SACO OLIVEROS

GEOMETRIA

6 PRIM.

GEOMETRIA-MARZO-ABRIL-MAYO-

SACO OLIVEROS PRIMARIA

LOCUTORIO REN@TRIX CEL :992444616

gEOMETRAHISTORIA DE LA GEOMETRA

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Elementos geomtricosidea de punto.-

La marca de un lpiz que aparece al presionar ste sobre un sobre de papel, nos hace pensar en un punto. El punto no se puede definir, pero la idea que tenemos de l nos permite contruir figuras que son el objeto del estudio de La Geometra.

A se lee: El punto ALnea Recta.- Una recta es un conjunto infinito de puntos que tienen una misma direccin. Debemos tener en cuenta:

La recta posee dos sentidos.

Es infinita en ambos sentidos.

Dos puntos determinan una recta.

Por un punto pasan infinitas rectas.

De la recta podemos definir:

Rayo.- Un rayo se determina en la lnea recta tomando un punto como origen y uno de los sentidos.

Semirecta.- Es uno de los sentidos de la recta.

Segmento de Recta.-

Es la porcin de recta comprendida entre dos puntos.

*Punto Medio.-

Es el punto que divide a un segmento en dos segmentos de igual longitud.

Plano.-

Es una sucesin infinita de rectas.

operaciones con segmentosSon las diferentes operaciones que se pueden realizar con los nmeros reales que representan a las longitudes de los segmentos.

Ejemplos:1.Del grfico calcular

Solucin:

2.Sobre una recta se toman los puntos consecutivos A, B y C; si =40 y =12.

Hallar la distancia del punto medio al punto A.

Solucin:

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GEOMETRA

cAYLEY, ARTHURArthur Cayley, nacido en Ag. 16, 1821, muerto en Ene. 26, 1895, fue un matemtico ingls quien contribuy grandemente con el adelanto de la matemtica pura. Se gradu en la (1842) Trinity College, Cambridge, l ms tarde entr en leyes y posteriormente fue admitido en la London Bar (1849).

Cayley desarroll la teora de la invarianza algebraica, y su desarrollo de la geometra nodimensional ha sido aplicada en la fsica al estudio del espacio-tiempo continuo. Su trabajo en las matrices del lgebra sirvi como un fundamento para la MECNICA CUNTICA, la cual fue desarrollada por Werner Heisenberg en 1925. Cayley tambin sugiri que la GEOMETRA EUCLIDIANA y NO-EUCLIDIANA son tipos especiales de geometra. Uni la GEOMETRA PROJECTIVA (la cual depende de las propiedades invariantes de las figuras) y la geometra mtrica (dependiente en tamaos de ngulos y longitudes de lneas). Se publicaron los trabajos matemticos de Cayley en Cambridge (1889 - 98).PAR ORDENADO Y PRODUCTO CARTESIANOUn par ordenado se simboliza:

Los componentes no pueden cambiar de orden, pues resultara otro par ordenado.

Si asociamos los elementos de dos conjuntos al total de parejas de elementos que se forman se le denomina producto cartesiano.

El producto cartesiano se simboliza:

*Al conjunto A del producto cartesiano, pertenecen los primeros componentes de

cada par ordenado.

*Al conjunto B del producto cartesiano, pertenecen los segundos componentes de

cada par ordenado.

Ejemplos:1)Hallaremos el producto cartesiano.

Diagrama de flechasDiagrama cartesiano

Diagrama Tabular

tc "5.

"relaciones binariasToda relacin binaria tiene un conjunto de partida y un conjunto de llegada con una propiedad P (x; y) entre A y B. Para definir una relacin binaria R es necesario conocer una propiedad P (x; y) entre A y B, lo que origina un grafo (subconjunto de A x B). Para todo par ordenado (x; y) perteneciente al grafo que cumple la propiedad P (x; y), se dir que "x" est en relacin con "y" y adems "y" es la imagen de "x".

Ejemplo:Dados:

Definida como "........ la mitad de ........"

El grafo ser:

dominio y rango de una relacin binariadominio de R:

Es el conjunto formado por los primeros componentes de los pares (x; y) que pertenezcan a la relacin.

Rango de R:

Es el conjunto formado por las segundas componentes de los pares (x; y) que pertenezcan a

1.Dados los conjuntos:

Hallar: PXQ

2.Observa el conjunto:

Escribe los elementos del conjunto A y B

3.Dados los conjuntos:

Hallar: S XT4.Dados los conjuntos:

Hallar: Q R5.Halla el producto cartesiano de los conjuntos:

Halla los pares ordenados de S T tales que ambas componentes sean impares.6.Halla el producto cartesiano de los conjuntos:

Halla los pares ordenados de S T, tales que ambas componentes sean pares.7.Halla el producto cartesiano de los conjuntos:

Halla los pares ordenados de S T en los que la segunda componente sea mayor que la primera

8.Halla el producto cartesiano de los conjuntos:

Halla los pares ordenados de S x T en los que la primera y segunda componente sumen 7

9.Observa el conjunto:

Escribe los elementos del conjunto:

10.A continuacin se tiene tres conjuntos incompletos:

Completa los tres conjuntos.

11.Si:

Hallar A x B

12.Sea:

R2 = "a es mayor que b"

Grafica y halla:

R2 = ____________________

D(R2) = ____________________

R(R2) = ____________________

1.Sea:

Grfica y halla

R1= "b es menor que c"

R1 =____________________

D(R1) = ____________________

R(R1) = ____________________

R2= "b sumando con c es igual a 9"

R2 =____________________

D(R2) = ____________________

R(R2) = ____________________

2.Si:

Relacin

R="a es divisor de b"

Hallar:

3.

Hallar:

GEOMETRACantor, Georg

Georg Ferdinand Ludwig Philipp Cantor, nacido en Mar. 3, 1845, muerto en Ene. 6, 1918, era un matemtico ruso-alemn mejor conocido como el creador de la teora conjuntista y por su descubrimiento de los nmeros transfinitos. Tambin adelanto el estudio de las series trigonomtricas. Fue el primero en probar la no numeralidad de los nmeros reales, hizo contribuciones significantes a la teora de la dimensin. Cantor recibi su doctorado en 1867 y acept una posicin en la Universidad de Halle en 1869, donde permaneci.

Estrechamente relacionado al trabajo de Cantor en la teora de los conjuntos transfinitos estuvo su definicin del conjunto como un conexo, conjunto perfecto. Nunca dud de su absoluta confianza en su trabajo, pero seguidamente del descubrimiento de las paradojas de la teora de conjuntos, l dej la teora de los conjuntos transfinitos a matemticos ms jvenes tales como David Hilbert, Bertrand Russel, y Ernst Zermelo.NGULOS

ii.Magnitud de un ngulo: Es la medida del ngulo y se mide con el TRANSPORTADOR. Su unidad de medida es el grado sexagesimal (1)

Iii.Bisectriz de un ngulo:Es el rayo que divide al ngulo en dos ngulos congruentes (iguales)

iv.Clasificacin de los ngulos:1.Por su medida

Se clasifican en:

2.Por la posicin de sus lados

Se clasifican en:

2.Por la suma de sus medidas

Se clasifica en:

v.Teoremas

1."La suma de las medidas de los ngulos CONSECUTIVOS formados alrededor de un mismo vrtice y a un mismo lado de una recta es 180"

2."La suma de las medidas de los ngulos CONSECUTIVOS formados alrededor de un mismo vertice es 360"

3."Los ngulos opuestos por el vrtice son congruentes..."

Ejemplos:1.En la figura es bisectriz de . Hallar "x"

2.Hallar ""

3.Hallar "x" en:

RECTAS PARALELAS CORTADAS POR UNA RECTA SECANTEi. posiciones relativas de dos rectas en el plano1.Rectas Paralelas: Dos rectas son paralelas (//), si su interseccin es NULA

2.Rectas Secantes: Dos rectas son secantes, si su INTERSECCIN es un PUNTO.

3.Rectas Perpendiculares: Dos rectas son perpendiculares , si su INTERSECCIN es un ngulo RECTO (90)

II.ngulos formados por dos rectas paralelas y una recta secante

Si las rectas L1 y L2 son paralelas y estn cortadas por una RECTA secante m, se cumplen las siguientes propiedades.1.Los ngulos correspondientes son congruentes: