geometría y topografia

8/10/2019 Geometría y Topografia

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Geometría por Coordenadas1. Elementos de Geometría Analítica.Introducción.En la actualidad, el uso de las coordenadas cartesianas para los cálculostopográficos es una necesidad imprescindible para cualquier topógrafo y en

especial en elámbito de la ingeniería agrícola. En el pasado, eran admisibles otras técnicasaproximadaspara realizar replanteos en terrenos y obras, porque también las técnicas delevantamientono eran de relativa alta precisión, o no existian los recursos tecnológicos decalculadorasprogramables u otros. En la actualidad, con el uso de teodolitos digitales ydistanciómetros,o con Estaciones Totales incluso de obras, se manejan precisionescomparativamente

elevadas y además por la rapidez y confiabilidad de la técnica, nuestrasoperaciones decampo tendrán alta confiabilidad.Sin embargo, también trabajando con baja precisión como con un GPS navegador,eldominio de la Geometría Analítica es fundamental, porque nos permitirá trabajareficientemente con imágenes Google o del SGM o cualquier otra, para realizar losinformestécnicos de manejo de suelos, riego, drenaje o cualquier otro vinculado con laprofesiónagronómica.

1. 1. Proyecciones de un segmentoSi tenemos el segmento M1M2, trazamos por el origen una línea paralela u al eje

Ox. Designamos con el ángulo en que hay que hacer girar la línea u para queéstatenga la dirección el segmento M1M2 . Si el ángulo lo tomamos como estáconvenido entrigonometría, este ángulo se llama ángulo polar del segmento M1M2. Es evidente

que Facultad de Agronomía, Departamento de Suelos y Aguas. TOPOGRAFÍA AGRICOLAÁrea de Ingeniería Agrícola1

Ing.Agr.Michel Koolhaas, M.Sc.Prof.Adjunto.

representa el ángulo polar del punto M2 en el sistema polar de coordenadas, quetiene elpolo en el punto M1 y cuyo eje polar la semirrecta u; la longitud d del segmentoconsiderado representa en este sistema el radio polar del punto M2.Los números X,Y son las coordenadas cartesianas del punto M2 y por tanto secumple



X = d cos ; Y = d sen Esta es la relación biunívoca entre coordenadas polares y cartesianas, tal cual seexpresaen la geometría analítica y de acuerdo a la convención matemática de medidaangular en

sentido antihorario.Veremos más adelante que en la práctica topográfica se utiliza otra convención demedir elángulo en sentido horario con referencia al Norte geográfico, magnético, arbitrarioo decuadrícula.-

XA = d x sin

YA = d x cosEsta es la convención de los topógrafos de medir los ángulos en el sentido delas agujas

del reloj. Por lo tanto, si el ángulo es un valor azimutal , = Az tendremosXA = d x sin Az

YA = d x cos AzO en el sistema Norte , Este EA = d x sin AzNA = d x cos Az1. 2. Distancia entre puntosUno de los problemas elementales que más frecuentemente se suele resolver engeometría analítica es el de la determinación d e la distancia entre dos p unto s

dados

Cualquiera que sea la posición de los puntos M1(x1 , y1) y M2 (x2 , y2) en el plano, ladistancia d entre ellos se determina por la fórmula

Facultad de Agronomía, Departamento de Suelos y Aguas. TOPOGRAFÍA AGRICOLAÁrea de Ingeniería Agrícola2Ing.Agr.Michel Koolhaas, M.Sc.Prof.Adjunto.

d = ( x2 – x1 )2 + (y2 – y1)2

Designemos con la letra N el punto intersección de las rectas M 1Q1 y M2P2 , comoeltriángulo M1M2N es rectángulo, según el teorema de Pitágoras, tenemosd = M1N 2 + M2 N 2

Pero es evidente que las longitudes de los catetos M1N y M2N coinciden con los

valoresabsolutos de las proyecciones X, Y del segmento M1M2 sobre los ejescoordenados y portanto

d = X 2 + Y 2

Por ejemplo, sean los puntos 1 ( 2100.26 / 1998.98) y 2 ( 2013.32 / 2194.13) ladistancia entre los mismos será igual a

Dis 1-2 = (2100.26 – 2013.32)2 + ( 1998.98 – 2194.13)2 = 213.64 m



Veamos un segundo ejemplo, sean los puntos 4 ( 1134.26 / -3998.98) y 5 ( -4013.32 /-3456.13) la distancia entre los mismos será igual a

Dis 4-5 = (1134.26 + 4013.32)2 + ( -3998.98 + 3456.13)2 = 5176.12 mFinalmente sean dos puntos de coordenadas UTM , 23 (543345, 6123456) y 28

(345235,6234567), la distancia entre los mismos será igual aFacultad de Agronomía, Departamento de Suelos y Aguas. TOPOGRAFÍA AGRICOLAÁrea de Ingeniería Agrícola3Ing.Agr.Michel Koolhaas, M.Sc.Prof.Adjunto.

Dis 23-28 = (543345 - 345235)2 + ( 6123456 - 6234567)2 = 227141,424 o sea227km141mRecuerde que la distancia es la misma cualquiera sea el orden que se tomen lascoordenadas, verifique esto especialmente en el segundo caso que tenemoscoordenadas

negativas, verifique que algebraicamente Dis 4-5 = Dis 5-4

1. 3. Orientación de un segmentoLa orientación del segmento AB se deduce de las coordenadas ; en efecto

tg= XBA/YBA por lo tanto el ángulo = tg –1 XBA/YBA Dependiendo de la situación de los puntos, la orientación (Azimut) se deducirá con+/- 180 o sustrayendo de 360º el ángulo obtenido, o será tal cual resulta de laoperaciónseñalada, si estuviese en el primer cuadrante.-Facultad de Agronomía, Departamento de Suelos y Aguas. TOPOGRAFÍA AGRICOLAÁrea de Ingeniería Agrícola4


1. 4. Polares de un punto1

En el curso nosotros vamos a obtener siempre las coordenadas a través de laspolares por azimut, porque es una metodología de trabajo más adaptada a lascondiciones de disponibilidad de herramientas de cálculo ( calculadorasprogramables,hojas de cálculo, etc,) disponibles normalmente para un ingeniero agrónomo.X1 = DIST1 x sin AZ1

Y1 = DIST1 x cos AZ1

X2 = DIST2 x sin AZ2

Y2

= DIST2 x

cos AZ2

Por tanto, las coordenadas cartesianas de los puntos 1 y 2 relevados desde unaestación A, serán las obtenidas de acuerdo con las operaciones algebraicasanteriores, decn (coseno) y sin(seno)del ángulo horizontal llamado Azimut por lacorrespondientedistancia a los mismos. El eje de referencia Oy conviene llamarlo eje de lascoordenadas



cartesianas Norte o coordenadas Y, y el eje perpendicular Ox o eje de abcisasconvienellamarlo eje de las coordenadas Este o coordenadas X. Entonces la regla generaldiceque el producto de el coseno de los azimut por la distancia nos da siempre las1 Las imágenes se han tomado de los manuales de programas para máquinas Hewlett&Packard delIng.Agrim.Héctor Acevedo RicheroFacultad de Agronomía, Departamento de Suelos y Aguas. TOPOGRAFÍA AGRICOLAÁrea de Ingeniería Agrícola5Ing.Agr.Michel Koolhaas, M.Sc.Prof.Adjunto.

coordenadas Norte, y el producto de el seno de los valores azimutales por ladistancia nosdará siempre las coordenadas Este.-Todas estas coordenadas son coordenadas parciales o coordenadas desde laestación derelevamiento. Es decir, que si el punto A del ejemplo tuviera coordenadas A(1000,2000)las coordenadas totales de los puntos 1 y 2, serían igual a la suma algebraica delascoordenadas parciales + las coordenadas del punto estación = coordenadastotales de lospuntos relevados.

Así :X1 = DIST1 x sin AZ1 +1000

Y1 = DIST1 x cos AZ1 + 2000

X2 = DIST2 x sin AZ2 +1000

Y2 = DIST2 x cos AZ2 +2000

1. 5. Polares con ángulo interno a derechas.El trabajo a través de las polares de los puntos por ángulo, (polar por ángulo) esunarutina de trabajo topográfico común en la agrimensura con disponibilidad deherramientasde cálculo. Esencialmente, la diferencia consiste en colocar cero en la lecturaatrás delgoniómetro(teodolito) en la estación, y por lo tanto, en el campo se levantansiempreángulos a derechas. En el programa electrónico en la Estación Total, en lacolectora o enla calculadora programable, se procesa para pasar a azimutes y obtener lascartesianas delos puntos relevados, a través de las fórmulas ya conocidas.Facultad de Agronomía, Departamento de Suelos y Aguas. TOPOGRAFÍA AGRICOLAÁrea de Ingeniería Agrícola6Ing.Agr.Michel Koolhaas, M.Sc.



Prof.Adjunto.

Es decir, que de acuerdo con el esquema de arriba, en el campo se miden losángulos aderechas ANG1 y ANG2 , para luego deducir (calcular ) los Azimut de laalineación A-1(AZ1) y el Azimut de la alineación A-2 ( AZ2).En las Figuras de abajo se indican las fórmulas y sendos ejemplos demostrativosde loscálculos.Facultad de Agronomía, Departamento de Suelos y Aguas. TOPOGRAFÍA AGRICOLAÁrea de Ingeniería Agrícola7Ing.Agr.Michel Koolhaas, M.Sc.Prof.Adjunto.Facultad de Agronomía, Departamento de Suelos y Aguas. TOPOGRAFÍA AGRICOLAÁrea de Ingeniería Agrícola8Ing.Agr.Michel Koolhaas, M.Sc.Prof.Adjunto.

1. 6. Azimut y distanciaEsto en esencia es lo expuesto en el item 1. 3 con las fórmulas genéricascorrespondientes.Recordar que la orientación establecida través del Azimut saliendo de un punto es

siempre el arco tangente (TAN –1 ) de E/ N o X / Y según el sistemacoordenado que utilice.1. 7. Intersección de circunferencias.Este caso de intersección es de una importancia práctica fundamental, porque seaplica en el campo frecuentemente en la práctica topográfica, conociendo dospuntos de unproyecto o una mensura previa. Por otra parte, la buena comprensión de laintersección decircunferencias en el espacio, es la base del posicionamiento de un GPS, comoverá másadelante al finalizar el curso. Para una buena comprensión del tema es importanterecordarclaramente el teorema del coseno.Facultad de Agronomía, Departamento de Suelos y Aguas. TOPOGRAFÍA AGRICOLAÁrea de Ingeniería Agrícola9Ing.Agr.Michel Koolhaas, M.Sc.

Prof.Adjunto.El objetivo es que deseamos retomar datos o replantear algo, con relación al viejosistema, ya sea de un trabajo nuestro previo o de otro profesional. Es también unaherramienta importante para el replanteo de puntos, es decir, saber ubicar eltaquímetroen un sistema coordenado conocido para poder replantear determinadascoordenadasrequeridas para cierto proyecto.



Basados en este concepto, se realiza la resección o intersección inversa,conociendo las coordenadas de 1 y 2, con la medición de distancias y ángulos acada unode los puntos, determinamos la posición del punto incógnita 3 .-Bases teóricas del procedimiento 2

La base teórica del procedimiento es el teorema del coseno, en efecto en elcampotomamos dos distancias a los puntos de coordenadas conocidas 1 y 2, que son losradiosde sendas circunferencias R1 y R2 , desde el punto cuyas coordenadas queremoshallar.De acuerdo con la nomenclatura establecida en la imagen anterior, aplicando elteoremadel coseno tenemos:2 Apuntes Elementos de Trigonometría.Facultad de Agronomía, Departamento de Suelos y Aguas. TOPOGRAFÍA AGRICOLAÁrea de Ingeniería Agrícola

10Ing.Agr.Michel Koolhaas, M.Sc.Prof.Adjunto.

R2 2 = R1 2 + S2 - 2 R1 S cn Multiplicando la expresión por (-1) tendremos:

-R2 2 = -R1 2 - S2 + 2 R1 S cn reordenando la expresión

R1 2 + S2 -R2 2 = 2 R1 S cn despejando

R1 2 + S2 - R2 2 / 2 R1 S = cn De donde finalmente , resulta cn –1 = (R1 2 + S2 - R2 2 ) / 2 R1 S

Más adelante comprenderá cabalmente el estudiante, al estudiar el tema deorientaciones ypoligonales, la importancia del concepto azimut. Lo importante en este momento,es

entender el meollo del problema que se ubica en determinar el ángulo con elcual

podremos calcular el Azimut AZ de una alineación y por ende las coordenadasdelextremo de la misma, en este caso el punto 3.-

El Azimut partiendo desde 1 hacia 3, será AZ1 = AZ +/- según sea la

soluciónpositiva o negativa la buscada. La convención de positiva o negativa es si está aderechao a la izquierda del sentido ordinal de los puntos. Obviamente, de acuerdo con lafigura dearriba, la opción negativa está por encima de la recta que una los puntos 1 y 2, y lapositiva está por debajo por estar a derechas.Realizaremos un ejemplo práctico para entender la técnica.



Ejemplo de Aplicación a ResolverComo ejemplo a resolver, verifique las dos soluciones posibles de una resecciónrealizadaa los dos puntos 1 ( 531,25 / 467,20 ) R1 = 185,002 ( 213,21 / 339,87 ) R2 = 210,00Facultad de Agronomía, Departamento de Suelos y Aguas. TOPOGRAFÍA AGRICOLAÁrea de Ingeniería Agrícola11Ing.Agr.Michel Koolhaas, M.Sc.Prof.Adjunto.

Para resolver el problema, realice un croquis de ubicación de los respectivospuntos, paravisualizar la situación.Solución + 3 X3 =349,17 Y3 = 499,92 AZ 1 = 280º 11´13”

Solución - 3 (4) X3 =422,05 Y3 = 317,86 AZ1 = 216º 10´29” Facultad de Agronomía, Departamento de Suelos y Aguas. TOPOGRAFÍA AGRICOLAÁrea de Ingeniería Agrícola

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1. 8 Traslación y RotaciónEl caso de traslación y rotación de cartas en base a coordenadas cartesianas, esunaoperación frecuente en el trabajo topográfico con el uso de los GPS, el apoyo decampo delrelevamiento topográfico convencional y la necesidad cada vez más frecuente degeoreferenciar los planos para recibir el apoyo directo de información del GPS.Como es

nuestro criterio de enseñanza, aprendamos la teoría con la práctica de resoluciónde casoso problemas concretos.-Caso 1

Tenemos una operación de relevamiento topográfico con Estación Total pararesolver losperfiles de los ejes longitudinales de canales de drenaje de un campo conproblemas deexcesos hídricos. Dicho relevamiento está apoyado con levantamiento en móvil deGPS enel sistema UTM. Como el técnico trabaja con un programa de curvas de nivel

automático ypara evitar complicaciones, el debe en principio incorporar los móviles GPS en eldibujo dellevantamiento convencional con EDM para facilitar su trabajo de diseño y proyectodeestructuras. De esta forma, su levantamiento de móviles GPS lo debe traer acoordenadas



relativas de valores pequeños en pocos miles. En el programa LIContour o el deTopoCalc(eventualmente Surfer), el realizará sus perfiles para calcular los volúmenes detierra, y unavez finalizado todo el proceso, preparará el dibujo para el informe final,

trasladando reciénallí su dibujo total y completo al sistema UTM.Pongamos números concretos y reales al ejemplo. Sean dos estaciones delTaquímetroSTA1 y STA128 cuyas coordenadas cartesianas arbitrarias son las indicadas en latablaabajo y a su vez las coordenadas UTM obtenidas con un GPS PromarkX en DIF1sonCoor. Y Coor.X Coor. Este Coor. NorteSTA 1 3000.00 3000.00 422195 6343796STA 128 3457.03 2968.97 422649 6343850El Az 1-128 debe darle el siguiente resultado 93º 53´03´´Por otra parte el Az 1-128 UTM en cambio le dará 83º13´01´´, lo cual le aseguraque usteddeberá rotar el dibujo en UTM por el ángulo –10º40´02´´ (-10.6672 en sistemadecimal).Quiere decir en otras palabras, que el levantamiento convencional está rotadohacia elOeste del Polo Norte de la cuadrícula UTM, y por tanto si hacemos centro enSTA1 y con elcomando Rotate del CAD giramos todos los puntos picados –10º40´02´´ habremoscolocado el archivo de puntos de coordenadas arbitrarias con el sistema de ejescoordenados de base en idénticas condiciones que el sistema UTM. Recuerde queen elsistema CAD por defecto los ángulos se miden igual que en el círculotrigonométrico(convención matemática) en sentido antihorario, por ello que, para rotar los puntospicadoshacia el Este introducimos el signo negativo porque debemos girar a derechas oen sentidohorario.Facultad de Agronomía, Departamento de Suelos y Aguas. TOPOGRAFÍA AGRICOLAÁrea de Ingeniería Agrícola13


En efecto, arctg 3000-2968.97 / 3000-3457.03 arctg – 14.73Los datos de móvil GPS en el sistema UTM son levantados en un archivo DXFquedeberemos trasladarlo hacia el sistema arbitrario. Bastará únicamente conseguirun único



punto , por ejemplo el STA1 para copiar todo el archivo y MOVER del sistemaUTM hacia elsistema arbitrarioPor lo tanto el primer paso antes de trasladar los puntos a las coordenadas UTMes rotar

el conjunto de puntos picados para hacerlos coincidir con los azimutes de lospuntosrelevados con la orientación del Norte de la cuadrícula UTM como explicamosanteriormente. Recién después de rotar el conjunto de puntos podemos trasladarelconjunto y habremos georeferenciado nuestro conjunto de puntos de coordenadasarbitrarias a coordenadas UTM.Como ejemplo adicional, a la explicación dada anteriormente, usted puede intentargeoreferenciar la foto aérea en blanco y negro del año 1966 llamada EstanciaRosa Blanca.La información de medidas y coordenadas UTM usted las puede obtener deldibujo en CADdel mismo nombre. Por tanto con esos dos archivos y el programa IntelliCAD 4 uotro, ustedpodrá realizar dicha actividad práctica. No se olvide en primer término de escalarla foto,comparando medidas de la foto con los puntos homólogos del terreno identificadosen elplano realizado por relevamiento taquimétrico con estación total, y llevar la foto atamañonatural o escala 1:1.- Tenga bien presente que la imagen fotográfica es unaproyeccióncónica y nunca la va a hacer coincidir con la carta topográfica correspondienterealizada porrelevamiento topográfico directo. Usted podrá ver las diferencias de la foto con elplano oproyección ortogonal del terreno colocando la imagen por debajo del plano. Comolaproyección cónica tiene deformaciones debidas básicamente a las diferencias derelieve lafoto tiene diferentes escalas, usted deberá asumir un factor de escala decompromiso delas diferentes medidas que realice y en consecuencia escalará la misma paracompararlocon el plano o carta topográfica.-Facultad de Agronomía, Departamento de Suelos y Aguas. TOPOGRAFÍA AGRICOLAÁrea de Ingeniería Agrícola14Ing.Agr.Michel Koolhaas, M.Sc.Prof.Adjunto.Facultad de Agronomía, Departamento de Suelos y Aguas. TOPOGRAFÍA AGRICOLAÁrea de Ingeniería Agrícola



15Ing.Agr.Michel Koolhaas, M.Sc.Prof.Adjunto.Facultad de Agronomía, Departamento de Suelos y Aguas. TOPOGRAFÍA AGRICOLAÁrea de Ingeniería Agrícola16


2. Aplicaciones de la geometría analítica a la práctica de la Topografía.En realidad las aplicaciones más comunes en la práctica profesional de laingenieríaagrícola ya están mencionadas y explicitadas anteriormente, pero mencionaremosaquí tresaplicaciones específicas de la geometría para dejarlas más aclaradas que en ladescripciónbásica de elementos de geometría.2.1 Resolución de un perfil longitudinal por relevamiento taquimétrico.

2.2 Replanteo de puntos por coordenadas.2.3 Replanteo de una alineación recta con puntos extremos no entervisibles.2.1 Resolución de un perfil longitudinal por relevamiento taquimétrico.Supongamos que tengo la información de un relevamiento planialtimétrico con lascoordenadas N,E,Z de los puntos del terreno, tomados de la lectura de una cartatopográfica en CAD, que usted realizó o se la pasa un colega agrimensor.

A los efectos de confeccionar el perfil gráfico debo estructurar una planilla como lamostrada abajo, donde figure la distancia progresiva o acumulada a partir de unorigen paraluego proceder a la representación gráficaProgresiva N E Z

1 0+00 504.290 448.020 9.0182 0+10 503.610 458.120 8.7433 0+26 502.090 473.470 7.7284 0+42 501.460 490.280 6.6445 0+56 501.570 503.630 5.6726 0+66 501.650 514.330 5.0597 0+95 499.820 543.020 3.7418 1+21 498.990 568.610 2.9679 1+30 499.050 577.950 2.60410 1+56 498.610 603.900 1.71911 1+70 498.050 617.970 1.48712 2+38 496.025 685.770 1.07613 2+75 495.050 723.300 1.30614 2+93 494.720 740.720 2.069

Porqué la progresiva en el punto 4 es 42 metros o 0+42? Esto es así, porque ladistancia

d = N 2 + E 2 = (504.29-501.46)2 + (448.02-490.28)2 = 42.35 m y como

redondeamos al metro, el resultado será 42 metros. Así sucesivamente secalculan lasdistancias en función de las coordenadas de los puntos que resultan ubicados enel centro



de la alineación donde se está estudiando un perfil longitudinal.la distancia d 1-14 = 2+93 porqueFacultad de Agronomía, Departamento de Suelos y Aguas. TOPOGRAFÍA AGRICOLAÁrea de Ingeniería Agrícola17Ing.Agr.Michel Koolhaas, M.Sc.

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d = N 2 + E 2 = (504.29-494.72)2 + (448.02-740.72)2 = 292.86 m y como

redondeamos al metro, el resultado será 293 metros.En conclusión: la planilla de información para realizar el trabajo de dibujo en elcomputadorla obtenemos del análisis del problema a resolver en una carta planialtimétricadigitalizadaen un CAD, en ella trazamos la alineación que nos proponemos estudiar y resolverlaproblemática planteada, para obtener la serie de coordenadas N,E,Z o x,y,z.Luego la másbásica de las fórmulas de geometría analítica la aplicamos una y otra vez paraarmar elperfil longitudinal buscado.Facultad de Agronomía, Departamento de Suelos y Aguas. TOPOGRAFÍA AGRICOLAÁrea de Ingeniería Agrícola18Ing.Agr.Michel Koolhaas, M.Sc.Prof.Adjunto.

2.2 Replanteo de puntos por coordenadas.Este es el caso típico de replanteo de puntos por ejemplo, del eje de un terraplénpara un embalse agrícola, o sea el punto de partida para replantear una obra de

movimiento de suelos para generar un embalse.Puede ser también la situación, de replanteo de puntos de arranque de canales deriego, deterrazas, y hay un gran número de situaciones que requieren la mecánica o rutinadetrabajo que vamos a enseñar.Supongamos que tengo la información de coordenadas de cinco puntosprovenientes delplano o carta de un proyecto de Obra

A los efectos didácticos asumimos que tengo el punto1 y 2 plenamenteidentificados con

sendos mojones en el campo, estaciono el teodolito o la estación total en el punto1 ybisecto el punto 2 para colocar el círculo del goniómetro en 0º. El problemaplanteado esde replantear o ubicar en el campo donde están los puntos 3, 4 y 5, para lo cualdebemoshallar las coordenadas polares de dichos puntos visados desde el punto 1 dondeestacioné



el goniómetro, teodolito o estación total. Es decir, en otras palabras, debo hallarlos valoresangulares medidos a partir del punto 2 y las distancias 1_ 3 , 1 _4 y 1_5 o radiospolaresque me permitirán replantear los respectivos puntos.Facultad de Agronomía, Departamento de Suelos y Aguas. TOPOGRAFÍA AGRICOLAÁrea de Ingeniería Agrícola19Ing.Agr.Michel Koolhaas, M.Sc.Prof.Adjunto.Facultad de Agronomía, Departamento de Suelos y Aguas. TOPOGRAFÍA AGRICOLAÁrea de Ingeniería Agrícola20Ing.Agr.Michel Koolhaas, M.Sc.Prof.Adjunto.Facultad de Agronomía, Departamento de Suelos y Aguas. TOPOGRAFÍA AGRICOLAÁrea de Ingeniería Agrícola21


Los valores angulares resultaran de la diferencia de acimutes Az 1-3 - Az 1-0 = Ang 1-3

y asísucesivamenteLas distancias o radios polares de replanteo se calculan fácilmente por laconsabida

fórmula de distancia entre puntos d = N 2 + E 2 o ( x2 + y2 )

Por lo tanto, las coordenadas polares de replanteo de los puntos 3, 4 y 5 son lassiguientes3 Ang = 15º 36’ 16’’ // 4 Ang = 322º 23’ 16’’ // 5 Ang = 264º 04’ 40’’ H = 51,74 m H = 68,33 m H = 47,51 mEn efecto, analicemos en detalle el primer caso, coordenadas polares del punto 3 .Primero debemos tener el Azimut 1 – 2 que es el punto de partida o referencia

Azimut 1 – 2 Arc tg ( 530,66 – 592,02) / (73,17 – 88,53) 75º56’46’’

Azimut 1 – 3 Arc tg (530,66 – 582,38) / (73,17 – 71,77) -

88º26’58’’+180º 91º33’02’’ Por tanto el ángulo polar de replanteo es 91º33 ’02’’- 75º56’46’’ = 15º 36’16’’ 2.3 Replanteo de una alineación recta con puntos extremos no entervisibles.Veamos un ejemplo de relativa frecuencia en el trabajo agropecuario y que nonecesita de

la presencia de un agrimensor. Supongamos que tenemos dos puntos mojonadosque sonel límite de una propiedad, pero no son intervisibles entre sí por obstáculos comoarbustos,árboles, y tenemos la necesidad de marcar la línea recta que une estos puntosparamaterializarla con un alambrado de ley, uno de cinco hilos o con un tejido olímpico.Si los



puntos fuesen intervisibles entre sí es una solución elemental y obvia, pero no esel caso.Este ejemplo que voy a realizar lo he vivido en la práctica profesional varias veces,conseparación en el tiempo de alrededor de 30 años, por lo cual realizaré el ejemplo

con dostecnologías diferentes, una actual con la estación total y otra ultrapasada peroigual vigenteo válida con la cinta métrica y un teodolito.Veamos primero la situación a resolver con la Estación Total, o con un teodolito yun EDM.Ejemplo 1.-Sean dos puntos mojonados A y B de coordenadas x,y , A (4887.29 / 5196.97) y B(5544.91 / 5243.67 )Entre los puntos A y B no hay visibilidad, por lo que no es posible ubicar unteodolito sobrecualquiera de los puntos, alinearse y replantear puntos intermedios que definen laFacultad de Agronomía, Departamento de Suelos y Aguas. TOPOGRAFÍA AGRICOLAÁrea de Ingeniería Agrícola22Ing.Agr.Michel Koolhaas, M.Sc.Prof.Adjunto.

alineación recta. Por otra parte, obsérvese que aunque hubiese visibilidad, engeneral esospuntos están ocupados por sendos “muertos” y postes de alambrado, por lo queno seráposible centrar un goniómetro arriba de dichos puntos, por lo cual en realidad seanvisibles

o no, la técnica que vamos a describir es la que debemos seguir en todos loscasos.El operador está estacionado en el punto indicado como STA 83 con una EstaciónTotal decoordenadas ( 5173.49 / 5057.60 )El problema se resuelve replanteando por ejemplo dos puntos, 1 y 2 que esténsobre laalineación de AB, por lo cual lo primero a resolver es la recta que une dichospuntos. Paradeterminar las coordenadas de los puntos 1 y 2, para luego como vimos con elejemplo

anterior ubicar los respectivos puntos.Los puntos 1 y 2 están sobre una recta de Azimut

arco tangente (TAN –1 ) de X / Yo sea (TAN –1 ) {4887.29 – 5544.91} / { 5196.97 – 5243.67} = 85º 56Si nosotros tenemos el Az de la alineación las coordenadas parciales desde Amás lascoordenadas totales de A, nos darán las coordenadas respectivamente del punto 1y 2.



Así, asumiendo que 1 y 2 estarán a 100 y 200 metros respectivamente de A, lascoordenadas de 1 y 2 se calculan de la siguiente forma :Cn 85º 56 x100 + 5196.97 = 0,0708 x 100 + 5196.97 = 5204.05 (y)Sin85º 56 x 100 + 4887.29 = 0,9975 x 100 + 4887.29 = 4987.04 (x) coordenadas1

Cn 85º 56 x200 + 5196.97 = 0,0708 x 200 + 5196.97 = 5211.13 (y)Sin85º 56 x 200 + 4887.29 = 0,9975 x 200 + 4887.29 = 5086.79 (x) coordenadas2

Ahora el problema es similar al ejemplo del punto anterior 2.2, en el cualnecesitamossaber los elementos de replanteo, es decir las polares. Es decir, tenemos quetener unángulo de replanteo y la distancia, o sea las coordenadas polares, parareplantear desdela estación 83 (STA83) visando por ejemplo el punto A , colocando el círculo de laEstaciónen 0º vamos a calcular las polares de replanteo de 1 y 2.-Los radios polares entre el punto estación 83 y cada uno de los puntos 1 y 2resulta delcálculo de distancia entre los mismosr1 = (5173.49 - 4987.04)2 + (5057.60 – 5204.05)2 = 237.09 mr2 = (5173.49 – 5086.79)2 + (5057.60 – 5211.08)2 = 176.28 mFacultad de Agronomía, Departamento de Suelos y Aguas. TOPOGRAFÍA AGRICOLAÁrea de Ingeniería Agrícola23Ing.Agr.Michel Koolhaas, M.Sc.Prof.Adjunto.

Debemos calcular los ángulos de replanteo, partiendo desde A como referencia

dondeubicaremos el 0º del teodolito, para ello los ángulos los calcularemos pordiferencia deazimutes. En efecto, debemos calcular el Azimut STA – A y luego los AZ desde la STAa cadauno de los puntos, donde las diferencias nos darán los ángulos a derechas queconformanla información faltante de replanteo por coordenadas polares de los puntos 1 y 2.-Entonces el Az 83-A = 295º57´52´´El Az 83-1 = 308º08´54´´ por lo tanto, el ángulo a derechas será 12º11´02´´, dedonde

estacionado en el punto 83, visando a A con el círculo en cero, bisectando con elteodolitoel 12º11´02´´ y con la distancia r1 , o sea 237.09 replantearemos el punto 1 .En forma similar procedemos para replantear el punto 2 con las polares, ángulo aderechas 34º32´55´´ y 176.28 m.-En efecto éstas polares resultan de los siguientes cálculos, el Az 83-2 = 330º30´47´´porque



(TAN –1 ) {5173.49 – 5086.79} / { 5057.60 – 5211.13} = - 29º 29´13´´+360 =330º30´47´´de donde resulta que, el ángulo a derechas de la referencia A, será igual a ladiferencia deazimutes o sea 330º30´47´´ - 295º57´52´´ = 34º32´55´´

Ejemplo 2.-Facultad de Agronomía, Departamento de Suelos y Aguas. TOPOGRAFÍA AGRICOLAÁrea de Ingeniería Agrícola24Ing.Agr.Michel Koolhaas, M.Sc.Prof.Adjunto.

Veamos la situación similar pero resuelta en base a cinta métrica , de una maneramásarcaica y en función de la herramienta de medida asequible treinta años atrás.Tengo que replantear una línea divisoria de dos padrones cuyos puntos extremosno sonvisibles entre si pero según plano de mensura la distancia entre mojones es de

765,45metros y los mojones están identificados o son identificables.Por tanto para resolver el problema tengo que replantear una línea tentativaposicionado enel punto A de tal forma de pasar frente al mojón BSea la línea tentativa la marcada en trazo discontinuo A A´, entonces debo medirladistancia A´B que es la distancia desde el mojón B y perpendicular a AA´.- Losnúmerosresultantes son AA´= 763,87 m y la distancia A´B = 26,25 m, por lo tanto el ángulointerno que debería girar a izquierdas sería el arctg 26,25/ 763,87 = 1º 58´ 05´´

Esta forma descrita considero que es la más aconsejable ya que se basa enmedidaspropias, de lo contrario y si quiere trabajar menos, usted se debería basar en lamedida delplano del agrimensor de la escritura, y en este caso el ángulo a girar desde laposición en

A sería arcsin 26,25/ 765,45 = 1º 57´ 55´´.- Como se puede comprobar ladiferenciaFacultad de Agronomía, Departamento de Suelos y Aguas. TOPOGRAFÍA AGRICOLAÁrea de Ingeniería Agrícola25Ing.Agr.Michel Koolhaas, M.Sc.Prof.Adjunto.

angular es de 10 segundos, la precisión angular de los teodolitos Wild T1 muypopularesentre los agrimensores hasta la década del 90 era de 20 segundos, los teodolitosKern conmicrómetro óptico de la época eran de una precisión de 10 segundos, lasEstaciones



Totales actuales (sigloXXI) de Obra son de 10 y las más recientes de 7 segundos.Por lotanto, en conclusión en el ámbito rural donde la mensura legal en Uruguay es envalorescoordenados enteros por lo cual usted tiene un margen de tolerancia amplio de +/-

0,5metro en la determinación de un punto, esta diferencia no debería quitarle elsueñoPara finalizar el proceso, usted tiene dos opciones , dependiendo si debe marcarun solopunto intermedio o más de uno para quedar suficientemente bien demarcado paraelalambrador. Si se trata de un solo punto intermedio, basta girar hacia la izquierdaensentido antihorario un valor absoluto angular igual al valor hallado.De lo contrario si debe marcar más de un punto intermedio por abundancia deobstáculos,sean arbustos o zanjas, tendrá que calcular distancias C1C2 , D1D2…E1E2 parabasadoen sus medidas lineales, dejar marcados o replanteados en el terreno los puntosqueconforman la alineación que delimita la propiedad.

Así 0,0344 x ( 763,87 – 100 ) = 22,81 m C1C20,0344 x ( 763,87 - 200 ) = 19,38 m D1D20,0344 x ( 763,87 – 300 ) = 15,94 m E1E2Por supuesto las aplicaciones de la geometría analítica no se agotan aquí, peroconsiderosegún mi experiencia que en la práctica de la Topografía Agrícola los elementosteóricosmanejados son más que suficientes para resolver la mayoría de los problemas aencontrar,otras aplicaciones caen en el ámbito de las mensuras de propiedad (recursoexclusivo deIngenieros Agrimensores) y de la práctica de construcción de carreteras, todasactividadesque no son comunes a la ingeniería agrícola de suelos y aguas.

A modo de conclusión, cuando ustedes trabajen o soliciten y/o contraten serviciosdeTopografía, deben exigir base de datos de los trabajos o que los datos básicos semantengan en el dibujo CAD, y siempre debe aparecer en informes y dibujos deproyectosejecutivos de obras las coordenadas de por lo menos dos puntos que me permitansituarmeen el sistema coordenado del proyecto y replantear las obras allí proyectadas.Esto loremarcamos aquí porque no es práctica común hacerlo por parte de los ingenieros



agrimensores. La exigencia de por lo menos dos puntos es un mínimo, porque esel mínimoindispensable para realizar una resección inversa para replantearse en el campoen elsistema coordenado del autor del proyecto y de los planos del mismo.Facultad de Agronomía, Departamento de Suelos y Aguas. TOPOGRAFÍA AGRICOLAÁrea de Ingeniería Agrícola26

geometría y topografia

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