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Universidad de Santiago de Chile
Procesamiento de Datos – Carolina Wa Kay Galarza
Gestión de Clases
Para desarrollar el desarrollo de esta unidad se recomienda dejar en claro a los estudiantes
que para un mismo experimento se pueden definir distintos espacios muéstrales, ya que este
depende de lo que se quiera observar en el experimento.
Las siguientes actividades propuestas se deben llevar a cabo junto con el profesor, ya que
los conocimientos y competencias que se desean lograr en los estudiantes, estarán apoyados
en las conclusiones que ellos van obteniendo en el desarrollo de las actividades.
• Actividad 1:
Para esta actividad se debe tener en cuenta que algunos estudiantes ya podrían haber
adquirido en cursos anteriores conocimientos sobre probabilidades; sin embargo, como
estos son la base para poder profundizar en el cálculo de estas, es necesario recordar a
los estudiantes estos conocimientos y que se manejen en ellos.
Los estudiantes realizaran el experimento de lanzar dos dados, lo pueden hacer unas
cinco veces, y anotar sus resultados.
Luego el profesor preguntara acerca de todas las posibilidades que se pueden obtener al
lanzar los dados y de cómo se podrían graficar todos los casos posibles del espacio
muestral.
Se puede iniciar una lluvia de ideas para deducir cual es la forma más conveniente de
graficar el espacio muestral. El profesor deberá prevalecer la utilización de una tabla de
doble entrada, pero también se deberán tomar en cuenta las propuestas de los alumnos.
Los estudiantes junto con el profesor realizaran una tabla de doble entrada, donde
escribirán los posibles resultados con coordenadas. Para la primera coordenada se
utilizara un color, y para la segunda, otro color distinto.
Los estudiantes junto con el profesor determinaran la cardinalidad del espacio muestral.
Luego el profesor les indicara a los alumnos hallar la cardinalidad de los siguientes
sucesos:
− Aparece el mismo número en ambos dados.
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− Los números que aparecen en ambos dados suman 12.
− Aparece un número mayor a cero en ambos dados.
− El producto de los números que aparecen en ambos dados es 55.
Los alumnos determinan los resultados pedidos con la ayuda del profesor.
Los estudiantes junto con el profesor formalizan cada uno de los sucesos pedidos,
respecto a las características de ellos, y en base a la cardinalidad obtenida en cada uno de
los casos. Para realizar esta formalización se recomienda el uso de Diagramas de Venn.
El profesor indica determinar la cardinalidad que no pertenece al suceso pedido en cada
uno de los casos. Luego el profesor indica sumar la cardinalidad de un suceso y la
cardinalidad que no corresponde al suceso, en cada uno de los casos. El profesor junto
con los estudiantes concluyen que esta suma, en todos los casos es igual a la
cardinalidad del espacio muestral del primer experimento. Los estudiantes junto con el
profesor formalizan la cardinalidad de un suceso, y la cardinalidad que no corresponde
al suceso como un suceso y su complemento. Se recomienda el uso de Diagrama de
Venn para realizar esta formalización.
El profesor indica calcular las probabilidad de ocurrencia de cada de los sucesos
mencionados anteriormente, y la probabilidad de que no ocurran esto sucesos, luego les
indica sumar estas probabilidades. El profesor junto con los estudiantes concluye que la
suma de la probabilidad de suceso y su complemento es uno.
Los alumnos realizan una síntesis de lo aprendido en la actividad, mediante el uso de
tablas donde se debe rellenar el tipo de suceso, sus características y su grafica mediante
Diagramas de Venn.
• Actividad 2:
Esta actividad es una continuación de la actividad anterior, por lo tanto se utilizara el
mismo contexto.
Parte I:
El profesor indica considerar los sucesos:
− Aparece el mismo número en ambos dados.
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− La suma de los dados es 8.
Y escribir el espacio muestral de ambos.
Luego el profesor pregunta a los alumnos si reconocen algún elemento en común en
ambos espacios muéstrales. Los estudiantes junto con el profesor concluyen que hay un
elemento en común. El profesor pregunta si dicho elemento cumple con las condiciones
de ambos sucesos.
Se pueden estudiar también otros sucesos, como la intersección corresponde a un suceso
que está contenido en otro.
El profesor junto con los estudiantes formaliza el concepto estudiado. El profesor
plantea a los estudiantes la posibilidad de graficar este concepto utilizando Diagramas de
Venn. Los estudiantes junto con el profesor realizan los diagramas correspondientes.
Parte II:
El profesor indica considerar los sucesos:
− La suma de los dados es dos.
− La suma de los dados es tres.
Y escribir el espacio muestral de ambos.
El profesor pregunta si existe algún elemento en común, dado que no, se plantea la
posibilidad de unir estos sucesos en un solo espacio muestral.
Se pueden estudiar más ejemplos donde si exista intersección de los sucesos e igual se
pueda definir una unión entre ellos, como también la unión de un suceso con otro que
está contenido en el.
Los estudiantes junto con el profesor escriben por extensión la unión de estos dos
sucesos, además de realizar la grafica correspondiente mediante Diagramas de Venn. Se
formaliza el concepto estudiado.
Parte III:
El profesor indica considerar los siguientes sucesos.
− En un dado sale un 5.
− En el mismo dado sale un 6.
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Luego indica escribir los espacios muéstrales de cada uno de los sucesos. Se pregunta a
los estudiantes si hay algún elemento en común en estos sucesos y se concluye que no
hay intersección. Luego se pregunta si estos sucesos pueden ocurrir simultáneamente. Se
formaliza el concepto estudiado. Los estudiantes junto con el profesor realizan la grafica
correspondiente mediante Diagramas de Venn.
Parte IV:
Los alumnos realizan una síntesis de lo aprendido en la actividad, mediante el uso de
tablas donde se debe rellenar el tipo de suceso, sus características y su grafica mediante
Diagramas de Venn.
• Actividad 3:
Parte I:
Para realizar esta actividad se utilizara el contexto de una lotería en la que se encuentran
cinco bolitas enumeradas del 1 al 5. El profesor indicara a los estudiantes calcular la
probabilidad de que salga 1, luego 2, luego 3, luego 4, y 5. Para esto se utilizara la
Regla de Laplace estudiada en años anteriores, tal vez sea necesario recordarla. El
profesor preguntara como son todas probabilidades. Luego el espacio muestral del
experimento se cambiara, quedando dos bolitas con el número 1, dos bolitas con el
número 2 y una bolita con el número 3. El indicara calcular la probabilidad de que salga
1, luego 2, y 3. El profesor preguntara como son las probabilidades distintas. El profesor
formaliza los conceptos estudiados, y se plantean algunas preguntadas respecto a los
contenidos.
Parte II:
En primera instancia se continuara con el mismo contexto mencionado anteriormente,
correspondiente a la lotería de cinco bolitas, enumeradas de 1 a 5.
El profesor recuerda las probabilidades calculadas anteriormente, y en el caso que eran
equiprobables, pregunta:
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− Para el suceso obtener 1 ¿Cuál es el espacio muestral?
− Y para el suceso obtener 2 ¿Cuál es el espacio muestral?
− Entonces ¿Cómo son los espacios muéstrales en las preguntas anteriores?
− ¿La probabilidad del segundo suceso depende de la probabilidad del primer suceso?
Luego el profesor indica que en los casos anteriores la bolita extraída se volvía a
introducir, y realiza las mismas preguntas considerando que la bolita no se vuelve a
introducir, es recomendable realizar el experimento para comparar los espacios
muéstrales.
Se expone una segunda situación en la que se realizan dos experimentos, lanzar una
moneda y lanzar un dado.
Y los sucesos:
− Obtener cara al lanzar la moneda.
− Obtener uno al lanzar el dado.
Y luego se pregunta ¿El espacio muestral del primer suceso es igual al del segundo
suceso? ¿Tienen alguna relación los espacios muéstrales?
Se indica calcular la probabilidad de cada uno de los sucesos y se pregunta ¿La
probabilidad del segundo suceso depende de la probabilidad del primer suceso?
El profesor formaliza los conceptos estudiados, para esto el profesor debe tener un
conocimiento experto del concepto a estudiar con los alumnos. Se debe tener claro que
dos sucesos son independientes si la ocurrencia de uno de ellos no incide en la
ocurrencia del otro, y dos sucesos son dependientes si la ocurrencia de uno de ellos
depende de lo que haya ocurrido con el otro. En relación con esto, que un suceso
dependa de otro, en el contexto de lo contemplado en un experimento, indica que su
intimidad de ocurrencia no es tan libre o azarosa, sino que está supeditada a la existencia
y ocurrencia del otro suceso. Por el contrario, los sucesos son independientes cuando sus
existencias y ocurrencias libres y azarosamente se mantienen sin influencia del uno por
el otro. Los sucesos dependientes o independientes no siempre lo son, al igual que un
suceso seguro y el otro nulo, no siempre lo son, sino que dependen del experimento,
pero también del espacio muestral asociado a este experimento. Se sugiere dar ejemplos,
destacando que simplemente aplicar fórmulas es inútil si no se relaciona con una
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reflexión ad hoc. Ejemplifique con su curso tanto como sea necesario con el objetivo de
consolidar estos conceptos.
Parte III:
Los alumnos realizan una síntesis de lo aprendido en la actividad, mediante el uso de
tablas donde se debe rellenar el tipo de suceso, sus características.
• Actividad 4:
A partir de esta actividad se retoma y refuerza el concepto de probabilidad y las
principales propiedades para el cálculo de estas. Se recuerda la regla de Laplace, vista
en cursos anteriores, sin embargo, se utiliza ahora para realizar cálculos de
probabilidades de problemas de mayor complejidad.
Para realizar esta actividad se utilizara el contexto del experimento lanzar un dado y una
moneda. Y se definirían los sucesos:
− Obtener cinco
− Obtener cara
El profesor menciona que se desea calcular la probabilidad de que obtener cara o cinco.
Se indica graficar el espacio muestral de la situación mediante diagrama de árbol, o tabla
de doble de entrada y obtener su cardinalidad.
Luego se hacen unas preguntas para que los estudiantes entiendan la cualidad de ó:
¿Qué significa el conector entre los sucesos ó?
¿Tener en cuenta la ocurrencia del primer suceso?
¿Tener en cuenta la ocurrencia del segundo suceso?
¿Tener en cuenta la ocurrencia de al menos uno de los dos sucesos?
¿Tener en cuenta la ocurrencia de ambos sucesos necesariamente?
Estas preguntas deben ser contestadas con el apoyo del profesor. Después de las
conclusiones obtenidas el profesor indica señalar en el espacio muestral todos los
elementos que son casos favorables para el primer suceso y para el segundo suceso,
luego indica contar todos los elementos marcados, para determinar la cantidad de casos
favorables.
Los alumnos determinan la probabilidad pedida.
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Se pregunta a los alumnos si los sucesos son mutuamente excluyentes o no, se concluye
que no, dado que hay un elemento que cumple con las características de ambos sucesos,
entonces existe intersección.
El profesor indica realizar el Diagrama de Venn, asociado a la situación planteada.
El profesor formaliza el concepto estudiado, destacando la operación adición de los
sucesos estudiados y que como no son mutuamente excluyentes se debe restar la
cardinalidad de la intersección de ambos sucesos.
Al realizar el mismo experimento el profesor indica calcular la probabilidad de obtener
uno o dos, también se pregunta si estos sucesos son mutuamente excluyentes o no, se
realizan conjeturas con respecto a este caso.
Los alumnos realizan una síntesis de lo aprendido en la actividad.
• Actividad 5:
Para realizar esta actividad se expondrá el siguiente contexto. En un curso hay 35
estudiantes, de los cuales 20 son mujeres. En el curso hay 8 mujeres y 5 hombres
científicos y el resto humanistas.
El profesor indica representar y completar la información entregada en un diagrama de
árbol.
Se expone el contexto, si se elige un estudiante al azar y es mujer, se pide calcular la
probabilidad de que sea humanista.
El profesor pregunta a los alumnos ¿Cuál es el espacio muestral para dicha
probabilidad? Y ¿Cuáles son los casos favorables? Se puede generar un debate en que el
objetivo es lograr armar la probabilidad pedida.
Luego el profesor indica identificar los sucesos presentes en el experimento y realizar
una tabla de doble entrada, donde se exponga el espacio muestral de la situación
presentada.
Luego pregunta sobre los casos favorables tomados en cuenta en el cálculo de la
probabilidad anterior, y qué relación tienen con los sucesos encontrados en el
experimento, a que corresponden de los sucesos; donde se espera concluir que estos
casos son la intersección de los sucesos.
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Luego se pregunta sobre la relación del espacio muestral de la probabilidad anterior y
los sucesos encontrados en el experimento, se espera que los estudiantes concluyan que
corresponde al espacio muestral de uno de los sucesos.
El profesor formaliza los conceptos estudiados, recordando que es necesario fijar el
espacio muestral primero con el que se relaciona la situación presentada y que la idea
central de la probabilidad condicional es que el conocimiento de información adicional
sobre el experimento influyen el cálculo de probabilidades al producir una reducción del
espacio muestral.
Se pueden proponer más ejemplos para ejemplificar más el cálculo de la probabilidad
condicional.
• Actividad 6:
Para esta actividad se utilizara el experimento lanzar un dado, y se indicaran los sucesos:
− El resultado es impar.
− El resultado es menor que cinco.
El profesor indicara calcular la probabilidad que dado un suceso ocurra el otro y realizar
los correspondientes diagramas (árbol, tabla de doble entrada, Venn), y luego hacer lo
mismo en forma contraria. Se puede aprovechar la posibilidad de graficar, para que los
alumnos conjeturen acerca de la utilización de distintas graficas en la probabilidad
condicional.
Dado que los alumnos, ya conocen la ley de los grandes números y como determinar la
probabilidad experimental de un suceso, se procederá a aplicar estos conocimientos con
respecto a la probabilidad condicional.
Entonces el profesor indicara a los alumnos ingresar al recurso digital. Los alumnos
junto con el profesor exploran el recurso digital y obtienen conclusiones. Luego se
indica completar una tabla con respecto a las probabilidades experimentales a medida
que aumenta el valor de n, que indica el número de lanzamientos del dado. Los alumnos
completan la tabla y obtienen conclusiones acerca de la probabilidad condicional y
experimental de esta.
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• Actividad 7:
Parte I:
Se retoma el contexto del experimento lanzar una moneda y un dado, y por ende los
sucesos:
− Obtener cara
− Obtener cinco
Luego se propone calcular la probabilidad de obtener cara y cinco. Entonces se hacen
unas preguntas para que los estudiantes entiendan la cualidad de “y”:
¿Qué significa el conector entre los sucesos “y”?
¿Tener en cuenta la ocurrencia del primer suceso?
¿Tener en cuenta la ocurrencia del segundo suceso?
¿Tener en cuenta la ocurrencia de al menos uno de los dos sucesos?
¿Tener en cuenta la ocurrencia de ambos sucesos necesariamente?
Se indica a los estudiantes realizar un diagrama de árbol correspondiente a la situación
presentada y determinar la probabilidad de que ocurran ambos sucesos.
El profesor pregunta si los sucesos son independientes o dependientes.
Luego el profesor indica señalizar en dicho árbol, la probabilidad de cada uno de los
elementos del espacio muestral.
El profesor indica que para el suceso obtener cara y cinco, también corresponde a la
multiplicación de cada una de las probabilidades del espacio muestral.
Se formaliza el concepto estudiado, se puede utilizar una tabla de doble entrada y
diagrama de Venn, para una mejor visualización de la intersección de los sucesos.
Parte II:
Ya teniendo los alumnos la operación producto asociada a la intersección de sucesos, se
trabajara en el siguiente contexto, extraer dos cartas de una baraja inglesa, primero una y
después la otra, para lo cual se exponen los siguientes sucesos:
− La primera carta es una reina.
− La segunda carta es una as.
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Luego el profesor pregunta sobre lo que sucede al realizar los experimentos con o sin
reemplazo, su espacio muestral y el cálculo de la probabilidad asociada.
Al realizar los sucesos con reemplazo, ¿los sucesos son independientes o dependientes?
Al realizar la primera y segunda extracción ¿Cambia el espacio muestral del segundo
suceso?
Entonces ¿Cuál es la probabilidad de obtener una reina y un as?
Al realizar los sucesos sin reemplazo, ¿los sucesos son independientes o dependientes?
Al realizar la primera y segunda extracción ¿Cambia el espacio muestral del segundo
suceso?
Entonces ¿Cuál es la probabilidad de obtener una reina y un as?
El profesor junto con los estudiantes, formalizan el concepto estudiado, se pueden
proponer más actividades para retomar la unión de sucesos, extendiéndolo al caso de la
unión de sucesos independientes y sucesos dependientes donde se presentan intersección
de los sucesos, dado que el cálculo de la probabilidad de la intersección de sucesos
independientes es distinto al cálculo de la probabilidad de la intersección de sucesos
dependientes.
Los alumnos realizan una síntesis de lo aprendido en la actividad.