geo trigo

APUNTES DE GEOMETRA Y TRIGONOMETRA

NEFTAL ANTNEZ H.

NEFTAL ANTNEZ H.

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GEOMETRA Y TRIGONOMETRA

Trigonometra: Rama de las matemticas que estudia la relacin entre lasmedidas de los lados y los ngulos de los tringulos, as como la resolucin yaplicacin de los tringulos en general.

ngulo: Un ngulo es la abertura de dos rectas que se cortan en un punto llamadovrtice. A las rectas que forman el ngulo se les llama lados del ngulo, en la figurasiguiente los lados del ngulo son las semirrectas AB y BC; el vrtice del trianguloes el punto B. Podemos identificar el ngulo mediante las tres letras colocando enmedio la letra del vrtice, esto es: ngulo BAC o ngulo CAB. Otra forma deidentificar el ngulo es mediante la letra del vrtice solamente, es decir, en estecaso B.

C

ABHay tres tipos de ngulos: agudo es el que es menor de 90. Obtuso es el ngulomayor de 90 pero menor que 180. Reflexivo es el ngulo mayor de 180 peromenor de 360.

ngulo Agudo

ngulo Obtuso

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ngulo Reflexivo

Dos ngulos que sumados dan 90 se les llama complementarios. Elcomplemento de 60 es 30. Dos ngulos cuya suma es 180 se les llamasuplementarios. Por ejemplo, El suplemento de 165 es 15. Dos ngulos cuyasuma es 360 se les llama conjugados. El conjugado de 300 es 60.

En la figura anterior los ngulos y son ngulos opuestos por el vrtice, loscuales son iguales entre si. Tambin, ? y ? son opuestos por el vrtice y por lotanto son iguales. Los ngulos c y e, c y a, a y g, g y e, son adyacentes, porquetienen un lado comn y suman 180.

Ejemplo: las lneas AOB y COD son lneas rectas. Hallar los valores de los ngulosx, y, z.

Solucin: 65 = 40 + x (porque son opuestos por el vrtice)x = 25y + 40 = 90y = 50 65 + z + y = 180 (son ngulos adyacentes y en lnea recta.)65 + z + 50 = 180z = 65Los ngulos se miden en grados sexagesimales (base 60, la circunferencia sedivide en 360), grados centesimales (base 10, la circunferencia se divide en 400 )y tambin se miden en radianes (sistema circular, 2p radianes = 360). Nosotros

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usamos solo los grados sexagesimales y los radianes, pues los grados centesimalessolo los utilizan en Europa.

Las equivalencias son las siguientes:

360 = un giro completo alrededor de una circunferencia180 = vuelta alrededor de una circunferencia

90 = de vuelta. UN CUADRANTE.1 = 1/360 de vuelta.

En el sistema sexagesimal, 1 = 60 minutos = 60;1 minuto = 1 = 60 segundos = 60.

Por lo tanto, 1 = 60 = 3600

El radin es el ngulo formado por dos radios y un arco cuya longitud es igual al radio del crculo.

La magnitud de un ngulo medido en radianes est dada por la longitud del arco de circunferenciaque subtiende, dividido por el valor del radio. El valor de este ngulo es independiente del valor delradio.

De esta forma, se puede calcular fcilmente la longitud de un arco de circunferencia; solo bastamultiplicar el radio por el ngulo en radianes. Esto es:Longitud del arco=angulo en rad radios r

sDespejando , quedar

sDespejando r,queda r

= q

q q =

=q

Ejemplo 1: Si s = 3cm y r = 2 cm, calcular q.

= 3/2 = 1.5 rad.

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Ejemplo 2: Si q = 2.5 radianes y r = 3 cm, hallar la longitud del arco

Longitud del arco= s = rq = 3 x 2.5 cm = 7.5 cm

Ejemplo 3: El diagrama muestra parte de un circulo con radio de r cm. Calcular elvalor de r y BOC en radianes.r = s/q

= 2.4/1.2= 2

q = s/r = 1.4/2 = 0.7 radian

BOC is 0.7 radian.

Si consideramos un circulo unitario, cuyo radio r=1, entonces su permetro estdado por P= 2 p * r = 2 p (1)= 2 p, entonces el ngulo de una circunferenciacompleta, medido en radianes es 2 p. Como adems sabemos que este mismongulo, medido en grados mide 360, entonces podemos definir una equivalencia:360 = 2 p rad, si dividimos ambos miembros, queda que 180 = p rad, si ahoradividimos 180 entre p, obtenemos que 1 radian = 57.2958.

De la misma forma obtenemos:90 = p/2 radianes60 = p /3 radianes45 = p /4 radianes30 = p /6 radianes

CONVERSIN DE RADIANES A GRADOSComo 180 = p rad, un nmero conocido de a radianes ser igual a x grados. La frmula deconversin se obtiene usando una regla de tres simple directa y es la siguiente:

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rad

rad

rad

rad

180 ax

Ejemplos : Convertir los radianes a gradosa) 3.125 rad

180 3.125 562.5x 179.053.1416

b) 2.363 rad180 2.363 425.34x 135.39

3.14167c) rad3

7180 4203x 420

=

p

= = =

p

= = =

p

p

p p= = =

p p

oo

oo

oo

o

o

o

o

o

d) Convertir p/8 rad a grados.

180/8 = 25

CONVERSIN DE GRADOS A RADIANES.

Como 180 = p rad, un ngulo conocido de A grados ser igual a x radianes. La frmula deconversin se obtiene usando una regla de tres simple directa y es la siguiente:

Ax rad180

Ejemplos : Convertir los angulos en grados a radianes43 54a) 135 43' 54" = 135 135.7316760 3600

135.73167x rad 2.369 rad180

34 45b) 347 34' 45" = 347 347.57916760 3600

347.5x rad

p=

+ + =

p= =

+ + =

p=

o

o

o o o

o

o

o o o

79167 6.0664 rad180

c) 225225 5x rad 1.25 rad rad.

180 4

=

p= = p = p

o

o

o

o

o

d) Convertir 330 a radianes.330/180 x p = 11p/6 rad.

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Funciones trigonomtricas

Debido a que un tringulo tiene tres lados, se pueden establecer seis relaciones orazones entre los lados del triangulo, dos entre cada pareja de estos lados. Notaque las funciones trigonomtricas son en realidad una razn entre dos lados de untriangulo rectngulo y as se definieron originalmente. Las funcionestrigonomtricas se definieron en forma permanente y no cambian y solo relacionanun ngulo con los lados de un triangulo rectngulo, por esto, es increble que losestudiantes se confundan con ellas, para evitar esto debemos ser observadores ygrabar en nuestra mente lo que no cambia en matemticas. Debemos saberque al lado mayor del triangulo rectngulo se le llama hipotenusa y que los ladosrestantes son catetos simplemente, y solo los etiquetaremos como opuesto oadyacente cuando nos posicionamos en un ngulo cualquiera, en ese caso el ladoque queda enfrente del ngulo ser el cateto opuesto y el otro automticamenteser el cateto adyacente. Aqu lo importante es fijarse en el ngulo al que le vamosa determinar su funcin trigonomtrica. Debemos observar que el ngulo siempreestar formado por la hipotenusa y un cateto (excepto el ngulo recto A), y que elcateto siempre ser el adyacente, pues esta palabra quiere decir a un lado.

Las razones trigonomtricas de un ngulo agudo en un tringulo rectngulo son las siguientes:

Seno: razn entre el cateto opuesto alngulo y la hipotenusa.

Coseno: razn entre el cateto adyacente alngulo y la hipotenusa.

Tangente: razn entre el cateto opuesto alngulo y el cateto adyacente.

Cotangente: razn entre el catetoadyacente al ngulo y el cateto opuesto.

Secante: razn entre la hipotenusa y elcateto adyacente al ngulo.

Cosecante: razn entre la hipotenusa y elcateto opuesto al ngulo.

Las letras usadas para los ngulos agudos son B y C y para los catetos son b yc, las cuales pueden diferir en otros libros, pero las funciones trigonomtricas

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no cambian, siempre el seno ser opuesto entre hipotenusa, el cosenoadyacente entre hipotenusa y la tangente opuesto entre adyacente.

En un triangulo rectngulo se cumplen las propiedades siguientes:

casenA

senAAcaB

cbA

AAsencbsenB

ABBA

=

=-=

=

=-=

-==+

)90cos(...........cos

cos

cos)90(...........

90.........90

AAAAAA

abA

AAabB

sec)90csc(csc)90sec(tan)90cot(

cot

cot)90tan(..........tan

=-=-=-

=

=-=

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Frmulas Fundamentales o Identidades Trigonomtricas

1.- Relacin entre el seno y el cosenosen2a + cos2a = 1

2.- Relacin entre la tangente, seno y coseno

3.- Relacin entre la cotagente, coseno y seno

4.- Relacin entre la secante y el coseno

5.- Relacin entre la cosecante y el seno

6.- Relacin entre la secante y tangentesec2a = 1 + tg2a

7.- Relacin entre la cosecante y la cotangentecosec2a = 1 + ctg2a

Como en el tringulo rectngulo se cumple que a + b = c, de la figura anterior setiene que sen a =a, cos a =b, c=1; entonces (sen a) + (cos a) = 1, Sen2 a + Cos2 a = 1,para todo angulo a..

Algunas identidades trigonomtricas importantes son:

sen (90 - a) = cos a;

cos (90 - a) = sen a

sen (180 - a) = sen a

cos (180 - a) = -cos a

sen 2 a = 2 sen a cos a

sen (a + b) = sen a cos b + cos a sen b

cos (a + b) = cos a cos b - sen a sen b

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tan (a + b) = ( tan a + tan b) / (1 - tan a. tan b)

Funciones trigonomtricas del ngulo negativo

sen (-a) = -senacos(a) = cosatan(a) = -tanacsc(a)= -cscasec(-a)=secacot(a)=-cota

Es suficiente escribir las tres primeras funciones trigonomtricas: seno, coseno ytangente, pues las tres siguientes se obtienen invirtiendo estas funciones pues sonreciprocas, es decir, si una funcin es a/b su reciproca ser b/a. De las relacionesanteriores, observamos que la cosecante es recproca del seno, la secante es recprocadel coseno y la cotangente de la tangente. Como vimos en lgebra, el producto de dosfracciones recprocas es igual a uno, es decir, (a/b)(b/a)=1.

Por lo tanto, obtenemos:

1 1Sen B Csc B 1 Sen B= Csc B=Csc B Sen B

b a baSi sustituimos, sus valores se demuestra: = =1a b ab

1 1Cos B Sec B 1 Cos B= Sec B=Sec B Cos B

c a caSi sustituimos, sus valores se demuestra: = =1a c ac

Tan B Cot B 1

=

=

= 1 1Tan B= Cot B=

Cot B Tan Bb c bcSi sustituimos, sus valores se demuestra: = =1c b cb

Estas identidades se cumplen sin importar que letras usemos:Sen Csc = 1; Cos Sec 1;Tan x Cot x 1

a a q q = =

Ejemplos de funciones recprocas

Encontar el valor de las siguientes funciones :

Cot 151837= Cot 15.3102=1/Tan(15.3102)=1/0.2737=3.651Sec 1161213= Sec 116.2036=1/Cos 116.2036 = -2.26Csc 3901754= Csc 390.29833 = 1/Sen 390.29833 = 1.9821

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Teorema de Pitgoras: "En todo tringulo rectngulo, el cuadrado de lahipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos". Y, "En todotringulo rectngulo, el cuadrado de uno de los catetos es igual a la diferencia entre elcuadrado de la hipotenusa y el cuadrado del otro cateto".

1. Para poder calcular las seis razones trigonomtricas necesitamos hallar la medidadel otro cateto; esto lo hacemos aplicando el Teorema de Pitgoras. Una vez hallado el valorde este cateto, procedemos a encontrar los valores de las razones por medio susrespectivas definiciones:

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2. Primero hallamos el valor de la hipotenusa, aplicando el Teorema de Pitgoras; luego,calculamos las razones trigonomtricas, a partir de sus respectivas definiciones y con losdatos dados y obtenidos:

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Ejemplo: Obtener las funciones trigonomtricas para el triangulo rectngulo siguiente:

4Sen A 0.853Cos A 0.654Tan A 1.333433Cot A 0.7545Sec A 1.666735Csc A 1.254

= =

= =

= =

= =

= =

= =

3Sen B 0.654Cos B 0.853Tan B 0.7543Cot B 1.333443Sec B 1.2555Csc B 1.66674

= =

= =

= =

= =

= =

= =

0.8 es el valor del seno del ngulo A, pero no es el ngulo A, para hallarlo necesitamosusar la calculadora o las tablas matemticas. Si usamos calculadora, debemos usar lafuncin trigonometrica inversa, en este caso, A = arco Sen 0.8 = Sen-1 0.8. Para locual oprimimos en la calculadora una de las teclas: INV, 2nd, Shift y luego Sin y elvalor 0.8 y oprimimos = o EXE, obtenemos 53.1301 . Si deseamos minutos ysegundos entonces oprimimos una de las teclas: INV, 2nd, Shift y luego la tecla conuna flecha izquierda arriba de . Obtenemos 53 07 48. Las funcionestrigonometricas inversas son distintas de las recprocas, la inversa de una funcintrigonomtrica es el mismo nombre de la funcin acompaada de la palabra arc, inv oelevada a la -1, esto es:

1

1

1

Si Sen A x Su inversa es A arc Sen x = Inv Sen x Sen xSi Cos A x Su inversa es A arc Cos x = Inv Cos x Cos xSi Tan A x Su inversa es A arc Tan x = Inv Tan x Tan x

-

-

-

= = =

= = =

= = =

Encontar los ngulos siguientes

arc Sen 0.8342 = 563157arc Csc 3.1720 = arc Sen (1/3.1720) = 182235

Cot 14.312 = arc Tan(1/14.312) = 4252Sec 6.27 = arc Cos (1/-6.27) = 9910

El valor del seno y coseno de un ngulo siempre estar entre 0 y 1. Mientras que latangente de un ngulo si puede ser mayor que 1(para ngulos mayores a 45 ). Siconocemos ese ngulo y hallamos el valor de su funcin obtendremos un nmerodecimal; pero si tenemos un decimal, entonces aplicamos la funcin trigonomtricainversa para hallar el ngulo.

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Propiedades:Sen (Sen-1a) = acos (cos-1a) = atan (tan-1a) = a

Sen-1(-a) = Sen-1(a)cos-1(-a) = p - cos-1(a)tan-1(-a) = -tan-1(a)

Sen-1( ) = cosec-1a

cos-1( ) = sec-1 a

tan-1( ) = cot-1 a

ngulos notables y sus funciones trigonomtricas

0 30 45 60 90

Valores de las funciones de los ngulos principales

Angulos0 30 45 60 90 180270(grados)

Angulos2 /6 /4 /3 /2 3 /2(radianes)

sen 0 1/2 1 0 -1

cos 1 1/2 0 -1 0

tg 0 1 0

ctg 1 0 0

sec 1 2 -1

cosec 2 1 -1

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Otra forma de expresar el teorema de Pitgoras es: El rea del cuadradoconstruido sobre la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados construidossobre los catetos. Esto se observa en la figura siguiente:

Lo cual matemticamente se expresa como: a2 + b2 = c2 (TP) y se usasimplemente el tringulo normal sin los cuadrados, esto es:

c

C

A

Bb

aEstamos usando otras letras para el triangulo para que no te aprendas las letras sinolas funciones trigonomtricas como las razones entre los lados y el teorema dePitgoras como la relacin entre los lados.

El teorema de Pitgoras (TP) nos relaciona los tres lados de un triangulo rectngulo,pero como slo es una ecuacin, podemos calcular slo un lado desconocido, para locual necesitamos conocer los otros dos lados. Cuando despejamos una letra, significaque esta es lo que se desconoce, entonces todo lo que queda a la derecha debe ser loconocido, en este caso:

2 2 2

2 2 2

Si conocemos los catetos a y b, entonces, podemos calcular la hipotenusacomo hipotenusa = cateto1 + cateto2Si usamos letras, siendo c la hipotenusa y a y b los catetos, queda :c =a +b (TP)Extraemo

2 2

2 2

s raices para hallar la hipotenusa sencilla:

hipotenusa= cateto1 + cateto2

c a b (TP1)= +

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2 2 2

2 2 2

2 2

2 2

Si de la ecuacin (TP) despejamos el cateto a, queda:a =c -bSi de la misma ecuacin (TP) despejamos el cateto b, queda:b =c -aExtraemos raices para hallar los catetos sencillos:

a c b

b c aPodemos

= -

= -

2 2

expresarla como una sola ecuacion de la forma:

Cateto desconocido= hipotenusa - cateto conocido (TP2)

Resumiendo, si desconoces la hipotenusa entonces debes conocer los dos catetos paraocupar TP1, si es el caso, entonces elevas al cuadrado cada cateto y los sumas yextraes raz y el resultado ser la hipotenusa, si hiciste bien la operacin la hipotenusadebe salir de mayor valor que los catetos. Si desconoces un cateto debes conocer lahipotenusa y el otro cateto para ocupar TP2, si es el caso, elevas al cuadrado lahipotenusa y le restas el cuadrado del cateto, luego le extraes raz y el resultado es elcateto desconocido, cuyo valor siempre debe salir menor que la hipotenusa si laoperacin fue correcta.

Sabemos que la suma de los tres ngulos interiores de un triangulo es igual a 180 , esdecir, los ngulos A, B y C deben sumar 180 , esto es A + B + C = 180 , pero como estriangulo rectngulo tiene un ngulo recto C que vale 90, por lo tanto, queda:A+B+90 = 180 (SAI), la cual se reduce a A + B = 90 . Si despejamos el ngulo A,queda:

A =90- B y si despejamos el ngulo B, queda: B = 90 - A. Lo anterior significa que siconocemos un ngulo del triangulo rectngulo, para hallar el otro a 90 le restaremosel ngulo conocido.

RESOLUCIN DE TRINGULOS RECTNGULOS

Resolver un triangulo significa hallar sus valores conocidos a partir de algunos valoresdesconocidos. Un triangulo est resuelto cuando se conocen sus tres lados y sus tresngulos.

Con las funciones trigonomtricas, el teorema de Pitgoras y la suma de ngulosinteriores podemos resolver cualquier triangulo rectngulo a partir de dos valoresconocidos. Estos dos valores pueden ser dos lados o bien un lado y un ngulo.

Si conocemos dos lados, entonces usamos el teorema de Pitgoras para hallar eltercer lado y despus una funcin trigonomtrica directa e inversa para hallar uno de

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los ngulos agudos. Para hallar el otro ngulo a 90 le restamos el ngulo halladoanteriormente; para esto, tambin podemos ocupar una funcin trigonomtrica.

Ejemplos:

1) Resolver el triangulo rectngulo siguiente:

c

C

A

B5

7Calculando la hipotenusa pues se conocen los dos catetos:

2 2c 7 5 49 25 74c 8.6023

= + = + ==

El triangulo rectngulo resuelto queda:

8.6023

C

A

B5

7Ahora podemos usar cualquier funcin trigonomtrica para calcular el ngulo A.Usaremos la funcin Seno, queda:

o

opuesto a A 7Sen A 0.8137hipotenusa 8.6023

Tenemos, A=arc Sen 0.8137=54.4623Por lo tanto, B = 90 54.4623 35.5377

= = =

- =

o

o o

p

p

Si usamos una funcin trigonomtrica para calcular el ngulo B, Tangente por ejemplo,queda:

opuesto a B 5Tan B 0.7143adyacente 7

Tenemos, B=arc Tan 0.7143=35.5377

= = =

op

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12C

A

B8

aCalculando el cateto a pues se conoce la hipotenusa y un cateto:

2 2a 12 8 144 80 80a 8.9443

= - = - ==

El triangulo rectngulo resuelto queda:

12C

A

B8

8.9443

Ahora podemos usar cualquier funcin trigonomtrica para calcular el ngulo A.Usaremos la funcin Coseno, queda:

o

adyacente a A 8Cos A 0.6667hipotenusa 12

Tenemos, A=arc Cos 0.6667=48.1897Por lo tanto, B = 90 48.1897 41.8103

= = =

- =

o

o o

p

p

Si usamos una funcin trigonomtrica para calcular el ngulo B, Tangente por ejemplo,queda:

opuesto a B 8Tan B 0.8944adyacente 8.9443

Tenemos, B=arc Tan 0.8944=41.8103

= = =

op

Si conocemos un lado y un ngulo, primero hallamos el otro ngulo agudo restando a90 el ngulo conocido. Despus hallamos otro lado del triangulo, para esto usamosuna funcin trigonomtrica de un ngulo que incluya al lado conocido y a un ladodesconocido, pues no podemos usar una funcin trigonomtrica que tenga dos ladosdesconocidos. Para hallar el tercer lado podemos usar el teorema de Pitgoras aunquetambin podemos ocupar una funcin trigonomtrica.Ejemplos:

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a

b

B

35

C

10

Calculando el ngulo B: B = 90 - 35 = 55El triangulo rectngulo queda:

10C

35

555.736

8.191

Ahora escribimos las tres funciones trigonomtricas para el ngulo de 55. Tenemos:o

o

o

bSen 5510aCos 55

10bTan 55a

=

=

=

No podemos usar Tangente porque tiene dos incgnitas. Con la funcin Seno hallamosel lado b, b = 10 Sen 55 = 10 (0.8191)=8.191; con la funcin Coseno hallamos el ladoa, a = 10 Cos 55 = 10 (0.5736) = 5.736.

10C

3 5

5 55 .7 3 6

8 .1 9 1


b

43

Ac

7

o

Calculando el ngulo A: A = 90 - 43 = 47

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19

El triangulo rectngulo queda:

b

43c

7

o

47o

Ahora escribimos las tres funciones trigonomtricas para el ngulo de 47 o para el de43. Tenemos:

o

o

o

7Sen 47cbCos 47c7Tan 47b

=

=

=

No podemos usar Coseno porque tiene dos incgnitas. Con la funcin Seno hallamos ellado c, c = 7/ Sen 47 = 7/0.7313 = 9.571; con la funcin Tangente hallamos el lado b,b = 7 / Tan 47 = 7 / (1.0723) = 6.528.

C7

9.571

6 .5 2 84 7 o

4 3o

Observa siempre que en todo triangulo a mayor ngulo siempre le corresponder unmayor lado. Por ejemplo, en la figura anterior al menor ngulo 43 le corresponde elmenor lado 6.528 y que al mayor ngulo 90 le corresponde la hipotenusa, el mayorlado, 9.571.

RESOLUCIN DE TRINGULOS OBLICUNGULOS

Un triangulo oblicungulo es aquel que no tiene un ngulo recto, es decir, es el que noes rectngulo. Por lo tanto, no podemos usar el teorema de Pitgoras para resolverlos(solo se usa cuando es rectngulo); pero, si podemos usar las funcionestrigonomtricas aunque de manera distinta, ya que no las usaremos como una raznentre lados, pues esto slo es verdad en el triangulo rectngulo. Porque no podemosusar el teorema de Pitgoras ni las funciones trigonomtricas, entonces tenemos quehacer uso de dos herramientas adicionales: La Ley de los Senos y la Ley de losCosenos.

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Ley de los SenosEstablece que los lados de un triangulo son proporcionales al Seno de su nguloopuesto, esto es:

c

bC

A

a

B

Matemticamente, la ley de los senos se escribe como:a b c (LSEN)

Sen A Sen B Sen C= =

Arriba se escriben los lados y en el denominador el Seno de su ngulo opuesto (el queest frente al lado). Esta relacin se escribe completa, pero se usa tomando slo dosrazones de las tres que la forman. Se toman aquellas dos que slo contienen unaincgnita y los tres valores restantes son conocidos.

Ley de los Cosenos

Se utiliza en dos situaciones:

Caso 1) Cuando se conocen dos lados y el ngulo que forman estos ladosconocidos. Entonces, podemos calcular el lado desconocido que est opuesto al nguloconocido. Esto es:

c

b

A

a

c

b a

Bc

bC

a

2 2 2

2 2

a =b +c -2bc Cos A (LCOS1)

a = b +c -2bc Cos A\

2 2 2

2 2

b =a +c -2ac Cos B (LCOS2)

b = a +c -2ac Cos B\

2 2 2

2 2

c =a +b -2ab Cos C (LCOS3)

a = a +b -2ab Cos C\

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El lado opuesto desconocido se calcula entonces elevando al cuadrado cada ladoconocido y sumndolos despus le restamos el doble producto de los lados conocidospor el coseno del ngulo que forman los lados conocidos y por ltimo le extraemos razpara hallar el lado desconocido. Despus usamos la ley de los senos para hallar losngulos.Ejemplos: Resolver los tringulos siguientes:

o

a

62 45'

12

142 2 oa = 12 +14 -2(12)(14)Cos 62 45'

a = 144+196-336(0.4579)

a = 340-153.8456 186.1544a 13.644

==

Sustituyendo este dato en el triangulo, queda:

o62 45'

12

14

13.644C

B

Ahora escribiendo la Ley de los Senos para el triangulo anterior:

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o

o

o

13.644 12 14Sen 62 45' Sen B Sen CTomando la primera y segunda razon, tenemos:

13.644 12sen 62 45 ' sen BMultiplicando cruzado,queda :

12 Sen 62 45' 12(0.8890)Sen B 0.781913.644 13.644

B arc Sen 0.7819 51.43

= =

=

= = =

= =p o

o

o

o

32Tomando la primera y tercera razon, tenemos:

13.644 14sen 62 45 ' sen CMultiplicando cruzado,queda :

14 Sen 62 45' 14(0.8890)Sen C 0.912213.644 13.644

C arc Sen 0.9122 65.813

=

= = =

= =p

Como sabemos que la suma de los ngulos interiores es igual a 180, esto es: A + B + C

= 180, tenemos que 62 45 + 51.4332 + 65.813 = 180 , resulta: 179.9962 z 180.OK. Los valores son aproximados por los decimales tomados.

Resolver el triangulo oblicungulo siguiente:

c112 30'

o

75

85

2 2 oc = 75 +85 -2(75)(85)Cos 112 30'

c = 5625+7225-12750(-0.3827)

c = 12850+4879.2138 17729.2138c 133.151

==

Observe que como el ngulo anterior es mayor de 90, su Coseno sale negativo y con elmenos de la frmula se hace positivo y por esto se suma.Sustituyendo este dato en el triangulo, queda:

NEFTAL ANTNEZ H.

23

o112 30'

75

85

133.151

A

B

Ahora escribiendo la Ley de los Senos para el triangulo anterior:

o

o

o

o

85 75 133.151Sen A Sen B Sen 112 30 'Tomando la primera y tercera razon, tenemos:

85 133.151Sen A Sen 112 30 'Multiplicando cruzado,queda :

85 Sen 112 30 'Sen A 0.5898133.151

A arc Sen 0.5898 36.1414Tomando

= =

=

= =

= =p

o

o

o

la segunda y tercera razon, tenemos:75 133.151

Sen B Sen 112 30'Multiplicando cruzado,queda :

75 Sen 112 30'Sen B 0.5204133.151

B arc Sen 0.5204 31.3587

=

= =

= =p

Como sabemos que la suma de los ngulos interiores es igual a 180, esto es: A + B + C

= 180, tenemos que 112 30 + 36.1414 + 31.3587 = 180 , resulta: 180.0001 z180. OK.

NEFTAL ANTNEZ H.

24

Caso 2) Cuando se conocen los tres lados, entonces los ngulos se calculan con laLey de los Cosenos, en las cuales se han despejado los ngulos. Esto es:

c

b

A

a

c

b a

Bc

bC

a

2 2 2a -b -cCos A=-2bc

2 2 2b -a -cCos B=-2ac

2 2 2c -a -bCos C=-2ab

El ngulo desconocido se calcula elevando al cuadrado el lado opuesto al ngulodesconocido, despus le restamos cada uno de los cuadrados de los otros dos lados,dndonos esto el numerador, calculamos el doble producto negativo de los ladosconocidos y esto nos dar el denominador, dividimos el numerador entre eldenominador, dndonos una resultado menor o igual que 1, a este resultado lehallamos el inverso de Coseno y este ser el ngulo buscado. Si nos sale negativo,entonces el ngulo nos debe salir mayor a 90. Esto se repite para los otros dosngulos, que al ser hallados nos permitir tener resuelto el triangulo oblicungulo.Ejemplos: Resolver los tringulos siguientes:

C

A B

63

61

58

En este caso la ley de los cosenos queda:

NEFTAL ANTNEZ H.

25

2 2 2

1 o

2 2 2

1 o

2 2 2

1

63 -58 -61 -3116Cos A= 0.4404-2(58)(61) -7076

A Cos 0.4404=63.87358 -63 -61 -4326Cos B= 0.5628-2(63)(61) -7686

B Cos 0.5628=55.747561 -58 -63 -3612Cos C= 0.4943-2(58)(63) -7308

C Cos 0.4943=60

-

-

-

= =

=

= =

=

= =

= o

o o o o

.3795Comprobacion : 63.873 55.7475 60.3795 180 . OK+ + =

80

90

140B

C

A

En este caso la ley de los cosenos queda:2 2 2

1 o

2 2 2

1 o

2 2 2

140 -80 -90 5100Cos A= 0.354167-2(80)(90) -14400

A Cos 0.354167=110.742490 -140 -80 -17900Cos B= 0.7991-2(140)(80) -22400

B Cos 0.7991=36.95580 -140 -90 -21300Cos C= 0.8452-2(140)(90) -25200

C

-

-

= = -

= -

= =

=

= =

1 o

o o o o

Cos 0.8452=32.3025Comprobacion :110.7424 36.955 32.3025 180 . OK

-=

+ + =

Caso 3) Cuando se conocen dos lados y un ngulo, pero el ngulo no lo forman losdos lados conocidos. En este caso, necesitamos utilizar necesariamente la ley de losSenos y despus que la suma de los tres ngulos de interiores de un triangulo es iguala 180, despus podemos ocupar la ley de los Senos o la ley de los Cosenos.Ejemplo: Resolver el triangulo oblicungulo siguiente:

NEFTAL ANTNEZ H.

26

C

B57o

33 35

cAhora escribiendo la Ley de los Senos para el triangulo anterior:

o

o

o

o

35 33 cSen 57 Sen B Sen CTomando la primera y segunda razon, tenemos:

35 33Sen 57 Sen BMultiplicando cruzado,queda :

33 Sen 57Sen B 0.790735

B arc Sen 0.7907 52.2553

= =

=

= =

= =p

Como la tercera razn tiene 2 incgnitas el lado c y el ngulo C, no podemos aplicarnuevamente la Ley de los Senos, antes debemos calcular el ngulo C, sabiendo que lasuma de los 3 ngulos interiores es 180, esto es: C= 180 - (A+B), es decir, el tercerngulo se obtiene restandole a 180 la suma de los otros dos ngulos. En este caso: C= 180 - (57 + 52.2553) = 180 - 109.2553 = 70.7447

Escribiendo en el triangulo oblicungulo los valores anteriormente hallados, queda:

c

33

57

35o

70.7447

52.2553

o

o

Podemos usar La ley de los Cosenos, pues conocemos los lados 33 y 35 y el ngulo queforman entre ellos (70.7447), pero usaremos la Ley de los Senos, la cual en este casoqueda como:

NEFTAL ANTNEZ H.

27

o o o

o o

35 33 cSen 57 Sen 52.2553 Sen 70.7447Podemos usar la 1a y 3a razon, pero tambien la 2a y 3a razon,Tomando la primera y tercera razon, tenemos:

35 cSen 57 Sen 70.7447Multiplicando cruzado,queda :

35 Sc

= =

=

=o

o

en 70.7447 39.3981Sen 57

=

Caso 4) Cuando se conocen dos ngulos y un lado. En este caso primero hallamos elotro ngulo, usando la relacin: ngulo conocido = 180 - (suma de los dos ngulosconocidos). Luego aplicamos la ley de los senos.Ejemplo: Resolver el triangulo oblicungulo siguiente

24o

oCa

68

60

b

El ngulo C, lo obtenemos mediante: C = 180 - (68 + 60) = 180 - 128 = 52El triangulo con este valor incluido, queda como:

a

2468o

60o

b

o52

Escribiendo la ley de los Senos para este triangulo, queda:

NEFTAL ANTNEZ H.

28

o o o

o o

o

o

a b 24Sen 68 Sen 60 Sen 52Podemos usar la 1a y 3a razon, pero tambien la 2a y 3a razon,Tomando la primera y tercera razon, tenemos:

a 24Sen 68 Sen 52Multiplicando cruzado,queda :

24 Sen 68a 28Sen 52

= =

=

= =

o o

o

o

.2387

Tomando la segunda y tercera razon, tenemos:b 24

Sen 60 Sen 52Multiplicando cruzado,queda :

24 Sen 60b 26.376Sen 52

=

= =

Finalmente, el triangulo oblicungulo totalmente resuelto es:

68o

60oo52

24

26.3

76

28.2387

Resolver el triangulo rectngulo siguiente:

NEFTAL ANTNEZ H.

29

Resolver el problema siguiente: Desde una embarcacin se ve un faro con unngulo de elevacin de 1015. Se sabe que el faro tiene 45 metros de altura sobreel nivel del mar. Calcular la distancia que hay entre la embarcacin, y el faro.

CRCULO TRIGONOMTRICO

Si usamos una circulo unitario (con radio igual a uno), entonces la hipotenusa deltringulo es igual a 1. El tringulo OAC es un tringulo rectngulo y por lo tantonos sirve para definir las funciones trigonomtricas y determinar el signo que lasfunciones tienen en los diferentes cuadrantes.

Del triangulo rectngulo anterior se obtienen las funciones trigonomtricas, que sereducen pues d = 1.

ad y

x

NEFTAL ANTNEZ H.

30

Sen ay y yd 1

= = =

Cos ax x xd 1

= = =

Tan ay Senx Cos

a= =

a

Por lo tanto el signo de las funciones trigonomtricas Seno y Coseno dependen delsigno que y e x tengan en sus cuadrantes respectivamente. Como y es positiva enlos cuadrantes I y II tambin el Seno es positivo. Tambin, y es negativa en loscuadrantes III y IV, por lo tanto en esos cuadrantes tambin el Seno es negativo.Similarmente, el Coseno es positivo en el Cuadrante I y IV y negativo en el II y III.La Tangente depende de los signos de x e y, por lo tanto cuando los dos sonpositivos o negativos la Tangente es positiva, esto ocurre en el I y III cuadrante;cuando x e y son de signos distintos, entonces la Tangente es negativa, esto ocurreen los cuadrantes II y IV.

Resumiendo: Signo de las funciones trigonomtricas en los distintoscuadrantes

Funcin/Cuadrante I II III IVSen + + - -Cos + - - +Tan + - + -Csc + + - -Sec + - - +Cot + - + -

ngulo cuadrantes: son aquellos que limitan los cuadrantes(0,90,180,270,360)

Valores de las funciones en los ngulos limitantes de los cuadrantes.

0 90 180 270 360Sen 0 1 0 -1 0Cos 1 0 -1 0 1Tan 0 0 - 0Csc 1 -1 Sec 1 -1 1Cot 0 0

NEFTAL ANTNEZ H.

31

Funciones trigonomtricas de la suma y resta de dos ngulos

sen (a+ b) = sena+ cosb + sena+ cosbcos (a+ b ) = sena+ cosb - sena+ cosbsen (a- b) = sena+ cosb - sena+ cosbcos (a- b) = sena+ cosb + sena+ cosb

Funciones trigonomtricas del ngulo doble

sen 2a = 2 sena cosa cos2a = cos2a-sen2a; cos2a = 2cos2a -1; cos2a = 1-2sen2a

geo trigo

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