funtzioak i (zient-teknol.)
TRANSCRIPT
OINARRIZKO
FUNTZIOAK (I)
Arrasate B. H. I. (Arrasate)
Batxilergo Zientifiko-Teknikoa
1. maila
Funtzioak zer diren
Funtzio batek bi aldagai erlazionatzen ditu:
• Dei telefoniko baten kostua deiaren iraupenaren araberakoa da
• Etxebizitzaren prezioa etxearen azaleraren funtziopean dago
• Esfera baten bolumena bere erradioaren menpekoa da
• ........
Bi aldagai erlazionatzen dira, bat independentea (x) eta bestea dependentea edo menpekoa (y).
Funtzioak f, g, h...letrez adierazten ohi dira.
y=f(x) idazkerak esan nahi du “y” aldagaia “x” ren menpe dagoela.
Grafikoa
Funtzioak koordenatu-ardatzetan irudikatzen dira.
Abzisa-ardatzean x-ren balioen multzoa adieraziko dugu, eta ordenatu-ardatzean y = f(x) funtzioaren balioen multzoa.
“x”-ren balio bakoitzari “y” bakarra dagokio.
(x,y) bikoteak funtzioaren marraren puntuak dira.
X
Y
x
y (x,y)
Ezkerrekoa funtzioa da, eskuinekoa ez
y=x2Funtzioa da
1 4 9
-3
-2
-1
1
2
3
Bi funtzio diraEz da funtzioa
Ez da funtzioa
1 4 9
-3
-2
-1
1
2
3
y=− x
y =+ x
x-k har ditzakeen balioen multzoari funtzioaren existentzia-eremua esaten zaio. D(f) eran adierazten da.
y = x2 funtzioan x aldagaiari edozein balio emanda y-ren balioa lortzen da. Funtzio hori R osoan definituta dagoela esango dugu edo bere existentzia-eremua R edo dela. − ∞ , ∞
Baina funtzioan, berriz, x aldagaiari ezin dizkiogu balio negatiborik eman. Funtzio horren existentzia-eremua da.
y = x[ 0 , ∞
y=2
x−1R−{1 }
Modu berean, funtzioan, x-ri ezin diogu 1 balioa eman. Funtzio horren existentzia-eremua da.
Existentzia-eremua
y= x+1 funtzioareneremua [ -1,∞ da .
y=2x+1 funtzioaren eremua R da
Funtzioen irudi multzoa (Ibiltartea)
Irudi diren zenbaki errealen multzoari f funtzioaren ibiltartea esaten zaio.
-3 -2 -1 1 2 3X
-2
-1
1
2
3
4
5
6
7Y
f(x)=5
{5} Funtzio bornatua da, bai goitik eta behetik.
-3 -2 -1 1 2 3X
-2
-1
1
2
3
4Y
f(x)= -x2+3
Goitik bornatua; behetik ez.−∞ , 3 ]
-3 -2 -1 1 2 3 4 5
-2
-1
1
2
3
4
5
6
7
8
9
f x ={ x22 , x≤0 bada 1, x0 denean }
Behetik bornatua; goitik ez.
{1 } ∪ [2 , ∞
Zein da funtzio bakoitzaren eremua eta irudi multzoa
(ibiltartea)?
y=1
x−2y=3−x
Eremua: R-{2}
Irudi multzoa: R-{0}
Ez dago bornatua, ez goitik ez behetik.
Eremua:
Irudi multzoa:
Behetik bornatua dago; goitik ez.
−∞ , 3 0 , ∞
y=2x-4 funtzioaren grafikoa
0 2
-4 0
x y
Aski da ondoko bi puntuak ezagutzea:
Non mozten du 0X ardatza? y=0 x=2 ; A(2,0)
Eta 0Y ardatza? x=0 y=-4 ; B(0,-4)
“a”, zuzenaren malda da
b=0 denean, zuzena (0,0) puntutik pasatzen da
y= k zuzena, horizontala da; x= k , ordea, bertikala
1. mailako funtzio polinomikoak: y =ax+b (zuzenak)
-1 1 2 3x
-6
-4
-2
2
f x
Zuzenaren malda:
y=y 2− y1
x2−x1
=0−−4
2−0=
42= 2
Zuzenak (Adibide grafikoak)
y= x - 3
1 2 3OX
-1
-2
-3
OY
x y
0 -3
3 0 1 2 3OX
1
2
3
OY
y = 3-x
x y
0 3
3 0
-1 1 2OX
1
2
3
OY
y = 3
y = 4x
x y
0 0
1 4
1OX
1
2
3
4
OY
x = -10
-4 -3 -2 -1
-2
-1
1
2
-10
Ariketa ebatzia: Zein da irudiko zuzenaren adierazpen analitikoa?
1 2OX
1
OY
B
AI) y=ax+b forma du.
A(0,1) puntua zuzenean dago; hots, 1=a(0)+b
Berdin (2,0) puntua: 0=a(2)+b.
Beraz, b=1 eta a=-1/2.
Zuzenaren ekuazioa: y = -x/2 + 1
a=malda=0−12−0
=−12
II) P(x1,y1) puntu bat eta m malda ezagutuz,
zuzenaren ekuazioa y - y1 = m(x - x1) da.
Puntua: A(0,1) eta m = -1/2 . Beraz, y-1 = -1/2(x-0); y = -x/2 +1
A(0,1) eta B(2,0) puntuetatik pasatzen da.
Bi eratan egingo dugu:
BALIO ABSOLUTUAK
y=∣x∣= −x baldin x≤0x baldin x≥0
x y
-2 0
-1 1
0 2
-3 1
-4 2
x y
0 0
-1 1
-2 2
1 1
2 2
y=x+2
y=x+2
y =∣x∣ y =∣x2∣
y=x+2
y=x+2
-2 -1 1 2x
0.5
1
1.5
2
-5 -4 -3 -2 -1 1x
0.5
1
1.5
2
2.5
3
y= −x ; x≤0x ; x≥0
y= −x ; x≤−2x ; x≥−2
Zeintzu dira A, B eta D puntuak?
y = x2 ; y = 3 – x2 ; y = (x-4)2
2. mailako funtzio polinomikoak: y = ax2 +bx +c (parabolak)
Demagun gorputz bat 5 m/seg-ko abiadurarekin pasatzen dela jatorritik 10 km-ra dagoen puntu batetik. Une horretan azelerazioa konstantea bada, esaterako 2 m/seg2-koa, gorputzaren posizioa (s) eta denbora (t) erlazionatzen duen funtzioa, s = f(t), hauxe da: s = 10 + 5t + ½ .2t2
-2 -1 1 2x
1
2
3
4f(x)=x2
-1 1x
1
2
3f (x)=3-x2
A B 2 4 6 8x
f(x)=(x-4)2
D
3. mailako funtzio polinomikoak
-2 -1 1 2x
-7.5
-5
-2.5
2.5
5
7.5
f (x)=x3
-2 -1 1 2x
-7.5
-5
-2.5
2.5
5
7.5
f (x)-x3
-3 -2 -1 1x
-2
-1
1
2
3
4
fx)=x3+3x2
y = x3 ; y = -x3 ; y = x3 + 3x2
4. mailako funtzio polinomikoak
-2 -1 1 2x
f(x)=x4
-1.5 -1 1 1.5x
f(x)=-x4
-1 1 2x
-0.2
-0.1
0.1
0.2
0.3
f(x)=x4-x2
y = x4 ; y = - x4 ; y = x4 - x2
1. mailako funtzio irrazionalak
x y
0 0
-1 1
-4 2
Existentzia- eremua: D f = {x≤0 }
y = − x
x y
2 0
6 2
11 3
y = x − 2D f = {x ≥ 2 }Existentzia- eremua:
-9 -4 -1
1
2
3
y = − x
2 6 11
1
2
3OY
y = x − 2
1. Laukizuzen baten perimetroa 20 cm-koa da. Adieraz ezazu laukizuzenaren azalera x aldearen funtzioan
Ariketak 1
2. Lor itzazu ondoko funtzioen existentzia-eremua.
y =5
x 2− 100; y =
x2 − 1005
; y =5
x 2 100; y = x 2 − 9
y = 9− x2 ; y = x22x −3 ; y = 3 − 2x − x2 ; y =x−1
x 2 − 6x 5
y = 2 − x2 ; y = x+ 2x−1
; y = x−2x+3
; y = x3 −4x
y = x2− 1 ; y =x−4 ; y =
1x
Zeintzu dira "r" , "s" , "t" eta "v" funtzioak?
Zeintzu dira A eta B puntuak?
Zenbat da "s" zuzenaren malda? . Eta "v"zuzenarena?
Ariketa 2
-2 -1 1 2 3 4x
-4
-3
-2
-1
1
2
3
4
f (x)
r
st
v
A
B
Ariketa 3
Zein da funtzio hauen adierazpen analitikoa?
-2 -1 1 2x
1
2
3
4
5
6
(2,5)
-2 -1 1
-1
-4
1
4
(-2,8)
(-1,1)
-1 1 2 3
0.5
1
1.5
2
-3 -2 -1 1
0.5
1
1.5
2
Ariketa 4. Zein da funtzio hauen adierazpen analitikoa?
-2 -1 1 2x
-4
-3
-2
-1
1f(x)
-2 -1 1 2x
-1
1
2
3
4f (x)
1 4 9OX
1
2
3
OY
(4,2)
Ariketa 5
y = 1-x2 ; y = x2 +3 ; y = 1+x3
y=∣x+3∣ y=1−xy=∣3−x∣
Adierazi grafikoki ondoko funtzioak:
Alderantziz proportzionalak diren funtzioak
x 0,1 0,01 1 4 -1 -10
y 10 100 1 0,25 -1 -0,1
x 0,1 0,01 1 4 -1 ...
y -10 -100 -1 -0,25 1 ...
Existentzia-eremua: I = R – { 0} y =−1x
Existentzia-eremua: R – { 0}y =1x
Askotan agertzen dira mota horietako funtzioak. Adibidez, tenperatura konstantean, gas masa baten presioa eta bolumenen arteko erlazioa da.P =
kB
x-4 -2 2 4
x
-10
-5
5
10
y
y=1x
-4 -2 2 4
-10
-5
5
10
y
y=−1x
Funtzio esponentzialak: y = 2x eta y = (1/2)x
Txanpon bat” n” aldiz botatzen dugu airera.. Zenbat emaitza posible daude?
Lehenego jaurtiketan : 2Bigarren " : 2.2 = 4Hirugarrenean: 2.2.2 = 8Laugarrenean: 2.2.2.2 = 16
"n" jaurtiketa egin ondoren, emaitza guztiak adierazten duen funtzioa y = 2n da.Adieraz ditzagun grafikoki bi funtzio hauek : y = 2x eta y = (1/2)x
y = 2-
x
y = 2x
-5 0,03125 32
-4 0,0625 16
-3 0,125 8
-2 0,25 4
-1 0,5 2
0 1 11 2 0,5
2 4 0,25
3 8 0,125
4 16 0,0625
5 32 0,03125
x 2x 2-x
Existentzia-eremua: R
Funtzioaren balioak (OY) beti dira positiboak. Ibiltartea: 0 , ∞
Oinarritzat “e” zenbakia (2,711828...) duen funtzio esponentziala: y = ex
x y
0 1
1 e=2,71...
2 e2 = 7,389...
-1 1/e = 0,3678...
-1 1 2
1
0.367
7.39
y =ex
Existentzia-eremua: R
Ibiltartea: 0 , ∞
Oinarritzat “e” zenbakia (2,711828...) duen funtzio logaritmikoa.
0.5 1 2 3
-0.693
0.693 y = ln x
x y
1 0
2 0,693
3 1,099
0,5 -0,693
y = ln x Ez dago zenbaki negatiboen logaritmorik.Existentzia- eremua: {x>0}
Soluzioak
-2 -1 1 2
1
3
y =e- x
-4 -2 2 4x
-20
-10
10
20
(1,2)
(-1,2)
x y
-3 2
-4 3
x≤−3 denean, y =-x-1 zuzena irudikatzen da .
−1 <x<1 denean, y =3 z uzen horizontala .
x≥1 denean, y =x-2 zuzena .x y
1 -1
2 0
Zatika definituriko funtzioak
y=−x−1 baldin x≤33 baldin −1 <x<1x−2 baldin x≥1
x<1 denean, y =-2 zuzena irudikatzen da .
1≤ x<3 denean, y =2x−1 funtzioa .
x≥3 denean, y =8−x funtzioa . x y
3 5
8 0
x y
1 1
2 3
2,999 4,998
y=−2 baldin x< 1
3 baldin 1≤x<38−x baldin x≥3
Soluzioak
y=2−x baldin x≥12x baldin 0<x<1−1 baldin x≤1
y=2+x baldin−2≤x≤01−x2 baldin 0 <x≤2
Soluzioak
y=1−x baldinx≤0x2 baldin x> 0
y=−x baldin x<02 baldin 0≤x<22x−2 baldin x≥2
Funtzio trigonometrikoak
x -90º 0º 30º 90º 180º 270º 360º
y = sin x -1 0 0.5 1 0 -1 0
x -90º 0º 60º 90º 180º 270º 360º
y = cos x 0 1 0.5 0 -1 0 1
y= sin x
Existentzia-eremua: R
Ibiltartea: [-1 , 1]
Funtzio periodikoa : sin x = sin (x + 2k )
Periodoa = 360º
π
y= cos x
Existentzia-eremua: R
Ibiltartea: [-1 , 1]
Funtzio periodikoa: cos x = cos (x + 2k )
Periodoa = 360º
π
-2 2 4 6radianak
-1
-0.5
0.5
1
sin x
-2 2 4 6radianak
-1
-0.5
0.5
1
cos x
Asintota bertikalak x =−π2
,π2
,3π2
, .. . puntuetan .
y= tg x
270º
......
0180º
90º
145º
00
-1-45º
-90º
y = tg xx
±∞
±∞
±∞
Existentzia-eremua: R – {-90º, 90º, 270º,...}
Ibiltartea: R
Funtzio periodikoa: tg x = tg (x + k )
Periodoa = 180º
π
y=tg x
-1
1
π2
ππ4
3π2
2π−π2
Simetria duten eraikinak eta irudia
Simetria 0Y ardatzari begira
• f simetrikoa da y ardatzari begira x eta (–x)-ek irudi berbera dutenean; hots,
f(x)= f(-x) denean.
Adibidez:• f(2) = 4 eta f(-2) = 4• f(1) = 1 eta f(-1) = 1
Mota horietako funtzioak funtzio bikoitiak direla esaten da.
-3 -2 -1 1 2 3X
-1
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10Y
Simetria (0,0) puntuari begira
• f simetrikoa da (0,0) puntuari
begira x eta (–x)-ek irudi aurkakoa
dutenean; hots, f(x)=- f(-x) denean
• f(2) = 8 f(-2) = -8
Mota horietako funtzioak funtzio bakoitiak direla esaten da.
-4 -3 -2 1 1 2 3 4X
-32
-24
-16
-8
8
16
24
32Y
Simetria. Existentzia-eremua. Irudi multzoa
Aukeratu erantzuna1. Simetria
a. (0,0) puntuari begirab. Funtzio bakoitia dac. Funtzio bikoitia dad. Y ardatzari begira
1. Existentzia- eremua
1. Irudi multzoa
a . −∞ ,9 ]
b . −∞ ,∞a . −∞ ,9
b . −∞ ,∞
Erantzuna: Simetria, eremua, irudi-multzoa
1. Simetria (c,d)Funtzio bikoitia da
Y ardatzari begira
1. Existentzia-eremua (b)
1. Irudi multzoa (a)
b . −∞ ,∞
a . −∞ , 9 ]
Simetria, eremua, irudi-multzoa
1. Simetria a. Funtzio bakoitia dab. Funtzio bikoitia dac. Y ardatzari begirad. (0,0) puntuari begira
1. Existentzia- eremua
1. Irudi multzoa
Aukeratu erantzuna
a . −11 , 11 b . −∞ ,∞
b . −∞ ,∞
a . −3,3
Simetria, eremua, irudi-multzoaErantzunak
1. Simetria (a,d)Funtzio bakoitia da
(0,0) puntuari begira
1. Existentzia-eremua (b)
1. Irudi multzoa (c)
b . −∞ ,∞
b . −∞ ,∞
Funtzioen konposizioa
Adibidea : Eman ditzagun eta g(x) = x2 - 1 funtzioak. Kalkula ditzagun (g o f)(x) eta (f o g)(x) funtzio konposatuak. (g o f)(x) = g[f(x)] = (f o g)(x) kasuan, f funtzioa g-ren emaitzari aplikatu behar zaio: x → g(x) → f(g(x)) . Hau da, (f o g)(x) = f[g(x)] = f[x2-1] =
(f o g) eta (g o f) ez dira berdinak
f x = x
g x = x 2 −1 = x−1
x2 − 1
Har ditzagun f(x) = x+3 eta g(x) = x2-1 funtzioak eta zenbaki erreal bat, x = 2 adibidez.
Lehenik, 2 balioaren f bidezko irudia kalkula dezakegu, eta horrela f(2) = 5 lortuko dugu, eta jarraian g bidezko irudia; hau da: g(5) = g(f(2)) = 24
2 → f(2) = 5 → g(f(2)) = 24
Oro har, f eta g funtzioak emanik, x balioari g(f(x)) balioa egokitzen dion funtzioari f-ren eta g-ren funtzio konposatua deritzo eta g o f eran idazten da.
x → f(x) → g(f(x)) = (g o f)(x)
Eragiketa honetan g funtzio bat , f(x) beste funtzio baten emaitzaren gain aritzen da.
Alderantzizko funtzioa konposizioarekiko Funtzio batzuk, beste funtzio ezagun batzuren alderantzizko gisa sortu dira. Esaterako, funtzioa g(x) = x2-aren alderantzizkoa da. f x = x
Esate baterako, 4 balioaren irudia f bidez 2 balioa bada, orduan g-ren bidez 2 balioari 4 balioa dagokio.
g(x) funtzioari f-ren alderantzizko funtzioa deritzo (f –1)
4 → 29 → 316 → 4...
f x = x g(x) = x2
2 → 43 → 94 → 16...
Ikus dezakezunez, bi grafikoak simetrikoak dira 1. eta 3. koadranteen erdikariarekiko; hau da y = x zuzenarekiko.
Horren zergatia ondokoa da: (a , b) puntua f funtzioaren grafikokoa bada, (b , a) puntua f –1 funtzioaren grafikokoa da.
[ 0 , ∞ tartean:Azter ditzagun eta f –1(x) = x2 funtzioaren grafikoak
f x = x
1 2 3 4 9
1
2
3
4
9
y=x2y=x
y= x
Nola kalkulatu funtzio baten alderantzizkoa ?
x =y−3
2
Adibidez, har dezagun y = f(x) = 2x +3 funtzioa. Alderantzizko funtzioa lortzeko, ondoko prozedura erabiliko dugu:
x aldagaia bakanduko dugu:
y aldagaiaren ordez x jarriko dugu, eta alderantziz, zeren normalean aldagai independentea x letraz adierazten baita eta aldagai dependentea y letraz:
y =x−3
2
2. adibidea . Kalkula dezagun y = x2-3 funtzioaren alderantzizkoa.
x aldagaia bakandu:
Aldagaiak trukatu:
x = y+ 3
y = x+ 3
y=sin x , y=cos x eta y=tg x funtzioen alderantzizkoak y=arc sin x , y=arc cos x eta y=arc tg x dira, hurrenez hurren.Hori dela eta, arc sin 0,5 = 30º , arc cos(-1) = 180º , arc tg 1 = 45º …dira.
Funtzio logaritmikoa ( y = ln x) eta esponentziala ( y = ex) alderantzizkoak dira.
Funtzio esponentziala eta logaritmikoa: y = 3x eta y = log3x
x-5 0,00-4 0,01-3 0,04-2 0,11-1 0,330 11 32 93 274 815 243
3xx
0,00 -50,01 -40,04 -30,11 -20,33 -1
1 03 19 2
27 381 4243 5
log3x
y=e−xy=
2x
Ariketa 6
Irudikatu grafikoki ondoko funtzioak:
Ariketa 7
Irudikatu grafikoki ondoko funtzioak:
y=2−x baldin x≥12x baldin 0 <x<1−1 baldin x≤1
y=2+x baldin−2≤x≤01−x2 baldin 0 <x≤2
Ariketa 8
Adierazi grafikoki ondoko funtzioak.
y=1−x baldinx≤0x2 baldin x> 0
y=−x baldin x<02 baldin 0≤x<22x−2 baldin x≥2
Zein da funtzio hauen adierazpen analitikoa?
Ariketa 9
-2 -1 1 2 3 4 5x
1
2
3
4
f(x)
(2,4)
Ariketa 10
Azter ezazu ondoko funtzioen simetriak:
a y = x 4−3x2
1 ; b y = x3− 1
c y = x3 − x ; d y =1x
; e y =1x 2
1. f(x) = 2x+1 eta g(x)= x2 izanik , kalkula itzazu f o g eta g o f funtzio konposatuak . Betetzen al da trukatze propietatea?
3. Egiazta ezazu y = (4x2 – 1)10 funtzioa funtzio konposatua dela. Horretarako, har itzazu f(x)=x10 eta g(x)=4x2-1 funtzioak eta kalkulatu (f o g)(x).
4. Egizu gauza bera y = sin 3x funtzioarekin. Har itzazu f(x)=sin x eta g(x)=3x funtzioak eta kalkulatu (f o g)(x).
Ariketak 11
2. izanik , kalkula itzazu (f o g) (2) eta (g o f) (2)f x =2
x+1 eta g x = x3