Dados los vrtices de un paralelogramo, calcular su rea (por los dos mtodos u x v (producto vectorial) y por ngulo) 1.-se grafican las partesa) (2, -1, 1)b) (5, 1 , 4)c) (0, 1, 1) d) (3, 3, 4)

2.- determinar los componentes de AB, AC, DC , Componente V = AB= (5-2, 1+1, 4-1) = AC= (0-2, 1+1, 1-1) = DC= (0-3, 1-3, 1-4) = DB= (5-3, 1-3,4-4) = 3.- calcular el rea del paralelogramo IIU x VII

AB x AC = (0 6) i (0 + 6) j + (6 4) k = Area

AB x AC = Area II AB X AC II = = =

4.- Calculo del rea por Angulo

u . v = AB . AC = (3)(-2) + (2)(2) + (3)(0)AB . AC = -6 +4 +0AB . AC = -2 u.v = -2IIABII =IIABII =IIABII =IIACII =IIACII =IIACII =Sustitucin

5.- Calcular IIuII IIvII sen = Area

Area = 13.11APLICACIN DEL PRODUCTO VECTORIAL En fsica el producto vectorial sirve para medir el momento m de una fuerza f de un punto p. El momento de F respecto de P

F= fuerzaM= momentoPQ= direccin entre P y Q

Si el punto de la aplicacin de la fuerza es Q, el momento de F respecto de P vine dado por :M= PQ x F Momento de F respecto a P M= momento de F alrededor de PLa magnitud del momento mide la tendencia del vector PQ a girar en sentido anti horario (regla de la mano derecha) en torno a un eje dirigido a lo largo del vector M.Ejemplo de aplicacin del producto vectorialSe aplica una fuerza vertical de 50 libras al extremo de una palanca de 1ft. De longitud, ligada a un eje en el punto P. Calcular el momento de esa fuerza respecto del punto P cuando = 60Una fuerza vertical de 50 libras se aplica en el punto PDatos:F=50 librasL= 1ftM= ?= 60

Solucin: Si representamos la fuerza por el vector F= -50KSi representamos la palanca por el vectorPQ= (cos 60)j + (sen 60)kPQ= El momento de F respecto de P es:

M= PQ x F = (-25 -0) i (0 -0) j + (0 -0)kM= PQ x F = -25i -0j -0kM= PQ x F = -25iLa magnitud de este momento es de 25 lb. pieNOTA: en el ejemplo el momento (tendencia de la palanca a girar en torno al eje) depende del ngulo El momento es 0 cuando = 90El momento es mximo cuando = 0TRIPLE PRODUCTO ESCALARSean los vectores u, v, w es el espacio. Se conoce como Triple Producto Escalar o Producto Mximo. Al producto escalar de:u . (v x w)Este producto tiene una interpretacin geomtrica prctica; puede calcularse mediante la determinante del teorema siguiente:

Si los vectores u, v, w no son coplanarios (no estn en el mismo plano), entonces su producto mixto o triple producto escalar de el volumen del paraleleppedo (poliedro cuyas caras son paralelogramos) que tiene a u, v y w como lados adyacentes.

Teorema 10.10 Interpretacin geomtrica del producto mixto El volumen de un paraleleppedo con lados adyacentes u, v y w viene dado por V= u .( v x w) Del teorema 10.10 se desprende que el volumen del paraleleppedo es = 0 si y solo si los tres vectores son coplanarios. Esto es; tres veces u= , v= , w= con el mismo punto inicial estn y pertenecen al mismo plano si y solo si:

Ejemplo: Calculo de un volumen mediante un producto mixto.Calcular el volumen del paraleleppedo que tiene u= 3i 5j +k, v= 2j -2k, w= 3i +j +k como aristas adyacentes; graficarlo.Datosu= 3i 5j +ku= v= 2j -2kv= w= 3i +j +kw=

V = (4)(3) (6)(-5) + (-6)(1) V = 12 + 30 6V = 363 -(-5) +(1) = (2+2)(3) (0+6)(-5) + (0-6)(1)2 por pasos. Solucin por cofactores para producto vertical

v x w = 4i -6j -6kv x w=

u.v= u . = . u . = (3)(4) + (-5)(-6) + (1)(-6)u . = 12 + 30 -6 u . = 36v = 36Otra manera de como se realiza: Determinante por cofactores para producto vertical

V = (3, -5, 1) [(2+2)i - (0+6)j + (0-6)k]V = (3, -5, 1) [4i -6j -6k]V = (3, -5, 1)(4, -6, -6)V = 12 + 30 -6V = 42 - 6V = 36 Solucin por: Determinante o resolucin de matriz

V= (6+30+0) (6-6-0)V= 36 0V= 36Calcular el volumen del paraleleppedo que tiene a u= i+j, v= j+k, w= i+k como aristas adyacentes, graficarlo.u= i+ju= volumenv= j+kv= v= u . (vxw)w= i+kw= = (1+1+0) (0+0+0)= 2

Solucin por cofactores para producto vectorial

v x w= u.v= u . (vxw)= . = (1)(1) + (1)(1) + (0)(-1)= 1+1-0 = 2Hallar el volumen del paraleleppedo que tiene por lados adyacentes u, v y w. u= , v= y w= u= volumenv= v= u . (vxw)w=

Solucin por cofactores para producto vectorial

v x w= 20i + 20j 20kv x w= u.v= u . (vxw)= . = (1)(20) + (3)(20) + (1)(-20)= 20+60-20 = 60

Calcular el volumen del paraleleppedo cuyos vrtices se dan a continuacin; graficarlo. A. (0, 0, 0)B. (3, 0, 0)C. (0, 5, 1)D. (3, 5, 1)E. (2, 0, 5)F. (5, 0, 5)G. (2, 5, 6)H. (5, 5, 6)v=

1 Determinar los vectores adyacentes sea:AB= (3-0), (0-0), (0-0)= AE= (2-0), (0-0), (5-0)= AC= (0-0), (5-0), (1-0)= Mtodo por cofactores

AB x AC = 0i 3j + 15k AB x AC = u.v= v= AE . (AB x AC) = . = (2)(0) + (0)(-3) + (5)(15)= 0-0+75= 75Mtodo por determinanteDetectar los valores adyacentes sea: v= HF= (5-5), (0-5), (5-6) = HD= (3-5), (5-5), (1-6)= HG= (2-5), (5-5), (6-6)= Mtodo por cofactores:

HF x HG= 0i +3j -15k HF x HG= u.v= V= HD . (HF x HG) = . = (-2)(0) + (0)(+3) + (-5)(-15)= 0+0+75= 75Mtodo por determinante: