geometrÍa analÍtica en el espacio (rectas … · esta manera cada punto del espacio queda...
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GEOMETRÍA ANALÍTICA EN EL ESPACIO (RECTAS Y PLANOS)
PUNTOS Y VECTORES EN EL ESPACIO
En el espacio, a cada punto 𝑷 se le asignan tres
números 𝑷(𝒑𝟏, 𝒑𝟐, 𝒑𝟑) , que se llaman
coordenadas del punto y que expresan la
posición exacta en la que se encuentra respecto de
los tres ejes de referencia, el eje 𝑿, el eje 𝒀 y el 𝒁.
Al vector que une el origen de coordenadas con el
punto 𝑷 , se llama vector de posición del punto ,
identificándose las coordenadas del vector de
posición con las del punto 𝑶𝑷⃗⃗⃗⃗⃗⃗ (𝒑𝟏, 𝒑𝟐, 𝒑𝟑) . De
esta manera cada punto 𝑷 del espacio queda
determinado por su vector de posición 𝑶𝑷⃗⃗⃗⃗⃗⃗ .
Las coordenadas del vector 𝑨𝑩⃗⃗⃗⃗⃗⃗ , que tiene
por origen el punto 𝑨(𝒂𝟏, 𝒂𝟐, 𝒂𝟑) y por
extremo el punto 𝑩(𝒃𝟏, 𝒃𝟐, 𝒃𝟑) , se calculan
restando a las coordenadas del extremo las del
origen.
El la figura de la izquierda, se puede ver que:
𝑶𝑩⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝑶𝑨⃗⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝑨𝑩⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⟹ 𝑨𝑩⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝑶𝑩⃗⃗⃗⃗⃗⃗ − 𝑶𝑨⃗⃗⃗⃗⃗⃗
𝑨𝑩⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = (𝒃𝟏, 𝒃𝟐, 𝒃𝟑) − (𝒂𝟏, 𝒂𝟐, 𝒂𝟑)
𝑨𝑩⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = (𝒃𝟏 − 𝒂𝟏, 𝒃𝟐 − 𝒂𝟐, 𝒃𝟑 − 𝒂𝟑)
Ejemplo. El vector 𝑨𝑩⃗⃗⃗⃗⃗⃗ de origen el punto 𝑨(−𝟐, 𝟑,−𝟏) y extremo el punto 𝑩(𝟒, 𝟐, 𝟔),
tiene de coordenadas : 𝑨𝑩⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = (𝟒 − (−𝟐), 𝟐 − 𝟑, 𝟔 − (−𝟏)) ⟹ 𝑨𝑩⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = (𝟔,−𝟏, 𝟕)
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ECUACIONES DE LA RECTA (VECTORIAL, PARAMÉTRICAS Y CONTINUA )
Una recta (𝒓) en el espacio queda
definida mediante un punto y un
vector.
Un punto por el que pasa la recta y un
vector que tiene su misma dirección y
que se llama vector director.
La recta (𝒓) de la figura, pasa por el
punto 𝑨(𝒂𝟏, 𝒂𝟐, 𝒂𝟑) , y tiene la
dirección que le marca el vector
�⃗⃗� (𝒗𝟏, 𝒗𝟐, 𝒗𝟑).
A la expresión 𝒓(𝑨, 𝒗)⃗⃗⃗⃗ se le llama
determinación lineal de la recta
La recta (𝒓) esta formada por infinitos
puntos. Llamamos 𝑿(𝒙, 𝒚, 𝒛) a un
punto genérico de dicha recta.
Si hacemos que el punto genérico 𝑿(𝒙, 𝒚, 𝒛) se desplace a lo largo de la recta, todos los vectores 𝑨𝑿⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,
de origen el punto 𝑨(𝒂𝟏, 𝒂𝟐, 𝒂𝟑) y de extremo los infinitos puntos 𝑿(𝒙, 𝒚, 𝒛) , serán paralelos al vector
�⃗⃗� (𝒗𝟏, 𝒗𝟐, 𝒗𝟑) y por lo tanto, proporcionales a él.
𝑨𝑿⃗⃗⃗⃗⃗⃗ paralelo al vector �⃗⃗� ⟹ 𝑨𝑿⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝒚 �⃗⃗� son proporcionales ⟹ 𝑨𝑿⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝒕 · �⃗⃗� ; siendo 𝒕 ∈ 𝑹
Observando la figura, vemos que, 𝑶𝑿⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝑶𝑨⃗⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝑨𝑿⃗⃗⃗⃗⃗⃗ y sustituyendo 𝑨𝑿⃗⃗⃗⃗⃗⃗ por 𝒕 · �⃗⃗� , aparece la llamada
ecuación vectorial de la recta:
𝑶𝑿⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝑶𝑨⃗⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝒕 · �⃗⃗� ecuación vectorial
Si sustituimos los diferentes vectores por sus correspondientes coordenadas, aparece la ecuación
vectorial de la recta en función de las coordenadas:
(𝒙, 𝒚, 𝒛) = (𝒂𝟏, 𝒂𝟐, 𝒂𝟑) + 𝒕 (𝒗𝟏, 𝒗𝟐, 𝒗𝟑) 𝐞𝐜𝐮𝐚𝐜𝐢ó𝐧 𝐯𝐞𝐜𝐭𝐨𝐫𝐢𝐚𝐥
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Ejemplo: Hallar la ecuación vectorial de la recta (𝒓) que pasa por el punto 𝑨(−𝟐, 𝟓, 𝟑)
y tiene como vector director a �⃗⃗� (𝟏, −𝟑, 𝟒) .
(𝒓) ≡ (𝒙, 𝒚, 𝒛) = (−𝟐, 𝟓, 𝟑) + 𝒕 (𝟏,−𝟑, 𝟒)
Si en la ecuación vectorial operamos las coordenadas de los vectores, tenemos:
(𝒙, 𝒚, 𝒛) = (𝒂𝟏, 𝒂𝟐, 𝒂𝟑) + 𝒕 (𝒗𝟏, 𝒗𝟐, 𝒗𝟑)
(𝒙, 𝒚, 𝒛) = (𝒂𝟏, 𝒂𝟐, 𝒂𝟑) + (𝒕 · 𝒗𝟏, 𝒕 · 𝒗𝟐, 𝒕 · 𝒗𝟑) = (𝒂𝟏 + 𝒕 · 𝒗𝟏, 𝒂𝟐 + 𝒕 · 𝒗𝟐, 𝒂𝟑 + 𝒕 · 𝒗𝟑)
Si igualamos coordenada a coordenada, aparecerán las ecuaciones paramétricas de la recta.
{
𝒙 = 𝒂𝟏 + 𝒕 · 𝒗𝟏
𝒚 = 𝒂𝟐 + 𝒕 · 𝒗𝟐
𝒛 = 𝒂𝟑 + 𝒕 · 𝒗𝟑
𝐞𝐜𝐮𝐚𝐜𝐢𝐨𝐧𝐞𝐬 𝐩𝐚𝐫𝐚𝐦é𝐭𝐫𝐢𝐜𝐚𝐬
Ejemplo : Hallar las ecuaciones paramétricas de la recta (𝒓) que pasa por el punto
𝑨(−𝟐, 𝟓, 𝟑) y tiene como vector director a �⃗⃗� (𝟏,−𝟑, 𝟒) y tres puntos cualesquiera de
ella.
(𝒓) ≡ {𝒙 = −𝟐 + 𝒕𝒚 = 𝟓 − 𝟑𝒕𝒛 = 𝟑 + 𝟒𝒕
A medida que vayamos danto valores reales al parámetro "𝒕", irán surgiendo los
infinitos puntos de la recta. Por ejemplo, vamos a dar a "𝒕" los valores, −𝟐, 𝟑 𝐲 𝟓 .
𝑷𝒂𝒓𝒂 𝒕 = −𝟐 ⟹ {
𝒙 = −𝟐 − 𝟐 = −𝟒𝒚 = 𝟓 − 𝟑 · (−𝟐) = 𝟏𝟏
𝒛 = 𝟑 + 𝟒 · (−𝟐) = −𝟓 ⟹ 𝑩(−𝟒, 𝟏𝟏,−𝟓)
𝑷𝒂𝒓𝒂 𝒕 = 𝟑 ⟹ {𝒙 = −𝟐 + 𝟑 = 𝟏
𝒚 = 𝟓 − 𝟑 · 𝟑 = −𝟒𝒛 = 𝟑 + 𝟒 · 𝟑 = 𝟏𝟓
⟹ 𝑪(𝟏,−𝟒, 𝟏𝟓)
𝑷𝒂𝒓𝒂 𝒕 = 𝟓 ⟹ {𝒙 = −𝟐 + 𝟓 = 𝟑
𝒚 = 𝟓 − 𝟑 · 𝟓 = −𝟏𝟎𝒛 = 𝟑 + 𝟒 · 𝟓 = 𝟐𝟑
⟹ 𝑫(𝟑,−𝟏𝟎, 𝟐𝟓)
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Si en cada una de las tres ecuaciones paramétricas despejamos el parámetro "𝒕" y luego
igualamos, aparecerá la ecuación continua de la recta.
{
𝒙 = 𝒂𝟏 + 𝒕 · 𝒗𝟏
𝒚 = 𝒂𝟐 + 𝒕 · 𝒗𝟐
𝒛 = 𝒂𝟑 + 𝒕 · 𝒗𝟑
⟹
𝒕 =𝒙 − 𝒂𝟏
𝒗𝟏
𝒕 =𝒚 − 𝒂𝟐
𝒗𝟐
𝒕 =𝒛 − 𝒂𝟑
𝒗𝟑
⟹ 𝒙 − 𝒂𝟏
𝒗𝟏=
𝒚 − 𝒂𝟐
𝒗𝟐=
𝒛 − 𝒂𝟑
𝒗𝟑
𝒙 − 𝒂𝟏
𝒗𝟏=
𝒚 − 𝒂𝟐
𝒗𝟐=
𝒛 − 𝒂𝟑
𝒗𝟑 𝐞𝐜𝐮𝐚𝐜𝐢ó𝐧 𝐜𝐨𝐧𝐭𝐢𝐧𝐮𝐚
Ejemplo: Hallar la ecuación continua de la recta (𝒓) que pasa por el punto 𝑨(−𝟐, 𝟓, 𝟑)
y tiene como vector director a �⃗⃗� (𝟏, −𝟑, 𝟒) y comprobar si los puntos 𝑷(−𝟑, 𝟖,−𝟏) y
𝑸(𝟎,−𝟏, 𝟒) pertenecen a dicha recta.
(𝒓) ≡ 𝒙 + 𝟐
𝟏=
𝒚 − 𝟓
−𝟑=
𝒛 − 𝟑
𝟒
Si un punto pertenece a una recta, tendrá que verificar la ecuación de dicha recta, es
decir, si introducimos las coordenadas del punto en la ecuación de la recta, tendrá que
aparecer el mismo valor en los tres cocientes.
𝑷(−𝟑, 𝟖,−𝟏) ⟹ (−𝟑) + 𝟐
𝟏=
(𝟖) − 𝟓
−𝟑=
(−𝟏) − 𝟑
𝟒 ⟹
−𝟏
𝟏=
𝟑
−𝟑=
−𝟒
𝟒 ⟹ −𝟏 = −𝟏 = −𝟏
𝑸(𝟎,−𝟏, 𝟒) ⟹ (𝟎) + 𝟐
𝟏=
(−𝟏) − 𝟓
−𝟑=
(𝟒) − 𝟑
𝟒 ⟹
𝟐
𝟏=
−𝟔
−𝟑=
𝟏
𝟒 ⟹ 𝟐 = 𝟐 ≠
𝟏
𝟒
Mientras que el punto 𝑷 si pertenece a la recta (𝒓), el punto 𝑸 no pertenece
Ejemplo: Calcular la ecuación continua de la recta (𝒓) , que pasa por el punto
𝑨(𝟑,−𝟓,−𝟏) y que es paralela a la recta (𝒔) de ecuación: {𝒙 = 𝟏 + 𝟏𝒕
𝒚 = −𝟑 + 𝟐𝒕𝒛 = 𝟐 − 𝟒𝒕
.
Si dos rectas son paralelas, tienen la misma dirección, luego comparten el mismo vector
director . El vector director de la recta (𝒔) es �⃗⃗� (𝟏, 𝟐, −𝟒) , que también vale para (𝒓).
𝒓(𝑨, �⃗⃗� ) ⟹ 𝒙 − 𝟑
𝟏=
𝒚 + 𝟓
𝟐=
𝒛 + 𝟏
−𝟒
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ECUACIONES DEL PLANO (VECTORIAL, PARAMÉTRICAS Y VECTORIAL)
Un plano (𝝅) en el espacio, queda
determinado por un punto 𝑨 y dos
vectores no paralelos �⃗⃗� 𝒚 𝒖 ⃗⃗ ⃗.
(Un punto por el que pasa el plano y
dos vectores que tienen distintas
direcciones y que se llaman vectores
generadores.)
El plano (𝝅) de la figura pasa por el
punto 𝑨(𝒂𝟏, 𝒂𝟐, 𝒂𝟑) y tiene a
�⃗⃗� (𝒗𝟏, 𝒗𝟐, 𝒗𝟑) y �⃗⃗� (𝒖𝟏, 𝒖𝟐, 𝒖𝟑) como
vectores generadores.
A la expresión 𝝅(𝑨, 𝒗,⃗⃗⃗⃗ �⃗⃗� ) se llama
determinación lineal del plano.
El plano (𝝅) está formado por infinitos puntos. Llamamos 𝑿(𝒙, 𝒚, 𝒛) a un punto genérico de dicho
plano. Si hacemos que el punto genérico 𝑿(𝒙, 𝒚, 𝒛) se desplace a lo largo y ancho de todo el plano,
todos los vectores 𝑨𝑿⃗⃗⃗⃗⃗⃗ , de origen el punto 𝑨(𝒂𝟏, 𝒂𝟐, 𝒂𝟑) y de extremo los infinitos puntos 𝑿(𝒙, 𝒚, 𝒛), se
podrán expresar como una combinación lineal de los vectores generadores �⃗⃗� (𝒗𝟏, 𝒗𝟐, 𝒗𝟑) y
�⃗⃗� (𝒖𝟏, 𝒖𝟐, 𝒖𝟑).
𝑨𝑿⃗⃗⃗⃗⃗⃗ combinación lineal de �⃗⃗� y �⃗⃗� ⟹ 𝑨𝑿⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝒕 · �⃗⃗� + 𝒔 · �⃗⃗� ; siendo 𝒕, 𝒔 ∈ 𝑹
Observando la figura, vemos que 𝑶𝑿⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝑶𝑨⃗⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝑨𝑿⃗⃗⃗⃗⃗⃗ y sustituyendo 𝑨𝑿⃗⃗⃗⃗⃗⃗ por 𝒕 · �⃗⃗� + 𝒔 · 𝒖 ⃗⃗ ⃗, aparece la
llamada ecuación vectorial del plano.
(𝒙, 𝒚, 𝒛) = (𝒂𝟏, 𝒂𝟐, 𝒂𝟑) + 𝒕 (𝒗𝟏, 𝒗𝟐, 𝒗𝟑) + 𝒔(𝒖𝟏, 𝒖𝟐, 𝒖𝟑) 𝐞𝐜𝐮𝐚𝐜𝐢ó𝐧 𝐯𝐞𝐜𝐭𝐨𝐫𝐢𝐚𝐥
Ejemplo: Hallar la ecuación vectorial del plano (𝝅) que pasa por el punto 𝑨(𝟑,−𝟏, 𝟒)
y tiene como vectores generadores a �⃗⃗� (−𝟐,−𝟓, 𝟏) y �⃗⃗� (𝟒,−𝟏, 𝟔).
(𝝅) ≡ (𝒙, 𝒚, 𝒛) = (𝟑,−𝟏, 𝟒) + 𝒕 (−𝟐,−𝟓, 𝟏) + 𝒔(𝟒,−𝟏, 𝟔)
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Si en la ecuación vectorial operamos las coordenadas de los vectores, tenemos:
(𝑥, 𝑦, 𝑧) = (𝒂𝟏, 𝒂𝟐, 𝒂𝟑) + 𝑡 (𝒗𝟏, 𝒗𝟐, 𝒗𝟑) + 𝑠(𝒖𝟏, 𝒖𝟐, 𝒖𝟑)
(𝒙, 𝒚, 𝒛) = (𝒂𝟏, 𝒂𝟐, 𝒂𝟑) + (𝒕 · 𝒗𝟏, 𝒕 · 𝒗𝟐, 𝒕 · 𝒗𝟑) + (𝒔 · 𝒖𝟏 + 𝒔 · 𝒖𝟐 + 𝒔 · 𝒖𝟑)
= (𝒂𝟏 + 𝒕 · 𝒗𝟏 + 𝒔 · 𝒖𝟏, 𝒂𝟐 + 𝒕 · 𝒗𝟐 + 𝒔 · 𝒖𝟐, 𝒂𝟑 + 𝒕 · 𝒗𝟑 + 𝒔 · 𝒖𝟑)
Si igualamos coordenada a coordenada, aparecerán las ecuaciones paramétricas de la recta.
{
𝒙 = 𝒂𝟏 + 𝒕 · 𝒗𝟏 + 𝒔 · 𝒖𝟏
𝒚 = 𝒂𝟐 + 𝒕 · 𝒗𝟐 + 𝒔 · 𝒖𝟐
𝒛 = 𝒂𝟑 + 𝒕 · 𝒗𝟑 + 𝒔 · 𝒖𝟐
𝐞𝐜𝐮𝐚𝐜𝐢𝐨𝐧𝐞𝐬 𝐩𝐚𝐫𝐚𝐦é𝐭𝐫𝐢𝐜𝐚𝐬
Ejemplo: Hallar las ecuaciones paramétricas del plano (𝝅) que pasa por el punto
𝑨(𝟑,−𝟏, 𝟒) y tiene como vectores generadores a �⃗⃗� (−𝟐,−𝟓, 𝟏) y �⃗⃗� (𝟒,−𝟏, 𝟔).
(𝝅) ≡ {𝒙 = 𝟑 − 𝟐𝒕 + 𝟒𝒔 𝒚 = −𝟏 − 𝟓𝒕 − 𝒔 𝒛 = 𝟒 + 𝒕 + 𝟔𝒔
Como el vector 𝑨𝑿⃗⃗⃗⃗⃗⃗ es una combinación lineal de �⃗⃗� y �⃗⃗� , el determinante de la matriz que los
contiene vale cero. (Recuerda, que si en una matriz una fila o columna es una combinación
lineal de otras, su determinante vale cero).
Como las coordenadas de los tres vectores son:
𝑨𝑿⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = (𝒙, 𝒚, 𝒛) − (𝒂𝟏, 𝒂𝟐, 𝒂𝟑) = (𝒙 − 𝒂𝟏, 𝒚 − 𝒂𝟐, 𝒛 − 𝒂𝟑) ; �⃗⃗� (𝒗𝟏, 𝒗𝟐, 𝒗𝟑) ; �⃗⃗� (𝒖𝟏, 𝒖𝟐, 𝒖𝟑)
𝑑𝑒𝑡(𝑨𝑿⃗⃗⃗⃗⃗⃗ , �⃗⃗� , �⃗⃗� ) = 𝟎 ⟹ |
𝒙 − 𝒂𝟏 𝒚 − 𝒂𝟐 𝒛 − 𝒂𝟑
𝒗𝟏 𝒗𝟐 𝒗𝟑
𝒖𝟏 𝒖𝟐 𝒖𝟑
| = 𝟎
desarrollando el determinante aparecerá una expresión que tiene el aspecto que vemos a
continuación y que es la llamada ecuación general del plano (la más empleada).
|
𝒙 − 𝒂𝟏 𝒚 − 𝒂𝟐 𝒛 − 𝒂𝟑
𝒗𝟏 𝒗𝟐 𝒗𝟑
𝒖𝟏 𝒖𝟐 𝒖𝟑
| = 𝟎 ⟹ 𝒂𝒙 + 𝒃𝒚 + 𝒄𝒛 + 𝒅 = 𝟎 𝐞𝐜𝐮𝐚𝐜𝐢ó𝐧 𝐠𝐞𝐧𝐞𝐫𝐚𝐥
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Ejemplo: Hallar la ecuación general del plano (𝝅) que pasa por el punto 𝑨(𝟑,−𝟏, 𝟒)
y tiene como vectores generadores a �⃗⃗� (−𝟐,−𝟓, 𝟏) y �⃗⃗� (𝟒,−𝟏, 𝟔).
(𝝅) ≡ |𝒙 − 𝟑 𝒚 + 𝟏 𝒛 − 𝟒−𝟐 −𝟓 𝟏𝟒 −𝟏 𝟔
| = 𝟎 ⟹ −𝟐𝟗𝒙 + 𝟏𝟔𝒚 + 𝟐𝟐𝒛 + 𝟏𝟓 = 𝟎
Si un plano (𝝅) pasa por tres puntos 𝑨(𝒂𝟏, 𝒂𝟐, 𝒂𝟑), 𝑩(𝒃𝟏, 𝒃𝟐, 𝒃𝟑) 𝒚 𝑪(𝒄𝟏, 𝒄𝟐, 𝒄𝟑) , su
determinación lineal es: (𝝅)(𝑨, 𝑨𝑩⃗⃗⃗⃗⃗⃗ , 𝑨𝑪⃗⃗⃗⃗ ⃗) , es decir, elegimos uno cualquiera de los tres puntos
y utilizamos como vectores generadores los que se obtienen al unir los puntos entre sí.
Ejemplo: Hallar la ecuación del plano (𝝅) que pasa por los puntos 𝑨(−𝟑,−𝟏, 𝟒) ,
𝑩(𝟒, 𝟎, −𝟓) y 𝑪(𝟐,−𝟓,−𝟏).
Como un plano queda definido por un punto y dos vectores generadores que tienen
que ser paralelos al plano, cogemos por ejemplo el punto 𝑨 y los vectores que se
obtienen al unir el punto 𝑨 con el 𝑩 y el 𝑨 con el 𝑪.
𝑨𝑩⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝑩 − 𝑨 = (𝟒, 𝟎, −𝟓) − (−𝟑,−𝟏, 𝟒) = (𝟕, 𝟏, −𝟗)
𝑨𝑪⃗⃗⃗⃗ ⃗ = 𝑪 − 𝑨 = (𝟐,−𝟓,−𝟏) − (−𝟑,−𝟏, 𝟒) = (𝟓,−𝟒,−𝟓)
𝝅(𝑨, 𝑨𝑩⃗⃗⃗⃗⃗⃗ , 𝑨𝑪⃗⃗⃗⃗ ⃗) ⟹ |𝒙 + 𝟑 𝒚 + 𝟏 𝒛 − 𝟒
𝟕 𝟏 −𝟗𝟓 −𝟒 −𝟓
| = 𝟎 ; 𝐨𝐩𝐞𝐫𝐚𝐧𝐝𝐨 𝐞𝐥 𝐝𝐞𝐭𝐞𝐫𝐦𝐢𝐧𝐚𝐧𝐭𝐞:
−𝟓(𝒙 + 𝟑) − 𝟓(𝒚 + 𝟏) − 𝟐𝟖(𝒛 − 𝟒) − 𝟓(𝒛 − 𝟒) − 𝟑𝟔(𝒙 + 𝟑) + 𝟑𝟓(𝒚 + 𝟏) = 𝟎
𝟒𝟏𝒙 + 𝟏𝟎𝒚 + 𝟑𝟑𝒛 + 𝟏 = 𝟎 𝐞𝐜𝐮𝐚𝐜𝐢ó𝐧 𝐠𝐞𝐧𝐞𝐫𝐚𝐥 𝐝𝐞𝐥 𝐩𝐥𝐚𝐧𝐨 (𝝅)
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ECUACIÓN DE LA RECTA COMO INTERSECCIÓN DE DOS PLANOS
Si de la ecuación continua de la recta despejamos la "𝒙" y la "𝒚" en función de la "𝒛" obtenemos la
llamada ecuación reducida de la recta.
𝑥 − 𝑎1
𝑣1=
𝑦 − 𝑎2
𝑣2=
𝑧 − 𝑎3
𝑣3= {
𝑥 − 𝑎1
𝑣1=
𝑧 − 𝑎3
𝑣3 ⟹ 𝑥 − 𝑎1 =
𝑣1
𝑣3 𝑧 −
𝑣1𝑎3
𝑣3
𝑦 − 𝑎2
𝑣2=
𝑧 − 𝑎3
𝑣3 ⟹ 𝑦 − 𝑎2 =
𝑣2
𝑣3 𝑧 −
𝑣2𝑎3
𝑣3 ⟹
⟹ {
𝑥 =𝑣1
𝑣3 𝑧 + (𝑎1 −
𝑣1𝑎3
𝑣3)
𝑦 =𝑣2
𝑣3 𝑧 + (𝑎2 −
𝑣2𝑎3
𝑣3)
⟹ {𝒙 = 𝒎𝒛 + 𝒏𝒚 = 𝒑𝒛 + 𝒒 𝐞𝐜𝐮𝐚𝐜𝐢ó𝐧 𝐫𝐞𝐝𝐮𝐜𝐢𝐝𝐚
Si en la ecuación reducida de la recta pasamos al primer miembro los distintos términos de las dos
ecuaciones, aparecerá la ecuación de la recta como la intersección de dos planos.
{𝒙 − 𝒎𝒛 − 𝒏 = 𝟎𝒚 − 𝒑𝒛− 𝒒 = 𝟎 ⟹ {
𝒂𝒙+ 𝒃𝒚 + 𝒄𝒛 + 𝒅 = 𝟎
𝒂′𝒙+ 𝒃′𝒚 + 𝒄′𝒛 + 𝒅
′= 𝟎
𝐫𝐞𝐜𝐭𝐚 (𝒓) 𝐜𝐨𝐦𝐨 𝐢𝐧𝐭𝐞𝐫𝐬𝐞𝐜𝐜𝐢ó𝐧 𝐝𝐞 𝐝𝐨𝐬 𝐩𝐥𝐚𝐧𝐨𝐬(𝝅𝟏) 𝐲 (𝝅𝟐)
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Ejemplo. Pasar a la forma reducida de la recta la ecuación:
(𝒓) ≡ 𝒙 − 𝟏
𝟒=
𝒚 + 𝟑
𝟏=
𝒛 + 𝟐
−𝟐
𝒙 − 𝟏
𝟒=
𝒚 + 𝟑
𝟑=
𝒛 + 𝟐
−𝟐 ⟹ {
𝒙 − 𝟏
𝟒=
𝒛 + 𝟐
−𝟐 ⟹ 𝒙 − 𝟏 = −
𝟒
𝟐(𝒛 + 𝟐) ⟹ 𝒙 = −𝟐𝒛 − 𝟑
𝒚 + 𝟑
𝟑=
𝒛 + 𝟐
−𝟐 ⟹ 𝒚 + 𝟑 = −
𝟑
𝟐 (𝒛 + 𝟐) ⟹ 𝒚 = −
𝟑
𝟐𝒛 − 𝟔
(𝒓) ≡ {𝒙 = −𝟐𝒛 − 𝟑
𝒚 = −𝟑
𝟐𝒛 − 𝟔
𝐞𝐜𝐮𝐚𝐜𝐢ó𝐧 𝐫𝐞𝐝𝐮𝐜𝐢𝐝𝐚 𝐝𝐞 𝐥𝐚 𝐫𝐞𝐜𝐭𝐚 (𝒓)
Ejemplo. Hallar las coordenadas de un vector director de la recta (𝒓) ≡ {𝒙 = 𝟑𝒛 + 𝟏𝒚 = 𝟐𝒛 − 𝟓
Una de las maneras de hallar un vector director de la recta, es pasarla a la forma
continua, y despejar la "𝒛" de las dos ecuaciones, para igualar a continuación.
{𝒙 = 𝟑𝒛 + 𝟏𝒚 = 𝟐𝒛 − 𝟓
⟹ 𝒛 =
𝒙 − 𝟏
𝟑
𝒛 =𝒚 + 𝟓
𝟐
⟹ 𝒙 − 𝟏
𝟑=
𝒚 + 𝟓
𝟐=
𝒛
𝟏 ⟹ �⃗⃗� (𝟑, 𝟐, 𝟏)
Ejemplo. Pasar a las forma reducida la ecuación de la recta:
(𝒓) ≡ {𝟐𝒙 − 𝒚 + 𝒛 − 𝟑 = 𝟎𝒙 + 𝒚 + 𝟐𝒛 + 𝟏 = 𝟎
Al ser |𝟐 −𝟏𝟏 𝟏
| ≠ 𝟎 el sistema es compatible indeterminado (𝒓 < 𝑛) , se trata de dos
planos no paralelos es decir, generan una recta.
Para pasar a la forma reducida despejamos la "𝒙" y la "𝒚" en función de la "𝒛".
{𝟐𝒙 − 𝒚 + 𝒛 − 𝟑 = 𝟎𝒙 + 𝒚 + 𝟐𝒛 + 𝟏 = 𝟎
⟹ {𝟐𝒙 − 𝒚 = −𝒛 + 𝟑𝒙 + 𝒚 = −𝟐𝒛 − 𝟏
⟹
𝟐𝒙 − 𝒚 = −𝒛 + 𝟑 𝒙 + 𝒚 = −𝟐𝒛 − 𝟏_____________________
𝟑𝒙 = −𝟑𝒛 + 𝟐
𝒙 = −𝒛 + 𝟐𝟑⁄ ⟹ 𝒚 = −𝟐𝒛 − 𝟏 − 𝒙 = −𝟐𝒛 − 𝟏 + 𝒛 − 𝟐
𝟑⁄ = −𝒛 − 𝟓𝟑⁄
(𝒓) ≡ {𝒙 = −𝒛 + 𝟐
𝟑⁄
𝒚 = −𝒛 − 𝟓𝟑⁄ 𝐞𝐜𝐮𝐚𝐜𝐢ó𝐧 𝐫𝐞𝐝𝐮𝐜𝐢𝐝𝐚 𝐝𝐞 𝐥𝐚 𝐫𝐞𝐜𝐭𝐚 (𝒓)
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Ejemplo. Pasar a las ecuaciones paramétricas la ecuación de la recta (𝒓) , indicando las
coordenadas de un punto cualquiera de la misma y de un vector director:
(𝒓) ≡ {𝟐𝒙 − 𝒚 + 𝒛 − 𝟑 = 𝟎𝒙 + 𝒚 + 𝟐𝒛 + 𝟏 = 𝟎
Para pasar a la forma paramétrica se resuelve el sistema haciendo 𝒛 = 𝒕
{𝟐𝒙 − 𝒚 + 𝒛 − 𝟑 = 𝟎𝒙 + 𝒚 + 𝟐𝒛 + 𝟏 = 𝟎
𝒛 = 𝒕⟶
{𝟐𝒙 − 𝒚 = −𝒕 + 𝟑𝒙 + 𝒚 = −𝟐𝒕 − 𝟏
⟹
𝟐𝒙 − 𝒚 = −𝒕 + 𝟑 𝒙 + 𝒚 = −𝟐𝒕 − 𝟏_____________________
𝟑𝒙 = −𝟑𝒛 + 𝟐
𝒙 = −𝒕 + 𝟐𝟑⁄ ⟹ 𝒚 = −𝟐𝒕 − 𝟏 − 𝒙 = −𝟐𝒕 − 𝟏 + 𝒕 − 𝟐
𝟑⁄ = −𝒕 − 𝟓𝟑⁄
(𝒓) ≡ {
𝒙 = 𝟐𝟑⁄ − 𝒕
𝒚 = −𝟓𝟑⁄ − 𝒕
𝒛 = 𝒕
⟹ {𝑨(𝟐 𝟑⁄ ,−𝟓
𝟑⁄ , 𝟎)
�⃗⃗� (−𝟏,−𝟏, 𝟏)
𝐞𝐜𝐮𝐚𝐜𝐢𝐨𝐧𝐞𝐬𝐩𝐚𝐫𝐚𝐦é𝐭𝐫𝐢𝐜𝐚𝐬
ECUACIONES DE LOS EJES DE COORDENADAS
El eje X es la recta que forman
los planos y=0 y z=0 al
cortarse.
El eje Y es la recta que forman
los planos x=0 y z=0 al
cortarse.
El eje Z es la recta que forman
los planos y=0 y x=0 al
cortarse.
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Eje Vector director
Ecuaciones implícitas
Ecuaciones paramétricas
𝑿
𝒊 (𝟏, 𝟎, 𝟎)
𝑿 ≡ {𝒚 = 𝟎𝒛 = 𝟎
𝑿 ≡ {𝒙 = 𝒕𝒚 = 𝟎𝒛 = 𝟎
𝒀
𝒋 (𝟎, 𝟏, 𝟎)
𝒀 ≡ {𝒙 = 𝟎𝒛 = 𝟎
𝒀 ≡ {𝒙 = 𝟎𝒚 = 𝒕𝒛 = 𝟎
𝒁
�⃗⃗� (𝟎, 𝟎, 𝟏)
𝒁 ≡ {𝒙 = 𝟎𝒚 = 𝟎
𝒁 ≡ {𝒙 = 𝟎𝒚 = 𝟎𝒛 = 𝒕
PLANOS BISECTORES
Los planos bisectores, son los que equidistan de los planos que forman un ángulo diedro.
La recta (𝒓) es la recta intersección del
plano bisector 𝒙 = 𝒚 y el plano 𝒛 = 𝟎
(𝒓) ≡ {𝒙 = 𝒚𝒛 = 𝟎
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La recta (𝒓) es la recta intersección del
plano bisector 𝒙 = 𝒛 y el plano 𝒚 = 𝟎
(𝒓) ≡ {𝒙 = 𝒛𝒚 = 𝟎
La recta (𝒓) es la recta intersección del
plano bisector 𝒚 = 𝒛 y el plano 𝒙 = 𝟎
(𝒓) ≡ {𝒚 = 𝒛𝒙 = 𝟎
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RECTAS CON ALGUNA COMPONENTE DEL VECTOR DIRECTOR CERO
La recta (𝒓) que pasa por el punto 𝑨(−𝟐, 𝟎,−𝟏) y tiene a �⃗⃗� (𝟎, 𝟏, −𝟏) como vector director, se
expresaría en forma continua de la forma siguiente:
(𝒓) ≡ 𝒙 + 𝟐
𝟎=
𝒚
𝟏=
𝒛 + 𝟏
−𝟏
pero es evidente, que no se puede expresar de esta manera, ya que uno de los denominadores
es cero. La forma adecuada de expresarse y su gráfica correspondiente son:
(𝒓) ≡ {𝒚
𝟏=
𝒛 + 𝟏
−𝟏𝒙 = −𝟐
De igual manera la recta que pasa el punto 𝑨(𝟎,−𝟏,−𝟐) y tiene a �⃗⃗� (𝟏, 𝟎, −𝟐) como vector
director, se expresaría en forma continua de la forma siguiente:
(𝒓) ≡ 𝒙
𝟏=
𝒚 + 𝟏
𝟎=
𝒛 + 𝟐
−𝟐
pero como uno de los denominadores es cero, la expresión no es correcta, por lo que tendría
que ser:
(𝒓) ≡ {
𝒙
𝟏=
𝒛 + 𝟐
−𝟐𝒚 = −𝟏
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Finalmente, la recta que pasa el punto 𝑨(𝟎, 𝟏 𝟑⁄ , 𝟑) y tiene a �⃗⃗� (𝟑, −𝟐, 𝟎) como vector
director, se expresaría en la forma continua de la siguiente manera:
(𝒓) ≡ 𝒙
𝟑=
𝒚 − 𝟏𝟑⁄
−𝟐=
𝒛 − 𝟑
𝟎
La forma correcta de expresarse es:
(𝒓) ≡ {𝒙
𝟑=
𝒚 − 𝟏𝟑⁄
−𝟐𝒛 = 𝟑
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En ocasiones, el vector director de una recta tienen dos de sus coordenadas igual a cero. La
recta se expresa entonces de la siguiente manera:
La recta (𝒓) que pasa por el punto 𝑨(𝟏, 𝟑, 𝟒) y tiene a �⃗⃗� (𝟎 , 𝟎, 𝟏) como vector director, se
expresaría en forma continua de la forma siguiente:
(𝒓) ≡ 𝒙 − 𝟏
𝟎=
𝒚 − 𝟑
𝟎=
𝒛 − 𝟒
𝟏
pero está claro, que la recta (𝒓) no se puede expresar de esta manera, ya que dos de los
denominadores son ceros. La forma correcta de expresarse y su gráfica correspondiente son:
(𝒓) ≡ {𝒙 = 𝟏𝒚 = 𝟑
recta paralela al eje Z
La recta (𝒓) que pasa por el punto 𝑨(𝟐,−𝟏, 𝟐) y tiene a �⃗⃗� (𝟏 , 𝟎, 𝟎) como vector director, se
expresaría en forma continua de la forma siguiente:
(𝒓) ≡ 𝒙 − 𝟐
𝟏=
𝒚 + 𝟏
𝟎=
𝒛 − 𝟐
𝟎
como dos de los denominadores son ceros, la ecuación de la recta no se puede expresar de esa
manera. La forma correcta de expresarse y su gráfica correspondiente es:
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(𝒓) ≡ {𝒚 = −𝟏𝒛 = 𝟐
recta paralela al eje X
La recta (𝒓) que pasa por el punto 𝑨(−𝟐, 𝟏, 𝟑) y tiene a �⃗⃗� (𝟎 , 𝟏, 𝟎) como vector director, se
expresaría en forma continua de la forma siguiente:
(𝒓) ≡ 𝒙 + 𝟐
𝟎=
𝒚 − 𝟏
𝟏=
𝒛 − 𝟑
𝟎
La forma correcta de expresarse y su
gráfica correspondiente es:
(𝒓) ≡ {𝒙 = −𝟐𝒛 = 𝟑
recta paralela al eje Y
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