geometria triangulos
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TRIÁNGULOS I
Notación: Triángulo ABC : ∆ABC.
Elementos:
Vértice : A, B, C
Lados : AB , BC , AC Ángulos internos : αº, βº, θº Ángulos externos : xº, yº, zº Perímetro : 2p = a + b + c
CLASIFICACIÓN
A. Según sus Ángulos
1. Triángulo Oblicuángulo
Triángulo Acutángulo
Triángulo Obtusángulo
2. Triángulo Rectángulo
B.
C. Según sus lados :
1. Triángulo Escaleno
2. Triángulo Isósceles
3. Triángulo Equilátero
PROPIEDADES GENERALES
1. Suma de Ángulos Internos
2. Suma de Ángulos Externos
3. Calculo de un ángulo externo:
αº ωº
θº
A C
B
0º < αº, θº, ωº < 90º
90º < αº < 180º
B C
A
α
B
A C
αº
θº
αº + θº = 90º
A
c
B
a
C b
a ≠ b ≠ c
A C
B
L L
Base
αº
αº
A C
B
L L
L
60º
60º
60º
A C
B
αº ωº
θº αº + θº + ωº = 180º
e1 + e2 + e3 = 360ºe
2
e1
e3
αº ωº
θº
yº
xº
xº = αº + θº
yº = αº + ωº
αº θº
βº
zº
CA
B yº
Región Triangular
xº
c
b
a
4. Desigualdad Triangular
Sea: a < b < c
1. b – a < c < b + a 2. c – a < b < c + a 3. c – b < a < c + b
PROPIEDADES ADICIONALES
1. Propiedad Cuadrilátero Cóncavo.(La del Boumerang)
2. Propiedad Mariposa
3. Propiedad Pescadito
4. Propiedad de Existencia del triángulo → b – c < a < b + c
→ a – c < b < a + c → a – b < c < a + b
5.
6.
PROBLEMAS DE PRACTICOS
1. Calcular “x”.
a) 30ºb) 40ºc) 50ºd) 60ºe) 70º
2. Calcular “x”.
a) 100ºb) 80ºc) 120ºd) 140ºe) 180º
3. Calcular “x”.
a) 50ºb) 100ºc) 180ºd) 90ºe) 120º
4. Calcular el perímetro del ∆ ABC. Si: AB = 2, BC = 1, AC = 1,5
a) 2ºb) 3
a b
c
x = αº + θº + βº
x + y = αº + θº
x + y = αº + θº
xº
yº
θºαº
αº
βº
θºxº
α
θ
yº
xº
20ºxº
30º
xº80ºº
120ºº
xº
40º
150º
C
a b
c
nº
mºyº
xº
xº + yº = mº + nº
xº
αº θº
180º + xº = αº + θº
c) 4d) 3,5e) 4,5
5. Calcular “x”.a) 50ºb) 40ºc) 30ºd) 20ºe) 10º
6. Calcular “x”.
a) 60ºb) 135c) 45d) 30e) 10
7. Calcular “x”, si: α + θ = 60º
a) 150ºb) 120ºc) 100ºd) 20ºe) 10º
8. Calcular “x”; si es entero:
a) 180ºb) 94ºc) 86ºd) 96ºe) 84º
9. Hallar “x”.
a) 30ºb) 40ºc) 20ºd) 15ºe) 60º
10. Hallar “x”.
a) 100ºb) 130ºc) 120ºd) 180ºe) 90º
11. Calcular “x”.
a) 30º
b) 10º
c) 15º
d) 60º
e) 90º
12. Hallar el mayor ángulo exterior del ∆ABCSi: m ∡A = m ∡ B = 2m∡ C
a) 72º b) 108º c) 144ºd) 36º e) 98º
13. Calcular el menor ángulo agudo del ∆ABC rectángulo. Si: m ∡A = 2m ∡ B y m ∡ C = 90º
a) 90º b) 60º c) 30ºd) 20º e) 10º
14. Determine el semiperímetro del triángulo cuyos lados forman una serie de tres números consecutivos. Si el mayor es 10m.
a) 27 b) 27/2 c) 13d) 28 e) 14
15. Calcular “x”.
a) 10ºb) 20ºc) 30ºd) 40ºe) 60º
16. Calcular “x”.
a) 10ºb) 15ºc) 29ºd) 25ºe) 35º
17. Calcular “x”.
a) 120ºb) 100ºc) 90ºd) 75ºe) 60º
18. Determine “α”; si: los ángulos internos del ∆ABC, forman una progresión aritmética y aumentan de 20º en 20º. (Ejm.: αº, αº + 20º, αº + 40º)
a) 40º b) 60º c) 80ºd) 20º e) 10º
BA
xº 2xº
3xº
xº
xº
xºxº
θ - α
θ+3α
xº
136º
xº140º
αº
αº θº
θº
40ºxº
αºαº xº
θºθº
80º
x + 40º
x + 20º x + 30º
120º
xº 2xº
40º
xº
x -10º
xº
60º
αº
αº
αºαº
19. Calcular el mayor ángulo de un triángulo, sabiendo que uno de ellos es 40º y los otros son iguales.
a) 30º b) 40º c) 80ºd) 70º e) 50º
20. Calcular el menor ángulo externo de un triángulo ABCSi: m∡A = 30º y m∡B = 2m∡C = 2αº
a) 30º b) 60º c) 40ºd) 150º e) 50º
21. Calcular “x”.
a) 10ºb) 85ºc) 95ºd) 120ºe) 130º
22. Calcular “x”.
a) 150ºb) 144ºc) 120ºd) 108ºe) 100º
23. Calcular “x”; m∡A = m∡B = 70º
a) 110º
b) 100º
c) 40º
d) 20º
e) 15º
24. Del gráfico: calcule ∅.
a) 10ºb) 20ºc) 30ºd) 25ºe) 35º
25. Del gráfico: calcule “x + y”.a) 100º
b) 90º
c) 110º
d) 120º
e) 130º
26. Del gráfico: calcule “x”.a) 10º
b) 20º
c) 30º
d) 40º
e) 50º
27. Del gráfico: calcule “x”.
a) 10ºb) 20ºc) 30ºd) 40ºe) 50º
28. Del gráfico: calcule “x”.
a) 10ºb) 20ºc) 30ºd) 40ºe) 50º
29. Del gráfico: calcule “x”.
a) 50ºb) 60ºc) 70ºd) 80ºe) 40º
30. Del gráfico: calcule “β + α”.
a) 200º
b) 210º
c) 215º
d) 220º
e) 230º
31. Del gráfico: calcule ∅.
a) 18º
b) 36º
c) 40º
d) 50º
e) 45º
32. Del gráfico: 21 L//L calcule la medida de “x”.
20º
xº
150º
αα
θθ
αºαº αº xº
αº αº
βºxº
βº
AB
C
100º
∅ ∅
2
x
y
60º40º
50º 30º
x
x
30º
70º
20ºx
x
270º
120º60º
β
60º
120º
60º60º
x
α
θ
θ
θ
β
120º
∅
∅ ∅
∅ ∅
αα
ββ
x 60º
L2
L1
a) 100º
b) 120º
c) 130º
d) 140º
e) 150º