UNIVERSIDAD DE CUENCA

ASIGNATURA: Calculo Integral

ESTUDIANTE:Edwin Cabrera,Juan Carvajal

PROFESOR: Ing. Miguel Corral

TEMA: Creación de un Globo

CUENCA-ECUADOR

2012-2013

INTRODUCCIÓNLos globos de papel seda (llamados también globos de papel, globos luminosos y globos de papel de china) son aeronaves o aerostatos no tripuladas que hacen parte de la identidad cultural de países como Argentina, Brasil, Colombia, Perú y México; su objetivo parte como un pasatiempo, pero se constituye como un verdadero arte: se realizan verdaderas obras de luz y color y conceptualmente "se pinta con papel".Esto se debe a que el globo utiliza el principio "menos denso que el aire para ganar fuerza y poderse elevar"; lo que en consecuencia se ve en la necesidad de emplear un dispositivo que genere calor al interior del globo: este elemento que se constituye como el motor del globo consta de un mechero de papel absorbente y parafina que van encendidos, a pesar de que la combustion es lenta, total y sin brasa; el hecho de llevar fuego se plantea como un riesgo por lo que los globos se deben de liberar solo en condiciones favorables de viento, en lugares permisibles, libres de obstáculos y con ciertos criterios de seguridad.El 4 de junio de 1783 los hermanos Montgolfier hicieron volar en Annonay (sudeste deFrancia) el primer globo aerostático de la historia, que consistía en una bolsa esférica de lino forrada de papel de 11 metros de diámetro, propulsada por aire caliente generado por una hoguera en su interior. El vuelo que no fue tripulado duró 10 minutos y recorrió 2 kilómetros con una altitud máxima de 2000 metros.

OBJETIVOImplementar un procedimiento matemático para obtener un globo con cualquier forma deseada.

PRINCIPIOS MATEMÁTICOS UTILIZADOS Cálculo de la longitud de la curva en un intervalo cerrado:

L=∫−r

x

√1+[ f '(x )]2dx

Cálculo del área bajo una curva: A=∫a

b

f ( x )dx

Cálculo de volumen mediante sólidos de revolución: π∫a

b

[ f (x )]2dx

CONSTRUCCIÓNPara explicar el proceso de construcción, crearemos un globo que cuya forma está definida por:

y=f ( x )=√r2−x2−r ≤ x≤0.32 r

OBTENCION DEL MOLDE DE LAS CARAS DEL GLOBOPrimero procederemos a calcular la longitud de la gráfica, para posteriormente obtener la función del molde de cada caraSi f ( x )=√r 2−x2∴ f ' ( x )=1

2⋅ −2 x

√r2−x2∴ f ' ( x )= −x

√r2−x2

L=∫−r

x

√1+[ f ' ( x ) ]2dx=∫−r

x

√1+[ −x

√r2−x2 ]2

dx=∫−r

x

√1+ x2

r2−x2dx

L=∫−r

x

√ r2−x2+x2

r2−x2dx=∫

−r

xr

√r2−x2dx=¿ r sin−1(x /r)‖ x

−r¿

L=r sin−1(x /r)−r sin−1 (−1 )∴L=πr2

+r sin−1(x /r )

L(x )=πr2

+r sin−1(x /r )−r ≤ x≤0.32 r

Ahora reemplazaremos 0.32r en f(x) y f’(x) para obtener el punto común de las dos funciones y la pendiente, para obtener la ecuación de la parte recta. Tambien reemplazaremos en L para obtener el punto inicial de la longitud de la parte recta de la función.f (0.32 r )=√r2−(0.32 r )2=0.9474 r∴ f (0.32 r )=0.9474 r

L0=L(0.32r )= πr2

+r sin−1(0.32)∴L0=1.8965 r

f ' (0.32 r )= −0.32 r

√r2−(0.32 r)2∴ f ' (0.32 r )=m≈−0.34

Ecuacion de la Recta:(y=mx+b)f (0.32 r )=−0.34 (0.32 r )+b

0.9474 r=−0.1088 r+b

∴b=1.0562 r ∴h ( x )=−0.34 x+1.0652r

h (1.94 r )=−0.34 (1.94 r )+1.0652r=0.3966 r AberturadelGlobo

∴h' ( x )=−0.34

L2= ∫0.32 r

x

√1+(−0.34)2dx= ∫0.32 r

x

√1.1156 dx=1.0562 x‖ x0.32 r

L2=1.0562 x−1.0562 (0.32r )

L2=1.0562 x−0.338 r 0.32 r≤ x≤1.94 r

L=L0+L2Sumamos L0a L2 para hacer que la funcion sea contínua

L=1.8965 r+1.0562 x−0.338 r∴L=1.0562 x+1.5585 r

Si x=1.94 r :LFinal=3.6075 r

∴LFinal≈3.61 rYa que el globo no se puede construir de forma completamente redonda, se tiene que armar mediante la construcción de polígonos, Al observar al globo desde arriba, podemos observar que f(x) es solamente es la distancia entre el centro del globo y las caras del mismo. También se puede ver que L conforma el dominio de la función M, que es la función que da la forma de cada cara del globo.

Tenemos que obtener M en función de L, para ello tenemos que tener las funciones M y L en función de una variable común. Tenemos que:L ( x )=πr

2+r sin−1 ( x /r )Para−r≤ x≤0.32 r

L(x )=1.0562x+1.5585 r Para0.32r ≤ x≤1.94 r

Tgβ= Mf ( x )

Paraambas partes

Ya que L es una función de x, y Tgβ es una función de f(x) que a su vez es función de x. Por lo tanto podemos despejar x de ambas ecuaciones para poder asociar L y M. Entonces:Parte Circular:

L ( x )=πr2

+r sin−1 ( x /r )∴L ( x )−πr2

=rsin−1( xr )∴ sin−1( xr )= L ( x )r

−π2

x=r sin(L ( x )r

− π2)∴ x=−r cos ( L ( x )

r )donde0≤ L(x)≤1.8965r

Tgβ= Mf ( x )

∴M=Tgβ √r2−x2

Reemplazando x en M, obtenemos:M=Tgβ √r 2−(−r cos (L(x )/r))2∴M=rTgβ √1−cos2(L(x )/r)

M=rTgβ sin( L ( x )r )donde0≤L(x )≤1.8965 r

Parte Recta: L ( x )=1.0562x+1.5585 r∴ x=

L(x)−1.5585 r1.0562

∴ x=0.9468L ( x )−1.4756 r donde1.8965 r ≤ L ( x )≤3.61 r

Tgβ= Mf ( x )

∴M=Tgβ (−0.34 x+1.0652 r )

M=Tgβ [−0.34 (0.9468 L ( x )−1.4756 r )+1.0652 r ]

M=Tgβ [−0.322191L ( x )+1.5579 r ] para1.8965 r ≤L ( x )≤3.61 r

AREA DEL GLOBOAl obtener las funciones de las caras del globo, podemos calcular su área para con ello calcular su peso.Parte Circular:A= ∫

0

1.8965r

rTgβ sin (L/r)dL∴ A=rTgβ ∫0

1.8965 r

sin (L/r )dL

A=−r2Tgβ cos( Lr )‖1.8965 r0∴ A=−r2Tgβ [cos (1.8965 )−1]

∴ A1=1.318 r2Tgβ

Parte Recta:A= ∫

1.8965r

3.61r

Tgβ [−0.322191L+1.5579 r ]dL

A=Tgβ [1.5579 Lr−0.161095 L2]‖ 3.61 r1.8965 r

A=Tgβ [1.5579 (3.61 ) r2−0.161095 (3.61 r )2 ]

−[1.5579 (1.8965 ) r2−0.161095 (1.8965 r )2 ]

∴ A2=r2Tgβ (1.149467)

∴ ATotal=A1+A2

∴ ATotal=r2Tgβ (2.467467)

Para calcular su peso simplemente tenemos que hacer una regla de 3, considrando que por cada metro cuadrado pesa 20gr. Es decir:PTotal=20 gr (ATotal )Si se trabajaconm

2

PTotal=0.002gr (ATotal)Si se trabajaconc m2

VOLUMENCabe recalcar que el volumen obtenido mediante sólidos de revolución no determina un valor exacto, ya que el globo es formado mediante un polígono; sin embargo este acalculo nos proporciona una aproximación bastante cercana al volumen real del globo. Tomando en cuenta este detalle, el volumen del globo sería igual a: Parte Circular:V=π ∫

−r

0.32 r

√r2−x22dx∴V=π ∫

−r

0.32r

(r¿¿2−x2)dx ¿

V=π [r2 x− x3

3]‖0.32 r−r

∴V 1=0.975744 π r3

Parte Recta:V=π ∫

0.32 r

1.94 r

(−0.34 x+1.0652 r )2dx

V=π ∫0.32 r

1.94 r

(0.1156 x2−0.7243336 rx+1.13465104 r2)dx

V=π [0.03854 x3−0.3621668 rx2+1.13465104 r2 x ]‖1.94 r0.32r

V 2=0.792302π r3

V Total=1.768046 π r3

APLICACION PRÁCTICAPara nuestro globo, aplicaremos un radio de 19 cm y el polígono será de 10 lados, por lo tanto:β= π10

rads

LFinal≈3.61r=∴LFinal≈68.6 cm

ATotal=r 2Tgβ (2.467467 )∴ ATotal=289.424cm2

PTotal=0.002 gr (ATotal)∴PTotal=0.57884 grf

V Total=1.768046 π r3∴V Total=38098.18055cm

3

Con los resultados calculados, nuestro globo posee las siguientes medidas:

CONCLUSIONESCon el desarrollo de esa práctica se pudo comprobar que mediante diversos procesos de integración, es posible crear un globo, cuyos cálculos son muy cercanos al del sólido de revolución que genera su función. También se logró obtener un procedimiento general para obtener una globo con la forma de una función dada.