Primera Parcial Lapso 2013-1 754 –1/3

Especialista: José Gascón Evaluadora: Florymar Robles Área de Matemática

Universidad Nacional Abierta Geometría (754) Vicerrectorado Académico Código Carrera: 126-508 Área De Matemática Fecha: 16-3-2013

Modelo de Respuestas

Objetivos 1 al 4

Obj 1 Pta 1 Demuestre o refute mediante un ejemplo que n n+ +4 2 1 es siempre un número impar si n es un número natural arbitrario. Solución: El estudiante puede hacer varios experimentos. Por ejemplo, si n=1 obtenemos 1+1+1=3 que es impar, para n=2 obtenemos 19, impar de nuevo. Ahora bien, hacer un par de experimentos refuerza o establece una conjetura pero NUNCA la demuestra. Procedemos ahora a la demostración matemática del resultado. Vemos que n n n ( n )+ + = + +4 2 2 21 1 1 . Pero n +2 1 y n2 son enteros consecutivos y por ende uno de ellos debe ser par. Luego, n ( n )+2 2 1 es par y n ( n )+2 2 1 +1 es impar como deseábamos demostrar. Obj 2 Pta 2

Demuestre que x y+ ≥

1 12 si x , y< < < <0 1 0 1 .

Sugerencia: Use la desigualdad entre la media aritmética y la media geométrica. Solución: Vamos a aplicar la sugerencia que fue dada al estudiante. Recordamos que si a,b son dos cantidades positivas arbitrarias, entonces:

a bab +≤

2

Luego,

x yx y x y xy

+≥ ⇒ + ≥

1 11 1 1 1 1

22

Basta ver que, xy

≥1

1 para demostrar el resultado. Pero, xy xyxy

≤ ≤ ⇒ ≤ ⇒ ≥1

0 1 1 1 lo que

concluye la demostración.

Primera Parcial Lapso 2013-1 754 –2/3

Especialista: José Gascón Evaluadora: Florymar Robles Área de Matemática

Obj 3 Pta 3 Demostrar que la mediana a un lado de un triángulo equidista de los vértices de ese lado. Demostración: Hagamos la siguiente figura, que representa las condiciones del problema, con software Geogebra

Observemos el triángulo ABC y consideramos la mediana AD, la distancia del vértice B a la mediana está dada por la longitud del segmento BE. De forma análoga, la distancia del vértice C a la mediana AD está representada por la longitud del segmento CF. Veamos con detenimiento los triángulos BED y CFD. Afirmamos que estos triángulos son congruentes. En efecto, ellos tienen los tres ángulos iguales ya que los ángulos en el vértice D son opuestos por el vértice y ambos triángulos son rectángulos por la construcción realizada (las rectas BE y CF son perpendiculares a la mediana). También BD equivale a CD, luego podemos aplicar el criterio de congruencia ALA para garantizar lo afirmado. Pero, al ser congruentes los triángulos se tiene que BE y FC tienen iguales longitudes, esto concluye la demostración.

Primera Parcial Lapso 2013-1 754 –3/3

Especialista: José Gascón Evaluadora: Florymar Robles Área de Matemática

Obj 4 Pta 4 Demuestre que en un paralelogramo dos lados consecutivos son inversamente proporcionales a sus alturas. Demostración: Hagamos un dibujo de la situación.

Aunque Poincare expresó que “la geometría es el arte de razonar correctamente sobre figuras incorrectas” usted, estudiante UNA, debe hacer un esfuerzo en realizar un dibujo adecuado de la situación descrita por el problema. Lo invitamos a usar el software Geogebra para esta actividad. Debemos demostrar que,

AB BEBC FB

=

Como queremos aplicar el Teorema de Pitágoras, rescribamos la anterior igualdad al cuadrado, AB BEBC FB

⎛ ⎞ ⎛ ⎞=⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

2 2

. Observe que, AB BE EA ,BC BF FC

= +

= +

2 2 2

2 2 2 luego

AB BE EABC BF FC

+⎛ ⎞ =⎜ ⎟ +⎝ ⎠

2 2 2

2 2 , factoricemos el numerador y denominador de la última fracción

EABE ( )BE EA BEFCBF FC BF ( )BF

++=

+ +

22

2 2 2

22 22

2

1

1. Observe que,

EA CFBE BF

= (use trigonometría básica) lo que concluye la

demostración.

FIN DEL MODELO DE RESPUESTA