Funtzio baten limitea puntu batean (x-balio zehatz batean)

1. adibidea:

Demagun 12 +== x)x(fy funtzioaren jokabidea aztertu nahi dugula 1=x balioaren inguruan.

Honela, 1=x balioaren ezkerrean dauden balio hurbilak hartzen baditugu kontuan:

Ikus daitekeenez, funtzioak hartzen ditu 2tik gero eta hurbilago dauden balioak eta honengatik, 1=x balioaren ezker-limitea 2 dela esaten da, sinbolikoki

21

=→ − )x(fx

lim adierazten delarik.

Segidan, 1=x balioaren eskuinean dauden balio hurbilak hartzen baditugu kontuan:

Ikus daitekeenez, funtzioak hartzen ditu 2tik gero eta hurbilago dauden balioak eta honengatik, 1=x balioaren eskuin-limitea 2 dela esaten da, sinbolikoki

21

=→ + )x(fx

lim adierazten delarik.

Beraz, 1=x balioaren alboetan funtzioaren jokabidea berdina denez, 1=x

balioan funtzioaren limitea existitzen dela esaten da, sinbolikoki 21

=→

)x(fx

lim

adierazten delarik.

x 0 0,9 0,99 0,999 0,999912 +== x)x(fy 1 1,81 1,9801 1,998001 1,9998001

x 2 1,1 1,01 1,001 1,000112 +== x)x(fy 5 2,21 2,0201 2,002001 2,00020001

Limitearen balioa eta funtzioak 1=x balioarako hartzen duen balioa bat datoz . Grafikoan ikus daitekeenez, eta geroago ikasiko dugun kontzeptua kontuan hartuz, funtzioa 1=x balioan jarraia dela esaten da .

2. adibidea:

Orain, azter dezagun

>+≤+

==badax;x

badax;x)x(fy

11

12 funtzioaren jokabidea 1=x

balioaren inguruan. Lehen bezala, 1=x balioaren ezkerrean dauden balio hurbilak eta beraientzako lehenengo formula aplikatzen dela kontuan hartuz:

Ikus daitekeenez, funtzioak 3tik gero eta hurbilagoak diren balioak hartzen ditu eta, honengatik, 1=x balioaren ezker-limitea 3 dela esaten da, sinbolikoki

31

=→ − )x(fx

lim adierazten delarik.

Segidan, 1=x balioaren eskuinean dauden balio hurbilak eta beraientzako bigarren formula aplikatzen dela kontuan hartuz:

Ikus daitekeenez, funtzioak 2tik gero eta hurbilagoak diren balioak hartzen ditu eta, honengatik, 1=x balioaren eskuin-limitea 2 dela esaten da, sinbolikoki

21

=→ + )x(fx

lim adierazten delarik.

Kasu honetan, 1=x balioan definituta egonda ere, 1=x balioaren alboetan funtzioaren jokabidea berdina ez denez, 1=x balioan funtzioaren limitea

existitzen ez dela esaten da. Sinbolikoki: )x(fx

lim

1→∃/

Balio horretan limitea ez existiztearen ondorioa funtzioa jarraia ez izatea da.

x 0 0,9 0,99 0,999 0,99992+== x)x(fy 2 2,9 2,99 2,999 2,9999

x 2 1,1 1,01 1,001 1,00011+== x)x(fy 3 2,1 2,01 2,001 2,0001

Jarraitasuna x = c balioko puntuan

funtzioa jarraia da x = c balioko puntuan, ondoko hiru baldintzak batera

bete izanez gero:

I) Funtzioa definituta egotea x = c baliorako, hots, kalkulatu ahal

izatea.

II) Funtzioaren joera x = c balioaren alboetan bakarra eta berdina da, hau da,

x = c balioaren alboko limiteak berdinak izan eta )x(fcx

lim

→ existitzea.

III) Funtzioak hartutako balioa eta funzioaren limitea (edo alboko limiteak)

berdinak izatea, hau da: )c(f)x(fcx

lim=

→

Zer esanik ez, azkenengo hauxe betez gero, aurreko biak ere beteko dira.

Aurreko 1. adibidean, non 12 +== x)x(fy zen, azken baldintza )(f)x(fx

lim12

1==

→

betetzen zenez, funtzioa jarraia zen x = 1 balioko puntuan.

Oro har, landuko ditugun funtzio polinomikoak eta esponentzialak, non R = D den eta edozein x baliotarako definituta dauden, funtzio jarraiak dira x balio guztietan.

Eten motak

1. Mota : Balio horretan grafikoak jauzi bat aurkezten du (aurreko 2. adibidea).

>+≤+

==badax;x

badax;x)x(fy

11

12

Funtzioa definituta dago 1=x balioan, , baina ez da limitea existitzen, sinbolikoki:

• 31 =)(f

• )x(fx

lim

1→∃/