gestión financiera isidro ramos

7/29/2019 Gestión financiera ISIDRO RAMOS

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ADMINISTRACIÓN Y FINANZAS GESTIÓN FINANCIERA. TEMA 1

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TEMA 1: EL INTERÉS SIMPLE

1. OPERACIONES FINANCIERAS

Son aquellas operaciones en las que inversores y ahorradores se ponen de acuerdo y pactan untipo de interés y un plazo que cubran sus necesidades de inversión y financiación

1.1. CLASES

Las operaciones financieras pueden ser de dos clases:

- OPERACIONES DE INVERSIÓN: Son las que realizan las personas que tienen un dineroahorrado y que desean obtener una ganancia prestándolo a otras personas. Entregaran unacantidad de dinero en el momento actual y recibirán una cantidad mayor al final del tiempoestablecido para la operación. La diferencia entre la cantidad entregada y la recibida corresponde alos intereses.

- OPERACIONES DE FINANCIACIÓN: Son las que realizan las personas que necesitan dinero y

acuden a otras personas para que se lo presten ofreciéndole una rentabilidad. Recibirán unacantidad de dinero en el momento actual y deberán devolver una cantidad al final del tiempoestablecido para la operación. La diferencia entre las dos cantidades son los intereses.

Nos podemos encontrar operaciones en las que en un primer momento se entregan cantidades dedinero y posteriormente se reciben, como ocurre en los casos de los planes de pensiones queestudiaremos más adelante.

1.2. ELEMENTOS QUE INTERVIENEN

Los elementos que intervienen son los siguientes:- Capital inicial o actual (Co): Corresponde a la cantidad con la que se inicia la operación(momento 0). En caso de inversión es la cantidad entregada y en caso de préstamo la cantidadrecibida.- Capital final o montante (Cn): Se refiere a la cantidad del final de la operación (momento n ).

Puede ser la cantidad en la que se ha convertido una inversión o la cantidad que se debe devolverpara cancelar un préstamo.- Duración o tiempo (n): Plazo que se estipula para la operación.- Tanto o tipo de interés anual (i): Cantidad que produce un euro en un año. Siempre debeexpresarse en tanto por uno. En algunos ejercicios nos dan este dato expresado en %, y sedenomina rédito , que sería la cantidad que ganamos con 100 € en un año. En este último casodebemos dividir el % entre 100 para obtener la i.- Interés de la operación (I): Diferencia entre el Capital final y el inicial. Sería la gananciaobtenida en la operación.

Capital Inicial Capital final i0 n

Ejemplos:

1. Una persona a la que le toca en la primitiva, 120.000 €, los invierte por un plazo de 3 años a un tantode interés del 5 % anual, recibiendo al final de la operación 138.000 €. ¿De qué operación se trata?¿Cuáles son los elementos que intervienen en la operación?- Operación financiera : Inversión.- Elementos:

Capital inicial: 120.000 €Capital final: 138.000 €Duración: 3 años.Tanto de interés: 0,05Rédito: 5 %Intereses: 18.000 €

Capital Inicial = 120.000

Capital final= 138.000

i =0,05

0 n = 3 años




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2. Una persona para comprar una vivienda necesita 180.000 €. Para ello solicita un préstamo con unaduración de 10 años y un tanto de interés anual del 0,04. Al final devolverá la cantidad prestada más losintereses de toda la operación que ascienden en conjunto a 72.000 €.- Operación financiera : Financiación

- Elementos: Capital inicial: 180.000 €

Capital final: 252.000 €Duración: 10 años.Tanto de interés: 0,04Rédito: 4 %Intereses: 72.000 €

Capital Inicial = 180.000

Capital final= 252.000

i =0,04

0 n = 10 años

1.3 MÉTODOS PARA CALCULAR LOS INTERESES

- Interés simple: Los intereses anuales se calculan siempre sobre la misma cantidad. Por ellos losintereses anuales serán constantes.

- Interés compuesto: Los intereses anuales se acumulan al capital en cada periodo. De esta forma losintereses irán aumentando conforme vaya pasando el tiempo.

Ejemplo : Una persona invierte 1.000 € durante 3 años a un tanto de interés anual del 10 %.

INTERÉS SIMPLE

N

CAPITAL INICIAL(Los intereses no se

acumulan para calcular losintereses)

INTERÉSESANUALES CAPITAL FINAL

0 1.000 ------- 1.0001 1.000 1.000 x 0,1 = 100 1.1002 1.000 1.000 x 0,1 = 100 1.2003 1.000 1.000 x 0,1 = 100 1.300

INTERÉS COMPUESTO

N

CAPITAL INICIAL(Los intereses se

acumulan para calcular losintereses)

INTERÉSESANUALES CAPITAL FINAL

0 1.000 ------- 1.0001 1.000 1.000 x 0,1 = 100 1.1002 1.100 1.100 x 0,1 = 110 1.2103 1.210 1.210 x 0,1 = 121 1.331

1.4 FORMULAS DEL INTERÉS SIMPLE

Cn = Co (1 + n * i)

I = Cn - Co

I = Co x n x i




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2. EJERCICIOS DEL INTERÉS SIMPLE

CÁLCULO DEL INTERÉS

1. Calcula el interés que producen 6.000 € colocados al 12 % anual durante 6 años.I = Co x n x i

I = 6.000 x 6 x 0,12 = 4.320 €

2. Sabemos que nuestra inversión de 5.000 € ha generado 700 € de intereses al 7 % anual¿Cuánto tiempo duró la inversión?

I = Co x n x i700 = 5.000 x 0,07 x n

700 = 350 x nn = 700 / 350

n = 2 años

3. Calcular los intereses de una operación en la que se obtuvo un capital final de 1.205 € con unainversión inicial de 1.100 €.

I = Cn – CoI = 1.205 – 1.100

I = 105 € CÁLCULO DEL CAPITAL FINAL O MONTANTE (Operación de capitalización)

1. Un capital de 3.000 € es invertido durante 4 años a un tipo de interés del 5 % anual. Calcula elcapital final.

Cn = Co (1 + n x i)Cn = 3.000 ( 1 + 4 x 0,05)

Cn = 3.000 x 1,2Cn = 3.600 €

2. Un capital de 5.000 € ha sido invertido durante 5 años a un tanto de interés del 6 % anual.Calcular el capital final si los intereses han ascendido a 1.500 €

Cn = Co + ICn = 5.000 + 1.500

Cn = 6.500 €

CÁLCULO DEL CAPITAL INICIAL (Operación de actualización)

1. ¿Qué cantidad debemos ingresar en un banco para que dentro de 6 años a un tipo de interés del10 % se convierta en 3.200 €?

Cn = Co (1 + n x i )= Co ( 1 + 6 x 0,10 )3.200 = Co x 1,60Co = 3.200 / 1,60

Co = 2.000 €

CÁLCULO DEL TIEMPO

1. Queremos saber cuánto tiempo se mantuvo una inversión de 12.000 € que produjo un montantede 12.720 € al 2 % anual de capitalización simple.

Cn = Co (1 + n x i )12.720 = 12.000 ( 1 + n x 0,02 )

12.720 = 12.000 + 240 x n12.720 – 12.000 = 240 x n

720 = 240 x nn = 720 / 240

n = 3 años

2. Para cancelar un préstamo al 6 % de interés anual tenemos que entregar 4.960 €. Calcular laduración de la operación si los intereses ascienden a 960 €.

I = Cn – Co960 = 4.960 – CoCo = 4.960 – 960

Co = 4.000 €




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Cn = Co ( 1 + n x i )4.960 = 4.000 ( 1 + n x 0,06)

4.960 = 4.000 + 240 x n4.960 – 4.000 = 240 x n

960 = 240 x n960 / 240 = n

n = 4 años

CÁLCULO DEL TANTO DE INTERÉS

1. Una operación ha producido un montante de 544 € durante 3 años con una inversión inicial de400 € ¿A qué tipo de interés se pactó la operación?

Cn = Co (1 + n x i )544 = 400 ( 1 + 3 x i)544 = 400 + 1.200 x i544 – 400 = 1.200 x i

144 = 1.200 x ii = 144 / 1.200

i = 0,12

3. PERIODOS FRACCIONADOS

Los periodos fraccionados se dan cuando nos encontramos con períodos inferiores a los anuales.Para ello debemos calcular k.

El valor de k lo obtenemos en la respuesta a la siguiente pregunta: ¿Cuántos periodos tiene unaño?

SEMESTRES k = 2CUATRIMESTRES k = 3TRIMESTRES k = 4BIMESTRES k = 6MESES k = 12SEMANAS k = 52

DIAS

Año comercial. k = 360

Año civil. k = 365

i k = i / k

Cn = Co ( 1 + n x ik)n y ik siempre referidas al mismo periodo de

tiempo

Ejemplo: Calcular el montante de un capital de 6.700 € al 10 % de interés durante:a) 2 meses.b) 2 trimestres.c) 90 días (año civil)

a)ik = i / k

ik = 0,10 / 12Cn = 6.700 ( 1 + 2 x 0,10 / 12)

Cn = 6.811,67 €

b)ik = i / k

ik = 0,10 / 4Cn = 6.700 ( 1 + 2 x 0,10 / 4)

Cn = 7.035 €

c)ik = i / k

ik = 0,10 / 365Cn = 6.700 ( 1 + 90 x 0,10 / 365)Cn = 6.865,21 €




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4. COMPARACIÓN ENTRE LOS INTERESES DEL AÑO COMERCIAL Y DEL CIVIL

AÑO COMERCIAL I360 = (Co x n x i) / 360

AÑO CIVIL I365 = (Co x n x i) / 365

I 360 = (Co x n x i) / 360

I 365 = (Co x n x i) / 365

I360 = (73 / 72) x I365

Ejemplo: Sabiendo que el interés calculado comercialmente de un capital asciende a 232,50 € ¿Acuánto ascenderá el calculado civilmente?

I360 = (73 / 72) x I365

232,50 = (73 / 72) x I365232,50 x 72 / 73 = I 365

229,32 € = I 365

5. FORMAS ABREVIADAS PARA EL CÁLCULO DE LOS INTERESES

Este procedimiento se utiliza cuando tenemos que calcular los intereses de varios capitales.

Para ello, debemos seguir los siguientes pasos:

1º) Calculamos los números comerciales. NUMEROS COMERCIALES = Co x n2º) Sumamos los números comerciales3º) Calculamos el DIVISOR FIJO (D) = k / i o MULTIPLICADOR FIJO (M) = i/k4º) Calculamos los intereses:

I = SUMA Nos. COMERCIALES / DIVISOR FIJO

I = SUMA Nos. COMERCIALES X MULTIPLICADOR FIJO

Ejemplo: Calcular los intereses producidos por los siguientes capitales:

CAPITALES DURACI N1.000 3 meses1.200 6 meses2.000 9 meses

Invertidos a un tanto de interés del 12 % anual.

1º) Calculamos los números comerciales.

CAPITALES DURACIÓN N MEROSCOMERCIALES

1.000 3 3.0001.200 6 7.2002.000 9 18.000

SUMA N MEROS COMERCIALES 28.200

2º) SUMA NÚMEROS COMERCIALES = 28.200

3º) DIVISOR FIJO = K / i = 12 / 0,12 =100

4º) INTERESES = SUMA NÚMEROS / DIVISOR FIJO

INTERESES = 28.200 / ( 12 / 0,12 ) =

28.200 X 0,12 / 12 = 282 €




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6. INTERÉS ANTICIPADO

Hasta ahora, hemos calculado operaciones a tipo de interés vencido: estas operaciones secaracterizan porque los intereses se calculan sobre C0.

En las operaciones de interés anticipado (Ia), el interés se calcula sobre Cn, y el capital con el quese inicia la operación es Cn - Iv

C0 = Cn - Ia Ia = Cn x n x ia Cn0 n

Ia = Cn x n x ia C0 = Cn - Ia

C0 = Cn – Cn x n x ia C0 = Cn (1 – n x ia)

Cn =C0

(1 – n x ia)

Ejemplo: Calcular la cantidad recibida en un préstamo, al que se aplica un tanto de interés

anticipado del 8 % y al final de 5 años nos comprometemos a entregar 3.200 € para su cancelación.C0 = Cn ( 1 – n x i )

C0 = 3.200 ( 1 – 5 x 0,08 )C0 = 3.200 (0,6)

C0 = 1.920 €

6.1 Relación entre el interés anticipado y el vencido

INTERÉS VENCIDO INTERÉS ANTICIPADO

Cn = Co (1 + n x iv) Cn =C0

(1 – n x ia)

Poniendo en relación las dos fórmulas despejando iv o iaCo (1 + n x iv) =

C0 (1 – n x ia)

Ejemplo 1:A un activo financiero a seis meses se le aplica un tipo anticipado del 4,22% anual:a) ¿Qué tipo anual por vencido le corresponderá?b) ¿Calcula el tipo de interés por vencido correspondiente a un año?

a)

Co (1 + n x iv) =C0

(1 – n x ia)

Co (1 + 6 x iv / 12) =C0

(1 – 6 x 0,0422 / 12)

1 + 0,5 x iv =1

(1 – 0,0211)

1 + 0,5 x iv =1

0,9789

(1 + 0,5 x iv) x 0,9789 = 1

0,9789 + 0,5 x iv x 0,9789 = 1

0,9789 + iV x 0,48945 = 1

iV x 0,4895 = 1 – 0,9789




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iv x 0,48945 = 0,0211

iv =0,02110,48945

iV = 0,04311iV = 4,311 %

b)

Co (1 + n x iv) =C0

(1 – n x ia)

Co (1 + 1 x iv) =C0

(1 – 1 x 0,0422)

1 + iv =1

0,9578

(1 + iv) x 0,9578 = 1

0,9578 + iv x 0,9578 = 1

iV x 0,9578 = 1 – 0,9578

iV x 0,9578 = 0,0422

iv =0,04220,9578

iV = 0,04406iV = 4,406 %



ADMINISTRACIÓN Y FINANZAS. GRADO SUPERIOR TEMA 2. INTERÉS COMPUESTO

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TEMA 2:EL INTERÉS COMPUESTO

1. DIFERENCIA ENTRE INTERÉS SIMPLE Y EL INTERÉS COMPUESTO

INTERÉS SIMPLE Los intereses no se acumulan al capital.INTERÉS COMPUESTO Los intereses se acumulan al capital.

Cn = Co * (1+i) n FÓRMULAS DELINTERÉS COMPUESTO I = Cn - Co

En los ejercicios intervienen las siguientes variables:- Capital inicial o actual (Co): Cantidad referida al momento actual.- Capital final o montante (Cn): Capital referido al final de la operación.

- Tiempo (n): duración de la operación.- Tanto de interés anual (i): ganancia obtenida por un euro en un año.

- En los ejercicios de inversión, la cantidad invertida será el capital inicial y el importeque se recibe al final de la inversión, se denomina capital final o montante.

- En los ejercicios de préstamos, la cantidad prestada es el capital inicial y la cantidadque devolvemos al final del periodo para cancelar el préstamo se denomina capital finalo montante.

CAPITAL INICIAL CAPITAL FINAL

INVERSIÓN Cantidad invertidaCantidad que deseamostener al final de la operación

PRÉSTAMO Importe del préstamoCantidad necesaria paracancelar el préstamo

2. CÁLCULO DEL CAPITAL FINAL O MONTANTE. (OPERACIÓN DE CAPITALIZACIÓN)

Ejercicio: La señora Blasco deposita en una entidad financiera 30.000 € a plazo fijo durante 4

años a un tipo de interés compuesto del 10 % anual. Calcular la cantidad que recibirá al finalde la operación.

Co = 30.000 € Cn = X i = 0.10 anual0 n = 4 años

Co = 30.000 €n = 4 años

i = 0,10 anual

Cn = Co * (1+i) n Cn = 30.000 * (1,1) 4

Cn = 43.923 €




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3. CÁLCULO DEL CAPITAL INICIAL. (OPERACIÓN DE ACTUALIZACIÓN)

Ejercicio: Determina el capital inicial, que colocado al 7,5 % anual durante 6 años se haconvertido en un capital final de 50.000 €

Co = X Cn = 50.000 € i = 0,075 anual0 n = 6 años

Cn = 50.000 €n = 6 añosi = 0,075 anual

Cn = Co * (1+i) n 50.000 = Co * (1,075) 6

50.000 = Co * 1,543302Co = 50.000 / 1,543302

Co = 32.398,07 €

4. CÁLCULO DEL TIEMPO

Ejercicio: Calcula el tiempo que ha pasado desde que invertimos 4.150 € al 9,5 % de interéscompuesto si al final de la operación hemos recibido 10.284,64 €

Co = 4.150 Cn = 10.284,64 € i = 0,095 anual0 n = X años

Co = 4.150 €Cn = 10.284,64 €n = X años

i = 0,075 anual

Cn = Co * (1+i) n 10.284,64 = 4.150 * (1,095) n

10.284,64 / 4.150 = (1,095) n

2,478227 = (1,095) n

log 2,478227 = n * log 1,0950,394141 = n * 0,039414n = 0,39414 / 0,039414

n = 10 años

5. CÁLCULO DEL TANTO DE INTERÉSEjercicio: Calcula el tipo de interés al que estuvieron colocados 9.000 € durante 4 años, si seconvirtieron en 14.000 €

Co = 9.000 € Cn = 14.000 € i = X anual0 n = 4 años

Co = 9.000 €Cn = 14.000 €n = 4 añosi = X

Cn = Co * (1+i) n 14.000 = 9.000 * (1 + i) 4

14.000 / 9.000 = (1+i) 4

1,555556 = (1 + i) 4

4 555556,1 = 4 4)1( i+

4 555556,1 = 1 + i

1,11679 = 1 +ii = 0,11679




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6. TANTOS FRACCIONADOS

El tipo de interés y la duración de la operación deben estar referidos a los mismosperiodos de tiempo. Por este motivo, en los ejercicios en los que el periodo de tiempo seainferior al año, debemos calcular el tanto de interés fraccionado.

El tanto de interés fraccionado (ik) será un tanto que produzca los mismos resultados alaño que los obtenidos si utilizamos el tanto de interés anual efectivo (i).

Para calcular el tanto de interés o fraccionado utilizamos la siguiente fórmula:

(1 + ik)K = (1+i)

Siempre que en un ejercicio nos den un tanto de interés inferior a un año (mensual,trimestral, semestral, etc.) nos están facilitando el tanto fraccionado (ik)

El tanto nominal (Jk) es el resultado de multiplicar ik * k y siempre está referido a undeterminado periodo de tiempo. (Ejemplo: tanto nominal capitalizable por trimestres. Sería J4)

J k = ik * k

TANTO DE INTERÉS EFECTIVO ANUAL (T.A.E) iTANTO NOMINAL J k TANTO FRACCIONADO (mensual, trimestral, etc.) ik

Ejercicios:1. Calcula el tanto de interés mensual equivalente a un tanto anual efectivo del 10 %.i12 = xi = 0,10

(1 + i 12)12 = (1 + i)

(1 + i 12)12 = 1,10

12 12

12)1( i+ = 12 10,1 1 + i12 =

12 10,1 1 + i12 = 1,00797414

i12 = 0,00797414

2. Calcular el tanto nominal convertible por semestres correspondiente al tanto anual efectivodel 6 %i = 0,06j2 = x

(1 + i 2)2 = (1 + i)

(1 + i 2)2 = 1,06

2 2

2 )1( i+ = 2 06,1 1 + i2 =

2 06,1 1 + i2 = 1,029563

i2 = 0,029563J2 = 2 * 0,029563

J2 = 0,059126




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3. Calcula el tanto anual efectivo equivalente al 2 % mensual.

i12 = 0,02i = x

(1 + i 12)12 = (1 + i)

(1 + 0,02)12 = 1 + i

1,0268242 = 1 + i1,0268242 – 1 = ii = 0,268242

7. PERIODOS DE TIEMPO FRACCIONADOS

Cuando la duración de la operación no corresponde a un número exacto de periodos decapitalización podemos resolver el ejercicio utilizando cualquiera de los siguientes métodos:

- CONVENIO EXPONENCIAL: Resolvemos el ejercicio utilizando solamente la fórmula

del interés compuesto.

Cn = Co * (1 + i ) n + m

- CONVENIO LINEAL: Resolvemos el ejercicio utilizando la fórmula del interéscompuesto para los periodos completos y la del interés simple para la fracción.

Cn = Co * (1 + i ) n * (1 + m * i)

m = número correspondiente al periodo no completo. Para ello planteamos una regla de

tres.

Ejercicio: Calcula el montante de un capital de 60.000 € que ha estado invertido durante 3años y 6 meses al 10 % de interés anual compuesto.

CÁLCULO DE LA FRACCIÓN (m)1 año ----- 12 mesesm año ---- 6 meses

m = 0,5CONVENIO EXPONENCIALCo = 60.000 €n= 3 añosm = 0,5i = 0,10

Cn = Co * (1 + i ) n + m

Cn = 60.000 * (1 + 0,10 ) 3 + 0,5

Cn = 60.000 * 1,395965

Cn = 83.757,87 €CONVENIO LINEALCo = 60.000 €n= 3 añosm = 0,5i = 0,10

Cn = Co * (1 + i )n * (1 + n * i)Cn = 60.000 * (1 + 0,10) 3 * (1 + 0,5 * 0,10)

Cn = 60.000 * 1,331 * 1,05Cn = 83.853 €




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8. COMPARACIÓN ENTRE CAPITALIZACIÓN SIMPLE Y COMPUESTA

En capitalización simple: ( )i n C C n += 10

En capitalización compuesta: ( ) n

n i C C += 10

Si lo representamos gráficamente, para i y C0 constantes y damos los siguientes valores a n:

n = 0 n = 0,5n = 1 n = 2

RESUMEN:a) Para periodos = 0 ó 1 CS = CCb) Para periodos < 1 CS > CC

c) Para periodos > 1 CS < CC

9. LA TASA ANUAL EQUIVALENTE (TAE)

La TAE, en nuestro país está regulada por la circular 8/90, de 7 de septiembre, delBanco de España (BE). Según la cual el tipo de interés, coste o rendimiento efectivo de lasoperaciones deberá expresarse, obligatoriamente, en prácticamente la totalidad de losdocumentos contractuales que afectan al pequeño inversor o ahorrador (apartado 1 normasexta) y se calculará según la fórmula siguiente:

n

∑ D n

n1

1

t n

(1 i k )

p

- ∑ R p p1

1

t p

(1 i k )

Siendo:Dn = DisposicionesRp = Reintegros n = número de disposiciones o entregas simbolizadas por Dp = número de reintegros o pagos simbolizados por Rtn = tiempo transcurrido desde la fecha de equivalencia elegida hasta la de

disposición n. tp = tiempo transcurrido desde la fecha de equivalencia elegida hastala del pago p.ik = tanto efectivo referido al periodo de tiempo elegido para expresar tp y tp.

Como esta tasa se expresa en tantos por ciento y referida siempre al periodo de un año:

C0

C

0 0,5 1 2 t

Cc

Cs




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TAE = [ ( 1 + ik)k - 1 ] x 100

La TAE intenta ser una unidad homogénea de medida, para que los pequeñosinversores principalmente, puedan comparar operaciones financieras.

nota 1: si no existiesen gastos en una operación financiera, la TAE coincidiría con el interés efectivoanual (i)nota 2: en las cuentas corrientes y de ahorro, la misma circular del BE permite que la TAE que seaplique sea el interés nominal anual, cuando éste sea inferior o igual al 2,5%.

Ejemplo:D. Juan Sánchez ha depositado 5.000 euros de sus ahorros en un novedoso

instrumento financiero que le ha ofrecido su banco, según el cual la entidad leasegura un interés del 3% anual en una inversión de 600 días. Calcula:

a) ¿Cuánto obtendrá al final de la operación?b) ¿Cuál será la TAE de este producto si no se cobra ninguna comisión?c) ¿Cuál será la TAE de este producto si se cobra una comisión del 1%

sobre el montante?a) ¿Cuánto obtendrá al final de la operación?

(1 + i 365)365 = ( 1 + i )

(1 + i 365)365 = 1,03

365 365

365 )1( i+ = 365 03,1 1 + i365 = 365 03,1

1 + i365 = 1,000080986i365 = 0,000080986

Cn = 5.000 (1,000080986) 600

Cn = 5.248,95

b) ¿Cuál será la TAE de este producto si no se cobra ninguna comisión?Coincide con el tanto de interés anual: 3 %

c) ¿Cuál será la TAE de este producto si se cobra una comisión del 1%sobre el montante?

Montante: 5.248,95Comisión 1 %: -52,49Recibe: 5.196,46

Cn = C0 (1 + ik) nk

5.196,46 = 5.000 (1 + i365)600

5.196,465.000 = (1 + i365)

600

1,039292 = (1 + i365)600

600 039292,1 -1 = i365

0,000064235 = i365

(1,000064235)

365

= (1+i)1,0237 = i

2,37 % = T.A.E.



ADMINISTRACIÓN Y FINANZAS. GRADO SUPERIOR TEMA 3. DESCUENTO SIMPLE Y COMPUESTO

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TEMA 3: OPERACIONESDE DESCUENTO

1. OPERACIONES DE DESCUENTO

Las operaciones de descuento son aquellas que realizan las empresas, mediante las que una entidad

financiera le anticipa el dinero que le deben sus clientes.

El desarrollo de este proceso sería el siguiente:1. Una empresa vende a un cliente, quedando una cantidad pendiente de pago. Por este motivo, se

rellena una letra en la que figura este importe (Nominal) y un plazo establecido para el pago (Vencimiento dela operación).

2. La empresa vendedora desea disponer del dinero de la venta anterior anticipadamente, para elloacude a su banco para que le adelante el dinero (operación de descuento). La entidad bancaria le cobrará untanto de interés (tanto de descuento) que se calculará por los días que el banco le anticipa el dinero (Días). El importe de la letra menos el importe de los intereses (Descuento) será la cantidad que en este momentorecibe la empresa (Efectivo). Como podemos apreciar, es una operación similar a un préstamo con lagarantía de la letra.

3. Llegado el vencimiento de la letra, si el banco cobra la letra del cliente, se producirá la finalización dela operación quedando en poder de la entidad bancaria este importe. Si la letra no es pagada, la empresavendedora deberá devolver al banco el importe de la letra.

A este procedimiento se le llama descuento de letra o negociación de una letra . Para realizar estaoperación previamente se ha tenido que acordar con el banco las condiciones que se van a aplicar y cuál esel importe máximo de letras descontadas que la empresa puede tener. A este acuerdo, entre la entidadbancaria y la empresa, se denomina línea de descuento.

Elementos que intervienen- NOMINAL (N): Cantidad que queda pendiente en la operación. Es el importe de la letra.- TIEMPO (n): Días que transcurren desde que se realiza la operación hasta el vencimiento de la

operación.

- TANTO DE DESCUENTO (i) = Es el tanto de interés anual que se aplica a la operación.- DESCUENTO (D) = Intereses totales de la operación. Para calcularlos existen dos formas:

descuento comercial o bancario y el descuento racional o matemático.- EFECTIVO (E): Es el importe que se recibe anticipadamente. Para calcularlo, al Nominal le restamos

el descuento. EFECTIVO = NOMINAL – DESCUENTO

EJEMPLO:La empresa COCO, S.A. vendió el día 28 de marzo, mercaderías por un importe de 2.000 €. Se

extiende una letra por este importe y vencimiento dentro de 30 días.El día 3 de abril la empresa COCO, S.A. necesita dinero y decide negociar con su banco para que le

anticipe el dinero. El banco le ingresa en su cuenta el nominal de la letra menos 28 € por los interesescorrespondientes a un tanto de descuento del 2 % anual.

- VENCIMIENTO DE LA OPERACIÓN: Contamos 30 días a partir del día 28 de marzo. Vencimiento: 27de abril.- NOMINAL: Importe de la letra. Nominal: 2.000 €.- TIEMPO (n): Días transcurridos entre el día 3 de abril (fecha de negociación) y el 27 de abril(vencimiento). Tiempo = 24 días. - TANTO DE DESCUENTO (i) = 2 % anual. Tanto de descuento = 0,02- DESCUENTO (D) = Intereses totales. Descuento = 28 €.- EFECTIVO (E) = Nominal – Descuento = 2.000 – 28 = 1.972 €

EFECTIVO = 1.972 € NOMINAL = 2.000 €28 de marzo

(VENTA)

3 de abril

(DESCUENTO DE LA LETRA)

27 de abril

(VENCIMIENTO)n = 24 días

Tanto dto. = 0,02




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2. CÁLCULO DEL DESCUENTO

2.1. DESCUENTO COMERCIAL O BANCARIO (Se calcula sobre el NOMINAL)

DESCUENTO:Dc = N x n x i

EFECTIVO:E = N x (1 – n x i )

E = N - Dc

EJEMPLOS DE DESCUENTO COMERCIAL:

1. ¿Cuál fue el valor nominal de una letra por la que se descontaron comercialmente 150 € cuatro meses antes de suvencimiento, sabiendo que el tanto de descuento aplicado fue del 10 % anual?

N = x

Dc = 150 € n = 4 meses i = 10 % anual = 0,10

Dc = N x n x i150 = N x 4x 0,10 / 12

150 x 12 = N x 4 x 0,101.800 = N x 0,40N = 1.800 x 0,40

N =4.500 €

2. Calcula el efectivo que recibirá una empresa por el descuento comercial de una letra de 4.500 € con vencimiento el 4de septiembre, sabiendo que la operación de descuento se realiza el día 20 de julio y que el tanto de descuento es del 6% anual. Utilizar año comercial.

E = x N = 4.500 € n = 20 de julio al 4 de septiembre = 46 días i = 6 % anual = 0,06

E = N x (1 – n x i )E = 4.500 ( 1 – 46 x 0,06 / 360)

E = 4.465,50 €

2.2. DESCUENTO RACIONAL O MATEMÁTICO (Se calcula sobre el EFECTIVO)

DESCUENTO:Dr = E x n x i

Dr = (N – Dr) x n x iDr = (N x n x i) – (Dr x n x i )

Dr + Dr x n x i = N x n x iDr ( 1 + n x i) = N x n x i

N x n x i

Dr = (1 + n x i)

EFECTIVO:N = E x (1 + n x i )

E = N - Dr

EJEMPLOS DE DESCUENTO RACIONAL:

1. Calcula el efectivo de una letra descontada, sabiendo que el vencimiento es dentro de 4 meses, que se aplica untanto de descuento del 10 % anual y que el descuento racional fue de 150 €.

E= x Dr = 150 € n = 4 meses i = 10 % anual = 0,10

Dr = E x n x i150 = E x 4 x 0,10/12

150 x 12 = E x 4 x 0,101.800 = E x 0,40

E = 4.500 €




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2. Calcula el descuento racional de un efecto de 4.650 €, sabiendo que su vencimiento es el día 9 de mayo y que laoperación de descuento se realiza el día 10 de marzo a un tanto de descuento del 4 % anual. Utilizar año comercial.

E = x N = 4.650 € n = 10 de marzo al 9 de mayo = 60 días i = 4 % anual = 0,04

N = E ( 1 + n x i)4.650 = E ( 1 + 60 x 0,04 / 360 )

4.650 = E x 1,006667E = 4.650 / 1,006667

E = 4.619,20 €

3. RELACIÓN ENTRE EL DESCUENTO COMERCIAL Y EL RACIONAL

1. Calcular el valor de Dc y Dr, si sabemos que su diferencia es de 12 €, que el tanto de descuento es del 8% anual y la operación ha durado 230 días (año comercial)

Dc - Dr = 12

N x n x iN x n x i -

(1 + n x i)= 12

N x 230 x 0,08 / 360N x 230 x 0,08/360 -

(1 + 230 x 0,08 / 360)= 12

N x 0,051111N x 0,051111 -1,0511111

= 12

N x 0,053723 – N x 0,051111 = 12,6133320,002612 N = 12,613332

N = 4.829

Dc = 4.829 x 230 x 0,08 / 360Dc = 246,82 €

Dr = 246,82 - 12Dr = 234,82 €

2. Si el descuento comercial de una operación asciende a 400 €, y el descuento racional de la mismaoperación a 350 € ¿Cuánto vale el nominal de la operación?

Dc = N x n x i400 = N x n x i

400N

= n x i

Dr = E x n x i350 = E x n x i

350 = (N – 350) x n x i

(N – 350) x 400350 =

N

350N = 400N – 140.000

350 N – 400 N = 140.00050 N = 140.000N = 2.800 €

3. Calcular el descuento comercial que corresponde a un descuento racional de 600 €, si la operación dura74 días y el tanto de descuento es del 8 %.

Dr = E x n x i600 = E x 74 x 0,08 / 360

600 = E x 0,016444E = 36.487,47 €

N = E + DrN = 36.487,47 + 600

N = 37.087,47 €

Dc = N x n x iDc = 37.087,47 x 74 x 0,08 / 360Dc = 609,88 €




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4. DESCUENTO COMPUESTO

4.1. DESCUENTO COMPUESTO COMERCIAL

Se utiliza en operaciones de descuento a largo plazo y es aquel en el que los intereses que sedescuentan se calculan sobre el nominal.

E = N (1 – i)n

Ejercicio: Calcular el efectivo y la cantidad descontada que le corresponden a un capital de 29.000 €, si laoperación dura 3 años y el tanto de descuento compuesto comercial es del 3 % anual.

E = 29.000 (1 - 0,03)3

E = 26.467,52 €

Dc = 29.000 – 26.467,52Dc = 2.532,48 €

TANTO EQUIVALENTE EN INTERES COMPUESTO COMERCIAL

(1 - i) = (1 - ik)k

K i)1( − - 1 = - ik1 - K i)1( − = ik

Ejercicio: Calcular el efectivo y la cantidad descontada que le corresponden a un capital de 2.500 €, si laoperación dura 3 años y medio y el tanto de descuento compuesto comercial es del 4 % anual. Calcular enmeses.

(1 - i) = (1 - ik)k

(0,96) = (1 - i12)12

12 )96,0( - 1 = - i12

0,003396 = i12

E = 2.500 ( 1 – 0,003396)42

E = 2.167,16 €

4.2. DESCUENTO COMPUESTO RACIONAL

NE = (1 + i) n

Ejercicio: Calcular el efectivo de una letra de 2 años de duración, cuyo nominal es de 2.000 € si se descuentacon un tanto de interés del 2 % anual.

2.000E =

(1 + 0,02)2

E = 1.922,34 €

TANTO EQUIVALENTE EN INTERES COMPUESTO RACIONAL

El tanto equivalente se obtiene de igual forma que la capitalización compuesta

(1 + i) = (1 + ik) k K i)1( + - 1 = ik

K i)1( + - 1= ik

4.3. RELACIÓN ENTRE EL DESCUENTO COMPUESTO COMERCIAL Y RACIONAL

Ejemplo: Comprobar que da el mismo efectivo si descontamos 3.500 € al 10 % de descuento compuestoracional durante 2,5 años, que si la hacemos al 9,09 % de tanto de descuento compuesto comercial.

DESCUENTO RACIONAL COMPUESTO3.500

E =(1 + 0,1)

2,5

E = 2.757,95 €

DESCUENTO COMERCIAL COMPUESTOE = 3.500 (1 – 0,0909)

2,5

E = 2.758,02 €



ADMINISTRACIÓN Y FINANZAS. GRADO SUPERIOR TEMA 4. EQUIVALENCIA FINANCIERA

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TEMA 4:

EQUIVALENCIA FINANCIERA

1. INTRODUCCIÓN

Estas operaciones se dan cuando una persona quiere sustituir uno o varios pagos que tiene que realizar(PRIMERA SITUACIÓN) por otros (SEGUNDA SITUACIÓN).

Para que el cambio se pueda realizar se debe cumplir que las dos situaciones, la anterior y la posterior alcambio, sean EQUIVALENTES, es decir, que los EFECTIVOS de ambas situaciones sean iguales.

• PRIMERA SITUACIÓN: Pagos a realizar antes del cambio. Se calcula su efectivo (E1)• SEGUNDA SITUACIÓN: Pagos a realizar después del cambio. Se calcula su efectivo (E2)• EQUIVALENCIA FINANCIERA: E1 = E2

Para calcular los efectivos utilizamos las fórmulas del descuento comercial.

1.1 SUSTITUCIÓN DE UN CAPITAL POR OTRO.

Ejemplo: Una persona tiene que pagar 3.000 € dentro de 30 días. Como ve que no va a poder atender a este pago,solicita su aplazamiento para dentro de 90 días calcula el nominal de este pago si utilizamos un tanto de descuento del10 % anual. Utilizamos año comercial.

PRIMERA SITUACIÓN N = 3.000 €

n = 30 días i = 0,10SEGUNDA SITUACIÓN 0 N = X

n= 90 días

1. PRIMERA SITUACIÓN 2. SEGUNDA SITUACIÓNE1 = 3.000 * ( 1 – 30 * 0,10 / 360)

E1 = 2.975 €E2 = N* (1 – 90 * 0,10 / 360)

E2 = N * 0,9753. EQUIVALENCIA FINANCIERA: E1 = E2

E1 = E2

2.975 = 0,975 * NN = 3.051,28 €

1.2 SUSTITUCIÓN DE VARIOS CAPITALES POR UNO

Ejemplo: Una persona debe pagar 10.000 € el 30-Octubre y 20.000 € el 30-Noviembre. El día 10 de Octubre acude asu banco para negociar la sustitución de estos pagos por uno sólo el día 30-Diciembre. Calcula el nominal de este nuevopago si utilizamos un tanto de descuento del 8 % anual. Utilizar año comercial.

PRIMERA SITUACIÓN10.000 €30 – Octubren = 20 días

20.000 €30 – Noviem.n = 51 días i = 0,08

SEGUNDA SITUACIÓN10-Octubre N

30-Diciem.n = 81 días

Del 10-Octubre al 30 – OctubreOctubre: 30 – 10 = 20Días: 20 días

Del 10 – Octubre al 30 – NoviembreOctubre: 31 – 10 = 21Noviembre: 30

Días: 21 + 30 = 51 días

Del 10 – Octubre al 30 – DiciembreOctubre: 31-10 = 21Noviembre: 30

Diciembre: 30Días: 21 + 30 + 30 = 81 días

- PRIMERA SITUACIÓN:

NOMINALES n NÚMEROS COMER.10.00020.000

2051

200.0001.020.000

30.000 SUMAS 1.220.000

SUMA NÚMEROS COMERCIALES = 1.220.000DIVISOR FIJO = 360 / 0,08 = 4.500

DESCUENTO = 1.220.000 / 4.500 = 271,11 €EFECTIVO = 30.000 – 271,11 = 29.728,89 €

E1 = 29.728,89 €

- SEGUNDA SITUACIÓN:E2 = N * (1 – 81 * 0,08 / 360)

E2 = N * 0,982




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- EQUIVALENCIA FINANCIERA:

E1 = E2 29.728,89 = N * 0,982

N = 30.273,82 €

1.3. SUSTITUCIÓN DE VARIOS CAPITALES POR VARIOS

Ejemplo: Tenemos que efectuar dos pagos: uno de 3.000 € dentro de 3 meses y otro de 6.000 € dentro de 6 meses. Se

quieren sustituir por otros dos: 5.000 € dentro de 9 meses y otro pago dentro de 1 año. Calcular el importe de este últimopago si utilizamos un tanto de descuento del 8 % anual.

PRIMERA SITUAC.N = 3.000 €n = 3 meses

N = 6.000 €n = 6 meses i = 0,08

SEGUNDA SITUAC.N = 5.000 €n = 9 meses

Nn = 12 meses

- PRIMERA SITUACIÓN


36

9.00036.000

9.000 SUMAS 45.000

SUMA NÚMEROS COMERCIALES = 45.000DIVISOR FIJO = 12 / 0,08 = 150

DESCUENTO = 45.000 / 150 = 300 €EFECTIVO = 9.000 – 300 = 8.700 €

E1 = 8.700 €- SEGUNDA SITUACIÓN

E2 = 5.000 * ( 1 – 9 * 0,08 / 12) + N * ( 1 – 12 * 0,08 / 12)E2 = 4.700 + N * 0,92

- EQUIVALENCIA FINANCIERAE1 = E2

8.700 = 4.700 + N * 0,928.700 – 4.700 = N * 0,92

4.000 = N * 0,92N = 4.347,83 €

1.4 ELECCIÓN ENTRE VARIAS FORMAS DE PAGO

Ejemplo: Para comprar un ordenador que vale 2.000 €, nos ofrecen 3 formas de pago:A) Pagar al contado con un descuento del 5 %.B) Pagar 2.100 € dentro de 6 meses.C) Pagar 400 € de entrada y 1.600 € dentro de 12 meses.Elegir la opción más ventajosa para el comprador utilizando un tanto de descuento del 12 % anual.

A) E = 2.000 – ( 5 * 2.000 / 100 ) = 1.900 €B)

N = 2.100 i = 0,12 anual0 n = 6 meses

E = 2.100 * ( 1 – 6 * 0,12 / 12 ) = 1.974 €C)

400 € N = 1.600 i = 0,12 anual0 n = 12 meses

E = 400 + 1.600 * ( 1 – 12 * 0,12 / 12 ) = 1.808 €

2. VENCIMIENTO COMÚN

Si en nuestro ejercicio debemos calcular el vencimiento de uno de los capitales de la segunda situación nos

encontramos con el VENCIMIENTO COMÚN.Ejemplo: Calcular el vencimiento común de dos capitales de 15.000 € y 35.000 € con vencimiento los días 15 de

marzo y 15 de abril, respectivamente, sabiendo que se quiere sustituir por uno solo de 49.700 € y que el tipo dedescuento es del 6 % anual. La operación de sustitución se realiza el 15 de enero.




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PRIMERA SITUACIÓN15.000 €15 - marzon = 59 días

35.000 €15 - abriln = 90 días i = 0,06

SEGUNDA SITUACIÓN15 - enero 49.700 €

n

Del 15-enero al 15-marzoEnero: 31 – 15 = 16

Febrero: 28Marzo: 15Días: 16 + 28 +15 = 59 días

Del 15-enero al 15-abrilEnero: 31 – 15 = 16

Febrero: 28Marzo: 31Abril: 15Días: 16 + 28 +31 +15 = 90 días

- PRIMERA SITUACIÓN:


5990

885.0003.150.000

50.000 SUMAS 4.035.000

SUMA NÚMEROS COMERCIALES = 4.035.000DIVISOR FIJO = 360 / 0,06 = 6.000

DESCUENTO = 4.035.000 / 6.000 = 672,50 €EFECTIVO = 50.000 – 672,50 = 49.327,50 €

E1 = 49.327,50 €

- SEGUNDA SITUACIÓN:E2 = 49.700 * (1 – n * 0,06 / 360)

E2 = 49.700 – (49.700 * 0,06 / 360) * nE2 = 49.700 – 8,283333 * n

- EQUIVALENCIA FINANCIERA:

E1 = E2 49.327,50 = 49.700 – 8,283333 * n

49.327,50 – 49.700 = - 8,283333 * n- 372 ,50 = - 8,283333 * n

n = 44,97 díasContamos 44 días a partir del 15 de enero. El vencimiento será el 28 de febrero.

3. EL VENCIMIENTO MEDIO

En los ejercicios en los que tengamos que calcular el vencimiento y nos encontramos que la suma de los capitales asustituir sea igual a la suma de los capitales que los sustituyan, debemos utilizar la formula del vencimiento medio.

N1 * n1 + N2 * n2 + N3 * n3 n =N1 + N2 + N3

N1 + N2 + N3 = N

Ejemplo: Una persona tiene que efectuar 3 pagos de 1.000 €, 2.000 € y 3.000 € dentro de 30 ,60 y 90 días,respectivamente. Si se quieren sustituir por uno sólo de 6.000 € calcula el vencimiento de este nuevo pago.

1.000 * 30 + 2.000 * 60 + 3.000 * 906.000

30.000 + 120.000 + 270.0006.000

n = 70 días

3.1 CASO PARTICULAR DEL VENCIMIENTO MEDIO

Un caso particular del vencimiento medio nos lo encontramos cuando los capitales que se quieren sustituir soniguales:

n1 + n2 + n3 n =3

Ejemplo: Tres capitales de 3.000 € con vencimientos a los 30,40 y 60 días, quieren sustituirse por uno sólo de 9.000€ ¿Cuál será el vencimiento del mismo

n = (30 + 40 +60) / 3 = 43,33 días




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4. EQUIVALENCIA DE CAPITALES EN CAPITALIZACIÓN COMPUESTA

Ejercicio: Comprobar que los capitales de 10.000, 5.000 y 3.300 €, cuyos vencimientos se producen dentro de 1,5, 2 y 4años respectivamente, son equivalentes a los capitales 3.500, 4.000 y 14.280,31, con vencimiento dentro de 1,3 y 5 añossi se valoran al 10 % anual y se comparan en capitalización compuesta.

10.000 5.000 3.300E1 = (1,1) 1,5 + (1,1) 2 + (1,1) 4

E1 = 8.667,84 + 4.132,23 + 2.253,94

E1 = 15.054,01 €

3.500 4.000 14.280,31E2 =

(1,1) 1 +

(1,1) 3 +

(1,1) 5

E2 = 3.181,82 + 3005,26 + 8.866,95

E2 = 15.054,03 €

Ejercicio: Calcula el capital equivalente al conjunto de capitales 2.000, 5.000 y 3.300 €, con vencimiento dentro de 18meses, 25 meses y 12 meses, si se desean sustituir por un capital con vencimiento dentro de 14 meses. Tanto devaloración 12 % anual.

(1 + i ) = (1 + ik) k

1,12 = (1+i12)12

12 12,1 - 1 = i 12

0,009489 = i12

2.000 5.000 3.300E1=

(1,009489) 18 +

(1,009489) 25 +

(1,009489) 12

E1 = 1.687,34 + 3.948,48 + 2.946,42E1 = 8.582,24 €

NE2= (1,009489) 14

NE2= 1,141359

E1 = E2

N8.582,24 = 1,141359

N = 9.795,42 €

5. VENCIMIENTO COMÚN EN CAPITALIZACIÓN COMPUESTA

Ejercicio: Calcular cuándo será equivalente un capital de 136.000 €, si se desea que sustituya a tres capitales de cuantía24.000, 40.000 y 56.000 €, con vencimientos a los 4, 5 y 6 años respectivamente. Tanto de valoración: 5 % anual.

24.000 40.000 56.000E1=

(1,05) 4 +

(1,05) 5 +

(1,05) 6

E1 = 19.744,86 + 31.341,05 + 41.788,06E1 = 92.873,97 €

136.000E2=

(1,05) n

E1 = E2136.000

92.873,97 = (1,05)n

92.873,97 x (1,05)n = 136.000




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136.000(1,05) n = 92.873,97

(1,05) n = 1,46435n log 1,05 = log 1,46435n x 0,021189 = 0,165645

n = 7,82 años

1 año ----- 12 meses

0,82 ----- X

X = 9,84 meses

6. TANTOS MEDIOSSean C1, C2 ….Ct un conjunto de capitales invertidos a unos tantos de interés i1, i2,…..it durante n periodos, llamamos

tanto medio i a aquel que aplicamos sobre ese conjunto de capitales durante esos n periodos produce el mismo montanteo mismo interés que el grupo de capitales.

6.1 TANTO MEDIO EN CAPITALIZACIÓN SIMPLEI1 + I2 + …. + In = I

C1 x n x i1 + C2 x n x i2 + ….. + Cn x n x in = C x n x iC1 x i1 + C2 x i2 + ….. + Cn x in = C x i

∑=

n

h

Chxih

1

i =

∑=

n

h

Ch

1

Ejemplo:Bautista Flores tiene abiertas tres cuentas bancarias que le proporcionan la siguiente rentabilidad:a) Banco BASA, 6 % anual simple.b) Banco ZASA, 4 % anual simple.c) Banco TASA, 7 % anual simple.En el primer banco tiene 2.000 €, en el segundo 3.500 € y en el tercero 8.000 €.

a) ¿Cuál es el tanto medio de su inversión?b) Comprobar que se obtiene el mismo resultado sumando la capitalización de cada capital a su tipo de interés durante1,5 años que capitalizando todos ellos al tipo de interés medio.

a)2.000 x 0,06 = 1203.500 x 0,04 = 1408.000 x 0,07 = 560

13.500 820

820i =13.500

= 0,060741

b)

I = 2.000 x 1,5 x 0,06 = 180I = 3.500 x 1,5 x 0,04 = 210I = 8.000 x 1,5 x 0,07 = 840

1.230

I = 13.500 x 1,5 x 0,060741I = 1.230 €

6.2. TANTO MEDIO EN CAPITALIZACIÓN COMPUESTA

Sean un conjunto de capitales Ch invertidos a unos tantos de interés, ih durante n periodos, llamamos tantomedio im, a aquel que aplicado sobre ese conjunto de capitales durante esos n periodos producen el mismo montante, o mismo interés total, que el grupo de capitales .

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )n m h n

m n

m n

h h n n

i C i C i C i C i C i C ++++++=++++++ 111111 212211 KK




Página 6

( ) ( ) ( ) ( )n m h

n

h h

n n i C C C i C i C i C ++++=++++++ 1)(111 212211 KK

( ) ( ) n

m

n

h

h

n

h

n

h

h i C i C +=+ ∑∑==

1111

( )

( ) n

m n

h

h

n

h

n

h

h

i

C

i C

+=

+

∑

∑

=

= 1

1

1

1

tomando raíz e-nesima en ambos miembros y despejando im:

1

)1(

1

1

1−

+

=

∑

∑

=

=

n

n

h

h

n

h

n

h

h

m

C

i C

i

Ejemplo 1:

El Sr. Rodríguez, posee tres inversiones diferentes a interés compuesto durante dos años y desea saber cual esla rentabilidad media de las mismas. Sabiendo que las inversiones son:

1. 8.700 euros al 4% anual2. 10.000 euros al 5% anual3. 12.300 euros al 6 % anual

1

)1(

1

1

1−

+

=

∑

∑

=

=

n

n

h

h

n

h

n

h

h

m

C

i C

i

h Ch (1+i)n Ch (1+i)n 1 8.700 (1,04)2 9.409,922 10.000 (1,05)2 11.025,003 12.300 (1,06)2 13.820,28

Totales 31.000 34.255,20

0511929,01000.31

20,255.34 2

1

=−

=m i

im = 5,11%

También:

( ) ( ) n

m

n

h

h

n

h

n

h

h i C i C +=+ ∑∑==

1111

( ) ( ) ( ) ( )2222 1000.3106,1300.1205,1000.1004,1700.8 m i +=++

im = 5,11%



ADMINISTRACIÓN Y FINANZAS. GRADO SUPERIOR RENTAS CONSTANTES. TEMA 5

Página 1

TEMA 5: RENTAS

1. INTRODUCCIÓN

Llamamos renta a una sucesión de capitales que se hacen efectivos en vencimientos periódicos. Ejemplo: alquiler,

salarios, préstamos, etc.A cada uno de estos capitales se le denominan términos o anualidades (A). Llamamos duración al número de términos que lo componen (n). Llamamos vencimiento al momento en el que se hace efectivo el capital durante el periodo. Puede ser al principio como

el caso de los alquileres o al final como el de los sueldos.

Ejemplo: Una persona ingresa 1.000 € anuales al final de los próximos 4 años en una entidad que le paga el 6 % de interésanual.

1.000 1.000 1.000 1.0000 1 2 3 4

i = 0,06

Términos (A): 1.000 €Duración (n) = 4 años

Tanto de interés (i) = 0,06 anual

• CLASES DE RENTA

1. Rentas constantes y rentas variables.

- Rentas constantes: los términos son todos de la misma cuantía.- Rentas variables: los términos cambian sus importes. Puede ser variabilidad conocida, en progresión aritmética ogeométrica o de variabilidad no conocida.2. Rentas fraccionadas o rentas no fraccionadas.- Rentas fraccionadas: transcurren menos de un año del vencimiento un término a otro.- Rentas no fraccionadas: Entre término y término transcurre un año.3. Rentas pospagables o por vencido y rentas prepagables o por anticipado.

- Rentas pospagables: los vencimientos de los pagos son al final de cada periodo.- Rentas prepagables: los vencimientos de los pagos son al principio de cada periodo.4. Rentas inmediatas, rentas diferidas y rentas antificipadas.- Rentas inmediatas: el primer pago se realiza en el momento en el que se pacta la operación.- Rentas diferidas: el primer pago se realiza al cabo de varios años desde que se pactó la operación- Rentas anticipadas: El vencimiento se produce en un momento posterior al pago del último término.5. Rentas temporales y perpetuas.

- Rentas temporales: tienen un número finito de términos.- Rentas perpetuas: tienen un número infinito de términos.

2. RENTAS TEMPORALES, CONSTANTES, INMEDIATAS, VENCIDAS, NO FRACCIONADAS

Sean а1, а2, а3,..., аn-1, аn, los nominales de varios capitales, con vencimientos en 1, 2, 3, ..., n-1, n añosrespectivamente y queremos calcular su valor actual, V0. Gráficamente:

V0 =? а1 а2 а3 аn-1 аn

0 1 2 3 n-1 n




Página 2

VALOR ACTUAL

n n a i

a i

a i

a i

a i

a V V )1(

1

)1(

1

)1(

1

)1(

1

)1(

113210

+

+

+

++

+

+

+

+

+

==−

K

sacamos factor común de а:

+

+

+

++

+

+

+

+

+

==− n n a

i i i i i a V V

)1(

1

)1(

1

)1(

1

)1(

1

)1(

113210 L

Si observamos los términos del corchete, tenemos la suma de una serie en progresión geométrica 1 de razón

)1(1

i +

. Por tanto:

+

−

+

×

+

−

+=

)1(1

1

)1(1

)1(

1)1(

1

i

i i i a V

n

a

Si multiplicamos numerador y denominador (1+i):

−+

+

−

=

1)1( )1(

11

i i a V

n

a

(1+i)n -1Va = a (1+i)n

1 + i - 1

(1+i)n -1Va = a (1+i)n

i

Va = a (1+i)n

- 1(1+i)n x i

Vo = a x a n , i

(1 + i ) n - 1a n , i = (1 + i ) n x i

En las operaciones de financiación el VALOR ACTUAL es el IMPORTE DEL PRÉSTAMO, y las cantidades que tenemosque pagar periódicamente para su devolución serían sus TÉRMINOS.

1 Sabemos quer

r a a S n

g −

⋅−=

11

V0 =? а а а а а

0 1 2 3 n-1 n




Página 3

En las operaciones de inversión el VALOR ACTUAL sería el importe que INGRESAMOS en el banco, para poder recibirunas cantidades periódicamente.

Ejemplos:

1. Calcular el valor actual de una renta de 2.000 € anuales, durante 6 años, utilizando un tanto de interés del 10 %.

A = 2.000 (1 + i ) n - 1

n = 6 años a n , i = (1 + i )n

x ii = 0,10 (1,10) 6 - 1a 6 , 0,10 = (1,10) 6 x 0,10

= 4,355261

V 0 = a x a 6 , 0,10V 0 = 2.000 x 4,355261

V0 = 8.710,52 €

2. Una persona solicita un préstamo de 20.000 € que debe devolver mediante el pago de 5 anualidades constantes y porvencido. Calcular la cuantía de cada anualidad utilizando un tipo de interés del 12 %.

V0 = 20.000 (1 + i ) n - 1n = 5 años

A n , i = (1 + i )n x ii = 0,12 (1,12) 5 - 1A 5 , 0,12 =

(1,12)5

x 0,12= 3,604776

V0 = a x a 5 , 0,12

20.000 = V0 x 3,604776V0 = 20.000 / 3,604776

V0 = 5.548,19 €

3. Para devolver un préstamo de 30.000 € debemos pagar anualmente por vencido la cantidad de 3.698,73 €. Calculardurante cuántos años debemos pagar esta cantidad si el tipo de interés es del 4 %.

V0 = 30.000 V 0 = a x a n , iA = 3.698,73 30.000 = 3.698,73 x A n , 0,04

i = 0,04 a n , 0,04 = 30.000 / 3.698,73

n = x a n , 0,04 = 8,110892

(1,04) n - 1a n , 0,04 = (1,04) n x 0,04

= 8,110892

(1,04) n – 1 = 8,110892 x ( 1,04)n x 0,04(1,04) n – 1 = 0,324436 x ( 1,04)n (1,04) n - 0,324436 x ( 1,04)n = 1( 1 – 0,324436 ) x (1,04) n = 1

0,675564 x (1,04) n = 1(1,04) n = 1 / 0,675564

(1,04) n = 1,480245n x log 1,04 = log 1,480245n x 0,017033 = 0,170334n = 0,170333 / 0,0170334

n = 10 años

4. Calcular el tanto de interés compuesto anual al que nos han prestado 100.000 euros, si hemos de amortizarlo mediante 5anualidades, inmediatas postpagables de 24.389,07 euros.

Va = A x A n,i100.000 = 24.389,07 x A 5,i

xii

i

5

5

)1(

1)1(100197,4

+

−+=

Por aproximaciones sucesivas:

%10=i A 5 , 0,10 = 3,7907

%5=i A 5 , 0,05 = 4,3294

%7=i A 5 ,0,07 = 4,100197




Página 4

VALOR FINAL

Se utiliza cuando una persona desea acumular un capital y quiere saber que cantidad recibiría al final de la operación.Si todos los capitales son iguales а1 = а2 = ... = аn = а, su valor final, Vf = Vn será: y su expresión financiera:

01321 )1()1()1()1()1( i a i a i a i a i a V V n n n n f ++++++++++==

−−−L

sacamos factor común de а:

1)1()1()1()1( 1321+++++++++==

−−− i i i i a V V n n n

n f L

Si observamos los términos del corchete, tenemos la suma de una serie en progresión geométrica 2 de razón

)1(1

i +

. Por tanto:

+

−

+

×−+

=

−

)1(

11

)1(

11)1(

1

i

ii

aV

n

n

Si multiplicamos numerador y denominador (1+i):

−+

−+=

1)1(

1)1(

i

iaV

n

n

operando el denominador:

−+=

i

iaV

n

n

1)1(

Vn = a x S n , i

(1 + i ) n - 1S n , i = i

Ejemplos:

2 Sabemos quer

r a a S n

g −

⋅−=

11

Vn =?

а а а а а

0 1 2 3 n-1 n




Página 5

1. Un empleado al que faltan 15 años para jubilarse desea acumular un capital de 24.000 €, mediante entrega decantidades al final de cada año. Calcular la cuantía de las anualidades si valoramos la operación con un tanto de interés del 8%.

Vn = 24.000 (1 + i ) n - 1n = 15 años

S n , i = ii = 0,08 (1,08) 15- 1A = x

S 15 , 0,08 = 0,08

= 27,152114

V n = A x S 15 , 0,08

24.000 = A x 27,152114A = 24.000 / 27,152114

A = 883,91 €

2. Una persona quiere conseguir tener un capital de 53.740,75 € mediante la entrega de 2.000 € anuales por vencido enun banco que ofrece un tanto de interés del 3 %. Calcular durante cuántos años deberá realizar estos ingresos.

Vn = 53.740,75 V n = A x S n , i

A = 2.000 € 53.740,75 = 2.000 x S n , 0,03

i = 0,03 S n , 0,03 = 53.740,75 / 2.000

n = x S n , 0,03 = 26,870375

(1,03)n

- 1S n , 0,03 = 0,03 = 26,870375

(1,03) n – 1 = 26,870375 x 0,03(1,03) n – 1 = 0,806111( 1,03)n = 0,806111 + 1

( 1,03)n = 1,806111n x log 1,03 = log 1,806111n x 0,012837 = 0,256744n = 0,256744 / 0,012837

n = 20 años

3. RENTAS CONSTANTES, INMEDIATAS, NO FRACCIONADAS, TEMPORALES Y PREPAGABLES

Las anualidades se reciben al principio de cada periodo.

a a a a0 1 2 3 4

i

Vo Vn

3.1 VALOR ACTUAL

Vo = a x a n , i x (1 + i)

Ejemplos: 1. ¿Cuál será la cantidad que tendremos que depositar en un banco que ofrece el 3,5 % de interés anual, si queremosrecibir al comienzo de cada uno de los próximos 8 años una renta de 8.000 €?

A = 8.000 (1,035) 8 - 1n = 8 años

A 8 , 0,035 = (1,035) 8 x 0,035

= 6,873956

i = 0,035 V 0 = A x A 6 , 0,10 x (1 + i ) V 0 = 8.000 x 6,873956 x (1,035)

V0 = 56.916,36 €

VALOR FINAL

Vo = A x S n , i x (1 + i)

Ejemplos:

1. Calcula el valor final de una renta prepagable, constate e inmediata de 30.000 € anuales sabiendo que la operaciónfinanciera dura 5 años y el tipo de interés es del 4 %.




Página 6

A = 30.000 (1,04)5 - 1n = 5 años

S 5 , 0,04 = 0,04

=5,416323

i = 0,04 V n= A x S 5 , 0,10 x (1 + i )

V n = 30.000 x 5,416323 x (1,04)Vn = 168.989,26 €

4. RENTAS CONSTANTES, NO FRACCIONADAS, TEMPORALES, VENCIDAS Y DIFERIDAS

PERIODO DE CARENCIA A A A 0 1 2 3 4 5

i

Vo Vn

4.1 VALOR ACTUAL

d/Vo = A x A n , i x (1 + i) -d

Ejemplo:

1. Para comprar un coche cuyo valor al contado es de 20.000 €, nos ofrecen no pagar ninguna cantidad durante los 3primeros años y después efectuar 6 pagos anuales por vencido. Determinar la cuantía de estos pagos si utilizamos un tantode interés del 3 %.

Vo = 20.000 (1,03) 6 - 1d = 3 años

A 6 , 0,03 = (1,03) 6 x 0,03

= 5,417191

n = 6 años V 0 = A x A 6 , 0,03 x (1,03) -3

i = 0,03 20.000 = A x 5,417191 x 0,915142

20.000 = A x 4,957499A = 20.000 / 4,957499

A = 4.034,29 €

4.2 VALOR FINAL

Para calcular el valor final no se tiene en cuenta el periodo de carencia.

d / Vn = A x S n , i

5. RENTAS CONSTANTES, VENCIDAS, INMEDIATAS, NO FRACCIONADAS Y PERPETUAS

A A A A A 0 1 2 3 4 ∞ i

Vo Vn

5.1. VALOR ACTUAL

Vo = A / i

Ejemplo:

1. Calcula el valor valor actual de una renta, prepagable, perpetua, constante e inmediata de 10.000 €, anuales, sabiendoque el tipo de interés es del 3 %.

V0 = A / iV0 = 10.000 / 0,03V0 = 333.333,33 €




Página 7

5.2 VALOR FINALNo se puede calcular por tener una duración infinita.

6. RENTAS CONSTANTES, VENCIDAS, INMEDIATAS, NO FRACCIONADAS Y ANTICIPADAS

En general, diremos que una renta es anticipada cuando el momento de su valoración es posterior alfinal de la renta, por tanto, la anticipación sólo afectará a los valores finales.

A A A A0 1 2 3 n =4 h i

Vo Vn Vn+h

5.2. VALOR ACTUAL

El valor final no cambia en las rentas anticipadas

5.2 VALOR FINAL

a/Vn = A x S n , i x (1 + i) h

También se podría resolver calculando el valor actual de la renta y después la capitalizamos hasta el momento n+h.

a/Vn = A x A n , i x (1 + i) n+h

1. Calcular el valor final de una renta postpagable, anticipada en 7 años, con 12 términos anuales de 50.000euros cada uno, valorada al 8% de interés compuesto anual.

A = 50.000 € (1 + i ) n - 1n = 12 términos

S n , i = ii = 0,08 (1,08) 12 - 1H = 7 S 12 , 0,08 = 0,08 = 18,977126

a/V n = A x S 12 , 0,08 x (1,08) 7

a/V n = 50.000 x 18,977126 x 1,713824a/V n = 1.626.172,70 €



1º ADMINISTRACIÓN Y FINANZAS. GRADO SUPERIOR TEMA 6: RENTAS VARIABLES

Pág. 1

TEMA 6:RENTAS VARIABLES

1. RENTAS VARIABLES EN GENERAL

Son aquellas rentas en las que los términos no son constantes, su valor actual y final se calculan a partir delprincipio de equivalencia financiera, actualizando (valor actual) o capitalizando (valor final), término a término ysumando sus resultados en el momento de la valoración.

Son rentas similares, en sus características, a las anteriores, en las que los términos de la renta varían singuardar relación alguna entre sí y, por tanto, no podremos obtener una expresión financiera reducida que pudierasimplificar los cálculos. Gráficamente lo podemos representar:

Y su expresión financiera:

1 1 1 1 1Vo = A1 (1+i)1 + A2 (1+i)2

+A3 (1+i)3 +…..+ An-1 (1+i)n-1

+An (1+i)n

Ejemplo:Calcular el valor actual de una renta cuyos términos son 100, 350, 100 y 50 euros con vencimientos dentro

de 1, 2, 3, y 4 años respectivamente, si se valora al 4% de interés compuesto anual.

1 1 1 1Vo = 100

(1,04)1

+ 350(1,04)

2

+ 100(1,04)

3

+ 50(1,04)

4

Vo = 551,39 €

2. RENTAS VARIABLES EN PROGRESIÓN GEÓMETRICA

Son rentas variables, con la particularidad de que sus términos varían en forma de progresión geométricade razón q > 0.

2.1 VALOR ACTUAL DE UNA RENTA INMEDIATA POSTPAGABLE (VO (P.G.))


De donde, su Va(g) = V0 será:

V0 =? а1 а1 x q а1 x q2 а1 x qn-2 а1 x qn-1

0 1 2 3 n-1 n

V0 =? а1 а1q1

а1q2 а1q

n-2 а1q

n-1

0 1 2 3 n-1 n

а1 а2 а3 аn-1 аn

0 1 2 3 n-1 n




Pág. 2

y su expresión financiera:

Vo (p.g.) = A1 q o V 1 + A1 q 1 V 2 + A1 q 2 V 3 +…..+ A1 q n-2 V n-1 + a1qn-1V n

Si sacamos factor común de а1V nos quedará:

Vo (p.g.) = A1 V1 (1 + q 1 V 1 + q 2 V 2 +…..+q n-2 V n-2 + q n-1V n-1)

Si observamos los términos del corchete, tenemos la suma de una serie en progresión geométrica de razónqV.

A 1 – A n x rProg. Geom.

1 - r

Por tanto:

1 – qn-1

Vn-1

x q vVo (p.g.) A1 V

1

1 -q v

1 – q n V n Vo (p.g.) A1 V1

1 -q v

si multiplicamos y dividimos por (1+i), nos quedará:

1 – q n x V n Vo (p.g.) = a1 x1+ i - q

⇒ Caso particular 1: q = (1+i)

Vo (p.g.) = A1 x V1 x n⇒ Caso particular 2: q = 1

Vo (p.g.) = A x A n,,i

Ejemplo:Calcular el valor actual de una renta inmediata postpagable de 10 términos, sabiendo que la cuantía del

primero es de 50.000 euros y que varia a razón del 4% anual acumulativo, si:a) Se valora al 6% de interés anual compuesto.b) Se valora al 4% de interés anual compuesto.c) Se valora al 4% de interés anual compuesto y q = 1.

a) Al 6% anual compuesto

11 – (1,04)

10

(1,06)10

Vo (p.g.) = 50.000 x

1+ 0,06 – 1,04

11 – 1,480244

1,790848Vo (p.g.) = 50.000 x

0,02

0,1734396Vo (p.g.) = 50.000 x

0,02

V0 (p.g.) = 433.599 €




Pág. 3

b) Al 4% anual compuesto

1Vo (p.g.) = 50.000 x

(1,04)X 10

Vo (p.g. = 480.769,23 €

c) Se valora al 4% anual compuesto y q = 1.

Vo (p.g.) = A x A n,i Vo (p.g.) = 50.000 x A 10:0,04

Vo (p.g.) = 50.000 x 8,110896Vo (p.g.) = 405.544,79 €

2.2 VALOR FINAL DE UNA RENTA INMEDIATA POSTPAGABLE (Vn (p.g.)

Sean а1, а2, а3,..., аn-1, аn, los nominales de varios capitales, con vencimientos en 1, 2, 3, ..., n-1, n añosrespectivamente y queremos calcular su valor final, Vn. Gráficamente:

(1+i) n – q n Vn (p.g.) = A1 x1 + i - q

Para los casos particulares:

⇒ Caso particular 1: q = (1+i)

Vn (p.g.) = A1 x V1 x n x (1+i) n

Vn (p.g.) = A1 x n x (1+i) n-1

⇒ Caso particular 2: q = 1Vn (p.g.) = A x A n,,i x (1+i) n

Vn (p.g.) = A x S n , i

2.3. RENTA EN PROGRESIÓN GEOMÉTRICA PERPETUA

⇒ Valor actual de una renta perpetua inmediata postpagable (Po(p.g.))

Sean а1, а2, а3, ..., los nominales de infinitos capitales, con vencimientos en 1, 2, 3, ..., años respectivamentey queremos calcular su valor actual, P0. Gráficamente:

1Po (p.g.) = a1 x1 + i - q

Ejemplo:Calcular el valor actual de una renta anual perpetua inmediata postpagable, siendo su primer término 10.000

euros, la razón 1,04 y el tanto de valoración el 8% de interés compuesto anual

1Po (p.g.) = 10.000 x

1,08 – 1,04

Po (p.g.) = 250.000 €

Vn =? а1 а2 а3 аn-1 аn

0 1 2 3 n-1 n




Pág. 4

3. RENTA ANUAL, VARIABLE EN PROGRESIÓN ARITMÉTICA, TEMPORAL, INMEDIATAPOSTPAGABLE

Son rentas variables, con la particularidad de que sus términos varían en forma de progresión aritmética derazón r.

3.1. VALOR ACTUAL DE UNA RENTA INMEDIATA POSTPAGABLE (Vo(p.a.))


Que también podemos representar y descomponer de esta otra forma:


Vo (p.a.) = A1 x A n,i + r x A n-1, i x V1

+ r x A n-2 x V2

+ ..... + r x A 2,i x Vn-2

+ r x A 1,i x Vn-1

Si sacamos factor común de r y sustituimos los factores A n,i por su expresión:

1 – Vn-1

1 – Vn-2

1 – V2

1- V1

Vo (p.a.) = (A1 x A n,i) + r (i

x V +i

x V2

+ ….+ i

X Vn-2

i

x Vn-1

)

Si efectuamos los productos:

V – Vn

V2 – V

nV

n-2– V

nV

n-1- V

n

Vo (p.a.) = (A1 x A n,i) + r (i

+i

+ …. +i

+i

)

Sacando factor común de i:

rVo (p.a.) = (A1 x A n,i) +

i( V – V

n+ V

2 – V

n+ …. + V

n-2– V

n+ V

n-1- V

n)

Si, dentro del corchete, sumamos y restamos Vn, nos queda:

rVo (p.a.) = (A1 x A n,i) +

i( V – V

n+ V

2 – V

n+ …. + V

n-2– V

n+ V

n-1– V

n+ V

n– V

n)

y ordenando sus términos:

rVo (p.a.) = (A1 x A n,i) +

i( V + V

2+ …. + V

n-1+ V

n– n V

n)

а1 а1+r а1+2r а1+(n-2)r а1+(n-1)r

0 1 2 3 n-1 n а1 а1 а1 а1 а1

r r r r

r r r

r r

r

Filas

1

2

3

: n-1

n

: :

V0 =? а а + r а + 2 r а+(n-1) r а +n r

0 1 2 3 n-1 n




Pág. 5

donde, la primera parte del corchete sabemos que es A n,i y por tanto, nos quedará:

qvo (p.a.) = a1 x A n,i + ix (A n,i – n x V n)

3.2. VALOR FINAL DE UNA RENTA INMEDIATA POSTPAGABLE (Vo (p.a.))

Sean а1, а2, а3,..., аn-1, аn, los nominales de varios capitales, con vencimientos en 1, 2, 3, ..., n-1, n añosrespectivamente y queremos calcular su valor final, Vn. Gráficamente:

qVn (p.a.) = a1 x S n,i + i x (S n,i – n)

Ejemplo:

Calcular el valor actual y final de una renta postpagable, variable en progresión aritmética, cuyo primer término es de100 euros, la razón de la progresión 20 euros, se valora al 8% de interés anual y tiene una duración de 10 años.

a) Valor actual:

qvo (p.a.) = a1 x A n,i + i

x (A n,i – n x Vn)

20 1vo (p.a.) = 100 x A 10:0,08 + 0,08 x (A 10:0,08 – 10 (1,08)10

)

V0 (p.g.) = 100 x 6,710081 + 250 x ( 6,710081 – 10 x 0,463193)

Vo (p.g.) = 671,01 + 519,54

Vo (p.g.) = 1.190 ,55 €

b) Valor Final:

qvn (p.a.) = a1 x S n,i + ix (S n,i – n)

20vn (p.a.) = 100 x S 10:0,08 +

0,08x (S 10:0,08 – 10)

vn (p.a.) = 100 x 14,486562+ 250 x (14,486562 -10)

Vn (p.g.) = 1.448,66 + 1.121,64

Vn (p.g.) = 2.570,30 €

3.3 RENTA EN PROGRESIÓN ARITMÉTICA PERPETUA

Sean а1, а2, а3, ..., los nominales de infinitos capitales, con vencimientos en 1, 2, 3, ..., años respectivamentey queremos calcular su valor actual, V0. Gráficamente:

Vn =? а1 а2 а3 аn-1 аn

0 1 2 3 n-1 n




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1 qPo (p.a.) = i x (a1 + i )

Ejemplo:Calcular el valor actual de una renta anual perpetua postpagable variable en progresión aritmética, si el primer

término asciende a 500 euros, su razón es 30 euros, y el tanto de valoración el 3% de interés compuesto anual. ¿Y sila renta es prepagable?

a) Postpagable:

1 qPo (p.a.) =

ix (a1 +

i)

1 30Po (p.a.) =0,03

x ( 500 + 0,03)

Po (p.a. ) = 33,33333 x 1.500

Po (p.a.) = 50.000 €

b) Prepagable:

1 qPo (p.a.) =

ix (a1 +

i) x (1+i)

P’o (p.a.) = 50.000 x 1,03

P’ o (p.a.) = 51.500 €

0 1 2 3 ∞

V0 =? а1 а2 а3 а а



1º ADMINISTRACIÓN Y FINANZAS. GRADO SUPERIOR GESTIÓN FINANCIERA. TEMA 7

Pág. 1

TEMA 7RENTAS FRACCIONADAS

1. INTRODUCCIÓN

En la actividad normal de las entidades financieras es muy frecuente que la periodicidad con que se hacen

efectivos los sucesivos términos no sean anuales, como hasta ahora hemos venido estudiando, produciéndose pagos ycobros mensuales, trimestrales, semestrales, etc., es decir, para periodos distintos al año.

Una renta fraccionada, es una serie de capitales disponibles que se van produciendo en períodos inferiores alaño. (mensualmente, trimestralmente, etc.)

2. RENTA FRACCIONADA, CONSTANTE, TEMPORAL, INMEDIATA POSTPAGABLE

2.1 Valor actual de una renta inmediata postpagable, en función del tanto fraccionado Vo (k)

Sean а1, а2, а3,..., аnk-1, аnk, los nominales de varios capitales, con vencimientos en 1, 2, 3, ..., nk-1, nk periodosrespectivamente y queremos calcular su valor actual, V0. Gráficamente:

Si todos los capitales son iguales а1 = а2 = ... = аnk = аk su valor actual, Vo (k) = V0 será:

1 1 1 1 1Vo = A k

(1 + i k)1

+ A k

(1 + i k)2

+ A k

(1 + i k)3

+ …. + A k

(1 + i k)nk-1

+ A k

(1 + i k)nk

Vo(k) = A k x A nk : ik

i k = tanto fraccionado (mensual, trimestral etc.)A k =Cantidad que se paga en el periodo fraccionado(Mensualidad, trimestralidad, etc.nk = Número de periodos fraccionados (meses, trimestres, Etc.)

Ejemplo:Calcular el valor actual de una renta inmediata postpagable de 4.000 euros trimestrales que vamos a recibir

durante 3 años si se valorada al 3% de interés compuesto trimestral.Vo(k) = A k x A nk :ik

Vo(k) = 4.000 x A 12 :0,03 Vo (k) = 4.000 x 9,954004

Vo (k) = 39.816,02 €

2.2 Valor actual de una renta inmediata postpagable, en función del tanto anual i

En la expresión obtenida en el epígrafe anterior:

(1+i k)n k – 1Vo (k) = A k

x (1+i k)

n k x ik sabiendo que:

(1 + i) = (1 + i k)nk

Jk i k =

k

y sustituyendo:

(1+i )n – 1J k Vo (k) = A k

x

(1+i)n

xk

а1 а2 а3 аnk-1 аnk

0 1 2 3 nk-1 nk

V0 =? а1 а2 а3 аnk-1 аnk

0 1 2 3 nk-1 nk




Pág. 2

(1+i )n

– 1 kVo (k) = A k

x

(1+i)n

x J k

Si multiplicamos y dividimos por i y reordenamos:

(1+i )n

– 1 k iVo (k) = A k

x

(1+i)n

x J k x i

(1+i )n

– 1 iVo (k) = A k

x

(1+i)nx i

x k x J k

nos queda:

iVo (k) = A k x A n : i x k xJk

Nota: en adelantek j

i k = factor de fraccionada

Ejemplo:Una institución educativa me ofrece en concepto de beca 500 euros al final de cada mes durante 2 años. ¿Qué

capital equivalente a todas las mensualidades debería percibir hoy si la valoración se hace al 6% de interés compuestoanual?

(1,06) = (1 + i 12 )12

i 12 = 0,004867551

J 12 = i 12 x 12J 12 = 0,058410606

iVo (k) = A k x A n : i x k x

jk

0,06Vo (k) = 500 x A 2:0,06 x 12 x

0,058410606

Vo (k) = 500 x 1,8333923 x 12 x 1,0272107Vo (k) = 11.299,68 €

2.3 Valor final de una renta inmediata postpagable, en función del tanto fraccionado ik (Vn (k)

Sean а1, а2, а3,..., аnk-1, аnk, los nominales de varios capitales, con vencimientos en 1, 2, 3, ..., nk-1, nk periodosrespectivamente y queremos calcular su valor final, Vnk. Gráficamente:

Si todos los capitales son iguales а1 = а2 = ... = аnk = аk, su valor final, Vf(k) = Vnk será:


Vn (k) = A k (1 + i k)nk -1

+ A k (1+ i k)nk-2

+ A k (1 + ik)nk-3

+ ….. + A k (1 + ik)1

+ A k (1 + ik)0

( 1 + i k ) nk - 1Vn (k) = A k

i k

Vn (k) = A k x S nk: ik

0 1 2 3 nk-1 nk

Vnk =?

а1 а2 а3 аnk-1 аnk

0 1 2 3 nk-1 nk

Vnk =?

аk аk аk аk аk




Pág. 3

2.4 Valor final de una renta inmediata postpagable, en función del tanto anual i

Si partimos del valor final para el caso de una renta anual a tanto de interés anual:

Vn = A x S n:i

Y la multiplicamos por el factor de fraccionada k j

i

k :

iVn (k) = Ak x S n:i x k xJk

2.5 Calculo del Valor final (Vn (k)) a partir del Valor actual (Vo (k))

Sea Va(k) el valor actual de varios capitales а1, а2, а3,..., аnk-1, аnk, con vencimientos en 1, 2, 3, ..., nk-1, nk periodos, respectivamente. Si todos los capitales son iguales а1 = а2 = ... = аnk = аk y calculamos su valor actual con: Va(k) = A x A nk: ik. Gráficamente:

para obtener el Vf(k), bastará con capitalizar Va(k) hasta el momento nk:

Es decir:

V n (k) = Vo (k) (1 + i k ) n k

Nota: en adelante (1+ik)nk = factor de valor final para rentas fraccionadas

También podríamos multiplicar el V o (k) por el factor de valor final (1+i)n:

V n (k) = V o (k) (1 + i) n

Nota: Todo lo anterior, nos lleva a reflexionar y poder determinar que los factores de:

valor final (1+i)n = (1+ik)nk

prepagable (1+i) (1+ik)

diferida Vd = Vkdk

anticipada (1+i)h = (1+ik)hk

serán los mismos que obtuvimos para rentas anuales, pero adaptándolos a rentas fraccionadas, según los casos. Por elloen el resto de epígrafes nos l imitaremos a aplicar dichos factores a la renta en cuestión.

Va(k) Vf(k) =?

0 1 2 3 nk-1 nk

Va(k) =? аk аk аk аk аk

0 1 2 3 nk-1 nk




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3. RENTAS FRACCIONADA, VARIABLE EN PROGRESIÓN GEOMETRICA, TEMPORAL, INMEDIATAPOSTPAGABLE

3.1 Valor actual de una renta inmediata postpagable en función del tanto fraccionado ik (Va (k, p.g.))

Tomando la expresión, obtenida en el tema anterior, para rentas anuales variables en progresión geométrica:

1- q n x V n V o (p.g.) = ( A 1 x

1 + i - q)

y aplicándole los criterios desarrollados en los epígrafes anteriores obtendríamos:

−+

−=

k k

nk

k

nk

k

qi

V qaVo g pk

1

11

.).,(

A1 = Cantidad primer términoq k = razón correspondiente al periodo fraccionado (mes,trimestre, etc.)V k = (1 + i k)

-1

i k = tanto fraccionadon k = número de periodos fraccionados

expresión que seria válida para el caso en el que la razón de la progresión varia de forma k-esimal, es decir, cadaperiodo.

Ejemplo 1:

Calcular el valor de cada término de una renta inmediata postpagable trimestral durante 10 años, si se valora al8% de interés efectivo anual, los pagos crecen trimestralmente a razón del 3% y su valor actual es de 10.000 euros.

(1,08) = (1 + i 4 )4

i 4 = 0,019426547

11 – (1,03) 40 (1,019426547) 40 10.000 = A 1 x

1,019426547 – 1,03A1 = 206,94 €

Primer año: A 1 = 206,94 €; A 2 = 213,14 €; A 3 =219,54 €; A 4 = 226,12 € Solución:Segundo año: A 5 = 232,91 €;A 6 = 239,89 €; A 7 = 247,09 €; A 8 = 254,50 €

3.2 Valor actual de una renta inmediata postpagable en función del tanto fraccionado i (Va(k, g)) Larazón varia anualmente q

En el apartado anterior hemos considerado que la razón de la progresión varia de forma k-esimal, pero sueleocurrir, en la mayoría de los casos, que la renta varia de forma anual, siendo iguales todos los pagos fraccionados dentrodel mismo año.

Si partimos de:1- q

nx V

n

V o (p.g.) = ( A 1 x1 + i - q

)

teniendo en cuenta que la progresión varia anualmente, para transformarla en fraccionada bastará con aplicarle a la

expresión anterior el factor de conversión de renta anual en fraccionadak j

i k :

1 - q n x V n i

V o (k , p.g.) = ( A 1 x 1 + i - q x k x J k )

Obsérvese como la renta crece anualmente a razón de q, pero los pagos son k-esimales, es decir, en cadaperiodo anual los pagos k-esimales son iguales.

Ejemplo:Calcular el valor de cada término de una renta inmediata postpagable trimestral durante 10 años, si se valora al

8% de interés efectivo anual, los pagos crecen anualmente a razón del 3% y su valor actual es de 10.000 euros.(1,08) = (1 + i 4 )

4

I 4 = 0,019426547J4 = i 4 x 4

J 4 = 4 x 0,019426547J 4 = 0,0777061876

1 - 1,03 3 x (1,08) - 10 0,0810.000 = ( A1 x

1,08 – 1,03x 4 x

0,07706187)

A1 = 321,63 €




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4. RENTAS FRACCIONADA, VARIABLE EN PROGRESIÓN ARITMETICA, TEMPORAL, INMEDIATAPOSTPAGABLE

4.1. Valor actual de una renta inmediata postpagable en función del tanto fraccionado ik Vo (k, p.a.)

Tomando la expresión, obtenida en el tema anterior, para rentas anuales variables en progresión aritmética:

qV o (p.a.) = A1 x A n , i +

i(A n , i – n x V n)

y aplicándole los criterios desarrollados en los epígrafes anteriores obtendríamos:

q k V o (k , p.a.) = A1 x A nk , ik +i k

(A nk , ik – nk x V nk)

expresión que seria válida para el caso en el que la razón de la progresión varia de forma k-esimal, es decir, cadaperiodo.Ejemplo:

Calcular el valor de cada término de una renta inmediata postpagable trimestral durante 4 años, si se valora al 8%de interés efectivo anual, los pagos crecen trimestralmente a razón de 30 euros y su valor actual es de 10.000 euros.

(1,08) = (1+ i 4 )4

i 4 = 0,019426547

30 110.000 = (A1 x A 16 : 0,019426547) +

0,019426547(A 16 : 0,019426547 – 16 x

(1,019426547)16

€41,5201 =a

(Solución: Primer año a1 = 520,41, a2 =550,41, a3 = 580,41 a4 = 610,41 €), (Solución: Segundo año a5 = 640,41, a6 =670,41, a7 = 700,41 a8 = 730,41 €), etc.

4.2 Valor actual de una renta inmediata postpagable en función del tanto i

En el apartado anterior hemos considerado que la razón de la progresión varia de forma k-esimal, pero puede ocurrir,que la renta varíe de forma anual, siendo iguales todos los pagos fraccionados dentro del mismo año.

Si partimos de:q

V o (p.a.) = A1 x A n , i + i(A n,i – n x V n)

y teniendo en cuenta que la progresión varia anualmente, para transformarla en fraccionada bastará con aplicarle a laexpresión anterior el factor de conversión de renta anual en fraccionada:

iK x

J k

q iV o (p.a.) = (A1 x A n , i + i (A n , i – n x V n)) x k x Jk

Obsérvese como la renta crece anualmente a razón de q, pero los pagos son k-esimales, es decir, en cada periodoanual los pagos k-esimales son iguales.

Ejemplo:Calcular el valor de cada término de una renta inmediata postpagable trimestral durante 4 años, si se valora al 8%

de interés efectivo anual, los pagos crecen anualmente a razón de 120 euros y su valor actual es de 10.000 euros.(1,08) = (1+i 4)

4

i 4 = 0,019426547J k = i k x k

J 4 = 0,019426547 x 4J 4 = 0,0777061876

q iV o (p.a.) = (A1 x A n , i +

i(A n , i – n x V n)) x k x

Jk

120 0,0810.000 = (A1 x A 4 : 0,08 +

0,08(A 4 :_ 0,08 – 4 x V 4)) x 4 x

0,0777061876

A1 = 564,68 €



ADMINISTRACIÓN Y FINANZAS. GRADO SUPERIOR GESTIÓN FINANCIERA. TEMA 8

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TEMA 8:PRÉSTAMOS

1. INTRODUCCIÓN

Un préstamo es una operación en la que una persona (prestamista), entrega a otra (prestatario) una cantidad dedinero C, quien se compromete a devolver el capital recibido y a pagar los intereses correspondientes en losplazos y forma convenidas.

Se denomina amortización de un préstamo a la devolución o reembolso, por parte del prestatario, del importe delpréstamo junto con los intereses generados en los plazos acordados. Gráficamente, por ejemplo:

En sentido financiero debe interpretarse que lo que entrega el prestamista deber ser igual a lo que recibedel prestatario, todo ello valorado en un mismo momento de tiempo, al tipo de interés fijado para el préstamo.

1.1 ELEMENTOS DE UN PRÉSTAMO

Partiendo de la representación anterior vamos a enumerar los elementos principales que intervienen en una operaciónde préstamo:

C = Capital prestado, importe del préstamo. También denominado C0 o P.

t1, t2, ..., th = Instantes de tiempo en los que se hacen efectivos los términos amortizativos. Si estánreferidos a la misma unidad de tiempo y son equidistantes k1, k2, ..., nk.

i1, i2, ..., ih = Tantos de interés que se aplican en los distintos periodos de tiempo. Frecuentemente i esconstante e igual a lo largo de todos los períodos de amortización.

a1, a2, ..., ah = Pago realizado para extinguir la deuda, comprende una parte para el pago de intereses Ih, yotra para amortizar el capital prestado Ch. Cuando es periódico se le suele denominar:anualidad, mensualidad, etc. ah = Ch + Ih

C1, C2, ..., Ch = Cuotas de amortización o cuotas de capital de cada uno de los respectivos periodos. Sufinalidad es restituir el importe del préstamo. Ch = ah - Ih

I1, I2, ..., Ih = Cuotas de interés de cada uno de los periodos. Representan los intereses que en cadaperiodo genera el capital pendiente de amortizar. Ih = ah - Ch

T1, T2, ..., Th = Total amortizado hasta el momento th. Es igual a la suma de las cuotas de amortización Ch hasta el periodo th. Se puede calcular: C1 + C2, ..., Ch o bienTh = C0 - Rh

R1, R2, ..., Rh = Resto por amortizar hasta el momento th, también llamado capital vivo o capital pendiente.Rh = C0 - Th

1.2 CLASIFICACIÓN DE LOS PRÉSTAMOS

La variedad de préstamos existentes pueden agruparse, atendiendo a diferentes criterios de clasificación:

1. Según el prestamista:a. Préstamos Bancarios.b. Préstamos No bancarios.

2. Por su destino:a. De Consumo.b. A la Producción:

1º) De Circulante.2º) De Inversión.

3. Según la garantía:

a. Personales.b. Reales.

Préstamo C

t0 t1 t2 t3 th-1 th períodos

а1 а2 а3 аh-1 аh términos




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4. Por la forma de documentarse:a. En póliza.b. En escritura pública.

5. Según el tipo de interés:a. Interés fijo.

b. Interés variable.c. Interés revisable.

6. Por la forma de amortización:a. Amortizables con reembolso único.1º) Con pago único de intereses.2º) Con pago periódico de intereses.

b. Amortizables mediante una renta:1º) Amortización con fondo de amortización: Sistema Americano “sinking fund”.2º) Método de amortización de anualidades constantes: Francés.3º) Método de amortización de cuotas constantes.4º) Métodos de amortización con anualidades variables en progresión: aritmética o geométrica.5º) Método de amortización Alemán.

Nosotros nos centraremos en este último criterio de clasificación y estudiaremos los métodos más frecuentes en lapráctica financiera.

2 PRÉSTAMOS AMORTIZABLES MEDIANTE REEMBOLSO ÚNICO

Sea C el capital prestado, n la duración del préstamo e i el tanto de interés anual compuesto al que se realiza laoperación.

Si el préstamo se amortiza mediante reembolso único implica que el capital C, se devuelve de una sola vez en lafecha que se haya convenido.

Además de devolver el capital, el prestatario está obligado a pagar los intereses y según el vencimiento de estosse pueden distinguir dos casos:

a) pago único de intereses.b) pago periódico de intereses.

2.1 PAGO ÚNICO DE INTERESES JUNTO AL CAPITALSi los intereses correspondientes no se pagan en cada periodo, sino que se van acumulando al capital, en el

momento n habrá que devolver, el capital más los intereses generados, es decir, el montante. Gráficamente lopodemos representar:

Y su expresión financiera:

C n = C o (1 + i )n

2.2 PAGO PERIÓDICO DE INTERESES

En este sistema, también llamado “préstamo americano”, los intereses se pagan en cada periodo y el capital enel momento n. Gráficamente lo podemos representar:

Como el capital que se debe es siempre el mismo, los intereses de cada año serán iguales y se obtendráncomo resultado de multiplicar el tanto unitario de interés por el capital prestado:

I h = C X i

i C0

0 1 2 3 n-1 nCn

C

0 1 2 3 n-1 n

+ CC · i C · i C · i C · i C · i




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EjemploNos conceden un préstamo de 70.000 euros al 8% de interés compuesto anual. Si la duración del mismo es de

6 años, calcular cuánto tendremos que pagar:a) Si se amortiza el préstamo mediante reembolso único de capital e intereses.b) Si se amortiza el préstamo mediante reembolso único de capital y pagándose los intereses cada año.

a) Pago único:

C n = 70.000 x (1,08)6

C n = 11.081,20 €

b) Pago periódico:

Intereses anuales: I 1 a I 6 = 70.000 x 0,08 = 5.600 €Principal C 6 = 70.000 €

2.3 AMORTIZACIÓN POR EL SISTEMA AMERICANO CON FONDO DE CONSTITUCIÓN (SINKING FOUND)

Este sistema (también llamado Sinking Found o fondo de amortización), es una variante del préstamoamericano. Es más un método de reconstrucción que de amortización ya que se trata de ir dotando unas cantidades aun fondo con el fin de reconstruir el capital prestado.

Realmente se trata de dos operaciones:

1. Pago periódico de intereses: i C I h ×=

2. Creación de un fondo (en la misma entidad que concede el préstamo o en otra distinta), llamado deconstitución en el que se intenta constituir el principal con aportaciones periódicas, de forma que éste seobtenga en el momento n.

Los periodos de tiempo y los tantos en ambas operaciones no tienen porque coincidir. Del mismo modolas cantidades depositadas no tienen por que ser constantes.

Si queremos constituir un fondo C, para el caso de que las cuotas sean constantes CR y el tipo de interésque paga el fondo es ir, podemos representarlo:

Cuya expresión financiera podría ser:C = CR x S n , ir

despejando R C :

Como nuestro prestatario debe de pagar tanto los intereses, como ingresar la cantidad correspondiente en elfondo, necesitará anualmente:

CA = C x i +

S n ,ir

Se podría elaborar un cuadro donde se reflejaran tanto los pagos de intereses como la devolución del capital.

Años Anualidad Interés delpréstamo Capital devuelto

CR CR CR CR CR

0 1 2 3 n-1 nC

C

0 1 2 3 n-1 n

C · i C · i C · i C · i C · i




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Y otro que recoja la reconstrucción del capital.

Años Cuota dereconstrucción

Interés delfondo

CapitalReconstruido

CapitalPendiente dereconstruir

O bien, uno por agrupación de los dos anteriores.

Años Anualidad Interés delpréstamo

Cuota dereconstrucción

Interés delfondo

CapitalReconstruido

Capital Pendientede reconstruir

Ejemplo 1

La empresa Americano S.A. ha conseguido un préstamo de 20.000 euros por el se pagarán anualmenteintereses al 15%, devolviéndose el principal a los cuatro años de la concesión. El prestatario gestiona la creación de un

fondo remunerado al 12% anual. Reconstruir el capital con aportaciones periódicas constates.

20.000A = 20.000 X 0,15 +

S 4 , 0,12

20.000A = 3.000 +

4,779328

A = 3.000 + 4.184,69A = 7.184,69 €

Años Anualidad Interés delpréstamo

Cuota dereconstrucción

Interés delfondo

Capitalreconstruido

Capitalpendiente dereconstruir

0 0,00 20.000,00

1 7.184,69 3.000,00 4.184,69 0,00 4.184,69 15.815,31

2 7.184,69 3.000,00 4.184,69 502,16 8.871,54 11.128,46

3 7.184,69 3.000,00 4.184,69 1.064,58 14.120,81 5.879,19

4 7.184,69 3.000,00 4.184,69 1.694,50 20.000,00 0,00

28.738,76 12.000,00 16.738,76 3.261,24

3. SISTEMA FRANCÉS O DE AMORTIZACIÓN PROGRESIVA

3.1 INTRODUCCIÓN

Los préstamos amortizables mediante rentas tienen su manifestación más frecuente en el préstamo francés,que se caracteriza por tener todos los términos amortizativos iguales y el tipo de interés igual a lo largo de toda laoperación.

Al final de cada periodo se entrega una cantidad constante llamada anualidad o término amortizativo.Gráficamente:

C

0 1 2 3 n-1 n

а а а а а




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Por tanto, si la renta es anual, debe cumplirse:

C = A x A n,i

Donde cada anualidad es la suma de la cuota de interés y la cuota de amortización correspondiente al año deque se trate.

A h = C h + I h

Como cada año se pagan los intereses correspondientes a dicho periodo, y estos irán decreciendo a medidaque se devuelve el préstamo:

n n I I I I I >>>>>−1321 ···

Este sistema se llama también progresivo, porque a medida que transcurre el tiempo las cuotas destinadas ala amortización de capital van siento cada vez mayores.

3.2 CUADRO DE AMORTIZACIÓN DE UN PRÉSTAMO POR EL SISTEMA FRANCÉSCon el fin de resumir y clarificar las operaciones de amortización, se recurre normalmente a la confección de un

cuadro, en el que se recogen los distintos valores que toman las variables y que podría tener el siguiente formato:

Periodos

n

Anualidad

a

Cutota deInterés

Ih

Cuota deAmortización

Ch

TotalAmortizado

Th

Resto poramortizar

Rh

Antes de proceder a su confección, veamos como se pueden obtener los distintos elementos que lo componen.

• AnualidadLa anualidad, o pago periódico, que amortiza el préstamo se calcula:

CA =

A n , i • Cuota de Interés

El interés de cada año se obtiene como resultado de aplicar el tanto unitario de interés i al capital pendiente poramortizar el periodo anterior, Rh-1. Esta cuota irá decreciendo cada periodo, debido a la disminución del capital

pendiente de amortizar.I h = R h-1 x i

• Cuota de AmortizaciónEs la parte de la anualidad que se destina a la amortización del capital prestado. Esta cuota irá aumentando

en la misma medida en que disminuya la parte destinada al pago de intereses (ver 3.3).

C h = A h – I h • Total Amortizado

Es la suma de las cuotas pagadas hasta el momento h.Th = C1 + C2 + C3 + ··· + Ch

Th = Th-1 + Ch• Pendiente de amortizar

También llamado capital vivo, es la parte del capital que queda pendiente por amortizar y se obtiene como

diferencia entre el valor del préstamo C y el total amortizado hasta el periodo h.Rh = C – Th

Rh = Rh-1 – Ch

I1 I2 I3 . . . . In-1 In

C1 C2 C3 . . . . Cn-1 Cn




Página 6

Ejemplo: Realiza el cuadro de amortización de un préstamo de 20.000 €, a un tanto de interés del 10 %anual y una duración de 4 años. El sistema de amortización es el francés.

Periodos

(n)

Anualidad

( a )

Cutotade Interés

( I h )


( C h )

TotalAmortizado

( T h )

Restopor amortizar

( R h )Vo = A x A n,i

Pendiente deamortizar año anterior

por tanto de interés

Anualidad – Cuota deinterés

Total amortizado añoanterior + Cuota de

amortización

Importe préstamo –Total amortizado

0 0 0 0 0 20.000

2.000 4.309,42 4.309,42 15.690,581 6.309,42

(20.000 x 0,10) (6.309,42 – 2.000) ( 0 + 4.309,42) (20.000 – 4.309,42)

1.569,06 4.740,36 9.049,78 10.950,222 6.309,42

(15.690,58 x 0,10) (6.309,42 – 1.569,06) (4.309,42 + 4.740,36) (20.000 – 9.049,78)

1.095,02 5.214,40 14.264,18 5.735,823 6.309,42

(10.950,22 x 0,10) (6.309,42 – 1.095,02) (9.049,78 + 5.295,40) (20.000 – 14.264,18)

573,58 5.735,84 20.000,02 - 0,024 6.309,42

(5.735,82 x 0,10) (6.309,42 – 573,58) (5.735,84 + 14.264,18) (20.000 – 20.000,02)

20.000,02CARACTERÍSTICAS:

1. Las anualidades siempre son del mismo importe.2. La anualidad es igual a la suma de la cuota de interés más la cuota de amortización.3. Las cuotas de intereses son decrecientes, porque se calcula sobre el pendiente de amortizar y cada vez

queda menos por devolver.4. Las cuotas de amortización son crecientes.5. La columna pendiente de amortizar nos indica la cantidad que tenemos que pagar para cancelar el préstamo

en cada periodo.

3.3 CÁLCULO DE LA FILA h-esima DEL CUADRO DE AMORTIZACIÓN

Se trata de conocer la situación del préstamo en un momento cualquiera h, sin necesidad de calcular los valorescorrespondientes a las filas anteriores.

• Anualidad del periodo hSi queremos calcular la anualidad o pago correspondiente a un periodo cualquiera h y teniendo en cuenta que son

todas iguales, tendremos:

CA h =A n , i

• Cuota de Interés del periodo hPara calcular la cuota de interés del periodo h, bastará con conocer el capital pendiente en el periodo anterior ymultiplicarlo por en tanto de interés:

I h = R h-1 x i• Cuota de Amortización del periodo h

Las cuotas de amortización varían, de un periodo a otro, en progresión geométrica de razón (1+i). Para sudemostración partiremos de dos anualidades consecutivas:

C h ( 1+ i ) = C h + 1

CC 1 =S n , i

Si queremos una Ch cualquiera y sabiendo que C h = C1 ( 1 + i )h – 1

, podemos expresarla:

CC h =

S n , i X (1 + i ) h-1

• Total AmortizadoEs la suma de las cuotas pagadas hasta el momento h.




Página 7

Th = C1 + C2 + C3 + ··· + Ch

Teniendo en cuenta lo visto en el apartado anterior, también lo podemos expresar:

T h = C1 x S h , i

• Resto por Amortizar

Desde un modo retrospectivo podemos expresarlo:

R h = C – Th

Y desde un modo prospectivo, valorando todos los pagos que quedan pendientes en h:

R h = A x A n - h , i

También podríamos acudir al método recurrente:

R h = R h -1 ( 1 + i ) – A h

Ejemplo 1 Calcular la fila sexta del cuadro de amortización de un préstamo de 100.000 euros que se amortiza mediante

una renta constante, anual, inmediata postpagable de 10 términos, al 7% de interés compuesto anual.C = 100.000n = 10i = 7%Fila sexta = x

100.000A 6 =

A 10 : 0,07 = 14.237,75 €

R 5 = 14.237,75 x A 5:0,07 = 58.377,59 €I 6 = R 5 x i

I 6 = 58.377,59 x 0,07 = 4.086,43 €

100.000C1 =

S 10 : 0,07 = 7.237,75 €

C 6 = 7.237,75 x (1,07) 6 – 1 = 10.151,32 €

T 6 = 7.237,75 x S 6 : 0,07 = 51.773,73 €

R 6 = 14.237,75 x A 10 – 6 : 0,07 = 48.226,27 €

3.4 PRÉSTAMOS CON PERIODO DE CARENCIA

En los apartados anteriores hemos considerado que el préstamo se amortiza mediante una renta anual,constante, temporal, inmediata y postpagable. Sin embargo, ocurre con cierta frecuencia que los préstamos tienen unperiodo de carencia, es decir, un periodo de tiempo, normalmente, al principio de la operación, durante el cual no se

amortiza el capital prestado.

Surge de este modo un préstamo que se amortiza mediante una renta diferida, siendo d el periodo decarencia. Ante esta situación podemos plantear dos casos:

• Durante el periodo de carencia (d) sólo se paguen intereses. Carencia parcial

Gráficamente

C Rd = C

0 1 2 d d+1 d+2 d+3 d+n-1 d+n C·i C·i C·i а а а а а




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De modo que, si durante el diferimiento (carencia) pagamos los intereses C·i, en el momento d, solo debemosC y, por tanto, el resto del gráfico es igual a un préstamo que se amortiza mediante una renta, ya estudiado en losepígrafes anteriores y cuya anualidad será:

CA =

A n , i

El cuadro de amortización, salvo en los periodos de carencia en los que habrá que reflejar los pagos de intereses

correspondientes, será idéntico al estudiado anteriormente.

• Durante el periodo de carencia (d) no se paguen intereses. Carencia total

Gráficamente

De modo que, si durante el diferimiento (carencia) no pagamos los intereses, en el momento d, la deuda seráel préstamo más los intereses generados en dicho periodo, es decir, el pendiente en d será Rd =(1+i)d

y, por tanto, elpago correspondiente:

C x ( 1+i ) d A =

A n , i

El cuadro de amortización tendrá dos partes, la primera durante el periodo de diferimiento, donde se iránacumulando los intereses, y a partir del periodo d será igual que un préstamo sin carencia, siendo el capital pendienteC (1+i)d

.

Ejemplo 1 Redactar el cuadro de amortización de un préstamo de 200.000 euros que se amortiza mediante una renta

constante, anual, diferida 2 años y postpagable de 4 términos, al 8% de interés compuesto anual:a) Si durante el periodo de carencia se pagan los intereses correspondientes.b) Si durante el periodo de carencia no se pagan los intereses.

Apartado a)I 1 aI d = 200.000 x 0,08 = 16.000 €

200.000A =

A 4 , 0,08

A = 60.384,16

y a partir de estos datos rellenamos el cuadro:

CUADRO AMORTIZACIÓN PRÉSTAMO

n a Ih Ch Th Rh

0 --- --- --- --- 200.000,00

1 16.000,00 16.000,00 --- --- 200.000,00

2 16.000,00 16.000,00 --- --- 200.000,00

3 60.384,16 16.000,00 44.384,16 44.384,16 155.615,84

4 60.384,16 12.449,27 47.934,89 92.319,05 107.680,95

5 60.384,16 8.614,48 51.769,69 144.088,74 55.911,26

6 60.384,16 4.472,90 55.911,26 200.000,00 0,00

273.536,64 73.536,64 200.000,00

C R1=C(1+i)1 R2=C(1+i)

2 Rd = C(1+i)d

0 1 2 d d+1 d+2 d+3 d+n-1 d+n

а а а а а




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Apartado b)R 1 = 200.000 x 1,08 = 216.000

R 2 = 200.000 x (1,08) 2 = 233.280

200.000 x (1,08 ) 2 A = A 4 : 0,08 = 70.432,09 €

y su cuadro:


n a Ih Ch Th Rh

0 --- --- --- --- 200.000,00

1 --- 16.000,00 --- --- 216.000,00

2 --- 17.280,00 --- --- 233.280,00

3 70.432,09 18.662,40 51.769,69 51.769,69 181.510,31

4 70.432,09 14.520,83 55.911,26 107.680,95 125.599,05

5 70.432,09 10.047,92 60.384,16 168.065,11 65.214,89

6 70.432,09 5.217,19 65.214,89 233.280,00 0,00

281.728,34 48.488,34 233.280,00

5. PRÉSTAMOS CON CUOTAS CONSTANTES

• INTRODUCCIÓN

La característica principal de este método de amortización de préstamos consiste en que en cada periodo seamortiza la misma parte del capital, es decir, que todas las cuotas de amortización son iguales y, por tanto, cadaperiodo se devuelve la misma cantidad de préstamo.

Si el importe del préstamo es C y la duración del mismo n años, el importe de cada cuota de amortización Ch,será:

CC H =

n

Como cada año se pagan los intereses correspondientes a dicho periodo, y estos irán decreciendo a medidaque se devuelve el préstamo, podemos establecer:

I 1 > I 2 > i 3 > …. > I n -1 > I n

Así, las anualidades o pagos serán diferentes y decrecientes, al permanecer las cuotas de amortizaciónconstantes y disminuir las cuotas de interés.

Por tanto, dichos pagos no forman una renta constante, sino una renta variable que, como veremos másadelante, lo hace en forma de progresión aritmética decreciente:

A 1 > A 2 > A 3 > ….. > A n-1 > A n

Gráficamente

I1 I2 I3 . . . . In-1 In

C1 C2 C3 . . . . Cn-1 Cn




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• CUADRO DE AMORTIZACIÓN

Al igual que en los métodos anteriores vamos a proceder a confeccionar un cuadro de amortización teniendo encuenta las características de este método, y cuyo formato podría ser:

Periodosn

AnualidadA h

Cutota deInterés

I h


C h

TotalAmortizado

T h

Resto poramortizar

R h

Para ver como se obtienen los distintos elementos que lo componen utilizaremos el siguiente ejemplo.

Ejemplo 1

Redactar el cuadro de amortización de un préstamo de 30.000 euros para amortizar mediante 5 cuotas anualesconstantes al 16% de interés compuesto anual.

En primer lugar calculamos el valor de las cuotas cantantes:

30.000C h =

5= 6.000 €

A partir de este dato procedemos a elaborar el cuadro de amortización correspondiente:


n ah Ih Ch Th Rh

0 0,00 0,00 0,00 0,00 30.000,00

1 10.800,00 4.800,00 6.000,00 6.000,00 24.000,00

2 9.840,00 3.840,00 6.000,00 12.000,00 18.000,00

3 8.880,00 2.880,00 6.000,00 18.000,00 12.000,00

4 7.920,00 1.920,00 6.000,00 24.000,00 6.000,00

5 6.960,00 960,00 6.000,00 30.000,00 0,00

44.400,00 14.400,00 30.000,00

• CÁLCULO DE LA FILA h-esima DEL CUADRO DE AMORTIZACIÓN

Se trata de conocer la situación del préstamo en un momento cualquiera h, sin necesidad de calcular los valorescorrespondientes a las filas anteriores.

• Cuota de Amortización del periodo hPara calcular las cuotas de amortización de un periodo h y al ser todas iguales, bastará con dividir la cuantía delpréstamo entre el número de periodos:

CC h =n

• Total AmortizadoEl total amortizado no es mas que la suma de las cuotas de amortización pagadas hasta el momento h:

CT h = h xn

• Resto por Amortizar

Es la parte del préstamo que está pendiente de amortizar:

CR h = C - ( h x n )

C

0 1 2 3 n-1 na1 a2 a3 an-1 an




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• Cuota de Interés del periodo hLa cuota de interés de cada periodo es el resultado de aplicar el tanto de interés por el resto por amortizar:

I h = R h-1 x i

(h – 1 ) CI h = i x ( C - n )

• Anualidad del periodo h

Si queremos calcular la anualidad o pago correspondiente a un periodo cualquiera h tendremos que sumar lacuota de amortización y la cuota de interés del periodo:

A h = C h + I h

donde si sustituimos por los valores obtenidos en los apartados anteriores nos queda:

C ( h – 1 )A h =n

+ C x i ( 1 -n

)

Ejemplo 1

Calcular la fila sexta del cuadro de amortización de un préstamo de 90.000 euros que se amortiza mediantecuotas constantes anuales, inmediata postpagable de 10 términos, al 5% de interés compuesto anual.

C = 90.000n = 10i = 5%¿? Fila sexta.

90.000C 6 =

10= 9.000

( 6 – 1 )I 6 = 90.000 x 0,05 ( 1 -

10) = 2.250 €

A 6 = 9.000 + 2.250 = 11.250 €

90.000T 6 = 6 x

10= 54.000 €

6R 6 = 90.000 x ( 1 -

10) = 36.000 €




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6. AMORTIZACIÓN CON PAGOS VARIABLES EN PROGRESIÓN GEOMÉTRICA

6.1 INTRODUCCIÓN

Este sistema de amortización se caracteriza porque las anualidades o pagos varían en progresión geométrica,es decir, cada anualidad se obtienen multiplicando la anterior por la razón q.

Si el importe del préstamo es C y la duración del mismo n años, para obtener el importe de cada pago nosbasaremos en las expresiones obtenidas al estudiar las rentas variables en progresión geométrica, donde su expresiónserá:

1 – q n x V n Vo (p.g.) = a1 x1+ i - q

Ejemplo 1

Redactar el cuadro de amortización de un préstamo de 80.000 euros para amortizar mediante 5 pagos anualesvariables, que crecen un 3% cada año si se valora al 12% de interés compuesto anual.

En primer lugar calculamos el valor del primer pago o anualidad:

80.000 ( 1,12 – 1,03)A 1 = 1 – (1,03) 5 x (1,12) - 5

= 21.040,53 €

A partir de este dato, procedemos a elaborar el cuadro de amortización correspondiente:1


n ah Ih Ch Th Rh

0 0,00 0,00 0,00 0,00 80.000,00

1 21.040,53 9.600,00 11.440,53 11.440,53 68.559,472 21.671,74 8.227,14 13.444,61 24.885,13 55.114,87

3 22.321,89 6.613,78 15.708,11 40.593,24 39.406,76

4 22.991,55 4.728,81 18.262,74 58.855,98 21.144,02

5 23.681,30 2.537,28 21.144,02 80.000,00 0,00

111.707,01 31.707,01 80.000,00

7. AMORTIZACIÓN CON PAGOS VARIABLES EN PROGRESIÓN ARITMÉTICA

7.1. CUADRO DE AMORTIZACIÓNEste sistema de amortización se caracteriza porque las anualidades o pagos varían en progresión aritmética, es

decir, cada anualidad se obtienen sumando a la anterior la razón q.

Si el importe del préstamo es C y la duración del mismo n años, para obtener el importe de cada pago nosbasaremos en las expresiones obtenidas al estudiar las rentas variables en progresión aritmética, donde su expresiónserá:

qvo (p.a.) = a1 x A n,i + ix (A n,i – n x V n)

Ejemplo 1 Redactar el cuadro de amortización de un préstamo de 50.000 euros para amortizar mediante 5 pagos anuales

variables, que crecen 1.000 euros cada año si se valora al 10% de interés compuesto anual.En primer lugar calculamos el valor del primer pago o anualidad:

1.00050.000 = a1 x A 5 , 0,10 + 0,10 x (A 5 , 0,10 – 5 x (1,1) -5)




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A1 = 11.379,75 €

A partir de este dato, procedemos a elaborar el cuadro de amortización correspondiente:


n ah Ih Ch Th Rh

0 0,00 0,00 0,00 0,00 50.000,00

1 11.379,75 5.000,00 6.379,75 6.379,75 43.620,25

2 12.379,75 4.362,03 8.017,72 14.397,47 35.602,53

3 13.379,75 3.560,25 9.819,50 24.216,97 25.783,03

4 14.379,75 2.578,30 11.801,44 36.018,41 13.981,59

5 15.379,75 1.398,16 13.981,59 50.000,00 0,00

66.898,74 16.898,74 50.000,00

8. CANCELACIÓN ANTICIPADA DE UN PRÉSTAMO

Cancelar anticipadamente un préstamo significa amortizarlo antes del tiempo convenido, modificando así lascondiciones establecidas en el contrato. En las condiciones pactadas con el prestamista debe aparecer qué ocurre enel caso de que deseemos cancelar parcial o totalmente el préstamo.

La mayoría de las entidades financieras cobrarán una comisión de cancelación anticipada, que se aplica sobrela cantidad amortizada prematuramente.

Financieramente no supone un gran problema, los pasos a seguir podrían ser:a) Calcular la deuda pendiente en el momento de la cancelación anticipada Rh. b) Calcular la cuantía del nuevo pago después de la cancelación a’.c) Calcular la comisión sobre la cantidad anticipada Cc.

Si aplicamos los pasos anteriores a un préstamo amortizado por el sistema francés, su formulación seria:

CA =

A n , i R h = A x A n-h , i

conocido el resto por amortiza, le restamos la cantidad anticipada Ca y obtenemos la deuda pendiente R’h:

R ‘ h = R h – C a

a partir de esta cantidad procedemos a calcular la nueva cuantía del pago:

R ‘ h = A ‘ x A n-h , i

por último calculamos la comisión por cancelación Cc correspondiente, que normalmente será un porcentajesobre la cantidad anticipada:

Ca x % comisiónC c =100

En ocasiones las entidades financieras establecen una cantidad mínima de comisión, donde si el resultadoanterior es inferior nos cobraran dicho mínimo. También pudiera ocurrir que se exija una cantidad mínima deamortización anticipada (p. ej. 3.000 €).

Si la periodicidad de los pagos es k-esimal o el sistema de amortización distinto, se tomaran las expresionescorrespondientes equivalentes, del sistema o método de amortización, a las aquí utilizadas.Ejemplo 1

Se contrata un préstamo de 20.000 euros para ser amortizado mediante una renta anual, constante inmediatapostpagable de 15 términos, al 10% de interés anual. Entre las cláusulas figura la de penalización por cancelaciónanticipada del 1%. Averiguar:

a) La anualidad que amortiza el préstamo.b) El resto por amortizar a los 3 años de concertado el préstamo, una vez pagada la anualidad.




Página 14

c) Si se hace una aportación extraordinaria de 3.000 euros en el momento de pagar la tercera anualidad,hallar:

El importe total que paga el prestatario en ese momento. El resto por amortizar en ese momento. La anualidad a pagar a partir de ese momento.

a) Calcular la anualidad que amortiza el préstamo.

20.000A =A 15 : 0,10

= 2.629,48 €

b) Resto por amortizar:R 3 = 2.629,48 x A 15 -12: 0,10

R3 = 17.916,44 €

c) Pago total (cantidad anticipada más penalización), resto por amortizar y nueva anualidad:3.000 x 1Comisión :

100= 30

Pago total: 3.000 + 30 = 3.030 €

R’ 3 = 17.916,44 – 3.000 = 14.916,44 €

14.916,44A’ :A 12 , 0,01

= 30

9. COSTE EFECTIVO DE LA OPERACIÓN DE PRÉSTAMO. TAE

Hasta ahora se han planteado los préstamos como una operación financiera matemáticamente pura. Laprestación y la contraprestación se consideran partes de un contrato directo, de manera que lo entregado por elprestamista y lo devuelto por el prestatario son financieramente equivalentes, de acuerdo con las reglas y condicionespactadas y, por ello, el tanto efectivo de coste o rendimiento de la operación es el tanto de interés anual compuestoque iguala todos los cobros y todos los pagos actualizados que se generan.

Vamos a ampliar aquí este concepto y vamos a ver la incidencia que los gastos pueden tener, tanto para elprestatario, como para el prestamista. Unos gastos son soportados por el prestamista y otros, la mayoría, por elprestatario.

El prestamista, por sufrir gastos adicionales (de apertura, de cancelación, tasas, impuestos, etc), ve alteradasu rentabilidad unitaria pactada en el contrato de préstamo. A su vez, también el prestatario ve alterada su tasa decoste unitario pactada en el contrato, ya que tiene que pagar unos gastos fijos y otros de mantenimiento del préstamo(de apertura, de estudio, notario, registro, de cancelación anticipada total o parcial, tasas, etc.)

Vemos que, en definitiva, el tanto de interés al que se contrata el préstamo no será ni el tanto de rendimientopara el prestamista, ni el de coste para el prestatario, por que para hallar el tanto anual efectivo de la operación habráque tener en cuenta, en cada caso, todos los ingresos y gastos actualizados.

De forma general, podríamos plantear, tanto para el prestamista como para el prestatario, para obtener elrendimiento o coste de la operación, la siguiente igualdad:

RECIBE = ENTREGA

Es decir, el tanto efectivo de rendimiento, para el prestamista o, en su caso, el tanto efectivo de coste,para el prestatario, es aquel tanto que iguala lo que recibe a lo que entrega, todo ello valorado en un mismo momentode tiempo.

9.1. Tanto efectivo de coste para el prestatario

Nosotros vamos a plantear aquí, únicamente el cálculo del tanto efectivo de coste de una operación depréstamo que se amortiza mediante pagos periódicos constantes, de forma general, pudiendo extenderse estasexplicaciones al resto de las situaciones que pudieran plantearse en la practica financiera.

Supongamos un préstamo de cuantía C, por el que ha de pagarse una comisión de apertura de x% y que seamortiza mediante una renta, constante inmediata postpagable, de cuantía a durante n años al tanto anual i, siaplicamos la ecuación fundamental, gráficamente:




Página 15

RECIBE

ENTREGA

Por tanto, tendrá que cumplirse, financieramente hablando, que lo que recibe sea igual a lo que entrega:

C – x % C = a x a n ,iec

De donde se trata de despejar el valor que toma la variable iec (interés efectivo de coste). Para obtener suvalor hay varias posibilidades:

Tablas financieras, e interpolación, en su caso. Utilización de hoja de cálculo y su correspondiente función financiera (TIR). Aproximaciones sucesivas.

Ejemplo 1Calcular el tanto efectivo de coste de un préstamo de 10.000 euros que se amortiza mediante una renta

mensual, constante inmediata postpagable durante 2 años, siendo el tipo de interés inicial el 12% efectivo anual y noscobran una comisión de apertura del 0,61%.

En primer lugar calculamos el pago mensual:

00948879,01)12,1(121

12 =−=i

10.000 = A x A 24 , i 12.

A = 467,88 €

a continuación planteamos la ecuación de equilibrio:

CANTIDAD ENTREGADA:Comisión de apertura: 10.000 X 0,0061 = 61Cantidad entregada: 10.000 – 61 = 9.939

CANTIDAD RECIBIDA:467,88 x A 24, i ec 12

9.939 = 467,88 x A 24, i ec 12

de donde, utilizando alguno de los métodos expuestos,

el coste mensual iec (12) = 0,01. Pero nosotrosqueremos el coste efectivo anual:

126825,01)01,1( 12=−=ec i

%68,12=ec i

9.2. La tasa anual equivalente (TAE)La TAE es un concepto regulado por el Banco de España a través de la circular 8/90 de 7 de septiembre que

tiene como objetivo buscar un instrumento de medida homogéneo para que el cliente de una entidad financierapueda comparar entre distintas entidades (tanto productos de activo como de pasivo), eligiendo aquel producto que lesea más interesante.

Hemos visto que existen intereses efectivos anuales, efectivos k-esimales, tantos nominales, etc., pues bien,si a éstos les sumamos los efectos de las comisiones y otros gastos que surgen en las operaciones financieras,cualquier persona tendría bastantes problemas para elegir correctamente los productos de activo y pasivo que más leinteresen, financieramente hablando.

A continuación reproducimos aquellas partes de la circular que más nos interesan (norma octava), para elcálculo de la TAE:

C - x% C

0 1 2 3 n-1 n

0 1 2 3 n-1 nа а а а а




Página 16

1. El tipo de interés, coste o rendimiento efectivo deberán expresarse obligatoriamente en los documentos contractuales a que se refiere el apartado 1 de la norma sexta de esta Circular (podríamos resumir ese apartadodiciendo que esos documentos van a ser aquellos que surgen en las operaciones en las que intervenganpequeños ahorradores y/o inversores, ya que el objetivo de la TAE es protegerlos).

2. Para la confección y publicación del tipo de interés, coste o rendimiento efectivo a que se refiere el apartado anterior, las entidades deberán atenerse a las siguientes reglas, que se desarrollan matemáticamente mediante la fórmula contenida en el anexo V:

a) Los tipos de interés, costes o rendimientos se expresarán en tasas porcentuales anuales pagaderas a término vencido equivalentes .

b) La tasa porcentual equivalente es aquella que iguala en cualquier fecha el valor actual de los efectivos recibidos y entregados a lo largo de la operación, por todos los conceptos, incluido el saldo remanente a su término, con las excepciones e indicaciones que se recogen en los siguientes apartados.

Ejemplo 1De un préstamo conocemos las siguientes características:

a) Principal 240.000 euros a devolver en cuatro pagos anuales por el método de cuotas de amortizaciónconstantes, con un interés efectivo anual del 12%.

b) Comisión de apertura: 1,2%c) Gastos de Estudio: 0,5%.d) Notario: 1%.

e) Seguro obligatorio (invalidez, muerte, etc.): 0,5%.

Se pide:1. Confeccionar el cuadro de amortización.2. Calcular la TAE, tal como indica el Bando de España.3. Calcular el Tanto Efectivo de Coste.

1. Confeccionar el cuadro de amortización.


n ah Ih Ch Th Rh

0 0,00 0,00 0,00 0,00 240.000,00

1 88.800,00 28.800,00 60.000,00 60.000,00 180.000,00

2 81.600,00 21.600,00 60.000,00 120.000,00 120.000,00

3 74.400,00 14.400,00 60.000,00 180.000,00 60.000,00

4 67.200,00 7.200,00 60.000,00 240.000,00 0,00

312.000,00 72.000,00 240.000,00

2. Calcular la TAE, tal como obliga a publicar el Banco de España.

Principal 240.000Comisión Apertura 0,012 x 240.000 = (2.880)Gastos de Estudio 0,005 x 240.000 = (1.200)Seguro 0,005 x 240.000 = (1.200)

RECIBE 234.720

No hemos incluido el gasto de notario, por ser un gasto de terceros.A cambio ha de ENTREGAR cuatro pagos, durante los cuatro años siguientes (ver cuadro):

1 1 1 1234.720 = 88.800

(1+TAE)1

+ 81.600(1 + TAE)

2

+ 74.400(1 + TAE)

3

+ 67.200(1 + TAE)

4

Calculando con la función TIR de Excel: TAE = 13,1171%

3. Calcular su Tanto Efectivo de Coste.Para calcular el coste real hemos de considerar todos los gastos, incluido los del notario (240.000 x 0,001 = 2.400)y, por tanto, la ecuación será:

4321 )1( 1200.67)1( 1400.74)1( 1600.81)1( 1800.88400.2720.234ec ec ec ec i i i i +

+

+

+

+

+

+

=−




Página 17

Calculando con la función TIR de Excel: ec i = 13,639894%

10. OPERACIONES DE ARRENDAMIENTO FINANCIERO (LEASING)

10.1. Introducción

El término leasing proviene del inglés “to lease”, que significa arrendar o dejar en arriendo. En España setraduce por arrendamiento financiero, aunque el término anglosajón es aceptado y utilizado internacionalmente.El arrendamiento financiero es un contrato mercantil de cesión de uso en virtud del cual una empresa compra

en nombre propio, siguiendo las instrucciones del futuro arrendatario, determinados bienes muebles o inmuebles para,como propietaria-arrendadora, alquilarlos al usuario-arrendatario que los utilizará por un tiempo irrevocable convenido,a cambio de un precio, distribuido en cuotas periódicas, que incluyen el coste del equipo más los interesescorrespondientes, y un valor residual prefijado, similar a las cuotas anteriores. Al término del plazo convenido para laduración del contrato, el usuario tendrá la triple opción de:

1. Cancelar el arrendamiento, devolviendo el equipo a la entidad arrendadora.2. Renovación del contrato y continuar utilizando el bien por un nuevo período.3. Ejercer la opción de compra y adquirir el bien.

El leasing es una forma de financiación a la que acuden las empresas por diversas razones:a) Cuando obtienen una buena rentabilidad pero no les interesa inmovilizar su dinero.b) En aquellos casos en los que tienen escasez de recursos propios, o ya están muy endeudados.c) Cuando utilizan una tecnología que se queda obsoleta en un corto período de tiempo.d) Cuando su nivel de beneficios es alto y pueden aprovechar las ventajas fiscales que supone el leasing.

En general, a la empresa le interesa ejercitar la opción de compra ya que durante la vigencia del contrato laempresa conseguirá pagar el bien a través de cuotas periódicas, si bien su vida útil suele ser mucho mayor.

Nos centraremos aquí únicamente en los aspectos financieros del contrato. Para ello tendremos en cuenta lossiguientes datos del contrato:

n: número de años de duración del contrato. C0: precio del equipo que se arrienda o valor al contado del mismo, será la cantidad a financiar. VR:. Será el importe que tendrá que pagar el arrendatario para ejercer la opción de compra. Puede ser

una cuota más o bien inferior al valor que tiene el bien es esos momentos. ak: cuota periódica de alquiler. Generalmente suele ser prepagable. Ci: En ocasiones se suele entregar una cantidad o cuota inicial al formalizar el contrato. k: frecuencia de pago de los alquileres, normalmente mensuales y al principio de cada mes.

i: tipo de interés o rendimiento que la entidad de leasing quiere obtener de su operación. Para elarrendatario será el coste financiero de la operación.

Gi: gastos iniciales de la operación, como impuestos, comisión de apertura y de estudio de la operación,seguros, etc.

En general, y aunque la casuística puede ser muy variada, podemos representar gráficamente la operación deleasing:

La empresa de leasing suministrará un cuadro de pagos a lo largo de la vida de la operación y quebásicamente es similar a los cuadros de amortización de préstamos estudiados, añadiéndoles una columna que recojala cuota de IVA y otra para el pago total de la cuota periódica más el citado impuesto.

Su formato podría ser el siguiente:

Periodosnk

PagoPeriódico

ak

Cuota deInterés

Ih


Ch

TotalAmortizado

Th

Resto poramortizar

Rh IVA Pago

Total

Aunque la denominación o estructura puede ser distinta, por ejemplo:

C0

0 1 2 3 nk-2 nk-1 nk

ak ak ak ak ak a k

Gi Ci




Página 18

Periodos

nk

CuotaTotal

CT

Impuesto

IVA

CuotaNeta

ak

CargaFinanciera

Ih

Recuperacióndel coste del

bien delperiodo

Ch

Recuperacióndel coste del

bienacumulado

Th

DeudaPendiente

Rh

10.2. Operación de leasing con cuotas prepagables y Valor Residual

De las múltiples posibilidades matemáticas en materia de arrendamiento financiero (pagos postpagables oprepagables, valor residual igual o distinto a una cuota neta, existencia o no de cuota inicial, a tanto de interésanticipado o vencido, etc.) nosotros vamos a desarrollar aquí únicamente, y a titulo de ejemplo, el supuesto de unaoperación de arrendamiento financiero, sin cuota inicial, cuotas prepagables, valor residual distinto a las cuotas y conpago de interés anticipado (lo que permite que el valor residual sea todo capital).

En primer lugar calcularemos el pago periódico a realizar:

VRC 0 = A k x A nk-1 , ik x (1 + ik) + ( 1 + ik)nk - 1

Una vez obtenida la cuota a pagar, para poder construir el cuadro de amortización necesitamos obtener elvalor de C1:

CC1 =S n,i

Ejemplo 1

Una empresa financia la compra de un vehículo, mediante un contrato de arrendamiento financiero con lassiguientes características: coste al contado 49.000 euros, duración del contrato 5 años, los pagos son anuales,constantes y prepagables, con una opción de compra que asciende a 3.000 euros, el tipo de interés de la operación esdel 10% anual y el IVA el 16%. Redactar el cuadro de amortización de forma que el valor residual sea sólo capital

(interés anticipado).

3.00049.000 = A x A 4 , 0,10 x (1,10) +( 1,10) 4

A = 13.465,14 €

49.000 – 3.000C 1 =

S 4 ; 0,10 = 9.911,66


Per. Pago Intereses Amortización total amort. total pdte. IVA total pago0 13.465,14 3.553,49 9.911,66 9.911,66 39.088,34 2.154,42 15.619,57

1 13.465,14 2.562,32 10.902,82 20.814,48 28.185,52 2.154,42 15.619,57

2 13.465,14 1.472,04 11.993,10 32.807,58 16.192,42 2.154,42 15.619,57

3 13.465,14 272,73 13.192,42 46.000,00 3.000,00 2.154,42 15.619,57

4 3.000,00 0,00 3.000,00 49.000,00 0,00 480,00 3.480,00

∑ 56.860,57 7.860,57 49.000,00 9.097,69 65.958,26



1º ADMINISTRACIÓN Y FINANZAS GESTIÓN FINANCIERA. TEMA 9

Pág. 1

TEMA Nº 9:SELECCIÓN DE INVERSIONES

1. DIMENSIÓN FINANCIERA DE UN PROYECTO DE INVERSIÓN

Desde el punto de vista financiero, es decir, monetario, cualquier proyecto de inversión quedadefinido por las siguientes variables: A: Se le denomina Capital Invertido, Coste Inicial o Coste de la inversión. Qh: Se denominada flujo neto de caja (FNC), representativo de la diferencia de las dos

cobros y pagos por caja. VR: un posible valor de venta de los activos en que se materializó la inversión una vez que

quedaron fuera de uso, es decir, una vez finalizado el proyecto. Se le suele denominar ValorResidual.

Teniendo en cuenta lo anterior, podemos representar la dimensión financiera de un proyecto deinversión de la siguiente forma:

2. MÉTODOS DE VALORACIÓN Y SELECCIÓN DE INVERSIONES

2.1 Métodos estáticos de análisis de inversiones

Existen algunos métodos de selección de inversiones que no tienen en cuenta el hecho de quelos capitales tienen distintos valores en los diferentes momentos del tiempo. Son lo denominados

métodos estáticos o métodos aproximados.Los principales métodos estáticos son:

1. El criterio del flujo total por unidad monetaria comprometida.2. El criterio del flujo de caja medio anual por unidad monetaria comprometida. 3. El criterio del plazo de recuperación.

A continuación se comentan algunos de ellos:

a) El criterio del flujo total por unidad monetaria comprometidaSeguir este criterio es equivalente a calcular el flujo de caja total por unidad monetaria

comprometida, que es igual al cociente de ambas magnitudes:

(Q 1 + Q 2 + Q 3 + …… + Q n )r = A

El cociente r es la cantidad de unidades monetarias que la inversión genera, durante toda suvida, por cada unidad monetaria invertida. Según este criterio, una inversión es mejor cuanto mayor sear.

Se realiza la inversión cuando ese importe es superior a la unidad, es indiferente cuando es iguala uno y no efectuable si resulta inferior a la unidad.

b) El criterio del flujo de caja medio anual por unidad monetaria comprometida

El método consiste en calcular el flujo neto de caja medio anual, Q y determinar cuantocorresponde por cada unidad monetaria invertida, r’.

n

Q Q Q Q Q n )...( 321 ++++

=

Q1 Q2 Q3 Qh Qh+1 Qn + VR

- A 1 2 3 h h+1 n-1 n




Pág. 2

donde r’:

A

Q r ='

Se realiza la inversión cuando ese valor es superior a la unidad, es indiferente cuando es igual auno y no efectuable si resulta inferior a la unidad.

c) El criterio del plazo de recuperaciónEl plazo de recuperación, o pay-back es el período de tiempo que tarda en recuperase el

desembolso inicial con los flujos de caja generados por la inversión. Este criterio de selección dapreferencia a aquellas inversiones cuyo plazo de recuperación sea menor. Por consiguiente, se trata deun criterio de liquidez. Se prefieren las inversiones más líquidas.

Se calcula acumulando los flujos de caja anuales, hasta encontrar el momento en que se iguale(o supere) al desembolso inicial de la inversión:

AQ P n

h

h =⇒∑=1

P: periodo de recuperación de la inversión

Un caso particular, se da cuando todos los Qh son iguales:

Q

AP =

Entre dos proyectos de inversión, el más conveniente, a la luz del criterio tratado, será el demenor plazo de recuperación

Ejemplo 1 La empresa INVERSIÓN S.A. tiene planificado los siguientes proyectos de inversión:

Flujos netos de caja (Qh)Proyecto

deinversión

Desembolsoinicial (A) Año 1 Año 2 Año 3 Año 4 Año 5 Año 6

Proyecto 1 3.000 1.000 1.000 1.000 1.000Proyecto 2 3.000 3.000 3.000Proyecto 3 1.000 200 200 200 200 200 200Proyecto 4 2.000 200 1.500 300 8.000 10.000 15.000Proyecto 5 1.500 0 1.500 0 1.500

Se nos pide que ordenemos las inversiones atendiendo a su mayor rentabilidad de acuerdo con lossiguientes criterios:

a) Criterio del flujo neto de caja por unidad monetaria invertida.b) Criterio del flujo neto de caja medio anual por unidad monetaria invertida.

c) Criterio del plazo de recuperación o “payback”.a) Criterio del flujo neto de caja por unidad monetaria invertida.

A

Q Q Q Q r n )...( 321 ++++

=

Proyectode

inversión

Desembolsoinicial (A) ∑ h Q

A

Q r

h ∑= Orden

Proyecto 1 3.000 4.000 1,33 4Proyecto 2 3.000 6.000 2,00 2 ó 3

Proyecto 3 1.000 1.200 1,20 5Proyecto 4 2.000 35.000 17,50 1Proyecto 5 1.500 3.000 2,00 2 ó 3




Pág. 3

b) Criterio del flujo neto de caja medio anual por unidad monetaria invertida.

n

Q Q Q Q Q n )...( 321 ++++

= A

Q r ='

Proyecto

deinversión

Desembolso

inicial (A) ∑ h

Q n n

Q

Q

h ∑= A

Q

r =

' OrdenProyecto 1 3.000 4.000 4 1.000,00 0,33 4Proyecto 2 3.000 6.000 2 3.000,00 1,00 2Proyecto 3 1.000 1.200 6 200,00 0,20 5Proyecto 4 2.000 35.000 6 5.833,33 2,91 1Proyecto 5 1.500 3.000 4 750,00 0,50 3

c) Criterio del plazo de recuperación o “payback”.

ASi todos los flujos son iguales: P =

Q

Si todos los flujos son iguales:Q AP =

3.000 3.000 1.000Proyecto 1: P =

1.000= 3 Proyecto 2 : P =

3.000= 1 Proyecto 3: P =

200= 5

Si los flujos no son iguales: AQ P n

h

h =⇒∑=1

Proyecto 4

Periodo (A) h Q ∑ h Q ∑ − AQ h

1 2.000 200 200 – 1.8002 2.000 1.500 1.700 – 3003 2.000 300 2.000 04 2.000 8.0005 2.000 10.0006 2.000 15.000

Proyecto 5

Periodo (A) h Q ∑ h Q ∑ − AQ h

1 1.500 0 0 – 1.5002 1.500 1.500 1.500 03 1.500 04 1.500 1.500

En resumen:

Proyecto Desembolsoinicial (A)

P Orden

Proyecto 1 3.000 3 3 ó 4Proyecto 2 3.000 1 1Proyecto 3 1.000 5 5Proyecto 4 2.000 3 3 ó 4Proyecto 5 1.500 2 2




Pág. 4

En conclusión, el orden depende del criterio que utilicemos:

Proyectode

inversión

Desembolsoinicial (A) ∑ h Q a) b) c)

Proyecto 1 3.000 4.000 4 4 3 ó 4Proyecto 2 3.000 6.000 2 ó 3 2 1

Proyecto 3 1.000 1.200 5 5 5Proyecto 4 2.000 35.000 1 1 3 ó 4Proyecto 5 1.500 3.000 2 ó 3 3 2

3.1. Métodos dinámicos de análisis de inversiones

Son métodos de selección de inversiones que incorporan el factor tiempo, y tienen en cuenta elhecho de que los capitales tienen distinto valor en función del momento en que se generen.

Los principales métodos dinámicos de selección de inversiones son:

1. El valor actual neto, VAN.

2. El índice de rentabilidad, IR.3. La tasa interna de rentabilidad, TIR.4. El plazo de recuperación con descuento, PD.

a) El valor actual neto: VAN

El valor actual neto (VAN) o Valor Capital (VC) es un método dinámico de selección deinversiones, es decir, incorpora el factor tiempo, y tienen en cuenta el hecho de que los capitales tienendistinto valor en función del momento en el que se generen.

Para un proyecto de inversión, la ganancia total neta, o si se quiere, el Valor Capital, vendrádeterminado por la suma algebraica de las diferentes ganancias netas anuales, es decir:

Q 1 Q 2 Q 3 Q n + VRVAN = VC = - A +( 1 + k ) 1

+( 1 + k ) 2

+( 1 + k ) 3

+ ….. +( 1 + k ) n

k = rentabilidad exigida a la inversión, o tasa de actualización.

Si la tasa de actualización fuese distinta para cada periodo:

Q 1 Q 2 Q n + VRVAN = VC = - A +

( 1 + k 1 )+

( 1 + k 1 ) ( 1 + k 2 )+ ….. +

( 1 + k 1 ) ( 1 + k 2 ) ….( 1 + k n )

b) Índice de Rentabilidad: IR

Este criterio intenta eliminar el inconveniente del VC, respecto a su inconsistencia para compararproyectos de inversión independientes y mutuamente excluyentes, con distintos capitales invertidos. Así,definimos el Índice de Rentabilidad no aproximado, (IR), como la relación entre el valor capital y lainversión realizada:

VCI R =

A

c) La tasa interna de rentabilidad: TIR

Es un método dinámico de selección de inversiones, y se define como aquel valor de la tasa de

actualización que anula al Valor Capital . Por consiguiente:

( )∑=

+

+−=

n

h h

h

r

Q A

1 10




Pág. 5

Desde otro punto de vista, puede definirse como el máximo tipo de interés que se puede pagar

por el capital invertido a largo de la vida de la inversión , sin perder el proyecto.

Según lo anterior, el criterio de decisión será: Si r > k , se acepta el proyecto. Si r < k , no es conveniente realizar el proyecto. Si r = k , es indiferente acometer el proyecto.

d) El plazo de recuperación o pay-back con descuento: PD

Este método es muy semejante al método estático del plazo de recuperación con la diferenciaque ahora se tiene en cuenta el diferente valor que tienen los capitales en los distintos momentos deltiempo.

Se define como el tiempo que tarda en recuperarse, en términos actuales, el desembolso inicialde una inversión. La forma de cálculo es la misma, pero Qh es la suma de los flujos de caja actualizadosen base a la tasa k:

A

k

Q P

n

h h

h =

+

⇒

∑=1 )1(

Según este método las inversiones son tanto mejores cuanto menor sea su plazo derecuperación con descuento.

Es un criterio que prima la liquidez de las inversiones sobre su rentabilidad y que no tiene encuenta los flujos generados con posterioridad al propio plazo de recuperación.

Ejemplo 1

Valorar y jerarquizar cada uno de los proyectos del ejemplo anterior, atendiendo a los siguientesmétodos de análisis:

a) Valor actual neto (VAN).b) Índice de Rentabilidad (IR).c) Tasa interna de rentabilidad (TIR).d) Criterio del plazo de recuperación o “payback” con descuento (PD).

El coste de capital para la empresa es del 8%.a) Valor actual neto (VAN)

Q 1 Q 2 Q 3 Q n + VRVAN = VC = - A +

( 1 + k ) 1 +

( 1 + k ) 2 +

( 1 + k ) 3 + … +

( 1 + k ) 1

Proyecto 1:

VAN = - 3.000 + 1.000 x A 4 : 0,08 = 312,13 €Proyecto 2:

VAN = - 3.000 + 3.000 x A 2 : 0,08 = 2.349,79 €

Proyecto 3:VAN = - 1.000 + 200 x A 6 : 0,08 = - 75,42 €

Proyecto 4:

200 1.500 300 8.000 10.000 15.000VAN = - 2.000 +

(1,08)1 +

(1,08)2 +

(1,08)3 +

(1,08)4 +

(1,08)5 +

(1,08)6 = 21.847,96 €

Proyecto 5:1.500 1.500

VAN = - 1.500 +(1,08)2

+(1,08)4

= 888,55 €




Pág. 6

b) Índice de Rentabilidad (IR)

V CIR =

A

Proyecto 1: Proyecto 2 :

312,13 2.349,79IR =3.000

= 0,104 IR =3.000

= 0,7832

Proyecto 3: Proyecto 4:- 75,42 21.847,96

IR =1.000

= - 0,07542 IR =2.000

= 10,92

Proyecto 5:888,55IR =1.500

= 0,592

c) Tasa interna de rentabilidad (TIR)

( )∑=

+

+−=

n

h h

h

r

Q A

1 10

Nos ayudaremos de la hoja de cálculo para obtener el valor de r.

Proyecto 1:

0 = -3.000 + 1.000 x A 4 : r r = 0,125898 r = 12,58 % > k = 8 %

Proyecto 2:

0 = -3.000 + 3.000 x A 2 : r r = 0,618 r = 61,80 % > k = 8 %

Proyecto 3:

0 = -1.000 + 200 x A 6 : r r = 0,054717 r = 5,47 % < k = 8 %

Proyecto 4:

200 1.500 300 8.000 10.000 15.0000 = - 2.000 +

(1 + r)1 +

(1 + r) 2 +

(1 + r )3 +

(1 + r)4 +

(1 + r )5 +

(1 + r )6

r = 0,875672 r = 87,56 % > k = 8 %

Proyecto 5:

1.500 1.5000 = - 1.500 +

(1 + r) 2 +

(1 + r) 4 r = 0,27201 r = 27,20 % > 8 %

d) Criterio del plazo de recuperación o “payback” con descuento (PD)

Ak

Q P

n

h h

h =

+

⇒∑=1 )1(

Si todos los capitales son iguales, bastará con despejar el valor de p en la expresión

correspondiente, utilizando logaritmos.




Pág. 7

Proyecto 1:3.000 = 1.000 x A p : 0,08 p = 3,5659 años

Proyecto 2:3.000 = 3.000 x A p : 0,08 p = 1,083 años

Proyecto 3:

1.000 = 200 x A p : 0,08 p = 6,6374 años

Si los capitales no son iguales iremos realizando la suma de todos los capitalesactualizados hasta que recuperemos la inversión realizada A.

Proyecto 4

Periodo (A) h Q h

h

k

Q

)1( +

∑+

h

h

k

Q

)1( A

k

Q h

h −

+∑

)1(

1 2.000 200 185,19 185,19 -1.814,812 2.000 1.500 1286,01 1.471,19 -528,813 2.000 300 238,15 1.709,34 -290,66

4 2.000 8.000 5.880,24 7.589,585 2.000 10.000 6.805,83 14.395,416 2.000 15.000 9.452,54 23.847,96

Como vemos la inversión se recupera totalmente en 4, pero realmente corresponde alaño tercero y parte del cuarto:

Si 5.880,24 –––––––- 1 añoX = 0,05 años p = 3,05 años

290,66 –––––––- x

Proyecto 5

Periodo (A) h Q h

h

k

Q

)1( + ∑ +

h

h

k

Q

)1( Ak

Q h

h −

+∑ )1(

1 1.500 0 0,00 0,00 -1.500,002 1.500 1.500 1.286,01 1.286,01 -213,993 1.500 0 0,00 1.286,01 -213,994 1.500 1.500 1.102,54 2.388,55 888,55

Si 1.102,54 –––––––- 1 añoX = 0,19 meses p = 3,19 años

213,99 –––––––- x

En conclusión:

VC IR TIR PRDProyecto (A) ∑ h Q

Valores OrdenValore

s OrdenValore

s OrdenValore

s Orden

Proyecto 1 3.000 4.000 312,13 4 0,104 4 12,58 4 3,56 4Proyecto 2 3.000 6.000 2.349,79 2 0,7832 2 61,80 2 1,08 1Proyecto 3 1.000 1.200 -75,42 No -0,075 No 5,47 No 6,63 NoProyecto 4 2.000 35.000 21.847,96 1 10,92 1 87,56 1 3,05 2Proyecto 5 1.500 3.000 888,55 3 0,592 3 27,20 3 3,19 3




Pág. 8

VAN

K

Proyecto 1

Proyecto 2

Fisher

r 0

Proyecto 1

Proyecto 2

r 2 r 1k

V 1

V2

3.2 COMPARACIÓN CRITERIOS VAN Y TIR

- Para un solo proyectoAl analizar un único proyecto el resultado que obtenemos aplicando el criterio VAN y el criterio

TIR son idénticos.Si el coste de capital (k) es mayor que TIR (r), el VAN da un valor negativo, lo que haría

rechazable la inversión. Lógicamente si la rentabilidad de la inversión es menor que el coste del capital

no tiene sentido invertir. Estamos pagando más por la financiación que lo que vamos a obtener comoresultado.

Por el contrario, si el coste de capital es menor que TIR (r), el VAN da positivo, lo que indica quela inversión es efectuable.

VAN > 0 y TIR > k. El proyecto sería efectuable.VAN >0 y TIR > k. El proyecto se rechazaría

- Para más de un proyecto:Los dos criterios pueden ser concidentes en caso de que las curvas no se corten en el primer

cuadrante.

El proyecto 1 es preferible al proyecto 2 según el Van porque V 1 es mayor que V 2.

Los dos criterios pueden dar lugar a resultados contradictorios si el VAN de uno es menor que eldel otro pero la TIR es mayor, lo que sucede siempre que las dos curvas se cortan en el primercuadrante.

Este caso correspondería a aquellos proyectos en los que la rentabilidad absoluta del primero esmayor que la del segundo, es decir, proporciona más unidades económicas a la empresa pero, por elcontrario su rentabilidad relativa es menor, es decir, restituye menos unidades económicas por unidadeconómica invertida.

En este caso se producen resultados contradictorios, ya que según el VAN es más interesante elproyecto 1 (V1 >V2: el proyecto 1 tiene más rentabilidad absoluta que el proyecto 2), pero según la TIRes más interesante el proyecto 2 que el 1 TIR 2 > TIR1: el proyecto 2 tiene mayor rentabilidad por unidadinvertida que el proyecto 1). Según el criterio al que le demos preferencia elegiríamos un proyectoinversión u otro.

- La tasa de FisherEn estos casos en los que hay discrepancia, la solución hay que buscarla por medio de la tasa de

Fisher que va a ser la que nos permitirá tomar decisiones acerca de la elección de un proyecto u otro.Para solucionar la contradicción se acude a la obtención de F, que es el punto de intersección

que hace equivalentes a las dos inversiones.Si la empresa puede conseguir recursos con un coste inferior a r 0, la inversión 1 es favorable a

la 2 porque produce un mayor rendimiento absoluto. Si es al revés, debe elegir el proyecto 2.Este criterio se pude denominar Método de selección de inversiones por comparación entre la

tasa de retorno sobre el coste de Fisher y la tasa de descuento.

VAN



ADMINISTRACIÓN Y FINANZAS. GESTIÓN FINANCIERA TEMA 1. EL INTERÉS SIMPLE

EJERCICIO 10,07 0,14 0,002 0,1422 2 1,21

EJERCICIO 27 % 70 % 10 % 14,25 % 0,7 %

EJERCICIO 3I = XC0 = 2.000 €

i = 0,08 anualn = 5 años

I = C0 x n x iI = 2.000 x 0,08 x 5

I = 800 €

EJERCICIO 4Cn = XC0 = 6.000 €n = 4 añosi = 0,08 anual

Cn = C0 x (1 + n x i)Cn = 6.000 ( 1 + 4 x 0,08)

Cn = 7.920 €

EJERCICIO 5Cn = XC0 = 6.000i = 0,06 anualn = 2 años

Cn = C0 x (1 + n x i)Cn = 6.000 x ( 1 + 2 x 0,06)

Cn = 6.720 €

EJERCICIO 6I = X

Co = 20.000 €i = 0,05 anualn = 6 años

I = C0 x n x i

I = 20.000 x 6 x 0,05I = 6.000 €

EJERCICIO 7Cn = XCo = 4.200 €i = 0,06 anualn = 3 años

Cn = C0 x (1 + n x i)Cn = 4.200 x (1 + 3 x 0,06)

Cn = 4.956 €

EJERCICIO 8C0 = Xi = 0,05 anualn = 2 añosI = 600 €

I = C0 x n x i600 = Co x 2 x 0,05

600 = Co x 0,1C0 = 6.000 €

EJERCICIO 9C0 = Xi = 0,02 anualn = 4 añosCn = 1.524 €

Cn = C0 x (1 + n x i)1.524 = C0 x (1 + 4 x 0,02)

1.524 = C0 x 1,08C0 = 1.411,11 €

EJERCICIO 10Co = Xi = 0,05 anualn = 8 añosCn = 3.240 €

Cn = C0 x (1 + n x i)3.240 = C0 x ( 1 + 8 x 0,05)

3.240 = C0 x 1,40C0 = 2.314,29 €

EJERCICIO 11C0 = 3.200 €i= 0,08 anualn = X

Cn = 3.840 €

Cn = C0 x (1 + n x i)3.840 = 3.200 x ( 1 + n x 0,08)

3.840 = 3.200 + 256 x n

640 = 256 x nn = 2,5 años

n = 2 años y media.EJERCICIO 12n = XC0 = 5.000 €i = 0,09 anualCn = 6.800

Cn = C0 x (1 + n x i)6.800 = 5.000 x ( 1 + n x 0,09)

6.800 = 5.000 + 450 x n6.800 – 5.000 = 450 x n

1.800 = 450 x nn = 4 años

EJERCICIO 13n = XC0 = 8.000 €I = 4.800 €

i = 0,06 anual

I = Co x n x i4.800 = 8.000 x n x 0,06

4.800 = 480 x n

n = 10 añosEJERCICIO 14i = XC0 = 8.000 €n = 4 añosI = 2.560 €

I = Co x n x i2.560 = 8.000 x 4 x i2.560 = 32.000 x i

i = 0,08 = 8 %




EJERCICIO 15i = xCo = 2.500 €n = 6 añosCn = 3.100 €

Cn = C0 x (1 + n x i)3.100 = 2.500 ( 1 + 6 x i )3.100 = 2.500 + 15.000 x i

600 = 15.000 x ii = 0,04 = 4 %

EJERCICIO 16i12 = 0,06 / 12 = 0,005 = 0,5 %

i2 = 0,08 / 2 = 0,04 = 4 %i6 = 0,12 / 6 = 0,02 = 2 %

i4 = 0,06 / 4 = 0,015 = 1,5 %i3 = 0,09 / 3 = 0,03 = 3 %

EJERCICIO 17I = XC0 =1.000 €i = 0,08 anualn = 3 trimestres

i4 = 0,08 / 4 = 0,02 trimestralI = Co x n x i

I = 1.000 x 3 x 0,02I = 60 €

EJERCICIO 18I = XC0 = 30.000 €i = 0,06 semestral

n = 3 meses

i = 0,06 / 6 mesesi12 = 0,01 mensual

I = C0 x n x i

I = 30.000 x 3 x 0,01I = 900 €

EJERCICIO 19i = X anualC0 = 6.000 €I =300 €n = 5 meses

I = Co x n x i300 = 6.000 x 5 x i12

300 = 30.000 x i12

i 12 = 0,01i = 0,01 x 12

i = 0,12 anualEJERCICIO 20n = XC0 = 2.500i = 0,08 anualI = 250 €

I = Co x n x i250 = 2.500 x n x 0,08

250 = 200 x nn = 1,25 años

1 año ----- 12 meses0,25 año ---- X meses

X = 3 meses

n = 1 años y 3 mesesEJERICICIO 21I = Xi = 0,10 anualn = 6 mesesCn = 5.250 €

i12 = 0,10/12Cn = C0 x (1 + n x i)

5.250 = C0 x ( 1 + 6 x 0,10 / 12)5.250 = C0 x 1,05

C0 = 5.000 €I = Cn – C0

I = 5.250 – 5.000

I = 250 €EJERCICIO 22C0 = xI = 900 €n = 180 díasi = 0,06 anual

i360 = 0,06 / 360I = C0 x n x i

900 = C0 x 180 x 0,06 / 360900 = C0 x 90C0 = 30.000 €

EJERCICIO 23n= XCn = C0 + 28/100 C0 Cn = 1,28 Coi = 0,10 anual

Cn = C0 x (1 + n x i)1,28 Co = C0 (1 + n x 0,10)

1,28 = 1 + n x 0,100,28 = n x 0,10n = 2,8 años

1 año ---- 12 meses0,80 año ---- X meses

X = 9,60 meses1 mes ---- 30 días

0,60 mes ---- X díasX = 18 días

n = 2 años, 9 meses y 18 días




EJERCICIO 24Cn = 9 x C0

i2 = 0,05 semestralCn = C0 x (1 + n x i)

9 x C0 = C0 (1 + n x 0,05)9 = 1 + n x 0,05

8 = n x 0,05n = 160 semestres

EJERCICIO 25I = XC0 = 2.000 €n = 180 díasi = 0,12 anual

i360 = 0,12 / 360I = C0 x n x i

I = 2.000 x 180 x 0,12 / 360I = 120 €

EJERCICIO 26Cn = XC0 = 3.650 €i = 0,12 anualn = 12 meses

i12 = 0,12 / 12Cn = C0 x (1 + n x i)

Cn = 3.650 ( 1 + 12 x 0,12 / 12)Cn = 4.088 €

EJERCICIO 27n = 4 añosn = 8 semestresi2 = 0,06 semestral

n = 10 añosi = 0,08

I1 = I 2 C01 + C02 = 1.600 €

Co2 = 1.600 – C01

I1 = C01 x 8 x 0,06I1 = 0,48 x C01

I2 = C02 x n x iI2 = (1.600 – C01) x 10 x 0,08

I2 = 1.280 – 0,80 C01

I1 = I 2

0,48 x C01 = 1.280 – 0,80 C01

0,48 C01 + 0,80 C01 = 1.2801,28 C01 = 1.280

C01 = 1.000 €C02 = 600 €

EJERCICIO 28

n = xCn = 3 C0 i = 0,16 anual

Cn = C0 x (1 + n x i)3 C0= C0 x (1 + n x 0,16)

3 – 1 = 0,16 n

n = 2 / 0,16n = 12,5 añosEJERCICIO 29

I com - I civil = 16, 44C0 = 60.000 €i = 0,04 anualn = x

(C0 x n x i) / 360 - (C0 x n x i) / 365 = 16,44(60.000 x n x 0,04) / 360 - (60.000 x n x 0,04) / 365 = 16,44

6,66666667 x n – 6,575342 x n = 116,440,091324204 x n = 144

n = 180 díasEJERCICIO 30

Cn = 3.848i = 0,08 anual

Cn = 4.160i = 0,10 anual

n = xCo= x

Cn = C0 x (1 + n x i)3.848 = C0 x (1 + n x 0,08)C0 = 3.848 / (1 + n x 0,08)

Cn = C0 x (1 + n x i)

4.160 = C0 x (1 + n x 0,10)C0= 4.160 / (1 + n x 0,10)

3.848 / (1 + n x 0,08) = 4.160 / (1 + n x 0,10)3.848 (1+ n x 0,10) = 4.160 (1 + n x 0,08)

3.848 + 384,8 n = 4.160 + 332,8 n3.848 – 4.160 = 332,80 n – 384,80 n

312 = 52 nn = 6 años

C0 = 3.848 / 1 + 6 x 0,08Co = 2.600 €




EJERCICIO 31C0 = 2.300i = 0,08 anualn1 = n2/2

C0 = 3.400i = 0,08 anualn2

I1 + I2 = 2.184

I1 = 2.300 x n2 / 2 x 0,08I1 = 92 x n2

I2 = 3.400 x n2 x 0,08I2 = 272 n2

I1 + I2 = 2.18492 n2 + 272 n2 = 2.184

364 n2 = 2.184n2 = 6 años

EJERCICIO 32C0 /2n = 6 añosi = 0,02 anualC0 /2N= 6 añosi = 0,05 anual

C0 n = 6 años

i = 0,07 anual

Cn = C0 / 2 (1+ 6 x 0,02) + C0 / 2 (1+6 x 0,05)Cn = C0 x 0,56 + C0 x 0,65

Cn = 1,21 C0

Cn = C0 (1 + 6 x 0,07)Cn = 1,42 C0

EJERCICIO 33i = XC0 = 9.000n = 90 diasIcom – Iciv = 2,465753

Icom = 9.000 x 90 x i / 360Icom = 2.250 x i

Iciv = 9.000 x 90 x i / 365Iciv = 2.219,18 x i

Icom – Iciv = 2,4657532.250 x i – 2.219,18 x i = 2,465753

30,82 x i = 2,465753i = 0,08 = 8 %

EJERCICIO 34C0 = xn = 150 dias

i = 0,07Icom – Iciv = 3 €

Icom = C0 x 150 x 0,07 / 360Icom = 0,029167 x Co

Iciv = C0 x 150 x i / 365Iciv = 0,028767 x C0

Icom – Iciv = 30,029167 x C0 – 0,028767 x C0 = 3

0,0004 x C0 = 3C0 = 7.500 €

EJERCICIO 35

C0 n Nos comerciales180,10 3 meses 540,3090,20 12 meses 1.082,40

300,65 6 meses 1.803,90Suma Nos comer. 3.426,60

DIVISOR FIJO = 12 / 0,08 = 150

INTERESES = 3.426,60 / 150 =22,84 €EJERCICIO 36

C0 n Nos comerciales3.000 120 360.0003.000 180 540.000

3.000 200 600.000Suma Nos comer. 1.500.000

DIVISOR FIJO = 360 / 0,08 = 4.500

INTERESES = 1.500.000 / 4.500 = 333,33 €




EJERCICIO 37

C0 n Nos comerciales400 2 meses 800600 6 meses 3.600

800 9 meses 7.2001.000 12 meses 12.000Suma Nos comer. 23.600

DIVISOR FIJO = 12 / 0,06 = 200

INTERESES = 23.600 / 200 = 118 €EJERCICIO 38

C0 n Nos comercialesCo 3 3 Co

2 Co 6 12 Co 4 Co 9 36 Co

Suma Nos comer. 51 Co

DIVISOR FIJO = 12 / 0,04 = 300

85 = 51 C0 / 30025500 = 51 C0

C0 = 500 €

EJERCICIO 3930 Julio – 10 Diciem.n1 = 133 dias30 Agos. – 10 Diciem.n2 = 102 días30 Sept. – 10 Diciem.n3 = 71 días

C0 n Nos comerciales600 133 79.800620 102 63.240680 71 48.280

1.900 Suma Nos comer. 191.320

DIVISOR FIJO = 365 / 0,01 = 3.650

INTERESES = 191.320 / 3.650INTERESES = 52,42

CAPITAL FINAL = 1.900 + 52,42 = 1.952,42 € EJERCICIO 40

Icom = 12,50 €Iciv = X

Icom = 73 / 72 x Iciv 12,50 = 73 / 72 x IcivI

Iciv = 12,33 €EJERCICIO 41

Iciv = 6,20 €Icom = X

Icom = 73 / 72 x Iciv Icom = 73 / 72 X 6,20

Icom = 6,29 €

EJERCICIO 42 Cn = XC0 = 7.000i = 0,06 anualn = 2 años

Cn = C0 x (1 + n x i)Cn = C0 x (1 +2 x 0,06)

Cn = 7.840 €

EJERCICIO 43

Cn = 1.750 €n = 6 mesesi = 0,12 anual

1.750 = C0 x (1 + 6 x 0,12 / 12)1.750 = 1,06 C0

C0 = 1.650,94 €EJERCICIO 44

I = 1.750 – 1.650,94 = 99,06 €EJERCICIO 45

n = 10 mesesi = 1/5 C0

1/5 C0 =C0 x 10 x i / 120,2 = 0,83333 i

I = 0,24 = 24%EJERCICIO 46

i = 0,08 anualCn = 5.920n= 6 meses

5.920 = C0 x (1 + 6 x 0,08)5.920 = Co x 1,48

Co = 4.000 €




EJERCICIO 47

i = 0,04 anualn = 2 añosC02 = Cn1

i = 0,005 mensualI = 64,80 €n = 1 año = 12 meses

Cn = C0 x (1 + 2 x 0,04)Cn = 1,08 C0

I = 1,08 x C0 x 12 x 0,00564,8 = 0,0648 x Co

Co = 1.000 €

EJERCICIO 48

C0 = 1.000Cn = 1.480n = 8 añosi = X

1.480 = 1.000 ( 1 + 8 i )1.480 = 1.000 + 8.000 I

480 = 8.000 ii = 0,06 = 6 %

EJERCICIO 49

C0 = 500 €i = 0,04C0 = 500 €i = 0,102 Cn1 = Cn2

Cn1 = 500 ( 1 + 0,04 n)Cn1 = 500 + 20 n

Cn2 = 500 ( 1 + 0,10 n)Cn2 = 500 + 50 n

2 Cn1 = Cn2

2 (500 + 20 n) = 500 + 50 n500 = 10 n

n = 50 añosEJERCICIO 50

i = XCn = 2 Co

n = 8 años

2Co = C0 x (1 + 8 x i)2 = 1 + 8 i

1 = 8 iI = 0,125 = 12,5 %

EJERCICIO 51

n = 3 mesesi = 0,12 anualI = 300 €

300 = C0 x 3 x 0,12 / 12300 = 0,03 Co Co = 10.000 €

EJERCICIO 52

C0 = 7.000I = 1.820i = 0,08

n = X

1.820 = 7.000 x n x 0,081.820 = 560 nn = 3,25 años

n = 3 años y 3 mesesEJERCICIO 53

Cn = 3 Co

i = 0,1 anualn = X

3 Co = C0 x (1 + 0,10 x n)2 = 0,1 n

n = 20 añosEJERCICIO 54

Cn = 2.240C0 = 2.000i = 0,10 anual

2.240 = 2.000 ( 1 + 0,10 n )2.240 = 2.000 + 200 n

240 = 200 nn = 1,2 años

EJERCICIO 55

C0 = 4.000n = 8 mesesi = 0,08 anual

Cn = 4.000 x (1 + 8 x 0,08 / 12)Cn = 4.213,33

EJERCICIO 56n = 6 semanas y 8 díasn = 50 díasC0 = 4.600i = 0,08 anualAño civil

Cn = C0 (1 + n x i)Cn = 4.600 ( 1 + 50 x 0,08 / 365)

Cn = 4.650,41 €

EJERCICIO 57i = 0,03 trimestralCn = 9.374 €n = 9 meses

i = 0,01 mensualCn = C0 (1 + n x i)

9.374 = Co (1+ 9 x 0,01)9.374 = Co x 1,09

C0 = 8.600 €




EJERCICIO 58Co = 1.000n = 8-ene. al 28-jun. =171 díasi = 0,0425 anualC0 = 1.000 €n = 22-ene al 28-jun.n = 157 díasi = 0,045 anual

I = Co x n x iI1 = 1.000 x 171 x 0,0425 / 365

I1 = 19,91 €I2 = 1.000 x 157 x 0,045 / 365

I2 = 19,36I = 19,91 + 19,36

I = 39,27 €

EJERCICIO 59C0 = xCn = 8.000 €Ia = 0,03 anualn =2 meses

C0 = Cn (1 – n x i )C0 = 8.000 (1 – 0,03 / 12 x 2)

C0 = 7.960 €

EJERCICIO 60n = 9 mesesia = 0,08

C0 (1+ 9 x iv / 12) = C0 / (1- 9 x 0,08 / 12)1 + 0,75 iv = 1 / 0,94

(1 + 0,75 iv) x 0,94 = 10,94 + 0,705 iv = 10,705 i v = 1 – 0,94

0,705 iv = 0,06Iv = 0,0851 = 8,51 %

EJERCICIO 61C0 = 1.500n = 9 mesesIa = 0,08Co = 1.500n = 9 mesesIv = 0,0851

1.500 = Cn ( 1 – 9 x 0,08 / 12)1.500 = Cn x 0,94Cn = 1.595,74 €

Cn = 1.500 ( 1 + 9 x 0,0851 /12)Cn = 1.595,71 €

EJERCICIO 62C0 = 1.500n = 18 mesesIa = 0,08

Co = 1.500n = 9 mesesIv = 0,0851

1.500 = Cn ( 1 – 18 x 0,08 / 12)1.500 = Cn x 0,88Cn = 1.704,55 €

Cn = 1.500 ( 1 + 18 x 0,0851 /12)Cn = 1.691,48 €

EJERCICIO 63i 1 = Xn = 3 añosI 2 – I 1 = 0,54 €i 2 = i 1 + 0,01C 1 = 20 / 3 I 1

I 1 = 20 / 3 x I 1 x 3 x i 1

1 = 20 x i 1

i 1 = 0,05I 1 = C0 x 0,05 x 3

I 1 = C x 0,15I 2 = C0 x 0,06 x 3

I 2 = C x 0,18I 2 – I 1 = 0,54

C0 x 0,18 – C0 x 0,15 = 0,54C0 x 0,03 = 0,54

C0 = 18 €EJERCICIO 64C o = Xi 4 = 0,05 trimestraln = 3 añosn = 22 mesesi 2 = 0,03 bimestralCn 2 = 639,48

i = 0,05 trimestral = 0,20 anualC n1 = C o x (1 + 3 x 0,20)

C n1 = C o x 1,60

n 2 = 22 meses = 11 bimestresC n 2 = C 0 x 1,60 (1 + 11 x 0,03)

639,48 = C 0 x 1,60 x 1,33639,48 = C 0 x 2,128

C 0 = 300,51 €EJERCICIO 65C 0 = 120,20i = 0,03 trimestral

C 0 = 120,20I = 0,01 cuatrimestralCn 1 = Cn 2 x 2

i = 0,03 trimestral = 0,12 anualC n 1 = 120,20 ( 1 + n x 0,12)

i3 = 0,01 cuatrimestral = 0,03 anualC n 2 = 120,20 ( 1 + n x 0,03)

C n 1 = C n 2 x 2120,20 ( 1 + n x 0,12)= 2 x 120,20 (1 + n x 0,03)




1 + n x 0,12 = 2 x (1 + n x 0,03)1 + n x 0,12 = 2 x 0,06 x n

1 = 0,06 x nn = 16,66666 años

1 año ---- 12 meses0,666666 ----- X meses

X = 8 mesesn = 16 años y 8 meses

EJERCICIO 66C 0 = 480,81 €i = 0,04 bimestral =0,24 anuaC 0 = 480,81 €i = 0,02 cuatrimestral= 0,06 anualCn 1 = 3 x Cn 2

C n 1 = 480,81 ( 1 + n x 0,12)

C n 2 = 480,81 ( 1 + n x 0,03)

C n 1 = 3 x C n 2480,81 (1 + n x 0,12) = 480,81 x (1 + n x 0,03) x 3

1 + n x 0,12 = 3 + n x 0,09n x 0,03 = 2

n = 66,6666 semestresEJERCICIO 67C o = 180,30

i 6 = 0,03 bimestralC o = 180,30i 2 = 0,02 semestralCn1 = 2 x Cn2

Cn 1 = 180,30 ( 1 + n x 0,18)

Cn 2 = 180,30 ( 1 + n x 0,04)

Cn 1 = 2 x Cn 2 180,30 ( 1 + n x 0,18) = 2 x 180,30 ( 1 + n x 0,04)

1 + n x 0,18 = 2 + n x 0,081 = 0,10 x nn = 10 años

EJERCICIO 68n = x cuatrimestresi 6 = 0,02 bimestralCn = 6/5 Co

6 / 5 C 0 = C 0 (1 + n x 0,04)6 / 5 = 1 + n x 0,046 = 5 ( 1 + n x 0,04)

6 = 5 + 0,2 x n1 = 0,2 x n

n = 5 cuatrimestresEJERCICIO 69i 3 = 0,04 cuatrimestraln1 n2 = n 1 + 1 semestresI = 36,06 €

i 2 = 0,06 semestral36,06 = C0 x 1 x 0,06

Co = 601 €

EJERCICIO 70Co1 i 1 = 0,06n 1= 3 añosC02 = C01 x 1,50i 2 = 0,07n 2 = 2 añosI 1 + 3,61 = I 2

I 1 = C 01 x 0,06 x 3I 1 = C 01 x 0,18

I 2 = C01 x 1,50 x 0,07 x 2I 2 = C 01 x 0,21I 1 + 3,61 = I 2

C 01 x 0,18 + 3,61 = C 01 x 0,213,61 = Co1 x 0,21 – C01 x 0,18

3,61 = 0,03 x C 01

C01 = 120,33 €C02 = 120,33 x 1,50 =

C02 = 180,50 €I 1 = 120,33 x 0,06 x 3

I 1 = 21,66 €I 2 = 21,66 + 3,61

I 2 = 25,27 €EJERCICIO 71n = 30 diasi = 0,09 anualI 360 – I 365 = 9,02

I 360 = Co x 300 x 0,09 / 360I 360 = 0,075 x C0

I 365 = Co x 300 x 0,09 x 365I 365 = 0,073972602 x Co

I 360 – I 365 = 9,020,075 x C 0 – 0,073972602 x Co = 9,02

0,001027398 x C o = 9,02Co = 8.779,46 €

EJERCICIO 72i = % cuatrimestraln = 1 año y 7 mesesi = 1/5 C0

1 / 5 C o = C 0 x 19 x i 12 1 / 5 Co = C0 x 19 x i 12

1 = 5 x 19 x i 12




1 = 95 x i 12 i 12 = 0,010526315

i 4 = 4 x 0,010526315i 4 = 0,04210526 = 4 ,21 % cuatrimestral

EJERCICIO 73C 0 = 18.665,42 €C O1 = X

n = 9 mesesi = 0,12 anualC 0 2 = Co1 + 6010,12n= 16 mesesi 6 = 0,03 bimestralCn1 + Cn2 = 18.655,42

Cn1 = C01 (1 + 9 x 0,12 / 12)Cn1 = C01 x 1,09

Cn2 = (Co1 + 6.010,12) (1 + 16 x 0,015)Cn2 = (Co1 + 6010,12) x 1,24

Cn2 = 1,24 x Co1 + 7.452,5488Cn1 + Cn2 = 18.665,42

C01 x 1,09 + 1,24 x C01 + 7.452,5488 = 18.665,422,33 x C01 = 18.655,42 – 7.452,5488

2,33 x C01 = 11.202,8712C01 = 4.808,10 €

C02 = 4.808,10 + 6.010,12C 02 = 10.818,22 €




EJERCICIO 74i = 8 % semestraln = 1 año y 6 mesesCn= 3.353,65 €

3.353,65 = C0 (1 + 0,08 x 3)3.353,65 = Co x (1,24)

C0 = 2.704,56 €EJERCICIO 75

C0 = 5.000 €i = 0,04 anuali = 0,10 anualCn1 x 2 = Cn2

Cn1 = 5.000 ( 1 + n x 0,04)

Cn2 = 5000 (1+ n x 0,10)C n1 x 2 = C n2

5.000 (1 + n x 0,04 ) x 2 = 5.000 (1 + n x 0,10)2 + n x 0,08 = 1 + n x 0,10

1 = 0,02 nn = 50 años

EJERCICIO 76

Co N Nos comerciales

5.00025.00030.00020.000

1 mes5 meses9 meses6 meses

5.000125.000270.000120.000520.000

Divisor fijo = 12 / 0,08 = 150Intereses = 520.000 / 150 = 3.466,67

EJERCICIO 771º inversionC 01 = Xn = 1 añoi = 0,06 anuali = 0,08 anualI = 693,602º inversionC02 = X

n = 1 añoi = 0,08 anuali = 0,06 anualI = 693,60 + 44,40I = 738

693,60 = Co1 x 1 x 0,06 + Co2 x 1 x 0,08693,60 = Co1 x 0,06 + Co2 x 0,08

738 = Co1 x 1 x 0,08 + C02 x 1 x 0,06738 = C01 x 0,08 + C02 x 0,06

693,60 – C02 x 0,08 = Co1 x 0,06

693,60 – C02 x 0,08 = C01 0,06

738 =693,60 – C02 x 0,08

x 0,08 + C02 x 0,060,06

738 = 924,80 - 0,106666666 C02 + C02 x 0,06738 – 924,80 = - 0,1066666 C02 + C02 x 0,06

- 186,80 = - 0,04666664 x C02 C02 = 4.002,86 €

C01 =693,60 – 4.002,86 x 0,08

0,06

C01 = 6.222,85 €

EJERCICIO78i 1= 0,06 anuali 2 = 0,08 anualn = 1 añoI = 2.560 €i1 = 0,08 anuali2 = 0,06 anualI = 3.040 €

2.560 = C01 x 1 x 0,06 + C02 x 1x 0,083.040 = Co1 x 1 x 0,08 + Co2 x 1 x 0,06

2.560 – C02 x 0,08= C01

0,06

3.040 =2.560 – C02 x 0,08

x 0,08 + C02 x 0,060,06

3.040 = 3.413,33 – 0,106666666 x C02 + Co2 x 0,063.040 – 3.413,33 = - 0,106666666 x C02 + C02 x 0,06

373,33 = 0,0466666 C02

C02 = 8.000 €

2.560 – 8000 x 0,08= C01

0,0632.000 = Co1




EJERCICIO 79i 4 = 0,015 % trimestraln = 8 mesesi 6 = 0,0125 bimestraln = 1 año y medioCn = 13.884

Cn1 = Co (1+ 8 x 0,005)Cn1 = C0 x 1,04

Cn2 = C0 x 1,04 ( 1 + 0,0125 x 9 )Cn2 = C0 x 1,04 x 1,1125

Cn2 = 1,157 x C0 13.884 = 1,157 x C0

C0 = 12.000 €

EJERCICIO 80Co = Xia = 0,08 anualn = 3 añosCn = 40.000 €

C0 = Cn ( 1 – n x i a)Co = 40.000 ( 1 – 3 x 0,08)

Co = 30.400 €

EJERCICIO 81I v = Xi a = 0,06n = 2 años

1 + n x i v = 1

1 – n x i a

1 + 2 x i v = 1

1 – 2 x 0,06

1 + 2 x i v = 1,13636363

2 x i v = 0,13636363

I v = 0,0681818

EJERCICIO 82i = 0,05 anual1ª imposición6-oct al 20-dic.C o = 1.000 €2ª imposición

1-nov. al 20 – diciem.C0 = 850

1ª ImposiciónC n = 1.000 (1 + 75 x 0,05 / 365)

C n = 1.010,27 €

2ª Imposición

C n = 850 (1 + 49 x 0,05 / 365)C n = 855,71 €

EJERCICIO 83A crédito: 3/5 de 5.800n = 18 mesesi 1 = 0,015 trimestral

i 2 = 0,08 anual

Pago al contado: 5.800 x 2/5 = 2.320Aplazado: 5.800 – 2.320 = 3.480 €

C n1 = 3.480 (1 + 18 x 0,005)C n1 = 3.793,20 €

3.793,20 = Co (1 + 18 x 0,08 / 12)3.793,20 = Co x 1,12

Co 2 = 3.386,79 €




TEMA 2: EL INTERÉS COMPUESTO


Cn = Co (1+i)n

Cn = 3.000 (1,13)5

Cn = 5.527,31 €


Cn = 1.900 (1,09)

Cn = 3.473,27 €

EJERCICIO 3Co = Xi = 0,08 anualn = 10 añosCn = 12.953,55

12.953,55 = Co (1,08)12.953,55 = Co 2,158925

Co = 6.000 €

EJERCICIO 4Co = Xi = 0,075 anualCn = 30.000 €n = 6 años

30.000 = Co (1,075)30.000 = Co 1,543302

Co = 19.438,84 €

EJERCICIO 5n = XCo = 1.200 €i = 0,11 anualCn = 2.022,07 €

2.022,07 = 1.200 (1,11)n

1,685058 = (1,11)n

log 1,685058 = n x log 1,110,226615 = n x 0,045323

n = 5 añosEJERCICIO 6n = XCo = 2.400 €i = 0,095 anualCn = 4.960,49 €

4.960,49 = 2.400 (1,095)n

2,066871 = (1,095)n

log 2,0668741= n x log 1,0950,315313 = n x 0,039414

n = 8 años

EJERCICIO 7n = XCo = 4.800 €i = 0,085 anualI = 3.031,04

Cn = 4.800 + 3.031,04Cn = 7.831,04

7.831,04 = 4.800 (1,085)n

1,631467 = (1,085)n

Log 1,631467 = n log1,0850,212578 = n x 0,03543

n = 6 añosEJERCICIO 8n = XC0 = 3.000 €Cn = 3.885,09i = 0,09 anual

3.885,09 = 3.000 (1,09)n

1,29503 = (1,09)n

log 1,29503 = n x log 1,090,11228 = n x 0,037426

n = 3 años

EJERCICIO 9i = XCo = 3.000 €n = 5 añosCn = 4.831,53 €

4.831,53 = 3.000 (1 + i)1,61051 = (1+i)

5

5 61051,1 = 1 + i

1,1 = 1 + ii = 0,1

i = 10 % anualEJERCICIO 10i = XCo = 2.100n = 8 añosCn = 3.886,95

3.886,95 = 2.100 (1 + i)1,850929 = (1+i)

8

8 850929,1 = 1 + i

1,08 = 1 + ii = 0,08

i = 8 % anual




EJERCICIO 11i = XCo = 1.680 €n = 8 añosCn = 1.968,39

1.968,39 = 1.680 (1+i)1,171661 = (1+i)

8

8 171661,1 = 1 + i

1,02 = 1 + i

i = 0,02i = 2 % anual

EJERCICIO 12i = XCo = 4.032 €n = 5 añosCn = 5.655,09 €

5.655,09 = 4.032 (1 + i)1,402552 = (1+ i)

5

5 402552,1 = (1+i)5

1,07 = 1 + ii = 0,07

i = 7 % anualEJERCICIO 13i = XCo = 4.410 €n = 7 años

Cn = 6.631,01 €

6.631,01 = 4.410 (1 + i)1,503630 = (1+i)

7

7 503630,1 = 1 + i

1,06 = 1 + ii = 0,06

i = 6 % anualEJERCICIO 14Co = Xi = 0,095 anualn = 4 añosI = 656,49

Co + 656,49 = Co (1,095)Co + 656,49 = Co 1,437661656,49 = Co 1,437661 – Co

656,49 = Co 0,437661Co = 1.500 €

EJERCICIO 15I = XC0 = 1.200 €i = 0,11 anualN = 13 años

Cn = 1.200 (1,11)Cn

= 4.659,94 €

I = Cn - CoI = 4.659,94 – 1.200

I = 3.459,64 €

EJERCICIO 16I = XCo = 8.520 €n = 4 añosi = 0,115 anual

Cn = 8.520 (1,115)

Cn = 13.168,58 €I = 13.168,58 – 8.520

I = 4.648,58 € EJERCICIO 17Cn = 2 Co 2. Co = Co (1,11)

n

2 = (1,11)n

log 2 = n log 1,110,301030 = n x 0,045323

n = 6,64 años

1 año ----- 12 meses0,64 ----- x meses


EJERCICIO 18i = 0,115n = 3 y 4 añosCn1 + Cn2 =12.911,54 €

Cn1 = Co (1,115)

Cn1 = Co x 1,386196

Cn2 = Co (1,115)4

Cn2 = 1,545608Cn1 + Cn2 = 12.911,54

1,386196 Co+ 1,545608 Co = 12.911,542,931804 Co = 12.911,54

Co = 4.403,96 €




EJERCICIO 19a)i = 0,10i2 = X

(1+i) = (1+ ik)(1,10) = (1+i2)

2

2 1,1 = 1 + i2

1,048809 = 1 + i 2

i2 = 0,048809b) j4 = 0,08i = X

i k = Jk / Ki4 = 0,08 / 4

i4 = 0,02(1+i) = (1+ i4)

4

1 + i = (1,02)4

1 + i = 1,082432i = 0,082432

c)i2 = 0,02i = X

(1+i) = (1+i2)(1+i) = (1 + 0,02)

2

1 + i = 1,0404i = 0,0404

d)i = 0,10

i4 = X

(1,10) = (1+i4)

4

10,1 = 1 + i 4 1,024114 = 1 + i 4

i4= 0,024114

e)i4 = 0,03 j4 = X

Jk = k x ik J4 = 4 x i4

J4 = 4 x 0,03J4 = 0,12

f)i = 0,12i2 = X

(1+i) = (1+i2)

=2 12,1 1 + i2

1,058301 = 1 + i2i2 = 0,058301

g)i3 = 0,02

i = X

(1+i) = (1+i3)(1 + i) = (1,02)

3

1+i = 1,061208i = 0,061208h)J2 = 0,08i = X

i2 = J2 / 2i 2 = 0,08 / 2 = 0,04

(1+i) = (1+i2)2

1 + i = 1,0816i = 0,0816

EJERCICIO 20Co = 1.272i = 0,09n = 4 años y 2meses

(1+i) = (1+i6)

6 09,1 = 1 + i 6

1,014467 = 1 + i6 i6 = 0,014467

Cn = 1.272 (1,014467)25

Cn = 1.821,53 €EJERCICIO 21Co = 1.272i = 0,076n = 12 años

Cn = 1.272 (1,076)

Cn = 3.063,62 €

EJERCICIO 22Co = 1.500 €i4 = 0,03n = 61 mesesMENSUAL

(1+i) = (1,03)1 + i = 1,125509

I = 0,125509(1,125509) = (1+ i 12 )

12

12 125509,1 = 1 + i12

1,009902 = 1 + i12 i12 = 0,009902

Cn = 1.500 (1,009902)61

Cn = 2.736,05 €




EJERCICIO 23Co = 3.480i = 0,14n = 7 añosMENSUALMENTEn = 84 meses

(1+i) = (1+i12)

12 14,1 = +i12

1,010979 = 1 + i12 i12 = 0,010979

Cn = 3.480 (1,010979) 84 Cn = 8.708 €

I = 8.708 – 3.480I = 5.228 €

EJERCICIO 24Co = 450 €i = 0,06n = 13 añosCUATRIMESTRALN = 39 cuatrimestre

(1,06) = (1+i3)

3 06,1 = 1 + i3

1,019613 = 1 + i3 i3 = 0,019613

Cn = 450 (1,019613)39

Cn = 959,82 €

EJERCICIO 25i = 0,12

n = 7 añosCn = 3.057,37BIMESTRALN = 42 bimestras

(1,12) = (1+i6)

6 12,1 = 1 + i6

1,019068 = 1 + i6 i6 = 0,019068

3.057,37 = Co (1,019068)42

3.057,37 = Co x 2,210716

Co = 1.382,98 €EJERCICIO 26i3 = XCo = 1.020n = 3 añosCn = 1.293,61 €n = 12 trimestres

1.293,61 = 1.020 (1+i4)1.293,61 / 1.020 =

(1+i4)

12

1,268245 = (1+i4)12

12 268245,1 = 1+i4

1,02 = 1 + i4

i4 = 0,02 = 2 % trimestralEJERCICIO 27i = 0,16 anualCo = 1.560Cn = 2.261,16n = x mesesMENSUAL

(1,16) = (1+i12)

12 16,1 = 1 + i 12

1,012445 = 1 + i 12 i12 = 0,012445

2.261,16 = 1.560 (1,012445)n

2.261,12 / 1.560 = (1,012445)n

1,449462 = (1,012445)n

log 1,449462 = n x log 10,124450,161207 = n x 0,005371

n = 30 mesesEJERCICIO 28

i = XCo = 660I = 387,34n = 6 años

Cn = Co + ICn = 660 + 387,34Cn = 1.047,34

1.047,34 = 660 (1+i)6

1.047,34 / 660 = (1+i)6

1,586879 = (1+i)6

6 586879,1= 1 + i

1,08 = 1 + ii = 0,08 = 8 % anual

EJERCICIO 29Cn = 2 x Coi = 0,10 anual

2 x Co = Co (1,10)n

2 = (1,10)n

log 2 = n x log 1,10

0,301030 = n x 0,041393n = 7,272486 años




1 año ---- 12 meses0,272486 ---- X mesesX = 3,269832 meses

1 mes --- 30 días0,269832 ---- X días

X = 8 días

n = 7 años, 3 meses y 8 díasEJERCICIO 30Cn = 2 x Coi = 0,02

2 x Co = Co (1,02)n

2 = (1,10)n

log 2 = n x log 1,020,301030 = n x 0,086

n = 35 trimestresEJERCICIO 31Co = 10.000i = 0,04 anualn = 3 años

Cn = 10.000 (1,04)Cn = 11.248,64 €

I = 11.248,64 – 10.000I = 1.248,64 €

EJERCICIO 32i = 0,03 anual

n = 5 añosCn = 23.185,48

23.185,48 = Co (1,03)

23.185,48 = Co 1,159274Co = 20.000 €

EJERCICIO 33Cn = 15.000Co = 12.000n = 5 añosi = X

15.000 = 12.000 (1+i)15.000 / 12.000 = (1+i)

5

1,25 = (1+i)5

5 25,1 = 1 +i5

1,04564 = 1 + i5 i5 = 0,04564 = 4,56 % anual

EJERCICIO 34i12 = 0,02 mensualCn = 15.000Co = 10.000

15.000 = 10.000 (1,02)n

1,5 = (1,02)n

log 1,5 = n x log 1,02

0,176091 = n x 0,0086n = 20,47 mesesEJERCICIO 35i = 0,04Co = 20.000n = 890 días

(1,04) = (1+i365)

365 04,1 = (1+ i 365)

1,00010746 = 1 + i 365

i365 = 0,00010746

Cn = 20.000 (1,00010746)890

Cn = 22.007,13 €EJERCICIO 36n = 4 trimestresi = 0,05 anual

Cn = 12.000SEMESTRESn = 2 semestres

(1,05) = (1 + i2)

2 05,1 = 1 + i2

1,024698 = 1 + i2i2 = 0,024698

12.000 = Co (1,024698)2

12.000 = Co 1,05Co = 11.428,57 €

EJERCICIO 37Co = 20.000Cn = 22.000n= 19 meses

i2 = 0,015 semestral

22.000 = 20.000 (1+i12)22.000 / 20.000 = (1+i12)

19

1,1 = (1+i12)19

19 1,1 = 1 + i12

1,005028928 = 1 + i12

i12 = 0,005028928

(1+i) = (1,005028928) 12 1+ i = 1,062044584

i = 0,062044584 = 6,20 %




(1+i) = (1,015)2

1+i = 1,030225i= 0,030225 = 3,022 %

EJERCICIO 38a)Co = 10.000

i2 = 0,02 semestraln = 2 añosn = 4 semestres

Cn = 10.000 (1,02)

Cn = 10.824,32 €

b)i12 = 0,0033059mensualn = 2 añosn = 24 meses

Cn = 10.000 (1,0033059)Cn = 10.824,32 €

c) i2 = 0,02i = X

i12 = 0,0033059i = X

(1+i) = (1,02) 21 + i = 1,0404

i = 0,0404(1+i) = (1,0033059)

12

1+i = 1,0404i = 0,0404

EJERCICIO 39i = 0,12i12 = 0,01

(1,12) = (1+i12)

12 12,1 = 1 + i12

1,0094888 = 1 + i12 i12 = 0,0094888 = 0,948 %

EJERCICIO 40a)Co = 25.000 €n = 2,5 añosn = 5 semestresJ2 = 0,12

i2 = 0,12 / 2 = 0,06i2 = 0,06

Cn = 25.000 (1,06)5

Cn = 33.455,64 €

b)Co = 25.000 €

n = 2,5 añosn = 30 mesesJ12 = 0,12

i12 = 0,12 / 12 = 0,01i12 = 0,01

Cn = 25.000 (1,01)

30

Cn = 33.696,22 €

c)Co = 25.000 €n = 2,5 añosn = 10 trimestresJ4 = 0,12

i4 = 0,12 / 4 = 0,03i4₧ 0,03

Cn =25.000 (1,03)10

Cn =33.597,91 €

EJERCICIO 41i2 = 0,02 semestral

J12 = 0,04

(1+i) = (1,02)

1 + i = 1,0404i = 0,0404 = 4,04 %

i12 = 0,04 / 12i12

= 0,003333(1+i) = (1,003333) 12

1 + i = 1,040737i = 0,040737 = 4,0737 %

EJERCICIO 42i = 0,07 anualCn = 3 x Co

3 x Co = Co (1,07)n

3 = (1,07)n

log 3 = n log 1,070,477121 = n x 0,029384

N = 16,24 añosEJERCICIO 43Co = 10.000 €i2 = 0,02 semestraln = 1 semestre

Interés simple =Interés compuesto

No. La capitalización simple coincide con la compuesta cuando ambosintereses son similares para periodos iguales a la unidad.

Si n=1 capitalización compuesta = capitalización simple.

Si n>1 capitalización compuesta > capitalización simple.Si n<1 capitalización compuesta < capitalización simple.




El tipo de interés coincidente es semestral 02,02 =i , por tanto un año

implica n = 2 > 1.

- Para un semestre:Interés simple: Cn = 10.000 (1 + 1 x 0,02) = 10.200 €Interés compuesto: Cn = 10.000 (1,02) 1 = 10.200 €

- Para 2 semestres:Interés simple: Cn = 10.000 ( 1 + 2 x 0,02) = 10.400 €Interés compuesto: Cn = 10.000 (1,02)

2= 10.404 €

EJERCICIO 44C0 = 25.000 €i = 0,03n = 3 años y 7meses

1 año ---- 12 mesesX año ---- 7 meses

X = 7/12 = 0,583333

CONVENIO EXPONENCIALCn = Co (1+i)

n + m

Cn = 25.000 (1,03)3 + 0,583333

Cn = 27.793,30 €

CONVENIO LINEALCn = Co (1+i)

nx (1+ m x i)

Cn = 25.000 x (1,03)3

x (1 + 0,583333 x 0,03)Cn = 25.000 x 1,092727 x 1,0175

Cn = 27.796,24 €EJERCICIO 45a)J12 = 0,08

T.A.E. = 0,06

i12 = 0,08 / 12i12 = 0,006667

(1+i) = (1,006667)12

1 + i = 1,083i = 0,083 = 8,3 %

TENIENDO EN CUENTA LAS COMISIONESi = 0,06 = 6 %

J12 = 0,065 i 12 = 0,065 / 12i 12 = 0,0054167

(1+i) = (1,0054167) 121 + i = 0,0669723

i = 0,0669723i = 0,0669723 = 6,697 %

EJERCICIO 46J12 = 0,12Comisión = 1,5 %i = ,01099Co = 10.000 €n = 1 año

a)i12 = 0,12 / 12

i12 = 0,01Cn = 10.000 (1,01)

12

Cn = 11.268,25 €

b)

Cn = 11.268,25Comisión: - 169,02

Efectivo: 11.099,23 €

c)11.099,23 = 10.000 (1+i)11.099,23 / 10.000 = 1+ i

1,109923 = 1 + ii = 0,109923 = 10,99 %

d)No. TAE = 10% < 10,99%

EJERCICIO 47a) Co = 901,52

n = 4 añosi = 0,08

Cn = 901,52 (1,08)

Cn = 1.226,51 €




b) Co = 901,52n = 4 añosn = 8 semestresi2 = 0,04 semestral

Cn = 901,52 (1,04)Cn = 1.233,79 €

c) Co = 901,52n = 4 añosn = 12 trimestresi4 = 0,02 trimestral

Cn = 901,52 (1,02)Cn = 1.143,35 €

EJERCICO 48Co = Xi = 0,08n = 4 añosCn = 40.000 €

40.000 = Co (1,08)40.000 = Co x 1,360489

Co = 29.401,19 €

EJERCICIO 49i = Xi2 = 0,04

(1+i) = (1,04)1 + i = 1,0816

i = 0,0816 = 8,16 %EJERCICIO 50Cn = XCo = 1.202i = 0,09 anualn = 4 años y 3meses

1 año ---- 12 mesesX año ---- 3 meses

X = 3/12 = 0,25

CONVENIO LINEALCn = Co (1+i)

nx (1+ m x i)

Cn = 1.202 x (1,09)4

x (1 + 0,25 x 0,09)Cn = 1.202 x 1,411582 x 1,0225

Cn = 1.734,90 €

CONVENIO EXPONENCIALCn = Co (1+i)

n + m

Cn = 1.202 (1,09)4 + 0,25

Cn = 1.733,67 €

EJERCICIO 51i4 = XCo = 1.141,92n = 3 añosn = 12 trimestresCn = 1.369,11

1.369,11 = 1.141,92 (1 + i4)1.369,11 / 1.141,92 = (1 + i4)

12

1,198954 = (1 + i4)12

12 198954,1 = 1 + i 4

1,015236 = 1 + i 4

i 4 = 0,015236 = 1,52 %EJERCICIO 52Co = 1.923,24n = 7 añosCn = 3.515,70i = X

i 3 = X

J3 = X

a)3.515,70 = 1.923,24 (1 + i )

7

1,828008985 = (1 + i)7

7 828008985,1 = 1 + i

1,089997433 = 1 + ii = 0,08999b)

(1 + i 3)3

= 1,089997433

1 + i 3 = 3 089997433,1

1 + i 3 = 1,029141659i 3 = 0,029141659

c) J 3 = 0,029141659 x 3J 3 = 0,087424975

EJERCICIO 53C0 = 100.000n = 4 añosi = 0,10I = X

C n = 100.000 (1,10)C n= 100.000 x 1,4641

C n = 146.410 €i = 46.410 €




EJERCICIO 54C o = 40.000n = 2 añosC n = 50.000i = X

50.000 = 40.000 ( 1 + i )1,25 = ( 1 + i )

2

2 25,1 = 1 + i

1,118033989 = 1 + ii = 0,118033989

EJERCICIO 55C o = 1.500I = 0,11 anualC n = 2.000N = X

2.000 = 1.500 (1,11)n

1,33333333 = (1,11)n

log 1,33333333 = n x log 1,110,124938735 = n x 0,045322978

n = 2,756631147 años

1 año ------- 12 meses0,756631147 ------- X meses

X = 9,0795737n = 2 años y 9 meses

EJERCICIO 56C0 = 40.000

i = 0,06 anualn = 4añosC n = X

C n = 40.000 (1,06)

C n = 40.000 x 1,26247696C n = 50.499,08 €

EJERCICIO 57C0 = 20.000i = 0,09n = 2 años y 4mesescapitaliz. mensual

(1 + i 12 ) = 1,09

1 + i 12 = 12 09,1

i 12 = 0,007207323C n = 20.000 (1,007207323)

28

C n = 20.000 x 1,222724154C n = 24.454,48 €

EJERCICIO 58C o = 40.000i = 0,08 anual

n = 2 años y 4mesesC n = X

1 año ----- 12 mesesX ----- 4 meses

X = 0,33333333

Convenio linealC n = 40.000 (1,08)

2(1 + 0,08 x 0,33333333)

C n = 40.000 x 1,1664 x 1,02666666C n = 47.900,16 €

Convenio exponencialC n = 40.000 (1,08)

2,333333

C n = 40.000 x 1,196709536C n = 47.686,38 €

EJERCICIO 59n 1 = 16 añosn 2 = 13 añosn 3 = 10 añosi = 0,08 anualC n = 10.000C o = X

- Hijo 9 años10.000 = Co (1,08)

16

10.000 = Co x 3,425942643

C o = 2.918,90 €- Hijo 12 años

10.000 = Co (1,08)13

10.000 = Co x 2,719623726

C o = 3.676,98 €

- Hijo 15 años10.000 = Co (1,08)

10

10.000 = Co x 2,158924997C o = 4.631,93 €

EJERCICIO 60C 0 = 5.409,11n = 5 años

J 4 = 0,08C n = XCapital. trimestral

I 4 = 0,08 / 4I 4 = 0,02

C n = 5.409,11 ( 1,02) 20 C n = 5.409,11 x 1,485947396

C n = 8.037,65 €




EJERCICIO 61C 0 = 4.507,59n= 8 añosi = 0,04 semestralI = X

C n = 4.507,69 (1,04)C n = 4.507,69 x 1,872981246

C n = 8.442,82 €I = 8.442,82 – 4.507,69

I = 3.935,04 €EJERCICIO 62J 6 = 0,14i = X

I 6 = 0,14 / 6i 6 = 0,0233333

(1,02333333)6

= 1 + i1,148425229 = 1 + i

i = 0,148425229EJERCICIO 63C n = 300,51 €n = 3 añosC n = 420,71n = 12 añosI = 0,05 anual

300,51 = C 01 (1,05)300,51 = C 0 1x 1,157625

C o1 = 259,59 €420,71 = C o x (1,05)

12

420,71 = C 02 x 1,795856326C 02 = 234,27 €

C 02 = 259,92 + 234,27C o = 493,86 €

EJERCICIO 64Co = 12.020,24Cn1 = 6.010,12n1 = 2 añosCn2 = 18.030,36n = 5 añosi = 0,08 anualCo = X

a)Co = 12.020,24

b)6.010,12 = Co (1,08)

2

6.010,12 = Co x 1.1664Co1 = 5.152,71 €

c)18.030,36 = Co2 x (1,08)

5

18.030,36 = Co2 x 1,46932808Co2 = 12.271,60 €

Co = 12.020,24 + 5.152,71 + 12.271,60Co = 29.444,55 €

EJERCICIO 65Cn1 = 1.202,02N = 5 añosCn2 = 601,01n = 8 añosi = 0,08 anualA los dos años

a)1.202,02 = C01 (1,08)

3

1.202,02 = C01 x 1,259712C01 = 954,20 €

b)601,01 = Co2 x (1,08)

6

601,01 = Co2 x 1,586874323Co2 = 378,38 €

Co = 954,20 + 378,38C0 = 1.332,58 €

EJERCICIO 66

Cn = Xn = 6 añosCo = 3.606,07i = 0,07 trimestral

Cn = 3.606,07 x (1,07)Cn = 3.606,07 x 5,072366953Cn = 18.291,31 €

EJERCICIO 67Precio: 48.080,97 €Al contado:12.020,24Cn1 = 18.030,36n = 1 añoCn2 = Xn = 1 año y medioi = 0,09

18.030,36 = C01 (1,09)C01 = 16.541,61

48.080,97 = 12.020,24 + 16.541,61 +5,1

)09,1(

2Cn

48.080,97 – 12.020,24 – 16.541,61 =137993409,1

2Cn

19.519,12 x 1,137993409 = Cn2 Cn2 = 22.212,63 €




EJERCICIO 68C0 = xn = 4 añosI = 0,08 anual simpleCn1 = Cn2n = 4 años

Cn1 = Co (1 + 4 x 0,08)Cn1 = Co x 1,32

Cn2 = Co (1 + i ) 4

Cn1 = Cn2 Co x 1,32 = Co (1 + i)

4

1,32 = ( 1 + i )4

4 32,1 = 1 + i

1,071873374 = 1 + ii = 0,071873374

EJERCICIO 69n = 5 mesesI = 0,10 anual simplei4 = 0,04 trimestralcompueston = 8 semestres

Cn2 = 12.020,24

Cn1 = Co x ( 1 + 5 x 0,10 / 12)Cn1 = Co x 1,041666667

Cn2 = Co (1,04)16.

12.020,24 = Co x 1,04166667 x 1,87298124612.020,24 = Co x 1,951022137

Co = 6.161 €EJERCICIO 70Precio: 250.000 €Al contado: 50.000Cn1 = 60.000n1 = 3 mesesCn2 = 150.000n2 = 2 añosi = 0,10 anual

60.000 = C01 x (1,10),

60.000 = C01 x 1,024113689

C01 = 58.587,25 €

150.000 = C02 x (1,10)2

150.000 = Co2 x 1,21C02 = 123.966,94 €

Co = 50.000 + 58.587,25 + 123.966,94C0 = 232.554,19 €

EJERCICIO 71

C0 = 40.000 €n = 2,5 añosi = 0,03 anualA los 6 mesesi = 0,04 anual

Cn = 40.000 x (1,03)

,

x (1,035)Cn = 40.000 x 1,014889 x 1,071225Cn = 43.486,99 €

EJERCICIO 72Hace 3 añosCo = 24.000 €i = 0,0435n = 5 añosCancelación =18.000 €

Cn = 24.000 x (1,0435)Cn = 24.000 x 1,134259

Cn = 27.270,22 €Cn = 27.270,22 – 18.000

Cn = 9.270,22 €Cn = 9.270,22 x (1,0435)

2

Cn = 9.270,22 x 1,08889225Cn = 10.094,27 €

EJERCICIO 73a)Al contado: 25.200

b)Co1 = 20 %C02 = 11.000n2 = 2 mesesC03 = 11.000n1 = 6 meses

c)C0 = 30.000n= 1,5 años

a)Co = 25.200 €

b)i = 0,10

(1 + i 12)12

= ( 1,10 )

1 + i 12 = 12 10,1

i12 = 0,00797414

C01 = 20 % de 25.200 = 5.040

11.000 = C02 x (1,00797414)2

11.000 = C02 x 1,016011867C02 = 10.826,65 €

11.000 = C03 x (1,00797414)6

11.000 = C03 x 1,048808845




C03 = 10.488,09 €

Co = 5.040 + 10.826,65 + 10.488,09Co = 26.354,74 €

c)

30.000 = Co (1,00797414) 18 30.000 = Co x 1,153689724

C0 = 26.003,53 €

EJERCICIO 74Co = 30.000i1 = 0,0175n = 8 mesesi2 = 0,0225n = 22 meses

i = 0,0175(1 + i 12)

12= ( 1,0175 )

1 + i 12 = 12 0175,1

i12 = 0,001446765Cn = 30.000 (1,001446765)

8

Cn = 30.000 1,011632901Cn = 30.348,99 €

i = 0,0225(1 + i 12)

12= ( 1,0225 )

1 + i 12 = 12 0225,1

i12 = 0,001855938Cn = 30.348,99 (1,001855938)

22

Cn = 30.348,99 x 1,041636238Cn = 31.612,61 €

EJERCICIO 75Co1=i1= 0,06C02 i2 = 0,08n = 1 añoI1 = 3.600 €Co1=i1= 0,08C02 i2 = 0,06n = 1 añoI2 = 3.400 €

I = C01 (1,06) – Co1 + C02 (1,08) – C02 3.600 = 0,06 x C01 + 0,08 x C02

C01 =

06,008,0600.3 02 xC

−

I = C01 (1,08) – Co1 + C02 (1,06) – C02 3.400 = 0,08 x C01 + 0,06 x C02

3.400 = 0,08 x06,0

08,0600.302

xC −

+ 0,06 x C02

3.400 = 4.800 – 0,10666666 x C02 + 0,06 x C02

3.400 – 4.800 = – 0,10666666 x C02 + 0,06 x C02 - 1.400 = - 0,04666666 x C02 C02 = 30.000 €

C01 =

06,0

08,0600.302

xC −

C01 =06,0

000.3008,0600.3 x−

C01 = 20.000 €




EJERCICIO 76Cn = 4 X C0 i 2 =n = 40 semestres

4 x Co = Co (1+i2)4 = (1+i2)

40

40 4 = 1 + i 2

1,0352674924 = 1 + i 2

i 2 = 0,035264924

1 + i = (1,035264924)2

i = 1,071773463i = 0,071773463

J2 = 2 x 0,071773463J2 = 0,143546925




TEMA 3: DESCUENTO SIMPLE Y COMPUESTO

EJERCICIO 1Dc = XN = 1.800 €n = 90 díasi = 0,10 anualAño comercial

Dc = N x n x iDc = 1.800 x 90 x 0,10 /360

Dc = 45 €E = N – Dc

E = 1.800 – 45E = 1.755 €

EJERCICIO 2N = Xn = 30 díasDc = 15 €i = 0,06 anualAño comercial

Dc = N x n x i15 = N x 0,06 x 30 / 360

15 = N x 0,005N = 15 / 0,005N = 3.000 €

EJERCICIO 3i = Xn = 60 díasN = 6.000 €Dc = 100Año comercial

Dc = N x n x i100 = 6.000 x 60 x i /360

100 = 1.000 x ii = 0,10 = 10 %

EJERCICIO 4n = Xi = 0,08 anualDc = 53,33 €N = 4.000 €Año comercial

Dc = N x n x i53,33 = 4.000 x n x 0,08 / 360

53,33 = 0,888889 x nn = 53,33 / 0,888889

n = 60 díasEJERCICIO 5Dr = XN = 2.000 €n= 90 díasi = 0,06 anualAño comercial

N = E (1+ n x i)2.000 = E (1 + 90 x 0,06 / 360)

2.000 = E x 1,015E = 1.970,44 €

Dr = 2.000 – 1.970,44Dr = 29,56 €

EJERCICIO 6E = Xn = 30 díasN = 9.000 €i = 0,06 anualAño comercial

N = E (1 + n x i)9.000 = E (1 + 30 x 0,06 / 360)

9.000 = E x 1,005E = 9.000 / 1,005E = 8.955,22 €

EJERCICIO 7Dr = Xn = 60 díasN = 4.000 €i = 0,08 anualAño comercial

N = E (1+ n x i)4.000 = E (1 + 30 x 0,06 * 360)

4.000 = E x 1,013333E = 4.000 / 1,013333

E = 3.947,37 €Dr = 4.000 – 3.947,37

Dr = 52,63 €

EJERCICIO 8E = XN = 2.000 €i = 0,06 anualn = 30 díasAño comercial

N = E (1 + n x i)2.000 = E (1+ 60 x 0,06 / 360)

2.000 = E x 1,005E = 2.000 / 1,005

E = 1,005E = 1.990,05

EJERCICIO 9Dr = XN = 1.000 €i = 0,08 anualn = 2 años

N = E (1 + n x i)1.000 = E ( 1 + 2 x 0,08)

1.000 = E x 1,16E = 1.000 / 1,16

E = 862,07 €Dr = N – E

Dr = 1.000 – 862,07Dr = 137,93




EJERCICIO 10Dc = XN = 6.000 €n = 11-3 al 20-4n = 40 díasi = 0,09Año civil

Dc = N x n x iD c = 6.000 x 40 x 0,09 /360

Dc = 59,18 €

EJERCICIO 11Dc = XN = 2.000 €n = 2 añosi = 0,04 anual

Dc = N x n x iDc = 2.000 x 2 x 0,04

Dc = 160 €

EJERCICIO 12Dc = Xn = 18-3 al 6-5N = 49 díasN = 1.200 €i = 0,06 anualAño civil

Dc = N x n x iDc = 1.200 x 49 x 0,06 /365

Dc = 9,67 €

EJERCICIO 13N = 3.000 €i = 0,06 anualDc = 15n = XAño comercial

Dc = N x n xi15 = 3.000 x n x 0,06 / 360

15 = 0,5 x nn= 15 / 0,5n = 30 días

EJERCICIO 14N = 3.000 €n = 6 mesesi = 0,08 anualDc = XE = X

Dc = N x n x iDc = 3.000 x 6 x 0,08 / 12

Dc = 120 €E = 3.000 – 12 €

E = 2.880 €EJERCICIO 15i = 0,05n = 30 días

E = 1.792,50 €N = XAño comercial

E = N (1-n x i)1.792,50 = N (1 – 30 x 0,05 /360)

1.792,50 = N x 0,995833N = 1.800 €

EJERCICIO 16i = xN = 6.000n = 60 díasE = 5.910Año comercial

Dc = 6.000 – 5.910 = 90Dc = N x n x i

90 = 6.000 x 60 x i / 36090 = 1.000 x ii = 0,09 = 9 %

EJERCICIO 17E = Xn = 60 díasi = 0,06 anualN = 2.000 €

Año comercial

N = E (1 + n x i)2.000 = E (1 + 60 x 0,06 / 360)

2.000 = E x 1,01E = 1.980,20 €

EJERCICIO 18Dr = XE = 2.000 €N = 8/5 al 15/7= 68 díasI = 0,06 anualAño civil

Dr = E x n x iDr = 2.000 x 68 x 0,06 /365

Dr = 22,36 €

EJERCICIO 19N = Xi = 0,08 anualn = 3 mesesDc = 100

Dc = N x n x i100 = N x 3 x 0,08 /12

100 = 0,02 NN = 5.000 €




EJERCICIO 20n = XN = 3.000Dc = 39,45i = 0,06 anualAño civil

Dc = N x n x i39,45 = 3.000 x n x 0,06 / 365

39,45 = 0,493151 nn = 80 días

EJERCICIO 21i = xN = 6.000n = 6 mesesDc = 240

Dc = N x n x i240 = 6.000 x 6 x i / 12

240 = 3.000 x ii = 0,08 = 8 %

EJERCICIO 22E = XN = 5.000n = 6 mesesi4 = 0,02 trimestrali = 0,08 anual

E = N (1 – n x i)E = 5.000 ( 1 – 6 x 0,08 / 12)

E = 4.800 €

EJERCICIO 23N = xE = 2.970n = 60 DÍASi = 0,06 ANUALAño comercial

E = N (1 – n x i)2.970 = N (1 – 60 x 0,06 / 360)

2.970 = N x 0,99N = 3.000 €

EJERCICIO 24Dc = xE = 7.680I = 0,08 anualn = 6 meses

E = N (1 – n x i)7.680 = N (1 – 6 x 0,08 / 12)

7.680 = N x 0,96N = 8.000 €Dc = N – E

Dc = 8.000 – 7.680Dc = 320 €

EJERCICIO 25E = X

i = 0,05 anualn = 90 díasDr = 8,88Año civil

Dr = E x n x i

8,88 = E x 90 x 0,05 / 3658,88 = E x 0,012329

E = 720,25 €

EJERCICIO 26E = 620 €i = 0,06Dr = 3,06n = XAño civil

Dr = E x n x i3,06 = 620 x n x 0,06 / 365

3,06 = n x 0,101918n= 30 días

EJERCICIO 27i = xE = 600n= 4 meses

Dr = 16

Dr = E x n x i16 = 600 x 4 x i / 12

16 = 200 x i

i= 0,08 = 8 %EJERCICIO 28N = 40.000n= 5 añosi = 0,085 anual

E = N ( 1 – i)n

E = 40.000 (1 – 0,085)5 E = 40.000 x 0,641365

E = 25.654,61 €EJERCICIO 30E = Xn = 2 añosN = 2.000i = 0,02 anual

N = E x (1+i) n

2.000 =E x (1,02) 2

2.000 = E x 1,0404E = 1.922,34 €




EJERCICIO 31i = XN = 20.000n = 3 mesesE = 19.411,80

N = E x (1+i) n

20.000 = 19.411,80 (1+i12)3

1,030301 = (1+i12)3

3 030301,1 = 1 + i12

1,01 = 1 + i12

i12 = 0,01 = 1 % mensualEJERCICIO 32Dc = XN = 2.000n = 60 diasi = 0,08 anualAño comercial

Dc = N x n x iDc = 2.000 x 60 x 0,08 / 360

Dc = 26,67 €E = N - Dc

E = 2.000 – 26,67 €E = 1.973,33

EJERCICIO 33n = 90 díasDc = 35 €i = 0,09 anualN = x

Dc = N x n x i35 = N x 90 x 0,09 / 360

35 = N x 0,0225N = 1.555,56 €

EJERCICIO 34i = Xn = 20 díasN = 3.500 €Dc = 12Año comercial

Dc = N x n x i12 = 3.500 x 20 x i / 360

12 = 194,444444 x ii= 0,0617143

i = 6,17 %EJERCICIO 35n = Xi = 0,10 anualDc = 15N = 2.000Año comercial

Dc = N x n x i15 = 2.000 x n x 0,10 / 360

15 = 0,555556 nn = 27 días

EJERCICIO 36Dr = X

N = 5.000n = 105 díasi = 0,08Año comercial

Dr = N x n x i / (1 + n x i)

Dr = (5.000 x 0,08 x 105 /360) / ( 1 + 105 x 0,08 / 360)Dr = 116,666667 / 1,023333

Dr = 114 €

EJERCICIO 37E = Xn = 87 díasN = 10.000 €i = 0,08Año comercial

N = E (1 + n x i)10.000 = E ( 1 + 87 x 0,08/360 )

10.000 = E x 1,0193333E = 9.810, 34 €

EJERCICIO 38i = 0,08N = 10.000 €n = 87 días

E = N (1 - n x i)E = 10.000 ( 1 – 87 x 0,08 / 360)

E = 9.806,67 €

EJERCICIO 39E = 9.810,34n = 87 díasi = 0,08

E = 9.806,67n = 87 díasi = 0,08

Ejercicio 37 N = E (1+ n x i)

N = 9.810,34 x (1 + 87 x 0,08 / 360)N = 10.000 €

Ejercicio 38 N = E (1+ n x i)

N = 9.806,67 x (1 + 87 x 0,08 / 360)N = 9.996,27 €




EJERCICIO 40Dc = 11Dr = 10i = 0,10N = x

Dc = N x n x i = 11

Dr = )1( nxi

Nxnxi

+

10 =)10,01(

11nx+

10 (1 + n x 0,10) = 1110 + 1 x n = 11

n = 11 – 10n = 1 año

Dc = N x n x i11 = N x 1 x 0,10

11 / 0,10 = NN = 110 €

EJERCICIO 41

E = N / 1,07Dc = 8 Dc = N x n x i8 = N x n x iDr = E x n x i

Dr = N / 1,07 x n x iDr = 8 / 1,07Dr = 7,48 €

EJERCICIO 42Ic = 0,12 anualn = 9 mesesIr = x

Dc = N x n x ic

Dr = )1( nxir

Nxnxir

+

N x n x ic =)1( nxir

Nxnxir

+

N x 9 x 0,12 / 12 =)12 / 91(

12 / 9 xir

xir Nx

+

0,12 = ir / (1+ 0,75 ir)0,12 = ir / ( 1 + 0,75 ir)0,12 ( 1 + 0,75 ir) = ir

0,12 + 0,09 ir = ir0,12 = ir – 0,09 ir

0,12 = 0,91 irir = 0,131868

EJERCICIO 43

Ic = 0,12 anualn = 6 mesesIr = x

Dc = N x n x ic

Dr = )1( nxir

Nxnxir

+

N x n x ic =)1( nxir

Nxnxir

+

N x 6 x 0,12 / 12 =)12 / 61(

12 / 6

xir

xir Nx

+

0,12 = ir / (1+ 0,5 ir)0,12 = ir / ( 1 + 0,55 ir)0,12 ( 1 + 0,5 ir) = ir

0,12 + 0,06 ir = ir0,12 = ir – 0,06 ir0,12 = 0,94 irir = 0,12766




EJERCICIO 44N = 1.000 €n = 9 mesesIc = 0,12Dc = X

N = 1.000 €

n = 9 mesesir = 0,131868Dr = X

Descuento comercial

Dc = N x n x iDc = 1.000 x 9 x 0,12 / 12

Dc = 90 €

Descuento racional

Dr = )1( nxi

Nxnxi

+

Dr =)12 / 131868,091(

12 / 131868,09000.1

x

x x

+

Dr = 098901,1

901,98

Dr = 90 €EJERCICIO 45N = 1.000

n = 6 mesesIc = 0,12

N = 1.000 €n = 9 mesesir = 0,12766Dr = X

N = 1.000 €n = 9 mesesir = 0,131868Dr = X

Descuento comercial

Dc = N x n x iDc = 1.000 x 6 x 0,12 / 12Dc = 60 €

Descuento racional

Dr = )1( nxi

Nxnxi

+

Dr =)12 / 12766,061(

12 / 12766,06000.1

x

x x

+

Dr = 06383,1

83,63

Dr = 60 €

Descuento racional

Dr = )1( nxi

Nxnxi

+

Dr =)12 / 131868,061(

12 / 131868,06000.1

x

x x

+

Dr = 065934,1

93,65

Dr = 61,85 €EJERCICO 46Dr = Dcic = 0,10ir = 0,105263

N x n x ic =nxir

Nxnxir

+1

0,10/360 =360 / 105263,01

360 / 105263,0

nx+

0,10 (1 + n x 0,105263/360) = 0,1052630,10 + 0,10 x 0,105263 / 360 = 0,105263

0,10 + 0,00002924 x n = 0,1052630,002924xn = 0,105263 – 0,10

0,00002924 x n = 0,005263n = 180 días




EJERCICIO 47E = XN = 5.000n = 19 mesesi = 0,08

(1-0,08) = (1-i12)0,92 = (1-i12)

12

12 92,0 = 1-i12

0,993076 = 1 - i12

i12 = 1 – 0,993076i12 = 0,006924

E = N (1-i) n E = 5.000 (1- 0,006924) 19

E = 4.381,65 €Dc = 5.000 – 4.381,65

Dc = 618,35 €EJERCICIO 48ir = Xic = 0,08n = 19 mesesn = 1,583333 añosE = 4.381,65 €

N = 5.000 €

N = E (1 + i r) n

5.000 = 4.381,65 (1 + i r) 1,583333

5.000= (1 + i r ) 1,583333

4.381,65

1,141122636 = (1 + i r ) 1,583333

5833333,1 41122636,1 = 1 + i r

1,08695 = 1+ i ri r= 0,08695

EJERCICIO 49i = 0,08695N = 5.000 €n = 19 meses

N = E (1+i) n 5.000 = E (1+0,08695) 1,5833333

5.000 = E x 1,1411213E = 4.381,67 €

EJERCICIO 50

N = 60 diasN = 5.500Comisión: 3 por milCorreo: 0,30IVA: 16 % comisión

Comisión: 5.500 x 3 / 1.000 = 16,50IVA: 18 % sobre 16,50 = 2,97Correo: 0,30

E = 5.500 – 16,50 – 2,97 – 0,30E = 5.480,23 €




EJERCICIO 1N = 1.202,02n = 90 díasi = 0,06 anualDr = XAño comercial

D r =1.202,02 x 90 x 0,06 / 360

=18,0303

= 17,76 €1 + 90 x 0,06 / 360 1,015

E = 1.202,02 – 17,76 = 1.184,26 €EJERCICIO 2N = 2.103,5425-5 al 30-8I = 0,08E = X

E = 2.103,54 x ( 1 - 97 x 0,08 / 360)E = 2.058,20 €

EJERCICIO 3N = 5.108,60I = 0,12 anualE = 4.870,20n = X

4.870,20 = 5.108,60 (1 – n x 0,12 / 360)4.870,20 = 5.108,60 – 5.108,60 x n x 0,12/360

4.870,20 = 5.108,60 – 1,702866667 x n- 238,40 = - 1,702866667 x n

n = 140 díasEJERCICIO 4N = 2.596,37n = 45 díasE = 2.560,67i = X

2.560,67 = 2.596,37 ( 1 – 45 x i / 360)2.560,67 = 2.596,37 – 2.596,37 x 45 x i / 360

2.560,67 = 2.596,37 – 324,55 x i- 35,70 = - 324,55 x i

i = 0,11EJERCICIO 5E = XN = 5.709,61n= 120 díasi = 0,07 anualDr = XAño comercial

5.709,61 = E ( 1 + 120 x 0,07 / 360)5.709,61 = E x 1,0233333

E = 5.579,42 €

EJERCICIO 6Dc = XE = X

N = 2.596,37 €i = 0,10n = 40 días

E = 2.596,37 ( 1 – 40 x 0,10 / 360)E = 2.567,52 €

Dc = 2.596,37 – 2.567,52Dc = 28,85 €

EJERCICIO 7N = 1.803,04i = 0,15 anualn = 70 díasD r = X

E = 1.803,04 – 51,10 = 1.751,94 €

D r =1.803,04 x 70 x 0,15 / 360

=52.58866667 = 51,10 €

1 + 70 x 0,15 / 360 1,02916667

EJERCICIO 8i = XN = 480,81 €n = 150 días

E = 462,78

462,78 = 480,81 ( 1 – 150 x i / 360)462,78 = 480,81 – 480,81 x 150 x i / 360

462,78 = 480,81 – 200,3375 x i

- 18,03 = - 200,3375 x i i = 0,09EJERCICIO 9N = 5.409,11 €i = 0,08E = 5.336,99 €

5.336,99 = 5.409,11 ( 1 – n x 0,08 / 360)5.336,99 = 5.409,11 – 5.409,11 x n x 0,08 / 360

5.336,99 = 5.409,11 – 1,20202444 x n- 72,12 = - 1.20202444 x n

n = 60 días




EJERCICIO 10N = 7.212,15I = 0,15 anualn = 90 díasDr = X

D r =7.212,15 x 90 x 0,15 / 360

=270,455626

= 260,68 € 1 + 90 x 0,15 / 360 1,0375

E = 7.212,15 – 260,68 = 6.951,47 €

EJERCICIO 11E = X1-11 al 11-12i = 0,09N = 1.562,63

E = 1.562,63 ( 1 – 40 x 0,09 / 360 )E = 1.547 €

EJERCICIO 12N = X1-5 al 31-5E = 333,20

333,20 = N ( 1 – 30 x 0,12 / 360 )333,20 = N x 0,99

N = 336,57 €

EJERCICIO 13

150,25 23 3.455,75

90,15 45 4.056,75120,20 34 4.086,80240,40 71 17.068,40

601 28.667,70

Divisor fijo = 360 / 0,12 = 3.000

D = 28.667,70 / 3.000 = 9,56 €

E = 601 – 9,56E = 591,44 €

EJERCICIO 14Vo = 19.232,39 €

N = 3.005,06n = 3 mesesI = 0,09 anual

N2

N2n = 5 añosI = 0,05 semestral

VALOR AL CONTADO = 19.232,39 €

A) E = 3.005,06 ( 1 – 3 x 0,09 / 12)E = 2.937,45 €

B)N2

C)Cn = N2 x (1 + 5 x 0,10)

E = N2 x 1,50

19.232,39 = 2.937,45 + N2 + N2 x 1,5016.294,94 = 2,50 N2

N2 = 6.517,98 €

EJERCICIO 15

N1I = 0,10 anualn = 3 mesesN2 = 1.081,82 – N1I = 0,12 anualn = 7 mesesE1 + E2 = 1.033,14

E1 = N1 ( 1 – 3 x 0,10 / 12 )E1 = N1 x 0,975

E2 = (1.081,82 – N1) ( 1 – 7 x 0,12 / 12)E2 = ( 1.081,82 – N1 ) x 0,93

E2 = 1.081,82 x 0,93 – N1 x 0,93E2 = 1.006,09 – N1 x 0,93

E1 + E2 = 1.033,14N1 x 0,975 + 1.006,09 – N1 x 0,093 = 1.033,14N1 x 0,975 – N1 x 0,93 = 1.033,14 – 1.006,09

N1 x 0,045 = 27,05N1 = 601,11

EJERCICIO 16Dc = XDr = Xi = 0,06 anualN = 1.202,02

D r =1.202,02 x 2 x 0,06

=144,2424 = 128,79 €

1 + 2 x 0,06 1,12




n = 2 añosD c = 1.202,02 x 2 x 0,06 = 144,24 €

EJERCICIO 17i =0,08n = 30 díasDr = 9,62 €N = X

9,62 =N x 30 x 0,08 / 3601 + 30 x 0,08 / 360

9,62 = N x 0,00666671,00666667

9,684133337 = N x 0,00666667N = 1.453,62 €

Dc = 1.453,62 x 30 x 0,08 / 360Dc = 9,68 €

EJERCICIO 18I = 0,09 anualD r = 10,82D c = 11,14 D r =

N x n x i1 + n x i

10,82 = 11,141 + n x 0,09 / 360

10,82 ( 1 + n x 0,09 ) = 11,1410,82 + 0,002705 x n = 11,140,002705 x n = 11,14 - 10,82

0,002705 x n = 0,32n = 118,30 días

Dc = N x n x i11,14 = N x 118x 0,09 / 360

11,14 = N x 0,029575N = 377,63 €

EJERCICIO 19

D c – Dr = 0,43I = 0,08 anualN = 9 meses

D c – D r = 0,43

0,43 = N x 0,08 x 9 / 12 -N x 0,08 x 9 / 121 + 0,08 x 9 / 12

0,43 = N x 0,06 -N x 0,06

1,06

0,43 = N x 0,06 – N x 0,0566037730,43 = N x 0,003396226

N = 126,61 €

D c = 126,61 x 9 x 0,08 / 12D c = 7,60 €

D r = 7,60 – 0,43D r = 7,17 €

EJERCICIO 20D c = 20

E = N / 1,08D r = E x n x i

D r =N

x n x i1,08

Dr =20

=18,52 € 1,08




TEMA 4: EQUIVALENCIA FINANCIERA

EJERCICIO 1N = 2.000 €n = 30 díasi = 0,08 anualE = X

E = N (1-n x i)E = 2.000 (1 – 30 x 0,08 / 360)

E = 1.986,67 €

EJERCICIO 2N = 5.200 €n = 4-marzo al 7-mayon = 64 díasi = 0,04E = X

E = N (1-n x i)E = 5.200 (1 – 64 x 0,04 / 360)

E = 5.163,02 €

EJERCICIO 3E = 2.940 €N = xn = 3 mesesi = 0,08 anual

E = N (1-n x i)2.940 = N (1- 3 x 0,08 / 12)

2.940 = N x 0,98N = 3.000 €

EJERCICIO 4N = 5.200 €n = 6 mesesE = 4.992 €n = X

E = N (1-n x i)4.992 = 5.200 – 2.600 i4.992 - 5.200 = - 2.600 i

- 208 = - 2.600 x ii = 0,08

EJERCICIO 51ª SituaciónN = 7.000 €n = 6 meses

2ª SituaciónN= 6.858,59 €n = 2 meses

i = X

E = N (1-n x i)E1 = 7.000 (1 – 6 x i / 12)

E1 = 7.000 – 3.500 x i

E2 = 6.858,59 ( 1 – 2 x i / 12)E2 = 6.858,59 – 1.143,1 x i

E1 = E2

7.000 – 3.500 x i = 6.858,59 – 1.143,1 x i7.000 – 6.858,59 = - 1.143,1 x i + 3.500 x i

141,41 = 2.356,9 x ii = 0,06

EJERCICIO 61ª SituaciónN = 2.000 €N = 3.000 €n = 1-Sep. 1-Oct. =30 díasn = 1-Sep. Al 1-Nov.= 61 días

2ª Situación

N = Xn = 1 Sep. – 30 nov.= 90 días

i = 0,06 anual

N n Núm. Com.

2.0003.000

3061

60.000183.000

5.000 243.000

Divisor fijo = 360 / 0,06 = 6.000Descuento = 243.000 / 6.000 = 40,50 €

E1 = 5.000 – 49,50

E1 = 4.959,50 €

E2 = N (1 - 90 x 0,06 / 360)E2 = N x 0,985

E1 = E24.959,50 = N x 0,985

N = 5.035,03EJERCICIO 71ª SituaciónN = 2.000 €n = 40 díasN = 2.800n = 80 días

2ª SituaciónN= 4.753,57 €

i = 0,08 anual

N n Núm. Com.

2.0002.800

4080

80.000224.000

4.800 304.000


E1 = 4.800 – 67,56E1 = 4.732,44 €




E2 = 4.753,44 (1 - n x 0,08 / 360)E2 = 4.753,57 – 1,056349 x n

E1 = E24.732,44 = 4.753,57 – 1,056349 x n

4.732,44 – 4.753,57 = - 1,056349 x n

n = 20 días

EJERCICIO 81ª SituaciónN = 2.000 €n = 30 díasN = 2.000 €n = 61 díasN = 2.000 €n = 91 días

2ª SituaciónN = 5.998,87 €

i = 0,10 anual

N n Núm. Com.2.0002.0002.000

306191

60.000122.000182.000

6.000 364.000


E1 = 6.000 – 101,11

E1 = 5.898,89 €

E2 = 5.998,87 (1 - n x 0,10 / 360)E2 = 5.998,87 – 1,666353 x n

E1 = E25.898,89 = 5.998,87 – 1,666353

5.898,89 – 5.998,87 = - 1,666353 x n- 99,98 = - 1,666353 x n

n = 60 díasVto = 30 - mayo

EJERCICIO 91ª Situación6 letras mensualesdel mismo importe

2ª SituaciónE = 8.200 €

i = 0,06 anual

N n Núm. Com.NNNNNN

123456

1 x N2 x N3 x N4 x N5 x N6 x N

6N 21 x N

Divisor fijo = 12 / 0,06 = 200Descuento = 21x N / 200 = 0,105 x N

E1 = 6 x N – 0,105 x N

E1 = 5,895 x NE2 = 8.200

E1 = E25,895 x N = 8.200

N = 1.391,01 €

EJERCICIO 101ª SituaciónN = 3.000 €n = 30 díasN = 4.000 €n = 60 días

2ª SituaciónN = 3.000n = 60 díasN =Xn = 90 días

N n Núm. Com.

3.0004.000

3060

90.000240.000

7.000 330.000


E1 = 7.000 – 73,33E1 = 6.926,67 €




i = 0,08

E2 = 3.000 (1 – 60 x 0,08 / 360) – N ( 1 – 90 x 0,08 / 360)E2 =2.960 + N x 0,98

E1 = E26.926,67 = 2.960 + N x 0,98

3.966,67 = N x 0,98N = 4.047,62 €

EJERCICIO 111ª SituaciónN = 2.200 €n = 3 mesesN = 3.600 €n = 6 meses

2ª SituaciónN = 3.000 €n = 12 mesesN = Xn = 18 meses

i = 0,08 anual

N n Núm. Com.

2.2003.600

36

6.60021.600

5.800 28.200

Divisor fijo = 12 / 0,08 = 150Descuento = 28.200 / 150 = 188 €

E1 = 28.200 – 188 = 5.612 €E1 = 5.612 €

E2 = 3.000 ( 1 – 12 x 0,08 / 12) + N (1 – 18 x 0,08 / 12)E2 = 2.760 + N x 0,88

E1 = E25.612 = 2.760 + N x 0,88

2.852 = N x 0,88 N = 3.240,91 €

EJERCICIO 121ª SituaciónN = 2.000 €n = 3 mesesN = 3.000 €n = 6 mesesN = 4.000 €

n = 9 mesesN = 5.000 €n = 12 meses

2ª SituaciónN = 14.000 €n = X

i = 0,08 anual

N n Núm. Com.2.0003.0004.0005.000

369

12

6.00018.00036.00060.000

14.000 120.000

Divisor fijo = 12 / 0,08 = 150Descuento = 120.000 / 150 = 80 €

E1 = 14.000 – 800 = 13.200 €E1 = 13.200 €

E2 = 13.556,56 ( 1 – n x 0,08 / 360)E2 = 13.556,56 – 13.556,56 x n x 0,08 / 360

E2 = 13.556,56 – 3,012569 x n

E1 = E213.200 = 13.556,56 – 3,012569 x n

13.200 – 13.556,56 = - 3,012569 x n- 356,56 = - 3,012569 x n

n = 118 díasEJERCICIO 131ª SituaciónN = 2.000n = 20 díasN = 2.400n = 48 díasN = 2.800n = 79 días

2ª SituaciónN = 7.218,91n = X

i= 0,12 anual

N N Núm. Com.

2.0002.4002.800

204879

40.000115.200221.200

7.200 376.400

Divisor fijo = 360 / 0,12 = 3.000Descuento = 376.400 / 3.000 = 125,47

E1 = 7.200 – 125,47E1 = 7.074,53

E2 = 7.218,91 ( 1 – n x 0,12 / 360)E2 = 7218,91 – 7.218,91 x n x 0,12 / 360

E2 = 7.218,91 – 2,406303 x n

E1 = E2




7.074,53 = 7.218,91 – 2,406303 x n7.074,53 – 7.218,91 = - 2,406303 x n

- 144,38 = - 2,406303 x nn = 60 días

EJERCICIO 141ª SituaciónN = 2.000 €

n= 30 díasN = 3.000 €n = 60 días2ª SituaciónN = 5.000 €

N1+N2 = NVto. medio

N N Núm. Com.

2.0003.000

3060

60.000180.000

5.000 240.000

n= 240.000 / 5.000n = 48 días

Vto = 20-Octubre

EJERCICIO 15

Vto. medio (30 + 60 + 90) / 3 = 60 días

EJERCICIO 16

Vto. medio N = 3.000 €

EJERCICIO 174 letras mensualesdel mismo importe N n Núm. Com.

NNNN

1234

1 x N2 x N3 x N4 x N

4 x N 10 x N

Divisor fijo = 12/ 0,06 = 200Descuento = 10 x N / 200

Descuento = 0,05 x N E1 = 4 x N – 0,05 x N

E1 = 3,95 x N

E2 = 1.200 €

E1 = E2300 + 3,95 x N = 1.2003,95 x N = 1.200 – 300

3,95 x N = 900= 227,85 €

EJERCICIO 181ª SituaciónAl contado: 4.000 €

2ª SituaciónEntrada = 500 €N1 = 1.178,45 €n1 = 1 mesN2 = 1.178,45 €n2 = 2 mesesN3 = 1.178,45 €n3 = 3 meses

E1 = 4.000

N n Núm. Com.1.178,451.178,451.178,45

123

1.178,452.356,903.535,35

3.535,35 7.070,70

Divisor fijo = 12 / i

Descuento =i / 12

70,070.7

Descuento =12

70,070.7 xi

Dto = 589,23 x i

E2 = 500 + 3.535,35 – 589,23 x iE2 = 4.035,35 – 589,23 x i




E1 = E24.000 = 4.035,35 – 589,23 x i

- 35,35 = - 589,23 x ii = 0,06

EJERCICIO 19E1 = 500 - 1 %

N1 = 250 €N2 = 250 €

E1 = 500 – 1 %E1 = 495 €

N n Núm. Com.250250

12

250500

500 750


Descuento =i / 12

750

Dto = 62,50 x i

E2 = 500 – 62,50 x i

E1 = E2495 = 500 – 62,50 x i

5 = 62,50 x ii= 0,08

EJERCICIO 20

n = (30 + 60 +90 +120) / 4 = 75 días

EJERCICIO 21

1º SituaciónN1 = 2.000 €n1 = 30 díasN2 = 4.000 €n2 = 60 días

2ª SituaciónN = xn = 2 mesesi = 0,10 anual

N n Núm. Com.2.0004.000

3060

60.000240.000

6.000 300.000

Divisor fijo = 360 / 0,10 = 3.600

Descuento = 300.000 / 3.600

Dto = 83,33

Descuento = 6.000 – 83,33

E1 = 5.916,67 €

E2 = N (1 – 2 x 0,10 / 12)E2 = N x 0,983333

E1 = E25.916,67 = N x 0,983333

N = 6.016,95 €




EJERCICIO 221ª SituaciónN1 = 2.000n1 = 30 díasN2 = 4.000n2 = 60 días

i = 0,08 anual

2ª SituaciónN = 6.209,30 €n = X

N n Núm. Com.

2.0004.000

3060

60.000240.000

6.000 300.000

Divisor fijo = 360 / 0,08 = 4.500Descuento = 300.000 / 4.500

Dto = 66,67Descuento = 6.000 – 66,67

E1 = 5.933,33 €

E2 = 6.209,30 ( 1 – n x 0,08 / 360)E2 = 6.209,30 – 1,379844 x n

E1 = E25.933,33 = 6.209,30 – 1,379844 n

5.933,33 – 6.209,30 = - 1,379844 x n- 275,97 = - 1,379844 x n

n = 200 días

EJERCICIO 23N1 = 1.000 €n1 = 30 díasN2 = 2.000 €n2= 60 díasN3 = 3.000 €n3 = 90 días

N1 + N2 +N3 = NVto. medio

N n Núm. Com.1.0002.0003.000

306090

30.000120.000270.000

6.000 420.000

n = 420.000 / 6.000n = 70 días

EJERCICIO 241ª SituaciónN1 = 1.202 €n = 60 días

2ª SituaciónNn = 30 días2Nn = 50 días

i = 0,10 anual

E1 = N (1 – n x i)E1 = 1.202 ( 1 – 60 x 0,10 / 360 )

E1 = 1.181,97 €

E2 = N ( 1 – 30 x 0,10 / 360) + 2 N ( 1 – 50 x 0,10 / 360)E2 = N x 0,991667 + N x 1,972222

E2 = 2,963889 x N

E1 = E21.187,97 = 2,963889 x N

N = 398,79 €EJERCICIO 251ª SituaciónE1 = 1.177,28

2ª SituaciónNn = 60 días(1.202 – N)n = 90 días

i = 0,10 anual

E1 = 1.177,28 €

E2 = N (1- 60 x 0,10 / 360) + (1.202 – N) (1 – 90 x 0,10 / 360)

E2 = N x 0,983333 + (1.202 – N) x 0,975E2 = N x 0,983333 + 1.171,95 – 0,975 N

E2 = 1.171,95 + 0,008333 x N

E1 = E21.177,28 = 1.171,95 + 0,008333 x N1.177,28 – 1.171,95 = 0,008333 x N

5,33 = 0,008333 x NN = 639,63 €

N2 = 1.202 – 639,63 = 565,37EJERCICIO 26Fecha acuerdo:5-mayo1ª Situación:

N1 = 6.000 €n1 = 10-mayon1 = 5 díasN2 = 4.500 €n2 = 15-junio

N n Núm. Com.6.000

4.5003.300

5

4174

30.000

184.500244.200

13.800 458.700

Divisor fijo = 365 / 0,08 = 4.562,50




n2 = 41 díasN3 = 3.300 €n3 = 18 julion3 = 74 díasi = 0,08 anual

2ª Situación:

N1 = Xn1 = 12-junion = 38

Año civil

Descuento = 458.700 / 4.562,50

Dto = 100,54

Descuento = 13.800 – 100,54E1 = 13.699,46

E2 = N ( 1 – 38 x 0,08 / 365)E2 = N x 0,991671

E1 = E213.699,46 = N x 0,991671

N = 13.814,52

EJERCICIO 27Fecha acuerdo:1-marzo1ª Situación:N1 = 5.000 €n1 = 3-marzo

n1 = 2 díasN2 = 3.500 €n2 = 14-abriln2 = 44 díasN3 = 2.000 €n3 = 16-abriln3 = 46 díasn4 = 1.000 €N4 = 20-mayon4 = 80 díasi = 0,06 anual

2ª Situación:N1 = Xn1 = 16-abriln = 46 días

Año civil

N n Núm. Com.

5.0003.5002.000

1.000

24446

80

10.000154.00092.000

80.00011.500 336.000

Divisor fijo = 365 / 0,06 = 6.083,333333

Descuento = 336.000 / 6.083,333333

Dto = 55,23

Descuento = 11.500 – 55,23E1 = 11.444,77

E2 = N ( 1 – 46 x 0,06 / 365)E2 = N x 0,992438

E1 = E211.444,77 = N x 0,992438

N = 11.531,97 €

EJERCICIO 28Fecha acuerdo:1-marzo1ª Situación:N1 = 5.000 €n1 = 3-marzon1 = 2 díasN2 = 3.500 €n2 = 14-abriln2 = 44 díasN3 = 2.000 €n3 = 16-abriln3 = 46 díasn4 = 1.000 €N4 = 20-mayon4 = 80 díasi = X

2ª Situación:N1 = 11.525n1 = 16-abriln = 46 días

Año civil

N n Núm. Com.

5.0003.5002.0001.000

2444680

10.000154.00092.00080.000

11.500 336.000


Descuento =i / 365

000.336

Dto = 336.000 x i / 365Dto = 920,547945 x i

E1 = 11.500 – 920,547945 x i

E2 = 11.525 ( 1 – 46 x i / 365)E2 = 11.525 – 11.525 x 46 x i / 365

E2 = 11.525 – 1.452,465753 x i

E1 = E211.500 – 920,547945 x i = 11.525 – 1.452,465753 x i

11.500 – 11.525 = - 1.452,465753 x i + 920,547945 x i- 25 = - 531,917808 x i

i = 0,047




EJERCICIO 29Fecha de acuerdo:1-marzo1º Situación:N1 = 2.000 €n1 = 28- marzon1 = 27 días

N2 = 4.000n2 = 1 abriln2= 31 díasN3 = 3.500 €n3 = 12-junion3 = 103 días

10.000 €n = 15-agoston = 167 días

i = 0,08Año civil

N n Núm. Com.

2.0004.0003.500

2731

103

54.000124.000360.500

9.500 538.500

Divisor fijo = 365 / 0,08 = 4.562,50Descuento = 538.500 / 4.562,50

Dto = 118,03 €E1 = 9.500 – 118,03

E1 = 9.381,97 €

E2 = N ( 1 – 167 x 0,08 / 365)E2 = N x 0,963397

E1 = E29.381,97 = N x 0,963397

N = 9.738,43 €

EJERCICIO 30Fecha de acuerdo:3-Marzo

1ª Situación:N1 = 3.325 €n1 = 11-marzon1 = 8 díasN2 =2.200n2 = 16-abriln3 = 44 díasi = 0,10 anual

2ª Situación:N = 5.800 €n = X

Año civil

N n Núm. Com.3.3252.200

844

26.60096.800

5.525 123.400

Divisor fijo = 365 / 0,10 = 3.650Descuento = 123.400 / 3.650 = 33,81

Dto = 33,81 €E1 = 5.525 – 33,81

E1 = 5.491,19 €

E2 = 5.800 ( 1 – n x 0,10 / 365)E2 = 5.800 – 5.800 x 0,10 / 365 =

E2 = 5.800 – 1,589041 n

E1 = E25.491,19 = 5.800 – 1,589041 n

5.491,19 – 5.800 = - 1,589041 n- 308,9 = - 1,589041 x n

n = 194,39 días

EJERCICIO 311ª Situación:N1 = 6.000 €

2ª Situación:N1 = 2.000 €n1 = 30 díasN2 = 2.000 en2 = 60 díasN3 = 2.000 en3 = 90 días

N1 = N1 + N2 + N36.000 = 2.000 + 2.000 + 2.000

Ejercicio de vencimiento medio

n =3

906030 ++ = 60 días

n = 60 días

EJERCICIO 321 ª Situación:6Nn = 6 días3Nn = 12 díasNn = 20 díasi = 0,072ª Situación:N


N N Núm. Com.6N3NN

61220

36 N36 N20 N

10 N 92 N

n = N

N

10

92= 9,2 días




EJERCICIO 33Misma solución, en el vencimiento medio no utilizamos el tanto de interés

EJERCICIO 34Fecha de acuerdo:30-abril

1ª Situación:6 letras de 5.250 €

2ª Situación:N=31.500


N N

5.2505.2505.2505.2505.2505.250

154676

107138168

31.500

N =15 + 46 + 76 +107 + 138 + 168

= 91,675

EJERCICIO 351ª Situación:N1 = 2.000n1 = 12 días

N2 = 3.500n2 = 17 díasN3 = 7.000n3 = 20 días

2ª Situación:N = 12.800n = 30 días

i = X

N n Núm. Com.2.000

3.5007.000

12

1720

24.000

59.500140.000

12.500 223.500


Descuento = xi365

500.223

Dto = 223.500 x i / 365Descuento = 612,328767 x i

E1 = 12.500 – 612,328767 x i

E2 = 12.800 ( 1 – 30 x i / 365)

E2 = 12.800 – 12.800 x 30 x i / 365E2 = 12.800 – 1.052,05 x i

E1 = E212.500 – 612,328767 x i = 12.800 – 1.052,05 x i

12.500 – 12.800 = - 1.052,05 x i + 612,328767 x i- 300 = - 439,721233 x i

i = 0,68225

EJERCICIO 361º Situación:N: 3.000 €n = 130 días2ª Situación:n1 = 5 díasn2= 20 díasn3 = 50 díasn4 = 80 díasN11,5 x N2,25 x N3,375 x Ni = 0,10 anual

E1 = 3.000 (1 – 130 x 0,10 / 365)E1 = 2.893,15 €

N n Núm. Com.

N1,5N

2,25N3,375N

5205080

5N30N

112,50N270N

8,125 x N 417,50N

Divisor fijo = 365 / 0,10 = 3.650Descuento = 417,50 N / 3.650

Descuento = 0,114384NE2 = 8,125 x N – 0,114384 x N

E2 = 8,010616 x N

E1 = E22.893,15 = 8,010616 x N

N = 361,16 €




EJERCICIO 371ª Situación:N1 = 25.000n1 = 2 años y 6meses = 30 mesesN2 = 10.000n2 = 3 años y 3meses = 39 mesesN3 = 12.000n3 = 5 años = 60meses

2ª Situación:N = Xn = 3 años = 36meses

i = 0,11

N n Núm. Com.

25.00010.000

12.000

3039

60

750.000390.000

720.00047.000 1.860.000

Divisor fijo = 12 / 0,11 = 109,090909

Descuento =090909,109

000.860.1= 17.050

E1 = 47.000 – 17.050E1 = 29.950 €

E2 = N ( 1-36 x 0,11 /12)E2 = N x 0,67

E1 =E2

29.950 = N x 0,67N = 44.701,49 €

EJERCICIO 381ª SituaciónN1 = 3.000 €n1 = 2 añosN2 = 1.500 €n2 = 3 añosN3 = 1.500 €n3 = 5 añosN4 = 2.000 €n4 = 8 años

2ª SituaciónN = 6.500 €n= X

I = 0,08 anual

N n Núm. Com.3.0001.5001.5002.000

2358

6.0004.5007.500

16.0008.000 34.000

Divisor fijo = 1/ 0,08 = 12,50

Descuento = 50,12

000.34

= 2.720

E1 = 8.000 – 2.720E1 = 5.280 €

E2 = 6.500 ( 1- n x 0,08)E2 = 6.500 – 520 x n

E1 =E25.280 = 6.500 – 520 x n

5.280 – 6.500 = - 520 x n- 1.220 = - 520 x n

n = 2,346 años

EJERCICIO 391ª situación:N1 = 3.000 €n1 = 4 añosN2 = 2.500 €n2 = 5 añosN3 = 5.000 €n3 = 6 años2ª situaciónN = 10.500

Vencimiento medio: 3.000 + 2.500 + 5.000 = 10.500

N n Núm. Com.

3.0002.5005.000

456

12.00012.50030.000

10.500 54.500

n=500.10

500.54 = 5,19 años




EJERCICIO 40Banco Ai = 3 % N = 5.000 €Banco Bi = 8 % N = 10.000 €Banco Ci = 1 % N = 8.000 €

Nominal iBanco A 5.000 0,03 150Banco B 10.000 0,08 800

Banco C 8.000 0,01 8023.000 1.030

i =000.23

030.1 = 0,0447826 = 4,48 %

EJERCICIO 41Fondo Ai = 0,04 N =8.000 €i = 0,06 N =6.000 €i =0,03 N =15.000 €

Nominal iFondo A 8.000 0,04 320Fondo B 6.000 0,06 360Fondo C 15.000 0,03 450

29.000 1.130

i =000.29

130.1 = 0,0389656 = 3,89655 %

EJERCICIO 42N = 480,20 €n = 90 díasi = 0,08 anual

E = N (1 – n x i)E = 480,20 ( 1 – 90 x 0,08 /360)

E = 470,60 €EJERCICIO 43n = 90 díasi = 0,08 anualE = 4.820,50 €

4.820,50 = N (1 – 90 x 0,08 / 360)4.820,50 = N x 0,98

N = 4.918,88 €EJERCICIO 44N = 5.200,30 €n = 180 díasi = 0,10 anual

E = 5.200,30 (1 – 180 x 0,10 / 360)E = 4.940,29 €

EJERCICIO 451ª SituaciónN = 5.400,30 €n= 90 díasi = 0,12 anual

2ª Situaciónn = 180 díasN = X

E1 = 5.400,30 ( 1-90 x 0,12 / 360)E1 = 5.238,29 €

E2 = N ( 1 – 180 x 0,12 / 360)E2 = N x 0,94

E1 = E25.238,29 = N x 0,94

N = 5.572,65 €EJERCICIO 46

1º Situación:N1 = 3.020,20n1 = 30 díasN2 = 6.480,23 €n2 = 90 díasN3 = 12.560,90n3 = 120 días

2ª Situación:N = Xn = 180 días

i= 0,12 anual

N n Núm. Com.3.020,206.480,23

12.560,90

3090

120

90.606,00583.220,70

1.507.308,0022.061,33 2.181.134,70

Divisor fijo = 360/ 0,12 = 3.000

Descuento =000.3

70,134.181.2= 727,04

E1 = 22.061,33 – 727,04E1 = 21.334,29 €

E2 = N ( 1- 180 x 0,12 /360)

E2 = N x 0,94E1 =E2

21.334,29 = N x 0,94N = 22.696,05 €




EJERCICIO 47Fecha de acuerdo:1 marzo1ª Situación:N1 = 180,20n1 = 31 marzo

n1 = 30 díasN2 = 140,60n2 = 30 abriln2 = 60 díasN3 = 230,90n3 = 31 mayon3 = 91 días

2ª Situación:N = Xn = 31 de julion = 152

i = 0,18

Año comercial

N n Núm. Com.180,20140,60230,90

306091

54068436

21.011,90

551,70 34.853,90Divisor fijo = 360/ 0,18 = 2.000

Descuento =000.2

9,853.34= 17,43

E1 = 551,70 – 17,43E1 = 534,27 €

E2 = N ( 1- 152 x 0,18 / 360)E2 = N x 0,924

E1 =E2534,27 = N x 0,924

N = 578,21 €

EJERCICIO 48Fecha de acuerdo:1 abril1ª Situación:N1 = 230,30n1 = 16 abriln1 = 15 díasN2 = 680,50n2 = 31 mayon2 = 60 díasN3 = 430,60n3 = 30 junion3 = 90 días

2ª Situación:N = 1.412,76n = X

i = 0,15Año comercial

N n Núm. Com.230,30680,50430,60

156090

3.454,5040.83038.754

1.341,40 83.038,50Divisor fijo = 360/ 0,15 = 2.400

Descuento =400.2

50,038.83= 34,60

E1 = 1.341,40 – 34,60E1 = 1.306,80 €

E2 = 1.412,76 ( 1- n x 0,15 / 360)E2 = 1.412,76 – 0,58865 x n

E1 =E21.306,80 = 1.412,76 – 0,58865 x n

1.306,80 – 1.412,76 = - 0,58865 x n- 105,96 = -0,58865 x n

n = 180 días

ASIENTO 491ª Situación:Entrega = 3.110,20n1 = 1.064,20n1 = 9 meses

2ª Situación:Entrada: 2.250,90n1 = 2.600,10n1 = 6 meses

i = 0,12

E1 = 3.110,20 + 1.064,20 (1 – 9 x 0,12 / 12)E1 = 3.110,20 + 1.064,20 – 95,78

E1 = 4.078,62 €

E2 = 2.250,90 + 2.600,10 ( 1 – 6 x 0,12 / 12)E2 = 2.250,90 + 2.600,10 – 156,01

E2 = 4.694,99 €

ASIENTO 501º SituaciónE1 = 4.675,80

2ª SituaciónN = 5.120,40n = 180 días

Año comercial

E1 = 4.675,80

E2 = 5.120,40 (1 – 180 x i / 360)E2 = 5.120,40 – 2.560,20 x i

E1 = E24.675,80 = 5.120,40 – 2.560,20 x i4.675,80 – 5.120,40 = - 2.560,20 x i

- 444,60 = - 2.560,20 x ii = 0,1737 = 17,37 %




EJERCICIO 51Fecha de acuerdo:1 abril1ª Situación:N1 = 400 €n1 = 15 abriln1 = 14 días

N2 = 600 €n2 = 30 mayon2 = 59 díasN3 = 750 €n3 = 24 junion3 = 84 díasN4 = 900 €N4 = 24 julion4 = 114 días

N n Núm. Com.

400600750900

145984

114

5.60035.40063.000

102.600

2.650 206.600

N =650.2

600.206= 77,96 €

EJERCICIO 521ª Situación:N1 = 5.000 €n1 = 120 días

2ª Situación:N1 = 3.000 €n1 = 30 díasN2 = 2.000n2 = 150 díasi = 0,15 anual

E1 = 5.000 (1 – 120 x 0,15 / 360)E1 = 4.750 €

E2 = 3.000 (1 – 30 x 0,15/360) + N (1 – 150 x 0,15 / 360)E2 = 2.962,50 + N x 0,9375

E1 = E24.750 = 2.962,50 + N x 0,9375

1.787,50 = N x 0,9375N = 1.906,67 €

EJERCICIO 53Fecha del acuerdo:14 de enero1ª Situación:N1 = 150 €n1 = 15-marzon1 = 60 días

N2 = 350 €n2 = 14-abriln2 = 90 días2ª Situación:N1 = 500 €

i = 0,06

150 + 350 = 500 VENCIMIENTO MEDIO

N n Núm. Com.

150350

6090

9.00031.500

500 40.500

n=500

500.40 = 81 días

EJERCICIO 54Fecha del acuerdo:1 de enero1ª Situación:N1 = 120 €n1 = 15-eneron1 = 14 díasN2 = 214 €n2 = 15-febreron2 = 45 díasN3 = 180 €n3 = 15-marzon3 = 73 díasN4 = 210n4 = 15 abriln4 = 104 días2ª Situación:N1 = 724 €

120 + 214 + 180 +210 = 724 VENCIMIENTO MEDIO

N n Núm. Com.

120214180210

144573

104

1.6809.630

13.14021.840

724 46.290

N =724

290.46 = 63,94 días

EJERCICIO 55

N1 = 300 n1 = 20N2 = 300 n2 = 40N3 = 300 n3 = 60

N = 900 €

300 + 300 + 300 = 900 CASO PARTICULAR DEL VENCIMIENTO MEDIO

3

604020 ++ = 40 días




EJERCICIO 56Fecha de acuerdo:1-marzo

N1 = 500n1 = 31 de marzon1 = 30 días

N2 = 500n2 = 29 julion2 = 89

500 + 500 = 1.000 CASO PARTICULAR DEL VENCIMIENTO MEDIO

n =2

8930 += 59,50 días

EJERCICIO 57Fecha del acuerdo:5 - mayo

1ª Situación:N1 = 6.000 €n1 = 10-mayon1 = 5 díasN2 = 4.500 €n2 = 14-junion2 = 40 días

N3 = 3.300 €n3 = 14-julion3 = 70 días

2ª Situación:N = Xn = 12 de junio

i = 0,08

N n Nos. Comerc.6.000 5 30.0004.500 40 180.0003.300 70 231.000

13.800 441.000

DIVISOR FIJO: 360/0,08 = 4.500

Descuento: 500.4

000.441

= 98

E1 = 13.800 – 98 = 13.702E1 = 13.702 €

E2 = N ( 1 – 36 x360

08,0 )

E2 = N x 0,991556

E1 = E2

13.702 = N x 0,991556

N = 13.818,69 €

EJERCICIO 58Fecha del acuerdo:1 - marzo

1ª Situación:N1 = 5.000 €n1 = 30 - marzon1 = 5 díasN2 = 3.500 €n2 = 10 - abriln2 = 40 díasN3 = 2.000 €n3 = 30 - abriln3 = 70 días

2ª Situación:N = Xn = 20 de abril

i = 0,06

Año comercial

N n Nos. Comerc.5.000 29 145.000

3.500 40 140.0002.000 60 120.000

10.500 405.000

DIVISOR FIJO: 360/0,06 = 6.000

Descuento:000.6

000.441= 98

E1 = 10.500– 67,50 = 10.432,50E1 = 10.432,50 €

E2 = N ( 1 – 50 x360

08,0 )

E2 = N x 0,991667

E1 = E2

10.432,50 = N x 0,991667

N = 10.520,17 €




EJERCICIO 591ª Situación:N1 = 1.200 €n1 = 6 meses

2ª Situación:Al contado: 200 €N2 = NN2 = 12 meses

E1 = 1.200 (1 – 6 x 0,08 / 12)E1 = 1.152 €

E2 = 200 + N (1 – N x 0,08 / 12)E2 = 200 + N x 0,92

E1 = E21.152 = 200 + N x 0,92

952 = N x 0,92N = 1.034,78 €

EJERCICIO 60

1ª Situación:N1 = 5.000 €n1 = 3 mesesN2 = 6.000 €n2 = 5 mesesN3 = 7.000 €n3 = 7 meses

2ª Situación:N1 = 10.000 €n1 = 4 mesesN2 = Xn2 = 6 meses

i = 0,06

N n Nos. Comerc.5.000 3 15.0006.000 5 30.000

7.000 7 49.00018.000 94.000

DIVISOR FIJO: 12 / 0,06 = 200

Descuento:200

000.94 = 470

E1 = 18.000 - 470E1 = 17.530 €

E2 = 10.000 ( 1 – 4 x12

06,0 ) + n ( 1 – 6 x12

06,0 )

E2 = 9.800 + N x 0,97

E1 = E2

17.530 = 9.800 + N x 0,977.730 = N x 0,97N = 7.969,07 €

EJERCICIO 61

1ª Situación:N1 = 300 €n1 = 80 días

2ª Situación:N2 = 360 €n2 = X

i = 0,09

E1 = 300 ( 1 – 80 x360

09,0 )

E1 = 294 €

E2 = 360 ( 1 – n x360

09,0 )

E2 = 360 – 0,09 x n

E1 = E2

294 = 360 – 0,09 x n- 66 = - 0,09 x n

n = 733,33 días

EJERCICIO 621ª Situación:N1 = 8.000 €n1 = 30 díasN2 = 7.500 €n2 = 60 días

2ª Situación:

N1 = 16.000 €n1 = X

i = 0,08 anualAño comercial

N n Nos. Comerc.8.000 30 240.0007.500 60 450.000

15.500 690.000

DIVISOR FIJO: 360/0,08 = 4.500

Descuento:500.4

000.690= 153,33




E1 = 15.500 – 153,33E1 = 15.346,67 €

E2 = 16.000 ( 1 – n x360

08,0 )

E2 = 16.000 – 3,555556 x n

E1 = E2

15.346,67 = 16.000 – 3,555556 x n- 653,33 = - 3,555556 x n

n = 183,75 días

EJERCICIO 63Fecha del acuerdo:3 marzo

1ª Situación:N1 = 3.325 €n1 = 13 marzo

n1 = 10 díasN2 = 2.200 €n2 = 16 abriln2 = 44 días

2ª Situación:N1 = 5.800 €n1 = X

i = 0,10Año comercial

N n Nos. Comerc.3.325 10 33.2502.200 44 96.8005.525 130.050

DIVISOR FIJO: 360/0,10 = 3.600

Descuento:600.3

050.130= 36,13

E1 = 5.525 – 36,13E1 = 5.488,87 €

E2 = 5.800 ( 1 – n x360

10,0 )

E2 = 5.800 – 1,611111 x n

E1 = E2

5.488,87 = 5.800 – 1,6111111 x n- 311,20 = - 1,611111 x n

n = 193,16 días

n = 194 días. Fecha del vencimiento: 13-septiembre

Marzo 31 – 3 = 28Abril = 30Mayo = 31Junio = 30Julio = 31

Agosto = 31Septiembre = 13

EJERCICIO 643 letras de 2.000 €se sustituyen poruna de 6.000 €

n1 = 30 díasn2 = 60 díasn3 = 90 días

Vencimiento medio. Letras del mismo importe

3

906030 ++ = 60 días

EJERCICIO 65Vencimiento medio

N1 = 5.000 €n1 = 100 díasN2 = 17.000 €

n2 = 120 díasN3 = 19.000 €n3 = 130 días

N n Nos. Comerc.5.000 100 500.000

17.000 120 2.040.000

19.000 130 2.470.000

41.000 5.010.000

000.41

000.010.5 = 122,20 días




TEMA 5: RENTAS

EJERCICIO 1i = 0,06 anualn = 10 añosA = 60

Vo = A x A n,iVo = 60 x A 10 : 0,06

Vo = 60 x 7,360087

Vo = 441,61 €

EJERCICIO 2A = 60,10 €n = 6 añosi = 0,05 anual

Vo = A x An,iVo = 60,10 x A 6 : 0,05

Vo = 60,10 x 5,075692Vo = 305,05 €

EJERCICIO 3Vo = 240,90 €n = 10 anualidadesi = 0,06 anual

Vo = A x A n,i240,90 = A x A 10 : 0,06

240,90 = A x 7,360087A = 32,73 €

EJERCICIO 4i = 0,10 anual

n = 10 términosA = 300 €

Vo = A x A n,i

Vo = 300 x A 10: 0,10 Vo = 300 x 6,144567

Vo = 1.843,37 €EJERCICIO 5Vo = 405,54A = 50 €i = 0,04 anual

Vo = A x A n,i

405,54 = 50 x A n:0,04

A n:0,04 = 8,1108

04,0

)04,1(1n−

− = 8,1108

1 – (1,04) – n = 8,1108 x 0,041 – (1,04) – n = 0,324432- (1,04) – n = 0,324432 – 1

(1,04) – n = 0,675568- n x log 1,04 = log 0,675568- n x 0,017033 = - 0,170331

n = 10 añosEJERCICIO 6n = 10 añosVo = 614,46 €i = 0,10 anual

Vo = A x A n,i 614,46 = A x A 10 : 0,10

614,45 = A x 6,144567 A = 100 €

EJERCICIO 7E = 3.000 €n = 10 anualidadesA = 1.800 €i = 0,12

Vo = A x A n,i Vo = (1.800 x A 10 : 0,12) + 3.000

Vo = (1.800 + 5,650223) + 3.000Vo = 13.170,40 €

EJERCICIO 8

Cn = 15.000 €n = 5 añosi = 0,10

A = 1.800 €n = 15 añosi = 0,10

APARTADO AVo = 1.800 €

APARTADO B15.000 = Co (1,10) 5

15.000 = Co x 1,61051Co = 9.313,82 €

APARTADO CVo = A x A n,i

Vo = 1.800 x A 15 : 0,10 Vo = 1.800 x 7,60608

Vo = 13.690,94 €




EJERCICIO 9

E = 6.600 €A = 4.800 €n = 10 añosi = 0,12

A = 4.500 €n = 15 añosi = 0,12

APARTADO AVo = 33.000 €

APARTADO BVo = A x An,i

Vo = (4.800 x A 10: 0,12) + 6.600Vo = (4.800 x 5,650223) + 6.600

Vo = 27.121,07 + 6.600Vo = 33.721,07 €

APARTADO CVo = A x A n,i

Vo = 4.500 x A 15: 0,12 Vo = 4.500 x 6,810864

Vo = 30.648,89 €

EJERCICIO 10Vo = 518,98i = 0,05

A = 50 €

Vo = A x A n,i518,98 = 50 x A n:0,05

10,3796 = A n:0,05

10,3796 =05,0

)05,1(1n−

−

10,3796 x 0,05 = 1 – (1,05 ) - n 0,51898 = 1 – (1,05) – n

0,51898 – 1 = - (1,05) – n

- 0,48102 = - (1,05) – n log 0,48102 = - n x log 1,05

- 0,317836866 = - n x 0,021189299n = 15 años

EJERCICIO 11

A = 2.000 €i = 0,10 anualVo = 8.712,52 €

A = 2.000 €i = 0,10 anualVo = 15.656,35 €

APARTADO A

Vo = A x A n,i8.712,52 = 2.000 x A n:0,10 4,35626 = A n:0,10

4,35626 =10,0

)10,1(1n−

−

4,35626 x 0,10 = 1 – (1,10 ) – n 0,435626 = 1 – (1,10 ) – n 0,435626 – 1 = - (1,10) – n

- 0,564374 = - (1,10) - n log 0,564374 = - n x log 1,10

- 0,248433 = - n x 0,041392685n = 6 años

APARTADO BVo = A x A n,i

15.656,35 = 2.000 x A n:0,10 7,828175 = A n:0,10

7,828175 =10,0

)10,1(1n−

−

7,828175 x 0,10 = 1 – (1,10 ) – n 0,7828175 = 1 – (1,10 ) – n 0,7828175 – 1 = - (1,10) – n

- 0,2171825 = - (1,10) - n log 0,2171825 = - n x log 1,10

- 0,663175172 = - n x 0,041392685n = 16,02 años

EJERCICIO 12n = 5 años

Vn = 30.000 €i = 0,05

Vn = A x S n,i

30.000 = A x S 5:0,05 30.000 = A x 5,525631

A = 5.429,24 €




EJERCICIO 13n = 8 añosi = 0,085Vn = 9.000 €

Vn = A x S n,i 9.000 = A x S 8:0,085

9.000 = A x 10,83064A = 830,98 €

EJERCICIO 14n = 14 a 23 añosn = 9Vn = 10.000 €i= 0,085

Vn = A x S n,i 10.000 = A x S 9:0,085

10.000 = A x 12,751244A = 784,24 €

EJERCICIO 15

Vn = 30.779,41A = 3.000 €n = 8 años

Vo = 16.004,78A = 3.000 €n = 8 años

APARTADO AVn = A x S n,i

3.0779,41 = 3.000 x S 8:i 10,259803 = S 8:i

Buscar tablas y corresponde a i = 0,07 = 7 %APARTADO B

Vo = A x A n,i 16.004,78 = 3.000 x A 8:i

5,334927 = A 8:i Buscar tablas y corresponde a i =0,10 = 10 %

EJERCICIO 16

Vo = 2.300 €E = 800n = 6 añosi = 0,10 anual

Vo = E + (A x A n,i)2.300 = 800 + (A x A 6:0,10)

1.500 = A x 4,355261A = 344,41 €

EJERCICIO 17Vn = 15.000 €A = 722,82 €i = 0,10 anualn = X

Vn = A x S n,i 15.000 = 722,82 x S n:0,10

20,752054 = S n:0,10

1,0

1)1,1(752054,20

−=

n

20,752054 x 0,10 = (1,10) n -12,0752054 = (1,10) n -1

2,0752054 + 1 = (1,10) n 3,0752054 = (1,10) n

log 3,0752054 = n x log 1,100,487874 = n x 0,041393

n = 11,79 añosEJERCICIO 18i = 0,10 anualn = 8 añosA = 200 €V’o = X

V’o = A x A n:i x (1+i)V’o = 200 x 5,334926 x 1,10

V’o = 1.173,68 €

EJERCICIO 19i = 0,13 anualn = 10 añosA = 500 €V’o = X

V’o = A x A n:i x (1+i)V’o = 500 x 5,426243 x 1,13

V’o = 3.065,83 €

EJERCICIO 20i = 0,08 anualn = 9 añosA = 400 €V’n = X

V’n = A x S n:i x (1+i)V’n = 400 x 12,487558 x 1,08

V’n = 5.394,63 €




EJERCICIO 21A = 350 €d = 5 añosi = 0,075 anualn = 10 añosd/Vo = X

d/Vo = A x A n:i x V d:i

d/Vo = 350 x A 10:0,075 x5)075,1(

1

d/Vo = 350 x 6,864081 x 4356289,1

1

d/Vo = 1.673,43 €EJERCICIO 22i= 0,045n = 11 términosd= 17 añosA = 240 €


d/Vo = 240 x A 11:0,045 x17)045,1(

1

d/Vo = 240 x 8,528917 x113377,2

1

d/Vo = 968,56 €

EJERCICIO 23i = 0,075A = 2.000 €n = 11 añosd = 17 años


d/Vo = 2.000 x A 11:0,075 x17)075,1(

1

d/Vo = 2.000 x 7,315424 x419353,3

1

d/Vo = 4.278,84 €

Vo = A x A 10:0,075 Vo = A x 6,864081

4.278,84 = A x 6,864081A = 623,37 €

EJERCICIO 24

d/V’o = Xd = 3 añosA = 2.000 €n = 12 terminosi = 0,10

d/V’o = A x An,i x V d,i x (1+i)

d/V’o = 2.000 x 6,8413692 x3)10,1(

1 x 1,10

d/V’o = 11.262,30 €EJERCICIO 25A = 2.500 €i = 0,07 Po =

i

a

Po = 2.500 / 0,07Po = 35.714,29 €

EJERCICIO 26A = 1.000 €i = 0,08 Po =

i

a

Po = 1.000 / 0,08Po = 12.500 €

EJERCICIO 27A = 600 €Po = 1.000 € Po =

i

a

1.000 = 600 / i1.000 x i = 600i = 600 / 1.000

i = 0,60EJERCICIO 28A = 1.500 €i = 0,09d = 4 años

d/P’o = X

d/P’o =i

a x Vd,i x (1+i)

d/P’o =09,0

500.1 x4)09,1(

1 x 1,09

d/P’o = 16.666,67 x411582,1

1 x 1,09

d/p’o = 12.869,72 €




EJERCICIO 29

15000 15.000 15.000 15.000 15.000

0 1 2 3 17 18 Renta, anual, constante (15.000), temporal (18), inmediata postpagable.

EJERCICIO 30

a) Renta, anual, constante (50), temporal (18), diferida (2) y prepagable.

b) Renta, anual, constante (50), temporal (18), diferida (1) y postpagable.

EJERCICIO 31

600 600 600

0 1 2 3 19 20 21

EJERCICIO 32

1 1 1 1 1 1

0 1 2 3 8 9 10 V’o = A x A n,i x (1+i)

V’o = 1 x A 10:0,06 x (1,06)V’o = 1 x 7,360087051 x (1,06)

V’o = 7,801692 €

EJERCICIO 33V’n = A x A n,i x (1+i)

V’n = 1 x S 22:0,07 x (1,07)V’n = 1 x 49,00573916 x (1,07)

V’n = 52,4361409 €

EJERCICIO 34Vo = E + A x A n,i

Vo = 1 + (1 x A 56:0,04)Vo = 1 + ( 1 x 22,219819)

Vo = 23,219819 €

V’o = A x A n,i x (1+i)V’o = 1 x A 57:0,04 x (1,06)

V’o = 1 x 22,326749 x 1,04V’o = 23,219819 €

EJERCICIO 35

h / V’n = A x Sn,i x (1+i) x (1+i)h

h / V’n = 1 x S26:0,08 x (1,08) x (1,08)2

h / V’n = 1 x 79,954415 x 1,259712h /V’n = 100,72 €

EJERCICIO 36

Renta anual, constante, temporal, de 26 términos, anticipada de 2 años y prepagable.




EJERCICIO 37A = 1 €d = 6 añosi = 0,03 anuald/Po = X

d/Po = (A/i) x V d:i

d/Po = (1 / 0,03) x5)03,1(

1

d/Po = 33,333333 x 0,862609

d/Po = 28,753633 €EJERCICIO 38A = 4.000 €i= 0,07n = 15 años

Vo = A x A n:i Vo = 4.000 x A 15:0,07

Vo = 4.000 x 9,107914Vo = 36.431,66 €

EJERCICIO 39i = 0,01 semestralA = 400 €n = 6 años

(1+i) = (1+i2)(1+i) = (1+0,01) 2

i = 0,0201Vo = A x A n:i

Vo = 400 x A 6:0,0201 Vo = 400 x 5,599541

Vo = 2.239,82 €EJERCICIO 40A)Cn = 3.000 €n = 3 añosA = 2.000 €n = 2 añosd = 3 añosi = 0,09

B)A = 700 €

n = 8 añosi = 0,09

C)E = 4.000 €A = 100 €n = 3 añosd = 2 añosCn = 400n = 0,08 añosi = 0,09

A)C0 = 3.000 / (1,09) 3

C0 = 2.316,55d/Vo = 2.000 x A2:0,09 x

3)09,1(

1

d/Vo = 2.000 x 1,759111 x 0,772183d/V0 = 2.716,71 €

2.316,55 + 2.716,71 = 5.033,26 €

B)

V’o = A x A n:i x (1+i)

V’o = 700 x A 8:0,09 x (1,09)V’0 = 700 x 5,534819 x 1,09V’0 = 4.223,07 €

C)E = 4.000 €

d/Vo = A x An:i xd

i)1(

1

+

d/Vo = 100 x A3:0,09 x2)09,1(

1

d/V0 = 100 x 2,531295 x 0,84168d/Vo = 213,05 €

C0 = 400 / (1,09)

8

C0 = 200,75 €4.000 + 213,05 + 200,75 =

4.413,80 €EJERCICIO 41i2 = 0,035n = 8 añosA = 8.000 €

(1+i) = (1+i2)

(1+i) = (1,035)2

i = 0,071225Vn = 8.000 x S8:0,071225

Vn = 8.000 x 10,305174Vn = 82.441,39 €

EJERCICIO 42i2 = 0,035n = 8 añosA = 8.000 €

V’n = 8.000 x S8:0,071225 x (1,071225)V’n = 8.000 x 10,305174 x 1,071225

V’n = 88.313,28 €EJERCICIO 43i2 = 0,035n = 8 añosA = 8.000 €h= 3 años

h/Vn = 8.000 x S8:0,071225 x (1,071225)h/Vn = 8.000 x 10,305174 x 1,229255

h/Vn = 101.341,49 €




EJERCICIO 44A)n = 12 añosA = 6.800 €i = 0,07

B)

A = 1.000 €

A)V’o = A x A n:i x (1+i)

V’o = 6.800 x A 12:0,07 x (1,07)V’0 = 6.800 x 7,942686 x 1,09

V’0 = 57.790,98 €B)

P´0 = (A/i) x (1+i)P’0 = (1.000/0,07) x (1,07)

P’0 = 15.285,71 €EJERCICIO 45i =0,06V0 = 8.800 €n = 12 años

Vo = A x A n:i 8.800 = A x A 12:0,06

8.800 = A x 8,383844A = 1.049,64 €

EJERCICIO 46i = 0,06n = 11 añosd = 1 añod/Vo = 8.800 €


8.800 = 240 x A 11:0,06 x)06,1(

1

8.800 = A x 7,886875 x06,11

8.800 = A x 7,440448d/Vo = 1.182,72 €

EJERCICIO 47i = 0,07n = 10 añosA = 10.000V o = X

V o = A x A n : i

V o = 10.000 x A 10 : 0,07 V 0 = 10.000 x 7,023581541

V 0 = 70.235,82 €EJERCICIO 48N = 10 añosV o = 100.000 €I = 0,06A = X

V o = A x A n : i

100.000 = A x 7,360087051A = 13.586,80 €

EJERCICIO 49A)V o = 50.000B)E = 100.000A = 40.000 €n = 20 añosi = 0,06V o = XC)A = 40.000 €n = 30 añosi = 0,06V’ o = X

A)V 0 = 50.000 €

B)V 0 = 100.000 + (40.000 x A 20 :0,06)

V o = 100.000 + (40.000 x 11,46992122)V0 = 558.796,85 €

C)V’o = 40.000 x A 30 : 0,06 x 1,06

V’ o = 40.000 x 13,76483115 x 1,06V’ O = 583.628,84 €

EJERCICIO 50- Primera renta A = 5.000 €n = 12 añosVo = X- Segunda renta A = Xn = 20 añosi = 0,07d = 12 añosd/Vo = X

V o = A x A n : i V 0 = 5.000 x A 12 : 0,07

V 0 = 5.000 x 7,942686297V o = 39.713.43 €

D / V o = A x A 20: 0,07 x12)07,1(

1

d / V o = A x 10,59401425 x252191589,2

1

d / V o = A x 4,703869023

39.713,43 = A x 4,703869023A = 8.442,72 €




EJERCICIO 51A = 10.000 €

V o = 98.181,47 €

V ‘ o = 106.035,99 €

V o = A x A n: i

V’ o = A x A n : i x ( 1+I )

V’o = Vo x ( 1+ i )

106.035,99 = 98.181,47 x ( 1 + i )

i+=147,181.98

99,035.106

1,08 = 1 + i

i = 0,08

V o = A x A n : i

98.181,47 = 10.000 x A n : 0,08

08,0

))08,1(1(818147,9

n−−

=

0,78545176 = 1 – (1,08) – n

- 0,21454824 = – (1,08) – n log 0,21454824 = - n x log 1,08

- 0,668475043 = - n x 0,033423755n= 20 años

EJERCICIO 52V 0 = 230.000 €E = 80.000 €n = 6 AÑOSi = 0,10A = X

230.000 = 80.000 + ( A x A 6 : 0,10)150.000 = A x 4,355260699

A = 34.441,11 €

EJERCICIO 53V 0 = xE = 50.000 €N = 20 añosA = 30.000 €i = 0,06

V 0 = 50.000 + (30.000 x A 20 : 0,06)V o = 50.000 + ( 30.000 x 11,46992122)

V 0 = 394.097,64 €

EJERCICIO 54A = 6.000 €P O = 106.000 €i = X

106.000 =i

000.6

i = 6.000 / 106.000i = 0,056603773 anual

EJERCICIO 55- Primera renta

A = 35.000n = 11 añosi = 0,06 anualV 0 = X- Segunda rentaA = XI = 0,06n = 20 añosd = 11 añosd/ Vo = X

V o = A x A n : i

V 0 = 35.000 x A 11 : 0,06V 0 = 35.000 x 7,886874577

V o = 276.040,61 €

D / V o = A x A 20: 0,06 x11)06,1(

1

d / V o = A x 11,46992122 x898298558,1

1

d / V o = A x 6,042211416

276.040,61 = A x 6,042211416

A = 45.685,36 €




EJERCICIO 56N = 10 añosA = 10.000 €i = 0,05 anuald = 5 años

d/Vo = X

V o = A x A n : i V 0 = 5.000 x A 12 : 0,07

V 0 = 5.000 x 7,942686297

D / V o = A x A 10: 0,05 x5

)05,1(

1

d / V o = 10.000 x 7,721734929 x276281562,1

1

d / V o = 10.000 x 6,05018137

d /V O = 60.501,81 €

EJERCICIO 57n = 5 añosA = 7.000 €i = 0,04

h/V 9 = X

h / V 9 = A x S 5 : 0,04 x (1 + i )

h / V 9 = 7.000 x 5,41632256 x (1,04) 4

h / V 9 = 7.000 x 5,41632256 x 1,16985856

h / V 9 = 44.354,32 €EJERCICIO 58V o = 21.200 €n = 15 añosd = 2 añosi = 0,06

d / V o = A x A n : i xd i)1(

1

+

21.200 = A x A 15:0,06 x2)06,1(

1

21.200 = A x 9,712248988 x

1236,1

1

21.200 = A x 8,643867024

A = 2.452,61 €

EJERCICIO 59A) PospagableA = 3.500 €D = 5 añosi = 0,05n = 10 años

d / V o = A x A n : i xd i)1(

1

+

d / V o = 3.500 x A 10:0,05 x5)05,1(

1

d / V o = 3.500 x 7,721734929 x276281562,1

1

d / V o = 21.175,63 €

d/P’ o =05,0

500.3 x (1,05) x5)05,1(

1

d/P’ o = 73.500 x276281562,1

1

d/P’o = 57.589,17 €

EJERCICIO 60A = 1.500 €i = 0,05

n = 10d = 2 años

d / V o = 1.500 x A 10:0,05 x2)05,1(

1

d / V o = 1.500 x 7,721734929 x1025,1

1

d/Vo = 10.505,76 €




EJERCICIO 61Vo = 14.752 €A = 3.000 €i = 0,06

V o = A x A n : i14.752 = 3.000 x A n : 0,06

4,9173333 = A n : 0,06

4,9173333 =

06,0

)06,1(1n−

−

0,29504 = 1 – (1,06) – n - 0,70496 = - (1,06 ) – n

Log 0,70496 = - n x log 1,06- 0,151835524 = - n x 0,025305865

n = 6 añosEJERCICIO 62n = 6 añosA = 2.500 €V0 = 12.293,31 €

V 0 = A x A n : i

12.293,31 = 2.500 x A 6 : i 4,917324 = A 6 : i

Buscando el valor en la tabla corresponde a una i del 6 %EJERCICIO 63n = 8 añosi = 0,06 anual

V n = 15.000 €A = X

V n = A x S n : i 15.000 = A x S 8 : 0,06

15.000 = A x 9,897467909A = 1.515,54 €EJERCICIO 64A )E = 300.000 €B)Cn = 375.000 €n = 5 añosC)A = 32.000 €n = 15 añosprepagablei = 0,06 anual

A)V 0 = 300.000 €

B)Cn = Co x (1+i) n

375.000 = C0 (1,06) 5

375.000 = Co x 1,338225578C o = 280.221,81 €

C)V 0 = A x A n: i x ( 1+i )

V 0 = 32.000 x A 15 : 0,06 x (1,06)V o = 32.000 x 9,712248988 x 1,06

V 0 = 329.439,49 €EJERCICIO 65A = 15.000 €4 años al 0,086 años siguientes al0,10

Primera renta: V n = A x S n : i1 x (1+i2)V n = 15.000 x S 4 : 0,08 x (1,10) 6

V n = 15.000 x 4,506112 x 1,771561V n = 119.742,78 €

Segunda renta: Vn = A x S n : i2 V n = 15.000 x S 6 : 0,10 V n = 15.000 x 7,71561

V n = 115.734,15 €Valor final: 119.742,78 + 115.734,15 €

Valor final: 235.476,93 €EJERCICIO 66E = 40.000 €A = 10.000 €7 años al 0,048 años al 0,05

E = 40.000 €Primera renta: A x A n : i1 V 0 = 10.000 x A 7 : 0,04

V 0 = 10.000 x 6,00205467V 0 = 60.020,55 €

Segunda renta: A x A n : i2 xd

i )1(

1

1+

Segunda renta: 10.000 x A 8 : 0,05 x7

)04,1(

1

V o = 10.000 x 6,463212759 x315931779,1

1

V0 = 49.115,11 €Valor piso = 40.000 + 60.020,55 + 49.115,11V 0 = 149.135,66 €




EJERCICIO 67n = 30 añosV n = 65.000 €i = 0,045 anualA = X

V’ n = A x S n : i x (1 + i )65.000 = A x S 30 : 0,045 x (1,045)

65.000 = A x 61,00706966 x 1,04565.000 = A x 63,75238779

A = 1.019,57 €EJERCICIO 68Renta a percibirn = 40 añosPrepagablei = 0,045A = 15.000 €

V’ o = A x A n : i x (1 + i )V’ 0 = 15.000 x A 40 : 0,045 x (1,045)

V’ o = 15.000 x 18,40158442 x 1,045V’ o = 288.444,84 €

288.444,84 = A x S 30 : 0,045 x (1,045)288.444,84 = A x 63.75238779

A = 4.524,46 €EJERCICIO 69P o = 35.000 €A = 3.500 €

Po =i

a

35.000 =i

500.3

i = 0,10 anualEJERCICIO 70A = 24 €n = 6 añosi = 0,07

A)V o = A x A n:i

V o = 24 x A 6 : 0,07 V o = 24 x 4,76653966

V o = 114,40 €

B)V n = A x S n : i

V n = 24 x S 6 : 0,07 V n = 24 x 7,153290741

S n = 171,68 €




TEMA 6: RENTAS VARIABLES

EJERCICIO 1n = 4 añosA = 4.000 €A = 4.000 €A = 5.000 €A 5.000 €i = 0,04 anual

Vo = 4.0001

+ 4.0001

+ 5.0001

+ 5.0001

(1,04)1

(1,04)2

(1,04)3

(1,04)4

Vo = 3.846,15 + 3.698,22 + 4.444,98 + 4.274,02Vo = 16.263,37 €

Vn = 4.000 (1,04)3

+ 4.000 (1,04)2

+ 4.000 (1,04) + 4.000Vn = 4.499,46 + 4.326,40 + 5.200 + 5.000

Vn = 19.025,86 €EJERCICIO 2A = 4.000 €A = 4.200 €A = 4.500 €A = 5.300 €i= 0,04 anual

Vo = 4.0001

+ 4.2001

+ 4.5001

+ 5.3001

(1,04)1

(1,04)2

(1,04)3

(1,04)4

Vo = 3.846,15 + 3.883,14 + 4.000,48 + 4.530,46Vo = 16.260,23 €

Vn = 4.000 (1,04)3

+ 4.200 (1,04)2

+ 4.500 (1,04) + 5.300Vn = 4.499,46 + 4.542,72 +4.680 + 5.300

Vn = 19.022,18 €

EJERCICIO 3N = 8A = 6.000 €q = 1,05i = 0,06 anual

Vo (p.g.) = a1 x1 – q

nx V

n

1+ i - q

Vo (p.g.) = 6.000 x1 – 1,05

x V

1+ 0,06 – 1,05

Vo (p.g.) = 6.000 x1 – 1,477455 x 0,627412

0,01Vo (p.g.) = 43.816,20 €

EJERCICIO 4 n = 5 añosA = 12.500 €

q = 1,04i = 0,05 anual

Vo (p.g.) = a1 x1 – q

nx V

n

1+ i - q

Vo (p.g.) = 12.500 x 1 – 1,04 x V1+ 0,05 – 1,04

Vo (p.g.) = 12.500 x1 – 1,216653 x 0,783526

0,01Vo (p.g.) = 58.400,93 €

EJERCICIO 5Vo (p.g.) = 1.470.948,25A = 50.000 €q = 1,188i = 0,08 anualn = X

Vo (p.g.) = a1 x1 – q

nx V

n

1+ i - q

1.470.948,25 = 50.000 x1 – 1,188

nx V

n

1+ 0,08 – 1,188

1.470.948,25 = 50.000 x1 – (1,188)

nx (1,08)

-n

- 0,108

1.470.948,25 x (-0,108) = 50.000 x (1-n

n

)08,1(

)188,1( )

- 158.862,411 = 50.000 x (1-n

n

)08,1(

)188,1( )

000.50

411,862.158− = (1-n

n

)08,1(

)188,1( )

- 3,177248 – 1 = -n

n

)08,1(

)188,1(

- 4,177248 = -n

n

)08,1(

)188,1(

log 4,177248 = n x log 1,188 – n x log 1,080,620890 = n x 0,074816 – n x 0,0334234

0,620890 = n (0,074816 – 0,033423)0,620890 = n x 0,041393

n = 15 años




EJERCICIO 6Po’(p.g.) = X

A = 5.558 €q = 1,04i = 0,06

Po (p.g.) = a1 x1

x (1+i)1 + i - q

Po (p.g.) = 5.558 x1 x

(1,06)1 + 0,06 – 1,04

Po (p.g.) = 5.558 x1

x (1,06)0,02

Po (p.g.) = 294.574 €EJERCICIO 7i = 0,05 anualn = 6 términosq = 1,05Vn (p.g.) = 25.000 €

q = (1+i)

Vn (p.g.) = a1 x n x (1+i)

n-1

25.000 = A1 x 6 x (1,05)5

25.000 = A1 x 6 x 1,27628225.000 = A1 x 7,657692

A1 = 3.264,69 €EJERCICIO 8Vo (p.g.) = 200.000 €n = 6 términosq = 1,03i = 0,05A = X

200.000 = a1 x1 – (1,03) x V

1,05 – 1,03

200.000 = A1

1 – (1,03) 6

)05,1(

1,05 - 1,03

200.000 = A1 x1 – (1,194052 x 0,746215)

0,02

200.000 = A1 x0,108980

0,02200.000 = A1 x 5,449

A1 = 36.703,98 €EJERCICIO 9Opción AA1 = 1.000 €i = 0,07n = 11 términosq = 1,02

Opción BA1 = 2.000 €n = 13q = 1,05i = 0,95

OPCI N A

V’o (p.g.) = 1.000 x1 – (1,02) x V

x (1,07)1,07 – 1,02

V’o (p.g.) = 1.000 x 1 –1,243374 x 0,475093 x 1,070,05

V’o (p.g.) = 1.000 x1 –0,590718

x 1,070,05

V’o (p.g.) = 8.758,63 €OPCIÓN B

V’o (p.g.) = 2.000 x1 – (0,95) x V

x (1,07)1,07 – 0,95

V’o (p.g.) = 2.000 x1 –0,513342 x 0,414964

x 1,070,12

V’o (p.g.) = 2.000 x1 –0,213018

x 1,070,12

V’o (p.g.) = 14.034,51 €

EJERCICIO 10q = 1,08A1 = 500i = 0,08 anualn = 7 años

Si q = 1+iV’n (p.g.) = a1 x n

x (1+i)

n-1x (1+i)

V’ n (p.g.) = 500 x 7 x (1,08)7

V’ n (p.g.) = 5.998,38 €EJERCICIO 11d/Vo = Xn = 10A1 = 6.000 €q = 1,02i = 0,05d= 3

Vo (p.g.) = 6.000 x1 – (1,02) x V

x1

1,05 – 1,02 (1,05)

Vo (p.g.) = 6.000 x1 – (1,218994 x 0,613913)

X 0,8638380,03

Vo (p.g.) = 6.000 x1 – 0,748356

x 0,8638380,03

d/Vo (p.g.) = 43.475,93 €




EJERCICIO 12n = 8 términosA1 = 8.000 €q = 1,03i = 0,045d = 3 años

d/V’o (p.g.) = 8.000 x1 – (1,03) x V

x (1,045) x (1,045)- 3

1,045 – 1,03

d/V’o (p.g.) = 8.000 x1 – 1,266770 x 0,703185

x 0,915730,015

d/V’o (p.g.) = 8.000 x 1 –0,8907737 x 0,915730,015

V’o (p.g.) = 53.344,96 €

EJERCICIO 13n = 10 términosA1 = 4.000 €q = 1,04i = 0,05h = 2 años

h/Vn (p.g.) = a1 x(1+i)

n– q

n

X (1+i )h

1+ i - q

h/Vn (p.g.) = 4.000 x(1,05) – (1,04)

X (1,05)2

1,05 – 1,04

h/Vn (p.g.) = 4.000 x1,628895– 1,480244

X 1,10250,01

h/Vn (p.g.) = 4.000 x 14,865034 X 1,1025h/Vn (p.g.) = 65.554,80 €

EJERCICIO 14h/V’n (p.g.) = 65.554,80 x 1,05

h/V’n (p.g.) = 68.832,54 €EJERCICIO 15n = 6 añosA = 6.250 €q = 30 €i = 0,04 anual

vo (p.a.) = a1 x A n,i +q


i

vo (p.a.) = 6.250 x A 6:0,04 +30

x (A 6:0,04 – 6 x V6)

0,04Vo (p.a.) = 6.250 x 5,242137 + 750 x (5,242137 – 6 x 0,790315)

V0 (p.a.) = 32.763,36 + 750 x 0,500247Vo (p.a.) = 33.138,55 €

EJERCICIO 16n = 12 añosA = 2.750 €q = 40 €i = 0,065 anual

vn (p.a.) = a1 x S n,i +q

x (S n,i – n)i

Vn (p.a.) = 2.750 x S12:0,065 +065,0

40 x (S12:0,065 – 12)

Vn (p.a.) = 2.750 x 17,370711 + 615,384615 x (17,370711 – 12)Vn (p.a.) = 47.769,46 + 3.305,05

Vn (p.a.) = 51.074,51 €EJERCICIO 17n = 15 añosA = 1.000 €q = 4 €i = 0,05 anual



i

vo (p.a.) = 1.000 x A 15:0,05 +

4

x (A 15:0,05 – 15 x V

15

)0,05Vo (p.a.) = 1.000 x 10,379658 + 80 x (10,379658 – 15 x 0,481017

V0 (p.a.) = 10.379,66 + 80 x 3,164403Vo (p.a.) = 10.632,81 €

EJERCICIO 18n = 8 añosA = 1.666 €q = 111 €i = 0,04 anual

vn (p.a.) = a1 x S n,i +q

x (S n,i – n)i

Vn (p.a.) = 1.666 x S8:0,04 +04,0

111 x (S8:0,04 – 8)

Vn (p.a.) = 1.666 x 9,214226 + 2.775 x (9,214226 – 8)Vn (p.a.) = 15.350,90 + 3.369,48

Vn (p.a.) = 18.720,38 €EJERCICIO 19n = 7 añosA = 5.000 €q = 125 €i = 0,10 anual

- VALOR ACTUAL:



i




vo (p.a.) = 5.000 x A 7:0,10 +125

x (A 7:0,10 – 7 x V7)

0,10Vo (p.a.) = 5.000 x 4,868419 + 1.250 x (4,868419 – 7 x 0,513158)

V0 (p.a.) = 24.342,10 + 1.250 x 1,276313Vo (p.a.) = 25.937,49 €

- VALOR FINAL:vn (p.a.) = a1 x S n,i +

qx (S n,i – n)

iVn (p.a.) = 5.000 x S7:0,10 +

10,0

125 x (S7:0,10 – 7)

Vn (p.a.) = 5.000 x 9,487171 + 1.250 x (9,487171 – 7)Vn (p.a.) = 47.435,86 + 3.108,96

Vn (p.a.) = 50.544,82 €

EJERCICIO 20Vo (p.a.) = 12.947,70 €n = 10 añosq = 324 €

i = 0,05 anual



i

12.947,70 = A x A 10:0,05 +324

x (A 10:0,05 – 10 x V10

)0,05

12.947,70 = A x 7,721735 + 6.480 x (7,721735 – 10 x 0,613913)12.947,70 = A x 7,721735 + 6.480 x 1,582605

12.947,70 = A x 7,721735 + 10.255,282.692,42 = A x 7,721735

A = 348,68 €EJERCICIO 21n = 15 añosi = 0,07 anualVo’ (p.a.) = 686.250 €q = 3.000 €

V’o (p.a.) = (a1 x A n,i +q

x (A n,i – n x Vn)) x (1+i)

i

686.250 = (A x A 15:0,07 +3.000

x (A 15:0,07 – 15 x V15

)) x (1,07)

0,07641.355,14 = A x 9,107914 + 42.857,14286 x (9,107914 – 15 x 0,362446 )641.355,14 = A x 9,107914 + 42.857,14286 x 3,671224

641.355,14 = A x 9,107914 + 157.338,17484.016,97 = A x 9,107914

A = 53.142,46 €EJERCICIO 22n = 18 añosA1 = 4.000 €q = 40i = 0,01 anual

VALOR INICIAL

Vo (p.a.) = (a1 x A n,i +q


i

Vo (p.a.) = (4.000 x A 18:0,01 +40

x (A 18:0,01 – 18 x V18

)0,01

Vo (p.a.) = 4.000 x 16,398269 + 4.000 x (16,398269 – 18 x 0,836017 )Vo (p.a.) = 65.593,08 + 4.000 x 1,349963Vo (p.a.) = 65.593,08 + 5.399,85

Vo (p.a.) = 70.992,93 €VALOR FINAL

Vn (p.a.) = (a1 x S n,i +q

x (S n,i – n)i

Vn (p.a.) = (4.000 x S 18:0,01 +40

x (S 18:0,01 – 18)0,01

Vn (p.a.) = 4.000 x 19,614748 + 4.000 x (19,614748 – 18)Vn (p.a.) = 78.458,99+ 6.458,99

Vn (p.a.) = 84.917,98 €




EJERCICIO 23n = 12 términosA1 = 200 €q= 1,05i = 0,04

VALOR ACTUAL

Vo (p.g.) = a1 x1 – q

nx V

n

1+ i - q

Vo (p.g.) = 200 x1 – 1,05

1x V

1

1+ 0,04 – 1,05

Vo (p.g.) = 200 x1 –1,795856 x 0,624597

- 0,01

Vo (p.g.) =-0,121686

- 0,01Vo (p.g.) = 2.433,73 €

VALOR FINAL

Vn (p.g.) = a1 x(1+i)

n– q

n

1+ i - q

Vn (p.g.) = 200 x(1,04) – (1,05)

1,04 – 1,05

Vn (p.g.) = 200 x1,601032 – 1,795856

0,01

Vn (p.g.) = 3.896,48 €

EJERCICIO 24n = 12 términosA1 = 200 €q= 1,05i = 0,05

VALOR INICIALVo (p.g.) = a1 x n x V

1

Vo (p.g.) = 200 x 12 x V1

Vo (p.g.) = 2.285,71 €

VALOR FINALVn (p.g.) = a1 x n

x (1+i)

n-1

Vn (p.g.) = 200 x 12 x (1,05)

11

Vn (p.g.) = 4.104,81 €EJERCICIO 25

n = 18 términosA1 = 2.000q = 1,04i = 0,07

VALOR ACTUALV’o (p.g.) = a1 x

1 – qn

x Vn

x (1+i)1+ i - q

V’o (p.g.) = 2.000 x1 – 1,04

1x V

1

X (1,07)1+ 0,07 – 1,04

V’o (p.g.) = 2.000 x1 – 2,025817 x 0,295864

X (1,07)0,03

V’o (p.g.) = 2.000x1 – 0,599366

X 1,070,03

V’o (p.g.) = 28.578,56 €VALOR FINAL

V’n (p.g.) = 2.000 x(1,07) – (1,04)

X (1,07)1,07 – 1,04

V’n (p.g.) = 2.000 x 3,379932

– 2,025817 X (1,07)1,07 – 1,04

V’n (p.g.) = 2.000 x1,354115

X (1,07)0,03

V’n (p.g.) = 96.593,54 €

EJERCICIO 26n = 18 términosA1 = 2.000q = 1,07i = 0,07

VALOR INICIALV’o (p.g.) = a1 x n x V

1x (1+i)

Vo (p.g.) = 2.000 x 18Vo (p.g.) = 36.000 €

VALOR FINAL

Vn (p.g.) = a1 x n

x (1+i)

n-1

x (1+i)

Vn (p.g.) = 2.000 x 18 x (1,07)

18

Vn (p.g.) = 121.677,56 €




EJERCICIO 27A1 = 1.200q = 1,1i = 0,12

Po (p.g.) = a1 x1

1 + i - q

Po (p.g.) = 1.200 x1

1,12 – 1,1

P0 (p.g.) = 1.200 x 10,02

Po (p.g.) = 60.000 €EJERCICIO 28

No tendría valor actual, pues sería una serie divergente i q +> 1

EJERCICIO 29A1 = 8.000€q = 1,02i = 0,03

P’o (p.g.) = a1 x1

X (1+i)1 + i - q

P’o (p.g.) = 8.000 x1

X (1,03)1,03 – 1,02

P’0 (p.g.) = 8.000 x1

X 1,030,01

P’o (p.g.) = 824.000 €EJERCICIO 30n = 10A1 = 6.000q = 1,05i = 0,08d= 3 años

d/Vo (p.g.) = a1 x1 – q

nx V

n

x1

1+ i - q (1+i)

d/Vo (p.g.) = 6.000 x1 – 1,05

1x V

1

x1

1+ 0,08 – 1,05 (1,08)

d/Vo (p.g.) = 6.000 x1 – 1,628895 x 0,463193

X 0,7938320,03

V’o (p.g.) = 6.000x1 – 0,754493

X 0,7938320,03

d/Vo (p.g.) = 38.978,26 €

EJERCICIO 31A1 =15.000n = 10q = 1,04i = 0,05d = 4 años

d/V’o (p.g.) = a1 x1 – q

nx V

n

x (1+i) x1

1+ i - q (1+i)

d/V’o (p.g.) = 15.000 x1 – 1,04

x V

x (1,05) x1

1+ 0,05 – 1,04 (1,05)

d/’o (p.g.) = 15.000 x1 – 1,480244 x 0,613913

X 0,8638380,01

d/V’o (p.g.) = 15.000x1 – 0,908741

X 0,8638380,01

d/V’o (p.g.) = 118.249,48 €

EJERCICIO 32n = 10A1 = 2.000€q = 1,05h = 3 añosi = 0,07

h / Vn (p.g.) = A 1 x (1+i)

n

x q

n

x (1+i) h 1+i - q

h/Vn (p.g.) = 2.000 x(1,07) – (1,05)

X (1,07)3

1,07 – 1,05

h/Vn (p.g.) = 2.000 x1,967151

– 1,628895

X 1,2250431,07 – 1,05

h/Vn (p.g.) = 2.000 x0,338256

X 1,2250430,02

V’n (p.g.) = 41.437,81 €

EJERCICIO 33A1 = 5.500€i = 0,085q = 0,975

P’o (p.g.) = a1 x1

x (1+i)1 + i - q

P’o (p.g.) = 5.500 x 1 x (1,085)1,085 – 0,975

P’0 (p.g.) = 5.500 x1

x 1,0850,11

P’o (p.g.) = 54.250 €




EJERCICIO 34Po =70.000A1 = 6.000€q = 1,02

Po (p.g.) = a1 x1

1 + i - q

70.000 = 6.000 x1

1+i – 1,02

70.000 = 16.000 1+i – 1,02

11,666667 (1 + i - 1,02) = 111,666667 + 11,666667 i – 11,666667 x 1,02 = 1

11,666667 + 11,666667 x i – 11,90 = 111,666667 x i = 1 – 11,666667 + 11,90

11,666667 x i = 1,233333i = 0,105714

EJERCICIO 35q = 1,025i = 0,04V’n =

25.000n = 6 años

25.000 = A1 x(1,04) – (1,025)

X (1,04)1,04 – 1,025

25.000 = A1 x 1,265319

– 1,159693 X (1,04)1,04 – 1,025

25.000 = A1 x0,105626

X (1,04)0,015

25.000 = A1 x 7,32340267A1 = 3.413,73 €

EJERCICIO 36A1 = 250 €q = 2,25i= 0,045 Po (p.a.) =

1x (a1 +

q)

i i

Po (p.a.) = 1 x (250 + 2,25 )0,045 0,045

Po (p.a.) = 6.666,67 €

EJERCICIO 37n = 10A1 = 4.000q = 200i = 0,06h = 4 años

h/Vn (p.a.) = (a1 x S n,i +q

x (S n,i – n) ) x (1+i)h

i

h/Vn (p.a.) = (4.000 x S 10:0,06 +200

x (S 10:0,06 – 10)) x (1,06)4

0,06h/Vn (p.a.) = (4.000 x 13,180795 + 3.333,33 x (13,180795 – 10)) x 1,262477

h/Vn (p.a.) = (52.723,18 + 10.602,64) (1,262477)

h/Vn (p.a.) = 79.947,39 €

EJERCICIO 38n = 54A1 = 450q = 25i = 0,08

VALOR INICIAL

V’o (p.a.) = (a1 x A n,i +q

x (A n,i – n x Vn) (1+i)

i

V’o (p.a.) = (450 x A 54:0,08 +25

x (A 54:0,08 – 54 x V54

) x (1,08)0,08

V’o (p.a.) = (450 x 12,304103) + (312,50 x (12,304103 – 54 x 0,015672)) x (1,08))

V’o (p.a.) = 5.536,85 + (312,50 x (12,304103 – 0,846288)) x (1,08))V’o (p.a.) = (5.536,85 + 3.580,57 ) x 1,08

V’o (p.a.) = 9.846,81 €




VALOR FINAL:

V’n (p.a.) = (a1 x S n,i +q

x (S n,i – n) ) x (1+i)i

V’n (p.a.) = (450 x S 54:0,08 +25

x (S 54:0,08 – 54)) x (1,08)

0,08V’n (p.a.) = (450 X 785,114075 + 312,50 x (785,114075 – 54)) x 1,08V’n (p.a.) = (353.301,33 + 228.473,15) (1,08)

V’n (p.a.) = 628.316,44 €

EJERCICIO 39n = 8 términosA1 = 15.000 €q = 200 €i = 0,025d = 3 años

d/Vo (p.a.) = (a1 x A n,i +q

x (A n,i – n x Vn) x

1i (1+i)

d/Vo (p.a.) = ((15.000 x A 8:0,025 +200

x (A 8:0,025 – 8 x V8)) x

10,025 (1,025)

d/Vo (p.a.) = ((15.000 x 7,170137 +200

x (7,170137 – 8 x 0,820747)) x 0,9285990,025

d/Vo (p.a.) = (107.552,06 +200

x 0,604161) x 0,9285990,025

d/Vo (p.g.) = (107.552,06 + 4.833,29) x 0,928599d/Vo (p.g.) = 104.360,92 €

EJERCICIO 40A1 = 2.000 €q = 54 €i = 0,03 P’o (p.a.) =

1x (a1 +

q) x (1+i)

i i

P’o (p.a.) =1

x (2.000 +54

) x (1,03)0,03 0,03

P’o (p.a.) = (33,333333 x 3.800) x 1,03

P’o (p.a.) = 130.466,67 €

EJERCICIO 41A1 = 1.500q = 25 €i = 0,055d = 2 años

d/P’o (p.a.) = (1

x (a1 +q

) )x (1+i)1

i i (1+i)

d/P’o (p.a.) =1

x (1.500 +25

) x (1,055)1

0,055 0,055 (1,055)

d/P’o (p.a.) = (18,181818 x 1.954,55) x 0,947867

d/ P’o (p.a.) = 33.684,61 €

EJERCICIO 42n = 24A1 = 10.000 €q = 200i = 0,04d = 4

d/V’o (p.a.) = (a1 x A n,i +q

x (A n,i – n x Vn) x (1+i)

1i (1+i)

d/V’o (p.a.) = ((10.000 x A 24:0,04 +200

x (A 24:0,04 – 24 x V24

)) x (1,04) x1

0,04 (1,04)

d/Vo (p.a.) = ((10.000 x15,246963 +

200x (15,246963 – 24 x 0,390121)) x 0,888996

0,04

d/Vo (p.a.) = (152.469,63 +200

x 5,884059) x 0,8889960,04

d/Vo (p.g.) = (152.469,63 + 29.420,30) x 0,888996d/Vo (p.g.) = 161.699,42 €




EJERCICIO 43A1 = 8.000 €q = 80i= 0,025d = 4 años

d/P’o (p.a.) = (1

x (a1 +Q

) )x (1+i)1

i I (1+i)

d/P’o (p.a.) =1

x (8.000 +80

) x (1,025)1

0,025 0,025 (1,025)

d/P’o (p.a.) = 40 x 11.200 x 0,928599d/ P’o (p.a.) = 416.012,35 €

EJERCICIO 44n = 12A1 = 200q = 0,10i = 0,018h = 2 años

h/V’n (p.a.) = (a1 x S n,i +q

x (S n,i – n) ) x (1+i) x (1+i)h

i

h/V’n (p.a.) = (200 x S 12:0,018 +0,1

x (S 12:0,018 – 12)) x (1,018) x (1,018)2

0,018V’n (p.a.) = (200 X 13,262252 + 5,555556 (13,262252 – 12)) x 1,054978

V’n (p.a.) = (2.652,45 + 7,012512) x 1,054978V’n (p.a.) = 2.805,67 €

EJERCICIO 45A = 24 €n = 6 añosi = 0,07 anual

V0 = 24 x A 6:0,07

V0 = 114,40 €Vn = 24 x S 6:0,07

Vn = 171,68 €EJERCICIO 46n = 12 añosi = 0,08 anualV0 = 900 €

V0 = 1.687 x A 8:0,10 Vo = 9.000,02 €

EJERCICIO 47n = 10 añosA = 60 €i = 0,06 anual

APARTADO A900 = A X A12:0,08 X (1,08)

A = 110,58 €APARTADO B900 = A X A12:0,08

A = 119,43 €

EJERCICIO 48Vn = 60 x S 10: 0,06

Vn = 790,85 €EJERCICIO 49d = 6d/V’o = Xi = 0,07 anualn = 10 años

1.719,78 = A x A 10 : 0,07 x (1,07) x1

(1,07)

A = 343,43 €


APARTADO AV0 = 180 X A 15:0,07

Vo = 1.639,42 €Vn = 180 X S 15:0,07

Vn = 4.523,22 €APARTADO B

d/V’0 = 180 X A 15:0,07 x (1,07) x1

(1,07)

Vo = 1.168,89 €d/V’0 = 180 X S 15:0,07 x (1,07)

Vn = 4.839,85 €

APARTADO 51n = 6 añosA = 420 €i = 0,07 anual

Vo = 420 x A 6:0,07 V0 = 2.001,95 €




APARTADO 52n = infinitosA = 240 €i = 0,06 anual

APARTADO A

Po =2400,06

Po = 4.000 €APARTADO B

P’o = 240 X 1,060,06

P’o = 4.240 €APARTADO C

d/Po =240

x1

0,06 (1,06)

d/Po = 3.559,99 €

APARTADO D

d/Po =240

X (1,06) X1

0,06 (1,06)d/P’o = 3.773,58 €

EJERCICIO 53A = 9.000 €d = 2 añosi = 0,07 anual d/Po =

9.000x

10,07 (1,07)

d/Po = 104.952,58 €EJERCICIO 54V o = 2.000 €E = 300 €i = 0,075anualn = 2 años

2.000 = 300 + ( A x A 2:0,075)A = 946,78 €

EJERCICIO 55

A = 600 €n = 12 añosi = 0,07 anual

V n = 600 x S 12:0,07 V n = 11.054,24 €

EJERCICIO 56Vo = 5.000 €n = 6 añosi = 0,12 anual

5.000 = A x A 6:0,12 A = 1.216,13 €

EJERCICIO 57n = 8 añosVn = 8.000 €i = 0,10 anual

8.000 = A x S 8:0,10 V n = 699,55 €

EJERCICIO 58Cn = 10.000 €n = 15 años

i = 0,08 anual

APARTADO A10.000 = Co (1,08)

15

Co = 3.152,42 €APARTADO B

10.000 = A x S 15 : 0,08 A = 368,30 €


V’0 = 100 x A 5 : 0,10 x 1,10V’o = 416,99 €

EJERCICIO 60 V’0 = 12.000 €n = 12 añosi = 0,12

12.000 = A x A 12 : 0,12 x 1,12A = 1.729,68 €

EJERCICIO 61

A1 = 6.000 €n = 10términosq= 1,05i = 0,08 anual

d/Vo (p.g.) = 6.000 x 1 – 1,05 1 x V 1 X 11+ 0,08 – 1,05 (1,08)

d/Vo (p.g.) = 38.978,21




d = 3 años

EJERCICIO 62A1 = 15.000 €n = 10términosq= 1,04i = 0,05 anual

d = 4 años

d/V’o (p.g.) = 15.000 x1 – 1,04

1x V

1

X (1,04) x1

1+ 0,05 – 1,04 (1,05)

d/V’o (p.g.) = 118.248,68 €

EJERCICIO 63A1 = 250 €q = 2,25i = 0,045anual

Po (p.a.) =1

x (250 +2,25

)0,045 0,045

P o (p.a.) = 6.666,67 €

EJERCICIO 64 n = 10 añosA = 4.000 €q = 200 €i = 0,06 anualh = 4

h/vn (p.a.) = (4.000 x S 10 : 0,06 +200

x (S 10 : 0,06 – 10)) x (1,06)4

0,06h/Vn = 79.947,40 €




TEMA 7: RENTAS FRACCIONADAS

EJERCICIO 1i12 = 0,015 mensualA = 100 € mensualn = 48

Vo (k) =A x A n:ik

Vo (k) = 100 x A 48:0,015 V

o(k) = 100 x 34,042554Vo (k) = 3.404,26 €

EJERCICIO 2n = 4A = 1.200 € anuali12 = 0,015 mensual

(1+i) = (1,015)i = 0,195618Vo = A x A n;i

Vo (k) = A x A 4:0,195618

Vo (k) = 1.200 x 2,610384Vo (k) = 3.132,47 €

EJERCICIO 3n = 3 añosA = 125 € mensualesi = 0,08 anual

(1,08) = (1 + i12)i12 = 0,006434

Vo (k) = A x A36:0,006434Vo (k) = 125 x 32,043348

Vo (k) = 4.005,42 €EJERCICIO 4 A = 4.000 € cuatrimes.n= 5 añosi3 = 0,03 cuatrim.

A = 4.000 € cuatrimes.n= 5 añosi = 0,03 anual

APARTADO AVn (k) =A x S n:ik

Vn (k) = 4.000 x S 15:0,03 Vn (k) = 4.000 x 18,598914

Vn (k) = 74.395,66 € APARTADO B

(1,09) = (1 + i 3)3

i3 = 0,029142Vn (k) = 4.000 x S 15;0,029142

Vn (k) = 4.000 x 18,482379

Vn (k) = 73.929,52 €

EJERCICIO 5A = 300 € mensualesn = 10 añosi = 0,09 anual

A = 3.600 € anualesn = 10 añosi = 0,09 anual

APARTADO A(1,09) = (1 + i12)

12

i12 = 0,007207Vo (k) = A x A 120 : 0,007207

Vo (k) = 300 x 80,140547Vo = 24.042,16 €

Vn (k) = A x S 120 : 0,007207

Vn (k) = 300 x 189,714512Vn (k) = 56.914,35 €

APARTADO BVo = A x A 10 : 0,09

Vo = 3.600 x 6,417658Vo = 23.103,57 €Vn = A x S 10 : 0,09

Vn = 3.600 x 15,19293Vn = 54.694,55 €

EJERCICIO 6A = 2.000 € trimes.n = 5 añosi = 0,08 anualV’o = X

(1,08) = (1 + i4)i4 = 0,019427

V’o (k) = 2.000 x A 20:0,019427 x (1,019427)

V’o (k) = 2.000 x 16,442212 x 1,019427

V’o = 33.523,27 €V’n (k) = 2.000 x S 20:0,019427 x (1,019427)

V’n (k) = 2.000 x 24,159219 x 1,019427Vn = 49.257,12 €




EJERCICIO 7A = 2.000 semest.n = 5 añosi = 0,08 anuald = 2 semestres

(1,08) = (1 + i2)i 2 = 0,03923

d/V0 (k) = 2.000 x A 10:0,03923 x1

(1,03923)d/V0 (k) = 2.000 x 8,142076 x 0,925927

d/V0 (k) = 15.077,94 €

EJERCICIO 8d = 12 mesesA = 2.000 € semest.i2 = 0,02 semestraln = 3 añosd/V’o (k) = X

d/V’0 (k) = 2.000 x A 6:0,02 x (1,02)1

(1,02)d/V’0 (k) = 2.000 x 5,601431 x 0,980392

d/V’0 (k) = 10.983,20 €

EJERCICIO 9A = 250 € mensuali = 0,04 anualn = 4 añosh = 2 años

(1,04) = (1 + i12)i12 = 0,003274

h/Vn (k) = 250 x S 48:0,003274 x (1,003274) 24

h/Vn (k) = 250 x 51,885499 x 1,081607

Vn (k) = 14.029,93 € EJERCICIO 10A = 1.000 semes.n = 6 añosh = 2 años y medioJ2 = 0,04

i2 = J2 / 2i2 = 0,04 / 2 = 0,02

h/V’n (k) = 1.000 x S 12:0,02 x (1,02)4x (1,02)

Vn (k) = 1.000 x 13,41209 x 1,08243216 x 1,02h/V’n (k) = 14.808,03 €

EJERCICIO 11A = 600 € trimest.i = 0,04 anual

(1,04) = (1 + i4)i4 = 0,009853

Po =600

0,009853Po (k) = 60.895,16 €

EJERCICIO 12A = 1.000 €mensualn = 4 añosi 12 = 0,008 mensual

Vo (k) = 1.000 x A 48:0,008

Vo (k) = 1.000 x 39,728388Vo (k) = 39.728,39 €

Vn (k) = 1.000 x S 48:0,008

Vn (k) = 1.000 x 58,238005Vn (k) = 58.238 €

EJERCICIO 13A = 8.000 trimestrali = 0,10 €

(1,10) = (1 + i4)i4 = 0,024114

Po (k) =8.000

0,024114

Po (k) = 331.757,49 €

EJERCICIO 14A = 5.000 semestrali = 0,07 anual

APARTADO A(1,07) = (1 + i2)

2

i2 = 0,034408

Po (k) =5.000

0,034408Po (k) = 145.315,04 €

APARTADO B

P’o (k) =5.000

X 1,0344080,034408

P’o (k) = 150.315,04 €

APARTADO Cd/Po (k) =

5.000X

10,034408 (1,034408)

d/Po (k) = 145.315,04 x 0,666343d/Po (k) = 96.829,66 €




APARTADO D

P’o (k) =5.000

X 1,0344081

0,034408 (1,034408)1

d/P’o (k) = 145.315,04 x 1,034408 x 0,666343

d/P’o (k) = 100.161,37 €

EJERCICIO 15n = 3 añosq = 1,01 mensualA1 = 1.500 €i = 0,09 anual

(1,09) = (1+i12)i 12 = 0,007207

APARTADO A- VALOR ACTUAL

Vo (p.g.) (k) = a1 x1 – q

nx V

n

1+ i – q

Vo (p.g.) (k) = 1.500 x1 – 1,01

x V

1+ 0,007207 – 1,01

Vo (p.g.) (k) = 1.500 x1 – 1,430769 x 0,772192

- 0,002793

Vo (p.g.) (k) = 1.500 x-0,104828

- 0,002793Vo (p.g.) = 56.298,60 €- VALOR FINAL

Vn (p.g.) (k) = a1 x(1+i)

n– q

n

1+ i - q

Vn (p.g.) (k) = 1.500 x(1,007207) – (1,01)

1,007207 – 1,01

Vn (p.g.) (k) = 1.500 x1,295014 – 1,430769

- 0,002793Vn (p.g.) = 72.908,16 €

APARTADO B- VALOR ACTUAL

V’o (k , p.g.) = 56.298,60 x 1,007207V’o (k , p.g.) = 56.704,34 €

- VALOR FINALV’n (k , p.g.) = 72.908,16 x 1,007207

V’n (k , p.g.) = 73.433,61 €

APARTADO C- VALOR ACTUAL

d/Vo (k , p.g.) = 56.298,60 x (1,007207)-2

d/Vo (k , p.g.) = 55.495,80 €

- VALOR FINALd/Vn (k , p.g.) = 72.908,16 €

APARTADO D- VALOR ACTUAL

d/V’o (k , p.g.) = 56.298,60 x 1,007207 x (1,007207)-2

d/V’o (k , p.g.) = 55.895,76 €- VALOR FINALd/V’n (k , p.g.) = 73.433,61 €

EJERCICIO 16n = 15 mesesA1 = 1.500 €q = 1,0025i = 0,05 anual

(1,05) = (1+i12)i 12 = 0,004074

APARTADO A- VALOR ACTUAL

Vo (k , p.g.) = a1 x1 – q

nx V

n

1+ i – q

Vo (k , p.g.) = 1.500 x1 – 1,025

1x V

1

X 1,0040741+ 0,004074 – 1,025

Vo (k , p.g.) = 1.500 x 1 – 1,448298 x 0,940837 X 1,004074- 0,020926

Vo (k , p.g.) = 1.500 x- 0,36409- 0,020926Vo (k , p.g.) = 26.098,39 €



REPASO INTERÉS SIMPLE Y COMPUESTO

INTERÉS SIMPLE

1. Una persona ha prestado una cantidad al 8 % de interés simple anual. Después de 4 años y 3meses la retira, y la vuelve a prestar, con los intereses que le ha producido al 10 % de interés simpleanual. ¿Cuál es la cantidad primera que prestó, sabiendo que con la nueva inversión recibe un interésanual de 268 €?

Solución: C 0 = 2.000 € 2. Dos capitales cuya suma es de 35.500 € han estado impuestos a interés simple durante el mismotiempo y al mismo tanto, produciendo unos capitales finales de 13.125 € y 24.150 €. ¿Cuáles eran dichoscapitales?Solución: C 01 = 12.500 € y C 02 = 23.000 € 3. Un capital de cuantía C se ha colocado la cuarta parte al 6 % de interés simple anual durante 30días y el resto se ha colocado al 4 % de interés simple anual durante 60 días. Determinar la cuantía de Csi los intereses totales son de 625 € y se utiliza el año comercial.Solución: C 0 = 100.000 € 4. Una persona abre una cuenta bancaria en el banco X el día 22 de julio, con un ingreso inicial de2.000 €. Posteriormente, ingresa 3.200 €, el 11 de agosto y 4.000 €, el 20 de septiembre. El día 30 deoctubre, el banco realiza la liquidación de la cuenta y le ingresa por los intereses 102,67 €, calcula el tantode interés anual utilizado por el banco para la liquidación. Utilizar año comercial y método abreviado parael cálculo de los intereses.Solución: i = 0,06 anual

5. ¿Cuánto tiempo será necesario para que un capital se transforme en otro cinco veces mayor a un8% de interés simple anual?Solución: n = 50 años 6. Dos capitales, de los que el primero supera al segundo en 20.000 €, se invierten de la siguienteforma:

- El primero al 3 % anual simple durante X años- El segundo al 10 % anual simple durante el doble de tiempo que el primero.Si el interés obtenido en ambos casos es el mismo, ¿Cuál será la cuantía de cada capital?

Solución: C 01 = 23.529,41 €; C 02 = 3.529,41 € 7. Dos capitales, de los que se sabe que el segundo es doble que el primero, se invierten del siguientemodo:

- El primero al 1 % simple mensual durante un año y un cuatrimestre.- El segundo al 3 % simple trimestral durante el mismo tiempo.

Si se sabe que la suma de los montantes obtenidos es de 27.840 €, averiguar los capitales invertidosSolución: C 01 = 8.000 € C 02 = 16.000 €

8. Invertimos un capital durante 3 años obteniendo un capital final de 9.920 €. Si hubiésemos invertidoel mismo capital durante 5 años al mismo tanto de interés simple, el montante hubiera ascendido a 11.200€. Calcular el capital invertido y el tanto de interés anual al que se realizó la inversión.Solución: Co = 8.000 € y i = 0,08 anual

INTERÉS COMPUESTO

9. Invertimos 30.000 € durante un periodo de 2 años al 8 % de interés compuesto anual. Al final de laoperación tenemos que pagar una comisión de reembolso del 1 % sobre el capital final. Calcular el tantoanual efectivo de la operación.Solución: T.A.E.: 0,074586432 10. Invertimos 5.000 € durante dos años y tres meses. El tanto de interés compuesto es del 8 % anual.Calcular el montante, utilizando el convenio lineal y el exponencial.Solución: Convenio lineal: 5.948,64 € y Convenio exponencial: 5.945,30 €

11. Solicitamos un préstamo de 20.000 € a un tanto de interés efectivo anual del 6 % y para sucancelación tenemos que entregar 26.764,51 €. Calcular la duración del préstamo en meses.Solución: n = 60 meses 12. Nos conceden un préstamo de 60.000 €, durante 5 años y con un tanto de interés compuesto anualdel 8 %. A los dos años, se revisa el tanto de interés y se incrementa en medio punto. Calcular la cantidadque tendremos que entregar para cancelar el préstamo al cabo de los 5 años.Solución: C n = 89.389,80 € 13. Nos concedieron un préstamo de 80.000 €, a un tanto de interés compuesto anual el 5 %y unaduración de 6 años. A los dos años, realizamos una cancelación anticipada de 20.000 €. Calcular quecantidad tendremos que entregar para cancelar el préstamo al final de su duración.Solución: C n = 82.897,53 € 14. Para comprar un bien cuyo valor al contado es de 20.000 € nos ofrecen la siguiente forma de pago:3.000 € de entrada; 12.000 € dentro de 2 años y una cantidad final dentro de 5 años. ¿Cuál es la cantidada entregar dentro de 5 años si utilizamos un tanto de interés del 7 % anual efectivo.

Solución: C n3 = 9.142,86 € 15. Invertimos un capital durante 3 años a un tanto de interés simple anual del 6 % anual. Si lohubiésemos invertido al 8 % de interés compuesto anual, durante el mismo tiempo, el interés hubiera sido685,52 € mayor que en el interés simple. Calcular el capital invertido.Solución: C o =8.600 €



EJERCICIO 11ª Inversión Co = X i = 0,08 anual n = 4 años y 3 meses = 51meses 2ª Inversión i = 0,10 anual n = 1 año I = 268 €

1ª InversiónC n = C o ( 1 + 51 x 0,08 / 12 )

C n = 1,34 x C o

2ª Inversión268 = 1,34 Co x 0,10 x 1

268 = 0,134 x CoC o = 2.000 €

EJERCICIO 2 Co 1Cn = 13.125 € n, i (35.500 – Co1)Cn = 24.150 €

13.125 = C o1 (1 + n x i)24.150 = (35.500 – C o1) ( 1 + n x i )

13.125=

Co1 (1 + n x i)24.150 (35.500 – Co) (1 + n x i)

13.125 (35.500 – C o1) = 24.150 x C o1 465.937.500 – 13.125 x C o1 = 24.150 x C o1

465.937.500 = 37.275 x C o1 C o1 = 12.500 €

C o2 = 35.500 – 12.500C o2 = 23.000 €

EJERCICIO 3 ¼ Co i = 0,06 anual n = 30 días ¾ Co i = 0,04 annual n = 60 días I 1 + I 2 = 625 € Año comercial

I 1 = ¼ C o x 30 x 0,06 / 360I 1 = 0,00125 x C o

I 2 = ¾ C o x 60 x 0,04 / 360I 2 = 0,005 x C o

I 1 + I 2 = 6250,00125 x C o + 0,005 x C o = 625

0,00625 x C o = 625

C o = 100.000 €EJERCICIO 4 20-Septiembre

C o1 = 2.000 € n 1 = 20-10 n 1 = 30 días C o2 = 3.200 € n 2 = 9-11n 2 = 50 días C o3 = 4.000 € n 3 = 19-12 n 3 = 90 días I = 96,67 €

Co n Nos. comerciales 2.000 100 200.000 3.200 80 256.000 4.000 40 160.000

Suma números comerciales

616.000


102,67 = 616.000 360 / i

102,67 x 360 = 616.000 x i 36.961,20 = 616.000 x i

i = 0,06 EJERCICIO 5 i = 0,08 C n = 5 x C o

5 x C o = C o ( 1 + n x 0,08 )5 = 1 + n x 0,08

4 = n x 0,08n = 50 años



EJERCICIO 6 C 01 = C 02 + 20.000 i = 0,03 anual n = X Co 2 i = 0,10 anual n 2 = 2 x n1

I 1 = I 2

I 1 = (C 02 + 20.000) x 0,03 x n1 I 1 = 0,03 x C o2 x n1 + 600 x n1

I 2 = C 02 x 0,10 x 2 x n1

I 2 = C 02 x 0,20 x n 1

I 1 = I 2

C o2 x 0,03 x n1 + 600 x n1 = C 02 x 0,20 x n 1(C o2 x 0,03 + 600 ) x n 1 = Co2 x 0,20 x n1

600 = C 02 x 0,20 – C 02 +x 0,03600 = 0,17 x C o2 C o2 = 3.529,41 €

C o1 = 3.529,41 + 20.000C o1 = 23.529,41 €

EJERCICIO 7 C o2 = 2 x C 01 i = 0,01mensual n = 1 año y un cuatrimestre = 16 meses

C o2

i = 0,03 trimestral i = 0,01mensual n = 16 meses C n1 + C n2 = 27.840 €

C n1 = C o1 (1 + 0,01 x 16)C n1 = C o1 x 1,16C n1 = C o1 x 1,16

C n2 = 2 x C o1 ( 1 + 0,01 x 16)C n2 = 2 x C o1 x 1,16

C n2 = 2,32 x C o1

C n1 + C n2 = 27.8401,16 x C 01 + C o1 x 2,32 = 27.840

3,48 x C o1 = 27.840C 01 = 8.000 €

C o2 = 2 x 8.000C o2 = 16.000 €

EJERCICIO 8 C n = 9.920 € n = 3 años C n = 11.200 € n = 5 años

9.920 = C o (1 + 3 x i)11.200 = C o (1 + 5 x i)

9.920 =

C o ( 1 + 3 x I)11.200 C o ( 1 + 5 x i)

9.920 ( 1 + 5 x i ) = 11.200 x ( 1 + 3 x i )

9.920 + 49.600 x i = 11.200 + 33.600 x i49.600 x i - 33.600 x i = 11.200 – 9.920

16.000 x i = 1.280i = 0,08 anual

EJERCICIO 9 C o = 30.000 € n = 2 años I = 0,08 annual Comisión: 1 %

C n = 30.000 ( 1,08 )C n = 34.992 €

Comisión 1 % sobre 34.992 €Comisión = 349,92

Efectivo: 34.992 – 349,92Efectivo = 34.642,08 €

34.642,08 = 30.000 ( 1 + i )

2

34.642,08

= (1 + i )2

30.000

1,154736 = (1 + i )2

=

1,074586432 = 1 + ii = 0,074586432

EJERCICIO 10 C o = 5.000 € n = 2 años y 3 meses

i = 0,08 anual

1 año 12 meses X = 0,25

X año 3 meses

• Convenio lineal C n = 5.000 x ( 1,08)

2x (1 + 0,08 x 0,25)

C n = 5.948,64 €• Convenio exponencial

C n = 5.000 x ( 1,08)2,25

C n = 5.945,30 €



EJERCICIO 11C o = = 20.000 € i = 0,06 anual C n = 26.764,51€

(1 + i 12 ) = 1,06

i 12 = 0,004867551

26.764,51 = 20.000 ( 1,004867551)n

26.764,51= (1,004867551)

n

20.000

1,3382255 = (1,004867551)n

1,3382255 = n x log 1,0048675510,126529301 = n x 0,002108822

n = 60 meses EJERCICIO 12 C O = 60.000 €n = 2 añosi = 0,08 anualn = 3 añosi = 0,085 anual

C n = 60.000 (1,08)2

x (1,085)3

C n = 60.000 x 1,1664 x 1,277289125C n = 89.389,80 €

EJERCICIO 13

C o = 80.000 €i = 0,05 anualn = 6 añosCancelaciónn = 2 añosCan = 20.000 €

C n1 = 80.000 x (1,05)C n1 = 88.200 €

C 02 = 88.200 – 20.000C o2 = 68.200 €

C n2 = 68.200 (1,05)4

C n2 = 82.897,53 €EJERCICIO 14 Contado: 20.000 € E = 3.000 C n1 = 12.000 n = 2 años C n2 = X n = 5 años i = 0,07 anual

20.000 = 3.000 +12.000

+C n2

(1,07) (1,07)

20.000 = 3.000 + 10.481,26 +C n 2

1,402551731

20.000 – 3.000 – 10.481,26 = C n 2 1,402551731

6.581,74 x 1,402551731 = C n2 C n2 = 9.142,86 €

EJERCICIO 15 Interés simple C o

n = 3 años i = 0,06 Interés compuesto C o i = 0,08 I 1 + 685,52 = I 2

• Interés simple I 1 = C o x 3 x 0,06

I 1 = C o x 0,18

• Interés compuesto I 2 = C o (1,08)

3– C o

I 2 = 0,259712 x C o

I 1 + 685,52 = I 2 C o x 0,18 + 685,52 = 0,259712 x C o 685,52 = 0,259712 x C o – C o x 0,18

685,52 = 0,079712 x C o

C o = 8.600 €



REPASO PRIMERA EVALUACIÓN

EJERCICIO 1C o = 35.000 €I = 0,08 anualC n = 44.100 €n = X

44.100 = 35.000 ( 1 + n x 0,08)44.100 = 35.000 + 2.800 x n

9.100 = 2.800 x nn = 3,25 años

n = 3 años y 3 meses

EJERCICIO 2i = 0,10 anualI = 6.000 €n = 3 años

6.000 = C o x 3 x 0,106.000 = C o x 0,30

C o = 20.000 €EJERCICIO 3C o = 750 €i = 0,01 mensualn = 2 años = 24meses

I = 750 x 0,01 x 24I = 180 €

EJERCICIO 4C o = 600 €n = 2 años

I = 720 €

720 = 600 ( 1 + 8 x i )720 = 600 + 4.800 x i

120 = 4.800 x ii = 0,025 = 2,5 %EJERCICIO 51ª Inversióni = 0,04 anualn = 2 años

2ª Inversióni = 0,005 mensualI = 6.480 €n = 1 año = 12 meses

1ª InversiónC n = C o ( 1 + 2 x 0,04 )

C n = C o x 1,08

6.480 = C o x 1,08 x 0,005 x 126.480 = C o x 0,0648

C o = 100.000 €

EJERCICIO 6n = 5 meses

I = 115 €C n = 4.715 €I = X mensual

C o = 4.715 – 115 = 4.600

4.715 = 4.600 ( 1 + 5 x i )115 = 23.000 x ii = 0,005 = 0,5 %

EJERCICIO 7n = 3 añosi = 0,08 anual

n = 8 añosi = 0,04Co1 + Co2 = 3.500 €

1ª InversiónI 1 = C o1 x 3 x 0,08

I 1 = C o1 x 0,242ª Inversión

I 2 = (3.500 – C o1) x 0,32I 2 = 1.120 – 0,32 x C o1

I 1 = I 2C o1 x 0,24 = 1.120 – 0,32 x C o1

0,56 C o1 = 1.120C o1 = 2.000 €

EJERCICIO 8I 365 = 8.750I 360 = X

8.750 =72

X I 360 73

I 360 = 8.871,53 €EJERCICIO 9C n = 2 x C oi = 0,08 anul

2 x Co = Co ( 1 + n x 0,08 )2 = 1 + n x 0,08

1 = n x 0,08n = 12,50 años

EJERCICIO 10n = x trimestresCo = 1.202,02i = 0,06 semestral =0,03 trimestralCn = 1.923,24 €

1.923,24 = 1.202,02 ( 1 + n x 0,03 )1.923,24 = 1.202,02 + 36,0606 x n

721,22 = 36,0606 x nn = 20 trimestres



EJERCICIO 11Co = 120,20 €i = 0,03 trimestralCo = 120,20i = 0,04 cuatrimestral

C n1 = 2 x C n2

C n1 = 120,20 ( 1 + n x 0,12 )C n1 = 120,20 + 14,424 x n

C n2 = 120,20 ( 1 + n x 0,03 )C n2 = 120,20 + 3,606 x n

C n1 = 2 x C n2

120,20 + 14,424 x n = 2 ( 120,20 + 3,606 x n)120,20 + 14,424 x n = 240,40 + 7,212 x n14,424 x n – 7,212 x n = 240,40 – 120,20

7,212 x n = 120,20n = 16,66667 años

1 año --------- 12 meses0,666667 año --------- X meses


EJERCICIO 12Co1 Co2 = Co1 + 0,50 C o1

Co2 = 1.50 C o1

i = 0,06 anualn = 3 añosi = 0,07 anualn = 2 añosI 2 = I 1 + 3,61

I1 = C o1 x 0,06 x 3I1 = Co1 x 0,18

I2 = 1,50 x Co1 x 0,07 x 2I2 = Co1 x 0,21

I2 = I1 + 3,61Co1 x 0,21 = (C01 x 0,18) + 3,61

0,03 x Co1 = 3,61

C o1 = 120,33 €C 02 = 120,33 + 3,61 = 180,50 €

EJERCICIO 13I 360 – I 365 = 9,02i = 0,09 anual

I 360 =

C o x 300 x 0,09

360

I 360 = 0,075 x Co

I 365 =C o x 300 x 0,09

365

I 365 = 0,073973 x Co

0,075 Co – 0,073973 x Co = 9,020,001027 x Co = 9,02

Co = 8.782,86 €EJERCICIO 14

Co1 = 90,15 €n1 = 3 quincenas =45 díasC02 = 210,35 €n2 = 1,5 semestres =270 díasCo3 = 150,25n3 = 5 mesesCo4 = 120,20n4 = 2 trimestres =6 meses

i = 0,12

Co n Nos comerciales90,15 45 4.056,75

210,35 270 53.794,50150,25 150 22.537,50120,20 180 21.636,00

SUMA Nos. comerciales 105.024,75

DIVISOR FIJO =360

= 3.0000,12

INTERESES =105.024,75

= 35,01 €3.000

I = 35,01 €



EJERCICIO 15

Con1 = 3 meses2 x Con2 = 6 meses4 x Co

n3 = 9 meses

i = 0,06 anual

I = 255 €

Co n Nos comercialesCo 3 3 x Co

2 x Co 6 12 x Co4 x Co 9 36 x Co

SUMA Nos. comerciales 51 x Co

DIVISOR FIJO =12

= 2000,06

INTERESES =51 x Co

= 0,255 x C o200

255 = 0,255 x CoCo = 1.000 €

EJERCICIO 16N = 6.010,12 €

n = 12 mesesi = 0,04 anualD c = X

Dc = 6.010,12 x 12 x 0,0412

Dc = 240,40 €

EJERCICIO 1718-1 al 6-4N = 18,03 €i = 0,06 anual

Enero 31 – 18 = 13Febrero 28Marzo 31Abril 6

TOTAL DIAS 13 + 28 + 31 + 6 = 78 días

Dc = 18,03 x 78 0,06365

D c = 0,23 €

EJERCICIO 18N = 1.202,02 €i = 0,06 anualDc = 18,03Año comercial

18,03 = 1.202,02 x n x0,06360

18,03 = 0,200337 x nn = 90 días

EJERCICIO 19Dr = 58,8235 €Dc = 60 €I = 0,06Año comercial

58,8235 =60

1 + n x0,06360

58,8235 (1 + n x0,06

) = 60360

58,8235 + 0,009804 x n = 600,009804 x n = 11,765

n = 120 días

EJERCICIO 201ª Situación:N = 9.015 €n = 60 díasi = 0,09 anualAño comercial

1ª Situación

E 1 = 9.015 x ( 1 - 600,06

)360

E 1 = 8.879,775 €



2ª situación:N = XN = 90 díasI = 0,09 anualAño comercial

E 2 = N x ( 1 - 900,06

)360

E2 = N (1 - 0,0225)E2 = N x 0,9775

3er PASO: EQUIVALENCIA FINANCIERA

E1 = E28.879,775 = N x 0,9775

N = 9.084,17 €

EJERCICIO 211ª situación:N1 = 1.202 €n1 = 10-1 al 25-1

N2 = 901n2 = 10-1 al 10-3

N3 = 300n3 = 10-1 al 10-4

i = 0,10 anualAño civil

PRIMERA SITUACIÓN:

Calculo n1Enero 15 -10 = 15 días

TOTAL DIAS 15 días

Calculo n2 Enero 31-10 = 21

Febrero 28Marzo 10

TOTAL DIAS 21 + 28 +10 = 59 días

Calculo n3 Enero 31 – 10 = 21

Febrero 28Marzo 31Abril 10

TOTAL DIAS 21 + 28 + 31 + 10 = 90 días

Co n Nos comerciales1.202 15 18.030

901 59 53.159300 90 27.000

2.403 98.189

DIVISOR FIJO =365

= 3.6500,10

DESCUENTO =

98.189

= 26,903.650

E1 = 2.403 – 26,90E1 = 2.376,10 €

SEGUNDA SITUACIÓN:

E 2 = N x ( 1 - 590,10

)365

E2 = N ( 1 - 0,0,016164383 )E2 = N x 0,983835616

3er PASO: EQUIVALENCIA FINANCIERA

E1 = E22.376,10 = N x 0,983835616

N = 2.415,14 €



EJERCICIO 22N1 = N2 = N3 = N4 = 30€n1 = 10 díasn2 = 30 díasn3 = 60 díasn4 = 80 días

VENCIMIENTO MEDIO:

SUMA DE LOS NOMINALES A SUSTITUIR = NOMINAL DE LA NUEVALETRA------------30 + 30 + 30 + 30 = 120 €

10 + 30 + 60 + 80 = 45 días4

n = 45 días

EJERCICIO 231ª SITUACIÓN:

N1 = 240 €n1 = 50 díasN2 = 360n2 = 70 díasi = 0,09 anual

Año comercial

2ª SITUACIÓN:N

n1 = 80 díasNn2 = 90 díasi = 0,09 anualaño comercial

PRIMERA SITUACIÓN:

Co n Nos comerciales240 50 12.000360 70 25.200600 37.200

DIVISOR FIJO =360

= 4.0000,09

DESCUENTO =37.200

= 9,304.000

E1 = 600 – 9,30E1 = 590,70 €

SEGUNDA SITUACIÓN:

Co n Nos comercialesN 80 80 NN 90 90 N

2 N 170 N

DIVISOR FIJO =360

= 4.0000,09

DESCUENTO =170 N = 0,0425x

N4.000

E2 = 2 N – 0,0425 NE2 = 1,9575 x N

EQUIVALENCIA FINANCIERA:E1 = E2

590,70 = 1,9575 x NN = 301,76 €

EJERCICIO 24E1 = 12.000 €E = 2.600 €n = 9 mesesi = 0,08

12.000 = 2.600 + N x ( 1 - 90,08

)12

12.000 – 2.400 = N x 0,949.400 = N x 0,94

N = 10.000 €



EJERCICIO 251ª situación:N1 N1 = 3 mesesi =0,08 anual

2ª situación:N2 = 3.600 – N1 n2 = 9 meses

E1 + E2 = 3.440 €

PRIMERA SITUACIÓN:

E1 = N1 x ( 1 - 30,08

)12

E1 = N1 X 0,98

SEGUNDA SITUACIÓN:

E2 = ( 3.600 - N1 ) x ( 1 - 90,08

)12

E2 = ( 3.600 – N1 ) x 0,94E2 = 3.384 – 0,94 x N 1

E1 + E2 = 3.440N1 x 0,98 + 3.384 – 0,94 x N1 = 3.440

0,04 x N1 = 56N 1 = 1.400 €

EJERCICIO 26

a)i = 0,12

J 12 = 0,11 b)

i 12 =0,11

= 0,009166666712

( 1 + i12 )12

= ( 1 + i )(1,0091666667)

12= 1 + i

i = 0,115719i 4 = 0,03 c)

( 1 + i 4 )4

= ( 1 + i )(1,03)

4= 1 + i

i = 0,1255088

EJERCICIO 27Co = 2.000 €i = 0,09 anualn = 4 años y 3 mesesCn = X

CALCULO DE LA FRACCIÓN1 año ------- 12 meses

m año ---------- 3 mesesm = 0,25

CONVENIO LINEAL:Cn = 2.000 ( 1,09 )

4X ( 1 + 0,25 X 0,09 )

Cn = 2.000 x 1,41158161 x 1,0225Cn = 2.886,68 €

CONVENIO EXPONENCIAL:

Cn = 2.000 ( 1,09 )4,25

Cn = 2.884,65

EJERCICIO 28Co = 500i 4 = 0,03 trimestraln = 60 meses= 20 trimestresCapitaliz. trimestral

C n = 500 (1,03)C n = 903,06 €

EJERCICIO 29Co = 1.000i = 0,14 anual

n = 7 años = 84 mesesCap. mensual

i 12 = 12 14,1 - 1

i 12 = 0,01097885C n = 1.000 x (1,0097885)84

Cn = 2.502,27 €

I = 2.502,27 – 1.000I = 1.502,27 €



EJERCICIO 301ª inversión:Co1 = Xi = 0,08 anualn = 3 años

2ª inversión:

C02 = C01 + 935,27i = 0,02 anualn = 3 años

Cn1 = Cn2

1ª Inversión:C n1 = Co1 (1,08)

3

C n1 = Co1 x 1,259712

2ª Inversión:

Cn2 = C02 x (1,02) 3 C n2 = (Co1 + 935,72) x (1,02)

3

C n2 = (Co1 + 935,72) x 1,061208Cn2 = C01 x 1,061208 + 992,5160062

C n1 = C n2 Co1 x 1,259712 = 1,061208 x Co1 + 992,5160062

0,195804 x Co1 = 992,510062C o1 = 5.000 €

C02 = 5.000 + 935,27Co2 = 5.935,27 €

EJERCICIO 31Cn = Co + 1.441,96i = 0,08 anualn = 4 años

Cn = Co + 1.441,96Co + 1.441,96 = Co (1,08) 4

Co + 1.441,96 = Co x 1,360488961.441,96 = Co x 1,36048896 – Co

1.441,96 = Co x 0,36048896Co = 4.000 €

EJERCICIO 32C01 = ¼ Co = 0,25 Coi = 0,03 anualn = 5 años

C02 = ¾ Co = 0,75 Coi = 0,04 anualn = 5 añosCn1 + Cn2 = 7.213,85 €

Cn1 = 0,25 x Co x (1,03)Cn1 = 0,289818518 x C o

Cn2 = 0,75 x Co x (1,04) 5Cn2 = 0,912489676 x Co

0,289818518 x Co + 0,912489676 x Co = 7.213,851,202308194 x Co = 7.213,85

C o = 6.000 €EJERCICIO 33Banco PERROCo = 30.000 €J 12 = 0,10n = 2 añosComisión: 2 por mil

Caja Gata:Co = 30.000 €

n = 2 añosi = 0,09 anual

a)

i 12 =0,1012

i 12 = 0,00833333

Cn = 30.000 (1 + 0,00833333)24

Cn = 36.611,73

Comisión = 2 o/oo x 36.611,73 = 73,22 €

Líquido: 36.611,73 – 73,22Cn = 36.538,51 €

b)Cn = 30.000 (1,09)

2

Cn = 35.643 €



REPASO SEGUNDA EVALUACIÓN

EJERCICIO 1i = 0,12n= 12 añosA = 3.000 €V o = X

V o = 3.000 x A 12 : 0,12

V o = 3.000 x 6,194374V o = 18.583,12 €

EJERCICIO 2

N = XA = 5.000 €I = 0,13 anualV o = 35.123,76 €

35.123,76 = 5.000 x A n : 0,137,024752 = A n : 0,13

7,024752 =1 – (1,13)

– n

0,13

7,024752 x 0,13 = 1 – (1,13) – n

0,913218 = 1 – (1,13)

– n

0,913218 – 1 = (1,13) – n

0,086782 = (1,13)

– n

log 0,086782 = - n x log 1,13- 1,061570345 = - n x 0,053078

n = 20 años

EJERCICIO 3A = 240 €n = 12 añosi = 0,12 anualV n = X

V n = 240 x S 12 : 0,12 V n = 240 x 24,133133

V n = 5.791,95 €

EJERCICIO 4A = 305 €n = 7 añosi = 0,12 anualV n = X

V n = 305 x S 7 : 0,12 V n = 305 x 10,089012

V n = 3.077,15 €

EJERCICIO 5a)

V 0 = 8.000 €

i = 0,16 anualn = 6 añosC n = 15.000 €.

b)

C 0 =15.000

= 6.156,63 € (1,16)

n = 80 añosI = 0,16 anualA = 200 €

c)V o = 200 x A 80 : 0,16

V o = 6,2449956V o = 1.249,99 €

EJERCICIO 61ª Rentan = 25 añosi = 0,085A = 100 €

2ª Rentan = 16 añosi = 0,085

1ª Renta: Cantidades ingresadasV n = 100 x S 25 : 0,085

V n = 100 x 78,667792V n = 7.866,78

2ª Renta: Cantidades a recibirV o = x A 16 : 0,085

V o = A x 8,5753333º Paso: igualamos las rentas

7.866,78 = A x 8,575333A = 917,37 €

EJERCICIO 71ª RentaE = 500 €n = 25 añosi = 0,085A = 100 €

2ª Rentan = 16 añosi = 0,085

1ª Renta: Cantidades ingresadasV n = (100 x A 25 : 0,085) + 500 x (1,085)

25

V n = 100 x 78,667792 + 3.843,38V n = 11.710,16 €

2ª Renta: Cantidades a recibir V o = A x A 16 : 0,085 V o = A x 8,575333

3º Paso: igualamos las rentas11.710,16 = A x 8,575333



A = 1.365,56 € EJERCICIO 8i = 0,09 anualA = 40 €n = 5 A añosV O = X

a)V 0 = 40 x A 5 : 0,09

V 0 = 40 x 3,889651V o = 155,59 €

n = 5 añosA = 500 €i = 0,09 anualV ’ 0 = X

b)V ‘ o = 500 x 3,889651 x 1,09

V ‘ o = 2.119,86 €

EJERCICIO 9A = 400 €i = 0,125P o = X

P o =400

0,125

P o = 3.200 €

EJERCICIO 10A = 300 €n = 15 añosi = 0,09 anualP 0 = X

P o =3000,17

P o = 1.764,71 €EJERCICIO 11A = 300 €n = 6 añosi = 0,09 anual

A = 15 añosi = 0,09 anual

1ª Renta: Cantidades ingresadasV n = 300 x S 6 : 0,09

V n = 300 x 7,523335 x 1,09V n = 2.460,13 €

2ª Renta: Cantidades a recibirV o = A x A 15 : 0,09 V o = A x 8,060688

3º Paso: igualamos las rentas

2.460,13 = A x 8,060688A = 305,20 €EJERCICIO 12

a)V 0 = 30.000 €

E = 10.000 €C n = 40.000i = 0,12n = 10 años

b)

V o = 10.000 +40.000(1,12)

V o = 10.000 +40.000

3,105848

V o = 22.878,93 €

A = 5.000 €d = 3 añosA = 350 €n = 16 años

c)V o = 5.000 + ( 350 x A 16 : 0,12 x (1,12)

- 3)

V 0 = 5.000 + ( 350 x 6,973986 x 0,71178 )V o = 5.000 + 1.737,38

V 0 = 6.737,38 €EJERCICIO 13

a)V o = 45.000 – 5 % = 42.750 €

E = 4.000n = 6 añosA = 8.000 €i = 0,14 anual

b)V o = 4.000 + ( 8.000 x A 6 : 0,14)

V o = 4.000 + ( 8.000 x 3,888668)V o = 35.109,34 €

E = 3.000 €C n = 44.000 €n = 4 añosI = 0,14 anual

c)

V o = 3.00044.000(1,14)



V o = 3.00044.0001,68896

V o = 29.051,53 €

EJERCICIO 14A 1 = xq = 700 €i = 0,08 anual

n = 10 añosV n (p.g.) =763.585,51 €

763.585,51 = ( A 1 x S 10 : 0,08) + (700

( S 10 : 0,08 – 10 ))0,08

763.585,51 = ( A 1 x 14,48656247) + (700

( 14,48656247 – 10 ))0,08

763.585,51 = A 1 x 14,48656247 + 39.257,42724.328,09 = A 1 x 14,48656247

A 1 = 50.000 €

EJERCICIO 15C o = 500.000i = 0,06 anualn = 5 años

V o (p.g.) =669.112,79 €q = 5.000 €i = 0,04n = 8 añosA 1 = X

C n = 500.000 x (1,06)5

C n = 669.112,79 €

669.112,79 = ( A 1 x A 8 : 0,04) + (5.000

( A 8 : 0,04 – 8 x (1,04)- 8

))0,04

669.112,79 = ( A 1 x 6,732744875) + (5.000

( 6,732744875 – 5,84552164 ))0,04

669.112,79 = A 1 x 6,732744875 + 110.902,90558.209,89 = A 1 x 6,732744875

A 1 = 82.909,70 €

EJERCICIO 16A 1 = 1.100.000 €

n = 12 añosq = 1,07i = 0,09 anualV o = X

V o = 1.100.000 1 – (1,07) (1,09)-

1,09 – 1,07

V o = 1.100.0001 – 2,252191589 X 0,355534725

1,09 – 1,07

V o = 10.959.722,54 €EJERCICIO 17n = 8 términosq = 1,05I = 0,08V n = (p.g.) =7.594.080 €

A 1 = X

7.594.080 = A 1 X(1,08) (1,05)

1,08 – 1,05

7.594.080 = A 1 X 1,85093021 – 1,4774554440,03

7.594.080 = A 1 x 12,44915888A 1 = 610.007,48 €

EJERCICIO 18V o (p.g.) =2.000.000n = 6 términosq = 1,03i = 0,05A 1 = X

2.000.000 = A 1 1 – (1,03) (1,05)

-

1,05 – 1,03

2.000.000 = A 1 1 – 1,194052297 X 0,746215396

0,02

2.000.000 = A 1 x 5,448989618

A 1 = 367.040,52 €



EJERCICIO 19n = 8 añosV o (p.a.) =7.913,89 €A 1 = 900 €i = 0,05 anualq = x

7.913,89 = ( 900 x A 8 : 0,05) + (Q

( A 8 : 0,05 – 8 x (1,05)- 8

))0,05

7.913,89 = ( 900 x 6,463212759 + (Q

( 6,463212759 – 5,414714896 ))0,05

7.913,89 = 5.816,89 + (Q

1,048497863 )0,05

7.913,89 = 5.816,89 + q x 20,96995726

2.097 = 20,96995726 x q

q = 100 €

EJERCICIO 20d / V ´ o (p.g.) =11.900,83 €n = 6 añosd = 2 añosi = 0,10 annualq = 1,10A 1 = X

d / V ’ o = A 1 x n X (1+i) – 1

x (1 + i) – d

x ( 1+ i)

11.900,83 = A 1 x 6 x (1,10) – 1

x (1,10) – 2

x (1,10)

11.900,83 = A 1 x 6 x (1,10 ) - 2 11.900,83 = A 1 x 4,958677686

A 1 = 2.400 €EJERCICIO 21V n (p.g.) =39.014,53n = 10 añosq = 0,95i = 0,06 anualA 1 = X

39.014,53 = A 1 x(1,06)

1– (0,95)

1

1,06 – 0,95

39.014,53 = A 1 x1,790847697 – 0,598736939

0,11

39.014,53 = A 1 x 10,83737053

A 1 = 3.600 €



GESTIÓN FINANCIERA TEMA 5: REPRESENTACIÓN RENTAS

1. Representa gráficamente las siguientes rentas y calcula su valor actual y final de cada una de

ellas, suponiendo un tanto de interés del 8 % anual.

- Renta diferida dos años, pospagable, de 5 términos anuales de 30 euros.

Solución: d/ V o = 102,69 € y d / V n = 176 €

- Renta inmediata, prepagable, de 6 términos anuales de 50 euros y anticipada 2 años.

Solución: h / V ‘ o = 249,64 € y h / V ‘ n = 462,06 €

- Renta diferida tres años, prepagable, de 4 términos anuales de 80 €Solución: d / V ‘ o = 227,17 € y d/ V’ n = 389,33 €

- Renta diferida dos años, prepagable, de 4 términos anuales de 60 € y anticipada 3 años.

Solución: d / h / V’ o = 184,01 € y d / h / V ‘ n = 367,83 €

- Renta inmediata, pospagable, de 4 términos anuales de 50 €.

Solución: V o = 165,61 € y V n = 225,31 €

2. Dí cuáles son las características de las siguientes rentas y calcula el valor actual y final de

cada una de ellas, utilizando un tanto de interés anual del 8 %

50 € 50 € 50 € 50 € 50 € 50 € 50 €

0 1 año 2 años 3 años 4 años 5 años 6 años 7 años

Solución: V ´o = 281,14 € y V’ n = 481,83 €

80 € 80 € 80 € 80 € 80 €


Solución: d / V o = 273,85 € y d / V n = 469,33 €

100 € 100 € 100 € 100 €


Solución: h / V o = 331,21 € y h / V n = 567,64 €

90 € 90 €


Solución: d / h / V o = 137,60 € y d/ h / V n = 235,82 €

100 € 100 € 180 € 180 € 180 €


Solución: V o = 576,03 € y V n = 987,21 €

3.000 € 600 € 600 € 600 €


Solución: d / V o = 4.325,67 € y d / V n = 7.413,43 €



EJERCICIO 1

APARTADO A

50 € 50 € 50 € 50 € 50 €

I = 0 1 año 2 años 3 años 4 años 5 años 6 años 7 años7

d/Vo = 30 x A 5,0,08 x (1,08)-2

d/Vo = 30 x 3,992710037 x 0,85733882d/V o = 102,69 €

d/Vn = 30 x S 5: 0,08d/Vn = 30 x 5,86660096

d/V n = 176 €

APARTADO B

50 € 50 € 50 € 50 € 50 € 50 €

0 1 año 2 años 3 años 4 años 5 años 6 años 7 años 8 años

V’ o = 50 x A 6:0,08 x (1,08)V’ o = 50 x 4,622879664 x 1,08

h/V’ o = 249,64 €

h/V’ n = 50 x S 6:0,08 x (1,08) x (1,08)2

h/V’ n = 50 x 7,335929037 x 1,259712

h/V´ n = 462,06 €

APARTADO C

80 € 80 € 80 € 80 €


d/V’ o = 80 x A 4:0,08 x (1,08) x (1,08) – 3

d/V’ o = 80 x 3,31212684 x 0,85733882

d/V’o = 227,17 €

d/V’n = 80 x S 4:0,08 x (1,08)d/V’n = 80 x 4,506112 x 1,08

d/V’ n = 389,33 €

APARTADO D

60 € 60 € 60 € 60 €

0 1 año 2 años 3 años 4 años 5 años 6 años 7 años 8 años 9 años

i = 0,08

i = 0,08

i = 0,08



d/h/V’ o = 60 x A 4:0,08 x (1,08) (1,08) – 2

d/h/V’ o = 60 x 3,3121684 x 0,925925925

d/h/V´o = 184,01 €

d/h/V’ n = 60 x S 4:0,08 x (1,08) x (1,08)3

d/h/V’ n = 60 x 4,506112 x (1,36048896)d/h/V’ n = 367,83 €

APARTADO E

50 € 50 € 50 € 50 €

0 1 año 2 años 3 años 4 años

V o = 50 x A 4 : 0,08

V o = 50 x 3,3121684V o = 165,61 €

V n = 50 x S 4 : 0,08 V n = 50 x 4,506112

V n = 225,31 €

EJERCICIO 2

GRÁFICA 1

V’ o = 50 x A 7 : 0,08 x (1,08)V’ o = 50 x 5,206370059 x 1,08

V’ o = 281,14 €

V ’ n = 50 x S 7 : 0,08 x (1,08)V ’ n = 50 x 8,92280336 x 1,08

V ‘ n = 481,83 €

GRÁFICA 2

d / V o = 80 x A 5 : 0,08 x (1,08)

– 2

d / Vo = 80 x 3,992710037 x 0,85733882d / V o = 273,85 €

d / V n = 80 x S 5 : 0,08 d / V n = 80 x 5,86660096

d / V n = 469,33 €

GRÁFICA 3

h / V o = 100 x A 4 : 0,08 h / V o = 100 x 3,31212684

h / V o = 331,21 €

h / V n = 100 x S 4 : 0,08 x (1,08)3

h / V n = 100 x 4,506112 x 1,259712h / V n = 567,64 €

i = 0,08



GRÁFICA 4

d/h/ Vo = 90 x A 2 : 0,08 x (1,08) -2d/h/ Vo = 90 x 1,783264746 x 0,85733882

d/h/Vo = 137,60 €

d/h/Vn = 90 x S 2 : 0,08 x (1,08)3

d/h/Vn = 90 x 2,08 x 1,651171061d/h/Vn = 235,82 €

GRÁFICA 5Dos rentas:- Primera renta:

Vo = 100 x A 2 : 0,08 Vo = 100 x 1,783264746

Vo = 178,33 €- Segunda renta:

d/ Vo = 180 x A 3 : 0,08 x (1,08) – 2

d/V o = 180 x 2,577096987 x 0,85733882

d/V o = 397,70 €Valor actual renta: 178,33 + 397,70 = 576,03 €

Dos rentas:- Primera renta:

h / V n = 100 x S 2 : 0,08 x (1,08)5

V n = 100 x 2,08 x 1,469328077V n = 305,62 €

- Segunda renta: h / V n = 180 x S 3 : 0,08 x (1,08)

2

h /V n = 180 x 3,2464 x 1,1664d/V n = 681,59 €

Valor actual renta: 305,62 + 681,59 = 987,21 €

GRÁFICA 6D / Vo = 3.000 + 600 x A 3 : 0,08 x (1,08)

– 2

d / V o = 3.000 + 600 x 2,577096987 x 0,85733882d / V o = 3.000 + 1.325,67 €

V o = 4.325,67 €

d / V n = 3.000 x (1,08)7

+ 600 x S 3 : 0,08 x (1,08)2

d / V n = 5.141,47 + 600 x 3,2464 x 2,16d / V n = 5.141,47 + 2.271,96 €

d / V n = 7.413,43 €



0,25 0,5 0,75 1 1,25 1,5 1,75 2

1 1,000000000 1,000000000 1,000000000 1,000000000 1,000000000 1,000000000 1,000000000 1,000000000

2 2,002500000 2,005000000 2,007500000 2,010000000 2,012500000 2,015000000 2,017500000 2,020000000

3 3,007506250 3,015025000 3,022556250 3,030100000 3,037656250 3,045225000 3,052806250 3,060400000

4 4,015025016 4,030100125 4,045225422 4,060401000 4,075626953 4,090903375 4,106230359 4,121608000

5 5,025062578 5,050250626 5,075564613 5,101005010 5,126572290 5,152266926 5,178089391 5,204040160

6 6,037625235 6,075501879 6,113631347 6,152015060 6,190654444 6,229550930 6,268705955 6,3081209637 7,052719298 7,105879388 7,159483582 7,213535211 7,268037624 7,322994193 7,378408309 7,434283382

8 8,070351096 8,141408785 8,213179709 8,285670563 8,358888095 8,432839106 8,507530455 8,582969050

9 9,090526974 9,182115829 9,274778557 9,368527268 9,463374196 9,559331693 9,656412238 9,754628431

10 10,113253291 10,228026408 10,344339396 10,462212541 10,581666373 10,702721668 10,825399452 10,949721000

11 11,138536424 11,279166540 11,421921942 11,566834667 11,713937203 11,863262493 12,014843942 12,168715420

12 12,166382765 12,335562373 12,507586356 12,682503013 12,860361418 13,041211431 13,225103711 13,412089728

13 13,196798722 13,397240185 13,601393254 13,809328043 14,021115936 14,236829602 14,456543026 14,680331523

14 14,229790719 14,464226386 14,703403703 14,947421324 15,196379885 15,450382046 15,709532529 15,973938153

15 15,265365196 15,536547518 15,813679231 16,096895537 16,386334633 16,682137777 16,984449348 17,293416916

16 16,303528609 16,614230255 16,932281825 17,257864492 17,591163816 17,932369844 18,281677212 18,639285255

17 17,344287430 17,697301406 18,059273939 18,430443137 18,811053364 19,201355391 19,601606563 20,012070960

18 18,387648149 18,785787914 19,194718493 19,614747569 20,046191531 20,489375722 20,944634678 21,412312379

19 19,433617269 19,879716853 20,338678882 20,810895044 21,296768925 21,796716358 22,311165785 22,840558626

20 20,482201313 20,979115437 21,491218974 22,019003995 22,562978537 23,123667103 23,701611186 24,297369799

21 21,533406816 22,084011015 22,652403116 23,239194035 23,845015768 24,470522110 25,116389382 25,783317195

22 22,587240333 23,194431070 23,822296139 24,471585975 25,143078466 25,837579942 26,555926196 27,298983539

23 23,643708434 24,310403225 25,000963360 25,716301835 26,457366946 27,225143641 28,020654904 28,844963210

24 24,702817705 25,431955241 26,188470586 26,973464853 27,788084033 28,633520795 29,511016365 30,421862474

25 25,764574749 26,559115017 27,384884115 28,243199502 29,135435084 30,063023607 31,027459152 32,030299723

26 26,828986186 27,691910592 28,590270746 29,525631497 30,499628022 31,513968961 32,570439687 33,670905718

27 27,896058651 28,830370145 29,804697777 30,820887812 31,880873372 32,986678496 34,140422381 35,344323832

28 28,965798798 29,974521996 31,028233010 32,129096690 33,279384290 34,481478673 35,737879773 37,051210309

29 30,038213295 31,124394606 32,260944757 33,450387657 34,695376593 35,998700853 37,363292669 38,792234515

30 31,113308828 32,280016579 33,502901843 34,784891533 36,129068801 37,538681366 39,017150291 40,568079205

31 32,191092100 33,441416662 34,754173607 36,132740449 37,580682161 39,101761587 40,699950421 42,379440789

32 33,271569831 34,608623745 36,014829909 37,494067853 39,050440688 40,688288010 42,412199553 44,227029605

33 34,354748755 35,781666864 37,284941133 38,869008532 40,538571196 42,298612331 44,154413045 46,111570197

34 35,440635627 36,960575198 38,564578192 40,257698617 42,045303336 43,933091515 45,927115274 48,033801601

35 36,529237216 38,145378074 39,853812528 41,660275603 43,570869628 45,592087888 47,730839791 49,994477633

36 37,620560309 39,336104965 41,152716122 43,076878359 45,115505498 47,275969207 49,566129487 51,994367186

37 38,714611710 40,532785490 42,461361493 44,507647143 46,679449317 48,985108745 51,433536753 54,034254530

38 39,811398239 41,735449417 43,779821704 45,952723614 48,262942433 50,719885376 53,333623646 56,114939620

39 40,910926735 42,944126664 45,108170367 47,412250850 49,866229214 52,480683656 55,266962060 58,237238412

40 42,013204052 44,158847297 46,446481645 48,886373359 51,489557079 54,267893911 57,234133896 60,401983181

41 43,118237062 45,379641534 47,794830257 50,375237092 53,133176542 56,081912320 59,235731240 62,610022844

42 44,226032654 46,606539742 49,153291484 51,878989463 54,797341249 57,923141005 61,272356536 64,862223301

43 45,336597736 47,839572440 50,521941170 53,397779358 56,482308015 59,791988120 63,344622776 67,15946776744 46,449939230 49,078770302 51,900855729 54,931757152 58,188336865 61,688867942 65,453153674 69,502657123

45 47,566064078 50,324164154 53,290112147 56,481074723 59,915691076 63,614200961 67,598583863 71,892710265

46 48,684979239 51,575784975 54,689787988 58,045885470 61,664637214 65,568413975 69,781559081 74,330564470

47 49,806691687 52,833663900 56,099961398 59,626344325 63,435445179 67,551940185 72,002736365 76,817175760

48 50,931208416 54,097832219 57,520711108 61,222607768 65,228388244 69,565219288 74,262784251 79,353519275

49 52,058536437 55,368321380 58,952116442 62,834833846 67,043743097 71,608697577 76,562382976 81,940589660

50 53,188682778 56,645162987 60,394257315 64,463182184 68,881789886 73,682828040 78,902224678 84,579401454

51 54,321654485 57,928388802 61,847214245 66,107814006 70,742812260 75,788070461 81,283013610 87,270989483

52 55,457458621 59,218030746 63,311068352 67,768892146 72,627097413 77,924891518 83,705466348 90,016409272

53 56,596102268 60,514120900 64,785901364 69,446581068 74,534936130 80,093764891 86,170312009 92,816737458

54 57,737592523 61,816691504 66,271795625 71,141046878 76,466622832 82,295171364 88,678292469 95,673072207

55 58,881936505 63,125774962 67,768834092 72,852457347 78,422455617 84,529598935 91,230162587 98,586533651

56 60,029141346 64,441403837 69,277100348 74,580981921 80,402736313 86,797542919 93,826690433 101,558264324

57 61,179214199 65,763610856 70,796678600 76,326791740 82,407770517 89,099506062 96,468657515 104,589429611

58 62,332162235 67,092428910 72,327653690 78,090059657 84,437867648 91,435998653 99,156859022 107,681218203

59 63,487992641 68,427891055 73,870111092 79,870960254 86,493340994 93,807538633 101,892104055 110,834842567

60 64,646712622 69,770030510 75,424136926 81,669669856 88,574507756 96,214651713 104,675215876 114,051539418

Rentas financieras constantes: Valor Final s n i



2,25 2,5 2,75 3 3,25 3,5 3,75 4

1 1,000000000 1,000000000 1,000000000 1,000000000 1,000000000 1,000000000 1,000000000 1,000000000

2 2,022500000 2,025000000 2,027500000 2,030000000 2,032500000 2,035000000 2,037500000 2,040000000

3 3,068006250 3,075625000 3,083256250 3,090900000 3,098556250 3,106225000 3,113906250 3,121600000

4 4,137036391 4,152515625 4,168045797 4,183627000 4,199259328 4,214942875 4,230677734 4,246464000

5 5,230119709 5,256328516 5,282667056 5,309135810 5,335735256 5,362465876 5,389328149 5,416322560

6 6,347797403 6,387736729 6,427940400 6,468409884 6,509146652 6,550152181 6,591427955 6,632975462

7 7,490622844 7,547430147 7,604708761 7,662462181 7,720693918 7,779407508 7,838606503 7,898294481

8 8,659161858 8,736115900 8,813838252 8,892336046 8,971616471 9,051686770 9,132554247 9,214226260

9 9,853993000 9,954518798 10,056218804 10,159106128 10,263194006 10,368495807 10,475025031 10,582795311

10 11,075707843 11,203381768 11,332764821 11,463879311 11,596747811 11,731393161 11,867838470 12,006107123

11 12,324911269 12,483466312 12,644415854 12,807795691 12,973642115 13,141991921 13,312882413 13,486351408

12 13,602221773 13,795552970 13,992137290 14,192029562 14,395285484 14,601961638 14,812115503 15,025805464

13 14,908271763 15,140441794 15,376921065 15,617790448 15,863132262 16,113030296 16,367569835 16,626837683

14 16,243707877 16,518952839 16,799786395 17,086324162 17,378684060 17,676986356 17,981353703 18,291911190

15 17,609191305 17,931926660 18,261780521 18,598913887 18,943491292 19,295680879 19,655654467 20,023587638

16 19,005398109 19,380224826 19,763979485 20,156881303 20,559154759 20,971029709 21,392741510 21,824531143

17 20,433019566 20,864730447 21,307488921 21,761587742 22,227327289 22,705015749 23,194969316 23,697512389

18 21,892762507 22,386348708 22,893444866 23,414435375 23,949715426 24,499691300 25,064780666 25,645412884

19 23,385349663 23,946007426 24,523014600 25,116868436 25,728081177 26,357180496 27,004709941 27,671229400

20 24,911520030 25,544657612 26,197397501 26,870374489 27,564243816 28,279681813 29,017386564 29,778078576

21 26,472029231 27,183274052 27,917825933 28,676485724 29,460081740 30,269470677 31,105538560 31,969201719

22 28,067649889 28,862855903 29,685566146 30,536780295 31,417534396 32,328902150 33,271996256 34,247969788

23 29,699172011 30,584427301 31,501919215 32,452883704 33,438604264 34,460413726 35,519696115 36,617888579

24 31,367403382 32,349037983 33,368221993 34,426470215 35,525358903 36,666528206 37,851684720 39,082604122

25 33,073169958 34,157763933 35,285848098 36,459264322 37,679933067 38,949856693 40,271122897 41,645908287

26 34,817316282 36,011708031 37,256208921 38,553042251 39,904530892 41,313101678 42,781290005 44,311744619

27 36,600705898 37,912000732 39,280754666 40,709633519 42,201428146 43,759060236 45,385588380 47,084214403

28 38,424221781 39,859800750 41,360975419 42,930922525 44,572974560 46,290627345 48,087547945 49,967582980

29 40,288766771 41,856295769 43,498402243 45,218850200 47,021596234 48,910799302 50,890830993 52,966286299

30 42,195264023 43,902703163 45,694608305 47,575415706 49,549798111 51,622677277 53,799237155 56,084937751

31 44,144657464 46,000270742 47,951210033 50,002678178 52,160166550 54,429470982 56,816708548 59,328335261

32 46,137912257 48,150277511 50,269868309 52,502758523 54,855371963 57,334502466 59,947335119 62,701468671

33 48,176015282 50,354034449 52,652289688 55,077841279 57,638171551 60,341210053 63,195360186 66,209527418

34 50,259975626 52,612885310 55,100227654 57,730176517 60,511412127 63,453152404 66,565186193 69,857908515

35 52,390825078 54,928207443 57,615483915 60,462081812 63,478033021 66,674012739 70,061380675 73,652224855

36 54,569618642 57,301412629 60,199909722 63,275944267 66,541069094 70,007603184 73,688682450 77,598313850

37 56,797435062 59,733947944 62,855407240 66,174222595 69,703653840 73,457869296 77,452008042 81,702246403

38 59,075377350 62,227296643 65,583930939 69,159449273 72,969022590 77,028894721 81,356458344 85,970336260

39 61,404573341 64,782979059 68,387489040 72,234232751 76,340515824 80,724906037 85,407325531 90,409149710

40 63,786176241 67,402553536 71,268144988 75,401259733 79,821582588 84,550277748 89,610100239 95,025515698

41 66,221365206 70,087617374 74,228018975 78,663297525 83,415784022 88,509537469 93,970478998 99,826536326

42 68,711345924 72,839807808 77,269289497 82,023196451 87,126797003 92,607371280 98,494371960 104,819597779

43 71,257351207 75,660803004 80,394194958 85,483892345 90,958417905 96,848629275 103,187910909 110,012381691

44 73,860641609 78,552323079 83,605035320 89,048409115 94,914566487 101,238331300 108,057457568 115,41287695845 76,522506045 81,516131156 86,904173791 92,719861388 98,999289898 105,781672895 113,109612227 121,029392037

46 79,244262431 84,554034434 90,294038570 96,501457230 103,216766820 110,484031447 118,351222685 126,870567718

47 82,027258336 87,667885295 93,777124631 100,396500947 107,571311741 115,350972547 123,789393536 132,945390427

48 84,872871648 90,859582428 97,355995558 104,408395975 112,067379373 120,388256586 129,431495793 139,263206044

49 87,782511261 94,131071988 101,033285436 108,540647855 116,709569203 125,601845567 135,285176886 145,833734286

50 90,757617764 97,484348788 104,811700786 112,796867290 121,502630202 130,997910162 141,358371019 152,667083657

51 93,799664164 100,921457508 108,694022557 117,180773309 126,451465683 136,582837017 147,659309932 159,773767003

52 96,910156607 104,444493946 112,683108178 121,696196508 131,561138318 142,363236313 154,196534055 167,164717683

53 100,090635131 108,055606294 116,781893653 126,347082403 136,836875313 148,345949584 160,978904082 174,851306391

54 103,342674421 111,756996452 120,993395728 131,137494876 142,284073761 154,538057819 168,015612985 182,845358646

55 106,667884596 115,550921363 125,320714111 136,071619722 147,908306158 160,946889843 175,316198472 191,159172992

56 110,067911999 119,439694397 129,767033749 141,153768313 153,715326108 167,580030988 182,890555914 199,805539912

57 113,544440019 123,425686757 134,335627177 146,388381363 159,711074207 174,445332072 190,748951761 208,797761508

58 117,099189920 127,511328926 139,029856924 151,780032804 165,901684119 181,550918695 198,902037452 218,149671969

59 120,733921693 131,699112149 143,853177989 157,333433788 172,293488853 188,905200849 207,360863857 227,875658847

60 124,450434931 135,991589953 148,809140384 163,053436802 178,893027240 196,516882879 216,136896251 237,990685201




4,25 4,50 4,75 5,00 5,25 5,50 5,75 6,00

1 1,000000000 1,000000000 1,000000000 1,000000000 1,000000000 1,000000000 1,000000000 1,000000000

2 2,042500000 2,045000000 2,047500000 2,050000000 2,052500000 2,055000000 2,057500000 2,060000000

3 3,129306250 3,137025000 3,144756250 3,152500000 3,160256250 3,168025000 3,175806250 3,183600000

4 4,262301766 4,278191125 4,294132172 4,310125000 4,326169703 4,342266375 4,358415109 4,374616000

5 5,443449591 5,470709726 5,498103450 5,525631250 5,553293613 5,581091026 5,609023978 5,637092960

6 6,674796198 6,716891663 6,759263364 6,801912813 6,844841527 6,888051032 6,931542857 6,975318538

7 7,958475037 8,019151788 8,080328374 8,142008453 8,204195707 8,266893839 8,330106571 8,393837650

8 9,296710226 9,380013619 9,464143971 9,549108876 9,634915982 9,721573000 9,809087699 9,897467909

9 10,691820410 10,802114231 10,913690810 11,026564320 11,140749071 11,256259515 11,373110242 11,491315983

10 12,146222778 12,288209372 12,432091124 12,577892536 12,725638397 12,875353788 13,027064081 13,180794942

11 13,662437246 13,841178794 14,022615452 14,206787162 14,393734413 14,583498247 14,776120265 14,971642639

12 15,243090829 15,464031839 15,688689686 15,917126520 16,149405470 16,385590650 16,625747181 16,869941197

13 16,890922189 17,159913272 17,433902446 17,712982846 17,997249257 18,286798136 18,581727643 18,882137669

14 18,608786382 18,932109369 19,262012812 19,598631989 19,942104843 20,292572033 20,650176983 21,015065929

15 20,399659803 20,784054291 21,176958421 21,578563588 21,989065347 22,408663495 22,837562159 23,275969885

16 22,266645345 22,719336734 23,182863946 23,657491768 24,143491278 24,641139987 25,150721984 25,672528078

17 24,212977772 24,741706887 25,284049983 25,840366356 26,411024570 26,996402687 27,596888498 28,212879763

18 26,242029327 26,855083697 27,485042357 28,132384674 28,797603360 29,481204835 30,183709586 30,905652549

19 28,357315574 29,063562463 29,790581869 30,539003908 31,309477536 32,102671100 32,919272887 33,759991701

20 30,562501486 31,371422774 32,205634508 33,065954103 33,953225107 34,868318011 35,812131078 36,785591204

21 32,861407799 33,783136799 34,735402147 35,719251808 36,735769425 37,786075502 38,871328615 39,992726676

22 35,258017630 36,303377955 37,385333749 38,505214398 39,664397320 40,864309654 42,106430011 43,392290276

23 37,756483380 38,937029963 40,161137102 41,430475118 42,746778179 44,111846685 45,527549736 46,995827693

24 40,361133923 41,689196311 43,068791115 44,501998874 45,990984034 47,537998253 49,145383846 50,815577354

25 43,076482115 44,565210145 46,114558693 47,727098818 49,405510696 51,152588157 52,971243417 54,864511996

26 45,907232605 47,570644602 49,305000231 51,113453759 52,999300007 54,965980505 57,017089914 59,156382715

27 48,858289991 50,711323609 52,646987742 54,669126447 56,781763257 58,989109433 61,295572584 63,705765678

28 51,934767315 53,993333171 56,147719659 58,402582769 60,762805828 63,233510452 65,820068008 68,528111619

29 55,141994926 57,423033164 59,814736343 62,322711908 64,952853134 67,711353527 70,604721918 73,639798316

30 58,485529710 61,007069656 63,655936319 66,438847503 69,362877924 72,435477971 75,664493428 79,058186215

31 61,971164723 64,752387791 67,679593295 70,760789878 74,004429015 77,419429259 81,015201801 84,801677388

32 65,604939224 68,666245242 71,894373976 75,298829372 78,889661538 82,677497868 86,673575904 90,889778031

33 69,393149141 72,756226277 76,309356740 80,063770841 84,031368769 88,224760251 92,657306519 97,343164713

34 73,342357979 77,030256460 80,934051185 85,066959383 89,443015629 94,077122065 98,985101643 104,183754596

35 77,459408193 81,496618001 85,778418616 90,320307352 95,138773950 100,251363779 105,676744988 111,434779872

36 81,751433042 86,163965811 90,852893501 95,836322719 101,133559582 106,765188786 112,753157825 119,120866664

37 86,225868946 91,041344272 96,168405942 101,628138855 107,443071460 113,637274170 120,236464400 127,268118664

38 90,890468376 96,138204764 101,736405224 107,709545798 114,083832712 120,887324249 128,150061103 135,904205784

39 95,753313282 101,464423979 107,568884472 114,095023088 121,073233929 128,536127083 136,518689616 145,058458131

40 100,822829097 107,030323058 113,678406485 120,799774242 128,429578711 136,605614072 145,368514269 154,761965619

41 106,107799333 112,846687595 120,078130793 127,839762955 136,172131593 145,118922846 154,727203839 165,047683556

42 111,617380805 118,924788537 126,781842005 135,231751102 144,321168502 154,100463603 164,624018060 175,950544569

43 117,361119489 125,276404021 133,803979501 142,993338657 152,898029848 163,575989101 175,089899098 187,507577243

44 123,348967067 131,913842202 141,159668527 151,143005590 161,925176415 173,572668502 186,157568297 199,75803187845 129,591298168 138,849965101 148,864752782 159,700155870 171,426248177 184,119165269 197,861628474 212,743513791

46 136,098928340 146,098213531 156,935828539 168,685163663 181,426126206 195,245719359 210,238672111 226,508124618

47 142,883132794 153,672633140 165,390280395 178,119421847 191,950997832 206,984233924 223,327395757 241,098612095

48 149,955665938 161,587901631 174,246318713 188,025392939 203,028425218 219,368366789 237,168721013 256,564528821

49 157,328781740 169,859357204 183,523018852 198,426662586 214,687417542 232,433626963 251,805922472 272,958400550

50 165,015254964 178,503028279 193,240362248 209,347995715 226,958506963 246,217476446 267,284763014 290,335904583

51 173,028403300 187,535664551 203,419279455 220,815395501 239,873828579 260,759437650 283,653636887 308,756058858

52 181,382110441 196,974769456 214,081695229 232,856165276 253,467204579 276,101206721 300,963721008 328,281422390

53 190,090850134 206,838634082 225,250575752 245,498973540 267,774232819 292,286773091 319,269134966 348,978307733

54 199,169711265 217,146372615 236,949978100 258,773922217 282,832380042 309,362545611 338,627110227 370,917006197

55 208,634423994 227,917959383 249,205102060 272,712618327 298,681079995 327,377485619 359,098169065 394,172026569

56 218,501387014 239,174267555 262,042344408 287,348249244 315,361836694 346,383247328 380,746313786 418,822348163

57 228,787695962 250,937109595 275,489355767 302,715661706 332,918333121 366,434325931 403,639226828 444,951689053

58 239,511173040 263,229279527 289,575100166 318,851444791 351,396545610 387,588213858 427,848482371 472,648790396

59 250,690397894 276,074597106 304,329917424 335,794017031 370,844864254 409,905565620 453,449770107 502,007717820

60 262,344739805 289,497953975 319,785588502 353,583717882 391,314219627 433,450371729 480,523131889 533,128180889




6,25 6,50 6,75 7,00 7,25 7,50 7,75 8,00

1 1,000000000 1,000000000 1,000000000 1,000000000 1,000000000 1,000000000 1,000000000 1,000000000

2 2,062500000 2,065000000 2,067500000 2,070000000 2,072500000 2,075000000 2,077500000 2,080000000

3 3,191406250 3,199225000 3,207056250 3,214900000 3,222756250 3,230625000 3,238506250 3,246400000

4 4,390869141 4,407174625 4,423532547 4,439943000 4,456406078 4,472921875 4,489490484 4,506112000

5 5,665298462 5,693640976 5,722120994 5,750739010 5,779495519 5,808391016 5,837425997 5,866600960

6 7,019379616 7,063727639 7,108364161 7,153290741 7,198508944 7,244020342 7,289826512 7,335929037

7 8,458090842 8,522869936 8,588178742 8,654021093 8,720400842 8,787321867 8,854788066 8,922803360

8 9,986721519 10,076856481 10,167880807 10,259802569 10,352629903 10,446371007 10,541034141 10,636627629

9 11,610891614 11,731852153 11,854212761 11,977988749 12,103195571 12,229848833 12,357964287 12,487557839

10 13,336572340 13,494422543 13,654372123 13,816447961 13,980677250 14,147087496 14,315706520 14,486562466

11 15,170108112 15,371560008 15,576042241 15,783599319 15,994276351 16,208119058 16,425173775 16,645487463

12 17,118239868 17,370711408 17,627425092 17,888451271 18,153861386 18,423727987 18,698124743 18,977126460

13 19,188129860 19,499807650 19,817276286 20,140642860 20,470016337 20,805507586 21,147229410 21,495296577

14 21,387387977 21,767295147 22,154942435 22,550487860 22,954092521 23,365920655 23,786139689 24,214920303

15 23,724099725 24,182169332 24,650401050 25,129022010 25,618264229 26,118364704 26,629565515 27,152113927

16 26,206855958 26,754010338 27,314303120 27,888053551 28,475588386 29,077242057 29,693356843 30,324283042

17 28,844784455 29,493021010 30,158018581 30,840217299 31,540068544 32,258035211 32,994591998 33,750225685

18 31,647583484 32,410067376 33,193684835 33,999032510 34,826723513 35,677387852 36,551672878 37,450243740

19 34,625557451 35,516721755 36,434258562 37,378964786 38,351660968 39,353191941 40,384427526 41,446263239

20 37,789654792 38,825308670 39,893571015 40,995492321 42,132156388 43,304681337 44,514220659 45,761964298

21 41,151508217 42,348953733 43,586387058 44,865176784 46,186737726 47,552532437 48,964072760 50,422921442

22 44,723477480 46,101635726 47,528468184 49,005739159 50,535276211 52,118972370 53,758788399 55,456755157

23 48,518694823 50,098242048 51,736639787 53,436140900 55,199083737 57,027895297 58,925094500 60,893295570

24 52,551113249 54,354627781 56,228862973 58,176670763 60,201017308 62,304987445 64,491789324 66,764759216

25 56,835557827 58,887678587 61,024311223 63,249037716 65,565591062 67,977861503 70,489902997 73,105939953

26 61,387780191 63,715377695 66,143452231 68,676470356 71,319096414 74,076201116 76,952870479 79,954415149

27 66,224516453 68,856877245 71,608135256 74,483823281 77,489730904 80,631916199 83,916717941 87,350768361

28 71,363548732 74,332574266 77,441684386 80,697690911 84,107736395 87,679309914 91,420263581 95,338829830

29 76,823770527 80,164191593 83,668998082 87,346529275 91,205547284 95,255258158 99,505334009 103,965936216

30 82,625256185 86,374864047 90,316655453 94,460786324 98,817949462 103,399402520 108,216997394 113,283211113

31 88,789334697 92,989230210 97,413029696 102,073041366 106,982250798 112,154357709 117,603814693 123,345868002

32 95,338668116 100,033530173 104,988409200 110,218154262 115,738463980 121,565934537 127,718110331 134,213537443

33 102,297334873 107,535709635 113,075126821 118,933425060 125,129502619 131,683379627 138,616263882 145,950620438

34 109,690918302 115,525530761 121,707697882 128,258764815 135,201391559 142,559633099 150,359024333 158,626670073

35 117,546600696 124,034690260 130,922967489 138,236878352 146,003492447 154,251605581 163,011848719 172,316803679

36 125,893263240 133,096945127 140,760267794 148,913459836 157,588745649 166,820476000 176,645266994 187,102147973

37 134,761592192 142,748246561 151,261585870 160,337402025 170,013929709 180,332011700 191,335275186 203,070319811

38 144,184191704 153,026882587 162,471742917 172,561020167 183,339939613 194,856912577 207,163759013 220,315945396

39 154,195703686 163,973629955 174,438585563 185,640291578 197,632085235 210,471181021 224,218950337 238,941221028

40 164,832935166 175,631915902 187,213190089 199,635111989 212,960411414 227,256519597 242,595918988 259,056518710

41 176,134993614 188,047990436 200,850080420 214,609569828 229,400041242 245,300758567 262,397102709 280,781040207

42 188,143430715 201,271109814 215,407460848 230,632239716 247,031544232 264,698315460 283,732878169 304,243523423

43 200,902395134 215,353731952 230,947464456 247,776496496 265,941331189 285,550689119 306,722176228 329,583005297

44 214,458794830 230,351724529 247,536418306 266,120851251 286,222077700 307,966990803 331,493144885 356,949645721

45 228,862469507 246,324586624 265,245126542 285,749310838 307,973178333 332,064515113 358,183863614 386,505617379

46 244,166373851 263,335684754 284,149172584 306,751762597 331,301233762 357,969353747 386,943113044 418,426066769

47 260,426772217 281,452504263 304,329241733 329,224385979 356,320573210 385,817055278 417,931204305 452,900152110

48 277,703445481 300,746917040 325,871465550 353,270092997 383,153814768 415,753334424 451,320872638 490,13216427949 296,059910823 321,295466648 348,867789475 378,998999507 411,932466338 447,934834505 487,298240268 530,342737422

50 315,563655250 343,179671980 373,416365264 406,528929472 442,797570148 482,529947093 526,063853889 573,770156415

51 336,286383703 366,486350659 399,621969919 435,985954536 475,900393984 519,719693125 567,833802565 620,671768929

52 358,304282684 391,307963451 427,596452889 467,504971353 511,403172548 559,698670110 612,840922264 671,325510443

53 381,698300352 417,742981076 457,459213459 501,230319348 549,479902557 602,676070368 661,336093739 726,031551278

54 406,554444124 445,896274846 489,337710368 537,316441702 590,317195493 648,876775646 713,589641004 785,114075381

55 432,964096882 475,879532711 523,368005817 575,928592621 634,115192166 698,542533819 769,892838182 848,923201411

56 461,024352937 507,811702337 559,695346210 617,243594105 681,088543598 751,933223856 830,559533141 917,837057524

57 490,838374995 541,819462989 598,474782079 661,450645692 731,467463009 809,328215645 895,927896959 992,264022126

58 522,515773433 578,037728083 639,871829869 708,752190890 785,498854077 871,027831818 966,362308974 1.072,645143896

59 556,173009272 616,610180409 684,063178386 759,364844253 843,447520997 937,354919204 1.042,255387919 1.159,456755408

60 591,933822352 657,689842135 731,237442927 813,520383350 905,597466270 1.008,656538145 1.124,030180483 1.253,213295840




8,25 8,50 8,75 9,00 9,25 9,50 9,75 10,00

1 1,000000000 1,000000000 1,000000000 1,000000000 1,000000000 1,000000000 1,000000000 1,000000000

2 2,082500000 2,085000000 2,087500000 2,090000000 2,092500000 2,095000000 2,097500000 2,100000000

3 3,254306250 3,262225000 3,270156250 3,278100000 3,286056250 3,294025000 3,302006250 3,310000000

4 4,522786516 4,539514125 4,556294922 4,573129000 4,590016453 4,606957375 4,623951859 4,641000000

5 5,895916403 5,925372826 5,954970728 5,984710610 6,014592975 6,044618326 6,074787166 6,105100000

6 7,382329506 7,429029516 7,476030666 7,523334565 7,570942825 7,618857067 7,667078914 7,715610000

7 8,991371691 9,060497025 9,130183349 9,200434676 9,271255037 9,342648488 9,414619108 9,487171000

8 10,733159855 10,830639272 10,929074393 11,028473797 11,128846127 11,230200094 11,332544472 11,435888100

9 12,618645543 12,751243610 12,885368402 13,021036438 13,158264394 13,297069103 13,437467558 13,579476910

10 14,659683801 14,835099317 15,012838137 15,192929718 15,375403851 15,560290668 15,747620644 15,937424601

11 16,869107714 17,096082759 17,326461474 17,560293392 17,797628707 18,038518281 18,283013657 18,531167061

12 19,260809101 19,549249793 19,842526853 20,140719798 20,443909362 20,752177518 21,065607489 21,384283767

13 21,849825851 22,210936025 22,578747953 22,953384579 23,334970978 23,723634382 24,119504219 24,522712144

14 24,652436484 25,098865588 25,554388399 26,019189192 26,493455794 26,977379649 27,471155880 27,974983358

15 27,686262494 28,232269163 28,790397383 29,360916219 29,944100455 30,540230715 31,149593579 31,772481694

16 30,970379150 31,632012041 32,309557155 33,003398678 33,713929747 34,441552633 35,186678953 35,949729864

17 34,525435430 35,320733065 36,136643406 36,973704559 37,832468248 38,713500133 39,617380150 40,544702850

18 38,373783853 39,322995375 40,298599704 41,301337970 42,331971561 43,391282646 44,480074715 45,599173135

19 42,539621020 43,665449982 44,824727178 46,018458387 47,247678931 48,513454498 49,816882000 51,159090448

20 47,049139755 48,377013231 49,746890806 51,160119642 52,618089232 54,122232675 55,674027995 57,274999493

21 51,930693784 53,489059356 55,099743751 56,764530410 58,485262486 60,263844779 62,102245724 64,002499443

22 57,214976021 59,035629401 60,920971329 62,873338147 64,895149266 66,988910033 69,157214682 71,402749387

23 62,935211543 65,053657900 67,251556321 69,531938580 71,897950573 74,352856486 76,900043114 79,543024326

24 69,127366496 71,583218821 74,136067499 76,789813052 79,548511001 82,416377852 85,397797317 88,497326758

25 75,830374231 78,667792421 81,622973405 84,700896227 87,906748268 91,245933748 94,724082556 98,347059434

26 83,086380106 86,354554777 89,764983578 93,323976887 97,038122483 100,914297454 104,959680605 109,181765377

27 90,941006464 94,694691933 98,619419641 102,723134807 107,014148813 111,501155712 116,193249464 121,099941915

28 99,443639498 103,743740747 108,248618859 112,968216940 117,912957578 123,093765505 128,522091287 134,209936106

29 108,647739756 113,561958711 118,720373010 124,135356464 129,819906154 135,787673228 142,052995187 148,630929717

30 118,611178286 124,214725201 130,108405648 136,307538546 142,828247473 149,687502185 156,903162218 164,494022689

31 129,396600495 135,772976843 142,492891142 149,575217015 157,039860365 164,907814892 173,201220534 181,943424958

32 141,071820035 148,313679875 155,961019117 164,036986546 172,566047448 181,574057307 191,088339536 201,137767454

33 153,710245188 161,920342664 170,607608290 179,800315336 189,528406837 199,823592751 210,719452641 222,251544199

34 167,391340416 176,683571791 186,535774015 196,982343716 208,059784470 219,806834063 232,264599274 245,476698619

35 182,201126001 192,701675393 203,857654241 215,710754650 228,305314533 241,688483299 255,910397703 271,024368481

36 198,232718896 210,081317801 222,695198988 236,124722569 250,423556127 265,648889212 281,861661479 299,12680532937 215,586918205 228,938229814 243,181028899 258,375947600 274,587735069 291,885533687 310,343173473 330,039485862

38 234,372838957 249,397979349 265,459368928 282,629782884 300,987100563 320,614659387 341,601632887 364,043434448

39 254,708598170 271,596807593 289,687063709 309,066463343 329,828407365 352,073052029 375,907792093 401,447777893

40 276,722057520 295,682536239 316,034681783 337,882445044 361,337535046 386,519991972 413,558801822 442,592555682

41 300,551627265 321,815551819 344,687716439 369,291865098 395,761257038 424,239391209 454,880785000 487,851811250

42 326,347136514 350,169873724 375,847891628 403,528132957 433,369173314 465,542133374 500,231661538 537,636992375

43 354,270775277 380,934312990 409,734582145 440,845664923 474,455821846 510,768636045 550,004248538 592,400691612

44 384,498114237 414,313729594 446,586358083 481,521774766 519,342985367 560,291656469 604,629662770 652,640760774

45 417,219208662 450,530396610 486,662664415 525,858734495 568,382211513 614,519363834 664,581054890 718,904836851

46 452,639793376 489,825480322 530,245647551 574,186020600 621,957566078 673,898703398 730,377707742 791,795320536

47 490,982576330 532,460646149 577,642141712 626,862762454 680,488640940 738,919080221 802,589534247 871,974852590

48 532,488638877 578,719801072 629,185829112 684,280411075 744,433840227 810,116392841 881,842013836 960,172337849

49 577,418951584 628,910984163 685,239589159 746,865648072 814,293970448 888,077450161 968,821610185 1.057,189571634

50 626,056015090 683,368417817 746,198053211 815,083556398 890,616162715 973,444807927 1.064,281717178 1.163,908528797

51 678,705636335 742,454733331 812,490382867 889,441076474 973,998157766 1.066,922064680 1.169,049184603 1.281,299381677

52 735,698851332 806,563385664 884,583291368 970,490773356 1.065,092987359 1.169,279660824 1.284,031480101 1.410,429319844

53 797,394006567 876,121273446 962,984329362 1.058,834942959 1.164,614088690 1.281,361228603 1.410,224549411 1.552,472251829

54 864,179012109 951,591581688 1.048,245458181 1.155,130087825 1.273,340891894 1.404,090545320 1.548,721442979 1.708,719477012

55 936,473780608 1.033,476866132 1.140,966935772 1.260,091795729 1.392,124924394 1.538,479147125 1.700,721783669 1.880,591424713

56 1.014,732867508 1.122,322399753 1.241,801542652 1.374,500057345 1.521,896479900 1.685,634666102 1.867,542157577 2.069,650567184

57 1.099,448329078 1.218,719803732 1.351,459177634 1.499,205062506 1.663,671904291 1.846,769959382 2.050,627517941 2.277,615623902

58 1.191,152816227 1.323,310987049 1.470,711855677 1.635,133518131 1.818,561555438 2.023,213105523 2.251,563700940 2.506,377186293

59 1.290,422923565 1.436,792420949 1.600,399143049 1.783,295534763 1.987,778499316 2.216,418350548 2.472,091161782 2.758,014904922

60 1.397,882814760 1.559,919776729 1.741,434068066 1.944,792132892 2.172,648010503 2.427,978093850 2.714,120050055 3.034,816395414




10,25 10,50 10,75 11,00 11,25 11,50 11,75 12,00

1 1,000000000 1,000000000 1,000000000 1,000000000 1,000000000 1,000000000 1,000000000 1,000000000

2 2,102500000 2,105000000 2,107500000 2,110000000 2,112500000 2,115000000 2,117500000 2,120000000

3 3,318006250 3,326025000 3,334056250 3,342100000 3,350156250 3,358225000 3,366306250 3,374400000

4 4,658101891 4,675257625 4,692467297 4,709731000 4,727048828 4,744420875 4,761847234 4,779328000

5 6,135557334 6,166159676 6,196907531 6,227801410 6,258841821 6,290029276 6,321364284 6,352847360

6 7,764451961 7,813606442 7,863075091 7,912859565 7,962961526 8,013382642 8,064124588 8,115189043

7 9,560308287 9,634035118 9,708355663 9,783274117 9,858794698 9,934921646 10,011659227 10,089011728

8 11,540239887 11,645608805 11,752003897 11,859434270 11,967909101 12,077437636 12,188029186 12,299693136

9 13,723114475 13,868397730 14,015344316 14,163972040 14,314298875 14,466342964 14,620122615 14,775656312

10 16,129733709 16,324579492 16,521993830 16,722008964 16,924657499 17,129972404 17,337987023 17,548735070

11 18,783031414 19,038660338 19,298108167 19,561429950 19,828681467 20,099919231 20,375200498 20,654583278

12 21,708292134 22,037719674 22,372654794 22,713187245 23,059408132 23,411409942 23,769286556 24,133133271

13 24,933392078 25,351680239 25,777715185 26,211637842 26,653591547 27,103722086 27,562177727 28,029109264

14 28,489064765 29,013606664 29,548819567 30,094918004 30,652120596 31,220650126 31,800733610 32,392602375

15 32,409193904 33,060035364 33,725317671 34,405358985 35,100484164 35,811024890 36,537319809 37,279714660

16 36,731136279 37,531339077 38,350789320 39,189948473 40,049288632 40,929292753 41,830454886 42,753280420

17 41,496077748 42,472129681 43,473499172 44,500842805 45,554833603 46,636161419 47,745533336 48,883674070

18 46,749425717 47,931703297 49,146900333 50,395935514 51,679752383 52,999319982 54,355633502 55,749714959

19 52,541241853 53,964532143 55,430192119 56,939488420 58,493724527 60,094241780 61,742420439 63,439680754

20 58,926719143 60,630808018 62,388937772 64,202832147 66,074268536 68,005079585 69,997154841 72,052442444

21 65,966707855 67,997042860 70,095748582 72,265143683 74,507623746 76,825663737 79,221820534 81,698735537

22 73,728295410 76,136732361 78,631041555 81,214309488 83,889731417 86,660615067 89,530384447 92,502583802

23 82,285445689 85,131089258 88,083878522 91,147883532 94,327326202 97,626585800 101,050204620 104,602893858

24 91,719703873 95,069853631 98,552895463 102,174150720 105,939150400 109,853643167 113,923603662 118,155241121

25 102,120973520 106,052188262 110,147331726 114,413307299 118,857304820 123,486812131 128,309627093 133,333870055

26 113,588373305 118,187668029 122,988169886 127,998771102 133,228751612 138,687795526 144,386008276 150,333934462

27 126,231181569 131,597373172 137,209398149 143,078635923 149,216986168 155,636892011 162,351364249 169,374006597

28 140,169877680 146,415097355 152,959408450 159,817285875 167,003897112 174,535134593 182,427649548 190,698887389

29 155,537290142 162,788682578 170,402544858 178,397187321 186,791835537 195,606675071 204,862898370 214,582753876

30 172,479862382 180,881494248 189,720818430 199,020877926 208,805917035 219,101442704 229,934288928 241,332684341

31 191,159048276 200,874051145 211,115806412 221,913174498 233,296582701 245,298108615 257,951567877 271,292606462

32 211,752850724 222,965826515 234,810755601 247,323623693 260,542448255 274,507391106 289,260877103 304,847719237

33 234,457517923 247,377238299 261,052911828 275,529222299 290,853473684 307,075741083 324,249030162 342,429445546

34 259,489413510 274,351848320 290,116099850 306,837436752 324,574489474 343,389451307 363,348291206 384,520979011

35 287,087078395 304,158792394 322,303580583 341,589554795 362,089119539 383,879238208 407,041715423 431,663496493

36 317,513503931 337,095465595 357,951215496 380,164405823 403,824145488 429,025350602 455,869116985 484,46311607237 351,058638084 373,490489483 397,430971162 422,982490463 450,254361855 479,363265921 510,433738231 543,598690000

38 388,042148487 413,706990878 441,154800562 470,510564414 501,907977564 535,490041502 571,409702473 609,830532800

39 428,816468707 458,146224920 489,578941622 523,266726500 559,372625039 598,071396274 639,550342514 684,010196736

40 473,770156750 507,251578537 543,208677847 581,826066415 623,302045356 667,849606846 715,697507759 767,091420345

41 523,331597817 561,512994284 602,603610715 646,826933720 694,423525459 745,652311633 800,791964921 860,142390786

42 577,973086593 621,471858683 668,383498867 718,977896429 773,546172073 832,402327471 895,885020799 964,359477680

43 638,215327968 687,726403845 741,234724995 799,065465037 861,570116431 929,128595130 1.002,151510743 1.081,082615002

44 704,632399085 760,937676249 821,917457932 887,962666191 959,496754530 1.036,978383570 1.120,904313256 1.211,812528802

45 777,857219991 841,836132255 911,273584660 986,638559472 1.068,440139414 1.157,230897681 1.253,610570063 1.358,230032259

46 858,587585041 931,228926142 1.010,235495011 1.096,168801013 1.189,639655099 1.291,312450914 1.401,909812046 1.522,217636130

47 947,592812507 1.030,007963387 1.119,835810725 1.217,747369125 1.324,474116297 1.440,813382769 1.567,634214961 1.705,883752465

48 1.045,721075789 1.139,158799542 1.241,218160378 1.352,699579729 1.474,477454381 1.607,506921787 1.752,831235219 1.911,589802761

49 1.153,907486058 1.259,770473494 1.375,649112618 1.502,496533499 1.641,356167998 1.793,370217793 1.959,788905357 2.141,980579092

50 1.273,183003379 1.393,046373211 1.524,531392225 1.668,771152184 1.827,008736898 2.000,607792839 2.191,064101737 2.400,018248583

51 1.404,684261225 1.540,316242398 1.689,418516889 1.853,335978924 2.033,547219799 2.231,677689016 2.449,514133691 2.689,020438413

52 1.549,664398000 1.703,049447850 1.872,031007454 2.058,202936606 2.263,321282027 2.489,320623252 2.738,332044399 3.012,702891023

53 1.709,504998795 1.882,869639874 2.074,274340756 2.285,605259632 2.518,944926255 2.776,592494927 3.061,086059616 3.375,227237946

54 1.885,729261172 2.081,570952061 2.298,258832387 2.538,021838192 2.803,326230458 3.096,900631843 3.421,763671621 3.781,254506499

55 2.080,016510442 2.301,135902027 2.546,321656869 2.818,204240393 3.119,700431385 3.454,044204505 3.824,820903037 4.236,005047279

56 2.294,218202762 2.543,755171740 2.821,051234982 3.129,206706836 3.471,666729916 3.852,259288023 4.275,237359144 4.745,325652953

57 2.530,375568546 2.811,849464773 3.125,314242742 3.474,419444588 3.863,229237031 4.296,269106146 4.778,577748843 5.315,764731307

58 2.790,739064322 3.108,093658574 3.462,285523837 3.857,605583493 4.298,842526197 4.791,340053352 5.341,060634332 5.954,656499064

59 3.077,789818414 3.435,443492724 3.835,481217650 4.282,942197677 4.783,462310394 5.343,344159488 5.969,635258866 6.670,215278951

60 3.394,263274802 3.797,165059460 4.248,795448547 4.755,065839421 5.322,601820314 5.958,828737829 6.672,067401783 7.471,641112426




12,25 12,50 12,75 13,00 13,25 13,50 13,75 14,00

1 1,000000000 1,000000000 1,000000000 1,000000000 1,000000000 1,000000000 1,000000000 1,000000000

2 2,122500000 2,125000000 2,127500000 2,130000000 2,132500000 2,135000000 2,137500000 2,140000000

3 3,382506250 3,390625000 3,398756250 3,406900000 3,415056250 3,423225000 3,431406250 3,439600000

4 4,796863266 4,814453125 4,832097672 4,849797000 4,867551203 4,885360375 4,903224609 4,921144000

5 6,384479016 6,416259766 6,448190125 6,480270610 6,512501738 6,544884026 6,577417993 6,610104160

6 8,166577695 8,218292236 8,270334366 8,322705789 8,375408218 8,428443369 8,481812967 8,535518742

7 10,166983463 10,245578766 10,324801998 10,404657542 10,485149807 10,566283224 10,648062250 10,730491366

8 12,412438937 12,526276112 12,641214252 12,757263022 12,874432156 12,992731459 13,112170810 13,2327601589 14,932962707 15,092060626 15,252969070 15,415707215 15,580294417 15,746750206 15,915094296 16,085346580

10 17,762250638 17,978568204 18,197722626 18,419749153 18,644683427 18,872561484 19,103419762 19,337295101

11 20,938126341 21,225889229 21,517932261 21,814316543 22,115103981 22,420357284 22,730139979 23,044516415

12 24,503046818 24,879125383 25,261468624 25,650177694 26,045355258 26,447105518 26,855534226 27,270748713

13 28,504670054 28,989016056 29,482305873 29,984700794 30,496364830 31,017464763 31,548170182 32,088653533

14 32,996492135 33,612643063 34,241299872 34,882711897 35,537133170 36,204822505 36,886043582 37,581065027

15 38,038562422 38,814223446 39,607065606 40,417464444 41,245803315 42,092473544 42,957874575 43,842414131

16 43,698286318 44,666001376 45,656966471 46,671734822 47,710872254 48,774957472 49,864582329 50,980352110

17 50,051326392 51,249251548 52,478229696 53,739060348 55,032562828 56,359576731 57,720962399 59,117601405

18 57,182613875 58,655407992 60,169203982 61,725138194 63,324377403 64,968119590 66,657594729 68,394065602

19 65,187484075 66,987333991 68,840777490 70,749406159 72,714857409 74,738815734 76,823014004 78,969234786

20 74,172950874 76,360750740 78,617976620 80,946828959 83,349576015 85,828555858 88,386178429 91,024927656

21 84,259137356 86,905844582 89,641768639 92, 469916724 95,393394837 98,415410899 101,539277963 104,768417528

22 95 ,58 088 16 82 98 ,76 90 75 15 5 1 02 ,07 10 941 40 10 5,491 00 58 98 10 9,033 019 65 3 1 12 ,70 14 91 370 1 16 ,50 092 86 83 12 0,435 99 598 2

23 1 08 ,28 953 96 89 112 ,11 52 09 54 9 1 16 ,08 51 586 43 12 0,204 83 66 65 12 4,479 894 75 8 1 28 ,91 61 92 705 1 33 ,51 980 63 77 13 8,297 03 541 9

24 1 22 ,55 500 83 00 127 ,12 96 10 74 3 1 31 ,88 60 163 70 13 6,831 46 54 32 14 1,973 480 81 3 1 47 ,31 98 78 721 1 52 ,87 877 97 54 15 8,658 62 037 8

25 1 38 ,56 799 68 17 144 ,02 08 12 08 6 1 49 ,70 14 834 57 15 5,619 55 59 38 16 1,784 967 02 1 1 68 ,20 80 62 348 1 74 ,89 961 19 70 18 1,870 82 723 1

26 1 56 ,54 257 64 27 163 ,02 34 13 59 6 1 69 ,78 84 225 98 17 6,850 09 82 09 18 4,221 475 15 1 1 91 ,91 61 50 765 1 99 ,94 830 86 16 20 8,332 74 304 3

27 1 76 ,71 904 20 40 184 ,40 13 40 29 6 1 92 ,43 64 464 79 20 0,840 61 09 77 20 9,630 820 60 8 2 18 ,82 48 31 118 2 28 ,44 120 10 51 23 8,499 32 706 9

28 1 99 ,36 712 46 89 208 ,45 15 07 83 3 2 17 ,97 20 934 05 22 7,949 89 04 04 23 8,406 904 33 9 2 49 ,36 61 83 319 2 60 ,85 186 61 95 27 2,889 23 285 9

29 2 24 ,78 959 74 64 235 ,50 79 46 31 2 2 46 ,76 35 353 15 25 8,583 37 61 56 27 0,995 819 16 4 2 84 ,03 06 18 067 2 97 ,71 899 77 97 31 2,093 72 545 9

30 2 53 ,32 632 31 53 265 ,94 64 39 60 1 2 79 ,22 58 860 67 29 3,199 21 50 56 30 7,902 765 20 3 3 23 ,37 47 51 506 3 39 ,65 535 99 94 35 6,786 84 702 4

31 2 85 ,35 879 77 40 300 ,18 97 44 55 1 3 15 ,82 71 865 41 33 2,315 11 30 14 34 9,699 881 59 2 3 68 ,03 03 42 960 3 87 ,35 797 19 94 40 7,737 00 560 7

32 3 21 ,31 525 04 63 338 ,71 34 62 62 0 3 57 ,09 51 528 25 37 6,516 07 77 06 39 7,035 115 90 3 4 18 ,71 44 39 259 4 41 ,61 969 31 43 46 5,820 18 639 2

33 3 61 ,67 636 86 44 382 ,05 26 45 44 7 4 03 ,62 47 848 10 42 6,463 16 78 07 45 0,642 268 76 1 4 76 ,24 08 88 559 5 03 ,34 240 09 50 53 2,035 01 248 7

34 4 06 ,98 172 38 03 430 ,80 92 26 12 8 4 56 ,08 69 448 73 48 2,903 37 96 22 51 1,352 369 37 1 5 41 ,53 34 08 515 5 73 ,55 198 10 81 60 7,519 91 423 5

35 4 57 ,83 698 49 69 485 ,66 03 79 39 4 5 15 ,23 80 303 45 54 6,680 81 89 73 58 0,106 558 31 3 6 15 ,64 04 18 664 6 53 ,41 537 84 79 69 3,572 70 222 8

36 5 14 ,92 201 56 28 547 ,36 79 26 81 9 5 81 ,93 08 792 13 61 8,749 32 54 40 65 7,970 677 29 0 6 99 ,75 18 75 184 7 44 ,25 999 30 20 79 1,672 88 054 0

37 5 78 ,99 996 25 42 616 ,78 89 17 67 1 6 57 ,12 70 663 13 70 0,186 73 77 47 74 6,151 792 03 0 7 95 ,21 83 78 334 8 47 ,59 574 20 60 90 3,507 08 381 5

38 6 50 ,92 745 79 54 694 ,88 75 32 38 0 7 41 ,91 07 672 68 79 2,211 01 36 54 84 6,016 904 47 5 9 03 ,57 28 59 409 9 65 ,14 015 65 94 1.030 ,998 07 555 0

39 731,666071553 782,748473928 837,504390095 896,198445429 959,114144317 1 .026,555195429 1 .098,846928125 1 .176,33780612640 822,295165318 881,592033168 945,286199832 1 .013,704243335 1 .087,196768439 1 .166,140146812 1 .250,938380743 1 .342,025098984

41 924,026323070 992,791037315 1 .066,810190310 1 .146,485794968 1 .232,250340258 1 .324,569066632 1 .423,942408095 1 .530,908612842

42 1.038,219547646 1.117,889916979 1.203,828489575 1.296,528948314 1.396,523510342 1.504,385890627 1.620,734489208 1.746,235818640

43 1.166,401442232 1.258,626156601 1.358,316621996 1.466,077711595 1.582,562875462 1.708,477985862 1.844,585481474 1.991,708833249

44 1.310,285618906 1.416,954426176 1.532,501991300 1.657,667814102 1.793,252456461 1.940,122513953 2.099,215985176 2.271,548069904

45 1.471,795607222 1.595,073729448 1.728,895995191 1.874,164629936 2.031,858406942 2.203,039053337 2.388,858183138 2.590,564799691

46 1.653,090569107 1.795,457945629 1.950,330234578 2.118,806031827 2.302,079645862 2.501,449325537 2.718,326183320 2.954,243871648

47 1.856,594163822 2.020,890188833 2.199,997339487 2.395,250815965 2.608,105198938 2.840,144984485 3.093,096033526 3.368,838013678

48 2.085,026948890 2.274,501462437 2.481,497000271 2.707,633422040 2.954,679137798 3.224,564557390 3.519,396738136 3.841,475335593

49 2.341,442750129 2.559,814145242 2.798,887867806 3.060,625766905 3.347,174123556 3.660,880772638 4.004,313789630 4.380,281882576

50 2.629,269487020 2.880,790913397 3.156,746070951 3.459,507116603 3.791,674694927 4.156,099676944 4.555,906935704 4.994,521346137

51 2.952,354999180 3.241,889777572 3.560,231194997 3.910,243041762 4.295,071592005 4.718,173133332 5.183,344139363 5.694,754334596

52 3.315,018486580 3.648,125999768 4.015,160672359 4.419,574637191 4.865,168577946 5.356,126506332 5.897,053958525 6.493,019941440

53 3.722,108251186 4.105,141749739 4.528,093658085 4.995,119340025 5.510,803414523 6.080,203584686 6.708,898877823 7.403,042733241

54 4.179,066511956 4.619,284468457 5.106,425599491 5.645,484854229 6.241,984866948 6.902,031068619 7.632,372473523 8.440,468715895

55 4.692,002159671 5.197,695027014 5.758,494863426 6.380,397885278 7.070,047861818 7.834,805262883 8.682,823688633 9.623,134336120

56 5.267,772424230 5.848,406905391 6.493,702958513 7.210,849610365 8.007,829203509 8.893,503973372 9.877,711945820 10.971,373143177

57 5.914,074546199 6.580,457768564 7.322,650085723 8.149,260059712 9.069,866572974 10.095,127009777 11.236,897338370 12.508,365383222

58 6.639,548678108 7.404,014989635 8.257,287971653 9.209,663867474 10.272,623893893 11.458,969156097 12.782,970722396 14.260,536536873

59 7.453,893391176 8.330,516863339 9.311,092188039 10.407,920170246 11.634,746559834 13.006,929992170 14.541,629196725 16.258,011652035

60 8.367,995331595 9.372,831471257 10.499,256442014 11.761,949792378 13.177,350479012 14.763,865541113 16.542,103211275 18.535,133283320




14,25 14,50 14,75 15,00 15,25 15,50 15,75 16,00

1 1,000000000 1,000000000 1,000000000 1,000000000 1,000000000 1,000000000 1,000000000 1,000000000

2 2,142500000 2,145000000 2,147500000 2,150000000 2,152500000 2,155000000 2,157500000 2,160000000

3 3,447806250 3,456025000 3,464256250 3,472500000 3,480756250 3,489025000 3,497306250 3,505600000

4 4,939118641 4,957148625 4,975234047 4,993375000 5,011571578 5,029823875 5,048131984 5,066496000

5 6,642943047 6,675935176 6,709081069 6,742381250 6,775836244 6,809446576 6,843212772 6,877135360

6 8,589562431 8,643945776 8,698670526 8,753738437 8,809151271 8,864910795 8,921018783 8,977477018

7 10,813575078 10,897317914 10,981724429 11,066799203 11,152546840 11,238971968 11,326079242 11,413873340

8 13,354509526 13,477429011 13,601528782 13,726819084 13,853310233 13,981012623 14,109936722 14,240093075

9 16,257527134 16,431656218 16,607754278 16,785841946 16,965940043 17,148069580 17,332251756 17,51850796710 19,574224750 19,814246369 20,057398034 20,303718238 20,553245900 20,806020365 21,062081408 21,321469242

11 23,363551777 23,687312093 24,015864244 24,349275974 24,687615900 25,030953521 25,379359230 25,732904320

12 27,692857905 28,121972346 28,558204220 29,001667370 29,452477324 29,910751317 30,376608308 30,850169011

13 32,639090157 33,199658336 33,770539342 34,351917475 34,943980116 35,546917771 36,160924117 36,786196053

14 38,290160504 39,013608795 39,751693895 40,504705097 41,272937084 42,056690025 42,856269665 43,671987422

15 44,746508376 45,670582071 46,615068745 47,580410861 48,567059990 49,575476979 50,606132138 51,659505409

16 52,122885819 53,292816471 54,490791384 55,717472490 56,973536638 58,259675911 59,576597949 60,925026275

17 60,550397049 62,020274859 63,528183114 65,075093364 66,662000975 68,289925677 69,959912126 71,673030479

18 70,178828628 72,013214714 73,898590123 75,836357368 77,827956124 79,874864157 81,978598286 84,140715355

19 81,179311708 83,455130847 85,798632166 88,211810974 90,696719433 93,255468102 95,890227516 98,603229812

20 93,747363626 96,556124820 99,453930410 102,443582620 105,527969146 108,710065657 111,992938350 115,379746582

21 108,106362943 111,556762919 115,123385146 118,810120013 122,620984441 126,560125834 130,631826140 134,840506035

22 124,511519662 128,732493542 133,104084455 137,631638014 142,320684568 147,176945339 152,206338757 157,414987001

23 143,254411214 148,398705106 153,736936912 159,276383717 165,024588965 170,989371866 177,178837111 183,601384921

24 164,668164812 170,916517346 177,413135107 184,167841274 191,190838782 198,492724505 206,084503956 213,977606508

25 189,133378297 196,699412361 204,581572535 212,793017465 221,347441697 230,259096804 239,542813330 249,214023550

26 217,084884705 226,220827154 235,757354484 245,711970085 256,102926555 266,949256808 278,270806429 290,088267318

27 249,019480775 260,022847091 271,531564270 283,568765598 296,158622855 309,326391614 323,098458442 337,502390089

28 285,504756786 298,726159919 312,582470000 327,104080437 342,322812840 358,271982314 374,986465646 392,502772503

29 327,189184627 343,041453107 359,688384325 377,169692503 395,527041798 414,804139572 435,046833985 456,303216103

30 374,813643437 393,782463808 413,742421013 434,745146379 456,844915673 480,098781206 504,566710338 530,311730680

31 429,224587627 451,880921060 475,769428112 500,956918335 527,513765313 555,514092293 585,035967216 616,161607589

32 491,389091363 518,403654614 546,945418759 577,100456086 608,959614523 642,618776599 678,179132053 715,747464803

33 562,412036883 594,572184533 628,619868026 664,665524499 702,825955738 743,224686971 785,992345351 831,267059171

34 643,555752139 681,785151290 722,341298559 765,365353173 811,006913988 859,424513452 910,786139744 965,269788639

35 736,262446818 781,643998227 829,886640097 881,170156149 935,685468371 993,635313037 1.055,234956754 1.120,712954821

36 842,179845490 895,982377970 953,294919511 1.014,345679572 1.079,377502297 1.148,648786558 1.222,434462442 1.301,027027592

37 963,190473472 1.026,899822776 1.094,905920139 1.167,497531507 1.244,982571398 1.327,689348474 1.415,967890277 1.510,191352007

38 1.101,445115942 1.176,800297078 1.257,404543360 1.343,622161234 1.435,842413536 1.534,481197487 1.639,982832995 1.752,821968328

39 1.259,401044964 1.348,436340155 1.443,871713505 1.546,165485419 1.655,808381600 1.773,325783098 1.899,280129192 2.034,273483260

40 1.439,865693871 1.544,959609477 1.657,842791247 1.779,090308231 1.909,319159794 2.049,191279478 2.199,416749540 2.360,757240582

41 1.646,046555248 1.769,978752851 1.903,374602956 2.046,953854466 2.201,490331663 2.367,815927797 2.546,824887593 2.739,478399075

42 1.881,608189370 2.027,625672015 2.185,122356892 2.354,996932636 2.538,217607241 2.735,827396606 2.948,949807388 3.178,794942927

43 2.150,737356356 2.322,631394457 2.508,427904534 2.709,246472531 2.926,295792345 3.160,880643080 3.414,409402052 3.688,402133795

44 2.458,217429636 2.660,412946653 2.879,421020453 3.116,633443411 3.373,555900678 3.651,817142757 3.953,178882875 4.279,546475202

45 2.809,513413360 3.047,172823918 3.305,135620969 3.585,128459923 3.889,023175532 4.218,848799885 4.576,804556928 4.965,273911235

46 3.210,869074763 3.490,012883386 3.793,643125062 4.123,897728911 4.483,099209800 4.873,770363867 5.298,651274644 5.760,717737032

47 3.669,417917917 3.997,064751477 4.354,205486009 4.743,482388248 5.167,771839295 5.630,204770266 6.134,188850401 6.683,432574958

48 4.193,309971220 4.577,639140441 4.997,450795195 5.456,004746485 5.956,857044787 6.503,886509657 7.101,323594339 7.753,781786951

49 4.791,856642119 5.242,396815804 5.735,574787487 6.275,405458458 6.866,277744117 7.512,988918654 8.220,782060447 8.995,386872863

50 5.475,696213621 6.003,544354096 6.582,572068641 7.217,716277226 7.914,385100095 8.678,502201046 9.516,555234968 10.435,648772521

51 6.256,982924062 6.875,058285440 7.554,501448766 8.301,373718810 9.122,328827860 10.024,670042208 11.016,412684475 12.106,352576124

52 7.149,602990741 7.872,941736829 8.669,790412459 9.547,579776632 10.514,483974108 11.579,493898750 12.752,497682280 14.044,368988304

53 8.169,421416922 9.015,518288669 9.949,584498296 10.980,716743127 12.118,942780160 13.375,315453056 14.762,016067239 16.292,468026433

54 9.334,563968833 10.323,768440526 11.418,148211795 12.628,824254596 13.968,081554134 15.449,489348280 17.088,033597829 18.900,262910662

55 10.665,739334392 11.821,714864402 13.103,325073035 14.524,147892785 16.099,213991139 17.845,160197263 19.780,398889488 21.925,304976368

56 12.186,607189542 13.536,863519741 15.037,065521307 16.703,770076703 18.555,344124788 20.612,160027839 22.896,811714582 25.434,353772587

57 13.924,198714052 15.500,708730103 17.256,032685700 19.210,335588208 21.386,034103818 23.808,044832154 26.504,059559628 29.504,850376201

58 15.909,397030805 17.749,311495968 19.802,297506841 22.092,885926439 24.648,404304651 27.499,291781138 30.679,448940270 34.226,626436393

59 18.177,486107694 20.323,961662883 22.724,136389100 25.407,818815405 28.408,285961110 31.762,682007214 35.512,462148362 39.703,88666621660 20.768,777878041 23.271,936104002 26.076,946506492 29.219,991637716 32.741,549570179 36.686,897718332 41.106,674936729 46.057,508532811




16,25 16,50 16,75 17,00 17,25 17,50 17,75 18,00

1 1,000000000 1,000000000 1,000000000 1,000000000 1,000000000 1,000000000 1,000000000 1,000000000

2 2,162500000 2,165000000 2,167500000 2,170000000 2,172500000 2,175000000 2,177500000 2,180000000

3 3,513906250 3,522225000 3,530556250 3,538900000 3,547256250 3,555625000 3,564006250 3,572400000

4 5,084916016 5,103392125 5,121924422 5,140513000 5,159157953 5,177859375 5,196617359 5,215432000

5 6,911214868 6,945451826 6,979846763 7,014400210 7,049112700 7,083984766 7,119016941 7,154209760

6 9,034287284 9,091451377 9,148971095 9,206848246 9,265084641 9,323682100 9,382642448 9,441967517

7 11,502358968 11,591540854 11,681423754 11,772012447 11,863311741 11,955326467 12,048061482 12,141521670

8 14,371492300 14,504145095 14,638062232 14,773254564 14,909733017 15,047508599 15,186592395 15,326995570

9 17,706859799 17,897329036 18,089937656 18,284707839 18,481661962 18,680822604 18,882212545 19,08585477310 21,584224516 21,850388326 22,120002214 22,393108172 22,669748651 22,949966559 23,233805272 23,521308632

11 26,091661000 26,455702400 26,825102585 27,199936561 27,580280293 27,966210707 28,357805708 28,755144186

12 31,331555913 31,820893296 32,318307268 32,823925777 33,337878643 33,860297581 34,391316221 34,931070139

13 37,422933749 38,071340690 38,731623735 39,403993159 40,088662709 40,785849657 41,495774850 42,218662765

14 44,504160483 45,353111904 46,219170711 47,102671996 48,003957027 48,923373347 49,861274886 50,818022062

15 52,736086561 53,836375368 54,960881805 56,110126235 57,284639614 58,484963683 59,711651178 60,965266033

16 62,305700627 63,719377304 65,166829507 66,648847695 68,166239947 69,719832328 71,310469263 72,939013919

17 73,430376979 75,233074559 77,082273449 78,979151803 80,924916338 82,920802985 84,968077557 87,068036425

18 86,362813239 88,646531862 90,993554252 93,405607610 95,884464406 98,431943508 101,049911323 103,740282981

19 101,396770390 104,273209619 107,234974589 110,284560903 113,424534516 116,657533621 119,986270583 123,413533918

20 118,873745578 122,478289206 126,196832833 130,032936257 133,990266720 138,072602005 142,283833611 146,627970023

21 139,190729235 143,687206925 148,334802332 153,138535420 158,103587730 163,235307356 168,539214077 174,021004628

22 162,809222735 168,395596068 174,180881723 180,172086442 186,376456613 192,801486143 199,454924576 206,344785461

23 190,265721430 197,180869419 204,356179412 211,801341137 219,526395379 227,541746219 235,858173689 244,486846843

24 222,183901162 230,715712873 239,585839463 248,807569130 258,394698581 268,361551807 278,722999518 289,494479275

25 259,288785101 269,783805497 280,716467573 292,104855882 303,967784087 316,324823373 329,196331933 342,603485545

26 302,423212680 315,298133404 328,736475892 342,762681382 357,402226842 372,681667463 388,628680851 405,272112943

27 352,566984740 368,322325416 384,799835603 402,032337217 420,054110972 438,900959269 458,610271702 479,221093273

28 410,859119760 430,095509109 450,253808067 471,377834544 493,513445115 516,708627141 541,013594929 566,480890062

29 478,623726721 502,061268112 526,671320918 552,512066417 579,644514397 608,132636891 638,043508029 669,447450273

30 557,400082314 585,901377351 615,888767172 647,439117708 680,633193130 715,555848347 752,296230704 790,947991322

31 648,977595690 683,575104614 720,050135673 758,503767718 799,042418945 841,778121808 886,828811654 934,318629760

32 755,436454989 797,364996875 841,658533399 888,449408230 937,877236213 990,089293124 1.045,240925722 1.103,495983117

33 879,194878925 929,930221359 983,636337743 1.040,485807629 1.100,661059460 1.164,354919421 1.231,771190038 1.303,125260077

34 1.023,064046750 1.084,368707884 1.149,395424315 1.218,368394927 1.291,525092217 1.369,117030319 1.451,410576270 1.538,687806891

35 1.190,311954347 1.264,289544684 1.342,919157888 1.426,491022064 1.515,313170625 1.609,712510625 1.710,035953558 1.816,651612132

36 1.384,737646929 1.473,897319557 1.568,858116834 1.669,994495815 1.777,704692557 1.892,412199985 2.014,567335314 2.144,648902316

37 1.610,757514554 1.718,090377284 1.832,641851403 1.954,893560103 2.085,358752023 2.224,584334982 2.373,153037332 2.531,685704732

38 1.873,505610669 2.002,575289536 2.140,609361514 2.288,225465321 2.446,083136747 2.614,886593604 2.795,387701459 2.988,389131584

39 2.178,950272403 2.334,000212310 2.500,161429567 2.678,223794426 2.869,032477836 3.073,491747485 3.292,569018468 3.527,299175269

40 2.534,029691669 2.720,110247341 2.919,938469020 3.134,521839478 3.364,940580263 3.612,352803295 3.878,000019246 4.163,213026818

41 2.946,809516565 3.169,928438152 3.410,028162580 3.668,390552189 3.946,392830359 4.245,514543871 4.567,345022662 4.913,591371645

42 3.426,666063007 3.693,966630447 3.982,207879812 4.293,016946061 4.628,145593595 4.989,479589049 5.379,048764185 5.799,037818541

43 3.984,499298245 4.304,471124471 4.650,227699681 5.023,829826892 5.427,500708491 5.863,638517132 6.334,829919827 6.843,864625879

44 4.632,980434210 5.015,708860008 5.430,140839378 5.878,880897463 6.364,744580705 6.890,775257630 7.460,262230597 8.076,760258537

45 5.386,839754769 5.844,300821910 6.340,689429973 6.879,290650032 7.463,663020877 8.097,660927716 8.785,458776528 9.531,577105073

46 6.263,201214919 6.809,610457525 7.403,754909494 8.049,770060538 8.752,144891978 9.515,751590066 10.345,877709361 11.248,260983987

47 7.281,971412344 7.934,196183016 8.644,883856834 9.419,230970829 10.262,889885845 11.182,008118327 12.183,271002773 13.273,947961104

48 8.466,291766850 9.244,338553214 10.093,901902854 11.021,500235870 12.034,238391153 13.139,859539035 14.346,801605765 15.664,258594103

49 9.843,064178963 10.770,654414494 11.785,630471582 12.896,155275968 14.111,144513627 15.440,334958366 16.894,358890788 18.484,825141042

50 11.443,562108044 12.548,812392886 13.760,723575572 15.089,501672882 16.546,316942227 18.143,393576080 19.894,107593903 21.813,093666429

51 13.304,140950602 14.620,366437712 16.066,644774480 17.655,716957272 19.401,556614761 21.319,487451893 23.426,311691821 25.740,450526386

52 15.467,063855074 17.033,726899934 18.758,807774206 20.658,188840009 22.749,325130808 25.051,397755975 27.585,482017119 30.374,731621136

53 17.981,461731524 19.845,291838423 21.901,908076385 24.171,080942810 26.674,583715872 29.436,392363270 32.482,905075158 35.843,183312940

54 20.904,449262896 23.120,764991763 25.571,477679179 28.281,164703088 31.276,949406860 34.588,761026843 38.249,620725999 42.295,956309270

55 24.302,422268117 26.936,691215404 29.855,700190442 33.089,962702613 36.673,223179543 40.642,794206540 45.039,928404863 49.910,228444938

56 28.252,565886686 31.382,245265946 34.857,529972341 38.716,256362057 43.000,354178014 47.756,283192685 53.035,515696727 58.895,069565027

57 32.844,607843273 36.561,315734827 40.697,166242708 45.299,019943606 50.418,915273722 56.114,632751405 62.450,319732896 69.497,182086732

58 38.182,856617804 42.594,932831073 47.514,941588362 53.000,853334019 59.117,178158439 65.935,693482900 73.536,251485484 82.007,674862344

59 44.388,570818198 49.624,096748200 55.474,694304412 62.011,998400803 69.315,891390769 77.475,439842408 86.589,936124158 96.770,05633756660 51.602,713576155 57.813,072711653 64.767,705600401 72.555,038128939 81.273,882655677 91.034,641814829 101.960,649786196 114.189,666478327




18,25 18,50 18,75 19,00 19,25 19,50 19,75 20,00

1 1,000000000 1,000000000 1,000000000 1,000000000 1,000000000 1,000000000 1,000000000 1,000000000

2 2,182500000 2,185000000 2,187500000 2,190000000 2,192500000 2,195000000 2,197500000 2,200000000

3 3,580806250 3,589225000 3,597656250 3,606100000 3,614556250 3,623025000 3,631506250 3,640000000

4 5,234303391 5,253231625 5,272216797 5,291259000 5,310358328 5,329514875 5,348728734 5,368000000

5 7,189563759 7,225079476 7,260757446 7,296598210 7,332602306 7,368770276 7,405102659 7,441600000

6 9,501659146 9,561719179 9,622149467 9,682951870 9,744128250 9,805680479 9,867610435 9,929920000

7 12,235711940 12,330637227 12,426302493 12,522712725 12,619872938 12,717788173 12,816463495 12,915904000

8 15,468729369 15,611805114 15,756234210 15,902028143 16,049198479 16,197756867 16,347715036 16,499084800

9 19,291772478 19,499989060 19,710528124 19,923413490 20,138669186 20,356319456 20,576388755 20,79890176010 23,812520956 24,107487036 24,406252148 24,708862053 25,015363005 25,325801749 25,640225535 25,958682112

11 29,158306030 29,567372137 29,982424425 30,403545843 30,830820383 31,264333090 31,704170078 32,150418534

12 35,479696880 36,037335983 36,604129005 37,180219554 37,765753307 38,360878043 38,965743668 39,580502241

13 42,954741561 43,704243139 44,467403194 45,244461269 46,035660818 46,841249262 47,661478043 48,496602690

14 51,793981896 52,789528120 53,805041292 54,840908910 55,897525526 56,975292868 58,074619956 59,195923227

15 62,246383592 63,555590822 64,893486535 66,260681603 67,657799190 69,085474977 70,544357397 72,035107873

16 74,606348598 76,313375125 78,061015260 79,850211107 81,681925534 83,557142597 85,476867983 87,442129448

17 89,222007217 91,431349523 93,697455621 96,021751218 98,405696199 100,850785404 103,358549410 105,930555337

18 106,505023534 109,346149184 112,265728550 115,265883949 118,348792717 121,516688557 124,771862918 128,116666404

19 126,942190329 130,575186783 134,315552653 138,166401899 142,130935315 146,212442826 150,414305845 154,739999685

20 151,109140064 155,731596338 160,499718776 165,418018260 170,491140363 175,723869177 181,121131249 186,687999622

21 179,686558125 185,541941661 191,593416046 197,847441730 204,310684883 210,990023667 217,892554671 225,025599547

22 213,479354983 220,867200868 228,517181555 236,438455658 244,640491723 253,133078282 261,926334218 271,030719456

23 253,439337267 262,727633029 272,364153097 282,361762233 292,733786380 303,494028547 314,656785226 326,236863347

24 300,692016319 312,332245139 324,432431802 337,010497058 350,085040258 363,675364113 377,801500308 392,484236017

25 356,568309297 371,113710490 386,263512765 402,042491499 418,476410508 435,592060115 453,417296619 471,981083220

26 422,642025744 440,769746930 459,687921408 479,430564883 500,033119531 521,532511838 543,967212701 567,377299864

27 500,774195442 523,312150113 546,879406673 571,522372211 597,289495040 624,231351646 652,400737210 681,852759837

28 593,165486110 621,124897883 650,419295424 681,111622931 713,267722835 746,956465217 782,249882809 819,223311805

29 702,418187325 737,033003992 773,372913316 811,522831288 851,571759481 893,612975934 937,744234664 984,067974166

30 831,609506512 874,384109730 919,380334562 966,712169233 1.016,499323181 1.068,867506241 1.123,948721010 1.181,881568999

31 984,378241450 1.037,145170030 1.092,764147293 1.151,387481387 1.213,175442894 1.278,296669958 1.346,928593409 1.419,257882799

32 1.165,027270515 1.230,017026486 1.298,657424910 1.371,151102851 1.447,711715651 1.528,564520600 1.613,946990607 1.704,109459358

33 1.378,644747384 1.458,570176386 1.543,155692081 1.632,669812392 1.727,396220914 1.827,634602117 1.933,701521252 2.045,931351230

34 1.631,247413781 1.729,405659017 1.833,497384346 1.943,877076747 2.060,919993439 2.185,023349530 2.316,607571700 2.456,117621476

35 1.929,950066796 2.050,345705936 2.178,278143911 2.314,213721329 2.458,647092177 2.612,102902689 2.775,137567110 2.948,341145771

36 2.283,165953987 2.430,659661534 2.587,705295894 2.754,914328381 2.932,936657420 3.122,462968713 3.324,227236615 3.539,009374925

37 2.700,843740589 2.881,331698917 3.073,900038874 3.279,348050774 3.498,526963974 3.732,343247612 3.981,762115846 4.247,811249911

38 3.194,747723247 3.415,378063217 3.651,256296163 3.903,424180421 4.172,993404539 4.461,150180896 4.769,160133726 5.098,373499893

39 3.778,789182739 4.048,223004912 4.336,866851693 4.646,074774701 4.977,294634913 5.332,074466171 5.712,069260137 6.119,048199871

40 4.469,418208589 4.798,144260821 5.151,029386386 5.529,828981894 5.936,423852133 6.372,828987074 6.841,202939013 7.343,857839845

41 5.286,087031657 5.686,800949073 6.117,847396333 6.581,496488454 7.080,185443669 7.616,530639554 8.193,340519469 8.813,629407815

42 6.251,797914934 6.739,859124652 7.265,943783145 7.832,980821260 8.444,121141575 9.102,754114267 9.812,525272064 10.577,355289377

43 7.393,751034410 7.987,733062712 8.629,308242485 9.322,247177300 10.070,614461329 10.878,791166549 11.751,499013296 12.693,826347253

44 8.744,110598189 9.466,463679314 10.248,303537951 11.094,474140987 12.010,207745134 13.001,155444026 14.073,420068422 15.233,591616704

45 10.340,910782359 11.218,759459987 12.170,860451317 13.203,424227774 14.323,172736073 15.537,380755611 16.853,920531936 18.281,309940044

46 12.229,127000140 13.295,229960085 14.453,896785939 15.713,074831051 17.081,383487767 18.568,170002955 20.183,569836993 21.938,571928053

47 14.461,942677665 15.755,847502700 17.165,002433303 18.699,559048951 20.370,549809162 22.189,963153531 24.170,824879799 26.327,286313664

48 17.102,247216339 18.671,679290700 20.384,440389547 22.253,475268252 24.292,880647425 26.518,005968470 28.945,562793559 31.593,743576396

49 20.224,407333321 22.126,939959479 24.207,522962587 26.482,635569220 28.970,260172055 31.690,017132322 34.663,311445287 37.913,492291676

50 23.916,361671652 26.221,423851983 28.747,433518072 31.515,336327371 34.548,035255175 37.870,570473124 41.510,315455732 45.497,190750011

51 28.282,097676728 31.073,387264600 34.138,577302710 37.504,250229572 41.199,532041796 45.256,331715384 49.709,602758239 54.597,628900013

52 33.444,580502731 36.822,963908551 40.540,560546969 44.631,057773190 49.131,441959842 54.082,316399883 59.528,249302991 65.518,154680015

53 39.549,216444479 43.636,212231633 48.142,915649525 53.111,958750097 58.590,244537112 64.629,368097861 71.286,078540332 78.622,785616019

54 46.767,948445597 51.709,911494485 57.170,712333811 63.204,230912615 69.869,866610506 77.233,094876944 85.366,079052047 94.348,342739222

55 55.304,099036918 61.277,245120964 67.891,220896401 75.214,034786012 83.320,815933028 92.294,548377948 102.226,879664826 113.219,011287067

56 65.398,097111156 72.614,535468343 80.621,824814476 89.505,701395354 99.361,073000136 110.292,985311647 122.417,688398629 135.863,813544480

57 77.334,249833942 86.049,224529986 95.739,416967190 106.512,784660471 118.489,079552662 131.801,117447419 146.596,181857359 163.037,576253376

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59 108.139,147381863 120.834,657315620 135.009,724707639 150.834,944357693 168.500,328634610 188.217,485742850 210.222,038509589 234.776,30980486160 127.875,541779053 143.190,068919009 160.325,048090321 179.494,583785655 200.937,641896772 224.920,895462705 251.741,891115233 281.732,571765834




20,25 20,50 20,75 21,00 21,25 21,50 21,75 22,00

1 1,000000000 1,000000000 1,000000000 1,000000000 1,000000000 1,000000000 1,000000000 1,000000000

2 2,202500000 2,205000000 2,207500000 2,210000000 2,212500000 2,215000000 2,217500000 2,220000000

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4 5,387328766 5,406715125 5,426159172 5,445661000 5,465220703 5,484838375 5,504514109 5,524248000

5 7,478262841 7,515091726 7,552087200 7,589249810 7,626580103 7,664078626 7,701745928 7,739582560

6 9,992611066 10,055685529 10,119145294 10,182992270 10,247228374 10,311855530 10,376875668 10,442290723

7 13,016114807 13,117101063 13,218867943 13,321420647 13,424764404 13,528904469 13,633846125 13,739594682

8 16,651878055 16,806106781 16,961783041 17,118918983 17,277526840 17,437618930 17,599207657 17,762305512

9 21,023883361 21,251358671 21,481353022 21,713891969 21,949001293 22,186707000 22,427035323 22,67001272510 26,281219742 26,607887198 26,938733774 27,273809283 27,613164068 27,956849005 28,304915506 28,657415525

11 32,603166740 33,062504074 33,528521032 34,001309232 34,480961432 34,967571541 35,461234628 35,962046940

12 40,205308004 40,840317409 41,485689146 42,141584171 42,808165737 43,485599422 44,174053160 44,873697267

13 49,346882875 50,212582478 51,093969643 51,991316846 52,904900956 53,835003298 54,781909722 55,745910666

14 60,339626658 61,506161886 62,695968344 63,909493384 65,147192409 66,409529007 67,696975087 69,010011012

15 73,558401056 75,114925073 76,705381776 78,330486995 79,990970796 81,687577744 83,421067168 85,192213435

16 89,453977270 91,513484713 93,621748494 95,779889264 97,989052090 100,250406959 102,565149277 104,934500390

17 108,568407667 111,273749079 114,048261307 116,893666009 119,811725659 122,804244455 125,873069245 129,020090476

18 131,553510219 135,084867640 138,713275528 142,441335871 146,271717362 150,207157012 154,250461806 158,404510381

19 159,193096039 163,777265506 168,496280200 173,354016404 178,354457301 183,501695770 188,799937248 194,253502665

20 192,429697986 198,351604935 204,459258342 210,758359848 217,254779477 223,954560361 230,863923600 237,989273251

21 232,396711829 240,013683947 247,884554447 256,017615417 264,421420116 273,104790838 282,076826983 291,346913366

22 280,457045974 290,216489156 300,320599495 310,781314654 321,610971891 332,822320868 344,428536851 356,443234307

23 338,249597784 350,710869433 363,637123890 377,045390731 390,953303418 405,379119855 420,341743617 435,860745855

24 407,745141335 423,606597666 440,091827098 457,224922785 475,030880394 493,535630624 512,766072853 532,750109943

25 491,313532455 511,445950188 532,410881221 554,242156570 576,974942478 600,645791208 625,292693699 650,955134130

26 591,804522777 617,292369976 643,886139074 671,633009450 700,582117754 730,784636318 762,293854578 795,165263639

27 712,644938639 744,837305822 778,492512932 813,675941434 850,455817777 888,903333126 929,092767949 971,101621639

28 857,955538714 898,528953515 941,029709365 985,547889135 1.032,177679055 1.081,017549748 1.132,170444978 1.185,743978400

29 1.032,691535304 1.083,727388986 1.137,293374058 1.193,512945854 1.252,515435854 1.314,436322944 1.379,417516761 1.447,607653648

30 1.242,811571203 1.306,891503728 1.374,281749175 1.445,150664483 1.519,674965973 1.598,040132377 1.680,440826656 1.767,081337450

31 1.495,480914371 1.575,804261992 1.660,445212129 1.749,632304024 1.843,605896242 1.942,618760838 2.046,936706454 2.156,839231689

32 1.799,315799531 1.899,844135700 2.005,987593646 2.118,055087869 2.236,372149193 2.361,281794418 2.493,145440108 2.632,343862661

33 2.164,677248936 2.290,312183519 2.423,230019327 2.563,846656322 2.712,601230897 2.869,957380218 3.036,404573331 3.212,459512446

34 2.604,024391846 2.760,826181140 2.927,050248338 3.103,254454150 3.290,028992462 3.487,998216964 3.697,822568031 3.920,200605184

35 3.132,339331195 3.327,795548274 3.535,413174868 3.755,937889521 3.990,160153360 4.238,917833612 4.503,098976577 4.783,644738324

36 3.767,638045762 4.010,993635670 4.270,011408653 4.545,684846321 4.839,069185949 5.151,285167838 5.483,523003983 5.837,046580756

37 4.531,584750028 4.834,247330982 5.157,038775948 5.501,278664048 5.868,371387964 6.259,811478924 6.677,189257349 7.122,196828522

38 5.450,230661909 5.826,268033833 6.228,124321958 6.657,547183498 7.116,400307906 7.606,670946892 8.130,477920823 8.690,080130797

39 6.554,902370946 7.021,652980769 7.521,460118764 8.056,632092033 8.629,635373336 9.243,105200474 9.899,856868602 10.602,897759572

40 7.883,270101062 8.462,091841827 9.083,163093407 9.749,524831359 10.464,432890170 11.231,372818576 12.054,075737523 12.936,535266678

41 9.480,632296527 10.197,820669401 10.968,919435289 11.797,925045945 12.689,124879331 13.647,117974570 14.676,837210434 15.783,573025348

42 11.401,460336574 12.289,373906629 13.245,970218112 14.276,489305593 15.386,563916189 16.582,248339102 17.870,049303703 19.256,959090924

43 13.711,256054730 14.809,695557487 15.995,509038370 17.275,552059768 18.657,208748379 20.148,431732009 21.757,785027258 23.494,490090927

44 16.488,785405813 17.846,683146772 19.315,577163832 20.904,417992319 22.622,865607409 24.481,344554391 26.491,103270687 28.664,277910931

45 19.828,764450490 21.506,253191861 23.324,559425327 25.295,345770706 27.431,224548984 29.745,833633585 32.253,918232062 34.971,419051336

46 23.845,089251714 25.916,035096192 28.165,405506082 30.608,368382554 33.261,359765643 36.142,187864806 39.270,145447535 42.666,131242630

47 28.674,719825186 31.229,822290911 34.010,727148594 37.037,125742891 40.330,398715842 43.913,758255739 47.812,402082374 52.053,680116009

48 34.482,350589787 37.632,935860548 41.068,953031927 44.815,922148898 48.901,608442958 53.356,216280723 58.212,599535290 63.506,489741531

49 41.466,026584218 45.348,687711960 49.591,760786052 54.228,265800166 59.294,200237086 64.828,802781079 70.874,839934216 77.478,917484667

50 49.863,896967522 54.646,168692912 59.883,051149158 65.617,201618201 71.895,217787467 78.767,995379011 86.291,117619908 94.525,279331294

51 59.962,336103446 65.849,633274959 72.309,784262608 79.397,813958023 87.173,951567304 95.704,114385498 105.060,435702237 115.321,840784179

52 72.105,709164394 79.349,808096326 87.315,064497099 96.072,354889208 105.699,416275356 116.281,498978380 127.912,080467474 140.693,645756698

53 86.708,115270183 95.617,518756073 105.433,940380247 116.248,549415942 128.161,542233869 141.283,021258732 155.733,957969150 171.647,247823171

54 104.267,508612395 115.220,110101068 127.312,483009149 140.661,744793290 155.396,869958567 171.659,870829360 189.607,093827440 209.410,642344269

55 125.382,679106405 138.841,232671786 153.730,823233547 170.201,711199881 188.419,704824762 208.567,743057672 230.847,636734908 255.481,983660008

56 150.773,671625452 167.304,685369503 185.630,969054508 205.945,070551856 228.459,892100024 253.410,807815071 281.057,997724750 311.689,020065210

57 181.306,340129607 201.603,145870251 224.150,395133319 249.194,535367745 277.008,619171279 307.895,131495312 342.189,112229883 380.261,604479556

58 218.021,874005852 242.932,790773652 270.662,602123482 301.526,387794972 335.873,950745176 374.093,584766804 416.616,244139883 463.920,157465059

59 262.172,303492037 292.735,012882251 326.826,092064105 364.847,929231916 407.248,165278525 454.524,705491667 507.231,277240308 565.983,59210737260 315.263,194949175 352.746,690523112 394.643,506167407 441.466,994370619 493.789,400400212 552.248,517172375 617.555,080040075 690.500,982370993




22,25 22,50 22,75 23,00 23,25 23,50 23,75 24,00

1 1,00000000 1,00000000 1,00000000 1,00000000 1,00000000 1,00000000 1,00000000 1,00000000

2 2,22250000 2,22500000 2,22750000 2,23000000 2,23250000 2,23500000 2,23750000 2,24000000

3 3,71700625 3,72562500 3,73425625 3,74290000 3,75155625 3,76022500 3,76890625 3,77760000

4 5,54404014 5,56389063 5,58379955 5,60376700 5,62379308 5,64387787 5,66402148 5,68422400

5 7,77758907 7,81576602 7,85411394 7,89263341 7,93132497 7,97018918 8,00922659 8,04843776

6 10,50810264 10,57431337 10,64092487 10,70793909 10,77535802 10,84318363 10,91141790 10,98006282

7 13,84615548 13,95353388 14,06173527 14,17076509 14,28062876 14,39133179 14,50287965 14,61527790

8 17,92692507 18,09307900 18,26078005 18,43004106 18,60087495 18,77329475 18,94731357 19,12294460

9 22,91566590 23,16402177 23,41510751 23,66895050 23,92557838 24,18501902 24,44730054 24,7124513010 29,01440156 29,37592667 29,74204447 30,11280911 30,48827535 30,86849849 31,25353442 31,64343961

11 36,47010591 36,98551018 37,50835958 38,03875521 38,57679937 39,12259564 39,67624885 40,23786512

12 45,58470448 46,30724996 47,04151139 47,78766891 48,54590523 49,31640561 50,09935795 50,89495274

13 56,72730122 57,72638121 58,74345523 59,77883276 60,83282819 61,90576093 62,99795546 64,10974140

14 70,34912574 71,71481698 73,10759129 74,52796429 75,97646074 77,45361475 78,95996988 80,49607934

15 87,00180622 88,85065080 90,73956831 92,66939608 94,64098787 96,65521422 98,71296273 100,81513838

16 107,35970811 109,84204723 112,38282010 114,98335717 117,64501755 120,36918956 123,15729138 126,01077159

17 132,24724316 135,55650785 138,94991168 142,42952932 145,99748413 149,65594911 153,40714808 157,25335678

18 162,67225476 167,05672212 171,56101658 176,18832107 180,94189918 185,82509715 190,84134575 195,99416240

19 199,86683145 205,64448460 211,59114786 217,71163492 224,01089075 230,49399498 237,16616537 244,03276138

20 245,33720144 252,91449363 260,72813399 268,78531095 277,09342284 285,66008379 294,49312965 303,60062411

21 300,92472877 310,82025470 321,04378448 331,60593246 342,51764365 353,79020349 365,43524794 377,46477390

22 368,88048092 381,75481201 395,08124545 408,87529693 423,15299580 437,93090131 453,22611932 469,05631963

23 451,95638792 468,64964471 485,96222878 503,91661522 522,53606733 541,84466311 561,86732266 582,62983634

24 553,51668423 575,09581477 597,51863583 620,81743673 645,02570298 670,17815894 696,31081179 723,46099707

25 677,67414647 705,49237310 734,45412548 764,60544717 795,99417893 828,67002630 862,68462959 898,09163636

26 829,45664406 865,22815704 902,54243903 941,46470002 982,06282553 1.024,40748248 1.068,57222912 1.114,63362909

27 1.015,01074737 1.060,90449238 1.108,87084391 1.159,00158103 1.211,39243246 1.266,14324086 1.323,35813353 1.383,14570007

28 1.241,85063866 1.300,60800316 1.362,13896090 1.426,57194466 1.494,04117301 1.564,68690246 1.638,65569025 1.716,10066809

29 1.519,16240576 1.594,24480387 1.673,02557451 1.755,68349193 1.842,40574573 1.933,38832454 2.028,83641668 2.128,96482843

30 1.858,17604104 1.953,94988474 2.054,63889271 2.160,49069508 2.271,76508162 2.388,73458080 2.511,68506565 2.640,91638726

31 2.272,62021017 2.394,58860881 2.523,06924080 2.658,40355495 2.800,95046309 2.951,08720729 3.109,21026874 3.275,73632020

32 2.779,27820693 2.934,37104579 3.098,06749308 3.270,83637259 3.453,17144576 3.645,59270101 3.848,64770756 4.062,91303705

33 3.398,66760798 3.595,60453110 3.803,87784776 4.024,12873828 4.257,03380690 4.503,30698574 4.763,70153811 5.039,01216594

34 4.155,87115075 4.405,61555059 4.670,26005812 4.950,67834809 5.247,79416700 5.562,58412739 5.896,08065341 6.249,37508576

35 5.081,55248179 5.397,87904948 5.733,74422134 6.090,33436815 6.468,90631083 6.870,79139733 7.297,39980859 7.750,22510634

36 6.213,19790899 6.613,40183561 7.039,17103170 7.492,11127282 7.973,92702810 8.486,42737570 9.031,53226313 9.611,27913187

37 7.596,63444374 8.102,41724862 8.641,58244141 9.216,29686557 9.828,86506213 10.481,73780899 11.177,52117563 11.918,98612352

38 9.287,88560747 9.926,46112956 10.608,54244683 11.337,04514465 12.115,07618908 12.945,94619411 13.833,18245484 14.780,54279316

39 11.355,44015514 12.160,91488371 13.022,98585349 13.945,56552792 14.932,83140304 15.989,24354972 17.119,56328786 18.328,87306352

40 13.883,02558966 14.898,12073255 15.986,71513515 17.154,04559934 18.405,71470424 19.747,71578391 21.186,45956873 22.728,80259876

41 16.972,99878335 18.251,19789737 19.624,69282840 21.100,47608718 22.686,04337298 24.389,42899312 26.219,24371630 28.184,71522246

42 20.750,49101265 22.358,71742428 24.090,31044686 25.954,58558724 27.961,54845720 30.121,94480651 32.447,31409892 34.950,04687586

43 25.368,47526296 27.390,42884474 29.571,85607352 31.925,14027230 34.463,60847349 37.201,60183604 40.154,55119742 43.339,05812606

44 31.013,96100897 33.554,27533480 36.300,45333025 39.268,92253493 42.477,39744358 45.944,97826750 49.692,25710681 53.741,43207632

45 37.915,56733347 41.104,98728514 44.559,80646288 48.301,77471797 52.354,39234921 56.743,04816037 61.495,16816967 66.640,37577463

46 46.352,78106517 50.354,60942429 54.698,16243319 59.412,18290310 64.527,78857041 70.078,66447805 76.101,27060997 82.635,06596054

47 56.667,27485217 61.685,39654476 67.142,99438674 73.077,98497081 79.531,49941303 86.548,15063040 94.176,32237984 102.468,48179107

48 69.276,74350677 75.565,61076733 82.419,02560972 89.886,92151410 98.023,57302655 106.887,96602854 116.544,19894505 127.061,91742093

49 84.691,81893703 92.568,87318998 101.170,35393593 110.561,91346234 120.815,05375523 132.007,63804525 144.224,44619450 157.557,77760195

50 103.536,74865052 113.397,86965772 124.187,60945636 135.992,15355868 148.905,55375332 163.030,43298588 178.478,75216569 195.372,64422642

51 126.574,67522526 138.913,39033071 152.441,29060768 167.271,34887717 183.527,09500096 201.343,58473756 220.868,45580504 242.263,07884076

52 154.738,54046288 170.169,90315512 187.122,68422093 205.744,75911892 226.198,14458869 248.660,32715089 273.325,71405874 300.407,21776255

53 189.168,86571587 208.459,13136502 229.694,09488119 253.067,05371627 278.790,21320556 307.096,50403135 338.241,57114769 372.505,95002556

54 231.259,93833765 255.363,43592215 281.950,50146666 311.273,47607101 343.609,93777585 379.265,18247871 418.574,94429527 461.908,37803169

55 282.716,27461778 312.821,20900463 346.095,24055032 382.867,37556735 423.500,24830874 468.393,50036121 517.987,49356539 572.767,38875930

56 345.621,64572024 383.206,98103067 424.832,90777552 470.927,87194784 521.965,05604052 578.466,97294610 641.010,52328717 710.232,56206153

57 422.523,46189299 469.429,55176257 521.483,39429445 579.242,28249584 643.322,93156994 714.407,71158843 793.251,52256787 880.689,37695630

58 516.535,93216418 575.052,20090915 640.121,86649644 712.469,00746988 792.896,51315995 882.294,52381171 981.649,75917774 1.092.055,82742581

59 631.466,17707071 704.439,94611371 785.750,59112438 876.337,87918795 977.245,95246964 1.089.634,73690746 1.214.792,57698246 1.354.150,2260080060 771.968,40146894 862.939,93398929 964.509,85060517 1.077.896,59140118 1.204.456,63641883 1.345.699,90008071 1.503.306,81401579 1.679.147,28024993




24,25 24,50 24,75 25,00 25,25 25,50 25,75 26,00

1 1,0000000 1,0000000 1,0000000 1,0000000 1,0000000 1,0000000 1,0000000 1,0000000

2 2,2425000 2,2450000 2,2475000 2,2500000 2,2525000 2,2550000 2,2575000 2,2600000

3 3,7863063 3,7950250 3,8037563 3,8125000 3,8212563 3,8300250 3,8388063 3,8476000

4 5,7044855 5,7248061 5,7451859 5,7656250 5,7861235 5,8066814 5,8272989 5,8479760

5 8,0878233 8,1273836 8,1671194 8,2070313 8,2471196 8,2873851 8,3278283 8,3684498

6 11,0491204 11,1185926 11,1884815 11,2587891 11,3295173 11,4006683 11,4722441 11,5442467

7 14,7285321 14,8426478 14,9576307 15,0734863 15,1902205 15,3078388 15,4263470 15,5457508

8 19,3002011 19,4790965 19,6596443 19,8418579 20,0257511 20,2113376 20,3986313 20,5876461

9 24,9804999 25,2514752 25,5254062 25,8023224 26,0822533 26,3652287 26,6512789 26,940434010 32,0382711 32,4380866 32,8429443 33,2529030 33,6680222 34,0883621 34,5139832 34,9449469

11 40,8075519 41,3854178 41,9715730 42,5661287 43,1691978 43,7808944 44,4013338 45,0306331

12 51,7033832 52,5248451 53,3595373 54,2076609 55,0694203 55,9450225 56,8346773 57,7385977

13 65,2414536 66,3934322 67,5660227 68,7595761 69,9744489 71,2110032 72,4696067 73,7506331

14 82,0625061 83,6598231 85,2886134 86,9494702 88,6429973 90,3698090 92,1305305 93,9257977

15 102,9626638 105,1564798 107,3975452 109,6868377 112,0253541 114,4141103 116,8541420 119,3465050

16 128,9311098 131,9198173 134,9784376 138,1085472 141,3117560 144,5897084 147,9440836 151,3765964

17 161,1969039 165,2401725 169,3856009 173,6356839 177,9929744 182,4600841 187,0396851 191,7345114

18 201,2871531 206,7240148 212,3085371 218,0446049 223,9362004 229,9874055 236,2024041 242,5854844

19 251,0992878 258,3713984 265,8549001 273,5557562 281,4800910 289,6341939 298,0245231 306,6577103

20 312,9908651 322,6723911 332,6539878 342,9446952 353,5538140 364,4909134 375,7658378 387,3887150

21 389,8911499 402,7271269 415,9858498 429,6808690 443,8261521 458,4360963 473,5255411 489,1097809

22 485,4397537 502,3952730 519,9423476 538,1010862 556,8922555 576,3373009 596,4583679 617,2783239

23 604,1588940 626,4821148 649,6280787 673,6263578 698,5075500 724,3033126 751,0463976 778,7706882

24 751,6674258 780,9702330 811,4110281 843,0329473 875,8807064 910,0006573 945,4408450 982,2510671

25 934,9467765 973,3079400 1.013,2352576 1.054,7911841 1.098,0405847 1.143,0508249 1.189,8918626 1.238,6363445

26 1.162,6713698 1.212,7683853 1.265,0109839 1.319,4889801 1.376,2958324 1.435,5287852 1.497,2890172 1.561,6817941

27 1.445,6191770 1.510,8966397 1.579,1012024 1.650,3612251 1.724,8105300 1.802,5886255 1.883,8409392 1.968,7190606

28 1.797,1818274 1.882,0663165 1.970,9287500 2.063,9515314 2.161,3251889 2.263,2487250 2.369,9299810 2.481,5860163

29 2.233,9984206 2.344,1725640 2.459,7336156 2.580,9394142 2.708,0597990 2.841,3771498 2.981,1869511 3.127,7983806

30 2.776,7430375 2.919,4948422 3.069,5176855 3.227,1742678 3.392,8448983 3.566,9283230 3.749,8425910 3.942,0259595

31 3.451,1032241 3.635,7710785 3.830,2233126 4.034,9678347 4.250,5382351 4.477,4950454 4.716,4270582 4.967,9527090

32 4.288,9957560 4.527,5349928 4.779,2035825 5.044,7097934 5.324,7991395 5.620,2562820 5.931,9070257 6.260,6204133

33 5.330,0772268 5.637,7810660 5.963,0564691 6.306,8872418 6.670,3109222 7.054,4216339 7.460,3730849 7.889,3817207

34 6.623,6209543 7.020,0374272 7.439,9129452 7.884,6090522 8.355,5644301 8.854,2991506 9.382,4191542 9.941,6209681

35 8.230,8490358 8.740,9465968 9.282,2913992 9.856,7613153 10.466,3444487 11.113,1454340 11.799,3920864 12.527,4424199

36 10.227,8299269 10.883,4785131 11.580,6585205 12.321,9516441 13.110,0964219 13.947,9975196 14.838,7355487 15.785,5774490

37 12.709,0786842 13.550,9307488 14.447,8715043 15.403,4395551 16.421,3957685 17.505,7368871 18.660,7099524 19.890,8275858

38 15.792,0302651 16.871,9087822 18.024,7197016 19.255,2994439 20.568,7982000 21.970,6997934 23.466,8427652 25.063,4427581

39 19.622,5976044 21.006,5264339 22.486,8378278 24.070,1243048 25.763,4197455 27.574,2282407 29.510,5547772 31.580,9378752

40 24.382,0775235 26.154,1254102 28.053,3301901 30.088,6553811 32.269,6832313 34.606,6564420 37.110,5226324 39.792,9817227

41 30.295,7313229 32.562,8861357 34.997,5294122 37.611,8192263 40.418,7782472 43.432,3538348 46.667,4822102 50.140,1569706

42 37.643,4461688 40.541,7932389 43.660,4179417 47.015,7740329 50.625,5197546 54.508,6040626 58.685,3588793 63.177,5977830

43 46.772,9818647 50.475,5325824 54.467,3713823 58.770,7175411 63.409,4634926 68.409,2980986 73.797,8387908 79.604,7732065

44 58.116,4299669 62.843,0380651 67.949,0457994 73.464,3969264 79.421,3530245 85.854,6691137 92.801,7822794 100.303,0142402

45 72.210,6642338 78.240,5823911 84.767,4346348 91.831,4961580 99.476,2446632 107.748,6097377 116.699,2412164 126.382,7979427

46 89.722,7503106 97.410,5250769 105.748,3747069 114.790,3701975 124.594,9964407 135.225,5052208 146.750,2958296 159.243,3254078

47 111.481,5172609 121.277,1037208 131.922,0974468 143.488,9627469 156.056,2330419 169.709,0090522 184.539,4970057 200.647,5900138

48 138.516,7851966 150.990,9941324 164.573,8165649 179.362,2034336 195.461,4318850 212.985,8063604 232.059,4174846 252.816,9634174

49 172.108,1056068 187.984,7876948 205.306,8361647 224.203,7542920 244.816,4434360 267.298,1869824 291.815,7174869 318.550,3739060

50 213.845,3212164 234.042,0606800 256.121,2781155 280.255,6928650 306.633,5954036 335.460,2246629 366.959,2647398 401.374,4711215

51 265.703,8116114 291.383,3655466 319.512,2944491 350.320,6160812 384.059,5782430 421.003,5819519 461.452,2754103 505.732,8336131

52 330.137,9859272 362.773,2901055 398.592,5873253 437.901,7701015 481.035,6217493 528.360,4953496 580.277,2363285 637.224,3703526

53 410.197,4475146 451.653,7461814 497.245,2526883 547.378,2126269 602.498,1162410 663.093,4216638 729.699,6246831 802.903,7066442

54 509.671,3285368 562.309,9139958 620.314,4527286 684.223,7657836 754.629,8905919 832.183,2441880 917.598,2780389 1.011.659,6703717

55 633.267,6257070 700.076,8429248 773.843,2797789 855.280,7072295 945.174,9379663 1.044.390,9714560 1.153.880,8346340 1.274.692,1846684

56 786.836,0249410 871.596,6694414 965.370,4915242 1.069.101,8840369 1.183.832,6098028 1.310.711,6691773 1.451.006,1495522 1.606.113,1526821

57 977.644,7609891 1.085.138,8534546 1.204.300,6881765 1.336.378,3550461 1.482.751,3437780 1.644.944,1448175 1.824.641,2330619 2.023.703,5723795

58 1.214.724,6155290 1.350.998,8725509 1.502.366,1085002 1.670.473,9438076 1.857.147,0580820 2.064.405,9017459 2.294.487,3505754 2.549.867,5011981

59 1.509.296,3347948 1.681.994,5963259 1.874.202,7203540 2.088.093,4297595 2.326.077,6902477 2.590.830,4066912 2.885.318,8433485 3.212.834,051509760 1.875.301,6959825 2.094.084,2724258 2.338.068,8936416 2.610.117,7871994 2.913.413,3070352 3.251.493,1603974 3.628.289,4455107 4.048.171,9049022




26,25 26,50 26,75 27,00 27,25 27,50 27,75 28,00

1 1,0000000 1,0000000 1,0000000 1,0000000 1,0000000 1,0000000 1,0000000 1,0000000

2 2,2625000 2,2650000 2,2675000 2,2700000 2,2725000 2,2750000 2,2775000 2,2800000

3 3,8564063 3,8652250 3,8740563 3,8829000 3,8917563 3,9006250 3,9095063 3,9184000

4 5,8687129 5,8895096 5,9103663 5,9312830 5,9522598 5,9732969 5,9943942 6,0155520

5 8,4092500 8,4502297 8,4913893 8,5327294 8,5742506 8,6159535 8,6578386 8,6999066

6 11,6166782 11,6895405 11,7628359 11,8365664 11,9107339 11,9853407 12,0603889 12,1358804

7 15,6660562 15,7872688 15,9093945 16,0324393 16,1564089 16,2813094 16,4071468 16,5339269

8 20,7783959 20,9708950 21,1651576 21,3611979 21,5590304 21,7586695 21,9601300 22,1634264

9 27,2327248 27,5281822 27,8268372 28,1287213 28,4338661 28,7423036 29,0540661 29,369185810 35,3813151 35,8231505 36,2705162 36,7234760 37,1820946 37,6464372 38,1165694 38,5925579

11 45,6689103 46,3162853 46,9728792 47,6388146 48,3142154 48,9992074 49,6939174 50,3984741

12 58,6569993 59,5901010 60,5381244 61,5012945 62,4798391 63,4739894 64,4839795 65,5100468

13 75,0544616 76,3814777 77,7320727 79,1066440 80,5055953 81,9293365 83,3782838 84,8528599

14 95,7562578 97,6225693 99,5254021 101,4654379 103,4433700 105,4599040 107,5157575 109,6116607

15 121,8922755 124,4925502 127,1484472 129,8611061 132,6316884 135,4613776 138,3513803 141,3029257

16 154,8889978 158,4830760 162,1606568 165,9236048 169,7738235 173,7132565 177,7438883 181,8677449

17 196,5473597 201,4810911 206,5386326 211,7229781 217,0371903 222,4844020 228,0678173 233,7907135

18 249,1410416 255,8735802 262,7877168 269,8881822 277,1798247 284,6676125 292,3566366 300,2521133

19 315,5405650 324,6800790 334,0834310 343,7579914 353,7113269 363,9512060 374,4856032 385,3227051

20 399,3699633 411,7202999 424,4507488 437,5726490 451,0976635 465,0377876 479,4053581 494,2130625

21 505,2045787 521,8261794 538,9913241 556,7172643 575,0217768 593,9231792 613,4403450 633,5927200

22 638,8207806 661,1101170 684,1715033 708,0309256 732,7152110 758,2520535 784,6700407 811,9986815

23 807,5112355 837,3042980 868,1873804 900,1992756 933,3801060 967,7713682 1.003,4159770 1.040,3583124

24 1.020,4829348 1.060,1899369 1.101,4275047 1.144,2530800 1.188,7261849 1.234,9084945 1.282,8639106 1.332,6586398

25 1.289,3597052 1.342,1402702 1.397,0593622 1.454,2014115 1.513,6540703 1.575,5083304 1.639,8586458 1.706,8030590

26 1.628,8166279 1.698,8074418 1.771,7727416 1.847,8357927 1.927,1248045 2.009,7731213 2.095,9194200 2.185,7079155

27 2.057,3809927 2.149,9914139 2.246,7219499 2.347,7514567 2.453,2663137 2.563,4607296 2.678,5370590 2.798,7061319

28 2.598,4435032 2.720,7391385 2.848,7200715 2.982,6443500 3.122,7813842 3.269,4124303 3.422,8310929 3.583,3438488

29 3.281,5349228 3.442,7350102 3.611,7526907 3.788,9583245 3.974,7393114 4.169,5008486 4.373,6667212 4.587,6801265

30 4.143,9378401 4.356,0597880 4.578,8965354 4.812,9770721 5.058,8557738 5.317,1135820 5.588,3592363 5.873,2305619

31 5.232,7215231 5.511,4156318 5.804,7513586 6.113,4808816 6.438,3939721 6.780,3198171 7.140,1289244 7.518,7351192

32 6.607,3109229 6.972,9407742 7.358,5223471 7.765,1207196 8.193,8563296 8.645,9077668 9.122,5147009 9.624,9809526

33 8.342,7300402 8.821,7700794 9.327,9270749 9.862,7033139 10.427,6821794 11.024,5324026 11.655,0125304 12.320,9756193

34 10.533,6966757 11.160,5391504 11.824,1475675 12.526,6332086 13.270,2255732 14.057,2788133 14.890,2785076 15.771,8487927

35 13.299,7920531 14.119,0820252 14.988,1070418 15.909,8241749 16.887,3620420 17.924,0304870 19.023,3307934 20.188,9664546

36 16.791,9874671 17.861,6387619 18.998,4256754 20.206,4767022 21.490,1681984 22.854,1388709 24.303,3050886 25.842,8770619

37 21.200,8841772 22.595,9730338 24.081,5045436 25.663,2254117 27.347,2390324 29.140,0270604 31.048,4722507 33.079,8826392

38 26.767,1162737 28.584,9058878 30.524,3070090 32.593,2962729 34.800,3616688 37.154,5345020 39.665,4233002 42.343,2497782

39 33.794,4842955 36.160,9059480 38.690,5591339 41.394,4862666 44.284,4602235 47.373,0314901 50.673,5782661 54.200,3597161

40 42.666,5364231 45.744,5460243 49.041,2837023 52.571,9975586 56.352,9756344 60.401,6151499 64.736,4962349 69.377,4604366

41 53.867,5022341 57.867,8507207 62.160,8270926 66.767,4368994 71.710,1614948 77.013,0593161 82.701,8739401 88.804,1493589

42 68.008,7215706 73.203,8311617 78.789,8483399 84.795,6448622 91.252,1805022 98.192,6506280 105.652,6439585 113.670,3111794

43 85.862,0109828 92.603,8464196 99.867,1327708 107.691,4689750 116.119,3996890 125.196,6295507 134.972,2526569 145.498,9983096

44 108.401,7888658 117.144,8657207 126.582,5907870 136.769,1655983 147.762,9361042 159.626,7026771 172.428,0527692 186.239,7178363

45 136.858,2584431 148.189,2551367 160.444,4338225 173.697,8403098 188.029,3361927 203.525,0459134 220.277,8374127 238.387,8388305

46 172.784,5512844 187.460,4077480 203.364,3198701 220.597,2571934 239.268,3303051 259.495,4335395 281.405,9372947 305.137,4337030

47 218.141,4959966 237.138,4158012 257.765,2754353 280.159,5166357 304.469,9503133 330.857,6777629 359.497,0848940 390.576,9151398

48 275.404,6386957 299.981,0959885 326.718,4866142 355.803,5861273 387.439,0117737 421.844,5391477 459.258,5259520 499.939,4513790

49 347.699,3563534 379.477,0864254 414.116,6817835 451.871,5543817 493.017,1424820 537.852,7874133 586.703,7669037 639.923,4977651

50 438.971,4373961 480.039,5143282 524.893,8941606 573.877,8740647 627.365,3138083 685.763,3039520 749.515,0622195 819.103,0771393

51 554.202,4397126 607.250,9856252 665.304,0108486 728.825,9000622 798.323,3618211 874.349,2125388 957.506,4919855 1.048.452,9387383

52 699.681,5801371 768.173,4968158 843.273,8337506 925.609,8930790 1.015.867,4779174 1.114.796,2459869 1.223.215,5435114 1.342.020,7615851

53 883.348,9949231 971.740,4734720 1.068.850,5842789 1.175.525,5642103 1.292.692,3656499 1.421.366,2136334 1.562.658,8568358 1.717.787,5748289

54 1.115.229,1060905 1.229.252,6989421 1.354.769,1155735 1.492.918,4665471 1.644.952,0352894 1.812.242,9223825 1.996.297,6896078 2.198.769,0957809

55 1.407.977,7464392 1.555.005,6641618 1.717.170,8539894 1.896.007,4525148 2.093.202,4649058 2.310.610,7260377 2.550.271,2984739 2.814.425,4425996

56 1.777.572,9048795 1.967.083,1651646 2.176.515,0574316 2.407.930,4646937 2.663.601,1365927 2.946.029,6756981 3.257.972,5838005 3.602.465,5665275

57 2.244.186,7924104 2.488.361,2039333 2.758.733,8352946 3.058.072,6901610 3.389.433,4463141 3.756.188,8365151 4.162.060,9758051 4.611.156,9251552

58 2.833.286,8254181 3.147.777,9229756 3.496.696,1362359 3.883.753,3165045 4.313.055,0604348 4.789.141,7665567 5.317.033,8965910 5.902.281,8641987

59 3.577.025,6170903 3.981.940,0725641 4.432.063,3526790 4.932.367,7119607 5.488.363,5644032 6.106.156,7523598 6.792.511,8028950 7.554.921,786174360 4.515.995,8415765 5.037.155,1917936 5.617.641,2995206 6.264.107,9941902 6.983.943,6357031 7.785.350,8592587 8.677.434,8281983 9.670.300,8863031




28,25 28,50 28,75 29,00 29,25 29,50 29,75 30,00

1 1,000000 1,000000 1,000000 1,000000 1,000000 1,000000 1,000000 1,000000

2 2,282500 2,285000 2,287500 2,290000 2,292500 2,295000 2,297500 2,300000

3 3,927306 3,936225 3,945156 3,954100 3,963056 3,972025 3,981006 3,990000

4 6,036770 6,058049 6,079389 6,100789 6,122250 6,143772 6,165356 6,187000

5 8,742158 8,784593 8,827213 8,870018 8,913008 8,956185 8,999549 9,043100

6 12,211817 12,288202 12,365037 12,442323 12,520063 12,598260 12,676915 12,756030

7 16,661656 16,790340 16,919985 17,050597 17,182182 17,314747 17,448297 17,582839

8 22,368574 22,575587 22,784480 22,995270 23,207970 23,422597 23,639165 23,857691

9 29,687696 30,009629 30,335018 30,663898 30,996301 31,332263 31,671817 32,01499810 39,074470 39,562373 40,056336 40,556428 41,062719 41,575280 42,094182 42,619497

11 51,113008 51,837649 52,572533 53,317792 54,073565 54,839988 55,617201 56,405346

12 66,552432 67,611379 68,687136 69,779952 70,890083 72,017784 73,163319 74,326950

13 86,353494 87,880623 89,434687 91,016138 92,625432 94,263031 95,929406 97,625036

14 111,748356 113,926600 116,147160 118,410819 120,718371 123,070625 125,468405 127,912546

15 144,317267 147,395681 150,539469 153,749956 157,028494 160,376459 163,795255 167,286310

16 186,086895 190,403450 194,819566 199,337443 203,959328 208,687515 213,524343 218,472203

17 239,656443 245,668433 251,830191 258,145302 264,617432 271,250332 278,047836 285,013864

18 308,359388 316,683937 325,231371 334,007439 343,018031 352,269180 361,767067 371,518023

19 396,470915 407,938859 419,735390 431,869596 444,350805 457,188588 470,392769 483,973430

20 509,473948 525,201433 541,409315 558,111779 575,323415 593,059221 611,334618 630,165459

21 654,400339 675,883842 698,064493 720,964195 744,605514 769,011691 794,206666 820,215097

22 840,268435 869,510737 899,758034 931,043812 963,402627 996,870140 1.031,483150 1.067,279626

23 1.078,644267 1.118,321297 1.159,438469 1.202,046518 1.246,197896 1.291,946832 1.339,349387 1.388,463514

24 1.384,361273 1.438,042866 1.493,777029 1.551,640008 1.611,710780 1.674,071147 1.738,805829 1.806,002568

25 1.776,443332 1.848,885083 1.924,237925 2.002,615610 2.084,136183 2.168,922135 2.257,100563 2.348,803338

26 2.279,288574 2.376,817332 2.478,456328 2.584,374137 2.694,746017 2.809,754165 2.929,587981 3.054,444340

27 2.924,187596 3.055,210272 3.192,012522 3.334,842636 3.483,959227 3.639,631644 3.802,140405 3.971,777642

28 3.751,270592 3.926,945199 4.110,716122 4.302,947001 4.504,017301 4.714,322979 4.934,277176 5.164,310934

29 4.812,004534 5.047,124581 5.293,547008 5.551,801631 5.822,442361 6.106,048258 6.403,224636 6.714,604214

30 6.172,395815 6.486,555086 6.816,441772 7.162,824104 7.526,506752 7.908,332494 8.309,183965 8.729,985479

31 7.917,097632 8.336,223286 8.777,168782 9.241,043095 9.729,009977 10.242,290580 10.782,166195 11.349,981122

32 10.154,677713 10.713,046922 11.301,604807 11.921,945592 12.575,745395 13.264,766301 13.990,860638 14.755,975459

33 13.024,374167 13.767,265295 14.551,816188 15.380,309814 16.255,150923 17.178,872359 18.154,141677 19.183,768097

34 16.704,759870 17.691,935904 18.736,463343 19.841,599660 21.010,782568 22.247,639705 23.555,998826 24.939,898526

35 21.424,854533 22.735,137637 24.124,196554 25.596,663561 27.157,436469 28.811,693418 30.564,908477 32.422,868084

36 27.478,375938 29.215,651864 31.060,903063 33.020,695993 35.101,986636 37.312,142977 39.658,968749 42.150,728509

37 35.242,017141 37.543,112645 39.991,912693 42.597,697831 45.370,317727 48.320,225155 51.458,511952 54.796,947062

38 45.198,886983 48.243,899749 51.490,587592 54.952,030203 58.642,135663 62.575,691575 66.768,419258 71.237,031180

39 57.968,572556 61.994,411177 66.295,131525 70.889,118961 75.795,960344 81.036,520590 86.633,023987 92.609,140534

40 74.345,694303 79.663,818362 85.355,981839 91.447,963460 97.967,278744 104.943,294164 112.407,348623 120.392,882695

41 95.349,352944 102.369,006596 109.896,826617 117.968,872864 126.623,707777 135.902,565943 145.849,534839 156.511,747503

42 122.286,545150 131.545,173476 141.493,164270 152.180,845994 163.662,142302 175.994,822896 189.240,771453 203.466,271754

43 156.833,494155 169.036,547916 182.173,448998 196.314,291332 211.534,318925 227.914,295650 245.540,900960 264.507,153281

44 201.139,956254 217.212,964072 234.549,315584 253.246,435819 273.409,107211 295.150,012867 318.590,318996 343.860,299265

45 257.962,993896 279.119,658833 301.983,243815 326.688,902206 353.382,271070 382.220,266663 413.371,938897 447.019,389044

46 330.838,539671 358.669,761600 388.804,426412 421.429,683846 456.747,585358 494.976,245328 536.351,090719 581.126,205757

47 424.301,427128 460.891,643656 500.586,699005 543.645,292161 590.347,254076 640.995,237700 695.916,540208 755.465,067485

48 544.167,580292 592.246,762098 644.506,374969 701.303,426888 763.024,825893 830.089,832822 902.952,710920 982.105,587730

49 697.895,921724 761.038,089296 829.802,957772 904.682,420686 986.210,587466 1.074.967,333504 1.171.582,142419 1.276.738,264049

50 895.052,519611 977.934,944745 1.068.372,308132 1.167.041,322685 1.274.678,184300 1.392.083,696888 1.520.128,829789 1.659.760,743264

51 1.147.905,856402 1.256.647,403998 1.375.530,346720 1.505.484,306263 1.647.522,553208 1.802.749,387470 1.972.368,156651 2.157.689,966243

52 1.472.190,260835 1.614.792,914137 1.770.996,321402 1.942.075,755080 2.129.423,900021 2.334.561,456774 2.559.148,683254 2.804.997,956116

53 1.888.085,009521 2.075.009,894666 2.280.158,763805 2.505.278,724053 2.752.281,390777 3.023.258,086522 3.320.496,416523 3.646.498,342950

54 2.421.470,024711 2.666.388,714646 2.935.705,408399 3.231.810,554028 3.557.324,697580 3.915.120,222046 4.308.345,100438 4.740.448,845836

55 3.105.536,306692 3.426.310,498320 3.779.721,713313 4.169.036,614696 4.597.843,171622 5.070.081,687549 5.590.078,767818 6.162.584,499586

56 3.982.851,313332 4.402.809,990341 4.866.392,705891 5.378.058,232958 5.942.713,299321 6.565.756,785376 7.253.128,201244 8.011.360,849462

57 5.108.007,809348 5.657.611,837588 6.265.481,608835 6.937.696,120516 7.680.957,939373 8.502.656,037062 9.410.934,841115 10.414.770,104301

58 6.551.021,015489 7.270.032,211301 8.066.808,571375 8.949.628,995465 9.927.639,136639 11.010.940,567996 12.210.688,956346 13.539.202,135591

59 8.401.685,452365 9.341.992,391521 10.386.017,035645 11.545.022,404150 12.831.474,584106 14.259.169,035555 15.843.369,920859 17.600.963,77626960 10.775.162,592658 12.004.461,223105 13.371.997,933393 14.893.079,901354 16.584.681,899957 18.465.624,901043 20.556.773,472315 22.881.253,909149




30,25 30,50 30,75 31,00 31,25 31,50 31,75 32,00

1 1,0000000 1,0000000 1,0000000 1,0000000 1,0000000 1,0000000 1,0000000 1,0000000

2 2,3025000 2,3050000 2,3075000 2,3100000 2,3125000 2,3150000 2,3175000 2,3200000

3 3,9990063 4,0080250 4,0170563 4,0261000 4,0351563 4,0442250 4,0533063 4,0624000

4 6,2087056 6,2304726 6,2523010 6,2741910 6,2961426 6,3181559 6,3402310 6,3623680

5 9,0868391 9,1307668 9,1748836 9,2191902 9,2636871 9,3083750 9,3532543 9,3983258

6 12,8356079 12,9156506 12,9961603 13,0771392 13,1585894 13,2405131 13,3229126 13,4057900

7 17,7183793 17,8549241 17,9924796 18,1310523 18,2706485 18,4112747 18,5529373 18,6956428

8 24,0781891 24,3006759 24,5251671 24,7516785 24,9802262 25,2108263 25,4434949 25,6782485

9 32,3618413 32,7123821 33,0666560 33,4246989 33,7865469 34,1522365 34,5218045 34,895288010 43,1512982 43,6896586 44,2346527 44,7863555 45,3448428 45,9101910 46,4824775 47,0617802

11 57,2045660 58,0150045 58,8368084 59,6701258 60,5151062 61,3719012 62,2406641 63,1215498

12 75,5089472 76,7095809 77,9291270 79,1678647 80,4260769 81,7040501 83,0020749 84,3204458

13 99,3504037 101,1060031 102,8923336 104,7099028 106,5592259 108,4408259 110,3552337 112,3029885

14 130,4039008 132,9433340 135,5317262 138,1699727 140,8589840 143,5996860 146,3930204 149,2399448

15 170,8510808 174,4910509 178,2077320 182,0026642 185,8774165 189,8335871 193,8728044 197,9967271

16 223,5335327 228,7108214 234,0066096 239,4234901 244,9641091 250,6311670 256,4274198 262,3556798

17 292,1524263 299,4676219 306,9636421 314,6447721 322,5153932 330,5799846 338,8431256 347,3094973

18 381,5285353 391,8052466 402,3549620 413,1846514 424,3014536 435,7126798 447,4258179 459,4485364

19 497,9409172 512,3058468 527,0791128 542,2718933 557,8956578 573,9621739 590,4835151 607,4720681

20 649,5680447 669,5591301 690,1559400 711,3761803 733,2380509 755,7602587 778,9620312 802,8631298

21 847,0623782 874,7746648 903,3788915 932,9027961 963,3749418 994,8247402 1027,2824761 1060,7793314

22 1104,2987476 1142,5809375 1182,1679007 1223,1026630 1265,4296111 1309,1945334 1354,4446623 1401,2287174

23 1439,3491188 1492,0681235 1546,6845301 1603,2644885 1661,8763645 1722,5908114 1785,4808426 1850,6219070

24 1875,7522272 1948,1489011 2023,2900231 2101,2764799 2182,2127284 2266,2069170 2353,3710101 2443,8209173

25 2444,1672760 2543,3343160 2646,4517052 2753,6721887 2865,1542060 2981,0620958 3101,5663058 3226,8436108

26 3184,5278770 3320,0512824 3461,2356046 3608,3105671 3761,5148954 3921,0966560 4087,3136079 4260,4335662


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