 = 0,24€
El preu total del llibre, IVA inclòs, és de 6,10 + 0,24 = 6,34€
Uns pantalons valen 30€; per tant, dos en valdran 60€. L’IVA és del 16%.El 16% de 60€ són:60 x 0,16 = 9,60€
Els pantalons ens costaran, per tant: 60 + 9,60 = 69,60€
El total de la factura hauria estat de 6,34 + 69,60 = 75,94€
Mat
emàt
iqu
es, C
ièn
cia
i Tec
no
log
ia2
. EC
ON
OM
IA D
OM
ÈS
TIC
A
U
NIT
AT
4S
OL
UC
ION
S A
CT
IVIT
AT
S D
’AV
AL
UA
CIÓ
117SOLUCIONS DE LES ACTIVITATS D’AVALUACIÓ
Activitat 1
Un venedor de cotxes té una comissió del 5,5%. Si cada cotxe val 1.270€ i havenut 3 cotxes, quants diners ha guanyat de comissió?
1.270 x 3 = 3.810€ ha fet de venda.
El 5,5% de 3.810€ serà:
3.810 x 0,055 = 209,55€ de comissió.
Activitat 2
Et vols comprar una enciclopèdia que val 720€. Si et fan un 12% de descompte,quant pagaràs per l’enciclopèdia?
El 12% de 720 és = 0,12 x 720 = 86,40€ de descompte.
Pagaràs per l’enciclopèdia: 720 - 86,40 = 633,60€.
Activitat 3
Un botiguer compra una remesa de 200 camises per 2.400€. Per posar el preucarrega un 50% i després aplica el 16% d’IVA. Quin serà el preu que marcaràl’etiqueta?
El preu de compra d’una camisa és: 2.400 : 200 = 12€.
El 50% de 12€ = 12 x 0,50 = 6€.
Al preu de 12 + 6 = 18€ el botiguer li aplica l’IVA.
18 x 0,16 = 2,88€
El preu que marcarà l’etiqueta serà: 18 + 2,88 = 20,88€.
Activitat 4
Pagues 180€ de multa per haver anat amb excés de velocitat. T’has estalviat el20% per haver-la pagat en el termini que t’havien indicat. Quin era el preuoriginal de la multa?
Si t’has estalviat el 20% vol dir que has pagat el 80%.
Has pagat 80€ de cada 100€.
Has pagat 180 de x
80 100=
180 x
18.000x = = 225 €
80
El preu de la multa era de 225€.
118
Mat
emàt
iqu
es, C
ièn
cia
i Tec
no
log
ia2
. EC
ON
OM
IA D
OM
ÈS
TIC
A
U
NIT
AT
4S
OL
UC
ION
S A
CT
IVIT
AT
S D
’AV
AL
UA
CIÓ
Activitat 5
Quin és el percentatge que ha augmentat el preu de l’entrada d’un espectaclesi l’any passat costava 15€ i enguany 17€?
L’increment del preu ha sigut de 17 – 15 = 2€
De 15€ han augmentat 2.
De 100 augmentarà x
15 2=
100 x
200x = = 13,33 %
15
L’augment ha sigut del 13,33%.
què
Mat
emàt
iqu
es, C
ièn
cia
i Tec
no
log
ia2
. EC
ON
OM
IA D
OM
ÈS
TIC
A
U
NIT
AT
4Q
UÈ
HA
S T
RE
BA
LL
AT
?
119
has treballat?
EL MERCAT
Oferta i demandaPercentatges aplicats
a l’economiaEconomia domèstica
Comissions
Drets del consumidor Pressupost
Descomptes Impostos Interessos
Recàrrecs Rebaixes
Liquidacions
comM
atem
àtiq
ues
, Ciè
nci
a i T
ecn
olo
gia
2. E
CO
NO
MIA
DO
MÈ
ST
ICA
UN
ITA
T 4
CO
M H
O P
OR
TO
?
120
ho porto?Omple la graella següent posant una creu on correspongui.
En acabar la unitat, sóc capaç de...
Bé A mitges Malament
Diferenciar béns i serveis.
Reconèixer la llei de l’oferta i la demanda.
Calcular el tant per cent en comissions.
Calcular el tant per cent en recàrrec.
Utilitzar el tant per centper fer descomptes.
Aplicar els percentatges dels impostos.
Mat
emàt
iqu
es, C
ièn
cia
i Tec
no
log
ia2
. EC
ON
OM
IA D
OM
ÈS
TIC
A
PU
NT
D’A
RR
IBA
DA
. A
CT
IVIT
AT
S D
’AV
AL
UA
CIÓ
DE
L M
ÒD
UL
121PUNT D’ARRIBADA. ACTIVITATS D’AVALUACIÓ DEL MÒDUL
Activitat 1
Troba tots els divisors dels nombres:
21 25 29 31
Sabries dir quins d’aquests nombres són primers? Per què?
Activitat 2
Una empresa catalana de productes lactis distribueix els seus iogurts o bé em-paquetats amb lots de 8 unitats o bé amb lots d’una dotzena d’unitats. En elmagatzem hi ha gairebé 5.000 iogurts per empaquetar. Quants iogurts hi haexactament si a l’hora de fer els lots no n’ha sobrat cap? Quants lots s’hanpogut fer de cada?
Activitat 3
Escriu les fraccions que corresponen a:a) Una moneda de 2€ respecte d’un bitllet de 5€.b) Un centímetre respecte d’un metre.c) Un decilitre respecte d’un litre.d) El cap de setmana respecte de la setmana sencera.e) La setmana laboral respecte de la setmana sencera.f) L’estació de la primavera respecte de tot l’any.
Ordena de més petita a més gran les fraccions que has obtingut.
122
Mat
emàt
iqu
es, C
ièn
cia
i Tec
no
log
ia2
. EC
ON
OM
IA D
OM
ÈS
TIC
A
PU
NT
D’A
RR
IBA
DA
. A
CT
IVIT
AT
S D
’AV
AL
UA
CIÓ
DE
L M
ÒD
UL
Activitat 4
A l’escola, per poder marxar de viatge de fi de curs, veníem samarretes a 1.500pessetes. Actualment quin serà el seu preu en euros? Per resoldre el problemapots utilitzar la calculadora. S’ha d’usar l’aproximació per arrodoniment. Re-corda que 1€ = 166,386 pessetes.
Activitat 5
Indica les mides reals de les dues habitacions.
Activitat 6
Per omplir una botella d’aigua de litre i mig amb una mànega triguem 20 se-gons. Quantes hores trigaríem a omplir un dipòsit de 5.400 litres?
Mat
emàt
iqu
es, C
ièn
cia
i Tec
no
log
ia2
. EC
ON
OM
IA D
OM
ÈS
TIC
A
PU
NT
D’A
RR
IBA
DA
. A
CT
IVIT
AT
S D
’AV
AL
UA
CIÓ
DE
L M
ÒD
UL
123Activitat 7
Segons un estudi, el 66% dels ingressos familiars es destinen a pagar deutes,la majoria de les quals són d’habitatge. Atesa aquesta dada, si una família dedi-ca 800€ a pagar deutes, quants euros són els seus ingressos?
Activitat 8
A l’etiqueta d’un aliment trobem la nota següent:
Aquest producte conté:· 55% d’hidrats de carboni
· 35% de grasses
· 10% de proteïnes
Si mengem 150 g d’aquest aliment, quants grams prendrem d’hidrats de carbo-ni, quants de grasses i quants de proteïnes?
124
Mat
emàt
iqu
es, C
ièn
cia
i Tec
no
log
ia2
. EC
ON
OM
IA D
OM
ÈS
TIC
A
SO
LU
CIO
NS
AC
TIV
ITA
TS
D’A
VA
LU
AC
IÓ D
EL
MÒ
DU
L
SOLUCIONS DE LES ACTIVITATS D’AVALUACIÓ DEL MÒDUL
Activitat 1
Troba tots els divisors dels nombres:
21 25 29 31
Sabries dir quins d’aquests nombres són primers? Per què?
Descomponem 21, 25, 29 i 31 factorialment.
21 3 25 5 29 29 31 31
7 7 5 5 1 1
1 1
21 = 3 x 7 25 = 52 29 = 29 x 1 31 = 31 x 1
1 121 és divisible per 21 és divisible per
3 7
Escrivim els diferents productes:
1 = 1 1 = 31 3
7 = 7 7 = 21
Divisors de 21 = {1, 3, 7, 21}
1
25 és divisible per 5
52
Divisors de 25 = {1, 5, 25}
1
29 és divisible per
29
Divisors de 29 = {1, 29}
1
31 és divisible per
31
Divisors de 31 = {1, 31}
29 i 31 són nombres primers perquè tenen com a únics divisors els trivials, és adir, ells mateixos i la unitat.
x
x
x
x
Mat
emàt
iqu
es, C
ièn
cia
i Tec
no
log
ia2
. EC
ON
OM
IA D
OM
ÈS
TIC
A
SO
LU
CIO
NS
AC
TIV
ITA
TS
D’A
VA
LU
AC
IÓ D
EL
MÒ
DU
L
125Activitat 2
Una empresa catalana de productes lactis distribueix els seus iogurts o béempaquetats amb lots de 8 unitats o bé amb lots d’una dotzena d’unitats. En elmagatzem hi ha gairebé 5.000 iogurts per empaquetar. Quants iogurts hi haexactament si a l’hora de fer els lots no n’ha sobrat cap? Quants lots s’hanpogut fer de cada?
El nombre de iogurts que hi ha en el magatzem ha de ser múltiple de 8 i de 12ja que els lots que es fan són de 8 i 12 unitats i no en sobra cap. De múltiplecomú a 8 i 12, en sabem calcular un i és el mcm (8, 12).
8 2 12 2
4 2 6 2
2 2 3 3
1 1
mcm (8, 12) = 23 x 3 = 8 x 3 = 24
24 és múltiple tant de 8 com de 12, però el nombre que busquem s’ha d’acostaral més possible a 5.000.
24 x 100 = 2.400
24 x 200 = 4.800. Aquest nombre és proper a 5.000. Però encara ens hi po-dem acostar més. Només cal anar sumant 24 ja que els nombres que s’obtin-dran continuaran sent múltiples de 8 i 12 a la vegada.4.800 + 24 = 4.8244.824 + 24= 4.8484.848 + 24= 4.8724.872 + 24 = 4.896
4.896 és el nombre més proper a 5.000 que és múltiple de 8 i de 12 a la vega-da. Si li sumem 24 unitats més ja sobrepassem 5.000.
Per tant, en el magatzem hi ha un total de 4.896 iogurts.
Activitat 3
Escriu les fraccions que corresponen a:a) Una moneda de 2€ respecte d’un bitllet de 5€.b) Un centímetre respecte d’un metre.c) Un decilitre respecte d’un litre.d) El cap de setmana respecte de la setmana sencera.e) La setmana laboral respecte de la setmana sencera.f) L’estació de la primavera respecte de tot l’any.a) 2/5b) 1/100c) 1/10d) 2/7e) 5/7f) 1/4
Ordena de més petita a més gran les fraccions que has obtingut.
1/100 < 1/10 < 1/4 < 2/7 < 2/5 < 5/7
126
Mat
emàt
iqu
es, C
ièn
cia
i Tec
no
log
ia2
. EC
ON
OM
IA D
OM
ÈS
TIC
A
SO
LU
CIO
NS
AC
TIV
ITA
TS
D’A
VA
LU
AC
IÓ D
EL
MÒ
DU
L
Activitat 4
A l’escola, per poder marxar de viatge de fi de curs, veníem samarretes a 1.500pessetes. Actualment quin serà el seu preu en euros? Per resoldre el problemapots utilitzar la calculadora. S’ha d’usar l’aproximació per arrodoniment. Re-corda que 1€ = 166,386 pessetes.
1.500 : 166,386 = 9,0151815.....
Si arrodonim a les centèsimes 1.500 ptes són 9,02€.
Activitat 5
Indica les mides reals de les dues habitacions.
3 cm x 200 = 600 cm = 6 m4,5 cm x 200 cm = 900 cm = 9 m2 cm x 200 = 400 cm = 4 m
Les mides reals de les habitacions són 6 m x 9 m i 4 m x 9 m.
Activitat 6
Per omplir una botella d’aigua de litre i mig amb una mànega triguem 20 se-gons. Quantes hores trigaríem a omplir una dipòsit de 5.400 litres?
Si omplim 1,5 litres en 20 segonsOmplirem 5.400 litres en x segons
1,5 20 108.000= 1,5 x = 20 · 5.400 x = = 72.000 segons
5.400 x 1,5
Trigarem 72.000 segons, però quantes hores són això:
1 minut 1 hora72.000 segons · · = 20 hores
60 segons 60 minuts
▼▼
Mat
emàt
iqu
es, C
ièn
cia
i Tec
no
log
ia2
. EC
ON
OM
IA D
OM
ÈS
TIC
A
SO
LU
CIO
NS
AC
TIV
ITA
TS
D’A
VA
LU
AC
IÓ D
EL
MÒ
DU
L
127Activitat 7
Segons un estudi, el 66% dels ingressos familiars es destinen a pagar deutes,la majoria de les quals són d’habitatge. Atesa aquesta dada, si una família dedi-ca 800€ a pagar deutes, quants euros són els seus ingressos?
Segons l’estudi el 66% dels ingressos és per deutes, en aquest cas 800€.
66 correspon a 800€
100 correspon a x
Escrit en forma de proporcionalitat:
66 800=
100 x
80.000x = = 1.212,12 €
66
Els ingressos són 1.1212,12€.
Activitat 8
A l’etiqueta d’un aliment trobem la nota següent:
Aquest producte conté:· 55% d’hidrats de carboni
· 35% de grasses
· 10% de proteïnes
Si mengem 150 g d’aquest aliment, quants grams prendrem d’hidrats de carbo-ni, quants de grasses i quants de proteïnes?
El 55% de 150 g = 0,55 x 150 = 82,5 g.
Els hidrats de carboni són 82,5 g.
El 35% de 150 g = 0,35 x 150 = 52,5 g.
Les grasses són 52,5 g.
El 10% de 150 g = 0,10 x 150 = 15 g.
Les proteïnes són 15 g.
Economia domèstica
Mòdul comú
Àmbit de les Matemàtiques, de la Ciènciai de la Tecnologia
2
Generalitat de CatalunyaDepartament de Benestar i FamíliaDirecció General de Formació d’Adults