gestiÓn acadÉmica pa-01-01 - webcolegios · 2014-09-15 · , 10 es la media proporcional de dos y...

I.E. COLEGIO ANDRÉS BELLO

GESTIÓN ACADÉMICA GUÍA DIDÁCTICA

¡HACIA LA EXCELENCIA… COMPROMISO DE TODOS…!

CÓDIGO:PA-01-01

VERSIÓN: 2.0

FECHA: 19-06-2013

PÁGINA: 1 de 32

Nombres y Apellidos del Estudiante: Grado: SEPTIMO

Periodo: CUARTO

Docente: Duración:

25 horas

Área: Matemáticas

Asignatura: Matemáticas

ESTÁNDAR:2

Justifico el uso de representaciones y procedimientos en situaciones de proporcionalidad directa e inversa.

INDICADORE DE DESEMPEÑO:

Aplica la proporcionalidad en la solución de problemas que relacionen magnitudes en forma directa e inversa

EJE(S) TEMÁTICO(S):

Proporcionalidad

MOMENTO DE REFLEXIÓN / CRECIMIENTO PERSONAL/ SEGÚN EL TEMA

“El camino es el que nos enseña la mejor forma de llegar y nos enriquece mientras lo estamos cruzando.”

ORIENTACIONES

Lee atentamente la guía,

Sigue las instrucciones del docente,

Resuelve las actividades en el cuaderno,

Aclara tus dudas.

EXPLORACIÓN

N O V I A

+ A M O R

H I J O S

CONCEPTUALIZACION

PROPORCIONALIDAD

RAZONES

Reemplazar las letras por números 0,1,2,3,4,5,6,7,8 y 9 de

manera que se verifique la suma (A=2)

En la vida diaria se usan continuamente proporciones numéricas. Así,

la preparación de una receta está sujeta a proporciones exactas entre sus componentes.

Para preparar un postre es necesario utilizar cantidades de cada uno de los ingredientes,

proporcionales a la cantidad total de postre.

Este tipo de relaciones se pueden expresar matemáticamente a través del cociente entre dos números.

El cociente indicado entre dos números a y b, 𝑎

𝑏 con b 0 se llama la razón entre a y b. En una razón, el

dividendo a, recibe el nombre de antecedente y el divisor b, recibe el nombre de consecuente.

Una razón se puede representar como

o como a : b y se lee “la razón entre a a b” o “a es a b”.

Por ejemplo,

representa la razón de 3 a 8.




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SERIES DE RAZONES IGUALES

=

Se denomina serie de razones a la igualdad de dos o más razones. Una serie de razones se simboliza

como:

……

Son series de razones iguales.

Propiedad fundamental de una serie de razones.

En toda serie de razones iguales cada razón es igual a la razón entre la suma de los antecedentes y la suma

de los consecuentes. Es decir,

Ejercicio resuelto

Hallar los términos desconocidos en cada serie de razones iguales.

SOLUCION




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En toda proporción se cumple que el producto de los medios es igual al producto de los

extremos. Es decir

se y solo si, a x d = c x d

Propiedad fundamental de las proporciones.

Por ejemplo, en la proporción

se cumple que 2 x 10 = 4 x 5

En toda proporción se cumple que el producto de los medios es igual al producto de

los extremos. Es decir

si y sólo si, a X d = c X b

LAS PROPIEDADES DE LAS PROPORCIONES

Teano se conoce como una de Las mujeres matemáticas de La historia griega. Se sabe que

nació en Crotona, Grecia, en el siglo VI a.C. y que fue esposa de Pitágoras. Aunque en su

época Las academias marginaban a Las mujeres de Las actividades científicas, en la escuela

pitagórica de Crotona no existían esos prejuicios y tanto hombres como mujeres tenían

acceso.

AL igual que el resto de los pitagóricos, Teano sostenía que todos los objetos materiales

estaban compuestos por números naturales, fundamento que fue ampliamente estudiado por

los matemáticos.

La proporcionalidad fue objeto de estudio para quienes pertenecían a la escuela pitagórica. Al

respecto, los griegos establecieron una distinción entre magnitudes conmensurables e

inconmensurables, las cuales relacionaban con los números racionales e irracionales,

respectivamente. Teano propuso ocho formas para expresar una proporción y la propiedad

fundamental de las mismas.

PROPORCIONES

Una igualdad entre dos razones recibe el nombre de proporción. La proporción entre las

razones

y

con b ≠ 0 y d ≠ 0, se escribe

=

, o a : b: d y se lee “a es a b cómo c es a d

En la proporción

, a y d se llaman extremos y b y c se llaman medios. Por ejemplo, en la

proporción

, que también podemos escribir 2 : 5 :: 10 : 25; 2 y 25 son los extremos y 5 y 10 son los

medios .

En una proporción continua se cumple que los medios o los extremos son iguales entre sí. Por ejemplo, la

proporción

=

es continua.

Al término que se repite en una proporción continua se le llama media proporcional de los términos no

repetidos.

Así, en la proporción

, 10 es la media proporcional de dos y 50.

Cada término de una proporción con todos sus términos diferentes se llama cuarta proporcional de los

otros tres elementos. Por ejemplo, en la proporción

x es cuarta proporcional de 6, 4 y 3.

De la misma manera, en la proporción

d es cuarta proporcional de a, b y c.




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}

Ejercicio resuelto




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PROPIEDADES DE LAS PROPORCIONES

4. La f igura 1 representa el mapa de un país. Determinar la distancia

real entre las ciudades A y B, si en el mapa, la distancia

que las separa es de 4 cm.

escala 1:250.000 significa que 1 cm en el mapa equivale a 250.000 cm de distancia real. Esto quiere decir

que la razón entre la distancia que separa dos puntos en el mapa construido a escala y la distancia real es

Si se representa la distancia real entre los puntos A y B como d, se tiene:

1 x d = 4 x 250.000 d= 1.000.000

La distancia real entre las ciudades A y B es de 1.000.000 cm, lo que equivale a 10 kilómetros.

5. parra que un equipo participe en un festival de porras la cantidad de niñas debe estar en

relación

. Si en un equipo hay 15 niños, ¿cuántas niñas debe haber?

SOLUCION

SOLUCION




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PROPORCIONALIDADES DIRECTAS

En múltiples situaciones de la vida cotidiana se hacen mediciones, es decir, se asignan cantidades a algunas

propiedades que caracterizan a los objetos. Se denomina magnitud a una cualidad de un objeto a la cual se le puede

asignar medida. La temperatura la longitud, la superficie, el tiempo y el peso son ejemplos de magnitudes.

En la interpretación de fenómenos o situaciones es útil analizar la dependencia entre dos magnitudes, por lo cual se

acostumbra representar los valores en tablas y en gráficas en el plano cartesiano.

Por ejemplo, en la siguiente tabla se presenta la distancia d, a la cual se encuentra un carro de juguete con respecto a

un punto de partida para diferentes valores del tiempo t . La distancia se ha medido en metros y el tiempo en segundos.

Tiempo (segundos) 0 1 2 3 4 5

Distancia (metros) 0 0,25 1 2,25 4 6,25

En la figura 2 se muestra el plano cartesiano que representa la situación.

a. Magnitudes directamente correlacionadas

En el ejemplo de la distancia recorrida por el juguete, se puede observar que cuando el tiempo aumenta, la

distancia aumenta; luego, la distancia y el tiempo son magnitudes directamente correlacionadas.

b. Magnitudes directamente proporcionales.

Si un tren avanza 30 km hacia el norte cada vez que transcurre una hora. El tiempo y la distancia que recorre se

representan en la siguiente tabla.

Tiempo (horas) 1 2 3 4 5

Distancia (kilómetros) 30 60 90 120 150

Se observa que al aumentar el tiempo, la distancia aumenta. Así que las magnitudes son directamente

correlacionadas. Cuando se calcula la razón entre cada distancia y su respectivo valor del tiempo, se tiene.

30

30

Las magnitudes distancia recorrida y tiempo son directamente proporcionales, porque la razón entre sus

respectivos valores es constante e igual a 30. Es decir, la constante de proporcionalidad es 30.

Dos magnitudes se denominan directamente correlacionadas si, al aumentar una de ellas, la otra también

aumenta o, al disminuir una de ellas, la otra también disminuye.

Dos magnitudes son directamente proporcionales si la razón entre cada

valor de una de ellas y el respectivo valor de la otra es igual a una cons-

tante. A esa constante se le llama constante de proporcionalidad.




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Así, en el ejemplo anterior los valores de la distancia recorrida y el tiempo se pueden relacionar mediante la expresión.

d = 30 X t En la figura se puede observar la representación gráfica de la relación anterior. Al unir los puntos se obtiene una recta

que pasa por el origen.

c. Propiedades de las magnitudes directamente proporcionales.

Si x y y son magnitudes directamente proporcionales, m y n son los valores de la magnitud x que corresponden a los

valores p y q de la magnitud y, respectivamente, se cumple que

.

Si dos magnitudes, x y y, son directamente proporcionales, se cumple que

k es

la constante de proporcionalidad.

Los valores de las magnitudes x y y se relacionan mediante la expreseión y=Kxx

Cuando, en el plano cartesiano, se unen los puntos que representan los valores de dos magnitudes

directamente proporcionales, se obtiene una línea recta que pasa por el origen

Ejercicio resuelto

Determinar si las magnitudes representadas en las graficas son directamente proporcionales o

directamente correlacionadas.

a. Las magnitudes representadas son directamente correlacionadas porque cuando el tiempo aumenta, la

producción lechera aumenta. Las magnitudes no son directamente proporcionales porque la gráfica que

las representa no es una recta que pasa por el origen.

b. Como la línea que une los puntos es una recta que pasa por el origen, entonces, las magnitudes

representadas son directamente proporcionales.

c. Las magnitudes representadas son directamente correlacionadas. Las magnitudes no son directamente

proporcionales porque la recta no pasa por el origen.




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.

Figura 5

Figura 6

Determinar la constante de proporcionalidad para los datos repre -

sentados en la gráfica de la f igura.

SOLUCION

Las magnitudes que se relacionan en la figura 4 son directamente proporcionales. Así,

para hallar la constante de proporcionalidad, basta calcular la razón entre los valores de

las coordenadas de cualquier punto. Por ejemplo, el cálculo para los puntos (1,5, 1) y

(4,5, 3) es el siguiente:

5

5 Entonces k = 1.5

Completar cada tabla si se sabe que las magnitudes dadas son direc -

tamente proporcionales

Leche (L) 4 7 11 13

Queso (unidades) 14

SOLUCION

En la f igura 5 se presentan rectángulos con la misma altura y

diferente base.

a. Determinar el área de cada rectángulo en unidades cuadradas. Luego, registrar en una

tabla de valores la relación entre las bases y las respectivas áreas.

b. representar las dos magnitudes en el plano cartesiano.

c. Determinar si el área y la base son magnitudes directamente proporcionales. En caso

afirmativo, determinar la constante de proporcionalidad y la expresión matemática

que las relaciona.

SOLUCION

a. En la siguiente tabla se presentan los valores de las bases y sus respectivas áreas

b. En la figura 6 se muestra la representación gráfica de las magnitudes en el plano

cartesiano.

c. La base y el área de los rectángulos dados son directamente proporcionales porque la

gráfica que une los puntos de la tabla es una línea recta que pasa por el origen. Para

determinar la constante de proporcionalidad, se divide el valor de la base de

cualquier pareja de datos. Así,

4. Luego, la constante de proporcionalidad es

k=4. Por tanto, A= 4xb

Maíz 5

Arepas 6 9 12 15

Por ser directamente proporcionales se

cumple que.

𝑋

7

X = 8

X 4 7 11 13

y 8 14 22 26

Por ser directamente proporcionales

se cumple que

𝑥

x = 4

X 2 3 4 5

y 6 9 12 15

Base (unidades) 2 3 4 5 6

Área (unidades cuadradas) 8 12 16 20 24

Figura 4

Figura 5

Figura 6




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PROPORCIONALIDAD INVERSA

En algunas situaciones se cumple que cuando los valores de una magnitud aumentan, los valores correspondientes

de otra magnitud disminuyen.

Magnitudes inversamente relacionadas

Dos magnitudes se denominan inversamente correlacionadas cuando, al aumentar una de ellas, la otra disminuye.

La siguiente tabla muestra los valores de dos magnitudes inversamente correlacionadas.

X 2 4 6 8

y 8 6 4 2

Cuando los valores de la magnitud x aumentan, los valores de la magnitud y disminuyen. En el plano cartesiano de

la figura 7, se representan los valores de las magnitudes.

Magnitudes inversamente proporcionales

Por ejemplo, el tiempo (f) y la velocidad (y) empleados en recorrer determinada distancia son magnitudes

inversamente proporcionales. A medida que la velocidad aumenta, el tiempo que se emplea en el recorrido dismi-

nuye. En la tabla siguiente se representan los valores de la velocidad con que un carro recorre cierta distancia y el

tiempo que emplea en hacerlo.

Tiempo (h) 2 1 0,5 0,4

Velocidad (km/h) 10 20 40 50

En este caso se cumple que: si el tiempo en recorrer determinada distancia con velocidad de 10 km/h es 2 horas,

entonces, el tiempo en recorrer la misma distancia con velocidad de 20 km/h es 1 hora. Así, se pueden plantear las

siguientes relaciones.

10 X 2 = 20 20 X 1 = 20 40 X 0,5 = 20 50 X 0,4 = 20

En este caso, la constante de proporcionalidad inversa es 20.

En el ejemplo anterior, las magnitudes v y t se relacionan mediante la expresión

v =

.

En la figura se puede observar la representación gráfica de la relación anterior.

Dos magnitudes son inversamente proporcionales cuando el producto de

cada valor de una magnitud por el respectivo valor de la otra es igual a una

constante. Esta constante es llamada constante de proporcionalidad inversa

Dos magnitudes, x y y, son inversamente proporcionales si el producto de cada

valor de la magnitud y por su correspondiente valor de la magnitud x es igual a

una constante.

x X y = k, k constante de proporcionalidad inversa.

Se cumple que los valores de las dos magnitudes se relacionan mediante la

expresión y =

.




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Por ejemplo, en los valores representados en la tabla para la velocidad y el tiempo (página anterior), se

tiene que

Si x y y son magnitudes inversamente proporcionales, m y n son valores de la magnitud x que

corresponden, respectivamente, a los valores p y q de ¡a magnitud y, se cumple que:

𝑚

𝑛

𝑞

𝑝

Ejercicio resuelto

Determinar si las magnitudes representadas en las gráficas son in versamente

proporcionales o inversamente correlacionadas. Para aquellas que sean

inversamente proporcionales, determinar la cons tante de proporcionalidad

inversa y la expresión que relaciona las dos magnitudes.

SOLUCION

a. Se observa que cuando los valores de x aumentan, los valores de y disminuyen, por lo tanto, las

magnitudes son inversamente correlacionadas. Sin embargo, para determinar si las magnitudes son

inversamente proporcionales, se deben calcular y comparar los productos entre los respectivos

valores de las coordenadas de dos puntos cualesquiera. Así,

1 X 9 = 9

2 X 6 = 12 Se tomaron los puntos (1, 9) y (2, 6)

Como 1 X 9 2 X 6, las magnitudes no son inversamente proporcionales

b. Se observa que cuando los valores de x aumentan, los valores de y disminuyen, por lo tanto, las

magnitudes son inversamente correlacionadas. Además,

1X 12 = 12

2 X 6 = 12, Se tomaron los puntos (1, 12), (2, 6), (3, 4) y (4, 3)

Luego, las magnitudes son inversamente proporcionales. La constante de proporcionalidad es 12 y la

expresión que las relaciona es y =

𝑥




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REGLA DE TRES SIMPLE

La regla de tres simple es un procedimiento empleado para resolver situaciones de proporcionalidad entre dos magnitudes.

Consiste en hallar el valor de una magnitud a partir de tres valores conocidos, dos de ellos de la misma magnitud.

Regla de tres simple directa

Un problema se denomina de regla de tres simple directa cuando las magnitudes que intervienen son directamente

proporcionales.

Para resolver un problema de regla de tres simple directa se procede de la siguiente manera:

Se nombra la cantidad desconocida con una letra y se elabora una tabla con las magnitudes que intervienen

Se plantea una proporción de acuerdo con la propiedad fundamental de las magnitudes directamente proporcionales y se

encuentra el término desconocido.

Ejercicio resuelto

Plantear y resolver los siguientes problemas

a. Un paquete que contiene 6 tornillos cuesta $950 pesos. ¿Cuál es el precio de 9 tornillos de la misma especie?

b. Con 200 litros de agua se llenan

de un tanque. Determinar la capacidad del tanque.

SOLUCION

a. El precio y el número de tornillos son

magnitudes directamente proporcionales.

Pues, si el número de tornillos aumenta, se

espera que el precio aumente en la misma

proporción.

Sea p el precio de los 9 tornillos. Al

comparar las magnitudes de la tabla 1, la

proporción correspondiente es.

6p= 950 x 9

Se aplica la propiedad fundamental las

proporciones.

P =

4 5

Así, el precio de los 9 tornillos es $1.425.

b. La relación entre la cantidad de litros

y la capacidad del tanque es de

proporcionalidad directa.

Como la capacidad del tanque es una

totalidad, a esta magnitud se le asigna el

valor de 1. Sea l la cantidad de litros que

puede contener el tanque, al comparar las

magnitudes de la tabla 2, la proporción

correspondiente es.

Se aplica la propiedad fundamental

de las proporciones.

1 =

= 750

Luego, la capacidad del tanque es 750

litros

Tabla 1

Tabla 2




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Regla de tres simple inversa

Un problema se denomina de regla de tres simple inversa cuando las magnitudes que intervienen son inversamente

proporcionales.

Para resolver un problema de regla de tres simple inversa se procede de la siguiente manera:

Se nombra la cantidad desconocida con una letra y se elabora una tabla con las magnitudes que intervienen.

Se plantea una proporción de acuerdo con la propiedad fundamental de las magnitudes inversamente proporcionales y se

encuentra el término desconocido.

Ejercicio resuelto

Plantea y resuelve los siguientes problemas.

a. Seis máquinas de una fábrica producen los artículos de un pedido en 7,5 horas de funcionamiento. ¿En cuánto tiempo

se producirían los artículos si hubiera nueve máquinas disponibles?

b. Seis máquinas de una fábrica producen los artículos de un pedido en 7,5 horas de funcionamiento. ¿En cuánto tiempo

se producirían los artículos si hubiera nueve máquinas disponibles?

SOLUCION

a. El tiempo empleado en la producción y el número de máquinas son magnitudes inversamente proporción

ales, porque si el número de máquinas aumenta, se espera que el tiempo empleado disminuya en la misma pro-

porción.}

Sea t el tiempo que emplean 9 máquinas en hacer la producción.

Como se trata de una situación de proporcionalidad inversa, al comparar magnitudes de la tabla 3, la proporción

correspondiente es 7

9t = 7.5 x 6 se aplica la propiedad fundamental de las proporciones.

T=

5 se halla el valor de t

Así, las nueve máquinas emplean 5 horas en hacer la producción.

b. La relación entre el tiempo de duración del combustible y la cantidad de máquinas en funcionamiento es de

proporcionalidad inversa. Si el número de máquinas disminuye, se espera que el tiempo de duración del combustible

aumente en la misma proporción. Sea x el tiempo de duración del combustible para 4 máquinas. Como se trata de una

situación de proporcionalidad inversa, la proporción correspondientes es

4x = 5.4 x 6 se aplica la propiedad fundamental de las proporciones

x =

= 8.1 se halla el valor de x

Con las cuatro máquinas en funcionamiento, el combustible dura 8,1 días.




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REGLA DE TRES COMPUESTA

En algunas situaciones de proporcionalidad intervienen más de dos magnitudes. Por ejemplo, el costo del alojamiento en un

hotel depende del número de personas y del número de noches de alquiler.

Para resolver problemas relacionados con estas situaciones se utiliza la regla de tres compuesta.

Propiedades fundamentales de la proporción compuesta

Si x , y y z son magnitudes, m y n son valores de la magnitud x que corresponden respectivamente a los valores p y q de

la magnitud y y a los valores r y t de la magnitud z (tabla 5), se pueden presentar los siguientes tipos de proporcionalidad.

1. x es directamente proporcional a y y a z, entonces =

x

2. x es inversamente proporcional a y y a z, entonces,

=

3. es directamente proporcional a y y x es inversamente proporcional a z, entonces,

Maganitud

x

Maganitud

y

Maganitud

z

Los problemas de regla de tres compuesta se resuelven, por medio de análisis como los que se hacen en los problemas de

regla de tres simple, comparando cada magnitud con la magnitud en la que se encuentra la incógnita.

Por ejemplo, 9 máquinas realizan la producción requerida trabajando 8 horas diarias durante 9 días. ¿Cuántas horas deben

funcionar 7 máquinas para realizar la misma producción en 7 días?

Primero, se comparan las magnitudes horas diarias y número de máquinas.

A más horas diarias de trabajo se necesitan menos máquinas. Luego, se comparan las magnitudes horas diarias y números de

días.

A más horas diarias de trabajo se emplearán menos días en hacerlo.

Luego, las magnitudes son inversamente proporcionales.

En la tabla 6 se registran los datos dados para las tres magnitudes.

Para solucionar un problema de regla de tres compuesta se procede así:

1. Se ordenan los datos en una tabla

2. Se compara la magnitud de la incógnita con cada una de las magnitudes restantes, para determinar el tipo de

proporcionalidad que hay entre ellas, manteniendo constantes las otras magnitudes.

3. Se plantea la proporción teniendo en cuenta la propiedad fundamental de la proporcionalidad compuesta y se

halla el término desconocido.




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5

4

5

4

4 5 4 5 5

Cuatro máquinas impresoras imprimen 40 afiches en cinco minutos. ¿Cuánto tiempo se requiere para

imprimir 80 afiches con dos impresoras?

SOLUCION

La magnitud tiempo es inversamente proporcional al número de impresoras y es directamente proporcional al número de

afiches. Por lo tanto,

Propiedades fundamentales de la proporcionalidad compuesta

Se resuelven las operaciones indicadas

1 x t = 5 x 4 se aplica la propiedad fundamental de las proporciones

t = 20 se halla el valor de t

Las dos impresoras imprimen 80 afiches en 20 minutos.

Pintar una pared de 2 metros de alto por 8 metros de largo se necesitan 0,5 litros de pintura. ¿Qué

cantidad de pintura se requiere para pintar una pared de 3 metros de alto por 4 metros de largo?

SOLUCION

La cantidad de pintura es directamente proporcional al alto de la pared y, también, al largo de esta. Por lo tanto, se plantea la

siguiente relación.

Para pintar la pared se necesitan 0.375 litros de pintura.

Para cortar el césped de un complejo urbanístico, 8 hombres tardan 5 días trabajando 8 horas diarias. Si

la administración del conjunto pide que esa misma labor se realice en 4 días, pero trabajando sólo 7

horas diarias, ¿cuántos hombres se deben contratar?

SOLUCION

La tabla 7 muestra la relación entre las magnitudes. Se tiene que

7

De donde m = 11.4

Para el contexto del problema la respuesta 11,4 hombres no tiene sentido. Así que,

se necesitan 12 hombres para hacer la labor.

Ejercicio resuelto




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REPARTOS PROPORCIONALES

Algunas situaciones requieren de la repartición de una cantidad determinada de tal manera que

las partes en que quede dividida no sean iguales sino que se reparta en forma directa o

inversamente proporcional a otras cantidades.

Reparto directamente proporciónale

Los problemas que se resuelven utilizando repartos directamente proporcionales, son empleados

en situaciones cotidianas en las cuales se quiere hacer una repartición justa en relaotón con

determinadas acciones realizadas.

Si para iniciar una empresa de producción de alimentos tres socios hacen aportes de

$50.000.000, $70.000.000 y $60.000.000, respectivamente. Es lógico que las ganancias se

repartan en forma proporcional a la inversión.

Repartir una cantidad s, donde s = p + q + r e n partes directamente

proporcionales a los números m, n y t, es hallar las cantidades p, q y r, tales que

.

Ejercicio resuelto

María, Iván y Catalina realizan un trabajo en el que emplean, respectivamente, 6 días, 3 días y 9 días. Deciden

distribuir el dinero ganado en forma directamente proporcional al tiempo trabajado. Si en total ganaron

$1.200.000, ¿cuánto dinero le corresponde a cada uno?

SOLUCION

El dinero que le corresponde a cada uno es directamente proporcional a tiempo trabajado. Es decir, a mayor cantidad de días

trabajados, mayor cantidad de dinero.

El tiempo total trabajado fue de 18 días.

Sean m , i y c , las cantidades que les corresponden respectivamente a Mea Iván y Catalina, entonces.

A partir de esta relación se calcula el total de dinero ganado por los tres.

Luego el dinero que le corresponde a cada uno es:

María: $ 40O.000 Iván: $200.000 Catalina: $600.000

Se puede verificar que la suma de las cantidades es igual a $ 1.200.000




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<= Tota ldel dinero que se reparte

<= Suma se los consecuentes

Reparto inversamente proporcional

Repartir una cantidad s, donde s = p + q + r, en partes inversamente

proporcionales a los números m, n y t es hallar las cantidades p, q y r, tales que

Ejercicio resuelto

7

5

7

Repartir 123 en partes inversamente proporcionales a 3, 8 y 9.

SOLUCION

Sean x , y y z las partes en las cuales se reparte 123. Entonces,

A partir de los resultados se obtiene que 123 se divide en las siguientes partes: 72, 27 y 24

Una fundación ofrece un apoyo a distintas empresas en forma inversamente

proporcional a su antigüedad. La empresa A tiene 9 años de antigüedad, la

empresa B tiene 12 años y la empresa C, 15 años. Si se destinan $235.000.000,

¿cuánto dinero se asigna a cada empresa?

SOLUCION

El dinero que corresponde a cada empresa es inversamente proporcional a la antigüedad.

Sean a , b y c las cantidades de dinero que se le asignan a las empresas A, B y C,

respectivamente, se tiene.

A partir de los resultados obtenidos, se ´puede concluir que el dinero que le

corresponde a cada empresa es:

A : $100.000.000, B : $75.000.000, C: $60.000.000.

Se puede verificar que la suma de las cantidades es igual a $235.000.000.

<= Total que se reparte

<= Suma se los consecuentes




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PORCENTAJE

Es muy usual encontrar expresiones como "el IVA es del 16 por ciento", "el 51 por ciento de la población son mujeres" u

"Oferta, todo con el 20 por ciento de descuento". Todos los problemas relacionados con estas expresiones se resuelven

mediante el estudio del porcentaje.

Por ejemplo, 3% se lee 3 por ciento y es equivalente a la razón

que significa 3 por cada 100.

Así, si un banco paga intereses al 3% mensual, significa que por cada 100 pesos que se consignen, el banco pagará 3 pesos.

Todo porcentaje se puede expresar como una fracción cuyo denominador es 100 y también como un número decimal. Por

ejemplo,

Se llama porcentaje o tanto por ciento a todas aquellas razones en las que el

consecuente es 100. Se representan con el signo % , que significa por cada 100.

Para calcular el 1% de un numero n se multiplica el número n por

Ejercicio resuelto

SOLUCION




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Aplicación del porcentaje

El cálculo de porcentajes tiene amplia aplicación en el ámbito comercial y económico. Por ejemplo, cuando se

determinan descuentos en el precio de los artículos, los intereses que se pagan o que paga un banco, los estudios

estadísticos, etc. Para resolver problemas de porcentaje se aplica la regla de tres simple directa

Ejercicio

resuelto

4 45

4

4

4

4

4

4 4

44

Se realizó una encuesta entre 240 estudiantes de un colegio y se obtuvieron los siguientes resultados.

45% de los estudiantes apoyan el cambio de uniforme.

48 estudiantes piden cambio de horario.

60% de los estudiantes solicitan la constitución de una emisora escolar.

135 estudiantes solicitan más actividades extracurriculares.

a. ¿Cuántos estudiantes están a favor del cambio de uniformes.

b. ¿Qué porcentaje de estudiantes piden cambio de horario?

c. ¿Cuántos estudiantes solicitan la constitución de una emisora?

d. ¿Qué porcentaje de estudiantes solicitan mas actividades extracurriculares?

SOLUCION

a. El 45% de 240 se calcula como

b. Se busca averiguar a qué porcentaje x equivalen los 48 estudiantes que apoyan el cambio de horario.

Como el total de estudiantes equivale al 100% se puede plantear la siguiente tabla.

La proporción correspondiente es:

El 20 % de los estudiantes solicitaron cambio de horario

c. El 60% de 240 se calcula como

En conclusión, 144 estudiantes solicitan la constitución de una emisora

d. Se busca averiguar a qué porcentaje x equivalen los 135 estudiantes que solicitan más actividades

extracurriculares. Así.

El 56.25% de los estudiantes solicitan mas actividades extracurriculares

Número Porcentaje

240 100

48 X

Número Porcentaje

240 100

135 X

X 100 = 56.25




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545 𝑥

5 X

5 X 4

El IVA (Impuesto al Valor Agregado) tiene una tarifa básica en nuestro país del

16% para algunos artículos.

a. ¿Cuál es el valor del IVA que se debe pagar por una póliza de seguro cuyo precio es

$545.000?

b. ¿Cuál es el valor total que se debe pagar por la póliza?

SOLUCION

a. Se calcula el 15% de 545.000

El IVA es de $87.200.

El valor que se debe pagar es igual al precio de la póliza de seguro más el IVA. Así, $545.000 +

$87.200 = $632.200.

El valor que se debe pagar es $632.200, el cual también se puede determinar calculando el

116% de 545.000.

La gráfica de la figura 10 representa las preferencias de 125 jóvenes por algunos

deportes.

a. ¿Cuántos jóvenes muestran preferencia por el béisbol?

b. ¿Cuántos jóvenes no muestran preferencia por el baloncesto?

SOLUCION

a. El 16% de 125 se calcula como: 5 X

20 estudiantes

b. el 80% de estudiantes no muestra preferencia por el baloncesto. El 80% de 125 se

calcula como:

100 estudiantes no muestran preferencia por el baloncesto.

Para preparar una solución de ácido sulfúrico al 40% de concentración se vierte

ácido en agua, de tal manera que, 100 mililitros de solución, contienen 40

mililitros de ácido.

a. ¿Qué cantidad de ácido sulfúrico se requiere para preparar 250 mililitros de una solución al

40%?

SOLUCION

a. el 40% se calcula como

Se requiere 100 mililitros de acido sulfúrico

Figura 10




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5

5

INTERES SIMPLE

El interés es una ley financiera que permite calcular el valor futuro de un capital actual a través de la adición de unos

intereses.

El interés simple calcula los intereses de cada período sobre el capital original sin tener en cuenta los intereses

generados en el período anterior. Es decir, los intereses de un período no se acumulan sobre el capital para calcular los

siguientes intereses. Para determinar los intereses se tienen en cuenta los siguientes elementos:

Capital: cantidad de dinero prestado o invertido.

rata o tasa de interés: corresponde al valor pagado por cada $100, se expresa en forma de porcentaje y requiere

que se especifique el período de tiempo pactado.

Tiempo: duración de la inversión o préstamo.

Los problemas de interés que se resuelven mediante regla de tres compuesta se llaman problemas de interés simple.

En la tabla se muestra el comportamiento de un préstamo de $300.000 realizado a interés simple del 2,5% mensual.

El 2,5% de 300.000 se calcula mediante la expresión.

En la segunda columna, se muestran los intereses generados por los $300.000 en cada mes; en la tercera columna, se

muestran los intereses acumulados en cada mes y en la cuarta columna, se muestra el saldo al final de cada mes.

Ejercicio resuelto

Eugenio solicita un préstamo de $600.000 al 2% de interés simple mensual. ¿Qué cantidad de dinero

habrá pagado en intereses durante 1 año?

Interés Capital Tiempo (meses)

2 100 1

i 600.000 12

SOLUCION

Sea i el valor de los intereses. Los datos se presentan en la tabla 8.

Como el interés es directamente proporcional al capital y al tiempo, se plantea la siguiente proporción.

7 De donde 100i = 14.400.000. Es decir, i= 144.000

Al cabo de un año abra pagado 144.000 de intereses




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4 X 4

5

5

X

5

5

5

Óscar pagó $18.000 de interés por un préstamo a una tasa de 9% de interés

simple anual durante 3 meses. ¿Cuál fue el capital del préstamo?

SOLICION

Sea c el valor del capital del préstamo. Al comparar los datos dados en la tabla 9 se tiene:

Como el capital es directamente proporcional a los intereses e inversamente proporcional al

tiempo, se plantea la siguiente proporción.

c=800.000

Luego, el capital que pidió prestado fue $ 800.000.

Elsa dispone de $480.000 para invertir en un fondo que paga el 8% de

interés simple anual. ¿Cuánto tiempo debe dejar su dinero en el fondo para

recibir $480.000 de intereses?

SOLUCION

Sea t el tiempo. Al comparar los datos en la tabla 10 se tiene:

Como el tiempo es directamente proporcional a los intereses e inversamente

proporcional al capital, se platea la siguiente proporción.

t= 150

El tiempo que debe dejar el dinero en el fondo es de 150 meses.

¿A qué tasa de interés simple mensual se deben prestar $500.000 para que

en un año produzcan $500.000 de intereses?

SOLUCION

Sea r la tasa de interés mensual. Al comparar los datos en la tabla e11 se tiene:

como el interés el interés es directamente proporcional al capital y al tiempo, se

platea la siguiente proporción.

La tasa de interés debe ser del

, aproximadamente, de 8.33%




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ACTIVIDADES DE APROPIACION

ACTIVIDAD 1. RAZONES




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ACTIVIDAD 2.PROPORCIONES

PARA PENSAR. escribir razones que expresen cada situacion. Luego, explicar si forman o no una proporcion




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ACTIVIDAD 3.PROPORCIONALIDAD DIRECTA

FISICA. En la Luna, debido a la gravedad, el peso de una persona es una sexto de su peso en la tierra. Completar la

tabla que relaciona los distintos pesos de personas en la Tierra con su peso en la Luna




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ACTIVIDAD 4.PRORCIONALIDAD INVERSA




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ACTIVIDAD 5.

COMPRENDER EL ENUNCIADO

Leer cada situación. Luego, responder.

1. Si una persona tiene un salario diario de $15.500, ¿cuál es su salario mensual?

2. Una moto viaja de la ciudad A la ciudad B en 2 horas a una velocidad de 90 km/h. ¿Cuánto tardará en hacer el mismo trayecto si viaja a una velocidad de 60 km/h?

3. Una hoja de papel mide 215 mm de largo por 280 mm de alto. Si una fotocopia reducida de esa hoja mide 140 mm de largo, ¿cuánto mide de alto?

4. Con 3 kilos de concentrado se alimentan tres perros de raza pequeña durante 20 días. ¿Para cuántos días alcanzarán 7 kilos de concentrado para los mismos perros?

5. Si un murciélago consume, aproximadamente, 1.000 insectos en dos horas, ¿cuántos puede llegar a comer en seis horas y media?

FORMULAR LA PREGUNTA

Determinar qué tipo de proporcionalidad se plantea en cada situación. Luego, formular una pregunta de regla de tres

simple directa o inversa, según el caso y resolverla.

6. Para preparar una torta de diez porciones se necesitan 8 huevos.

7. Si se abren al tiempo 3 llaves de un estanque, este tardará 12 horas en llenarse.

8. Por la traducción de 35 páginas se pago $1.960.000.

9. Un padre da, al mes, más dinero a su hijo de 15 años que a su hijo de 8 años. El hijo menor siempre recibe $35.000.

10. Un grupo de seis amigos tomaron el menú del día en un restaurante y pagaron un total de $45.000.

ACTIVIDAD 6


Resolver.

1. Cuatro operarios producen 320 sacos en 10 días. ¿Cuántos sacos producirán 10 operarios en 16 días?

2. Si 8 pintores tardan 20 días en pintar 4 casas, ¿cuántos días tardarán 10 pintores en pintar 6 casas con las mismas

características?

3. Para copiar las memorias de un evento se contratan 5 secretarias que trabajan 8 horas diarias y copian 600

páginas. ¿Cuántas horas deben trabajar 8 secretarias para copiar un libro de 1.200 páginas?

4. 12 obreros terminan una obra en 9 días en jornadas de 6 horas. ¿Cuántos obreros se necesitan para realizar la

misma obra en 3 días pero en jornada de 8 horas?

5. Si 270 kg de comida alcanzan para 6 personas durante 12 días, ¿cuántos días pueden abastecer 330 kg de comida a

un grupo de 5 personas?

6. 50 hombres tienen provisiones para 20 días a razón de 3 raciones diarias. ¿Cuánto durarán

las provisiones con

raciones diarias y 60 hombres?

No. de obreros No. de días No. horas diarias

18 8 6

9 X 8 10. A mayor número de obreros, mayor número de días de trabajo.

11. A mayor número de días, menor número de horas diarias de trabajo.

12. 9 obreros hacen la misma obra en 12 días trabajando 8 horas diarias.

13. 18 obreros hacen la obra en 8 días trabajando 8 horas diarias.

PLANTEAR UNA OPERACIÓN

La energía que un objeto almacena en espera de ser utilizada recibe el nombre energía potencial (£). La energía




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potencial es directamente proporcional al peso del objeto (w) y a la altura (h) a la que está ubicado.

14. Escribir una expresión para determinar la energía potencial de un objeto.

Elaborar una tabla para cada situación.

JUSTIFICAR UNA AFIRMACION

En la siguiente tabla se representa una situación que se resuelve con regla de tres compuesta. Escribir si las

afirmaciones son falsas o verdaderas.

No. de obreros No. de días No. horas diarias

18 8 6

9 X 8 15. A mayor número de obreros, mayor número de días de trabajo.

16. A mayor número de días, menor número de horas diarias de trabajo.

17. 9 obreros hacen la misma obra en 12 días trabajando 8 horas diarias.

18. 18 obreros hacen la obra en 8 días trabajando 8 horas diarias.

ACTIIDAD 7

HACER UNA OPERACIÓN

1. Repartir 12.000 en partes directamente proporcionales a 19 y 5. "

2. Repartir 72.000 en partes inversamente proporcionales a 4 y 5.

Repartir 24.000 en partes directamente proporcionales a 38 y 10.


Resolver.

3. Para la financiación de los uniformes de las escuelas deportivas, la junta administrativa local asignó un capital de $3.690.000.

4. Esta suma se repartirá en forma proporcional a las personas inscritas en cada deporte. Observar la tabla de inscritos.

Deporte Inscritos

Fútbol 600 Baloncesto 400 Patinaje 800

¿Cuánto dinero se asignará para cada deporte?

5. 5. El director de producción de una empresa ha destinado $702.000 de bonificación para repartirlos entre sus tres mejores empleados en forma proporcional a su antigüedad. Si los empleados llevan con la empresa 2, 3 y 4 años, respectivamente, ¿qué dinero les corresponderá de bonificación?

6. 6. El alcalde de una población repartirá auxilios para educación por $2.400.000 a tres familias.

La distribución se realizará en forma directamente proporcional al número de hijos en cada familia. Si las familias a

las cuales se les dará el auxilio tienen 3, 4 y 5 hijos, respectivamente, ¿cuánto dinero le corresponderá a cada una?

7. 7. Al hacer la liquidación de una empresa se debe repartir entre tres socios un inmueble avaluado en $480.000.000 y un automóvil avaluado en $30.000.000. La repartición será de tal forma que el socio mayoritario reciba 8 partes, el minoritario, 3 partes y un socio intermedio, 6 partes. ¿Cuánto dinero le corresponderá a cada uno?




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UN DIBUJO

Dividir cada ángulo en tres ángulos inversamente proporcionales a 5, 6 y 7, respectivamente. Dibujar sobre cada

ángulo los tres ángulos generados. 8. . 9.

HACER UNA TABLA

Completar la tabla que describe cada situación.

10. Los $15.000.000 de utilidad que produjo un negocio familiar durante un año se van a repartir en forma inversamente proporcional a la edad de cada miembro de la familia. Los familiares que han trabajado en la empresa tienen 21, 27 y 30 años, respectivamente.

Persona $

1

2

3

11. Un padre reparte semanalmente entre sus hijos $200.000 en forma inversamente proporcional a sus edades. Las

edades de los hijos son 6, 8 y 10 años respectivamente.

Hijo S

6 años

8 años

10 años

ACTIVIDAD 8


1. De las 245.000 toneladas de latas que se consumen en Colombia, anualmente se puede reciclar el 34%. ¿Cuántas toneladas de latas se pueden reciclar en un año?

2. Si las latas son aproximadamente el 4% del total de la basura que se produce en el país, ¿qué cantidad de basura se produce anualmente en Colombia?

INTERPRETAR UNA TABLA La siguiente tabla muestra los resultados de las elecciones en un municipio.

Partido Número de votos

A 219.384

B 79.749

C 218.614

D 194.415

Calcular el porcentaje de votos obtenidos por cada partido.

La siguiente tabla muestra el costo del arriendo de un apartamento durante cinco años.

4. Calcular el porcentaje de aumento de cada año respecto al anterior.




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5. Calcular el porcentaje de aumento del quinto año respecto al precio inicial.

La siguiente tabla registra los resultados de una encuesta de géneros musicales.

Género Número de personas

Pop 1.457

Rock 876

Dance 563

Te en 0 203

Otros 2.314

6. ¿Qué porcentaje de personas prefieren un género distinto a los de la tabla?

7. ¿Qué porcentaje de personas prefieren al menos uno de los géneros de la tabla?

EXTRAER DATOS DE UN DIAGRAMA

Observar el siguiente diagrama. Luego responder

EXTRAER DATOS DE UN TEXTO

La anatomía es la ciencia que estudia la estructura de los seres organizados: animales y vegetales. La anatomía

humana estudia la estructura del cuerpo humano, los órganos que la constituyen y el tamaño, forma y consistencia de

esos órganos.

Para describir el tamaño de los órganos y las relaciones con tamaño y peso del cuerpo, se usa el porcentaje.

Por ejemplo, el cerebro humano es el 2,5% de la masa del cuerpo; el 60% del cuerpo humano está constituido por agua.

10. Si una persona pesa 80 kg, ¿cuánto pesa su cerebro?

11. Si el cerebro de una persona pesa aproximadamente 1,8 kg, ¿cuánto puede pesar ella?

12. ¿Qué cantidad de agua tiene el cuerpo de un hombre que pesa 60 kg?

13. Si el porcentaje de agua en el cuerpo de una persona equivale a 45 kg, ¿cuánto pesa esta persona?

ACTIVIDAD 9

PROBAR Y COMPROBAR

Para cada situación verificar si el interés que se cobra es el correcto.

1. Lucía pagó $800.000 de interés por un préstamo a una tasa del 5% de interés simple anual durante 3 años.

2. Para comprar una casa, Fernando pagó $3.400.000 de interés a una tasa del 12% de interés simple anual durante 10 años.

3. Xiomara puso $200.000 al 4,35% de interés simple anual durante 2 años para obtener $500.000 de interés.

4. Un capital de $800.000 estuvo depositado en un banco durante 3 años con un interés simple anual del 18%. Al retirar el dinero con sus respectivos intereses, se recibieron $1.232.000.

EXTRAER DATOS

Leer la información. Luego, responder.

8. ¿Qué porcentaje de las entradas le corresponde al equipo local?

9. Si un partido de fútbol obtuvo una taquilla de $750.000.000, aproximadamente, calcular cuánto dinero le corresponde a: equipo local; impuestos distritales; Federación Colombiana de Fútbol y televisión.




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5. Si se hace un préstamo en Bancoamigo por $5.000.000, ¿qué interés se debe pagar al cabo de 2 años? ¿Cuánto, al cabo de 4 años?

6. Diana solicitó un préstamo de $10.000.000 al Bancoamigo. Si finalmente tuvo que pagar $16.000.000, ¿por cuánto tiempo fue solicitado el préstamo?

Resolver.

7. Wilson depositó un capital de $6.000.000 en un banco. Si en 2 años le produjo una utilidad de $600.000, ¿a

qué tasa de interés anual lo depositó?

8. ¿En cuántos días un capital de $24.000.000 en un fondo que paga al 6,5% de interés simple anual, produce

$1.872.000 de interés?

CREAR UNA TABLA

9. completar la siguiente tabla

CAMBIAR CONDICIONES

10. Liliana tiene un CDT (Certificado de Depósito a Término) en el banco por $2.000.000 a una tasa de 1,2% de interés simple anual. ¿Qué pasaría con el interés generado, si la tasa de interés se reduce en 0,3% de interés simple anual?

11. José paga $50.000 de interés mensuales por $5.000.000 que pidió prestados a un amigo. ¿Qué pasará con el interés mensual que paga, si debe pedir prestado $2.000.000 más?

FORMULAR LA PREGUNTA

Completar la información de cada situación. Luego, plantear una pregunta de interés simple y resolverla.

12. Un capital estuvo depositado en un banco a una tasa de 18% interés simple anual durante 3 años.

13. Un capital produjo un interés de $180.000 a una tasa de 12% de interés simple anual.

14. Juan Carlos recibió $600.000 de interés por un préstamo realizado a su padre durante 12 meses.

INVENTAR UN PROBLEMA ANÁLOGO

Para cada situación, formular un problema similar con distintos datos que arroje el mismo resultado.

15. ¿Durante cuánto tiempo estuvo depositado en un banco un capital de $1.600.000 a una tasa de 2,5% interés simple anual, si al f inal se recibieron $1.780.000?

16. ¿Cuál es el interés de un préstamo de $12.000.000 a una tasa de 11,5% interés simple anual durante 5 meses?

COMPROMISO

Le presta sin fiadores a la tasa mas

baja del mercado.

12% de interés simple anual




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Resolver Todos los ejercicios de la guía en el cuaderno y entregarlo una vez se termine la guía según las fechas

determinadas por el docente.

ELABORÓ REVISÓ APROBÓ

NOMBRES

YAIRA LIZETH RINCON

RODRIGUEZ

ALEXANDRA URIBE

ROZO

CARGO Docentes de Área Jefe de Área Coordinador Académico

18 06 2014 18 06 2014

gestiÓn acadÉmica pa-01-01 - webcolegios · 2014-09-15 · , 10 es la media proporcional de dos y...

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