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Gerencia Financiera

Administración de Empresas

Facultad de Ciencias económicas

Tasas de Interés y equivalencias financieras

UNIDAD 1

“Compramos, lo que no necesitamos,

con el dinero que no tenemos

para impresionar a quien

no le importa”Portafolio.. Raúl Escobar

Tasas de interés

Precio del dinero o si se quiere, el rendimiento

producido por una unidad de capital en un

período de tiempo.

Factores como la inflación, se expresan y

materializan a través de la Tasa de Interés.

Clasificación de las Tasas de interés

¿Cómo conocer qué interés se pagó por un capital P?

¿Cómo saber qué tasa de interés se pago por ese mismo capital?

Las tasas pueden ser:

• Simples o compuestas.

• Nominales: pueden ser anticipadas o vencidas

• Efectivas: son vencidas

Las tasas nominales y efectivas pueden ser periódicas o subperiodicas

Otras tasas:

Tasas equivalentes

Tasa de interés corriente

Tasa de interés real

Tasa compuesta

Tasa compuesta continuamente

Tasa indexada

Interés simple

Son intereses que no generan intereses. Siempre se

calculan sobre el capital o préstamo original no pagado.

Para su calculo se utilizar

I = P * i * n

También se puede hallar el valor futuro (monto

acumulado) o presente de un préstamo a tasa simple con:

F = P(1 + i * n) F = P + I

Entonces…

Período Capital Interés Capital Final

0-1 P I1 = P * i F1 = P + I1 F1 = P + Pi

1-2 P I2 = P * i F2 = F1 + I2 F2 = P + Pi + Pi F2 = P + 2Pi

2-3 P I3 = P * i F3 = F2 + I3 F3 = P + 2Pi + Pi F3 = P + 3Pi

….. …. ….. …..

(n -1)-n P In = P * i Fn = P + nPi Fn = P (1 + n*i)

Interés simple

Ejemplo: un préstamo de $10.000 a una tasa del 2% mensual a interés simple durante cuatro meses ¿qué pago implica al final?

Mes Préstamo Interés Saldo

0 10.000 0 10.000

1 200 10.200

2 200 10.400

3 200 10.600

4 200 10.800

Desventajas del interés simple

No es muy aplicado en finanzas.

No reconoce el valor del dinero en el tiempo (no valoriza)

Al no capitalizar los intereses no pagados genera una perdida del poder adquisitivo

Interés compuesto

Acá los intereses generan intereses, ya sea que se paguen o

se capitalicen. Por tal razón los intereses de un período se

calculan con base en el saldo al principio del período.

Dos conceptos que se desprenden de este interés:

• Capitalización.

• Período de capitalización ≠ período de pago.

La formula para su calculo es:

F = P (1 + i)n ≈ P(F/P, i%,n). De aquí se desprende las demás

formulas

Interés compuesto…entonces

De donde (1 + i)n es el factor de capitalización en pago único

Período Capital Interés/Período Capital Final

0-1 P I1 = P * i F1 = P + I1 F1 = P + Pi F1 = P (1 + i)

1-2 P (1 + i) I2 = P (1+ i) * i

F2 = F1 + I2 F2 = P(1+i) + Pi (1+i) F2 = P (1+i)

2

2-3 P (1 + i)2

I3 = P (1 + i)2 * i

F3 = F2 + I3 F3 = P(1+i) + Pi(1+i)

2

F3 = P(1+i)3

….. …. ….. …..

(n -1)-n P (1+ i)n-1

In = Pi (1 + i)n-1

Fn = P (1 + i)n

Interés compuesto

Ejemplo: un préstamo de $10.000 a una tasa del 2%

mensual a interés compuesto durante cuatro meses,

¿qué pago implica al final?

Mes Préstamo Interés Saldo

0 10.000 0 10.000

1 200 10.200

2 204 10.404

3 208,08 10.612,08

4 212,24 10.824,13

Calcula a partir de la formula cada una de las variables de la

misma.. Posteriormente hazlo por las funciones de excel

Características del interés compuesto

El capital se incrementa período tras período, debido a

la __________ de los intereses.

Según lo anterior la tasa de interés se cobra siempre

sobre un __________ diferente.

Por tanto los intereses periódicos siempre serán

_______.

Tasas de interés efectivas y nominales

Tasa Efectiva:

Tasa que mide el costo real de un crédito o la

rentabilidad real de una inversión. Esta tasa tiene

implícito el interés compuesto, ya que su

resultado viene de la capitalización de los

intereses

Puede ser periódica o subperiódica

Gráficamente sería:

1 (Período)

1

i

2 3 c Subperíodos

ic

0

P

F

Tasa nominal

Es sólo una tasa de referencia, ya que no determina la tasa real que secobrará en un crédito o una inversión. Generalmente se expresa poraños y su capitalización es subperiódica.

• Interés nominal vencido: su pago es al final del período.

Ejemplo:

22% nominal anual con capitalización trimestral

22% anual capitalizable mensualmente

22% capitalizable semestralmente

22% bimestre vencido (22% BV)

Tasas equivalentes

Dos tasas son equivalentes cuando en el mismo

horizonte de tiempo y con diferentes periodos

de capitalización producen el mismo capital

final.

Tasas equivalentes…Entre tasas efectivas:

La expresión matemática resulta de:

Si por interés compuesto F = P (1+i)1 F = P (1+ic)c

Entonces P (1+i)1 = P (1+ic)c , queda

De donde:

i: Tasa efectiva por período (vencido).

c: Número de subperíodos del período.

ic: Tasa efectiva por subperíodo (vencido).

i = (1+ic)c -1

Ejemplo: un préstamo de $10.000 a una tasa del 26.824%efectivo anual, que se paga en cuotas mensuales, ¿a quétasa de interés efectivo mensual equivale?

1

26,824%

2 3

ic = ?

0

10.000

Tasas equivalentes…Entre tasas efectivas:

r = ic * c

El 2% efectivo mensual ¿es equivalente al 24% efectivo

anual o al 24% nominal anual M.V?

Por definición ,

de donde:

ic: tasa efectiva por subperíodo (v).

c: número de subperíodos del período.

r: tasa nominal por período (v) con capitalización por

subperíodo.

Tasas equivalentes…Entre tasas efectivas y nominales

Otra formula es:

Si: ic = r/c

Reemplazando ic en i = (1+ ic)c – 1

Quedará:

Nota: estas se puede hallar directamente por las funciones de excel


Para tasas efectivas que no son anuales queda:

is = (1 + r/c)c/m - 1


Ejemplo: Se tiene una tasa del 24% anual

MV, ¿cuál es la tasa efectiva anual

equivalente?.


Tasas equivalentes

Transforme las siguientes tasa nominales anuales a

efectivas:

• 30 % AMV a efectiva mensual

• 36 % AMV a efectivo anual

• 25% AV a efectivo anual

• 24% ATV a efectivo anual

• 18% ABV a efectivo bimensual

Tasas equivalentes

Transforme las siguientes tasa efectivas a nominales

anuales:

• 40% EA a nominal ATV

• 7.5% ET a nominal ATV

• 21% EA a nominal ASV

• 36% EA a nominal AMV

Ejercicio

Si el banco le ofrece un crédito de $1’000.000 al 36% anual MV, usted

qué prefiere, según el costo: que le cobren $30.000 mensuales o

$92.700 trimestrales de interés o que le cambiaran la tasa del

36%MV por una del 37.09% TV?

Desarrollo:

1. El 36% MV equivales al 3% EM

2. El 3% EM equivale al 9.27% ET

3. El 9.27% ET equivale al 37.09% TV

¿Y si el problema fuera la liquidez?

El triangulo de las vencidas

i

(1 + ic)c -1 i =( 1+ (r / c))

c - 1

ic r

r = ic * c

Tasas equivalentes…Entre tasas de interés anticipadas y tasas efectivas

Existe un tope para las tasas llamado _______, pero no para

la modalidad de cobro.

¿Cuál es el efecto de cobrar una tasa de interés anticipada?

¿Por qué se da ese efecto?

F=P(1+i)n

Devolución

préstamo

CI

0 1 año

PRESTAMO

1. Cuando las tasa se expresan por periodo y los intereses se

capitalizan por adelantado en el mismo periodo:

Gráficamente:

Si F=P(1 + i)1 P = (p - ra*p)(1 + i)

1= (1 - ra)(1+i) i = ra / (1-ra)

P - ra * P

1 período

0

P


ra = tasa de interés por período con cobro anticipado de los intereses por período.

i = tasa de interés efectiva por período con cobro de intereses por período vencido.

P= valor del préstamo.

Ejemplo: en un préstamo de $100.000 a un año cuyos intereses son al 30% AA. ¿Cuál es la tasa efectiva anual equivalente?

¿Cuál debería ser la tasa anticipada para que lo cobrado fuera efectivamente un 30% anual?


ra = rac * c

i = ( c / (c – ra) )n - 1


Cuando las tasas efectivas se expresan por periodo y

las tasas anticipadas son periódicas y capitalizan

subperiódicamente, entonces:

i = ra / ( 1- ra)

Además, si: i = ra / ( 1- ic)c -1

F = P(1 – ia)-n

i = tasa de interés efectivo por periodo (vencido).

rac= Tasa de interés nominal por período con descuento

anticipado de interés por subperíodo.

ra = Tasa de interés nominal por periodo con descuento de

interés por período (anticipado).

Nota: Para el calculo de interés compuesto con tasas

anticipadas la formula es


Cuando la tasa efectiva no es periódica

isup = ( c / (c – ra) )n/m - 1


Ejemplo:

Una tasa nominal anual del 36% trimestral

anticipada (36% TA), ¿a qué tasa efectiva

anual equivale?


Ejercicio:

¿Cuál es la tasa trimestral anticipada equivalente a una

tasa del 2% mensual anticipada (MA)?

1. Convertir la tasa del 2% MA a efectiva mensual.

2. Pasar el resultado a efectiva trimestral

3. Pasar a trimestral anticipada


El pentágono de las tasas

rac

i = ( c / (c – ra) )n - 1 ra = rac * c

i = ra / (1-ra) ra

i

(1 + ic)c -1

ic

r = ic * c r i =( 1+ (r / c))c - 1

Tasa de interés corriente

También llamada tasa de mercado.

Su cálculo parte de la relación entre la oferta y

la demanda de dinero

Si O de $ > a la D de $ ⇒ la tasa…

Si O de $ < a la D de $ ⇒ la tasa…


Es la tasa de interés activa ajustada por la

inflación, lo que significa que contempla…

o

Incluye el riesgo inflacionario

Ecuación de Fisher


Ejemplo:

¿Cuál es el interés real si le prestamos a un

amigo al 4% y el índice de inflación es del

0,25%?

¿Qué prefiere usted como prestatario, tomar

dineros prestados a interés real o nominal?

Tasa de compuesta

Aquellas que resultan de la aplicación

simultánea de dos tasas

Por ello se trata de determinar una tasa

equivalente a las dos que se aplican en la

operación

ic= i1 + i2 + i1*i2 o (1 +i1)*(1+i2)-1

Tasa de compuesta

Ejemplo: un préstamo en dólares a una tasa del

15% anual, donde la tasa de hoy es del

$1044,54 y se espera que en un año sea de

$1159.44, ¿cuál es el costo del préstamo?

Tasa de compuesta continua

Cuando la frecuencia con la que el interés se

capitaliza crece indefinidamente, se habla de

que los intereses generan intereses en forma

continua, llamándosele interés compuesto

continuo al que se calcula de ese modo.

S= P.e j*t

I= S- P

Tasa de compuesta continua

Si Oscar Balbuena depositó $32,000.00 al 9% anual capitalizable

continuamente, determine el monto y el interés total ganado al cabo

de 2½ años

Marcos Alegría le presta a un amigo $70,000.00 por 9 meses,

cobrándole un 15% anual convertible bimestral. Al finalizar ese

plazo, deposita el monto obtenido en una cuenta de ahorros que

abona el 14.5% compuesto continuamente. Determine qué monto

acumulará el Sr. Alegría al cabo de 24 meses.

¿Qué cantidad habría que invertir ahora a una tasa del 26.5%

compuesto continuamente, para disponer de $65,000.00 dentro de 6

meses?

Tasas indexadas

Su variación depende de una tasa básica (base) más un porcentaje

fijo (spread)

Están avalados por la autoridad monetaria

Las principales tasas indexadas son:

1) En Colombia; el UVR, el DTF y el IPC

2) En el extranjero: están en función de la tasa prime o la libor

Se indexan a través de la siguiente formula:

Tasas indexadas

Ejemplo:

Su padre que ya se pensiono tramita un crédito a través del FOPEP y

autoriza a este para descontar de su pensión, los pagos mensuales del

préstamo, a Bancolombia.

El préstamo se pacta al DTF + 11,56% EA. Si hoy el DTF está a 3,98%

EA, determine la tasa indexada que pagará el usuario.

Dsllo:

Tasas indexadas

Ejemplo con UVR : Formula: UVRt = UVR15 * (1 + i)t/d

Donde:

UVRt = valor en dinero de la UVR el día t del período calculado

UVR15: valor en dinero de la UVR el último día del período de calculo

anterior

i: variación mensual del IPC durante el mes calendario inmediatamente

anterior al mes del inicio del período de cálculo

t= número de días calendario transcurrido desde el inicio de un período de

cálculo, hasta el día del cálculo de la UVR.

d= número de días calendario del respectivo período de cálculo (tendrá un

valor entre 28 y 31)

Tasas indexadas

Ejemplo:

Si el valor del UVR para el día 28 de marzo de 2016 fue de $106, 4656 y la

inflación del mes de febrero fue del 2,3% mensual, calcule el valor del

UVR para el día 29 de marzo de 2016.

UVR29 = UVR28 * (1 + 0,023)1/31 = 106.5437

Ejemplo con la libor o la prime:

https://www.youtube.com/watch?v=QzJt8dU5KYA

Tasas indexadas

Ejemplo con la libor o la prime

https://www.youtube.com/watch?v=QzJt8dU5KYA

Tasas y el rendimiento

Tasa de inflación:

Si la inflación promedio mensual durante los 5 primeros meses de cierto año

fue del 5%, un articulo que al principio del primer mes valía $1000, ¿qué

valor tendrá al final del quinto mes?

Entonces VF = 1000*(1+0,05)^5 VF= 1131,4

Si la inflación es diferente cada mes se puede usar:

Vf = vp*(1+ inf m1)*(1+inf m2)*(1+inf m3)…. (1+inf mn)

Tasas y el rendimiento

Tasa deflactada

Tasa que el mercado financiero estaría dispuesto a pagar en ausencia de la

inflación

Pero como la inflación afecta el rendimiento de cualquier inversión, esta se

debe de considerar.

Tipos de rendimiento:

1. Rendimiento efectivo: al que aspira el inversionista

TE = (1 + TD)(1+INF) -1

De donde: TD es la tasa deflactada, INF = inflación

Tasas y el rendimiento2. Rendimiento neto:

Resulta de descontarle al rendimiento efectico los impuestos

RN: TE *(1 – RF)

De donde: TE es la tasa efectiva y RF es la tasa de la retención en la fuente

3. Rendimiento real:

Sale de descontarle al rendimiento neto, la inflación del periodo

RR = (RN – INF) / (1 +INF)

De donde: RN es el rendimiento neto, INF = inflación

Como no siempre se aplica la rete fuente, podemos calcular el rendimiento real en

función del rendimiento efectivo

RR= (TE – INF)/(1+INF)

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