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GEOMETRIA I ¿Qué es la Geometría? Ya se ha visto, en el desarrollo de una teoría matemática existen algunas propiedades que constituyen el punto de partida y, por lo tanto, se acepta como verdaderas, sin demostrar: son los AXIOMAS En cambio las propiedades que se demuestran constituyen los Teoremas Para realizar la demostración partimos de ciertos datos o información que se considera Verdadera y llegamos a un resultado o Conclusión. El conjunto de datos que sirve de punto de partida constituyen la Hipótesis. La conclusión a la cual se quiere llegar es la Tesis. El proceso o razonamiento lógico que permite pasar de la hipótesis a la tesis, es la Demostración. Conceptos fundamentales La geometría se basa en tres conceptos fundamentales que se aceptan sin definirlos y que forman parte del espacio geométrico, o sea el conjunto formado por todos los puntos: El punto: Un punto se representa con una pequeña cruz y se lo designa con una letra de imprenta mayúscula. La recta: Una recta se representa con una porción de la misma y se la designa con una letra de imprenta minúscula. El plano: Un plano se representa con una porción del mismo y se lo designa con una letra griega. Relaciones fundamentales

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Page 1: GEOMETRIA I

GEOMETRIA I

¿Qué es la Geometría?Ya se ha visto, en el desarrollo de una teoría matemática existen algunas propiedades queconstituyen el punto de partida y, por lo tanto, se acepta como verdaderas, sin demostrar: sonlos AXIOMASEn cambio las propiedades que se demuestran constituyen los TeoremasPara realizar la demostración partimos de ciertos datos o información que se consideraVerdadera y llegamos a un resultado o Conclusión.El conjunto de datos que sirve de punto de partida constituyen la Hipótesis. La conclusión a lacual se quiere llegar es la Tesis. El proceso o razonamiento lógico que permite pasar de lahipótesis a la tesis, es la Demostración.

Conceptos fundamentales

La geometría se basa en tres conceptos fundamentales que se aceptan sin definirlos y queforman parte del espacio geométrico, o sea el conjunto formado por todos los puntos:

El punto: Un punto se representa con una pequeña cruz y se lo designa con unaletra de imprenta mayúscula.

La recta: Una recta se representa con una porción de la misma y se la designa conuna letra de imprenta minúscula.

El plano: Un plano se representa con una porción del mismo y se lo designa con unaletra griega.

Relaciones fundamentales

Page 2: GEOMETRIA I

Los tres conceptos anteriores están relacionados a través de las relaciones de pertenencia einclusión:

Los puntos pertenecen a las rectas y los planos.

Las rectas están incluidas en los planos.

Postulados

Se llaman postulados a aquellas propiedades que satisfacen los elementos geométricos que seaceptan sin demostrar y que surgen de la simple observación.

1. Existen infinitos puntos, infinitas rectas e infinitos planos.

2. Todo punto pertenece a infinitas rectas, ya que por un punto pasan infinitas rectas.

El conjunto de rectas que concurren en un punto se denomina haz de rectas.

3. Toda recta está incluida en infinitos planos ya que por una recta pasan infinitosplanos.

Page 3: GEOMETRIA I

El conjunto de planos que pasa por una recta se denomina haz de planos.

4. Dos puntos determinan una y sólo una recta a la cual pertenecen.

5. A una recta pertenecen infinitos puntos y existen también infinitos puntos que nopertenecen a ella.

6. Una recta y un punto fuera de ella determinan un plano de modo que el puntopertenece al mismo y la recta está incluida en él.

7. La recta determinada por dos puntos de un plano está incluida a dicho plano.

Page 4: GEOMETRIA I

También puede enunciarse como: Dos puntos incluidos en un plano determinan unarecta que está incluida en el plano.

8. A un plano pertenecen infinitos puntos y existen también infinitos puntos que nopertenecen a ella.

Definición

Todo punto perteneciente a una recta separa a la misma en dos porciones, cada una de ellasrecibe el nombre de semirrecta. Al punto que da lugar a las dos semirrectas opuestas se lollama origen.

Para diferenciar las semirrectas se determinan dos puntos adicionales, cada uno de los cualespertenece a cada semirrecta:

Semirrecta de origen O que pasa por el punto A

Semirrecta de origen O que pasa por el punto B

Page 5: GEOMETRIA I

Características de las semirrectas

Todo punto de una recta pertenece a una de las dos semirrectas o coincide con elorigen.

La intersección de dos semirrectas opuestas es el punto de origen.

La unión de dos semirrectas opuestas es toda la recta.

Definición

Dados dos puntos A y B, se llama segmento a la intersección de la semirrecta de origen A quecontiene al punto B y la semirrecta de origen B que contiene al punto A.

Los puntos A y B se denominan extremos del segmento.

Se observa que:

Dos puntos pertenecientes a una misma semirrecta determinan un segmento que nocontiene al origen.

Page 6: GEOMETRIA I

Dos puntos pertenecientes a distintas semirrectas determinan un segmento quecontiene al origen.

Se verifican las siguientes propiedades:

Igualdad de segmentos: se verifican las leyes reflexiva, simétrica y transitiva.

Relación de orden de segmentos: forman un conjunto ordenado.

Igualdad de segmentos

Carácter reflexivo: todo segmento es igual a si mismo.

Carácter simétrico: Si un segmento es igual a otro, éste es igual al primero.

Page 7: GEOMETRIA I

Carácter transitivo: Si un segmento es igual a otro y éste es igual a un tercero, elprimer segmento es igual al tercero.

Relación de orden

Si un segmento es mayor que otro y éste es mayor que un tercero, el primersegmento es mayor que el tercero.

Si un segmento es mayor que otro y éste es igual a un tercero, el primer segmento esmayor que el tercero.

Si un segmento es igual a otro y éste es mayor que un tercero, el primer segmento esmayor que el tercero.

Page 8: GEOMETRIA I

Postulado de las tres posibilidades

Dados dos segmentos, debe verificarse una y sólo una de las siguientes tres posibilidades:

Definición

Se define como segmentos consecutivos a aquellos que cumplen las siguientes propiedades:

Dos segmentos son consecutivos cuando tienen un extremo en común.

Si los segmentos consecutivos pertenecen a una misma recta son consecutivosalineados: tienen un extremo en común y los puntos restantes pertenecen asemirrectas opuestas.

Page 9: GEOMETRIA I

Definición

La suma de segmentos consecutivos alineados es igual al segmento formado por los extremosno comunes de los segmentos (la unión de los puntos de ambos segmentos).

La adición de segmentos esley de composición interna.

Para sumar dos segmentos, éstos deben ser consecutivos. Si los segmentos no sonconsecutivos, deben colocarse sobre una recta segmentos congruentes a los dados en formaconsecutiva alineada.

La adición de segmentos cumple con las siguientes leyes y propiedades:

Ley de cierre y uniforme

Ley conmutativa y asociativa

Page 10: GEOMETRIA I

Existencia del elemento neutro

Ley de cierre

La suma de dos segmentos es cerrada o completa ya que su resultado es siempre unsegmento.

Ley uniforme

La adición de segmentos es uniforme ya que su resultado es único. Si a ambos miembros deuna igualdad se le suma un mismo segmento se obtiene otra igualdad.

Definición

Restar un segmento menor o igual a otro es encontrar un tercer segmento que sumado alsegundo de como resultado el primer segmento.

La sustracción de segmentos esley de composición interna.

Para restar dos segmentos deben colocarse sobre una recta segmentos congruentes a losdados. Se coloca el segmento minuendo sobre el segmento sustraendo, haciendo coincidir unode sus extremos.

Page 11: GEOMETRIA I

La sustracción de segmentos cumple con las siguientes leyes y propiedades:

Corolarios

Ley uniforme

Existencia del elemento neutro

En cambio, no cumple con las siguientes:

Ley de cierre

Ley conmutativa y asociativa

Corolarios

Si a un segmento se le suma otro y al resultado se le resta este último, se obtiene elprimer segmento.

Si a un segmento se le resta otro y al resultado se le suma este último, se obtiene elprimer segmento.

Page 12: GEOMETRIA I

Ley de cierre

La sustracción de dos segmentos no es cerrada o completa ya que su resultado es unsegmento si y sólo si el minuendo es mayor que el sustraendo.

Ley uniforme

La sustracción de dos segmentos es uniforme ya que su resultado es único. Si a ambosmiembros de una igualdad se le resta un mismo segmento se obtiene otra igualdad.

Existencia del elemento neutro

Un segmento es nulo cuando sus extremos coinciden.

El segmento nulo es el elemento neutro de la sustracción de segmentos.

Page 13: GEOMETRIA I

Ley conmutativa

La sustracción de segmentos no es conmutativa, ya que depende del orden entre minuendo ysustraendo: al cambiar el orden de los mismos la diferencia varía.

Ley asociativa

La sustracción de segmentos no es asociativa, ya que depende de la forma que se asocien losoperandos: si se reemplazan dos operandos por su diferencia efectuada, la diferencia finalvaría.

Ley de composición interna

Se llama ley de composición interna a las operaciones definidas entre elementos de un mismoconjunto.

La adición y sustracción de segmentos son ley de composición interna

Page 14: GEOMETRIA I

a ) Menciona los segmentos que determinan A, B, y C

C sobre la recta r.

B b) Determina la semirrecta que determinan A, B y C

r A sobre la r.

c) Resolver: ( AB + BC)- AB = ;(AC – BC) + BC =

r

·B

·A

α D · · C Coloque sobre la línea puntuada el signo є o C (incluido)

según corresponda: A……r AB…….r CD……r

B……α AB……r r………α

C…….α AB…….α

DemostraciónTesis: Si dos Rectas al cortarse forman un ángulo recto, entonces los otros tres tambiénson rectos

Demostración

Tesis: Si dos ángulos son opuestos por el vértice, entonces son congruentes.

Page 15: GEOMETRIA I

Definición

Toda recta perteneciente a un plano separa al mismo en dos porciones, cada uno de ellosrecibe el nombre de semiplano. A la recta que da lugar a los dos semiplanos se la llamafrontera o recta de división frontera o recta de división.

Para diferenciar los semiplanos se determinan dos puntos adicionales, cada uno de los cualespertenece a cada semiplano:

Semiplano respecto a la recta r que contiene al punto A

Semiplano respecto a la recta r que contiene al punto B

Propiedades de los semiplanos

Se observa que:

La intersección de dos semiplanos determinados por una recta es la recta de división.

Page 16: GEOMETRIA I

La unión de dos semiplanos determinados por una recta es todo el plano.

Todo punto de un plano pertenece a uno de los dos semiplanos o a la recta dedivisión.

Todo segmento determinado por dos puntos de distintos semiplanos corta a la rectade división.

Todo segmento determinado por dos puntos del mismo semiplano no corta a la rectade división.

Definición

Cuando dos rectas se cortan, forman en el plano 4 regiones llamadas ángulos.

Page 17: GEOMETRIA I

Dados dos planos se llama ángulo convexo a la intersección del semiplano respecto dela recta que contiene al punto B y el semiplano respecto a la recta que contiene al puntoA.

Si en cambio, se considera la unión de los dos semiplanos queda determinado un ángulocóncavo. Si se suprime un ángulo convexo del plano, lo que queda es un ángulo cóncavo.

Las relaciones angulares verifican las siguientes propiedades:

Igualdad de ángulos: se verifican las leyes reflexiva, simétrica y transitiva.

Relación de orden de ángulos: forman un conjunto ordenado.

Identificación de un ángulo

Por lo tanto, un ángulo es la porción de plano delimitado por dos semirrectas del mismo origen,y está delimitado por:

Un vértice: punto de origen de las dos semirrectas que lo forman.

Page 18: GEOMETRIA I

Dos lados: semirrectas cuyo origen forma el vértice del ángulo.

Los ángulos se identifican por tres letras donde:

La letra central corresponde al vértice.

Las otras dos letras son puntos cualesquiera de las semirrectas que lo forman.

Cuando los lados del ángulo son dos semirrectas opuestas se denomina ángulo llano. Elángulo llano a un semiplano.

Punto interior a un ángulo

Todo punto perteneciente a un ángulo que no pertenece a sus lados se llama punto interior alángulo.

Page 19: GEOMETRIA I

Semirrecta interior a un ángulo

Toda semirrecta cuyo origen coincide con el vértice del ángulo y sus demás puntos soninteriores al ángulo se llama semirrecta interior al ángulo.

Segmento y ángulo

Si un segmento tiene sus extremos en los lados de un ángulo, toda semirrecta interior a eseángulo corta al segmento en un punto interior al ángulo.

Igualdad de ángulos

Dos ángulos son congruentes cuando tienen la misma amplitud. Al colocar uno encima delotro haciendo coincidir el vértice y uno de sus lados, el otro lado coincide.

Carácter reflexivo: todo ángulo es igual a si mismo.

Page 20: GEOMETRIA I

Carácter simétrico: Si un ángulo es igual a otro, éste es igual al primero.

Carácter transitivo: Si un ángulo es igual a otro y éste es igual a un tercero, elprimer ángulo es igual al tercero.

Definición

Dos ángulos son consecutivos cuando tienen un lado y el vértice en común.

Varios ángulos son consecutivos cuando cada uno es consecutivo solamente con elanterior y con el siguiente.

Page 21: GEOMETRIA I

Definición

La suma de ángulos consecutivos es igual al ángulo formado por los lados no comunes de losángulos (la unión de los puntos de ambos ángulos).

La adición de ángulos esley de composición interna.

Para sumar dos ángulos, éstos deben ser consecutivos. Si los ángulos no son consecutivos,deben colocarse sobre el plano ángulos congruentes a los dados en forma consecutiva.

Page 22: GEOMETRIA I

La adición de ángulos cumple con las siguientes leyes y propiedades:

Ley de cierre y uniforme

Ley conmutativa y asociativa

Existencia del elemento neutro

Ley de cierre

La suma de dos ángulos es cerrada o completa ya que su resultado es siempre un ángulo.

Ley uniforme

La adición de ángulos es uniforme ya que su resultado es único. Si a ambos miembros de unaigualdad se le suma un mismo ángulo se obtiene otra igualdad.

Ley conmutativa

La adición de ángulos es conmutativa, ya que no depende del orden de los mismos: al cambiarel orden de los ángulos la suma no varía.

Page 23: GEOMETRIA I

Ley asociativa

La adición de ángulos es asociativa, ya que no depende de la forma que se asocien losmismos: si se reemplazan dos ángulos por su suma efectuada, el resultado no varía.

Elemento neutro

Un ángulo es nulo cuando sus lados coinciden.

El ángulo nulo es el elemento neutro de la adición de ángulos.

Ley de composición interna

Se llama ley de composición interna a las operaciones definidas entre elementos de un mismoconjunto.

La adición y sustracción de ángulos son ley de composición interna.

Page 24: GEOMETRIA I

Definición

Restar un ángulo menor o igual a otro es encontrar un tercer ángulo que sumado al segundo decomo resultado el primer ángulo.

La sustracción de ángulos esley de composición interna.

Para restar dos ángulos deben colocarse sobre el plano ángulos congruentes a los dados. Secoloca el ángulo minuendo sobre el ángulo sustraendo, haciendo coincidir uno de sus lados y elvértice.

La ángulos de segmentos cumple con las siguientes leyes y propiedades:

Corolarios

Ley uniforme

Existencia del elemento neutro

En cambio, no cumple con las siguientes:

Ley de cierre

Ley conmutativa y asociativa

Page 25: GEOMETRIA I

Corolarios

Si a un ángulo se le suma otro y al resultado se le resta este último, se obtiene elprimer ángulo.

Si a un ángulo se le resta otro y al resultado se le suma este último, se obtiene elprimer ángulo.

Ley de cierre

La sustracción de dos ángulos no es cerrada o completa ya que su resultado es un ángulo si ysólo si el minuendo es mayor que el sustraendo.

Ley uniforme

Page 26: GEOMETRIA I

La sustracción de dos ángulos es uniforme ya que su resultado es único. Si a ambos miembrosde una igualdad se le resta un mismo ángulo se obtiene otra igualdad.

Elemento neutro

Un ángulo es nulo cuando sus lados coinciden.

El ángulo nulo es el elemento neutro de la sustracción de ángulos.

Ley conmutativa

La sustracción de ángulos no es conmutativa, ya que depende del orden entre minuendo ysustraendo: al cambiar el orden de los mismos la diferencia varía.

Page 27: GEOMETRIA I

Ley asociativa

La sustracción de ángulos no es asociativa, ya que depende de la forma que se asocien losoperandos: si se reemplazan dos operandos por su diferencia efectuada, la diferencia finalvaría.

Ley de composición interna

Se llama ley de composición interna a las operaciones definidas entre elementos de un mismoconjunto.

La adición y sustracción de ángulos son ley de composición interna.

Page 28: GEOMETRIA I

Angulos convexos

Un ángulo convexo es aquel en el cual, al trazar un segmento uniendo dos puntos cualesquierade sus lados, el segmento se encontrará dentro del ángulo.

Los ángulos convexos se clasifican en:

Agudos

Rectos

Obtusos

Llanos

Angulos cóncavos

Un ángulo cóncavo es aquel en el cual, al trazar un segmento uniendo dos puntos cualesquierade sus lados, el segmento se encontrará fuera del ángulo.

Los ángulos cóncavos son mayores que un llano.

Angulos rectos

Page 29: GEOMETRIA I

Un ángulo recto es aquel formado por el cruce de dos rectas perpendiculares.

Todos los ángulos rectos son iguales.

Angulos llanos

Un ángulo llano es aquel cuyos lados son semirrectas opuestas.

Todo ángulo llano es igual a dos rectos.

Angulos agudos

Un ángulo agudo tiene una abertura menor a la del ángulo recto.

Page 30: GEOMETRIA I

Angulos obtusos

Un ángulo obtuso tiene una abertura mayor a la del ángulo recto.

Unidades angulares

La unidad de medida de los ángulos se llama grado, y resulta de dividir un ángulo recto en 90partes iguales, por lo tanto, un ángulo recto mide 90º.

Por lo tanto:

Angulo agudo < 90º

Angulo recto = 90º

Angulo obtuso > 90º y < 180º

Angulo llano = 180º

Angulo cóncavo > 180º

El sistema de medición de los ángulos se llama sexagesimal. Recibe este nombre porque cadaunidad menor al grado se divide en 60 partes para obtener la siguiente:

Page 31: GEOMETRIA I

Angulos complementarios

Dos ángulos son complementarios cuando la suma de sus amplitudes da como resultado unrecto.

Angulos adyacentes

Dos ángulos son adyacentes cuando tienen un lado en común y el otro lado está formado pordos semirrectas opuestas.

Los ángulos adyacentes son siempre suplementarios, ya que su suma es igual a unllano.

Si dos ángulos adyacentes son iguales, ambos son ángulos rectos.

Angulos opuestos por el vértice

Dos ángulos son opuestos por el vértice cuando tienen un vértice en común y sus lados sonsemirrectas opuestas.

Teorema: Los ángulos opuestos por el vértice son iguales.

Page 32: GEOMETRIA I

Angulos suplementarios

Dos ángulos son suplementarios cuando la suma de sus amplitudes da como resultado unllano.

Teorema

Los ángulos opuestos por el vértice son iguales.

Hipótesis

Tesis

Demostración

Considerando el ángulo adyacente a :

Como es también adyacente a :

Page 33: GEOMETRIA I

Como dos ángulos que tienen igual suplemento son iguales, y resultan iguales.

que es lo que se quería demostrar.

Rectas perpendiculares

Dos rectas son perpendiculares cuando al cortarse forman cuatro ángulos iguales.

Dado un punto perteneciente a una recta o exterior a ella, por él pasa una y sólo unaperpendicular a dicha recta.

El trazado de perpendiculares puede efectuarse de las siguientes formas:

Con escuadra, por un punto perteneciente a la recta o exterior a la misma.

Con compás, por un punto perteneciente a la recta o exterior a la misma.

Rectas paralelas

Dos rectas son paralelas cuando no tienen ningún punto en común, o cuando soncoincidentes.

Dado un punto perteneciente a una recta o exterior a ella, por él pasa una y sólo una paralela adicha recta.

Page 34: GEOMETRIA I

El trazado de paralelas puede efectuarse de las siguientes formas:

Con regla y escuadra

Con regla y compás

Teorema:En un plano, dos rectas perpendicularesa una tercera son paralelas.

Propiedades de la perpendicularidad

Carácter reflexivo: La perpendicularidad no cumple con el carácter reflexivo.

Carácter simétrico: Si una recta es perpendicular a otra, ésta es perpendicular a laprimera.

Carácter transitivo: La perpendicularidad no cumple con el carácter transitivo.

Page 35: GEOMETRIA I

Propiedades del paralelismo

Carácter reflexivo: Toda recta es paralela a si misma.

Carácter simétrico: Si una recta es paralela a otra, ésta es paralela a la primera.

Carácter transitivo: Si una recta es paralela a otra y ésta es paralela a una tercera,la primera recta es paralela a la tercera.

Teorema

En un plano, dos rectas perpendiculares a una tercera son paralelas.

Hipótesis

Tesis

Page 36: GEOMETRIA I

Demostración

(por el método del absurdo)

Si a no fuera paralela a b , las rectas se cortarían en un punto R.

Por hipótesis, por el punto R pasarían dos rectas perpendiculares a la recta c.

y ésto es absurdo ya que por un punto exterior a una recta pasa una y sólo una perpendiculara la misma.

Angulos determinados por dos rectas paralelas

cortadas por una transversal

Dos rectas cualesquiera cortadas por una tercera determinan ocho ángulos.

De acuerdo a la ubicación de los mismos se clasifican en:

Angulos interiores y exteriores

Angulos correspondientes

Angulos alternos

Angulos conjugados

Angulos interiores

Los ángulos ubicados en la zona comprendida entre las rectas paralelas se llaman ángulosinteriores.

Page 37: GEOMETRIA I

Angulos exteriores

Los ángulos que no son interiores se denominan ángulos exteriores.

Angulos correspondientes

Si dos ángulos están ubicados de un mismo lado de la transversal, uno es interior y el otro esexterior, se los llama ángulos correspondientes.

Los ángulos correspondientes entre paralelas son iguales.

Recíprocamente, si dos rectas cortadas por una tercera forman ángulos correspondientesiguales, las rectas son paralelas.

Angulos alternos internos

Si dos ángulos están situados en distintos semiplanos con respecto a la transversal y ambosson internos, se los llama ángulos alternos internos.

Page 38: GEOMETRIA I

Los ángulos alternos internos entre paralelas son iguales.

Recíprocamente, si dos rectas cortadas por una tercera forman ángulos alternos internosiguales, las rectas son paralelas.

Angulos alternos externos

Si dos ángulos están situados en distintos semiplanos con respecto a la transversal y ambosson externos, se los llama ángulos alternos externos.

Los ángulos alternos internos entre paralelas son iguales.

Recíprocamente, si dos rectas cortadas por una tercera forman ángulos alternos externosiguales, las rectas son paralelas.

Definición de lugar geométrico

Una figura es el lugar geométrico de los puntos que cumplen una propiedad cuando:

Todos los puntos de la figura cumplen esa propiedad

Todo punto que cumple la propiedad pertenece a la figura.

Page 39: GEOMETRIA I

Distancia de un punto a una recta

Se llama distancia de un punto a una recta al segmento de perpendicular comprendido entre elpunto y la recta y cumple las siguientes propiedades:

Propiedad 1: La distancia de un punto a una recta es menor a cualquier otrosegmento oblicuo comprendido entre ese punto y esa recta.

Propiedad 2: Si dos segmentos oblicuos entre un punto y una recta tienen sus piesequidistantes del pie de la perpendicular, son congruentes.

Page 40: GEOMETRIA I

Propiedad 3: Dados dos segmentos oblicuos entre un punto y una recta, el menorserá aquel cuyo pie se encuentre más próximo al pie de la perpendicular.

Las propiedades recíprocas a las anteriores son:

Recíproca 1: El menor de los segmentos comprendidos entre un punto y una rectaes la distancia del punto a esa recta.

Recíproca 2: Si dos segmentos comprendidos entre un punto y una recta soniguales, sus pies equidistan de la perpendicular trazada entre ese punto y la recta.

Recíproca 3: Dados dos segmentos oblicuos entro un punto y una recta, si elprimero es menor que el segundo, el primer pie estará más cerca del pie de laperpendicular que el segundo pie.

Propiedad 1

La distancia de un punto a una recta es menor a cualquier otro segmento oblicuo comprendidoentre ese punto y esa recta.

Hipótesis

Tesis

Demostración

es un triángulo rectángulo donde:

Page 41: GEOMETRIA I

Como en todo triángulo rectángulo los catetos son menores que la hipotenusa:

que es lo que se quería demostrar.

Propiedad 2

Si dos segmentos oblicuos entre un punto y una recta tienen sus pies equidistantes del pie dela perpendicular, son congruentes.

Hipótesis

Tesis

Demostración

y son triángulos rectángulos donde:

De acuerdo a los criterios de igualdad de triángulos rectángulos:

Page 42: GEOMETRIA I

Por lo tanto:

que es lo que se quería demostrar.

Propiedad 3

Dados dos segmentos oblicuos entre un punto y una recta, el menor será aquel cuyo pie seencuentre más próximo al pie de la perpendicular.

Hipótesis

Tesis

Demostración

Para el triángulo , es un ángulo exterior, por lo tanto:

(1)

Por ser rectángulo:

(2)

De (1) y (2)

Page 43: GEOMETRIA I

Como en todo triángulo a mayor ángulo se opone mayor lado:

que es lo que se quería demostrar.

Bisectriz de un ángulo

Se llama bisectriz de un ángulo a la semirrecta que divide a un ángulo en dos ángulos iguales.Por lo tanto, la bisectriz de un ángulo es el lugar geométrico de los puntos que equidistan delos lados del ángulo.

Mediatriz de un segmento

Se llama mediatriz de un segmento a la recta perpendicular que lo divide en dos segmentosiguales. Por lo tanto, la mediatriz de un segmento es el lugar geométrico de los puntos queequidistan de los extremos del segmento.

Page 44: GEOMETRIA I
Page 45: GEOMETRIA I

a) En todo triángulo, cada ángulo exterior es igual a la suma de los ángulosinteriores no adyacente a él.

b) Demuestra que la suma de los ángulos exteriores de un triángulo es igual a4 R.

Bibliografía Lic. L. Galdós –“Geometría /Trigonometría”Puig Adam- Curso de GeometríaAlzán y Jaime Elementos de Trigonometría Rectilínea y Esferica