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GEOMETRÍA PLANA: EJERCICIOS DE CONSOLIDACIÓN YREPASO:

Ejemplo 1.- Sea " = 85º ; $ = 53º 43' 54" y (= 13º 52' 38". Calcular:a) "- $ b) $ + ( c) $ - ( d) 5(

Solución: a) "- $ = 85º - 53º 43' 54" para poder efectuar la operación hemos de expresar "= 85º en lasiguiente forma: 85º = 84º 60' = 84º 59' 60" utilizando los resultados de la tabla deequivalencias. De donde: "- $ = 85º - 53º 43' 54"= 84º 59' 60" - 53º 43' 54"que podemosdisponer:

84º 59' 60" 53º 43' 54" 31º 16' 6" por lo tanto "- $ = 85º - 53º 43' 54"= 31º 16' 6"

b) $ + (= 53º 43' 54" + 13º 52' 38. que podemos disponer de la siguiente forma:

53º 43' 54"13º 52' 38"66º 95' 92"

Como 92" = 60" + 32" = 1' + 32", entonces: 66º 95' 92"= 66º 96' 32"Como 96' = 60' + 36' = 1º + 36' , entonces: 66º 95' 92"= 66º 96' 32"= 67º 36' 32"Por lo tanto: $ + (= 53º 43' 54" + 13º 52' 38 = 67º 36' 32"

c) $ - (= 53º 43' 54" - 13º 52' 38", como en los minutos el minuendo es menor que elsustraendo, pasamos 1º a minutos: $ - (= 53º 43' 54" - 13º 52' 38"= 52º 103' 54" - 13º 52' 38" y disponemos la operación:

52º 103' 54"13º 52' 38"39º 51' 16"

Por lo tanto: $ - (= 52º 103' 54" - 13º 52' 38" = 39º 51' 16"

d) 5(= 5(13º 52' 38"). Disponemos la operación de la siguiente forma:

13º 52' 38" x 565º 260' 190"

Como 190" = 3x60" + 10" = 3' + 10", entonces: 65º 260' 190" = 65º 263' 10"Como 263' = 4x60' + 23' = 4º + 23' , entonces: 65º 260' 190" = 69º 23' 10".Por lo tanto: 5(= 5(13º 52' 38") = 69º 23' 10".

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Figura 2

Figura 3

1.- Determina las medidas de los ángulos desconocidos en los siguientes casos.

2.- Determina el valor de un ángulo que es la quinta parte de su suplementario.

3.- Hallar el valor de un ángulo que supera en 20º 17' 20" a su suplementario.

4.- Determinar un ángulo que mide 17º 10' 30" menos que su complementario.

.- Hallar el valor de un ángulo que mide el triple de su complementario. correspondientes las siguientes parejas: b y d; m y q; m y p.

.- Demostrar que cuando dos rectas paralelas son cortadas por una transversal se verifica que:a) Los ángulos alternos externos son iguales.b) Los ángulos correspondientes son iguales.

.- Demostrar la siguiente consecuencia de la proposición anterior: Cuando dos rectas paralelasson cortadas por una recta transversal los cuatro ángulos agudos que se forman son iguales y también son iguales los cuatro ángulos obtusos.

.- Demostrar, a partir de las proposiciones anterioresy a la vista de la figura que la suma de los ángulosinteriores de un triángulo es 180º.

.- El la figura se handescompuesto en triángulos uncuadrilátero, un pentágono y unhexágono Completa la siguientetabla y prueba que la suma S delos ángulos interiores de unpolígono de n lados viene dadapor:

180º ( 2)S n= −

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Figura 4

Figura 5

Polígono nº de lados nº de triángulos Suma de los ángulos

cuadrilátero

pentágono

hexágono

decágono

polígono de 100lados

polígono de nlados

.- ¿Cuánto mide un ángulo interior de un dodecágono regular?

.- ¿Qué polígono regular tiene como ángulo interior un ángulo de 140º? ¿y cuál uno de162º?.

.- En un triángulo ABC, se tiene que <A = 120º 30' y <B = 20º 10' . Hallar el valor de<C.

.- El ángulo desigual en un triángulo isósceles mide 30º 35' 46". Hallar el valor de losángulos de la base.

.- Hallar la medida de los ángulos numerados1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 y 8.

.- Calcular la medida de los ángulos numerados 1,2 y 3 en la siguiente figura

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.- Dos rectas paralelas, cortadas por una transversal, forman un ángulo de 32º. Hallad elvalor de los otros siete ángulos.

.- Un ángulo interior de un polígono regular de n lados mide:

1.- 180º/n2.- 120º3.- 360º/n

4.-

.- Las medidas de los ángulos A y C son respectivamente:

1.- A = 145º y C = 35º2.- A = 25º y C = 155º3.- A = C = 25º4.- A = 155º y C = 25º

.- Halla los valores de los ángulos desconocidos delparalelogramo que aparece en la figura.

.- Determina el valor de " en cada uno de los siguientes casos:a) b)

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c) d)

.- Calcular los ángulos desconocidos:a) b)

.- En un triángulo rectángulo uno de los ángulos agudos es el doble que el otro. Halladichos ángulos.

.- Calcula la medida de los ángulos de un triángulo, sabiendo que el mayor y el medianose diferencian en 48º y el mediano y el menor se diferencian en 12º.

Existen varios procedimientos para determinar la bisectriz de un ángulo:

.- Probar, siguiendo un procedimiento similar al utilizado para las bisectrices, que lastres mediatrices de un triángulo se cortan en un punto.

.- El ángulo desigual de un triángulo isósceles mide 20º. Hallar el valor del ánguloobtuso formado por las bisectrices de los ángulos de la base.

.- El circuncentro es el punto del triángulo en que se cortan las tres:

1.- alturas2.- medianas3.- bisectrices4.- mediatrices

.- Hallad el ángulo formado por las bisectrices de dos ángulos complementarios(consecutivos), siendo la medida de uno de ellos 20º 30' 10".

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.- Hallad el valor del ángulo formado por la bisectriz de un ángulo de 42º y la bisectrizdel suplementario adyacente a él.

.- En un triángulo equilátero, una de las medianas mide 15cm. Halla:

a) La distancia del baricentro a cada vértice.b) El lado del triángulo.

.- Sabiendo que los lados del triángulo equilátero de la figuramiden 6 cm. Se pide:

a) Hallar el área de dicho triángulo.b) Hallar, apoyándose en las propiedades de las medianas, la medida de los segmentosAO y OP.c) Determinar el diámetro de la tubería más gruesa que se puede introducir en unagujero en forma de triángulo equilátero cuyos lados miden 6 cm.

.- Si G es el baricentro del triángulo, halla las medidas de los segmentos x, y, z.

.- En triángulo equilátero, el baricentro se halla a unadistancia de 5 cm de uno de los lados. Se pide:a) Determinar la medida de la altura.b) El radio de la circunferencia inscrita en el triánguloequilátero.c) El radio de la circunferencia que circunscribe altriángulo equilátero.d) La medida del lado del triángulo.

.- Si te encuentras en una sala triangular, indica cómo se llama el punto en el que tetendrás que colocar para estar:a) A igual distancia de las tres paredes.b) A igual distancia de las tres esquinas.

.- Dos ángulos de un triángulo miden 73º y 58º respectivamente. Determina el ánguloque forman sus bisectrices.

.- Realizar las construcciones que se indican en cada caso:1.- Construir un triángulo dados dos lados a y b y el ángulo C comprendidoentre ellos. (LAL)

2.- Construir un triángulo dados los tres lados a, b y c.

3.- Construir un triángulo dados los ángulos A y B y el lado comprendido entreellos c.

.- Con dos varillas de 12 cm y 5 cm respectivamente y una tercera de longitud x, sedesea construir un triángulo uniéndolas por sus extremos. Determinar entre qué valores

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debe estar comprendida la longitud x para que dicha construcción sea posible.

.- Dos triángulos equiláteros, que tienen sus tres ángulos iguales, ¿son necesariamenteiguales?. Razona la respuesta.

.- Dos triángulos rectángulos tienen igual uno de los ángulos agudos y uno de los catetos, ¿son iguales?. Justifica la respuesta.

.- El ángulo desigual de dos triángulos isósceles T y T’ mide 25º. a) Determinar la medida de los otros dos ángulos en T y T’.b) ¿Son iguales T y T’?. Justifica la respuesta.

.- T y T’ son triángulos obtusángulos. Sean a y b los lados del triángulo T quecomprenden al ángulo obtuso y sean a’ y b’ los correspondientes lados de T’. Si secumple que a = a’ y b = b’, ¿podemos asegurar que T y T’ son iguales? . Justifica larespuesta.

.- Sean y, 65º , 7 las medidas de dos lados y un ángulo de un triángulo T y sean 6, ", x los elementos correspondientes del triángulo T’. Determina las cantidades desconocidaspara que ambos triángulos sean iguales.

.- Construye un triángulo de lados 6 y 8 cm. y con un ángulo de 30º. ¿Puedes construirmás de uno?

.- Construye un triángulo de un lado de 6 y con dos ángulos de 60º y 80º. ¿Puedesconstruir más de uno?

.- ¿Pueden ser los lados de un triángulo la mitad de los de otro? ¿Pueden ser los ángulosde un triángulo la mitad de los de otro? Justifica las respuestas.

.- En una fotocopiadora se hace una copia ampliada de un transportador y de una reglagraduados y se recortan ambas figuras de la copia.¿Podemos utilizar la copia del transportador para medir ángulos?.¿Qué ocurre si se utiliza la copia de la regla para medir distancias?

.- Si una fotocopia reduce un documento en un 80%. ¿Cuál es la medida en la copia deun segmento que mide 3 cm en el original?. Si un ángulo mide 35º en el original, ¿cuálserá su medida en la copia?.

.- Una imagen de 8 x 8 se quiere insertar en un hueco de un documento de textoinformático de 10 x 10. ¿Qué porcentaje de ampliación ha de aplicarse a la imagen paraque ajuste perfectamente al hueco disponible?

.- La escala de un plano es 1:500.¿Cuál es la distancia real entre dos puntos que en el plano distan 7 cm?.Si se hace una copia que reduce en un 20% al plano original, ¿cuál será la escala de la

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Figura 16

copia?

.- Indica cuál de las siguientes afirmaciones, referidas a la Figura, es falsa:

a.-

b.-

c.-

d.-

.- En la figura, la recta BB’ es paralela a la recta CC’. Se pide:

a) Si los lados del triángulo ABB’ miden: BB’ =3 cm, AB = 4 cm. y AB’ = 3'5 cm. Hallar laslongitudes de los segmentos BC y B’C’ sabiendoque la longitud de CC’ es de 7 cm.

b) Sabiendo que los ángulos k e y midenrespectivamente 55º y 70º. Hallar la medida detodos los elementos del triángulo ACC’ (lados yángulos).

.- Indicad en qué casos pueden no ser semejantes las figuras indicadas.a.- Dos triángulos rectángulos.b.- Dos triángulos isósceles que tienen igual el ángulo formado por los lados

iguales.c.- Dos pentágonos cuyos lados correspondientes tienen la misma medida.d.- Dos polígonos regulares del mismo números de lados.

.- Se sabe que los triángulos T y T’ son semejantes y que sus perímetros sonrespectivamente 25 cm. y 50 cm. Si el área de T es 30 cm2 , el área de T’ es:

1.- 60 cm2

2.- 80 cm2

3.- 50 cm2

4.- No hay suficientes datos para calcularla.

.- En un triángulo ABC, la base AB mide 5,7 m. y la altura relativa a esa base mide 9,5

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Figura 17

m. ¿Cuánto mide la altura de otro triángulo semejante a ABC en el que la base A’B’ =4,14 m.?

.- Se sabe que los triángulos T y T’ son semejantes. Hallar la medida de los restanteslados de T sabiendo que la razón de semejanza de T a T’ es 3/4, las medidas de loslados de T’ están entre si en la proporción 4, 7, 10 y su perímetro mide 63 m.

.- En un mapa de España de escala 1: 1 500 000 se han medido los lados del triánguloque forman las ciudades de Santander, Bilbao y León obteniéndose las medidas queaparecen en la siguiente Figura.

En otro mapa de España se ha medido la distancia de Santander a Bilbao y ha resultadoser 7'5 cm.

a) Halla las distancias de León a Santandery a Bilbao respectivamente en estesegundo mapa.

b) Halla las distancias reales entre esas tresciudades.

c) ¿Cuál de las siguientes puede ser laescala de este segundo mapa:

1: 1 000 000 o 1: 2 250 000?.

Justifica tu respuesta.

d) Halla la medida de los lados del triángulo formado por esas tres ciudades en dosmapas cuyas escalas son:

1: 5 000 000 y 1: 125 000

e) Se han medido los ángulos l y b del triángulo de la Figura 1 resultando los siguientesvalores: l = 17º y b = 37º. Calcula el valor del ángulo s.

f) Halla el valor de los ángulos interiores de los triángulos que resultan al unir esas tresciudades en los dos mapas de la cuestión anterior.

.- Se sabe que los triángulos T y T’ son semejantes. Hallar la medida de los restanteslados de T sabiendo que:

a) su base mide 3 cm y que T’ es isósceles midiendo su base 15 cm. y uno de sus lados 9cm.

b) T y T’ son isósceles, dos lados correspondientes de T y T’ miden 7 y 11cm.respectivamente y la base de T’ mide 13 cm.

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c) T y T’ son isósceles, las bases de T y T’ son 21 y 32 cm respectivamente y la alturade T’ correspondiente a la base mide 18 cm.

d) la razón de semejanza entre T y T’ es 2/5 y los lados de T’ miden: 5, 7 y 11 cmrespectivamente.

e) Los lados de T’ miden a = 3, b = 5 y c = 7 cm y el lado a’ de T correspondiente allado a de T’ mide 5 cm.

f) La razón de semejanza de T a T’ es 2/3. T’ es un triángulo rectángulo, su hipotenusamide 10 cm y uno de sus catetos es 2/3 del otro.

g) La razón de semejanza de T a T’ es 3/4, las medidas de los lados de T’ están entre sien la proporción 4, 7, 10 y su perímetro mide 63 m.

.- Indicad en qué casos son semejantes las figuras indicadas en los apartados que siguen.Justificad las respuestas.

a) Dos triángulos rectángulos que tienen uno de los ángulos agudos igual.

b) Dos triángulos isósceles que tienen igual el ángulo formado por los lados iguales.

c) Dos triángulos equiláteros.

d) Dos pentágonos cuyos lados correspondientes tienen la misma medida.

e) Dos circunferencias cualesquiera.

f) Dos polígonos regulares del mismo números de lados.

.- Dadas las figuras F y F’ que se indican en cada caso, determinar el área de F’sabiendo que:

a) F y F’ son dos triángulos semejantes tales que dos de sus lados homólogos midenrespectivamente 15 y 25 cm y el área de F es de 150 cm2 .

b) F y F’ son dos rombos semejantes cuyos lados correspondientes midenrespectivamente 15 y 25 cm. El área de F es 100 cm2 .

c) F y F’ son dos paralelogramos semejantes cuya razón de semejanza es 4/5 y el área deF es de 120 cm2 .

d) F y F’ son dos polígonos semejantes tales que dos lados homólogos midenrespectivamente 12 y 23 cm y el área del primero es de 342 cm2 .

e) F y F’ son dos triángulos semejantes y la razón entre sus áreas es 4/9. F es untriángulo rectángulo cuya hipotenusa mide 15 cm y uno de sus catetos 12 cm.

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.- El área de un triángulo es de 100 cm2 . Se trazan paralelas a la base que dividen unlado en cuatro partes iguales. Hallar las áreas de las cuatro partes en que ha quedadodividido el triángulo.

.- En el triángulo de la figura tenemos quelos segmentos PS = 10 cm., QS = 12 cm. yTS = 4 cm. Calcular la longitud delsegmento RS.

.- Un triángulo cuyos lados miden 3, 4 y 5cm. es semejante a otro cuyo lado menormide 6 cm. Determina la longitud de los

otros dos lados.

.- Los tres lados de un triángulo miden 12, 15 y 18 cm. y los de otro miden 8, 10 y 11,5cm. Determina si son semejantes.

.- Dibuja dos triángulos cuya razón de semejanza sea 2.

.- En el momento en que un palo de 0,9 m. de longitud clavado en el suelo proyecta unasombra de 23 cm., la sombra de la torre de una iglesia es de 13,2 m. ¿Cuál es la alturade la torre?

.- Observa esta figura en la que el segmento AB es paralelo al segmento CD.a) Dí por qué son semejantes los triángulos OAB y OCD.b) Calcula cuánto miden los segmentos x e y.

.- La base BC de un triángulo ABC mide 16 cm. Hallar la longitud del segmento DEparalelo a la base trazado por un punto D del lado AB de manera que el área deltriángulo ADE sea 1/25 del área de ABC.

.- En un triángulo rectángulo ABC cuyos catetos miden 8 y 6 cm. se inscribe un

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Figura 20

cuadrado que tiene dos de sus lados sobre los catetos BA y BC, y el vértice D, común alos otros dos lados, sobre la hipotenusa. Hallad el lado del cuadrado.

.- Inscribid rectángulos en un rombo cuyas diagonales miden 12 y 8 cm. Y estudiar lasvariaciones del área de dichos rectángulos para cada una de las siguientes medidas deuno de los lados del rectángulo

a) 10 cm.

b) 8 cm.

c) 6 cm.

d) 4 cm.

e) 2 cm.

.- La altura, anchura y el fondo de una estantería son, respectivamente: 1'62 m., 1'34 m.y 30 cm. Haciendo un dibujo a escala 1:15, ¿cuáles serían las medidas correspondientesen el dibujo?.

.- Consultando un mapa, hallar el área aproximada de la península Ibérica y comparar elresultado hallado con el valor real que aporta el texto de Geografía.

.- Siendo ABC un triángulo rectángulo, trata de demostrar los siguientes teoremasbasándote en relaciones de semejanza entre triángulos:

a) “Todo cateto de un triángulo rectángulo es media proporcional entre la hipotenusa ysu proyección sobre ella”

Esto se puede escribir como:

b) “La altura correspondiente a lahipotenusa de un triángulo rectángulo esmedia proporcional entre los segmentos

en que divide a esta”.

O lo que es lo mismo:

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.- Aplicar los teoremas anteriores para resolver las siguientes cuestiones:

a) Un cateto de un triángulo rectángulo mide 6 m. y su proyección sobre la hipotenusa 2m. Hallar los otros dos lados y la altura.

b) La hipotenusa de un triángulo rectángulo mide 10 m. Y la proyección de un catetosobre ella es de 3 m. Hallar los catetos.

c) La altura correspondiente a la hipotenusa de un triángulo rectángulo es de 8 m. Y laproyección de uno de los catetos es de 4 m. Hallar los lados del triángulo.

d) Las proyecciones de los catetos sobre la hipotenusa de un triángulo rectángulo sonde 5 y 7 cm. Hallar la altura y los catetos.

e) Un cateto de un triángulo rectángulo mide 5 cm. Y la altura correspondiente a lahipotenusa 3 cm. Hallar los otros lados y el área del triángulo.

.- Calcular la diagonal de un cuadrado de 2 cm de lado.

.- Calcular la altura correspondiente al lado desigual de un triángulo isósceles cuyoslados miden 12, 12 y 8 cm respectivamente.

.- En un triángulo rectángulo, la altura correspondiente a la hipotenusa divide a ésta endos segmentos de 24 y 144 cm . Determinar los catetos.

.- En un triángulo rectángulo ABC cuyos catetos miden 8 y 6 cm. se inscribe uncuadrado que tiene dos de sus lados sobre los catetos BA y BC, y el vértice D, común alos otros dos lados, sobre la hipotenusa. Hallad el lado del cuadrado. .- La hipotenusa de un triángulo rectángulo mide 37,86 m. Calcula los dos catetossabiendo que uno de ellos tiene doble longitud que el otro.

.- Si la diagonal de un rectángulo mide 10 cm y el lado mayor 8 cm, ¿cuánto mide elotro lado?

.- Calcula la altura sobre el lado distinto del triángulo isósceles de lados 5 cm, 5 cm, y 6cm.

.- Los lados de un triángulo rectángulo tienen por medida, en cm, tres números enterosconsecutivos. Halla la medida de dichos lados y el área del triángulo.

.- Un albañil apoya una escalera de 5 metros contra un muro vertical. El pie de laescalera está a dos metros del muro. Calcula a qué altura está apoyada la escalera.

.- La hipotenusa de un triángulo rectángulo mide 20 cm y sabemos que la longitud deuno de los catetos es 3/4 de la del otro. Calcula la medida de los lados de un triángulosemejante a este, si la razón de semejanza es de 2/3.

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Figura 21

.- Un barco parte del puerto de Santander y navega 20 km. en dirección Norte y luego35 km. en dirección Este. ¿A qué distancia se encuentra el barco de Santander?

.- Determina los lados de un rectángulo sabiendo que la diagonal mide 102 cm y que loslados son proporcionales a 8 y 15.

.- Un triángulo equilátero tiene un perímetro de 90 cm. ¿Cuánto mide la altura?

.- El perímetro de rectángulo mide 28 cm y la base mide 8 cm. Determinar la medida desu diagonal.

.- En la figura A* * * *

* * * *B C

se sabe que AB mide 2¹5. Hallar AC.

.- Pon nombre a los elementos del polígono regular que se representado en la figura.

.- Probar que si designamos por l al lado del polígonoregular existe la siguiente relación entre las medidas

del lado, radio y apotema: . 2

2 2

2lr a ⎛ ⎞= + ⎜ ⎟

⎝ ⎠

.- Determinar el valor del ángulo central de untriángulo equilátero, un cuadrado, un hexágono regulary decágono regular.

.- Determinar qué polígono regular tiene un ángulo central de 30º.

.- Probar que el ángulo central de un polígono regular de n lados mide .360º

n.- Dibujar, cuando sea posible, hexágonos que tengan las características que se indican:

a) regular y convexo.b) regular y cóncavo.c) irregular y cóncavo.d) irregular y convexo.

.- Completar la siguiente tabla para polígonos convexos:

nº de lados nº de diagonalesdesde un vértice

nº total dediagonales

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cuadrado

pentágono

hexágono

decágono

p. de n lados

.- Probar que en un polígono regular de más de 6 lados el ángulo interior estácomprendido entre 120º y 180º.

.- Completa la siguiente tabla de clasificación de cuadriláteros escribiendo los nombrescorrespondientes a las celdas en blanco.

Pares de lados paralelos

0 1 2

Pares delados iguales

0 ------------

1 ------------

2 ---------

.- Prueba las siguientes propiedades referidas al paralelogramo de la figura:

Propiedades:

1) Los lados opuestos de un paralelogramoson iguales

2) Los ángulos opuestos de unparalelogramo son iguales.

3) Los ángulos consecutivos de unparalelogramo son suplementarios.

4) Las diagonales de un paralelogramo se cortan en su punto medio.

5) Un cuadrilátero que tiene pares de lados opuestos iguales es un paralelogramo.

.- Completa las celdas en blanco y dibuja un ejemplo de cada uno de los cuadriláterosque se corresponden con ellas:

Según los lados

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Equiláteros No Equiláteros

Según losángulos

Equiángulos

No equiángulos

.- Demostrar las propiedades siguientes:

1) Las diagonales de un rombo son perpendiculares entre si.

2) Las diagonales de un rectángulo son iguales entre si.

3) Las diagonales de un cuadrado son iguales y perpendiculares entre si.

.- Si la medida de un ángulo de un paralelogramo es 65º , hallar las medidas de los otrostres ángulos.

.- En una circunferencia se ha inscrito un hexágono regular yun triángulo equilátero. Utilizando el rombo PQRS, comprueba que:a) La apotema del triángulo equilátero es la mitad del radiode la circunferencia.b) El radio de la circunferencia es igual al ldo del hexágono.c) Si la circunferencia tiene 2 cm de radio, determina laapotema del hexágono y el lado del triángulo equilátero.

.- Determina el área de los siguientes polígonos a partir de los datos indicados en cadacaso:a) Rectángulo de base 15 cm y diagonal 17 cm.b) Hexágono de apotema 5 cm y radio 5,8 cm.c)

d) Rombo de lado 6 cm y diagonal mayor 15 cm.

e) Trapecio isósceles de bases 42 cm y 74 cm y lado igual 32 cm..- Calcula el área de las partes que se indican:

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a) b)

c) d) AB = 8; AC = 10

.- Calcular la altura y el área de un triángulo equilátero cuyo perímetro mide 18 cm.

.- Determinar el área y la longitud de un lado de un rombo cuyas diagonales miden,respectivamente, 12 y 16 cm.

.- Las bases de un trapecio rectángulo miden 8 cm y 14 cm, respectivamente, y su ladooblicuo 10 cm. Calcula el área y su altura.

.- ¿Cuánto mide el lado de un hexágono regular que permite inscribir en su interior unacircunferencia de 12 cm de radio?. Determina su perímetro y su área.

.- Dos figuras planas se llaman equivalentes si tienen la misma superficie. Calcula el ladode un cuadrado que sea equivalente a:

a) Un rectángulo de base 9 cm y altura 4 cm.b) Un triángulo rectángulo cuyos catetos miden 12 cm y 6 cm.

.- Calcula el perímetro y el área de una fuente en forma de octógono regular de 1,6 m delado que está inscrito en una circunferencia de 2 m de radio.

.- Calcula el área de un cuadrado inscrito en una circunferencia de radio 2 cm.

.- Halla el área de un hexágono regular si la apotema mide 8dm. ¿Cuánto mide el áreadel círculo inscrito en dicho hexágono?

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Figura 29

.- Calcula el lado y el área de un rombo cuyas diagonales miden 4 y 6 cm.

.- Miguel ha construido una cometa con los lados y las diagonales de madera. Calcula lasuperficie de tela y los cm de madera que ha necesitado para su construcción, si loscatetos de dos triángulos rectángulos de la cometa miden 24 cm x 32 cm y 24 cm x 70cm. respectivamente.

.- Construye un triángulo rectángulo isósceles de catetos 1 cm.a) ¿Cuánto mide la hipotenusa?b) Traza un segmento de 1 cm de longitud perpendicular a la hipotenusa en unode sus vértices. Con esta perpendicular y la hipotenusa, construye un nuevotriángulo rectángulo. ¿Cuánto mide la nueva hipotenusa?c) Traza un segmento de 1 cm de longitud perpendicular a la hipotenusa del últimotriángulo en el vértice no común a los dos anteriores. ¿Cuánto mide la hipotenusa?d) Repite este proceso hasta tener 10 triángulos. Describe la figura que se forma.e) ¿Cuál es el perímetro del último triángulo?f) Calcula el área de la figura obtenida.

.- Un triángulo isósceles tiene 160 cm de perímetro y la altura correspondiente al ladodesigual mide 40 cm. Calcula los lados del triángulo y el área.

.- Pon el nombre a cada uno de los elementosde la elementos de la circunferencia queaparece en la figura.

.- Probar que el diámetro perpendicular a unacuerda divide a esta en dos partes iguales.

.- Si d es la distancia del centro de lacircunferencia a una cuerda, el radio de lacircunferencia es r y c representa la longitud dela cuerda, probar que se cumple la siguiente

relación: .2

2 2

2cr d⎛ ⎞= +⎜ ⎟

⎝ ⎠.- Desde un punto P exterior a una circunferencia se trazan dos tangentes. Sidesignamos la distancia de P al centro de la circunferencia por d, a la distancia de P alpunto de tangencia por t y por r al radio de la circunferencia, probar que cumple lasiguiente relación: 2 2 2d r t= +

.- Una circunferencia tiene un radio de 30 cm. Se traza una recta a una distancia de 15cm de su centro, hallar la longitud de la curda que determina dicha recta en lacircunferencia.

.- Los radios de dos circunferencias son de 10 cm y 6 cm respectivamente. La distanciaentre sus centros es de 21 cm. Hallar:a) El segmento de tangente común externa.

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b) El segmento de tangente común interna.

.- Calcula el área de cada uno de los seis segmentos circulares que resultan de inscribirun hexágono regular en un círculo de 4 cm de radio.

.- Una pista circular está limitada por dos bordes concéntricos cuyas longitudesrespectivas son 1500 y 1200 metros. Se pide:

a) Hallar la anchura de la pista.b) Hallar en cuanto aumenta el área de dicha pista si se aumentan en una

unidad los radios de ambos bordes.

.- Para ir de A a B se puede ir por lasemicircunferencia de diámetro AB y centro O opor las semicircunferencias de diámetros AC, CO,OD y DB respectivamente. Suponiendo que ABmide 8 m.

a) Hallar cuál de los dos caminos es más corto.

b) Si el número de semicircunferencias trazadassobre el diámetro AB hubiese sido mayor quecuatro, ¿cambiaría la respuesta dada a la cuestiónanterior?. Justifica la respuesta.

.- Calcula el área de la región sombreada en la siguientes figuras:

a) l = 5 cm b) r = 3 cm, R = 15 cm.

c) a = 3, b = 4 d) lado del cuadrado 10 cm.

e) l = 6 cm. f) Folium: l = 2 cm

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g) lúnula: l = 4 cm. h)

.- Una esfera que flota en el agua está hundida 8 cm. La circunferencia que determina lasuperficie del agua sobre la esfera tiene un diámetro de 12 cm. Hallar el radio de dichaesfera.

.- Una hoja circular de papel de 6 cm de radio, se divide en tres sectores iguales. Concada uno de ellos se forma un cono sin solapar el papel. ¿Cuál es la altura en cm. decada uno de ellos?.

.- Si el radio del sol mide 696350 km. Se puede decir que su ecuador mideaproximadamente:

a.- 4'2 millones de kilómetros.

b.- 1'5 millones de kilómetros.

c.- 150 millones de kilómetros.

d.- 43 millones de kilómetros.

.- La fracción de área de un círculo que abarca un sector de 45º es:

a.- 1/4

b.- 1/12

c.- 1/8

d.- 1/5

.- Determinar la medida de cada uno de los seis arcos que un hexágono regulardetermina en la circunferencia circunscrita.Halla el valor de los ángulos: ", $ y (.

.- En un círculo el arco correspondiente a un ángulocentral de 20º tiene 18 cm. de longitud.

a) Halla el radio y área del círculo.b) Halla el área de un hexágono regular

inscrito en dicho círculo.

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.- El ángulo inscrito en una circunferencia de radio unidad que abarca un arco delongitud B mide:

1.- 180º2.- La mitad de 180º.3.- 45º.4.- Faltan datos para calcularlo

.- Hallar la medida de los ángulos que se indican enla figura. Si el radio de la circunferencia mide 2 cm.Halla el perímetro y el área del hexágono regularinscrito.

.- Determinar la medida angular de cada uno de loscinco arcos que un pentágono regular determina enla circunferencia circunscrita.

.- Determinar el ángulo central que corresponde a un arco de 15 cm en una circunferencia de 6 cm de

radio.

.- Las tangentes a una circunferencia de 12 cm de radio trazadas desde un puntoexterior forman un ángulo de 60º. Hallar la longitud del menor de los arcosinterceptados.

.- Determinar la medida de un ángulo inscrito en la circunferencia que abarca un arco deun cuadrante.

.- Determinar la medida de un ángulo inscrito en la circunferencia que abarca un arco dedos cuadrantes.

.- Calcular el valor del ángulo " en los siguientes casos:a) b) c)

.- En el cuadrilátero de la figura el ángulo " = 40º, ¿Cuántomide el ángulo (?Obtén una expresión general que el valor de ( en función delvalor de ".¿Qué condición deben cumplir los ángulos opuestos de uncuadrilátero convexo para que se pueda inscribir en una

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circunferencia?.

.- Calcular los ángulos " y $ en las figuras siguientes:

a) b)

.- Demuestra que si dos rectas se cortan perpendicularmente en un punto interior de unacircunferencia, subtienden arcos suplementarios.

.- El arco de la Tierra que observa un astronauta desde el espacio es de 60º. ¿Bajo quéángulo está mirando a la Tierra?.