geometria analitica
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“AÑO DE LA INTEGRACION NACIONAL Y EL RECONOCIMIENTO DE NUESTRA DIVERSIDAD”
MARIANO MELGARPROFESORA: CARRION NIN
ALUMNO :ANTONY TENA
GRADO :5TO B
AREA: MATEMATICA
2012
GEOMETRIA ANALITICA
Ecuaciones de la recta
La pendiente de la recta que pasa por P1(x1,y1) y P2(x2,y2) es:
Antes de iniciar con el desarrollo de las ecuaciones dela recta es importante considerar una de sus características particulares, la pendiente. A partir de esta cualidad partiremos para obtener cada ecuación.
Ecuación de la recta que pasa por el origen
Considere la recta que pasa por el origen 0 y forma un ángulo de inclinación con el eje x.
Tómese sobre la recta los puntos P1(x1, y1),P2 (x2, y2) y P3 (x3, y3). Al proyectar los puntos P1, P2 y P3 sobre el eje x, se obtienen los puntos P’1, P’2, P’3.
Ecuación de la recta que pasa por el origen.
Como los triángulos OP1P’1, OP2P’2 y OP3P’3 son semejantes; se tiene que:
Esto es,
Es decir, y = mx
Ecuación de la recta en su forma punto pendiente
Lo que se muestra en la figura, es una recta que pasa por el punto A(x1, y1), con una pendiente dada.
• Si un punto P(x, y) está en una recta y m es la pendiente de la misma, la pendiente puede definirse como:
1
1
xx
yym
• Esta es la ecuación de la recta en su forma punto pendiente. Las coordenadas (x1, y1) son las de un punto cualquiera que pertenezca a dicha recta.
• Ejemplo 1: Sea m=1/5 y A(-2, -4), la pendiente y un punto respectivamente de una recta. Verifique que su ecuación en su forma punto pendiente es:
5y-x+18=0
• Despejando las ordenadas y acomodando miembros tenemos:
11 xxmyy
Ecuación De La Recta Que Pasa Por Dos Puntos.• Considera dos puntos por los cuales pasa una
recta como se muestra en la figura:
• A partir de la pendiente m y de la ecuación de la recta en forma de punto pendiente. Considera las coordenadas del punto A como las del punto pendiente.
1
12
121 xx
xx
yyyy
• O bien, la pareja de coordenadas del punto B
• Ambas son la ecuación de la recta que pasa por dos puntos, como se puede observar es indistinto el punto que se sustituya, el resultado será el mismo y representará la misma recta.
• Ejemplo 2: Sean A(-1, 3) y B(3, -4), dos puntos que pertenecen a una misma recta. Verifica que la ecuación de ésta es la que se muestra a continuación, y que es indistinto el punto que se toma como punto pendiente. Sol. 4y+7x-5=0
2
12
122 xx
xx
yyyy
Ecuación de la recta con pendiente dada y ordenada al origen.
• Ecuación de la recta en forma simplificada. Considera un recta que pasa por los puntos A(x, y) y B(0,b), como se muestra en la figura
• Calculando la pendiente
• Despejando y, y ordenando los términos
• La coordenada b se define como la ordenada al origen, y es el punto donde la recta corta el eje y
x
ybm
0
bmxy
• Ejercicio en equipo: Las ecuaciones de oferta y demanda de un producto son p y q respectivamente.
• Traza la gráfica respectiva de cada una y encuentra el punto de equilibrio del producto.
• Nota: Se define como punto de equilibrio el punto en el cual los ingresos totales son iguales a los costos totales, es decir, no hay pérdidas pero tampoco hay ganancias.
• Sol. Punto de equilibrio:
27
1qp 22pq
5
16,
5
42
Ecuación de la recta en forma simétrica.
• La siguiente figura ilustra una recta que pasa por los puntos A(a,0) y B(0,b).
• Al calcular la pendiente obtendríamos:
a
bm
a
bm
0
0
• Al sustituir m en la ecuación de la recta en su forma ordenada al origen y=mx+b, tenemos
• Ordenando los miembros de la ecuación
• Esta es la ecuación simétrica de la recta.
bxa
by
1b
y
a
x
Ecuación general de la recta.• La ecuación general de la recta es de la siguiente
forma: Ax+By+C=0
• A partir de la ecuación anterior podemos analizar cuatro casos diferentes
• Caso 1. Recta paralela al eje x: Si A=0, B0, C 0; la ecuación se reducirá a By+C=0, de la cual se obtiene que y=-C/B, que representa una recta paralela al eje x.
• Haciendo a=-C/B, donde a es la distancia de la recta al eje de la abscisas, es decir, y=a, como se aprecia en la figura.
• Caso 2. Recta paralela al eje y: Si A0, B=0, C 0; la ecuación se reducirá a Ax+C=0, de la cual se obtiene que x=-C/A, que representa una recta paralela al eje y.
• Gráficamente x=a, donde a=-C/A, y es la distancia de la recta al eje de las ordenadas.
• Caso 3. Ecuación de una recta que pasa por el origen: Si A=1, B=1, C=0; la ecuación se reducirá a y=-x o x=-y, o bien y=|x|, que representa una línea recta con pendiente de 45º que pasa por el origen como lo muestra la figura.
• Caso 4. Ecuación de una recta en cualquier posición: Si A1, B1, C 0; al despejar y la ecuación general toma la forma
• Reduciéndose así a la ecuación de la recta de la forma pendiente dada y ordenada al origen, donde la pendiente sería m=-A/B y la ordenada al origen b=-C/A; que puede ser representada como se muestra
B
Cx
B
Ay
• Ejercicio en equipo: Un ingeniero civil desea saber el material gastado en cierto puente, para ello necesita de tu ayuda. Determina la pendiente y ecuación de cada una de las vigas que sostienen la estructura del puente y la longitud total de las vigas verticales
Ecuación de la circunferencia
Ecuación de la circunferencia Ahora vamos a suponer que queremos encontrar el
lugar geométrico de los puntos que equidistan 5 unidades del punto Q(4, 3).
4
3
5
Vamos a llamar P(x, y) a uno de los puntos del lugar geométrico. Entonces, tenemos que la distancia de este punto a Q debe ser 5, es decir d(P, Q)=5
Que se escribe como
De donde, 2534 22 yx
Esta ecuación representa un círculo
La forma canónica o estándar del círculo de radio r y con centro en C(a, b) es:
222 rbyax
534, 22 yxQPd
C
r
a
b
Si desarrollamos el lado izquierdo de la ecuación anteriorx2-2xa+a2+y2-2yb+b2
=x2+y2+(-2a)x+(-2b)y+a2+b2
notamos que a2+b2=r2
Esta es la forma general de la ecuación del círculo.
Si D=-2a, E=-2b y F=a2+b2-r2
x2+y2+Dx+Ey+F=0
Problema individual: Encontrar el centro y radiodel círculo cuya ecuación es
4x2+4y2-12x+40y+77=04(x2-3x)+4(y2 +10y)= -77(x2-3x)+(y2 +10y)= -77/4(x2-3x+9/4)+(y2 +10y+25)= -77/4+9/5+25(x-3/2)2+(y+5)2= 8
Entonces el centro es (3/2, -5) y el radio es 8=22
Ejercicio en equipo Deducir una ecuación del círculo que pasa por los puntos (1,5), (-2,3), (2,1). Resuelva de manera analítica y gráfica. Solución: Sabemos que la ecuación deseada tiene la forma siguiente: x2+y2+Dx+Ey+F=0Como los tres puntos dados satisfacen la ecuación del círculo por estar en él, tenemos
1+25+D+5E+F=04+9-2D+3E+F=04+1+2D-E+F=0
Es decir, D+5E+F=-26
-2D+3E+F=-132D-E+F=-5
Resolviendo el sistema tenemos,D=-9/5, E=19/5, F=-26/5
Por lo tanto la ecuación del círculo es: 5x2+5y2-9x-19y-26=0
El ejemplo anterior demuestra el empleo de la fórmula general para deducir la ecuación deseada.
Solución alterna
Como los puntos (1,5) y (-2,3) se ubican en el círculo, el segmento de uno a otro es una cuerda del círculo que deseamos.
(-2,3)
(1,5)
(2,-1)
Para la cuerda que une a (1,5) con (-2,3), el punto medio es (-1/2,4) y la pendiente m=2/3.
Ejercicio en equipoEncontrar la ecuación de la recta tangente al
círculo (x-3)2+(y-12)2=100 en el punto P(-5,6).
Recuerda: Una recta es tangente a un círculo si toca a éste en un solo punto. La recta tangente a un circulo tiene la propiedad de ser perpendicular al radio que une al centro del círculo con el punto de tangencia. Esta propiedad es la que nos permite encontrar la ecuación de la recta tangente.
Solución:
Primero debemos encontrar la pendiente del radio que une a P con el centro del círculo. El centro tiene coordenadas (3,12). La pendiente buscada es m=3/4.
De donde la pendiente de la recta tangente al círculo en P es –4/3; por tanto su ecuación es
y-6=-4/3(x-(-5)), o bien 4x+3y+2=0
6
-5 3
12
Ejercicio en equipo
Encontrar la ecuación del círculo que es tangente a la recta x-2y+2=0 en el punto P(8,5) y pasa por Q(12,9)
Solución: El centro C(xo, yo) del círculo debe estar en la recta l que es perpendicular a la recta dada y que pasa por P. Como la recta dada tiene pendiente ½ , la recta l tiene pendiente m=-2; por tanto su ecuación es y-5=-2(x-8) 2x+y-21=0
Por tanto las coordenadas de C satisfacen
2xo+yo-21=0 (1)Como la distancia de C(xo, yo) a P(8,5) debe ser igual a
la distancia de C(xo, yo) a Q(12,9), se tiene que
Elevando al cuadrado y simplificando tenemos xo+yo-17=0 (2)
Resolviendo el sistema de ecuaciones formado por (1) y (2) encontramos las coordenadas del centro C(4,13) y el radio r=80
Así la ecuación de la circunferencia es (x-4)2+(y-13)2=80, o bien x2+y2-8x-26y+105=0
2
0
2
0
2
0
2
0 91258 yxyx
5
84
13
Ecuaciones de la Parábola
LA PARABÓLA Definiciones . Sea DD una recta dada del plano y F un punto del plano que no está en la recta
dada. Se define la parábola como el lugar geométrico de los puntos P del plano cuya distancia al punto F es igual a la distancia a la recta DD.
. La recta dada DD se llama DIRECTRIZ y el punto F se llama FOCO (fig. 6.1.1.) Frecuentemente se hace referencia a la parábola de directriz DD y de foco F y se denota por PDD-F. Esto es:
PDD-F={P:PFF=PD}={P:PF = 1} PD
OBSERVASIONES Al trazar por F la perpendicular a la directriz. Se llamará : la distancia
del foco a la directriz. Sea V el punto medio del segmento . Como , entonces el punto V
pertenece a la parábola. V es llamado VERTICE de la parábola.
El lugar correspondiente a la parábola es simétrico respecto a la recta . En efecto, si P’ es el simétrico de P respecto a la recta , entonces PP’’ = P’’P’. Por lo tanto, el triángulo PP’’F es congruente al triángulo P’P’’F. De donde P’F = PF y como P’D’ = PD, entonces, , lo cual nos muestra que P’ e PDD-F.
Ecuaciones Analíticas de la Parábola En esta sección sólo se considerarán parábolas con
el vértice V en el origen de coordenadas y cuyos focos estarán localizados sobre los ejes x ó y (fig.)
continua
TEOREMA 1 (Ecuaciones de la Parábola) La ecuación de la parábola que tiene su foco en F(p/2, 0) y por
directriz la recta x = -p/2 (fig. 6.1.4) viene dada por : y2=2px(3). Recíprocamente si un punto P del plano, satisface (3) entonces P x PDD-F
La ecuación de la parábola que tiene su foco en F(0, p/2) y por directriz la recta y = -p/2 (fig. 6.1.3.) es: x2 = 2py (4)
Recíprocamente, si un punto P del plano, satisface (4) entonces P x PDD-F
fig. 6.1.3.
fig. 6.1.4.
Observaciones: En la fig. 6.1.3. aparecen las gráficas de dos parábolas abiertas hacia arriba
(en el caso de p>0) y hacia abajo (p<0), respectivamente y cuyos focos están localizados en el punto F(0, p/2) y cuya directriz es la recta de ecuación y = -p/2.
Además, todos sus puntos son simétricos con respecto al eje y: de aquí que las ecuaciones que representan sus lugares geométricos, presentan únicamente a la variable x elevada en una potencia par.
. Igualmente, las gráficas de la fig. 6.1.4. corresponden a las gráficas de parábolas abiertas hacia la derecha (p > 0) e izquierda (p < 0) respectivamente, con focos en el punto F(p/2, 0) y cuya directriz es la recta de ecuación x = -p/2. Además todos sus puntos son simétricos con respecto al eje x, de aquí que las ecuaciones que representan sus lugares geométricos, poseen
únicamente a la variable y elevada a su potencia par.
Traslación de Ejes En el ejemplo 5 de la sección 5.6., se determinó que la ecuación de la
circunferencia con centro en C(4,3) y radio 5 era: ó Sin embargo, si se encuentra la ecuación con centro en C(0, 0) y radio
5. Se obtiene. De lo anterior se concluye que a veces puede cambiar la ecuación sin
cambiar la forma de la gráfica (fig. 6.1.5.).
Si en el plano cartesiano x - y se eligen nuevos ejes coordenados paralelos a los ejes x e y, se dice entonces que ha habido una "TRASLACIÓN DE EJES". Al fin de analizar los cambios que se presenten en las coordenadas de los puntos del plano al introducir un nuevo sistema de coorde- nadas x’ e y’ paralelo a los ejes x e y, se toma un punto fijo o’(h, k) que se llama: ORIGEN del nuevo sistema.
Sea ahora, un punto P(x, y) del plano, cuyas coordenadas están referidas al sistema con origen O(O, O) Entonces las coordenadas de P(x’, y’) referidas al sistema x’-y’ vienen dadas por las relaciones:
x = x’ + h (1) y = y’ + k (2) llamadas: ECUACIONES DE TRASLACIÓN DE EJES, y que pueden deducirse fácilmente de la fig. 6.1.6.
Ecuación de la elipse
Ecuación de la elipseTomamos como centro de la elipse el centro de
coordenadas y los ejes de la elipse como ejes de coordenadas. Las coordenadas de los focos son:
F'(-c, 0) y F(c, 0)
Cualquier punto de la elipse cumple:
EjemploHallar los elementos característicos y la ecuación reducida de la elipse de focos: F'(-3,0) y F(3, 0), y su eje mayor mide 10.
Semieje mayor
Ecuación reducida de eje vertical de la elipse
Ejemplo Dada la ecuación reducida de la elipse
, hallar las coordenadas de los vértices de los focos y la excentricidad.
Ecuación de la elipse Si el centro de la elipse C(x0,y0) y el eje principal es
paralelo a OX, los focos tienen de coordenadas F(X0+c, y0) y F'(X0-c, y0). Y la ecuación de la elipse será:
Al quitar denominadores y desarrollar se obtiene, en general, una ecuación de la forma:
Donde A y B tienen el mismo signo.
Ecuación de eje vertical de la elipse Si el centro de la elipse C(x0,y0) y el eje principal es
paralelo a OY, los focos tienen de coordenadas F(X0, y+c) y F'(X0, y0-c). Y la ecuación de la elipse será:
