gestión de actividades

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Universidad de Santiago de Chile Procesamiento de Datos – Carolina Wa Kay Galarza Gestión de Clases Para desarrollar el desarrollo de esta unidad se recomienda dejar en claro a los estudiantes que para un mismo experimento se pueden definir distintos espacios muéstrales, ya que este depende de lo que se quiera observar en el experimento. Las siguientes actividades propuestas se deben llevar a cabo junto con el profesor, ya que los conocimientos y competencias que se desean lograr en los estudiantes, estarán apoyados en las conclusiones que ellos van obteniendo en el desarrollo de las actividades. Actividad 1: Para esta actividad se debe tener en cuenta que algunos estudiantes ya podrían haber adquirido en cursos anteriores conocimientos sobre probabilidades; sin embargo, como estos son la base para poder profundizar en el cálculo de estas, es necesario recordar a los estudiantes estos conocimientos y que se manejen en ellos. Los estudiantes realizaran el experimento de lanzar dos dados, lo pueden hacer unas cinco veces, y anotar sus resultados. Luego el profesor preguntara acerca de todas las posibilidades que se pueden obtener al lanzar los dados y de cómo se podrían graficar todos los casos posibles del espacio muestral. Se puede iniciar una lluvia de ideas para deducir cual es la forma más conveniente de graficar el espacio muestral. El profesor deberá prevalecer la utilización de una tabla de doble entrada, pero también se deberán tomar en cuenta las propuestas de los alumnos. Los estudiantes junto con el profesor realizaran una tabla de doble entrada, donde escribirán los posibles resultados con coordenadas. Para la primera coordenada se utilizara un color, y para la segunda, otro color distinto. Los estudiantes junto con el profesor determinaran la cardinalidad del espacio muestral. Luego el profesor les indicara a los alumnos hallar la cardinalidad de los siguientes sucesos: - Aparece el mismo número en ambos dados.

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gestion de actividades

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Universidad de Santiago de Chile

Procesamiento de Datos – Carolina Wa Kay Galarza

Gestión de Clases

Para desarrollar el desarrollo de esta unidad se recomienda dejar en claro a los estudiantes

que para un mismo experimento se pueden definir distintos espacios muéstrales, ya que este

depende de lo que se quiera observar en el experimento.

Las siguientes actividades propuestas se deben llevar a cabo junto con el profesor, ya que

los conocimientos y competencias que se desean lograr en los estudiantes, estarán apoyados

en las conclusiones que ellos van obteniendo en el desarrollo de las actividades.

• Actividad 1:

Para esta actividad se debe tener en cuenta que algunos estudiantes ya podrían haber

adquirido en cursos anteriores conocimientos sobre probabilidades; sin embargo, como

estos son la base para poder profundizar en el cálculo de estas, es necesario recordar a

los estudiantes estos conocimientos y que se manejen en ellos.

Los estudiantes realizaran el experimento de lanzar dos dados, lo pueden hacer unas

cinco veces, y anotar sus resultados.

Luego el profesor preguntara acerca de todas las posibilidades que se pueden obtener al

lanzar los dados y de cómo se podrían graficar todos los casos posibles del espacio

muestral.

Se puede iniciar una lluvia de ideas para deducir cual es la forma más conveniente de

graficar el espacio muestral. El profesor deberá prevalecer la utilización de una tabla de

doble entrada, pero también se deberán tomar en cuenta las propuestas de los alumnos.

Los estudiantes junto con el profesor realizaran una tabla de doble entrada, donde

escribirán los posibles resultados con coordenadas. Para la primera coordenada se

utilizara un color, y para la segunda, otro color distinto.

Los estudiantes junto con el profesor determinaran la cardinalidad del espacio muestral.

Luego el profesor les indicara a los alumnos hallar la cardinalidad de los siguientes

sucesos:

− Aparece el mismo número en ambos dados.

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Procesamiento de Datos – Carolina Wa Kay Galarza

− Los números que aparecen en ambos dados suman 12.

− Aparece un número mayor a cero en ambos dados.

− El producto de los números que aparecen en ambos dados es 55.

Los alumnos determinan los resultados pedidos con la ayuda del profesor.

Los estudiantes junto con el profesor formalizan cada uno de los sucesos pedidos,

respecto a las características de ellos, y en base a la cardinalidad obtenida en cada uno de

los casos. Para realizar esta formalización se recomienda el uso de Diagramas de Venn.

El profesor indica determinar la cardinalidad que no pertenece al suceso pedido en cada

uno de los casos. Luego el profesor indica sumar la cardinalidad de un suceso y la

cardinalidad que no corresponde al suceso, en cada uno de los casos. El profesor junto

con los estudiantes concluyen que esta suma, en todos los casos es igual a la

cardinalidad del espacio muestral del primer experimento. Los estudiantes junto con el

profesor formalizan la cardinalidad de un suceso, y la cardinalidad que no corresponde

al suceso como un suceso y su complemento. Se recomienda el uso de Diagrama de

Venn para realizar esta formalización.

El profesor indica calcular las probabilidad de ocurrencia de cada de los sucesos

mencionados anteriormente, y la probabilidad de que no ocurran esto sucesos, luego les

indica sumar estas probabilidades. El profesor junto con los estudiantes concluye que la

suma de la probabilidad de suceso y su complemento es uno.

Los alumnos realizan una síntesis de lo aprendido en la actividad, mediante el uso de

tablas donde se debe rellenar el tipo de suceso, sus características y su grafica mediante

Diagramas de Venn.

• Actividad 2:

Esta actividad es una continuación de la actividad anterior, por lo tanto se utilizara el

mismo contexto.

Parte I:

El profesor indica considerar los sucesos:

− Aparece el mismo número en ambos dados.

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Procesamiento de Datos – Carolina Wa Kay Galarza

− La suma de los dados es 8.

Y escribir el espacio muestral de ambos.

Luego el profesor pregunta a los alumnos si reconocen algún elemento en común en

ambos espacios muéstrales. Los estudiantes junto con el profesor concluyen que hay un

elemento en común. El profesor pregunta si dicho elemento cumple con las condiciones

de ambos sucesos.

Se pueden estudiar también otros sucesos, como la intersección corresponde a un suceso

que está contenido en otro.

El profesor junto con los estudiantes formaliza el concepto estudiado. El profesor

plantea a los estudiantes la posibilidad de graficar este concepto utilizando Diagramas de

Venn. Los estudiantes junto con el profesor realizan los diagramas correspondientes.

Parte II:

El profesor indica considerar los sucesos:

− La suma de los dados es dos.

− La suma de los dados es tres.

Y escribir el espacio muestral de ambos.

El profesor pregunta si existe algún elemento en común, dado que no, se plantea la

posibilidad de unir estos sucesos en un solo espacio muestral.

Se pueden estudiar más ejemplos donde si exista intersección de los sucesos e igual se

pueda definir una unión entre ellos, como también la unión de un suceso con otro que

está contenido en el.

Los estudiantes junto con el profesor escriben por extensión la unión de estos dos

sucesos, además de realizar la grafica correspondiente mediante Diagramas de Venn. Se

formaliza el concepto estudiado.

Parte III:

El profesor indica considerar los siguientes sucesos.

− En un dado sale un 5.

− En el mismo dado sale un 6.

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Procesamiento de Datos – Carolina Wa Kay Galarza

Luego indica escribir los espacios muéstrales de cada uno de los sucesos. Se pregunta a

los estudiantes si hay algún elemento en común en estos sucesos y se concluye que no

hay intersección. Luego se pregunta si estos sucesos pueden ocurrir simultáneamente. Se

formaliza el concepto estudiado. Los estudiantes junto con el profesor realizan la grafica

correspondiente mediante Diagramas de Venn.

Parte IV:

Los alumnos realizan una síntesis de lo aprendido en la actividad, mediante el uso de

tablas donde se debe rellenar el tipo de suceso, sus características y su grafica mediante

Diagramas de Venn.

• Actividad 3:

Parte I:

Para realizar esta actividad se utilizara el contexto de una lotería en la que se encuentran

cinco bolitas enumeradas del 1 al 5. El profesor indicara a los estudiantes calcular la

probabilidad de que salga 1, luego 2, luego 3, luego 4, y 5. Para esto se utilizara la

Regla de Laplace estudiada en años anteriores, tal vez sea necesario recordarla. El

profesor preguntara como son todas probabilidades. Luego el espacio muestral del

experimento se cambiara, quedando dos bolitas con el número 1, dos bolitas con el

número 2 y una bolita con el número 3. El indicara calcular la probabilidad de que salga

1, luego 2, y 3. El profesor preguntara como son las probabilidades distintas. El profesor

formaliza los conceptos estudiados, y se plantean algunas preguntadas respecto a los

contenidos.

Parte II:

En primera instancia se continuara con el mismo contexto mencionado anteriormente,

correspondiente a la lotería de cinco bolitas, enumeradas de 1 a 5.

El profesor recuerda las probabilidades calculadas anteriormente, y en el caso que eran

equiprobables, pregunta:

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Procesamiento de Datos – Carolina Wa Kay Galarza

− Para el suceso obtener 1 ¿Cuál es el espacio muestral?

− Y para el suceso obtener 2 ¿Cuál es el espacio muestral?

− Entonces ¿Cómo son los espacios muéstrales en las preguntas anteriores?

− ¿La probabilidad del segundo suceso depende de la probabilidad del primer suceso?

Luego el profesor indica que en los casos anteriores la bolita extraída se volvía a

introducir, y realiza las mismas preguntas considerando que la bolita no se vuelve a

introducir, es recomendable realizar el experimento para comparar los espacios

muéstrales.

Se expone una segunda situación en la que se realizan dos experimentos, lanzar una

moneda y lanzar un dado.

Y los sucesos:

− Obtener cara al lanzar la moneda.

− Obtener uno al lanzar el dado.

Y luego se pregunta ¿El espacio muestral del primer suceso es igual al del segundo

suceso? ¿Tienen alguna relación los espacios muéstrales?

Se indica calcular la probabilidad de cada uno de los sucesos y se pregunta ¿La

probabilidad del segundo suceso depende de la probabilidad del primer suceso?

El profesor formaliza los conceptos estudiados, para esto el profesor debe tener un

conocimiento experto del concepto a estudiar con los alumnos. Se debe tener claro que

dos sucesos son independientes si la ocurrencia de uno de ellos no incide en la

ocurrencia del otro, y dos sucesos son dependientes si la ocurrencia de uno de ellos

depende de lo que haya ocurrido con el otro. En relación con esto, que un suceso

dependa de otro, en el contexto de lo contemplado en un experimento, indica que su

intimidad de ocurrencia no es tan libre o azarosa, sino que está supeditada a la existencia

y ocurrencia del otro suceso. Por el contrario, los sucesos son independientes cuando sus

existencias y ocurrencias libres y azarosamente se mantienen sin influencia del uno por

el otro. Los sucesos dependientes o independientes no siempre lo son, al igual que un

suceso seguro y el otro nulo, no siempre lo son, sino que dependen del experimento,

pero también del espacio muestral asociado a este experimento. Se sugiere dar ejemplos,

destacando que simplemente aplicar fórmulas es inútil si no se relaciona con una

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Procesamiento de Datos – Carolina Wa Kay Galarza

reflexión ad hoc. Ejemplifique con su curso tanto como sea necesario con el objetivo de

consolidar estos conceptos.

Parte III:

Los alumnos realizan una síntesis de lo aprendido en la actividad, mediante el uso de

tablas donde se debe rellenar el tipo de suceso, sus características.

• Actividad 4:

A partir de esta actividad se retoma y refuerza el concepto de probabilidad y las

principales propiedades para el cálculo de estas. Se recuerda la regla de Laplace, vista

en cursos anteriores, sin embargo, se utiliza ahora para realizar cálculos de

probabilidades de problemas de mayor complejidad.

Para realizar esta actividad se utilizara el contexto del experimento lanzar un dado y una

moneda. Y se definirían los sucesos:

− Obtener cinco

− Obtener cara

El profesor menciona que se desea calcular la probabilidad de que obtener cara o cinco.

Se indica graficar el espacio muestral de la situación mediante diagrama de árbol, o tabla

de doble de entrada y obtener su cardinalidad.

Luego se hacen unas preguntas para que los estudiantes entiendan la cualidad de ó:

¿Qué significa el conector entre los sucesos ó?

¿Tener en cuenta la ocurrencia del primer suceso?

¿Tener en cuenta la ocurrencia del segundo suceso?

¿Tener en cuenta la ocurrencia de al menos uno de los dos sucesos?

¿Tener en cuenta la ocurrencia de ambos sucesos necesariamente?

Estas preguntas deben ser contestadas con el apoyo del profesor. Después de las

conclusiones obtenidas el profesor indica señalar en el espacio muestral todos los

elementos que son casos favorables para el primer suceso y para el segundo suceso,

luego indica contar todos los elementos marcados, para determinar la cantidad de casos

favorables.

Los alumnos determinan la probabilidad pedida.

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Se pregunta a los alumnos si los sucesos son mutuamente excluyentes o no, se concluye

que no, dado que hay un elemento que cumple con las características de ambos sucesos,

entonces existe intersección.

El profesor indica realizar el Diagrama de Venn, asociado a la situación planteada.

El profesor formaliza el concepto estudiado, destacando la operación adición de los

sucesos estudiados y que como no son mutuamente excluyentes se debe restar la

cardinalidad de la intersección de ambos sucesos.

Al realizar el mismo experimento el profesor indica calcular la probabilidad de obtener

uno o dos, también se pregunta si estos sucesos son mutuamente excluyentes o no, se

realizan conjeturas con respecto a este caso.

Los alumnos realizan una síntesis de lo aprendido en la actividad.

• Actividad 5:

Para realizar esta actividad se expondrá el siguiente contexto. En un curso hay 35

estudiantes, de los cuales 20 son mujeres. En el curso hay 8 mujeres y 5 hombres

científicos y el resto humanistas.

El profesor indica representar y completar la información entregada en un diagrama de

árbol.

Se expone el contexto, si se elige un estudiante al azar y es mujer, se pide calcular la

probabilidad de que sea humanista.

El profesor pregunta a los alumnos ¿Cuál es el espacio muestral para dicha

probabilidad? Y ¿Cuáles son los casos favorables? Se puede generar un debate en que el

objetivo es lograr armar la probabilidad pedida.

Luego el profesor indica identificar los sucesos presentes en el experimento y realizar

una tabla de doble entrada, donde se exponga el espacio muestral de la situación

presentada.

Luego pregunta sobre los casos favorables tomados en cuenta en el cálculo de la

probabilidad anterior, y qué relación tienen con los sucesos encontrados en el

experimento, a que corresponden de los sucesos; donde se espera concluir que estos

casos son la intersección de los sucesos.

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Luego se pregunta sobre la relación del espacio muestral de la probabilidad anterior y

los sucesos encontrados en el experimento, se espera que los estudiantes concluyan que

corresponde al espacio muestral de uno de los sucesos.

El profesor formaliza los conceptos estudiados, recordando que es necesario fijar el

espacio muestral primero con el que se relaciona la situación presentada y que la idea

central de la probabilidad condicional es que el conocimiento de información adicional

sobre el experimento influyen el cálculo de probabilidades al producir una reducción del

espacio muestral.

Se pueden proponer más ejemplos para ejemplificar más el cálculo de la probabilidad

condicional.

• Actividad 6:

Para esta actividad se utilizara el experimento lanzar un dado, y se indicaran los sucesos:

− El resultado es impar.

− El resultado es menor que cinco.

El profesor indicara calcular la probabilidad que dado un suceso ocurra el otro y realizar

los correspondientes diagramas (árbol, tabla de doble entrada, Venn), y luego hacer lo

mismo en forma contraria. Se puede aprovechar la posibilidad de graficar, para que los

alumnos conjeturen acerca de la utilización de distintas graficas en la probabilidad

condicional.

Dado que los alumnos, ya conocen la ley de los grandes números y como determinar la

probabilidad experimental de un suceso, se procederá a aplicar estos conocimientos con

respecto a la probabilidad condicional.

Entonces el profesor indicara a los alumnos ingresar al recurso digital. Los alumnos

junto con el profesor exploran el recurso digital y obtienen conclusiones. Luego se

indica completar una tabla con respecto a las probabilidades experimentales a medida

que aumenta el valor de n, que indica el número de lanzamientos del dado. Los alumnos

completan la tabla y obtienen conclusiones acerca de la probabilidad condicional y

experimental de esta.

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• Actividad 7:

Parte I:

Se retoma el contexto del experimento lanzar una moneda y un dado, y por ende los

sucesos:

− Obtener cara

− Obtener cinco

Luego se propone calcular la probabilidad de obtener cara y cinco. Entonces se hacen

unas preguntas para que los estudiantes entiendan la cualidad de “y”:

¿Qué significa el conector entre los sucesos “y”?

¿Tener en cuenta la ocurrencia del primer suceso?

¿Tener en cuenta la ocurrencia del segundo suceso?

¿Tener en cuenta la ocurrencia de al menos uno de los dos sucesos?

¿Tener en cuenta la ocurrencia de ambos sucesos necesariamente?

Se indica a los estudiantes realizar un diagrama de árbol correspondiente a la situación

presentada y determinar la probabilidad de que ocurran ambos sucesos.

El profesor pregunta si los sucesos son independientes o dependientes.

Luego el profesor indica señalizar en dicho árbol, la probabilidad de cada uno de los

elementos del espacio muestral.

El profesor indica que para el suceso obtener cara y cinco, también corresponde a la

multiplicación de cada una de las probabilidades del espacio muestral.

Se formaliza el concepto estudiado, se puede utilizar una tabla de doble entrada y

diagrama de Venn, para una mejor visualización de la intersección de los sucesos.

Parte II:

Ya teniendo los alumnos la operación producto asociada a la intersección de sucesos, se

trabajara en el siguiente contexto, extraer dos cartas de una baraja inglesa, primero una y

después la otra, para lo cual se exponen los siguientes sucesos:

− La primera carta es una reina.

− La segunda carta es una as.

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Luego el profesor pregunta sobre lo que sucede al realizar los experimentos con o sin

reemplazo, su espacio muestral y el cálculo de la probabilidad asociada.

Al realizar los sucesos con reemplazo, ¿los sucesos son independientes o dependientes?

Al realizar la primera y segunda extracción ¿Cambia el espacio muestral del segundo

suceso?

Entonces ¿Cuál es la probabilidad de obtener una reina y un as?

Al realizar los sucesos sin reemplazo, ¿los sucesos son independientes o dependientes?

Al realizar la primera y segunda extracción ¿Cambia el espacio muestral del segundo

suceso?

Entonces ¿Cuál es la probabilidad de obtener una reina y un as?

El profesor junto con los estudiantes, formalizan el concepto estudiado, se pueden

proponer más actividades para retomar la unión de sucesos, extendiéndolo al caso de la

unión de sucesos independientes y sucesos dependientes donde se presentan intersección

de los sucesos, dado que el cálculo de la probabilidad de la intersección de sucesos

independientes es distinto al cálculo de la probabilidad de la intersección de sucesos

dependientes.

Los alumnos realizan una síntesis de lo aprendido en la actividad.