geometría en el plano

7/24/2019 Geometra en el plano

1/45


2/45

Teresa Ulecia y Roberto Canogar Curso 0 de Matemticas Especiales

2

1.Introduccin

Ren Descartes (1596-1650), filsofo y matemtico francs, es considerado el creador

de la geometra analtica. Fue l quien estableci los sistemas de coordenadas (llamadoscartesianos en su honor), relacionando de esta manera dos campos de las Matemticas, el

lgebra y la Geometra, que hasta entonces se consideraban independientes. De esta relacin

se encarga la Geometra Analtica. La idea genial de Descartes fue asociar a cada punto del

plano un par ordenado de nmeros, sus coordenadas. Con esta asociacin se podan plantear y

resolver problemas geomtricos de forma numrica. Por ejemplo a cada recta del plano (en el

cual se ha fijado un sistema de coordenadas cartesianas) le podemos asociar una ecuacin

lineal. Adems, el hecho de que dos rectas del plano se corten en un punto se puede expresar

por una condicin de compatibilidad de un sistema de dos ecuaciones lineales que determinan

a estas rectas.

Esta idea tan sencilla revolucion todas las Matemticas y el desarrollo cientfico

posterior, con numerosas aplicaciones a otras Ciencias, como la Fsica y la Mecnica.

En este tema presentaremos los fundamentos de la Geometra Analtica del Plano,

centrndonos en el estudio de los puntos y las rectas.

Objetivos

Reconocer y representar vectores en el plano.

Relacionar las componentes de un vector con las coordenadas de los puntos origen y

extremo.

Calcular grfica y analticamente sumas y restas de vectores, y el producto de un vector

por un nmero.

Determinar la ecuacin vectorial, general y explcita de una recta en el plano, y pasar de

unas a otras.

Distinguir si un punto pertenece o no a una recta.

Obtener puntos pertenecientes a una recta dada.

Determinar la posicin relativa de dos rectas.

Determinar el punto de corte de dos rectas secantes.

Hallar la ecuacin de una recta paralela (perpendicular) a otra que pase por un punto

dado.


3/45


3

2.Esquema

Vectores

Direccin,

Sentido y mdulo

Componentes Representacin

Operaciones con vectores

Suma Resta Producto

Por un nmero

Ecuaciones de la recta

Posiciones relativas de dos rectas

Un elemento clave de la geometra analtica son los sistemas de coordenadas

cartesianos, que recordaremos al inicio del tema.

Seguiremos analizando el concepto de vector y sus caractersticas: mdulo, direccin y

sentido. Veremos cmo calcular las coordenadas de un vector y a realizar operaciones con

vectores: suma, resta y producto por un nmero.

Ms tarde veremos las diferentes ecuaciones de una recta en el plano, las relaciones

entre ellas y el estudio de las posiciones de dos rectas en el plano.

Vectorial General Explcita


4/45


4

3.Pruebadeautoevaluacin inicial

1.-Los vectoresu(3,-2) yv(-6,4):

a)Tiene la misma direccin.b) Son opuestos.

c)Tienen el mismo sentido.

d)Tienen igual mdulo.

2.-El mdulo del vectoru(3,-4) es:

a)-1.

b)7.c)-7.

d)5.

3.-La ecuacin continua de la recta determinada por el punto A(1,3) y el vectorv(1,-2)

es:

a)3

2

1

1

yx

b)2

3

1

1

yx

c)2

3

1

1

yx

d)(x, y) = (1,3) + l (1,-2)

4.- Cul de los puntos siguientes pertenece a la recta determinada por P(2,1) yu(1,-

1)?a) A(4,1)

b)B(4,0)

c)C(1,1)

d)D(5,-2)

5.-La pendiente de la recta r: 3x+2y= 2 es:

a)m= 2/3b)m= -3/2


5/45


5

c)m= 2

d)m= -3

6.-Cul de los puntos siguientes NO pertenece a la recta de pendiente -2 y ordenada

en el origen 1?

a)A(-1,3)

b)B(1,-1)

c)C(2,-2)

d)D(3,-5)

7.-Una ecuacin de la recta que pasa por P (1,1) y es paralela a la recta x + 2y-1 = 0es:

a)2

1

1

1

yx

b)2x+y= 3

c)1

1

2

1

yx

d)y= 2x- 1

8.-La recta de ecuacin explcita x = 1:

a)Es paralela al eje de ordenadas

b)Es paralela al eje de abscisas

c)Tiene de ordenada en el origen -1

d)Tiene de pendiente 0

9.-Cunto ha de valer m para que las rectas r: 2x y = 1 y s: y = mx + 5 tengan la

misma direccin?

a)m = 1

b)m = 1/2

c)m = 2

d)m = -1/2

10.- Las rectas r:2x 3y= 4 y s: 2x+ 3y= 4:


6/45


6

a)Son paralelas

b)Son secantes

c)Son equipolentes

d)Son coincidentes


7/45


7

Solucionesa laPruebadeAutoevaluacin inicial

1 a

2 d

3 b

4 d

5 b

6 c

7 b

8 a

9 c

10 b


8/45


8

4.Contenidosconceptuales

CoordenadasCartesianas

Para indicar la posicin que ocupa un punto es necesario escoger un conjunto de

elementos respecto de los cuales sealar la posicin.

El conjunto de elementos que permiten indicar la posicin en el plano se llamaSistema

de referencia del planoy est formado por:

Un punto 0 llamadoorigen de coordenadas.

Dos rectas perpendiculares que se cortan en el punto de origen de coordenadas,

llamadas ejes de coordenadas:eje de abscisas o eje 0X (el horizontal) yeje de

ordenadaso eje 0Y (el vertical).

Los dos ejes son rectas graduadas, de modo que el origen de coordenadas seala el 0

en ambos ejes. Los nmeros positivos estn a la derecha del 0 en el eje de abscisas y hacia

arriba de 0 en el eje de ordenadas. Los nmeros negativos estn a la izquierda de 0 en el eje de

abscisas y hacia abajo de 0 en el eje de ordenadas.

Un punto P se representa en el plano mediante un par de nmeros (x, y) llamados

coordenadas cartesianas del punto P. x: primera coordenada oabscisasde P.

y: segunda coordenada uordenadade P.

El punto P sealado en el plano en la grfica siguiente:


9/45


9

Se representa mediante las coordenadas (2,3). El primer nmero del par (2, en el

ejemplo) es la primera coordenada o abscisas del punto P y se obtiene trazando una recta

perpendicular al eje de abscisas : el punto de corte con este eje es 2. El segundo nmero delpar (3, en el ejemplo) se denomina segunda coordenada u ordenada del punto P y se obtiene

trazando una recta perpendicular al eje de ordenadas: el punto de corte con este eje es 3.

Vectores

Las magnitudes que quedan definidas mediante un nico nmero se llaman

magnitudesescalares: longitud, tiempo, temperatura, etc.Hay otras magnitudes, lasvectoriales, como la velocidad o la fuerza, en las que no

basta con dar un valor numrico para que queden perfectamente determinadas; se necesita

conocer su direccin y sentido. Estas magnitudes se expresan mediantevectores.

Dos puntos cualesquiera A y B del plano, dados en un cierto orden, determinan un

vector fijo. Se representa por el segmento orientado AB , donde A es el origen del vector y B

es el extremo.

Elmdulodel vector AB es la longitud del segmento AB y se representa por AB.Indica el valor numrico de la medida de la magnitud.

Ladireccindel vector AB es la recta que pasa por los puntos A y B, o cualquier

paralela a ella. Por tanto, la direccin del vector AB es la misma que la del vector BA, ya que

una recta tiene una sola direccin.

Sentidodel vector AB es la orientacin que tiene el vector en la recta, es el que va

del origen al extremo y viene indicado por la punta de la flecha. As, el sentido del vector AB

es el opuesto del vector BA.


10/45


10

Vector AB

A B

Mdulo: 5cm

Direccin: la de la recta AB

Sentido: de A a B

Un vector queda perfectamente determinado cuando se conocen su mdulo,

direccin y sentido. As, todos los vectores fijos que tengan el mismo mdulo, direccin y

sentido (llamados vectores equipolentes) se consideran el mismo vector (llamado vector

libre), independientemente de su origen. En este tema trabajaremos siempre con vectoreslibres y los representaremos con una letra minscula en negrita: v.

Operacionesconvectores

1. Componentes de un vector

Se puede definir la posicin de un vector en el plano mediante sus componentes referidas a

unos ejes de coordenadas.

En la siguiente figura est representado el vector AB, de origen el punto A(2,1) y extremo elpunto B(6,4).

Para representarlo se unen ambos puntos con un segmento e indicamos el sentido del vector

con una punta de flecha que apunta a B, el extremo.

Para ir del punto A al punto B se hacen dos desplazamientos: uno horizontal a la derecha de 4

unidades y otro vertical hacia arriba de 3 unidades.

Se dice en este caso que las componentes del vector AB son 4 y 3, y se escribe AB (4,3).


11/45


11

Esas componentes se obtienen restando a las coordenadas del extremo las del origen: AB (4,3)

= AB (6-2, 4-1).

2. Mdulo de un vector

Conocidas las componentes de un vector, se puede calcular el valor de su mdulo. Para ello,

basta con hallar la hipotenusa del tringulo rectngulo cuyos catetos son las componentes del

vector. En el vector de la figura anterior:

5916 AB .

3. Suma de vectores

Para sumar grficamente dos vectores trasladamos uno de ellos paralelamente a s mismo

(obteniendo un vectorequipolenteque slo se diferencia en el origen) hasta hacer coincidir su

origen con el extremo del otro vector

El vector suma ser el que se obtiene tomando como origen el del vector no trasladado y como

extremo el del trasladado.

Tambin podemos obtener el vector suma haciendo coincidir los orgenes de los vectores en

un origen comn y construyendo con ellos, como lados, un paralelogramo. La diagonal del

paralelogramo representa el vector suma de ambos vectores.

De forma numrica o analtica, las componentes del vector suma se hallan sumando las de los

vectores que se suman. En el ejemplo anterior:

u

v u

v

vu

)3,3(AB

)2,2( CD

)1,5( CDAB

D

CA

B

Y

X


12/45


12

AB + CD = (3,3) + (2,-2) = (3+2, 3-2) = (5,1).

4. Vector opuesto. Diferencia de vectores

Dos vectores son opuestos si tienen igual mdulo y direccin pero sentidos contrarios. La

suma de dos vectores opuestos es elvector nulo(0,0). Las componentes del vector opuesto de

un vector dado son los opuestos de las componentes de dicho vector.

Restar dos vectores es sumar el primero con el opuesto del segundo. En la siguiente figura se

puede ver la resta de los vectores AB y CD:

Numricamente el resultado es:

AB CD = (4,3) (-2,2) = (4,3) + (2,-2) = (6,1).

5. Producto de un vector por un nmero

Elproducto de un vector por un nmerok es igual a la suma de k veces el mismo vector, por

lo que el resultado es un vector que cumple las siguientes condiciones:

Tiene la misma direccin que el vector

Si k > 0, tiene el mismo sentido que el vector

Si k < 0, tiene sentido opuesto al del vector

El mdulo es : ABkABk

Las componentes del producto se obtienen multiplicando por el nmero las componentes del

vector. Para AB (1,2) se tiene 2AB = (2.1, 2.2) = (2,4) y (-3)AB = (-3,-6).

)3,4(AB

)2,2(CD

)1,6( CDAB

C

DA

B

Y

X

)2,2( CD


13/45


13

Ecuacin vector ial de la r ecta

Sea A un punto fijo de una recta r y v un vector paralelo a r. En la figura siguiente se puede

observar que la recta r est determinada de forma nica por el punto A y el vector v. Este

vector se llamavector directorde la recta.

Si unimos un punto cualquiera P (x, y) de la recta r con A (a1, a2), el vector AP tiene la misma

direccin quev(v1, v2), por tanto, existir un nmero realque cumpla:

AP = v

La ecuacin anterior es la ecuacin vectorialde la recta r. Al variar se obtienen todos los

puntos P de la recta.

)2,1(AB

)6,3()3( AB

A

B

Y

X

)4,2(2 AB

A(a,b)

P(x,y)

),( 21 vvv


14/45


14

Como los puntos y los vectores tienen dos coordenadas, esta ecuacin vectorial puede

escribirse de la forma:

(x- a1, y- a2) = (v1, v2)

De esta relacin tenemos que:

(x , y) (a1, a2) = (v1, v2) (x , y) = (a1, a2) + (v1, v2).

Si A(4,3) yv(2,-2), la ecuacin vectorial es (x, y) = (4,3) +(2,-2). Dando valores ase van

obteniendo los puntos de la recta:

Para= 1 se tiene el punto de coordenadas (x, y) = (4,3) + (2,-2) = (6,1).

Para=2

1se tiene el punto de coordenadas (x, y) = (4,3) +

2

1(2,-2) = (4,3) + (1,-1) = (5, 2).

Ecuacionesparamtricasdela recta

De la forma vectorial podemos deducir otra forma de expresar la ecuacin de la recta

denominada forma paramtrica.

Para ello, se igualan las respectivas coordenadas de la ecuacin vectorial:

(x , y) = ( 1a , 2a ) + (v1, v2)

22

11

vay

vax

Si tomamos A(-1,3) yv(2,5) resulta:

53

21

y

x.

Ecuacin continu a de la r ecta

En las ecuaciones paramtricas se despeja el parmetro, y resulta al igualar:

2

2

1

1

v

axv

ax

2

2

1

1

v

ay

v

ax

Esta expresin es la forma continua o ecuacin continua de la recta.

Para el ejemplo anterior la ecuacin continua es:5

3

2

1

yx.


15/45


15

Rectadeterminadapordospuntos

Para hallar la ecuacin de la recta que pasa por dos puntos dados A(a1,a2) y B (b1, b2) basta

con tener en cuenta que el vector AB(b1- a1, b2- a2) es un vector director de la recta buscada.

Sustituyendo entonces en la ecuacin continua, resulta:

22

2

11

1

abay

abax

La denominada ecuacin de la recta que pasa por dos puntos.

Si queremos hallar la ecuacin de la recta que pasa por los puntos A(1,2) y B(3,4) sustituimos

las coordenadas de ambos puntos en la frmula anterior y se obtiene:

2

2

2

1

yx.

A(a1,a2)

B(b1,b2)),( 2211 ababAB


16/45


16

Ecuacingeneral o implcitadela recta

Si tomamos la ecuacin continua de la recta2

2

1

1

v

ay

v

ax

, quitamos los denominadores y

pasamos todo al primer miembro obtenemos:

(x-a1)v2= (y-a2)v1 xv2+ (-y v1) + (a2v1- a1v2) = 0

Si llamamosA = v2, B = - v1y C = a2v1- a1v2, queda una expresin de la forma:

Ax + By + C = 0

Que es la ecuacin general o implcita de la recta.

Si tomamos el punto P(1,2) y el vector v(-3,4) tenemos que A = 4, B = 3 y C= -10. La

ecuacin general de la recta determinada por el puntoPy el vectorves 4x + 3y -10 = 0.

Ecuacin explcitadela recta

Partiendo de la forma implcita y despejando la variable y en funcin de x, se obtiene:

Ax + By + C = 0 By= -Ax - C y

B

Cx

B

A

Llamando mB

A y

B

Cn , la expresin queda de la forma:

nmxy Que es la ecuacin implcita de la recta donde m es la pendiente y n la ordenada en el origen.

m se llama pendiente de la recta pues mB

A =

1122

v

v

v

v

.

En la figura siguiente se puede ver que este cociente es la tangente del ngulo que forma el

vector director con la horizontal, es decir, la tangente del ngulo que forma la recta con la

horizontal. Y n se llama ordenada en el origen porque es la ordenada del punto donde la recta

corta al eje OY.


17/45


17

Para la ecuacin general 4x + 3y -10 = 0, si despejamos y obtenemos la ecuacin explcita y =

3

10

3

4 x . En ella la pendiente es

3

4 y la ordenada en el origen

3

10.

Ecuacinpunto-pendientedela recta

Partiendo de la ecuacin en forma continua, llegamos a

11

22 axv

vay )( 12 axmay

Que es la ecuacin punto-pendiente de la recta.

Hemos visto que a partir de una cualquiera de las formas de la ecuacin de la recta se puede

deducir cualquiera de las otras. Normalmente se parte de la ecuacin en forma continua paradeducir las dems.

Incidenciasen el plano

1. Puntos y rectas: Un punto P(x, y) del plano es incidente con la recta r (pertenece a la

recta o la recta pasa por l) cuando sus coordenadas (x, y) satisfacen cualquiera de las

ecuaciones de r. Por ejemplo, el punto P(1,-2) pertenece a la recta r: x + y +1 = 0, ya

que al sustituirx e y por las coordenadas (1,-2) de P en la ecuacin de r, resulta unaidentidad:

v1

v2

X

Y

O

v

n

y= mx + n

m= tg


18/45


18

1 + (-2) + 1 = 0.

2. Rectas: Si dos rectas en el plano se cortan, es decir, son secantes, tienen un nico punto

en comn. Como este punto pertenece a ambas, sus coordenadas han de satisfacer las

ecuaciones de las dos rectas. El problema geomtrico de hallar la interseccin de dos

rectas es equivalente a resolver algebraicamente el sistema formado por las ecuaciones

de ambas rectas. Se tiene, entonces, que:

Sistema compatible determinado (solucin nica) Las rectas se cortan en un

punto, cuyas coordenadas son la solucin del sistema.

Sistema incompatible (no tiene solucin) Las rectas son paralelas.

Sistema compatible indeterminado (infinitas soluciones) las rectas coinciden.

Una forma para determinar la posicin de dos rectas, usando los coeficientes de la

ecuacin general, es la siguiente:

Dadas dos rectas de ecuacionesAx+By+C= 0 yAx+By+C=0:

SiB

B

A

A

las rectas son secantes.

SiC

C

B

B

A

A

las rectas son paralelas.

Si C

C

B

B

A

A las rectas son coincidentes.

Las rectas r: 2x+ 3y= 8 y s:x- 2y= -3, son secantes pues:2

3

1

2

. Si resolvemos

el sistema formado por ambas ecuaciones obtenemos como solucin x = 1,y = 2.

Por tanto el punto P(1,2) es el punto de corte de estas dos rectas. En cambio, las

rectas t:x- 3y= -2 y u:x- 3y= -4 son paralelas pues:4

2

3

3

1

1

.


19/45


19

5.Resumenterico

Sistema de referencia Est formado por:

Un punto 0 llamadoorigen de coordenadas. Dos rectas perpendiculares que se cortan en el

punto de origen de coordenadas, llamadas ejes de

coordenadas: eje de abscisas o eje 0X (el

horizontal) y eje de ordenadas o eje 0Y (el

vertical).

Coordenadas

cartesianas

Un punto P se representa en el plano mediante un par de

nmeros (x,y) llamados coordenadas cartesianas del puntoP.

x: primera coordenada oabscisasde P.

y: segunda coordenada uordenadade P.

Vector fijo Dos puntos cualesquiera A y B del plano, dados en un

cierto orden, determinan un vector fijo. Se representa por

el segmento orientado AB , donde A es el origen del

vector y B es el extremo. El mdulodel vector AB es la

longitud del segmento AB y su direccin la de la recta

que pasa por los puntos A y B, o cualquier paralela a ella.

El Sentido del vector AB es el que va del origen al

extremo.

Vector libre Es un vector fijo y todos susequipolentes(los que tienen

igual mdulo, direccin y sentido). Se representan con una

letra minscula en negrita o con una flecha encima: vo v

Operaciones con

vectores libres

La suma de vectores se obtiene grficamente

uniendo el origen del primer vector con el extremo

de un vector equipolente al segundo cuyo origen

sea el extremo del primer vector. Las componentes

del vector suma son la suma de las componentes de

los sumandos.

Restardos vectores es sumar al primero el opuesto


20/45


20

del segundo. El vector opuesto a uno dado es el

que tiene sentido opuesto a l y por componentes

los opuestos de las componentes.

El producto de un nmero k por un vector es

otro vector de la misma direccin y cuyo mdulo es

k veces el del vector. Si k > 0 tendrn el mismo

sentido y si k < 0 tendrn sentidos contrarios.

Ecuacin vectorial de

la recta

Dados un puntoA(a1,a2)y un vector directorv(v1,v2)la

ecuacin vectorial de la recta que determinan es:

(x, y) = (a1,a2) + (v1,v2)

Ecuaciones

paramtricas de la

recta

Dados un punto A(a1,a2) y un vector director v(v1,v2)

las ecuaciones paramtricas de la recta que determinan

son:

22

11

vay

vax

Ecuacin continua de

la recta


ecuacin continua de la recta que determinan es:

2

2

1

1

vay

vax

Ecuacin de la recta

determinada por dos

puntos

Dados dos puntosA(a1,a2)y B (b1,b2)la ecuacin de la

recta que determinan es:

22

2

11

1

ab

ay

ab

ax

Ecuacin general o

implcita de la recta


ecuacin general o implcita de la recta que determinanes:

Ax + By + C = 0,

SiendoA = v2,B = - v1 yC = a2v1- a1v2

Ecuacin explcita de

la recta

La ecuacin explcita de la recta es y = mx + n, donde

mes la pendiente ynla ordenada en el origen.

Ecuacin punto-

pendiente de la recta

La ecuacin punto-pendiente de la recta es )( 12 axmay ,

donde m es la pendiente yA (a1,a2)un punto de la recta.


21/45


21

Incidencias en el

plano

Punto-Recta: Un puntoP(x ,y)pertenece va una recta si

sus coordenadas verifican la ecuacin de la recta.

Recta-Recta: Dos rectas en el plano se cortan, son

paralelas o coinciden. Para estudiar su posicin relativa se

resuelve el sistema formado por sus ecuaciones. Si ste es

incompatible, las rectas son paralelas; si es compatible

determinado, se cortan y si es compatible indeterminado,

son coincidentes.

Dadas dos rectas de ecuaciones Ax + By + C= 0 yAx +

By+C=0:

SiBB

AA

las rectas son secantes.

SiC

C

B

B

A

A

las rectas son paralelas.

SiC

C

B

B

A

A

las rectas son coincidentes.


22/45


22

6.Actividades resueltas

1.1Qu caracterstica comn tienen los siguientes puntos sealados sobre el eje de

abscisas? Y los puntos sealados sobre el eje de ordenadas?

Solucin:

Las coordenadas de los puntos sobre el eje de abscisas son: A(3,0); B(5,0); C(-3,0);

D(-1,0).

Las coordenadas de los puntos sobre el eje de ordenadas son: P(0,-4); Q(0,1); R(0,3);S(0,5).

Los puntos situados sobre el eje de abscisas tienen la segunda coordenada igual a 0.

Los puntos situados sobre el eje de ordenadas tienen la primera coordenada igual a 0.

1.2Dibuja unos ejes de coordenadas y representa los puntos A(2,-1); B(-2,5);

C(-1,-1); D(0,0); E(4,0).

Solucin:

P(0,-4)

A(3,0)

B(5,0)C(-3,0)

Y

XD(-1,0)

Q(0,1)

R(0,3)

S(0,5)

A(2,-1)

B(-2,5)

E(4,0)

Y

X

C(-1,-1)

D(0,0)


23/45


23

1.3Indica las coordenadas de cada uno de los puntos sealados en el plano siguiente:

Solucin:

A(2,4); B(-3,-1); C(5,-1); D(-4,2); E(3,1).

1.4Dibuja sobre los ejes de coordenadas cuatro puntos cuya abscisa o cuya ordenada

tengan valor absoluto igual a 4. Qu figura forman estos puntos?.

Solucin:

A

B

E

Y

X

C

D

A(4,0)

B(-4,2)

C(-2,-4)

Y

X

D(3,4)


24/45


24

1.5Dibuja en el plano un cuadriltero de vrtices P(2,3); Q(1,5); R(-2,6); S(-1,-3).

Solucin:

2.6Indica cules de las siguientes magnitudes son escalares y cules vectoriales:

a)La altura de una habitacin.

b)La fuerza que hay que hacer para abrir una puerta.

c)La velocidad de un tren.

Solucin:

La altura de una habitacin es una magnitud escalar pues queda perfectamente

determinada por un nico nmero. En cambio, las otras dos son magnitudes vectoriales

ya que el efecto de una fuerza depende de la direccin en que la apliquemos y respectoa la velocidad del tren, no es igual desplazarse a una cierta velocidad en una direccin

o en otra.

2.7 Un vector tiene por origen el punto A(1,-3) y por extremo el punto B(-5,2),

Cules son sus componentes?

Solucin:

Las componentes las obtenemos restando a las coordenadas del extremo, B, las delorigen, A:

P(2,3)

R(-2,6)

S(-1,-3)

Y

X

Q(1,5)


25/45


25

AB(-5-1, 2+3) = AB(-6,5).

2.8 Completa la siguiente tabla:

Origen Extremo Componentes

(3,2) (2,-1)

(3,-1) (2,3)

(0,3) (1,4)

Representa en el plano los tres vectores.

Solucin:

Origen Extremo Componentes

(3,2) (2,-1) (-1,-3)

(1,-4) (3,-1) (2,3)

(0,3) (1,7) (1,4)

2.9 Representa en el plano los puntos A(2,4); B(6,7); C(-1,8) y D(-4,-4).

a) Halla las coordenadas de los vectores AB, AC y AD.

b) Idem para los vectores BA, CA y DA.

c) Cmo son entre s los vectores AB y BA?.

d) Calcula el mdulo de los vectores AC y AD.

Y

X


26/45


26

Solucin:

a) AB(6-2,7-4) = AB(4,3); AC(-1-2,8-4) = AC(-3,4) y AD(-4-2,-4-4) = AD(-6,-8).

b) BA(2-6,4-7) = BA(-4-3); CA(2+1,4-8) = CA(3,-4) y DA(2+4,4+4) = AD(6,8).

c) Son vectores opuestos, tiene igual mdulo y direccin pero sentido opuesto.

d) 516943 22 AC y 10643686 22 AD .

2.10Dado un tringulo cuyos vrtices son los puntos A(1,2), B(3,6) y C(-2,4), halla

las longitudes de sus lados.

Solucin:

Las longitudes de los lados coinciden con los mdulos de los vectores AB, BC y CA.

52164 AB , 29425 BC y 1349 CA .

2.11 Representa en el plano el vector u (1,3) con el origen en el punto A(2,-1) y

calcula su mdulo.

Solucin:

El vectoru es un vector libre de componentes (1,3). De los infinitos vectores fijos con

estas componentes, debemos representar aquel cuyo origen sea el punto A(2,-1). Esdecir, se trata de buscar el punto extremo B del vector AB(1,3) conociendo A.

Y

X

A(2,4)

B(6,7)

C(-1,8)

D(-4,-4)


27/45


27

Sea B(b1,b2), se tiene que

13

21

2

1

b

b

2

3

2

1

b

b. Grficamente:

El modulo dev: 1091 v .

2.12Dibuja un vector equipolente al anterior cuyo extremo sea el punto B(4,1).

Solucin:

De manera anloga a cmo hicimos en el ejercicio anterior, calculamos las

coordenadas del punto origen A(a1,a2):

2

1

13

41

a

a

22

31

a

a. Grficamente:

2.13Indica las componentes y calcula el mdulo de los vectores de la figura.

A(2,-1)

B(3,2)

Y

X

u(1,3)

A(3,-2)

B(4,1)

Y

Xu(1,3)


28/45


28

Solucin:

a) Las componentes del vectorason (-2,3) y su mdulo 133)2( 22 .

b) Las componentes del vectorbson (-2,0) y su mdulo 20)2( 22 .

c) Las componentes del vectorason (2,4) y su mdulo 5242 22 .

3.14Dibuja los puntos A(0,0); B(2,-3) y C(4,2) y calcula grfica y numricamente las

sumas de los vectores AB + BC y BC + CA.

Solucin:

Numricamente:

AB(2-0,-3-0) = AB(2,-3); BC(4-2,2+3) =BC(2,5)

AB + BC (2+2,-3+5) = AB+BC(4,2) = AC

Y

X

a b

c

A(0,0)

B(2,-3)

Y

X

AB

C(4,2)

BC

CA


29/45


29

BC(4-2,2+3) = BC(2,5); CA(0-4,0-2) =CA(-4,-2)

BC + CA (2-4,5-2) = BC+CA(-2,3) = BA

3.15Un vector tiene por origen el punto A(3,-1) y por extremo el punto B(-2,5).

a)Cules son sus componentes?

b)Qu componentes tiene el vector suma del vector AB y el vector CD(2,1)?

Solucin:

a) Las componentes del vector AB son: (-2-3,5+1) = (-5,6).

b) El vector suma AB+CD(-5+2,6+1) = AB+CD(-3,7).

3.16Considera los vectoresu(3,-2),v(4,-6) yw(2,3) y calcula analticamente:

a) u-v

b)2u+3v

c)3u-4v

Solucin:

d) u-v:

(3-4,-2+6) u-v(-1,4)

e) 2u+3v:

2(3,-2) + 3(4,-6) = (6,-4) + (12,-18) = (18, -22) 2u+3v(18, -22).

f) 3u-4v:

3(3,-2) -4(4,-6) = (9,-6) + (-16,24) = (-7, 18) 3u-4v(-7, 18).

3.17Dados los vectores u(-3,-1),v(4,-2) yw(5,0), calcula:

a)|u+v|

b) |w-2

1v|

Solucin:

a) u+v =(-3,-1) + (4,-2)=(-3+4,-1-2) = (1,-3) |u+v| = 1031 22 .

b) w-21 v =(5,0)-

21 (4,-2) = (5-

21 4,0-

21 (-2)) = (3,1) |w-

21 v|= 1013 22 .


30/45


30

3.18 Representa con origen en (0,0) los vectores u(3,0), v(-2,0) y w(0,4) y calcula

grficamente u+w, u+v y u-v. Sus mdulos, son la suma de los mdulos de los

vectores sumandos?

Solucin:

a) La suma u+w = x(3,4) es un vector de mdulo |x| = 5169

. Como |u| =309 y|w| = 4160 |u+w||u|+|w|.

b) La suma u+v (vectores de la misma direccin y sentido contrario) es el vector

y(1,0) y tiene la misma direccin, sentido el del mayor (u) y mdulo la diferencia

de los mdulos, en este caso, 1.

c) La diferencia u-v(vectores de la misma direccin y sentido contrario) es el vector

z(5,0) y tiene la misma direccin, sentido el del mayor (u) y mdulo la suma de los

mdulos, en este caso, 5.

3.19Justifica si son ciertas o falsas las siguientes afirmaciones:

a) El producto de un vector por un nmero negativo es un vector con mdulo

negativo.

b)El producto de un vector por el nmero 0 nos da el vector nulo.

c) El producto de un vector por un nmero positivo nos da un vector con el mismo

mdulo pero diferente sentido.

v(-2,0)

w(4,0)

Y

Xu(3,0)

u+w

u-vu+v


31/45


31

Solucin:

a)Falsa: El mdulo de un vector es siempre un nmero positivo. Cuando se multiplica

un vector por un nmero negativo lo que se obtiene es un nuevo vector con sentido

contrario.

b)Verdadera: Siempre se obtendr el vector de componentes (0,0).

c) Falsa: Al multiplicar un vector por un nmero positivo k se obtiene otro de igual

sentido y cuyo mdulo es k veces el mdulo del vector.

4.20Dada la recta de ecuacin (x , y) = (1 , -1) + (3, 2):

a)Obtn un vector directorb)Obtn un punto de la recta.

Solucin:

a) La recta est expresada en forma vectorial por tanto las coordenadas de un vector

director son el par (3,2) que multiplica al parmetro.

b)Anlogamente, las coordenadas del punto pedido las forman el otro par (1,-1).

4.21Calcula la ecuacin vectorial de la recta que pasa por el punto P(2,4) y tiene por

vector director el vector AB, siendo A(3,2) y B(-1,0). El punto Q(1,1) pertenece a

dicha recta?.

Solucin:

El vector AB tiene de coordenadas (-1-3,0-2) = (-4,-2). Aplicamos la expresin de la

ecuacin vectorial de la recta:

(x , y) = (a1, a2) + (v1, v2)

Paraa1= 2,a2= 4,v1 = -4 yv2= -2 y resulta:

(x , y) = (2 , 4) + (-4, -2).

Si el punto Q es uno de los de esta recta, sus coordenadas deben verificar su ecuacin:

(1 , 1) = (2 , 4) + (-4, -2)

241

421

2

34

1

.

El punto Q no pertenece a la recta pues no puede tomar dos valores distintos.


32/45


32

5.22Dada la recta de ecuacin2

4

1

1

yx:

a)Obtn un vector director

b)Obtn un punto de la recta.

c)Pertenece el punto P(3,5) a la recta?

Solucin:

a) Como la ecuacin de esta recta es la continua, un vector director est formado por

los denominadores, v (-1,2).

b) Un punto lo forman los sustraendos de los numeradores: P(1,4).

c) Sustituyendo las coordenadas (3,5) del punto en la ecuacin resulta:

21

13

y

2

45 =

2

1

Los resultados son distintos El punto no pertenece a la recta.

5.23Halla la ecuacin continua de la recta que pasa por el punto P(2,1) y es paralela a

la recta1

2

4

3

yx.

Solucin:

Ya que ambas rectas son paralelas, un vector director de la recta que buscamos puede

ser el mismo que el de la recta dada:v(-4,-1). Como pasa por el punto P(2,1), resulta la

recta de ecuacin:

1

1

4

2

yx.

6.24Halla la ecuacin de la recta que pasa por los puntos P(3,2) y Q(-1,5).Solucin:

Un vector director de esta recta es el PQ cuyas coordenadas son: (-1-3, 5-2) = (-4,3).

Sustituyendo estas coordenadas y la de uno de los puntos en la ecuacin continua

resulta:

3

2

4

3

yx.


33/45


33

7.25 Halla la ecuacin general de la recta que pasa por el punto P(1,7) y tiene por

vector director v(2,1).

Solucin:

La ecuacin general es de la forma

Ax + By + C = 0,

SiendoA = v2,B = - v1 yC = a2v1- a1v2. CalculamosA,ByC:

A= 1,B= -2 yC= 7.2-1.1= 13.

Sustituyendo resulta:

x- 2y+13 =0.

7.26Hala la ecuacin continua y general de la recta que pasa por los puntos P(2,-3) y

Q(2

1, -1).

Solucin:

Veamos primero un vector director.

Puede ser el vector PQ (

2

1-2,-1+3) = PQ(-

2

3, 2).

Sustituyendo el punto P y este vector en la forma continua obtenemos:

2

3

2

32

yx.

Quitando denominadores y operando, resulta la forma general:

2

3

3

42

yx 9384 yx 4x+ 3y+1 = 0.

8.27Dada la recta de ecuacin2x+ 3y - 6=0:

a)Calcula la ecuacin explcita.

b)Averigua si el punto P(-3,4) pertenece a esta recta.

Solucin:

a)Despejando la variabley:

23

2

xy .


34/45


34

b)Al sustituir las coordenadas del punto P en esta ecuacin resulta una identidad:

233

24

por tanto, este punto es de esta recta.

8.28Dados los puntos P(3,4) y Q(-6,2):

a) Halla la ecuacin general y explcita de la recta r que pasa por ambos.

b) Obtn otros dos puntos de dicha recta.

c) Averigua si el punto R(-1,-2) pertenece a dicha recta.

Solucin:

a)Si tomamos como punto de referencia P (3,4) y como vector director el vector PQ

(-6-3,2-4) = (-9,-2), la ecuacin continua es:

2

4

9

3

yx

Operando se pasa a la ecuacin general:

36962 yx 03092 yx

Y despejando y, a la ecuacin explcita:

9

30

9

2 xy .

b)Si 1x :9

32

9

301.

9

2y . El punto A(1,

9

32) es de la recta r.

Para x= 0: y =9

30. El punto B(0,

9

30) es tambin de la recta r.

c)Si 1x : 9

28

9

301.

9

2y . El punto R(-1,-2) no es de la recta r.

9.29Dada la rectay= 3x-1:

a)Cul es el valor de la pendiente? Y el de la ordenada en el origen?.

b)Halla la ecuacin general de dicha recta.

c)Obtn dos puntos de la recta.

Solucin:


35/45


35

a)La pendiente esm= 3 (coeficiente de laxen la ecuacin explcita) y la ordenada en

el origennes -1 (trmino independiente en la ecuacin explcita).

b)Para hallar la ecuacin general basta con pasar todos los trminos al miembro de la

derecha:

-3x+y+1 = 0.

c)Para x= 0: y =-1. El punto A(0,-1) es de esta recta.

Para x =1: y = 2. El punto B(1,2) es de la recta.

9.30Dada la ecuacinx-y= 5:

a)Calcula la ecuacin explcita.b)Halla la pendiente y la ordenada en el origen.

c)Halla un vector paralelo a dicha recta.

Solucin:

a) Despejandoyse obtiene la ecuacin explcita:y=x-5.

b)La pendiente esm= 1 (coeficiente de laxen la ecuacin explcita) y la ordenada en

el origennes -5 (trmino independiente en la ecuacin explcita).

c)Como en la ecuacin general:A = v2yB = - v1 entonces,

xy-5 = 0 v1 =1 yv2 =1.

El vectorv(1,1) es paralelo a la recta.

9.31 Halla en todas sus formas la ecuacin de la recta que pasa por el punto P(3,1) y

es paralela a la rectax+ 2y-1=0.

Solucin:

Hallamos un vector director:x+2y-1 = 0 v1 =-2 yv2 =1.

La ecuacin vectorial: (x,y) = (3,1) +(-2,1).

La ecuacin continua:1

1

2

3

yx.

La ecuacin general: 223 yx 052 yx .

La ecuacin explcita:2

5

2

1 xy .


36/45


36

10.32 En los siguientes casos, calcular la recta paralela a r que pasa por el punto P.

a)r: -3x+5y-2=0 ; P(1,2)

b)r: -x+5y-1/2=0 ; P(1,1)

c)r: ; P(1,3)

Solucin:

a)Un vector director es el de la recta r, es decirv(-5,-3). Como pasa por P(1,2),

una ecuacin continua sera:

3

2

5

1

yx.

b)Anlogamente, un vector director es el de la recta r, es decirv(-5,-1). Como

pasa por P(1,1), una ecuacin continua sera:

1

1

5

1

yx.

c)Un vector director es el de la recta r, es decirv(-1,2). Como pasa por P(1,3),

una ecuacin continua sera:

2

3

1

1

yx.

10.33Hallar los posibles puntos comunes de cada par de rectasa)

b)

c)

d)

e)

f)

Solucin:

a)

022

03

x

yx

1

03

x

yx

1

4

x

y

P(1,-4)

b)

542

642

yx

yx

Rectas paralelas, no tienen ningn punto

comn.


37/45


37

c)

0323

0323

yx

yx

Rectas coincidentes, tienen todos los

puntos comunes.

d)

0121002210

yxyx

Rectas paralelas, no tienen

ningn punto comn.

e)

0325

0325

yx

yx

Rectas coincidentes, tienen todos los

puntos comunes.

f)

032

033

y

yx

2

3033

y

yx

2

32

15

y

x

)2

3,

2

15(P

.


38/45


38

7.Actividadespropuestas

1. Representa en el plano los puntos A(1,6); B(2,-1); C(-2,-2); D(3,0); E(0,4).

2. Indica las coordenadas de cada uno de los puntos sealados en el plano siguiente:

3. Dibuja en cada cuadrante de un plano cinco puntos cuya abscisas y cuya ordenada

tengan el mismo valor absoluto. Qu figura forman estos puntos?.

4. Dibuja en el plano un tringulo de vrtices O(0,0); A(3,4); B(-2,6).

5. Indica cules de las siguientes magnitudes son escalares y cules vectoriales:

a)El peso de una mesa.

b)La aceleracin de un vehculo.

c)El volumen de agua de una piscina.

6. Representa en el plano los puntos A(0,4); B(6,-1); C(-1,-1) y D(4,-4).

a) Halla las coordenadas de los vectores AB, AC y AD.

b) Calcula el mdulo de los vectores AC y AD.

7. Dado un cuadriltero cuyos vrtices son los puntos A(2,2), B(0,5), C(-2,4) y

D(1,2) halla su permetro.

8. Dados A(1,2), B(4,3) y C(0,1) Qu vector une A con B, y A con C?.


39/45


39

9. Representa en el plano el vectorv (-3,0) con el origen en el punto A(1,2) y calcula

su mdulo.

10.Dibuja un vector equipolente al vectorv(2,-3) cuyo origen sea el punto A(1,1).

11.Considera los vectores u(1,0), v(-1,3) y w(2,-3), calcula las coordenadas de los

vectores:

a) u + 3(v+w)

b) v (w+2u)

c)3

2u -

2

1w

12.Dados los vectoresu(-1,a) yv(b,2). Calcula a y b para que:

a) Al restarlos se obtenga el vector (5,-3).

b) Al sumarlos se obtenga el vector nulo.

c) Tengan el mismo mdulo.

13.Halla la ecuacin continua, general y explcita de la recta que pasa por el punto

A(4,-2) y es paralela al vectorv(2,1).

14.Halla la ecuacin explcita de la recta que pasa por el punto A(4,-7) y tiene de

pendientem= 2.

15.Calcula para qu valores de a y b la recta r de ecuacin: 2x-y= 0 es paralela a la

recta s de ecuacin: ax-2by+ 1=0

16.Determina la ecuacin de una recta que pasa por el punto A(1,0) y tiene la mismapendiente que la recta que pasa por P(3,-2) y Q(-1,4).

17.Halla si los puntos A(-1,2), B(2,6) y C(8,14) estn alineados y obtn, si es posible,la ecuacin de la recta que pasa por ellos.


40/45


40

18.Determina la posicin de cada par de rectas. Si son secantes obtn su punto decorte.

a) r: 3x+ 2y= 1; s: 6x+ 4y= -1

b) r:x-y= 2; s: 2x+y= 0

19.a) Pertenece P(2,3) a la recta con ecuacin paramtrica ?

b) Pertenece P(1,-2) a la recta con ecuacin implcita x-2y=5 ?

20.Halla la ecuacin continua de la recta que pasa por el punto de corte de las rectas

r:x+y= 0 y s: 2x-3y= -1, y es paralela a la recta t:12

43

yx

.


41/45


41

8.Bibliografa

Matemticas. lgebra-Clculo-Geometra-Probabilidad Serie Schaum. ED.

McGrauw-Hill.Matemticas. 3 ESO. Ed. Edelvives.

Matemticas. 4 ESO. Opcin B. Ed. MCGraw-Hill.

Matemticas. 4 ESO. Opcin A. Ed. SM.

Problemas de Matemticas Especiales(1989) Cuadernos de la UNED, n 80.

Problemas de Matemticas Especiales(1995). M E. Ballv y otros. Ed. Sanz y

Torres. Madrid

www.maristasleon.com/MATEMATICAS/4eso/mat4eso.htm

http://actividadesinfor.webcindario.com/autoevaluacion3.htm


42/45


42

9.Pruebadeautoevaluacin final

1.-Los vectoresu(1,-2) yv(1,2):

a)Tiene la misma direccin.b) Son opuestos.

c)Tienen el mismo sentido.

d)Tienen igual mdulo.

2.-El mdulo del vectoru(6,-8) es:

a)-2.

b)10.c)-10.

d)2.

3.-La ecuacin continua de la recta determinada por el punto A(0,2) y el vectorv(-1,3)

es:

a)31

2 yx

b)3

2

1

yx

c)2

3

0

1

yx

d)(x, y) = (0,2) + l (-1,3)

4.- Cul de los puntos siguientes pertenece a la a la recta determinada por P(0,3) y

u(1,2)?a) A(7,2)

b)B(5,1)

c)C(1,5)

d)D(2,5)

5.-La pendiente de la recta r: 3xy= 2 es:

a)m= 2b)m= -2


43/45


43

c)m= -3

d)m= 3

6.-Cul de los puntos siguientes no pertenece a la recta de pendiente 2 y ordenada en

el origen -3?

a)A(2,1)

b)B(3,3)

c)C(0,-3)

d)D(1, 1)

7.-Una ecuacin de la recta que pasa por P (1,-1) y es paralela a la recta 3x+ 2y-5 = 0es:

a)2

3

3

1

yx

b)2x+ 3y-2 = 0

c)3

1

2

1

yx

d)y= 3x- 4

8.-La recta de ecuacin explcita y = 1:

a)Es paralela al eje de ordenadas

b)Es paralela al eje de abscisas

c)Tiene de ordenada en el origen -1

d)Tiene de pendiente 1

9.-Cunto ha de valer m para que las rectas r: 2x 3y = 8 y s: y =mx + 5 tengan la

misma direccin?

a)m =2

3

b)m =-2

3

c)m =3

2


44/45


44

d)m = -3

2

10.- Las rectas r:x 3y= 4 y s: 2x 6y+3=0:a)Son paralelas

b)Son secantes

c)Son equipolentes

d)Son coincidentes


45/45


Solucionesa laPruebadeAutoevaluacin final

1 d

2 b

3 b

4 d

5 d

6 c

7 c

8 b

9 c

10 b

geometría en el plano

Documents