geodesia instituto nacional de estadistica...

Geodesia

Física Aplicada

Tomo I

INSTITUTO NACIONAL DE ESTADISTICA

GEOGRAFIA E INFORMATICA

Geodesia

Ffsica Aplicada

Tomo I

INSTITUTO NACIONAL DE ESTADISTICA


Secretaría de Programación y Presupuesto Instituto Nacional de Estadística, Geografía e Informática

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Geodesia Física Aplicada Tomo I

Dirección General de Geografía

México, D.F. junio de 1984

ISBN 968-809-91 6-3

GEODESIA FISICA APLICADA

TOMO I

Departamento de Ingeniería Topográfica Universidad de New Brunswick Fredericton, N. B. Canadá. 1971

T raductor

Por Dr. Petr Vanicek

M. en C. Rafael Sosa Torres DETENAL México, D. F.

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NOTA DEL TRADUCTOR

Deseo dejar constancia de que este trabajo es en realidad resultado del esfuerzo que DETENAL está haciendo con el pro- pósito de elevar el nivel de los conocimientos geodésicos dentro y fuera de la propia institución. Debe pues, agrade- cerse la disposición y el apoyo brindado por las autoridades de DETENAL, particularmente de aquéllas responsables del Area de Geodesia que al facilitarnos medios y personal, hi- cieron posible que estas notas vieran la luz del día.

Se agradece profunda y sinceramente, la gentileza del au- tor Dr. Petr Vanicek, de la Universidad de New Brunswick, al permitir la traducción y divulgación de su obra en español.

El excelente trabajo de mecanografiado estuvo a cargo de

la Srita. Blanca Estela Ibarra Cortés de la Oficina de Apoyo Vertical.

También de la Oficina de Apoyo Vertical el Sr. Julio Bueyes Oliva tuvo la responsabilidad de trazar los diagramas y el arduo y paciente trabajo de escribir todas y cada una - de las fórmulas que en estas notas aparecen. Mi sincero re- conocimiento al Sr. Bueyes Oliva por la alta calidad de su - t rabaj o.

M. en C. Rafael Sosa Torres

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CONTENIDO

Pag.

1. EL OBJETIVO DE LA GEODESIA FISICA 1

2. ELEMENTOS DE LA TEORIA DEL POTENCIAL 2 2.1.- CONCEPTO DE UN CAMPO DE FUERZA 2 2.2.- LA GRAVITACION DE NEWTON 3

2.3.- CAMPO DE GRAVITACION DE UN PUNTO DE MASA M 4 2.4.- CAMPO DE GRAVITACION DE UN CUERPO FISICO 4

2.5.- CAMPO DE FUERZA SOBRE Y POR ENCIMA DE LA SU- PERFICIE DE UN CUERPO EN ROTACION 6

2.6.- NOCION DE POTENCIAL 7

2.7.- POTENCIAL DE UN PUNTO "ATRAYENTE" 8 2.8.- POTENCIAL DE UN CUERPO "ATRAYENTE" 9 2.9.- POTENCIAL DE LA GRAVEDAD DE UN CUERPO EN RO-

TACION 10

2.10.- EL POTENCIAL COMO SOLUCION A LA ECUACION DE POISSON O A LA ECUACION DE LAPLACE 11

2.11.- FUNCIONES ARMONICAS Y SUS PROPIEDADES 14 2.12.- PROBLEMAS DE VALOR EN LA FRONTERA 16

2.13.- ALGUNOS METODOS PARA RESOLVER PROBLEMAS DE - VALOR EN LA FRONTERA 17

2.14.- AUTOVALORES Y AUTOFUNC IONES 19 2.15.- EL LAPLACEANO EN COORDENADAS CURVILINEAS. -

COEFICIENTES DE LAME 21

2.16.- EL METODO DE FURIER APLICADO AL LAPLACEANO - EN COORDENADAS ESFERICAS 29

2.17.- AUTOFUNCIONES DEL LAPLACEANO EN COORDENADAS ESFERICAS. ARMONICAS ESFERICAS 31

2.18.- ORTOGONAL!DAD DE LAS FUNCIONES ARMONICAS Y - DESARROLLOS EN ARMONICAS ESFERICAS 35

2.19.- SOLUCION COMPLETA DE LA ECUACION DE LAPLACE EN COORDENADAS ESFERICAS 38

2.20.- SOLUCION COMPLETA DE LA ECUACION DE LAPLACE EN COORDENADAS ELIPSOIDALES 40

2.21.- SOLUCION A PROBLEMAS DE VALOR EN LA FRONTERA USANDO ARMONICAS ESFERICAS 41

2.22.- CONEXION ENTRE LOS COEFICIENTES DE LAS ARMO- NICAS ESFERICAS Y EL CUERPO ATRAYENTE 44

2.23.- INTERPRETACION FISICA DE LOS COEFICIENTES DE ARMONICAS DE GRADO INFERIOR 48

2.24.- SUPERFICIES EQUIPOTENCIALES. LINEAS DE FUER ZA 51

3. EL CAMPO DE GRAVEDAD TERRESTRE Y SUS APROXIMACIO- - NES 52

3.1.- EL GEOIDE 52

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3.2.- OBSERVACIONES SOBRE EL ESFEROIDE 54 3.3.- POTENCIAL NORMAL Y POTENCIAL PERTURBANTE 55 3.4.- LA ESFERA COMO SUPERFICIE DE REFERENCIA NOR-

MAL 58 3.5.- EL ELIPSOIDE ROTACIONAL COMO SUPERFICIE "NOR

MAL" DE REFERENCIA 58

3.6.- LA GRAVEDAD "NORMAL" REFERIDA A LA SUPERFI- CIE ELIPSOIDAL DE REFERENCIA 60

3.7.- TEOREMA DE CLAIRAUT, PARA LOS APLASTAMIENTOS DE GRAVEDAD Y GEOMETRICO 64

3.8.- FORMULAS DE SOMI GHANA PARA LA GRAVEDAD NOR- MAL 66

3.9.- FORMULAS DE CASSINIS PARA LA GRAVEDAD NOR- - MAL 68

3.10.- DEFINICION DE: ANOMALIA DE LA GRAVEDAD; PER- TURBACION DE LA GRAVEDAD; ALTURA GEOIDAL Y - DESVIACION DE LA VERTICAL 70

3.11.- RELACION ENTRE EL POTENCIAL DE PERTURBACION Y LA ALTURA GEOIDAL. SEGUNDA FORMULA DE BRUNS 72

3.12.- ECUACION GRAVI ME TR1 CA FUNDAMENTAL 73 3.13.- DISCUSION DE LA ECUACION GRAVIMETR1CA FUNDA-

MENTAL. EL PROBLEMA MIXTO DE VALOR EN LA - FRONTERA DE GEODESIA 75

3.14.- EL GRADIENTE VERTICAL DE LA GRAVEDAD 77 3.15.- SOLUCION AL PROBLEMA MIXTO DEL VALOR EN LA -

FRONTERA DE GEODESIA FISICA 81 3.16.- LA INTEGRAL DE STOKES 83 3.17.- FORMULA DE STOKES. DETERMINACION GRAV I METRJ_

CA DEL GEO IDE 86 3.18.- ALGUNAS CONSIDERACIONES SOBRE LA FORMULA DE

STOKES 87 3.19.- LAS FORMULAS DE VEN ING-ME INESZ 89 3.20.- LINEAMIENTOS PARA LA SOLUCION NUMERICA DE -

LAS FORMULAS DE STOKES Y DE VEN ¡ NG-ME I NESZ 92

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1. EL OBJETIVO DE LA GEODESIA FISICA.

En Topografía tratamos con la determinación de la posición mutua de puntos. Cuando trabajamos en áreas pequeñas podemos confor- marnos con las relaciones medidas. Por lo tanto la relación entre dos puntos puede expresarse como:

P — P l 2

En áreas grandes no podemos hacer lo mismo. No somos capa^ ees de medir directamente las relaciones entre los puntos y tenemos que referirlos a un marco común que (nte rre Iac i one a los dos puntos. - De aquí que realmente hablemos entonces de la relación:

P Marco P l — — 2

La descripción de tal marco y las relaciones entre los puntos v el marco es uno de los objetivos principales de la Geodesia. Usualmente en Geodesia, cierto tipo de superficie "próxima" a la super fície topográfica de la tierra, se elige como superficie de referencia que juega el papel del marco. Es deseable, por supuesto, que la super^ ficie de referencia esté tan próxima a la superficie topográfica como sea posible de modo que los puntos individuales (cuya posición hacia - I a superficie topográfica puede medirse) puedan referirse a la superfj. cíe de referencia de un modo sencillo.

A la vez, por conveniencia de cálculo, queremos que la su-

perficie de referencia tenga la forma geométrica más simple que sea po sible. Es concebible, desde luego, que la superficie topográfica no - sería una buena referencia desde este punto de vista.

Cuando medimos las posiciones y relaciones entre los puntos sobre la superficie terrestre (y también por encima o debajo del - punto superficial), estamos sujetos a toda clase de influencias físi- cas del ambiente. Nuestros instrumentos obedecen algunas "leyes" y -- "reglas" físicas que debemos tratar de comprender para estar en pos i b_i 1idad de interpretar nuestras mediciones. Todos estamos conscientes - de la fuerza de la gravedad; de la fuerza de Coriolis; refracción del aire; influencias de las variaciones de la temperatura; etc.; por nombrar algunas.

Para los procesos estáticos - como son las observaciones geodésicas - las dos influencias físicas más importantes son la ref rae c i ón y la g ravedad. Ambas cambian la geometría del espacio en que t raí bajamos y por lo tanto, deben estudiarse y comprenderse, tan claramente como sea posible. Dejaremos por completo el estudio de la refrac- ción _Este es uno de los temas en los cursos de Topografía. Dedicare mos nuestra atención casi exclusivamente a la gravedad.

La comprens i ón teórica del campo de gravedad. Su de te rm i - nación y sus relaciones (relevancia) con las investigaciones geométri-

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cas (que constituyen el tema principal de la Topografía) es el campo - de la Geodesia Física. De aquí que este Tomo I será dedicado a dos ob jetivos principales: primero, obtener algo de comprensión y dominio del modelo matemático del campo de gravedad. Este tema se conoce como la Teoría del Potencial. El desarrollo del tema sera: E1 campo de gravedad terrestre y sus aproximaciones usadas en Geodesia.

En la primera mitad de este Tomo I deberemos aprender algo sobre las herramientas matemáticas usadas en Geodesia Física.

El conocimiento de estas herramientas nos permitirá seguir en la segunda mitad el desarrollo de los conceptos clásicos, así como determinar la relación entre e! campo de gravedad y algunas de las superficies de referencia usadas en Geodesia.

2. ELEMENTOS DE LA TEORIA DEL POTENCIAL.

2.1.- CONCEPTO DE UN CAMPO DE FUERZA.

Donde, en una cierta área de nuestro espacio-t¡empo, tenga mos actuando algunas fuerzas físicas, describimos a menudo el área de interés por un Campo Vector i a 1? en vez de tratar con las fuerzas.

Por un campo vectorial entendemos una triada de números reales atribuidos a cada punto (dados por una cuarteta de números reales) de nuestro espacio-tiempo. Usando el Sistema Euclid¡ano de Coor- denadas podemos representar gráficamente un campo vectorial, ésto es:

en cualquier punto de tiempo.

Para hacer más fáciles las cosas, en Geodesia Física cons_[ de ramos a tod.is los campos vectoriales con que trabajamos como es tac io na r i os. ésto es, que no cambian con el tiempo.

Cualquier campo estacionario puede describirse completamen

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te por una función "f" de tres valores, usualmente denominados como:

7; T (7) € R3; 7 €

(para describir las tres valoraciones) de los argumentos _Las coordena das del punto en el espacío_. Estas tres coordenadas, números reales, pueden ser consideradas como coordenadas del radio vector del punto en cuest ión.

2.2.- LA GRAVITACION DE NEWTON.

El comienzo de todo fueron los resultados experimentales -

(observaciones astronómicas) de un astrónomo Danés - Tycho-de-Brahe -- hechos en la segunda mitad del Siglo XVI. Estas observaciones consti- tuyeron las bases sobre las que un astrónomo matemático Alemán, Johannes Kepler apoyó la formulación de sus famosas tres leyes que go- biernan el movimiento de los planetas alrededor del sol (a comienzo del Siglo XVIl). De estas tres leyes experimentales el matemático y - físico Inglés, Isaac Newton. derivó su principio de gravitación (Philo sophiae Naturlis Principia Mathematica, 1687) que permanece hasta ahora como la piedra angular de la Mecánica Newton¡ana.

La formulación clásica de este principio es: "La fuerza de atracción mutua de dos masas m¡, m2, es proporcional a su producto e - inversamente proporcional al cuadrado de su distancia". En notación - vector ia1 :

7 = K ■ mz ,-p ,T -- K m' • ■?

p* ' 2 p* 2

7 -- "T -r.

Donde P, = ' P¿ 5°n ^os vectores que unen las dos masas y están dirigidas en sentido contrario a las fuerzas f, , . K es la constante de proporcionalidad llamada Constante de Gravitación (de Newton).

De una multitud de mediciones el valor de K fue determinado y e 1 va 1 or de

K = 6.67 X I0"81 0.01 X ¡0~8 (cm3 g seg2)

aceptado por un número de organizaciones científicas como la mejor aproximación conocida hasta la fecha. Aun se discute si el valor de K varía con el tiempo,

¡Nótese las unidades físicas de K1

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2.3.- CAMPO DE GRAVITACION DE UN PUNTO DE MASA M.

Podemos ver que el Principio de Gravitación de Newton es - completamente simétrico: no hay preferencia por alguna de las masas.

Sin embargo, por conveniencia, llamamos "atrayente" a una de las masas y "atraída" a la otra. Este nos permite formular el Prm cipio en términos de un campo de fuerza (campo vectorial) como:

comprendiendo que el vector f representa una fuerza ejercida por la masa M sobre una masa unitaria m. E1 vector ^es dirigido de M hac i a m y no es sino el radio vector de m, si M está localizada en el centro del sistema de coordenadas. Este es un ejemplo de un campo vectorial radial (o central) donde todos los vectores apuntan de afuera ha-

Y se le llama Campo de Gravitación de un Punto.

Nótese que en este caso no estamos interesados en los efec tos que m ejerce sobre M.

2.4.- CAMPO DE GRAVITACION DE UN CUERPO FISICO.

Se estableció a través de experimentos que las fuerzas gra vitacionales pueden sumarse en la misma mensionales en un espacio Euclidiano , masas , M^ actuando sobre una masa un la fuerza 9ravi tacional

una masa resultan te :

forma que los vectores tridi-- De aquí que si tenemos dos ■

taria m podemos escribir para

f = f. + f = 2 p 3

1 p, P 3 rZ

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siendo y p^ los vectores respectivos que unen a M , con m.

S imi1 armen te pode-

mos escribir para un sistema - completo de masas M¡, M2,...., Mn :

Z

f = I f. = - i -1

K I ¡=l

M|

P.2 P. i

i P - r. - r.1

i i i

r¡ es el radio vector de M¡ .

Nuevamente aquí no estamos interesados en la gravitación - que actúa entre las masas individuales M., tampoco nos interesa el efecto de m sobre las M's. 1

Si imaginamos un cuerpo físico con un área B de E^, con una densidad o~ (atribuida a cada punto del área, entonces la masa

AM de una parte diferencialAB del cuerpo estará dada por el producto:

Am = Ab ■ cr (r' ) ,

donde cr(r') es el valor de la densidad en un punto representativo de - AB.

Podemos escribir entonces para el campo de gravitación de todo el cuerpo B:

f = _K JB ^r-p-dB; p'-' ~r!

siendo r/ el radio vector del elemento dM.

_ Note que aquícr es función de la posición del elemento dB y P lo es de la posición del elemento y del lugar donde el campo está siendo investigado.

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2.5-- CAMPO DE FUERZA SOBRE Y POR ENCIMA DE LA SUPERFICIE DE UN CUERPO EN ROTACION (CUANDO USTED ROTA CON EL).

Nuevamente, por experiencia se conoce que una rotación fox zada de una masa m con velocidad rotacional (angular) cu a una distancia r" del eje de rotación empuja la masa hacia afuera desde - - - - el eje de rotación. La presión (Fuerza) tiene una magnitud de:

c

La expresión en forma vectorial para la fuerza centrifuga, como es conocida la presión anterior, es:

Imaginemos ahora la situación cuando una masa unitaria es forzada a rotar sobre o por encima de un cuerpo B. Primero es atraída por la fuerza g rav i tac i ona 1 del cuerpo y luego empujada hacia afuera - por la fuerza centrífuga. La fuerza combinada resultante, conocida co mo gravedad es entonces dada por:

f = fg + fc = - K JB -p dB + q> r" .

¡Nótese la diferencia entre r" y p !

Estas son las dos fuerzas que experimentamos actuando sobre un objeto estacionario sobre la superficie terrestre.

Nótese que s i:

el objeto es atraído hacia el cuerpo, y si:

fg< fc

el objeto es empujado (rechazado) del cuerpo.

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2.6.- NOCION DE POTENCIAL.

El campo de fuerza es una representación muy útil de un

comportamiento físico. Sin embargo, la necesidad de conocer tres núme ros reales (coordenadas del vector fuerza) para cada punto en el espacio es un inconveniente. Por esta razón es mejor adoptar una herra- - mienta más simple para describir el marco físico. Una de las más sim- ples herramientas es el potenc i a 1.

La relación del potencial (campo escalar) al campo de fuer za (campo vectorial) se parece mucho a la relación de la función primj_ ti va a la función original en el análisis de la función real. Allí la función primitiva F (si existe) se relaciona con la función original a través de:

F(X) = f f (X) dX , dFtX) = f (X ) • J dX

Aquí el porencial V (si existe) se relaciona con la fuerza f por ecuaciones similares:

V(r) = Jf (r) dr; V (VIr)) = Grad V(r) - f (r ),

donde el operador V (o grad) es el equivalente vectorial del operador en el análisis ordinario.

Hablamos de V como del potenc i a 1 de f y de f como el gra d i en te de V .

Nótese que aquí "r* significa el radio vector (vector de po sición) del lugar donde estamos calculando el potencial (fuerza). En E3 T es simplemente (X, Y, Z) o como se escribe algunas veces:

r - X—- 4- Y—» + Z—» i j k

siendo i , j , k los vectores unitarios en los ejes coordenados.

Usualmente no es fácil integrar el campo vectorial para ob tener, siempre que exista, su potencial. Nos lleva a las ecuaciones - integrales, ya difíciles de por sí. Por lo tanto, usualmente tratamos evitar estas dificultades de alguna manera. Si el potencial existe es suficiente mostrar que su gradiente es el campo vectorial original. En otras palabras, si a un campo escalar le encontramos un gradiente que sea idéntico con el campo vectorial original habremos encon trado e1 potenc i a 1.

El potencial es la noción más importante usada en Geodesia Física.

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2.7.- POTENCIAL DE UN PUNTO "ATRAYENTE".

Podemos mostrar que el potencial de un punto atrayente de masa M está dado por:

víT) = k-!L . r

considerando nuevamente que M está en el centro del sistema de coordenadas .

Tenemos :

9ivi = +¿v__ = ¿v_ ,ar_ +¿j_ a¡_ áx ¡ 3y j dz k dr dx , áv j dz k

- —— V (r) . dr

r = (X2-i-Y2 +Z2/2 — — - —■— r"1 ■ 2 X = X r"'

dx 2

ÍL_= Y.-i. ÍL_ = z. r-i .

áy dz

Esto es:

V (r) = r1 •7*

Por otra parte:

- —KM r2 • (3 r

De aquí que:

Viv) = -K — -r r3

la cual es la expresión para la gravitación de una masa M como se mués t ra en 2.3.

Entonces:

V(v)=T .

La que es condición suficiente y necesaria para que V sea el potencial de f .

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¡Nótese el signo de V!

2.8.- POTENCIAL DE UN CUERPO "ATRAYENTE".

Similar a 2.7 se muestra que:

V( r ) = K i — dB, ______ JB £

donde P - r - r1 ; siendo r' el radio vector del elemento dM = j-dB es el potencial de un cuerpo atrayente B.

Tenemos:

V (V) = V ( K y • dB ) = K f cr-V {

B B dB.

Puesto que:

Xr+Yr+Z1T' r'=fT+77T+t I ' J tenemos que:

P = (X-( ) I +IY-17) j +(Z-£)k

= (X-£) + (Y —17 ) + (Z-£)

donde:

Por lo tanto:

P dp dx dv dz

Api

dP

~p\Ajl zp óp = 2 (X-£) dx

dP

dx = (X-f ) /5' ;

<3 Y ¿z

Finalmente obtenemos:

y c í el icamente

z-G) f' .

Vi-L ) p

pz pl X - f )—"+ (Y-77)—- + (Z- £ ) k J - - P

P'

vw'--kÍb -jiP dB 1 '•

(Ver 2.4)

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La que es condición necesaria y suficiente para que V sea el potencial de f .

2.9.- POTENCIAL DE LA GRAVEDAD DE UN CUERPO EN ROTACION.

La fuerza de la gravedad f está dada por la suma de la fuerza gravitacional fg con la fuerza centrífuga fe. Puesto que para un par de escalares A, B cualesquiera y es un operador lineal,

V (A+B)=V (A) -t-V(B),

podemos tratar de encontrar el potencial de la gravedad en términos de la suma de dos potenciales: el correspondiente a la gravitación y el - de la fuerza centrífuga.

Llamando V al primero y W al segundo, podemos escribir:

V(V + W) = V(V) +- V(W) =~^+fc

Ya conocemos V con 2.8 por lo que el problema se resuelve encontrando W.

Puede demostrarse que:

W ( r ) = -j- r" of2

(note que r" = r" t r ) )

es el potencial de la fuerza centrífuga. r" es la proyección de r en el plano perpendicular al eje de rotación. Tenemos:

r"= r cos a .

Poniendo por conveniencia, el eje Z, coincidente con el eje de rotación (lo que no está en detrimento de la generalidad del tratamiento), obtenemos:

~7= x~p+Y~p + zT

r" - X~*+ + üT 1 J

Y V( W} = w2 V (r'') ;

V(r- ) = 2r" (-4"-TV-T)2 Z~7' . r r"

Por lo que:

V(W) = td2r'' -

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Por lo tanto, el potencial de la gravedad de un cuerpo en rotac ión B es:

U = V + W = K f — dB + — ui2 r- Ja fB P

De un vistazo a esta última fórmula nos convence que ej - primer término decrece con f a 1 alejarnos de la superficie de B, mien--

tras que el segundo término aumenta con r". Por lo tanto, debe exis-- t i r un 1uga r donde:

fe = - fg

(Este es actualmente el lugar donde son colocados los satélites esta- cionarios, en el caso de la tierra).

. Note que la integral ha ganado una singularidad en el pun- to r'' si éste está dentro o por encima de la superficie del cuerpo B. Entonces el del mismo punto se convierte en cero y la función inte- grada se va hasta el infinito. También podemos notar el mismo fenóme- no con la fuerza gravi tacional.

Esta es una propiedad muy desafortunada.

Mostraremos ahora que el problema de encontrar el poten- - cial apropiado puede transformarse a un problema de valor en la fronte ra, en derivadas parciales.

2.10.- EL POTENCIAL COMO SOLUCION A LA ECUACION DE POISSON 0 A LA ECUACION DE LAPLACE.

Como sabemos de Análisis Vectorial, la "primera derivada" de un campo vectorial llamada también d i ve rqenc i a de T% se expresa como:

V (F) = div F - lim

Vo—•,

ff s Fn'ds

Vo

Donde Vo es el volumen del espacio abarcado por la superf_[ cié S y Fn es la magnitud del vector Fn que a su vez es la proyección de F sobre la normal a S.

La integración ^ es obtenida sobre toda la superficie cerra da S.

\ El término:

Fn . ds

d s

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a menudo es llamado el flujo de? a través de dS. S i en 7" el VOH es positivo, hablamos de una fuente en T; si es negativo se le llama - ant i-fuente (hundimiento).

Para simplificar tomaremos a S como siendo la de una esfera (puede demostrarse que la forma de S es irrelevante, y en el límite obtenemos siempre la misma respuesta) y preguntarnos /.Cuál será la d i - verqencia de un campo gray i taciona1?

Obviamente, la masa abarcada por S será:

M = <r.Vo

siendo o" la densidad de la masa dentro de S. Esta masa radiará (o sorberá según el caso) la fuerza gravitacional:

r,r r3

cuando, por simplicidad, localizamos a S en el centro del sistema de - coordenadas.

Obviamente, esta fuerza será normal a S en cualquier lugar, de modo que :

Fn = - cr • K r2

Por lo tanto:

jfs F" " = -

KC^VO 4 7T f2 = - 4 K7TCr Vo

r2

V(F) = lim ( - 4 KircrVo) = - 4K7rcr Vo—o

(ant i-fuente)

Esta ecuación de divergencia es válida para todos ios puntos en el espacio. Podemos notar que V ("^) depende del valor de

Si tomamos un cuerpo físico B con densidad cr en un espa-

cio con densidad cero, obtenemos:

477"Ko"; r € B excepto en la superficie de B .

V( F ( r )) = - 47tK -y-= - ZtrKcr; T en la superficie de B

^^^0; vy B

Echemos ahora un vistazo sobre V(F) mismo. Podemos escri b i r:

VtF) = —-4- z = V-F (producto escalar) dx oy Oz

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(producto escalar)

Pero hemos aprendido que:

"f"= V (V)

siendo V el potencial de F. De aquí que:

V(7)=V-(V(v))-- =A(V) dx ay

2 dz2

Aqu í :

V'Vl ) =V2l ) = Al )

es un operador diferencial de segundo orden. Es conocido como el operador de Laplace (Laplaceano).

Poniendo estos dos resultados juntos concluirnos con las ecuaciones diferenciales parciales para V:

- 47TKO"; en B •

A(V) = <CT — 277"Kcr ; sobre la superficie de 8 •

0 ; fuera de B .

Las dos primeras son conocidas como ecuaciones de Poisson, teniendo la fórmula general:

A (V) = h {r ) t 0,

siendo h una función conocida.

La última ecuac ión:

A(V) = 0

es conocida como la ecuación de Laplace. Estas son las dos ecuaciones diferenciales fundamentales de la teoría del potencial.

Hemos aprendido ya que el potencial de gravitación en o so bre la superficie de un cuerpo físico debe satisfacer la ecuación de - Poisson. La ecuación de Laplace es válida fuera del cuerpo.

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Veamos ahora qué ecuación diferencial es válida para el po tencial de la fuerza centrífuga. Colocando el eje Z sobre el eje de - rotación del cuerpo podemos escribir:

r"2= x2 + Y2 .

Por otra parte :

Aw = Al r"2w2)= '/2 w2 Ar"2

Pe ro

Ar"2=—(X2 + Y2) -f- (X2+Y2) + (X2 + Y2)

¿X2 dY2 4z2

= 2 4-2 + 0

= 4 •

Concluimos que puesto que:

2 Ar" =4

en este particular Sistema de coordenadas, también vale 4 en cualquier sistema de coordenadas que se tenga y por lo tanto tenemos:

A cu = 2w2

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Note que nuevamente A es un operador lineal de modo que:

A(A + B)= A(A) + AlB); A(kA)=k-A(A),

para cualquier par de funciones A, B y una constante k.

Debemos notar que el potencial gravitacional externo del - cuerpo atrayente satisface la ecuación de Laplace. El potencial debido a la gravedad no: este potencial tiene que satisfacer la siguiente ecuación de Poisson:

AlV + W ) = All z -4t7"Kct 4- 2w^

donde solo a es función de posición.

En todo el espacio U tiene segundas derivadas discontinuas solamente en los puntos (superficies) donde cr ( r) es discontinua: so bre la superficie del cuerpo, o dentro de él si tiene densidad discontinua (capas, áreas, puntos).

U mismo es continuo a través de todo el espacio.

2.11.- FUNCIONES ARMONICAS Y SUS PROPIEDADES.

Las funciones que en un área A satisfacen la ecuación de - Laplace son llamadas Armónicas en A. Por ejemplo, la gravitación de - un cuerpo atrayente es una función armónica fuera del cuerpo.

tes Cualquier función armónica tiene las propiedades si guien--

i). Tienen los valores máximos v min irnos en el limite - de cualquier área cerrada:

B c= A,

los valores dentro de B serán menores que el máximo y mayores que el mínimo,

i i). Es analitica en todos los puntos de A: tiene deriva das de cualquier orden.

i i i). Se presta a la inversión esférica. Esto significa que sí V( r) es armónico dentro (o fuera) de una es fera unitaria, entonces:

V(R);donde R=—r- r ' r2

es armónico fue ra (dentro) de la misma esfera a me- dida que la esfera se transforma a sí misma (es decir, hablamos de una esfera unitaria con centro en

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el origen del sistema de coordenadas). Esta propie dad se generaliza para cualquier:

B A,

con la consecuencia de que B también se invierte.

iv). El valor de V (armónico dentro de una esfera), calculado en el centro de la esfera, es igual a la media de todos los valores sobre la esfera. De aquí que si la esfera está centrada en el origen y tiene un radio R, tenemos:

VIO)- —f V ( r ) ds - 477-R2 Hs

v). La propiedad más importante ha sido establecida por el matemático Francés Dirichlet, y dice que los valores de una función armónica sob re una superficie de límite cerrado determina una y solamente una fun ción armónica dentro del límite. Esto, consecuente mente, es conocido como el principio de Dirichlet. Se ha demostrado que la correspondiente función ar- mónica existe siempre si la frontera es suficiente- mente suave, es decir, que tenga un plano tangente de variación continua, y si la función armónica tiende a desaparecer en el infinito (cuando el área se considera infinita).

Establezcamos la prueba del principio de Dirichlet, lo que es lo más fácil de hacer: sea B un área finita con frontera S. Supon- gamos que existen dos funciones armónicas V, W, que pueden tener los - mismos valores sobre la frontera S. De aquí que:

U = V - W ,

también función armónica debido a la lineal idad del operador , debe tener un valor en la frontera igual a cero. Pero, de acuerdo a la pri mera propiedad de las funciones armónicas, ambos, máximo y mínimo, existen sobre la frontera. Puesto que para u ambas son cero, U debe ser cero dentro de B. De aquí que:

V - W = 0 , V=W,

lo que concluye la prueba.

Mencionamos aquí que:

£,7) = -!-— ( 4tt r )

es conocida como la función ^rmónica fundamental o solución fundamental de la ecuación de Laplace. Más tarde se mostrará su uso.

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2.12.- PROBLEMAS DE VALOR EN LA FRONTERA.

El principio de Dirichlet asegura que es posible resolver

la ecuación de Laplace si conocemos los valores de la función buscada sobre la frontera de una cierta área. El problema de encontrar la fun ción armónica que pueda satisfacer ciertas condiciones en la frontera es llamado un problema de valor en la frontera. Existen tres tipos de estos problemas el primero, debido a Dirichlet, y con cuyo nombre se - conoce, es expresado en el principio de Dirichlet. Se le puede definir como: dados un área de interés y los valores sobre las fronteras - del área de la función armónica V, buscada, encontrar la función armó- nica V dentro del área. Esto significa que se tiene que resolver la - ecuación de Laplace AV =0 conociendo el valor

V( r ) , r e s

donde S es la superficie de frontera cerrada del área de interés. E1 - problema tiene solución Si y solamente si las condiciones del principio de Dirichlet son satisfechas.

El segundo problema de valor en la frontera se debe a Newman; difiere del primero en que en vez de conocer V( r ) conocemos - sobre 1 a frontera a :

ív tT), Tes dn

la derivada de la función a través de la normal n a la frontera S. Pa ra que el segundo problema tenga solución en un área dada es necesario que :

If ^ ■ d s z 0 ^ ¿n

Esta condición surge inmediatamente de la condición de que V es armónica dentro del área, ya que:

d i v V V = 0

Esta, junto con las condiciones del principio de Dirichlet son suficientes para asegurar que el problema de Newman tiene solu- ción.

Hablamos de tercer o mixto problema de valor en la frontera cuando sobre la superficie S se da una combinación lineal de los prime ros dos:

f (T) = c, V (Ti + c2^ dn

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Note que junto a las consideraciones del principio de Dirichlet también debe satisfacerse:

Mr) ds r C( <jjfs V ( r ) ds

^ ('r

dn necesariamente.' (C ^ ^r ^•ds- O ) •

2.13,- ALGUNOS METODOS PARA RESOLVER PROBLEMAS DE VALOR EN LA FRONTERA.

Existen muchas formas para resolver problemas de valor en la frontera. Por nombrar algunas, podemos usar p. ej. el cálculo ope- racional (transformaciones de Laplace, de Fourier y otras), métodos de análisis funcional, transición a ecuaciones integrales, método de Green, método de Furier o métodos numéricos. Todos están interrelacio nados de una manera o de otra y adentrarse con ellos tomaría una gran cantidad de tiempo. Solo tocaremos brevemente el método de Green ded_[ cándole mayor tiempo al método de Furier. que es el más adecuado y por lo tanto más popular en Geodesia Física.

El método de Green, como se aplica al problema de

Dirichlet para el interior de un área A, consta de dos etapas:

i). Primero, tratamos de encontrar la función de Green - en la forma:

G (r',.r ) - £ ( r ) +- V { r', r )

donde r1, r € A, s es la solución fundamental de - la ecuación de Laplace (Ver 2.11), y V, armónico en A, es función de ~T' para cualquier ~r" fija. Además, G sobre la frontera debe ser iqual con cero, es decir, V = -G . Por lo tanto, podemos ver que G es solamente función de la forma de A. Gene ra1men te es muy difícil encontrar G para una A específica.

¡i). Una vez que la función de Green es conocida, la solu ción al problema interno de Dirichlet se da explíci- tamente por:

V ( r' ) - - $s 4^— Vs ( r ) ds an

¿G

donde dn es el gradiente saliente de G sobre la frontera S y Vs es el valor de frontera de V.

Note que en la integración r es solo una variable

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aux i 1iar.

Para el problema externo tenemos que usar la inversión es- férica. También puede usarse el método de Green en una forma 1 igera-- mente diferente para resolver el problema del valor en la frontera para la ecuación de Poisson.

El caso especial de la solución de Green para la esfera de

radio R es conocido como la integral de Poisson.

V|-)= RU--R2) Ü V(R,e, X) ds

47t | r2 _ 2Rrcosij/í^2

donde ip , es el ángulo esférico entre r' y r .

El método Furier se basa en un principio enteramente diferente. Busca la solución de V (X, Y, Z) en términos del producto de - tres funciones independientes:

V (X,Y,Z) = Xlx) Yly) Z(z) ,

o, como algunas veces le llamamos, se busca la separación de variables. El desarrollo nos lleva a tres ecuaciones diferenciales ordinarias de segundo orden separadas:

1.- Suponemos primero que:

V (X,Y,Z) = XW) <f> (y,z) •

Por lo tanto:

Av = Aix,$)= + x ( ^ + d2<£> )=q

dx2 dy2 dz2

y

dx2 dy2 dz2

2.- Aun cuando el lado izquierdo de la ecuación anterior es solo función de x mientras que el otro lado es - función de y , z, ambos lados deben ser constantes (obviamente no pueden variar porque si lo hicieran, -

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variarían independientemente y la ecuación no podría

ser sat isfecha).

Por lo tanto:

= c + .<•

di2 dy2 di1

o, como usua1 mente las escribimos:

X"-C X = 0 , <Pyy +- +• C <£ = 0

Así, hemos separado ya la primera variable X,

3.- Si ponemos:

(y,z) - Y(y) Z(z)

entonces la segunda ecuación se convierte en

ZY* + YZ" + C, YZ=0

Aplicando el mismo argumento que en (2) obtenemos:

Y - C2 Y= 0 , Z"+(C, + C2) Z = 0

La ecuación diferencial parcial original es entonces dividida en 3 ecuaciones diferenciales ordinarias. Cualquier solución de estas tres ecuaciones (para cua lesquiera valores de C¡ , Cg) que satisfaga las cond_[

ciones en la frontera, es a la vez la solución del -- problema del valor en la frontera.

2.14.- AUTOVALORES Y AUTOFUNCIONES.

Las tres ecuaciones diferenciales ordinarias con que ter- minamos con el método de Furier pueden o no tener solución para valores arbitrarios de las constantes C¡ , Cg sobre la frontera prescrita. De hechqcasi todas las ecuaciones diferenciales ordinarias con que teñe

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mos que tratar, son del tipo de S turm-Lu i y i 1 le (caso especial de ecuaciones diferenciales con propia-adjunta), que solo tienen solución para algunos valores particulares de las constantes. Estos valores son conocidos como autova1 ores de la ecuación en cuestión.

La ecuación de Sturm-Luivi 1 le usualmente es escrita como:

(KY') — qy 4 \ p Y - O

donde Y es la función desconocida de X; K, P , son algunas funciones positivas de X conocidas; q es una función no-negativa de X conocida; X es un número real. Además, P , conocida como la función - de peso, se requiere que este previamente definida. Puede demostrarse que tal ecuación tiene solución para:

X e a, b

para un infinidad de valores de X (autovalores), todos ellos no-nega ti vos. Cada valor particular de X , digamos X¿ da una y solamente una solución particular Yi de la ecuación. Estas soluciones (funciones) son llamadas autofunciones de la ecuación. Existe por lo tanto, una infinidad de diferentes autofunciones para cualquier ecuación de - Sturm-Lu iv i 1 le. Puede, probarse que ellas crean un sistema ortogonal - de funciones sobre a, b con peso P . Por lo tanto, tenemos:

■b

a

donde :

/ Y. IX) Yj (X) p(X) dx = Ni Si * n

r 2 Ni = J Yi (X) p{X) dx

a

es conocida como la norma de Y¡

Sij es la S de Kronecker.

"I Ejemplo.- Para K(X) = 1 ; q(X) = 0 y P (X) = 1 sobre - a, bj , la ecuación de Sturm-Lu iv i 1 le representa la ecuación del mo-

vimiento armónico. Para sus autovalores obtenemos:

. 4 tr 2 o X, = i , i = O 1,2 . . .

(b-a )2

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Sus autofune i ones son:

cos t Xi X ) , sen (./Ai X ), ¡ = 0, l,2

Como sabemos, cualquier conbinación lineal de las soluciones particulares que satisfaga las condiciones en la frontera es la so lución de nuestro problema de valor en la frontera (unidimensional). - Ya que estaremos trabajando extensamente con autof une i ones, mostraremos que este concepto tiene importancia básica en Geodesia Física.

Nótese que las tres ecuaciones diferenciales ordinarias de rivadas en 2.13 son del tipo de Sturm-Luivi 1 le.

Hasta aquí hemos estado trabajando con coordenadas Eucli-- dianas comunes X, Y, Z. Sin embargo, ellas no son las más apropiadas para los propósitos geodésicos cuando se trata con el cuerpo terres- - tre, el cual es aproximadamente esférico o elipsoidal. De aquí que en estos casos sea más fácil manejar las coordenadas esféricas o elipsoidales. El cambio a estos sistemas será el tema de los capítulos si- - gu ientes.

2.15.- EL LAPLACEANO EN COORDENADAS CURVILINEAS. LOS CDEFICIENC- IES DE LAME.

Coordenadas Curvilíneas: Decimos que hemos definido un sistema de coordenadas curvilíneas ( q¡ Qg ) en E3 si para cada punto (X, Y, Z) tenemos:

(qi ' V V — 1 X,Y,Z)

es decir, si podemos expresar cada q como una función de (X, Y, Z) y viceversa, todas las X, Y, Z como funciones de q. . Por lo tanto, se requiere la relación uno a uno entre ellos. 1

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LINEAS DE COORDENADAS EN UN SISTEMA CURVILINEO

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Ej emp 1 os :

1.- Coordenadas Esféricas.

Z

r = (X2 + Y2 iZ2)^

Q- Arc tg (X¿ +Y2)!/2

X- A re tg ( —— ) . X

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2.- Coordenadas Elipsoidales.

Este sistema requiere que la distancia focal del sistema - sea dado de antemano.

X = (u2 + E2) 2 sen 0 cos X

Y - ( u2 + E2 ) *2 sen Q sen X '

Z = u eos 9 •

u — - u2 (X2 4-Y2 + Z2 - E2 ) - Z2 E - 0 •

X = Arc tg (Y/X ) ■

0 - Arc cos (Z/u ) .

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Estos sistemas son ortogonales local mente.

Coeficientes de Lamé: Las funciones Hi de q , definidas como:

q, , q.

Hi = lim

Aqi—0

M, M + AMI

Aqi , ' = 1,2,3

donde M, M + es la longitud de la línea qi que conecta los dos puntos:

M = M(q,q ,q) , M f Am : M(q + Aq , q ,q ) 12 3 I I 12 3

M + AM2= M ( q( ,q2Aq2, q^)

cúficamente: M + AMj = M ( q, , q.,, ,3, A, )

Mlq, + Aq, , q2, q3)

,q2, Aq2 , q3 )

M(q, ,q2,q3, Aq3)

son conocidas como Coef icien-- tes de Lamé.

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Ej emp1 o;

Para coordenadas esféricas, estos son: M(r0X), M (r + Ar, <9, X) Ar

- Iim Hr = Iim

Ar—0 ^r

H = hm M(rg\) Mlr.g.Ag.X)

9 A0-o AG

H\= iim M(r9X), M (r,Q,X,+ AX )

AX—o AX

HX= r sen 9 .

Ar—0

= Iim

Ar

■A0

A9—-o A0

r. sen AX = Iim

AX— o AX

» Y

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Problema: Derive los Coeficientes de Lamé para coordenadas e 1 ipsoidales.

Nótese que para el sistema X, Y, Z, todos los Hi son igua les con 1.

Es evidente que usando los coeficientes de Lamé podemos ex presar el incremento diferencial dSi a lo largo de las líneas de coordenadas individuales q¡ como:

dSi = M M + dM¡ = Hi dq¡

Las derivadas de cualquier campo escalar a lo largo de estas líneas están dadas por:

(3f _ I di

¿Si Hi <3qi

de modo que para el gradiente de f en coordenadas curvilíneas podemos escrib i r:

Vf = Í -L ^-7, - , = i Hi <3qi

Similarmente, tomando el volumen diferencial:

dV = 7T dSi = 77" Hi dq¡ , i í

podemos derivar la expresión para la divergencia de un campo vectorial:

9 7=(, Hi ) £ a"' ' \ i dqí

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Cons ¡derando que :

Af = V Vf,

obtenemos para el Laplaceano:

Af:(TT H1) £ l —tu! 177" H¡) H:1 — )) = 1 ¡ i dq¡ 1 i 1 ' áq,

MTT H'I Z( —hr2—éí ) ¡ 1 i a,, j 1 1 aq. i M

Ejemplo:

Se obtendrá el Laplaceano en coordenadas esféricas simplemente sustituyendo Hi obtenidos previamente:

a, I ,d r2sen 9 ¿)f 3 , r^sen 9 di , , d , r2sen9 df

r'jr1 í ir ¿i w)+ ar"

t—ad f L o dZf ( 2r sen 9 1- r2sen0 . „ 4- cos9 + sen 9 2sen0 dr d 9 09%

+-v- -4—' sen 0 ¿X

+ , . .

dr ¿)r2 r2 r2 Ó92- r2 sen2 ^ (3\2

¿(.-L-Ü_+ á1)' + c°'e *_ + fjL + ' . Él r

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Problema: Derive el Laplaceano en coordenadas el ipsoida-- les.

2.16.- EL METODO DE FURIER APLICADO AL LAPLACEANO EN COORDENADAS ESFERICAS.

Tomando el Laplaceano en coordenadas esféricas tal como se derivó en 2.15 busquemos la solución de f en la forma siguiente:

f U,0, X) = R (r) Y (0,\) .

Ob tenemos:

df dR , d2f „ di (3y d2f 32y Y - R Y , —— = R Y, = R , — = R

dr dr ' dr2 ' ¿0 ¿0 ' ¿0% ¿0%

a2v

d\ d\ dX2 áX2

Sustituyendo estos valores en la ecuación de Laplace obtenemos :

a,í^~R'y+R"y+ stt-r-W + -^rW^I¿rB^:0

Multiplicando esta ecuación por r^/(RY) nos da:

¿Y (32 Y

Af-2r -5L +r2_5l +^0^.+115 + ! = o R R Y Y sen^ 0 Y

Por lo tanto:

— (2rR'+r2R") = Icol8 + +—' ^ Y ) = c = Constante

R Y de as2 sen2e ax2

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y así hemos separado la primera variable r en la ecuación:

r2 R" + 2r R' - C R = O (1 )

Las dos variables restantes Q , \ , deben satsifacer - la ecuación:

colon 0 — +T~~ + sen2 ^ ^ + C( Y = 0 [2

Busquemos de nuevo la solución de (2) en términos de un producto de dos funciones independientes de T y L:

Y(9,\) 'T {6) L (X)

Tenemos:

aY dT L = T'L. ^ = T"L, de de ' de2

4^ = TL', ^ Y - TL"

Las que son sustituidas en (2) para obtener:

Cotan 6 T'L + T^L + sen2 6 TL" + C. TL = 0 .

Multiplicando esta ecuación por sen2 0/TL obtenemos

sen 6 cos 6 j'/T + sen2 6 T "/ T + L"7 L + C. sen2 6-0

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por lo tanto:

-— ( sen 2# T" ■¥ sen# eos 9 j') + C. sen2 Q - 7— = const = C, T 1 L

y podemos concluir con:

sen28 T" + sen 9 cos 9t' + (C( sen2# - C ) T = 0 (2')

(2 1)

L" + L C2= 0 12") •

(2")

Cualquier función de r, 6, X, que puede satisfacer las tres ecuaciones (i, 2', 2") y satisfacer también las condiciones - en la frontera es la solución de nuestro problema de valor en la frontera (formulado en coordenadas esféricas).

2.17.- AUTOFUN C i ONES DEL LAPLACEANO EN COORDENADAS ESFERICAS. ARMONICAS ESFERICAS.

Para ver para cuales valores de C¡ y Cg las tres ecuacio-

nes tienen solución, tomaremos primero la última ecuación. La ecua- - ción (2") es obviamente la ecuación del movimiento armónico. Por lo - tanto, de acuerdo con 2.14 las autofune iones de (2") son:

cos (X yMm ) , sen ( X ^Mm ) , m =0,1,2, •

El intervalo que define a X es |o, 27Tj o tt, 7T

Por lo tanto, los autovalores son:

t C„ =) Mm = m2 = m2 m= 0,1,2, ¿ 477-2

y las autofune iones pueden ahora escribirse como:

cos mX, sen m X, m= 0,1,2,.. ,

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Por lo tanto, cualquier combinación lineal de estas funcio nes trigonométricas satisface la ecuación (2").

La ecuación (21) es un poco más difícil de tratar. Por ejemplo, puede resolverse por sustitución:

t z eos 9

Obtenemos as i:

Q-- arc cos t , t e "1,1

Más aún, obtenemos:

T ( 9 ) - T(arc cost) , ^ = d9 dt d 9

j"= dt | dT d dt )

d9 dt d 9 d 6 dt d9 dt d 6 d 9

T"= ^T () + dT d2t

dt2 d 9 dt d92

Llamando t' a , y t" dt ''

y estableciendo que:

dt n d2\ n

= *"8, _ = -cose,

Obtenemos :

d T

° dt2

sen2 9 { T^' sen2 9 - t' cos 9 ) -I- sen 9 cas9 j' {- sen 9 ) 4- (C( sen2 9 - C^) T = 0

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Esto se reduce a:

sen- 2sen2 9 cos 9 t'+ICj sen2 9 - CT = 0

2 y Sustituyendo t porcos# y (l-t ) 2 por sen 9

Obtenemos:

ll-t2)2 T* -2t(l-t2) T' + ( C j ( I - t2 ) -C2)J- 0

o, como usualmente se escribe:

( I - I2) T" — 2t T' + l C ^ ) T =0 ft * ' (l-t2)

1/ Esta ecuación es conocida como ecuación de Legend re de orden Cg . Tiene sentido tratar de encontrar soluciones solamente para los valores de para los que (2") tiene siempre solución, es decir, para :

C2 - m2 .

De aquí que:

2 -12)t"-2tr + (c- m_ ) T = 0 •

tt t 1 (|-,2)

Puede verse que la ecuación de Legendre, también es del t i_ po de las de Sturm=Luivi lie, particularmente cuando escribimos:

U l-t2) i')'. - m T 4-C,T= 0

' ' (i-t2)

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Obv i amerite aqu í :

2 K = (l-t2) , q = , p- I , t€(-1,1

lo que satisface los requerimientos de la ecuación de S.-L,

Puede demostrarse que sus autovalores son:

tC| = )Mn=n(n-H),n>m

con las correspondientes autofunciones:

m / . m p z ——p it) nm m n

donde:

'n ni 2n dín P lt)= L- 4-

Las funciones Pnm son conocidas como funciones asociadas - de Legend re (polinomia1 es) de orden "nM y grado "m", entanto que Pn se conocen como polinomios de Legendre (funciones). Estos últimos solo - son el caso especial de las primeras para el grado cero.

Cualquier combinación lineal de estas funciones asociadas de Legend re es solución a la ecuación (21). Por lo tanto, cualquier combinación lineal de las funciones trigonométricas con las funciones asociadas es una solución a la ecuación (2) de (2.16). Podemos escribir:

CO r 1

Y10,X)=Z (Anmcos m\+ Bnmsen mX} £m(cos0)J nri=0 n>m

donde Anm, Bnm son constantes arbitrarias. La expresión anterior tam- bién puede escribirse en la forma siguiente:

00 00 n 00 n

Yn=I t Ynm= I t

n=0 n=0 m*0 n= 0 m= 0

^nm ^nm

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Las funciones Yn, Ynm, Cnm, Snm, son todas llamadas a rmón i cas esféricas (de superficie).

No es difícil ver para una esfera de radio r = a (tenemos R(a) = constante = K), tenemos:

00 00 ^ ^

f(a,0, X)=K X Yn = X Yn , Yn = KYn

n=0 n= 0

De aquí que la solución de la ecuación de Laplace sobre cualquier esfera está dada por una combinación lineal de armónicas es- féricas. Por lo tanto, las armónicas esféricas son autofune iones del Laplaceano sobre cualquier esfera.

El estudio de las funciones asociadas de Legendre, así co-

mo de las funciones de Legendre de segunda clase se deja al lector in- teresado. Se le recomienda: W. A. Heiskanen & H. Moritz: Phys i cal Geodesy.

2.18.- ORTOGONAL I DAD DE LAS ARMONICAS ESFERICAS Y DESARROLLOS EN ARMONICAS ESFERICAS.

Hemos visto en 2.14 que cualquier par de autofune iones con peso p de una ecuación de Sturm-Lu i v i 1 le es ortogonal sobre el inte_r valo apropiado. Por lo tanto, las funciones cos m X , senm X , son ortogonales sobre t-77", tt] con peso 1 . Tenemos:

f <p\ (X) (p¡ (X) dX - Ni Si -77

para cuando sea seno o coseno^ Y:

.27r , i=0

7T , i * 0 • Ni =,

La integral es, por supuesto, siempre cero si cp, , <£j no son ambos indistintamente coseno o seno.

Por otra parte, las funciones Pnm son ortogonales sobre 110,7t ] para 8 con peso 1 ( 1 , i ) para t) . Nuevamente

puede demostrarse que:

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/ Pnm It) Pkm (t)dt - / Pnm ( cos Q) Pkm (cos0) sen 9 dd J-\ J0

= Mnm Snk,

donde :

2 (n+m) 1 Mnm :

2 n + l (n-nv

Por lo tanto, cualquier par de funciones:

c£nm [0,\) - cpm (X) Pnm (cosQ)

donde d> (X) sea eos mXo' sen mX.son ' m

ortogonales en el área:

A=(O<0<7r, - 7T < X<7T) •

Con peso igual a 1.

Tenemos:

r r77" r77" / 4> {9,\) é A6,\) d - ¡ / c£ (X) P (ees#] efi (X) P (cos<9 )►

JA nm rk£ A JQ J^rr. nm ^

sen# dXd0= f P (cos 8) P (cos0) sen 6 úQ • f ( X )<¿, (X) d Xr M 8 N 8 n ' Jq nm kjL Jjj. 'm ' Jl n nk nm m).

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4 7T (n + m)! & ¢.

^7s"kSm''m = 0

= M N 8 S - nm no nk mj. N.

-£r

Nótese que dividiendo las funciones (pnm entre

( M N .) =10 ) nm nrYi nm

el sistema se convierte en ortonormal.

Las fune i ones:

I

,#,nm,^X)=*nmt®'X,/t0nm'r

son ortonormales; es decir:

J. *nm dA = Snk Sm}

Dada cualquier función integrable h( Qf\ ), definida sobre A, podemos desarrollarla en series bidimensionales generalizadas de

Fourier:

00 n 00

M0, X) = I I cnm^nm = Z Yn . n = o m = o n = o

donde los coeficientes Cnm están dados por:

Cnm= °L fA hte'X)*nm |6'X) dA

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/ ff Se usa «'a en vez de a propósito porque A no tiene que ser cerrada en este desarrollo.

Nótese que una superficie esférica es una de tales áreas - A y que cualquier función definida sobre ella puede por lo tanto, desa rrollarse en series de armónicas esféricas sin ninguna conexión con la ecuación de Laplace. Si sucede que la función h sea el valor en la frontera de un problema de valor en la frontera, entonces:

R(r) h (0,X),

es la solución del problema fuera o dentro de la esfera para la cual h es conocida.

2.19,- SOLUCION COMPLETA DE LA ECUACION DE LAPLACE EN COORDENADAS ESFERICAS.

Hasta aquí hemos establecido que cualquier combinación lineal de las armónicas esféricas de superficie es una solución a la ecuación (2) de 2.16. Para completar la discusión del método de Fourier aplicado al Laplaceano en coordenadas esféricas, tenemos que - encontrar la solución de la ecuación (l) de 2.16.

Hemos aprendido que la ecuación (2) tiene solución solo pa ra:

Cj - ntn + I), n = m, m +1

Esto debe tenerse en mente cuando se resuelva la ecuación (1), 1 a que camb i a a:

r2 R" + 2r R'-n (n+l) R = 0

Esta se conoce como ecuación de Euler y puede resolverse - por la sustitución de:

r = exp (t)

Podemos escribir:

t - Ln r, R' = R' — = r' — = R' <?1

r < dr ? r *

R" = —-— (R'-^— )-R" ) +R' á 1 ^ rr dr t dr tt dr t dr2

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= R¡', ^2t + R¡ (--V ) = R" ¿?2f- r; <?2t

tf J. ft t

Por lo tanto la ecuación de Euler se convierte en:

^2( Rí't 'e 2t-R; ff-2t) + 2^ r; <?_f - n(n + f)R^O

o bien

+ R| - n (n +1) R = 0

Esta es una ecuación lineal de segundo orden cuya ecua- ción característica es:

a2 f a - n(n +1) ^ 0 ,

por lo que:

a|2 -.--L-±y -±-+nln+i)

=_r±ln+2 , = C - n-i

Hay entonces dos conjuntos de funciones que satisfacen la ecuación de Euler:

R(n' = <?"' = rn , Rl2)=/(^Dt.. r-ln + l) .

Sabemos ya que para que el problema de valor en la frontera tenga solución fuera de la esfera, es pre-requisi to la desaparición de la solución, en el infinito. Por lo tanto R no puede proporcionar- nos esta solución. Por otro lado R' no da una solución a un problema de valor en la frontera dentro de una esfera porque crece más allá de todos los límites para r o lo que contradice la primera y cuarta propiedades de las funciones armónicas (Ver 2.1l). Por lo tanto, R^ da la solución a la ecuación de Laplace dentro de la esfera y R(2) Ta da para fuera. n

Por supuesto que podemos tener una esfera para la que una función pudiera ser armónica fuera y dentro (en un área o punto determinado), ya que ninguna función puede ser armónica a través de todo el espacio, en cuyo caso se requiere que ambas soluciones (la interna y - la externa) tengan el mismo valor. Es evidente que ésto solo puede sjj ceder solo en una esfera con radio r = 1, la esfera unitaria. Uno pue de ver realmente que las dos soluciones a la ecuación de Laplace:

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00

= z Y_

n= o

00

yz n = o

-(n + 1) y

se prestan mutuamente a la inversión esférica (ver 2.11) si y solamente si una es la solución para dentro y la otra para fuera de la esfera unitaria.

En la práctica raras veces queremos resolver un problema - de valor en la frontera para una esfera unitaria. Si deseamos resolver el problema para una esfera de radio "a" todo lo que se debe hacer es escalar las soluciones de tal modo que las haga compatibles con la nueva esfera. Esto se hace fácilmente y podemos ver que:

00 00 , ...

=Ii-K v„,7e = z <+■><"% n=o n=o

son respectivamente las soluciones completas para el interior y exterior de la esfera de radio "a".

2.20.- SOLUCION COMPLETA DE LA ECUACION DE LAPLACE EN COORDENADAS ELIPSOIDALES.

La solución completa de la ecuación de Laplace en coordena das elipsoidales es análoga a la solución en coordenadas esféricas;

00 n

f. = Z X P (/x,E,b)P (cos 9) {A cos m X + B sen mX) i n = o m=o nm nm nm nm J

00 n r i X q t/i.,E,b) P (cos#) (A cosmX+B sen mX) e l nm nm nm nm J

n=o m=o

donde:

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Aquí, "¡ " es la unidad imaginaria; Q. son las funciones de Legendre de segunda clase y "b" es el semieje menor del elipsoide (definido por "b" y "E") para el que f¡ es la solución interna y fe - la externa. Este elipsoide juega el mismo papel que la esfera de ra-

dio "a", como se vió en 2.19.

Nótese la similitud de estructura de estas fórmulas con las esféricas. Si no fuera por los índices "m" por "p" y "q" sería posible escribirlas de la misma manera. Aquí, a causa de la asimetría de las coordenadas elipsoidales con respecto a 8 , las funciones "ra- diales" p, q, dependen del orden así como del grado de la armónica es- férica de superficie con la cual se combinan.

Un estudio más profundo de este tema se deja al lector (use Heiskanen & Moritz: Physical Geodesy).

Si 11 amamos:

n

m = o

Y nm i

podemos escr ib i r :

CO n CO n

f. = I I We " " I qnm Y mje ^ nm nm n - o m - o n- o m= o

2.21.- SOLUCION A LOS PROBLEMAS DE VALOR EN LA FRONTERA USANDO AR MONI CAS ESFERICAS.

Hemos demostrado en 2.18 que R.h es la solución al problema de Di rich let si h( Qy \ ) es el valor en la frontera sobre la su perficie esférica de radio "a". Por lo tanto la solución al problema esférico de Dirichlet puede escribirse como:

00 00

donde los coef¡cienes Anm, Bnm en las armónicas esféricas de superfi cié:

-I m=o

P (cos0)(A cosmX+B sen mX) nm nm nm

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:on determinadas por las integrales desarrolladas en 2.18

Anm" " ~ (n m) '1— $h(6\)P (eos#) cosmX .ds , 2-ir (n+m) I s nm

_ 2n + I (n-m)l JT nm * _ ~ JTs h Í^.X) (cos^) sen mX ds

27T (n +m) I JJ5 nm

(para m = o el término 2rr es sustituido por kjr).

Por lo tanto:

00

h (#, X) = £ Yn (#,X) n = o

Note que:

h(8, X) = f (a,0,X )

La integración se lleva a cabo sobre toda la esfera.

Para el problema esférico de Newman, cuando está dado e valor de la frontera:

h (#, X) = f (r,0, X) rz a <3r

Mr 8 X r- a

tratamos también de obtener una solución de la forma (para cuando sol nos interesa el exterior de la esfera de radio "a"):

00

^e" ^ n= o

donde Yn es la armónica esférica de "n-ésimo" grado determinada de la misma fórmula usada en el problema de Dirichlet (pero ahora h( 6,\ es la derivada de la función buscada respecto a la normal saliente de la esfera), R'n es igual a anRn donde an es una constante particu-

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- 43 ~

lar para cada "n".

Demostraremos que para

an = — cy{ n + I) .

realmente existe tal solución.

Para probarlo, consideremos la solución:

Yn', * <*>

la que diferenciándola con respecto a "r" obtenemos:

para: r-a

A, dr

= X r=a n=o

el cual es el valor en la frontera, otra vez. Por lo tanto si:

h ds= o

y el problema de Newman tiene solución, la solución supuesta (*) es la única. Usualmente se escribe como:

n -o

El problema esférico de valor en la frontera más importan-

te en geodesia física es el tercero o mixto. Hablamos de este tipo de problema cuando una función:

M0.X) =(C|f(r,0,X) + C2|í-(r,0,X) Or r-a

(C f(r,0,X) + C2 (r,0,X ) dr r-a

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se da sobre la esfera. Otra vez estamos interesados solo en el caso - externo y buscamos una solución de la forma:

00

<e=£ Rn yn* • e n=o

Consideramos aquí también:

GO

h " ^ Xi , Rn - /3n Rn n = o

Se puede demostrar que tal solución existe si tomamos

/3 = l/(C -C /a(n+l)) .

La prueba se deja al lector quien puede adoptar el mismo - método que para el problema de Newman. Aquí solo establecemos que:

f =S(fn+l n

e n-o ' C,-(C2/aXn+l>

resuelve el tercer tipo de problema de valor en la frontera para el ex terior de la esfera de radio "a".

Nótese que cualquier truncación de las series de armónicas esféricas proporciona una solución "prec'isa" de Af = o; es decir, es una función armónica. Desde este punto de vista no importa que tam- - bien aproximen las series truncadas el valor en la frontera. Por lo - tanto, cualquier serie truncada de armónicas esféricas representa siem pre un potenc i a 1 de alguna fuerza. El grado de aproximación del poteri cial actual depende del grado de aproximación del valor en la frontera. Esta es la ventaja principal de usar armónicas esféricas.

2.22.- CONEXION ENTRE LOS COEFICIENTES DE LAS ARMONICAS ESFERICAS Y EL CUERPO ATRAYENTE.

Supongamos que estamos interesados en resolver el problema de Dirichlet para el exterior de una esfera de radio "a" que encierra completamente a un cuerpo atrayente B. Nos interesa la relación, que exista entre los coeficientes de las armónicas esféricas y el cuerpo - atrayente, es decir ¿ podemos decir algo del cuerpo B cuando conocemos su potencial ?

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- A-5 ~

Para establecer esto tornemos el potencial del cuerpo atra- yen te ['Je r 2.8):

V ( r ) = k f dB

O O Aquí P= r - r' . Entonces P^ = r"- 2 r r' + r'^

El producto escalar r .7^ puede expresarse como: r.r1 eos ^ de modo que:

2 , , 2 — p - ( r — 2 r r'' eos y/ ■+• r' ) 2 -

» Y

(I - 2 eos ^ 4- ) 2

De la teoría de las funciones de Legendre se conoce que:

- I /

Y =U-2 Xf+f2/2

para :

<1. ¡t < 1 ,

es la función generatriz de los polinomios de Legendre los que pueden expresarse como:

CO

Y = y P (X) n = o

donde Pn son los polinomios de Legendre (de grado ceroj.

Se ve fácilmente que en nuestro caso r> r' por lo que:

r r < i , ¡cosy < i

con lo que podemos escribir:

P

CO

n = o

P (eos i//) ( —~ )

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Aquí cosí//' puede expresarse del triángulo esférico:

eos - eos 8 eos 8' + sen 8 sen 6' cos ( X- X)

Puede demostrarse por cálculos ted i osos que :

Uos*//) = fíleos#) £n(cosé?') +

P(r,£,X)

n o

+ 2l (n-m)l

(n+ m) I m -1 ;Pnm(co50) Smlcos0,)

(cos mX eos m X'+ sen mX sen mX)

Esta fórmula se conoce como la fórmula de descomposición - donde se nota una simetría completa en Q , 8' y X , X' . Susti- tuyendo este resultado en la expresión para \/p y este ¡A en la - fórmula para V, obtenemos:

Vt r) = K J cr/r Y, ( ~y~ )°

(n-m)I

CO

P (cos 8 ) P (eos 8 ) + -no no

n nr°

2 2, ( P (cosí?) P (eos8') (cosmX cos mX' m I ( n + m) I nm nm

+ sen m X sen m X')) ] d B

Aquí la integración se lleva sobre todo el cuerpo 8, es de cir, sobre todos los puntos con coordenadas r', Q' , X'. 1 • Podemos - escribir entonces:

— V (r) - X ( — ) I P kos8) lK cr/n P (eos#) d B +■ r L r, o VB no

r ^ P (eos 8) [ f 2 LllJ]lLL K<xr'n P (eos 8') eos m X m = o nm JQ ( n+m) I nm

cos mX' dB -+- f 2——Kerr' P (eos8') Q (n + m^i nm B í n + m) I

sen mX sen mX' dB )

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mos : Multiplicando y dividiendo cada término para an+l obtene--

V(r)= Z (-5-) {po(cos0) cr(-^-)nPo(cos£')dB + n = o

n

+ X P (eos 9) 2 K (n-m)l

f <T ( —— ) P (COS 6 ) a (n + m) I •'b a nm

cos m X cos mX' dB 4- • f a ( ——)' a (n +m) I •'B a

P (cos 9) sen mX sen mX' dB r . nm . J

L1 amando:

4- fB "^IT1 Pnn

o(coS0')dB=AnO,

"V" (TT^jlX cos mX'dB= Anm'

ín"T^r| fB a ( ~5~pnm(cos S'> ™ mX' dB =

podemos escribir:

CO

V(7)=Z (^)ntlYn, n = o

que es nuestra bien conocida fórmula para la solución exterior de Dirichlet (2.2l). Las ecuaciones (*) anteriores determinan las reía-- ciones entre los coeficientes Anm, Bnm y el cuerpo at rayente B. Nóte- se que la estructura del integrando es el producto de una función armó nica (dentro de la esfera r = a, - con coeficientes unitarios por armó nicas) con la densidad.

Podemos ver que las fórmulas (") no nos dan mucha informa- ción sobre el cuerpo B. Sin embargo, se demostrará en el siguiente pjá

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rrafo que de las armónicas de grados inferiores puede obtenerse alguna informac ión.

2.23.- INTERPRETACION FISICA DE LOS COEFICIENTES DE ARMONICAS DE GRADO INFERIOR.

Las fórmulas desarrolladas en 2.22 nos permiten interpretar físicamente los coeficientes para armónicas de grado inferior. Pa ra hacerlo tenemos que evaluar los términos:

Cnm= Pnm[cosd,) cos mX'. Snm= "nm sen mX'

Las funciones asociadas están dadas por

• 20 = ~2~ C0S^ 2

P = cos 6' , P =3 sen 6 cos 6 10 21

P = sen Q' , P =3 sen2#' II 22

mo sigue:

Por lo tanto, las funciones C^, S,!,m pueden escribirse co-

SxT1 soo = 0

c¿ =co$e' sío=0

Cjj = sen£?' cosX =sen0/senX

C20 S¿0

C^| = 3senÉ? cosQ cosX' =3 sen 0'cos#'sen X'

C22 = 3ser|2 8 COs2^ S22= 3 Sen2^' sen 2 •

Cambiando a coordenadas Euclidianas X, Y, Z usando la transformación de 2.15:

X = r' sen ¡9'cos X' , Y = r' sen 0'sen X' , Z-r'cos#

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ob te nemos :

coo = 1 soo=°

r'c,0;Z r'sio=0

''cn = * ''SN

'%0 = i X2 " "f y2+Z2 r?S¿0 = 0 2 ,2 ,

r' C2| =3X2 r' S2| = 3Y2 2 2 2 2

r'C¿2=3X -3Y r' S22=6XY

La comprobación de las fórmulas anteriores se deja como

ejercicio al lector.

Sustituyendo estos resultados en las expresiones {*) para Apm, Bnm, obtenemos:

A =— LcrdB B = 0 00 a JB 00

Aio = JecrZdB Bio = 0

An = ■Vi""8 8" ; ^ { Tí® a o o

AZ0= "^X°"l2z2~x2"Y2)dB ®2°=0

K r K " A = -A=- / CT XZ dB B - —~ í o- YZdB

a B 21 a 3 'B

A?? = —/ cr tX2 - Y2) dB B79 = ! crxy dB 4a^B 2= -

Por otro lado, las coordenadas del centro de gravedad de B están dadas por:

r I r . ; 4 = I a x dB , n ; a ydB , C, - cridb

M M y DC

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donde M es la masa de B.

S¡ además, introducimos la matriz del tensor de inercia de ¡ara el oriqen del sistema de coordenadas:

r r 22 / (YfZ^crdB,

Y=!v

r

-I

XYcrdB

XZo-dB,

-I XYcrdB, -[ B Ja

XZcrdB B

(X2+Z2)crdB, -/ YZcrdB

B

• f YZcrdB

B f (X2+Y2)crdB B

r A

D

■E

- D

B

-F

-E

-F

C

donde A, B, C, son los momentos principales de inercia en el origen del sistema de coordenadas y D, E, F, son los productos de inercia (mo men tos de divergencia), obtenemos:

00

10

A

A

K a

K

a2

K M

M

My

m£

20

A2¡

A

( A"i"B - C)

22 4 ÍB-A)

B = 0 00

8,0

B K

n a2 Mrj

B20Z 0

K B 22 2 a3

D

Por lo tanto, los coeficientes para las armónicas de grado inferior tienen un significado completamente definido. Este descubri- miento nos ayudará más adelante para obtener algún beneficio de las fórmulas usadas en Geodesia Física.

Solo anotaremos aqui que cualquiera que sea la forma que - pueda tener el cuerpo atrayente y cualquiera que sea la distribución -

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de su densidad, las primeras armónicas esféricas de su potencial de gravitación dependen solamente de sus momentos principales de inercia

y de sus productos de inercia.

2.24.- SUPERFICIES EQUIPOTENCIALES. LINEAS DE FUERZA.

Los lugares geométricos de igual potencial:

V (r ) = cons tante,

son llamados superficies equipotenciales del potencial V. Para valores diversos de la constante, obtenemos diferentes superficies equipotenciales. Las superficies equipotenciales del potencial de la gravedad (campo de la gravedad) son suaves debido a que el potencial es cori tinuo a través del espacio; analítico en el área donde es armónico y - solamente tiene derivadas de segundo orden discontinuas sobre las fron teras de validez de las ecuaciones de Laplace, Poisson. Las curvatu- ras varían suavemente de los lugares donde la densidad cambia súbita- mente, es decir, su curvatura cambia tan rápidamente como lo hace la - dens idad.

Las superficies equipotenciales nunca se cruzan unas con otras y se parecen mucho en su configuración a las capas de una cebo- lla.

Ej emp1 o:

Una sección transversal del potencial de la gravedad de una esfera rígida en rotación con distribución homogénea de densidad, tendría la forma siguiente:

Las 1 ineas de fuerza son las curvas a las que el gradiente del potencial, es decir, el campo de fuerza, es tangente en cualquier punto. Estas líneas son siempre perpendiculares a las superficies equipotenciales como se puede probar por un simple cálculo. Para la - diferencial total de potencial V obtenemos:

dv= dx + dy 4--^- dz =VVdr • <3x dy dz

Esta fórmula nos da la herramienta para determinar qué pa- sa con dV cuando apuntamos a 3a en varias direcciones. Es claro que - si da se encuentra en el plano tangente al equipotencial V = Constan--

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te, entonces dV debe ser cero, es decir, no hay incremento de poten- - ci_aj si nos movemos sobre la superficie equipotencial. Pero para que

AVt-da sea cero es necesario que AV sea perpendicular a da, es decir, AV debe coincidir con la normal a V = constante, lo que ya ha sido de

mostrado.

Podemos ver también que no existe fuerza actuando sobre la superficie equipotencial. Esta es la razón porqué un cuerpo elástico homogéneo trata de alcanzar una forma que se ajuste a una de las supe_r fieles equipotenciales. En tal situación no existen fuerzas tangencia les (tensiones) actuando sobre la superficie y el cuerpo está en equilibrio. Sin embargo, para un cuerpo rígido las fuerzas tangenciales - están siempre presentes. Si el cuerpo elástico no es homogéneo, no sj. gue la forma de una superficie equipotencial. Los elementos más densos son "jalados hacia el centro del cuerpo". Los elementos más lige- ros son empujados hacia los lados.

Esta fuerza adicional contribuye al balance de las fuerzas equilibrándolas en forma diferente que para un cuerpo homogéneo. Las superficies equipotenciales siguen entonces, a cierta distancia, la inmers ión de los elementos más densos.

3.1.- EL GEOIDE.

La tierra como un todo, se comporta como un cuerpo elásti-

co no-homogéneo. Ha alcanzado un cierto equilibrio de modo que no se aparta mucho de una de sus superficies equipotenciales. Sin embargo, se aparta. Esto se debe a:

1 . - Corteza terrestre rígida 1 ocalmente (con su topogra- fía que, por supuesto, no coincide con la superficie equ¡potencial).

2.- Desigual distribución de densidad de sus masas.

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Si los océanos fueran homogéneos, es decir, si la densidad del üi_ua fuera la r.isma en todas partes (la misma salinidad, temperatu ra, contenido mineral, etc.), la superficie oceánica seguiría una superficie equipotencial.

Desafortunadamente, los océanos no se comportan razonable- mente y su superficie se aparta de la superficie equipotencial en a 1 g u nos lugares, alrededor de + 2 m. Además, no todos tienen el mismo nivel y probablemente siempre estén des 1 izándose hacia el norte o el sur, debido al continuo derretimiento de los casquetes polares.

La superficie equipotencial que va a través de las superfj_ cíes oceánicas en p romed i o es llamada geoide. Matemáticamente, el ceoide puede ser descrito como:

— S q nX! i 2 2 U (r) z b 1 ~~~ w r" - Uo " Constante

n - o 2

# donde "a" es el radio de la esfera que abarca todas las masas de la tierra, es decir, esfera externa en la que es armónico el potencial 9 rav i tac i ona 1 de la tierra. Tal esfera se conoce generalmente como es fe ra de referencia. En la práctica, la esfera de referencia no requie re abarcar toda la tierra.

Los excesos de masa fuera de la esfera pueden eliminarse - por cálculos. Podemos ver que si conocemos el valor del potencial gra vitacional (o en su caso, si conocemos la derivada normal de este potencial o alternativamente, una combinación lineal del potencial y su derivada normal), sobre ]a esfera de referencia, seremos capaces de de terminar el geoide. La determinación involucraría la evaluación de U( r ) en una área determinada y el trazo de la superficie geoidal U(7~) = Uo.

Otra forma de expresar el geoide es usando las armónicas - el ipsoidales:

00 n |

U(r)=X X q l¿x,E, b ) Y + —• cu*~ r" 2 = Uo - Constante • n-o m=o nm nm 2

Aquí, el elipsoide ( b,E ) es la superficie de referencia, llamada elipsoide de referencia. El geoide expresado de una manera o de otra es, por supuesto, el mismo. Las armónicas esféricas Vn en la solución esférica son exactamente las mismas que las Y nm usadas en la solución elipsoidal .

El elipsoide de referencia abarcaría a toda la tierra. En la práctica no la abarca y la deficiencia se toma en cuenta art ifi- c i a I men te .

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Desafortunadamente no conocemos el valor del potencial gra vitacional sobre la superficie de referencia. No podemos usar el pro- ceso Jescrito. En los párrafos siguientes veremos cómo vamos a resolver este problema.

La pregunta que puede aparecer en la mente del lector es - ¿por qué estamos más interesados en las superficies equipotenciales que en cualquier otra característica del campo de gravedad? La expli- cación es sencilla: las superficies equipotenciales tienen una aplica- ción inmediata en Geodesia. Definen el plano horizontal local (plano tangente a la superficie equipotencial en un punto determinado), al que alineamos nuestros instrumentos cuando hacemos "centro de esta- c i ón''. Por lo tanto, estas superficies definen la geometría del espacio en donde trabajamos de la forma mas objetiva. Ellas representan - el marco al que se liga todo nuestro trabajo de pos icionamiento.

3.2.- OBSERVACIONES SOBRE EL ESFEROIDE.

Por esferoide (en la literatura no-inglesa) entendemos un geoide simplificado (en la literatura inglesa el esferoide coirrcide - con el elipsoide rotacional.

El esferoide de Bruns consta del potencial de la fuerza

gravi tac iona1 de la tierra, desarrollado en armónicas esféricas hasta el segundo grado, más el potencial de la fuerza centrífuga. Al mismo tiempo hace que el origen del sistema de coordenadas coincida con el - centro de la tierra. Además, asume que el eje de rotación coincide con el eje principal de inercia (es decir, que los productos de inercia D, E, F = 0) y permite que su eje Z coincida con estos dos.

Para el potencial terrestre podemos escribir:

u (7) = | yn + },2

n=o

y sustituyendo las armónicas esféricas de 2.23 para los coeficientes, bajo las consideraciones anteriores obtenemos para el esferoide de Bruns :

UBÍ7) = -f- M +-^- ( íii -C) C2Q+

^22^ ~F~ ^ f/r Constonte

sustituyendo para C?Q, C^. 1 as expresiones en 2.33 (en X, Y, Z), obte nemos:

- C) ( Z2--j-X2--£-Y2) + -|-(B-A)IX2-Y2}J +

4- — oí2 (X2 f Y^) = Constante

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supuestamente una superficie de décimo cuarto orden.

El esferoide de Helmert se basa en las mismas cons ide rae i o

nes aunque usa armónicas esféricas mayores del k° grado. El resultado es una superficie de vigésimo segundo orden.

La expresión para el esferoide puede simplificarse asumiera do una simetría rotacional de la tierra, es decir, A = B. Haciendo és. to se descubre que el esferoide se separa una cantidad despreciable del elipsoide rotacional. Esta es la razón por la que no estamos muy interesados en usar el esferoide como aproximación del geoide.

Nótese que las expresiones para el esferoide contienen las siguientes cantidades desconocidas:

M, A,B,C,u).

3.3.- POTENCIAL NORMAL Y POTENCIAL PERTURBANTE.

Una forma de evitar las dificultades mencionadas al final de 3.1 es definir un potencial normal y su correspondiente gravedad normal. La idea detrás de ésto es separar el potencial actual ( U ) - de la tierra en dos partes:

U = Ufyj + T

donde es el potencial en donde coincide una de las superficies equipotenciales con la superficie de referencia; T es la diferencia en tre el potencial actual y el normal ( usualmente es llamado poten-- cial normal); T es entonces llamado potencial perturbante. Por lo tari to, la superficie de referencia es conocida como superficie de referen c i a no rma 1.

La superficie de referencia a la que el potencial normal - puede referirse usualmente es una esfera o un elipsoide rotacional.

Nótese que si tenemos éxito en separar el potencial actual:

U - V H—~~ w2 r"2

de tal modo que se tenga:

concluimos con:

UN ZVN +Í"2 r"2

T = V - V, N

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4

- 56 -

es decir, el potencial perturbante satisface la ecuación de Laplace fuera del cuerpo atrayente (la tierra). Demostraremos que ésto puede hacerse tanto para la esfera como para el elipsoide.

3.4.- LA ESFERA COMO SUPERFICIE DE REFERENCIA NORMAL.

Para la esfera podemos escribir:

u = v +_!_ „2 (jlS) + T(S)= v(Sj _|_ ^2 r„2 ,s, 2 N N 2

donde es constante sobre la esfera de radio (a). Por lo tanto; N

IS) UN

r=a n-o r=o c - Constante

r=a

(S) VN

donde:

(C) Yn = Ano no tcos 8 ' •

IS) debido a que U no varía con X (la esfera tiene simetría rotacio- ■ nal). N

Las componentes en 9 están presentes porque tienen que compensar la asimetría en 6 del término centrifugo.

Aqu í :

r" = a sen Q • r=a

Por lo tanto:

a>2 r//2= ~ w2 a2 sen2 9 •

En términos de las funciones de Legend re:

sen2 9- I - cos2 9 = 1- eos2 9) = y- (1 eos2 9 ~ ) =

2 r

P (eos 9) - P (eos 9) L oo 20

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- 57 -

el potencial de la fuerza centrífuga es:

4* 8^ | P (COS 6 ) - P I COS 9 ) I 3 L 00 20 j

(S) Podemos, entonces, escribir para u^0

CO

UNo-A00P00+AIO % +A2o!o +f "2 °2 'So-V + %, Ano P,o . n=3

Por lo tanto:

oo I , 2 „2 _ M(S), r r u , ^ t

: 3 (ACX)+^<.2a2-U®)Po0 + A^0+|A20-i^O2)Po+I A^=0 •

Para que todas las 9 sean cero, todos los coeficientes por P deben ser cero. Por lo tanto:

10

lA00+"3"w2 o2"UNo1>::0 ' lVT"w2a2) =0' A|0 • A30' A40 = 0 '

^ Sustituyendo estos resultados en la fórmula original para , obtenemos:

(S) El valor de Ufg0 (constante) deberá seleccionarse de tal

manera que corresponda a la fuerza de atracción de la tierra actual, - Para el geoíde, de (3.0 tenemos:

— 9? _ n+! . o 2 —I ? ? Ul r ) = Z (-JM Yn +-j- wZ r**V(r ) + — r"

n=o

donde V ( r ) es el potencial atractivo de la tierra. Puede escribirse como (3.2):

V Ir) = — M + 0 ( r"3) r

donde 0 (r ) son los términos de orden inferior a r . Por lo tan—t

to, podemos escribir aproximadamente, comparando los primeros términos de los dos potenciales:

« (UIS)_ -i- JL M ' No 3 '

JS); JLM + i£¿ No a 3

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(S) Sustituyendo este resultado en la ecuación para UM con

cluimos con la expresión para el potencial normal usando una esfera co mo referencia:

ir So '

Nótese que el potencial normal está expresado en base a tres cantidades desconocidas." KM, a, w . Nótese también que generalmente las superficies equipotenciales de la gravedad no son esféricas. Solamente para r = a obtenemos una superficie equipotencial esférica: la esfera de referencia.

3.5.- EL ELIPSOIDE ROTACIONAL COMO SUPERFICIE "NORMAL" DE REFE- RENCIA.

El elipsoide rotacional es la superficie de referencia no_r mal usada casi exclusivamente en geodesia. Esto se debe a su proximi- dad con el geoide o con el esferoide. El potencial normal relacionado con este elipsoide puede desarrollarse s imi1 ármente al caso de la esfe ra. Podemos escribir otra vez:

U = Vt-i-U2-2= U®+ T(E)-- V® + ±. ,.2 + T tE1

, (E)

donde se requiere que sea constante sobre el elipsoide de refereji cía (b, E), aunque éste no se haya aún especificado. Por lo tanto, usando armónicas elipsoidales.*

00

U .(E) N = anolM,E,b) . _ A P (cosSl + ^r u,Vz+E

N° n~„ "n°' - Constante

2 , 2.^2

fi=b sen Q -

fJL-b

ya que estando el (b, E) rotacional en el plano X , todos los térmi- nos que contienen X deben desaparecer. Aqui, evidentemente:

q ( /x,E, b ) no

zQno (^ fi= b Qno(iT1=1'^tE2

= a2

fj. = b

(Ver 2.15), de modo que podemos escribir:

uíf> I AnnPnn (cos 6) + sen^ Q

00 .2 _2

No nr0 nono

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00

=z n=o

\o?o,cose)t

2.2 w- 0 ^(cosS)-laicos

H

Análogo a 3.4, la expresión anterior puede satisfacerse si y solamente si todos los coeficientes para Pno son cero. Entonces:

IA00 + !íV^" UN01)= AI0 = (A20~ A30 = 10 '

Por lo que:

^,-4=-2 ■

Por lo tanto se convierte: N

u&'- 4^-2) +^t/i.E.b) p, (cose, •

Y puesto que:

q ( u,E,b ) =arc ían ( —-—) /arc tan (-|-) 00 H- / b

podemos escribir usando "r" para desarrollar ore ton y nuevamente en una serie:

q l /x, E, b) = Ey/ ^ r arc tan ( )]

T(e1

+ 0 ( r"3 )

m(E) Para establecer,^! valor de un0 , comparamos nuevamente

los primeros términos de V xon el V determinado para el geoide y buscamos un valor, tal de ^ U^0que corresponda a la fuerza de atrac- ción de la tierra actual.

Obtenemos:

V(E)= arc ton' (%) (u'f - ) + 0 (j3) N r /b No 3

el cual puede compararse nuevamente con el primer término de la fuerza de atracción:

V = 4- 0 (r3) r

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I

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Entonces :

KM= E arc tan' ( ^/ )( Ü .(E) w^a^

No )

de lo que :

u® = ^°rcf°"(EV+ nr2 •

.(E)

nemos Sustituyendo este resultado en la ecuación para obte

uífz arc tan (E/b) + ^(^.,E,b) ^

P (cos8) + + E2) (|_p (COS0)) = 20 ^ 20

.2,.2, ^2

a^

KM arc tan(E//x) 4- ^ ^ ^ +

kj2(¿I2 + E2 ) P (COS0) 20

Nótese que el potencial normal puede calcularse si conocemos las siguientes cantidades: KM, b, E, cu . Nótese que generalmente las superficies equipotenciales del potencial normal no son el ¡psoj. dales. Solamente para /x = b obtenemos la superficie equipotencial elipsoidal: el elipsoide de referencia.

3.6.- LA GRAVEDAD "NORMAL" REFERIDA A LA SUPERFICIE ELIPSOIDAL - DE REFERENCIA.

Tomando la fórmula para el potencial normal, podemos calcu lar la fuerza de gravedad correspondiente a este potencial sobre y por encima de la superficie de referencia (el elipsoide de referencia). Sabemos que la fuerza que pertenece al potencial puede obtenerse como el gradiente del potencial. Por lo tanto:

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- 61 —

(E) y = Grad (\}®) = V U N N

Ven coordenadas elipsoidales está dada por (Ver 2.15):

3 --

V=T d

H i dq\

donde los coeficientes de Lame son igual a:

/¿2 + E2 eos2 0 1/2 ? ? p \/9 H/x = + e2— ' ' Hg ~ ^ + E cos $ ) , = ( /a + E2) /2 sen é? •

Puesto que ^ no depende de X (ya que es simétrica aire dedor del eje Z), tenemos:

a u(E>

d\ ü- =0

(E) Diferenciando con respecto a las otras dos coordena-

das encontramos:

!)• a u1 (E)

— " -K M ore tan (E//¿) 4- -|— ojz /j. +■ dfj. E dp

d ' -2 -2 + (77q20 P2O(COS0)

Aqu í —-— arc tan ( E//X.) = ^(— E//¿2 ) =

dp ' l + E¿//x¿ ' / + E2

La exp res ion: a

= — [ Qzo(i , /Q„„< ¡ -I- ) d/i. á/i E 20 E

puede evaluarse aproximadamente desarrollando las funciones de Legend re de segunda clase en series de potencia en:

/i/E 0 b/E

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respect i vamente.

Llamando:

q = f ( u.) / f (b) 20

donde :

f (X) = (3 ( X /E )2 4- I) arc tan (E / X) - 3 X/E,

pero:

arc tan (E/X) = E/X- 1/3 (E/xf + 1/5 (E/X)5-

Por lo que:

f(X)~[3(E/X) 2 + l] [E/X-1/3 (E/X)3 + 1/5 (E/X — 3 (E/X) =

= 3(E/X)~'-(E/X) + 3/5(E/X)3 -3/7 (E/X)5 + h (E/X) - 1/3(E/X)3 +

5 -1 + 1/5 (E/X) - — 3(E/X) =

= ( — - 1/3) (E/X)3 4 (1/5-3/7) (E/X)5 4- = 5

= 4/15 (E/X)3 -8/35 (E/X)5 + = 4/15 (E/X )3 [ I -<r (E/X)2] .

Por lo tanto:

"20-

4/l5(E//i?[l-0(E//¿)2] ^

4/15(E/b)3 [l-O(E/b)2]

b3[l-0(E//i.)2l[l+0(E/b)2l r 41

~ - b3//x3 [l-O (E//i) J

M3

F inalmente:

íl-0(E/^.)4 ] --3l?//i4

d ¡i 1 J

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- 63 -

Por lo tanto, la derivada parcial puede escribirse final-

mente como:

(E) au N KM uj2 a2 ¡]3

2) -

¡j? + E2 H-4 20 P^(cos0) + Cü2 fl ( |-f^o ^cos ^) •

au (E)

N

ae q (/x.E.b) 20 3

m2 l¿t2 » E2 ) p2o(cos0)

donde:

—-— P (eos 6) - d/dQ ( 3/2 cos^d - 1/2) = -3 cos# sen6 = — P (cosí?) d0 20 21

No es difícil ver que la gravedad normal / debe ser perpendicular (normal) al elipsoide de referencia en cualquier punto sobre este elipsoide. Llamando ^ a la gravedad normal sobre el elipsoide, obtenemos:

y ~ _J 7

d¡j. * (E) a u^¡

y, después de sustituir los valores de Hfj. , , obtenemos:

% - - ( H-

^ + E2 1/2 KM

fj? + E2 + "2g2 b3 p (cos e) -

^.4 20

cu2 ¡x (I - P^(eos 6) Pfj.

pL-b

2 2 2 Considerando E =o -b obtenemos:

y - - ( — l2"r

b2+E2cos2¿?

J<M__^.w2b+(i!i!£.2 + 4_u2b,p c

a2 3 b 3 20

Pero:

,2 2 2fl 2 2 20 2 20 2 20, 2 20 b + E cos o = b + a cos a — b cos a = a cos a + b sen a

por lo que:

X ~ KM

a (a2cos20 + b2sen2 Q

2 a2ai2b

KM

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- &b -

"m" ? o E] término o b w /KM a menudo es denotado por

(siendo aproximadamente igual a 0.33 x 10~2 para la tierra). Usando m la gravedad normal sobre el elipsoide de referencia puede expresarse

como s i gue :

% KM

a (a2eos2 8 + b2sen2#) I/2

m ■+ (( .2

•) m + 3

m F=q(cos 8)

3.7.- TEOREMA DE CLAIRAUT PARA LOS APLASTAMIENTOS DE GRAVEDAD Y GEOMETRICO.

Usando la gravedad normal puede desarrollarse un teorema - muy importante de Geodesia Física que relaciona la gravedad con la geo metría del elipsoide de referencia:

Para la gravedad normal sobre el ecuador % podemos escrj_ b i r:

9 = 90°, P {eos 8) - eos2 8 20 2 8- 90c

por lo que:

y ~ KM 1 — , a ab 3 m 2

(( ) m + m) b 3

KM ,, , a *2 m

ab U-m-t-B-) 2

X : b

5 im i 1 armen te, para la gravedad normal sobre los polos, -

8 = 0o, 180° , P (eos#

8- 0o, 180°

de donde:

KM rb" „2

m + (—) m 4—m 3 D 3

u+(_i_,2m,

Por lo tanto:

Jb_ I +(-r— ) m + m + ( )2 -f - +

_b_ a

+ m + 2

) m +

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- 65 -

Considerando que:

yb yb-yo

%

y que :

A- - iz b"g

a a

podemos escribir:

b-a yb- yo

y a

m + _3_( _S_ )2 m + ] = — 2 b Ja

m

Pero:

? ? b m a üj b

1 + 4-( 2 b

° )i

KM buJ ()2 -=2- H

)+-

E n torces:

^ ^ + Q- b ^ b a

* b ¿ J

b oje

1 + -1-(4- >2+ — 2 • D

y / Aquí, el término ( b~ 'a ) / 'a = f ( = a en literatura

antigua) es conocido como ap1 astamiento de la gravedad y (a - b)/a = f ( = i en la literatura antigua) es el conocido aplastamiento (geométrj_ co) del elipsoide de referencia. De aquí que la fórmula puede escri-- b i rse :

ya

f* + f ~ bu/

T

i + 2

i2+.

la que es conocida como el teorema de Clairaut. Fue derivada primero por el matemático francés Clairaut (1738) en la forma:

f + f - — 2 ~rñ~

la que es obviamente una simplificación mayor de la fórmula anterior para a = b .

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3.8.- FORMULAS DE S CM IGUANA PARA LA GRAVEDAD NORMAL.

Al geodesta italiano Somigliana (1929) se le deben las fór.

muías más prácticas para la gravedad normal. El desarrolló la fórmula

X (a partir de 3.6) considerando los siguientes aspectos: Re-escri- bamos :

P2o(c°s0> = -f- c°s2e--i-

usando ahora la identidad:

—— = ~~~ (eos2 9 4-sen2 8)

nos queda que

P (cos 9) = cos2 9 '—sen2 9 20 2

Sustituyendo este valor en la fórmula para y obtenemos:

7 KM

a (a2 cos2# 4- b2 sen2 #)l/2

2

I §— m 4- ((-7— ) m 4- ~— m ) eos2 9 o b 3

4-((-7—) m 4 \—m)sen^0 ¿ b 3

Usando otra identidad:

m - ( I- m ) (eos2 9 4-sen^ 9 )

podemos escribir:

KM

y° >-2e]

Las expresiones entre paréntesis pueden sustituirse usando as fórmulas para ^ de 3.7:

b KM (l-m - f ) Z

a b %

KM

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y de este modo obtenemos:

a x eos2 0 + b y sen2 6 'b /a

( cosf sen^ 9) '^2 7 -

En Geodesia es más común trabajar con la latitud geodésica cf) que con la colatitud geocéntrica Q . Como sabemos por Geodesia -

Geométrica <£ y Q están relacionadas a través de la latitud geocéntrj_ ca reducida /3 en la forma siguiente:

/3 = 90° - 8 , fan /3 = tan <fc

Por lo tanto;

cot 9 - tanc£

con lo que podemos escribir:

cos 9 - c b sen cf> , sen 9 = c o eos ,

donde "C" es una constante arbitraria. Sustituyendo estas expresiones en la fórmula para Yo obtenemos:

c^b^a y sen^ +- c a b cos )

Por otro lado, sabemos que:

sen2£? -H-cos2 0=1

Por lo que :

c2 (a2 cos2c£ 4- b2 sen2<£ ) - 1 ,

de cuya expresión obtenemos el valor de "C". Sustituyendo este valor en la expresión para y , finalmente obtenemos:

p p o y cos d> 4- b y sen ó

y ~ 0 b 8 (a^ cos^ + b^sen^ )'^

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Nótese la simetría de las dos fórmulas de Somigl¡ana para la gravedad normal.

3.9.- FORMULAS DE CASSINIS PARA LA GRAVEDAD NORMAL.

En la práctica geodésica es usual aún usar otra fórmula de bida también a Somigl¡ana aunque comúnmente conocida como Fórmula de - Cassinis. Esto se debe a que Cassinis fue el primero en haber presen- tado al Congreso de la IUGG (en 1930) estimaciones de los valores de - los coeficientes que aparecen en la fórmula.

El desarrollo teórico va como sigue: expresando el eos2 cp

de la última fórmula en 3.8 como |-sen2 , obtenemos:

x -

Q yQ + ( b >b - 0 r0 ' sen 4> + ^ yQ a "1^ sen2

1/2 a + lb - a ) sen¿ cfcJ 1 + - I )sen2<¿>j

1/2 %

De acuerdo a nuestra notación en 3.7:

* f =

V rc

ra

- O - b _

Por lo tanto:

7h + f

con lo que:

1 +

X~1

II 4-f ) ( l-f ) -I sen 24> Xn f f*)sen2

+]

14- (I — f) — sen 

1/2

(f2—2f)sen2 <^> ,

y entonces obtenemos:

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2,.., i , .2 l + (f - f- ff )sen <fi) (l - (f - 2 f ) sen2

y a

I + (f*— f - f f~*-—— + f )sen^ f —-— (- 2 f) (f* f - f f*) sen^ <¿-V 2 2 ^

S us t ¡ tuyendo:

sen 4 - sen2 )

Donde :

í:f*+o(fi, /3 = -^-(f-f*) + o(f3) .

En la fórmula original de Cassinis, adoptada en 1930, se 1 ee :

y - 978.0490 (I + 0.0052884 sen2 ) gal .

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3.10.- DEFINICION DE: ANOMALIA DE LA GRAVEDAD; PERTURBACION DE LA GRAVEDAD; ALTURA GEOIDAL Y DESVIACION DE LA VERTICAL.

Simbolicemos por U al potencial de la gravedad normal reía

clonado con un elipsoide rotacional (superficie de referencia ¡aún des. conocida!) y por W al potencial actual terrestre. A la diferencia T = W - U la hemos llamada Potencial de Perturbación (3.3). También -

es conocida como Potencial Anómalo.

Para el objeto de las cuatro definiciones posteriores consideremos que ya conocemos al elipsoide de referencia y llamemos Uo al potencial normal sobre el elipsoide de referencia (¡cuya superficie equipotencial coincide con el elipsoide de referencia!). Podemos entonces dibujar la siguiente sección transversal:

N

vector

Podemos ver que U = Uo es el - elipsoide de referencia; W = Uo es el geoide; la superficie que nos gustaría determi nar ~g es la gravedad actual O Q # sobre e" geoide; Yqq es la gravedad normal soore la supe_r ficie de referencia. La distancia N = PQ, se conoce como - altura qeoidal (ondulación geoidal) en el punto Q.. El

AV V %0

es llamado vector de anomalía y su valor absoluto Ag0p es conocido como la anomalía de la gravedad sobre la superficie de referencia.

Las alturas geoidales probablemente no excedan + 100 m en cualquier lugar del mundo. El ángulo

e - * ípT&O

conocido como desviación de la vertical, muy raras veces excede 1', usualmente es menor de 5" (Valores de 9 — 30" son ya consideradas excepcionales). Debido a esta amplitud tan pequeña de 9 , generalmente calculamos la anomalía de la gravedad de:

Ag = g - Y op op OQ

en vez de:

A< op op %Q

= g op %Q

eos e

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Esta Q , por supuesto, nada tiene que ver con la según da coordenada esférica.

Tomando W = Uo y U = Up de modo tal que las dos superfi- - cíes coinciden en P sobre el geoide, obtenemos el Vector de Perturba- ción de la gravedad:

Sg = g - Y op *op 'p

perturbación de la gravedad

Sg - op ^op ^p

el ángulo

op

para todos los propósitos prác ticos, idéntico a la desvia- -

ción de la vertical. Ellos difieren solamente por el termino que apa-

rece por la curvatura de la línea de plomada del campo normal.

Cons iderando que g=Vwyy = Vu obtenemos:

Sg =g-y = Vw — Vil = V (W - U) = Vt .

De aquí que el vector de perturbación de la gravedad en un punto P sobre el geoide está dado por el gradiente del potencial de perturbación en el punto.

S imi1 armente, podemos escribir:

dw <5u g -

án r

dn'

donde n, n' son las normales locales externas al geoide y elipsoide respectivamente. Puesto que el ángulo entre las dos normales (desvia- ción de la vertical) es pequeño, tenemos:

Sg = 9 -y - g-y d\N

dn 4- du

án'

dw + _óu

(3n dn

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Por lo tanto, la perturbación de la gravedad está dada como la derivada negativa del potencial de perturbación tomada con respecto a la vertical local (o, en su caso, normal elipsoidal).

La anomalía de la gravedad es usada mas en geodesia terres tre clásica. La perturbación de la gravedad es usada ampliamente en - las teorías modernas y en la geodesia por satélites.

Puesto que la perturbación de la gravedad está referida al geoide, es decir, al punto P, en vez de al elipsoide, al usarla referí remos cualquier cosa automáticamente al geoide. Se tendrá la idea de que inclusive el potencial de perturbación y la altura geoidal están - referidas al geoide.

Nótese que aún nos estamos moviendo suavemente sobre un n_[ ve 1 superficial sin conocer el geoide ni el elipsoide de referencia. - Por lo tanto, no podemos medir ninguna de las cantidades involucradas.

3.11.- RELACION ENTRE EL POTENCIAL DE PERTURBACION Y LA ALTURA GEOIDAL. SEGUNDA FORMULA DE BRUNS.

De 3.10 tomamos ahora ambas secciones transversales. Del diagrama podemos escribir:

W-Uf

Puesto que:

N = — y Nn (X) q Q Q 0

VNQ

entonces:

Up " UQ 11 ~ Xj NC

Por definición: Wp = Up + Tp. Por lo tanto:

WP SUQ"% Np+Tp

Pero Wp en nuestra notación también es igual a Uo o U^ Por lo tanto, finalmente tenemos:

TP --Yq V % Np

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V VX

que es una de las fórmulas más importantes de geodesia física, debida al geodesta alemán Bruns (1878). Se conoce como la Segunda Fórmula de Bruns y relaciona el potencial de perturbación (T) con la ondulación - geoidal (N).

Cuando consideramos un elipsoide de referencia, como siempre es el caso, sin conocer los valores de las constantes involucradas (KM, a, E,w ) es como sí tuviéramos un valor equivocado del poten- - cial normal. Denotemos por U& al valor asumido del potencial normal y por Su a la diferencia U& - Uo. Entonces:

SU=UA-U0=wp-U0= -yc Np + Tp

de donde obtenemos:

N'=Í±^_ 0 x

Esta fórmula se conoce como la fórmula generalizada de Bruns. Relaciona el potencial de per- turbación (calculado de un cam po de gravedad normal asumido)

con la altura geoidal por encima del elipsoide asumido.

Note que Su es función de Sm, Sa, SE, U, 9 ; donde SM, Sa, SE, son las diferencias entre los valores verdaderos M, a,

E, y los valores asumidos M', a', E'.

En la práctica SU se considera constante e interpretada - como imprecisión en nuestro conocimiento de Wp, el valor del potencial correspondiente al geoide.

3.12.- ECUACION GRAVIMETRICA FUNDAMENTAL.

Consideremos nuevamente que conocemos la forma verdadera del elipsoide de referencia (a, E) y las otras dos constantes necesa- rias (KM,w ) para determinar la gravedad normal.

Tenemos que la anomalía de la gravedad es:

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- 74 -

y la perturbación de la gravedad:

SV 9p " i

Podemos escribir entonces:

Ag = Sg + (y -y ) P P P

Por otra parte, sabemos que (3.10)

7 = VW-g =--^- , y = Vü dn 1 r~-

du

dn'

de donde :

S9n =- dw

dn +f p On'

pero puesto que Q es pequeño: n — n', escribimos finalmente,

dw

dn' p dn'

_ d(W-U)

dn' = - Jl-

P dn'

Así mismo tenemos que:

du

dn' y -áü- Xp ' dn'

X

pecto a n', obtenemos: Si ahora diferenciamos la ecuación (*) de (3.1l) con res--

du

dn'

_ du

p drí ,-Jz.

o dn' Nn ,

es decir:

y -r = ^7T I N

p O dn' 'n "p

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En esta Forma la anomalía de la gravedad se relaciona con la perturbación de la gravedad:

Ag ~ Sg + P P dn' = Np

Usando la segunda fórmula de Bruns para sustituir a Np y poniendo 8g^ por su expresión final, obtenemos:

Aa z ÓT

<3n' ~l~

P Xn

JhL

an' T

o p

Esta ecuación gravimétrica fundamental usualmente se escrj be como:

Ag ~ - -él- + —! ix- T dh % dh

donde la normal al elipsoide se sutituye por la altura y todos sus tér_ minos están referidos al punto 0 (o Q., según el caso), es decir, al elipsoide de referencia. Esto lo podemos hacer porque Ag , así como T están realmente referidos tanto a P como a 0 (o Q.) y por mera conveniencia hemos decidido previamente designarlos con el sub-índice P.

Considerando nuevamente un elipsoide de referencia arbitra rio (muy próximo al geoide), podemos concluir con la ecuación general_i_ zad a :

Aa-~ . an-'+Su) +_i_ Jzl(T<+Su)

<3h y db

donde todas las variables están referidas al elipsoide de referencia - arbitrario.

3.13.- DISCUSION DE LA ECUACION GRAVIMETRICA FUNDAMENTAL. EL PRO BLEMA MIXTO DE VALOR EN LA FRONTERA DE GEODESIA.

No es difícil ver que la ecuación gravimétrica fundamental nos provee con los valores de frontera del problema del tipo mixto para resolver la ecuación de Laplace:

At = o

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para el exterior del elipsoide de referencia, considerando que el elijs soide y los valores KM, w (para calcular la gravedad normal) son se- leccionados adecuadamente. Existen tres dificultades involucradas en la solución del tercer problema del valor de frontera usando las ano- malías de la gravedad (de la ecuación fundamental de la gravedad):

i).- No conocemos y nunca conoceremos los valores verda deros de a, E KM,oi , Por lo tanto, el término desconocido ¿U estará siempre presente y no pode mos aplicar como es el método desarrollado ante- - riormente (Ver 2. 21) .

i i).- El geoide ni es conocido o accesible sobre los coji tinentes. Por lo tanto, el valor 9op necesario - para la determinación de Ag (Ver 3.10) no es ob- servable. Inclusive, Ag no siempre puede obtene_r se sin introducir consideraciones mayores. Por otro lado, son muy escasas las observaciones de

90p sobre la superficie océánica y obviamente, materia de preocupación.

i i i).- Aún más, el requerimiento básico para AT = 0, es decir, la densidad & = 0, usualmente no es sa- tisfecha en cualquier lugar fuera del elipsoide. - El elipsoide de referencia asumido normalmente se aproxima al geoide en sentido medio y de modo que casi siempre esté por debajo del terreno en los continentes e, inclusive, por debajo del nivel medio del mar en varios lugares.

Las dos últimas dificultades son superadas usualmente alte rando las anomalías de la gravedad de tal modo que se neutralicen. Re ducimos primero al geoide, las observaciones de la gravedad hechas sobre la superficie de la tierra y luego, por cálculos, se toman en cuen ta las masas por encima del elipsoide. Estas reducciones de la gravedad, sin embargo, serán tratadas en otro lugar. Para el tratamiento - del problema mixto del valor en la frontera asumiremos que las anoma- lías de la gravedad están ya corregidas de un modo apropiado.

Antes de abocarnos a resolver este tipo de problema debemos ver el término:

a/7

dh

y tratar de encontrarle una expresión más adecuada. Podría lograrse - directamente del potencial normal (3.5) si expresamos Y por su gradiente y la diferenciamos con respecto a la normal elipsoidal, pero és. to sería un trabajo muy tedioso. Mostraremos un método más corto usan do geometría diferencial.

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3.14.- EL GRADIENTE VERTICAL DE LA GRAVEDAD.

Consideremos el potencial W de la tierra actual..

La superficie equipotencial W (X, Y, Z) = Wp puede cons i de rarse como una función implícita de X, Y, Z. Consideremos un sistema ortogonal local de coordenadas tales que el eje 7 coincida con la normal a W = Wp (vertical); el ej e jT es tá eri el plano tangen te a W = Wp y dirigido hacia el norte; el eje Y apunta al oeste.

La derivada total de W con respecto a X es:

d W _ t?W dw ÚZ

d X = ¿>x +~df

La segunda derivada total es:

2 ,2 ,2 2 .2 ~ 2 o<-~ d w _ ó W , 0 W d Z + á W dZ + d W f d Z ^ , dw d¿Z

d X ¿x2 ¿X d X <3? <3x d X dz 2 d X ¿>Z dx 1

L 1 amemos:

d7 = W*

y similarmente las otras derivadas parciales. Puesto que W = Constan- te, tenemos:

d W _ d2 W _ Q . rv O

d X dX

Además, dZ/dX = 0 ya que Z es perpendicular a W = Constan- te. La segunda derivada total se convierte entonces:

"í5*"z ■

Similarmente, la segunda derivada total con respecto a Y - da:

w~~ + W~ ——— = 0 YY Z ^2

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Aqu I :

•í'-g-'-fr--

el valor absoluto de la gravedad en el punto en cuestión.

Por Geometría Diferencial sabemos que la curvatura K de la curva Y = Y (X) está dada por:

2 -1/? K = Y*(I + Y' )

2^ *"^"2 Entonces, en nuestro caso, d Z/dX puede considerarse la

cun/atura de ? = T (X), el perfil N - S de la superficie equipotencial; d^Z/dY^ sería la curvatura en el perfil E - W. Esto se debe a que

las primeras derivadas en ambas direcciones son cero.

Llamando J al valor negativo de toda la curvatura de la su perficie equipotencial, dada como la media aritmética de las dos curva turas de los perfiles perpendiculares, obtenemos:

J = (K~+K~) = ^ 2XY 2g XX Y Y

Por otro lado, puesto que W es el potencial de la gravedad, tiene que satisfacer la ecuación de Poisson:

Aw = — 4 77- Kcr +2<j^

donde el operador de Laplace en el sistema de coordenadas local está

dado por:

A W - 4- -f W~ » XX YY Z Z

Combinando las tres últimas ecuaciones y considerando que

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finalmente obtenemos:

= - 2g>J -i- 47TKct - 2 cu2

dh

Esta fórmula se conoce como la primera fórmula de Bruns y relaciona el gradiente vertical de la gravedad con los otros paráme- - tros que determinan el campo potencial. Nótese que las cantidades g, J, <x están referidas al punto en donde examinamos el gradiente. La primera fórmula de Bruns es una de las escasas fórmulas rigurosas de - Geodes i a Fís ica.

No es difícil ver que para la gravedad normal sobre el e1ipsoide tenemos ahora:

-= — 2 / J — 2 uj2

dh

Aquí J es aún desconocido. Sin embargo en este caso somos capaces de expresar J en función del radio de curvatura del meridiano M, y del radio de curvatura de la sección transversal del primer verti-

cal N (¡no confundir estas M, N con la masa de la tierra y la ondula- ción geo ida 1 !) .

Tenemos:

j= _L(_±_ + _L 2 M N

(note el signo; en matemáticas la curvatura se toma positiva para una superficie convexa; en Geodesia es positiva para una superficie cónca- va vista a través de la normal). Aquí M y N pueden expresarse, como - sabemos de Geodesia Geométrica:

(1 + 6»' cos2 <p) 9 —j- = b2 (i + g/2cos2<ft)'/2

M C)2 ' N a2

donde:

E . (o2-b2)'/2

P 6 '

Por lo tanto:

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Usando f=I—y- podemos escribir:

2f-f2+4f2-2f3+ = 2f + 3f2 ~ 2f

Por lo tanto:

— ~^2~ ^ 1 "• 2f cos^.</> )3/2= (I + 3 f co$2<£ + ) 0 a

— "2 ( I + 2f cos2 <£ )l/2 = (I + i cos^ 2

ah a2

O Aquí 2w es más pequeño que el primer término y puede

considerarse como un término correctivo.

Sin embargo puede aproximarse por:

2/m

usando la fórmula para m de 3.6 y:

~ ~ KM 7 — 7n o a b

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-8l-

de 3-7. Sustituyendo este resultado en nuestra ecuación original, podemos escribir:

- — -Í2L ( _A_ + 2 ^ f cos2 4> + m ) ' ¿h a o o '

Aquí b/a = 1 - f; b/a en el término eos puede igualar- se a 1 (ya que es mucho menor que el primer término), y:

2 f eos2- f ( I +■ eos 2<p) ■

Finalmente concluimos entonces con:

^ — 2 ^ (I + m + f eos 2(6 ) Ó h o

despreciando todos los términos de orden mayor en m, f.

3.15.- SOLUCION AL PROBLEMA MIXTO DEL VALOR EN LA FRONTERA DE GEO DESIA FISICA.

Sustituyendo el resultado de 3.14 en la ecuación gravimé-- trica fundamental obtenemos:

Ag — — (T + 8 U ) — ( I + m + f cos 2 <p ) (T + Sil) dh a

donde hemos eliminado los tildes y aceptamos de ahora en adelante que la ecuación es válida sobre un elipsoide de referencia arbitrario que está muy próximo al geoide ya que todas las cantidades involucradas es tán calculadas teniendo como base este elipsoide. Este es nuestro valor en la frontera para:

A (T + Su ) =0

por encima del elipsoide de referencia.

Puede demostrarse que con una precisión del orden del 3 x 10 el coeficiente para T + 8U es constante sobre el elipsoide - e igual a:

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- 2/R

donde :

R= (a2b)l/3

La solución al tercer problema de valor en la frontera pue de escribirse aproximadamente entonces (Ver 2.21) :

R R

donde Ag son las armónicas esféricas de Ag . Sobre el elipsoide de referencia obtenemos:

00

T — X ^ Ag (+) • n = 0

Nótese que la expresión no está definida para n = 1.

Tenemos que asumir que la armónica de primer grado está completamente perdida. Esta es la condición que tiene que satisfacer^ se para esta particular combinación lineal de valores en la frontera. Corresponde a la condición:

& d El = 0

El <3n

para el problema de Newman.

Aquí nuestra condición es:

& Ag eos dEl =0 El

Expresando:

T = W - (U- $U)=W-Ü

podemos desarrollar los tres potenciales en armónicas esféricas y en--

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contrar que los coeficientes para la armónica de primer grado para T - depende del desplazamiento del centro del elipsoide de referencia del centro de gravedad de la tierra. Si consideramos que ellos coinciden entonces podemos igualar a cero la armónica de primer grado y escri- ■ b i r :

~ ~ R . T = T0 + I — Agn

n = 2

donde por To simbolizamos a la armónica de grado cero de T. Esta es la solución sobre el elipsoide de referencia.

Puesto que:

8m T0 = T0 + SU , y T0=W0-U0=K

la ecuación anterior la podemos escribir como;

t = + ? « - A,n

" n = 2

Aquí, cuando tratamos con Ag , consideramos que éste debe correg i rse por:

i).- La influencia de las masas sobre el elipsoide.

i i).- La reducción de la gravedad observada del terreno ■ al geoide.

3.16.- LA INTEGRAL DE STOKES.

Desarrollemos la anomalía de la gravedad sobre el elipsoide de referencia en armónicas esféricas (elipsoidales). Como sabemos, tenemos para Ag , como para cualquier función arbitraria:

00

Ag= X Agn

donde :

Ag„ = X

n = o

(A cos mX+B sen m\) P i cos 8) nm nm nm

m-o

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con :

A"m' 4l A9(e'X-')cosnA'P„m(cosS) dEI'

B"m=rS TT-C dEI,

(paro m = o,sera 4?ren ves de 27r) /

Simbolizamos con tildes las variables auxiliares en la in- tegración. Sustituyendo las expresiones para los coeficientes en las expresiones para Ag , obtenemos:

Ag = 2n *1 P (cos 8) Ag P (cosdEI + n 47T n0 no

+ z {ídjiulL! 1"±]_ p (cose,

m=l 'n + m'i 2lr

jj> Ag cosrnX' Pnm (eos#')dEI + senmX JR> Ag sen m\'

n p (cos 6 ) dEI f • nm J '

Sacando la integral fuera de la sumatoria, obtenemos:

2n+l

4 TT § {A,(e;x) P (eos8) P (eos 9) 4-2 Z (1 " , mjl

L no no m-i vn +n )l m -1

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P (cos 6 ) P (cos#') (cos mXcos mX' +sen m X senm X/)) rdEI nrn nm j j

Puede verse que la expresión entre paréntesis rectangula- res es igual a Pn ( eos ) (Ver 2.22), donde es la distancia esfé rica entre el punto ( 0,\ ) donde se calcula Ag^y el " punto auxi- - liar de integración " ( ). Podemos escribir entonces:

Ag = ----1 <£f Ag (0,X) P (cosv//)dEl • n 47T jj£\ n

Este resultado puede sustituirse en la ecuación (+) en

3.15 y obtener:

T~ Y — 2n + l ff Ag (d'X) P (cos^) dEl = n_0 L n-l 47r •'•'El n

n - o

00 R

éf Ag P (cosJ/) dEI + —— ff Ag £ — P (CosifOdEl •^El 0 477" JJF\ _ n-l n 477" "El u 477" •'•'El

n — c

donde las series se conocen como función de Stokes S ( ) primer término no es sino:

y e 1

R A 9o

El segundo término usualmente se llama integral de Stokes y representa la solución completa al problema mixto de valor en la frontera para A 9o " ° sobre el elipsoide. Esto corresponde a la integral de Poisson para el problema del valor en la frontera sobre la - esfera.

Podemos ver que se ha dejado fuera del desarrollo la armó- nica de primer grado:

t; = —5—= A9, • 1-1

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Esto se hace porque se demostró que cuando centro del - elipsoide coincide con el centro de gravedad terrestre, T| tiende a cero. La coincidencia de los dos centros tiene que suponerse.

3.17.- FORMULA DE STOKES. DETERMINACION GRAVIMETRICA DEL GEOIDE.

Desde el punto de vista de la determinación del geoide, el conocimiento de T es solo una etapa intermedia, ya que el geoide es - definido como la superficie equipotencial:

W (r,0, X) = WQ = Uc

Sin embargo, se ve fácilmente que usando la fórmula genera 1 izada de ^Bruns (Ver 3.11) 1 as ondulaciones geoidales N pueden calcularse de T . Podemos escribir:

T = T 4- Su = y N

o bien:

-ff Ag Sl^ldEl-R Ag /y n'=-3. 47ry'

Aquí podemos tomar una gravedad media G en vez de Y con ■ una influencia pequeña sobre la ya limitada precisión. Queda por verse si Ag^ puede expresarse en términos de otros parámetros.

De la fórmula en 3.15 para T podemos ver que:

V - R H

donde por "0" simbolizamos nuevamente a la primera armónica esférica - en un desarrollo apropiado. Recordando la fórmula de Tó en 3.15, obte nemos

— R Ag Z K f-Su - — SnG O D

Escribiendo la fórmula para N en la forma

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N + 8n= — ff Ag S( v//) d El 4ttG El

obtenemos :

Sn = _ K 1M_ _ Ju RG G

La fórmula para N se conoce como fórmula de Stokes y nos - da las ondulaciones del geoide sobre la superficie elipsoidal de referencia considerada.

La corrección 8 N a las ondulaciones calculadas puede agregarse si conocemos 8 M y 8 U, los errores en la masa y en el potencial del elipsoide considerado.

La fórmula (sin el término 8 N) se debe a Sir George Gabriel Stokes (1819-1903)» matemático y físico de Cambridge. Fue pu- blicada en 1849, y es quizás, la fórmula más importante de Geodesia F_[ sica. Permite la determinación del geoíde (referido al elipsoide de referencia considerado) a partir de datos gravimétri cos.

El geoide calculado por esta fórmula es, debido a nuestras

consideraciones, siempre concéntrico con la superficie de referencia. 8 N usua1 mente se toma como una constante y se interpreta como una co

rrección a uno de los ejes del elipsoide. La razón de ésto es que las constantes E, u> del elipsoide de referencia se conocen mucho mejor que a, KM; puede considerarse también que 8 U se debe principalmente a 8 M y 8a. Su efecto de incertidumbre no puede determinarse. Es más fácil tomar en cuenta este efecto cambiando el tamaño del elipsoide de referencia en vez de cambiar su masa. De este modo el elipsoide de referencia se aproxima más al geoide, lo que es una propiedad desea ble.

3.18.- ALGUNAS CONSIDERACIONES SOBRE LA FORMULA DE STOKES.

La función de Stokes puede expresarse sin usar las series infinitas como:

S(^) ^2 R - 3

Í R

- cos i// (5 4-

4- 3 Ln ( eos i

2 R )) .

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Puede verse que para $ O , Q y S ( ^ )-»00

Su gráfica luce entonces ^sí:

Puede observarse claramente cómo las anomalías de la grave dad sobre toda la tierra contribuyen para cada ondulación geoidal particular N en cualquier lugar. Mientras más nos acercamos al punto de interés, más conbribuye la anomalía Ag a Ia ondulación. Por lo tan- to, cuando usamos la fórmula de Stokes tenemos que conocer muy bien

Ag , particularmente en la vecindad del punto de interés.

La fórmula de Stokes puede escribirse de diversas formas. Aquí solo mencionaremos dos: Primero, podemos elegir el punto de inte rés como el origen de coordenadas polares sobre el elipsoide y obte- - ne r:

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.277" .IT -C.U -H

N + Bn = I / Ag S(^J/)senU/d^da = 47TG 'a=o \f/-o

J J_ Ag (a,^) d a 5(^/)sen d^ = 2G *Y=oL 2TT

f Agl^) F(^) df, G "T=o

donde :

F {i¡/) = —-— S () sen \¡/

y Ag ( \f/ ) es la anomalía media de la distancia angular \j/ , a - partir del punto de interés. Alternativamente, puede expresarse en términos de coordenadas geográficas y obtenemos:

-27T -7T/2

N ió,\ ) + $N = —-— / / Ag (cp',\) S {Üf ) eos d<¿/ dX' 4ttG X = O

donde:

^"Arc eos tsen <£ sen <£' -feos ¢/) cos <f>'cos ( X- X )

En la práctica, los métodos numéricos son usados casi exclusivamente para evaluar estas integrales.

3.19,- LAS FORMULAS DE VEN ING-MEINESZ.

Otra aplicación de la solución completa al problema mixto

de valor en la frontera, es decir, de la integral de Stokes, son las

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fórmulas que permiten el cálculo de las componentes N-SyW-Ede- la desviación de la vertical local a partir de las anomalías de la gra vedad conocidas sobre toda la tierra. Las fórmulas pueden derivarse - como sigue: De la sección transversal siguiente puede verse que:

dN = € ds

Si la sección transversal se toma en el plano definido por

las dos normales entonces:

e - d

Si la sección transversal está en el plano meridiano (o primer vertical) g representa a la componente N - S (W - E) de Q 11 amada 6 ( ^ ) .

Para estas dos componentes tenemos :

e=- dN

dS V dN

dS

coeficientes de Lame, para r =

donde los signos (—) expresan la convención de que para dN - positivo £,77 se conside- ran que decrecen al incremen-- tarse , X . Llamando d<£ , dX a los incrementos - diferenciales en el meridiano y primer vertical y usando los

R (sobre el elipsoide), tenemos:

d S<£~ Hc£ d<p=Rdc£, dS^ = z R eos <fc <JÁ

de donde:

£=- <3n

d<p ' ^ Rco$<p <3\

dN

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Tomando N de la fórmula de Stokes y considerando 8 N como constante obtenemos:

( = - 47TG ^El

1 4ttGcos ñ.

ds(^)

d\ dEI

Expresando las derivadas parciales como:

ÓS{\¡/) _ <3s(yj/) d 4 ds w _ ds(\j/) d\¡,

d ' át

y derivando d\f// d ' C0S ^ S6n ^ ~ *** ^ eos<£' eos I X -X} =

" cos sen <j>* - senteos t^'eos ( X — X) ,

sen ^ sen a = eos<£' sen ( X'-X) .

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Combinando estos dos conjuntos de ecuaciones obtenemos:

d ^ = — cos a, = — eos ó sena d<t>

Sustituyendo estos resultados en las fórmulas para £ , 17 , finalmente concluimos con:

( = ! Ag (v//) eos a dEI 4 tt G -"El dy

Ag ¿St^) sen a dEI 4irG *^EI dif/

las fórmulas de Vening-Meinesz. En estas fórmulas $ , a pueden tai- marse nuevamente como coordenadas "polares" sobre el elipsoide o pueden transformarse a cualquier otro par de coordenadas sobre el elipsoj de.

3.20.- LINEAMIENTOS PARA LA SOLUCION NUMERICA DE LAS FORMULAS DE STOKES Y DE VEN ING-ME1NESZ.

Las anomalías de la gravedad Ag en las fórmulas de Stokes y de Ven ing-Meinesz no pueden obtenerse para cada punto del elipsoide de referencia. Pueden obtenerse para un número de puntos discretos donde los valores de la gravedad han sido observados sobre la superficie terrestre. Por lo tanto, no podemos integrarlas (más precisamen- te, integrar el producto de las anomalías de la gravedad con la fun- - c ión de peso:

. o' J§«t! 0\f/

respectivamente), sobre el elipsoide y tenemos que usar uno de los innumerables métodos numéricos para evaluar las integrales dobles. To dos los métodos numéricos, cualquiera que usemos, sustituye la doble - integración por doble sumatoria sobre dos parámetros.

El formato, para los valores de Ag para la sumatoria puede ser de dos tipos básicamente. Polar o rectangular. El formato polar corresponde a las variables a , \Jr descritas en 3.18. Por lo tanto, el formato tiene que cambiarse constantemente para hacerla que

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se centre sobre el punto de interés.

Debido a que el punto de Ag varía con [f/ (y también con Ot- en el caso de las fórmulas de Vening-Meinesz), el formato puede desig- narse en tal forma que tenga las áreas mayores correspondiendo a pesos más pequeños y viceversa. Evidentemente si Ag se pesa en forma "muy ligera" puede representar áreas mayores pero sin que estas contribuyan mucho al resultado y viceversa. El formato en cuadrícula rectangular se basa generalmente en coordenadas geográficas como las que se mencio nan en 3.18. Este método es preferible cuando estudiamos el globo com pleto y no solo puntos individuales. Esto se hace porque los valores representativos de Ag para cada bloque de dimensiones x pueden ligarse en forma permanente con los valores de los bloques apro

piados. La cuadricula no cambia de un punto de interés a otro.

La dificultad más seria que se encuentra en la solución nij mérica es la creciente influencia de las anomalías de la gravedad a me dida que uno se acerca al punto de interés. Una simple mirada a las - funciones de peso nos convence de que las vecindades del punto tienen un efecto considerable sobre el resultado. Este problema puede supe— rarse por dos caminos: El primero consiste en que es usual hacer más densa la cuadrícula en las vecindades del punto. El segundo es que se han obtenido diversas fórmulas para expresar la influencia de las ano-

malías de la gravedad en la vecindad más próxima a través de otras ca- racterísticas del campo de gravedad que no tratan con la función de Stokes. Usando este tipo de fórmulas, dividimos las contribuciones de bidas a las anomalías de la gravedad en distantes y cercanas (o exte- riores e interiores) y las tratamos separadamente.

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Esta publicación consta de 250 ejemplares y se terminó de imprimir en el mes de junio de 1 984 en los talleres de la Dirección General de Integración y Análisis de la Información, sita en Centeno No. 670, colonia Granjas México. Delegación Iztacalco 08400 México, D.F.

ISBN 968-809-916-3

5PP programador) g presupuesto INSTITUTO NACIONAL DE ESTADISTICA


geodesia instituto nacional de estadistica...

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