Geometría analítica

Matemáticas preuniversitarias

Dra. Lourdes Palacios &

M. IB. Norma Castañeda

Distancia entre dos puntos

En una carta de navegación el origen se sitúa en un puerto. Un barco se encuentra en el punto (-5, 6) y otro en el (2, 3). ¿Qué distancia hay entre ellos, si las unidades de la carta corresponden a kilómetros?

Solución:

Construimos al triángulo rectángulo que tiene como hipotenusa al segmento que une los puntos (-5,6) y (2,3), como se muestra en la siguiente figura.

Las longitudes de los catetos son:7)5(2 363

Recordemos que el teorema de Pitágoras establece:

“En un triángulo rectángulo el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos”.

94937 22

6.758

Los dos barcos se encuentran a una distancia que es aproximadamente de 7.6 kilómetros.

Ahora, sean A(x1,y1) y B(x2,y2), dos puntos cualesquiera cuyas parejas de coordenadas se encuentran en el plano cartesiano como se muestra en la figura.

Se tiene también un punto C de coordenadas (x2,y1). Al fragmentar la recta por los puntos dados se tiene:

12 xxAC

12 yyCB

Además la distancia que se busca es la comprendida por el segmento:

ABdAB

El punto C servirá de referencia para construir un triángulo rectángulo ACB, de donde se puede establecer con el teorema de Pitágoras.

222 ABCBAC

Reconocemos aquí los catetos y la hipotenusa del triángulo. Sustituyendo se tiene:

12 xxAC

12 yyCB

2

12

2

12

2yyxxd AB

Como interesa saber la distancia, se toma la raíz cuadrada de ambos miembros, para eliminar los cuadrados.

2

12

2

12 yyxxd AB

Ejercicio 1.

Calcula la distancia entre los puntos A y B cuyas coordenadas son (3, 2) y (-3, -1) respectivamente.

Solución: Paso 1 Traza un plano cartesiano

Paso 2 Coloca en él los puntos dados y únelos para visualizar la distancia a calcular.

Paso 3 Se designa al punto A como inicial y se aplica la fórmula dada.

22 1233 ABd

45ABd

O bien, si designamos a B como el punto inicial se tiene:

22 2133 BAd

45BAd

Como puedes observar la distancia es la misma. No pueden obtenerse resultados diferentes. Respeta los signos negativos de la fórmula así como los valores de cada par de coordenadas, recuerda que esto te evitará cometer errores.

EjemploUn análisis muy peculiar para obtener la fórmula del área de una elipse lo

concibió el físico Kepler, el cuál apoyándose de un material uniformemente elástico y de los conceptos de razón y proporción, obtuvo el área de una elipse, como se expone a continuación.

En un material uniformemente elástico se traza un cuadrado y una circunferencia inscrito en éste, como se muestra en la siguiente figura:

Y luego se aplica una fuerza uniforme en ambos lados (izquierdo y derecho) de dicho material, el cuadro se transformará en un rectángulo y la circunferencia en una elipse, tal y como se muestra a continuación:

Fuerza uniformemente aplicada en ambos extremos

Observando ambas figuras se puede establecer la siguiente relación

Aelipse

oArectángul

enciaAcircunfer

Acuadrado

De geometría plana se sabe directamente las fórmulas que definen las áreas del cuadrado la del rectángulo y la de la circunferencia; por lo que el área a determinarse es la de la elipse. Sustituyendo valores, se tiene:

abAelipser

rabAelipse

Aelipse

ab

r

r

2

2

2

2

4

444

Que corresponde a la fórmula que define el área de una elipse.

División de un segmento en una razón dada

Si C1(x1, y1) y C2(x2, y2) son los extremos de un segmento de recta, y además un punto C(x, y) divide a tal segmento en una razón dada por la expresión que se muestra a continuación,

se puede decir que las coordenadas del punto C están dadas por:

CCCCr

2

1

1;1

,1

2121

rr

ryyy

r

rxxx

Demostración

Considere la figura

Por triángulos semejantes

Factorizando

Finalmente se tiene:

Al despejar x12 xxrxrx

21)1( rxxrx

r

rxxx

1

21

rCC

CC

2

1

xx

xxr

2

1

Análogamente para y

Que corresponde a las coordenadas del punto C(x, y)

Ejemplo: Encuentre la pareja de coordenadas de un punto A, que divide al segmento determinado por E(-1, 6) y F(3, -3) en la razón r = ¾.

r

ryyy

1

21

Solución

La coordenada x, según la expresión

Análogamente para la coordenada y,

Las coordenadas del punto A serán

7

5

4

31

34

31

x

7

15

4

31

34

36

x

7

15,

7

5

r

rxxx

1

21

r

ryyy

1

21

Punto medio de un segmento de recta

Un caso particular que encontramos, es cuando r=1, en las ecuaciónes:

Que se conoce como punto medio

Dichas ecuaciones se reducen a lo siguiente:

r

rxxx

1

21

r

ryyy

1

21

221 xx

x

221 yy

y

Ejemplo: Determina las coordenadas del punto medio del segmento comprendido por los puntos C(3, 6) y D(-4, -2).

Solución: Identificando al punto C como punto inicial se tiene:

Por lo tanto las coordenadas del punto medio son:

2

1

2

43

x

22

26

y

2,

2

1A

Ejercicio 1:Con lo que sabes hasta ahora, puedes ayudar al herrero Abundio a fabricar una escalera. Abundio quiere que la escalera mida tres metros de largo, y desea colocarle nueve peldaños. ¿Cómo determinarías a qué distancia debe poner cada peldaño si el tramo de material está en posición horizontal como se muestra en la figura?

Solución

Tomamos x1=0 y x2=3.

Sustituyendo valores

mx 7.210

27

91

3*90

r

rxxx

1

21Como

Para determinar la distancia a la cual se debe colocar cada peldaño lo que se hace es restar de la longitud total del material el valor obtenido de x.

m3.07.23

Por tanto cada peldaño lo debe colocar a 0.3 m de separación.

Ejercicio 2:

Un albañil se dispone a trazar y construir una escalera, la cual debe tener seis escalones en un espacio definido como el que se muestra en la figura, cómo ayudarías al albañil a determinar las dimensiones de la plantilla y altura de la misma.

Solución

La forma más práctica de poder ayudarlo sería el concepto de división de segmento en una razón dada, que de acuerdo con lo observado en la figura tendría la siguiente forma para obtener el valor de la plantilla.

m

r

rxxx

416.012

5

12

25

2

512

25

512

550

121

En forma semejante para determinar la altura

Para comprobar que las mediciones obtenidas son las correctas se hace a través de los productos:

m

r

ryyy

25.012

3

12

15

2

312

15

512

350

121

m5.22

56

12

5

m5.12

36

12

3

Pendiente de una recta (comprendida entre dos puntos)

Se define como pendiente de una recta, al grado de inclinación que dicha recta posee con respecto a un sistema de referencia, o coordenado.Matemáticamente se dice que la pendiente de una recta es una diferencia de ordenadas entre una diferencia de abscisas, y se denota convencionalmente con la literal m.

12

12

xx

yym

Considere la figura

Del triángulo ABC

Al sustituir ( ) y ( ) en ( ) se obtiene:

AC

BCtan 12 yyBC 12 xxAC ( )

12

12

xx

yytan

( ) ( )

Como se puede observar la tan=m, que es la pendiente de la recta, por tanto se tienen la ecuación siguiente:

Donde tan=m

Por esta igualdad, se suele decir que la pendiente de una recta se define como la tangente de su ángulo de inclinación.

12

12

xx

yym

)(1 mtan

Tres consideraciones acerca de la pendiente de una recta

• Cuando m es positiva, 0<<90º, puesto que y2-y1>0 y x2-x1>0.

• Cuando m es negativa, 90º<<180º, puesto que y2-y1>0 y x2-x1<0

• Si =0º=180º=360º, o bien , =90º=270º, para el primer caso se dice que dicha recta no tiene pendiente, m=0, pues se trata de un recta horizontal, también puede decirse que su pendiente es nula, matemáticamente y2-y1=0, m=0. Para el segundo caso se dice que la pendiente está indeterminada, pues se está tratando con una recta vertical, matemáticamente se dice x2-x1=0, por tanto el cociente que define m, es indeterminado (lo cual puede verificarse por propiedades de números reales y en la calculadora).

Ejercicio 3:La gráfica mostrada

pertenece a las ventas (en miles de pesos) de cierto producto (en centenas) en los siete meses que se indican desde el día de su lanzamiento. A partir del concepto de pendiente di cuántas veces las ventas han sido positivas, cuántas negativas o no han sufrido cambios.

0

1

2

3

4

5

6

7

8

1 2 3 4 5 6 7

Producto (centenas)

Ve

nta

s (

pe

so

s)

E F M A M J J

Solución

La pendiente se define como una diferencia de ordenadas (ventas) entre una diferencia de abscisas (producto). Teniendo en consideración lo anterior, se procede a calcular las pendientes correspondientes entre cada mes, a partir de su lanzamiento al mercado.

La pendiente entre enero y febrero

51

5

12

16

EFm

febrero y marzo

marzo y abril

abril y mayo

mayo y junio

Finalmente entre junio y julio

11

1

23

67

FMm

01

0

34

77

MAm

31

3

45

74

AMm

21

2

56

46

MJm

11

1

67

65

JJm