geodesia redes cart matematica

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Geodesia Luis García-Asenjo Villamayor E.T.S.I. Geodesia y Cartografía Universidad Politécnica de Valencia David Hernández López E.P.S.Ávila Universidad de Salaman ca Febrero 2005

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Geodesia

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  • Geodesia

    Luis Garca-Asenjo VillamayorE.T.S.I. Geodesia y Cartografa

    Universidad Politcnica de Valencia

    David Hernndez LpezE.P.S.vila

    Universidad de Salamanca

    Febrero 2005

  • ii

  • ndice general

    I Aspectos bsicos 1

    1. Introduccin a la geodesia 31.1. La Tierra como planeta del Sistema Solar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31.2. Denicin de geodesia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41.3. Divisin de la geodesia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61.4. Problemas abordados por la geodesia en la actualidad . . . . . . . . . . . . . . . . 7

    1.4.1. Determinacin de la supercie terrestre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71.4.2. Establecimiento de sistemas de referencia geodsicos . . . . . . . . . . . . . 81.4.3. Determinaciones geomtricas en el espacio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81.4.4. Determinacin del campo gravitatorio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91.4.5. Determinacin de la dinmica atmsfrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

    2. Geometra del campo gravitatorio terrestre 112.1. Supercies de nivel y lneas de la plomada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

    2.1.1. Denicin y propiedades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112.1.2. El campo gravitatorio como sistema de coordenadas tridimensionales curvilneas 122.1.3. Curvatura de las supercies de nivel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152.1.4. Curvatura de las lneas de la plomada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162.1.5. Proyeccin de un punto sobre el geoide . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

    2.2. El elipsoide como aproximacin al geoide . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182.2.1. Determinacin del elipsoide de referencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182.2.2. Proyeccin de un punto sobre el elipsoide . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

    2.3. El geoide . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202.3.1. Anomalas de la gravedad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202.3.2. Desviacin de la vertical . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 212.3.3. Ondulacin del geoide . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

    3. Fundamentos de geodinmica 253.1. Conceptos bsicos de fsica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

    3.1.1. Principio de la relatividad del movimiento y del espacio . . . . . . . . . . . 253.1.2. Conceptos relacionados con los momentos de inercia . . . . . . . . . . . . . 26

    3.1.2.1. Momento de inercia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 263.1.2.2. Producto de inercia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 273.1.2.3. Momento de inercia respecto a un eje que pasa por el origen de

    coordenadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 273.1.3. Momento angular . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

    3.2. Aspectos relacionados con eje de rotacin terrestre . . . . . . . . . . . . . . . . . . 293.2.1. Rotacin de la Tierra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 293.2.2. Movimiento del polo respecto a la corteza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

    3.2.2.1. Movimiento libre del polo para un modelo de Tierra rgida . . . . 313.2.2.2. Movimiento del polo con modelo de Tierra deformable . . . . . . . 343.2.2.3. Denicin de polo convencional CTP . . . . . . . . . . . . . . . . 353.2.2.4. Relacin entre el polo instantneo y el polo convencional . . . . . 35

    iii

  • iv NDICE GENERAL

    3.2.2.5. Relacin entre un sistema terrestre convencional y un sistema es-pacial asociado al CEP . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

    3.2.3. Movimiento del polo respecto al espacio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 373.3. Deformacin de la tierra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

    3.3.1. Traslacin, rotacin y deformacin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 393.3.2. Movimiento global de las placas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 413.3.3. Efectos de marea . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

    II Sistemas de referencia y de coordenadas 43

    4. Sistemas de coordenadas 454.1. Clasicacin de los sistemas de coordenadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 454.2. Sistemas de coordenadas cartesianas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

    4.2.1. Denicin de un sistema de coordenadas cartesianas . . . . . . . . . . . . . 464.2.2. Sistema de coordenadas astronmico local . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 464.2.3. Sistema de coordenadas geodsico local . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 484.2.4. Sistema de coordenadas cartesiano geocntrico . . . . . . . . . . . . . . . . 49

    4.3. Sistemas de coordenadas curvilneas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 494.3.1. Introduccin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 494.3.2. Sistema de coordenadas esfricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

    4.3.2.1. Sistema de coordenadas ecuatoriales absolutas . . . . . . . . . . . 514.3.2.2. Sistema de coordenadas eclpticas . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52

    4.3.3. Sistema de coordenadas geodsicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 534.3.4. Sistema de coordenadas astronmicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54

    4.4. Relacin entre sistemas de coordenadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 574.4.1. Relacin entre coordenadas geodsicas y coordenadas cartesianas geocntricas 57

    4.4.1.1. Transformacin entre coordenadas geodsicas y cartesianas geocn-tricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57

    4.4.1.2. Transformacin entre diferenciales de coordenadas geodsicas y difer-enciales de coordenadas cartesianas geocntricas . . . . . . . . . . 58

    4.4.2. Transformacin entre coordenadas geodsicas locales e incrementos de coor-denadas cartesianas geocntricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59

    4.4.3. Transformacin entre incrementos de coordenadas astronmicas locales e in-crementos de coordenadas cartesianas geocntricas . . . . . . . . . . . . . . 61

    4.4.4. Transformacin entre coordenadas astronmicas locales y coordenadas geo-dsicas locales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62

    4.4.5. Relacin entre las mediciones referidas al sistema de coordenadas astronmi-cas locales y al sistema de coordenadas geodsicas locales . . . . . . . . . . 67

    4.4.6. Transformacin entre coordenadas ecuatoriales absolutas y coordenadas carte-sianas geocntricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69

    4.4.7. Transformacin entre coordenadas eclpticas y coordenadas cartesianas geocn-tricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69

    5. Sistemas de referencia geodsicos 715.1. Conceptos bsicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71

    5.1.1. Generalidades de los sistemas de referencia geodsicos . . . . . . . . . . . . 715.1.2. Denicin de un sistema de referencia geodsico . . . . . . . . . . . . . . . 725.1.3. Datum geodsico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 725.1.4. Marco de referencia geodsico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73

    5.2. Sistemas de referencia geodsicos ms comunes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 745.2.1. Sistema de referencia geodsico ED-50 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 745.2.2. Sistema de referencia geodsico WGS-84 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 755.2.3. Sistema de referencia internacional terrestre ( ITRS ) . . . . . . . . . . . . 76

  • NDICE GENERAL v

    6. Transformacin entre sistemas de referencia 796.1. Alteraciones diferenciales en el sistema de referencia . . . . . . . . . . . . . . . . . 80

    6.1.1. Variacin de la forma y dimensiones del elipsoide de referencia . . . . . . . 806.1.2. Variacin del origen del sistema de referencia . . . . . . . . . . . . . . . . . 836.1.3. Variacin de la direccin de los ejes del sistema de referencia . . . . . . . . 846.1.4. Variacin en la escala del sistema de referencia . . . . . . . . . . . . . . . . 85

    6.2. Modelos de transformacin tridimensional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 866.2.1. Transformacin en coordenadas geodsicas. Transformacin estndar de Molo-

    densky . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 866.2.2. Modelo Bursa-Wolf . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 896.2.3. Modelo Badekas-Molodenski . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 916.2.4. Relacin entre los modelos de Bursa-Wolf y de Badekas-Molodenski . . . . 936.2.5. Modelo de Veis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94

    6.3. Modelos de transformacin bidimensional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 996.3.1. Sobre el elipsoide . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 996.3.2. Sobre el plano de una proyeccin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103

    6.4. Ejemplos de aplicacin prctica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1056.4.1. Transformacin en coordenadas cartesianas tridimensionales segn el modelo

    de Bursa-Wolf . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1056.4.2. Transformacin en coordenadas cartesianas tridimensionales segn el modelo

    de Badekas-Molodenski . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1086.4.3. Transformacin sobre la supercie del elipsoide segn el modelo de Leick . . 1136.4.4. Transformacin sobre la supercie del plano de la proyeccin U.T.M. con

    huso 30 extendido . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115

    III Geodesia elipsoidal 119

    7. Parametrizacin del elipsoide 1217.1. Denicin geomtrica del elipsoide . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1217.2. Referenciacin geodsica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1227.3. Ecuaciones paramtricas del elipsoide . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125

    8. Geometra del elipsoide 1338.1. Parametrizacin del elipsoide . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1338.2. Mtrica en la supercie del elipsoide . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137

    8.2.1. Primera forma cuadrtica fundamental para el elipsoide. Medida de distan-cias de curvas sobre el elipsoide . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138

    8.2.2. Medida de ngulos. Ecuacin de las loxodrmicas . . . . . . . . . . . . . . . 1398.2.3. Medida de supercies . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141

    8.3. Segunda forma cuadrtica fundamental sobre el elipsoide . . . . . . . . . . . . . . . 1418.3.1. Segunda forma cuadrtica fundamental . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1418.3.2. Curvatura normal. Particularizacin a los meridianos y paralelos . . . . . . 1428.3.3. Direcciones y curvas asintticas en el elipsoide . . . . . . . . . . . . . . . . 1488.3.4. Direcciones principales. Teorema de Euler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1488.3.5. Radio medio de curvatura, curvatura total y curvatura media . . . . . . . . 150

    8.4. Frmulas de derivacin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1518.5. Curvatura y torsin geodsicas. Frmula de Liouville . . . . . . . . . . . . . . . . 1538.6. Lneas geodsicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155

    8.6.1. Denicin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1558.6.2. Teorema de Clairaut . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1568.6.3. Radio de curvatura de una lnea geodsica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1578.6.4. Ecuacin de Laplace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1578.6.5. Ecuaciones diferenciales respecto al parmetro longitud de arco . . . . . . . 1588.6.6. Ecuaciones paramtricas de Puiseaux-Weingarten-Gauss . . . . . . . . . . . 1598.6.7. Desarrollos en serie de Legendre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162

  • vi NDICE GENERAL

    8.7. Cuestiones relativas a secciones normales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1688.7.1. Secciones normales recprocas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1688.7.2. Longitud de arco de una seccin normal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1708.7.3. Longitud de la cuerda de una seccin normal . . . . . . . . . . . . . . . . . 1728.7.4. Relacin entre la seccin normal directa y la lnea geodsica . . . . . . . . . 173

    8.8. Imagen esfrica del elipsoide . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1758.9. Coordenadas geodsicas. Coordenadas geodsicas polares . . . . . . . . . . . . . . . 1788.10. Frmula de Gauss. Caracterstica de Euler del elipsoide . . . . . . . . . . . . . . . 182

    9. Clculos geodsicos sobre el elipsoide 1859.1. Consideraciones previas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1859.2. Solucin de los problemas directo e inverso sobre la esfera . . . . . . . . . . . . . . 188

    9.2.1. Mtodo basado en un cambio de base . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1889.2.2. Solucin del problema inverso . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1929.2.3. Solucin del problema directo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193

    9.3. Problema directo de la geodesia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1959.3.1. Mtodo de expansin en series. Mtodo de Legendre . . . . . . . . . . . . . 1959.3.2. Mtodo de Kivioja . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1969.3.3. Mtodo de integracin numrica de Runge-Kutta de cuarto orden . . . . . . 198

    9.4. Problema inverso de la geodesia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2029.4.1. Mtodo de Bessel modicado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202

    9.4.1.1. Planteamiento del mtodo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2029.4.1.2. Relaciones diferenciales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2049.4.1.3. Determinacin del acimut de la lnea geodsica sobre el elipsoide y

    de la distancia de la lnea geodsica sobre la esfera . . . . . . . . . 2099.4.1.4. Determinacin de la distancia de la lnea geodsica sobre el elipsoide214

    9.5. Solucin sobre una proyeccin esfrica conforme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2179.5.1. Introduccin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2179.5.2. Proyeccin conforme del elipsoide sobre la esfera . . . . . . . . . . . . . . . 2199.5.3. Aplicacin de la proyeccin a la solucin del problema directo e inverso de

    la geodesia sobre el elipsoide . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2229.6. Ejemplos de aplicacin prctica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 226

    9.6.1. Solucin de los problemas directo e inverso para los vrtices espaoles de lared Euref89 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 226

    9.6.2. Solucin de los problemas directo e inverso para una lnea geodsica de 15000km. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 230

    9.6.3. Ejemplo de solucin de los problemas directo e inverso sobre una proyeccinesfrica conforme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 231

    9.6.4. Ejemplo de solucin del problema directo de la geodesia a partir de desar-rollos en serie de diferentes rdenes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 234

    IV Clculo de redes geodsicas 237

    10.Introduccin al clculo de redes geodsicas 23910.1. Planteamiento general del problema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23910.2. Observables geodsicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 241

    10.2.1. Observables geodsicos y estimacin de su precisin . . . . . . . . . . . . . 24110.2.1.1. Instrumental clsico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24210.2.1.2. Instrumental GPS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 244

    10.2.2. Relacin entre los observables y los sistemas de referencia y de coordenadas 24510.3. Precisin requerida en el transporte de coordenadas . . . . . . . . . . . . . . . . . 246

    10.3.1. Introduccin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24610.3.2. Precisin de un punto en diferentes sistemas de coordenadas . . . . . . . . 248

    10.3.2.1. Precisin en el sistema de coordenadas cartesianas geocntricas . . 24810.3.2.2. Precisin en el sistema de coordenadas geodsicas . . . . . . . . . 248

  • NDICE GENERAL vii

    10.3.2.3. Precisin sobre el plano de una proyeccin cartogrca . . . . . . 25010.3.3. Precisin de un vector en diferentes sistemas de coordenadas . . . . . . . . 250

    10.3.3.1. Datos de partida . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25110.3.3.2. Precisin en el sistema de coordenadas cartesianas geocntricas . . 25410.3.3.3. Precisin en coordenadas geodsicas locales ENU a partir de la

    precisin en cartesianas geocntricas . . . . . . . . . . . . . . . . . 25510.3.3.4. Precisin en coordenadas geodsicas locales polares, a partir de la

    precisin en geodesicas locales ENU . . . . . . . . . . . . . . . . . 25810.3.3.5. Precisin en coordenadas geodsicas locales ENU a partir de la

    precisin en geodesicas locales polares . . . . . . . . . . . . . . . . 26010.3.3.6. Precisin en coordenadas cartesianas geocntricas a partir de la

    precisin en geodsicas locales ENU . . . . . . . . . . . . . . . . . 26110.4. Consideraciones en el clculo de coordenadas aproximadas . . . . . . . . . . . . . . 262

    11.Mtodos de clculo de la geodesia tridimensional 26511.1. Introduccin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26511.2. Mtodo de radiacin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 266

    11.2.1. Radiacin a partir de un vector geodsico en coordenadas cartesianas geocn-tricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26611.2.1.1. Datos de partida . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26711.2.1.2. Proceso de clculo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26711.2.1.3. El problema del cambio de sistema de referencia . . . . . . . . . . 270

    11.2.2. Radiacin a partir de un vector geodsico en coordenadas geodsicas localespolares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27211.2.2.1. Datos de partida . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27211.2.2.2. Proceso de clculo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 273

    11.3. Mtodo de interseccin de distancias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27911.3.1. Datos de partida . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28011.3.2. Proceso de clculo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 280

    11.4. Mtodo de interseccin directa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28511.4.1. Datos de partida . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28511.4.2. Proceso de clculo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 286

    11.5. Mtodo de interseccin inversa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29711.5.1. Datos de partida . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29711.5.2. Proceso de clculo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 298

    12.Modelos funcionales del ajuste de redes geodsicas 31312.1. Cuestiones previas del ajuste mnimos cuadrados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 313

    12.1.1. Introduccin. Planteamiento del problema del ajuste de una red geodsica . 31312.1.2. Modelo matemtico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 314

    12.1.2.1. Modelo funcional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31412.1.2.2. Modelo estocstico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31512.1.2.3. Modelo Gauss-Markov, GMM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 316

    12.1.3. Solucin del modelo matemtico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31612.1.3.1. Introduccin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31612.1.3.2. Solucin para el datum de varianza nula. Caso de rango completo 31712.1.3.3. Algoritmo de peso unidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 319

    12.2. Datos de partida en el ajuste de una red geodsica . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32112.2.1. Sistema de referencia geodsico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32212.2.2. Sistema de coordenadas geodsicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32212.2.3. Conguracin de la red geodsica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 324

    12.2.3.1. Vrtices que integran la red . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32412.2.3.2. Observaciones geodsicas y estimacin de su precisin . . . . . . . 325

    12.3. Modelos funcionales para redes tridimensionales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33612.3.1. Modelo en coordenadas cartesianas geocntricas . . . . . . . . . . . . . . . . 336

  • viii NDICE GENERAL

    12.3.1.1. Ecuaciones de observacin para un vector expresado en coordenadascartesianas geocntricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 337

    12.3.1.2. Ecuaciones de observacin para un vector expresado en coordenadasgeodsicas locales polares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 340

    12.3.2. Modelo en coordenadas geodsicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34612.3.2.1. Ecuaciones de observacin para un vector expresado en coordenadas

    cartesianas geocntricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34712.3.2.2. Ecuaciones de observacin para un vector expresado en coordenadas

    geodsicas locales polares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34812.4. Modelos funcionales para redes bidimensionales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 352

    12.4.1. Modelo funcional del ajuste bidimensional sobre el elipsoide . . . . . . . . 35212.4.1.1. Ecuacin de distancia de la lnea geodsica sobre el elipsoide . . . 35212.4.1.2. Ecuacin de acimut de la lnea geodsica sobre el elipsoide . . . . 35712.4.1.3. Ecuacin de direccin acimutal de una lnea geodsica sobre el elip-

    soide . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36012.4.1.4. Cuestiones relativas a las unidades de las incgnitas y de las ecua-

    ciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36112.4.2. Modelo funcional del ajuste bidimensional sobre el plano de una proyeccin

    cartogrca . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36212.4.2.1. Ecuacin de distancia de la cuerda sobre el plano de una proyeccin 36312.4.2.2. Ecuacin de acimut de la cuerda sobre el plano de una proyeccin 36312.4.2.3. Ecuacin de direccin acimutal de la cuerda sobre el plano de una

    proyeccin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36312.5. Modelo funcional del ajuste en altidudes elipsoidales . . . . . . . . . . . . . . . . . 364

    12.5.1. Introduccin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36412.5.2. Deduccin de la ecuacin de desnivel elipsoidal . . . . . . . . . . . . . . . . 36412.5.3. Cuestiones relativas a las unidades de las incgnitas y de las ecuaciones . . 365

    V Proyecciones cartogrcas 367

    13.Teora general de cartografa matemtica 36913.1. Introduccin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36913.2. Denicin de proyeccin cartogrca . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37013.3. Deformaciones de una proyeccin cartogrca . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 373

    13.3.1. Introduccin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37313.3.2. Mtrica en una proyeccin cartogrca en funcin de las coordenadas geodsicas37413.3.3. Elipse indicatriz de Tissot . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 379

    13.4. Deformacin lineal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38213.4.1. Introduccin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38213.4.2. Deformacin lineal en el entorno diferencial de un punto . . . . . . . . . . 382

    13.4.2.1. Escala local de la proyeccin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38213.4.2.2. Clculo de los semiejes de la elipse indicatriz de Tissot . . . . . . 386

    13.4.3. Deformacin de distancias nitas. Clculo de la longitud de curvas proyectadas38913.4.4. Criterios de estudio de la deformacin lineal en el entorno de un punto . . . 39013.4.5. Condiciones para proyecciones equidistantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . 391

    13.5. Deformacin supercial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39113.5.1. Introduccin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39113.5.2. Deformacin supercial en el entorno diferencial de un punto. Escala super-

    cial local . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39213.5.3. Deformacin supercial de un recinto nito. Clculo de la supercie de un

    recinto proyectado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39313.5.4. Condiciones para proyecciones equivalentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . 394

    13.6. Deformacin angular . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39413.6.1. Introduccin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39413.6.2. Deformacin de una direccin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 394

  • NDICE GENERAL ix

    13.6.3. Deformacin de un acimut geodsico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39613.6.4. Convergencia de meridianos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39713.6.5. Condiciones de conformidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39713.6.6. Proyecciones cartogrcas conformes a partir de funciones analticas de vari-

    able compleja . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39913.7. Correcciones por curvatura de las geodsicas proyectadas . . . . . . . . . . . . . . 401

    13.7.1. Introduccin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40113.7.2. Curvatura geodsica de curvas proyectadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40313.7.3. Reduccin angular de la cuerda . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40813.7.4. Correccin en distancias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 411

    13.8. Relacin entre la deformacin angular y supercial . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41113.9. Clasicacin de proyecciones cartogrcas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 412

    13.9.1. Introduccin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41213.9.2. Clasicacin en funcin de las deformaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . 41313.9.3. Clasicacin por la forma que adopta la red de meridianos y paralelos . . . 41313.9.4. Clasicacin por la orientacin de la cuadrcula de la proyeccin . . . . . . 41613.9.5. Otras clasicaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 416

    13.9.5.1. Clasicacin de Lee (1944) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41613.9.5.2. Clasicacin de Tobler (1962) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 417

    13.10.Eleccin de proyecciones cartogrcas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 418

    VI Apndices 421

    A. Geometra diferencial de curvas y supercies 423A.1. Cuestiones previas de anlisis matemtico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 423A.2. Breve repaso a la teora de curvas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 427

    A.2.1. Denicin de curva. Representacion de curvas. Cambio admisible de parmetro.Curva regular . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 427

    A.2.2. Clasicacin de curvas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 428A.2.3. Curva recticable. Parmetro longitud de arco . . . . . . . . . . . . . . . . 429A.2.4. Triedro de Frenet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 430A.2.5. Desarrollos en potencias de arco . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 434

    A.3. Concepto de supercie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 435A.3.1. Denicin y representacin de supercies . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 435A.3.2. Recta normal y plano tangente en un punto de una supercie . . . . . . . . 441

    A.4. Primera forma cuadrtica fundamental y cuestiones adjuntas . . . . . . . . . . . . 442A.4.1. Primera forma cuadratica fundamental. Medida de distancias . . . . . . . . 442A.4.2. Medida de ngulos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 444A.4.3. Medida de supercies . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 446

    A.5. Segunda forma cuadrtica fundamental y cuestiones adjuntas . . . . . . . . . . . . 446A.5.1. Segunda forma cuadrtica fundamental. Curvatura normal . . . . . . . . . 446A.5.2. Teorema de Meusnier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 451A.5.3. Caracterizacin de la supercie en el entorno de un punto. Direcciones y

    curvas asintticas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 451A.5.4. Direcciones principales. Teorema de Euler. Indicatriz de Dupn. Puntos um-

    bilicales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 454A.5.5. Lneas de curvatura . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 458A.5.6. Radio medio de curvatura. Curvatura gaussiana. Curvatura media . . . . . 461

    A.6. Ecuaciones fundamentales de la teora de supercies . . . . . . . . . . . . . . . . . 463A.6.1. Frmulas de derivacin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 463

    A.6.1.1. Ecuaciones de Gauss . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 463A.6.1.2. Ecuaciones de Weingarten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 466

    A.6.2. Ecuaciones de compatibilidad y teoremas de Gauss y Bonnet . . . . . . . . 467A.7. Geometra intrnseca de supercies . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 469

    A.7.1. Denicin. Aplicaciones isomtricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 469

  • x NDICE GENERAL

    A.7.2. Curvatura geodsica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 471A.7.3. Triedro geodsico. Torsin geodsica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 476A.7.4. Lneas geodsicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 479

    A.7.4.1. Denicin y expresin en diferentes sistemas de coordenadas . . . 479A.7.4.2. Teorema de Clairaut . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 480A.7.4.3. Condiciones para que las curvas paramtricas sean lneas geodsicas 481A.7.4.4. Desarrollos en serie para la lnea geodsica . . . . . . . . . . . . . 483

    A.7.4.4.1. Ecuaciones paramtricas de Puiseaux-Weingarten . . . . 483A.7.4.4.2. Desarrollos en serie de Legendre . . . . . . . . . . . . . . 486

    A.7.5. Coordenadas geodsicas. Coordenadas geodsicas polares . . . . . . . . . . 487A.7.6. Teorema de Minding . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 490A.7.7. Teorema de Gauss-Bonnet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 491

    A.8. Demostraciones complementarias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 495A.8.1. Deduccin de las ecuaciones de Mainardi-Codazzi y de la frmula de Gauss 495A.8.2. Curvatura gausiana en el caso particular de curvas paramtricas ortogonales 497A.8.3. Frmula de Liouville . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 500A.8.4. Sistema de ecuaciones diferenciales de la lnea geodsica . . . . . . . . . . . 503

    B. Longitud de arco de meridiano 507B.1. Introduccin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 507B.2. Clculo de la longitud de arco de meridiano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 508B.3. Problema inverso: clculo de la latitud geodsica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 509

    C. Latitudes empleadas en geodesia y proyecciones cartogrcas 511C.1. Latitudes reducida y geocntrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 511

    C.1.1. Denicin y utilidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 511C.1.2. Relacin entre latitud geodsica y latitud reducida . . . . . . . . . . . . . . 513C.1.3. Relacin entre latitud geodsica y latitud geocntrica . . . . . . . . . . . . . 515

    C.2. Latitud isomtrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 516C.2.1. Denicin y utilidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 516C.2.2. Paso de latitud geodsica a latitud isomtrica . . . . . . . . . . . . . . . . . 517C.2.3. Paso de latitud isomtrica a latitud geodsica . . . . . . . . . . . . . . . . . 517

    C.3. Latitud autlica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 518C.3.1. Denicin y utilidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 518C.3.2. Paso de latitud geodsica a latitud autlica . . . . . . . . . . . . . . . . . . 519C.3.3. Paso de latitud autlica a latitud geodsica . . . . . . . . . . . . . . . . . . 521

    C.4. Latitud conforme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 522C.4.1. Denicin y utilidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 522C.4.2. Paso de latitud geodsica a latitud conforme . . . . . . . . . . . . . . . . . 524C.4.3. Paso de latitud conforme a latitud geodsica . . . . . . . . . . . . . . . . . 524

    C.5. Latitud recticante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 525

    D. Sistemas isomtricos de coordenadas 527D.1. Introduccin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 527D.2. Sistemas isomtricos en el plano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 527D.3. Sistemas isomtricos en la esfera . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 528D.4. Sistemas isomtricos en el elipsoide . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 529

    E. El problema del datum geodsico 531E.1. Introduccin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 531E.2. Denicin del datum del ajuste de una red geodsica . . . . . . . . . . . . . . . . . 533

    E.2.1. Datum denido a partir de parmetros de varianza nula . . . . . . . . . . . 533E.2.2. Datum denido a partir de constreimientos . . . . . . . . . . . . . . . . . 534

    E.3. Funciones invariantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 540E.4. Datum para mnima traza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 541E.5. Transformaciones de datum. S-transformaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 544E.6. Matriz de constreimientos de datum para redes geodsicas . . . . . . . . . . . . . 545

  • NDICE GENERAL xi

    F. Matrices de rotacin 549

    G. Integracin numrica 551

  • xii NDICE GENERAL

  • ndice de cuadros

    1.1. Efectos de la dinmica terrestre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

    7.1. Elipsoides ms utilizados en sistemas de referencia geodsicos . . . . . . . . . . . . 123

    8.1. Acotacin de los radios principales de curvatura . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1498.2. Acotacin de la relacin entre la lnea geodsica y secciones normales . . . . . . . . 1758.3. Acotacin de la relacin entre la lnea geodsica y secciones normales en la Pennsula

    Ibrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1758.4. Acotacin de la relacin entre la lnea geodsica y secciones normales en las Islas

    Canarias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1768.5. Aproximacin entre supercies . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182

    9.1. Acotacin correcciones para proyectar lneas geodsicas a la proyeccin esferica con-forme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 222

    9.2. Red EUREF-89 espaola en la Pennsula Ibrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 226

    E.1. Aportacin de los observables a la denicin del datum geodsico en una red 2d . . 533

    xiii

  • xiv NDICE DE CUADROS

  • ndice de guras

    2.1. Supercies de nivel y lneas de la plomada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122.2. Altitud como el camino de mnima energa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132.3. Coordenadas astronmicas y su relacin con el eje de rotacin . . . . . . . . . . . . 132.4. Proyeccin de Helmert y de Pizzeti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192.5. Anomala de la gravedad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 212.6. Desviacin de la vertical . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 212.7. Componentes de la desviacin relativa de la vertical . . . . . . . . . . . . . . . . . 222.8. Ondulacin del geoide . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

    3.1. Relacin entre un sistema terrestre y un sistema espacial a travs del ngulo GASP 293.2. Desplazamiento del polo instantneo para una Tierra rgida en ausencia de traslacin 323.3. Componentes del vector instantneo de rotacin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 333.4. Desplazamiento del polo instantneo en el supuesto de una Tierra rgida con traslacin 333.5. Movimiento de los polos en un modelo de Tierra elstica . . . . . . . . . . . . . . . 343.6. Coordenadas del polo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 363.7. Movimiento del CEP debido a la precesin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 373.8. Precesin y nutacin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

    4.1. Sistema astronmico local . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 474.2. Sistema geodsico local . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 484.3. Sistema cartesiano geocntrico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 504.4. Coordenadas esfricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 514.5. Coordenadas ecuatoriales absolutas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 524.6. Relacin entre coordenadas ecuatoriales absolutas y eclpticas . . . . . . . . . . . . 534.7. Coordenadas geodsicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 544.8. Sistema astronmico global . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 554.9. Relacin entre coordenadas geodsicas y cartesianas geocntricas . . . . . . . . . . 594.10. Relacin entre coordenadas astronmicas locales y cartesianas geocntricas . . . . 614.11. Componentes de la desviacin de la vertical . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 624.12. Relacin entre el norte geodsico y astronmico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64

    6.1. Transformacin entre dos sistemas de referencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 906.2. Distribucin geogrca de seis vrtices espaoles de EUREF-89 . . . . . . . . . . . 106

    7.1. Denicin geomtrica del elipsoide de revolucin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1227.2. Referenciacin geodsica de un punto sobre el elipsoide . . . . . . . . . . . . . . . . 1237.3. Sistema de referencia asociado al elipsoide de revolucin . . . . . . . . . . . . . . . 1267.4. Proyeccin de un punto del elipsoide sobre el plano ecuatorial geodsico . . . . . . 1277.5. Latitud geodsica, latitud geocntrica y latitud reducida de un punto del elipsoide 1277.6. Radio de curvatura del primer vertical - Gran Normal . . . . . . . . . . . . . . . . 1297.7. Parametrizacin de E3 en coordenadas geodsicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130

    8.1. Triedro de Frenet para un punto de un paralelo geodsico . . . . . . . . . . . . . . 1458.2. Vectores tangentes a meridiano y paralelo y normal al elipsoide en un punto de un

    paralelo geodsico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145

    xv

  • xvi NDICE DE FIGURAS

    8.3. Vectores curvatura, curvatura normal y curvatura geodsica para un punto de unparalelo geodsico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146

    8.4. Lnea geodsica y seccin normal referida al sistema de coordenadas de Euler . . . 1608.5. Tringulos sobre el elipsoide denidos por secciones normales directas y recprocas

    de tres puntos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1688.6. Relacin entre las secciones normales directa y recproca . . . . . . . . . . . . . . . 1698.7. Figuras auxiliares para la determinacin de la longitud de arco de la seccin normal 1718.8. Imagen esfrica del elipsoide . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1778.9. Tringulo geodsico sobre el elipsoide . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1788.10. Tringulo geodsico sobre la esfera . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1788.11. Polgono geodsico de tres lados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1828.12. Caracterstica de Euler de la esfera . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183

    9.1. Tringulo geodsico en la esfera en E3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1899.2. Tringulo esfrico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1899.3. Cambio sistema referencia afn en la parametrizacin de la esfera . . . . . . . . . . 1909.4. Primera rotacin en el cambio de sistema de referencia . . . . . . . . . . . . . . . . 1919.5. Segunda rotacin en cambio de sistema de referencia . . . . . . . . . . . . . . . . . 1929.6. Solucin del problema inverso en la esfera con cambio de sistema de referencia . . . 1929.7. Solucin del problema directo en la esfera con cambio de sistema de referencia . . . 1949.8. Tringulo geodsico sobre el elipsoide . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2039.9. Tringulo geodsico sobre la esfera de Jacobi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2039.10. Tringulo diferencial sobre el elipsoide . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2059.11. Tringulo diferencial sobre la esfera de Jacobi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2059.12. Tringulos auxiliares sobre la esfera . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2079.13. Pentgono de Neper para el primer tringulo esfrico rectngulo auxiliar . . . . . . 2079.14. Pentgono de Neper para el segundo tringulo esfrico rectngulo auxiliar . . . . . 2089.15. Tringulo geodsico sobre la esfera . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2109.16. Paso de la distancia en la esfera a la distancia en la geodsica del elipsoide . . . . . 2169.17. Red Euref89 espaola en la Pennsula Ibrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2279.18. Grco Red en los lmites de la provincia de Castelln . . . . . . . . . . . . . . . . 232

    11.1. Clculo de la altitud elipsoidal por nivelacin trigonomtrica tridimensional . . . . 308

    12.1. Deduccin ecuacin de observacin de distancia en el elipsoide. . . . . . . . . . . . 35412.2. Deduccin ecuacin de observacin de distancia en el elipsoide. . . . . . . . . . . . 35512.3. Deduccin ecuacin de observacin de distancia en el elipsoide. . . . . . . . . . . . 35512.4. Deduccin ecuacin de observacin de distancia en el elipsoide. . . . . . . . . . . . 35612.5. Deduccin ecuacin de observacin de distancia en el elipsoide. . . . . . . . . . . . 35612.6. Deduccin ecuacin de observacin de acimut sobre el elipsoide. . . . . . . . . . . . 35912.7. Deduccin ecuacin de observacin de acimut sobre el elipsoide. . . . . . . . . . . . 359

    13.1. Proyeccin de un cuadriltero innitesimal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37513.2. Proyeccin de una circunferencia innitesimal del elipsoide: Elipse indicatriz de Tissot38113.3. Problemas asociados a la curvatura de la transformadas de las geodsicas . . . . . 40213.4. Determinacin de la reduccin angular de la cuerda . . . . . . . . . . . . . . . . . . 409

    A.1. Diferentes curvaturas en una curva . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 431A.2. Triedro de Frenet en un punto de una curva . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 432A.3. Planos normal, osculador y recticante en un punto de una curva . . . . . . . . . . 432A.4. Proyeccin de una curva sobre los planos osculador, normal y binormal en un punto 432A.5. Proyeccin sobre el plano osculador . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 433A.6. Proyeccin sobre el plano recticante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 433A.7. Proyeccin sobre el plano normal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 433A.8. Cartas locales de una supercie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 435A.9. Supercie simple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 436A.10.Parametrizacin de una supercie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 437

  • NDICE DE FIGURAS xvii

    A.11.Carta de Monge . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 437A.12.Curvas parametricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 438A.13.Supercie de revolucin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 440A.14.Supercie cilndrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 440A.15.Supercie reglada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 441A.16.Medida del rea diferencial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 446A.17.Curvatura normal y geodsica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 447A.18.Teorema de Meusnier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 452A.19.Separacin del plano tangente en el entorno de un punto en una supercie . . . . . 452A.20.Entorno de una supercie para un punto elptico, parablico e hiperblico . . . . . 453A.21.Direcciones principales segn el punto sea elptico, hiperblico o parablico . . . . 456A.22.Aplicacin continua de una supercie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 469A.23.Curvatura geodsica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 471A.24.Proyeccin del vector normal a la supercie sobre el normal y binormal a la curva 477A.25.Coordenadas geodsicas polares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 488A.26.Contorno sobre una supercie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 492A.27.Descomposicin de una supercie en polgonos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 493

    C.1. Proyeccin de un punto del elipsoide sobre el plano ecuatorial geodsico . . . . . . 512C.2. Latitud geodsica, latitud geocntrica y latitud reducida de un punto del elipsoide 512C.3. Relacin de la latitud geodsica con la pendiente de la lnea meridiana geodsica . 514

    G.1. Interpretacin geomtrica de una integral denida . . . . . . . . . . . . . . . . . . 551G.2. Integracin numrica aproximada por el mtodo de los rectngulos . . . . . . . . . 552G.3. Integracin numrica aproximada por el mtodo de los trapecios . . . . . . . . . . 553G.4. Integracin numrica aproximada por el mtodo de Simpson . . . . . . . . . . . . . 554

  • xviii NDICE DE FIGURAS

  • Parte I

    Aspectos bsicos

    1

  • Captulo 1

    Introduccin a la geodesia

    1.1. La Tierra como planeta del Sistema Solar

    Se denomina metagalaxia a la parte del espacio csmico que ha podido ser investigada. Lametagalaxia es una parte muy reducida del Universo y supuestamente est relacionada con otrasmetagalaxias an desconocidas. La materia constituyente de la metagalaxia se organiza bajo mlti-ples formas, todas ellas sujetas a las mismas leyes generales: la ley de gravitacin universal y la leyde la conservacin de materia y energa.Una de las formas de organizacin de la materia csmica se denomina galaxa, formada por

    una gran cantidad de estrellas rotando en torno a su centro. Las galaxias se organizan a su vez engrupos de cientos o miles de estrellas, aunque se desconoce si estos grupos de galaxias presentan asu vez una organizacin comn.En base al conocimiento adquirido por la humanidad con el actual nivel de desarrollo cientco

    y tecnolgico, existen fundamentalmente dos hiptesis acerca de la formacin de las metagalaxias,galaxias y estrellas [28]:

    Universo en continua expansin. De acuerdo con esta hiptesis, hace 15 billones de aos lamasa total del universo estuvo concentrada en el denominado tomo primigenio. Al explotar,la materia fue expelida al espacio, formando posteriormente las metagalaxias, galaxias yestrellas

    Universo en expansin-contraccin. De acuerdo con esta teora, el universo en expansinreduce su velocidad hasta que es nalmente retenido por la atraccin gravitacional mutua. Apartir de ese momento comenzara un proceso de contraccin de materia hasta la formacinde un nuevo tomo primigenio, inicindose un nuevo ciclo de expansin-contraccin.

    Aunque ambas hiptesis han sido formuladas en base al conocimiento cientco y a las medicionesefectuadas hasta la actualidad, no satisfacen completamente los fenmenos observados en el espa-cio exterior. Es necesario un mayor conocimiento del Universo, basado en observaciones de mayorextensin y precisin.La estrella ms prxima a nosotros es el Sol. El Sol, junto con los planetas que orbitan a su

    alrededor forma el Sistema Solar. El Sistema Solar pertenece a la galaxia denominada Va Lctea.La forma de la Va Lactea es similar a una lente con un dimetro de cien mil aos luz. En ella existencien mil billones de estrellas, organizadas en grupos que giran en torno al centro de la galaxia. ElSol se encuentra a 33.000 aos luz del centro de la Va Lctea, y dado que su velocidad de traslacines de 250 km/s, tarda 250 millones de aos en completar una rbita. El Sol constituye la nicafuente de energa del Sistema Solar y representa el 99% de la masa del mismo. A su alrededororbitan nueve planetas, aunque se supone la existencia de un dcimo. Existen adems un grannmero de pequeos planetas denominados asteroides, la mayora de ellos situados entre Marte yJpiter. De ellos 2.000 se encuentran catalogados.La forma de los cuerpos celestes, y en concreto los planetas, se basa en las guras de equilibrio

    gravitacional adoptadas por un uido aislado sometido a rotacin. Teniendo en cuenta la diversidad

    3

  • 4 CAPTULO 1. INTRODUCCIN A LA GEODESIA

    existente entre los cuerpos celestes las posibilidades son mltiples: uidos homogneos, uidos het-erogneos estraticados, uidos perfectos o viscosos, cuerpos celestes slidos con envoltura uida,etc.Newton fue el primero en investigar la gura geomtrica que adopta una masa homognea

    sometida a rotacin uniforme y como resultado del equilibrio gravitacional, concluyendo que era lade una esfera aplanada en las interseccines de su supercie con el eje de rotacin. Posteriormente,Mc Laurin generaliza los resultados de Newton, probando adems que el elipsoide de revolucin esuna gura de equilibrio. Jacobi incorpor el elipsoide de tres ejes como posible gura de equilibrio.En general, las posibles soluciones a la gura de equilibrio de un cuerpo celeste sometido a

    rotacin vienen dadas por los posibles valores de la siguiente expresin1 [24]:

    h =!2

    2G(1.1)

    en la que intervienen:! velocidad angular de rotacin densidad del uidoG constante de gravitacin universal

    As, las posibles guras de equilibrio en funcin del valor de h son:

    h = 0 la esfera, el disco y la aguja alargadah < 0;187 dos elipsoides de Mc Laurin y uno de Jacobih = 0;187 dos elipsoides de Mc Laurin y uno de Jacobi en el lmite2

    0;187 < h < 0;224 dos elipsoides de Mc Laurinh = 0;224 un elipsoide de equilibrioh > 0;224 no exiten elipsoides como gura de equilibrio

    La geodesia siempre ha supuesto una valiosa fuente de informacin para validar los diferentesestudios respecto a la forma de la Tierra. En la actualidad es una herramienta imprescindible paraformular nuevos modelos que expliquen la forma de la Tierra, de otros planetas y de los cuerposcelestes en general.

    1.2. Denicin de geodesia

    Hasta mediada la dcada de los setenta del siglo XX, la denicin formal vigente de Geodesiaera la dada por Helmert en 1880 en su libro Teora matemtica y fsica de la geodesia:

    Geodesia es la ciencia de medir y representar la supercie de la Tierra

    Aunque esta denicin se reere explcitamente a la forma fsica de la Tierra, es decir a susuperfcie topogrca, tambin incluye implcitamente la determinacin del campo gravitatorio, yaque la forma de la Tierra y las observaciones geodsicas que sobre la misma se realizan se entiendencondicionadas por este campo de fuerzas.A partir de la II Guerra Mundial se produjo una autntica revolucin tecnolgica de la que se

    derivaron tres circunstancias que inuyeron notablemente en el avance de la geodesia:

    La invencin del RADAR (Radio Detection and Ranging System) permiti desarrollar nuevoinstrumental geodsico de medicin de distancias mediante el empleo de ondas electromag-nticas, cambiando la concepcin de geodesia. Hasta entonces, la determinacin de redesgeodsicas se haba basado casi exclusivamente en la medicin de ngulos.

    El desarrollo de los primeros ordenadores no solamente supuso mayor rapidez en los clculosgeodsicos, sino que revolucion la manera de pensar de los geodestas. Hasta entonces, muchasconsideraciones de tipo terico no se podan llevar a la prctica porque no se dispona de lapotencia de clculo que exigan.

    1Esta cuestiones, as como otras derivadas, fueron estudiadas por Dirichlet, Dedekind, Riemman, Poincar, etc.2 Tambin de revolucin.

  • 1.2. DEFINICIN DE GEODESIA 5

    Cambios en el geoide 1011Tctonica de placas, movimientos verticales de la corteza 109Movimiento del Polo 106Deformaciones por marea terrestre 105Movimiento del polo magntico 103

    Cuadro 1.1: Efectos de la dinmica terrestre

    El lanzamiento de los primeros satlites articiales fue otro paso importante en la geodesiadado que permitan medir grandes distancias sin la limitacin de la intervisibilidad. Adems,al orbitar en las proximidades de la Tierra, permitan estudiar el campo de gravedad terrestrea partir de sus perturbaciones orbitales. De esta forma la geodesia encontraba una nuevaaplicacin: determinacin del campo de gravedad en las proximidades de la Tierra parapoder calcular con precisin las rbitas de los satlites respecto a un sistema de referenciaglobal.

    Todos estos cambios condujeron a progresivas mejoras en las tcnicas e instrumental de medicin.La determinacin de coordenadas de redes geodsicas intercontinentales se efectuaba cada vezcon mayor precisin, dando lugar a un mayor nmero de aplicaciones y tambin, como no, alplanteamiento de nuevos problemas.Hasta 1970, el lmite en la precisin para la medicin de largas distancias era del orden de

    106, es decir, una parte por milln (1 ppm.). En la actualidad es posible alcanzar precisiones de109 (0.001 ppm.) en distancias de miles de kilmetros. Por tanto, se puede decir que la medicinde los fenmenos que afectan a la geometra y a la dinmica del entorno de la Tierra se ha vistoincrementada 1000 veces. Algunos de los fenmenos que afectan a la dinmica terrestre se hanpodido medir por primera vez en estas ltimas dcadas. Entre los fenmenos ms representativosde la dinmica terrestre, ordenados por orden creciente de velocidad estimada en m/s, se encuentran[1] los mostrados en la tabla 1.2El hecho de poder determinar coordenadas con gran precisin en un nico sistema de referencia,

    midiendo as gran parte de los fenmenos que afectan a la dinmica terrestre, ha permitido a suvez profundizar en el conocimiento de otras ciencias que se nutren de esos datos, perfeccionandolos modelos tericos existentes o formulando otros nuevos. A travs de estas interrelaciones se haido constituyendo un cuerpo comn que se ha dado en llamar Ciencias de la Tierra o Geociencias.La evolucin tecnolgica experimentada en la ltima mitad del siglo veinte, as como la am-

    pliacin del entorno objeto de estudio, oblig a la Asociacin Internacional de Geodesia ( IAG, deInternational Association of Geodesy ) a adoptar en 1975 una nueva denicin formal de geodesia:

    Geodesia es la ciencia de medir y representar la gura y el campo de gravedad terrestre y de otroscuerpos celestes, as como sus variaciones en el tiempo

    Esta nueva denicin pone de maniesto el hecho de que la Tierra y su dinmica se entiendenintegradas en un contexto ms amplio, el Sistema Solar en primer trmino, el Universo en denitiva.Por otra parte, con el aumento de la precisin en la medicin de los fenmenos de la dinmicaterrestre auspiciada por el avance tecnolgico se incorpora la evolucin en el tiempo como partedel objeto de estudio.En la actualidad, todo apunta a que la geodesia, como parte de las geociencias, evolucionar [7]

    hacia la denominada geodesia integral, concepto relativo al control continuo de todas las variablesy parmetros relativos a la geodinmica susceptibles de ser obtenidos a partir de procesos geodsi-cos. Dicho concepto se denomina en ingls Integrated Geodetic-Geodynamical Monitoring System(IGGM).La realizacin tcnica de IGGM se sustenta en cuatro componentes:

    La componente central es un sistema de referencia global de alta precisin al que es posiblereferir todas las mediciones y la determinacin de parmetros efectuadas en diferentes sis-temas locales. En la actualidad, el Marco de Referencia Terrestre Internacional ( ITRF, deInternational Terrestial Reference Frame ) materializa dicho sistema de referencia unicado.

  • 6 CAPTULO 1. INTRODUCCIN A LA GEODESIA

    La segunda componente es la determinacin continua de los parmetros de rotacin terrestre:movimiento del polo, precesin y nutacin. Con ellos se establece la relacin instantneaexistente entre los sistemas de referencia terrestres y los sistemas de referencia espaciales.

    En tercer lugar aparece la determinacin geomtrica de coordenadas. En la actualidad, debidoa la precisin que alcanzan las mediciones geodsicas es posible cuanticar la variacin decoordenadas que experimentan los vrtices de las redes geodsicas. Por ello se introduce elconcepto de geocinemtica 3 .

    El cuarto objeto de la geodesia integral es la determinacin continua de los denominadosgeocampos: el campo gravitatorio y el campo magntico.

    En la actualidad la geodesia puede ser considerada como parte de las geociencias y ciencias dela ingeniera, incluyendo la geomtica y la navegacin.

    1.3. Divisin de la geodesia

    La geodesia emplea mediciones afectadas por el campo gravitatorio, por el campo mgntico,por las caractersticas fsicas y qumicas del medio de propagacin, por errores instrumentales,etc. El enlace riguroso entre mediciones y coordenadas debera establecerse en un nico modelofuncional que englobase todos los aspectos apuntados, de manera que existira un nico conceptode geodesia, la geodesia integral. Ahora bien, el hecho de que en la prctica existan diferentestipos de instrumental, metodologas de clculo y procesamiento, diversas especializaciones, etc.,hace que el trmino geodesia en ocasiones se vea acompaado por diferentes adjetivos, dando lugara diferentes conceptos o divisiones de la geodesia. A continuacin se exponen las divisiones mshabituales y los trminos a que dan lugar:

    Por subdisciplinas.La geodesia ha sido tradicionalmente dividida en dos ramas o subdisciplinas: la geodesia fsicay la geodesia geomtrica.La geodesia fsica, o geodesia dinmica, tiene por objeto la determinacin de las superfciesde nivel del campo gravitatorio terrestre. Expresado de una forma ms abstracta, tal comohizo Bruns en 1878, el objeto de la geodesia fsica es la determinacin de la funcin poten-cial W (x; y; z). Determinada dicha funcin, se conocen todas las supercies equipotenciales,incluida la de referencia o geoide.Debido a la dicultad de determinar de una forma sencilla el campo gravitatorio con lasuciente precisin y a la metodologa y precisin propias de las observaciones clsicas, laforma tradicional de abordar la determinacin de coordenadas ha sido la de aproximar elgeoide por una supercie de geometra ms sencilla. El elipsoide de rotacin, por la sen-cillez de su geometra y el grado de aproximacin al geoide, es la supercie de referenciageneralmente escogida para los clculos geodsicos, dando lugar a la geodesia geomtrica,o geodesia matemtica. Esta rama se ocupa en la actualidad de todo lo concerniente a ladeterminacin de coordenadas en redes geodsicas, ya sea a partir de observaciones clsicaso de observaciones a satlites articiales.

    En funcin del instrumental y de la metodologa de medicin y clculo.Existen otras subdisciplinas en funcin del campo de especializacin o de la forma de tratarlas cuestiones geodsicas.La determinacin de coordenadas absolutas o de incrementos de coordenadas a partir demediciones clsicas y la separacin de la planimetra y altimetra recibe el nombre de geode-sia clsica. Por el contrario, si las mediciones proceden de observaciones a satlites articialeso de radiofuentes extragalcticas, se habla de geodesia espacial.Como todas las mediciones geodsicas estn sujetas al campo gravitatorio, para determinarcoordenadas a partir de las mismas es necesario establecer un modelo funcional que contem-ple la geometra del campo gravitatorio. Este acercamiento di lugar al concepto de geodesia

    3En ingls se corresponde con el trmino geokinematics, que engloba la determinacin de coordenadas y suvariacin en el tiempo.

  • 1.4. PROBLEMAS ABORDADOS POR LA GEODESIA EN LA ACTUALIDAD 7

    tridimensional, introducido por Bruns a nales del siglo XIX. Bsicamente, la geodesia tridi-mensional plantea el tratar las mediciones de campo conjuntamente para obtener las trescoordenadas de cada punto incorporando la geometra de las supercies de nivel. Tras la IIGuerra Mundial, esta forma de abordar la geodesia fue retomada por Marussi y, posterior-mente, por Hotine.Como ya se ha mencionado, tanto la topografa terrestre como el geoide, y por extensin elcampo gravitatorio, estn sujetos a cambios globales, regionales y locales, que adems puedenpresentar carcter peridico o discreto. En la actualidad, los avances cientcos y tecnolgicospermiten medir estas variaciones con gran precisin. Por tanto, las mediciones adquieren lacondicin de instantneas, en el sentido de que se reeren al instante de tiempo en que hansido realizadas, y, para un cierto grado de precisin y extensin, deben de ser corregidas devariaciones temporales, dando lugar a lo que se conoce como geodesia tetradimensional. Lageodesia tetradimensional, al determinar la variacin temporal de gran parte de los fenmenosde la dinmica y cinemtica terrestre, contribuye de manera signicativa al conocimiento dela Tierra y por extensin, del Espacio.

    Divisin prctica.Desde un punto de vista prctico, la geodesia se puede dividir en tres apartados: geodesiaglobal, geodesia regional y topografa.La geodesia global tiene por objeto todo lo concerniente a la determinacin de la forma ytamao de la Tierra, su orientacin en el espacio y su campo gravitatorio externo, para loque se establecen redes geodsicas globales.La geodesia regional incluye todas las operaciones relacionadas con la determinacin de coor-denadas y del campo gravitatorio en una determinada regin, que en general coincidir conciertos lmites administrativos ( comunidad, pas, conjunto de pases,...), dando lugar a lasredes geodesicas nacionales y continentales.Por ltimo, en los levantamientos topogrcos se determinan coordenadas de puntos a partirde las redes nacionales, prescindiendo generalmente de los efectos del campo gravitatorio.Como puede apreciarse, existe una estrecha relacin entre geodesia global, regional y topografa.La primera establece los sistemas de referencia y con ello el marco de referencia al que en-lazarn las distintas redes geodsicas nacionales. Los diferentes pases, mediante la monu-mentacin, observacin y clculo de las redes geodsicas nacionales, densican los marcosde referencia como base de las diferentes actuaciones cartogrcas y topogrcas. Los lev-antamientos topogrcos se utilizan con profusin en las diferentes series cartogrcas na-cionales, regionales, sistemas de informacin geogrca, catastro, proyectos de ingeniera civil,etc.Los mtodos de medicin y tratamiento de los datos empleados en cada uno de los apartadosen los que se ha subdividido la geodesia diferan sustancialmente en el pasado. En la actuali-dad, el avance tecnolgico ha propiciado que la geodesia regional y la topografa compartan,en no pocos casos, instrumental y metodologa. Con ello, la lnea de separacin entre ambas,tan clara en el pasado, aparece difusa en la actualidad.

    1.4. Problemas abordados por la geodesia en la actualidad

    1.4.1. Determinacin de la supercie terrestre

    La supercie fsica o topografa de la Tierra es la frontera entre la parte slida y la uida (oceanos y atmsfera ). Los fondos ocenicos estaran incluidos en esta denicin como la superciede discontinuidad entre la parte slida y las masas de agua ocenicas. No es posible representar lasupercie fsica o topografa mediante una funcin analtica, por lo que se obtiene un modelo dela misma a partir de la denicin de puntos concretos, mediante coordenadas en un determinadosistema de referencia geodsico, y de la denicin de mtodos de interpolacin.La supercie de los ocenos es ms sencilla de representar. Si se prescinde de las mareas,

    de las corrientes ocenicas, del oleaje, etc. la supercie de los ocenos formara una supercie denivel o equipotencial del campo gravitatorio terrestre. Esta supercie equipotencial, extendida a loscontinentes, constituye la supercie matemtica o geoide, cuya caracterstica principal es constituir

  • 8 CAPTULO 1. INTRODUCCIN A LA GEODESIA

    una supercie de equilibrio. El geoide es considerado como una supercie de contorno del campogravitatorio terrestre.

    1.4.2. Establecimiento de sistemas de referencia geodsicos

    Establecer un sistema de referencia consiste bsicamente en situar un origen de coordenadas,la direccin de unos ejes y una determinada mtrica. Si se quisira describir el movimiento delSol con respecto a la Va Lctea el origen lgico del sistema de referencia sera el centro de lagalaxia. Ese sistema de referencia, teniendo en cuenta los movimientos a los que se ven sometidoslos elementos integrantes de la galaxia y sus velocidades, sera una desafortunada eleccin paradotar de coordenadas a los vrtices de una red geodsica o para describir las rbitas de los satlitesarticiales de la Tierra. En el primer supuesto es ms lgico emplear sistemas de referencia solidariosa la Tierra y sistemas de coordenadas naturales para el hombre. De esta forma, un vrtice geodsicopuede disponer de coordenadas jas que lo siten planimtrica y altimtricamente respecto a lasupercie terrestre. Para la determinacin de rbitas es preferible la utilizacin de sistemas dereferencia independientes de la rotacin terrestre.Desde el punto de vista puramente matemtico todos los sistemas de referencia son admisibles

    y la nica razn para seleccionar uno u otro es la conveniencia o el hecho de que una determinadacuestin aparezca en su forma ms simple. Desde un punto de vista prctico, se eligen sistemasde referencia y sistemas de coordenadas que permitan representar la cuestin objeto de estudio deuna forma fsica y geomtricamente interpretable y susceptible de ser medida.

    1.4.3. Determinaciones geomtricas en el espacio

    En el espacio afn eucldeo tridimensional la posicin de un punto, P , queda determinadamediante las tres coordenadas (x; y; z) que denen su vector de posicin, !r , en un determinadosistema de referencia S. Ese mismo objeto en otro sistema de referencia, S0, quedara denido portres coordenadas diferentes, (x0; y0; z0), que denen su vector de posicin, !r 0. La norma del vectorde posicin en ambos sistemas es invariante, es decir, no depende del sistema de referencia escogido,

    k!r k = k!r 0k , h!r ;!r i = h!r 0;!r 0i ,px2 + y2 + z2 =

    px02 + y02 + z02 (1.2)

    recordando que la mtrica en el espacio afn eucldeo viene inducida por el producto escalar.Los clculos espaciales empleando la geometra euclidiana no describen correctamente el movimien-

    to de los cuerpos en el Universo, debido fundamentalmente a las diferencias de campos gravitato-rios. Es necesario considerar los efectos relativistas. En este caso, un objeto en el espacio-tiempoquedara denido en un determinados sistema de referencia, S, por cuatro coordenadas, (x; y; z; t).Ese mismo objeto en otro sistema de referencia, S0, vendra dado por (x0; y0; z0; t0). En este caso semantiene invariante la norma de los vectores de posicin en el espacio-tiempo,

    x2 + y2 + z2 ct2 = x02 + y02 + z02 ct02 (1.3)

    teniendo en cuenta que la teora general de la relatividad establece que

    t0 = t Uc2t =

    1 U

    c2

    t (1.4)

    dondet intervalo de tiempo transcurrido en el sistema de referencia St0 intervalo de tiempo transcurrido en el sistema S0

    U diferencia de potencial gravitatorio, U = US US0c velocidad de propagacin de la luz en el vaco, 299 792 458 ms14

    Considrese, por ejemplo, un segundo de tiempo sobre la supercie terrestre, cuyo potencialsegn el sistema geodsico de referencia GRS80 es de 62636860; 850 m2s2. El tiempo transcurridoen un punto sucientemente alejado de la Tierra como para considerar el potencial gravitatorio

    4 Valor adoptado por el Servicio Internacional de Rotacin Terrestre ( IERS, de International Earth RotationService )

  • 1.4. PROBLEMAS ABORDADOS POR LA GEODESIA EN LA ACTUALIDAD 9

    nulo sera, segn la expresin 1.4, de 0; 9999999993 segundos terrestres. Es decir, que el tiempotranscurrido es una variable dependiente del sistema de referencia y del valor del campo gravitatorioincluido en su denicin. Otro ejemplo es el caso de los satlites de la constelacin NAVSTARempleados en el Sistema de Posicionamiento Global ( GPS, de Global Positioning System ), queorbitan a unos 20;000 km: de altitud. En ellos el da a bordo es 38; 3 s ms corto que el daterrestre.Una vez aceptado el hecho de que el tiempo depende del campo gravitatorio, la distancia entre

    dos puntos en el espacio no se corresponde con la distancia geomtrica euclidiana. Un diferencialde elemento lineal en el espacio euclidiano viene dado por

    ds =pdx2 + dy2 + dz2 (1.5)

    mientras que en el en espacio real se expresa mediante

    ds =pdx2 + dy2 + dz2 c2dt2 (1.6)

    El clculo de la distancia entre dos puntos en el espacio real exige la integracin respecto alas cuatro variables que intervienen. Evidentemente, cuando la integracin se realiza entre puntosafectados por un campo gravitatorio similar, dt 0 y la geometra euclidiana resulta perfectamenteaplicable an cuando las exigencias de precisin sean elevadas. Por ejemplo, si se considerara unpunto a 10 km de altitud respecto a la supercie terrestre y se efectuase una medicin distan-ciomtrica desde el nivel del mar, la radiacin tardara en recorrer el camino 3;3 105 segundos.En esa fraccin de tiempo, la mxima diferencia entre el tiempo en cada uno de los puntos dela trayectoria y el tiempo terrestre resultara menor de 1016 segundos, que representa 3 108m: a la velocidad de la luz. A partir de lo anterior se concluye que la distancia eucldea y la dis-tancia real entre puntos situados en las proximidades del campo gravitatorio terrestre pueden serconsiderados iguales. Esto signica que las redes geodsicas que enlazan puntos situados sobre lasuperfcie terrestre pueden ser calculadas empleando la geometra euclidiana. No ocurre lo mismocon las redes geodsicas intercontinentales cuyas coordenadas se determinan junto con las rbitasde satlites articiales, y las distancias a estos obliga a incluir la consideracin de la coordenadatemporal.

    1.4.4. Determinacin del campo gravitatorio

    La determinacin de los campos gravitatorios de los cuerpos celestes, especialmente los de loscuerpos del Sistema Solar, es de suma importancia para conocer la geometra del espacio inmediatoque rodea la Tierra. En cualquier caso, el campo gravitatorio terrestre es el que ms afecta, por loque su determinacin precisa es fundamental.Una masa situada en las proximidades de la Tierra se ve sometida a las fuerzas de atraccin

    newtoniana debidas a la masa terrestre ( incluyendo los ocenos y la atmsfera ), lunar, solar y delos dems planetas, as como a la fuerza centrfuga resultante de la rotacin terrestre. A la sumade los potenciales generados por dichas fuerzas se le denomina potencial de gravedad W ,

    W = VT ++ VL + VS + ::: (1.7)

    donde,W potencial de gravedad totalVT potencial de gravedad debido a la atraccin de la masa terrestre potencial que genera la rotacin terrestreVL potencial de gravedad debido a la atraccin de la masa lunarVS potencial de gravedad debido a la atraccin de la masa del Sol

    Los dos primeros trminos de la suma que aparece en el mienbro de la derecha de la expresin1.7 representan casi la totalidad del potencial para un cuerpo situado en la proximidad de lasupercie terrestre, lo que permite escribir,

    W =W (l) = V + =

    ZZZTierra

    dm

    l+1

    2$2p2 (1.8)

  • 10 CAPTULO 1. INTRODUCCIN A LA GEODESIA

    donde,G constante de gravitacin universal, 6;67259 1011m3 kg1 s25$ velocidad angular de rotacin terrestre en radianesl distancia entre el diferencial de masa y el punto consideradop distancia entre punto considerado y el eje de rotacin terrestre

    La constitucin fsica de la Tierra genera grandes dicultades para la denicin de sistemas dereferencia geodsicos en los que las exigencias de precisin sean elevadas.La mayor concentracin de masa en la Tierra se produce en su parte slida. Esta se compone

    de elementos qumicos comunes en el Sistema Solar. A partir de prospecciones geofsicas basadasen la propagacin de ondas ssmicas y de otra serie de mtodos propios de la geofsica, se sabeque la Tierra se compone de una serie de capas con distintas caractersticas fsico-qumicas. En unprimer estudio, la esfera terrestre puede ser dividida en tres capas o geoesferas: corteza, manto yncleo. Un anlisis ms profundo distinguira capas de segundo orden o subcapas. La densidad deestas capas, cuyo espesor no es siempre homogneo, vara entre 2;67 g cm3 para la capa granticade la corteza, hasta 17;65 g cm3 en la parte ms interna del ncleo. Esta distribucin de masasse ve alterada por fenmenos de naturaleza secular, peridica y por cambios bruscos, debidos aterremotos, erupciones, etc. y producen modicaciones del campo gravitatorio con carcter global,regional o local.Modelizar el campo gravitatorio es muy complicado y exige considerar un elevado nmero de

    parmetros. La descripcin geomtrica del campo gravitatorio quedara conformada por el innitonmero de supercies equipotenciales que transcurriran, total o parcialmente, en el exterior de lasmasas terrestres. En la actualidad se aborda tambin la determinacin de los campos gravitatoriosde otros cuerpos celestes, especialmente los del Sistema Solar.

    1.4.5. Determinacin de la dinmica atmsfrica

    La atmsfera es el medio gaseoso que envuelve a la Tierra. Adems de proveer de elementosqumicos necesarios para la vida, sirve de ltro para atenuar las radiaciones procedentes del espacioexterior, algunas de las cuales impediran la existencia de vida. Por otro lado, la atmsfera es elmedio en el que se propagan todas las radiaciones electromagnticas que sirven de base a lasmediciones de carcter geodsico y astronmico ( ngulos, distancias, observables GPS, de VLBI,fotografas, etc. ). Por ello es importante conocer la inuencia que la atmsfera ejerce sobre lasmediciones. La dinmica de la atmsfera es muy compleja y en la actualidad es objeto de numerosasinvestigaciones. La atmsfera presenta diferentes composiciones sico-qumicas dependiendo de laaltitud. Por ello, los especialistas la dividen en capas segn diferentes criterios: temperatura (troposfera, estratosfera, etc. ), grado de ionizacin ( ionosfera, magnetosfera, etc. ), etc.

    5 Valor adoptado por el IERS.

  • Captulo 2

    Geometra del campo gravitatorioterrestre

    Los efectos del campo gravitatorio y de la fuerza centrfuga que genera la rotacin terrestreson los principales responsables de la gura matemtica de la Tierra, del movimiento libre delos cuerpos y de la distribucin de uidos sobre la superfcie terrestre. La determinacin de lagura matemtica de la Tierra presenta una ntima relacin con la denicin de superfcies dereferencia. El movimiento libre de los cuerpos est unido al concepto de vertical y la distribucinde uidos con el concepto de horizonte. Por todo ello, un sistema de coordenadas natural es eldenido por las superfcies de nivel y las lneas de la plomada, junto con supercies de referenciacomo el geoide. En este captulo se recuerdan algunos conceptos elementales del campo gravitatorioterrestre, especialmente los relacionados con la geometra de las superfcies de nivel y de las lneasde fuerza. Ambos conceptos estn ntimamente unidos y son necesarios para establecer un sistemanatural de coordenadas en el que situar espacialmente puntos inmersos en el campo gravitatorio.Un sistema de coordenadas de est naturaleza permite tambin relacionar las mediciones geodsicascon las coordenadas de los puntos en el espacio.Tambien se recordar el concepto de geoide y el de elipsoide de referencia como aproximacin

    al geoide, as como los diferentes elementos que relacionan ambas superfcies.

    2.1. Supercies de nivel y lneas de la plomada

    2.1.1. Denicin y propiedades

    Las supercies W (x; y; z) = cte:, donde W representa al potencial gravitatorio, se denominansupercies equipotenciales o supercies de nivel. Son supercies cerradas sin rupturas ni aristas.Las que se encuentran situadas completamente en el exterior de las masas atrayentes son funcionesanalticas y cumplen la ecuacin generalizada de Laplace [30] [6],

    W =@2W

    @x2+@2W

    @y2+@2W

    @z2= 2!2 (2.1)

    Las que transcurren total o parcialmente a travs de las masas atrayentes presentan discon-tinuidades en las segundas derivadas en aquellos puntos en que la densidad cambia bruscamente yno constituyen, por tanto, funciones analticas. Cumplen la denominada ecuacin generalizada dePoisson,

    W =@2W

    @x2+@2W

    @y2+@2W

    @z2= 4G+ 2!2 (2.2)

    Derivando la funcin potencial de gravedad se obtiene,

    dW =@W

    @xdx+

    @W

    @ydy +

    @W

    @zdz = rW !ds = !g !ds

    11

  • 12 CAPTULO 2. GEOMETRA DEL CAMPO GRAVITATORIO TERRESTRE

    Figura 2.1: Supercies de nivel y lneas de la plomada

    con !ds = (dx; dy; dz)

    Tomando!ds a lo largo de una supercie equipotencial, en queW permanece constante, dW = 0,

    resulta la ecuacin !g !ds = 0 (2.3)que expresa el hecho ya conocido de que el vector gravedad en un punto es normal a la supercieequipotencial que transcurre por dicho punto, como gradiente de la funcin potencial.La superfcie equipotencial representa el horizonte fsico y el vector gravedad dene la vertical

    fsica, lnea de la plomada o lnea de fuerza, como se ilustra en la gura 2.1.Adoptando un sistema cartesiano local, con origen en el punto P considerado, de forma que el eje

    z tenga la direccin de un vector unitario ~n, con igual direccin que ~g en P pero de sentido contrario,y los ejes x e y sean perpendiculares entre s y tangentes ambos a la superfcie equipotencial en P ,resulta,

    @W

    @x= 0;

    @W

    @y= 0;

    @W

    @z= g (2.4)

    que pone de maniesto el hecho manifestado en la expresin 2.3 de que la mxima variacin depotencial se produce siempre en la direccin perpendicular a la supercie equipotencial, tal y comose puede apreciar en la gura 2.2. La trayectoria seguida por una partcula material en caida librees siempre perpendicular a las supercies equipotenciales que atraviesa. La distancia recorrida oaltitud se obtiene integrando dz = dWg a lo largo de la trayectoria,

    H = PZ

    P0

    dW

    g(2.5)

    La longitud resultante recibe el nombre de altitud ortomtrica y representa la distancia, medidaa lo largo de la lnea de fuerza, que separa un punto P de su proyeccin P0 sobre la supercieequipotencial de referencia o geoide. Diferenciando en la expresin 2.5 se obtiene,

    dW = gdH (2.6)que relaciona la variacin en potencial con la variacin en altitud ortomtrica a partir del valor dela gravedad.

    2.1.2. El campo gravitatorio como sistema de coordenadas tridimension-ales curvilneas

    Tanto en astronoma como en geodesia, el sistema de supercies de nivel y lneas de la plomadaresulta sumamente til como sistema tridimensional de coordenadas curvilineas.

  • 2.1. SUPERFICIES DE NIVEL Y LNEAS DE LA PLOMADA 13

    Figura 2.2: Altitud como el camino de mnima energa

    Figura 2.3: Coordenadas astronmicas y su relacin con el eje de rotacin

  • 14 CAPTULO 2. GEOMETRA DEL CAMPO GRAVITATORIO TERRESTRE

    Considerando la gura 2.3 y adoptando unos ejes cartesianos con origen en un punto P de lasuperfcie terrestre de forma que:

    Eje z: N paralelo al eje de rotacin terrestreEje x: G perpendicular a N y paralelo al plano meridiano de referenciaEje y: En el Plano N = 0, paralelo al plano ecuatorial, completando una terna dextrgira

    F , interseccin del plano denido por z y !n con el plano paralelo al plano ecuatorialla situacin en el espacio del vector ~n queda determinada mediante los ngulos y , denidosde la siguiente forma:

    ngulo que forma ~n con el plano GF ngulo que forma la proyeccin de ~n sobre el plano GF con el plano GN

    Teniendo en cuenta que el plano GF es paralelo al plano del ecuador y que el plano GN lo es, asu vez, del meridiano origen, las coordenadas (;) representan la direccin del vector de gravedaden P respecto al eje de rotacin terrestre. Reciben el nombre de coordenadas astronmicas.Tal como se han denido las coordenadas astronmicas, los cosenos directores de la vertical

    vendran dados por, 0@ coscoscos

    1A =0@ nxny

    nz

    1A =0@ cos coscos sin

    sin

    1A (2.7)conk!n k =

    qn2x + n

    2y + n

    2z = 1.

    El conjunto de los puntos que cumplen = cte pertenecen a una supercie. Lo mismo ocurrecon el conjunto de puntos que satisfacen = cte. La situacin en el espacio de un punto inmersoen el campo gravitatorio de la Tierra queda por tanto denido por las interseccin de las tressupercies:

    = cte; = cte; W = cte

    Para un punto, los dos primeros ngulos pueden ser determinados de forma absoluta medianteobservacin a estrellas y clculos de astronoma geodsica. La tercera coordenada o potencial nose puede medir de forma directa. El uso conjunto de nivelacin geomtrica y gravimetra permitedeterminar incrementos de potencial mediante el empleo de la expresin 2.6. Una vez denido elgeoide y su potencial W0 es indiferente utilizar como tercera coordenada el potencial W , el nmerogeopotencial C o la altitud ortomtricaH, que se relacionan de acuerdo a las siguientes expresiones:

    W =W0 HZ0

    g dH =W0 C (2.8)

    C =W0 W =HZ0

    g dH (2.9)

    H = WZW0

    dW

    g=

    CZ0

    dC

    g(2.10)

    Relacionar el sistema de coordenadas curvilineo tridimensional con las mediciones geodsicasclsicas, generalmente relativas, requiere el conocimiento de la geometra del campo gravitatorio.Introduciendo conceptos de geometra diferencial se identican los signicados de las derivadas

    parciales de cada una de las coordenadas curvilineas respecto a los ejes del sistema local,

    cos @

    @x= x;

    cos @

    @y= x

    cos @

    @z= Kx (2.11)

    @

    @x= y;

    @

    @y= y;

    @

    @z= Ky

    @W

    @x= 0;

    @W

    @y= 0;

    @W

    @z= g

  • 2.1. SUPERFICIES DE NIVEL Y LNEAS DE LA PLOMADA 15

    siendo curvatura de la supercie equipotencial torsinK curvatura de la lnea de fuerza

    Los subndices indican la direccin y sentido a los que se reeren cada uno de los valores.La relacin entre ambos sistemas queda determinada por,0@ cos dd

    dW

    1A =0@ x x Kxy y Ky

    0 0 g

    1A0@ dxdydz

    1A (2.12)que constituye el fundamento de la denominada geodesia intrnseca [20] y que relaciona los incre-mentos de coordenadas tridimensionales curvilneos asociados al campo gravitatorio con incremen-tos locales de coordenadas.

    2.1.3. Curvatura de las supercies de nivel

    Dadas las propiedades de la funcin W (x; y; z), se deduce que las supercies de nivel que estnen el exterior de las masas atrayentes son analticas y por tanto admiten un desarrollo en serie deTaylor para describir el potencial en el entorno de un punto. Por el contrario, las superfcies denivel que transcurren total o parcialmente por el interior de las masas atrayentes, no constituyensuperfcies analticas, presentando discontinuidades en las derivadas segundas en funcin de ladensidad y por tanto slo pueden ser descritas mediante un conjunto de funciones analticas. Cadauna de estas funciones puede ser expandida en un determinado entorno mediante un desarrollo enserie de Taylor.Considerando un punto en cuyo entorno no se producen variaciones bruscas de densidad, el

    desarrollo en serie del potencial vendra dado por [27],

    W = WP +@W

    @xx+

    @W

    @yy +

    @W

    @zz +

    1

    2

    @2W

    @x2x2 +

    @2W

    @y2y2 +

    @2W

    @z2z2+ ::: (2.13)

    :::+@2W

    @x@yxy +

    @2W

    @x@zxz +

    @2W

    @y@zyz +

    Para determinar la curvatura de las supercies equipotenciales en el entorno de un puntose parte del hecho de que los incrementos de z son de menor orden que los correspondientesincrementos en x e y. Para una aproximacin esfrica vienen dados por la expresin utilizada parala correccin de la curvatura terrestre en la determinacin de diferencias de altitud,

    z = s2

    2R! 1

    R= 2z

    s2(2.14)

    Si se considera un punto de la misma superfcie equipotencial que P , no se producir variacinde potencial y la expresin 2.13 resulta, despejando z ,

    z =1

    2g

    @2W

    @x2x2 + 2

    @2W

    @x@yxy +

    @2W

    @y2y2

    (2.15)

    en la que se han despreciado los productos de coordenadas que incluan el trmino z, al ser desegundo orden respecto a las otras coordenadas, como se comprueba en la expresin 2.14.Sustituyendo en la expresin 2.15 las coordenadas cartesianas por las polares,

    x = s sin (2.16)

    y = s cos

    e introduciendo el resultado en la expresin 2.14, se concluye que la curvatura en la direccindeterminada por un azimut sobre una supercie equipotencial para el entorno prximo de unpunto P resulta

    =1

    R= 1

    g

    Wxx sin

    2 + 2Wxy sin cos +Wyy cos2

    (2.17)

  • 16 CAPTULO 2. GEOMETRA DEL CAMPO GRAVITATORIO TERRESTRE

    Para un azimut de 0 se obtiene la curvatura de la supercie equipotencial en el eje x, para unazimut de 90 se obtiene la correpondiente al eje y,

    x =1

    Rx= Wxx

    g(2.18)

    y =1

    Ry= Wyy

    g

    Las torsiones en los respectivos ejes vienen dadas por,

    x = Wxyg

    (2.19)

    y = Wyxg

    2.1.4. Curvatura de las lneas de la plomada

    La ecuacin diferencial para una lnea de la plomada viene dada por la expresin

    dx

    Wx=

    dy

    Wy=

    dz

    Wz(2.20)

    ya que el vector gravedad y el elemento diferencial de arco tienen la misma direccin y nicamentedieren en un factor de proporcionalidad, es decir,0@ WxWy

    Wz

    1A = g0@ dxdy

    dz

    1A (2.21)Empleando un sistema local de coordenadas y tomando el plano xz, la curvatura respecto al

    eje z viene dada por,

    Kx =1

    rx=d2x

    dz2

    De la ecuacin diferencial de la lnea de la plomada se obtiene

    dx

    dz=WxWz

    =@W@x@W@z

    y derivando de nuevo respecto a z, se sigue que,

    d2x

    dz2=

    1

    W 2z

    @2W

    @x@z+@2W

    @x2dx

    dz

    @W

    @z @W

    @x

    @2W

    @z2+@2W

    @z@x

    dx

    dz

    =

    1

    W 2z

    Wxz +Wxx

    dx

    dz

    Wz Wx

    Wzz +Wzx

    dx

    dz

    Al coincidir el eje z con el vector gravedad en el punto P;

    g =Wz; Wx =Wy = 0; dxdz= 0

    obtenindose

    Kx =1

    rx=d2x

    dz2=WxzWzW 2z

    =WxzWz

    = Wxzg

    (2.22)

    Anlogamente se obtiene la curvatura de la lnea de la plomada respecto al eje y

    Ky =1

    ry=d2y

    dz2=WyzWzW 2z

    =WyzWz

    = Wyzg

    (2.23)

    Se concluye que