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Geometría: Vectores en el plano Matematicas 1

- 1/18 - A.G.Onandía

Geometría: Vectores en el plano

1. Conjunto R2

Vamos a crear el producto cartesiano de RxR, que designaremos por R2:

realesnúmerosporformadosordenadospareslostodosRxRR 2

...,1,2,5,

2

1,2,3,0,0....,Ry,Rx.q.ty,x

x = primera componente, y = segunda componente.

Hay que tener en cuenta que son pares ordenados, es decir, que el par (3,4) es distinto del (4,3).

Todo el mundo debe saber asociar un par ordenado con un punto en el plano real.

“Para que dos pares de números sean iguales deben de ser iguales sus primeras y segundas

componentes”

Ejemplo: Calcular “a” y “b” para que se verifique la siguiente igualdad: (2a,b)=(-1,1)



2. Operaciones en R2

Vamos a definir dos operaciones en R2.

a) Suma en R2 (x,y)+(x’,y’)=(x+x’,y+y’)

b) Producto de un número real por un par de R2 a(x,y)=(ax,ay)

Propiedades de la suma en R2

1.- Es una operación interna: al sumar dos pares reales obtenemos otro par real.

2.- Asociativa: (x,y)+[(x’,y’)+(x’’,y’’)]=[(x,y)+(x’,y’)]+(x’’,y’’)

3.- Conmutativa (x,y)+(x’,y’)=(x’,y’)+(x,y)

4.- Existencia de elemento neutro. Buscamos un par (a,b) tq (a,b)+(x,y)=(x,y)

0

0

byyb

axxa (a,b)=(0,0)

5.- Existencia de elemento simétrico . El elemento simétrico para la suma se denomina

elemento opuesto. Buscamos un par (a’,b’) tq (x,y)+(a’,b’)=(0,0)

ybby

xaax

'0'

'0'(a’,b’)=(-x,-y)

Todo conjunto con una operación interna que verifica estas propiedades se dice que es un grupo

conmutativo.

Propiedades del producto de un número real por un par de R2

1.- Es una operación (o ley) externa, ya que a cada número real “a” y a cada par (x,y) le

asociamos un nuevo par de R2 (ax,ay)

2.- Distributiva de la ley externa respecto de la interna .

Sea aR, (x,y)R2, (x’,y’)R

2 a[(x,y)+(x’,y’)]=a(x,y)+a(x’,y’)

3.- Distributiva de la ley externa respecto a la suma de números reales:

Sea aR, bR, (x,y)R2 (a+b)(x,y)=a(x,y)+b(x,y)



4.- Existencia de elemento neutro 1,,..

a

yay

xaxyxyxaqtRa

5.- Asociativa mixta Rba , a[b(x,y)]=ab(x,y) a(bx,by)=(abx,aby) ab(x,y)

Todo conjunto que tiene dos operaciones, una interna y otra externa, que además para la

operación interna es un grupo conmutativo y que para la operación externa verifica las 5

propiedades anteriores, se dice que tiene una estructura de ESPACIO VECTORIAL.

Luego (R2,+,.) es un espacio vectorial, por ello a los elementos de R

2 les llamamos VECTORES

NUMÉRICOS de dos componentes y los denotamos por , , … p. ej. .

Ejemplos:

a) -5(2,-1)+3(2,-6)=

b) [2(1,-2)+5(-3,0)]-(1/2)(3,4)+6(-1,-8)

Alberto

Texto tecleado

Ejercicio del libro página 175 nº1



A

B

y’-y

y’

y

x’ x x’-x

A

B

3. Vectores libres en el plano.

3.1 Introducción

Hay magnitudes que no quedan bien definidas únicamente con un número p.ej. velocidad,

fuerza, …De ellas se necesita conocer su dirección y sentido. A estas magnitudes se les denominan

vectoriales y se representan por lo que denominamos vectores fijos.

Definición: Un vector fijo es un segmento orientado que tiene su origen en A y extremo en B y se

denota por AB .

El punto A del vector fijo AB se denomina origen y B extremo

Para determinar un vector fijo hemos de conocer su módulo, dirección, sentido y origen:

MÓDULO de un vector AB es la longitud del segmento que une los puntos A y B. Se

representa por AB .

DIRECCIÓN de un vector AB es la recta que pasa por A y B.

SENTIDO de un vector AB es el recorrido de la recta cuando vamos de A a B. Cada

dirección tiene dos sentidos.

Dos vectores no nulos tienen la misma dirección si se encuentran en rectas paralelas.

Un caso particular de vector es el vector nulo, que tiene su origen y extremo en el mismo punto:

....,, BBAA

3.2 Componentes cartesianas de un vector fijo

También se les llama simplemente componentes.

Sean A(x, y) y B(x’, y’) dos puntos del plano las

componentes del vector AB son y'y,x'xAB se

representa por y'y,x'xAB y gráficamente son sus

proyecciones sobre el eje OX y sobre el eje OY,

respectivamente.

Ejemplo: Dados los puntos A(2,5) y B(3,-1), calcular analítica y gráficamente:

a) Las componentes del vector fijo AB

b) Un vector fijo con las mismas componentes que AB cuyo origen esté en C(-3,-1).



A

B

C

D

B C D

E F

A

A

B

C

D

3.3 Equipolencia de vectores fijos

Entre los vectores fijos vamos a establecer una relación que llamaremos relación de

equipolencia. Esta dice que “dos vectores fijos AB y CD son equipolentes si tienen las mismas

componentes” i.e. dbycaCDAB)d,c(CDyb,aAB

Hay otras tres formas semejantes de definirlas:

1.- CDAB si cumplen una de las siguientes condiciones:

Si son dos vectores no nulos y no contenidos en la misma recta

ABDC tiene que formar un paralelogramo

(Regla del paralelogramo)

Si los dos vectores son no nulos y están contenidos en la

misma recta, debe de existir un tercer vector EF de modo

que ABFE y CDFE son paralelogramos.

AB y CD son nulos

2.- CDAB si los puntos medios de BCyAD coinciden

3.- CDAB si tienen la misma dirección, módulo y sentido. Ésta es intuitivamente la más

fácil de manejar.

Ejemplo: determinar que vectores son

equipolentes en el hexágono y ortoedro adjuntos:

Ejemplo: Dados los puntos A(1,-3) y B(-2,-1), calcular analítica y gráficamente:


b) Un vector fijo equipolente a AB cuyo origen sea el punto C(4,-1)

c) Un vector fijo equipolente a AB cuyo extremo sea el punto F(1,3)

Ejemplo: Dados los puntos A(5,2) y B(1,-2) calcular analítica y gráficamente:


b) Un vector fijo equipolente a AB cuyo origen sea el punto C(-1,0)

c) Idem. con extremo en el punto F(2,2)

Ejemplo: Las componentes del vector fijo AB son (3,2), calcular el punto A si B(1,-1)

D E

A B

C F

A B C

D E F H

G



A

B

O

P

3.4 Vectores libres

Definición: Llamaremos vector libre AB al conjunto constituido por un vector fijo AB y todos

sus equipolentes: ABXYtqXYAB

Un vector libre contiene todos los vectores de igual módulo, dirección y sentido.

Los vectores libres se denotan con letras minúsculas , ,…

Se llama dirección, módulo y sentido de un vector libre no nulo a la dirección, módulo y sentido

de cualquiera de sus representantes. Se entiende por representante cualquier vector fijo contenido en

el vector libre.

Una propiedad de los vectores libres llamada propiedad fundamental es:

Teorema: “Cualquier vector libre tiene un único representante con origen en un punto O

arbitrario del plano”

Demostración: Sea un vector libre cuyo representante es AB i.e.

1.- si O no pertenece a la recta que pasa por A y B, construimos el

paralelogramo ABPO como intersección de una recta paralela a la que pasa

por A y B pasando por el punto O, de la recta que pasa por A y O y por la

recta por la recta paralela a la que pasa por A y O pasando por B, entonces:

OPuuOPOPAByuAB i.e. OP es un representante de .

La unicidad viene dada de por la unicidad de la existencia del punto P, como intersección de

dos rectas no paralelas.

2.- Si el punto O pertenece a la recta que pasa por A y B. Elegimos un punto arbitrario C que no

está en la recta que pasa por A y B. Como C no está en la mencionada recta, por el apartado 1,

existe un único representante que pase por C.

Ahora nos quedamos con este representante y nos fijamos que el punto O no está en la recta que

contiene a este representante y por el apartado 1, existe un único representante que pasa por O.



CDuCDAB

ABu

OPuCDOP

CDu

La importancia de este teorema lo veremos cuando realicemos las operaciones con vectores libres.

Ejemplo: Dados los puntos A(3,-4) y B(2,0), calcular:

a) las componentes del vector libre uno de cuyos representantes es AB

b) el origen y el extremo de otro vector fijo que también sea representante de

3.5 Vector posición de un punto

3.5.1 Definición de vector de posición

Dado un punto cualquiera 2RP , podemos considerar el vector pOP , es decir un vector

con origen, en el origen de coordenadas y extremo en el punto P, que denominaremos vector de

posición del punto P.

Se verifica que las componentes del vector coinciden con las coordenadas del punto P.

babaOPp ,0,0

Luego aplicando la propiedad fundamental de los vectores libres, cualquier vector libre AB

, tiene un representante en el origen de coordenadas qOQ , y las componentes de este vector

coinciden con las coordenadas cartesianas de su extremo Q.

Así, a cada vector libre le puedo asociar un punto y viceversa.

Ahora, teniendo en cuenta que, tener un punto es exactamente igual a tener un vector

numérico, podemos deducir que los vectores libres se pueden manejar igual que los vectores

numéricos y por tanto tienen sus mismas propiedades. Esto es interesante a la hora de plantear y

resolver ejercicios.

O

p

P(a,b)

A

B

C

D O

P



3.5.2 Forma polar de un vector de posición

Existe otra manera de determinar la posición de un punto P en un

sistema de referencia cartesiano, dando ánguloyOPlong que forma la

recta que contiene ese segmento con la dirección positiva del eje OX

Luego si tenemos determinado el punto P también tenemos determinado su vector de

posición . PaOsentidoOPlongp , la dirección nos la da el ángulo α.

Así podemos expresar

pp que se denomina forma polar de un vector donde a “ρ”

llamamos módulo y a “α” argumento del vector.

Ejemplo: Representar gráficamente los puntos cuyos vectores de posición son 330º y 3210º.

Ejemplo: Expresar en forma polar el vector de posición del punto P(4,3)

Ejemplo: Hallar las componentes cartesianas del vector q

=460º.

Ejercicio: Expresar en forma polar el vector de posición de cada uno de los puntos siguientes:

a) (1,-1) b) (-1,1) c) 3,1 d) 2,2 e) (5,12) f) (-8,6)

Ejercicio: Calcular las coordenadas cartesianas de los puntos M, N, R, S cuyos vectores de posición

son: º300º240º150º45 10246 srnm

ρ

P

α



3.6 Operaciones con vectores libres

Definición: Dos vectores libres son iguales cuando sus representantes son equipolentes i.e cuando

tienen las mismas componentes CDvyABusiendoCDABvu

Es una definición similar a la que hemos dado para igualdad de vectores numéricos.

3.6.1 Adición

Definición: Para sumar dos vectores y se representa uno de ellos , y

con origen en el extremo de , se representa el otro vector . El vector

suma de ambos, es el que tiene el origen de y el extremo de .

También se pude sumar aplicando la ley del paralelogramo:

“Se representan los vectores y con el mismo origen. El vector

suma se obtiene como la diagonal del paralelogramo que tienen por

lados los vectores y .

Propiedades:

1.- Asociativa:

2.- Conmutativa:

3.- Existencia de elemento neutro: con AAo

4.- Existencia de elemento opuesto: con BAu

El opuesto de un vector libre es otro vector libre de igual módulo, dirección y sentido

contrario, que nos permite definir la diferencia como vuvu

El conjunto de todos los vectores libres del plano lo denotaremos por V2

Así (V2,+) es un grupo conmutativo.

Ejemplo: Dados los vectores libres (2,-1) y (-3,4) calcular analítica y gráficamente = +

Ejemplo: Si AB es un representante del vector libre y CD de siendo A(0,1), B(3,-2), C(1,0) y

D(4,7), calcular analítica y gráficamente:

a) = +

b) Un representante de con origen en el punto E(2,1)

u

v

vu

Alberto

Texto tecleado

Ejercicio del libro página 182 - nº6



3.6.2 Producto de un número real por un vector

Al multiplicar un vector por un número real k, obtenemos un nuevo vector libre ku que

tiene:

- igual módulo al del vector por el valor absoluto del número k | ku |=|k|| |

- igual dirección que la del vector

- el mismo sentido que si k es positivo ó contrario si k es negativo.

Ejemplo: 2 y -3

Propiedades:

1.- Distributiva del producto respecto de la suma vkukvuk

2.- Distributiva del producto respecto a la suma de números reales vtuktk u

3.- Asociativa mixta uktutk

4.- Elemento neutro para el producto 1. =

Luego el conjunto de los vectores libres con la suma y el producto por un escalar es un

espacio vectorial que se denota por (V2,+,.).



3.7 Combinación lineal de vectores en V2

Utilizando las propiedades anteriormente definidos en V2, a partir de unos ciertos vectores, se

pueden obtener muchos más, sin más que sumarlos o multiplicarlos por un número.

Por ejemplo. (5,-14)=2(1,2)+3(1,-6) entonces diremos que (5,-14) es combinación lineal de (1,2) y

(1,-6).

Definición: Una combinación lineal de un vector es cualquier otro vector de forma que

= con R

Definición: ),( yxu es combinación lineal (C.L.) de los vectores )'',''()','( yxwyyxv sii existen

dos números reales y , alguno no nulo, verificando que u v +w

Ejemplo: El vector es combinación lineal de pues

Ejemplo: El vector es C.L. de y pues = +

Definición: Un conjunto de vectores es linealmente dependiente, cuando uno de ellos puede

expresarse como combinación lineal de los restantes. También se denomina sistema ligado.

En caso contrario se dice que son linealmente independiente (L.I.) también llamado sistema

libre.

Gráficamente dos vectores son L.D. cuando tienen la misma dirección y por tanto serán L.I. si

tienen distinta dirección.

Cuando se trate de dos vectores no nulos )','(),,( yxvyxu la c.n.s. para que sean L.D. es que se

verifique que:

(1) sus componentes sean proporcionales i.e. x/x’=y/y’

(2) = con R.

(3) + = con ó alguno no nulo

Alberto

Texto tecleado

Ejercicio del libro página 183 -nº 14



Estas tres caracterizaciones son equivalentes.

Demostración:

(1)(2) como las componentes son proporcionales llamamos a la constante de proporcionalidad

entre ellas 0)','()','(),('

'

''

conyxyxyx

yy

xx

y

y

x

x

(3)(2) + = =- vu

llamando

obtenemos vu 0

Así en el ejemplo anterior los vectores (5,-14), (1,2), (1,-6) son L.D.

En caso contrario son L.I., es decir que podemos definir dos vectores de V2 L.I. como

Definición: Una base del plano V2 está formada por dos vectores de V

2 L.I.

Cualquier vector de V2 se puede expresar como C.L. de dos vectores L.I.

De todas las bases que podemos elegir de V2 la más sencilla es la formada por los vectores

={ i , j }= 1,0,0,1 , por ello se le denomina BASE CANÓNICA de V2. Estos dos vectores

tienen la propiedad de ser perpendiculares y tener módulo 1.

Ejemplo: Comprobar si el vector (5,7) es C.L. de (1,1) y (2,3)

(5,7)=(1,1)+(2,3) (5,7)=(,)+(2,3)=(+2,+3)

37

25 =2 ; =1

Ejemplo: Estudiar la dependencia lineal de los siguientes conjuntos de vectores:

a) 6,2,12,4 b) 4,3,2,1 c) 1,0,0,1

Ejemplo: Comprobar si los vectores (2,1), (0,2) forman una base de V2.

(2,1)+(0,2)=(0,0) 2+0=0 +2=0 =0; =0 L.I. y por tanto base de V2

Ejercicio: Dados los vectores (1,3) y (2,4) calcular analítica y gráficamente = -

Ejercicio: Sean los puntos A(0,-1), B(4,-3), C(3,1) y D(4,-2). Si AB es un representante del vector

libre y CD del vector , calcular:

a) - b) = - c) = +

L.I. 0, siiovuR



3.8 Componentes de un vector en una base cualquiera de V2.

Sean u

, v

dos vectores de V2 no paralelos, i.e. ={u

, v

} base de V2, y w

un vector

cualquiera de V2. Por ser base w

lo podemos obtener como combinación lineal de sus elementos

i.e. ,R t.q. w

=u

+v

a estos escalares les llamamos componentes del vector w

en la base

={u

, v

} i.e. w

(, ).

Gráficamente las componentes de un vector son sus

proyecciones sobre los diferentes vectores de la base, con sus

correspondientes signos. (+ en la dirección del vector y – en dirección contraria)

Ejemplo: Sea ={u

, v

} una base de V2, representar w

=3u

+2 v

3.9 Componentes de un vector en la base canónica de V2.

Ya sabemos que la base canónica es ji

, que son dos vectores

unitarios y perpendiculares.

Según acabamos de ver en el apartado anterior las componentes de

un vector w

de V2 serán , si se verifica que w

= i

+ j

Como i

(1,0) y j

(0,1) es evidente que las componentes de w

,

coinciden con las coordenadas del extremo del vector w

situando su origen en el origen de

coordenadas

Ejemplo: 0,22 ia

)3,0(3 jb

2,12 jic

1,33 jid

2,222 jie

1,33 jif

u

v

w

wproyv

u

uproy w

v

w

u

v

i

j

w

e

b

c

d

a

f

Alberto

Texto tecleado

Ejercicios del libro: página 181 - nº4; página 182 - nº7; página 183 - nº15



4. Producto escalar

Definición: El producto escalar de dos vectores u

y v

es un número real que se obtiene del modo

siguiente: u

. v

=

nulovóusi0

nulosnovyusiv,ucosvu

Ejemplo: Calcular (2 u

-3 v

)(3u

+ v

) sabiendo que u

. v

=2,5, |u

|=1, |v

|=2. Sol. -47/2

4.1 Interpretación geométrica

=( u

, v

)=ángulo agudo formado por ambos

vectores

vproyu

=proyección del vector v

sobre el vector

u

.

uproyv

=proyección del vector u

sobre el vector

v

.

Tenemos que vu = cosvu

= vproyu u

= v

uproyv

“El valor absoluto del producto escalar de dos vectores es igual al módulo de uno de ellos por la

proyección del otro sobre el primero”

Ejemplo: Si |u

|=6 y u

. v

=-8; hallar razonadamente 18 vproyu

Sol: 24

u

v

vproyu

u

v

uproyv

cosvvproyu

cosuuproyv

Alberto

Texto tecleado

Ejercicios del libro: página 176 - nº 2 página 183 - nº 17; nº 33



ku u

v

ku

u

v

4.2 Propiedades del producto escalar

1.- u

.u

≥0 Demostración: 00cos.2 uuuuu

Corolario: uuu

.

2.- Conmutativa: u

. v

= v

.u

Demostración: uvuvuvvuvuvu

.),cos(),cos(.

3.- Homogénea o asociativa del producto de un número real por el producto escalar de dos vectores:

vkuvukvukVvuRk

...,, 2

Demostración:

Si k=0 trivial

Si k>0 (ku

). v

=|k u

|.| v

|cos(k u

, v

)=|k||u

|| v

|cos( u

, v

)=

=k|u

|| v

|cos( u

, v

)=k( u

. v

)

Si k<0 (ku

). v

=|k u

|.| v

|cos(k u

, v

)=|k||u

|| v

|cos=

=-k|u

|| v

|cos(-)=-k|u

|| v

|(-cos(-))=

=k|u

|| v

| cos=k( u

. v

)

4.- Distributiva del producto escalar con respecto a la suma de vectores: u

.( v

+ w

)=u

. v

+u

. w

4.3 Ángulo formado por dos vectores

De la propia definición u

. v

=|u

|.| v

|cos( u

, v

) cos(u

, v

)=vu

vu

.

Consecuencias:

- Dos vectores paralelos de igual sentido u

. v

=|u

|.| v

|

- Dos vectores paralelos de distinto sentido u

. v

=-|u

|.| v

|

- Dos vectores perpendiculares distintos de cero 0 vu

Alberto

Texto tecleado

Ejercicios del libro: página 176 - nº 4 página 181- nº 1 (guiado)

Alberto

Texto tecleado

Ejercicio del libro: página 176 - nº 3



4.4 Expresión analítica del producto escalar en la base canónica

Normalizar un vector es obtener otro vector a partir de él, que tenga la misma dirección y sentido y

de módulo 1, para ello lo único que hay que hacer es dividirlo por su módulou

uvVu

2

Demostración: 12 u

u

u

uv

u

uvVu

, luego ya tenemos la unicidad del módulo.

La misma dirección y sentido viene dado de que | u

| es un número positivo.

Dos vectores u

, vV

2 se llaman ortogonales si u

v

i.e. u

. v

=0.

Y si además son de módulo 1 (u

v

y |u

|=| v

|=1) son ortonormales.

Ejemplo: Normalizar el vector u

=(3,4).

|u

|= 5169

5

4,

5

3

u

u

vector unitario

Expresión analítica del producto escalar en la base canónica ={ i , j }

Es obvio que es una base ortonormal, es decir que está formada por dos vectores perpendiculares y

unitarios esto quiere decir i . j =0 y | i |=| j |=1

u

, vV

2 u

=x1 i +y1 j , v

=x2 i +y2 j

1jjj

1iii

0jiji

2

2

u

. v

=(x1 i +y1 j )(x2 i +y2 j )=x1x2 i i +x1y2 i j +y1x2 j i +y1y2 j j ==x1x2+y1y2

Por tanto en la base canónica

Ejemplo: Demostrar que el triángulo con los vértices en los punto A(1,2), B(6,5) y C(3,10) es

rectángulo en B. ¿cuánto miden los otros dos ángulos del triángulo?

Ejemplo: Sabiendo que u

(1/3,-2) y v

(7,x) son perpendiculares, hallar x

Ejemplo: Sea u

(3,-4), hallar las componentes de los dos vectores unitarios en la dirección de u

; así

como el ángulo que forma u

con el primer vector de la base.

Ejemplo: Calcular el ángulo que forman los vectores u

=(3,5), v

=(4,2). Sol =32º28’12’’

u

. v

=(x1,x2)(y1,y2)=x1x2+y1y2

Alberto

Texto tecleado

Ejercicio del libro; página 178 - nº 6; página 181 - nº 3 página 183 - nº 22; nº 23b); nº 24a); nº 25; nº 27; nº 28; nº 29, nº 30b); nº 31; nº 32



5. Aplicaciones geométricas de los vectores

5.1 Coordenadas del punto medio de un segmento

Sea el segmento AB con A(x1, y1) y B(x2, y2) y M(xm, ym) el punto medio.

)ba(2

1)ab(

2

1aAB

2

1aAMam

Pasando esta ecuación vectorial a componentes tenemos:

21212211mm yy,xx2

1y,xy,x

2

1y,x

2

yyy

2

xxx

21m

21m

Ecuación analítica

Ejemplo: Hallar el punto medio del segmento que une los puntos A(3, 1) y B(5, 2) Sol M(4, 3/2)

Segunda demostración:

m2m21m1m yy,xxyy,xxMBAM igualando las componentes obtenemos

2

yyyyyy2yyyy

2

xxxxxx2xxxx

21m21mm21m

21m21mm21m

Como generalización podemos hallar los puntos que dividen un segmento en un

determinado número de partes. Dividir el segmento AB en n+1 partes iguales. Tenemos que hallar

los n números ( k1, k2, , kn) que lo dividen en n+1 partes. Para ellos partiremos de que:

1n

ABAk1

,

1n

AB2Ak 2

,

1n

AB3Ak3

, ,

1n

ABnAk n

Ejemplo: Hallar las coordenadas de los puntos que dividen el segmento PQ en 5 partes iguales

siendo P(-1, 3) y Q(6, 4) Sol: k1=(2/5,16/5), k2=(9/5,17/5), k3=(16/5,18/5), k4=(23/5,19/5)

O

A

B

M

a

m

b

Alberto

Texto tecleado

Ejercicios del libro: página 209 - nº 4; nº 6; nº 7.



5.2 Puntos alineados

Tres puntos A, B y C están alineados si están en la misma recta. Vectorialmente esto quiere

decir que AB y AC tienen la misma dirección, por lo que se debe verificar que exista un número

real k tal que AB =k AC

Ejemplo: Comprobar si están o no alineados los siguientes puntos:

a) A(1, -4) B(3,2) C(6,11) b) P(2,4) Q(-3,2) R(7,4)

Ejemplo: Hallar “p” sabiendo que los puntos A(2,5), B(3,-2) y C(-1,p) están alineados.

5.3 Baricentro de un triángulo

Se trata de hallar las coordenadas del baricentro de un triángulo conociendo las de sus

vértices.

Recordemos que el baricentro de un triángulo es el punto donde se cruzan las medianas. Y

tiene la propiedad de que divide a cualquiera de las medianas en dos segmentos tales que la longitud

de uno de ellos es el doble del otro.

2GP

CG

GN

BG

GM

AG

como consecuencia de esta expresión podemos escribir

GM2AG como M es el punto medio de BC

A(xa, ya) , B(xb, yb) , C(xc, yc) , G(xg, yg) M

2

yy,

2

xx cbcb

GM2AG

g

abg

cbagag y

2

yy,x

2

xx2yy,xx

3

yyyyy2yyyy

3

xxxxx2xxxx

cbaggcbag

cbaggcbag

G

A

B

C

N

M

P

Ejercicios del libro página: 184 Ejercicios: nº 37, nº 40, nº 41, nº 44, nº 46, nº 49, nº 50, nº 52, nº 53, nº 55, nº 58

Alberto

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Ejercicios del libro: página 209 - nº 2; nº 3.

Alberto

Texto tecleado

Relación de ejercicios "Vectores en el plano"

geometría: vectores en plano - intef -...

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