gade. relación de problemas. 2015-16

7/25/2019 GADE. Relacin de Problemas. 2015-16

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GRADO EN ADMINISTRACIN YDIRECCIN DE EMPRESAS

SEGUNDO CURSO

RELACI N DE PROBLEMAS

Curso acadmico2015-2016

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Facultad de Ciencias Econmicas y Empresariales Avda. Ramn y Cajal, 1 41018-evilla!el".# $%4%%&'48 Fa(# $%4%%&'4$ Correo-e# "cceedea)*us.es

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GADE. Estadstica Avanzada. 2015-16_______________________________________________________________________________________________

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CORRESPONDENCIA DE LOS PROBLEMAS CON LOS TEMAS DELPLAN DOCENTE DE LA ASIGNATURA

Problema Temas Problema Temas Problema Temas

1 9 30 7, 8 59 4, 7, 102 8, 9, 10 31 8, 9 60 7, 8, 9, 103 7, 8, 9 32 4, 7, 9, 10 61 7, 8, 94 7, 8 33 8 62 4, 7, 8, 9, 105 7, 8 34 9 63 7, 8, 96 7, 8 35 4 64 7, 8, 97 4 36 8, 9 65 48 4 37 5, 8 66 8, 9, 10

9 7 38 9, 10 67 7, 8, 1010 4 38 7, 9 68 8, 911 7 40 8, 9, 10 69 3, 412 8, 9 41 4 70 7, 8, 913 7, 8, 9 42 9 71 7, 8, 914 4, 6 43 10 72 415 7, 8 44 4 73 7, 8

16 8, 9 45 5, 7 74 1017 8, 9 46 8, 9 75 3, 418 8, 9 47 7, 8, 9 76 4, 6, 8, 919 8, 9 48 4 77 7, 920 4 49 7, 8, 9, 10 78 7, 8, 921 7, 8, 10 50 4 79 7, 922 4 51 4 80 5, 8, 923 7, 8, 9 52 7 81 7, 8, 9

24 4 53 9 82 4, 8, 9, 1025 7, 8, 9 54 8 83 4, 7, 1026 8, 9, 10 55 4 84 427 7, 8, 9, 10 56 628 4 57 8, 929 4, 9, 10 58 10


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PROBLEMA 1

La compaa telefnica de un pas determinado estudia continuamente la duracin de las llamadas telefnicasy la variabilidad de su duracin. Supongamos que la variancia de las llamadas de todo el pas es de 4(minutos)2. La compaa desea determinar si las llamadas efectuadas en cierta localidad difieren de las detodo el pas en cuanto a su variabilidad, medida mediante la variancia. Suponiendo que la duracin de las

llamadas se distribuye Normalmente,a) Cules seran las hiptesis nula y alternativa que habra que establecer en el caso descrito?b) Qu regin crtica habra que usar en dicho contraste para un nivel de significacin del 5% y una muestraaleatoria de 25 llamadas? Obtngase dicha regin crtica.c) Se aceptara o se rechazara la hiptesis nula si en tal muestra la variancia fuera 2.5? Justifquese.SOLUCIN:a).- H0:

2=4 H1:24. b).- 6'25 S239'364. c).- Se acepta, pues 12'401


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SOLUCIN:

a).- 2 20 oH : = ,2 2

1 oH : , el valor de probabilidad o valor-p , 0.02 b).- valor p, contrasteal %5% y mediante un intervalo del 95% de confianza c).- s , 2009 (menor error muestral) , ala dispersin muestral d).- s , no , falta de informacin e).- no , entre 0.1 y 0.9

PROBLEMA 3

Para las variables aleatorias X e Y que modelizanlas desviaciones (en minutos) sobre el horario previsto delos trenes AVE y TALGO, el gabinete de estudios de RENFE supone distribuciones Normal y Exponencial,respectivamente. Desconociendo los valores de los parmetros que caracterizan ambas distribuciones, conobjeto de obtener informacin sobre dichos valores obtiene, para cada tipo de trenes, muestras de estasdesviaciones con los siguientes resultados:AVE: 0, 1, -2, -1, 2, 0, 5, 2, -3, 1.TALGO: 6, 3, 6, 5, 0, 8, 7, 9.En base a esta informacin responda a las siguientes cuestiones:a) Obtenga intervalos del 95% de confianza para la media y la variancia de la distribucin de las desviacionesde los trenes AVE.

b) Cul sera el mximo nivel de significacin al que sera admitida la hiptesis nula de un valor medio de+2'525 minutos, para la distribucin de las desviaciones sobre el horario previsto de los trenes AVE?.c) Si admitimos como cierta la distribucin supuesta para las desviaciones de los trenes TALGO, cul sera laprobabilidad de que uno de ellos llegase antes del horario previsto?d) Si en lugar de la hiptesis del gabinete de estudios de RENFE, se supone que ambas variables X e Ysiguen distribuciones Normales, sera admisible, para un nivel de significacin del 5%, que ambasdesviaciones presentan igual variabilidad?SOLUCIN:a).- (-1'12, 2'12) y (2'44,17'22). b).- 2% c).- 0 d).- Si.

PROBLEMA 4

Tras la reforma de los planes de estudio en la facultad de C.C. E.E. y E.E., se desea conocer la respuesta delos estudiantes. Para ello se pasa una encuesta en la que solo caben dos respuestas: si est a favor o no esta favor de la reforma. Para realizar dicha encuesta se hacen 1.000 entrevistas. Este trabajo arroja lossiguientes resultados: contestaron todos los alumnos entrevistados, el nmero de respuestas en contraduplicaron al nmero de respuestas a favor de la reforma. Se pide:a) Construya un intervalo del 95% de confianza para dicha proporcin.b) Cmo podramos reducir la amplitud del intervalo a la mitad, manteniendo el mismo grado de confianza(95%)? Qu nmero de entrevistas tendremos que realizar para reducir la amplitud del intervalo de confianzaen los trminos expresados?c) Si antes de realizar la encuesta deseramos estimar un intervalo de confianza del 95% para la proporcinde respuestas a favor de la reforma de los planes con una amplitud mxima de 0.06 Cual sera el nmero deentrevistas necesario?

SOLUCIN:a).- (1/3 0'0292). b).- Aumentando el tamao muestral. 4000 .c).- 1068.

PROBLEMA 5

El beneficio diario de una empresa de transporte es una variable aleatoria con distribucin normal deparmetros desconocidos. De una muestra aleatoria de 20 das se observ un beneficio medio de 32 millonesde pesetas y una variancia de 25. Determinar:a) Un intervalo de confianza del 99% para el beneficio medio diario de la empresa.b) Un intervalo de confianza del 100% para dicho beneficio diario medio.c) Si la direccin de la empresa desea trabajar con una precisin de ms-menos 2,4 millones de pesetas,

sera el grado de confianza superior al sealado en el apartado a)?, razone la respuesta. Determine el nivelde confianza que le correspondera a la precisin indicada.d) Sera posible obtener un intervalo de confianza del 99% con una precisin de ms-menos 2,4 millones de


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pesetas? En caso afirmativo explique el modo de obtenerlo.e) Contrastar con un nivel de significacin del 5% la hiptesis de que el valor de la variancia del beneficio diariocoincide con el de la cuasivariancia de nuestra muestra.SOLUCIN:a).- (28'718, 35'282). b).- (-,+). c).- No. 95%. d).- Si, con n > 20. e).- No se rechaza H0.

PROBLEMA 6

Una encuesta realizada recientemente pone de manifiesto que en cierta capital de provincia, de un total de2500 personas adultas consultadas, 1400 optan por realizar sus compras navideas en las llamadas grandessuperficies comerciales, mientras que las restantes se inclina por el comercio tradicional.a) Obtn un intervalo del 99% de confianza para la proporcin de habitantes de esta ciudad que prefiere lasgrandes superficies comerciales. Con este resultado, se podra afirmar que la mayora de las personasadultas de esta capital opta por este tipo de comercio? Justifcalo.b) Si el nmero de encuestados hubiera sido 225 en lugar de 2500, cuntos de ellos tendran que habersemostrado a favor de las grandes superficies para que el correspondiente intervalo del 99% de confianza tuvieraidntica amplitud al del apartado a)?c) A partir de los resultados de la encuesta realizada a 2500 personas, contrasta la hiptesis de que la mayorade la poblacin adulta se inclina por las grandes superficies, con un nivel de significacin del 1%d) Cual debera haber sido, como mnimo, la proporcin muestral favorable, (para el mismo nmero deencuestados), a este tipo de comercio para aceptar la hiptesis del apartado c) al mismo nivel de significacin?SOLUCIN:a).- (0'5344 , 0'5855) .Si b).- 220 5 indistintamente. c).- Se acepta la hiptesis. d).- 0'4767.

PROBLEMA 7

Una entidad bancaria dispone de 2000 agencias urbanas, cada una de las cuales dispone de un empleadodedicado exclusivamente a atender a los clientes que solicitan un prstamo en la entidad. El consejo deadministracin del banco ha realizado un estudio estadstico con el fin de conocer el nmero de personas que

diariamente solicitan prstamo en dicha entidad, llegando a la conclusin de que la distribucin del nmero declientes por da que les solicitan un prstamo es del tipo Poisson, para cada oficina, recibiendo cada una deellas el mismo nmero medio de solicitudes de prstamo diariamente. Cul ser la probabilidad de que elnmero total de clientes por da que solicitan un prstamo sea mayor que el valor esperado del total depersonas por da que solicitan un prstamo de la entidad?SOLUCIN:0'5.

PROBLEMA 8

Una cadena de grandes almacenes posee treinta establecimientos en otras tantas ciudades. La demanda

mensual de 2 productos sustitutivos, A y B sigue en cada establecimiento una distribucin conjunta NormalBivariante, siendo la media de la demanda de A 100 Kg y su desviacin estndar 10 Kg.El coeficiente de correlacin lineal de las demandas mensuales de A y B, por mes y establecimiento es de0'5. Se sabe, adems, que la demanda media total de ambos productos, tambin por mes y establecimiento,es de 220 Kg y su variancia 124 Kg.Si el precio por Kg de A es de 8 unidades monetarias y el de B, 10 u.m., y suponiendo que cadaestablecimiento tiene cantidad suficiente de producto para satisfacer la demanda:a) Obtn el vector de medias y la matriz de variancias y covariancias de la demanda conjunta mensual deambos productos, en uno cualquiera de los establecimientos.b) Calcula la probabilidad de que la venta total de ambos productos supere en un mes las 2.000 u.m., en unestablecimiento de los 30 de la cadena.c) Suponiendo que la venta (y consecuentemente la demanda) en cada establecimiento es independiente de lade los 29 restantes, obtenga la probabilidad de que la venta del producto A sea dos tercios mayor que la de Ben el conjunto de los 30 establecimientos.


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SOLUCIN:

a).-

14460-

60-100

120

100 b).- 0'5. c).- 0'5.

PROBLEMA 9

Cierta empresa fabrica placas metlicas de diversos tipos y tamaos. Uno de sus problemas ha sido elestablecer el tamao exacto de las placas una vez cortadas, pues como fcilmente puede comprenderse, esde vital importancia que la longitud de la placa est comprendida dentro de ciertos lmites de precisin. Paraello, esta empresa ha adquirido un sofisticado aparato de medicin de fabricacin japonesa. Pero claro, la altatecnologa nipona no evita los errores aleatorios en la medida. As, la medicin efectuada por tan excelenteaparato, que podemos denotar por la variable aleatoria X, segn dicen los ingenieros japoneses tiene unadistribucin Normal centrada en la autntica longitud de la placa. Para tratar de compensar los errores, losastutos japoneses lo han diseado de tal modo que en lugar de efectuar una sola medicin, ofrece dos valoresindependientes, que vamos a denotar por X1 y X2, para que el usuario haga las estimaciones que creaoportunas

a) Vamos nosotros a considerar los estimadores: T1= (1/3) X1+ (2/3) X2 y T2= (1/2) X1+ (1/2) X2En base a los criterios de insesgadez y eficiencia, razona y comprueba cul de los dos es preferible.b) Supongamos ahora que una de las placas sometidas a control del aparato japons es cuadrada, y se deseaestimar su rea. La direccin de la empresa que fabrica las placas se muestra confusa y duda entre: elevar alcuadrado cada una de las observaciones de la longitud y despus obtener su media (criterio 1); o bien, obteneren primer lugar la media de las dos observaciones y posteriormente elevarla al cuadrado (criterio 2). En baseal sesgo de ambos estimadores, cul crees que debe ser el criterio adoptado?Raznalo y justifcalo debidamente.SOLUCIN:a).- T2 . b).- Criterio 2.

PROBLEMA 10

Una mquina fabrica el 90% de los tornillos correctos, con una longitud media de 3 cm y variancia de 0.64 cm2,y el resto de los tornillos no vlidos con una longitud media de 4.5 cm y variancia de 1 cms2. El peso delmaterial con el que se fabrican los tornillos es de 11.1 gr por cm. Siendo la produccin diaria de 100.000tornillos, determinar la probabilidad de que el peso total de la misma pueda sertransportado por uncaminde carga mxima autorizada de 3.500 kg.SOLUCIN:0'8869

PROBLEMA 11

El director y el interventor de una sucursal bancaria discrepan sobre el nmero medio de operaciones quediariamente se realizan en el servicio de cajero automtico instalado en la oficina. Decididos a realizar unaestimacin de dicha media diaria de operaciones solicitan el asesoramiento de los servicios centrales de laentidad de los que reciben la siguiente informacin: para realizar la estimacin les propone los estimadores E1y E2, ambos sesgados, de los que le recomiendan utilicen el estimador E1. El sesgo de E1es de 5 unidades yel de E2de 3 unidades. Cul cree que ha sido el criterio utilizado por los servicios centrales para establecer lapreferencia por el estimador E1? En base a dicho criterio, qu condicin cumple E1para ser mejor estimadorque E2?SOLUCIN:Menor E.C.M. La variancia de la distribucin de E1es menor que la de E2.


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PROBLEMA 12

La Consejera de Gobernacin de la Junta de Andaluca desea investigar la proporcin de electores queestaran en desacuerdo con prorrogar los presupuestos para 1995, preguntando a una muestra aleatoria deciudadanos mayores de 18 aos.a) Qu nmero de entrevistas ha de realizar en tal encuesta, si est dispuesta a admitir un error de 0'04

para un nivel de confianza del 95%?b) Los partidos que integran la oposicin afirman que el 65% de los electores estn en contra de una prrrogapresupuestaria. La encuesta que ha decidido realizar la Consejera ha ofrecido los siguientes resultados:

Entrevistas realizadas: 500A favor de la prrroga: 200En contra de la prrroga: 300

En base a estos datos de la encuesta y para un nivel de significacin del 5%, puede aceptarse la afirmacinque hace la oposicin?c) Determinar, a partir de los resultados de la encuesta, hasta que nivel de significacin puede aceptarse laafirmacin que realiza la oposicin.SOLUCIN:a) 601. b).- No. c).- 2.2%.

PROBLEMA 13

La direccin de la hamburguesera Pizza-Uff conoce, gracias a un estudio de mercado realizado, que lamayora de sus clientes son familias atradas por los deseos de los miembros infantiles de los mismos. Conobjeto de estimular la demanda ha decidido regalar una escopeta de juguete, siempre que la consumicinalcance un determinado importe.La escopeta en cuestin dispara un tapn de corcho que necesita tener un dimetro comprendido entre 1'8 cmy 2'3 cm, para de esta forma poder ser impulsado.Su proveedor de tapones, le asegura que el dimetro medio de las unidades por l suministradas es de 2 cm,no indicndole nada acerca de la variabilidad. Al objeto de averiguar el nmero de tapones que tendr querechazar, decide estimar la variancia. Para ello ha seleccionado una muestra aleatoria de 10 tapones,

obteniendo los siguientes dimetros: 1'7; 1'9; 2'2; 2'1; 2'3; 2'2; 2'0; 1'9; 2'1; 2'2 . En base a esta informacin yadmitindose una distribucin normal del dimetro de los tapones, obtener:a) Un intervalo del 95% de confianza para la variancia.b) La proporcin estimada de tapones que deber rechazar.c) Contrastar, con una significatividad del 1%, la afirmacin hecha por el proveedor de tapones, en base a losdatos muestrales.SOLUCIN:a).- (0'0146, 0'0924). b).- 0'1657. c).- No se rechaza H0.

PROBLEMA 14

Arroceras YERBA S.A., envasa mediante un nico sistema de empaquetado arroz de iguales caractersticas(peso, grados de humedad y pureza) en sacos de un mismo tipo. La distribucin la realiza en tres tipos decontenedores A, B y C, cargados aleatoriamente con 6, 50 y 1.000 sacos, respectivamente. Considerando elpeso del saco de arroz una variable aleatoria Normal de media 25 Kg y variancia 4 Kg2, determine:a) Cul es la probabilidad de encontrar exactamente 3 sacos que pesen ms de 27 Kg. en un contenedor detipo A?b) Cul es la probabilidad de que en un contenedor tipo B, al menos dos sacos pesen ms de 29 Kg?.c) Cul es la probabilidad de que en un contenedor de tipo C, el nmero de sacos con peso mayor de 29 Kg.est entre 20 y 30?d) En los contenedores tipo A: el peso medio del saco en cada contenedor, es una variable aleatoria?, cules su distribucin?SOLUCIN:

a).- 0'0415. b).- 0'301. c).- 0'6256. d).- Si, N(25 , 2/ 6

).


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PROBLEMA 15

Suponga que dispone de 2 muestras independientes de tamaos n1=10 y n2=15 respectivamente, de unapoblacin Normal de media desconocida y variancia =25. Sean (X1,...,X10) e (Y1,...,Y15) tales muestras.Como se sabe, las respectivas medias muestrales son estimadores insesgados de la media poblacional. A

partir de ellas, se define el siguiente estimador lineal: yb+xa= .Se pide:

a) Calcule a y b para que sea un estimador insesgado y con variancia igual a 1.b) Obtenga la probabilidad de que la diferencia de medias muestrales, en valor absoluto, sea inferior a launidad. Cul es la probabilidad de que dicha diferencia sea nula?Si dispone de una sola muestra: (X1,..., Xn):c) Cmo debera ser sta para conseguir que su media muestral fuese un estimador ms eficiente que elobtenido en el apartado a)?d) Qu tamao muestral ser necesario para que con, al menos, una probabilidad del 0'95, el intervalo 1x contenga al parmetro ?SOLUCIN:a).- a= 2/5 y b= 3/5. b).- 0'3758. 0. c).- n > 25. d).- n 97.

PROBLEMA 16

Las cotizaciones diarias de las acciones de las entidades financieras Bankinze y Dondebank son variablesaleatorias con distribuciones Normales, de las que slo se conoce que la variancia de la distribucin de lascotizaciones diarias de Dondebank es de 25.000 enteros. Un analista burstil ha obtenido dos muestrasaleatorias, una de 26 observaciones de las cotizaciones diarias de las acciones de Bankinze y otra de 10observaciones de las cotizaciones diarias de las acciones de Dondebank. En base a la muestra obtenida paralas cotizaciones diarias de las acciones de Bankinze y para un nivel de confianza del 95%,ha calculado elsiguiente intervalo de confianza para el valor medio de dichas cotizaciones:(1.187'643 , 1.212'357)Paralelamente, con igual nivel de confianza y en base a la misma muestra, obtiene un intervalo de confianzapara la variancia poblacional.

Para las acciones de Dondebank, disea un test para contrastar su hiptesis de que la cotizacin media dedichas acciones es de 1.000 enteros frente a una cotizacin media de 1.100 enteros que sostienen losservicios burstiles de esta entidad. En base a la regin crtica que obtiene para este test rechazar lahiptesis nula si la media de la muestra de las 10 cotizaciones observadas de las acciones de Dondebanksupera los 1.098 enteros. A partir de esta informacin determine:a) Los valores de la media y variancia de la muestra de 26 observaciones de la cotizacin de las acciones deBankinze.b) El intervalo de confianza para la variancia poblacional desconocida de la distribucin de las cotizaciones deBankinze.c) El nivel de significacin y la potencia del contraste diseado para el valor medio de las cotizaciones deDondebank.d) Si la hiptesis alternativa de este contraste fuese que el valor medio es de 1.200 enteros, afectara al nivelde significacin y a la potencia del contraste? Raznelo.SOLUCIN:a).- 1200 y 900. b).- (575'7, 1783'53). c).- 0'025 y 0'516. d).- Slo a la potencia del contraste.

PROBLEMA 17

La Agencia de Medio Ambiente de Andaluca ha efectuado mediciones de los niveles de partculas ensuspensin en la atmsfera de dos puntos distintos del territorio andaluz. En el punto A se analizaron losvalores de dicha variable durante 10 das, mientras que en el punto B se observaron durante 8 das, siendotodas las observaciones, tanto de A como de B independientes entre s. Se registraron los siguientesresultados:Punto A: media: 11, variancia: 3.556

Punto B: media: 8.875, variancia: 1.839Admitiendo que la variable bajo estudio sigue una distribucin normal, conteste a las siguientes cuestiones:


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a) Contrastar con un 90% de confianza, si la variabilidad de los niveles de partculas en suspensin es lamisma en ambos puntos, o si es mayor dicha variacin en alguno de ellos.b) Entre que valores estara comprendida la diferencia de niveles medios de partculas en suspensin con un90% de confianza.c) Si la Agencia de Medio Ambiente estuviera interesada en presentar un informe donde aparecieran ambospuntos con el mismo nivel medio de partculas en suspensin, con que nivel mnimo de confianza podra

aceptar tal afirmacin?SOLUCIN:a).- Se acepta H0. b.- (0'65696 , 3.59303). c).- 98%.

PROBLEMA 18

El Ayuntamiento de una ciudad desea averiguar si el inicio de las obras del metro ha repercutido, de algunaforma, en la fluidez del trfico. Para ello, decide centrar el anlisis en el servicio que realiza una lnea deautobs urbano. Antes de iniciarse las obras, a las horas centrales del da, un autobs tardaba un tiempomedio de 60 minutos en completar su recorrido, con una desviacin estndar de 5 minutos. En la actualidaddespus de medir el tiempo en 20 servicios, se calcula para los mismos, una media de 65 minutos y unadesviacin estndar de 8 minutos. Considerando el tiempo de realizacin del servicio una variable aleatorianormal, conteste a las siguientes preguntas:a) Puede asegurarse que, con un nivel de significacin del 0,1, las obras del metro han modificado la fluidezdel trfico en la ciudad?b) Se ha alterado la regularidad en la llegada de los autobuses de la lnea citada a las paradas, con un nivelde confianza del 95%?c) Una encuesta realizada al conjunto de la poblacin revela que las obras han modificado la fluidez del trficoproduciendo retrasos de al menos 10 minutos. Estara usted de acuerdo con el resultado de dicha encuesta,con una probabilidad de error de tipo I del 10%?SOLUCIN:a).- S. b).- S. c).- No.

PROBLEMA 19

La fertilizacin aplicada por una cooperativa agrcola para las plantaciones de un determinado cultivo son dedos tipos: fertilizacin natural y qumica. En ambos casos se consiguen plantas cuyas alturas se distribuyennormalmente con variancias 47 y 39 cm2 respectivamente. Para comparar la altura media de las plantasobtenidas con ambos procesos se seleccionaron 25 de ellas, 11 fertilizadas de modo natural y el resto conprocesos qumicos, observndose alturas medias de 102 y 95 cm respectivamente.Para un nivel de confianza del 95%, calcular:a) Un intervalo de confianza para la diferencia de alturas medias de las dos plantaciones.b) Contrastar la hiptesis de que ambos fertilizantes sean igualmente eficaces.c) Los ecologistas de la comarca aseguran que el fertilizante natural consigue al menos 10 cm ms de alturaque con el qumico. Estara usted de acuerdo con ellos? Justifquelo.

SOLUCIN:a).- (1'8, 12'2). b).- Se rechaza. c).- S.

PROBLEMA 20

Las facturas cobradas por los servicios de reparacin de una empresa constan de 2 conceptos: piezas y manode obra. La media por factura por el primer concepto es 600 pta y por el segundo 2.000 pta. Las desviacionesestndares respectivas son 100 y 200 ptas. La relacin existente entre las cantidades facturadas por ambosconceptos viene expresada por un coeficiente de correlacin lineal igual a 0'7. Cada mes se realiza un nmerofijo de 90 servicios.La direccin y el comit sindical de la empresa acuerdan establecer un plus mensual de beneficios en la

nmina de los empleados si la facturacin del mes supera una determinada cantidad.Cual deber ser esa cantidad si el comit sindical desea garantas de que sea superada el 90% de losmeses?


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SOLUCIN:230604 pesetas.

PROBLEMA 21

a) Los modos de desplazamientos de la poblacin espaola, en una distancia igual o superior a 50 km, sereparte de la siguiente manera: 79,43% en coche; 8,63% en autobs; 5,51% en tren y 6,43% en avin. Paraanalizar con ms profundidad las preferencias sobre las diferentes modalidades de transporte se va aproceder a extraer una muestra aleatoria simple. Desde el Ministerio de Fomento, a partir del cual se hapodido acceder a la informacin anterior, para el desarrollo y puesta en marcha del Plan Estratgico deInfraestructuras y Transportes, se desea conocer cules son las preferencias de los ciudadanos en relacincon las distintas modalidades de transporte. Para ello, solicita de su departamento de estadstica leindiquen entre qu valores oscilarn los partidarios del transporte por ferrocarril, para una confianza del95% y un presupuesto de 18.000 euros. Podemos asumir que el coste unitario de cada entrevista es de 12euros. Sabiendo que de las personas seleccionadas (de acuerdo con el presupuesto establecido) 525 sehan mostrado a favor de este modo de transporte, podra determinar la estimacin puntualcorrespondiente? Hgalo Cul es la magnitud del error en este supuesto?b) Manteniendo como referencia las proporciones facilitadas en el primer apartado de este ejercicio, sesolicitan a 100 encuestados, sus preferencias de modo de transporte, en desplazamientos de 50 km o ms,ofreciendo como resultado la siguiente tabla (en tantos por ciento):

Coche Autobs Tren Avin30 25 35 10

Podra afirmarse con un 95% de confianza que las preferencias mostradas por las personas encuestadascoinciden con la manera en que efectivamente viajan? Obsrvese que seguimos considerando comoreferencia la distribucin establecida en el primer apartado. Podra determinar el mayor nivel de confianzaal que rechazara o el menor nivel de confianza al que aceptara el supuesto anterior? En caso afirmativodetermnelo. Rechazaramos, de acuerdo con los supuestos establecidos en el apartado segundo de esteejercicio, que el 40% de las personas se muestran partidarias de utilizar el ferrocarril como modo detransporte, para una significacin del 5%? Y si el nivel de significacin fuese del 1%, podramos seguirmanteniendo esa hiptesis?, y para niveles de significacin inferiores? Justifquelo.

SOLUCIN:

a).- (0.3259 , 0.3741) , 0.35 , 0.0241 b).- no, no, slo se puede afirmar que est por debajo del 5por mil , s , s , no.

PROBLEMA 22

En una importante ciudad de un pas imaginario, existen dos clubes de ftbol, eternos rivales: el "PalanganaF.C." y el "Real Verderones Balompi". En los 3 meses previos al inicio del Campeonato de Liga, el nmerodiario de socios del "Palangana F.C." que renueva el carnet es una v.a. con distribucin de media 256 yvariancia 40. En el mismo perodo de 90 das, el nmero medio de socios que diariamente solicitan la

renovacin del carnet del "Real Verderones Balompi" es 336.a) Calcular la probabilidad de que el nmero de socios que renuevan su carnet en el "Palangana F.C" duranteel perodo considerado sea superior a 23.130.b) Si la probabilidad de que el nmero de carnets renovados en el "Real Verderones Balompi", durante los 3meses, supere los 30.300 es 0'05, cuantifique y compare la variabilidad del nmero de socios que renuevan sucarnet en ambos clubes.c) En el ltimo pleno del Ayuntamiento de la citada ciudad, se ha decidido proponer a ambos clubes laconstruccin de un estadio nico. Tras esta decisin se ha estimado que el nmero de socios que estarandispuestos a renovar el carnet en sus respectivos clubes presenta una correlacin de -0'8 medida mediante elcoeficiente de correlacin lineal. Segn esta estimacin, calcule la probabilidad de que el nmero desocios que renuevan su carnet en el "Real Verderones Balompi" sea superior al del nmero de socios que lohacen en el "Palangana F.C." en dicho perodo de 90 das.SOLUCIN:a).- 0'0668. b).- CV(P): 0'26% CV(V): 0'12%. c).- 1.


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PROBLEMA 23

Sean X1 y X2 variables aleatorias con distribuciones Normales que representan los gastos semanales enpublicidad, expresados en millones de pta de las empresas de las ramas de Alimentacin y Perfumera. Seobtiene una muestra aleatoria en empresas de cada una de estas ramas de actividad con las siguientescaractersticas:

ALIMENTACION: 64=S18=x6=n 2111 PERFUMERIA: 36=S10=x8=n

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a) Para un nivel de significacin =0'05, contrastar la hiptesis de ambas muestras proceden de poblacionescon igual variancia.Admitiendo que ambaspoblaciones se distribuyen con igual variancia:b) Obtener para la diferencia de medias poblacionales intervalos de confianza del 90% y del 95%.c) En base a la informacin proporcionada por los anteriores intervalos de confianza, admitira la hiptesis deque las muestras proceden de poblaciones con igual media?d) Contrastar para niveles de significacin =0'1 y =0'05 la hiptesis de igualdad de lasmedias poblacionalesy compare los resultados obtenidos con la respuesta dada al apartado anterior.SOLUCIN:a).- No se rechaza H0. b).- ( 0'8 , 15'2) y (-0'8 , 16'6) c).- No se rechaza para un nivel de confianza del 95%d).- Igual que en aptdo.c)

PROBLEMA 24

Joaqun Villaln Bentez, experto conocedor del mercado olecola y presidente de una cooperativa de la SierraNorte de Sevilla, conoce que sus producciones anuales (en miles de litros) de aceite de oliva y de orujo tienenuna distribucin conjunta Normal con medias 100 y 30 y desviaciones estndares 40 y 15, respectivamente.Para la presente campaa, los precios para cada tipo de aceite son de 500 pta. el litro de aceite de oliva y 300pesetas para el litro de aceite de orujo.Si supone que las variables aleatorias que modelizanambas producciones son independientes:a) Cul ser la probabilidad de que el valor total de la venta de la produccin de la cooperativa supere su

valor esperado?b) Cul ser la probabilidad de que dicho importe sea distinto de dicho valor medio incrementado en un 10%?c) Si en lugar de suponer la independencia de las variables aleatorias que representan las producciones deaceite de oliva y orujo, admitiese que las mismas siguen siendo conjuntamente Normales, pero incorreladas,modifica, justificndolo debidamente, los resultados de los dos apartados anteriores.d) Si como parece ms razonable presupusiese la dependencia entre ambas variables, siendo su distribucinNormal Bivariante con un coeficiente de correlacin de 0.95, calcula de nuevo las probabilidades requeridas enlos apartados a) y b).SOLUCIN:a).- 0.5 b).- 1 c).- no se modifican d).- 0.5 , 1

PROBLEMA 25Para intentar determinar la cuanta econmica que supondr la concesin de bolsas de viaje a los estudiantesque decidan realizar estudios en el extranjero, el decanato de la facultad realiza una encuesta. Se hapreguntado sobre la intencin de estudiar el prximo curso en universidades extranjeras, a una muestra de500 estudiantes elegida al azar. El porcentaje de respuestas afirmativas de dicha muestra ha sido del 25%.Obtener:a) Un intervalo de confianza del 95% para la proporcin de estudiantes que piensan estudiar en el extranjero, apartir de los datos de la muestra.b) Previo a conocer los resultados de la encuesta, el decanato supona que el porcentaje de estudiantes quedesean estudiar en universidades extranjeras era del 30%. Para un nivel de significacin del 5%, seraadmisible esta hiptesis teniendo en cuenta los resultados de la muestra? Raznelo.c) Si antes de realizar la encuesta, el decanato deseara estimar la proporcin de estudiantes con intencin deestudiar en el extranjero con un error mximo de 0'03 y una confianza del 95%, cul sera el tamaomuestral necesario?


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d) Dado que la preocupacin del decanato es la cuanta econmica de esta iniciativa, est ms interesado enla estimacin del importe total de la misma que de la proporcin de estudiantes con intencin de estudiar fueradel pas. Sabiendo que hay 5.000 estudiantes matriculados y que la cuanta de cada bolsa de viaje es de40.000 pta, si pretende estimar el importe total con un error mximo de 7.000.000 pta con una confianza del95%, cul ser el tamao muestral necesario?e) A partir de la encuesta realizada a 500 alumnos, se ha estimado que el nmero de ellos dispuestos a viajar

al extranjero est comprendido entre 1.000 y 1.500, con qu nivel de confianza se ha realizado talestimacin?f) Si se quisiera reducir a la mitad la amplitud del intervalo anterior, a cuntos alumnos habra que encuestarmanteniendo el mismo nivel de confianza?SOLUCIN:a).- (0.21204 0.28795) b).- no es admisible c).- 1068 encuestas d).- 784 encuestas e).- 99.02% f).- 2663 1997 dependiendo del criterio seguido.

PROBLEMA 26

En un determinado Departamento se clasifican los alumnos en tres categoras, segn su nota en el examenfinal de la asignatura Mamotrstica II, con objeto de elegir los futuros becarios del Departamento, entre losalumnos de mejor nivel acadmico. Histricamente, los alumnos presentados al examen de dicha asignaturase han repartido del siguiente modo entre dichas categoras: 30% con nota inferior a 3, 50% con nota entre 3 y7 y 20% con nota superior a 7, categora esta ltima de donde son elegidos los futuros becarios. En elpresente curso acadmico se ha elegido aleatoriamente una muestra de 305 alumnos del total de presentadosque ha proporcionado los siguientes resultados:

0-3 3-7 7-10 TotalesMaana 50 80 30 160Tarde 40 70 35 145

Totales 90 150 65 305En funcin de los resultados de la muestra:a) Puede admitirse que los alumnos del presente curso han seguido, en cuanto a calificaciones, las pautastradicionales de la asignatura Mamotrstica II?b) Aceptara que las calificaciones obtenidas por los alumnos estn asociadas a su pertenencia a los turnosde maana y tarde?c) Si consideramos suspendidos los alumnos con nota igual o inferior a 3, podra afirmarse que suspender oaprobar la asignatura est relacionado con ser alumno de los grupos de maana o de tarde?. Justifquese,tericamente, la aplicacin de la correccin de continuidad de Yates al estadstico experimental y razone simodificara la conclusin obtenida.d) Existe diferencia significativa entre las proporciones de alumnos de maana y tarde que obtienen notasuperior a 7?e) Puede afirmarse que los alumnos con nota superior a 7 se distribuyen uniformemente entre los turnos demaana y tarde?Nota: Contraste todas las hiptesis planteadas para un nivel de significacin del 5%SOLUCIN:

a).- S b).- No c).- No, la correccin no afecta a la conclusin d).- No e).-S

PROBLEMA 27

Basndose en datos histricos, el Decanato asume que el nmero de becas concedidas por desplazamientopara cada uno de los grupos de los diversos cursos sigue una distribucin de Poisson de parmetro 4. Conobjeto de confirmar tal hiptesis, el equipo decanal obtiene una muestra aleatoria de 36 grupos, obteniendo lossiguientes resultados:

N de becas concedidas por grupo 0 1 2 3 4 ms--------------------------------------------------------------------------------------------------

Nmero de grupos 3 8 10 6 9

a) Contrastar si los datos muestrales confirman la hiptesis del Decanato, a un nivel de significacin del 5%.Tras el resultado del anterior apartado, se decide estimar el valor desconocido del nmero medio de becas


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concedidas por grupo mediante el mtodo de la mxima verosimilitud, que ha resultado ser 2.b) Obtenga un intervalo del 95% de confianza para la variancia desconocida de la distribucin de Poissonsupuesta por el Decanato, a partir de los datos muestrales. (Consultar formularios).c) En funcin del intervalo calculado anteriormente, cul de los dos valores -el supuesto por el Decanato o laestimacin mximo verosmil, considera aceptable para un nivel de significacin del 5%?d) Si desesemos contrastar el valor supuesto por el Decanato (hiptesis nula) frente al valor obtenido por el

mtodo de la mxima verosimilitud (hiptesis alternativa), cmo afectara a la potencia del contraste quedicha estimacin mximo verosmil hubiese sido 3 en lugar de 2? Raznelo debidamente, sin efectuarclculos.SOLUCIN:a).- No b).- (1.58 2.5184) c).- el obtenido en b) d).- si fuese 3 la potencia sera menor

PROBLEMA 28

Una central elctrica suministra energa a dos provincias A y B. El consumo domstico mensual (en miles dekilovatios) en cada uno de los 50 pueblos de la provincia A sigue una distribucin de media 14 y variancia 18.El total del consumo domstico de los 40 pueblos que integran la provincia B sigue una distribucin Normal demoda 500 y desviacin estndar 20.

a) Obtenga el vector de medias y la matriz de variancias y covariancias de la distribucin conjunta de losconsumos domsticos provinciales sabiendo que el coeficiente de correlacin lineal entre ambos es 0'9.Los consumos industriales mensuales de cada provincia son 1100 y 900 miles de kilovatios,b) Si el consumo total entre ambas provincias supera los 3.300 miles de kilovatios al mes, se producir unapagn. Cul es la probabilidad de que esto ocurra?c) En la provincia A se paga 0'3 u.m. por cada 1000 kilovatios, siendo su precio en la provincia B de 0'4 u.m.Calcule la probabilidad de que la factura elctrica de la provincia A supere a la de la provincia B.SOLUCIN:

a).-

400540

540900=

500

700= b).- 0'0202. c).- 0.

PROBLEMA 29

El nmero de llamadas telefnicas semanales anunciando la colocacin de artefactos explosivos recibidas enuna determinada Facultad durante el curso acadmico se ofrecen en el siguiente cuadro:N de llamadas: 0 1 2 3 4 msN de semanas: 13 10 4 2 1a) Para un nivel de significacin del 5%, aceptara la hiptesis de que el n de llamadas semanales sigue unadistribucin de Poisson de media 1 llamada por semana? Justifquelo.b) Supuesta la distribucin de Poisson y para un nivel de significacin del 5%, se ha obtenido la regin crticadel test ms potente para contrastar la hiptesis de que el n medio de llamadas semanales es 1, frente a la

alternativa de que el n medio de llamadas semanales es 2. Dicha regin crtica result ser: 31x . Calcule la

potencia de este contraste.c) Si la hiptesis alternativa fuese que el n medio de llamadas semanales es 3. Cul sera la regin crticadel contraste? Cul sera su potencia? Comente breve y razonadamente los resultados.SOLUCIN:

a).- Si b).- 0.9966 c).- 31.x , 1

PROBLEMA 30

Cierto partido poltico decide abrir un proceso de elecciones primarias para designar candidato a las eleccionesgenerales. Para competir en dicho proceso se presentan dos candidatos A y B. Con objeto de adoptar unadecisin colegiada, cierta ejecutiva regional ha decidido realizar una encuesta entre sus 100.000 afiliados. Para

ello elige aleatoriamente una muestrade 100 militantes de los que 36 respondenque votarn al candidato A.Con esta informacin, dicha ejecutiva estima que el nmero de votos de sus afiliados a favor del candidato A


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estar entre 26.592 y 45.408.a) Obtenga el nivel de confianza con el que ha sido realizada dicha estimacin.b) Con idntico nivel de confianza, la ejecutiva desea obtener una estimacin ms precisa, concretamentereducir la amplitud del anterior intervalo de estimacin a un tercio de la misma. Cul sera el tamao de lamuestra necesario para conseguir dicho objetivo. Raznelo y seale que propiedad del estimador justifica losclculos realizados.

SOLUCIN:a).- 0.95 b).-900, la consistencia de la media muestral.

PROBLEMA 31

El profesor de una asignatura curricular recrimina constantemente a su colega de una asignaturaobligatoria, por su nivel de exigencia a la hora de calificar exmenes. ste segundo, harto ya de aguantarsiempre la misma tabarra, propone al primero corregir por separado el mismo montn de exmenes, ycomparar los resultados, en lo que a aprobados se refiere. Tras la correccin, el profesor de la curricularaprueba a 248 de los 400 alumnos presentados, mientras que el segundo suspende a 186.a) Estaras tu de acuerdo, a un nivel de significacin del 5% en que el profesor de la asignatura curriculares ms generoso a la hora de calificar? Y a un nivel del 10%? Realiza los comentarios oportunos, una vezobtenidos los resultados.El responsable mximo de la concesin de las becas del apartado a) del problema anterior tiene doscaminos alternativos para llegar al Rectorado, desde su domicilio: uno, atravesando la ciudad, y, otro, poruna carretera de circunvalacin. Tras efectuar cada uno de los trayectos, de forma aleatoria, durante 20das, por el primer camino ha tardado una media de 33 minutos, con una desviacin estndar de 6 minutos,y por el segundo, el tiempo medio ha sido de 35 minutos, y la correspondiente desviacin estndar 5minutos. Suponiendo que los tiempos empleados por cada uno de los trayectos se distribuyenNormalmente,b) Se puede afirmar, que a lo largo de todo un curso el tiempo medio empleado atravesando la ciudad,sea menor que yendo por la carretera?De cursos anteriores, se sabe que las calificaciones obtenidas por los alumnos de tercero en ciertaasignatura obligatoria, se distribuyen Normalmente. A la convocatoria de febrero de este curso

acadmico se han presentado 65 alumnos, y la variancia de sus calificaciones ha sido 16. Considerando aestos 65 alumnos como una muestra aleatoria lo suficientemente representativa del total de matriculados,se ha obtenido el siguiente intervalo de confianza para la calificacin media del total de matriculados:(3.2011 , 5.1988).c) Obtn la nota media de los alumnos presentados, as como el nivel de confianza del intervalo anteriorSOLUCIN:a).- S, s. b).- Si c).- 4.2 , 0.95

PROBLEMA 32

rase una vez una facultad de Ciencias Econmicas y Empresariales, donde

a) La cantidad de dinero que semanalmente gasta en el bar cada uno de sus estudiantes es una variablealeatoria. con distribucin Normal de desviacin estndar 250 pesetas. El 10% de los estudiantes gastan msde 1500 pesetas, Qu porcentaje de alumnos gastan menos de 1000 pesetas? Cuntos alumnos integranuna determinada pandilla en la que la probabilidad de que al menos uno de sus integrantes gaste menos de1000 pesetas semanales es 0.9328?b) El tiempo de atencin a un alumno (expresado en minutos) del servicio de informacin de la biblioteca vienemodelizado por una variable aleatoria con una distribucin tal que la probabilidad que dicho tiempo deatencin sea superior a 3 minutos es e-3. Para un alumno que lleva ms de 3 minutos siendo atendido por elservicio de informacin, cual sera la probabilidad de que el tiempo de atencin supere los 6 minutos?Comente el resultadoc) Se ha realizado un estudio sobre licenciados en la rama de A.D.E de las ltimas promociones y que,sorprendentemente, disfrutan de un empleo a tiempo completo. Una muestra aleatoria simple de 138licenciados pertenecientes a familias de nivel socio econmico alto ofrece un salario medio de 3635800

pesetas. Otra muestra independiente de 266 licenciados de origen socio econmico bajo ofrece un salariomedio de 3749900 pesetas. Si conocemos que las desviaciones estndares poblacionales son 1162400


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pesetas y 1652100 pesetas, respectivamente, obtenga un intervalo del 90 % de confianza para la diferencia demedias poblacionales. A la vista de dicho intervalo y para un nivel de significacin del 10%, puede rechazarseque el origen familiar no influye en la categora salarial del empleo obtenido por los recientes licenciados?Raznelo. Si desconocisemos los valores de las variancias poblacionales, qu procedimiento hubieseseguido para obtener el anterior intervalo? Justifquelo razonadamente.d) Para muestras independientes de alumnos y alumnas se han obtenido los siguientes datos para las horas

diarias de estudio: Menos de 2 horas Ms de 2 horasAlumnos 18 10Alumnas 17 13

Para un nivel de significacin del 5%, puede rechazarse la hiptesis de que no existe relacin entre sexo yhoras de estudio? Razone la conveniencia de realizar o no la correccin por continuidad de Yates.e) Se supone que el 50% de los alumnos opinan que es necesaria una revisin del actual plan de estudios.Cul es la probabilidad de que ms del 58% de los componentes de una muestra aleatoria de 250 alumnoscompartan dicha opinin? Cmo afectara a dicha probabilidad que hubisemos supuesto cualquier otro valorpara la proporcin poblacional? Comntelo razonadamente.SOLUCIN:a).- 23.58%, 10 alumnos. b).- e-3 c).- (-346333.183 , 118133.183), no puede rechazarse. d).- Nopuede rechazarse, no procede realizar la correccin e).- 0.0057, si fuese mayor que 0.58, la probabilidad

aumenta.

PROBLEMA 33

Juan y Antonio estn realizando un trabajo para "Estadstica II", y han diseado una encuesta con dospreguntas, para pasarla a sus compaeros. Tales preguntas son:

Pregunta 1: Cunto dinero gastas en el bar de la facultad mensualmente?,Pregunta 2: Tienes intencin de realizar estudios en el extranjero durante tu licenciatura?

De la primera pregunta se encarga Juan, y de la segunda Antonio.Juan pretende estimar el gasto mensual medio en el bar con un error de 300 pesetas, con una

confianza del 99%. Para ello considera que tal gasto se distribuye Normalmente con una desviacin

estndar de 1000 pesetas.Antonio se ocupa de la segunda pregunta, y pretende estimar la proporcin de alumnos que piensan

desplazarse con una confianza del 95%, y un error de 0.06.Sin necesidad de determinar los estimadores a utilizar, pero justificando su empleo:

a) A cuntos alumnos deber entrevistar Juan?b) A cuntos alumnos deber entrevistar Antonio, suponiendo que todos contestan?Juan cifra el coste de cada una de sus entrevistas en 100 pesetas, y Antonio, el de las suyas, en 125pesetas. Slo disponen de una asignacin del Departamento de 25000 pesetas.c) Podrn realizar el trabajo con dicha cantidad? En caso negativo, indica, a grandes rasgos y sin entrar enclculos, pero justificndolo razonadamente, que modificaciones podran realizar para ajustarse a lacantidad asignada.SOLUCIN:

a).- 74 b).- 267 c).- No. Ampliar los errores muestrales y/o reducir los niveles de confianza

PROBLEMA 34

Las calificaciones de Estadstica II en los respectivos grupos de Juan y Antonio se distribuyen Normal eindependientemente. Del grupo de Juan se extrajo una muestra de 20 alumnos, y del grupo de Antonio, otrade 25. Las respectivas variancias muestrales fueron 3.18 y 1.37, y los alumnos observados en ambosgrupos, obtuvieron, curiosamente, idntica calificacin media.a) A partir de qu nivel de significacin se aceptara que la nota media de ambos grupos es la misma?:Justifcalo.b) Obtn el menor nivel de significacin, al que se rechazara que la variancia de las calificaciones del grupode Juan es menor que la variancia de las del grupo de Antonio.c) Para los mismos tamaos muestrales, cunto tendra que valer el cociente de variancias muestrales,para que el nivel de significacin pedido en el apartado b) fuese del 1%. Interpreta el resultado.


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SOLUCIN:a).- A cualquier nivel de significacin b).- 2.5% c).- 2.733

PROBLEMA 35

Doa Josefa Room Room propietaria de un hostal cercano a un parque natural de Andaluca, tiene dos tiposde habitaciones, unas con vista al valle del parque cuyo precio es 7.000 pta diarias, y otras sin las mismascuyo precio es de 5.000 ptas. Sabiendo que el nmero de habitaciones alquiladas mensualmente tiene unadistribucin conjunta Normal con medias 55 y 30 y desviaciones estndares 20 y 15, respectivamente ; y quela duea ha comprobado que no existe ningn tipo de relacin entre el nmero de habitaciones alquiladas deambos tipos:a) Cul ser la probabilidad de que la recaudacin total de Doa Josefa supere su valor esperado. Cules la probabilidad de que Doa Josefa alquile todas sus habitaciones?b) Cul es la probabilidad de que el nmero de habitaciones alquiladas con vistas al valle supere alnmero de habitaciones del otro tipo en los ltimos 3 aos? Qu supuestos habra que realizar paracalcular dicha probabilidad?

c) Si en un mes se han ocupado ms de 30 habitaciones con vistas al valle. Cul es la probabilidad de quese ocupen ms de 15 sin vistas? Si en dicho mes se han ocupado menos de 12 habitaciones con vistas,cul sera la correlacin de tal nmero, con el nmero medio de habitaciones sin vistas alquiladas en elmes anterior?d) Para la prxima temporada, est prevista la realizacin de unas reformas tendentes a que lashabitaciones sin vistas sean ms confortables que las habitaciones con vistas, manteniendo su precio, traslo cual se espera que el pblico cambie sus preferencias de forma que los clientes no se decanten por lassegundas, de tal modo que el coeficiente de correlacin lineal entre ambos tipos de habitaciones ocupadasmensualmente sea de 0,8. Cul ser la probabilidad de que tras la reforma, el nmero de habitacionesalquiladas sin vistas al valle supere el 60% del otro tipo de habitaciones durante un mes?

SOLUCIN:a).- 0.5 , 0 b).- 1, los habituales. c).- 0.8413, 0 d).- 0.3707

PROBLEMA 36

La empresa "El Pastorcito" sabe que la cantidad de almendra que contienen sus mantecados sigue unadistribucin normal con desviacin tpica 0'765 gramos.a) Se extrae una muestra aleatoria de 25 mantecados y, a partir de la misma, el hijo del encargado, queestudia Estadstica II en la Facultad de Ciencias Econmicas y Empresariales de Sevilla, construye unintervalo de confianza para el peso medio de almendra por mantecado que va de 0'18 a 0'78. Qu nivel deconfianza ha utilizado? Cul ser el error muestral cometido? Depende tal error del tamao muestral?b) Un gerente de esta empresa exige un intervalo de confianza del 99% con una amplitud de 0'4 gramos.Cuntas observaciones son necesarias para alcanzar este objetivo?

c) Sin necesidad de realizar clculos, y manteniendo el nmero de mantecados obtenido en el apartado b),razonar si un intervalo de confianza del 90% para la media poblacional tendra mayor, menor o igualamplitud que el anterior intervalo del 99%.Si para 1-=0'90 se quiere mantener la amplitud anterior (0'4 gramos), cul debera ser el nuevo tamaomuestral?d) De la anterior muestra aleatoria de 25 mantecados se obtiene que la desviacin estndar es de 0'68gramos. Hallar el menor nivel de significacin para el cual puede aceptarse la hiptesis alternativa de que lamedia no es 0'15 gramos. Con este resultado, resulta coherente la hiptesis nula del contraste con lamuestra? Cul ser el valor p (o valor de probabilidad) de este contraste? Justifique todas las respuestas.Responda a las mismas cuestiones si la hiptesis nula a contrastar fuese que el peso medio es mayor de0'15 gramos.SOLUCIN:a).- 0.95, 0.3, si. b).- 97 c).-menor, 40 d).- 0.0308, no, 0.0308. no. 0.9846, si, 0.9846.


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PROBLEMA 37

Las nuevas normas urbansticas de un Ayuntamiento han de ser aprobadas mediante referndum entre los10.000 electores del municipio. Con objeto de estimar el resultado de la consulta, se realiza un sondeo entre100 de estos electores de los que 30 se manifiestan contrarios a las nuevas normas.

a) Que estimador considera ms adecuado para pronosticar la proporcin de electores contrarios a lasnuevas normas? Cul es la distribucin muestral de dicho estimador? Explique razonadamente susrespuestas y calcule la estimacin de dicha proporcin a partir de los datos del sondeo.b) Como observadores de sondeos electorales, conocemos que difcilmente dichos sondeos aciertan alpronosticar dicha proporcin. Calcule y justifique de forma razonada cual sera, tericamente, la probabilidadde acertar.c) Del resultado del sondeo se ha estimado que el nmero de electores contrarios a las nuevas normas estentre 2.100 y 3.900. Que nivel de confianza se ha utilizado en dicha estimacin por intervalos?SOLUCIN:a).- la media muestral. N(p, (p(1-p)/n)1/2) 0.3 b).- 0 c).- 0.95

PROBLEMA 38Una muestra de las calificaciones en Estadstica de los estudiantes de cierta facultad ofrece el siguienteresultado:

Calificaciones: 0-3 3-5 5-7 7-10N de alumnos: 8 18 24 10

a) Son compatibles estos resultados con la hiptesis de que las notas de Estadstica se distribuyenNormalmente con media 7 y variancia unitaria? Contrstelo (=0'05). Qu modificaciones habra que realizarsi hubisemos supuesto para las calificaciones distribucin Normal de variancia unitaria pero de mediadesconocida? Indquelas sin realizar clculos.b) De los 60 estudiantes de la muestra anterior, la mitad son alumnas, con media 7'2 y desviacin estndar 0'5.Los alumnos de dicha muestra tienen una calificacin media de 7'5 y variancia igual a 4. Con esta informaciny para un nivel de significacin del 5%, contraste la hiptesis de que las calificaciones medias en Estadstica

son iguales frente a la alternativa de que la media de las alumnas es mayor.SOLUCIN:a).- No. Obtener su estimacin mximo verosmil y restar un grado de libertad. b).- Aceptar (o no rechazar) laigualdad de calificaciones medias.

PROBLEMA 39

Una empresa de cosmticos sostiene que su tratamiento contra el acn juvenil es eficaz en el 80% de loscasos. Para contrastarlo, aplica el tratamiento a una muestra de 100 jvenes con acn, resultando eficaz en 72de ellos.a) Haciendo uso de la tcnica de contrastacin de hiptesis estadsticas y para un nivel de significacin del

5%, cree aceptable la opinin de la empresa?b) Para un nivel de confianza del 95%, estime un intervalo numrico para el valor de la proporcin poblacionalde xitos del tratamiento.c) Utilice el intervalo estimado para realizar la contrastacin pedida en el primer apartado. Son coincidenteslos resultados de ambas contrastaciones? Seale y explique razonadamente las diferencias en los clculosefectuados en ambos procedimientos que justifique su respuesta.SOLUCIN:a).- No b).- (0.6319 , 0.8079) c).- No, por la distinta estimacin de la variancia del estadstico

PROBLEMA 40

Durante su estancia en Sevilla, un conocido periodista deportivo ha entrevistado a 100 aficionados futbolsticosde los que 55 se declararon bticos y 45 sevillistas. Para un nivel de significacin del 5%, son compatiblesestos datos con su apreciacin de que los aficionados sevillanos se reparten por igual entre los dos equipos de


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Segunda Divisin de la capital andaluza.SOLUCIN:S

PROBLEMA 41

Para la campaa de Navidad la empresa "Mantecados del Sur" presenta una oferta a sus clientes dealgunos de sus productos. Para beneficiarse de esta oferta el cliente debe comprar una cantidad mnima, loque implica realizar un gran desembolso.

El Departamento Comercial de la empresa estima que por las condiciones de la oferta y las caractersticasde sus clientes, dicha oferta la aceptarn el 80 por ciento de stos. En cualquier caso, para estudiar laposible acogida, se efecta un primer lanzamiento realizando la oferta a 20 clientes escogidos al azar.

a) Si se admite la estimacin del Departamento de Comercial cul es la probabilidad de que el 70 porciento de los 20 clientes seleccionados acepten la oferta?

b) Considerando exitosos los resultados obtenidos con estos 20 clientes, se efectu un segundolanzamiento ampliando el nmero de clientes a 200. Cul es el porcentaje mnimo, en este caso, declientes que aceptar la oferta con una garanta del 90 por ciento?

SOLUCIN:

a).- 0.1091 b).- 83.62%

PROBLEMA 42Los mantecados elaborados por una empresa manchega para su comercializacin se envasan en cajascuyo peso medio, asegura la empresa, es como mnimo de 5 kilos. Antes de la puesta a disposicin de losdistribuidores de las cajas de mantecados, stos realizaron una inspeccin que les permiti analizar 30cajas seleccionadas al azar. Se obtuvo un peso neto medio de 4,95 kilos con una desviacin tpica de 0,2kilos. De acuerdo a los resultados obtenidos en dicha inspeccin, y suponiendo que la variable querepresenta el peso neto de una caja sigue una distribucin Normal, Puede aceptarse, para un nivel designificacin de un 5 por ciento, que las cajas de mantecados alcanzan el peso neto medio que asegura laempresa?

SOLUCIN:

S

PROBLEMA 43

La empresa "Mantecados del Sur" tiene prevista la siguiente distribucin de produccin anual: en el primertrimestre producir la quinta parte de la produccin anual; en el segundo la cuarta parte; en el tercero uncinco por ciento menos que la produccin conjunta del primer y segundo trimestre; y el resto en el cuarto yltimo trimestre.

Sin embargo, observa la empresa que el volumen total de la produccin en el ao 2.000, cifrada en 1.500toneladas, se distribuy de la siguiente forma: el primer trimestre un 22 por ciento; el segundo un 23 porciento; el tercero un 42 por ciento; y el cuarto un 13 por ciento del total anual Debe concluir que ladistribucin de la produccin del ao 2.000 no ha sido la prevista, a un nivel de significacin del 1 %?

SOLUCIN:

No

PROBLEMA 44

Una agencia tributaria situada en una zona residencial de cierta capital de provincia, estima que, para esteao, los importes de las devoluciones fiscales de los contribuyentes de su distrito pueden ser aproximadosmediante una distribucin Normal de media 150000 pesetas y variancia 4'096x109pta2.

Una devolucin mayor de 332772 pesetas se considera "importante".a) El director de la agencia desea saber qu porcentaje de devoluciones actuales excede a esta cantidad.


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b) Un agente fiscal de dicha agencia se pregunta cul es la probabilidad que de los 30 contribuyentes que tieneasignados, al menos uno tenga una devolucin "importante".Como consecuencia de las reformas fiscales anunciadas por el gobierno se espera que los importes de lasdevoluciones del prximo ao 2002 se incrementen en 16.386 pesetas por devolucin.c) El director quisiera conocer cual sera entonces el porcentaje de devoluciones "importantes".d) Ante las dudas que plantea el hecho de que en el ao prximo las diversas cantidades vendrn

expresadas en euros, responda a los apartados a y c realizando los clculos en dicha moneda (1euro=166.386 pta).SOLUCIN:a).- 0.22% b).- 0.0639 c).- 0.48% d).- No varan

PROBLEMA 45

El director de una agencia tributaria desea estimar el porcentaje de declaraciones con derecho a devolucinpresentadas en su oficina, pues presume que el nmero de declaraciones con derecho a devolucin es el55% de las presentadas. Uno de los empleados de la agencia le indica que tome una muestra aleatoria detamao suficiente para facilitar los clculos. Por ello, elige al azar una muestra de 50 declaraciones de las que

resultan 20 con derecho a devolucin.En la agencia tributaria numero 2, tambin se ha elegido una muestra aleatoria simple de 50 declaraciones, delas que encuentran 22 con derecho a devolucin.Atenindose a estos resultados, el director de la agencia nmero 2 sostiene que en su agencia se presentauna proporcin mayor de declaraciones con derecho a devolucin, opinin que no comparte el director de laagencia nmero 1 que opina lo contrario.Con esta informacin, responda las siguientes cuestiones:a) Justifique, de forma razonada, la sugerencia del empleado de la agencia n1.b) Para niveles de confianza del 95% y 99%, obtenga estimaciones por intervalos para la proporcin dedeclaraciones con derecho a devolucin presentadas en la agencia nmero 1.c) En funcin de los valores de dichos intervalos, le parece aceptable la presuncin realizada por el directorde la agencia n1? Por qu?

d) Para mediar en la disputa entre los directores de ambas agencias se decide realizar una contrastacin dehiptesis con un nivel de significacin del 1%. Cual sera el planteamiento adecuado de dicho contraste paraque su resultado sea favorable a la opinin del director de la agencia nmero 1? Justifquelo razonadamente yrealice dicho contraste.SOLUCIN:a).- distrib. asint. de la media muestral (T.C.L.) b).- (0.2642 , 0.5358) (0.2219 , 0.5781)c).- si para =0.01 , no para =0.05 d).- establecer como hipot. nula la opinin del dir. la agencia 1

PROBLEMA 46

Un analista econmico quiere determinar si la tasa de desempleo es o no la misma en dos regiones de un

determinado pas. De la poblacin activa de la regin A obtiene una muestra aleatoria simple. de 550 personasde las que 55 resultan desempleadas. De forma anloga, en la regin B, de una muestra aleatoria simple de750 personas, 90 se encuentran sin empleo.a) Para un nivel de significacin del 5%, cul sera la conclusin del correspondiente contraste a tenor de losdatos obtenidos?b) Aunque, quizs la obtenida sea la conclusin correcta, es posible que la decisin sea errnea? cmo sedenomina dicho error?, podra usted calcular la probabilidad de cometer dicho error en este contraste?Por qu? Qu clculos debera realizar? Comntelo breve y razonadamente.c) Realice el mismo anlisis mediante la construccin de los correspondientes intervalos de confianza del 95%y del 99%. Razone brevemente sobre los intervalos obtenidos si las tasas de desempleo son o no iguales enambas regiones.SOLUCIN:a).- se acepta la igualdad de tasas. b).- s, error de tipo II, no por se compuesta la hiptesis alternativa, lafuncin de potencia c).- (-0.054 0.014) , (-0.065 0.025)


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PROBLEMA 47

Una empresa dedicada a la produccin de helados sabe que la cantidad de sucedneo hiperconcentrado defresa que contiene sus helados de marca Supremme de fresa sigue una distribucin Normal con desviacintpica (o estndar) 0.765 gramos.Se extrae una muestra aleatoria simple de 25 helados, y partir de la misma, se ha construido un intervalo de

confianza para el peso medio de sucedneo por helado, de extremos 0.18 y 0.78.a) Qu nivel de confianza se ha utilizado? Cul ha sido el error muestral realizado?b) Si se quisiera construir ahora un intervalo del 99% confianza, para el mismo parmetro, con una amplitud de0.4 gramos. Cuntos helados habra que observar para conseguir dicho objetivo? Manteniendo dicho nmerode helados, razona si un intervalo de confianza del 90% tendra mayor, menor o igual amplitud. Si se desearamantener la amplitud de 0.4 gramos con una confianza del 90%, cul debera ser el nuevo tamao muestral?c) A partir de la primera muestra aleatoria de 25 helados se ha obtenido una desviacin estndar (o tpica) de0.68 gramos. Halla el menor nivel de significacin para el cual se aceptara la hiptesis alternativa de que lamedia de sucedneo por helado no es de 0.15 gramos, tomado como hiptesis nula dicho peso medio.Apoya la muestra la hiptesis nula de este contraste? Comntalo.SOLUCIN:a).- 0.95 , 0.3 b).- 97 , menor , 40 c).- 0.0308 , no

PROBLEMA 48

En una determinada facultad, la cantidad semanal de dinero que gastan los alumnos en el bar es una variablealeatoria Normal con desviacin tpica (o estndar) 250 u. m. Se sabe, por la experiencia de cursos anteriores,que el 10% de los alumnos gastan semanalmente mas de 1500 u. m.a) Qu porcentaje de alumnos gastan menos de 1000 u. m.? Cuntos alumnos integran una pequeapandilla en la que la probabilidad de que al menos unos de sus integrantes gaste menos de 1000 u. m. a lasemana es 0.9328El tiempo de atencin que un alumno, en minutos, que ha de esperar en el mostrador de informacin de labiblioteca se puede describir mediante una variable aleatoria, tal que la probabilidad de que dicho tiempo sea

superior a x minutos es e-3x

.b) Para un alumno que lleva esperando ms de 3 minutos, Cul ser la probabilidad de que dicho tiemposupere los 6 minutos?Se supone que el 50% de los alumnos de esta facultad cree necesaria una ampliacin de la barra del bar.c) Cul es la probabilidad de que ms del 58% por ciento de una muestra aleatoria de 250 alumnos compartaesa opinin?SOLUCIN:a).- 23.58% , 10 b).- 0.00012 c).- 0.0057

PROBLEMA 49

Se ha realizado un estudio sobre los licenciados en las dos ltimas promociones de cierta facultad que,sorprendentemente gozan de un empleo a tiempo completo acorde a su titulacin. La unidad utilizada ha sidodecenas de miles de unidades monetarias. El salario medio de una muestra de 138 licenciadospertenecientes a una de sus licenciaturas (llammosla A) es de 363. Otra muestra de 266 licenciados de laotra licenciatura (llammosle B) ofrece un salario medio de 375 u. m. Las desviaciones tpicas poblacionalesson, respectivamente 116 y 165. Se sabe que dichos salarios se distribuyen Normalmente.A) Obtn un intervalo del 90% de confianza para la diferencia de salarios medios poblacionales; a la vista dedicho intervalo, se puede rechazar a un nivel de significacin del 10% que la licenciatura no influye en elsalario de los recientes licenciados de esta facultad?Para muestras independientes de alumnos y alumnas de primer curso de esta facultad se han obtenido lossiguientes datos relativos a las horas diarias de estudio:

Menos de 2 horas Mas de 2 horas

Alumnas 170 130Alumnos 180 100


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b) Para un nivel de significacin del 1%, puede rechazarse la hiptesis de que no existe relacin entre sexo yhoras de estudio? Razona la conveniencia de realizar o no la correccin por continuidad (de Yates) Habraque realizarla en este contraste concreto? Por qu? En caso afirmativo, realzala.Se pretende estimar con una confianza del 90% y un error muestral de 0.02, la proporcin de alumnosmatriculados que estaran dispuestos a cambiar los horarios de los turnos de maana y tarde para impartirdocencia a un tercer turno, mediante una nica pregunta a la que solo tendran que responder S o No.

c) A cuntos alumnos habr que encuestar, suponiendo que todos responden?d) Realiza, a un nivel de significacin del 5%, un contraste paramtrico que permita contrastar la hiptesis deque la proporcin de estudiantes de esta facultad que estudia menos de dos horas al da es la misma paraambos sexos.SOLUCIN:a).- (-35.254 , 11.254). No b).- No. No habra que realizar correccin c).- 1691 d).- Se rechaza talhiptesis.

PROBLEMA 50

Las retribuciones percibidas por los empleados de una determinada empresa se han modelizadomediante

una variable aleatoria con distribucin Normal. Se conoce, por las relaciones de seguros sociales, que el1% de los empleados perciben retribuciones superiores a 5800 euros y el 10% inferiores a 1200 euros.a) Qu proporcin de las retribuciones son superiores a 3000 euros?b) Qu porcentaje de trabajadores de la empresa recibe una retribucin superior a la media?c) Cul es la probabilidad de qu en una seccin que trabajan 10 empleados, al menos 2 tenganretribuciones superiores a 3000 euros?d) Considera apropiado el uso del modelo Normal para estudiar las retribuciones de esta empresa?Comntelo razonadamente.SOLUCIN:a).- 0.4483 b).- 50% c).- 0.9767 d).- S, muy pocos salarios bajos y altos, y muchos concentrados entorno al salario medio.

PROBLEMA 51

Se estima que el 43% de los alumnos de la licenciatura de ADE consideran muy importante que se impartaun curso de tica empresarial para inculcar valores ticos y de compromiso social a los futurosempresarios. Hallar la probabilidad de que ms de la mitad de los 80 alumnos de un grupo opinen de estemodo.SOLUCIN:0.1038

PROBLEMA 52

Sea (X1, X2, X3) una muestra aleatoria simple de una poblacin con media y variancia 2. Considere los

siguientes dos estimadores puntuales de :

6

4

6

32321321

1

XXXXXX ++=

++= 2TT

Probar que ambos estimadores son insesgados Cul es ms eficiente?SOLUCIN:E(T1) = E(T2) = , T1

PROBLEMA 53

De una muestra aleatoria de 802 clientes de supermercados, 378 fueron capaces de decir el precio correcto


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de un artculo inmediatamente despus de ponerlo en el carro. Contrastar, para un nivel de significacin del10%, la hiptesis nula de que al menos la mitad de los compradores son capaces de decir el preciocorrecto. Indique el p-valor (valor de probabilidad) de este contraste y explique brevemente su significado.SOLUCIN:Se rechaza la hiptesis nula, 0.0505

PROBLEMA 54

Una muestra aleatoria simple de 15 pastillas para el dolor de cabeza tiene una desviacin estndar de 08%en la concentracin del ingrediente activo. Supuesto que el porcentaje de concentracin del ingredienteactivo siga una distribucin Normal, calcule un intervalo del 90% de confianza para la desviacin estndarpoblacional.SOLUCIN:(0.6363 , 1.2086)

PROBLEMA 55

Una fbrica tiene una cadena de montaje que se para un promedio de 8 veces al mes, de acuerdo a unadistribucin de Poisson Cul es la probabilidad de que se pare al menos una vez durante un mesconcreto? Cul es la probabilidad de que se pare ms de 8 veces durante un mes concreto? Cul es laprobabilidad de que la cadena se pare al menos una vez durante una semana concreta? Para un aoconcreto, cul es la probabilidad de que ningn mes la cadena supere su promedio de paradas?SOLUCIN:0.9997 , 0.4075 , 0.8647 , 0.00187 ( 0.0022, tomando p=0.4)

PROBLEMA 56

El tiempo empleado por un asesor fiscal en rellenar un formulario de Hacienda es una variable aleatoria quesigue una distribucin de media 5 minutos y desviacin estndar 2 minutos Cul es la probabilidad de quetarde ms de tres horas en rellenar 32 formularios? Sin efectuar los clculos, indique en cual de lossiguientes intervalos, expresados en minutos, es ms probable que est contenido el tiempo que tardar enllenar los 32 formularios: 165-175; 135-145; 140-150; 170-180. Explique razonadamente la respuesta.SOLUCIN:0.0384 , 165-175

PROBLEMA 57

Del conjunto de alumnos de esta facultad matriculados en el ltimo curso se extrajeron dos muestrasaleatorias independientes: una de 92 alumnos matriculados en la licenciatura de Economa y otra de 82alumnos matriculados en A.D.E. Entre los alumnos de Economa 49 esperaban disfrutar de un trabajo fijoantes de 5 aos. Entre los futuros licenciados en A.D.E compartan dicha esperanza 36 de ellos. Obtengaun intervalo de confianza del 95% para la diferencia de las proporciones poblacionales de ambaslicenciaturas de los alumnos que esperan alcanzar un trabajo fijo antes de 5 aos. Para un nivel designificacin del 5%, podramos afirmar que la proporcin de alumnos que esperan obtener un trabajo fijoantes de 5 aos es la misma en ambas licenciaturas? Y para un nivel de significacin del 1%?SOLUCIN:(-0.02 , 0.22) , si tanto al 5% como al 1%


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PROBLEMA 58

Un profesor de Estadstica est pensando en utilizar un nuevo libro para seguir su curso, dudando entre lostres siguientes: P. Estadstica, M. Estadstica y Estadstica C. Para salir de duda elige 60 ex-alumnos, ysolicita que revisen los tres libros y le comenten sus preferencias. Los resultados fueron:

Libro: P. Estadstica M. Estadstica Estadstica C.-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

N de alumnos que lo elige: 17 25 18Contrastar, para un nivel de significacin del 5%, la hiptesis nula de que no hay un libro que sea msvalorado que los otros.SOLUCIN:Se acepta dicha hiptesis nula.

PROBLEMA 59

Una empresa de seguridad recoge a diario la recaudacin de una cadena de pequeos supermercados de una

ciudad. La experiencia de meses anteriores ha permitido considerar dicha recaudacin diaria como unavariable aleatoria que, tiene una media de 8 miles de euros, con densidad simtrica.a) Obtn la mediana de la recaudacin diaria.b) Cuantifica la dispersin absoluta de la recaudacin, sabiendo que la relativa es del 16.125%.c) Debido a lo elevado del coste, la direccin de la cadena ha decidido prescindir de la empresa de seguridadsi la recaudacin diaria es inferior a 8000 euros. Cul ser la probabilidad de que tenga que utilizar losservicios de dicha empresa ms de 10 das durante los prximos 15 laborables?, y como mximo 140durante el prximo ao, con un total de 300 das laborables?El beneficio diario de esta cadena de supermercados viene determinado por la relacin B=0.4T+0.2V-, siendoT el importe de las ventas al contado, V el importe de los realizadas a clientes que pagan con tarjeta de crditoy una variable aleatoria de media 10 que expresa los gastos; se ha considerado que el coeficiente decorrelacin entre V y T es 0.9.

d) Propn un estimador insesgado para el beneficio medio diario a partir de la informacin proporcionada poruna muestra aleatoria simple de los beneficios de n das. Justifica la insesgadez de tu estimador.Observando el nmero de personas que han salido sin realizar compras en uno de los establecimientosubicados en una zona residencial a los largo de 40 das, elegidos aleatoriamente, se han obtenido lossiguientes resultados:

N de personas 2 3 4 5 6 7 8N de das 5 8 10 7 5 4 1

e) Puede aceptarse la hiptesis de que el nmero de personas que salen de este establecimiento sin realizarcompras sigue una distribucin de Poisson, a niveles de significacin del 5% y del 1%? Nota: el estimadormximo verosmil del parmetro de tal distribucin es la media muestral.SOLUCIN:a).- me=8 b).- 8 , 1.6641 c).- 0.0592 ,0.1251 d).- la misma combinacin lineal de las correspondientes

medias muestrales, ambas son estimadores insesgados e).- se acepta a ambos niveles

PROBLEMA 60

Un empresario tiene prevista la siguiente distribucin de la produccin anual para el bienio 2002/03:1erTrimestre 2 Trimestre 3er Trimestre 4 Trimestre

20% 25% 40% 15%Pero observa que el volumen de produccin de 2002, cifrado en 2000 unidades, se distribuy de la siguienteforma:

1erTrimestre 2 Trimestre 3er Trimestre 4 Trimestre22% 23% 42% 13%

a) Se puede concluir, a un nivel de significacin del 1%, que la distribucin de la produccin del ao 2002 nose ajust a la prevista?


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SOLUCIN:a).- 0.623 , 200 mill. u.m. b).- 0.785 , l0.075l , (0.728 , 0.842) d).- no , s

PROBLEMA 63

Una asociacin de consumidores ha presentado una denuncia contra una panificadora argumentando que elpeso medio de las barras de pan de medio kilogramo es en realidad 450 gramos. Es indudable que nuncapueden resultar las barras con idntico peso, por lo que en realidad dicha magnitud es una variable que vamosa suponer Normal con desviacin estndar (tpica) 100 gramos. A pesar de ello, pudiera haber ocurrido, tal ycomo cree la asociacin, que la panificadora haya menguado de forma sistemtica la cantidad de masadestinada a cada barra. Para comprobar la denuncia, el juzgado correspondiente ha ordenado extraer unamuestra de 100 barras, sin previo aviso a la panificadora, de una serie de establecimientos elegidos al azar deentre los que sta provee. Se ha calculado el peso medio de las mismas, el cual ha resultado ser 475 gramos.En base a estos datos, se pretende contrastar la hiptesis nula de que el peso medio de las barras es mediokilo, frente a la alternativa de que es 450 gramos, considerando como regin crtica que el peso medio de las100 barras observadas sea menor a un peso determinado que depender, lgicamente, del nivel designificacin al que se desee realizar el contraste.

a) Cul sera el valor de ese peso para un nivel de significacin del 5%? Obtn la potencia y el valor deprobabilidad (o valor p) de este contraste. Prosperara la denuncia de la asociacin de consumidores aniveles de significacin del 1%, 5% y 10%?El juzgado pretende ahora estimar el peso medio de las barras con un error muestral de 25 gramos, porexceso o por defecto, y con una confianza del 97.5%.b) Cuntas barras de pan debera observar ahora? Cul sera la amplitud del correspondiente intervalo?Influira es estos resultados el hecho de que la variancia poblacional del peso de las barras fuesedesconocida? Justifcalo. Para la muestra de 100 barras y para el mismo nivel de confianza, cul sera elerror muestral cometido?SOLUCIN:a).- 483.6 g , 0.9996 , 0.0062 , prosperara la denuncia a los tres niveles b).- 81 , 50, si , 22.4 g.

PROBLEMA 64

En una empresa dedicada a la fabricacin de un nico producto existen dos turnos de trabajo conempleados diferentes, uno por la maana y otro por la tarde. La gerencia est convencida de que el nivel deproductividad es distinto en cada turno, no obstante antes de analizar las causas, se plantea corroborar estaidea. Para ello efecta un seguimiento de 21 unidades producidas por la maana y detecta un tiempo mediode permanencia en la cadena de produccin de 3.8 horas, con una desviacin estndar (tpica) de 0.2horas. Anlogamente procede con 11 unidades producidas por la tarde, calculando un tiempo medio de 4horas con una desviacin estndar de 0.15 horas. Ambas muestras se han seleccionado al azar, y seasume que el tiempo de permanencia en la cadena productiva es Normal.a) Se puede admitir que el tiempo medio de permanencia en la cadena es el mismo para ambos turnos, aun nivel de significacin del 10%? Cunto debera haber valido la diferencia de medias muestrales para

que dicho nivel de significacin coincidiera con el valor de probabilidad (valor p) de este contraste?La gerencia desea estimar la proporcin de unidades producidas con algn tipo de defecto, porinsignificante que sea, y para ello va a proceder a revisar 1500 unidades. El gerente desea contrastar lahiptesis de que la proporcin de unidades defectuosas es menor que 0.03b) Cul debera ser, como mximo, el nmero de unidades defectuosas, de las 1500 analizadas, paraaceptar dicha hiptesis a un nivel de significacin del 5%? Si se quisiera estimar dicha proporcin, con elmismo nmero de observaciones, con una confianza del 97.5%, cul debera ser la proporcin muestralobservada de unidades defectuosas para un error muestral de 0.012?.SOLUCIN:a).- no, 0.12014 b).- 56 , 0.9545 0.0455


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PROBLEMA 65

En una determinada facultad, el tiempo en minutos que un alumno ha de esperar en el mostrador deinformacin de la biblioteca hasta ser atendido, se puede describir mediante una variable aleatoria X(obviamente positiva), tal que la probabilidad de que dicho tiempo sea superior a x minutos es e-3x.a) Identifica el modelo probabilstico que sigue dicho tiempo. Para un alumno que lleva esperando ms de un

minuto, cul ser la probabilidad de que dicho tiempo supere el minuto y medio?La cantidad semanal de dinero que gastan los alumnos de esta facultad en el bar es una variable aleatoriaNormal con desviacin tpica (o estndar) 250 u. m. Se sabe, por la experiencia de cursos anteriores, que el10% de los alumnos gastan semanalmente mas de 1500 u. m.b) Qu porcentaje de alumnos gastan menos de 1000 u. m? Cuntos alumnos integran una pequeapandilla en la que la probabilidad de que al menos uno de sus integrantes gaste menos de 1000 u. m. a lasemana es 0.9328Se supone que la mitad de los alumnos matriculados en esta facultad cree necesario insonorizarurgentemente ciertas aulas de la misma.c) Cul es la probabilidad de que ms del 58% por ciento de una muestra aleatoria de 250 alumnos compartaesa opinin? Plantea y resuelve esta cuestin de dos formas distintas, aunque equivalentes.SOLUCIN:a).- Exp(3) , 0.2231 b).- 23.58% , 10 c).- 0.0057

PROBLEMA 66

Se ha observado en una empresa, dedicada a la fabricacin de productos lcteos, el nmero de bajas porenfermedad presentadas durante 40 meses elegidos aleatoriamente, obtenindose los siguientes resultados:

N de bajas 2 3 4 5 6 7 8---------------------------------------------------------------------N de meses 5 8 10 7 5 4 1

a) Puede aceptarse, a un nivel de significacin del 5%, la hiptesis de que el nmero de bajas por mes sigueuna distribucin de Poisson? Considere que el estimador mximo verosmil del parmetro de dicha distribucin

es la media muesral.Esta empresa utiliza dos mquinas diferentes, A y B, para llenar envases de un litro de batido de diversossabores. Las cantidades envasadas por ambas mquinas son variables aleatorias Normales centradas en elcontenido del envase, siendo 0.1 litros la desviacin estndar de A y 0.08 litros la de B. La direccin de laempresa sospecha que ambas mquinas han quedado obsoletas y que la cantidad media envasada porambas se aleja ms de lo debido de la cantidad anunciada en el envase. Para confirmarlo, analiza unamuestra de envases llenados por la mquina A, encontrando un contenido medio de 0.98 litros y otra muestrade 20 envases llenados por B, observando un contenido medio de 0.95 litros.b) Si se contrasta la hiptesis de que la cantidad media envasada por A es un litro, cul ha sido el nmero deenvases observados si el valor de probabilidad de dicho contraste es 0.2302? Hasta qu nivel de significacinse aceptara que la cantidad media envasada por B es de un litro? Si se quisiera estimar la proporcin deenvases llenados por la mquina A con contenido superior a un litro, con una confianza del 90% y un errormuestral de 0.05, cuntos envases habr que observar?

SOLUCIN:a).- S b).- 36 , 0.0052 , 269

PROBLEMA 67

El decanato de una facultad desea realizar una reforma en los aparcamientos de la misma y desea estimarla proporcin de alumnos que se desplazan a la facultad en moto. Para ello ha extrado una muestraaleatoria simple de 100 alumnos matriculados, de los cuales 10 utilizan este medio de transporte. Con estainformacin, el decanto quiere estimar con una confianza del 95% la proporcin de alumnos matriculadosque se desplazan en este medio.a) Entre que dos valores numricos se encuentra dicha estimacin?, cul ha sido el error muestral

cometido? Si se quisiera reducir en un 15% la amplitud de la estimacin anterior, manteniendo el mismonivel de confianza, a cuntos alumnos habra que preguntar si se desplazan o no en moto?, y a cuntos


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si se mantiene la amplitud de la estimacin inicial y se realiza con una confianza del 90%?Durante las cuatro semanas que dur durante el curso pasado el periodo ordinario de matriculacin, eldecanato tena previsto, segn lo observado en cursos anteriores, que en la primera semana se matricularala quinta parte del alumnado, en la segunda la cuarta parte, en la tercera un cinco por ciento menos que enel conjunto de las primeras, y el resto en la cuarta semana. Sin embargo, se observ que de los 1500alumnos matriculados, un 22% lo hizo en la primera semana, un 23% en la segunda, un 42% en la tercera,

y el resto en la cuarta.c) Se puede concluir, a un nivel de significacin del 1%, que la matriculacin de alumnos no sigui laprevisin del decanato? Se podra rechazar al mismo nivel de significacin que esos 1500 alumnos nomostraron preferencia por alguna de esas cuatro semanas a la hora de matricularse?SOLUCIN:a)- Entre 0.0412 y 0.1588 , 0.04998 , 385 , 195 b).- No, s.

PROBLEMA 68

En unas jornadas sobre movilidad en el Aljarafe, los expertos coinciden que la velocidad de circulacin enlos trayectos de ida y vuelta a Sevilla en las horas punta es una variable aleatoria con distribucin Normal.

Sin embargo, no se ponen de acuerdo en los parmetros que definen dicha distribucin. Unos sostienenque la velocidad media no supera los 30 Km/h, siendo la dispersin muy alta, por lo que mantienen que ladesviacin tpica es, como mnimo, de 20 (Km/h). Otros sitan la velocidad media por encima de los 30Km/h, sosteniendo que sta es ms representativa de lo que sostienen unos. Para salir de dudas decidenutilizar los datos de un estudio, basado en la observacin de 101 trayectos elegidos de forma aleatoria, quenos muestra como la velocidad media est comprendida, con un 95% de confianza, entre 23,9288 Km/h y31,0712 Km/h.Para =0,05 contraste las dos afirmaciones (sobre la media y la variancia) de unos (hiptesis nulas)frente a las de otros (hiptesis alternativas).SOLUCIN:Se acepta la afirmacin de unos sobre ambos parmetros.

PROBLEMA 69

Al finalizar sus estudios en la LADE, un grupo de alumnos deciden emprender una actividad de consultora.Consideran que existen suficientes clientes potenciales como para que su aventura pueda tener xito. Decualquier modo, ante el importante riesgo que asumen consideran necesario realizar algunas simulacionespara, en trminos de probabilidad, poder decidir sobre la viabilidad del proyecto.Van a considerar tres tipos de ingresos mensuales e independientes, de acuerdo con la oferta querealizarn: a) fiscal; b) personal; c) contable. La tarifas relativas a cada una de ellas siguen distribucionesnormales Nf(=14,

2 =4), Np(=12, 2 =16) y Nc(=3,

2 =5) respectivamente, medidas en miles de euros.Se pide:a) Calcular la probabilidad de que los ingresos totales mensuales superen los 30 mil euros. Calcular laprobabilidad de no cubrir gastos en un mes, si estos se considera que ascendern a 14.500 euros

mensuales.b) Si consideramos 12 meses cul sera la probabilidad de que al menos un mes no se cubran los gastos?Si contemplamos 58 meses, qu probabilidad obtendramos?Otros alumnos, por el contrario, dada la importancia del sector agroalimentario en Andaluca, decidieronimpulsar una explotacin de transformacin de estos productos. De acuerdo con la informacin existentedel sector, se puede asumir que se obtendrn al da, por trmino medio, 0.5 toneladas de tomates enconserva, con una desviacin estndar de 30 kilogramos.c) Cuntos das tardarn en obtener al menos 100 toneladas con una probabilidad del 97.5 por ciento?Sidicha probabilidad fuese menor, disminuira o aumentara dicho nmero de das?, raznelo sin efectuarclculos.Uno de los clientes de la consultora ha realizado una inversin en acciones y bonos, cuyas tasas derendimientos

gade. relación de problemas. 2015-16

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