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José Ignacio Ronda - SSR - UPM Comunicaciones Digitales 1

Comunicaciones Digitales

José Ignacio Ronda PrietoGTI, SSR, ETSIT, UPM

http://www.gti.ssr.upm.es/˜jir/[email protected]

http://www.gti.ssr.upm.es

● title1

Introducción

● Sistema de transmisión digital

● Detección de señales


● Estimación bayesiana con

observación continua● Regiones de decisión

Ruido gaussiano

El receptor óptimo

Modulación DBLC


Sistema de transmisión digital

Fuente Moduladorde canal

Moduladordigital

Presentacion Demoduladorde canal

Demoduladordigital

Receptor

Portadora fc

{mi}v(t) =

∑

n sI(n)(t− nT )

Transmisor

Canal

n(t)

r(t){m′

i}


● title1

Introducción






Ruido gaussiano

El receptor óptimo

Modulación DBLC


Detección de señales

si(t)

n(t)

r(t)


● title1

Introducción






Ruido gaussiano

El receptor óptimo

Modulación DBLC



si(t)

n(t)

r(t)

Información a priori:■ Conjunto de señales transmitidas {si}■ Probabilidades Pi = P [si].■ Caracterización probabilística del ruido n(t)


● title1

Introducción






Ruido gaussiano

El receptor óptimo

Modulación DBLC



si(t)

n(t)

r(t)

Información a priori:■ Conjunto de señales transmitidas {si}■ Probabilidades Pi = P [si].■ Caracterización probabilística del ruido n(t)

Problema de estimación:■ Incógnita: si■ Observación: r


● title1

Introducción






Ruido gaussiano

El receptor óptimo

Modulación DBLC



Problemas parecidos aparecen con frecuencia


● title1

Introducción






Ruido gaussiano

El receptor óptimo

Modulación DBLC


Estimación bayesiana con observación continua

Suponemos que nuestra observación es una VA continuamultidimensional X = (X1, ..., XL) caracterizada por lasfunciones de densidad de probabilidad condicionadas

fX(x1, ..., xL|I = ai).

Intentamos hallar una función g que asigne a cada valor de x

un valor de I de forma que se minimice la probabilidad de error

PE = P [I 6= g(X)]


● title1

Introducción






Ruido gaussiano

El receptor óptimo

Modulación DBLC


Estimación bayesiana con observación continua

La función g que maximice P [I = g(x)|X = x] en cada punto x

nos dará la probabilidad de error mínima. Esta función lapodemos definir como

g∗(x) = arg maxai

P [I = ai|X = x]

= arg maxai

f(x|I = ai)P [I = ai]/f(x)

= arg maxai

f(x|I = ai)P [I = ai].


● title1

Introducción






Ruido gaussiano

El receptor óptimo

Modulación DBLC


Regiones de decisión

Podemos especificar g en términos de sus regiones dedecisión:

Ri = {x ∈ RL|g(x) = ai}

La probabilidad de error asociada a g queda

PE =M∑

i=1

PE|I=aiP [I = ai]

=

M∑

i=1

P [g(X) /∈ Ri]P [I = ai]


● title1

Introducción

Ruido gaussiano

● El misterioso ruido blanco

● Procesos estacionarios

gaussianos● Procesos estacionarios

gaussianos● Inciso: VAs gausianas


gaussianos

● Teorema de filtrado

● El ruido blanco gaussiano, por

fin

El receptor óptimo

Modulación DBLC


El misterioso ruido blanco

Si n(t) es ruido blanco gaussiano con densidad espectral depotencia bilateral (depb) N0/2,■ ¿Cuánto vale E[n2(t)]?■ ¿Cuál es la probabilidad de que 0 < n(t) < 1?


● title1

Introducción

Ruido gaussiano






gaussianos



fin

El receptor óptimo

Modulación DBLC


El misterioso ruido blanco

Si n(t) es ruido blanco gaussiano con densidad espectral depotencia bilateral (depb) N0/2,■ ¿Cuánto vale E[n2(t)]?■ ¿Cuál es la probabilidad de que 0 < n(t) < 1?

Si x(t) = n(t) ∗ h(t),■ ¿Cuánto vale E[x2(t)]?■ Si x(0) = x0, ¿qué sé sobre x(1)?


● title1

Introducción

Ruido gaussiano






gaussianos



fin

El receptor óptimo

Modulación DBLC


Procesos estacionarios gaussianos

Conocer un proceso x(t) es conocer, dados unos instantest1, . . . tn, la fdp

f(x1, . . . , xn), xi = x(ti).


● title1

Introducción

Ruido gaussiano






gaussianos



fin

El receptor óptimo

Modulación DBLC



Conocer un proceso x(t) es conocer, dados unos instantest1, . . . tn, la fdp

f(x1, . . . , xn), xi = x(ti).

El estudio físico del ruido blanco y del ruido blanco filtradoindica que se trata de un proceso estacionario gaussiano demedia nula (PEGMN). ¿Qué significa esto?


● title1

Introducción

Ruido gaussiano






gaussianos



fin

El receptor óptimo

Modulación DBLC



Un proceso x(t) estacionario cuando f(x1, . . . , xn) es lamisma para xi = x(ti) y para xi = x(ti + ∆t).


● title1

Introducción

Ruido gaussiano






gaussianos



fin

El receptor óptimo

Modulación DBLC



Un proceso x(t) estacionario cuando f(x1, . . . , xn) es lamisma para xi = x(ti) y para xi = x(ti + ∆t).

Es gaussiano de media nula cuando el vector aleatoriox = (x1, . . . , xn) es gaussiano de media nula.


● title1

Introducción

Ruido gaussiano






gaussianos



fin

El receptor óptimo

Modulación DBLC


Inciso: VAs gausianas

Una VA gaussiana X ∼ N(µ,Σ) con vector de medias µ ymatriz de varianzas-covarianzas Σ es la que tiene fdp

f(x) =1

(2π)n/2|Σ|1/2 exp−1

2(x− µ)>Σ−1(x− µ),

x = (x1, . . . , xn)>

µ = (µ1, . . . , µn)>, µi = E[xi]

Σ = (σ2ij), σ

2ij = E[(xi − µi)(xj − µj)]


● title1

Introducción

Ruido gaussiano






gaussianos



fin

El receptor óptimo

Modulación DBLC



Una VA gaussiana X ∼ N(µ,Σ) con vector de medias µ ymatriz de varianzas-covarianzas Σ es la que tiene fdp

f(x) =1

(2π)n/2|Σ|1/2 exp−1

2(x− µ)>Σ−1(x− µ),

x = (x1, . . . , xn)>

µ = (µ1, . . . , µn)>, µi = E[xi]

Σ = (σ2ij), σ

2ij = E[(xi − µi)(xj − µj)]

Si X ∼ N(µ,Σ) e Y = αX + a, a cte., entoncesY ∼ N(α2

Σ, αµ + a).


● title1

Introducción

Ruido gaussiano






gaussianos



fin

El receptor óptimo

Modulación DBLC



Un caso particular importante: Σ = σ2I:

(x − µ)>Σ−1(x − µ) =

1

σ2‖x − µ‖2


● title1

Introducción

Ruido gaussiano






gaussianos



fin

El receptor óptimo

Modulación DBLC



Un caso particular importante: Σ = σ2I:

(x − µ)>Σ−1(x − µ) =

1

σ2‖x − µ‖2

f(x) =1

(2π)n/2σnexp−‖x − µ‖2

2σ2

=n∏

i=1

1√2πσ

exp− (xi − µi)2

2σ2

Es el caso de componentes independientes con la mismavarianza.


● title1

Introducción

Ruido gaussiano






gaussianos



fin

El receptor óptimo

Modulación DBLC



Definimos la función de autocorrelación de un procesoestacionario x(t) como

Rx(τ) = E[x(t)x(t+ τ)].


● title1

Introducción

Ruido gaussiano






gaussianos



fin

El receptor óptimo

Modulación DBLC



Definimos la función de autocorrelación de un procesoestacionario x(t) como

Rx(τ) = E[x(t)x(t+ τ)].

Esta función nos proporciona todos los datos que necesitamospara escribir las fdp de muestras de un PEGMN:

E[xixj ] = E[x(ti)x(tj)] = Rx(tj − ti).


● title1

Introducción

Ruido gaussiano






gaussianos



fin

El receptor óptimo

Modulación DBLC


Teorema de filtrado

Si x(t) es un PEGMN e y(t) = x(t) ∗ h(t), entonces y(t) estambién un PEGMN y

Ry(τ) = Rx(τ) ∗ h(τ) ∗ h(−τ).


● title1

Introducción

Ruido gaussiano






gaussianos



fin

El receptor óptimo

Modulación DBLC


Teorema de filtrado


Ry(τ) = Rx(τ) ∗ h(τ) ∗ h(−τ).

La TF de la función de autocorrelación se llama densidadespectral de potencia. En términos de estas funciones,

Sy(f) = Sx(f)H(f)H(−f) = Sx(f)H(f)H∗(f) = Sx(f)|H(f)|2.


● title1

Introducción

Ruido gaussiano






gaussianos



fin

El receptor óptimo

Modulación DBLC


Teorema de filtrado


Ry(τ) = Rx(τ) ∗ h(τ) ∗ h(−τ).

Si H(f) corresponde a un filtro paso banda ideal de ancho debanda (unilateral) ∆B,

E[y2(t)] = Ry(0) =

∫ ∞

−∞

Sy(f)df =

∫ ∞

−∞

Sx(f)|H(f)|2df

=

∫

Banda de pasoSx(f)df

Esta formula es la justificación del nombre densidad espectralde potencia para Sx(f).


● title1

Introducción

Ruido gaussiano






gaussianos



fin

El receptor óptimo

Modulación DBLC


El ruido blanco gaussiano, por fin

El ruido blanco gaussiano se define como un PEGMN n(t) con

Rn(τ) =N0

2δ(τ) ⇔ Sn(f) =

N0

2.

Por tanto E[n2(t)] = E[n(t)n(t+ 0)] = Rn(0) = ∞.⇒ De densidades de probabilidad ni hablamos.


● title1

Introducción

Ruido gaussiano






gaussianos



fin

El receptor óptimo

Modulación DBLC




Rn(τ) =N0

2δ(τ) ⇔ Sn(f) =

N0

2.


Si y(t) = n(t) ∗ h(t),

E[y2(t)] = Ry(0) =

∫ ∞

−∞

Sy(f)df =

∫ ∞

−∞

N0

2|H(f)|2df.


● title1

Introducción

Ruido gaussiano






gaussianos



fin

El receptor óptimo

Modulación DBLC




Rn(τ) =N0

2δ(τ) ⇔ Sn(f) =

N0

2.


Si y(t) = n(t) ∗ h(t),

E[y2(t)] = Ry(0) =

∫ ∞

−∞

Sy(f)df =

∫ ∞

−∞

N0

2|H(f)|2df.

Si h(t) corresponde a un filtro paso banda ideal de ancho debanda (unilateral) ∆B,

E[y2(t)] = Ry(0) = 2

∫ B+∆B

B

N0

2df = N0∆B.


● title1

Introducción

Ruido gaussiano

El receptor óptimo

● Espacio de señales de

energía finita● Producto escalar

● Definiciones relacionadas

● Sistemas ortonormales

● Proyección ortogonal

● Ortogonalización de

Gram-Schmidt● Representación vectorial del

ruido blanco● El receptor óptimo

● El receptor óptimo


● Implementación del receptor

óptimo

Modulación DBLC


Espacio de señales de energía finita

La energía de una señal (compleja de tiempo continuo) sedefine como

E [x] =

∫ ∞

−∞

|x(t)|2dt.

El espacio de las señales de energía finita es el espaciovectorial de las señales de energía finita considerando igualesdos señales si la energía de su diferencia es cero.


● title1

Introducción

Ruido gaussiano

El receptor óptimo












óptimo

Modulación DBLC


Producto escalar

En el espacio de las señales de energía finita definimos elproducto escalar (PE)

〈x, y〉 =

∫ ∞

−∞

x(t)y∗(t)dt.

que tiene las propiedades■ 〈x, y〉 = 〈y, x〉∗■ 〈x+ y, z〉 = 〈x, z〉 + 〈y, z〉, 〈x, y + z〉 = 〈x, y〉 + 〈x, z〉■ 〈αx, y〉 = α 〈x, y〉 , 〈x, αy〉 = α∗ 〈x, y〉■ 〈x, x〉 = 0 ⇔ x = 0

■ 〈x, y〉 = 〈X,Y 〉 (la TF preserva el PE)


● title1

Introducción

Ruido gaussiano

El receptor óptimo












óptimo

Modulación DBLC


Definiciones relacionadas

■ E [x] = 〈x, x〉■ Definimos la norma de una señal x como ‖x‖ =

√

E [x]

■ Definimos la distancia entre dos señales x e y comod(x, y) = ‖x− y‖.

■ Se dice que x e y son ortogonales (x ⊥ y) si 〈x, y〉 = 0.■ El subespacio ortogonal a un conjunto C de señales es el

subespacio C⊥ de las señales que son ortogonales a todaslas de C.


● title1

Introducción

Ruido gaussiano

El receptor óptimo












óptimo

Modulación DBLC


Sistemas ortonormales

■ Un sistema ortonormal es un conjunto de señales{ψi(t)}i=1,...,L unitarias y ortogonales entre sí, es decir,tales que 〈ψi, ψj〉 = δij .

■ Una señal x(t) del subespacio generado por el sistemaortonormal {ψi(t)}i=1,...,L se puede escribir como

x(t) =

L∑

k=1

〈x, ψk〉ψk(t).

■ Si x(t) = x1ψ1(t) + . . .+ xLψL(t) yy(t) = y1ψ1(t) + . . .+ yLψL(t), entonces

〈x, y〉 = x1y1 + · · · + xLyL.


● title1

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Ruido gaussiano

El receptor óptimo












óptimo

Modulación DBLC


Proyección ortogonal

La proyeccìón ortogonal de la señal x(t) sobre el subespacio Sgenerado por las {ψi(t)}i=1,...,L es la señal PSx de S definidapor cualquiera de las siguientes propiedades equivalentes:■ El error de proyección x− PSx es ortogonal a todo S.■ PS es la señal de S que minimiza ‖x− PSx‖.

■ PSx(t) =∑Lk=1 〈x, ψi〉ψi(t)


● title1

Introducción

Ruido gaussiano

El receptor óptimo












óptimo

Modulación DBLC


Ortogonalización de Gram-Schmidt

Este algoritmo proporciona, dado un conjunto finito de señales{si(t)}i=1,...,M , una base ortonormal {ψk}k=1,...,L delsubespacio que generan.Escribiremos Pψ1,...,ψr

para referirnos a la proyecciónortogonal sobre el subespacio generado por las señalesψ1, . . . , ψr.


● title1

Introducción

Ruido gaussiano

El receptor óptimo












óptimo

Modulación DBLC


Ortogonalización de Gram-Schmidt

Este algoritmo proporciona, dado un conjunto finito de señales{si(t)}i=1,...,M , una base ortonormal {ψk}k=1,...,L delsubespacio que generan.Escribiremos Pψ1,...,ψr

para referirnos a la proyecciónortogonal sobre el subespacio generado por las señalesψ1, . . . , ψr.■ Tomamos ψ1 =

s1‖s1‖

.

■ Calculamos ψ2 = s2 − Pψ1s2. Si ψ2 6= 0, definimos

ψ2 =ψ2

‖ψ2‖.

■ En general, si toca procesar sk y en la base tenemosψ1, . . . , ψr, calculamos ψr+1 = sk − Pψ1,...,ψr

sk y, si es

distinto de cero, definimos ψr+1 =ψr+1

‖ψr+1‖.


● title1

Introducción

Ruido gaussiano

El receptor óptimo












óptimo

Modulación DBLC


Representación vectorial del ruido blanco

Si n(t) es ruido blanco gaussiano con depb N0/2 y{ψi(t)}i=1,...,L un sistema ortonormal, el vector

n = (n1, . . . , nL), ni = 〈n, ψi〉

es una variable aleatoria gaussiana multidimensional de medianula de componentes independientes con varianza σ2 = N0/2.


● title1

Introducción

Ruido gaussiano

El receptor óptimo












óptimo

Modulación DBLC


Representación vectorial del ruido blanco

Si n(t) es ruido blanco gaussiano con depb N0/2 y{ψi(t)}i=1,...,L un sistema ortonormal, el vector

n = (n1, . . . , nL), ni = 〈n, ψi〉

es una variable aleatoria gaussiana multidimensional de medianula de componentes independientes con varianza σ2 = N0/2.Además el error de proyección

n(t) = n(t) −L∑

k=1

nkψk(t)

es indepediente de los ni.


● title1

Introducción

Ruido gaussiano

El receptor óptimo












óptimo

Modulación DBLC


El receptor óptimo

Tomamos una base ortonormal {ψi(t)}i=1,...,L del subespacioS generado por las {si}i=1,...,M (espacio de señal).

si(t) = s1ψ1(t) + . . .+ sLψl(t),

sik = 〈si, ψk〉si(t) ≡ si = (si1, . . . , siL)


● title1

Introducción

Ruido gaussiano

El receptor óptimo












óptimo

Modulación DBLC


El receptor óptimo


si(t) = s1ψ1(t) + . . .+ sLψl(t),


La proyección ortogonal sobre S de la señal recibida será

PSr(t) = PSsi(t) + PSn(t) = si(t) + PSn(t)


● title1

Introducción

Ruido gaussiano

El receptor óptimo












óptimo

Modulación DBLC


El receptor óptimo


si(t) = s1ψ1(t) + . . .+ sLψl(t),


La proyección ortogonal sobre S de la señal recibida será

PSr(t) = PSsi(t) + PSn(t) = si(t) + PSn(t)

Y el error de proyección será

r(t) = r(t) − PSr(t) = si(t) + n(t) − [si(t) + PSn(t)]

= n(t) − PSn(t) = n(t).


● title1

Introducción

Ruido gaussiano

El receptor óptimo












óptimo

Modulación DBLC


El receptor óptimo

Podemos expresar PSr como un vector r = (r1, . . . , rL):

PSr(t) = r1ψ1(t) + . . .+ rLψL(t)

rk = 〈r(t), ψk(t)〉 = 〈si, ψk〉 + 〈n, ψk〉= sik + nk


● title1

Introducción

Ruido gaussiano

El receptor óptimo












óptimo

Modulación DBLC


El receptor óptimo


PSr(t) = r1ψ1(t) + . . .+ rLψL(t)


r(t) = n(t) es independiente de la señal enviada si⇒ No aporta información directamente.


● title1

Introducción

Ruido gaussiano

El receptor óptimo












óptimo

Modulación DBLC


El receptor óptimo


PSr(t) = r1ψ1(t) + . . .+ rLψL(t)


r(t) = n(t) es independiente de la señal enviada si⇒ No aporta información directamente.n(t) también es independiente de los coeficientes de ruido ni⇒ No nos aporta información tampoco indirectamente (através de las ecuaciones rk = sik + nk).


● title1

Introducción

Ruido gaussiano

El receptor óptimo












óptimo

Modulación DBLC


El receptor óptimo

Por tanto podemos realizar la decisión de forma óptimabasándonos exclusivamente en los coeficientes ri⇒ Problema de estimación bayesiana con observacióncontinua r

r|si= si + ni ≡ N

(

µ = si,Σ =N0

2I

)


● title1

Introducción

Ruido gaussiano

El receptor óptimo












óptimo

Modulación DBLC


El receptor óptimo

Por tanto podemos realizar la decisión de forma óptimabasándonos exclusivamente en los coeficientes ri⇒ Problema de estimación bayesiana con observacióncontinua r

r|si= si + ni ≡ N

(

µ = si,Σ =N0

2I

)

Por tanto la fdp de la observación es

f(r|si) =1

σL(2π)L/2exp−‖r− si‖2

2σ2

σ2 =N0

2


● title1

Introducción

Ruido gaussiano

El receptor óptimo












óptimo

Modulación DBLC


Implementación del receptor óptimo

Los productos escalares pueden implementarse mediantefiltros de respuesta al impulso hk(t) = ψ∗

k(t0 − t):

〈r, ψk〉 = r(t) ∗ ψ∗k(t0 − t)|t=t0 .

El parámetro t0 podemos elegirlo libremente.Si la señal ψk(t) termina en t1, el menor valor que hace el filtrocausal es t0 = t1.


● title1

Introducción

Ruido gaussiano

El receptor óptimo












óptimo

Modulación DBLC


Implementación del receptor óptimo

ψ∗

1(t0 − t)

sir(t)

r1

r2

rL

ψ∗

2(t0 − t)

ψ∗

L(t0 − t)

arg maxi P (si|r)

g∗(r) = arg maxsi

P (si|r) = arg maxsi

f(r|si)Pi


● title1

Introducción

Ruido gaussiano

El receptor óptimo

Modulación DBLC

● Modelo de sistema de

transmisión digital

● Modulación DBLC



● Ruido en el canal


● Representación vectorial del

rbg complejo

● Canal paso bajo equivalente

● Error en la fase de la

portadora● Resumen: Ventajas de usar

señales complejas

● Resumen: Sistemas real y

equivalente


Modelo de sistema de transmisión digital

Fuente Moduladorde canal

Moduladordigital

Presentacion Demoduladorde canal

Demoduladordigital

Receptor

Portadora fc

{mi}v(t) =

∑

n sI(n)(t− nT )

Transmisor

Canal

n(t)

r(t){m′

i}


● title1

Introducción

Ruido gaussiano

El receptor óptimo

Modulación DBLC









rbg complejo




señales complejas


equivalente


Modulación DBLC

Modulación en Doble Banda Lateral en Cuadratura

(xc(t), xs(t)) 7→ x(t) = xc(t) cosωct− xs(t) sinωct

donde el ancho de banda de xc e yc es menor que B yfc = ωc

2π ≥ B.


● title1

Introducción

Ruido gaussiano

El receptor óptimo

Modulación DBLC









rbg complejo




señales complejas


equivalente


Modulación DBLC

Viendo el par (xc(t), xs(t)) como una señal compleja:

x(t) = xc(t) + jxs(t) 7→ x(t) = <[x(t)ejωct]


● title1

Introducción

Ruido gaussiano

El receptor óptimo

Modulación DBLC









rbg complejo




señales complejas


equivalente


Modulación DBLC

Viendo el par (xc(t), xs(t)) como una señal compleja:

x(t) = xc(t) + jxs(t) 7→ x(t) = <[x(t)ejωct]

En frecuencia:

x(t) →x(t)ejωct →x(t) = <[x(t)ejωct]

X(f) →X(f − fc) →X(f) = Her[X(f − fc)]

=1

2[X(f − fc) +X∗(−f − fc)

︸︷︷︸

X∗(−(f+fc))

]


● title1

Introducción

Ruido gaussiano

El receptor óptimo

Modulación DBLC









rbg complejo




señales complejas


equivalente


Modulación DBLC

X(f)

X(f)

Por tanto X(f) es esencialmente X(f) desplazada a fc másX∗(−f) desplazada a −fc, luego

X(f) = 2X(f + fc)u(f + fc),

es decir, X(f) es la señal paso bajo equivalente o envolventecompleja de X(f).


● title1

Introducción

Ruido gaussiano

El receptor óptimo

Modulación DBLC









rbg complejo




señales complejas


equivalente


Ruido en el canal

Si el canal añade ruido blanco gaussiano con depb N0/2, en ellado receptor, el demodulador lo convierte en ruido blancopaso banda, del que se obtiene la señal paso bajo equivalente,que es un proceso complejo

ne(t) = nc(t) + jns(t)

del que se demuestra:


● title1

Introducción

Ruido gaussiano

El receptor óptimo

Modulación DBLC









rbg complejo




señales complejas


equivalente


Ruido en el canal



del que se demuestra:1. nc y ns son procesos estacionarios gaussianos

independientes de media nula2. y con densidad espectral de potencia

Snc(f) = Sns

(f) = N0

para |f | < B, donde B es el menor ancho de banda de losfiltros del demodulador DBLC.


● title1

Introducción

Ruido gaussiano

El receptor óptimo

Modulación DBLC









rbg complejo




señales complejas


equivalente


Ruido en el canal



del que se demuestra:1. nc y ns son procesos estacionarios gaussianos

independientes de media nula2. y con densidad espectral de potencia

Snc(f) = Sns

(f) = N0

para |f | < B, donde B es el menor ancho de banda de losfiltros del demodulador DBLC.

En los desarrollos teóricos se suele suponer ancho de bandainfinito, lo que no afecta al resultado (ejercicio 1.12 de losapuntes de la asignatura).


● title1

Introducción

Ruido gaussiano

El receptor óptimo

Modulación DBLC









rbg complejo




señales complejas


equivalente


Ruido en el canal

FPBanda

FPBajo

FPBajo

− senωct

n(t)

cosωct

sc(t)

ss(t)

2 cosωct

−2 senωct

rc(t)

rs(t)


● title1

Introducción

Ruido gaussiano

El receptor óptimo

Modulación DBLC









rbg complejo




señales complejas


equivalente


Ruido en el canal

sc(t)

nc(t)

rc(t)

ns(t)

ss(t) rs(t)


● title1

Introducción

Ruido gaussiano

El receptor óptimo

Modulación DBLC









rbg complejo




señales complejas


equivalente


Representación vectorial del rbg complejo

Si ne(t) = nc(t) + jns(t) es rbg complejo como el queacabamos de describir, pero con Snc

(f) = Sns(f) = N0 y

{ψi(t)}i=1,...,L es un sistema ortonormal, definimos

ni = nic + jnis = 〈ne(t), ψi(t)〉ne(t) = ne(t) − (n1ψ1(t) + . . .+ nLψL(t)) .


● title1

Introducción

Ruido gaussiano

El receptor óptimo

Modulación DBLC









rbg complejo




señales complejas


equivalente




(f) = Sns(f) = N0 y



Entonces■ El vector (n1c, n1s, . . . , nLc, nLs) es una variable aleatoria

gaussiana de componentes independientes, media nula yvarianza σ2 = N0.

■ ne(t) es independiente de este vector.


● title1

Introducción

Ruido gaussiano

El receptor óptimo

Modulación DBLC









rbg complejo




señales complejas


equivalente




(f) = Sns(f) = N0 y



Entonces■ El vector (n1c, n1s, . . . , nLc, nLs) es una variable aleatoria

gaussiana de componentes independientes, media nula yvarianza σ2 = N0.

■ ne(t) es independiente de este vector.Por lo tanto el esquema del receptor óptimo para señalesreales es también válido para señales complejas.


● title1

Introducción

Ruido gaussiano

El receptor óptimo

Modulación DBLC









rbg complejo




señales complejas


equivalente


Canal paso bajo equivalente

Si la señal modulada pasa por un canal modelado por unsistema lineal invariante con respuesta en frecuencia H(f)obtenemos

Y (f) = X(f)H(f)


● title1

Introducción

Ruido gaussiano

El receptor óptimo

Modulación DBLC









rbg complejo




señales complejas


equivalente




Y (f) = X(f)H(f)

Luego al demodular (=obtener señal paso bajo equivalente)obtenemos

Y (f) = 2Y (f + fc)u(f + fc) = 2X(f + fc)H(f + fc)u(f + fc)


● title1

Introducción

Ruido gaussiano

El receptor óptimo

Modulación DBLC









rbg complejo




señales complejas


equivalente




Y (f) = X(f)H(f)

Luego al demodular (=obtener señal paso bajo equivalente)obtenemos

Y (f) = 2Y (f + fc)u(f + fc) = 2X(f + fc)H(f + fc)u(f + fc)

= 2X(f + fc)u(f + fc)︸︷︷︸

X(f)

H(f + fc)u(f + fc)︸︷︷︸

He(f)

He(f) es la respuesta del canal paso bajo equivalente(atención a la definición (sin 2)).


● title1

Introducción

Ruido gaussiano

El receptor óptimo

Modulación DBLC









rbg complejo




señales complejas


equivalente


Error en la fase de la portadora

Si modulamos x(t) = xc(t) + jxs(t) con ej(ωct+θ) en lugar deejωct, transmitimos

<[x(t)ej(ωct+θ)] = <[x(t)ejθejωct],


● title1

Introducción

Ruido gaussiano

El receptor óptimo

Modulación DBLC









rbg complejo




señales complejas


equivalente


Error en la fase de la portadora

Si modulamos x(t) = xc(t) + jxs(t) con ej(ωct+θ) en lugar deejωct, transmitimos

<[x(t)ej(ωct+θ)] = <[x(t)ejθejωct],

y si demodulamos con ejωct recuperamos

x(t)ejθ.


● title1

Introducción

Ruido gaussiano

El receptor óptimo

Modulación DBLC









rbg complejo




señales complejas


equivalente


Resumen: Ventajas de usar señales complejas

Las señales complejas proporcionan un modelomatemáticamente equivalente del proceso de transmisión deseñales moduladas en DBLC, en el que se incluyen de formamuy sencilla:


● title1

Introducción

Ruido gaussiano

El receptor óptimo

Modulación DBLC









rbg complejo




señales complejas


equivalente


Resumen: Ventajas de usar señales complejas

Las señales complejas proporcionan un modelomatemáticamente equivalente del proceso de transmisión deseñales moduladas en DBLC, en el que se incluyen de formamuy sencilla:■ La presencia de ruido en el canal.■ La distorsión lineal del canal.■ Los errores de fase en la recuperación de la portadora.


● title1

Introducción

Ruido gaussiano

El receptor óptimo

Modulación DBLC









rbg complejo




señales complejas


equivalente


Resumen: Sistemas real y equivalente

He(f)ejθ

H(f)DBLC DBLC−1

n(t)

ne(t)

ej(ωt+θ) ejωt


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