Gauss y el mito de los primeros cien números / CIENCIORAMA 1

Karl Friedrich Gauss

Gauss y el mito de los primeros cien números

Carlos Velázquez

Su majestad Gauss, príncipe de las matemáticas

Karl Friedrich Gauss nació el 30 de abril de 1777 en Brunswick, Alemania.

La vida de Gauss estuvo envuelta a tal punto en la resolución de

problemas matemáticos, que incluso saber su propia fecha de nacimiento

supuso un reto matemático para él. Su madre, Dorothea Benzer, por

alguna razón nunca recordó la fecha exacta del nacimiento de su hijo,

pero paradójicamente sí recordaba que Karl Friedrich nació un miércoles,

ocho días antes del festival de la Ascensión, el cual ocurría 40 días

después de la Pascua. Cuando Gauss fue consciente de esto, ideó un

método para calcular cuándo ocurrieron las Pascuas de los años pasados

y cuándo ocurrirían las de los futuros, de modo que ya no había que

esperar a observar los acontecimientos astronómicos que determinan la

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fecha, a saber: primer domingo después de la luna llena tras el equinoccio

de primavera en el hemisferio norte. Complicado de recordar ¿no?

Gauss fue un niño genio. Aprendió a leer por sí mismo y practicó

aritmética elemental desde muy pequeño; se dice que a los tres años

encontró y corrigió un error en las cuentas de la nómina de su padre.

Más tarde Gauss diría de sí mismo que había aprendido a sumar antes

que a hablar -como de toda afirmación acerca de uno mismo, no

deberíamos descartar alguna pequeña presunción de su parte-.

Figura 1. Gauss nació y creció en la ciudad alemana de Brunswick. La ilustración

corresponde a un boceto de la ciudad en el siglo XVI.

Imagen tomada de:

http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/2/24/Braun_Braunschweig_UBHD.jpg

A los siete años Gauss ingresó a una de las escuelas de primeras letras

de Brunswick -el equivalente a una primaria-, donde se supone que ocurrió

la celebrada anécdota de la suma de los primeros cien números que

resolveremos adelante, ¿pero será un mito tejido alrededor del nombre de

Gauss debido a su endemoniada capacidad para las matemáticas?

Su fama de niño genio hizo que pronto fuera conocido en todo su

condado natal, y a los 14 años fue presentado ante el duque de

Brunswick, quien lo apoyó para que ingresara al Collegium Carolinum, hoy

Universidad Técnica de Brunswick. Aquí, Gauss volvió a sorprender a todos

por su gran facilidad para las lenguas, ya que dominó el griego y el latín

con facilidad. De hecho, hubo un momento en que dudó entre las

matemáticas o la filología, pero a partir de los 17 años se dedicó de lleno

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a la gran pasión de su vida: la aritmética. Esto lo testimonia una de las

frases que solía repetir: "la matemática es la reina de las ciencias, y la

aritmética es la reina de las matemáticas".

A los 19 años, durante una estancia en la Universidad de Göttingen,

Gauss escribió su más célebre obra, Disquisitiones Arithmeticae. En ella

recogió todos los resultados que había descubierto hasta entonces y creó

el fundamento para una nueva rama de las matemáticas, la teoría de los

números. Esta teoría se dedica a estudiar las propiedades de los números

y más específicamente de los números enteros (ver, Sobre los números

reales, naturales, imaginarios..., en Cienciorama). Si te parece que esto

suena a algo muy sencillo, te diré que contra lo que nuestra intuición nos

indica, la teoría de los números es una de las disciplinas más difíciles de

las matemáticas, y muchos de los problemas más arduos que tienen por

resolver las matemáticas modernas están en ese campo.

Las contribuciones de Gauss no se limitaron a las matemáticas puras

o que no tienen una aplicación práctica inmediata, hizo aportaciones

fundamentales y decisivas a la astronomía, a la geodésica y a muchas

ramas de la física, como el magnetismo y la óptica, a tal punto que

muchos de los resultados que obtuvo con sus nuevos métodos

matemáticos sólo pudieron ser mejorados hasta la segunda mitad del siglo

XX.

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Figura 2. Las contribuciones de Gauss a la ciencia son innumerables, entre otras están su

invento del heliotropo --instrumento para mediciones geodésicas-- y del primer precursor

del telégrafo, la modelación del campo magnético de la Tierra y la medición de la órbita

de varios cuerpos celestes. Créditos al final.

Sin embargo, uno de sus descubrimientos más célebres podría parecernos

relativamente modesto hoy en día: en su famoso Disquisitiones

Arithmeticae Gauss demostró que es posible trazar un polígono regular de

17 lados usando sólo regla y compás. Quizá no parezca trascendental,

pero el hecho es que desde la época griega sólo se sabía de las reglas

para construir triángulos regulares, cuadrados, pentágonos y una figura de

15 lados iguales usando sólo regla y compás, además de todas las figuras

que doblan este número de lados. Hasta que Gauss hizo su descubrimiento

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se pensaba que no existía ninguna otra figura que pudiera trazarse usando

sólo regla y compás.

Para darnos uno idea de qué tan trascendente fue este hecho para

las matemáticas, diría que es equivalente a que los químicos de hoy en

día descubrieran un nuevo elemento del que jamás hubieran sospechado

su existencia. En el fondo, podemos decir que este descubrimiento les

mostró a los matemáticos todo un nuevo mundo de posibilidades en el

que se mezclaban la aritmética, el álgebra y la geometría.

Figura 3. Gauss demostró que era posible construir un polígono regular de 17 lados

utilizando sólo regla y compás.

Imagen tomada de: http://sp8.fotolog.com/photo/40/6/1/prism/1096953090_f.jpg

Por último, antes de pasar a las anécdotas, te menciono que las

contribuciones más importantes de Gauss a la astronomía consistieron en

el cálculo de la órbita de algunos cuerpos celestes recién descubiertos -

asteroides y planetas-, lo cual era necesario para saber hacia dónde

apuntar el telescopio para volver a encontrarlos. Para ello hay que realizar

un trabajo matemático arduo y hay que trabajar con muchas mediciones,

con incertidumbres y errores asociados, de modo que hay que saber cómo

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tratar con cautela las cifras. Mientras trabajaba en todo esto Gauss inventó

varios métodos para poder hacer predicciones aceptables, y entre otras

cosas describió las propiedades de una gráfica que nos da la forma típica

en que se presentan las incertidumbres aleatorias alrededor de un valor

promedio. Hoy en día conocemos esta gráfica como la campana de Gauss,

y es el compañero infaltable de todos los científicos que trabajamos en

los laboratorios de todo el mundo, y también para los economistas y

sociólogos.

Figura 4. La curva normal o campana de Gauss, es la mejor manera de representar la

distribución de una variable aleatoria alrededor de su valor promedio. Imagen tomada de:

http://i.stack.imgur.com/QiTPe.png

La suma celebre

Ahora que ya hemos obtenido un panorama de la vida de Gauss, te

propongo que regresemos a la niñez de este genio y revisemos uno de los

problemas que se dice que resolvió de pequeño y que se ha vuelto un

clásico de los escritos de divulgación, la suma de los primeros 100

números: "En la década de los 1780 un maestro de primaria en Alemania les

planteó a sus estudiantes el tedioso trabajo de sumar los primeros 100 números

enteros. El maestro esperaba que sus pupilos se mantuvieran ocupados y

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silenciosos alrededor de una media hora, sin embargo uno de ellos, de forma

casi inmediata dio con la respuesta correcta y se la entregó al maestro. Este

niño prodigio era Karl Friedrich Gauss."

Antes de discutir lo que se sabe acerca de la anécdota misma, te

propongo que resolvamos este ejercicio matemático, que resulta bastante

entretenido.

¿Sumar los primeros 100 números? Bueno, para que no queden

dudas, esto quiere decir sumar 1+2+3+4+5+6… hasta llegar a 100. Creo

que es obvio que simplemente ponernos a sumar será un trabajo tedioso y

fácilmente podemos cometer algún error, así que ¿cómo podemos generar

una respuesta rápida y a prueba de errores? En realidad es posible usar

varios métodos, pero veamos los dos más clásicos.

El primero con el último

Notemos que si sumamos 100+1 obtendremos 101, si sumamos 99+2=101,

98+3=101, o sea, si vamos sumando el primer número con el último, luego

el segundo con el penúltimo, el tercero con el antepenúltimo, etcétera,

siempre obtendremos el mismo resultado. ¿Cuántas veces podemos hacer

esto? Podemos hacerlo exactamente 50 veces, ya que con cien números

podemos formar 50 parejas. Esto significa que la suma de

1+2+3+...+98+99+100 es exactamente igual que sumar 101 cincuenta veces,

o bien, 50 x101=5050. ¡Tan-tán! Casi mágico ¿no lo crees?

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Figura 5. Un método para resolver la suma es formar parejas que al sumarse siempre dan

el mismo resultado.

El triángulo con dientes

Bueno y para no quedarnos con ninguna duda, comprobémoslo mediante

el segundo método. Si representamos a 1 mediante un cuadrado, a dos

mediante dos cuadrados, etc., y los ordenamos de manera creciente,

entonces podemos formar la figura de una escalera, ver la figura 6. Hacer

la suma se reduce a calcular el área de esta figura que podemos

considerar un triángulo con dientes. Primero calculemos el área del

triángulo sin los dientes, que será simplemente la base (que mide 100) por

la altura (que también mide 100) dividida entre dos lo cual es (100 x

100)/2 = 5000. Sin embargo nos falta sumar el área de los dientes. Cada

uno de los dientes vale la mitad de una unidad, y tenemos una de estas

mitades por cada columna, de modo que el área total que ocupa es

100/2=50. Juntando nuestros dos resultados tenemos que el área total es

5000 + 50 = 5050, como habíamos obtenido mediante el razonamiento

anterior.

¡Increíble! La primera vez que supe cómo hacer esta suma me quedé

gratamente sorprendido del poder de razonamiento y de la elegancia del

resultado, aunque debo confesar que pasó mucho tiempo para que viera

cómo esto se puede extender a otras sumas más complicadas. Con esto

queda clara la genialidad temprana de Gauss. Sin embargo, las

matemáticas son tan extensas y los hechos anecdóticos suelen estar

salpicados por tantas imprecisiones que deberíamos tener cuidado a la

hora de darlos por sentado. Incidentalmente, la leyenda suele decir que el

niño Gauss utilizó el primer método.

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Figura 6. Otro método para realizar la suma de los primeros 100 números. En este caso

dividimos la figura en dos formas geométricas conocidas y el problema se reduce a

calcular sus áreas. En la figura solo tomamos los primeros 30 números para ejemplificar

el método.

Gauss y el mito de la suma

Hasta aquí no hay duda del personaje fuera de serie que tenemos entre

manos, pero su genialidad hizo que se tejieran muchos mitos a su

alrededor. En particular el mito de la suma de los primeros 100 números

suele contarse muy a menudo. Lo primero que debemos saber es que

Gauss no fue el primero en resolver este problema ya que su solución se

conoce al menos desde el siglo VIII d.C., y fue propuesto y resuelto por

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Alcuino de York, un monje matemático inglés que trabajó en la Escuela

Palatina de Carlomagno. Sin embargo, la anécdota no remarca el hecho de

que Gauss haya sido el primero, sino que lo hubiera resuelto teniendo

escasos nueve años.

Pero como siempre es bueno caminar sobre seguro, no está de más

preguntarse ¿qué pruebas se tienen de que Gauss resolvió esta suma? Esta

pregunta es la misma que hace no mucho se hizo Brian Hayes. Él, en su

calidad de escritor sobre temas de la ciencia, había escuchado sobre la

anécdota de Gauss, pero cuando él mismo la repitió en uno de sus

escritos se dio cuenta de que jamás había reparado en los detalles de

esta historia. Como en todo lo que uno hace con cuidado y en especial

tratándose de cuestiones históricas, le empezaron a surgir dudas y quiso

saber a fondo cómo habían ocurrido las cosas. Después de un buen rato

de buscar se dio cuenta de que era una de las narraciones con más

variaciones que se pueden encontrar, así que decidió llegar a la raíz del

asunto y ver cuál era la fuente primaria de la que se derivaba toda esta

multiplicidad de relatos y emprendió una épica búsqueda bibliográfica.

Figura 7. Ilustración del famoso relato de la solución de Gauss a la suma de los primeros

100 números. Imagen tomada de:

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http://francis.naukas.com/files/2010/04/dibujo20100415_fanciful_drawing_young_carl_friedri

ch_gauss_receives_instruction_arithmetic_from_schoolmaster_j_g_buttner.png

Al final Hayes llegó a la conclusión de que la mayor parte de las

biografías y libros más antiguos en los que se relata la anécdota utilizan

como fuente el escrito de Wolfgang Sartorius, profesor de mineralogía y

geología en la Universidad de Göttingen, donde Gauss realizó su carrera

académica en la madurez. El escrito es un memorial que se publicó un

año después de la muerte de Gauss. Para evitar más confusiones, creo

conveniente poner directamente lo encontrado por Hayes:

En 1784, después de su séptimo cumpleaños, el pequeño [Gauss] entró en

una escuela pública donde se enseñaban materias elementales y que estaba

entonces bajo la dirección de un hombre llamado Büttner. La escuela

consistía en un aula simple, de techo bajo con un suelo desgastado y

desigual (...). En esta escuela, que parece haber seguido en gran parte el

patrón de enseñanza de la Edad Media, el joven Gauss permaneció dos

años sin que ocurriera algún incidente especial. Para entonces había llegado

a la clase de aritmética en la que la mayoría de los chicos se mantuvieron

hasta sus quince años.

Aquí ocurrió un incidente que Gauss solía recordar en los días de su vejez

con mucha animación y entusiasmo. En esta clase, el alumno que terminaba

primero sus ejercicios de aritmética colocaba su pizarra en medio de una

gran mesa. Encima de ésta, el segundo en terminar colocaba su pizarra y

así sucesivamente. El joven Gauss acababa de entrar a la clase cuando

Büttner dictó un problema (la suma de una serie aritmética). El problema

apenas acababa de dictarse cuando Gauss lanzó su pizarra sobre la mesa

con las palabras (en el dialecto del bajo Braunschweig): “Allí está”.

"(...) Al final de la hora todos voltearon sus pizarras hacia arriba. La del

joven Gauss había sido la primera y solamente tenía una pequeña anotación

como respuesta. Cuando Büttner dio lectura a la respuesta, para sorpresa

de todos los presentes, la respuesta de Gauss resultó ser correcta, mientras

que muchos de los otros estaban equivocados.

Gauss y el mito de los primeros cien números / CIENCIORAMA 12

Lo interesante de este relato es que no se encuentra la referencia a la

suma de los primeros cien números por ninguna parte. Cuando Hayes

buscó cuál era la primera referencia escrita acerca de Gauss resolviendo

esta suma en particular, sólo la encontró en una biografía de él hecha por

Ludwig Bieberbach, escrita 82 años después del memorial de Sartorius.

Números triangulares

Pero para que no nos quedemos en blanco, te diré un resultado que

Gauss sí obtuvo y que pertenece a la nueva ciencia de la teoría de

números, se trata del teorema de la descomposición en números

triangulares. ¿En números qué? Tranquilo, es muy sencillo, decimos que un

número es triangular si al tomar un número de bolitas igual a ese número

somos capaces de formar un arreglo triangular. Para que acabes de

visualizar esta definición ve la figura 8. Debemos notar que

matemáticamente consideramos que también el 0 es un número triangular.

Figura 8. Números triangulares.

Gauss y el mito de los primeros cien números / CIENCIORAMA 13

Como ves, los números triangulares son sólo una pequeña fracción de

todos los números. Bueno, sin embargo Gauss se dio cuenta de que:

"Todo número entero puede obtenerse como la suma de tres números

triangulares".

Otra vez ¿qué? No hay que desesperarse, para que entiendas qué

quiere decir esto nota que:

2 = 0+1+1

4 = 0+1+3

5 = 1+1+3

...

20 = 0+10+10

Este teorema no dice que los números triangulares deban ser distintos,

pero lo que sí asegura es que cualquier número se puede escribir como la

suma de tres triangulares. En realidad Gauss estaba tan emocionado con

su resultado que en su diario está anotado "¡Eureka! num=++"

El mito y la leyenda

Bien, aquí te he contado sobre la carrera de uno de los matemáticos más

brillantes que ha habido en la historia de la humanidad. Al final te quise

mostrar algo que es propio no sólo de la ciencia sino de cualquier

actividad humana: la tendencia que tenemos a crear mitos, a agregar

detalles anecdóticos a sucesos del pasado y que no siempre es posible

comprobar, pero que el tiempo inserta en la memoria colectiva hasta que

se vuelven parte de ella.

Con esto quiero decir que es necesario estar siempre atentos a este

tipo de situaciones y verlas siempre con un poco de escepticismo.

Por ahora es todo, espero que te haya gustado saber del príncipe

de las matemáticas. Todos los descubrimientos y la vida de quienes los

realizan están llenos de anécdotas y acontecimientos que vale la pena

conocer y recordar, y para saberlos creo que la mejor receta que tenemos

Gauss y el mito de los primeros cien números / CIENCIORAMA 14

es mantener los ojos y la mente bien abiertos y hacer un montón de

preguntas impertinentes. Hasta luego.

Bibliografía

-Mariano Santander. Las contribuciones de Gauss a la Física: un panorama. Universidad

Politécnica de Catalunya, España, 2011.

-Agustí Reventós & Carlos J. Rodríguez. Gauss y la geometría: geodesia y geometría no

euclidiana. Universitat Autónoma de Barcelona, España, 2006.

-Eric Temple Bell. Los grandes matemáticos. Editorial Losada, Buenos Aires, Argentina,

1948.

Créditos por las Imágenes en la Figura 2:

Arriba a la derecha tenemos un ejemplo de un heliotropo antiguo:

http://www.ign.es/ign/none/museoAmpliaciones.do?ampliacion=../resources/museoVirtual/in

strumentos/L075.jpg

Una vez que su amigo Alexander Von Humboldt convenció a Gauss de trabajar en el

campo del magnetismo terrestre, sus resultados fueron tan fructíferos que incluso inventó

los primeros precursores de la comunicación electromagnética. En la ilustración de arriba

a la derecha vemos un tipo rudimentario de telégrafo, con el que se comunicaba con su

colaborador Wilhelm Eduard Weber:

http://histel.com/z_histel/textos_bio/images_bio/gauss_weber_tlg.gif

La medición de las órbitas de los cuerpos celestes siempre ha representado un

formidable problema matemático, y en la época del descubrimiento de asteroides y

nuevos planetas, Gauss ejercitó su extraordinaria capacidad matemática. Su primer triunfo

lo representó la predicción de la posición donde debía aparecer el recientemente

observado asteroide Ceres, descubierto en 1801 por Giuseppe Piazzi.

http://es.wikipedia.org/wiki/Ceres_%28planeta_enano%29#/media/File:Ceres_RC2_Bright_Sp

ot.jpg