g2 vectores

Colegio Los Nogales 3° Electivo Biólogo

Jessica Barrientos C.

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Guía Nº 1 “VECTORES” Una forma de clasificar las magnitudes físicas es tomando en cuenta su comportamiento, en tal caso reconoceremos las magnitudes escalares y las magnitudes vectoriales. Magnitudes Escalares : En el estudio de la Física encontramos conceptos o magnitudes tales como: el tiempo, masa, carga eléctrica, temperatura y energía, que quedan completamente caracterizadas al indicar el valor numérico y la unidad de medición. Ej. Masa, m = 4 kg; Longitud, L = 15 m; temperatura, t° = 25 °C. Al trabajar en el contexto de la Física clásica no relativista, con magnitudes de este tipo, usamos el álgebra de los números reales, lo que está de acuerdo con los experimentos. Dichas cantidades se llaman magnitudes escalares. Magnitudes Vectoriales : También en Física encontramos otros conceptos que para determinarlos completamente, se requiere conocer además de su magnitud o tamaño, su dirección y sentido, estos conceptos obedecen a reglas diferentes de las cantidades escalares (números reales). Dichos conceptos se llaman magnitudes vectoriales . Ejemplo de algunos conceptos vectoriales son: I. Desplazamiento II. Velocidad III. Aceleración IV. Fuerza V. Torque VI. Intensidad del campo eléctrico. Las cantidades vectoriales se representan gráficamente mediante un trazo dirigido (vector geométrico). Los vectores geométricos están caracterizados por una magnitud o módulo, una dirección y un sentido. El vector geométrico de origen O y extremo A se representa geométricamente así:

Simbólicamente el vector geométrico de origen O y termino A, se anota OA o bien por

OA a (letra minúscula con una flecha sobre ella) Todo vector geométrico queda determinado por tres elementos: a) Módulo b) Dirección c) Sentido

a) Módulo: Corresponde a la longitud del trazo dirigido que representa al vector

a .

El módulo del vector

a , se anota:

a o simplemente se anota la letra omitiendo la flecha (a) .

b) Dirección : Está dada por la recta que lo contiene o por una paralela

dirección del vector

OA a cualquiera a la misma. Así por ejemplo la está dada por la recta L1 que lo contiene o por la recta L2 que es paralela a L1. c) Sentido : Esta dado por la orientación del trazo. AsÍ, por ejemplo el

sentido del vector

a es de O hacia A. Observación: El módulo es siempre un número positivo . Si el módulo es cero, quiere decir que el origen del vector coincide con su término, es decir, el vector se reduce a un punto, para facilitar muchas operaciones que veremos mas adelante, se dice que se trata del vector nulo o vector cero, y se representa por 0 . No hay que confundirlo con el número cero, que no es un vector. A excepción del vector nulo, todos los demás tienen dirección, sentido y módulo bien determinados.



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Igualdad de vectores Definición: Se dice que dos o más vectores son iguales si tienen igual módulo, dirección y sentido. Vectores inversos u opuestos Definición: Se dice que dos vectores son inversos, cuando tienen el mismo módulo la

misma dirección, pero distinto sentido. Por ejemplo, los vectores

a y

a son inversos. Operaciones vectoriales Adición: Para sumar dos o más vectores estos deben ser de la misma clase o tipo, el vector resultante es otro vector que pertenece a la misma clase de los vectores sumados. Propiedades de la adición de vectores

Sean los vectores

a ,

b y

c de la misma clase o tipo.

1.

ab c propiedad de clausura

2.

ab b a propiedad conmutativa

3.

ab c a bc propiedad asociativa

4.

a0 a propiedad del neutro aditivo

5.

a (a) 0 propiedad del inverso aditivo

Para sumar dos vectores gráficamente se puede usar dos métodos, el del paralelogramo y el del polígono. Método del paralelogramo: Para sumar dos vectores libres que se encuentran en el mismo plano, se trasladan siguiendo la línea hasta un origen en común O, después se procede a construir un paralelogramo el vector resultante de la suma tiene su origen en O y su termino en el vértice opuesto del paralelogramo.

Ejemplo: Si se desea sumar los vectores

x e y de la figura, ambos se trasladan hasta un origen común;

z es la suma de

x e y .

Este método se puede utilizar para sumar mas de dos vectores, pero se debe ir asociando de a dos en dos, por lo que en algunos casos es conveniente usar el método del polígono. Método del polígono: Este método consiste en fijar un origen y trasladar el primer vector a sumar a ese punto, coincidiendo su inicio con el origen fijado, después se procede a trasladar los vectores uno a continuación del otro, el vector resultante o suma tiene también su inicio en el origen fijado y su término en el extremo del último vector sumado.

Ejemplo: Efectué

abc d ; para sumar los vectores

a ,

b y

c de la

figura, se fija

a a un origen y a continuación se dibuja

b y finalmente

c . Sustracción Definición:

La diferencia de dos vectores,

a -

b ,se define como la suma

a + (-

b), donde -

b es el vector inverso de

b. Por ejemplo, en la figura está representada la diferencia a - b



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Producto de un vector por un escalar (Ponderación de un vector) Definición: La ponderación de un vector consiste en multiplicar un vector con un escalar. Cuando se pondera un vector el resultado es un vector, el cual no necesariamente es de la misma clase que el vector

original. Se llama producto de un vector a por un escalar k, al vector que tiene la misma dirección que

a ,

el módulo es igual al producto entre k por el módulo de

a , y el sentido es igual al de

a si k es positivo ( Nota en Física por lo general no se efectúa la ponderación de una magnitud vectorial por una magnitud escalar negativa )

Si

a es un vector y se pondera por el escalar 2, se obtiene el vector 2

a con la misma dirección y sentido

de

a y el módulo igual a dos veces al módulo de

a , (ver figura)

Propiedades del producto de un vector por un escalar Sean m y n dos escalares y a , b vectores , con lo anterior se definen las siguientes propiedades:

1. (m·n)·

a =m·(n·

a )

2. m·(

a+

b)=m·

a+m·

b

3. (m+n)·

a =m·

a+n·

a

4. 1·

a=

a Componentes de un vector La proyección rectangular de un vector sobre una recta, es una cantidad que se denomina componente(es un escalar). Esta se determina midiendo la magnitud del segmento proyectado sobre la recta, este segmento esta comprendido entre dos rectas perpendiculares a ella (L), que pasan por el origen y el término del vector. Vector en el plano cartesiano Un vector puede definirse en un plano de coordenadas cartesiano, conformado por dos líneas perpendiculares denominadas ejes. El eje horizontal se denomina abscisa y usualmente se representa por la letra X, el eje vertical se denomina ordenada y se representa por la letra y. El diagrama muestra un vector dibujado en el primer cuadrante de este plano. (

X f X0) es la componente del vector sobre el eje X. e (

Yf Y0) es la

componente del vector sobre el eje y. Vectores unitarios Para poder representar cada vector en este sistema de coordenadas cartesianas, haremos uso de tres vectores unitarios. Estos vectores unitarios, son unidimensionales, esto es, tienen módulo 1, son perpendiculares entre sí y corresponderán a cada uno de los ejes del sistema de referencia. Por ello, al eje de las X, le dejaremos corresponder el vector unitario i. Del mismo modo, al eje Y, le corresponderá el vector unitario j. Finalmente, al eje Z, le dejaremos corresponder el vector unitario k. Por tanto, obtendríamos un eje de coordenadas cartesianas de la siguiente forma: Vector en función de sus componentes cartesianas Considere un vector libre en el plano X-Y, de modo tal que puede representarse con su origen en el origen del sistema de coordenadas



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cartesiano y cuyo termino es el par ordenado (

aX ;

aY ).

Por lo tanto un vector puede representarse en función de sus coordenadas y los vectores unitarios, en forma analítica como se muestra a continuación.

a ax ˆ i ay ˆ j

o como un par ordenado

a (ax ; ay )

A partir de la figura se puede determinar el módulo del vector por medio del teorema de pitágoras

a a ax

2 ay

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Suma de vectores en función de sus componentes

Supongamos dos vectores

a y

b en el plano X-Y, con

a ax ˆ i ay ˆ j y el vector

b bx ˆ i by ˆ j , la

suma de los dos vectores se obtiene como la suma algebraica de las componentes de los vectores

a y

b , es decir,

ab (ax bx) ˆ i (ay by) ˆ j

o como par ordenado

ab (ax bx ) ;(ay by )

Multiplicación de un escalar por un vector

Sea m un escalar y

a un vector en el plano X-Y, con

a ax ˆ i ay ˆ j el vector resultante de la

multiplicación de m con

a se obtiene de la siguiente forma

ma m ax ˆ i ay ˆ j ma max ˆ i may ˆ j

Producto punto o producto escalar El producto punto entre dos vectores se obtiene multiplicando los módulos de los vectores por el coseno del ángulo que se forma entre ellos, es decir:

a b a b cos()

El producto punto o escalar se representa mediante un punto. El producto escalar también se puede determinar en forma analítica.

Sean

a y

b dos vectores expresados como pares ordenados

a (ax ; ay )

b (bx ; by) ,en este caso la operación producto punto o escalar se define como:

a b ax bx ay by Observación: el producto punto entre dos vectores tiene como resultado una magnitud escalar. Producto vectorial o producto cruz

El producto vectorial de los vectores

a y

b es una operación definida en el algebra vectorial y como

resultado es otro vector

a b perpendicular al plano formado por los vectores

a y

b

Dado los vectores

a y

b, se representa geométricamente el producto vectorial

a b como:



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Y su módulo se determina a partir de la siguiente relación:

a b a b sen()

Para determinar la dirección y sentido del vector

a b se utiliza una regla llamada “regla de la mano derecha”. Si pones el dedo índice de tu mano derecha apuntando en el mismo

sentido que el vector

a y el dedo mayor en el mismo sentido que

b ,

entonces, el sentido del producto vectorial

a b, de los vectores

a y

b, lo da el pulgar de la misma mano derecha cuando se estira de manera que esté perpendicular a los otros dos dedos.



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Aplicaciones de Vectores: 1) Dibuje: a) Dos vectores de igual módulo, dirección y sentido b) Dos vectores de igual módulo y dirección pero de sentidos opuestos c) Dos vectores de igual sentido y dirección pero uno de módulo igual al doble del otro d) Dos vectores de igual módulo y sentido, pero perpendiculares entre si. 2) Indique el valor de verdad (V-F) de las siguientes proposiciones a) ____El módulo o tamaño de un vector es un escalar b) ____El módulo de un escalar es un vector c) ____Dos vectores de igual sentido tiene igual dirección d) ____Dos vectores de igual dirección tienen igual sentido e) ____Al sumar dos vectores, el vector resultante es siempre de mayor módulo que cualquiera de los módulos de los sumandos. 3) Dados dos vectores de la misma clase, de módulos 3 unidades y 4 unidades respectivamente. ¿Qué condiciones deben cumplir los vectores para que el vector suma o resultante de los dos anteriores tenga un módulo de valor? a) 1 unidad b) 5 unidad c) 7 unidad 4) Una persona viene a la ciudad de Santiago, se hospeda en el hotel San Cristóbal, sale y camina las siguientes cuadras: 3 cuadras hacia el Norte; 6 cuadras hacia el Oeste y por último 11 cuadras hacia el Sur. a) Realice un diagrama del movimiento de la persona b) ¿Cuántas cuadras camino la persona? c) ¿Qué distancia existe ente el punto de partida y el punto de llegada de la persona? 5) Dados los siguientes vectores geométricos realice gráficamente con ellos las siguientes operaciones.

a)

ab

b)

abc

c)

b a 6) Determine el vector suma o resultante en cada uno de los diagramas siguientes:

g2 vectores

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