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GOBERNADOR CONSTITUCIONAL DEL ESTADO DE COAHUILA
Lic. Rubén Ignacio Moreira Valdez
SECRETARIO DE EDUCACIÓN
Ing. José María Fraustro Siller
SUBSECRETARIA DE EDUCACIÓN BÁSICA
Profra. Ma. Dolores Torres Cepeda
DIRECTORES DE NIVEL
INICIAL
Profra. Ana MargaritaVillarreal Muñoz
Profra. Norma Yolanda Padilla Salas
PREESCOLAR
Profra. Dolores Alicia Leza González
Profra. María del Rosario Sánchez Martínez
PRIMARIA
Profr. Ferdinando Ramos Maldonado
Profr. Roberto de los Santos Martínez
SECUNDARIA
Prfr. Jorge Isidro del Bosque Hernández
Profr. José Andrés Mendoza Morales
COORDINACIÓN DE INNOVACIÓN Y CALIDAD EDUCATIVA
Profr. Melchor Maldonado Jiménez
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El presente cuaderno de trabajo “Secuencias, juegos y conexiones didácticas” de las
asignaturas de Español y Matemáticas fue elaborado por los maestros de las Unidades
Académicas de los niveles educativos de la Subsecretaria de Educación Básica. Con
el propósito de contribuir en el Reforzamiento Académico de los contenidos que
presentan algún grado de dificultad para elevar la calidad educativa de de niños,
niñas y jóvenes en las diferentes regiones del Estado.
Coordinación General
Secretaría Técnica de la SEC
Asesoría, Sección, Estrategias Generales:
Cudberto Barajas Coronado
Dolores Flores Ortiz
Guadalupe Villegas Díaz
Rosario García Rodríguez
Autores:
José Luis Ramírez Morales
Blanca Estela Yáñez Alemán
Colaboradores:
Mario Gutiérrez
Rosa María González
Diseño
Jorge Alberto Cano Rosiles
Liliana Isabel Gutiérrez Orozco
Revisión
Blanca Margarita Villarreal Soto
Guillermina Carmona Pequeño
Liliana Patricia Hernández Elizondo
Segunda Edición Secretaría de Educación
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Índice Página
Presentación 5
Introducción 7
Estrategias de activación escolar para el tratamiento de los contenidos de difícil comprensión
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1. Eje: Sentido Numérico y Pensamiento Algebraico 14
1.1 Tema: Significado y Uso de las Operaciones 15
Lectura de Apoyo No. 1 “El papel de la geometría como herramienta para la
didáctica de la matemática” ……………………....Eduardo Mancera Martínez 40
2. Eje: Forma, Espacio y Medida 49
2.1 Tema: Formas Geométricas 50
2.2 Tema: Medida 50
3. Eje: Manejo de la Información 76
3.1 Tema: Análisis de la Información. Proporcionalidad 76
3.2 Tema: Análisis de la Información. Probabilidad 101
Bibliografía 121
Observaciones y Sugerencias 123
5
Presentación
El presente documento plantea un enfoque promisorio del quehacer educativo
del Estado. La visión es convertir a Coahuila, en una entidad que irrumpa hacia
estándares altos de desarrollo, gracias a la mejora en la Calidad Educativa. La
gran tarea es la búsqueda y consolidación de un perfil ciudadano, que
enfrente los desafíos impuestos por la modernidad en la multi perspectiva
social.
La Secretaría de Educación del Estado de Coahuila, reconoce a la educación
como un concepto elemental en el desarrollo humano, que por añadidura,
tiene como fin el fortalecimiento social. En la educación se privilegian las
habilidades como el eje motor del aprendizaje, se busca la formación de
individuos preparados, competentes y creativos en los ámbitos de su propia
particularidad dentro de un marco referencial.
El fenómeno educativo va más allá de cumplir con la formalidad de una
currícula, el desempeño de una labor administrativa o un campo de gestión
ante la autoridad. La educación, hoy en día, es un ente regulador de la
organización social. Valorar la acción educativa es asumirla como el eje rector
que motivará las transformaciones sociales. Para ello, el propio sistema
institucional, debe tener como principio la mejora continua de la organización.
Uno de los planteamientos de la política educativa del Estado, es fortalecer un
programa de mejora continua, que impulse la calidad con perspectivas de
elevar la eficiencia terminal de los coahuilenses. Para cumplir los objetivos, se
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proyectan una serie de acciones concatenadas para iniciar el mejoramiento
de la enseñanza en la Educación Inicial y Básica.
En el marco de esta fundamentación y con el propósito integrar a la
comunidad educativa en una nueva dinámica, se implementa en el ciclo
escolar 2012-2013, el cuadernillo de trabajo: “Juegos, Secuencias y Conexiones
de la Didáctica-Matética”. El material es un apoyo pedagógico que motiva el
trabajo en las aulas para promover la construcción de aprendizajes
significativos en los alumnos.
La propuesta se centra en la dinámica docente, con perspectiva a dinamizar
las estrategias operadas en las aulas, y así, alcanzar los objetivos trazados en la
currícula de educación inicial y básica. La idea se sustenta en la necesidad
que tiene la figura educativa de reivindicarse como un gestor del aprendizaje y
no como un reproductor de contenidos. La acción concreta a reforzar, es
renovar los procesos de enseñanza aprendizaje en el aula. Nuevos medios
suponen herramientas atractivas que facilitan la compresión en los alumnos y,
posiblemente, se cumplan las expectativas de los aprendizajes esperados.
El presente documento de trabajo, considera al docente como eje central en
el diseño de la iniciativa. Como principio se respeta la particularidad de cada
uno, pero se implementa una secuencia didáctica especial. El maestro
requiere, como paso inicial, detectar los elementos que obstaculizan el trabajo
en el aula. Luego actúa en consecuencia, para generar armonía e integrar el
desarrollo de habilidades en los alumnos.
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Los niños y jóvenes son la estructura humana secuencial para cambiar el
paradigma de desarrollo del Estado. Las acciones que se consoliden en el
presente, repercuten en el mediano y largo plazo. El maestro es un valioso
gestor de cambios, una herramienta emergente en la nueva
conceptualización del proyecto educativo.
Secretaría de Educación
Coahuila
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Introducción
En la actualidad el papel de los docentes está centrado fundamentalmente en
que las reformas educativas lleguen a la escuela y a las aulas, por lo tanto, el
docente se convierte en el actor clave del proceso de transformación
educativa.
Se han desarrollado diversas iniciativas en este rubro, sin embargo en esta
ocasión el reto es analizar y reflexionar sobre la importancia de reconocer que
la enseñanza de las matemáticas y el español se pueden guiar sólo y sí el
docente tiene consolidado el contenido del currículo de Educación inicial y
básica.
La principal forma de abordar esta acción es dándole énfasis al trabajo
docente en colectivo, donde se encuentra una fuente inagotable de
experiencias de aprendizaje decente que en la cotidianeidad del quehacer
escolar se intercambia e impacta la práctica pedagógica, además, el
colectivo es un elemento sustancial para dar fundamento a las decisiones
didácticas tomadas y acordadas en la escuela.
El colectivo, en su totalidad es el responsable del trabajo pedagógico en la
escuela, de ellos depende el éxito o el fracaso en cada una de las aulas, así
como el resultado de las estrategias pedagógicas y didácticas implementadas,
La sociedad actual exige ciudadanos cada vez más competentes que logren
obtener e identificar información, que resuelvan problemas más complejos que
aquellos que establecen una relación directa y evidente, que realicen
deducciones, que interpreten relaciones directas en contextos específicos y
puedan llegar a conclusiones sobre temas relevantes que les permita mejorar
su nivel de vida.
9
Para estructurar este material, un equipo de asesores técnico se dio a la tarea
de identificar las problemáticas de aprendizaje, es decir se realizó un
diagnóstico de los aprendizajes no consolidados que prevalecen en la
educación de Coahuila, el referente principal fueron los resultados de las
evaluaciones internacionales, nacionales y estatales, aplicadas tanto a
alumnos y alumnas como docentes, (ENLACE, EXCALE, Olimpiada del
Conocimiento, Diagnóstico Estatal y Exámenes Nacionales de Actualización
para Maestros en Servicio).
El análisis de resultados permitió identificar con precisión los contenidos de difícil
comprensión y elaborar estrategias comunes, que con rumbo y eficacia,
permitan a los docentes y colectivos escolares de educación inicial y básica
decidir y actuar en forma racionalizada.
Este fue un análisis funcional, colectivo, participativo e inclusivo, ya que los
diferentes niveles y áreas de la Secretaría de Educación del Estado estuvieron
representadas por los asesores técnico pedagógicos responsables de los
procesos de la capacitación y actualización docente.
En general a continuación se enlistan los contenidos de difícil comprensión
identificados para llevar a cabo el cuadernillo de trabajo: “Juegos, Secuencias
y Conexiones de la Didáctica-Matética”.
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Estrategia de activación escolar para el tratamiento de los contenidos de difícil
comprensión
La estrategia es un acompañamiento pedagógico, que se concibe como una
alternativa de mejora continua, para la escuela y en la escuela.
El programa pretende apoyar los esfuerzos educativos que se realizan en el
aula, ofrece a los maestros experiencias pedagógicas que le permitan generar
aprendizajes integrales para el tratamiento de los contenidos de difícil
comprensión.
Objetivos:
1. Mejorar el rendimiento académico de los alumnos y alumnas de
educación inicial y básica.
2. Fortalecer los aprendizajes docentes que permitan a los profesores
resolver problemas, analizar, aplicar y producir conocimientos.
3. Implementar un modelo sistemático e integrador que fortalezca a
la Estrategia Estatal de Mejora del Logro Educativo en el que los
docentes construyan y retroalimenten sus conocimientos en
colaboración con sus pares propiciando el encuentro personal
entre quien quiera aprender una competencia y quien posee esa
competencia a través de la metodología de Relaciones Tutoras.
En el aula el maestro es el locutor, es quien se encarga de propiciar el
desarrollo intelectual de sus alumnos y alumnas, por lo anterior, el dominio y
manejo didáctico de los contenidos curriculares, son una exigencia para el
desempeño profesional del docente.
La Estrategia es una más de las acciones para la profesionalización de los
docentes de educación inicial y básica que la Secretaría de Educación
emprende.
El modelo de trabajo se fundamenta en la propuesta de relaciones tutoras, en
donde se propicia que los estudiantes desarrollen la competencia de aprender
a aprender a partir de situaciones y que se sienta acompañado y acompañe a
otros para adquirir la competencia.
Como apoyo a la Estrategia, se presenta este Cuaderno de Trabajo para el
tratamiento de los contenidos de difícil comprensión, se busca promover el
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aprendizaje en colectivo, el acompañamiento académico y el papel activo
del maestro en y para su formación.
La práctica educativa cotidiana constituye el elemento central de nuestra
propuesta, por lo tanto, concebimos a la escuela como el espacio en donde la
capacitación se concreta como modelo de mejora de los aprendizajes.
El modelo de capacitación aspira a la formación de un profesor “tutor”
responsable y comprometido con su escuela, sus alumnos y alumnas y su
profesión. La actuación del maestro estará acompañado de un diálogo
oportuno, inventivo, ágil que permita ocasionar interrogantes a los alumnos y
reaccionar para encontrar ,,,
Estrategia Metodológica:
Los materiales diseñados para el tratamiento de contenidos de difícil
comprensión en Educación Básica es una propuesta didáctica dirigida a
docentes con el propósito de impactar el aprendizaje de los alumnos y
alumnas y mejorar el logro educativo, su implementación se realiza dentro de la
escuela y a través del colectivo docente como principal generador de
estrategias áulicas.
El papel fundamental de esta estrategia de trabajo lo llevan quienes la hacen
realidad en el contexto escolar, los maestros, así entonces su participación
comprometida y responsable es la clave para el éxito, el logro docente está
centrado en la capacidad de aprendizaje interactivo que tiene lugar en la
escuela.
Los directores serán promotores del desarrollo y participación comprometida
de los docentes en esta tarea, deberán involucrarse en el proceso y evaluar el
resultado de las actividades propuestas, intervendrán de acuerdo a la
necesidad para asegurar el éxito del colectivo, en coordinación con el
supervisor de zona verificarán y apoyarán a los docentes para que en la
planeación diaria, incluyan las actividades para la atención de los contenidos
de difícil comprensión.
La Tutoría y la asesoría académica a la escuela
La asesoría es un acompañamiento que se da a los docentes para la
comprensión e implementación de las nuevas propuestas curriculares. Su reto
está en la resignificación de conceptos y prácticas.
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Tanto la tutoría, como la asesoría suponen un acompañamiento cercano; esto
es, concebir a las escuelas como un espacio de aprendizaje y reconocer que
el tutor y el asesor también aprenden.
Considerando que la estrategia metodológica de relación tutora, se propone
desarrollar una serie de acciones con el propósito de hacer uso de los
materiales que diseñaron los cuerpos académicos de la Subsecretaría de
Educación Básica (Cuaderno de Trabajo para el tratamiento de los contenidos
de difícil comprensión) como apoyo para mejorar los resultados del logro en
contenidos de Español y Matemáticas.
Difusión de los Cuadernos de Trabajo en la página web de la SEC
Invitación a maestros de Educación Básica a participar en el curso para
fortalecer la Estrategia Estatal de Mejora del Logro Educativo.
Proceso de capacitación para analizar los materiales y fortalecer la
estrategia de relación tutora.
Diferenciar la estrategia en cada nivel.
Establecer mecanismos de seguimiento y evaluación.
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Matemáticas Contextos numéricos y funciones del número
Cardinal
Ordinal
Mixto
Códigos
Cálculo
Memoria de la cantidad
Valores y equivalencias
Secuencias
Números fraccionarios y sus operaciones
Conteo Resolución de problemas
Aditivos
Multiplicativos (razones y proporciones)
Tablas y gráficas
Escala
Geometría
Relaciones topológicas (área)
Relaciones tridimensionales (cuerpos)
Ángulos, lados, paralelismo, simetría
Principios de álgebra
Identifica regularidades numéricas y patrones
Complementos aditivos y multiplicativos
Fórmulas
La potencia
El porcentaje
Medición
Abstraer las propiedades de magnitudes continuas y discontinuas de los objetos- sistema de medición decimal.
Cálculo mental
Descomposición de números
Regularidades numéricos
Complementos aditivos, multiplicativos
Desarrollos aritméticos
14
15
SUBTEMA: NÚMEROS FRACCIONARIOS Y DECIMALES
La representación de fracciones y decimales en la recta numérica no es una tarea sencilla, sin embargo, una vez que los alumnos han comprendido como hacerlo, la recta numérica se convierte en un recurso eficaz para resolver problemas sobre el orden y la equivalencia de números.
CONOCIMIENTOS Y HABILIDADES. Representar números fraccionarios y decimales en la recta numérica a partir de distintas informaciones analizando las convenciones de esta representación.
APRENDIZAJE ESPERADO: Conoce y utiliza las convenciones para representar números fraccionarios y decimales en la recta numérica.
1.- CONSIGNA: Anota los números que correspondan a los puntos señalados
Gráficos tomados de la Guía interactiva para Secundaria de Matemáticas. INEE 2008
2.- CONSIGNA:
Utiliza los puntos dados en la siguiente recta numérica para ubicar los números 5
3 y 1.30
1 1.5
16
En la siguiente recta numérica representa los números 5
4 , 1.3, 5
3 y 1.35
Lo primero que deben hacer los alumnos es determinar el valor correspondiente a cada marca entre 3.3 y 3.4; igual para cada una de las rectas. En la segunda y cuarta recta solo se pide una aproximación porque el propósito es que los alumnos sepan encuadrar los decimales; por ejemplo, el 4.56 está entre el 4 y el 5, pero como está marcado el 4.5 se espera que los alumnos lo coloquen entre el 4.5 y el 5.
La segunda consigna tiene que ver con la ubicación espacial del alumno; ya que no se da el punto de origen de la recta numérica, y ellos tendrán que determinar la escala y la ubicación del cero como referencia. Por ejemplo, en la recta que tiene marcado el 1solamente, el cero debe
estar a la izquierda a una distancia tal que puedan colocarse con facilidad las fracciones 5
4 y
5
3 al contar a partir de cero; de igual manera se procede para localizar el punto que
corresponde a 1.30. Se mide a la derecha de 1 la misma distancia que hay hasta cero y se coloca el entero 2 luego se divide el segmento en 10 partes iguales, cada parte corresponde a un décimo, entonces se procede a contar desde 1 Si el docente nota que algún alumno usa la hoja rayada para dividir un segmento en partes iguales, conviene detener la actividad y pedir al alumno que comparta con el grupo lo que esta haciendo. Las fracciones serán fácilmente ubicadas cuando esto se haya comprendido. Es necesario subrayar que los números se pueden representar de diferentes maneras y que la recta numérica es un recurso para ordenarlos.
Otros recursos para investigar
En la Antología de Matemáticas. Primer Taller de Actualización sobre los Programas de Estudio 2006. Editado para la Reforma de Secundaria, contiene un artículo “Notas sobre el papel de la noción de razón en la construcción de las fracciones en la escuela primaria” paginas de la 33 a la 44 muy interesante pues atiende formas de pensamiento de los alumnos de primaria con respecto a las fracciones.
En el libro “Apuntes para la enseñanza Matemática”. Cálculo mental con números naturales, propuesto por el Gobierno de la Ciudad de Buenos Aires, Secretaría de Educación, Dirección General de Planeamiento, Dirección de Curricula; paginas de la 57 a 68 trata el tema; los números naturales desde la denominación de monedas y billetes a partir de equivalencias. Propone una serie de ejercicios prácticos y .. de manera distinta a como los abordamos en México, será interesante ponerlos en práctica y analizar los resultados y sobre todo el interés de los alumnos.
El fichero de actividades didácticas , propuesto desde 1999 por la Secretaría de Educación Pública y un gran equipo de la Subsecretaría de Educación Básica y Normal, en el tema 16 Pág. 40-41 trata la simplificación, reducción a un común denominador, adición y sustracción; de una manera muy interesante, Consulten en colectivo estas actividades que resultan ampliamente interesantes.
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La Guía Interactiva, de Fortalecimiento Académico para la asignatura de Matemáticas primer grado de Escuelas Secundarias elaborada por el INEE, en su versión completa para imprimir, propone ejercicios de reforzamiento como los que se proponen en este apartado.
SUBTEMA: PROBLEMAS MULTIPLICATIVOS
Las Fracciones y sus usos
El estudio de las fracciones es importante por sí mismo y porque permite el desarrollo de nociones útiles para el conocimiento de temas más avanzados, como son el razonamiento proporcional y el estudio de las expresiones racionales en el álgebra. Su aprendizaje no es fácil, por lo que muchos alumnos terminan la educación secundaria y llegan a niveles superiores con un dominio insuficiente de las fracciones, a pesar de que su estudio comienza desde la preescolar.
Con objeto de facilitar la adquisición de un conocimiento permanente, los programas proponen que las fracciones y sus operaciones se estudien durante los dos primeros grados de educación secundaria aunque en los tres grados se tendrá oportunidad de resolver problemas que impliquen operaciones con fracciones. En el primer y segundo grados se verán las fracciones comunes, sus significados, operaciones y algoritmos para realizarlas. En el tercer grado se verán las expresiones racionales o fracciones algebraicas, lo que permitirá que los alumnos revisen y practiquen las operaciones con fracciones comunes.
CONOCIMIENTOS Y HABILIDADES: Resolver problemas que impliquen la multiplicación y división con números fraccionarios en distintos contextos.
APRENDIZAJE ESPERADO: Resuelve problemas que implican efectuar multiplicaciones o divisiones con fracciones y números decimales.
3.- CONSIGNA: A partir de la figura de la derecha que representa algunas fracciones unitarias llamadas así porque su numerador es la unidad, ordenarlas de mayor a menor y encontrar el factor constante que se utilizar para obtener a partir de la primera todas las demás.
Se espera que los alumnos logren aplicar sus conocimientos sobre el orden y las operaciones con fracciones y determinen por comparación que a medida que crece el denominador la fracción tendrá un valor menor con respecto a un entero.
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Utilizando una hoja de papel puede doblarla en dos partes y obtener la fracción 2
1; luego si
dobla nuevamente obtendrá 4
1, y así sucesivamente obtendrá cada una de las otras
fracciones. Podrá observar entonces que al multiplicar por un medio también obtiene la fracción siguiente. Este procedimiento puede serle útil para comprender el proceso de la multiplicación de fracciones utilizando el modelo de áreas y aplicarlo en la resolución de otros problemas como el siguiente:
Resuelve:
Una tableta de una medicina pesa 7
4 de onza, ¿cuál es el peso en gramos de
4
3 de tableta?
(Se sabe que una onza equivale a 28.35 gr).
Para resolver el problema anterior es necesario reconocer que aun cuando los datos son
fracciones representan magnitudes diferentes; es decir la fracción 7
4 representa una parte de
una unidad de medida (onza) por lo tanto es necesario conocer el valor de la unidad en
cuestión; por el contrario 4
3 representa la parte de la tableta que tiene ese peso.
Entonces, se calcula primero el producto de las fracciones 4
3
7
4 para obtener el total en
onzas de la parte de la tableta ( 7
3
28
12 onzas). El alumno ya investigó el valor de una onza
como unidad de masa del sistema inglés de pesos y medidas, por tanto obtendrá el peso de la
tableta en gramos multiplicando la fracción 7
3 de onza por 28.35 gr, lo que da un total de
12.15 gr de peso.
Otro procedimiento que puede surgir:
Lo importante en el problema es que los alumnos se den cuenta de que, dado que quieren
saber el peso de 4
3 de tableta y el peso de la tableta completa es de onza, lo que interesa
averiguar es4
3 de
7
4. Este es el primer asunto que conviene que los alumnos tengan claro. A
partir de aquí se puede ver que7
4 se puede dividir en cuatro partes iguales y que cada una de
esas partes es 7
1, de manera que
4
1 de
7
4 es
7
1,
4
2 son
7
2 y de
7
4 son
7
3. Una vez que se
ha hecho esta reflexión conviene pasar a la escritura formal para ver que4
3 de
7
4 es lo mismo
que 7
3
28
12 de onza.
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Gráficamente se pueden plantear el problema mediante el modelo de áreas:
La figura rectangular representa una onza (entero), ¿Qué representa la parte sombreada? __________________________________.
La dificultad de representar gráficamente una fracción es la interpretación de la misma como entero y luego definir la parte fraccionaria (sombreada). En el caso de este problema el peso
de la tableta son 7
4 de onza por lo tanto al dividir el rectángulo en 7 partes iguales y
sombrear 4 estamos representando el peso de la tableta
¿Cómo representamos en la figura anterior 3 cuartas partes de la tableta?
Si observamos la grafica nos damos cuenta que la parte que representa la fracción de la
tableta 7
4 está dividida a su vez en cuatro partes iguales; entonces si sombreamos con otro
color solamente 3 de esas 4 partes estaremos representando el peso de la porción de tableta
que queremos pesar. La fracción de tableta corresponde entonces a un peso de 7
3 de onza.
De otra manera podemos llegar al mismo resultado:
La parte sombreada naranja representa el peso la tableta en
onzas (7
4 de onza); la parte sombreada en café representa fracción de tableta que se desea
pesar en onzas (4
3 de tableta). La intersección representa en peso en onzas de la fracción
de tableta (7
3
28
12 ).
En cualquiera de los procedimientos anteriores hemos obtenido el peso de la tableta en fracción de onza ahora debemos convertirlo a gramos.
20
onza gramos
1 28.35
4
3
¿?
Representa una regla de tres simple que se resuelve: grs26.2135.284
3 (Respuesta al
problema)
Resuelve el siguiente problema:
La superficie total de un terreno es de 3750 m2. Las 5
2 partes del terreno se usaron para
construcción y el resto para jardín; 3
2 de jardín tiene pasto y el resto otras plantas. ¿Qué área
del terreno tiene pasto?
Al multiplicar 3750 x 5
2 se obtiene que 1500 m2 es el área destinada a construcción, luego el
área de jardín es de 2250 m2, Luego la parte de jardín que tiene pasto se obtiene de 3
2x
2250 = 1500 m2.
Otros Problemas
Los alumnos también podrán utilizar este modelo para resolver problemas como los siguientes.
1. Una botella con capacidad de 11/2 litros está llena de leche en sus 4/5 partes. ¿Qué
cantidad de leche contiene?
2. Un edificio de planta rectangular hace esquina con dos calles. Uno de sus frentes
ocupa un tercio de una calle y el otro ocupa dos quintos de la otra. ¿Qué parte de la manzana está ocupada por el edificio?
3. Un pedazo de lámina rectangular mide 3/4 de metro de ancho y 5/6 de metro de largo. ¿Cuál es su superficie?
4. Las tres quintas partes de un terreno son cultivables y en el resto no se puede sembrar. De la parte cultivable, tres cuartos están dedicados al maíz y un cuarto a hortalizas. ¿Qué parte está dedicada al cultivo del maíz? ¿Qué parte a las hortalizas?
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El aprendizaje de las fracciones presenta dificultades que los alumnos tardan en dominar. Ellos no sólo deberán acostumbrarse a sus usos en diferentes contextos y a las diferentes representaciones de un mismo número fraccionario, sino también a nuevos significados y formas de operar. Muchos no alcanzan a comprender por qué si al multiplicar fracciones se multiplican numerador por numerador y denominador por denominador, no se procede en forma similar cuando se suma.
El profesor deberá diseñar actividades que ayuden a resolver dudas como las anteriores y permitan comprender las diferencias de significados y formas de operar que hay entre los naturales y las fracciones.
También debe dar la oportunidad de que se utilicen con frecuencia las nociones y procedimientos aprendidos y estar preparado para, cada vez que sea necesario, recordar brevemente aquello que los alumnos hayan olvidado.
Información y documentación para tratar con mayor seguridad estos temas los podemos encontrar en la variedad de apoyos con los que cuenta Matemáticas en Secundaria: Por ejemplo; En el libro Apuntes para la enseñanza.- Matemática. Cálculo mental con números racionales, propuesto por el Gobierno de la Ciudad de Buenos Aires, Secretaría de Educación, Dirección General de Planeamiento, Dirección de Curricular; Paginas de la 21 a 68
CONOCIMIENTOS Y HABILIDADES: Resolver problemas que impliquen la multiplicación de números decimales en distintos contextos.
APRENDIZAJE ESPERADO: Resuelve problemas que implican efectuar multiplicaciones o divisiones con fracciones y números decimales.
“Una de las grandes ventajas de los números decimales sobre las fracciones comunes es la relativa facilidad con la que se puede operar con ellos”
Analiza y resuelve la siguiente actividad: a) Calcula el promedio de las dos fracciones que aparecen en
cada una de las rectas, b) Coloca el resultado en el punto correspondiente sobre la
recta. c) Calcula el promedio de la primera fracción y la que haya
obtenido como promedio en el inciso a) y coloca el resultado en el punto correspondiente de la recta.
d) Repite la operación al menos 5 veces. e) Coloca en la recta numérica todas las fracciones obtenidas
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Problemas que implican multiplicar fracciones y decimales. 1. En una escuela, 240 alumnos presentaron un examen.
a) Si de estos 240 alumnos solo aprobaron las 3/5 partes, ¿cuántos lo aprobaron? b) Si 2/6 de los alumnos que aprobaron son mujeres, ¿cuántas mujeres aprobaron? c) Del total de alumnos que presentaron el examen, 5/12 están en primer grado, y de
estos, 4/5 lo aprobaron. ¿Cuántos alumnos de primer grado lo aprobaron?
Para resolver el problema 1 inciso a) se multiplican 1443485
3240
5
3240
aprobados
Para saber cuántos alumnos aprobados son mujeres: 486
288
6
2144
6
2144
mujeres
Para resolver el inciso c) De 240 alumnos que presentaron 5/12 son de primer año y 4/5 lo aprobaron; La quinta parte de 5/12 es 1/12 entonces 4/12 es equivalente a los 4/5 que
aprobaron el examen. Por lo tanto: 8012
4240 alumnos de primer año que aprobaron.
De igual manera podemos resolver el siguiente problema. 2. Don José tiene una parcela de forma cuadrada.
a) Si aró las 4
3 partes de su parcela y sembró
5
4 partes de la parte arada, ¿qué parte de
la parcela sembró? b) En la parte de la parcela que está sin arar construyó un corral que ocupa la tercera
parte de ésta. ¿Qué parte de la parcela ocupa el corral? c) Si la parcela mide de largo 2/3 de kilómetro. ¿La parcela mide mas o menos de un
kilómetro cuadrado? d) ¿Cuáles el área en kilómetros cuadrados de la parcela de don José?
Sobre la multiplicación de fracciones y decimales.
Para calcular la multiplicación de un número fraccionario por un natural se puede sumar la fracción tantas veces como indique el número natural, o multiplicar el numerador por el natural escribiendo el mismo denominador.
Por ejemplo:
Para una tabla gimnástica, a 5 niños les dieron dos listones a cada uno. Un listón era rojo y
medía 3
1 de metro y el otro amarillo que medía
3
2 de metro. ¿cuánto medirá una tira de listón
formada por todos los listones rojos?
5 x 3
1 =
3
1+
3
1+
3
1
3
1
3
1 =
3
5
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Otra forma de representar una fracción común es con números decimales, los cuales se
obtienen al calcular el cociente del numerador entre el denominador. Por ejemplo 4
3 tres
cuartos al dividir 475.0
000
020
00.3
En seguida se proponen algunos problemas que puedes aplicar a los grupos:
José Luis y Moises podarán el pasto del parque de su colonia, por lo que decidieron dividirlo en 9 partes iguales; si diariamente cada uno poda una parte, ¿en cuántos dias terminarán de podar todo el parque?
Sobre una báscula se han colocado 8 bolsas, si cada bolsa pesa 2
11 de kg, ¿cuál será
la lectura que registra la báscula? Expresa el resultado en fracciones de kg.
En una fábrica de cadenas de acero se ensamblan 4 eslabones por minuto, y en una hora forman una cadena de 18 metros de largo. En cada eslabón se utilizan 20 cm de acero. La longitud de dos eslabones unidos es de 15 cm, ¿cuántos metros de acero se utilizarán para formar una cadena de 7.5 metros de largo?
Con los números del cuadro encuentra al menos 6 formas diferentes de que al sumarlos el resultado sea 25.
En la primaria, los alumnos utilizaron la multiplicación de números decimales al resolver problemas de proporcionalidad directa, en particular mediante el uso del valor unitario. En ese contexto reflexionaron sobre el significado de esa operación y de su resultado. Ahora se trata de fortalecer esos significados y extenderlos a otros contextos. Para ello puede pedirse a los alumnos que elaboren una tabla que represente una situación de proporcionalidad directa.
Por ejemplo, la siguiente:
Una lancha recorre 7.20 metros por segundo.
a) ¿Qué distancia recorrerá en 2 segundos?
b) ¿Y en 1.9, 1.8, 1.7, …, 1.1 segundos?
c) ¿Y en 0.9, 0.8, 0.7, …, 0.1 segundos?
d) ¿Por qué unos productos son mayores y otros menores que 7.20?.
Otros contextos en los que se usa la multiplicación de decimales y en los que conviene reflexionar sobre el significado de los factores y el producto se ejemplifican enseguida:
El hierro pesa 0.88 veces lo que pesa el cobre. Una pieza de cobre pesa 7.20 gramos. ¿Cuánto pesa una pieza de hierro del mismo tamaño? ¿Por qué el resultado es menor que 7.20 gramos?
Hallar el área de una tarjeta rectangular que mide 7.20 por 4.5 cm.
24
CONOCIMIENTOS Y HABILIDADES. Resolver problemas que impliquen la división de números decimales en distintos contextos.
APRENDIZAJE ESPERADO: Resuelve problemas que implican efectuar multiplicaciones o divisiones con fracciones y números decimales.
4.- CONSIGNA: Resuelve los siguientes problemas sin utilizar calculadora.
a) Una cinta elástica puede alargarse hasta 3.3 veces su longitud original. Cuando está totalmente alargada alcanza una longitud de 13.86 metros. ¿Cuál es su longitud normal?.
b) Una canica pesa 0.026 kg. ¿Cuántas canicas tendrá una bolsa que pesa 1.222 kg? (suponemos que todas las canicas pesan lo mismo).
c) Si un automóvil recorre 680 km en 4 y media horas ¿A qué velocidad va el automóvil?
Son dos los componentes fundamentales de esta habilidad: saber efectuar la operación que modela el problema e interpretar correctamente el resultado.
El primer componente implica que los alumnos enfrenten una diversidad de casos en los que sea pertinente usar la propiedad de multiplicar el dividendo y el divisor por el mismo número, a sabiendas de que el resultado no cambia.
El algoritmo para efectuar la división ya se ha estudiado en la primaria; ahora se presenta la oportunidad de reafirmar su conocimiento al aplicarlo a resolver problemas.
Existen varios modelos para dividir con decimales, sobre todos para la colocación correcta del punto decimal en el cociente. Por ejemplo en el caso del problema a) se tiene que:
2.433
6.13810
3.3
86.13
3.3
86.1386.133.3
Lo anterior significa que la longitud normal de la cinta elástica es de 4.2 m
El procedimiento anterior tiene que ver con representar la división como una fracción donde el numerador es el dividendo y el denominador es el divisor; luego se multiplica por 10 la fracción para eliminar el punto decimal en el denominador y obtener la fracción decimal equivalente. Luego se procede a dividir de la forma acostumbrada y se sube el punto decimal al cociente en forma vertical.
Esta propiedad se vincula con la equivalencia de fracciones y con la idea de proporción.
El segundo componente, la interpretación del resultado, se refiere al significado de los números decimales, que se ha trabajado ampliamente en la primaria, pero vale la pena repasar porque muy probablemente muchos alumnos siguen pensando que, por ejemplo, 2.5 horas son dos horas con cinco minutos, cuando en realidad se trata de dos horas con treinta minutos.
Más problemas similares. 1. El área de un rectángulo es de 43 cm². Si uno de sus lados mide 2.38 cm ¿cuánto mide
el otro lado?
25
Analiza las siguientes situaciones:
a) El resultado de multiplicar 2.38 por otro número es igual a 43. ¿Ese número es menor que uno?, ¿está entre 1 y 2?, ¿es mayor o menor que 10?
b) Sin hacer operaciones, aproxima el resultado de 43 ÷ 2.38.
c) ¿Se obtiene el mismo resultado al dividir 43 ÷ 2.38 que 4300 ÷ 238?
d) ¿Se obtiene el mismo resultado al dividir 43 ÷ 2.38 que 430 ÷ 23.8? Verifícalo.
e) Sin hacer operaciones, aproxima el resultado de 180.6 × 2.38. ¿Es menor o mayor que 180.6?, ¿es más del doble de 180.6?, ¿más del triple?
2. Una jarra contiene 3.9 litros de agua, que deben vaciarse en vasos a los que les cabe 0.12 litros ¿cuántos vasos completos e incompletos se tendrán?
Analiza y contesta cada pregunta:
El resultado de multiplicar 0.12 por otro número es igual a 3.9. ¿Crees que ese número será menor que uno?, ¿estará entre 1 y 10?, ¿será mayor que 10?, ¿será mayor que 100?
Sin hacer operaciones ¿el resultado de 3.25 × 0.12 es menor o mayor que 3.25?, ¿es menos de la mitad de 3.25?, ¿menos de la cuarta parte? Recuerda que lo que le cabe a cada vaso (0.12 litros) multiplicado por el número total de vasos (3.25) debe ser igual a la cantidad de agua (3.9 litros).
3. Utiliza la calculadora y completa la siguiente tabla anotando en la casilla correspondiente el valor faltante
26
4. ¿Cuántas bolsas de galletas podrá llenar la señora Leonor si a cada una le caben .250
kg y horneó un total de 5.500 kg?
5. Sara tiene un terreno de 255.75 m2. Si desea dividirlo en lotes de 51.15 m2, ¿cuántos
lotes de esta dimensión tendrá?
SUBTEMA: POTENCIACIÓN Y RADICACIÓN
CONOCIMIENTOS Y HABILIDADES: Resolver problemas que impliquen el cálculo de la raíz cuadrada y la potencia de exponente natural de números naturales y decimales. APRENDIZAJE ESPERADO: Resuelve problemas que implican el uso de las leyes de los exponentes y de la notación científica. Resuelve problemas que impliquen el cálculo de la raíz cuadrada y potencias de números naturales y decimales.
5.- CONSIGNA: Comparen, sin realizar las operaciones correspondientes, argumenta tu respuesta en cada caso
¿Qué es mayor? 0.52 ó 0.052:
¿Qué es mayor? la raíz cuadrada de 0.09 ó la raíz cuadrada de 0.0625
Los alumnos deben comprender que la raíz cuadrada de un número que no es cuadrado perfecto constituye una aproximación. Se puede recurrir a contextos geométricos para discutir este hecho; por ejemplo, cabe preguntar cuál es la medida del lado de un cuadrado de 40 cm2 de área.
Algunos recursos de aproximación a la raíz cuadrada de números naturales y decimales mediante algoritmos son, por ejemplo, el uso de procedimientos recursivos y de ensayo y error. Es conveniente que los alumnos comparen las soluciones alcanzadas con los resultados que obtengan al emplear la calculadora. Se sugiere generalizar la idea de que la potenciación y la radicación son operaciones inversas, puesto que si un número se eleva a una potencia n y al resultado se le extrae la raíz n dicho número no se altera.
El cuadrado de un número.
Antes de definir lo que es el cuadrado de un número, vamos a realizar una actividad.
Un piso cuadrado se adorna con mosaicos de diferentes colores. ¿Cuántos Mosaicos hay en la figura?
27
Vemos que en la base hay 4 cuadrados y en la altura hay 4 cuadrados, por lo tanto, el total de cuadrados unitarios es:
44 = 16
Como hay dos factores iguales, otra manera de escribir este producto es la siguiente:
Se lee de la siguiente manera: cuatro al cuadrado, o cuatro a la segunda potencia
Siete al cuadrado se escribe de la siguiente manera:
27
y se calcula así:
497772
Potencia de exponente natural.
Luisa quiere saber cuántos bisabuelos y tatarabuelos ha tenido. Para contarlos dibuja en su cuaderno su árbol genealógico:
28
Ella tiene 2 papás (un padre y una madre). Cada uno de ellos tiene 2 padres. Por tanto, yo tengo 2*2 = 4 abuelos. Cada abuelo tiene a su vez 2 padres, luego yo tengo 2*2*2 = 8 bisabuelos. Cada bisabuelo tiene a su vez 2 padres; yo tengo 2*2*2*2 = 16 tatarabuelos.
Operación Resultado
Padres 2 = 21 2
Abuelos 2*2 = 22 4
Bisabuelos 2*2*2 = 23 8
Tatarabuelos 2*2*2*2 = 24 16
En muchas situaciones hay que multiplicar un número por sí mismo varias veces. Para abreviar, en lugar de escribir 2*2*2*2 escribimos 24 y lo llamaremos potencia.
24 se lee "2 elevado a 4" o también "2 elevado a la cuarta".
52 se lee "5 elevado a 2" o también "2 elevado al cuadrado", que es más habitual.
Una potencia de exponente natural es el resultado de multiplicar un número -la base- por sí mismo varias veces, tantas veces como indique el exponente.
an = a*a*a* ...(n veces) ... *a
Números Cuadrados perfectos
29
Las potencias de exponente 2 se llaman cuadrados perfectos. Los utilizaremos mucho en la clase de matemáticas a partir de ahora.
3. Calcula los cuadrados de los primeros 15 números naturales y completa la siguiente tabla en tu cuaderno.
Número 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
Cuadrado
El cubo de un número.
La siguiente figura está compuesta por cubos chicos. ¿Cuántos de estos cubos componen la figura?
Una forma fácil de contarlos es por capas. La figura anterior se puede separar en tres capas:
El total de cubos chicos por capa son 9 = 3 3 . Como hay tres capas, el cubo grande tendrá:
3 3 3 = 27
Otra manera de escribir esta operación es la siguiente:
3 3 3 = 33 =27
Para calcular el cubo de un número basta multiplicar ese número por si mismo de la siguiente manera:
83 = 8 8 8 = 512
103 = 10 10 10 = 1,000
30
Práctica
Realiza cada una de las siguientes operaciones y completa el espacio en blanco:
32 =
53 =
103 =
912 =
Observa la secuencia de figuras:
a. Dibuja los puntos de la Fig. 5 b. ¿Cuántos puntos componen la figura 10? c. ¿Cuántos puntos componen la figura 100?
Base, exponente y potencia de un número.
Ya hemos estudiado que
43 = 4 4 4 = 64
La base es el factor que se repite en la potenciación, en este caso la base es 4.
El exponente es el número de veces que se repite el factor, en el ejemplo anterior el exponente es 3.
La potencia es el resultado de multiplicar determinado número de veces la base por sí misma, en el ejemplo la potencia es 64.
Los exponentes pueden ser distintos de dos y de tres. Por ejemplo:
54= 5 5 5 5 = 625
Redacta un párrafo donde describas la manera de construir cualquier figura de la secuencia anterior.
31
Práctica
Encuentra la base, el exponente y la potencia en cada uno de los siguientes casos:
a. 53 b. 47 c. 25 d. 36
¿Cuál es el último dígito de 740 ? Argumenta tu respuesta. Luego Comprueba tu resultado utilizando una calculadora científica
Realiza algunas potencias con la ayuda de la calculadora como 71, 72, 73, 74, etc. Escribe el último dígito de cada una de estas potencias. ¿Encuentras alguna regularidad?
Raíz cuadrada
Encuentra un número que multiplicado pos sí mismo te de 25.
La respuesta es 5 Porque 5x 5 = 25.
A partir de lo anterior contesta la siguiente actividad:
Encuentra un número que multiplicado por si mismo de: a. 81= ____ x ____ = ___2
b. 144= ___ x ___ = ___2
c. 225=
d. 10,000=
La raíz cuadrada de un número a es otro número b tal que:
ab 2
Por ejemplo, la raíz cuadrada de 9 es igual a 3 porque: 3x3 = 9.
Podemos realizar cálculos aproximados o estimaciones de las raíces cuadradas. Por ejemplo, ¿Entre qué números está la raíz cuadrada de
11?
Para responder esta pregunta debemos encontrar números que al multiplicarse por sí mismos aproximadamente den 11. por ejemplo 3x3 = 9 es menor que 11 y 4x4= 16 es mayor que 11. De esta manera, podemos decir que la raíz de 11 está entre 3 y 4.
32
Práctica
¿Entre qué valores está la raíz cuadrada de los siguientes números? a. La raíz cuadrada de 26. b. La raíz cuadrada de 69. c. La raíz cuadrada de 196. d. La raíz cuadrada de 1234.
Método Babilónico para encontrar la raíz cuadrada de un número
Vamos a encontrar una aproximación de la raíz cuadrada de 11. Podemos iniciar el proceso buscando un número que multiplicado por sí mismo de aproximadamente 11. Por ejemplo 3.
Posteriormente dividimos 11 entre 3: ...666.33
11
Luego se suma 3 y el resultado de 3 entre 11 y se divide entre 2: 333.32
...666.33
Nuevamente dividimos 11 entre el promedio anterior: ...300.3...333.3
11
Iteramos este proceso y lo que obtenemos al final es una aproximación de la raíz de 11:
3165.32
...300.3333.3
3167.33165.3
11 3166.3
2
...3167.33165.3
3166.33166.3
11
Entonces 3166.311 Se lee “La raíz cuadrada aproximada de 11 es 3.3166”
Práctica del método babilónico para obtener la raíz cuadrada de un número
123
2579
1890
Un cuadrado tiene área igual a 167. ¿Cuánto mide el lado de este cuadrado? a) Observa la secuencia
4 9 ? 1
33
¿Cuál es el número que va en el lugar de la interrogación?_______________
¿Qué número va en el quinto lugar de la secuencia? ____________________
¿Puedes encontrar alguna regularidad para construir estos números? _____________________
b) Observa la secuencia
¿Cuál es el número que va en el lugar de la interrogación?
¿Qué número va en el quinto lugar de la secuencia?
¿Puedes encontrar alguna regularidad para construir estos números? c) Ejercita el cálculo mental y obtén las potencias sin realizar operaciones escritas:
1) 303 =
2) 902 =
3) 3 al cubo + 3 10, a la cuarta + 5 =
4) 2 al cubo x 6 + 2 10 + 75 100 =
Leyes de exponentes
APRENDIZAJE ESPERADO: Resuelve problemas que implican el uso de las leyes de los exponentes y de la notación científica.
En esta sección se estudiarán algunos conceptos importantes como los de potencia, base y exponente. Estos conceptos se pueden aplicar para calcular áreas y volúmenes de sólidos y para encontrar propiedades de los números naturales.
4 8 ? 2
34
Imágenes tomadas de Wikipedia en Internet.
Las tres primeras leyes (x1 = x, x0 = 1 y x-1 = 1/x) son sólo parte de la sucesión natural de exponentes. Mira este ejemplo:
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En xmxn, ¿cuántas veces multiplicas "x"? Respuesta: primero "m" veces, después otras "n" veces, en total "m+n" veces.
Ejemplo: x2x3 = (xx) × (xxx) = xxxxx = x5 Así que x2x3 = x(2+3) = x5
La ley que dice que xm/xn = xm-n
Como en el ejemplo anterior, ¿cuántas veces multiplicas "x"? Respuesta: "m" veces, después reduce eso "n" veces (porque estás dividiendo), en total "m-n" veces.
Ejemplo: x4-2 = x4/x2 = (xxxx) / (xx) = xx = x2
(Recuerda que x/x = 1, así que cada vez que hay una x "sobre la línea" y una "bajo la línea" puedes cancelarlas.)
Esta ley también te muestra por qué x0=1 :
Ejemplo: x2/x2 = x2-2 = x0 =1
La ley que dice que (xm)n = xmn
Primero multiplicas x "m" veces. Después tienes que hacer eso "n" veces, en total m×n veces.
Ejemplo: (x3)4 = (xxx)4 = (xxx)(xxx)(xxx)(xxx) = xxxxxxxxxxxx = x12 Así que (x3)4 = x3×4 = x12
La ley que dice que (xy)n = xnyn
Para ver cómo funciona, sólo piensa en ordenar las "x"s y las "y"s como en este ejemplo:
Ejemplo: (xy)3 = (xy)(xy)(xy) = xyxyxy = xxxyyy = (xxx)(yyy) = x3y3
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La ley que dice que (x/y)n = xn/yn
Parecido al ejemplo anterior, sólo ordena las "x"s y las "y"s
Ejemplo: (x/y)3 = (x/y)(x/y)(x/y) = (xxx)/(yyy) = x3/y3
La ley que dice que
Para entenderlo, sólo recuerda de las fracciones que n/m = n × (1/m):
Ejemplo:
Y eso es todo
Si te cuesta recordar todas las leyes, acuérdate de esto: siempre puedes calcular todo si entiendes las tres ideas de la parte de arriba de esta página.
Ah, una cosa más... ¿Qué pasa si x= 0?
Exponente positivo (n>0) 0n = 0
Exponente negativo (n<0) ¡No definido! (Porque dividimos entre 0)
Exponente = 0 Ummm ... ¡lee más abajo!
El extraño caso de 00
Hay dos argumentos diferentes sobre el valor correcto. 00 podría ser 1, o quizás 0, así que alguna gente dice que es "indeterminado":
x0 = 1, así que ... 00 = 1
0n = 0, así que ... 00 = 0
00 = "indeterminado"
37
SUBTEMA: OPERACIONES COMBINADAS
OPERACIONES MÁS COMPLEJAS
CONOCIMIENTOS Y HABILIDADES Utilizar la jerarquía de las operaciones y los paréntesis si fuera necesario, en problemas y cálculos.
APRENDIZAJE ESPERADO: Resuelve problemas y realiza cálculos utilizando la jerarquía de las operaciones.
6.- CONSIGNA. Resuelve las siguientes operaciones combinadas; puedes utilizar la calculadora.
a) 0.42 x 5 -7 =
b) -25 +34 x 3
6 =
c) 8
17 + 3 x 6 =
d) 5
3 x 8 + 5.25 =
e) -28 + 35 + 2.5 1.5 =
Es importante que los alumnos se familiaricen con el uso de paréntesis en las operaciones, de manera que sepan establecer el orden correcto para efectuar los cálculos. Hay que tener en cuenta que los paréntesis pueden usarse en cálculos numéricos, en ecuaciones o al operar con expresiones algebraicas. Para empezar a reflexionar sobre este aspecto se sugiere realizar cálculos como los de la consigna usando una calculadora que jerarquiza operaciones y otra que no; se pide a los alumnos que expliquen por qué se obtienen distintos resultados y qué tendría que hacerse para obtener el mismo resultado con la calculadora que no jerarquiza.
La siguiente información y la de las leyes de los exponentes son necesarias para realizar correctamente las operaciones combinadas. Es importante dirigir el análisis de las operaciones anteriores a determinar el orden correcto realizando con la calculadora las operaciones señaladas.
La siguiente Información fue tomada de Wikipedia en Internet:
Jerarquía de las operaciones
1º.Efectuar las operaciones entre paréntesis, corchetes y llaves. 2º.Calcular las potencias y raíces. 3º.Efectuar los productos y cocientes. 4º.Realizar las sumas y restas.
Tipos de operaciones combinadas
Operaciones combinadas sin paréntesis
Combinación de sumas y diferencias. 9 - 7 + 5 + 2 -6 + 8 - 4 =
Comenzando por la izquierda, vamos efectuando las operaciones según aparecen. = 9 - 7 + 5 + 2 -6 + 8 - 4 = 7
Combinación de sumas, restas y productos. 3 · 2 - 5 + 4 · 3 - 8 + 5 · 2 =
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Realizamos primero los productos por tener mayor prioridad. = 6 - 5 + 12 - 8 + 10 = Efectuamos las sumas y restas. = 6 - 5 + 12 - 8 + 10 = 15
Combinación de sumas, restas, productos y divisiones. 10 : 2 + 5 · 3 + 4 - 5 · 2 - 8 + 4 · 2 - 16 : 4 = Realizamos los productos y cocientes en el orden en el que los encontramos porque las dos operaciones tienen la misma prioridad. = 5 + 15 + 4 - 10 - 8 + 8 - 4 = Efectuamos las sumas y restas. = 5 + 15 + 4 - 10 - 8 + 8 - 4 = 10
Combinación de sumas, restas, productos, divisiones y potencias. 23 + 10 : 2 + 5 · 3 + 4 - 5 · 2 - 8 + 4 · 22 - 16 : 4 =
Realizamos en primer lugar las potencias por tener mayor prioridad. = 8 + 10 : 2 + 5 · 3 + 4 - 5 · 2 - 8 + 4 · 4 - 16 : 4 = Seguimos con los productos y cocientes. = 8 + 5 + 15 + 4 - 10 - 8 + 16 - 4 = Efectuamos las sumas y restas.= 26
Operaciones combinadas con paréntesis (15 - 4) + 3 - (12 - 5 · 2) + (5 + 16 : 4) -5 + (10 - 23)= Realizamos en primer lugar las operaciones contenidas en ellos. = (15 - 4) + 3 - (12 - 10) + (5 + 4) - 5 + (10 - 8 )= Quitamos paréntesis realizando las operaciones. = 11 + 3 - 2 + 9 - 5 + 2 = 18
Operaciones combinadas con paréntesis y corchetes
[15 - (23 - 10 : 2 )] · [5 + (3 ·2 - 4 )] - 3 + (8 - 2 · 3 ) = Primero operamos con las potencias, productos y cocientes de los paréntesis.
= [15 - (8 - 5 )] · [5 + (6 - 4 )] - 3 + (8 - 6 ) = Realizamos las sumas y restas de los paréntesis. = [15 -3 ] · [5 + 2 ] - 3 + 2= Operamos en los paréntesis. = 12 · 7 - 3 + 2 Multiplicamos. = 84 - 3 + 2= Restamos y sumamos. = 83
Con fracciones
Primero operamos con las productos y números mixtos de los paréntesis.
Operamos en el primer paréntesis, quitamos el segundo, simplificamos en el tercero y operamos en el último.
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Realizamos el producto y lo simplificamos.
Realizamos las operaciones del paréntesis.
Hacemos las operaciones del numerador, dividimos y simplificamos el resultado.
Otros problemas:
Resuelve manualmente y luego verifica el resultado obtenido utilizando la calculadora. 14 − {7 + 4 · 3 - [(-2)2 · 2 - 6)]}+ (22 + 6 - 5 · 3) + 3 - (5 - 23 : 2) =
¿En qué orden se deben efectuar los cálculos en las siguientes expresiones para obtener los resultados que se indican? Pongan paréntesis a los cálculos que se hacen primero.
a) 25 + 40 x 4 – 10 2 = 180 d) 8 – 2 ÷ 3 + 4 x 5 = 22
b) 15 ÷ 3 – 7 – 2 = 0 e) 18 + 4 x 3 ÷ 3 x 2 = 6
c) 21 – 14 ÷ 2 + 7 x 2 = 28
CONOCIMIENTOS Y HABILIDADES: Reconocer y obtener expresiones algebraicas
equivalentes a partir del empleo de modelos geométricos.
CONOCIMIENTOS Y HABILIDADES: Efectuar o simplificar cálculos con expresiones
algebraicas tales como: (x+a)2; (x+a) (x+b); (x+a) (x-a). Factorizar expresiones algebraicas tales
como: x2+2ax +a2; ax2+bx; x2+bx+c; x2-a2.
APRENDIZAJE ESPERADO: Resuelve problemas que implican efectuar multiplicaciones o
divisiones con expresiones algebraicas.
Actividad 7 : Para la ampliación del trato de álgebra y cálculo con expresiones algebraicas;
con apoyo de modelos geométricos tenemos este muy interesante y útil escrito, Lectura de
Apoyo: “El papel de la geometría como herramienta para la didáctica de la matemática” de
Eduardo Mancera Martínez.
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Lectura de Apoyo
“El papel de la geometría como herramienta para la didáctica de la matemática”
Introducción
Aunque los vínculos entre las diversas ramas de la matemática son frecuentes, las propuestas curriculares presentan una perspectiva de parcelación del conocimiento matemático y solamente se indican relaciones entre diferentes áreas para realizar ejercicios o presentar algunos problemas. Sin embargo en el desarrollo conceptual es importante conocer puntos de enlace importante entre diversos contenidos.
La aritmética o el álgebra se utilizan para resolver problemas geométricos y frecuentemente se hace lo contrario, emplear algunas nociones de geometría para resolver problemas aritméticos o algebraicos. Pero sobre todo no se promueven formas de enseñanza basadas en configuraciones geométricas para introducir algunos conceptos o procedimientos de contenidos propios de la aritmética y al álgebra.
En esta participación se presentarán algunas formas de enseñanza basadas en configuraciones geométricas para resaltar algunas relaciones numéricas o algebraicas, además de resaltar la importancia de las relaciones geométricas para enfatizar relaciones entre representaciones algebraicas y gráficas para apoyar la enseñanza del cálculo de funciones reales de una variable real.
Bloques de Dienes
A través del tiempo han permanecido algunas consignas “pedagógicas” en la enseñanza de la matemática:
Partir de lo concreto para llegar a lo abstracto. Ir de lo fácil a lo difícil
Pero esto se ha interpretado de muchas maneras. El problema de la enseñanza se transfiere a determinar lo que es concreto o lo que fácil. Hasta hoy no se ha resuelto satisfactoriamente este asunto, es un pendiente. También en este espacio se dejará pendiente, pero conviene mostrar los candidatos a materiales concretos y la forma de enfocar la sencillez del tratamiento.
Se considerarán unos materiales denominados Bloques de Dienes, dichos materiales fueron promovidos de manera importante en los años sesentas y setentas, pero por alguna razón no tuvieron el impacto esperado. Estos materiales se promueven también en la actualidad por distribuidores de “manipulativos” como el de Algebra Tiles o los Algeblocks, entre otros. Algunos presentan variaciones importantes que amplían las posibilidades de uso como es el caso de los Algeblocks.
Los Bloques de Dienes constan de varios cuadrados grandes y pequeños y regletas de ciertas dimensiones:
Eduardo Mancera Martínez Comité Interamericano de
Educación Matemática México
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En diversas partes utilizaremos una variante de estos materiales que se construyen a partir de los mismos bloques seccionándolos por la mitad:
Cualquier maestro puede elaborar sus propios Bloques de Dienes con diversos materiales y considerando las dimensiones adecuadas que más le acomoden. Pueden utilizar acrílico para ser utilizados con un retroproyector, con cartulina y fragmentos de tiras imantadas si se utiliza un pizarrón magnético, con cartón y lijas u otros materiales para usarlos con una franela, entre otras formas.
Los alumnos pueden elaborar sus propios bloques con cartulinas, madera, plásticos u otro tipo de materiales.
Regla de construcción: Para construir los propios Bloques de Dienes es importante señalar que el lado del cuadrado pequeño es uno de los lados de las regletas (rectángulos) y el otro lado de éstas es el lado del cuadrado mayor:
Otro detalle importante digno de considerar es que con los cuadrados pequeños no se puede cubrir de manera exacta el largo de las regletas ni con éstas se puede cubrir de manera exacta los lados del cuadrado grande.
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Estos manipulativos han sido utilizados durante mucho tiempo en la enseñanza pero requieren de una planeación rigurosa por parte del maestro, su uso sin ello está condenado al fracaso.
Supuestos constructivistas
El uso de estos materiales está afiliado con algunas corrientes “constructivistas”, pero dada la polémica en torno al constructivismo (la cual ha sido expuesta ampliamente en diversas obras como la compilación de Carretero, Castorina y Baquero, 1998) solamente se plantearán algunos supuestos compartidos para el desarrollo del tema en esta participación. Por otra parte, la exposición trata de evitar el enciclopedismo innecesario en este tipo de exposición que pretende abarcar diversos tipos de audiencia.
Al inicio las actividades deben ser un tanto libres, sin pretender incorporar los conocimientos formales, solamente se tratará de establecer algunas características del material empleado y en su caso establecer reglas para su uso, dejando libertad al estudiante para crear sus propios significados. Este es el sentido de sencillez que se asume.
El conocimiento se construye, los conceptos y procedimientos no se adquieren de manera instantánea, definitiva y estable, no se “aprenden” en el sentido de tenerlos para sí, de atraparlos, como se asume en corrientes como el platonismo.
Generalmente, el término “aprendizaje”, se asocia a un proceso en el cual se considera que los conocimientos están por ahí y de repente, por alguna situación, nos percatamos de su existencia y nos apropiamos de ellos, los tomamos para sí de manera completa. En otro sentido, la “construcción de conocimientos”, indica un proceso en el que se forman ideas, representaciones o imágenes mentales de los conceptos o procedimientos, pero como parte de un proceso de aproximaciones sucesivas, no necesariamente es un proceso concluyente.
Renovamos constantemente las nociones construidas y lo vamos enriqueciendo con otras experiencias. Se van reformulando con el tiempo y de acuerdo con nuestras experiencias.
En la matemática, disciplina caracterizada por sus conceptos abstractos, es indispensable pasar de un contacto con situaciones en las que el estudiante pueda realizar algunas indagaciones y formular sus propias ideas sobre lo que sucede, antes de arribar a la simbolización y el manejo abstracto. La enseñanza ha puesto mayor énfasis en el manejo de representaciones escritas, como si esto asegurara que se han construido significados o se le da algún sentido a lo que expresan. El proceso de construcción de conocimientos se realiza por medio de un proceso constante de construcción de significados y representaciones mentales, en construcción de representaciones escritas propias, antes de arribar a las representaciones escritas convencionales.
Este proceso de construcción de significados es inevitable, muestra de ello es una broma, difundida en escuelas formadoras de docentes, en la cual se dice que en las clases de matemáticas:
El maestro piensa una cosa, dice otra, escribe otra, explica otra y al final el alumno también entiende otra cosa muy diferente.
43
Relaciones aritméticas
Desde la antigüedad se han trabajado representaciones geométricas para resaltar propiedades de los números naturales, por ejemplo los números triangulares o los números cuadrados:
Adición y substracción de números enteros
Los cuadraditos de colores, pueden ayudar a entender la regla de los signos. Consideremos a los obscuros como unidades positivas y a los blancos como unidades negativas3:
El cero en los números enteros 0 es un equilibrio, por ello se puede representar con los cuadritos de las siguientes maneras:
De esta manera también los números enteros tienen representaciones diferentes, por ejemplo, +1 o -1 se pueden representar de las siguientes maneras:
Esto permite hacer algunas adiciones y substracciones de números enteros:
44
También es posible explicar con estos materiales la multiplicación y división de enteros:
Otra consigna pedagógica que es frecuente comentar en cursos de matemáticas es:
Lo nuevo debe parecerse a lo anterior
Lo cual hace ver que el manejo de expresiones algebraicas puede trabajarse como se hace con números enteros:
En efecto, consideremos que el cuadrado pequeño tiene una unidad de medida como longitud de su lado, luego entonces su área será 1. Podemos considerar que de acuerdo al color estemos hablando de +1 o -1, como ya se trabajo antes:
Si en las regletas, la longitud de uno de sus lados es la unidad y consideramos que el otro lado es x, entonces el área sería 1×x=x, además podemos convenir que de acuerdo al color se haga referencia +x o -x.
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En el mismo orden de ideas como el cuadrado mayor tiene como longitud de su lado el lado mayor de la regleta, o sea x, entonces con el se pueden representar +x2 y de acuerdo al color -x2
De acuerdo con estas convenciones podemos representar expresiones algebraicas con los bloques de Dienes. Por ejemplo:
Utilizando mitades de las figuras anteriores también se pueden manejar algunos polinomios con coeficientes fraccionarios:
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El uso de los bloques de Dienes permitirá establecer reglas para el manejo de términos semejantes y operaciones entre ellos:
Si se toma en cuenta la suma:
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48
49
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PATRONES Y FÓRMULAS
Conocimientos y habilidades. Explicar en lenguaje natural el significado de algunas fórmulas geométricas, interpretando las literales como números generales con los que es posible operar.
Actividad 8 Aprendizaje esperado: Resuelve problemas que implican el cálculo de cualquiera de las variables de las fórmulas para calcular el perímetro y el área de triángulos, cuadriláteros y polígonos regulares. Explica la relación que existe entre el perímetro y el área de las figuras.
Problema
Si se tiene que cercar un terreno cuadrado con malla ciclónica, ¿qué tomarías en cuenta del terreno, para comprar la malla suficiente? ......._______________________________
Si el terreno tiene 50 m por cada lado, ¿cuántos metros compras de malla? ___________
Si el lado mide 63.25 m, ¿cuánta malla? ..................................... ___________
Para cualquier terreno con figura cuadrada, ¿qué fórmula usarías cuando necesites protegerlo en su derredor? ................................................. P = ___________
Si la figura no es cuadrada y tiene cualquier otra forma poligonal, ¿qué fórmula utilizarías?
__________________________
Áreas
En todo terreno, no sólo se requiere protegerlo en su derredor, sino también es necesario registrarlo como propietario del mismo; por lo cual, se necesita conocer de cuántos metros cuadrados está formado.
¿Cómo se obtendrán los metros cuadrados de los dos terrenos que se cercaron en la actividad anterior?
SUPERFICIE: Es todo aquello que tiene dos dimensiones: Largo y Ancho. ÁREA: Es la medida interna de una superficie.
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Ilumina de rojo la superficie del círculo, de café la superficie del cuadrado, de verde la
superficie del trapecio y de azúl la superficie del triángulo y contesta las siguientes preguntas.
Realiza cálculos y operaciones y contesta.
¿Cuál figura crees que tenga mayor área? ______________________
¿Cuál crees que tenga menor área? ......... ______________________
Con el objeto de que los alumnos interpreten las literales que aparecen en las fórmulas como números generales y no como simples etiquetas que evocan las dimensiones de las figuras, es necesario plantear preguntas que apunten hacia la generalización de procedimientos. Por ejemplo:
Dada una figura que representa un marco cuadrado que mide 15 cm por lado, ¿cómo se puede saber el perímetro del marco? (nótese que no se trata de calcular el perímetro sino de enunciar el procedimiento).
Suponiendo que el lado del marco midiera 28 cm, ¿cómo se determina el perímetro del marco? ¿Y si midiera 35 cm? En general, ¿cómo se determina el perímetro de cualquier cuadrado?
Como en el caso de las sucesiones numéricas y figurativas, se insiste primero en que los alumnos expresen en forma verbal el procedimiento o fórmula en cuestión y luego algebraicamente.
Problema
Obtén el perímetro de un terreno irregular que tiene las medidas que la figura indica.
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MOVIMIENTOS EN EL PLANO
SIMETRÍA AXIAL
Conocimientos y habilidades. Construir figuras geométricas respecto de un eje, analizarlas y explicitar las propiedades que se conservan en figuras tales como: triángulos isósceles y triángulos equiláteros, rombos, cuadrados y rectángulos.
Actividad 9, Aprendizaje esperado: Construye figuras simétricas respecto de un eje e identifica las propiedades de la figura original que se conserva hh.
En la primaria los alumnos llegan a explicitar las propiedades de la simetría axial sin utilizar la nomenclatura formal.
En secundaria se pretende que, dada una figura, analicen las propiedades que se conservan al construir su simétrica respecto de un eje (igualdad de lados y ángulos, paralelismo y perpendicularidad).
Entender lo que es la SIMETRÍA AXIAL, resulta demasiado sencillo si analizamos lo siguiente:
Recordemos que dos números son SIMÉTRICOS, cuando al representarlos en la recta numérica, la distancia de cada número al CERO, es la misma: + 3, es simétrico de - 3; - 8, es simétrico de + 8
Ahora nos damos cuenta, que la palabra AXIAL se refiere a lo que puede ser dividido en dos parte iguales, por medio de un EJE.
Observa los EJES DE SIMETRÍA de un CUADRADO.
Traza con regla y compás los ejes de simetría que tengan cada una de las siguientes figuras.
La SIMETRÍA AXIAL, es pues, una propiedad que tienen las figuras que al trazarles un eje de simetría, éstas se convierten en dos, cuyos puntos al ser dobladas en dicho eje, coinciden perfectamente.
EJE DE SIMETRÍA. Es una línea recta que divide a una figura, o a cualquier objeto, en dos parte iguales.
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ACTIVIDADES COMPLEMENTARIAS
Realiza la siguiente construcción geométrica: 1- Dado un punto P, trazar su punto P' simétrico con respecto al EJE DE SIMETRÍA yy',
utilizando la escuadra.
2.- Dada una figura, trazar su simétrica con respecto a un eje de simetría, con el uso de la escuadra.
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3. Dadas las rectas, traza su SIMÉTRICA con respecto al EJE DE SIMETRÍA yy'
LAS RECTAS Y LOS ÁNGULOS
CONOCIMIENTOS Y HABILIDADES. Utilizar las propiedades de la mediatriz de un segmento y la bisectriz de un ángulo para resolver problemas geométricos.
APRENDIZAJE ESPERADO: Resuelve problemas geométricos que impliquen el uso de las propiedades de las alturas, mediatrices y bisectrices en triángulos y cuadriláteros.
Resuelve problemas que implican determinar la medida de diversos elementos del círculo, como: ángulos inscritos y centrales, arcos de una circunferencia, sectores y coronas circulares.
La GEOMETRÍA es una de las ramas de las Matemáticas con una aplicación importante. El ingeniero, el mecánico, el sastre, el carpintero, el pintor, usan la GEOMETRÍA para hacer sus
trazos, medidas y cálculos.
CONSIGNA 10: Con ayuda de tus instrumentos de dibujo y medida, reproduce exactamente igual las siguientes figuras, a la derecha de cada una de ellas. BLO
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Utilizando escuadras comprueba que los segmentos de recta MN y CD son paralelos.
Investiga y redacta el procedimiento a seguir para trazar los segmentos paralelos
_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________:
Utilizando escuadras, comprueba que los segmentos de recta CD y FG son perpendiculares. Describe el procedimiento para comprobar lo anterior
En el Plan y Programa de Estudios se sugiere explorar las ideas que tienen los alumnos de recta, semirrecta y segmento. En caso de haber confusión, es necesario que el maestro explique cuál es la diferencia entre ellas, de manera que haya un lenguaje común en la clase. En relación con la mediatriz de un segmento y la bisectriz de un ángulo, se sugiere que los alumnos, a partir del trazo, describan las características de cada una de estas figuras y elaboren definiciones. El maestro puede apoyarlos con preguntas y contraejemplos hasta que logren definiciones precisas. De esta manera, los alumnos podrán utilizar la definición que mejor convenga según el problema que se les presente y argumentar su uso según la situación.
Actividades complementarias
Utiliza tu estuche de geometría para realizar los siguientes trazos por separado.
1.- Traza un segmento de recta de 4 cm de longitud y a sus extremos llámales C y D.
2.- Traza un círculo de 2 cm de radio en el punto C.
3.- Traza una perpendicular al segmento de recta CD en el punto D y llámala "a".
4.- Traza un círculo de 3 cm de radio en el punto medio del segmento CD.
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MEDIATRIZ DE UN SEGMENTO
¿Cómo harías para pasar una perpendicular por el punto medio de un segmento de recta dado?
Prueba con este segmento
¿Qué hiciste? ________________________________________________________________
____________________________________________________________________________
¿Usaste sólo las escuadras? Sí o No
Actividad complementaria
Haciendo uso de la MEDIATRIZ traza un rombo y un cuadrado, sobre las líneas dadas:
Usando el proceso para trazar una MEDIATRIZ, dibuja: Un triángulo isósceles, sobre la línea dada; un triángulo isósceles dentro de la circunferencia y un triángulo isósceles dentro de la elipse.
Define con tus propias palabras ¿qué es la línea que es la MEDIATRIZ?
________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
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BISECTRIZ DE UN ÁNGULO
Traza el eje de simetría del triángulo ABC que pasa por el vértice C; usando regla y compás.
Identifica el punto de intersección del lado AB y el eje simétrico con la letra O
Con base en la figura, completa:
AO = __________
AC = __________ ACO = __________, Entonces
ACO = __________
Traza con el compás, el EJE DE SIMETRÍA, a cada uno de los siguientes ángulos. Pregunta a tu profesor cual es el procedimiento correcto.
En todo triángulo isósceles la BISECTRIZ del ángulo diferente siempre es un EJE DE SIMETRÍA (Mediatriz), puesto que divide a la figura en dos partes iguales.
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Traza la MEDIATRIZ de cada lado y la BISECTRIZ de cada uno de los siguientes polígonos
¿En qué casos coinciden las diagonales con las mediatrices y bisectrices trazadas?. Explica
____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
CONOCIMIENTOS Y HABILIDADES. Explorar las propiedades de las alturas, medianas, mediatrices y bisectrices en un triángulo.
PUNTOS NOTABLES DE UN TRIÁNGULO
Problema
Organizados en equipos de tres, realicen las siguientes instrucciones.
a. Usando dobleces construya un triángulo y repase los dobleces con el lápiz, luego
nombre los vértices con letras mayúsculas y los lados opuestos a estos con letras
minúsculas.
b. Construya con un doblez la mediatriz en cada lado del triángulo y márquelas con colores.
1.- Que sucedió con las tres mediatrices.______________________________________
2.- Expresa tu opinión respecto al punto de corte de las mediatrices. ______________
______________________________________________________________________
El maestro podría presentar a los alumnos diferentes definiciones de las líneas del triángulo y pedir que las analicen con el fin de establecer su utilidad, o bien, si la definición que se da es satisfactoria. De igual modo, se puede pedir a los alumnos que tracen las medianas de diferentes triángulos y que hagan pasar un hilo por el punto donde se cortan las tres líneas, para comprobar que ése es el punto de equilibrio (baricentro) del triángulo. Otra opción es presentar diferentes afirmaciones y que los alumnos determinen si son verdaderas o falsas y
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que argumenten para justificar su respuesta. Por ejemplo: cualquiera de las alturas del triángulo siempre es menor que uno de sus lados; la altura de un triángulo es menor que la mediana que corresponde al mismo lado; cuando la mediana correspondiente a un lado de un triángulo es también mediatriz de éste, el triángulo es isósceles.
8.- CONSIGNA:
Organizados en equipo analicen las líneas que aparecen en los triángulos y en
la tabla frente al triángulo cuando las características sí se cumplan y una X cuando no se
cumplan.
Características
Las líneas
son
perpendicula
res a los
lados del
triángulo o a
la
prolongació
n de éstos
Las líneas
pasan por
un vértice
del
triángulo
Las líneas
cortan los
lados del
triángulo en
los puntos
medios
Las líneas
dividen a la
mitad los
ángulos del
triángulo
Las líneas
se cortan
en un punto
Las líneas son
paralelas a los
lados del
triángulo
Las líneas
cortan los
lados del
triángulo
en una
razón de 2
a 1
1 2
3 4
60
Triángulo 1
(mediatrices)
Triángulo 2
(medianas)
Triángulo 3
(alturas)
Triángulo 4
(bisectrices)
Al llenar la tabla se sugiere confrontar las ideas de los alumnos, antes de anotar las características debe consensarse con el grupo a partir de la siguiente secuencia:
a) Ir preguntado a cada equipo y anotar en cada casillero de la tabla tantas palomitas y/o cruces como fueron anotadas por los equipos.
b) Analizar los casilleros en los que haya diferencias, animar a los alumnos para que busquen argumentos que fundamenten su respuesta.
c) Cuando todos estén de acuerdo en los resultados de la tabla, anotar por separado el nombre de cada tipo de rectas y las características que le corresponden.
Es probable que algunos alumnos no sepan a qué se refiere la última columna, en cuyo caso hay que aclarar que es como si el lado se dividiera en tres partes iguales, de las cuales quedan dos a un lado de la recta y una al otro lado.
Actividad Complementaria
9.- Consigna:
Analizar los puntos donde se cortan la medianas, mediatrices, bisectrices y alturas en un donde se cumplan las características señaladas y una X
donde no se cumplan.
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Características
Siempre se
encuentra
en el
interior del
triángulo
Se puede
localizar
en un
vértice
del
triángulo
Puede
localizarse
fuera del
triángulo
Es el
centro de
un círculo
que toca
los tres
vértices de
triángulo
Es el
centro de
un círculo
que toca
los tres
lados del
triángulo
Es el
punto de
equilibrio
de un
triángulo
Está a la
misma
distancia de
los vértices
del
triángulo
Se
encuentra
alineado
con otros
puntos
notables
del
triángulo
Incentro (punto
donde se cortan
las bisectrices)
Baricentro
(punto donde se
cortan las
medianas)
Ortocentro
(punto donde se
cortan las
alturas)
Circuncentro
(punto donde se
cortan las
mediatrices)
Hay que prever que los alumnos tengan tijeras, hilo o cordón, aguja, cartulina y juego de geometría. Se les indicará a los alumnos que para saber si el punto encontrado es el punto de equilibrio del triángulo, deberán recortar éste y hacer pasar la aguja con hilo por el punto obtenido, sosteniendo el hilo en forma vertical. Se les puede decir que también recibe el nombre de punto mediano o centroide (inclusive, en física, le llaman centro de gravedad por ser lugar de equilibrio de tres cuerpos de la misma masa colocados en los vértices del triángulo). La última columna se refiere a la alineación del ortocentro, baricentro y circuncentro.
RESOLVIENDO PROBLEMAS
1. En una ciudad pequeña se quiere construir un quiosco que quede a la misma distancia
del Palacio Nacional, de la Secretaría de Educación y del Edificio del Congreso, ¿dónde
Secretaría de Educación
Palacio Nacional
Edificio del Congreso
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deberán construirlo?
2. Se tiene un terreno de forma triangular y se va a construir en él una fuente circular de tal
manera que toque los tres lados del terreno y la parte restante se cubrirá de pasto. Dibuja cómo quedaría la fuente en dicho terreno.
3. Se quiere construir la estación del tren de tal forma que esté sobre la vía y a la misma distancia del pueblo Arania y del pueblo Mosconia. ¿Dónde debe construirse la estación?
4. Las esferas siguientes representa cuerpos celestes que interactúan entre si para
mantenerse unidos por fuerzas de atracción en equilibrio ¿Dónde se encuentra el centro de gravedad de estos tres cuerpos celestes?
FIGURAS PLANAS
Arania
Mosconia
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CONOCIMIENTOS Y HABILIDADES. Construir polígonos regulares a partir de distintas informaciones.
APRENDIZAJE ESPERADO:
El desarrollo de esta habilidad ayuda a consolidar el conocimiento sobre las propiedades de las figuras.
Se sugiere presentar una variedad de maneras de construir polígonos. Por ejemplo, haciendo un nudo con una tira de papel; con compás, regla y transportador (a partir de la medida del ángulo central); con regla graduada y transportador (a partir de la medida de un ángulo interior); con regla y compás (se basa en el trazo de mediatrices, bisectrices y perpendiculares); con escuadras graduadas. Ejemplo
Problema.
Construye un HEXÁGONO dentro de una circunferencia que tenga como radio 3 cm. Guíate con la figura de la izquierda y usa los instrumentos de Geometría necesarios.
Después de construido el Hexágono contesta y realiza lo que se pide a continuación:
a) Encuentra el centro del HEXÁGONO.
b) Traza líneas rectas del centro a cada uno de los vértices.
c) ¿Qué figuras formaste al interior del HEXÁGONO? _________________
d) ¿Cuánto medirá cada ángulo que tiene su vértice en el centro? .......... ______
e) ¿Cuánto sumarán todos los ángulos centrales? .............................. ______
f) ¿Qué nombre reciben los polígonos formados dentro del HEXÁGONO?
Actividad complementaria
Teniendo en cuenta la medida del ángulo central en cada polígono; construye polígonos regulares de 3, 4 y 5 lados.
¿Qué proceso seguiste para obtener el valor del ángulo central? .. _______________________
Escribe el proceso que seguiste para construir polígonos .............. _______________________
____________________________________________________________________________
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¿Qué nombre especial reciben los triángulos formados al interior de cada uno de los polígonos construidos? ..................................................................................... _______________________
Ángulo central = _______ Ángulo central = _______ Ángulo central = _______
CONSTRUCCION DE POLÍGONOS
CONOCIMIENTOS Y HABILIDADES. Construir triángulos y cuadriláteros. Analizar las condiciones de posibilidad y unicidad en las construcciones.
APRENDIZAJE ESPERADO:
En contraste con las construcciones geométricas que se realizan en primaria, se sugiere en este grado que con base en procedimientos específicos, se pruebe y justifique los datos que son necesarios y suficientes para llevar a cabo una construcción. Asi mismo se habilite el alumno en comuicsr con claridad procedimientos de construcción para mostrar a los demás sus procesos. Por ejemplo:
Problema
Construye un rectángulo, sabiendo que tiene un área de 24 u². Compara con tus compañeros.
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Construye un triángulo de 3, 4 y 7 unidades, en cada uno de sus lados. ¿Se puede? ¿Por qué?
TRIÁNGULOS
A) EQUILÁTEROS
Trazar un triángulo equilátero de 4 cm por cada lado.
1) Se traza con regla el lado AB de 4 cm de longitud.
2) Se abre el compás 4 cm igual que AB.
3) Con centro en A se traza el arco 1
4) Con centro en B se traza el arco 2
5) Se une A con el punto de cruce de los arcos 1 y 2.
6) Se une B con el punto de cruce de los arcos 1 y 2.
B) ISÓSCELES
Trazar un triángulo isósceles cuyos lados iguales sean de 4 cm y el diferente 3 cm.
1) Se traza con regla el lado MN de 3 cm de longitud.
2) Se abre el compás con un arco de 4 cm que es la
medida de los lados iguales.
3) Con centro en N se traza el arco 1.
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4) Con centro en M se traza el arco 2.
5) Se une M con el punto de cruce de los arcos 1 y 2.
6) Se une N con el punto de cruce de los arcos 1 y 2.
CUADRADOS
Trazar un cuadrado de 3 cm de DIAGONAL.
1) Trazamos un círculo con diámetro de 3 cm
2 )Trazamos a l círculo otro diámetro perpendicular al anterior.
3) Unimos los extremos de los diámetros para formar el cuadrado.
CONOCIMIENTOS Y HABILIDADES. Resolver problemas que impliquen calcular el perímetro y el área del triángulo, romboides y trapecios. Realizar conversiones de medidas de superficie.
APRENDIZAJE ESPERADO:
Problemas
1.- Calcula el precio de un terreno que tiene forma rectangular y mide 24.5 m de largo por 12.5 m de ancho a $ 78.50 el metro cuadrado.
2.- El jardín de una casa tiene forma circular y la medida del radio es 6.5 m. Si el jardinero cobra $ 4.50 por cada metro cuadrado de jardín que arregla, ¿cuánto cobra por todo el jardín?
3.- Encuentra el área de un trapecio cuya base menor es la mitad de la base mayor y su base mayor mide 6.8 m si se sabe que la altura es de 3.54 m
4.- Calcula el área que se pide en la siguiente figura compuesta.
Área del rectángulo = _________
Área del círculo = _________
Área de la parte de corcho = _________
5.- Un tapete de forma circular, de cierta tela, tiene un costo de $ 6 000.00. Suponiendo que el costo es proporcional a la cantidad de
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tela. ¿Cuánto costaría otro tapete en el que se utilizarán las tres cuartas partes de esa misma tela?
6. Los alumnos de la escuela secundaria viajaron en el camión escolar a una misma velocidad promedio, visitando cuatro ciudades. La siguiente tabla contiene información de cada recorrido, complétala
y después contesta lo que se pide.
¿Cuántos kilómetros recorrieron en total? . . . . . . . . . . ___________
¿Cuánto tiempo emplearon en las cuatro etapas? . . . . ___________
Con la variación se pueden establecer vínculos a partir de situaciones como las siguientes:
Encuentren las medidas enteras de los lados de todos los rectángulos cuya área es 24 cm2 y calculen el perímetro de cada uno.
Si uno de los vértices de un triángulo se desplaza sobre una recta paralela a la base, ¿qué sucede con el área de cada uno de los triángulos que se forman? ¿Qué sucede con el perímetro? ¿Por qué creen que suceda esto?
Si la base menor de un trapecio se desplaza sobre una recta paralela a la base mayor, ¿qué sucede con el área de cada uno de los trapecios que se forman? ¿Qué sucede con el perímetro?
GEOMETRÍA DEL CÍRCULO.
CONOCIMIENTOS Y HABILIDADES.
Construir círculos a partir de diferentes datos o que cumplan condiciones dadas.
APRENDIZAJE ESPERADO:
Problema de construcción
En la parte inferior, se encuentran tres círculos, reunidos en equipo hagan lo que se pide:
a) En el primero, traza su diámetro y una cuerda que a su vez sea el diámetro de otro círculo. Coloreen las distintas áreas que se forman entre los círculos.
b) En el segundo, traza su diámetro y dos cuerdas que sean el diámetro de dos círculos diferentes. Coloreen las áreas que resulten al cruzarse los círculos.
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c) En el tercero, traza un círculo en cada una de las cuerdas que se les señalan. Coloreen a su gusto, la figura que les resulte.
El círculo y la circunferencia, ¿son figuras geométricas diferentes? ______ ¿Por qué? ________________________________________________________________
Investiga y escribe el nombre de la recta o segmento marcado sobre el círculo.
Usualmente un círculo se construye a partir de la medida del radio, pero es importante que los alumnos sepan determinar esta medida con base en otros datos y ubicar el centro del círculo para que éste cumpla con ciertas condiciones.
Por ejemplo:
Dados tres puntos no alineados, tracen la circunferencia que los contiene.
Dada una cuerda, construyan el círculo al que ésta pertenece. ¿Es única la solución? ¿Cuántos círculos se pueden construir si se trata de la máxima cuerda?
¿CÍRCULO O CIRCUNFERENCIA?
Conocimientos y Habilidades. Determinar el número π como la razón entre la longitud de la circunferencia y el diámetro. Justificar y usar la fórmula para el cálculo de la longitud de la circunferencia.
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Observando cada una de las figuras, acuerda con tus compañeros de equipo, las respuestas correctas.
a) Teniendo en cuenta el número de lados de cada polígono, anota en la línea inferior de
la figura, el orden secuenciado, según el número de lados.
b) A medida que crece el número de lados del polígono, ¿cómo es su área, comparada
con el área del círculo? _____________________________________________________________________
c) ¿En cuál de los polígonos, la diferencia de áreas es mayor? _____________________
d) ¿Cuántos lados tiene el polígono cuya área está más cercana al área del círculo? _____________________________________________________________________
e) Considerando la cuadrícula como una guía para identificar la unidad de un área, ¿cuál polígono tiene un área más cercana a la del círculo? __________________________
f) Iniciando en el polígono de 5 lados, porque ya conoces el área del triángulo y del cuadrado, localiza el centro de cada círculo y partiendo de él, traza líneas que vayan a cada uno de los vértices. ¿Qué figuras se forman en el interior? __________________,
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¿cómo son dichas figuras? _______________, ¿cuántas figuras se forman en cada polígono analizado? _____________________________________________________
Aunque este aspecto se trabaja en la primaria, es necesario que en este grado se profundice en el análisis sobre la relación entre la circunferencia y su diámetro y que los alumnos se familiaricen con la diversidad de problemas que se pueden plantear. Por ejemplo:
¿Cuánto aumenta la longitud de la circunferencia si la longitud del diámetro aumenta al doble?
¿Y si aumenta al triple?
¿Y si aumenta cuatro veces?
¿Qué conclusión se obtiene de este hecho?
PROBLEMAS 1. Si conoces que la llanta de un vehículo tiene un radio de 35 cm, ¿cuánto medirá la
longitud del piso de la llanta?
2. Si conoces que el diámetro de un plato de vajilla mide 16.5 cm, ¿cuánto medirá la longitud de una cinta que adorne su derredor?
3. Para poner un listón a una pelota de regalo, se requiere, como mínimo 80 cm. Encuentra la longitud del diámetro de la pelota.
4. Los cinturones que usamos en la cintura tienen un número que indica la talla. Si escoges en el grupo un cinturón cualquiera, ¿qué circunferencia cubrirá?
5. Las llantas de un automóvil tienen un diámetro de 40 cm. Hallar el número de vueltas que da cada llanta, cuando el auto recorra 100 metros.
6. Tres engranes cuyos diámetros son 10, 15 y 20 cm, sucesivamente; ¿cuántas vueltas tiene que dar cada uno, para encontrarse de nuevo en el mismo punto cuando iniciaron su giro?
7. Un neumático de una super máquina, tiene un diámetro que mide 5.5 veces el de un auto normal. Si la longitud del piso de la llanta de la máquina es de 12.5664 metros, ¿cuál será la medida del radio de la llanta del carro normal?
8. Al comparar los diámetros de dos volantes de autos diferentes, se encuentra que uno
mide 15 in (pulgadas), mientras que el otro mide 12 in. ¿Qué relación (razón) hay entre las medidas de los diámetros y, entre las longitudes de las circunferencias de los volantes?
9. La decoración de un plato de ornato de 15 cm de radio, se cobra a $ 2.50 pesos el cm². Encuentra el costo del plato decorado.
10. La tapa y base de un tambo cilíndrico de 90 cm de alto, tiene un diámetro de 60 cm. Investiga la cantidad de material necesario para lograr su construcción.
MÁS PROBLEMAS DE PERIMETRO Y ÁREA DEL CÍRCULO
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Conocimientos y Habilidades. Resolver problemas que impliquen calcular el área y el perímetro del círculo.
Como ocurre con el estudio de las otras figuras, no sólo se trata de calcular el área y el perímetro, sino también, conocidos el perímetro y el área, se debe calcular la longitud del radio o del diámetro, así como resolver problemas de cálculo de áreas sombreadas (corona circular); también se debe analizar la relación entre la longitud del radio y el área del círculo, como punto de contraste con la
relación entre la longitud del diámetro y la longitud de la circunferencia.
11. Tomando la medida de una tapa de un recipiente de leche o de jugo, mídele el
diámetro y la altura y encuentra la cantidad de material que se usó para construirlo.
12. El empaque de una manguera tiene un diámetro exterior de 2.5 cm y uno interior de 1.5 cm. Encuentra la superficie que protege el empaque.
13. Un vaso de vidrio, tiene un radio de 3.5 cm en su base circular y una altura de 20 cm. ¿Cuál fue la cantidad de lámina de vidrio utilizada para producirlo?
14. Una tuerca de seis caras laterales, tiene una medida de 1 cm en cada una de ellas. Encuentra la longitud de la circunferencia que pasa por todas sus esquinas.
15. Una mesa con base de prisma rectangular, tiene una superficie circular con un diámetro de 1.5 m. Encontrar la cantidad de madera usada en su superficie si tiene un espesor de 3 cm.
16. Al construir un portavaso de forma cuadrada con lados de 12 cm, encontrar la superficie sobrante, para soportar un vaso que tiene un radio de 5 cm.
17. Un anillo matrimonial tiene 2.25 cm en su circunferencia exterior y 1.9 cm en la interior. ¿De qué grosor es el anillo?
18. Una loseta rectangular de 22 por 18 cm, tiene un dibujo de un círculo con radio igual a 7 cm. Encuentra la superficie libre, del área del círculo.
19. Se necesita forrar con tela, 5 botones para cada uno de los 6 uniformes de la escolta escolar. Si cada botón tiene un diámetro de 2 cm, ¿cuál será la mínima cantidad de tela necesaria para lograr el forrado?
20. Se debe construir una caja cilíndrica donde pueda guardarse una jarra que tiene una máxima circunferencia de 62.8318 cm. Encuentra la longitud del radio mínimo que debe tener la caja en su base.
CONOCIMIENTOS Y HABILIDADES. Determinar mediante construcciones las posiciones relativas entre rectas y una circunferencia y entre circunferencias. Caracterizar la recta secante y la tangente a una circunferencia.
CONOCIMIENTOS Y HABILIDADES. Determinar la relación entre un ángulo inscrito y un ángulo central de una circunferencia, si ambos abarcan el mismo arco.
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APRENDIZAJE ESPERADO:
CONSIGNA: Reconociendo ángulos
En cada una de las circunferencias dadas marquen con azul el arco que subtienden los ángulos centrales y con rojo el arco que subtienden los ángulos inscritos.
¿En que circunferencias se cumple que el ángulo central subtiende el mismo arco que el ángulo inscrito?
Midan con su transportador los ángulos centrales y los ángulos inscritos y anoten los datos obtenidos.
Los lados de cualquier ángulo en una circunferencia, inscrito o central, determinan un arco en la circunferencia. En estas circunferencias el arco determinado por los ángulos dados esta remarcado, Se dice que los arcos son subtendidos por los ángulos que los determinan.
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A estas alturas de su educación secundaria, los alumnos conocen el ángulo central y sus relaciones con la construcción de los polígonos regulares. Ahora se trata de que, mediante la exploración en el trazado y la medida de diferentes ángulos inscritos cuyos arcos coincidan con el arco de un ángulo central, encuentren que la medida de cualquier ángulo inscrito en una circunferencia es igual a la mitad del ángulo central, siempre
y cuando los arcos coincidan. Deberán explorar con ángulos inscritos cuyo arco coincida con el diámetro, es decir, con un ángulo central de 180°. Utilizando esta relación, los alumnos podrán concluir que todo triángulo inscrito en una semicircunferencia es un triángulo rectángulo.
Observa la figura:
¿Cuál de las siguientes afirmaciones es verdadera? a) La distancia de la recta q al centro O de la circunferencia es igual al radio OV. b) La recta r es la más cercana al centro O de la circunferencia. c) La distancia de la recta s al centro O de la circunferencia es igual a la medida del
segmento OP. d) La recta r es perpendicular al radio OT.
En cada caso anterior justifica tu respuesta mediante dibujos o afirmaciones verbales.
En este reactivo los alumnos deben utilizar la relación entre un ángulo inscrito y un ángulo central que subtienden un mismo arco para determinar la medida del ángulo RPS.
PROBLEMAS MAS COMPLEJOS
El hexágono regular mide 3 cm de lado. El punto P se mueve describiendo una circunferencia con centro en el vértice O que pasa por otros dos vértices del hexágono.
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Considera la parte de la circunferencia que es externa al hexágono regular, ¿cuánto mide su perímetro?
Si observa que algunos alumnos tienen dificultades en la comprensión de la situación inicial, puede abrir el espacio `para una discusión en la que pida que dibujen la figura que se forma al mover el punto P.
Los alumnos pueden elegir la opción a) si erróneamente utilizan la fórmula π r para calcular el perímetro de la circunferencia o porque calculan la parte de la circunferencia que es interior al hexágono.
En el caso de los alumnos que elijan la opción b), pida que expliquen sus argumentos para dar esa respuesta. Tal vez, algunos contesten que la parte sombreada es aproximadamente del total. También es posible que
hayan medido el área de la circunferencia y no su perímetro y que luego calculen la medida de la parte de la circunferencia que esté por dentro del hexágono.
Algunos alumnos seleccionan la opción d) porque calculan el área de la circunferencia y no su perímetro. Si no recuerdan la fórmula para calcular el perímetro puede pedirles que la busquen o que señalen en dónde podrían buscarla.
Si lo considera conveniente, puede pedirle a sus alumnos que sustituyan el valor de π por alguna aproximación (3.14 o 3.1416) y que obtengan el perímetro en centímetros.
Observa el dibujo de una fuente y sus dimensiones.
75
¿Cuánto mide el área de la cara superior de la fuente?
Para contestar correctamente este reactivo los alumnos deben saber que el área de una corona circular es la sección que se forma entre dos circunferencias concéntricas.
Si observa que algunos alumnos tienen dificultades en la comprensión de la situación inicial, puede abrir el espacio para una discusión en la que les pregunté, por ejemplo, cuál es la cara lateral de la fuente o cuánto mide su profundidad. Algunos alumnos pueden considerar que la cara superior de la fuente es la parte en la que se ve el agua y elegir como respuesta el valor del perímetro de la circunferencia, aunque la unidad de m², no corresponde. Otros alumnos pueden creer que es la respuesta correcta porque están considerando toda el área que ocupa la fuente. El cualquier caso serán los alumnos quienes validen lo acertado o no de las respuestas y procedimientos utilizados.
76
3. EJE: MANEJO DE LA INFORMACIÓN
¿QUÉ ES LA PROPORCIONALIDAD?
Generalmente estamos tratando con cantidades que varían. Por ejemplo nos interesa saber la talla que tenemos, la cantidad de dinero que gastamos, el ahorro en un consumo de energía, etc.
Concepto de razón Una razón es el cociente de comparar dos cantidades o magnitudes, por ejemplo: 6 de cada 10 humanos viven en Asia. 2 de cada tres miembros de la familia de Humberto son mujeres.
La razón 2: 7 se lee “2 es a 7”, también la podemos escribir como una fracción así
7
2
siendo el primer número el antecedente y el segundo el consecuente.
Las fracciones como resultado de una razón
Todas las razones se pueden expresar como una fracción, por ejemplo 2: 3, que se lee “2 es a
3”, se puede escribir como
4
2 y significa la relación entre dos cantidades.
Ejemplo: Hice una encuesta sobre los deportes que practican mis amigos:
Descubrí que 3 de cada seis de mis amigos practican fútbol americano.
Esta razón se puede expresar como una fracción: 6
3
Este tipo de relaciones ya se estudiaron en la escuela primaria sin embargo, tal vez, los alumnos no recuerden los procedimientos formales, es necesario indagar qué procedimientos conocen al resolver problemas que implican comparar dos o más razones.
77
CONOCIMIENTOS Y HABILIDADES. Identificar y resolver situaciones de proporcionalidad directa del tipo valor “faltante” en diversos contextos, utilizando de manera flexible diversos procedimientos.
APRENDIZAJE ESPERADO:
En la vida corriente utilizamos el término PROPORCIÓN con distintos sentidos:
Cuando decimos que alguien está bien proporcionado damos a este término un sentido de armonía y estética: "este niño ha crecido mucho, pero está bien proporcionado"
Si comentamos que el éxito de una persona es proporcional (o está en proporción) a su trabajo ponemos de manifiesto la correlación entre estas dos variables: ÉXITO y TRABAJO.
1. También solemos utilizarlo para comparar fenómenos en distintos ámbitos: " proporcionalmente una hormiga es más fuerte que un elefante " (el hombre no resiste las comparaciones con otros animales: un escarabajo puede levantar 850 veces el peso de su propio cuerpo. Proporcionalmente equivaldría a que un hombre levantara sobre su cabeza un tanque de 50 Tm. Una pulga puede saltar hasta 130 veces su altura. Para competir con ella un hombre debería saltar limpiamente la Giralda de Sevilla).
También se cometen errores:
Hace años se estudió la reacción de un elefante macho al LSD (una droga). Los científicos calcularon la dosis que se debía administrar a partir de la cantidad que pone a un gato en estado furioso. Esta proporción fue trágica para el elefante pues inmediatamente empezó a correr y a trompetear, tuvo convulsiones y expiró.
En matemáticas la palabra Proporción tiene un significado más restringido que trataremos de precisar.
Consideremos los siguientes ejemplos:
Ejemplo 1
En la siguiente tabla se relaciona la superficie de una valla a pintar y la pintura empleada.
m2 de valla a pintar 1 1.5 2 4
78
Litros de pintura empleados 0.33 0.495 0.66 1.32
Ejemplo 2
Desde que un conductor ve un obstáculo, reacciona, pisa el freno y el coche realmente se detiene, se recorre una distancia que depende de la velocidad:
Velocidad que lleva (Km/h) 20 40 60 80 100
Distancia total de detención (m) 7 20.5 39.5 64 95
Ejemplo 3
Observa el dibujo y construye una tabla que relacione la altura de cada rectángulo con su base.
Base del rectángulo
4
Altura del rectángulo
12
¿Son proporcionales las medidas de los rectángulos?
___________Argumenta tu respuesta_________________________________________
________________________________________________________________________
Ejemplo 4
El precio de un aparcamiento es:
79
En todos estos ejemplos existe una relación entre dos magnitudes. Además, cuando una varía provoca que varíe la otra. Podemos precisar aún más:
En el ejemplo 1:
- Al doble de m2 de valla corresponde doble cantidad de litros de pintura.
- Al triple de m2 de valla corresponde triple cantidad de litros de pintura.
- A la mitad de m2 de valla corresponde la mitad cantidad de litros de pintura.
En el ejemplo 3:
- A doble base corresponde doble altura.
- A triple base corresponde triple altura.
- A cuádruple base corresponde.... altura.
Cuando podemos utilizar este tipo de expresiones:
a doble .............. doble, a mitad.............. mitad, a triple ............. triple, a un tercio.....un tercio, etc
decimos que las dos magnitudes son directamente proporcionales.
"La superficie de valla a pintar es directamente proporcional al volumen de litros de pintura".
"Las longitudes de las bases son directamente proporcionales a las longitudes de las alturas".
En el ejemplo 4 es conveniente observar que si sólo tomamos valores enteros puede parecer que existe proporcionalidad. No es así, como ponen de manifiesto los siguientes valores:
Tiempo Precio
30 minutos $ 1
Tiempo Precio
hasta 1 hora $ 1
hasta 2 horas $ 2
.................. .............
80
60 minutos $ 1
70 minutos $ 2
140 minutos $ 3
En este caso diremos que el precio del estacionamiento no es directamente proporcional al tiempo aparcado.
¿Y el ejemplo 2 ? Averígualo y Argumenta tu respuesta.
Regla de tres
¿Cómo reconocer una proporcionalidad directa con tablas?
Esta tabla es de proporcionalidad directa.
Observa:
Al multiplicar un valor de la 1ª serie por un número, el valor de la 2ª serie queda multiplicado por dicho número (o al revés), en consecuencia:
El cociente entre dos números correspondientes de cada serie es constante:
¿?...12
3
6
5.1
4
1
2
5.0
A esta constante ( en el caso anterior 0.25) lo llamaremos razón de proporcionalidad.
Actividades
1. De las siguientes tablas de valores, identifica cuáles corresponden a una proporcionalidad directa:
2. Dibuja los segmentos correspondientes sabiendo que la razón de proporcionalidad es 3/4.
81
3. Completa la serie de dibujos sabiendo que la razón de proporcionalidad es 2/3.
4. ¿Cuál es la razón de proporcionalidad ?
5. Un estudiante pesó algunas bolas de acero. He aquí los resultados:
¿ Son directamente proporcionales las magnitudes diámetro y peso?_______ comprueba tu conclusión.
6. Vertemos diferentes cantidades de agua en un vaso cónico. En cada vertido medimos la altura del agua y su volumen:
¿ Es el volumen directamente proporcional a la altura ? Argumenta tu respuesta: ____________________
PROPORCIONALIDAD, TABLAS Y GR{AFICAS
82
CONOCIMIENTOS Y HABILIDADES Identificar y resolver situaciones de proporcionalidad directa del tipo “valor faltante” en diversos contextos, utilizando operadores fraccionarios y decimales.
APRENDIZAJE ESPERADO:
Tablas de variación proporcional directa.
Una proporción es la igualdad entre dos razones donde se comparan magnitudes, por ejemplo: si el cambio del dólar está a $ 9.30 mexicanos, completemos veamos la siguiente tabla:
Tabla de proporcionalidad directa
Dólares 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100
Pesos 93 186 279 372 465 558 651 744 837 930
En la tabla anterior vemos que a mayor cantidad de dólares, más pesos nos dan en el cambio. Una representación gráfica de los datos anteriores es la siguiente:
Práctica
El papá de Francisco vende automóviles y la ganancia por cada 5 autos vendidos es de $ 35,000. Si ha llevado un registro de sus ventas en los últimos 5 semanas ayúdale a completar la siguiente tabla teniendo en cuenta la constante de proporcionalidad.
Cantidad de autos vendidos 5 10 15 20 25 38
83
Ganancia
Resuelve 1. José viaja alrededor de la pista circular de 0.4 km, hace un total de 60 vueltas.
Cuando da diez vueltas ha viajado 4 km, sin embargo, su cuenta kilómetros registra 3.4 km. José se da cuenta que el cuentakilómetros de su coche se ha descompuesto y continua dando medidas equivocadas. Ayúdale a José a completar la siguiente tabla:
Número de Vueltas 0 10 20 30 40 50 60
Distancia que el cuentakilómetros de José midió (km)
0
3.40
Distancia que José realmente viajó (km)
0
4
Encuentra una regla con la que José pueda cambiar sus lecturas del cuentakilómetros en distancias reales que ha recorrido en su coche.
¿Qué estrategia seguiste para encontrar la regla que convierta las lecturas del cuentakilómetros en distancias reales?
¿Cómo reconocer una proporcionalidad directa a partir de una gráfica?
Para comenzar realiza estas actividades:
a) Traza unos ejes cartesianos y dibuja una gráfica con los datos del ejemplo 1.
b) Haz lo mismo con el ejemplo 3.
Observa la gráfica:
84
La altura del agua en la probeta es directamente proporcional al tiempo que permanece abierto el grifo.
Dos magnitudes M y M´ directamente proporcionales dan lugar a una gráfica de este tipo:
Si la gráfica de dos variables es una línea recta que pasa por el origen de coordenadas, entonces una variable es directamente proporcional a la otra.
Actividades de proporcionalidad y medida
2. Si el policía de la foto mide alrededor de 1'90 m de altura, estima la estatura del más bajo.
LOS FACTORES CONSTANTES DE PROPORCIONALIDAD, REGLA DE TRES
CONOCIMIENTOS Y HABILIDADES: Interpretar el efecto de la aplicación sucesiva de factores constantes de proporcionalidad en situaciones dadas.
CONOCIMIENTOS Y HABILIDADES: Resolver problemas del tipo valor faltante utilizando procedimientos expertos.
APRENDIZAJE ESPERADO:
CONSIGNA: Analiza y Resuelve el siguiente problema:
85
En 50 litros de agua de mar hay 1300 gramos de sal. ¿Cuántos litros de agua de mar contendrán 5200 gramos de sal?
Se espera que identifiquen que en el doble cantidad de agua de mar habrá doble cantidad de sal; en triple, triple, etc. Las magnitudes cantidad de agua y cantidad de sal son directamente proporcionales.
Si representamos por x el número de litros que contendrá 5200 gramos de sal, y formamos la siguiente tabla:
Litros de agua 50 x
Gramos de sal 1300 5200
Se verifica la proporción:
Y como en toda proporción el producto de medios es igual al producto de extremos, resulta:
(50)(5200)=1300x
Es decir 2001300
)5200)(50(x
En la práctica esto se suele disponer del siguiente modo:
Esta forma de plantear y resolver problemas sobre proporciones se conoce con el
nombre de regla de tres simple directa.
Otro problema:
Un coche gasta 5 litros de gasolina cada 100 km. Si quedan en el depósito 6 litros, ¿cuántos
kilómetros podrá recorrer el coche?
Luego con 6 litros el coche recorrerá 120 km
52001300
50 x
2001300
5200.50
5200_____
1300____50
5200
130050
xglx
gl
saldeghabrálxEn
saldeghaylEn
1205
100.6
______6
100______5
xkmxl
kml
86
Conocimientos y habilidades: Identificar y resolver situaciones de proporcionalidad inversa
mediante diversos procedimientos.
FACTOR DE PROPORCIONALIDAD. REGLA DE TRES SIMPLE INVERSA
Dos magnitudes son inversamente proporcionales cuando al aumentar una de ellas las otra disminuye o viceversa.
Por ejemplo, que vamos en un viaje y que llevamos en nuestro coche el tanque con 20 litros de gasolina. Supongamos que el coche consume 1 litros por cada 10 kilómetros recorridos. En la siguiente tabla vamos a ver la tabla de consumo de gasolina del coche a medida que hacemos el recorrido:
Tablas de variación proporcional de la cantidad de gasolina consumida
Cantidad de gasolina 20 19 18 17
Kilómetros recorridos 0 10 20 30
Como podemos ver a medida que aumenta la cantidad de kilómetros recorridos en el viaje, disminuye la cantidad de gasolina en el tanque del coche. Por esto decimos que estas dos cantidades varían de manera inversa:
Problemas por resolver:
Juan se propuso ahorrar $ 25 diarios. Completa la siguiente tabla, realiza la gráfica de la variación de la cantidad de dinero a medida que pasa el tiempo y contesta las preguntas que vienen al final:
Cantidad de pesos ahorrados 9125
En general, podemos hacer un esquema para dos magnitudes que sean
directamente proporcionales:
87
Cantidad de días 2 8 100
Discute con un compañero de tu clase sobre la manera como resolviste el problema.
a) ¿La variación entre la cantidad de pesos ahorrados y la cantidad de días de ahorro es directa o es inversa?
b) ¿Cuántos días deben pasar para tener ahorrados más de $2,000? c) Si en lugar de $25 pesos diarios ahorra 30 pesos diarios, ¿Qué cambios notas
Más Problemas
Problema 1
Un ganadero tiene pienso suficiente para alimentar 220 vacas durante 45 días. ¿Cuántos días podrá alimentar con la misma cantidad de pienso a 450 vacas?
Vemos que con el mismo pienso, si el número de vacas se duplica, tendrá para la mitad de días; a triple número de vacas, tercera parte de días, etc. Por tanto son magnitudes inversamente proporcionales. x= número de días para el que tendrán comida las 450 vacas
Se cumple que: 220.45=450.x, de donde
En la práctica esto se suele disponer del siguiente modo:
Luego 450 vacas podrán comer 22 días
Esta forma de plantear y resolver problemas sobre proporciones se conoce con el nombre de regla de tres simple inversa.
Problema 2
Para envasar cierta cantidad de vino se necesitan 8 toneles de 200 litros de capacidad cada uno. Queremos envasar la misma cantidad de vino empleando 32 toneles. ¿Cuál deberá ser la capacidad de esos toneles?
Pues la cantidad de vino=8.200=32.x
Debemos tener 32 toneles de 50 litros de capacidad para poder envasar la misma cantidad de vino.
22450
45.220x
22450
45.220
_____450
45____220
450
45220
xdíasxvacas
díasvacas
díasxparatienenvacas
díasparatienenvacas
5032
200.8
____32
200_____8
x
litrosxtoneles
litrostoneles
Nº de vacas 220 450
Nº de días 45 x
Podemos esquematizar la relación de dos magnitudes que son inversamente proporcionales: Esta relación se llama regla de tres simple inversa
88
Conocimientos y habilidades: elaborar y utilizar procedimientos para resolver problemas de reparto proporcional.
PROPORCIONALIDAD, REPARTOS PROPORCIONALES
Un padre regala a sus dos hijos $ 1000 para que se los repartan de forma directamente proporcional a sus edad que son 8 y 12 años ¿Cuánto corresponde a cada uno?.
Si llamamos x a la cantidad que corresponde al pequeño e y al mayor, x + y = $1,000.
La anterior es una tabla de proporcionalidad directa por lo que se cumple: con la condición de que x + y = 1,000.
Se puede resolver utilizando la propiedad En este caso:
Por lo tanto: 40050820
1000
8 x
x y 600501220
1000
12 y
y
El pequeño recibe 400 y el mayor 600.
Resuelve el siguiente problema:
Juegas a la lotería con un cachito (1 de 20) de $ 50, para el que tú pusiste 17 y tu amigo 23. Si obtienen un premio de $ 180,000 ¿Cuánto debería de corresponder a cada uno?
Repartos inversamente proporcionales
Reparte $24,000 en partes inversamente proporcionales a 2 y 3.
La tabla:
Edad 8 12
Cantidad x y
89
a.... 2 3
...le corresponde
x y
es de proporcionalidad inversa por lo que sus productos son iguales: 2 · x = 3 · y es
decir, , y como x + y = 24000, resolviendo, se obtiene que x = 14,400 e y = 9,600.
Algo más sobre repartos proporcionales
Las dos aplicaciones más importantes de los repartos proporcionales son las llamadas reglas de compañía y reglas de aligación:
La regla de compañía tiene por objeto repartir entre varios socios la ganancia o pérdida que ha tenido la sociedad.
Comentaremos dos casos:
Caso 1: Que los capitales aportados sean diferentes y estén el mismo tiempo.
Para crear un negocio tres socios aportan 70,000, 40,000 y 50,000 pesos respectivamente. Si al final obtienen una ganancia de $24,000. ¿Cuál es la parte que corresponde a cada uno?
Aporta 70,000 40,000 50,000 160,000
Gana x y z 24,000
Esta tabla es de proporcionalidad directa, con lo cual:
. Por tanto, x = 10,500; y = 6,000; z = 7,500.
Caso 2: Que los capitales sean iguales y los tiempos diferentes.
Tres socios ponen capitales iguales, el primero por 11 meses, el segundo por 10 y el tercero por 9, sufriendo una pérdida de 15,000 pesos. ¿Cuánto pierde cada uno?
La siguiente tabla es de proporcionalidad directa:
90
Tiempo 11 10 9
Pérdidas x y z
Con lo cual . Despejando, x = 5,500; y = 5,000 ; z = 4,500.
Actividades de práctica
a. Una sociedad formada por 4 socios que han aportado cada uno $ 10,000, ha obtenido el primer año un beneficio de $ 2,500. ¿Cuánto corresponde a cada uno?
b. Dos señores forman una sociedad aportando cada uno $ 4,000 de capital. Al cabo de un año ingresa un tercer socio con el mismo capital y dos años más tarde ingresa un cuarto socio que aporta también $ 4,000. A los 6 años de su fundación se liquida, teniendo un beneficio a repartir de $11,000. ¿Cuánto corresponde a cada uno?
c. Dos socios en el primer año de su negocio, obtienen un beneficio de $30,000. ¿Cuánto corresponde a cada uno si el primero aportó $ 30,000 y el segundo, $ 70,000?
Reglas de Combinación: Mezclas y Aleaciones
Mezclas
Si mezclamos 20 Kg de una sustancia cuyo precio es de $ 500/Kg. con 30 Kg. de otra cuyo precio sea de $300 /Kg. Obtenemos una mezcla. ¿Cuál es el precio del Kg de mezcla?
Evidentemente, el precio de la mezcla ha de ser proporcional a la cantidad de mezcla y, por tanto, (20+30) Kg de mezcla costarían 20x500+30x300 pesos.
Cantidad de mezcla 20+30 1
Precio de la mezcla 20·500+30·300 x
Resolviendo:
También se puede plantear el problema inverso:
91
Se desean 150 Kg de mezcla de las sustancias anteriores que resulte a 45 pesos el kilogramo. ¿Cuánto deberá ponerse de una y de otra ?.
Llamemos C a la cantidad de la de 50 pesos el Kg. Por lo tanto, 150 - C será la cantidad de sustancia de 30pesos
Por (1): y resolviendo, C = 112.5
C = 112.5 Kg de sustancia de 50 pesos/kg y 150 - C = 47.5 Kg de sustancia a 30 pesos/Kg.
Aleaciones
Para mejorar ciertas cualidades de los metales se suelen "alear" con otros, es decir, se funden con éstos hasta constituir masas homogéneas, llamadas aleaciones. Para fijar la proporción en que entran los metales fundidos se suele dar la cantidad de cada metal contenida en cada unidad, o cien o mil unidades, de peso de la aleación, es decir se fijan los tantos por uno, por cien o por mil de cada metal.
Así, por ejemplo, si nos dicen que un bronce tiene el 83% de cobre, el 9% de estaño, el 5% de cinc y el 3% de plomo, significa que:
En cada 100 Kg de aleación hay 83 Kg de cobre, 9 Kg de estaño, 5 de cinc y 3 Kg de plomo.
Actividades resueltas
a) Calcular el peso de cada uno de los metales que debemos tomar para fundir una pieza de bronce de 400 kg de peso y con la composición indicada.
El problema se reduce a repartir proporcionalmente 400 entre las cantidades 83, 9, 5 y 3.
83 9 5 3
x y z t
Por lo tanto x = 4.83, y = 4.9, z = 4.5, t = 4.3.
b) Se han fundido 300 Kg. de una aleación de cobre y cinc que tiene 0.92 por uno de cobre (0.08 de cinc) con 200 Kg. de otra aleación con los mismos materiales con 0.85 por uno de cobre (0.15 de cinc). Calcular los tantos por uno de cobre y cinc de la aleación resultante:
Cantidad de cobre en la 1ª aleación:.... 0.92 · 300 = 276 Kg
92
Cantidad de cobre en la 2ª aleación:.... 0.85 · 200 = 170 Kg
Cantidad total de cobre........................:................= 446 Kg
Tanto por uno de cobre:............ 446 : (300 + 200) = 0.892
Tanto por uno de cinc :............................1 – 0.892 = 0.108
Actividades no resueltas
1. Un almacenista tiene aceites de 120, 90, 60 y 50 pesos por litro y desea mezclarlo para venderlo al precio medio de 77 pesos. ¿En qué proporción efectuará la mezcla? (27,17,13,43)
2. Mezclamos 6 kg. de café de 4.2 pesos el kg con cierta cantidad de café de 3 pesos. y queremos que la mezcla resulte a 3.8 pesos el kg. ¿Qué cantidad debemos tomar de la 2ª clase?
3. Se mezclan dos líquidos de densidades 1.2 y 0.8 ¿Qué cantidad hay que tomar de cada clase para tener una mezcla de 3 litros y densidad 0.9?
CONOCIMIENTOS Y HABILIDADES: Determinar el factor inverso dada una relación de proporcionalidad y el factor de proporcionalidad fraccionario.
CONOCIMIENTOS Y HABILIDADES: Elaborar y utilizar procedimientos para resolver
problemas de proporcionalidad múltiple.
APRENDIZAJE ESPERADO:
PROPORCINALIDAD MÚLTIPLE O COMPUESTA
La proporcionalidad compuesta nos permite resolver problemas en los que intervienen más de dos magnitudes que mantienen entre sí relaciones de proporcionalidad
Un problema es de proporcionalidad compuesta si intervienen tres o más magnitudes. Al intervenir más de dos magnitudes las relaciones proporcionales dos a dos de las magnitudes pueden ser distintas, es decir, si tenemos las magnitudes A, B y C, la relación proporcional entre A y B puede ser directa o inversa y entre B y C puede ocurrir lo mismo. PROPORCIONALIDAD DIRECTA ENTRE LAS MAGNITUDES
Para calentar 2 litros de agua desde 0ºC a 20ºC se han necesitado 1000 calorías. Si queremos calentar 3 litros de agua de 10ºC a 60ºC ¿Cuántas calorías son necesarias? En este problema intervienen 3 magnitudes, la cantidad de agua, el cambio de temperatura y la cantidad de calorías.
¿Cuál es la relación entre las magnitudes? Si se quiere calentar más cantidad de agua habrá que usar más calorías (relación directa) Si se quiere dar un mayor salto térmico habrá que usar más calorías (relación directa). Para resolver este tipo de problemas vamos a hacer un paso a la unidad, es decir, vamos a calcular cuantas calorías hacen falta para subir un grado un litro de agua.
93
Litros de agua Salto térmico Calorías
2 20 1000
1 20 1000/2 =500 Para calentar un litro de agua 20ºC
hacen falta 500 calorías
1 1 500/20=25 Para calentar un litro de agua 1 grado hacen falta 25 calorías
3 50 25x3x50=3750 Luego para calentar 3 litros 50ºC
harían falta 3750 calorías
PROPORCIONALIDAD DIRECTA E INVERSA ENTRE LAS MAGNITUDES
Se han necesitado 2000 calorías para calentar 2 litros de agua desde 10ºC a 50ºC. Si a 5 litros de agua a la misma temperatura inicial le suministramos 8000 calorías ¿Qué temperatura alcanzarán?
¿Cuál es la relación entre las magnitudes? A mayor cantidad de calorías más se calienta el agua (relación directa) Con las misma calorías a mayor cantidad de agua menos se calienta, menor salto térmico (relación inversa). Para resolver este tipo de problemas vamos a hacer un paso a la unidad, es decir, vamos a calcular cuántos grados sube un litro de agua al que se le aplica una caloría.
Calorías Lítros de agua Salto térmico
2000 2 40
1 2 40/2000=0.02 Si aplicamos una caloría a 2 litros de
agua su temperatura subirá 0.02 grados
1 1 0.02x2=0.04 Si en lugar de calentar 2 litros
queremos calentar 1 se subirá la temperatura en 0.04 grados
8000 5 0.04x8000/5=64 Luego la temperatura del agua subirá
64ºC y será de 74ºC
94
PROPORCIONALIDAD INVERSA ENTRE LAS MAGNITUDES
Cuatro obreros trabajando 10 horas diarias han empleado 9 días en hacer la estructura de una nave industrial. Otra cuadrilla trabajando 6 horas diarias realiza el mismo trabajo en 12 días ¿Cuántos obreros tiene la otra cuadrilla?
¿Cuál es la relación entre las magnitudes? A mayor cantidad de horas hacen falta menos obreros (relación inversa) A más días trabajando hacen falta menos obreros (relación inversa).
Para resolver este tipo de problemas vamos a hacer un paso a la unidad.
Horas Días Obreros
10 9 4
1 9 4 x 10 = 40 Si en lugar trabajar 10 horas trabajan 1 haran falta
40 obreros para hacer el trabajo que hacen 4
1 1 40 x 9= 360
Si en lugar de hacer el trabajo en 9 días lo
queremos hacer en 1, habrá que aumentar la
plantilla hasta 360 obreros
6 12 360/(6x12) = 360/72=5 Luego la otra cuadrilla tiene 5 obreros.
Los procedimientos anteriores se pueden generalizar para resolver de manera sistemática cualquier tipo de problemas de proporcionalidad compuesta sea, directa, inversa o mixta.
Analiza los gráficos siguientes y establece con tus propias palabras como se aplica cada regla.
Directa
.
Inversa
95
Mixta
Ejemplo:
Un crucero por el Mediterráneo para 200 personas durante 15 días necesita, para gastos de alojamiento y comida, 54.000 euros. ¿Cuántos euros gastarán para alojar y alimentar a 250 personas durante 10 días?
G = Gasto en euros (€)
P = Nº de personas
D = Nº de días
54000 200 personas 15 días
x 250 personas 10 días
Procedimiento:
Veamos qué relación de proporcionalidad, directa o inversa, mantiene la magnitud G de la incógnita con las otras dos magnitudes. Es fácil observar que si P es constante entonces "a doble número de días, doble gasto; o que a triple número de días triple gasto ; o que si reducimos las vacaciones a la tercera parte, el gasto se reducirá a la tercera parte;........ Resumiendo G es directamente proporcional a D.
De igual manera, si D es constante entonces G es directamente proporcional a P.
En la siguiente tabla intentaremos reducir el estudio de las magnitudes conocidas (en este caso personas y días) a uno.
Gastos (€) Personas Días
54000 200 15
96
1
15
1
1
1
10
250
10
Por lo tanto:
Escrito de otra forma:
Con un mismo nº de máquinas, para mover doble o triple cantidad de tierra, se necesitarán el doble o el triple número de días, respectivamente. Por lo tanto la relación de proporcionalidad es directa.
Para una misma cantidad de m3 de tierra, doble o triple cantidad de máquinas tardarán la mitad o la tercera parte, respectivamente. Por tanto, esta relación de proporcionalidad es inversa.
97
y despejando, x = 12.
Problemas por resolver
Una cuadrilla de 15 hombres se compromete a terminar en 14 días cierta obra. Al cabo de 9 días sólo han hecho los 3/7 de la obra. ¿Con cuántos hombres tendrán que ser reforzados para terminar la obra en el tiempo fijado?
Se emplean 10 hombres durante 5 días, trabajando 4 horas diarias, para cavar una zanja de 10 m de largo, 6 m de ancho y 4 m de profundidad. ¿Cuántos días necesitarán 6 hombres, trabajando 3 horas diarias, para cavar otra zanja de 15 m de largo, 3 m de ancho y 8 m de profundidad, en un terreno de doble dificultad?
Si18 máquinas mueven 1200 m3 de tierra en 12 días, ¿cuántos días necesitarán 24 máquinas para mover 1600 m3 de tierra?
Un motor funcionando durante 10 días y trabajando 8 horas diarias ha originado un gasto de 1200 ptas. ¿Cuánto gastará el motor funcionando 18 días a razón de 9 horas diarias?
Otros problemas para evaluar los contenidos: 1. ¿Cuál de las siguientes situaciones es de proporcionalidad directa?
A) B)
C) D)
2. La tabla representa la relación de proporcionalidad directa que existe entre el número de vueltas que dan las ruedas chicas y la rueda grande de un triciclo. Escribe el valor que falta
Vueltas de la rueda grande Vueltas de la rueda chica
3 6
5
98
3. El rendimiento de un automóvil es el numero de kilómetros que recorre con un litro de gasolina. Un automóvil que mantiene un rendimiento constante hace un recorrido de 234 kilómetros con 18 litros de gasolina. ¿Cuál es la expresión algebraica que permite saber la distancia (y) recorrida por el automóvil a partir de la gasolina(x) consumida?
a) y = 18x b) y = 13x c) y = 18x + 23 d) y = 13x + 23
4. Una compañía renta autobuses con la siguiente tarifa:
x = Distancia recorrida (km)
y = precio (pesos)
1 2,557.00
2 2,564.00
3 2,571.00
4 2,578.00
5 2,585.00
10 2,620.00
¿Qué expresión sirve para calcular el precio que hay que pagar por la renta del autobús (y) a partir de saber la distancia recorrida (x)?
A) y = 7x + 2550 B) y = 2550x C) y = 2550x + 7 D) y = 7x
5. Si 15 pesos mexicanos equivalen a 30 quetzales guatemaltecos. ¿Cuál de las gráficas es la que corresponde al tipo de cambio entre el peso mexicano y el quetzal guatemalteco?
a) b)
99
c) d)
6. La siguiente es una parte de la gráfica asociada a dos conjuntos de cantidades
¿Cuál de las siguientes situaciones está asociada a la gráfica anterior? a) El peso de un objeto en Júpiter y su correspondiente peso en la tierra; si se sabe que
un objeto en Júpiter pesa 400 kg. Cuando en la tierra pesa 160 kg. b) Las edades de Lupe y Carlos, si se sabe que cuando Lupe cumpla 20 años, Carlos
cumplirá 8 años? c) El peso de un objeto en Júpiter y su correspondiente peso en la tierra; si se sabe que
un objeto en en la tierra pesa 160 kg. Y en Júpiter pesa 400 kg. d) El cambio de pesos a yuanes chinos si se sabe que 100 pesos mexicanos equivalen a
50 yuanes chinos
7. Si un cuarto de kilo de jamón cuesta $35, elabore tablas del precio medio de 1 kilo, 2 kilos, medio kilo, 800 gramos, 5 kilos, etc.
8. Si 3 niños tardan cuatro horas en decorar el patio, cuánto tardarán 6 niños en decorar el
mismo patio, y cuánto tardarán 4 niños en decorarlo.
100
9. En una tienda venden el kilo de pollo a $ 20 . En una compra mayor a cinco kilos, la
tienda te descuenta 5 pesos por cada kilo adicional.
a. ¿Cuánto debes pagar por 7 kilos de pollo? b. Si compras 20 kilos de pollo cuánto dinero ahorraste.
10. El encargado de la tienda escolar, se dio cuenta que a medida que aumenta la temperatura, aumenta el consumo de refresco en la escuela. Ayúdanos a completar la siguiente tabla:
Temperatura promedio
En un día
150
200
250
350
Venta de refrescos
Al día
30
40
18
11. Formular 3 ejemplos de dos cantidades que cambien de manera directa. 12. Formular 3 ejemplos de dos cantidades que cambien de manera inversa. 13. En cada una de las siguientes tablas debes decidir si la variación es directa o es
inversa y debes realizar su respectiva representación gráfica:
Cantidad 1 1 2 3 4
Cantidad 2 15 30 45 60
Cantidad 1 100 50 25 12.5
Cantidad 2 1 10 100 1,000
101
14. Un auto recorre 540 Km. cada 6 horas con una velocidad constante. Si incrementa la
velocidad hasta llegar a los 100 Km. por hora, ¿ Cuánto tiempo tardará en recorrer 540 Km.?
A partir del problema anterior contesta: a. ¿La variación es directa o es inversa? b. ¿Qué estrategia seguiste para resolver el problema? c. Si este mismos auto viaja con velocidad constante y recorre los 540 kilómetros en 3
horas. ¿A qué velocidad viajaba? d. Realiza una gráfica en el sistema de coordenadas en el eje x pones el tiempo y en el eje
y la distancia recorrida.
15. Surgió una terrible epidemia en un país asiático. Un grupo de científicos mexicanos desarrolló una medicina para combatir la enfermedad y se dieron cuenta que cuando aplicaban masivamente el medicamento, al día siguiente la cantidad de personas enfermas se reducía a la mitad. Contesta las siguientes preguntas:
a. ¿La variación entre estas dos cantidades es directa? b. Si el día de hoy hay 20, 000 contagiados, ¿Cuántos enfermos habrá mañana? c. ¿Cuánto tiempo pasará, aproximadamente para que la enfermedad se extinga?
16. Con 15 máquinas de escribir durante 6 horas, se escriben 220 folios. ¿ Cuantos folios se escribirán con 45 máquinas durante 12 horas?.
17. Con 14 rollos de moqueta se ha cubierto un pasillo de 16 m. de largo por 75 cm de ancho. ¿Cuál será la longitud del pasillo de otra casa cuya anchura es de 80 cm si se han necesitado 12 rollos?.
18. Un caminante recorre 120 Km. andando 8 horas diarias durante 5 días. ¿Cuántas horas necesitará para recorrer 129 Km en 12 días?.
19. Un depósito puede suministrar 12 litros diarios de agua para 25 familias durante 150 días.
20. ¿Cuántos litros podrán suministrar a 40 familias durante 200 días?.
102
3.2 TEMA: ANÁLISIS DE LA INFORMACIÓN. PROBABILIDAD
SUBTEMA: NOCIÓN DE PROBABILIDAD Grado Bloque Apartado
Enumerar los posibles resultados de una experiencia aleatoria. Utilizar la escala de la probabilidad entre 0 y 1 y vincular diferentes formas de expresarla. Establecer cuál de dos o más eventos en una experiencia aleatoria tiene mayor probabilidad de ocurrir y justificar la respuesta
1° III 9
Reconocer las condiciones necesarias para que un juego de azar sea justo, con base en la noción de resultados equiprobables y no equiprobables.
1° V 4
Distinguir en diversas situaciones de azar eventos que son independientes. Determinar la forma en que se puede calcular la probabilidad de ocurrencia de dos o más eventos independientes.
2° IV
4
Distinguir en diversas situaciones de azar eventos que son mutuamente excluyentes. Determinar la forma en que se puede calcular la probabilidad de ocurrencia.
2° V 4
Utilizar la simulación para resolver situaciones probabilísticas. 3° II 6
La Probabilidad
Muchos de los eventos que ocurren en la vida diaria no pueden ser predichos con exactitud desde antes por diversas razones, pues la mayoría de los hechos están influidos por factores externos. Además, existen aquellos sucesos que están directamente influidos por el azar, es decir, por procesos que no se está seguro de lo que va a ocurrir. Sin embargo, la probabilidad nos permite acercarnos a esos sucesos y estudiarlos, ponderando las posibilidades de su ocurrencia y proporcionando métodos para tales ponderaciones.
Precisamente, algunos de esos métodos proporcionados por la probabilidad nos llevan a descubrir que algunos sucesos tienen una mayor o menor probabilidad de ocurrir que la ponderación asignada a través del sentido común. Nuestros sentidos, la información previa que poseemos, nuestras creencias o posturas, nuestras inclinaciones, son algunos de los factores que intervienen para no permitirnos hacer ponderaciones reales y sistemáticas. La probabilidad nos permitirá estudiar los eventos de una manera sistemática y más cercana a la realidad, retribuyéndonos con información más precisa y confiable y, por tanto, más útil para las disciplinas humanas. A continuación te presentamos algunas definiciones y actividades que te servirán de apoyo para reafirmar tus conocimientos de los contenidos del programa de estudios en relación con el tema de probabilidad.
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Conteo y Diagramas de Árbol Conocimientos y habilidades: Enumerar los posibles resultados de una experiencia aleatoria. Utilizar la escala de la probabilidad entre 0 y 1 y vincular diferentes formas de expresarla. Establecer cuál de dos o más eventos en una experiencia aleatoria tiene mayor probabilidad de ocurrir y justificar la respuesta.
Un recurso muy útil para conocer todos los posibles resultados de un experimento aleatorio son los diagramas de árbol.
Ejemplo: Al lanzar dos dados, ¿cuántos resultados posibles hay en total?
¿Cuántos de los resultados posibles son favorables al evento: la suma de los números que salen es un número impar?
Para encontrar la respuesta, en tu cuaderno elabora y completa un diagrama de árbol como el siguiente:
Tomado de la Guía Interactiva para Secundaria 2008.
Una vez que los alumnos hayan calculado los resultados posibles de varios experimentos, llámele “Espacio muestral” a cada uno de dichos conjuntos y pida a los alumnos que ellos escriban su definición con sus propias palabras.
Si fuera necesario consolidar la noción de experimentos aleatorios y la descripción del espacio muestral, se les puede pedir a los alumnos que ellos inventen experimentos aleatorios y
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determinen el espacio muestral. Seguro que recordarán algunos de los que manejaron en la escuela primaria. Pueden intercambiar experimentos para determinar los espacios muestrales.
En el caso de que existan más de un suceso a observar, habría que contar el número de veces que pueden ocurrir todos los sucesos que se desean observar, para ello se utiliza el principio fundamental de conteo:
Si un suceso se puede presentar de n1 formas, y otro se puede presentar de n2 formas, entonces el número de formas en que ambos sucesos pueden presentarse en ese orden es de n1·n2.
Ejemplo: Al lanzar dos dados cada uno de estos puede caer de seis formas diferentes; entonces el número de formas en que pueden caer al ser lanzados juntos es 6 x 6 = 36
En otras palabras, basta multiplicar el número de formas en que se puede presentar cada uno de los sucesos a observar.
Eventos
Cuando se realiza un experimento, que es cualquier proceso que produce un resultado o una observación, se van a obtener un conjunto de valores. A este conjunto de valores que puede tomar una variable se le denomina espacio muestral.
Por ejemplo: Si se tiene un dado cualquiera, el espacio muestral (EM) es EM={1,2,3,4,5,6}.
Si existen más de una variable, el espacio muestral está formado por las combinaciones de valores de cada una de las variables.
Si tomamos un subconjunto cualquiera del espacio muestral tenemos lo que se denomina un evento, y si éste consta de un solo elemento entonces es un evento elemental.
Como se puede uno imaginar, existen eventos que siempre, no importa el número de experimentos o su situación, ocurren, y en cambio existen otros que nunca ocurren. Los que siempre ocurren son los eventos seguros, y los que nunca son los eventos imposibles.
Ejemplo: “días de la semana en que sale el sol” es un evento seguro ya que todos los días sale el sol (aunque esté nublado)
Al lanzar un dado “el numero que cae es mayor que 6”; es un evento imposible ya que el dado solamente tiene seis caras enumeradas.
NOTA: Solicitar a los alumnos que nombren algunos eventos seguros y otros imposibles.
Sin embargo, no todos los resultados son al azar, pues si un experimento es cualquier proceso entonces los resultados pueden tomar cualquier tipo de valor. Por esta razón, se define como experimento aleatorio al proceso en el que se pueden predecir con certeza la ocurrencia de sus eventos, con excepción del seguro o del imposible. Hay que hacer la observación que esta
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definición habla en términos generales y no específicamente sobre algún experimento en particular.
A aquélla variable que está asociada a un experimento de este tipo se le denomina variable aleatoria.
Probabilidad empírica y teórica de un evento.
Una urna contiene 3 canicas, una azul (a), una blanca (b) y otra café (c). Después de revolver las canicas, se extrae una al azar, se anota su color y se regresa a la urna. El experimento anterior se repitió 20 veces y se obtuvieron los siguientes resultados:
a) ¿Cuál crees que será el color de la canica que se extraiga la próxima vez y por
qué?
Se repitió varias veces el experimento anterior y se obtuvieron las siguientes series de 20 extracciones:
Solicitar a los alumnos que realicen el mismo experimento y anotar los resultados que obtuvieron en la serie de 20 extracciones.
Guiar el análisis con las siguientes preguntas:
¿Obtuviste los mismos resultados que en las series anteriores?
¿Cuántas veces te salió una canica blanca?
¿Cuántas veces salió una canica azul?
¿Cuántas veces una café?
De acuerdo con el experimento, una vez que se extrae y anota el color de la canica se regresa a la urna. Entonces, antes de realizar una nueva extracción ¿cuántas canicas y de qué color hay en la urna?
Si un color aparece dos veces seguidas, ¿es más probable que la próxima canica sea o no del mismo color? ¿por qué?
Si repites 10 veces el experimento podrías predecir cuántas veces extraerás una canica café?, ¿y una blanca?
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Realiza este experimento solamente 10 veces y completa la tabla siguiente:
Evento No. De veces que se extrae
Frecuencia relativa No. De veces que se espera extraer
Una canica azul __ /10
Una canica blanca
__ /10
Una canica café __ /10
Total 1
El problema que se plantea en esta pregunta implica que los alumnos pongan en juego sus intuiciones y conocimientos sobre cómo determinar los resultados posibles al realizar un experimento aleatorio. Particularmente se averigua sobre las reflexiones y los argumentos en los que los alumnos se basan para dar sus respuestas. En este caso, los valores de las probabilidades frecuenciales de los eventos simples: extraer una canica de color azul; extraer una canica de color blanco y extraer una canica de color café, no son iguales a los valores de sus probabilidades clásicas (que son de 1/3). Esto sucede porque 20 extracciones podrían ser “pocas” para que el valor de la probabilidad frecuencial (frecuencia relativa) se acerque o sea igual al de la clásica. Los alumnos deben saber que la probabilidad frecuencial es una medida obtenida de la experiencia de algún fenómeno o experimento aleatorio que permite estimar a futuro un comportamiento. Sin embargo, no es definitiva por lo que es importante saber interpretar los resultados que se obtienen.
Algunos alumnos considerarán que los resultados obtenidos en las 20 extracciones son “suficientes” y “representativos” para determinar que en la próxima extracción la canica será de color blanco. En este caso, en la retroalimentación se busca que los alumnos reflexionen si existen otras combinaciones en que se pudieran dar las 20 extracciones. Los alumnos que seleccionan la opción b) sólo consideran la información proporcionada por la última repetición del experimento aleatorio. Los alumnos que seleccionan la opción c), observan la aparición de una racha a favor de un resultado, por ejemplo, el número de veces que se ha extraído la canica blanca y creen que eso disminuye la probabilidad de salga blanca. Para cualquiera de esas situaciones, se le sugiere dar a los alumnos la oportunidad de resolver problemas que requieran la recolección o simulación de sus propios datos para la toma de decisiones. Lo cual significa, introducir la enseñanza de la probabilidad de modo experimental y confrontar las creencias personales de sus alumnos, de carácter determinista. Finalmente, los alumnos deben saber que para obtener la probabilidad clásica de un evento, no se requiere de la realización de experimentos como en la probabilidad frecuencial, sino de conocer dos datos: el de todos los resultados posibles que se pueden dar en el experimento, y el de los resultados favorables del evento que se observa. Por lo que la probabilidad clásica que un evento es diferente de la probabilidad frecuencial. Después de realizar muchos experimentos, la probabilidad frecuencial debe parecerse a la clásica.
Ahora considera los 60 resultados que aparecen en las series 1, 2 y 3 al inicio del problema y realizando el conteo completa la siguiente tabla:
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Evento: extraer No. De veces que se extrae
Frecuencia relativa
Una canica blanca
___ /60
Una canica azul
Una canica café
Totales 1
Calcula la probabilidad clásica de cada evento
Evento: extraer posibles resultados de totalNo.
evento al favorables resultados de No.
Una canica blanca
Una canica azul
Una canica café
Totales
Si comparamos el valor de la frecuencia relativa del evento ”extraer una canica azul” con el valor de su probabilidad clásica ¿cuál valor es mayor?
Compara los demás valores y describe qué sucede:
Ejemplo: En el diagrama siguiente aparecen marcados los resultados favorables
al evento: “que se obtenga 2 o 3 en alguno de los datos”, del espacio muestral
que corresponde al experimento de “ lanzar dos dados al aire”.
Si la probabilidad de que ocurra un evento es mayor que cero (probabilidad de un evento nulo) y menor que 1 (probabilidad de un evento seguro) se dice que es un evento aleatorio a un caso especial de un experimento o acción efectuada, como lanzar una moneda, un dado, sacar una carta, tirar un dardo a la ruleta, etc.
En cambio, a un experimento no aleatorio se le denomina experimento determinístico
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¿Cuántos resultados posibles tiene el evento: que se obtenga 2 o 3 en alguno de los datos?
¿Qué fracción representa este conjunto del total de resultados posibles del experimento de lanzar dos dados al aire?
El propósito de la pregunta es que los alumnos identifiquen el evento que tiene mayor probabilidad clásica (o teórica) de ocurrir. Al lanzar los dados hay 36 resultados posibles, que corresponde al espacio muestral del experimento de lanzar dos dados; cada uno con la misma probabilidad de ocurrir. Es posible que, cuando se considera la suma de los números que se obtienen, los alumnos determinen que hay 11 resultados posibles: 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11 y 12; sin embargo, no todos tienen la misma probabilidad de ocurrir (para la suma 7 hay 6 formas de obtenerla y la suma 2 se obtiene de una sola forma: cuando cae 1 en ambos dados.). Pida a estos alumnos que le comenten sobre los resultados posibles hasta completar el espacio muestral del evento: que sume 2 o 3. Puede ser que estén considerando por separado el número de resultados en el que se obtiene 2 y en el que cae 3; es decir, que supongan que en el primer dado hay 6 formas de obtener 2 y 6 cuando cae 3, y que consideren la misma cantidad de resultados para el segundo dado. La conclusión errónea sería entonces que existen 24 resultados favorables. Pídales que cuenten los resultados favorables que se señalan en la retroalimentación, resalte que (3,2) y (3,3) se consideran solamente una vez.
Aunque en la primaria los alumnos ya han resuelto ejercicios semejantes, es posible que algunos tengan dificultades para abordarlos, si esto ocurre, hay que promover una discusión para recordar que la probabilidad de obtener un resultado puede expresarse con la razón del número de casos favorables entre el número total de resultados posibles.
Algunos problemas un poco más complejos podrían ser los siguientes: Al realizar el experimento de lanzar simultáneamente dos dados y sumar los puntos
obtenidos: ¿Cuál es el espacio muestral de obtener 2 puntos? ¿Cuál es el espacio muestral de obtener 10 puntos? ¿De cuántas maneras posibles se puede obtener un número mayor que 3 y menor
que 6? ¿Qué es más probable, que se obtenga un número par o uno impar? ¿Por qué? ¿Qué es más probable, que se obtenga un número múltiplo de 2, un número
múltiplo de 3 o un múltiplo de 4? ¿Por qué?
Experimento: Lanzas dos monedas al mismo tiempo y observas las caras que caen. Obtener el espacio muestral Evento R: "En la primera moneda cae sol". ¿Cuántos resultados posibles hay? Evento S: "En la segunda moneda cae sol". ¿Cuántos resultados posibles hay?
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Se tiene un disco giratorio dividido en 10 sectores circulares iguales, tres de los cuales están marcados con 1, dos con 2 y cinco con 3.
¿Cuál es la probabilidad de que el dardo se clave en un sector marcado con 1? ¿Cuál es la probabilidad de que el dardo se clave en un sector marcado con 2? ¿Cuál es la probabilidad de que el dardo se clave en un sector marcado con un
número diferente a 1? ¿Qué es más probable, que el dardo se clave en un sector marcado con 1 o en uno
marcado con 3?
Al realizar el experimento de lanzar simultáneamente dos dados y sumar los puntos obtenidos:
¿Cuál es la probabilidad de obtener 2 puntos? ¿Cuál es la probabilidad de obtener 10 puntos? ¿Cuál es la probabilidad de obtener un número mayor que 3 y menor que 6? ¿Qué es más probable, que se obtenga un número par o uno impar? ¿Por qué? ¿Qué es más probable, que se obtenga un número múltiplo de 2, un número
múltiplo de 3 o un múltiplo de 4? ¿Por qué?
Al realizar el experimento de lanzar un dado:
a) ¿Cuál es el espacio muestral?
b) ¿Cuál es la probabilidad de obtener un número mayor que 10? ¿Por qué?
c) ¿Cuál es la probabilidad de obtener un número menor que 7? ¿Por qué?
La intención de las preguntas es que los alumnos descubran que la escala para calcular la probabilidad clásica va desde 0, es decir desde que el evento es imposible que ocurra, hasta el 1 cuando es seguro que el evento suceda. Algunas preguntas adicionales que permiten este análisis son las siguientes:
¿Se podría dar el caso en que el número de resultados favorables sea mayor que el número de resultados posibles?
¿Cuál es el mayor valor que puede tener la medida de la probabilidad? ¿Y el menor?
¿Qué significa que un fenómeno tiene probabilidad cero de ocurrir?
¿Qué significa que un fenómeno tiene probabilidad uno de ocurrir?
La clave para que el alumno adquiera un aprendizaje significativo tiene que ver con las preguntas que hagamos al respecto del objeto de estudio y la reafirmación del conocimiento adquirido.
Cuando se ha terminado el análisis de las preguntas puede pedírseles que intenten representar las probabilidades encontradas con otras expresiones equivalentes. Concluir que la probabilidad puede expresarse con una fracción, con un decimal o con un porcentaje. Así la respuesta a la pregunta c) es ½, 0.5 o 50%.
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Predicción Conocimientos y habilidades: Reconocer las condiciones necesarias para que un juego de azar sea justo, con base en la noción de resultados equiprobables y no equiprobables.
Al lanzar dos dados, ¿cuál de los siguientes eventos tiene mayor probabilidad de ocurrir? a) Que la suma de los números que salgan sea par b) Que se obtenga dos o tres en alguno de los dados c) Que la suma de los números que salgan sea menor o igual a 7 d) Que la suma de los números que salgan sea impar
Es recomendable que se propicie el análisis de las predicciones y compararlas con los resultados del juego; de ser posible aclarar las confusiones a partir del espacio muestral del experimento “lanzar dos dados y sumar los puntos que salgan”; así mismo elaborar el diagrama de árbol o arreglo cartesiano que muestre todas las posibles soluciones y contrastarlas con los resultados reales al lanzar varias veces dos dados; entendiendo por “salir”, las caras que quedan hacia arriba en cada dado.
a) Que la suma de los números que salgan sea par
b) Que se obtenga dos o tres en alguno de los dados
c) Que la suma de los números que salgan sea menor o igual a 7 d) Que la suma de los números que salgan sea impar
Es recomendable que se propicie el análisis de las predicciones y compararlas con los resultados del juego; de ser posible aclarar las confusiones a partir del espacio muestral del experimento “ la suma de las caras superiores al lanzar dos monedas al aire”, que se puede representar mediante un diagrama de árbol o arreglo rectangular.
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La probabilidad clásica de un evento E, que denotaremos por P(E), se define como el número de eventos elementales que componen al evento E, entre el número de eventos elementales que componen el espacio muestral:
Es la definición más utilizada porque supone de antemano, y se necesita como requisito indispensable, que todos los eventos elementales tienen la misma probabilidad de ocurrir.
Eventos independientes o mutuamente excluyentes Conocimientos y habilidades: Distinguir en diversas situaciones de azar eventos que son independientes. Determinar la forma en que se puede calcular la probabilidad de ocurrencia de dos o más eventos independientes.
Determinar el espacio muestral que resulta al hacer el experimento de lanzar dos dados y contesten las siguientes preguntas:
a) ¿Cuál es la probabilidad de que los dos dados caigan en número par? b) ¿Cuál es la probabilidad de que en ambas caras aparezca el mismo número? c) ¿Cuál es la probabilidad de que la suma de sus caras sea 10? d) ¿Cuál es la probabilidad de que la suma de sus caras sea un 10 o un 6? e) ¿Cuál es la probabilidad de que la suma de sus caras sea 10 y en ambas aparezca el
mismo número?
La idea fundamental de esta actividad es retomar elementos básicos de la probabilidad mediante diversos cálculos.
Un arreglo rectangular o un diagrama de árbol son recursos que, si no surgen espontáneamente de los alumnos, pueden sugerirse para determinar el espacio muestral del experimento. Si se considera pertinente puede darse incompleta una de estas herramientas para que los estudiantes la terminen, por ejemplo el arreglo rectangular siguiente:
1 2 3 4 5 6
1 (1,1)
2 (2,5)
3 (3,4)
4 (4,3)
5 (5,2)
6 (6,6)
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NOTA: Es importante que los alumnos se percaten que en los eventos d y e se están utilizando conectivos y que para el caso del primero (o) significa que se trata de la probabilidad de que ocurra cualquiera de dos eventos, mientras que el conectivo y implica que deben ocurrir ambos eventos a la vez.
Si se presentan las diferentes formas de expresar la probabilidad (fracción, decimal o %), aprovechar para analizar sus equivalencias y conversiones.
Situación 1. Representa en forma decimal las siguientes situaciones a) Calcular la probabilidad de obtener 1 y águila al lanzar un dado y una moneda. b) Calcular la probabilidad de obtener 1 al lanzar el dado, sabiendo que ya salió águila al
lanzar la moneda.
Situación 2. Representa en % la probabilidad de cada evento siguiente a) ¿Cuál es la probabilidad de obtener un número par y menor que 4 al lanzar un dado? b) Sabiendo que ya salió par, ¿cuál es ahora la probabilidad que sea menor que 4?
Igual que en la actividad anterior, las probabilidades pedidas pueden obtenerse a partir de la determinación del espacio muestral correspondiente. La atención de estas consignas se centra en identificar la dependencia o independencia de los eventos que se presentan en cada situación: en la primera se trata de eventos independientes, el resultado de uno no tiene efecto en el resultado del otro, la probabilidad de obtener 1 al lanzar el dado no depende del resultado de lanzar la moneda, siempre es 1/6, aún sabiendo que la moneda ya cayó en águila. En cambio en la segunda situación se trata de eventos dependientes, la probabilidad de que el número sea menor que 4 es ½ (1, 2 y 3), pero si se sabe que ya salió par, el espacio muestra se reduce a (2, 4 y 6), de los cuales uno (el 2) es menor que 4, por lo tanto la probabilidad es 2/6 =1/3.
Es conveniente que se analicen otras situaciones que incluyan eventos independientes, algunos ejemplos son:
1. Se lanzan cinco volados consecutivos y en todos ellos ha caído sol. ¿Cuál es la probabilidad de que en el sexto volado también caiga sol?
2. Se va a realizar una rifa con 200 boletos que han sido numerados del 1 al 200. Todos los boletos se han vendido. El boleto ganador será el primero que se saque de una urna. Ana compró los boletos 81, 82, 83 y 84. Juan adquirió los boletos 30, 60, 90 y 120. ¿Quién tiene más oportunidades de ganar?
En ocasiones un evento o más eventos dependen de otro evento previo, es decir, un evento A ocurre dado que ocurrió un evento B. Si existe este tipo de relación entre eventos se dice que son eventos dependientes o condicionados (A/B) (el evento A depende del evento B, o el resultado del evento A está condicionado al resultado del evento B).
Por otro lado, si no existe tal relación entre eventos se dice que son eventos independientes o mutuamente excluyentes.
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3. La mamá de Enrique y la Tía de Ana están embarazadas y próximamente darán a luz a sus bebés. ¿Qué probabilidad hay de que las dos tengan un hijo varón?
4. Se lanzan simultáneamente un dado y una moneda. ¿Cuál es la probabilidad de que caiga sol y el número 4?
Es muy probable que los alumnos obtengan por separado las probabilidades de cada evento en cada problema, para el primero ½ y ½ y para el segundo 1/6 y ½; sin embargo el asunto es averiguar cómo se relacionan estas medidas para obtener la probabilidad de que ocurran, en cada caso, los dos eventos a la vez, para el primero ¼ y para el segundo 1/12. Un arreglo rectangular o un diagrama de árbol permiten visualizar el espacio muestral y los casos favorables de cada situación. Otros problemas que permitirán aplicar la regla encontrada son los siguientes: Variantes del problema 2.
- ¿Cuál es la probabilidad de que caiga águila y 2? - ¿Cuál es la probabilidad de que caiga sol y 6? - ¿Cuál es la probabilidad de que caiga águila y un número mayor que 4?
Pedro y Mario van a extraer sin mirar una canica de una caja que contiene dos amarillas, una verde y tres rojas. Si después de cada extracción se regresa la canica a la caja, ¿cuál es la probabilidad de que Mario tome una canica roja y Pedro una amarilla? Características de los eventos mutuamente excluyentes CONOCIMIENTOS Y HABILIDADES: Distinguir en diversas situaciones de azar eventos que son mutuamente excluyentes. Determinar la forma en que se puede calcular la probabilidad de ocurrencia. APRENDIZAJE ESPERADO:
Las siguientes figuras representan un tetraedro (poliedro regular de cuatro caras) y una ruleta. En forma individual resuelve los problemas que se plantean y comenta tus resultados con tres de tus compañeros más cercanos.
1.- Al girar la ruleta, ¿qué probabilidad existe de que la ruleta se detenga en... a) el número 5? b) un número menor que 4? c) un múltiplo de 2? d) un número impar?
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2.- Si se lanza el tetraedro, ¿cuál es la probabilidad de que la cara que quede sobre la superficie plana, sea…
a) color rojo? b) verde o rojo? c) verde o blanco o rojo?
Es conveniente plantear primero el problema uno y hacer una puesta en común para analizar los resultados de los cuatro incisos. Debe quedar claro que el espacio muestra en el experimento de la ruleta es el conjunto {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8} y que a cada elemento le corresponde una probabilidad de 1/8. Con base en esto se podrán contestar las cuatro preguntas. Si los alumnos preguntan cuáles son los múltiplos de dos hay que decirles que son todos los resultados de la tabla del dos.
En el segundo problema también conviene destacar el espacio muestra y enfatizar el hecho de que en los incisos b y c, se trata de eventos compuestos y que los conectivos “o” indican que se trata de la probabilidad de que suceda cualquiera de los dos o de los tres eventos, a diferencia del conectivo “y”, que se refiere a la probabilidad de que sucedan dos o más eventos a la vez. Por lo tanto, la probabilidad en el inciso b) es ¼ + ¼, mientras que en c) es ¼ + ¼ + ¼.
El experimento consiste ahora en girar la ruleta y observar en qué número se detiene. Con base en esto contesten las siguientes preguntas:
a) ¿Cuál es la probabilidad de que la ruleta se detenga en un número par? b) ¿Cuál es la probabilidad de que la ruleta se detenga en un número impar? c) ¿Pueden ocurrir al mismo tiempo los eventos a) y b)?, ¿porqué? d) ¿Cuál es la probabilidad de que la ruleta se detenga en un número par o un
número impar? d) ¿Cuál es la probabilidad de que la ruleta se detenga en un número par o
múltiplo de tres? e) ¿Cuál es la probabilidad de que la ruleta se detenga en un número par y
múltiplo de tres?
(Se hace referencia al tetraedro y ruleta nuevamente).
Se lanza el tetraedro y se hace girar la ruleta simultáneamente, ¿qué probabilidad hay de que la ruleta se detenga en el número 4 y el tetraedro caiga sobre su color verde?
En la primera consigna es importante discutir y confrontar las respuestas de los incisos d y f, estableciendo en primer lugar la diferencia entre los conectivos “o” e “ y”. Mientras que el conectivo o implica que suceda cualquiera de los dos eventos o ambos, el conectivo y implica
Si dos eventos son independientes o mutuamente excluyentes, es decir que no ocurren simultáneamente, entonces la frecuencia relativa de su unión es la suma de las frecuencias relativas de cada uno.
Propiedad 1. Si A y B son dos eventos, la probabilidad de que ocurra A o B es igual a la suma de las probabilidades de ocurrencia de A y de B, menos la probabilidad de que ocurran A y B simultáneamente. Es decir,
P(AUB) = P(A) + P(B) - P(AΠB)
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la ocurrencia de los dos eventos a la vez. En este caso el único número que cumple con las dos condiciones (ser número par y a la vez múltiplo de tres) es el seis, por lo tanto el resultado en el inciso e es 1/8.
El problema de la segunda consigna resultará un poco más difícil para los alumnos porque el evento compuesto (cuatro y color verde) proviene de dos experimentos distintos y hay que saber cómo relacionar la probabilidad particular de cada evento: P {caer 4} = 1/8; P {color verde} = ¼. Es probable que algunos alumnos sumen estos valores y obtendrán 3/8. En tal caso se puede cuestionar: ¿Consideran que la probabilidad de que ocurran dos sucesos a la vez puede ser mayor que la probabilidad de que ocurra sólo uno de esos sucesos? Si los alumnos caen en cuenta de que no puede ser, hay que explicarles que el resultado es el producto de las probabilidades particulares.
Más situaciones. 1. Si se tienen los eventos:
A. Que la ruleta se detenga en un número menor que cuatro. B. Que se detenga en un número múltiplo de cuatro.
a) ¿Cuál es la probabilidad del evento A? p(A) = ___________
b) ¿Cuál es la probabilidad del evento B? p(B) = ___________
c) ¿Qué significa que ocurra A o B? ___________________________________
d) ¿Qué significa que ocurra A o B? ___________________________________
e) ¿Cuál es la probabilidad de que ocurra A o B? p(A o B) = ______________
f) ¿Cuál es la probabilidad de que ocurra A y B? p( A y B)= ________________
Expliquen su respuesta en cada caso.
2. Ahora se tienen los eventos siguientes: C. Que la ruleta se detenga en un número mayor que cuatro. D. Que la ruleta se detenga en un múltiplo de cuatro.
Dos eventos A y B son dependientes si y sólo si la Probabilidad del evento A dado que ocurra B es igual a la probabilidad de A; o bien, La probabilidad de B dado que ocurra A es igual a la Probabilidad B. o lo que es lo mismo:
P(A|B) = P(A) y P(B|A) = P(B)
Por lo tanto la probabilidad de que ocurra A y B es el producto de las probabilidades de ambos eventos
P(A B) = P(A) · P(B)
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a) Obtengan: p(C) = __________ p(D) = ____________
b) ¿Cuál es la probabilidad de que ocurra C o D? P(C o D) = ____________
3. Comparen los resultados de d) del ejercicio 1 y de b) del ejercicio 2 y comenten las formas de obtenerlos.
¿Existe alguna diferencia en estos eventos? ¿Cuál?
Es conveniente que siempre que los alumnos calculen la probabilidad de un evento compuesto obtengan primero el espacio muestra y la probabilidad particular de cada evento, esto les permitirá apreciar si hay elementos comunes o si no los hay. Si no los hay ya saben que el resultado es la suma de las probabilidades particulares, si los hay, es probable que por sí solos concluyan que no se puede contar dos veces el mismo elemento del espacio muestra.
Simulación
Conocimientos y habilidades: Utilizar la simulación para resolver situaciones probabilísticas.
Analizar los siguientes experimentos, realizarlos y registrar sus resultados: a) Lanzar 30 veces un dardo a una ruleta dividida en 10 sectores circulares iguales y
numerados del 1 al 10. b) Hacer girar una perinola hexagonal (comúnmente llamada toma todo), 80 veces. c) El lanzamiento de un dado 50 veces.
Es muy probable que los alumnos no entiendan en qué consiste simular los experimentos, en tal caso el profesor podrá intervenir para dar una idea al respecto, “simular consiste en explorar el comportamiento de una experiencia aleatoria observando otra experiencia equivalente, pero más fácil de realizar o de estudiar”.
Ante la dificultad de tener en el momento una ruleta y un dardo, si a los alumnos no se les ocurre como simular este experimento, se les puede sugerir meter en una bolsa o caja 10 papeles numerados del 1 al 10, extraer uno, registrar el resultado y devolverlo a la bolsa; realizar 29 extracciones idénticas.
El experimento de la perinola puede simularse de manera semejante al de la ruleta, únicamente que ahora serían 6 papeles y en cada uno se escribe uno de los seis posibles resultados (toma uno, toma dos, toma todo, pon uno, pon dos y todos ponen), no olvidar después de cada extracción, regresar el papel a la caja o bolsa.
Para registrar los resultados de cada experimento puede utilizarse una tabla, como por ejemplo, para el caso de la perinola:
Un agente comercial sabe que cada vez que visita un cliente tiene 20% de probabilidad de hacer dos ventas, 50% de probabilidad de hacer sólo una y 30% de no vender nada. Un día
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tiene cita con cinco clientes. ¿Cuánto puede esperar ganar ese día si por cada venta que realiza gana $200.00?
Dado que en la consigna se sugiere la simulación del problema, la dificultad radica en buscar algún material manipulable que se adapte a las condiciones del problema. Una estrategia de simulación consiste en colocar en una caja o bolsa dos canicas azules, cinco blancas y tres rojas. Posteriormente, extraer una a una y al azar cinco canicas (los cinco clientes), devolviendo cada vez la canica antes de extraer la siguiente (el profesor puede preguntar a los alumnos por qué es necesario devolver las canicas).
Si sale canica azul, el agente hizo dos ventas y ganó $400.00
Si sale blanca, sólo hizo una venta y ganó $200.00
Si sale roja, no hizo ninguna venta y no ganó.
Una vez que cada equipo obtiene una respuesta, conviene registrarlas en el pizarrón y ver si alguna se repite más veces. Ésta sería la mejor estimación hecha en el grupo. Es importante agregar, que si el experimento se repitiera muchas más veces, se llegaría a estimar con mayor exactitud la cantidad que el agente puede ganar ese día.
Evaluación de los aprendizajes
Problemas de Probabilidad. 1. María y Laura idean el siguiente juego: cada una lanza un dado, si en los dos dados
sale el mismo número, gana Laura; si la suma de ambos es 7 gana María; y en cualquier otro caso hay empate.
a) Calcular la probabilidad de que Laura gane el juego b) Calcular la probabilidad de que gane María c) Que probabilidad es mayor; ¿Qué gane cualquiera de las dos o que
empaten? 2. Dos parejas de novios deciden ir al cine. Si se sientan al azar en cuatro butacas
contiguas, ¿cuál es la probabilidad de cada uno esté al lado de su pareja? 3. Una urna A contiene 5 bolas blancas y 4 negras; y otra urna B contiene 1 blanca y 2
negras. Se extrae una bola al azar de la urna A y se introduce en la B. Después se extrae de la urna B una bola al azar.
a) Calcular la probabilidad de que la bola extraída de la urna B sea blanca. b) Supongamos que la bola extraída de la urna A sea blanca, calcular la
probabilidad de que la extraída de la urna B también sea blanca.
Eventos independientes 1. Los siguientes pares de eventos son independientes, a excepción de uno de ellos.
Identifica cuál es el par de eventos que no son independientes
a) Experimento: Lanzas dos monedas al mismo tiempo y observas las caras que caen. Evento R: "En la primera moneda cae sol". Evento S: "En la segunda moneda cae sol".
b) Experimento: De una bolsa con 5 canicas, en la que 3 son verdes y 2 rojas,
sacas primero una canica, anotas su color, la regresas y sacas otra canica. Evento R: "En la primera extracción la canica es roja".
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Evento V: "En la segunda extracción la canica es verde".
c) Experimento: Lanzas dos veces una moneda y observas la sucesión de caras obtenidas. Evento S: "En el primer lanzamiento cae sol". Evento A: "En el segundo lanzamiento cae águila".
d) Experimento: De una bolsa con 5 canicas, en la que 3 son verdes y 2 rojas, sacas primero una canica, no la regresas a la bolsa y sacas otra canica. Evento R: "En la primera extracción, la canica es roja". Evento V: "En la segunda extracción, la canica es verde".
2. De una bolsa con 5 canicas, en la que 3 son verdes y 2 rojas, sacas primero una canica, anotas su color, la regresas y sacas otra canica. ¿Cuál es la probabilidad de que en la primera extracción la canica sea roja y en la segunda, verde?
3. ¿Cuál de los pares de eventos que se definen a continuación son mutuamente
excluyentes?
a) Experimento: Lanzar un dado y observar el número que cae en la cara superior. Evento S: “Cae un número mayor que 4”. Evento T: “Cae un número impar”. b) Experimento: Lanzar un dado y observar el número que cae en la cara superior.
Evento S: “Cae un número mayor que 5 ”. Evento T: “Cae un número impar”.
c) Experimento: Lanzar un dado y observar el número que cae en la cara superior. Evento S: “Cae un número mayor que 4” Evento T: “Cae 6”.
d) Experimento: Extraer al azar una canica de una bolsa que contiene canicas grandes y chicas en color azul y blanco.
Evento J: “la canica que se extrae es blanca”.
Evento K: “la canica que se extrae es chica”. 4. Dados dos sucesos aleatorios A y B, se sabe que:
(Bc indica complemento del suceso B) a) ¿Son los sucesos A y B independientes? Argumenta tu respuesta
b) Calcular )( BAP
5. En la Urna1 hay 4 bolas blancas, numeradas del 1 al 4 y 2 bola negras, numeradas del 1 al 2; mientras que en la Urna2 hay 2 bolas blancas numeradas del 1 al 2 y 4 bolas negras numeradas del 1 al 4. Se extraen al azar dos bolas de cada urna. Hallar: (a) La probabilidad de que tengan el mismo número (b) La probabilidad de que sean del mismo color
6. La probabilidad de que cierto equipo de futbol gane un partido es 0.4 y la de que pierda es 0.3 ¿Cuál es la probabilidad de que empate?
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7. La probabilidad de que un estudiante universitario termine su carrera en los años
establecidos por el plan de estudios es de 5
3 y la de que su hermana finalice la suya
sin perder ningún año es de 3
2. Hallar la probabilidad de:
a) Ambos terminen sus estudios en los años establecidos b) Solo el varón los termine en los años fijados c) Al menos uno de los dos termine en los tiempos establecidos
8. Una urna contiene 3 canicas, una azul (a), una blanca (b) y otra café (c). Después de revolver las canicas, se extrae una al azar, se anota su color y se regresa a la urna. El experimento anterior se repitió 20 veces y se obtuvieron los siguientes resultados:
b) ¿Cuál crees que será el color de la canica que se extraiga la próxima vez y por
qué? 9. Al lanzar dos dados; ¿Cuál de los siguientes eventos tiene mayor probabilidad de
ocurrir? a) “Que la suma de los números que salgan sea par” b) “Que se obtenga 2 o 3 en alguno de los lados” c) “Que la suma de los números que salgan sea menor o igual a 7” d) “Que el producto de los números que salga sea par”
10. Los siguientes pares de eventos son independientes, a excepción de uno de ellos. Identifica cuál es el par de eventos que no es independiente. a) Experimento: Lanzas dos monedas al mismo tiempo y observas las caras que caen
Evento R: “En la primera moneda cae sol” Evento S: “En la segunda moneda cae sol”
b) Experimento: De una bolsa con 5 canicas, en la que 3 son verdes y 2 son rojas, sacas primero una canica , anotas su color , la regresas y sacas otra canica. Evento R: “En la primera extracción la canica es roja” Evento V: “En la segunda extracción la canica es verde”
c) Experimento: lanzas dos veces una moneda y observas la sucesión de caras obtenidas. Evento S: “En el primer lanzamiento cae sol” Evento R: “En el segundo lanzamiento cae águila”
d) Experimento: De una bolsa con 5 canicas, en la que 3 son verdes y 2 son rojas, sacas primero una canica , no la regresas y sacas otra canica. Evento R: “En la primera extracción la canica es roja” Evento V: “En la segunda extracción la canica es verde”
11. De una bolsa con 5 canicas, en la que 3 son verdes y 2 son rojas, sacas primero una canica , anotas su color , la regresas y sacas otra canica. ¿Cuál es la probabilidad de que en la primera extracción la canica sea roja y en la segunda sea verde?
12. ¿Cuál de los pares de eventos que se presentan a continuación son mutuamente excluyentes? a) Experimento: Lanzar un dado y observar el número que cae en la cara superior
Evento P: “Cae un número mayor que 4” Evento Q: “Cae un número impar”
b) Experimento: Extraer una canica al azar de una bolsa, en la que 3 son verdes y 2 son rojas Evento R: “Extraer la canica roja” Evento V: “Extraer la canica verde”
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c) Experimento: Lanzar un dado y observar el número que cae en la cara superior
Evento S: “Cae un número mayor que 4” Evento T: “Cae seis”
d) Extraer al azar una canica de una bolsa que contiene canicas grandes y chicas de color azul y blanco Evento C: “La canica que se extrae es blanca” Evento D: “La canica que se extrae es chica”
13. Considera el experimento y los eventos que se definen: Evento S: “Cae un número menor que 4” Evento T: “Cae un número mayor que 4” ¿Cuál es la probabilidad de que el numero de la cara que cae hacia arriba sea menor que 4 o sea mayor que 4?
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del Logro Académico en Centros Escolares
http://www.emathematics.net/es/ Recursos educativos, ejercicios de
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estadística
www.ditutor.com/numeros_naturales/jerarquia_operaciones.html Diccionario de Matemáticas
www.disfrutalasmatematicas.com/algebra/exponentes-leyes.html Sitio para disfrutar las Matemáticas
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Observaciones y Sugerencias