GEOMETRIA ANALITICA

Distancia entre dos puntos

Calcular la distancia entre los puntos: A(2, 1) y B(-3, 2).

Determinar a con la condición de que los puntos A(0, a) y B(1, 2) disten una unidad.

Probar que los puntos: A(1, 7), B(4,6) y C(1, -3) pertenecen a una circunferencia de centro (1, 2).Si O es el centro de la circunferencia las distancias de O a A, B, C y D deben ser iguales

Clasificar el triángulo determinado por los puntos: A(4, -3), B(3, 0) y C(0, 1).

Si:

Pendiente de una rectaDefinición de pendienteLa pendiente de una recta es la tangente del ángulo que forma la recta con la dirección positiva del eje de abscisas.Se denota con la letra m.Cálculo de la pendiente

Pendiente dado el ángulo 

Pendiente dado el vector director de la recta

Pendiente dados dos puntos

Pendiente dada la ecuación de la recta.

EjemplosLa pendiente de la recta que pasa por los puntos A(2, 1), B(4, 7) es:

La recta que pasa por los puntos A(1, 2), B(1, 7) no tiene pendiente, ya que la división por 0 no está definida.

Si el ángulo que forma la recta con la parte positiva del eje de abscisas es agudo, la pendiente es positiva y crece al crecer el ángulo.

Si el ángulo que forma la ecta con la parte positiva del eje de abscisas es obtuso, la pendiente es negativa y decrece al crecer el angulo.Ecuación de la rectaDefinición de recta

Definimos una recta r como el conjunto de los puntos del plano, alineados con un punto P y con una dirección dada .Ecuación vectorial de la recta

Si P(x1, y1) es un punto de la recta r, el vector tiene igual dirección que , luego es

igual a multiplicado por un escalar:

EjemplosUna recta pasa por el punto A(−1, 3) y tiene un vector director = (2,5). Escribir su ecuación vectorial. 

Escribe la ecuación vectorial de la recta que pasa por los puntos A(1, 2) y B(−2, 5). 

Ecuaciones paramétricas de la rectaRealizando las operaciones indicadas en la ecuación vectorial se obtiene:

Igualando, obtenemos las ecuaciones paramétricas de la recta.

EjemplosUna recta pasa por el punto A(−1, 3) y tiene un vector director = (2,5). Escribir sus ecuaciones paramétricas. 

Escribe las ecuaciones paramétricas de la recta que pasa por los puntos A(1, 2) y B(−2, 5). 

Ecuación continua de la rectaSi despejamos el parámetro k de las ecuaciones paramétricas e igualamos, obtenemos la ecuación continua de la recta.

EjemplosUna recta pasa por el punto A(−1, 3) y tiene un vector director = (2,5). Escribir su ecuación continua. 

Escribe la ecuación continua de la recta que pasa por los puntos A(1, 2) y B(−2, 5). 

Ecuación punto-pendientePartimos de la ecuación continua la recta, quitamos denominadores y despejamos:

Como 

Se obtiene: 

EjemplosCalcular la ecuación de la recta que pasan por los puntos A(−2, −3) y B(4,2).

Calcular la ecuación de la recta que pasan por A(−2, −3) y tenga una inclinación de 45°.

Ecuación general o implícita de la rectaPartimos de la ecuación continua la recta

Quitamos denominadores:

Trasponemos términos:

Transformamos:

Y obtenemos la ecuación general de la recta.

Las componentes del vector director son:

La pendiente de la recta es:

Escribe la ecuación general de la recta que pasa por los puntos A(1, 2) y B(−2, 5). 

Calcular la ecuación de la que pasa por A (1,5) y tiene como pendiente m = −2.

Ecuación de la recta en forma explícita Si despejamos y en la ecuación general de la recta, se obtiene la ecuación explícita de la recta:

El coeficiente de la x es la pendiente, m.El término independiente, b, se llama ordenada en el origen de una recta, siendo (O, b) el punto de corte con el eje de ordenadas.

Calcular la ecuación en forma explícita de la recta que pasa por A (1,5) y tiene como pendiente m=−2.

Ecuación de la recta que pasa por dos puntos Si los puntos A (x1, y 1) y B (x2, y 2) determina una recta r. el vector director de la recta es:

cuyas componentes son:

Sustituyendo estos valores en la ecuación continua, obtenemos la ecuación de la recta que pasa por dos puntos. 

La ecuación de la recta que pasa por los puntos A(1, 2) y B(−2, 5) es:

Ecuación canónica o segmentaria 

Hallar la ecuación canónica de la recta que pasa por P(−2, 1) y tiene por vector director v = (3, −4).

−4x −8 = 3y −3 4x + 3y + 5 = 0Si y = 0 x = −5/4 = a.Si x = 0 y = −Ecuación de la rectaDefinición de recta

Definimos una recta r como el conjunto de los puntos del plano, alineados con un punto P y con una dirección dada .Ecuación vectorial de la recta

Si P(x1, y1) es un punto de la recta r, el vector tiene igual dirección que , luego es igual a multiplicado por un escalar:

Ejemplos

Una recta pasa por el punto A(−1, 3) y tiene un vector director = (2,5). Escribir su ecuación vectorial. 

Escribe la ecuación vectorial de la recta que pasa por los puntos A(1, 2) y B(−2, 5). 

Ecuaciones paramétricas de la recta