geometrÍa 7 ciencias proporcionalidad y …

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PROPORCIONALIDAD Y SEMEJANZA DE TRIÁNGULOS

1. PROPORCIONALIDAD DE SEGMENTOS

1.1. DEFINICIÓN. Se dice que dos segmentos son proporcionales a otros dos, si la razón de los dos primeros es igual a la razón de los otros dos. En símbolos AB y CD son proporcionales a los

segmentos PQ y RS si, =AB PQCD RS

.

Observación: Llamamos razón de dos segmentos al cociente de

sus longitudes expresadas en una misma unidad de medida. En símbolos: dados los segmentos AB y CD,

la razón de AB y CD es el número AB .CD

Ejemplo: AB = 4 u y CD = 6 u

⇒ = → =4uAB AB 2

CD 6u CD 3

1.2. TEOREMA DE LAS PARALELAS

EQUIDISTANTES Tres o más rectas paralelas y equidistantes determinan sobre cualquier recta secante, segmentos congruentes.

1.3. TEORÍA DE THALES. Tres o más rectas paralelas al ser interceptados por dos rectas secantes, determinan en ellas segmentos proporcionales.

1.4. CASOS PARTICULARES DEL TEOREMA DE THALES:

A) Teorema de Thales en el triángulo. Toda recta paralela a un lado de un triángulo

que intercepta a los otros dos lados determina sobre ellos segmentos proporcionales.

B) En el Trapecio 1.5. TEOREMA DE LA BISECTRIZ INTERIOR

En todo triángulo, la bisectriz de un ángulo interior determina sobre el lado opuesto segmentos proporcionales a los lados que forman dicho ángulo.

GEOMETRÍA

7 CIENCIAS

Si L1 // L2 // L3 // L4 ⇒

Si: L1 // L2 // L3 ⇒

Si //

⇒

Si //

⇒

Si:

⇒

Si: es bisectriz

⇒

A B C D

α α

B

b

C

a

A D m n F

E

D A

B

C

B

a m

E F b n

A C

b

a

m

n

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Geometría Teoría y ejercicios – Semana 7


1.6. TEOREMA DE LA BISECTRIZ EXTERIOR En todo triángulo la bisectriz de un ángulo exterior determina sobre la prolongación del lado opuesto, segmentos proporcionales a los lados que forman el ángulo.

1.7. TEOREMA DEL INCENTRO.

En todo triángulo, el incentro divide a cada bisectriz en dos segmentos que son proporcionales a la suma de las longitudes de los lados laterales y al lado donde cae la bisectriz

1.8. TEOREMA DE MENELAO

En todo triángulo al trazar una recta secante a dos lados pero no paralela al tercer lado, se forman seis segmentos consecutivos.

1.9. TEOREMA DE CEVA.

En todo triángulo al trazar las tres cevianas se determinan seis segmentos y se cumple que el producto de las longitudes de tres segmentos no consecutivos es igual al producto de las longitudes de los otros tres.

1.10. TEOREMA PARA CALCULAR LA LONGITUD

DE UNA BISECTRIZ INTERIOR. 9. TEOREMA PARA CALCULAR LA LONGITUD DE

UNA BISECTRIZ EXTERIOR. 2. SEMEJANZA DE TRIÁNGULOS

2.1. DEFINICIÓN Dos triángulos son semejantes si los ángulos correspondientes son congruentes y los lados homólogos respectivamente proporcionales. En símbolos: Dados los triángulos ABC y PQR, entonces definimos:

∠ ≅ ∠ ∠ ≅ ∠ ∠ ≅ ∠ ∆ ∆ ⇔

= = =

A P B Q C RABC~ PQR AB BC AC k

PQ QR PR

K: constante de proporcionalidad.

⇒ ∆ABC ~ ∆PQR

Si: es bisectríz

⇒

θ

B

b

c

a

A

m n

θ

F

ka

kb

kc

B

A C

Q

a

R P

c

b

~




Notación: ∆ABC ~ ∆PQR: léase el triángulo ABC es semejante al triángulo PQR. Observación: Intuitivamente dos triángulos son semejantes si

tienen la misma forma pero el tamaño diferente. Lados homólogos. son los lados que se oponen a

ángulos congruentes de dos triángulos semejantes.

2.2. CASOS DE SEMEJANZA DE TRIÁNGULOS. La definición de semejanza exige dos cosas: 1. Los ángulos correspondientes deben ser congruentes, y 2. Los lados correspondientes deben ser proporcionales. Sin embargo hay casos en la que si se satisface una de las condiciones, también se satisface la otra, y son los siguientes:

1° caso. Dos ángulos iguales Dos triángulos son semejantes si tienen dos ángulos respectivamente congruentes.

Si:

∠ = ∠

∠ = ∠

A DC F

⇒ ∆ ∆ABC~ DEF

2° caso. Un ángulo de igual medida y sus lados proporcionales. Dos triángulos son semejantes si tienen dos pares de lados respectivamente proporcionales y los dos ángulos comprendidos congruentes.

Si:

=

∠ = ∠

AB ACDE DF

A D

⇒ ∆ ≅ ∆ABC DEF

3° caso. Lados proporcionales Dos triángulos son semejantes si tienen sus tres lados, respectivamente proporcionales.

Si = = =AB BC AC kPQ QR PR

⇒ ∆ ∆ABC~ PQR

Observaciones: SI dos triángulos son semejantes, entonces sus

lados homólogos, así como sus elementos homólogos: (alturas, bisectrices, mediantes, inradios, circunradios, etc.), son respectivamente proporcionales.

Se cumple: = = = = = =1

a b c r h ... kd e f r H

2.3. PROPIEDADES DE SEMEJANZA

i.

ii.

α

a C

B

x

A Db

α

R

Q

P A

B

C

A C θ α

B

D α θ

E

F

~

Kc

B

A Kb C

E

F D

c

b α α

~ 2α

b C

B

c

A α

a




iii.

iv. ABCD es trapecio, FE / /BC

v.

EJERCICIOS DE CLASE

1. En la figura, L1//L2//L3, AB = 45 cm, PB = 15 cm y

BQ = 21 cm Si m<PAB = m<BCQ, halle BC. A) 53 cm

B) 63 cm

C) 45 cm

D) 27 cm

E) 84cm

2. En la figura, BF//EG //AH , AE = 8 cm, EB = 3 cm, BD = 2 cm y GH = 32 cm. Halle DF + FG. A) 15 cm B) 20 cm C) 24 cm D) 18 cm E) 25 cm

3. En la figura, MN // BQ y MQ // BC . Si AN = 4 m y NC = 5 m, halle QC.

A) 1 m

B) 2 m

C) 3 m

D) 4 m

E) 5 m

4. En la bisectriz interior BN de un triángulo ABC, se ubica M. En la prolongación de AM se ubica Q tal que m∠ AMN = m∠ CMQ. Si AB = 5 cm;

BC = 10 cm. halle MCMN

.

A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5

5. En un triángulo ABC, CP es bisectriz interior y CQ bisectriz exterior (Q en la prolongación de AB ); AB = 21 cm, AC = 20 cm y BC = 10 cm. Halle PQ. A) 22 cm B) 24 cm C) 25 cm D) 26 cm E) 28 cm

6. Por el incentro de un triángulo ABC se traza una

paralela al lado AC , que interseca al lado BC en el punto R. Si AB = 5 cm, BC = 10 cm y AC = 12 cm, halle RC. A) 4,44 cm B) 3,34 cm C) 6 cm D) 2 cm E) 1,34 cm

7. En un triángulo ABC, se traza DE , D en AB y E en

BC . Si m∠ DEB = m∠ BAC, AD = AC = 2CE = 2DE y BD=8 cm, halle el perímetro del cuadrilátero ADEC A) 32 cm B) 36 cm C) 38 cm D) 40 cm E) 42 cm

EF

D

o

A

CB

x

a

x

b

αα

α α

x

a

x b

A

B

C

P

QL3

L2

L1

E

B

G

F

H

D

A




8. Por el incentro de un triángulo ABC se traza una recta secante a AB en M y a AC en N; tal que AC = 4CN. Halle MB si AB = 7 cm, BC = 5 cm y AC = 6 cm.

A) 2,1 cm B) 3,9 cm C) 5,8 cm D) 4.9 cm E) 5,8 cm

9. En un triángulo ABC, se trazan las alturas CD y

AH. Si 3AB = 2BC y AH = 5 cm, halle CD. A) 6,8 cm B) 7,5 cm C) 4 cm D) 9,5 cm E) 10 cm

10. Por el vértice A de un paralelogramo ABCD, se

traza AG (G en la prolongación de DC ) que interseca a la diagonal BD en E, al lado BC en F y a la prolongación de DC en G. Si AE = 6 cm y EF = 4 cm, halle FG.

A) 1cm B) 2 cm C) 3 cm D) 4cm E) 5 cm

11. En un triángulo rectángulo ABC, BH es su altura,

se traza HN//AB y NM //AC (M en BH y N en BC) Si AC = 9 cm y BH = 3 cm, halle MN. A) 5 cm B) 3 cm C) 1cm D) 0,5 cm E) 0,1 cm

12. En un triángulo acutángulo PQR, la distancia del

ortocentro al vértice Q es 10 cm. Halle la distancia del circuncentro al lado PR . A) 1 cm B) 2 cm C) 3 cm D) 4 cm E) 5 cm

EJERCICIOS DE EVALUACIÓN

1. En un triángulo ABC se trazan la mediana BM y la

ceviana CD que se intersecan en E. Si 2EM = 3BE y AB = 60 m, halle DB. A) 16 m B) 15 m C) 17 m D) 18 m E) 14 m

2. En un trapezoide ABCD, se traza la diagonal AC y desde los vértices opuestos B y D se trazan las bisectrices interiores BP y DP donde P pertenece a AC . Si BC = 6 cm, CD = 9 cm, y 3AP = 4PC, halle el perímetro del trapezoide. A) 30 cm B) 33 cm C) 35 cm D) 36 cm E) 38 cm

3. En la figura, AB = 6 cm, BC = 8 cm. Halle BD.

A) 3 cm

B) 4 cm

C) 1 cm

D) 2 cm

E) 5 cm 4. En un triángulo ABC, se trazan la altura BH y

RP // AC (R en AB y P en BC ). Si BH y RP se intersecan en Q, 3BP = 2PC y QH = 6 m, halle BQ. A) 3 m B) 4 m C) 5 m D) 6 m E) 7 m

5. En la figura, T, Q y P son puntos de tangencia. AB = 5 cm, BC = 6 cm y AC = 7 cm. Halle AM. A) 1,3 cm

B) 2,3 cm

C) 3,46cm

D) 4,43 cm

E) 5,43 cm

6. En un triángulo ABC se trazan las alturas CP y AQ. Si AB = 20 cm, BC = 12 cm y BQ = 2 cm, halle PB. A) 1,4 cm B) 0,5 cm C) 4,3 cm D) 1,2 cm E) 2,5 cm

αα

B

H

D

CA

M

AQ

T

PC

B




7. En la figura, FC = 3 cm, CR = 10 cm y AR = 4 cm. Halle AD. A) 1,2 cm B) 3,3 cm C) 4,4 cm D) 4,1 cm E) 5 cm

8. En la figura, GP = 8 cm, PC = 5 cm y CF = 7 cm.

Halle GB. A) 10cm B) 11,2 cm C) 13,4 cm D) 12,5cm E) 9,4 cm.

9. En la figura, ABCD es un cuadrado cuyo perímetro

es 36 cm. Si PT = 60 cm, halle QH. A) 4 cm

B) 3,3 cm

C) 5,4 cm

D) 1,5cm

E) 2,4 cm

10. En la figura, ABCD es un romboide. Halle AB BCNB BM

+

A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5

11. En la figura, BC = 4 cm, AD = 21 cm, halle MN.

A) 4 cm B) 6.7cm C) 7,8 cm D) 4,5 cm E) 9 cm

12. En un triángulo ABC, AB = 4 cm y AC = 5 cm. Si m<BAC = 2m<BCA, halle BC. A) 2 cm B) 3 cm C) 4 cm D) 5 cm E) 6 cm

13. En un triángulo ABC, BC = 7 cm, AC = 8 cm

AB = 10 cm. Se trazan las bisectrices CD y AE (D en AB , E en BC ); la prolongación de DE interseca a la prolongación de AC en F. halle CF. A) 18,6 cm B) 12,4cm C) 15,5 cm D) 14,5 cm E) 20,4cm

14. En un triángulo ABC, se trazan la bisectriz CL ; la ceviana AM y la mediana BN concurrentes en Q. Si BM = 3 m y 2BQ = 3QN, halle MC. A) 1 m B) 2 m C) 3 m D) 4 m E) 5 m

F ED

AB

R

C

AB C

G

PF

P

H

Q

TA

B C

D

A

M

D

C B

N

β °

β °

α°

α° M

A

B C

D

N


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