geodesia para dummies(preliminar)_270315_v1.pdf
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TECNOLOGIA EN TOPOGRAFIA
GEODESIA PARA DUMMIES
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CAPÍTULO 1
LA ELIPSE
La elipse es el lugar geométrico de los
puntos que cumplen la siguiente relación:
PF+PF=2a; donde Pes cualquier punto de la
elipse,F y F´ son los llamados focos de la
elipse ver, figura 1.
Elementos de la Elipse
F,F´: Focos
AA´: Eje mayor = 2a.
OA: Semieje mayor = a.
BB´: Eje menor = 2b.
OB: Semieje menor = b.
e: Excentricidad.
f: Aplanamiento.
La distancia AA´ es llamada eje mayor de
la elipse, con lo que OA= OA´ = AA´/2=a,
esllamado el semieje mayor de la elipse
denotado con la letra a.
La distancia BB´ es llamada eje mayor de la
elipse, con lo que OB= OB´ = BB´/2=b es
llamado el semieje menor de la elipse
denotado con la letra b.
De la definición de la elipse se puede
escribir:
𝐹𝑃 + 𝐹´𝑃 = 2𝑎 (1)
𝐴𝐹´ = A𝐹 = 𝐴´𝐹´ = 𝐴´𝐹 = 𝑎 (2)
Excentricidad.
En el área de las matemáticas y la geometría
la excentricidadse entiende como el
parámetro que determina el grado de
desviación de una sección cónica con
respecto a una circunferencia [1] ver figura
2. Así:
En el caso de una Elipse, la excentricidad
(e) está dada por relación
P
F´ F
a
b
O
2a
2b
Figura 1. Elementos geométricos de la Elipse
A´ A
B´
B
e=1
e=2
e=∞
e=0
e=0,5
Figura 2. La excentricidad de las
cónicas..
La excentricidad de una circunferencia es cero (e = 0).
La excentricidad de una elipse es mayor que cero y menor que 1 (0<e< 1).
La excentricidad de una parábola es 1 (e = 1).
La excentricidad de una hipérbola es mayor que 1 (e> 1). [1]
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𝑂𝐹
𝑂𝐴´=
𝑂𝐹´
𝑂𝐴=
𝑂𝐹
𝑎=e.
Si OF, tiende a cero, entonces e = cero, y
los focos estarán en el centro O, así, la
elipse se convierte en una circunferencia.
Teniendo en cuenta que OF=OF´, y
FB+F´B=2a, y como FB=F´B (ver figura 3)
entonces FB=a
Por definición la excentricidad está dada
por la ecuación 3.
𝑒 =𝑂𝐹
𝑎=
𝑐
𝑎 𝐸𝑐𝑢𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛 3,
Aplicando el teorema de Pitágoras,
tenemos:
𝑎2 = 𝑏2 + (𝑐)2𝐸𝑐𝑢𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛 1 − 4
De la ecuación 3 se tiene 𝑐 = 𝑒𝑎 , y
reemplazando este valor en la ecuación 4,
tenemos.
𝑎2 = 𝑏2 + (𝑒𝑎)2𝐸𝑐𝑢𝑎𝑐𝑖ó𝑛 1 − 5
Realizando procesos algebraicos a esta
ecuación tenemos:
(𝑒𝑎)2 = 𝑎2 − 𝑏2 ,
𝑒2𝑎2 = 𝑎2 − 𝑏2,
𝑒2 =𝑎2 − 𝑏2
𝑎2 ,
𝑏2 = 𝑎2(1 − 𝑒2) , 𝑒𝑐𝑢𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛 1 − 6
𝑒 = √𝑎2 − 𝑏2
𝑎2𝑒𝑐𝑢𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛 1 − 7
La ecuación 6 se conoce como la primera
excentricidad de la elipse.
De manera similar se deriva la segunda
excentricidad de la elipse, la cual se muestra
en la ecuación 1-8.
𝑒´ = √𝑏2 − 𝑎2
𝑏2𝑒𝑐𝑢𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛 1 − 8
El aplanamiento f, (de las iníciales del
vocablo en ingle flat), está dado por la
ecuación 8
𝑓 =𝑎−𝑏
𝑎𝑒𝑐𝑢𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛 1 − 9.
Nota: Una elipse desde el punto de vista
geométrico queda definida, cuando se
conoce el semieje mayor y el inverso del
aplanamiento.
Ejemplo: La elipse que genera el Elipsoide
de Referencia Geodésico GRS80, tiene
parámetros geométricos básicos, los
siguientes:
a=6378137 m
f= 1/298,2572221008827.
Otros parámetros de una elipse:
𝐸 = √𝑎2 − 𝑏2 ∶ Excentricidad lineal[2].
𝑝´ =𝑎2
𝑏 ∶Radio de curvatura polar[2].
F´ F O
Figura 3. Elementos de la Elipse
A
P=B
a b
c c
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En la siguiente tabla se muestran los
parámetros de la elipse generadora del
elipsoide de revolución GRS80.
Ecuación de la Elipse
Se requiere hallar una expresión
matemática que permitadescribir una elipse
en un planoXY.
De la figura 4, tomando los triángulos
F´PM, y FMP, aplicando el teorema de
Pitágoras para dichos triángulos tenemos:
Para el triángulo: F´PM.
(𝐹´𝑃)2 = (𝐹´𝑀)2 + 𝑦2 ,
𝐹´𝑀 = 𝑐 − 𝑥 ,
(𝐹´𝑃)2 = (𝑐 − 𝑥)2 + 𝑦2 𝐸𝑐𝑢𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛 1− 10
Para: FMP.
(𝐹𝑃)2 = (𝐹𝑀)2 + 𝑦2,
𝐹𝑀 = 𝑐 + 𝑥 ,
(𝐹𝑃)2 = (𝑐 + 𝑥)2 + 𝑦2 𝐸𝑐𝑢𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛 1− 11
Se toma la ecuación 1, y se reemplaza en
ésta, los términos de la derecha de las
ecuaciones 1-10 y 1-11, resultando la
siguiente ecuación.
√(𝑐 − 𝑥)2 + 𝑦2 + √(𝑐 + 𝑥)2 + 𝑦2 = 2𝑎
𝐸𝑐𝑢𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛 11,
Transponiendo el primer término de la
derecha en la ecuación 1-11, y elevando
todo al cuadrado, tenemos:
√(𝑐 + 𝑥)2 + 𝑦2 = 2𝑎 − √(𝑐 − 𝑥)2 + 𝑦2,
(𝑐 + 𝑥)2 + 𝑦2 = (2𝑎 −
√(𝑐 − 𝑥)2 + 𝑦2)2,
Expandiendo los trinomios cuadrados,
tenemos:
𝑐2 + 2𝑐𝑥 + 𝑥2 + 𝑦2 = 4𝑎2
− 4𝑎√(𝑐 − 𝑥)2 + 𝑦2 + 𝑐2
− 2𝑐𝑥 + 𝑥2 + 𝑦2
Agrupando y suprimiendo términos
tenemos:
4𝑐𝑥 = 4𝑎2 − 4𝑎√(𝑐 − 𝑥)2 + 𝑦2,
Eliminando el numero4 y transponiendo
términos se tiene:
𝑎√(𝑐 − 𝑥)2 + 𝑦2 = 𝑎2 − 𝑐𝑥,
Elevando al cuadrado a ambos lados de la
ecuación tenemos.
𝑎2[(𝑐 − 𝑥)2 + 𝑦2] = (𝑎2 − 𝑐𝑥)2,
F´ F O
Figura 4. Elipse en el plano XY
X
P(x, y) Y
x
y
c c
a
b
M
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Extendiendo los trinomios cuadradosy
realizando operaciones tenemos:
𝑎2𝑐2 − 2𝑎2𝑐𝑥 + 𝑎2𝑥2 + 𝑎2𝑦2 = 𝑎4 −2𝑎2𝑐𝑥 + 𝑐2𝑥2,
Suprimiendo términos tenemos:
𝑎2𝑐2 + 𝑎2𝑥2 + 𝑎2𝑦2 = 𝑎4 + 𝑐2𝑥2,
Transponiendo términos tenemos:
𝑎2𝑥2 − 𝑐2𝑥2 + 𝑎2𝑦2 = 𝑎4 − 𝑎2𝑐2,
Agrupando términos se tiene:
𝑥2 (𝑎2 − 𝑐2) + 𝑎2𝑦2 = 𝑎2(𝑎2 −𝑐2) 𝐸𝑐𝑢𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛 1 − 13,
De la ecuación 3 se tiene que:
𝑏2 = 𝑎2 − 𝑐2, por tanto la ecuación 1-12 de
convierte en:
𝑥2 𝑏2 + 𝑎2𝑦2 = 𝑎2𝑏2,
Y dividiendo por 𝑎2𝑏2, a ambos lados de la
ecuación tenemos:
𝑥2 𝑏2
𝑎2𝑏2 +𝑎2𝑦2
𝑎2𝑏2 =𝑎2𝑏2
𝑎2𝑏2,
Simplificando tenemos la ecuación de la
elipse con focos en los puntos F´(0, -x) y
F(0, x), eje mayor 2a, y, eje menor 2b,
figura 4, la cual se muestra en la ecuación
13:
𝑥2
𝑎2+
𝑦2
𝑏2= 1, 𝐸𝑐𝑢𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛 1 − 13
EJERCICIOS1-1:
1. Calcular los parámetros (e, e´, b, f, E y
p´, de las elipses con semieje mayor (a)
igual a los números n, con n
perteneciendo a losdivisores propios de
los números amigos1 (220, 284). Y c
1Dos números amigos son dos enteros positivos a y b
tales que a es la suma de los divisores propios de b y b es la suma de los divisores propios de a.
=n1/3, siendo n1, igual a los números
primos impares y menores a 41.
2. Dibujar 2 elipses, ayudándose con una
cuerda, dos tachuelas, un lápiz y una
regla. Comprobar empíricamente las
ecuaciones1 y 2.
3. Investigar el valor de los parámetros
geométricos de la elipse generadora del
elipsoide de Hayford o elipsoide
internacional.
4. Investigar el valor de los parámetros
geométricos de la elipse generadora del
elipsoide GRS80.
CAPÍTULO 2
El desarrollo de la geometría de la elipse y
del elipsoide, es una herramienta
fundamental en la conceptualización,
desarrollo y aplicación de la geodesia
geométrica.
El Elipsoide de Revolución
Al hacer girar una elipse sobre uno de sus
ejes a,ó,b, (figura 2-1) cada fracción
infinitesimal (muy pequeña) de giro, genera
una nueva elipse, con orientación distinta a
la anterior, ver figura 2-2. La suma de estas
elipses da como resultado una superficie
denominada Elipsoide Revolución.
O
Figura 2-1. Elipse
X
Y
a
b
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Sobre la superficie del elipsoide de
revolución se ubican “n” puntos. A fin de
explicitar las coordenadas X, Y de un punto
sobre el elipsoide, decimos que por cada
punto sobre la superficie del elipsoide pasa
una elipse, como se muestra en la figura 2-
3.
La Elipse Meridiana.
La elipse que pasa por cada punto de la
superficie del elipsoide, se le denomina
elipse meridiana. Ver figura 2-4.
Coordenadas Geográficas Latitud y
Longitud.
Los elementos vistos hasta acá, nos permite
introducir el concepto más importante y
estudiado en la geodesia y sobre el cual
descansa el desarrollo de las ciencias
cartográficas, topográficas, y en general
todas las disciplinas que están involucradas
en la Geomática y las disciplinas que tienen
que ver con las ciencias de la tierra, e
indirectamente con el desarrollo espacial,
las comunicaciones y en general la vida
cotidiana del hombre moderno.
Ese concepto es el de las coordenadas
geográficas Latitud y Longitud.
A continuación se desarrolla lo referente a
la latitud, en razón de que geométricamente
es un poco complejo su conceptualización y
su desarrollo matemático sobre el elipsoide.
Cuando se trata de definir una magnitud en
topografía o geodesia se debe tener muy
presente el siguiente principio: Cuando se
va a realizar una medición se debe siempre
realizar las siguientes tres preguntas
Figura 2-3. Superficie del elipsoide
X
Y
P1(x, y)
O
Figura 2-2. Elipsoide de revolución
X
Y
a
b
O
Figura 2-4. Elipse Meridiana del punto p(x,y)
X
Y
a
b
P(x,y)
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básicas, desde donde mido, sobre que mido
y hasta donde mido.
Latitud
En general la Latitud de un punto es el arco
medido desde el ecuador terrestre sobre el
meridiano o la meridiana que pasa por el
punto, hasta el punto.
Como se ve en la grafica (2-5) un punto en
la vida real no está sobre la superficie ideal
elipsoidal, sino que está en la superficie
amorfa lo que se denomina la topografía, es
decir el paisaje sobre el cual nos movemos.
Como esta superficie es completamente
amorfa, sobre ella no es posible realizar
cálculos matemáticos ni geodésicos, todos
los cálculos se realizan es sobre la
superficie del elipsoide.
De acuerdo a lo que se ve en la figura 2-6,
por un punto que este sobre la superficie
terrestre pasan tres verticales, dependiendo
a cual superficie se quiere referir dicho
punto. Así mismo se generan ángulos
distintos de latitud.
Latitud geodésica(𝜑) : Es el ángulo que
forma la vertical al elipsoide con el plano
del ecuador, como se observa en la figura 2-
6.
Geoide Elipsoide
Topografía P(x, y)
Vertical al Geoide
Vertical al Elipsoide
Figura 2-6. Verticales que se generan en un
mismo punto sobre la superficie terrestre.
Geoide
Elipsoide
Topografía
P(x, y)
Figura 2-5Superficies fundamentales en los
estudios geodésicos
Y
O X
𝝋
P
90𝑜 + 𝜑
A
B Q
Figura 2-7. Latitud geodésica(𝜑)
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Latitud reducida(𝛽) : Es el ángulo en el
centro de la circunferencia tangente a la
elipse en los extremos del eje mayor (2a)
formado entre el ecuador y el radio de la
circunferencia que va al punto interceptado
en ella por la línea recta perpendicular al
semieje mayor de la elipse que pasa por el
punto en consideración, como se ve en la
figura 2-8. Se denomina también latitud
paramétrica o latitud geométrica.
Latitud Geocéntrica(𝜓) : Es el ángulo en el
centro de la elipse entre con el plano del
ecuador y el radio geocéntrico del punto en
consideración. Como se ve en la figura 2-9.
Relación entre la latitud Geocéntrica y la
latitud reducida.
𝑡𝑔𝛽 =𝑏
𝑎𝑡𝑔𝜓 (2.1)
Relación entre la latitud Geodésica y la
latitud reducida.
𝑡𝑔𝜓 =𝑏
𝑎 (2.2)
Longitud Geodésica.
Longitud geodésica de un punto es el
ángulo formado por el plano meridiano
geodésico (elipse meridiana) del punto y el
plano meridiano geodésico origen o
meridiano de Greenwich, se mide sobre el
ecuador terrestre, positiva al este de
Greenwich y negativa al oeste de
Greenwich, ver figura 2-10.
Coordenadas Rectangulares X Y de un
punto sobre la Elipse.
A cada punto sobre la elipse meridiana le
corresponde unas coordenadas X, Y, las
Figura 2-8Latitud Reducida
Y
O
X 𝜷
P
Figura 2-9Latitud Geocéntrica
Y
O
X 𝝍
P
O
Figura 2-10. Longitud Geodésica
E
Z
W
Meridiano
Origen
𝜆𝑊 𝜆𝐸
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cuales están en función de la latitud
geodésica y los parámetros geométricos de
la elipse. A continuación se derivan la
métrica de dichas coordenadas.
De la figura 2-7, se deduce que la línea AB,
es la tangente a la elipse meridiana en un
punto P(x, y), de la gráfica tenemos que el
ángulo que forma la tangente con el ecuador
es 90 + 𝜑 , así, se puede plantear la
siguiente ecuación.
𝑡𝑔(90 + 𝜑) =𝑑𝑦
𝑑𝑥 (2.3)
𝑑𝑦
𝑑𝑥= −𝑐𝑜𝑡𝑔𝜑 (2.4)
𝑑𝑦
𝑑𝑥= −
1
𝑡𝑔𝜑 (2.5)
De la ecuación 1-13, conocida como la
ecuación de la elipse.
𝑥2
𝑏2+
𝑦2
𝑎2= 1
Derivando parcialmente, la ecuación de la
elipse respecto ay, tenemos:
2𝑥
𝑎2+
2𝑦
𝑏2
𝑑𝑦
𝑑𝑥= 0,
2𝑦
𝑏2
𝑑𝑦
𝑑𝑥= −
2𝑥
𝑎2,
𝑑𝑦
𝑑𝑥= −
2𝑥𝑏2
2𝑦𝑎2, (2.6)
Igualando las ecuaciones 2-5con 2-6, se
tiene:
−1
𝑡𝑔𝜑= −
𝑥𝑏2
𝑦𝑎2,
1
𝑡𝑔𝜑=
𝑥𝑏2
𝑦𝑎2,
𝑦 =𝑥𝑏2𝑡𝑔𝜑
𝑎2,
Sustituyendo el término 𝑏2 de la ecuación
1-6, tenemos:
𝑦 =𝑥𝑎2(1 − 𝑒2) 𝑡𝑔𝜑
𝑎2,
𝑦 = 𝑥(1 − 𝑒2) 𝑡𝑔𝜑 (2.7)
Tomando la ecuación de la elipse y
reemplazando la ecuación 2-7 en la
tenemos.
𝑥2
𝑎2 +𝑥2(1−𝑒2)
2𝑡𝑔2𝜑
𝑎2 = 1 (2.8)
Desarrollando la ecuación 2-7, a fin de
obtener una ecuación de X en función de 𝜑
, a y 𝑒2
𝑥2 + 𝑥2(1 − 𝑒2)2𝑡𝑔2𝜑 = 𝑎2,
Se factoriza x2,
𝑥2(1 + (1 − 𝑒2)2𝑡𝑔2𝜑) = 𝑎2,
𝑥2(1 + 𝑡𝑔2𝜑−𝑒2𝑡𝑔2𝜑) = 𝑎2,
1 + 𝑡𝑔2𝜑 = 𝑠𝑒𝑐2𝜑
𝑥2(𝑠𝑒𝑐2𝜑– 𝑒2𝑡𝑔2𝜑) = 𝑎2,
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𝑥2 (1
𝑐𝑜𝑠2𝜑− 𝑒2
𝑠𝑒𝑛2𝜑
𝑐𝑜𝑠2𝜑) = 𝑎2,
𝑥2
𝑐𝑜𝑠2𝜑( 1 − 𝑒2𝑠𝑒𝑛2𝜑) = 𝑎2,
𝑥2( 1 − 𝑒2𝑠𝑒𝑛2𝜑) = 𝑎2𝑐𝑜𝑠2𝜑,
𝑥2 =𝑎2𝑐𝑜𝑠2𝜑
1 − 𝑒2𝑠𝑒𝑛2𝜑 ,
𝑥 =𝑎 𝑐𝑜𝑠𝜑
√1 − 𝑒2𝑠𝑒𝑛2𝜑 ,
𝐸𝑐𝑢𝑎𝑐𝑖ó𝑛 2 − 9
Reemplazando en la ecuación 2-6, la
ecuación 2-8, tenemos:
𝑦 =𝑎 𝑐𝑜𝑠𝜑
√1 − 𝑒2𝑠𝑒𝑛2𝜑(1 − 𝑒2) 𝑡𝑔𝜑,
𝑦 =𝑎(1−𝑒2) 𝑠𝑒𝑛𝜑
√1 −𝑒2𝑠𝑒𝑛2𝜑 (2.10)
Así, las ecuaciones 2-8 y 2-9 permiten
obtener las coordenadas x, y sobre la elipse
meridiana teniendo en cuanta una latitud
geodésica dada y los parámetros
geométricos de la elipse.
EJERCICIOS 2-1:
1) Teniendo en cuenta los parámetros de la
elipse generadora del elipsoide GRS 80,
a=6378137 m
f= 1/298,2572221008827
e2= 0.00669438002290
Calcular las coordenadas x, y sobre
dicha elipse para los siguientes valores
de latitud:
𝜑 = 4𝑜35`46.3215``𝑁 ,
𝜑 = 0𝑜0`0``.0
𝜑 = 15𝑜0`0``.0 𝑁
𝜑 = 15𝑜0`0``.0 𝑆
𝜑 = 45𝑜0`0``.0 𝑁
𝜑 = 45𝑜0`0``.0 𝑆
𝜑 = 75𝑜0`0``.0 𝑁
𝜑 = 75𝑜0`0``.0 𝑆
𝜑 = 90𝑜0`0``.0 𝑁
𝜑 = 90𝑜0`0``.0 𝑆
Radios principales de la elipse meridiana.
Plano meridiano:
Plano primer vertical
Plano meridiano
Superficie
Elipse
Meridiano
Paralelo P
Normal al Elipsoide
Figura 3-1. Planos: meridiano y primer vertical
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En la figura 2-11, la recta QP, se denomina
la gran normal, es el mayor de los posibles
radios de curvatura de la elipse meridiana
en el punto en consideración, así mismo de
dicha figura se deduce que:
𝑠𝑒𝑛(90 − 𝜑) =𝑥
𝑄𝑃
𝑐𝑜𝑠(𝜑) =𝑥
𝑄𝑃
𝑄𝑃 = 𝛶, 𝑙𝑎𝑔𝑟𝑎𝑛𝑁𝑜𝑟𝑚𝑎𝑙(𝛶).
𝛾 =𝑥
𝑐𝑜𝑠(𝜑)𝐸𝑐𝑢𝑎𝑐𝑖ó𝑛 2 − 9
Tomando la ecuación 2-8 y para reemplazar
el término x en la ecuación 2-10, se tiene:
𝛶 =
𝑎 𝑐𝑜𝑠𝜑
√1 −𝑒2𝑠𝑒𝑛2𝜑
𝑐𝑜𝑠(𝜑)
𝛶(𝜑) =𝑎
(1 − 𝑒2𝑠𝑒𝑛2𝜑)1/2𝐸𝑐𝑢𝑎𝑐𝑖ó𝑛 2
− 11
𝛶(𝜑) =𝑎
√1 − 𝑒2𝑠𝑒𝑛2𝜑
La ecuación 2-11, permite el cálculo del
radio mayor de la elipse meridiana en un
punto dado, en función de la latitud
geodésica y los parámetros geométricos de
la elipse meridiana.
Radio meridiano de la primera vertical.
El otro radio de gran importancia en
geodesia geométrica es el llamado radio
meridiano de la primera vertical, se denota
con la letra griega 𝜌.
Seguidamente se deriva la ecuación de
radio meridiano de la primera vertical.
De la figura 2-12 tenemos que:
Y
O X
𝝋
P
90𝑜 + 𝜑
A
B Q
x
y
(90 − 𝜑)
Figura 2-11Esquema de la Gran Normal
M
Y
O
X
𝒅𝝋
ds
Figura 2-12. Esquema de la radio de la
primera vertical
𝝆
𝛶(𝜑)
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𝑑𝑠 = 𝜌𝑑𝜑,
𝜌 = 𝑑𝑠
𝑑𝜑𝑒𝑐𝑢𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛 2 − 12
Como ds se supone un arco infinitesimal, se
puede asimilar a una recta, por tanto,
𝑑𝑠 = √𝑑𝑥2 + 𝑑𝑦2𝑒𝑐𝑢𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛 2 − 13
De otra parte la tangente del ángulo 𝜑 se
expresa mediante:
𝑡𝑔(𝜑) = 𝑑𝑦
𝑑𝑥 (2.14)
𝜑 = 𝑎𝑟𝑐𝑜𝑡𝑔(𝑑𝑦/𝑑𝑥) (2.15)
Derivando la ecuación 2-15 respecto a x,
tenemos:
𝑑𝜑
𝑑𝑥=
𝑑2𝑦
(𝑑𝑥)2
1+(𝑑𝑦
𝑑𝑥)2 (2.16)
Tomando la ecuación 2-12 y multiplicando
y dividiendo por dx en el término derecho
de la ecuación, tenemos:
𝜌 = 𝑑𝑠
𝑑𝑥𝑑𝜑
𝑑𝑥
(2.17)
Tomado la ecuación 2.13 y dividiendo a
cada lado de la ecuación por dx, tenemos
𝑑𝑠
𝑑𝑥= √
𝑑𝑥2
𝑑𝑥2 +𝑑𝑦2
𝑑𝑥2 (2.18)
Simplificando al interior del radical se
tiene:
𝑑𝑠
𝑑𝑥= √1 +
𝑑𝑦2
𝑑𝑥2 (2.19)
Reemplazando en la ecuación 2-17, las
ecuaciones 2-16 y 2-19, tenemos:
𝜌 = √1+
𝑑𝑦2
𝑑𝑥2
𝑑2𝑦
(𝑑𝑥)2
1+(𝑑𝑦𝑑𝑥
)2
(2.20)
Haciendo producto de medios y extremos
tenemos
𝜌 = (1+
𝑑𝑦2
𝑑𝑥2)1/2
(1+(𝑑𝑦
𝑑𝑥)2)2/2
𝑑2𝑦
(𝑑𝑥)2
(2.21)
Agrupando el numerador,
𝜌 = (1+(
𝑑𝑦
𝑑𝑥)2)3/2
𝑑2𝑦
(𝑑𝑥)2
(2.22)
Tomando la ecuación 2.3, y derivando se
tiene
𝑑2𝑦
(𝑑𝑥)2= 𝑐𝑜𝑠𝑒𝑐(𝜑)
𝑑𝜑
𝑑𝑥 (2.23)
𝑑2𝑦
(𝑑𝑥)2=
1
𝑠𝑒𝑛 𝜑(𝑑𝜑
𝑑𝑥) (2.24)
Luego se debe hallar el valor de (𝑑𝜑
𝑑𝑥), para
ello tomamos la ecuación 2-9 y derivamos
𝑑𝑥
𝑑𝜑=
(−𝑎 𝑠𝑒𝑛𝜑(1 −𝑒2𝑠𝑒𝑛2𝜑)12)−(𝑎 𝑐𝑜𝑠𝜑(
1
2(1 −𝑒2𝑠𝑒𝑛2𝜑)
−12)(−2𝑒2𝑠𝑒𝑛𝜑𝑐𝑜𝑠𝜑))
1 −𝑒2𝑠𝑒𝑛2𝜑
(2.25)
Eliminado el 2, y agrupando 𝑐𝑜𝑠𝜑 ,
enviando el radical negativo al
denominador, tenemos
𝑑𝑥
𝑑𝜑=
(−𝑎 𝑠𝑒𝑛𝜑(1 −𝑒2𝑠𝑒𝑛2𝜑)12)−
(𝑎𝑐𝑜𝑠2𝜑(−𝑒2𝑠𝑒𝑛𝜑))
(1 −𝑒2𝑠𝑒𝑛2𝜑)
12
1 −𝑒2𝑠𝑒𝑛2𝜑
(2.26)
Sacando común divisor y factorizando
(𝑎 𝑠𝑒𝑛𝜑), tenemos:
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𝑑𝑥
𝑑𝜑
=
𝑎 𝑠𝑒𝑛𝜑 [−(1 −𝑒2𝑠𝑒𝑛2𝜑)−(𝑐𝑜𝑠2𝜑(−𝑒2))
(1 −𝑒2𝑠𝑒𝑛2𝜑)12
]
1 − 𝑒2𝑠𝑒𝑛2𝜑 ,
𝐸𝑐𝑢𝑎𝑐𝑖ó𝑛 2 − 27
Agrupando el numerador y haciendo
producto de medios y producto de extremos
tenemos.
𝑑𝑥
𝑑𝜑=
𝑎 𝑠𝑒𝑛𝜑(−1+𝑒2𝑠𝑒𝑛2𝜑+𝑒2𝑐𝑜𝑠2𝜑)
(1 −𝑒2𝑠𝑒𝑛2𝜑)32
(2.28)
Factorizando 𝑒2, y sabiendo que 𝑠𝑒𝑛2𝜑 +𝑐𝑜𝑠2𝜑 = 1, y sacando el signo menos del
paréntesis, tenemos:
𝑑𝑥
𝑑𝜑= −
𝑎 𝑠𝑒𝑛𝜑(1−𝑒2)
(1 −𝑒2𝑠𝑒𝑛2𝜑)32
(2.29)
Transponiendo términos tenemos,
𝑑𝜑
𝑑𝑥= −
(1 −𝑒2𝑠𝑒𝑛2𝜑)32
𝑎 𝑠𝑒𝑛𝜑(1−𝑒2) (2.30)
Reemplazando esta ecuación en la ecuación
2-24, se tiene:
𝑑2𝑦
(𝑑𝑥)2= −
1
𝑠𝑒𝑛2𝜑
(1 −𝑒2𝑠𝑒𝑛2𝜑)32
𝑎 𝑠𝑒𝑛𝜑(1−𝑒2) (2.31)
Reemplazando en el denominador de la
ecuación 2-22, se tiene:
𝜌 = (1+𝑐𝑜𝑡𝑔2)
3/2
1
𝑠𝑒𝑛2𝜑
(1 −𝑒2𝑠𝑒𝑛2𝜑)
32
𝑎 𝑠𝑒𝑛𝜑(1−𝑒2)
(2.32)
Reemplazando (1 + 𝑐𝑜𝑡𝑔2)3/2 por su
equivalente (𝑐𝑜𝑠𝑒𝑐2𝜑)3/2 y efectuando
producto de medios y extremos, tenemos
𝜌 = (𝑐𝑜𝑠𝑒𝑐2𝜑)
3/2𝑎(1−𝑒2)𝑠𝑒𝑛3𝜑
(1 −𝑒2𝑠𝑒𝑛2𝜑)32
(2.33)
Como 𝑐𝑜𝑠𝑒𝑐2𝜑 = 1/𝑠𝑒𝑛2𝜑
𝜌 =
1
𝑠𝑒𝑛3𝜑𝑎(1−𝑒2)𝑠𝑒𝑛3𝜑
(1 −𝑒2𝑠𝑒𝑛2𝜑)32
(2.34)
Simplificando en el numerador se tiene
finalmente la ecuación del Radio de
curvatura de la sección normal meridiana
𝜌(𝜑) =𝑎(1 −𝑒2)
(1 −𝑒2𝑠𝑒𝑛2𝜑)3/2 (2.35)
El radio de curvatura de la sección normal
meridiana puede definirse también como el
radio de curvatura que presenta el elipsoide
en un punto de latitud 𝜑en la dirección de
acimut 0o ó 180o.
RADIOS MEDIOS DE CURVATURA
Radio de curvatura de una sección normal
cualquiera.
Euler demostró que si las líneas
coordenadas son perpendiculares entre sí,
en un punto dado y coincidentes, con las
direcciones principales, el radio de
curvatura de una sección normal cualquiera
se puede escribir en función de los radios de
curvatura de las secciones normales
principales mediante la fórmula de Euler.
1
𝑅∝=
𝑐𝑜𝑠2(∝)
𝜌+
𝑠𝑒𝑛2(∝)
𝛶 (2 − 36)
Siendo ∝el acimut de la sección normal
considerada. Otra forma de expresarlo es
𝑅∝ =𝜌𝛶
𝜌 𝑠𝑒𝑛2(𝛼) 𝛶 𝑐𝑜𝑠2(𝛼) ( 2 − 37)
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Radio medio.
Se denomina curvatura media de una
superficie en un determinado punto a la
semisuma de las curvaturas de las secciones
normales principales.
1
𝑅𝑚=
1
2(
1
𝜌(𝜑)+
1
𝛶(𝜑)) (2.38)
El correspondiente radio medio vale por
tanto
𝑅𝑚 =2𝜌(𝜑)𝛶(𝜑)
𝜌(𝜑)+𝛶(𝜑) (2.39)
𝑅𝑚 =2𝜌(𝜑)𝛶(𝜑)
𝜌(𝜑)+𝛶(𝜑) (2.40)
Radio medio de Gauss.
Se define el radio medio de Gauss como la
media aritmética de los radios de curvatura
de las infinitas secciones normales de un
punto. Es decir:
𝑅0 =4
2𝜋∫
𝜌𝛶
𝜌 𝑠𝑒𝑛2(𝛼) 𝛶 𝑐𝑜𝑠2(𝛼)𝑑𝛼
𝜋
20
(2.41)
𝑅0 = √𝜌𝛶 (2.42)
𝑅0 =𝑎√1−𝑒2
1−𝑒2(sin �̅�)2 (2.42)
La esfera de radio RG es una esfera tangente
al elipsoide en el punto considerado y se
emplea en ocasiones como aproximación al
elipsoide.
EJERCICIOS 2-2:
Teniendo en cuenta los parámetros de la
elipse generadora del elipsoide GRS 80,
a = 6378137 m
f = 1/298,2572221008827
e2 = 0.00672267002233
e´2 = 0.00673949677548
b= 6356752.31414 m
2-2-1). Calcular las coordenadas x, y, y los
radios: ρ y γ, sobre dicha elipse para los
siguientes valores de latitud:
𝜑 = 4𝑜35`46.3215``𝑁 ,
𝜑 = 45𝑜0`0``.0 𝑁
𝜑 = 90𝑜0`0``.0 𝑁
2-2-2). Calcular los valores de𝜌 y 𝛾 sobre
la elipse generadora del elipsoide GRS80,
para los valores de latitud de cero a noventa
grados, cada diez grados, realizar la gráfica
comparativa y realizar el análisis
cuantitativo y cualitativo de los dos radios
principales.
2-2-3). Calcular los valores de 𝑅∝𝑅𝑚 y 𝑅𝐺
sobre la elipse generadora del elipsoide
GRS80, para los valores de latitud de cero a
noventa grados, cada diez grados, con valor
de azimut de 45º. Realizar la gráfica
comparativa y realizar el análisis
cuantitativo y cualitativo de los dos radios
medios.
CAPÍTULO 3
Coordenadas Cartesianas Geocéntricas
elipsoidales (X, Y, Z)
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Las coordenadas cartesianas geocéntricas
elipsoidales (x, y, z), para un punto
cualquiera sobre la superficie terrestre
vienen dadas por la siguiente métrica,
donde los parámetros son de la figura 2-13,
es posible derivar dicha métrica:
𝜑 = 𝑙𝑎𝑡𝑖𝑡𝑢𝑑𝑑𝑒𝑙𝑝𝑢𝑛𝑡𝑜
𝜆 = 𝑙𝑜𝑛𝑔𝑖𝑡𝑢𝑑𝑑𝑒𝑙𝑝𝑢𝑛𝑡𝑜
h= altura del punto desde la superficie del
elipsoide.
x= Coordenada X geocéntrica del punto P
y= Coordenada Y geocéntrica del punto P
z= Coordenada Z geocéntrica del punto P
Para un punto sobre el elipsoide.
[ 𝑥𝑦𝑧
]
=
[
𝛾𝑐𝑜𝑠𝜑𝑐𝑜𝑠𝜆𝛾𝑐𝑜𝑠𝜑𝑠𝑒𝑛𝜆
(𝛾(1 − 𝑒2))𝑠𝑒𝑛𝜑]
(3.1)
Para un punto a una altura dada (h), sobre el
elipsoide
[ 𝑥𝑦𝑧
]
=
[ (𝛾 + ℎ)𝑐𝑜𝑠𝜑𝑐𝑜𝑠𝜆
(𝛾 + ℎ)𝑐𝑜𝑠𝜑𝑠𝑒𝑛𝜆
(𝛾(1 − 𝑒2) + ℎ)𝑠𝑒𝑛𝜑]
(3.2)
Así, mismo se derivan
𝜑 = 𝑡𝑔−1 [𝑍+(𝑒′)2𝑏 𝑠𝑒𝑛3𝜗
√𝑋2+𝑌2−𝑒2𝑎 𝑐𝑜𝑠3𝜗] (3.3)
𝜗 = 𝑡𝑔−1 [𝑍𝑎
√𝑋2+𝑌2∗𝑏] (3.4)
𝜆 = 𝑡𝑔−1 [𝑌
𝑋] (3.5)
ℎ =√𝑋2+𝑌2
𝑐𝑜𝑠𝜑− 𝛾 (3.6)
EJERCICIOS 3_1:
Teniendo en cuenta los parámetros de la
elipse generadora del elipsoide GRS 80,
a =6378.137 km
f = 1/298,2572221008827
e2 = 0.00669438002290
e´2 = 0.00673949677548
b =6356.75231414 km
Resolver los siguientes ejercicios:
3.1.1). Calcular las coordenadas X, Y, Z
para el punto sobre la superficie elipsoidal
que tiene coordenadas elipsoidales:
𝜑 = 4𝑜35`46.3215``𝑁 ,
𝜆 = 74𝑜04`39.0285``𝑊
h= 2620 m
O
Figura 2-13. Coordenadas rectangulares X, Y, Z
geocéntricas
Y
Z
X Y
X
Z
γ
P(X,Y,Z)
h
𝜆 𝜑
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3.1.2). Calcular las coordenadas φ, λ, h para
el punto sobre la superficie elipsoidal que
tiene coordenadas cartesianas geocéntricas:
X = 1744890.24 m
Y = -6116370.86 m
Z = 507899.216 m.
3.1.3). Suponiendo la tierra un modelo
elipsoidal, con parámetros de GRS80, y un
satélite artificial con órbita polar. Calcular:
a) La altitud del satélite sobre el polo norte,
para un observador ubicado en un punto
de latitud φ=37o N
b) La altitud del satélite sobre el polo sur,
para un observador ubicado en un punto
de latitud φ=37o S
CAPITULO4.
Reducción al elipsoide
Las mediciones clásicas están referidas al
sistema astronómico local materializado
por el instrumento.
Se denomina reducción al conjunto de
operaciones necesarias para referir las
mediciones a la superficie de referencia
escogida, generalmente un elipsoide de
revolución.
Reducción de distancias
Reducción al plano del horizonte local
La distancia reducida al plano tangente al
horizonte local viene dada por la ecuación
4-1.
𝐷𝑟 = 𝐷 ∗ 𝑠𝑒𝑛(𝛽) (4.1)
En terminología topográfica esta distancia
se suele llamar simplemente distancia
reducida. En la figura 3-1 es evidente que la
distancia reducida al plano tangente al
horizonte local del punto de estación no
tiene por qué coincidir con la distancia
reducida al horizonte del punto visado.
En los levantamientos topográficos se
suelen considerar las verticales paralelas.
En ese supuesto, la distancia reducida entre
dos puntos es independiente de la altitud
considerada y basta con emplear la
expresión 4-1. En realidad las verticales
convergen y por tanto, la distancia reducida
entre dos puntos depende de la altitud
considerada. Para evitar ambigüedades y
variaciones de escala, es necesario reducir
todas las distancias a una altitud común.
Lo lógico es reducir al elipsoide, ya que es
la superficie de referencia. En determinadas
aplicaciones no geodésicas puede interesar,
Dr
Shl
Sg
Se
Horizonte
local
Geoide
Elipsoide
R
h
H
N
D ∆ℎ
∆𝑧 𝛽
𝛾
Figura 4-1. Reducción de distancias mediante
pasos sucesivos
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por el contrario, reducir al horizonte medio
local.
Reducción al horizonte local
El plano tangente al horizonte local es una
aproximación del horizonte local. De la
figura 3-1, se deduce:
𝑆ℎ𝑙 = (𝑅0 + ℎ)𝛾𝑒𝑐𝑢𝑎𝑐𝑖ó𝑛 3 − 2
Siendo:
𝑡𝑔(𝛾) =𝐷𝑟
(𝑅0 + ℎ) + ∆𝑍
𝑡𝑔(𝛾) =𝐷 ∗ 𝑠𝑒𝑛(𝛽𝑖)
(𝑅0 + ℎ𝑖) + 𝐷 ∗ 𝑐𝑜𝑠(𝛽𝑖)
𝑒𝑐𝑢𝑎𝑐𝑖ó𝑛 3 − 3
y sustituyendo, tenemos:
𝑆ℎ𝑙
= (𝑅0 + ℎ𝑖)𝑡𝑔−1 [
𝐷 ∗ 𝑠𝑒𝑛(𝛽𝑖)
(𝑅0 + ℎ𝑖) + 𝑐𝑜𝑠(𝛽𝑖)]
𝑒𝑐𝑢𝑎𝑐𝑖ó𝑛 3 − 4
Teniendo en cuenta que las visuales suelen
ser prácticamente horizontales, el suponer
que ℎ ≅ 0 conduce a errores relativos
menores de 1 ppm. Si además se considera
un radio terrestre constante para la zona de
trabajo, se llega a la expresión que suelen
aplicar las estaciones totales.
𝑆ℎ𝑙 = 𝑅0𝑡𝑔−1 [
𝐷∗𝑠𝑒𝑛(𝛽𝑖)
𝑅0+𝐷∗𝑐𝑜𝑠(𝛽𝑖)] (3-5)
Shl: distancia reducida al horizonte local
R0=radio medio de gauss en km
D: distancia geométrica medida
𝛽𝑖: ángulo cenital medido
Reducción al geoide
Como las verticales convergen, la distancia
horizontal depende de la altitud
considerada.
Si se dispone únicamente de altitudes
ortométricas, la altitud H = 0 corresponde
al geoide, por lo que solamente se podrán
reducir las distancias al nivel del mar.
Como puede apreciarse en la figura 4_1, la
distancia reducida al horizonte local y la
distancia reducida al geoide pertenecen a
figuras semejantes, por lo que se establece
la relación
𝑆𝑔
𝑆ℎ𝑙=
𝑅0
𝑅0+𝐻𝑖 (3-6)
Esta ecuación conduce fácilmente a:
𝑆𝑔 =𝑅0
𝑅0+𝐻𝑖𝑆ℎ𝑙 (3-7)
Que pone de manifiesto que ambas
distancias están relacionadas por el factor
de escala
𝑅0
𝑅0+𝐻𝑖 (3-8)
En pequeños trabajos de ámbito topográfico
puede adoptarse un valor constante de 3-8
para toda la zona de actuación,
considerando una altitud promedio.
Reducción al elipsoide.
En la actualidad es factible el acceso a
modelos de ondulación de geoide y
mediante la ecuación 3-9, es posible
manejar tanto altitudes ortométricas como
elipsoídicas.
ℎ𝑖 = 𝐻𝑖 + 𝑁𝑖 (3-9)
Conocida la altitud elipsoidal del punto de
estación, la distancia reducida al elipsoide
se obtiene a partir de la distancia reducida
al horizonte local mediante la ecuación 3-
10.
𝑆𝑒 =𝑅0
𝑅0+ℎ𝑖𝑆ℎ𝑙 (3-10)
También se puede obtener a partir de la
distancia reducida al geoide mediante la
ecuación 3-11
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𝑆𝑒 =𝑅0
𝑅0+𝑁𝑖
∗ 𝑆𝑔 (3-11)
En este caso ambas distancias están
relacionadas por el factor de escala, como
se muestra en la ecuación 3-12.
𝑅0
𝑅0+𝑁𝑖
(3-12)
En Colombia el valor promedio de la
ondulación del geoide respecto al elipsoide
de Hayford es de unos - 20 m. En tal caso,
el hecho de no considerar la ondulación del
geoide supone, unas 3 ppm.
Como el error relativo de un distanciómetro
de infrarrojos (5mm + 3 ppm) es de unas 8
ppm para distancias ≈ 1000 m, en
mediciones de ámbito topográfico se puede
trabajar indistintamente con distancias
reducidas al geoide o al elipsoide, es decir
Del ≈ Dge (3.13)
No ocurre igual si se utiliza, por ejemplo,
un distanciómetro laser (3mm + 1 ppm)
para medir 10 km. En este caso, el error
relativo es de 1.3 ppm, unas tres veces
inferior a la corrección que establece el
factor de escala de la ecuación 3.8.
Reducción de ángulos horizontales.
Las correcciones que han de efectuarse a un
acimut observado son las siguientes:
1) Por desviación de la vertical.
2) Por la altitud del punto de estación.
3) Por la altitud del punto visado.
4) Por el paso de la sección normal a la
línea geodésica.
Corrección por desviación de la vertical
Los acimutes astronómicos observados
sobre la superficie terrestre están referidos
a la vertical astronómica, que depende del
campo gravitatorio.
Para efectuar cálculos sobre el elipsoide, el
acimut debe estar referido a la vertical
geodésica. La corrección debida al efecto
del campo gravitatorio sobre un acimut
observado viene dado por la ecuación
completa de Laplace.
𝐶1 + 𝐶2 = −𝜂𝑖𝑡𝑔𝜑𝑖 − (𝜉𝑖𝑠𝑒𝑛𝛼𝑖𝑗 −
𝜂𝐼𝑐𝑜𝑠𝛼𝑖𝑗)𝑐𝑜𝑡𝑔𝛽𝑖𝑗 (3.14)
Siendo
𝜉𝑖=Desviación de la vertical en la
dirección del meridiano
𝜂𝐼=Desviación de la vertical en la
dirección del primer vertical
𝜑𝑖=Latitud geodésica del punto i.
𝛼𝑖𝑗=Acimut geodésico entre los puntos i y
j
S
R
D
h2
𝛾
Figura 4-2. Reducción de la distancia
geométrica a la cuerda del elipsoide
h1
C
R
P2
P1
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𝛽𝑖𝑗=Ángulo cenital entre los puntos i y j
Si el ángulo cenital está próximo a 90º esta
reducción es prácticamente despreciable,
pero en observaciones con mucha
pendiente, ésta, es la responsable de que los
cierres en los grandes triángulos geodésicos
alcancen valores de hasta 10” y 15’’.
Por altura del punto de estación
La reducción anterior correge la desviación
de la vertical en el geoide. La línea de la
plomada es perpendicular a todas las
superficies equipotenciales que atraviesa.
Al no ser éstas paralelas, la altitud del punto
de observación sobre el geoide se traducirá
en un diferencial de desviación de la
vertical.
Esta corrección es mucho menor que la
anterior y se suele despreciar.
Figura 4.3: Reducción por altura del punto visado.
Corrección por altura del punto visado
Suponiendo corregida la desviación relativa
de la vertical, el plano formado normal que
contiene al punto visado no coincide con el
plano normal que contiene a la proyección
del punto visado. Esto es debido a que las
normales de P1 y P2 no se cortan, excepto
cuando estén en el mismo meridiano o en el
mismo paralelo.
Las secciones normales correspondientes al
punto visado y a la proyección del punto
visado formarán un ángulo que debe ser
corregido. Ésta corrección, proporcional a
la altura del punto visado y a la torsión
geodésica, viene dada por
𝐶3 =ℎ𝑗
2𝜌𝑚𝑒2𝑐𝑜𝑠2𝜑𝑚𝑠𝑒𝑛2𝛼𝑖𝑗
(3.15)
𝜑𝑚 =1
2(𝜑𝑖 + 𝜑𝑗) (3.16)
𝜌𝑚 =1
2(𝜌𝑖 + 𝜌𝑗) (3.17)
Paso de la sección normal a la línea
geodésica
Un acimut corregido por desviación de la
vertical y por altura del punto visado está
referido a la sección normal directa. Es
necesario efectuar una nueva corrección
para referirlo a la línea geodésica.
Se demuestra que la línea geodésica triseca
al ángulo formado por las secciones
normales recíprocas. La corrección para
pasar del acimut de la sección normal al
acimut de la línea geodésica viene dada por:
𝐶4 =𝑒2𝑠2
12𝜈𝑚2 𝑐𝑜𝑠2𝜑𝑚𝑠𝑒𝑛2𝛼𝑖𝑗
(3.18)
𝜈𝑚 =1
2(𝜈𝑖 + 𝜈𝑗) (3.19)
Ésta corrección comienza a suponer alguna
décima a partir de 200 km.
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Figura 4.4: Paso de la sección normal a la
línea geodésica.
Obtención de acimutes y ángulos
reducidos
Una vez determinadas las correcciones
anteriores, el acimut reducido se obtiene
empleando
𝛼𝑖𝑗(𝑐𝑜𝑟𝑟𝑒𝑔𝑖𝑑𝑜) = 𝛼𝑖𝑗(𝑜𝑏𝑠𝑟𝑣𝑎𝑑𝑜) + 𝐶1 + 𝐶2 +
𝐶3 + 𝐶4 (3.20)
Como un ángulo es la diferencia de dos
acimutes, aplicando las reducciones a cada
uno de los acimutes que conforman el
ángulo se obtiene la expresión para reducir
un ángulo. La corrección C1 se anularía,
obteniéndose la expresión.
ωcorreg = ωobs + ΔC2 + ΔC3 + ΔC4 (3.21)
Reducción de ángulos verticales
Como muestra la figura xx1, los ángulos
cenitales medidos en campo están referidos
al eje principal del instrumento, que intenta
materializar la vertical verdadera definida
por el campo gravitatorio. En los cálculos
geodésicos, por el contrario, se emplea la
normal al elipsoide. La relación entre
ambas verticales depende de la desviación
de la vertical en el punto considerado, de
forma que
ζ𝑖𝑗 = 𝛽𝑖𝑗 + 𝜖𝑖𝑗 (3.22)
Donde:
ζij ángulo cenital corregido de desviación
βij ángulo cenital de la cuerda
𝝐𝒊𝒋 Corrección angular debida a la
desviación de la vertical
La corrección angular debida a la
desviación de la vertical se obtiene
mediante la ecuación 3.25.
𝜉 = Φ − 𝜑 (3.23)
𝜂 = (Λ − 𝜆)𝑐𝑜𝑠𝜑 (3.24)
𝜀 = 𝜉𝑐𝑜𝑠𝛼𝑖𝑗 + 𝜂𝑠𝑖𝑛𝛼𝑖𝑗 (3.25)
Figura 4.5 Ángulo cenital, ángulo de
refracción y desviación de la vertical.
EJERCICIOS 3_1:
Teniendo en cuenta los parámetros de la
elipse generadora del elipsoide GRS80,
a =6378137 m
f = 1/298,2572221008827
e2 = 0.00669438002290
e´2 = 0.00673949677548
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b =6356.75231414 km
Resolver los siguientes ejercicios:
Entre dos puntos P1, P2, de altitudes
aproximadas h1=557 m, h2=945 m, se ha
medido la distancia geométrica de 6545.53
m. Obtener la distancia reducida al
elipsoide para el cálculo de coordenadas. (φ
= 04°35'46,32150", latitud media de la
zona y 𝛼 = 45𝑜).
Dados:
Calcular el azimut reducido al elipsoide
𝛼𝑖𝑗(𝑐𝑜𝑟𝑟𝑒𝑔𝑖𝑑𝑜) = 𝛼𝑖𝑗(𝑜𝑏𝑠𝑟𝑣𝑎𝑑𝑜) + 𝐶1 + 𝐶2
+ 𝐶3 + 𝐶4
φi = 4o 10′ 25′′. 854 N
φj = 4o 05′ 56′′. 288 N
λi = 74o 15′ 25′′. 741 W
λj = 74o 08′ 30′′. 375 W
𝜂𝑖 = 20′′
𝜉𝑖 = 20′′
𝛼𝑖𝑗 = 122𝑜 52′32′′. 654
𝛽𝑖𝑗 = 85𝑜 39′ 54′′. 822 (Observado)
Sij =15254.22 m
hi= 2600 m
hj= 2635.65 m
Exceso Esférico
La topografía opera sobre porciones
pequeñas de terreno, no teniendo en cuenta
la verdadera forma de La Tierra, sino
considerando la superficie terrestre como
un plano [4].
El error cometido con esta hipótesis es
despreciable, cuando se trata de extensiones
que no sean excesivamente grandes, si se
considera un arco en la superficie terrestre
de 18 km de longitud es tan sólo 1,5 cm
más largo que la cuerda subtendida, y que
sólo se comete un error de 1” de exceso [4].
Se llama exceso esférico de un triángulo al
valor en que la suma de sus tres ángulos
excede de dos ángulos rectos [4].
Si en el triángulo APB, de la figura 4-10,
limitado por tres círculos máximos, el arco
AB coincide con el plano de la figura. Cada
vértice del triángulo, produce sobre la
esfera un huso de superficie conocida. En
efecto conociderando como 1 al área de la
esfera A° el valor en grados del huso, se
puede escribir
O
P
Figura 5-1. Exceso Esférico
P’
H1
H3
H2 H4
A
B
360º→1
𝐴°→x
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𝑥 =𝐴°
360° (5-1)
Por otra parte, sumando las áreas de los tres
husos de ángulos, A,P,B resulta contando
dos veces el triángulo, cuya superficie se
denomina Hi, es decir
𝐴
360°+
𝑃
360°+
𝐵
360°=
1
2+ 2𝐻 (5-2)
El sumando ½, corresponde a media esfera.
Por otra parte, escribiendo el área del
triángulo como parte del área de la esfera,
cuyo valor es
4𝜋𝑅2 (5-3)
𝐴+𝑃+𝐵
360°=
1
2+ 2
𝐻
4𝜋𝑅2 (5-4)
Pasando el 360º a multiplicar, se tiene:
𝐴 + 𝑃 + 𝐵
360°=
1
2+ 2
𝐻
4𝜋𝑅2
(𝐴 + 𝑃 + 𝐵) = (360°) (1
2+
𝐻
2𝜋𝑅2)
Factorizando el 2, del denominador y
dividiendo 360º en 2, se tiene,
(𝐴 + 𝑃 + 𝐵) = (180°) (1 +𝐻
𝜋𝑅2) ,
realizando la multiplicación,
(𝐴 + 𝑃 + 𝐵) = 180° +𝐻180°
𝜋𝑅2 ,
simplificando, 180º con π, y transponiendo
términos se tiene,
𝐻
𝑅2= (𝐴 + 𝑃 + 𝐵) − 180° = 𝜀(5-5)
Teniendo, H= área del triángulo=A, y
transformando el radio R a radianes se
tiene,
𝜀ˮ =𝐴
𝑅2 𝑆𝑒𝑛𝑜 1ˮ (5-6)
se toma 𝑅 = √𝜈𝜌
Tomando el área de un triángulo, como
𝐴° =1
2𝑏𝑐𝑠𝑒𝑛𝑜(𝐴) (5-7)
Ejercicio:
Se desea calcular el error de cierre de un
triángulo elipsóidico ABC cuyos datos se
muestran en la tabla 5-1.
Teniendo también las coordenadas
geodésicas de los puntos A, B, C las cuales
se muestran en la tabla 5-2.
Tabla 5-2. Coordenadas geodésicas de los
vértices A,B,C
Estación Longitud Latitud
A 1º 47´14.84´´ W 41º 37´43.09´´ N
B 1º 19´45.88´´ W 41º 33´26.98´´ N
C 1º 30´48.00´´ W 41º 43´33.00´´ N
Valor medio 41º 38´14,35668´´
Tabla 5-1. Coordenadas geodésicas de
los vértices A,B,C
Esta
ción
Ang
ulo
Lectu
ra a:
Valor del Angulo
o ´ ´´
A α C 0 0 3.8
B 36 55 38.4
B β A 0 0 2.8
C 38 53 39.2
C θ B 359 59 58.8
C 104 10 51.0
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La longitud del arco AB, reducido al
elipsoide es de AB=39001 m.
Tomando los datos de la tabla 4-1, se
deducen los valores de los ángulos α, β, θ,
que se muestran en la tabla 5-3.
Error de cierre de un triángulo geodésico,
viene dado por la siguiente expresión:
𝐸𝑟𝑟𝑜𝑟 = α + β + θ − 180° − 𝜀ˮ (5-8)
Como la sumatoria de los ángulos del
triángulo ABC es 180º 0´4´´, entonces la
ecuación 4-8, queda:
𝐸𝑟𝑟𝑜𝑟 = 4´´ − 𝜀ˮ (5-9)
Se debe entonces calcular el exceso esférico
del triángulo.
Calculo del exceso esférico.
Se toma la ecuación 5-6 y reemplazando en
esta la ecuación 5-7, queda:
𝜀ˮ =1
2𝑏𝑐𝑠𝑒𝑛𝑜(𝐴)
𝑅2 𝑆𝑒𝑛𝑜 1ˮ (5-10)
Teniendo en cuenta esta ecuación basta con
hallar los arcos b y c del triángulo para
hallar el valor del exceso esférico, dado que
A= α=36º 55´ 34.6´´ y R, se toma como se
dijo anteriormente como 𝑅 = √𝜈𝜌, para el
cálculos de los radios de curvatura (ρ) y
normal (ν), se toma una latitud media, que
resulta de la media de los valores de la
latitud de los tres vértices: latitud media=
41º 38´ 14,35668´´, y los parámetros del
elipsoide GRS80.
En la tabla 5-4, se presentan los cálculos de
los radios y del área del triángulo.
Tabla 5-4, valores de los radios y del área del triángulo
Arco c Arco b ρ (m) ν (m) Ro (m)
39001,0 25223,89 6346823,2 6387622,27 6367190,08
Reemplazando estos valores en la ecuación
5-10, se tiene:
𝜀ˮ =
1
2 (39001,0 ∗ 25223,89) ∗ 𝑠𝑒𝑛𝑜(36º 55´ 34.6´´)
(6367190,08)2 𝑆𝑒𝑛𝑜 1ˮ
𝜀ˮ = 1.5´´
y el error de cierre del triángulo es:
𝐸𝑟𝑟𝑜𝑟 = 4´´ − 1.5ˮ = 2.5´´
Tabla 5-3. Valores de los ángulos
definitivos, y suma total de los ángulos
del triangulo
Angulo Valor del Ángulo
o ´ ´´
α 36 55 34.6
β 38 53 37.2
θ 104 10 52.2
TOTAL 180 0 4,00
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CAPITULO 5.
CURVAS SOBRE EL ELIPSOIDE DE
REVOLUCIÓN
Plano Normal:
Se denominan plano normal de un punto a
aquel que contiene a la normal al elipsoide
en dicho punto.
De los infinitos planos normales de un
punto del elipsoide existen dos de especial
relevancia. Uno es el que contiene el
semieje menor del elipsoide, denominado
plano meridiano y el otro, perpendicular a
plano meridiano denominado primer
vertical.
Plano normal Meridiano:
El que contiene al eje menor del elipsoide
se denomina plano meridiano.
Plano normal perpendicular:
Es aquel plano que es perpendicular al
plano meridiano, se denomina también
primer vertical y contiene la gran normal.
Sección Normal
Es aquella curva plana formada al
interceptar un plano normal cualquiera con
la superficie del elipsoide. En general se
denominan secciones normales las curvas
que resultan de la intersección de los planos
normales con el elipsoide,
Cada sección normal tendrá un radio de
curvatura diferente. El radio de curvatura
mínimo y máximo lo producen las
secciones normales principales, que son las
definidas por el plano meridiano y por el
primer vertical respectivamente. A dichas
secciones se las denomina secciones
normales principales, ver figura5-1.
La sección normal meridiana en un punto es
la intersección de su plano meridiano con el
elipsoide y su radio de curvatura (𝜌) es el
mínimo de todas las posibles secciones
normales.
La sección normal del primer vertical en un
punto es la intersección de su primer
vertical con el elipsoide y su radio de
curvatura (𝛾) es el máximo de todas las
posibles secciones normales
Secciones Normales Mutuas
Tomando sobre la superficie del elipsoide
de revolución los puntos i y j como se
muestra en la figura 5-2, con latitudes 𝜑𝑖 y
𝜑𝑗 respectivamente, con 𝜑𝑗 mayor que 𝜑𝑖.
Plano primer vertical
Plano meridiano
Superficie
Elipse
Meridiano
Paralelo P
Normal al Elipsoide
Figura 5-1. Planos: meridiano y primer vertical
P
Qi
Qj
O
Figura 5-2. Secciones normales mutuas
E W
ij
i
j
ji
P´
Qi
i´
Qj
𝜑𝑖
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Trazando las normales a la superficie del
elipsoide en los puntos i y j, estas normales
están contenidas en los planos de las elipses
meridianas que pasan atreves de los puntos
i y j, y se interceptan con el eje menor PP´
de la elipse, en los puntos Qi y Qj,
respectivamente. Las normales de los
puntos i y j se interceptan en distintos
puntos con el eje PP´, como se muestra a
continuación, de la figura 5-2 se tiene:
𝑖𝑄𝑖 = 𝛶(𝜑𝑖) 𝐸𝑐𝑢𝑎𝑐𝑖ó𝑛 5 − 1
𝑖𝑄𝑖 = 𝑎
(1 − 𝑒2𝑠𝑒𝑛2𝜑𝑖)1/2 𝐸𝑐𝑢𝑎𝑐𝑖ó𝑛 5
− 2
Y
𝑦𝑖 =𝑎(1 − 𝑒2) 𝑠𝑒𝑛𝜑𝑖
√1 − 𝑒2𝑠𝑒𝑛2𝜑𝑖
, 𝐸𝑐𝑢𝑎𝑐𝑖ó𝑛 5
− 3
𝑦𝑖 = 𝑖´ 0 ;
𝑖´ 0 =𝑎(1 − 𝑒2) 𝑠𝑒𝑛𝜑𝑖
√1 − 𝑒2𝑠𝑒𝑛2𝜑𝑖
, 𝑒𝑐𝑢𝑎𝑐𝑖ó𝑛 5
− 4
De la figura 5-2, se tiene:
𝑖´𝑄𝑖=𝑖 𝑄𝑖 ∗ 𝑠𝑒𝑛𝜑𝑖, 𝑒𝑐𝑢𝑎𝑐𝑖ó𝑛 5 − 5
𝑖´𝑄𝑖=
𝑎 𝑠𝑒𝑛𝜑𝑖
√1 − 𝑒2𝑠𝑒𝑛2𝜑𝑖
, 𝑒𝑐𝑢𝑎𝑐𝑖ó𝑛 5
− 6
De otra parte la distancia entre el origen del
elipsoide y el punto Qi, se puede expresar
como: 𝑂𝑄𝑖 = 𝑖´𝑄𝑖 − 𝑖´ 𝑂 ,
𝑂𝑄𝑖 =𝑎 𝑠𝑒𝑛𝜑𝑖
√1 − 𝑒2𝑠𝑒𝑛2𝜑𝑖
−𝑎(1 − 𝑒2) 𝑠𝑒𝑛𝜑𝑖
√1 − 𝑒2𝑠𝑒𝑛2𝜑𝑖
𝑂𝑄𝑖 =𝑎 𝑠𝑒𝑛𝜑𝑖 − 𝑎 𝑠𝑒𝑛𝜑𝑖(1 − 𝑒2)
√1 − 𝑒2𝑠𝑒𝑛2𝜑𝑖
𝑂𝑄𝑖 =𝑎 𝑠𝑒𝑛𝜑𝑖 − 𝑎 𝑠𝑒𝑛𝜑𝑖 + 𝑎 𝑒2 𝑠𝑒𝑛𝜑𝑖
√1 − 𝑒2𝑠𝑒𝑛2𝜑𝑖
𝑂𝑄𝑖 =𝑎 𝑒2 𝑠𝑒𝑛𝜑𝑖
√1 − 𝑒2𝑠𝑒𝑛2𝜑𝑖
, 𝑒𝑐𝑢𝑎𝑐𝑖ó𝑛 5 − 7
De manera análoga se tiene para la distancia
OQi, que:
𝑂𝑄𝑗 =𝑎 𝑒2 𝑠𝑒𝑛𝜑𝑗
√1 − 𝑒2𝑠𝑒𝑛2𝜑𝑗
, 𝑒𝑐𝑢𝑎𝑐𝑖ó𝑛 5 − 8
Por definición se tiene 𝜑𝑗>𝜑𝑖, por tanto:
OQj > OQi, es decir, la normal a la
superficie del elipsoide, trazada en el punto
i el cual posee menor latitud que el punto j,
corta el eje menor del elipsoide más cerca
al centro del elipsoide que la normal al
punto j.
De esta forma las normales a la superficie
del elipsoide en los puntos i y j, son dos
rectas que se cruzan en el espacio, pero que
no se cortan (se cortaran únicamente si
pertenecen a la misma elipse meridiana o en
el mismo paralelo).
P
Qi
Qj
O
Figura 5-3. Sección normal de i a j
E W
ij
i
j
ji
P´
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Si se traza un plano a través de los puntos i-
Qi y j, es evidente que este plano contiene
la línea i Qi, este plano es normal en el
punto i, como se muestra en la figura 5-3.
El plano i-Qi-j, engendra la curva ij la cual
se llama sección normal directa desde el
punto i al punto j. De manera similar si se
traza un plano a través de los puntos j-Qj e
i, es evidente que este plano contiene la
línea j Qj, este plano es normal en el punto
j, como se muestra en la figura 5-4. El plano
j-Qj-i, engendra la curva ji la cual se llama
sección normal directa desde el punto j al
punto i.
Por lo tanto, entre los dos puntos i y j,
situados sobre la superficie del elipsoide
pasan dos secciones normales, así, las
curvas ij y ji se denominan secciones
normales reciprocas inversas.
De la misma forma si se tiene un punto
tercer punto “k” se puede realizar el mismo
análisis, se tiene entonces las secciones
normales ik, ki, jk y kj; como se observa en
la grafica 5-5, está representa un triangulo
esférico sobre la superficie del elipsoide, se
puede deducir de esta la manera como se
observaran los ángulos esféricos en los
diferentes vértices.
Los ángulos desde luego son medidos desde
un punto sobre las secciones normales que
se generan desde cada uno de los puntos al
dar visual a los otros dos puntos como se
observa en la figura 5-5. “No es difícil
observar que los ángulos horizontales
medidos en los tres puntos, no formen sobre
la superficie del elipsoide, un triangulo
cerrado”[4], es decir el triangulo será una
figura abierta, y generará una
indeterminación en la formación de los
triángulos geodésicos sobre el elipsoide. Lo
anterior se soluciona si los puntos i, j y k se
unan con Líneas Geodésicas.
LÍNEA GEODÉSICA….
PROBLEMAS GEODESICOS
PROBLEMA GEODÉSICO DIRECTO
P
Qi
Qj
O
Figura 5-4. Sección normal de j a i
E W
ij
i
j
ji
P´
𝜽
𝜷
𝜶 i
j
k
ij
ji
ik
ki
kj jk
Figura 5-5. Triangulo sobre la elipse,
formado por secciones normales
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Consiste en que conocidas las
coordenadas geodésicas (Elipsoidales)
de un punto 𝑃1(𝜑1, 𝜆1) , la distancia
geodésica entre el punto 1 y el punto 2,
también se debe conocer el azimut
geodésico la línea geodésica desde el
punto 1. Se deben hallar las
coordenadas geodésicas de
𝑃2(𝜑2, 𝜆2) , y el azimut de la línea
medido desde el punto 2
(contra_azimut).
Solución: Existen múltiples algoritmos
para la solución del problema
geodésico directo. Uno de las más
eficientes es el Método de Legendre
(método de expansión en series).
𝜑2
= 𝜑1
+ ∫𝑐𝑜𝑠𝛼1_2
𝑀
𝑠
0
𝑑𝑠 ……… . . 𝑒𝑐𝑢𝑎𝑐𝑖ó𝑛. 1
2
= 1
+ ∫𝑠𝑒𝑛𝑜𝛼1_2
𝑐𝑜𝑠𝜑1
𝑠
0
𝑑𝑠 ……… . . 𝑒𝑐𝑢𝑎𝑐𝑖ó𝑛. 2
2_1
= 1_2 ± 𝜋
+ ∫1
𝜈
𝑠
0
𝑡𝑎𝑛𝜑 𝑠𝑒𝑛𝑜1_2 𝑑𝑠 ……… . . 𝑒𝑐𝑢𝑎𝑐𝑖ó𝑛. 3
Se realiza un expansión en serie
de las ecuaciones anteriores, se
toma 𝜑0 y 0 como la latitud del
punto inicial, en este caso el
punto 1, y el azimut geodésico
de la línea medido desde el
punto 1.
X
Z
Y
Polo
E. T. 𝜆1
𝜆2
1
2
P
1
P
2 1_2 2_1 S
Figura 1. Esquema gráfico de los
problemas geodésicos
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𝜑2
= 𝜑1 + 𝑆𝑐𝑜𝑠𝛼1_2
𝜌1
−𝑆2
2(3
2𝑒2
𝜈12
𝑎2𝜌12 𝑠𝑒𝑛(2𝜑1)𝑐𝑜𝑠2𝛼12
+𝑡𝑎𝑛𝜑1
𝜌1𝜈1𝑠𝑒𝑛𝑜2𝛼12
)
+𝑆3
6(3𝑒4𝜈1
4
𝑎4𝜌13 𝑠𝑒𝑛2(2𝜑1)𝑐𝑜𝑠3𝛼12
−3𝑒2𝜈1
2
𝑎2𝜌13 𝑐𝑜𝑠(2𝜑1)𝑐𝑜𝑠3𝛼12
−𝑠𝑒𝑛2𝛼12
𝑐𝑜𝑠𝛼12
𝜌12𝜈1 𝑐𝑜𝑠2𝜑1
+5𝑒2𝜈1
𝑎2𝜌12 𝑠𝑒𝑛(2𝜑1) 𝑡𝑎𝑛𝜑1 𝑠𝑒𝑛
2𝛼12 𝑐𝑜𝑠𝛼12
− 2𝑡𝑎𝑛2𝜑1
𝜌1𝜈12 𝑐𝑜𝑠𝛼12
𝑠𝑒𝑛𝑜2𝛼12)… . (4)
T1=𝜑1
𝑇2 = 𝑆𝑐𝑜𝑠𝛼1_2
𝜌1
𝑡31 =3
2𝑒2
𝜈12
𝑎2𝜌12
𝑡32 = 𝑠𝑠𝑒𝑛(2𝜑1)𝑐𝑜𝑠2𝛼1_2
𝑡33 =𝑡𝑎𝑛𝜑1
𝜌1𝜈1𝑠𝑒𝑛𝑜2𝛼1_2
𝑇3 =𝑆2
2((t31*t32)+t33)
t41=3𝑒4𝜈1
4
𝑎4𝜌13
𝑡42 = 𝑠𝑒𝑛2(2𝜑1)𝑐𝑜𝑠3𝛼1_2
𝑡43 =3𝑒2𝜈1
2
𝑎2𝜌13
𝑡44 = 𝑐𝑜𝑠(2𝜑1)𝑐𝑜𝑠3𝛼1_2
t45 =𝑠𝑒𝑛2𝛼1_2 𝑐𝑜𝑠𝛼1_2
𝜌12𝜈1 𝑐𝑜𝑠2𝜑1
𝑡46 =5𝑒2𝜈1
𝑎2𝜌12
𝑡47 = 𝑠𝑒𝑛(2𝜑1) 𝑡𝑎𝑛𝜑1 𝑠𝑒𝑛2𝛼1_2 𝑐𝑜𝑠𝛼1_2
𝑡48 = 2𝑡𝑎𝑛2𝜑1
𝜌1𝜈12
𝑡49 = 𝑐𝑜𝑠𝛼12 𝑠𝑒𝑛𝑜2𝛼12
𝑇4 = (𝑆3
6) ∗ [(𝑡41 ∗ 𝑡42) − (𝑡43 ∗ 𝑡44)
− 𝑡45 + (𝑡46 ∗ 𝑡47)
− (𝑡48 ∗ 𝑡49)]
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Longitud geodésica
𝜆2
= 𝜆1 + 𝑆𝑠𝑒𝑛(𝛼1_2)
𝜌1
+𝑆2
2(−
𝑒2𝜈1𝑠𝑒𝑛(𝜑1)
𝑎2𝜌1+
𝑠𝑒𝑛(𝜑1)
𝜌1𝜈1𝑐𝑜𝑠2(𝜑1)
+𝑡𝑔𝜑1
𝜈12𝑐𝑜𝑠(𝜑1)
) 𝑠𝑒𝑛(𝛼1_2)𝑐𝑜𝑠(𝛼1_2)
+𝑆3
6[𝑠𝑒𝑛(𝛼1_2)𝑐𝑜𝑠2(𝛼1_2)
𝜌1(𝑒4𝜈1
3𝑠𝑒𝑛(2𝜑1)𝑠𝑒𝑛(𝜑1)
𝑎4𝜌1
−𝑒2𝜈1𝑐𝑜𝑠(𝜑1)
𝑎2𝜌1
−2𝑒2𝜈1𝑠𝑒𝑛(2𝜑1)𝑠𝑒𝑛(𝜑1)
𝑎2𝜌1𝑐𝑜𝑠2𝜑1
+2𝑡𝑔2𝜑1
𝜈1𝜌1𝑐𝑜𝑠(𝜑1)+
1
𝜈1𝜌1𝑐𝑜𝑠(𝜑1)
−𝑒2𝑡𝑔(𝜑1)𝑠𝑒𝑛(2𝜑1)
𝑎2𝑐𝑜𝑠(𝜑1)+
1
𝜈12𝑐𝑜𝑠3𝜑1
+𝑡𝑔2𝜑1
𝜈12 )
−𝑒2𝜈1𝑠𝑒𝑛(𝜑1)𝑐𝑜𝑠(2𝛼1_2)𝑡𝑔𝜑1𝑠𝑒𝑛(𝛼1_2)
𝑎2𝜌1𝜈1
+𝑡𝑔2𝜑1𝑠𝑒𝑛(𝛼1_2)𝑐𝑜𝑠(2𝛼1_2)
𝜈12𝜌1𝑐𝑜𝑠(𝜑1)
+𝑡𝑔2𝜑1𝑠𝑒𝑛(𝛼1_2)𝑐𝑜𝑠(2𝛼1_2)
𝜈13𝑐𝑜𝑠(𝜑1)
] ( 5)
𝑇1 = 𝜆1
𝑇2 = 𝑆𝑠𝑒𝑛(𝛼1_2)
𝜌1
𝑡31 =𝑆2
2
t32 = −𝑒2𝜈1𝑠𝑒𝑛(𝜑1)
𝑎2𝜌1
𝑡33 =𝑠𝑒𝑛(𝜑1)
𝜌1𝜈1𝑐𝑜𝑠2(𝜑1)
𝑡34 =𝑡𝑔𝜑1
𝜈12𝑐𝑜𝑠(𝜑1)
𝑡35 = 𝑠𝑒𝑛(𝛼1_2)𝑐𝑜𝑠(𝛼1_2)𝑆2
𝑇3 =𝑆2
2(−𝑡31 + 𝑡32 + 𝑡33)
𝑡41 =3𝑒4𝜈0
4
𝑎4𝑀03
𝑡42 = 𝑠𝑒𝑛𝑜2(2𝜑0)𝑐𝑜𝑠3𝛼0
𝑡43 =3𝑒2𝜈0
2
𝑎2𝑀03
𝑡44 = 𝑐𝑜𝑠(2𝜑0)𝑐𝑜𝑠3𝛼0
𝑡45 =𝑠𝑒𝑛𝑜2𝛼0 𝑐𝑜𝑠𝛼0
𝑀02𝜈0 𝑐𝑜𝑠2𝜑0
𝑡46 =5𝑒2𝜈0
𝑎2𝑀02
𝑡47 = 𝑠𝑒𝑛𝑜(2𝜑0) 𝑡𝑎𝑛𝜑0 𝑠𝑒𝑛𝑜2𝛼0 𝑐𝑜𝑠𝛼0
𝑡48 = 2𝑡𝑎𝑛2𝜑0
𝑀0𝜈02
𝑡49 = 𝑐𝑜𝑠𝛼0 𝑠𝑒𝑛𝑜2𝛼0
𝑇4 =𝑆3
6[(𝑡41 ∗ 𝑡42) − (𝑡43 ∗ 𝑡44)
− 𝑡45 + (𝑡46 ∗ 𝑡47)
− (𝑡48 ∗ 𝑡49)]
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Azimut Geodésico
𝛼2_1
= 𝛼1_2 + 𝑆𝑡𝑔(𝜑1)𝑠𝑒𝑛(𝛼1_2)
𝜈1
+𝑆2𝑠𝑒𝑛(𝛼1_2)𝑐𝑜𝑠(𝛼1_2)
2(−
𝑒2𝜈1𝑡𝑔(𝜑1)𝑠𝑒𝑛(2𝜑1)
2𝑎2𝜌1
+1
𝜈1𝜌1𝑐𝑜𝑠2𝜑1+
𝑡𝑔2(𝜑1)
𝜈12 )
+𝑆3𝑐𝑜𝑠(2𝛼1_2)𝑡𝑔(𝜑1)𝑠𝑒𝑛(𝜑1)
6𝜈1(−
𝑒2𝜈1𝑡𝑔(𝜑1)𝑠𝑒𝑛(2𝜑1)
2𝑎2𝜌1
+1
𝜈1𝜌1𝑐𝑜𝑠2𝜑1+
𝑡𝑔2(𝜑1)
𝜈12 )
+𝑆3𝑠𝑒𝑛(𝛼1_2)𝑐𝑜𝑠2(𝛼1_2)
6𝜌1(𝑒4𝜈1
3𝑡𝑔(𝜑1)𝑠𝑒𝑛2(2𝜑1)
2𝑎4𝜌1
−𝑒2𝜈1𝑠𝑒𝑛(2𝜑1)
2𝑎2𝜌1𝑐𝑜𝑠2𝜑1
−2𝑒2𝜈1𝑡𝑔(𝜑1)𝑐𝑜𝑠(2𝜑1)
2𝑎2𝜌1
−2𝑒2𝜈1𝑠𝑒𝑛(2𝜑1)
𝑎2𝜌1𝑐𝑜𝑠2𝜑1+
2𝑠𝑒𝑛(𝜑1)
𝜈1𝜌1𝑐𝑜𝑠3𝜑1
−𝑒2𝑠𝑒𝑛(2𝜑1)𝑡𝑔
2(𝜑1)
2𝑎2+
1
𝜈12𝑐𝑜𝑠2𝜑1
)
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PROBLEMA GEODESICO DIRECTO.
(DESARROLLO FORMULAS DE
PUISSANT)
Se supone conocido:
La posición Geográfica de un punto
La distancia Geodésica entre el punto
cuya posición es conocida y el punto
al que se le van a trasladar
coordenadas geográficas.
El azimut geodésico del arco que une
los dos puntos.
Superficie de referencia
Se debe hallar:
La posición del punto 2
El azimut geodésico del arco entre el
punto 2 y el punto 1.
1. CALCULO DE LA LATITUD
Se utiliza aproximación esférica
Precisión hasta 100k una parte por
millón
Mayor a 100k cuatro partes por millón.
Método iterativo:
Inicialmente se calcula un valor inicial
para el valor de la diferencia de
longitud entre el punto inicial
(Conocido) y el punto 2, el cual es
desconocido.
𝑑𝜑0 =𝑆0
𝜈0𝑐𝑜𝑠𝛼0 −
𝑆02
2𝜈02𝑡𝑎𝑛𝜑0𝑠𝑒𝑛𝛼0
− [𝑆0
3
6𝜈03𝑐𝑜𝑠𝛼0(𝑠𝑒𝑛𝛼0)
2(1
+ 3𝑡𝑎𝑛2𝜑0)]
𝑇1 =𝑆0
𝜈0𝑐𝑜𝑠𝛼0
𝑇2 =𝑆0
2
2𝜈02𝑡𝑎𝑛𝜑0𝑠𝑒𝑛𝛼0
𝑇3 =𝑆0
3
6𝜈03𝑐𝑜𝑠𝛼0(𝑠𝑒𝑛𝛼0)
2
𝑇4 = (1 + 3𝑡𝑎𝑛2𝜑0)
𝑑𝜑0 = 𝑇1 − 𝑇2 − (𝑇3 ∗ 𝑇4)
𝑑𝜑𝑛 = [(𝑆0
𝑀0𝑐𝑜𝑠𝛼0 −
𝑆02
2𝑀0𝜈0𝑡𝑎𝑛𝜑0𝑠𝑒𝑛
2𝛼0
−𝑆0
3
6𝑀0𝜈02𝑐𝑜𝑠𝛼0𝑠𝑒𝑛
2𝛼0(1
+ 3𝑡𝑎𝑛2𝜑0)) (1
−3
2
𝑒2𝑠𝑒𝑛𝜑0𝑐𝑜𝑠𝜑0
(1 − 𝑒2𝑠𝑒𝑛2𝜑0)𝑑𝜑0)]
𝑑𝜑0𝑒𝑛 𝑟𝑎𝑑𝑖𝑎𝑛𝑒𝑠.
𝑃𝑎𝑟𝑎 𝑟𝑒𝑎𝑙𝑖𝑧𝑎𝑟 𝑙𝑎 𝑖𝑡𝑒𝑟𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛 ℎ𝑎𝑐𝑒 𝑑𝜑0
= 𝑑𝜑𝑛,
𝑦 𝑎𝑠𝑖 𝑠𝑢𝑐𝑒𝑠𝑖𝑣𝑎𝑚𝑒𝑛𝑡𝑒 ℎ𝑎𝑠𝑡𝑎 𝑞𝑢𝑒 |𝑑𝜑𝑛
− 𝑑𝜑𝑛+1| ≤ 0.001´´
𝑇5 =𝑆0
𝑀0𝑐𝑜𝑠𝛼0
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𝑇6 =𝑆0
2
2𝑀0𝜈0𝑡𝑎𝑛𝜑0𝑠𝑒𝑛
2𝛼0
𝑇7 =𝑆0
3
6𝑀0𝜈02𝑐𝑜𝑠𝛼0𝑠𝑒𝑛
2𝛼0
𝑇8 = (1 + 3𝑡𝑎𝑛2𝜑0)
𝑇9 =3
2
𝑒2𝑠𝑒𝑛𝜑0𝑐𝑜𝑠𝜑0
(1 − 𝑒2𝑠𝑒𝑛2𝜑0)𝑑𝜑0
𝑑𝜑𝑛 = [(𝑇5 − 𝑇6 − (𝑇7 ∗ 𝑇8))(1 − 𝑇9)]
𝜑2 =𝜑1 + 𝑑𝜑𝑛.
Problema Geodésico Inverso.
El problema inverso de la geodesia consiste
en determinar el acimut y la longitud de la
línea geodésica entre dos puntos dados o de
los cuales se conoce las coordenadas
elipsoidales, así; Pi(φi, λi) y Pj(φj, λj). Al
igual que en el problema directo, existen
múltiples métodos para resolverlo.
Soluciones al problema geodésico
inverso.
1) Solución basada en el
procedimiento de Molodensky.
Este método implica la utilización
de la geodesia espacial o
tridimensional, es decir se introduce
la altura de los puntos sobre el
elipsoide.
𝑆𝑖𝑗2
= (𝜐𝑖+ℎ𝑖)2 + (𝜐𝑗+ℎ𝑗)
2
− 2(𝜐𝑖+ℎ𝑖)2(𝜐𝑗+ℎ𝑗)
2(𝑠𝑒𝑛𝜑𝑖𝑠𝑒𝑛𝜑𝑗
+ 𝑐𝑜𝑠𝜑𝑖𝑐𝑜𝑠𝜑𝑗𝑐𝑜𝑠(𝜆𝑗 − 𝜆𝑖))
− (𝑒2)2(𝜐𝑗𝑠𝑒𝑛𝜑𝑗 − 𝜐𝑖𝑠𝑒𝑛𝜑𝑖)2
− (𝑒2)(𝜐𝑗𝑠𝑒𝑛𝜑𝑗 − 𝜐𝑖𝑠𝑒𝑛𝜑𝑖)2(ℎ𝑗𝑠𝑒𝑛𝜑𝑗
− ℎ𝑖𝑠𝑒𝑛𝜑𝑖)
Donde:
𝑆𝑖𝑗: Distancia geodésica desde el punto i al
j.
𝜐𝑖 Gran normal del punto 1.
𝜐𝑗 Gran normal del punto 2.
ℎ𝑖 Altura elipsoidal del punto 1.
ℎ𝑗 Altura elipsoidal del punto 2.
Calculo del azimut de la línea geodésica
desde el punto i al punto j.
X
Z
Y
Polo
E. T. 𝜆1
𝜆2
1
2
P
1
P
2 1_2 2_1 S
Figura 2. Esquema gráfico del
problema geodésico inverso
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𝑐𝑡𝑔(𝛼𝑖𝑗)
=𝑒2 (𝜐𝑖 𝑠𝑒𝑛(𝜑𝑖) − 𝜐𝑗 𝑠𝑒𝑛(𝜑𝑗)) 𝑐𝑜𝑠(𝜑𝑖)
(𝜐𝑗+ℎ𝑗)𝑐𝑜𝑠(𝜑𝑗)𝑠𝑒𝑛(𝜆𝑗)
+𝑠𝑒𝑛(𝜑𝑗 − 𝜑𝑖)
𝑐𝑜𝑠(𝜑𝑗)𝑠𝑒𝑛(𝜆𝑗)+ 𝑠𝑒𝑛(𝜑𝑖)𝑡𝑔 (
𝜆𝑗
2)
Calculo del azimut de la línea geodésica
desde el punto j al punto i.
𝑐𝑡𝑔(𝛼𝑗𝑖)
=𝑒2 (𝜐𝑗 𝑠𝑒𝑛(𝜑𝑗) − 𝜐𝑖 𝑠𝑒𝑛(𝜑𝑖)) 𝑐𝑜𝑠(𝜑𝑗)
(𝜐𝑖+ℎ𝑖)𝑐𝑜𝑠(𝜑𝑖)𝑠𝑒𝑛(𝜆𝑗)
−𝑠𝑒𝑛(𝜑𝑖 − 𝜑𝑗)
𝑐𝑜𝑠(𝜑𝑖)𝑠𝑒𝑛(𝜆𝑗)− 𝑠𝑒𝑛𝜑𝑗𝑡𝑔 (
𝜆𝑗
2)
2) Solución basada en el método de
Bessel.
El método de Bessel para la solución del
problema inverso de la geodesia, el
método está basado en trasladar el
problema del elipsoide a una solución en
la esfera y una vez solucionado
proyectarlo nuevamente al elipsoide. La
esfera utilizada es la llamada esfera de
Jacobi 2 ., también llamado imagen
esférica del elipsoide.
2 Esfera tangente al elipsoide en el ecuador.
El azimut de la línea geodésica se
obtiene, de la siguiente ecuación:
𝛼𝑖𝑗 = 𝑠𝑒𝑛−1 (𝑐𝑜𝑠(�̅�𝑖)𝑠𝑒𝑛(𝛼𝑖𝑗)
𝑐𝑜𝑠(�̅�𝑗))
𝛼𝑗𝑖 = 𝑠𝑒𝑛−1 (𝜈𝑖𝑐𝑜𝑠(𝜑𝑖)𝑠𝑒𝑛(𝛼𝑖𝑗)
𝜈𝑗𝑐𝑜𝑠(𝜑𝑗)) ± 𝜋
La línea geodésica Si j, sobre el
elipsoide, se le hace corresponder otra
“σ” sobre la esfera de Jacobi, a estas se
les hace corresponder el azimut, lo que
permite deducir que la latitud del punto
sobre la esfera es la latitud reducida
sobre el elipsoide.
Z
𝑃𝑁
Δλ
Pi
Pj
𝑖_𝑗
𝑗_𝑖 Si j
Figura 3. Triangulo geodésico sobre el elipsoide
900 − 𝜑𝑖 900 − 𝜑𝑗
UNIVERSIDAD DISTRITAL FRANCISCO JOSÉ DE CALDAS FACULTAD DE MEDIO AMBIENTE
TECNOLOGIA EN TOPOGRAFIA
GEODESIA PARA DUMMIES
Preparado por: * Edilberto Niño N. [email protected]
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�̅� = 𝑡𝑔−1 (𝑏
𝑎𝑡𝑔𝜑)…ecuación xx
�̅�𝑖𝑗 = 𝛼𝑖𝑗
�̅�𝑗𝑖 = 𝛼𝑗𝑖
Dadas las condiciones la distancia
geodésica entre los puntos ij se calcula
así:
𝑑𝑠 =
𝑎√1 − 𝑒2√𝑒´2𝑐𝑜𝑠2(𝑚) 𝑠𝑒𝑛2(𝑀 + 𝜎)𝑑𝜎
,
𝑑𝑠 = 𝑏√1 + 𝑘2 𝑠𝑒𝑛2(𝑀 + 𝜎)𝑑𝜎
Donde:
𝑘2 = 𝑒´2𝑐𝑜𝑠2(𝑚)
𝑀 = 𝑡𝑔−1 (2𝑡𝑔�̅�
𝑐𝑜𝑠𝛼𝑖𝑗)
𝑚 = 𝑐𝑜𝑠−1(𝑠𝑒𝑛(𝛼𝑖𝑗) 𝑐𝑜𝑠�̅�)
Integrando este diferencial se tiene:
𝑆𝑖𝑗
= 𝑏 [(1 + 𝑘2𝑠𝑒𝑛2𝑀)1
2𝜎
+𝑘2𝑠𝑒𝑛𝑀𝑐𝑜𝑠𝑀
2(1 + 𝑘2𝑠𝑒𝑛2𝑀)1
2
𝜎2
+𝑘2(−𝑠𝑒𝑛2𝑀 + 𝑐𝑜𝑠2𝑀)
6(1 + 𝑘2𝑠𝑒𝑛2𝑀)1
2
𝜎3
−𝑘4𝑠𝑒𝑛2𝑀𝑐𝑜𝑠2𝑀
6(1 + 𝑘2𝑠𝑒𝑛2𝑀)3
2
𝜎3
−𝑘4𝑠𝑒𝑛𝑀𝑐𝑜𝑠𝑀(−𝑠𝑒𝑛2𝑀 + 𝑐𝑜𝑠2𝑀)
8(1 + 𝑘2𝑠𝑒𝑛2𝑀)3
2
𝜎4
−2
12
𝑘2𝑠𝑒𝑛𝑀𝑐𝑜𝑠𝑀
(1 + 𝑘2𝑠𝑒𝑛2𝑀)1
2
𝜎4
+1
8
𝑘6𝑠𝑒𝑛3𝑀𝑐𝑜𝑠3𝑀
(1 + 𝑘2𝑠𝑒𝑛2𝑀)5
2
𝜎4]
Solución del problema Geodésico inverso
Método No. 3. Este método fue
desarrollado por los geodestas italianos,
COTICCHIA y SURACE.
�̅� =𝜑𝑖+𝜑𝑗
2 , los subíndices i y j corresponden a los
datos de los puntos 1 y 2 respectivamente.
𝜂2 = 𝑒´2 cos2 �̅�
𝑚2 = 1 + 𝜂2
𝜉 =1
2𝑚2 (𝜑𝑗 − 𝜑𝑖)
𝑙 =1
2(𝜆𝑗 − 𝜆𝑖)
𝑥1 = sin(𝜉) cos(𝑙)
𝑦1 = sin(𝑙) cos(𝜉)
𝑧1 =tg(𝑚∗𝑙) sin(�̅�)
cos(𝑚2∗𝜉)
𝑡2 = tan2 �̅�
𝑝 = 𝜂2 ∗ 𝑥12
𝑥2 = 𝑥1 {1 −1
3𝜂2𝑦2
2 +1
2𝑝[𝑚2 − 𝑡2(5 − 4𝑚2)]}
𝑦2 = 𝑦1 {1 +1
6𝑝[1 + 𝑡2(2𝑚2 + 7)]}
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𝑧2 = 𝑧1 [1 +1
3𝑝]
𝛾 =𝑎𝑡𝑎𝑛(𝑧2)
√1+𝜂2
𝑑 = √𝑥22 + 𝑦2
2
𝛼 = 𝑎𝑡𝑎𝑛𝑦1
𝑥1
Con estos valores se obtiene, la distancia
geodésica (s) entre los puntos i y j.
𝒔 =2∗𝑐
√1+𝜂2∗ (asin (𝑑))
Donde s es la distancia geodésica entre los
puntos i y j, y c es el radio polar de
curvatura del elipsoide de referencia. En
este caso para WGS84, c= 6399593,6258m.
Y los azimuts directo e inverso.
𝛼(𝑖−𝑗) = 𝛼 − 𝛾
𝛼(𝑗−𝑖) = 𝛼 + 𝛾 ± 𝜋
Notas Bibliográficas:
[2].Asenjo Villamayor, Luis García -
Hernández López, David. Universidad
Politécnica de Valencia. Geodesia - 2003 -
530 páginas
[3].José Raúl Ramírez Pinillos. Geodesia
Geométrica.
[4] Fernando Martin Asin, Geodesia y
Cartografía Matemática. Madrid 1983.
Notas Bibliográficas:
[1]. http://es.wikipedia.org .
[2]. Asenjo Villamayor, Luis García -
Hernández López, David. Universidad
Politécnica de Valencia. Geodesia - 2003 -
530 páginas
[3].José Raúl Ramírez Pinillos. Geodesia
Geométrica.
[4].P. S. Zakatov, Curso de Geodesia
uperior.