MATERIALES DE MATEMÁTICAS PARA 3er CURSO E.S.O.

GEOMETRÍA

ACTIVIDADES PARA LOS ALUMNOS Y LAS ALUMNAS

Autores: Floreal Gracia Javier Alfonso

Dibujos: Javier Alfonso

Manuel García

(Col.lectiu Mosaic)

COLECCIÓN: MATERIALES REFORMA. TÍTULO: GEOMETRÍA EDITA: GENERALITAT VALENCIANA, CONS. CULTURA,

EDUCACIÓN Y CIENCIA, D.G. ORD. E INNOVACIÓN EDUCATIVA, PROGRAMA II. Y REFORMAS EXPER.

1ª EDICIÓN DISEÑO COLECCIÓN: VOLÚMENES ALTERADOS S.A.L. I.S.B.N.: 84-7890-775-0 D.L.: V-909-1992 IMPRESO EN ESPAÑA - PRINTED IN SPAIN Impreso por: GRÁFIC-3 S.A. C/ Pintor Sorolla, 12 Pol. Ind.Ciudad Mundeco. 46930 QUART DE POBLET - VALENCIA

ÍNDICE ÍNDICE AMPLIADO Construcciones e investigaciones................................... 6 Estimación......................................................................20 Volúmenes......................................................................25 Teorema de Pitágoras. Aplicaciones..............................28 Introducción a la Trigonometría......................................41 Movimientos en el plano.................................................47

ÍNDICE AMPLIADO CONSTRUCCIONES E INVESTIGACIONES ................................................................... 6

REGLA Y COMPÁS ........................................................................................................ 7 CIRCUNFERENCIAS ...................................................................................................... 7 LA PISTA DE BAILE....................................................................................................... 7 POLÍGONOS INSCRITOS............................................................................................... 8 ÁNGULOS EN UNA CIRCUNFERENCIA .................................................................... 8 PERPENDICULARES...................................................................................................... 9 PUNTOS Y RECTAS NOTABLES DE UN TRIÁNGULO. ........................................... 9 DOBLANDO PAPEL ....................................................................................................... 9 DOBLANDO PAPEL ..................................................................................................... 10 TANGRAM..................................................................................................................... 11 LOS PUEBLOS............................................................................................................... 12 OCHO LADOS ............................................................................................................... 12 RECTIFICACIÓN DE LA CIRCUNFERENCIA .......................................................... 13 EL RECTÁNGULO DE ORO ........................................................................................ 15 ESTRELLA PITAGÓRICA Y PENTÁGONO REGULAR........................................... 16 TRIÁNGULOS DE SUPERFICIE 1............................................................................... 16 CUADRADOS EN UN GEOPLANO............................................................................. 16 CUADRADOS EN UN GEOPLANO............................................................................. 17 UNA MESA DE BILLAR............................................................................................... 17 CUATRO PUNTOS ........................................................................................................ 17 CUATRO PUNTOS ........................................................................................................ 18 DIAGONAL 10 ............................................................................................................... 18 FÚTBOL Y GEOMETRÍA ............................................................................................. 18 FIGURAS QUE DAN TUMBOS ................................................................................... 19

ESTIMACIÓN .................................................................................................................... 20 UN DÍA ........................................................................................................................... 21 EL GIGANTE ................................................................................................................. 21 CALLES Y PLAZAS ...................................................................................................... 21 UN MILLÓN DE PASOS ............................................................................................... 22 TRABAJO DE CAMPO I ............................................................................................... 22 ERROR ADMISIBLE ..................................................................................................... 22 TELA PARA EL SOFÁ .................................................................................................. 23 ANUNCIO....................................................................................................................... 23

VOLÚMENES .................................................................................................................... 24 RECTÁNGULOS QUE RUEDAN................................................................................. 25 EQUIPAJE DE VUELO.................................................................................................. 25 CARTONES DE LECHE................................................................................................ 25 LA TIENDA INDIA........................................................................................................ 26 UN IGLÚ......................................................................................................................... 26 UN PEQUEÑO ERROR ................................................................................................. 27

CONO MÁXIMO............................................................................................................ 27 VOLUMEN CONSTANTE ............................................................................................ 27

TEOREMA DE PITÁGORAS ............................................................................................ 28 CONSTRUYENDO TRIÁNGULOS.............................................................................. 29 ¿EQUILÁTERO? ............................................................................................................ 29 PITÁGORAS Y LAS BALDOSAS ................................................................................ 29 PITÁGORAS Y LAS BALDOSAS ................................................................................ 30 ROMPECABEZAS PITAGÓRICOS.............................................................................. 30 ¿SERÁ POSIBLE? .......................................................................................................... 35 PITÁGORAS Y ÁLGEBRA........................................................................................... 35 UNA DEMOSTRACION DINÁMICA .......................................................................... 36 PITÁGORAS Y EUCLIDES .......................................................................................... 37 SEGMENTOS ................................................................................................................. 38 INFINITOS TRIÁNGULOS ........................................................................................... 38 CHING CHANG SUAN SHU ........................................................................................ 39 DIAGONALES ............................................................................................................... 40 GENERALIZANDO ....................................................................................................... 40

INTRODUCCIÓN A LA TRIGONOMETRÍA .................................................................. 41 ¿QUÉ HORA ES? ........................................................................................................... 42 TRABAJO DE CAMPO II .............................................................................................. 42 ALAS DELTA I ............................................................................................................ 42 PROPORCIÓN DE PLANEO......................................................................................... 43 ÁNGULO DE PLANEO ................................................................................................. 43 TANGENTE.................................................................................................................... 44 SENO Y COSENO.......................................................................................................... 45 LÍNEAS TRIGONOMÉTRICAS.................................................................................... 45 LA CUESTA ................................................................................................................... 45 LA CUESTA ................................................................................................................... 46

MOVIMIENTOS EN EL PLANO ...................................................................................... 47 CENTROS Y EJES DE SIMETRÍA ............................................................................... 48 GIROS I........................................................................................................................... 48 GIROS II ......................................................................................................................... 48 GIROS II ......................................................................................................................... 49 SIMETRÍAS .................................................................................................................... 49 SIMETRÍAS Y GIROS EN EL CUADRADO ............................................................... 49 SIMETRÍAS Y GIROS EN EL CUADRADO ............................................................... 50 LA CUEVA DEL TESORO............................................................................................ 51 BILLAR........................................................................................................................... 52 ROTACIONES EN UN GEOPLANO ............................................................................ 52 EL JUEGO DE LAS ISOMETRÍAS............................................................................... 52 EL JUEGO DE LAS ISOMETRÍAS............................................................................... 53

CONSTRUCCIONES E INVESTIGACIONES

REGLA Y COMPÁS Investiga qué construcciones pueden hacerse utilizando solamente regla y compás. CIRCUNFERENCIAS 1.- Dibuja circunferencias que pasen por el punto A. 2.- Dibuja circunferencias que pasen por los puntos A y B. 3.- Dibuja circunferencias que pasen por los puntos A, B y C. 4.- Dibuja circunferencias que pasen por los puntos A, B, C y D. 5.- Dibuja circunferencias tangentes a la recta r. 6.- Dibuja circunferencias que sean tangentes a la vez a las rectas r y s. 7.- Toma una regla y elige un punto O del papel. Coloca la regla de manera que

uno de sus bordes pase por O. Traza una recta utilizando el otro borde. Gira la regla y vuelve a proceder como antes. Sigue dibujando rectas hasta que observes alguna regularidad. Comenta el dibujo.

LA PISTA DE BAILE El contorno de una pista de baile ha de ser una circunferencia de 20 m de diámetro y ha de haber una pista especial para los concursos de baile que deber tener la mitad del diámetro de la anterior. Se propusieron los cinco proyectos siguientes: Da nombre a cada uno de estos proyectos según la posición de las circunferencias. Se decidió que las circunferencias fuesen tangentes interiores. ¿Cuál fue el proyecto elegido? ¿Cuál es la superficie para bailar fuera del concurso?.

POLÍGONOS INSCRITOS Dibuja cinco circunferencias y en cada una de ellas inscribe:

a.- Un triángulo equilátero. b.- Un cuadrado. c.- Un hexágono regular. d.- Un octógono. e.- Un dodecágono.

ÁNGULOS EN UNA CIRCUNFERENCIA Dibuja una circunferencia cualquiera de centro O. Toma en ella tres puntos, P, A y B. Traza los segmentos PA y PB. El ángulo APB se llama ángulo inscrito. Traza ahora los radios OA y OB. El ángulo AOB se llama ángulo central. Ve variando la posición de los puntos A y B; mide en cada posición los correspondientes ángulos inscrito y central, rellena el cuadro que acompaña a esta actividad y aventura que relación existe entre las medidas del ángulo inscrito y el correspondiente central.

A

B

O

P

Ángulo inscrito Ángulo central

PERPENDICULARES Dibuja en un folio una recta cualquiera que no sea paralela a ninguno de los bordes. Señala sobre ella un punto A y fuera de ella un punto B. Trazar una perpendicular a la recta por A o desde B no es muy difícil si disponemos de escuadra y cartabón. Pero ya no lo es tanto si no disponemos de esos instrumentos. Explica como procederías utilizando solamente regla y compás. Más difícil todavía. Sin regla, ni compás, ¡ni lápiz!... Eso sí, puedes hacer en el papel todas las dobleces que quieras. Aún más difícil. Además de no tener ni regla, ni compás, ni lápiz, el punto C coincide con la intersección de la recta con uno de los bordes del folio. Explica con detalle los pasos que hay que seguir.

PUNTOS Y RECTAS NOTABLES DE UN TRIÁNGULO. Además de los lados y vértices, en un triángulo hay líneas y puntos que merecen interés. Las líneas reciben el nombre de altura, mediana, mediatriz y bisectriz. ¿Podrías escribir debajo de cada figura el nombre que le corresponde y dar una definición de cada una de estas líneas? Ahora consigue cuatro láminas que tengan dibujado un triángulo como el de la figura. Recorta el triángulo. Utiliza uno para trazar las tres alturas. Otro para las tres medianas, otro para las tres bisectrices y otro para las tres mediatrices. Pero no utilices instrumentos de dibujo. Hazlo doblando el papel. Habrás descubierto sin duda el ortocentro, baricentro, circuncentro e incentro del triángulo. ¿Te atreves a dar una definición de estos puntos?

DOBLANDO PAPEL Son muchas las construcciones geométricas sencillas que podemos realizar y los conceptos geométricos que podemos ilustrar sin utilizar ningún instrumento de dibujo, simplemente doblando papel. Te presentamos a continuación las figuras que corresponden a la construcción de los siguientes polígonos regulares: a.- Triángulo equilátero. b.- Cuadrado. c.- Pentágono. d.- Hexágono. e.- Octógono. A la vista de ellas intenta dar por escrito las instrucciones a seguir para obtener estos polígonos. Cuando las hayas escrito pásaselas a tu compañero y que intente él fabricar el polígono, sin tener a la vista la figura.

TANGRAM Además de un cuadrado, con las siete piezas del tangram chino pueden formarse los doce polígonos convexos que tienes en la figura. Consigue una lámina del tangram, recorta las siete figuras y trata de construirlos. Es claro que todos tienen la misma área. ¿Qué podemos decir del perímetro?.

LOS PUEBLOS Las distancias en Kilómetros entre cinco pueblos vienen dadas por la tabla siguiente: A B 42 B C 87 45 C D 82 52 48 D E 64 86 123 91 Construye un plano. OCHO LADOS Observa el siguiente procedimiento para construir un octógono. Dibuja un cuadrado cualquiera y divide en tres partes iguales cada uno de sus cuatro lados. Une cada dos puntos de división consecutivos. Habrás obtenido un octógono. ¿Crees que es regular? ¿Cómo debería haberse efectuado la división de los lados del cuadrado para obtener un octógono regular?

RECTIFICACIÓN DE LA CIRCUNFERENCIA Este problema al que gran número de matemáticos han dedicado una enorme cantidad de tiempo y esfuerzo, exige trazar, con regla y compás un segmento de la misma longitud que una circunferencia determinada. A finales del siglo pasado, el matemático Lindeman lo resolvió en sentido negativo, demostrando que tal cosa no es posible. Pero sí que resulta posible obtener la rectificación de una circunferencia de radio r de una manera aproximada (esto es, obtener un segmento de longitud 2 r). Vamos a ver tres métodos diferentes. Tú tendrás que estimar la precisión de cada uno de ellos, sabiendo que el valor de ¶ con diez cifras decimales exactas es ¶ = 3,14159 26535 ... Primer método

1.- Sobre una línea recta cualquiera llevamos el segmento AB de longitud r (radio de la circunferencia a rectificar) 2.- Por B trazamos una perpendicular a la recta anterior y sobre ella determinamos C de manera que BC = AB 3.- Por C trazamos una perpendicular a la recta AC y sobre ella determinamos E de manera que CE = AB 4.- Con centro en A y radios AE y AC trazamos dos arcos de circunferencia que cortar n en 1 y 2 a la recta AB 5.- El segmento 1-2 es aproximadamente la mitad de la longitud de una circunferencia de radio AB. ¿Con cuánta aproximación? Segundo método

En este caso no te vamos a detallar cada uno de los pasos. Te pedimos que lo hagas tú mismo observando la figura. Te diremos solamente que AB es el diámetro de la circunferencia a rectificar, que lo hemos dividido en tres partes iguales, y que el segmento BC equivale a cuatro de esas partes. EF es aproximadamente la longitud de una circunferencia de diámetro AB. ¿Con cuánta aproximación? Tercer método Este método lo ideó un jesuita polaco de apellido Kochanski y es de una gran sencillez y exactitud. Las instrucciones son las siguientes:

1.- Con centro en un punto cualquiera, A, de la circunferencia a rectificar, de radio OA, trazamos un arco del mismo radio OA, que cortar en 1 a la circunferencia dada. 2.- Con centro en 1 y el mismo radio OA, trazamos otro arco que cortar en 2 al anterior. 3.- Trazamos la recta que une O con 2 y la recta tangente en A a la circunferencia. Estas dos rectas se cortan en el punto 3. A partir de 3 y en dirección a A, llevamos tres veces el radio OA, con lo que obtenemos los puntos 4,5 y 6 4.- La distancia B6 es, con mucha aproximación, la mitad de la longitud de la circunferencia de radio OA. ¿Con cuánta?

EL RECTÁNGULO DE ORO Observa los rectángulos de la figura. ¿Cuál de ellos te resulta más atractivo? El número 3 es el llamado rectángulo de oro y ya era conocido y utilizado por los matemáticos y artistas de la Grecia clásica. Posee una notable propiedad. Si de él recortamos un cuadrado, el rectángulo restante posee las mismas proporciones que el primero. ¿Serías capaz de aplicar esta propiedad para determinar la relación entre sus lados?.

Observa la figura anterior. Se trata de un método para dibujar un rectángulo de oro. ¿Podrías dar tú las instrucciones precisas para su construcción? Vamos a darte ahora las instrucciones precisas para dividir un segmento dado en dos partes cuya relación sea el número de oro. Sea AB ese segmento. Sigue las siguientes instrucciones: 1.- Determina su punto medio C 2.- Levanta por B una perpendicular a AB. Sobre ella determina D de manera que BD = AC 3.- Une A con D y sobre AD determina E tal que DE = AC 4.- Sobre AB determina M tal que AM = AE Los segmentos AM y MB están en razón áurea. Si divides sus longitudes obtendrás el número de o arlo?

ro, 1,618... ¿Podrías comprob

ESTRELLA PITAGÓRICA Y PENTÁGONO REGULAR En la figura tienes un pentágono regular. Si dibujas sus cinco diagonales obtendrás una figura llena de armonía que los pitagóricos adoptaron como emblema. Consigue una regla graduada y ve localizando en esa figura segmentos que estén en razón áurea. ¡Hay muchos! TRIÁNGULOS DE SUPERFICIE 1 En la figura tienes una trama cuadrada 10 x 10 y en ella dibujado un cuadrado de superficie 1. ¿Puedes dibujar triángulos de superficie 1? D. José dice que hay más de 30. ¿Será verdad?

CUADRADOS EN UN GEOPLANO Considera un geoplano cuadrado 9x9. ¿Cuántos cuadrados podríamos construir con una goma elástica? Clasifícalos atendiendo a su tamaño. ¿Cuántos hay de cada clase?. Generaliza el problema a un geoplano de dimensiones n x n. UNA MESA DE BILLAR Fíjate en la mesa de billar del dibujo. Se trata de una mesa de billar algo extraña. Efectivamente, el tapete está dividido en cuadrados y solamente hay cuatro agujeros. Además la bola se golpea siempre desde la misma esquina y con la misma inclinación de 450. Queremos saber en qué agujero caerá la bola, cuántos cuadritos habrá visitado y cuántas veces habrá rebotado en las bandas. ¿Qué sucederá en mesas de otros tamaños?

CUATRO PUNTOS Dibuja en tu cuaderno cuatro puntos de manera que al unir con líneas dos cualesquiera de ellos se obtengan solamente dos tamaños diferentes de segmentos. En la figura tienes una de las seis soluciones. Trata de obtener las otras cinco. Interesa que expliques, en cada caso, los pasos que has dado para obtener los cuatro puntos.

B A C D DIAGONAL 10 En la figura puedes ver dos rectángulos de diagonal 10. Dibuja tú unos cuantos que también tengan esta misma diagonal y sitúalos de manera que la diagonal 10 sea común a todos ellos. ¿Qué figura definirían los dos vértices no unidos por la diagonal si hubieses dibujado muchísimos rectángulos? 10 FÚTBOL Y GEOMETRÍA Observa el segmento AB e imagina que se trata de una portería de fútbol. El delantero centro está dispuesto a chutar sobre portería desde el punto M. Cualquier comentarista de televisión diría que es difícil marcar gol porque no tiene ángulo de tiro. ¿Crees tú que desde el punto N el ángulo de tiro es mayor? Contesta primero lo que te parezca y comprueba después tu contestación tomando las medidas oportunas ¿Crees que habrá otros puntos en el campo desde los cuales el ángulo de tiro sea el mismo que desde M?

FIGURAS QUE DAN TUMBOS Imagina un rectángulo que se desplaza a lo largo de una línea recta, tal como ves en la figura:

A

A

AA Si consideras un punto del rectángulo, al moverse irá describiendo una curva. Toma varios puntos en los rectángulos iniciales, observa las curvas que describen y responde a estas dos cuestiones: a.- ¿Qué puntos dan lugar a una curva simétrica? b.- ¿Qué relación existe entre el punto elegido y el número de arcos de la línea

resultante?

A

A A

A A

A A

A

A

A A

AA

A A

A

ESTIMACIÓN

UN DÍA Durante un día, desde que te levantes hasta que te acuestes, apunta todas aquellas situaciones en las que aparezca la estimación, comparación o medida de alguna magnitud. Dibuja todas las figuras y cuerpos geométricos que seas capaz de ver, estimando sus magnitudes. Haz un cuadro con los datos obtenidos, clasificándolos según sus características. EL GIGANTE Hemos encontrado la huella de un pie de 2 m. de longitud ¿Qué altura tendrá el gigante que la dejó? ¿Cuánto pesará? CALLES Y PLAZAS Haz una estimación de la longitud de la calle mayor de tu pueblo. ¿Cuál crees que será el área de la plaza del Ayuntamiento? ¿Cuántas personas crees que cabrán en esta plaza? ¿Y en la calle mayor? Compara tus resultados con los de tus compañeros, exponiendo las razones en las que te has basado para establecer estas conclusiones.

UN MILLÓN DE PASOS Un millón es una cantidad muy grande, difícil de imaginar. Intenta contestar a las siguientes preguntas: a.- Si diese un millón de pasos por la carretera, en dirección a Madrid, ¿hasta

dónde llegarías? b.- Con un millón de sobres de carta, ¿conseguiríamos empapelar el terreno de

juego de un campo de fútbol? c.- ¿Cabrían en tu clase un millón de canicas? TRABAJO DE CAMPO I Vamos a calcular la altura de un edificio. Cada uno de los grupos ideará un método para medirlo y realizar un trabajo que expondrá al resto de la clase, aportando la siguiente documentación:

a.- Estimación previa b.- Explicación del método utilizado c.- Cálculos, gráficos, etc. d.- Conclusiones

ERROR ADMISIBLE Piensa en cuál sería el error máximo admisible que se podría cometer en las siguientes mediciones: a.- Peso de un cerdo, en orden a estimar el dinero que se percibiría por su venta. b.- Superficie de una vivienda en orden a estimar el importe de la contribución. c.- Medida de las paredes de una habitación, con el fin de estimar el número de

rollos de papel necesarios para empapelarla. d.- Peso de azúcar, para preparar un pastel. e.- Capacidad de una piscina, con vistas a establecer el coste de su llenado con

agua. f.- Volumen de yodo, con vistas a preparar determinado medicamento. g.- Peso de oro, para hacer un anillo.

TELA PARA EL SOFÁ Piensa y explica después en tu libreta cómo procederías para: a- Calcular la tela que has de comprar para tapizar el sofá de tu casa. b.- Calcular la tela necesaria para hacer un tapete a una mesa camilla. Justifica los cálculos que realices. ANUNCIO En cierto periódico apareció el siguiente anuncio:

============ CHALÉS ============

ROBLEDO DE CHAVELA, a estrenar, con parcela 1.000 m, próximo a estación FFCC, 9.250.000, HERSAU Analiza el anuncio indicando: a.- Qué se compra o se vende. b.- Situación. c.- Dimensiones y magnitudes. d.- Precio. Localiza en un periódico cinco anuncios en los que intervengan magnitudes y analiza los errores e imprecisiones que aparezcan.

VOLÚMENES

RECTÁNGULOS QUE RUEDAN ¿Cuál de los dos cilindros tiene mayor volumen? ¿Un cilindro hecho enrollando un rectángulo de papel de 8x12 para formar un recipiente alto y angosto? ¿O un cilindro hecho enrollando un rectángulo de papel de 12x8 para formar un recipiente bajo y ancho? EQUIPAJE DE VUELO Una compañía aérea tiene la siguiente norma sobre la dimensión del equipaje que pueden transportar los pasajeros: "Los pasajeros podrán llevar consigo un equipaje en el que la suma de las tres dimensiones (largo, ancho, alto) no exceda de 1,80 m." Investiga sobre la forma y el tamaño de las maletas que admitirá la compañía aérea. CARTONES DE LECHE ¿Cuánto cartón necesitas para hacer una caja que contenga un litro de leche?

LA TIENDA INDIA Una tienda india de forma cónica se construye de manera que su diámetro sea igual a su altura. Si disponemos de la piel de 25 búfalos, ¿Cuál ser la altura máxima de la tienda que podremos construir? ¿Cuál ser el área habitable?

UN IGLÚ Imagina un iglú. ¿Qué volumen de aire existe en su interior? ¿Cuánto hielo se utilizó en su construcción? Si quisiéramos revestir las paredes interiores, ¿qué cantidad de material haría falta?

UN PEQUEÑO ERROR Queremos calcular el volumen de un depósito de gas butano que suponemos esférico. Dos personas han medido el diámetro obteniendo 8,35 m. y 8,36 m. ¿Cuántas bombonas de butano supone la diferencia entre las dos medidas? CONO MÁXIMO De un círculo de radio 10 extraemos un sector y con él formamos un cono. ¿Cuál será el mayor volumen que pueda tener este cono?. VOLUMEN CONSTANTE Construye seis cuerpos geométricos que tengan 1.000 unidades cúbicas de volumen y calcula sus dimensiones.

TEOREMA DE PITÁGORAS

CONSTRUYENDO TRIÁNGULOS ¿Cuántos triángulos hay de lados enteros y perímetro menor que 12?. ¿Eres capaz de construirlos todos?. ¿Hay alguno entre ellos que sea rectángulo?. Construye ahora todos los triángulos de lados enteros y perímetro 12. ¿Alguno es rectángulo?

¿EQUILÁTERO? Consigue una trama cuadrada. ¿Podrías dibujar un triángulo que fuera equilátero y que tuviese sus vértices en puntos de la trama?

PITÁGORAS Y LAS BALDOSAS Consigue algunos folios y fabrica con ellos cuadrados de papel. Recorta cada uno de los cuadrados a lo largo de sus diagonales para conseguir triángulos rectángulos isósceles como el de la figura 1. Monta con estos cuadrados la figura 2 y coméntala. ROMPECA Tienes a tu Fíjate que scuadrado socon los trozo

1

2

BEZAS PITAGÓRICOS

disposición cuatro láminas que deberás e trata de un triángulo rectángulo en ebre cada uno de sus tres lados. Recortas resultantes intenta "cubrir" completame

recortar por las líneas finas. l que hemos construido un los cuadrados pequeños y

nte el cuadrado grande.

¿SERÁ POSIBLE? Toma una hoja cuadriculada como la del dibujo. Recórtala por las líneas gruesas y con los trozos resultantes reconstruye el rectángulo de la figura. ¿Qué superficie tiene este rectángulo? ¿Cómo es posible?

PITÁGORAS Y ÁLGEBRA El teorema de Pitágoras dice: "En un triángulo rectángulo, el cuadrado sobre la hipotenusa es equivalente a los cuadrados sobre los catetos". De este teorema fundamental se conocen cerca de trescientas demostraciones diferentes. Te presentamos a continuación las figuras correspondientes a dos de ellas. Te pedimos que sitúes letras donde estimes conveniente y desarrolles la demostración.

UNA DEMOSTRACION DINÁMICA Observa atentamente la secuencia de dibujos que te presentamos a continuación. ¿Puedes comentarla?

PITÁGORAS Y EUCLIDES He aquí¡ la demostración del teorema de Pitágoras tal como aparece en los "Elementos" de Euclides. Intenta desarrollarla siguiendo los siguientes pasos:

1.- Demuestra que los triángulos BCH y ABE son iguales. 2.- Demuestra que el área del rectángulo BGEF es doble que la del triángulo ABE. 3.- Demuestra que el área del cuadrado ABCD es doble que la del triángulo BCH. 4.- Establece una conclusión. 5.- Repite los pasos anteriores para la segunda figura. 6.- Establece una conclusión.

SEGMENTOS Considera una trama cuadrada 5x5. ¿Cuántos segmentos de diferente longitud, con los extremos en puntos del geoplano eres capaz de dibujar? ¿Cuál es la longitud de cada uno de estos segmentos? INFINITOS TRIÁNGULOS En la figura puedes ver el teorema de Pitágoras repitiéndose muchas veces a partir de un triángulo rectángulo isósceles. ¿Podrías calcular la medida de: a.- La hipotenusa número n. b.- La superficie del triángulo número n. c.- La superficie de los n primeros triángulos. d.- La superficie de la figura completa.

CHING CHANG SUAN SHU Este es el título de un libro chino dedicado a problemas de matemáticas que ha llegado hasta nuestros días. Algunos de sus problemas son: a.- En el centro de un estanque cuadrado, cuyo lado mide 10 m, crece un junco que sobresale l m del nivel del agua. Si tiramos del junco hacia la orilla, su extremo superior queda a ras con la superficie del agua, ¿cuál es la profundidad del estanque? ¿y la longitud de la planta?

b.- Una cadena se ata a lo alto de un poste. La cadena es 4 unidades más larga que el poste. Si tensamos la cadena, ésta toca en el suelo a 8 unidades de la base del poste. ¿Cuál es la longitud de la cadena?

c.- En una ciudad amurallada de planta cuadrada y 200 unidades de lado hay en el centro de cada lado una puerta. Situado a 15 unidades de la puerta Oeste, hay un árbol. ¿Qué distancia debe caminar una persona que salga por la puerta Norte para que divise el árbol?

DIAGONALES Calcula la distancia aproximada que hay entre la esquina inferior derecha y la superior izquierda de tu clase. Haz lo mismo con una caja de zapatos. GENERALIZANDO Ya conoces el teorema de Pitágoras. Si en un triángulo rectángulo construyes un cuadrado sobre cada uno de los lados, el construido sobre la hipotenusa es equivalente a los construidos sobre los catetos. Este teorema se refiere a cuadrados. Pero, ¿funcionará también con otras figuras?. ¿Con triángulos equiláteros? ¿Y con hexágonos regulares? ¿Y con un polígono regular cualquiera? ¿Será necesario que los polígonos sean regulares?

S1

S3

S2

¿S1 = S2 + S3 ?

INTRODUCCIÓN A LA TRIGONOMETRÍA

¿QUÉ HORA ES? Calcula el ángulo que forman las manecillas de un reloj cuando éste marca: a.- Las 7:00 b.- Las 10:30 c.- Las 10:55 d.- La 1:35 e.- Las 16:40

TRABAJO DE CAMPO II Dados tres puntos en el patio del instituto, se propone medir el área del triángulo que tiene por vértices esos puntos. ALAS DELTA I Sin duda conoces las alas Delta. Se trata de planeadores más o menos caseros que permiten realizar vuelos cortos sin necesidad de motor. Los más corrientes permiten avances de 40 metros por cada 10 de caída. En la tabla tienes las alturas desde las que se lanza un aprendiz de aviador y las distancias que recorre. ¿Podrías terminar de rellenar la tabla? Dibuja un triángulo que esquematice cada uno de los vuelos realizados por ese aprendiz. Altura Distancia

10 40 20 50 60 90

PROPORCIÓN DE PLANEO Un ala Delta de buena calidad permite avances de 70 m por cada 10 de caída. Se dice que en este caso la proporción de planeo es de 1:7. Dibuja tú tres vuelos diferentes que puedan hacerse con este ala, saltando desde diferentes alturas, y explica a tu aire lo que entiendes por proporción de planeo. ÁNGULO DE PLANEO Observa el esquema de un vuelo efectuado por un planeador con una proporción de planeo de 1:2. El ángulo A se llama "ángulo de planeo". Dibuja con precisión algunos vuelos para diferentes proporciones de planeo y calcula para cada uno de ellos el correspondiente ángulo de planeo, utilizando para ello un círculo graduado. Si la proporción de vuelo se duplica, ¿sucede lo mismo con el ángulo de planeo?.

A

1 2 Rellena la siguiente tabla: Proporción de

planeo Ángulo de

planeo 1:3 1:4 1:6 1:7 1:9

1:10

Ángulo de planeo

Proporción de planeo

150 200 300 450 750

TANGENTE He aquí tres situaciones diferentes en las que intervienen ángulos de planeo y proporciones de planeo.

Puesto que estos conceptos se presentan en muchas situaciones, además de vuelos sin motor, los matemáticos han convenido en llamarles simplemente "ángulo" y "tangente". La relación entre ángulo y tangente puede establecerse mediante una calculadora científica. Investiga el funcionamiento de las teclas tan y tan-1

SENO Y COSENO Fíjate en la figura que acompaña a esta actividad. Ya sabes que la proporción entre los catetos a y b del triángulo rectángulo ABC se conoce como tangente del ángulo A. Pero no es esta la única proporción que puede establecerse entre los lados de este triángulo. Investiga en tu calculadora el funcionamiento de las teclas sen, cos, sen-1 y cos-1 y su relación con el ángulo A.

A

a b LÍNEAS TRIGONOMÉTRICAS Fíjate en la figura. El arco de circunferencia que hemos dibujado tiene de radio 1. Hay tres líneas más gruesas que se corresponden con el seno, el coseno y la tangente del ángulo A. Pon sen, cos y tg encima de cada una de ellas. Dibuja ahora un nuevo cuadrante de radio 1. Considera un ángulo cualquiera A y estudia como varían el sen, el cos y la tg en función de la abertura de A.

S

M

N

AO

T

LA CUESTA D. José va caminando por la carretera de la figura. ¿Cuánto habrá subido a los 5OO metros?. ¿Y si la pendiente fuese del 11%? ¿Y si fuese del 13,6%?. ¿Qué ángulo forma la carretera con la horizontal?.

500400

300200

100

0

6%

MOVIMIENTOS EN EL PLANO

CENTROS Y EJES DE SIMETRÍA Dibuja los ejes y los centros de simetría de las siguientes figuras:

GIROS I Considera la L de la figura. Efectúa un giro (G1) de esta L de amplitud 1800 y centro O1. Obtendrás L1. Efectúa otro giro (G2) de la misma amplitud y centro O2. Obtendrás L2. Pues bien, el giro G que transforma directamente L en L2 se llama "composición" de G1 y G2. Estudia la composición de dos giros de amplitud 1800 y distinto centro.

O1

O2

GIROS II Si los vectores A1B1 y A2B2 se relacionan por medio de un giro, ¿cómo se puede construir el centro de giro? Estudia los casos a) y b). A2 B1 B1

A1

B2

A1

A2 B2 SIMETRÍAS Aplica a la figura A la simetría de eje E1. Obtendrás A1. Aplica a A1 la simetría de eje E2. Obtendrás A2. ¿Qué movimiento transforma directamente A en A2. Defínelo completamente. Efectúa el mismo ejercicio considerando la figura L. Generaliza los resultados.

E1 E2

E2

E1

SIMETRÍAS Y GIROS EN EL CUADRADO Tenemos un cuadrado en el que se han dibujado los 4 ejes de simetría. En cada uno de los ocho triángulos en los que ha quedado dividido el cuadrado, hay una figura dispuesta de un modo especial.

Si comenzamos únicamente con la figura A y suponemos que es una mancha de tinta, al plegar el cuadrado por el eje de simetría 1, aparecer B, al plegar por el eje 2, tendremos C y D y, por último, al plegar por el eje 4, aparecen las restantes. Otra forma de pasar de una a otra es mediante giros, por ejemplo, de A se pasa a C con un giro de 900. Para pasar de A a D, un camino podría ser: una simetría con respecto al eje 3 pasando a F y un giro de 900 para llegar a D. Este proceso lo podríamos representar por: S3 G900

A F D Busca varias formas distintas para pasar de A a B.

LA CUEVA DEL TESORO Un pirata ocultó su tesoro, lingotes de oro por valor de miles de millones de dólares, en una diminuta isla del Caribe. Para poder localizar su oro en el futuro, trazó un mapa de la isla sobre papel cuadriculado (incluimos una copia del mismo) y anotó en él una serie de indicaciones. Sus indicaciones consistían en una sucesión de transformaciones que él sabía habrían de desconcertar al puñado de sus secuaces, pero que no deberían causarte demasiados problemas si echas mano de una hoja de papel cuadriculado y vas obedeciendo cuidadosamente las instrucciones. 1.- Desembarcar en la islita contigua a la principal, en (1,3). 2.- Viajar (3,0) hasta la isla principal. 3.- Simetría respecto de y = 5. ¡Cuidado con los cazadores de cabezas!. 4.- Simetría respecto de x = 5, ¡pero no cruzar a nado!. 5.- Giro de 1800 alrededor de (7,6). ¡Mucha sangre fría!. 6.- Simetría con respecto de y = x. ¡No olvidar el traje impermeable!. 7.- Traslación de (6,-1). ¡Reza lo que sepas!. 8.- Giro de 90o en torno a (7,7). El tesoro está bajo un gran peñasco.

BILLAR En la figura tienes una mesa de billar con dos bolas. Tú tienes que golpear la bola 1 de manera que golpee a la 2 después de haber rebotado en tres bandas. Estudia de cuántas maneras diferentes puedes hacer esto y dibuja las trayectorias correspondientes.

1

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ROTACIONES EN UN GEOPLANO Observa la figura que acompaña a esta actividad. ¿Hay algún movimiento que haga coincidir a esta figura consigo misma? La figura la hemos construido dibujando cuatro líneas idénticas que satisfacen las siguientes condiciones: a.- Las cuatro comienzan en el punto central y se dirigen a un punto cualquiera de su entorno. b.- Ninguna de ellas toca o se cruza ni con ella misma ni con otra cualquiera. c.- Cuando una línea alcanza un punto del borde, se detiene. Hay 24 figuras con simetría rotacional de amplitud 900 que pueden ser dibujadas satisfaciendo estas condiciones. ¿Eres capaz de dibujarlas todas?

EL JUEGO DE LAS ISOMETRÍAS En este juego intervienen conocimientos sobre simetrías, giros, traslaciones y sus combinaciones. Estos movimientos se conocen como las "isometrías del plano", y de aquí el nombre del juego. Para jugar necesitas: 1) una hoja de papel cuadriculado, con cuadros grandes, con el dibujo que se indica en la figura, y una pieza de papel de la forma y tamaño de los triángulos del dibujo; 2) una baraja especial, como sigue: Las cartas Cada carta describe un movimiento, que tendrá que hacer con la pieza el jugador que tenga la carta. Puede ser de dos tipos: 1) cartas que den detalles exactos del movimiento, como por ejemplo: SIMETRÍA respecto a la recta: y = 0. 2) COMODÍN, que deja al jugador cierta libertad para escoger los detalles del movimiento. Tiene que haber 42 cartas en la baraja, repartidas como sigue: Centro Ángulo de rotación Número de cartas

Origen + 900

- 900

1800

3 3 3

GIROS

El ángulo recto del triángulo

+ 900

-900

1800

2 2 2

SIMETRÍAS Recta de reflexión

x = 0 y = 0 y = 5

y = - 5

4 3 2 2

COMODÍN Traslación Giro Simetría

centro/ángulo

ecuación de la recta de simetría

7 4

5

Reglas del juego Juegan dos, tres o cuatro jugadores. 1) Después de barajar, se reparten cinco cartas a cada jugador, y el resto del mazo se deja en la mesa (BOCA ABAJO). 2) Se decide de cualquier manera quién ser el primer jugador, y el turno de juego para el resto. 3) Cuando toque el turno a un jugador, tiene que mover la pieza triangular desde la posición en que la haya dejado el jugador anterior, hasta otro de los triángulos dibujados en el papel. Puede escoger para eso entre los movimientos señalados en las cartas que tiene en la mano en ese momento. Y puede utilizar una sola carta, o una combinación de varias. En el segundo caso, no hace falta que los pasos intermedios del movimiento coincidan también con triángulos dibujados en el papel, sino sólo que el resultado final le lleve a uno de ellos. Las cartas utilizadas se ponen en un montón aparte, boca arriba, en el orden en que han sido utilizadas. 4) Después de hacer el movimiento, el jugador coge cartas del mazo de cartas sin usar, hasta tener en la mano otra vez cinco. 5) Un jugador acumula el número de puntos marcados en el triángulo al que ha llegado. 6) Se trata de acumular el mayor número de puntos, por lo que tendréis que ir apuntando las sumas parciales de cada jugador. 7) Si un jugador no puede mover, o no quiere hacerlo, puede tirar una carta y coger una nueva. 8) Cuando se use un COMODÍN, hay que explicar los detalles del movimiento que se hace (p.ej., la ecuación de la recta de simetría...) "antes" de mover la pieza. 9) Si un jugador cree que el movimiento hecho por otro no se corresponde con la carta, o cartas utilizadas, puede decirlo. Si está en lo cierto, el triángulo vuelve a la posición que tenía antes, y el jugador que cometió la falta pierde su turno. 10) El juego se acaba cuando el mazo se termina y ningún jugador puede mover. O puede continuarse entonces barajando el montón de las cartas usadas, y poniéndolo boca abajo para robar de nuevo. Según se han dibujado las posiciones en el papel, el juego es muy sencillo. Tú puedes complicar las reglas del juego de maneras variadas, pero incluso tal como aparece aquí puedes divertirte, pensando combinaciones de movimientos para obtener las mayores puntuaciones posibles.