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Fundamentos de seales y sistemasusando la Web y MATLAB

Tercera edicin

Edward W. KamenBonnie S. Heck

School of Electrical and Computer EngineeringGeorgia Institute of Technology

TRADUCCINLaura Fernndez EnrquezUniversidad Autnoma MetropolitanaCampus Iztapalapa

REVISIN TCNICAJess Enrique Chong QueroInstituto Tecnolgico y de Estudios Superiores de MonterreyCampus Estado de Mxico

Rubn Alejos PalomaresComputacin, Electrnica y MecatrnicaUniversidad de las Amricas, Puebla

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Authorized translation from the English language edition, entitled Fundamentals of Signals and Systems, using theWeb and MATLAB, 3rd edition by Edward W. Kamen and Bonnie S. Heck, published by Pearson Education, Inc.,publishing as Prentice Hall, Copyright 2007. All rights reserved.ISBN 0131687379

Traduccin autorizada de la edicin en idioma ingls Fundamentals of Signals and Systems, using the Web andMATLAB, 3a edicin por Edward W. Kamen y Bonnie S. Heck, publicada por Pearson Education, Inc., publicadacomo Prentice Hall, Copyright 2007. Todos los derechos reservados.

Esta edicin en espaol es la nica autorizada.

Edicin en espaolEditor: Luis Miguel Cruz Castillo

e-mail: luis.cruz@pearsoned.com Editor de desarrollo: Bernardino Gutirrez HernndezSupervisor de produccin: Juan Jos Garca Guzmn

Edicin en ingls

Datos de catalogacin bibliogrfica

KAMEN, EDWARD W., y BONNIE S. HECK

Fundamentos de seales y sistemas usando la Web y MATLAB

PEARSON EDUCACIN, Mxico, 2008

ISBN: 978-970-26-1187-5 rea: Ingeniera

Formato: 18.5 23.5 cm Pginas: 672

Vice President and Editorial Director,ECS: Marcia J. Horton

Acquisitions Editor: Michael McDonaldAssociate Editor: Alice DworkinExecutive Managing Editor: Vince OBrienManaging Editor: David A. GeorgeProduction Editor: Scott Disanno

Director of Creative Services: Paul BelfantiArt Director: Jayne ConteCover Design: Bruce KenselaarArt Editor: Greg DullesManufacturing Manager: Alexis Heydt-LongManufacturing Buyer: Lisa McDowellMarketing Manager: Tim Galligan

TERCERA EDICIN, 2008

D.R. 2008 por Pearson Educacin de Mxico, S.A. de C.V.Atlacomulco 500-5o. pisoCol. Industrial Atoto53519, Naucalpan de Jurez, Estado de Mxico

Cmara Nacional de la Industria Editorial Mexicana. Reg. Nm. 1031.

Prentice Hall es una marca registrada de Pearson Educacin de Mxico, S.A. de C.V.

Reservados todos los derechos. Ni la totalidad ni parte de esta publicacin pueden reproducirse, registrarse otransmitirse, por un sistema de recuperacin de informacin, en ninguna forma ni por ningn medio, sea electrnico,mecnico, fotoqumico, magntico o electroptico, por fotocopia, grabacin o cualquier otro, sin permiso previo porescrito del editor.

El prstamo, alquiler o cualquier otra forma de cesin de uso de este ejemplar requerir tambin la autorizacin deleditor o de sus representantes.

ISBN: 978-970-26-1187-5

Impreso en Mxico. Printed in Mexico.1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 - 11 10 09 08

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ContenidoPrefacio ix

CAPTULO 1 Conceptos bsicos 1

1.1 Seales de tiempo continuo 11.2 Seales de tiempo discreto 111.3 Sistemas 211.4 Ejemplos de sistemas 241.5 Propiedades bsicas de un sistema 311.6 Resumen del captulo 37

Problemas 37

CAPTULO 2 Modelos en el dominio de tiempo de sistemas 44

2.1 Representacin de entrada/salida de los sistemas de tiempo discreto 44

2.2 Convolucin de seales de tiempo discreto 492.3 Modelos de ecuaciones de diferencias 552.4 Modelos de ecuaciones diferenciales 642.5 Solucin a ecuaciones diferenciales 692.6 Representacin de la convolucin de sistemas de tiempo continuo 752.7 Resumen del captulo 84

Problemas 85

CAPTULO 3 Series y transformada de Fourier 96

3.1 Representacin de seales en trminos de sus componentes de frecuencia 96

3.2 Serie trigonomtrica de Fourier 1013.3 Serie exponencial compleja 1083.4 Transformada de Fourier 114

v

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3.5 Contenido espectral de seales comunes 1223.6 Propiedades de la transformada de Fourier 1263.7 Transformada generalizada de Fourier 1413.8 Aplicacin a modulacin y demodulacin de seales 1443.9 Resumen del captulo 152

Problemas 154

CAPTULO 4 Anlisis de Fourier de las seales de tiempo discreto 166

4.1 Transformada de Fourier de tiempo discreto 1664.2 Transformada discreta de Fourier 1794.3 DFT de seales truncadas 1884.4 Algoritmo FFT 1954.5 Aplicacin al anlisis de datos 2064.6 Resumen del captulo 216

Problemas 217

CAPTULO 5 Anlisis de Fourier aplicado a sistemas 222

5.1 Anlisis de Fourier de los sistemas de tiempo continuo 2225.2 Respuesta a entradas peridicas y no peridicas 2285.3 Anlisis de filtros ideales 2375.4 Muestreo 2425.5 Anlisis de Fourier de sistemas de tiempo discreto 2495.6 Aplicacin al filtrado digital pasa baja 2545.7 Resumen del captulo 262

Problemas 263

CAPTULO 6 La transformada de Laplace y la representacin de la funcinde transferencia 279

6.1 Transformada de Laplace de una seal 2796.2 Propiedades de la transformada de Laplace 2856.3 Clculo de la transformada inversa de Laplace 2966.4 Transformada de la ecuacin diferencial de entrada y salida 3166.5 Transformada de la integral de convolucin de entrada y salida 3236.6 Construccin directa de la funcin de transferencia 3306.7 Resumen del captulo 341

Problemas 342

CAPTULO 7 La transformada z y los sistemas de tiempo discreto 352

7.1 Transformada z de una seal de tiempo discreto 3527.2 Propiedades de la transformada z 3577.3 Clculo de la transformada z inversa 367

vi Contenido

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7.4 Representacin de la funcin de transferencia 3777.5 Anlisis de sistemas mediante la representacin

de la funcin de transferencia 3887.6 Resumen del captulo 400

Problemas 401

CAPTULO 8 Anlisis de los sistemas de tiempo continuomediante la representacin de la funcinde transferencia 411

8.1 Estabilidad y la respuesta al impulso 4118.2 Prueba de estabilidad de Routh-Hurwitz 4148.3 Anlisis de la respuesta al escaln 4198.4 Respuesta a sinusoides y a otras entradas 4378.5 Funcin de respuesta en frecuencia 4438.6 Filtros causales 4638.7 Resumen del captulo 478

Problemas 479

CAPTULO 9 Aplicacin al control 489

9.1 Introduccin al control 4899.2 Control de seguimiento 4979.3 Lugar geomtrico de las races 5089.4 Aplicacin al diseo de sistemas de control 5169.5 Resumen del captulo 525

Problemas 526

CAPTULO 10 Diseo de filtros y controladores digitales 536

10.1 Discretizacin 53610.2 Diseo de filtros IIR 54310.3 Diseo de filtros IIR mediante MATLAB 54910.4 Diseo de filtros FIR 55610.5 Diseo de controladores digitales 56810.6 Resumen del captulo 577

Problemas 578

CAPTULO 11 Representacin de estado 584

11.1 Modelo de estado 58411.2 Construccin de modelos de estado 58711.3 Solucin de ecuaciones de estado 59511.4 Sistemas de tiempo discreto 604

Contenido vii

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viii Contenido

11.5 Representaciones de estado equivalentes 61211.6 Discretizacin de un modelo de estado 61811.7 Resumen del captulo 622

Problemas 623

Apndice A Repaso breve de la variable compleja 633

Apndice B Repaso breve de matrices 638

Bibliografa 644

ndice 645

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Prefacio

Con una presentacin sencilla, este libro muestra un amplio contenido sobre seales y sis-temas de tiempo continuo y discreto con ejemplos que se encuentran en el sitio Web de estelibro, datos descargados de Internet e ilustraciones de diversos comandos de MATLAB

para solucionar una amplia variedad de problemas que surgen de la ingeniera y de otroscampos, tales como el anlisis de informacin financiera. La tercera edicin es una mejoraimportante a la edicin anterior, ya que se redujo el grado de complejidad matemtica, seaadieron aplicaciones prcticas que implican la descarga de informacin, as como la adi-cin de otras ilustraciones; asimismo, se reorganiz el material de tal manera que la flexibi-lidad para utilizar el libro durante un curso de tres o de seis meses se vio muy favorecida.Los puntos importantes que surgen de la revisin de la tercera edicin son:

1. La presentacin se simplific. Se eliminaron o rescribieron varias partes matemticasde la edicin anterior, y se incluyeron nuevas ilustraciones para dar una idea adicio-nal del significado y la importancia de las formulaciones matemticas que abarca el li-bro. Tambin se agregaron resmenes al final de cada captulo para destacar elmaterial cubierto en ellos.

2. La parte central de esta nueva edicin se ubica en los captulos 1 a 7, los cuales, enpromedio, debe poder abarcar cualquier profesor en un curso de tres meses. En un se-mestre, adems de cubrir el material de los captulos 1 a 7, el profesor debe poder selec-cionar material sobre filtrado, controles, y/o la representacin de estado, el cual seencuentra en los captulos 8 a 11.

3. Esta nueva edicin contiene aplicaciones prcticas que utilizan informacin actualdescargada de la Web. Las tcnicas descritas en el libro muestran cmo se descargadicha informacin y luego cmo llevarla a MATLAB para su anlisis. La atencin secentra en el problema del anlisis de informacin en presencia de ruido, que con fre-cuencia se presenta en ingeniera, negocios, finanzas y otros campos. Se proporcionandetalles del anlisis de informacin sobre los precios de inventarios, con el objetivo de de-terminar si la tendencia de precios va a la alza o a la baja.

4. La nueva edicin contiene una mejora importante en el componente de MATLAB;en particular, Symbolic Math Toolbox, la cual est disponible en la versin del estu-diante (7.0.1) de MATLAB, y que se utiliza a lo largo del libro para complementar ysimplificar diversos aspectos computacionales de la teora y ejemplos presentados a lo

ix

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x Prefacio

largo de los captulos. Se presentan muchos ejemplos que ilustran cmo puede utili-zarse esta herramienta para resolver ecuaciones diferenciales y para evaluar integra-les mediante respuestas de sistemas de cmputo y transformadas y antitransformadas(o transformada inversa) de Fourier y de Laplace, incluyendo las antitransformadas z.Tambin se utiliza Simulink para elaborar modelos de sistemas y para simular el com-portamiento de sistemas.

5. El sitio Web del libro (www.pearsoneducacion.net/kamen o bien en http://users.ece-.gatech.edu/~bonnie/book3), que desarroll Bonnie Heck, se actualiz con la intro-duccin de problemas adicionales trabajados, todos los archivos de datos y archivosM para la tercera edicin, as como materiales nuevos. En el sitio Web, totalmente eningls, tambin se encuentran los demo anteriormente mencionados y un tutorial deMATLAB.

6. El material sobre sistemas de control se mejor e incluye la descripcin de un proyec-to de laboratorio de control digital que se basa en el kit LEGO MINDSTORMS.El proyecto del laboratorio proporciona al estudiante una experiencia prctica so-bre el diseo y la implementacin de los controladores digitales para un motor de cd(corriente directa).

Los conocimientos previos necesarios para leer el libro son los cursos normales sobreclculo y ecuaciones diferenciales bsicas; tambin resulta til, aunque no indispensable,haber tomado algunos cursos sobre fsica. El libro tambin se pens para los autodidactas.Ambos autores han enseado por muchos aos el material de este libro a ingenieros elc-tricos principiantes; asimismo, Bonnie Heck ha estado involucrada de manera activa en eluso de la Web para mejorar la educacin en los campos de seales, sistemas y controles.

Como vimos, algunas de las caractersticas clave del texto incluyen el uso en lneade demos que se encuentran en el sitio Web del libro, as como la descarga de informacin deInternet para realizar el anlisis de datos. En muchos de los demos, los estudiantes puedencambiar diversos valores para ver los resultados. Por ejemplo, las frecuencias que confor-man una seal pueden cambiarse, y el efecto resultante se aprecia en la seal desplegada, ylos parmetros de una funcin de respuesta de frecuencia (o funcin de transferencia) deun sistema pueden cambiarse, y el efecto resultante se aprecia en el rendimiento del sistemaque se despliega. En otros de los demos, los estudiantes pueden escuchar los sonidos quecorresponden a las seales consideradas. Tambin hay uno sobre un sistema masa-resorte-amortiguador que proporciona una animacin de la respuesta de salida que resulta al apli-car diversas entradas. A travs de este demo, se pueden realmente ver las caractersticas deuna respuesta a una entrada de tipo impulso, una entrada escaln, y a una entrada sinusoi-dal. Las referencias a un demo se denotan con un icono en el margen izquierdo, como semuestra al margen en este punto.

Otra caracterstica clave del libro es el uso de MATLAB (versin 7.0) para generarimplementaciones por computadora de las tcnicas para el diseo y anlisis de seales y sis-temas que se ven a lo largo de los captulos. Junto con los demos en lnea, las implementa-ciones de MATLAB proporcionan la oportunidad de verificar que la teora funciona, ytambin permiten experimentar con la aplicacin de las tcnicas estudiadas. En diversosejemplos se ilustra el uso de varios comandos de MATLAB. El captulo 1 incluye una expli-cacin sobre el uso de MATLAB para disear seales y cmo descargar datos de la Web yllevarlos hacia MATLAB. Adems, muchos problemas para resolver en casa requieren deMATLAB. Todos los programas de MATLAB, as como los archivos M que se utilizan enlos ejemplos se encuentran disponibles en el sitio Web del libro. Los archivos M de los cap-

Sistemamasa-resorte-amorti-guador

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tulos 1 a 9 requieren la versin 7.0, ya sea del estudiante o bien la versin completa, juntocon la versin 6.1 de Control System Toolbox, la versin 6.2 de Signal Processing Toolbox, yla versin 6.1 de Simulink. El captulo 10 requiere Signal Processing Toolbox para el diseode filtros digitales.

El libro incluye diversos ejemplos y problemas sobre las diferentes reas de ingenie-ra, entre ellos circuitos elctricos, sistemas mecnicos, y dispositivos electromecnicos (co-mo motores de cd). Tambin presenta ejemplos sobre el anlisis de datos, con cierto nfasisen el filtrado o suavizado de datos (como los datos sobre precios de inventarios), con el ob-jetivo de mostrar la tendencia de los datos.Adems, muestra cmo determinar y extraer loscomponentes cclicos dominantes a partir de series de tiempo, utilizando la transformadade tiempo discreto de Fourier (DFT). Otras caractersticas del libro son el tratamiento pa-ralelo que da a las seales y sistemas de tiempo continuo y discreto, y tres captulos sobre elcontrol de retroalimentacin, filtrado digital, y la representacin de estado, la cual preparaa los estudiantes para tomar decisiones avanzadas respecto a estos temas.

En los captulos 1 y 2, el libro comienza con aspectos de dominio de tiempo de sealesy sistemas; esto incluye las propiedades bsicas de seales y sistemas, el modelo de convolu-cin de tiempo discreto, el modelo de ecuacin en diferencias de entrada-salida, el modelode ecuacin diferencial de entrada-salida, y el modelo de convolucin de tiempo continuo.El captulo 3 inicia con el estudio de seales y sistemas desde un punto de vista de dominiode frecuencias. Al comenzar con las seales que resultan de la suma de sinusoides, esto de-riva en la representacin de las series de Fourier de seales peridicas, y en la transformadade Fourier de seales no peridicas; en el captulo 3 tambin consideramos el uso de la trans-formada de Fourier para estudiar la modulacin de seales. El captulo 4 considera el anlisisde Fourier para seales de tiempo discreto, enfocndose en la transformada de Fourier detiempo discreto (DTFT), y en la transformada discreta de Fourier (DFT). Esta ltima trans-formada se utiliza para determinar los componentes sinusoidales dominantes de una sealde tiempo discreto en la presencia de ruido, con aplicaciones dadas en trminos de informa-cin descargada de la Web. Despus, en el captulo 5 aplicamos la teora de Fourier al estu-dio tanto de sistemas de tiempo continuo y discreto; en este mismo captulo pretendemoslograr aplicaciones al filtrado anlogo ideal, el muestreo, la reconstruccin de seales y elfiltrado digital.

Despus de la teora de Fourier, el captulo 6 comienza con el estudio de la transfor-mada de Laplace, esto es, con su definicin, propiedades y la representacin de la funcin detransferencia de sistemas lineales de tiempo continuo, invariantes en el tiempo. El captulo 7presenta la transformada z y la representacin de la funcin de transferencia de sistemas li-neales de tiempo discreto invariantes en el tiempo; esto nos lleva a las nociones de la funcin derespuesta de frecuencia, la cual consideramos primero en el captulo 5. En el captulo 8, de-sarrollamos el anlisis de sistemas lineales de tiempo continuo, invariantes en el tiempo, uti-lizando la representacin de la funcin de transferencia. Despus, en el captulo 9 aplicamosel framework de la funcin de transferencia al problema de control, y en el captulo 10 apli-camos los frameworks de la transformada z y la de Laplace al diseo de filtros digitales ycontroladores. En el captulo 11 presentamos los fundamentos de la descripcin de estado delos sistemas lineales de tiempo continuo y discreto, invariantes en el tiempo.

Como es de notar, el libro puede utilizarse en un curso de seales y sistemas de tres oseis meses, en el que los captulos 1 a 7 (o partes de stos) se cubren en un curso de tres meses,y los captulos 1 a 11 (o partes de stos) pueden cubrirse en un curso de 6 meses. Si seleccio-na las partes y captulos adecuados, puede cubrir el caso de tiempo continuo en un curso yel caso de tiempo discreto en otro.

Prefacio xi

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xii Prefacio

Deseamos agradecer a los profesores y estudiantes que han utilizado ediciones ante-riores de este libro como texto en sus cursos por sus diversos y tiles comentarios. De igualmanera agradecemos los comentarios escritos que nos hicieron los siguientes revisores:Profesor Charles W. Brice, South Carolina University; Profesor Ravi Warrier, KetteringUniversity; Profesor Jeffrey G. Andrews, University of Texas at Austin; Profesor StanleyLawrence Marple, Jr., Oregon State University; y al Profesor Uvais Qidwai, de la TulaneUniversity.

Tambin agradecemos a Tom Robbins (anterior editor de Prentice Hall) por sus co-mentarios a las ediciones previas de este libro; al editor de Prentice Hall, Michael McDo-nald, por sus sugerencias para la presente edicin; y a Alice Dworkin y Scott Disanno,tambin de Prentice Hall, por sus esfuerzos en los aspectos editoriales y de produccin deesta tercera edicin. Asimismo enviamos un agradecimiento hacia The Mathworks paraCourtney Esposito, por proporcionarnos la informacin sobre las versiones ms recientesde MATLAB y los programas de software de Simulink. Bonnie Heck agradece a sus exalumnos John Finney y James Moan, quienes escribieron las versiones preliminares del tu-torial de MATLAB que est disponible en el sitio Web; y a Darren Garner, James Ho, JasonMeeks, Johnny Wang, y Brian Wilson, por su esfuerzo al generar los demos tambin dispo-nibles en el sitio Web.

EDWARD W. KAMENBONNIE S. HECK

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Los conceptos de seales y sistemas surgen casi en cualquier rea de la tecnologa, incluyendo los circuitos elctri-cos, dispositivos para comunicaciones, dispositivos para el procesamiento de seales, robtica y automatizacin, au-tomviles, aviones, naves espaciales, dispositivos biomdicos, procesos qumicos, y dispositivos de calentamiento yenfriamiento. Los conceptos de seales y sistemas tambin son muy importantes en otras reas del desarrollo hu-mano, como en ciencias y economa. En este captulo consideramos diversos aspectos bsicos de seales y sistemas.En las secciones 1.1 y 1.2, el captulo comienza con una breve introduccin a las seales de tiempo continuo y tiem-po discreto. La seccin 1.2 muestra cmo obtener datos de tiempo discreto de la Web, para su anlisis. Despus, laseccin 1.3 presenta el concepto de un sistema, y la seccin 1.4 muestra tres ejemplos especficos de un sistema.La seccin 1.5 del captulo define las propiedades bsicas de un sistema, como causalidad, linealidad y la invarianciaen el tiempo. La seccin 1.6 presenta un resumen del captulo.

1.1 SEALES DE TIEMPO CONTINUO

Una seal x(t) es una funcin con valor real o escalar de la variable de tiempo t. El trminocon valor real significa que para cualquier valor fijo de la variable de tiempo t, el valor de laseal en el tiempo t es un nmero real. Cuando esta variable toma sus valores del conjuntode los nmeros reales, se dice que t es una variable de tiempo continuo, y que la seal x(t) esuna seal de tiempo continuo o una seal analgica. Ejemplos comunes de seales de tiem-po continuo son el voltaje u ondas de corriente de un circuito elctrico, las seales de audiocomo voz u ondas musicales, las posiciones o velocidades de objetos en movimiento, lasfuerzas o torcas en un sistema mecnico, las seales bioelctricas como electrocardiogra-mas (ECG) o electroencefalogramas (EEG), las velocidades de flujo de lquidos o gases enun proceso qumico, etctera.

Dada una seal x(t) muy complicada, no siempre es posible determinar una funcinmatemtica que sea exactamente igual a x(t). Un ejemplo es una seal de voz, como el seg-mento de dilogo de 50 milisegundos (ms) que aparece en la figura 1.1; este segmento es latransicin de la sh a u de la elocucin de la palabra inglesa should. Debido a su comple-jidad, las seales como las ondas de voz por lo general no se especifican en forma matem-tica. En su lugar, pueden establecerse como un conjunto de muestras. Por ejemplo, si x(t)denota la seal de voz de la figura 1.1, esta seal puede representarse mediante el conjunto demuestras

5x1t02, x1t12, x1t22, x1t32, , x1tN261

Conceptos bsicos 1CAPTULO

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2 Captulo 1 Conceptos bsicos

donde x(ti) es el valor de la seal en el tiempo ti, i 0, 1, 2,, N, y N 1 es el nmero depuntos muestreados. Este tipo de representacin de seales puede generarse muestreandola seal de voz. La seccin 1.2 explica brevemente el muestreo, y despus lo analizamos msa fondo en captulos posteriores.

Adems de la representacin matemtica de una seal, o mediante un conjunto demuestras, las seales tambin pueden caracterizarse en trminos de su contenido de fre-cuencias o espectro en frecuencia. La representacin de seales en trminos del espec-tro en frecuencia se logra utilizando la transformada de Fourier, la cual estudiaremos en loscaptulos 3 a 5.

A continuacin presentaremos algunos ejemplos sencillos de seales de tiempo con-tinuo, que pueden expresarse en forma matemtica.

1.1.1 Funciones escaln y rampa

Dos ejemplos sencillos de seales de tiempo continuo son la funcin escaln unitario u(t) yla funcin rampa unitaria r(t). Estas funciones se muestran en la figura 1.2.

u(t)

1

10 2 3t

r(t)

1

2

10 2 3t

(a) (b)

FIGURA 1.2Funciones (a) escaln unitario y (b) rampa unitaria.

10 20 30 40 500

1

0

1

Tiempo (ms)

Pre

sin

del

air

e en

el t

ract

o vo

cal

FIGURA 1.1Segmento de dilogo.

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Seccin 1.1 Seales de tiempo continuo 3

La funcin escaln unitario u(t) se define matemticamente como:

Aqu, escaln unitario significa que la amplitud de u(t) es igual a 1 para toda t 0. [Obser-ve que u(0) 1; mientras que en algunos libros de texto u(0) se define como cero]. Si K esun nmero real diferente de cero, Ku(t) es la funcin escaln, con amplitud K para t 0.

Para cualquier seal de tiempo continuo x(t), el producto x(t)u(t) es igual a x(t) parat 0, y es igual a cero para t 0. Por lo tanto, multiplicar una seal x(t) por u(t), eliminacualquier valor diferente de cero de x(t) para t 0.

La funcin rampa unitaria r(t) se define matemticamente como:

Observe que para t 0, la pendiente de r(t) es 1. Por lo tanto r(t) tiene pendiente uni-taria, lo cual es la razn por la que r(t) se conoce como la funcin rampa unitaria. Si K es unescalar (nmero real) cualquiera diferente de cero, la funcin rampa Kr(t), tiene pendienteK para t 0.

La funcin rampa unitaria r(t) es igual a la integral de la funcin escaln unitario u(t);es decir,

De manera inversa, la primera derivada de r(t) respecto a t es igual a u(t), con excepcin det 0, donde la derivada de r(t) no est definida.

1.1.2 El impulso

El impulso unitario d(t), tambin conocido como funcin delta o distribucin de Dirac, sedefine como

La primera condicin establece que d(t) es cero para todos los valores de t diferentes de ce-ro, mientras que la segunda condicin establece que el rea bajo el impulso es 1, por lo qued(t) tiene rea unitaria.

Es importante sealar que el valor d(0) de d(t) en t 0 no est definido; en particular,d(0) no es igual a infinito. El impulso d(t) puede aproximarse mediante un pulso centradoen el origen, con una amplitud A y una duracin de 1/A, donde A es un nmero positivomuy grande. La interpretacin de pulso para d(t) aparece en la figura 1.3.

Para cualquier nmero real positivo K, Kd(t) es el impulso con rea K, y se define como

Le

-eKd1l2 dl = K, para cualquier nmero real e 7 0

Kd1t2 = 0, t Z 0

Le

-e d1l2 dl = 1, para cualquier nmero real e 7 0

d1t2 = 0, t Z 0

r1t2 = Lt

-qu1l2 dl

r1t2 = e t, t 00, t 6 0

u1t2 = e1, t 00, t 6 0

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4 Captulo 1 Conceptos bsicos

t

K(t)

(K)

0

FIGURA 1.4Representacin grfica del impulso Kd(t).

La figura 1.4 muestra la representacin grfica de Kd(t). La notacin (K) de la figu-ra, se refiere al rea del impulso Kd(t).

La funcin escaln unitario u(t) es igual a la integral del impulso unitario d(t); de ma-nera ms precisa,

Para comprobar esta relacin, primero observe que para t 0,

Para t 0,

Lt

-qd1l2 dl = L

t

-td1l2 dl = 1, ya queL

e

-ed1l2 dl = 1 para cualquier e 7 0

Lt

-qd1l2 dl = 0, debido a que d1t2 = 0 para toda t 6 0

u1t2 = Lt

-qd1l2 dl, para toda t, excepto t = 0

t

(t)

A

12A

12A

FIGURA 1.3Interpretacin de pulso para d(t).

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Seccin 1.1 Seales de tiempo continuo 5

1.1.3 Seales peridicas

Sea T un nmero real positivo fijo. Se dice que una seal continua x(t) es peridica con pe-riodo T si

(1.1)

Observe que si x(t) es peridica con periodo T, tambin es peridica con periodo qT, don-de q es cualquier entero positivo. El periodo fundamental es el nmero positivo ms peque-o T, para el cual la ecuacin (1.1) se cumple.

Un ejemplo de una seal peridica es la sinusoide

(1.2)

Aqu A es la amplitud, es la frecuencia en radianes por segundo (rad/s), y u es la fase enradianes. La frecuencia f en hertz (Hz) (o ciclos por segundo) es f /2p.

Para ver que la sinusoide dada por la ecuacin (1.2) es peridica, observe que paracualquier valor de la variable de tiempo t,

As, la sinusoide es peridica con periodo T 2p/ y, de hecho, 2p/ es el periodo funda-mental. La sinusoide x(t) A cos (t u) aparece en la figura 1.5, para el caso en que p/2 u 0. Observe que si u p/2, entonces

Una pregunta importante en el anlisis de seales es si la suma de dos seales peri-dicas resulta peridica. Suponga que x1(t) y x2(t) son seales peridicas, con periodos fun-

x1t2 = A cos1vt + u2 = A sen vt

A cos cva t + 2pvb + u d = A cos1vt + 2p + u2 = A cos1vt + u2

x1t2 = A cos1vt + u2, - q 6 t 6 q

x1t + T2 = x1t2 para toda t, - q 6 t 6 q

Sealesy

sonidos

t

A

A

0

FIGURA 1.5Sinusoide x(t) A cos (vt u) con p/2 u 0.

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6 Captulo 1 Conceptos bsicos

0 1 2 3 4

1

u(t 2)

2 1 0 1 2

1

u(t + 2)

tt

(a) (b)

FIGURA 1.6Desplazamientos de dos segundos para u(t): (a) hacia la derecha; (b) hacia la izquierda.

damentales T1 y T2, respectivamente. Entonces, es peridica la suma x1(t) x2(t)?; es de-cir, existe un nmero positivo T, tal que

(1.3)

Resulta que la ecuacin (1.3) se satisface si y slo si la relacin T1/T2 puede escribirse comola relacin de dos enteros, q y r, q/r. Esto puede mostrarse si observamos que si T1/T2 q/r,entonces rT1 qT2, y debido a que r y q son enteros, x1(t) y x2(t) son peridicas con perio-do rT1.As, la expresin 1.3 se sigue cumpliendo con T rT1.Adems, si r y q son coprimos(es decir, r y q no tienen factores enteros comunes diferentes de 1), entonces T rT1 es elperiodo fundamental de la suma x1(t) x2(t).

Ejemplo 1.1 Suma de seales peridicas

Sea x1(t) cos(pt/2) y x2(t) cos(pt/3). Entonces x1(t) y x2(t) son peridicas con periodos fun-damentales T1 4 y T2 6, respectivamente. Ahora,

Entonces, con q 2 y r 3, se desprende que la suma x1(t) x2(t) es peridica, con un pe-riodo fundamental rT1 (3)(4) 12 segundos.

1.1.4 Seales desplazadas en el tiempo

Dada una seal de tiempo continuo x(t), con frecuencia es necesario considerar una versinde x(t) desplazada en el tiempo: si t1 es un nmero real positivo, la seal x(t t1) es x(t) des-plazada hacia la derecha por t1 segundos, y x(t t1) es x(t) desplazada hacia la izquierda port1 segundos. Por ejemplo, si x(t) es la funcin escaln unitario u(t) y t1 2, entonces u(t t1)representa un desplazamiento de 2 segundos hacia la derecha de u(t), y u(t t1) representael desplazamiento de 2 segundos hacia la izquierda de u(t). Estas seales desplazadas apa-recen en la figura 1.6. Para verificar que u(t 2) est representada por la grfica de la figura1.6a, evale u(t 2) para diversos valores de t. Por ejemplo, u(t 2) u (2) 0, cuandot 0; u(t 2) u(1) 0, cuando t 1; u(t 2) u(0) 1, cuando t 2, etctera.

T1T2

=46

=23

x11t + T2 + x21t + T2 = x11t2 + x21t2 para toda t?

Perio-dicidadde lassumas

de sinu-soides

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Seccin 1.1 Seales de tiempo continuo 7

Para cualquier nmero real positivo o negativo fijo t1, el desplazamiento en el tiempoKd(t t1) del impulso Kd(t) es igual al impulso con rea K, ubicada en el punto t t1; enotras palabras,

El impulso unitario desplazado en el tiempo d(t t1) resulta til para definir la pro-piedad de desplazamiento del impulso dado por

donde f(t) es cualquier funcin real, que sea continua en t t1 (enseguida definiremos lacontinuidad de una funcin). Para demostrar la propiedad de desplazamiento, primero ob-serve que debido a que d(l t1) 0, para toda l Z t1, se desprende que

As,

lo que demuestra la propiedad de desplazamiento.

1.1.5 Seales continuas y parcialmente continuas en el tiempo

Se dice que una seal de tiempo continuo, x(t), es discontinua en un punto fijo t1 si x(t1) Z

x(t1), donde t1 t1

y t1 t1 son nmeros infinitesimales positivos. En trminos generales,

una seal x(t) es discontinua en un punto t1, si el valor de x(t) salta mientras t va hacia elpunto t1.

Una seal x(t) es continua en el punto t1 si x(t1) x(t1) x(t1

). Si una seal x(t) escontinua en todos los puntos t, se dice que x(t) es una seal continua. El lector debe obser-var que el trmino continuo se utiliza de dos maneras diferentes; es decir, existe la idea deuna seal de tiempo continuo, y existe la idea de una seal de tiempo continuo que es con-tinua (como una funcin de t). Este uso dual de continuo, debe ser claro segn el contexto.

Muchas seales de tiempo continuo que son de inters en ingeniera son continuas;ejemplo de ello son las funciones rampa Kr(t) y la sinusoide x(t) A cos(vt u). Otro ejem-plo de una seal continua es la funcin pulso triangular que aparece en la figura 1.7. Comose indica en la figura, el pulso triangular es igual a (2t/t) 1 para t/2 t 0, y es igual a(2t/t) 1 para 0 t t/2.

= f1t12 L

t1 +e

t1 -ef1l2d1l - t12 dl = f1t12L

t1 +e

t1 -ed1l - t12 dl

f1l2d1l - t12 = f1t12d1l - t12

Lt1 +e

t1 -ef1l2d1l - t12 dl = f1t12, para cualquier e 7 0

Lt1 +e

t1 -eKd1l - t12 dl = K, para cualquier e 7 0

Kd1t - t12 = 0, t Z t1

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8 Captulo 1 Conceptos bsicos

t

1

0

FIGURA 1.8Funcin pulso rectangular.

Tambin hay muchas otras seales de tiempo continuo que son de inters en ingenie-ra, que no son continuas en todos los puntos t. Un ejemplo es la funcin escaln Ku(t), lacual es discontinua en el punto t 0 (suponiendo que K Z 0). Otro ejemplo de seal que noes continua en cualquier parte, es la funcin pulso rectangular pt(t), definida como

Aqu, t es un nmero positivo fijo igual a la duracin del pulso. La funcin pulso rectangu-lar pt(t), aparece en la figura 1.8.A partir de esta figura es obvio que pt(t) es continuo en to-do t, excepto en t t/2 y en t t/2.

Observe que pt(t) puede expresarse de la forma

Tambin observe que la funcin pulso triangular que aparece en la figura 1.7, es igual a(1 2|t|/t) pt(t), donde |t| es el valor absoluto de t, definido por |t| t cuando t 0, |t| t cuando t 0.

pt1t2 = ua t + t2 b - ua t -t

2b

pt1t2 = d 1, -t2 t 6 t20, t 6

-t2

, t t

2

t0

1+ 1 + 1

FIGURA 1.7Funcin pulso triangular.

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Seccin 1.1 Seales de tiempo continuo 9

(se repite) (se repite)

0 1

1

2 3 4 55 4 3 2 1t

FIGURA 1.9Seal que es discontinua en t 0, ; 1, ; 2,

Se dice que una seal de tiempo continuo x(t) es parcialmente continua, si es continuaen toda t excepto en una coleccin finita o contablemente infinita de puntos ti, i 1, 2, 3, .Ejemplos de funciones parcialmente continuas son la funcin escaln Ku(t) y la funcinpulso rectangular pt(t). Otro ejemplo de una seal parcialmente continua es el tren de pul-sos que muestra la figura 1.9. Esta seal es continua en todo t, excepto en t 0, ;1, ;2, ....Observe que el tren de pulsos es una seal peridica, con periodo fundamental igual a 2.

1.1.6 Derivada de una seal de tiempo continuo

Se dice que una seal de tiempo continuo x(t) es diferenciable en un punto fijo t1, si

tiene un lmite cuando h : 0, independientemente de si h se aproxima a cero por la dere-cha (h 0) o por la izquierda (h 0). Si el lmite existe, x(t) tiene una derivada en el puntot1 definida por

A esta definicin de derivada de x(t) algunas veces se le denomina derivada ordinaria de x(t).Para que sea diferenciable en el punto t1, es necesario (pero, en general no suficiente) que

la seal x(t) sea continua en t1. Por lo tanto, las seales de tiempo continuo que no son con-tinuas en todos los puntos no pueden ser diferenciables en todos los puntos. En particular,las seales parcialmente continuas no son diferenciables en todos los puntos. Sin embargo, lasseales parcialmente continuas pueden tener una derivada, en un sentido generalizado. Su-ponga que x(t) es diferenciable en todo t, excepto en t t1. Entonces, la derivada generali-zada de x(t) se define como

donde dx(t)/dt es la derivada ordinaria de x(t) en todo t, excepto en t t1, y d(t t1) es elimpulso unitario centrado en el punto t t1. As, la derivada generalizada de una seal, enun punto de discontinuidad t1, es igual al impulso ubicado en t1, y con un rea igual a la can-tidad de saltos de la funcin en el punto t1.

dx1t2dt

+ [x1t1+2 - x1t1-2]d1t - t12

dx1t2dt

`t = t1

= lmh:0

x1t1 + h2 - x1t12h

x1t1 + h2 - x1t12h

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10 Captulo 1 Conceptos bsicos

Para ilustrar la ocurrencia del impulso cuando se toma una derivada generalizada, ha-gamos que x(t) sea la funcin escaln Ku(t). La derivada ordinaria de Ku(t) es igual a ceroen todo t, excepto en t 0. Por lo tanto, la derivada generalizada de Ku(t) es igual a

Para K 1, se desprende que la derivada generalizada de la funcin escaln unitario u(t) esigual al impulso unitario d(t).

1.1.7 Cmo utilizar MATLAB con seales de tiempo continuo

Una seal de tiempo continuo x(t), dada por una expresin matemtica puede definirse ydesplegarse mediante MATLAB. Debido a que MATLAB se utiliza a lo largo de este libro,el lector debe familiarizarse con los comandos bsicos, por lo que le invitamos a revisar elbreve tutorial que est disponible en el sitio Web de este libro. Para mostrar su uso, conside-re la seal x(t) dada por

Una grfica de x(t) contra t, para un intervalo de valores de t, puede generarse medianteMATLAB. Por ejemplo, para un intervalo r entre 0 y 30 segundos, con incrementos de 0.1segundos, los comandos de MATLAB para generar x(t) son

t = 0:0.1:30;x = exp(.1*t).*sin(2/3*t);plot(t,x)axis([0 30 1 1])gridxlabel('Time (sec)')ylabel('x(t)')

En este programa, los valores de tiempo para los que x se grafica, se almacenan comoelementos en el vector t. Cada una de las expresiones exp(.1*t) y sin(2/3*t) crea unvector con elementos iguales a los de la expresin evaluada en los valores de tiempo corres-pondientes. Los vectores resultantes deben multiplicarse, elemento por elemento, para defi-nir el vector x. Como se ve en el comando x = exp(.1*t).*sin(2/3*t), las operacioneselemento por elemento necesitan un punto antes del operador. Entonces, mediante el co-mando plot(t,x), x se grafica contra t. El comando axis se utiliza para sobrescribir los va-lores predeterminados (por lo general, los predeterminados son aceptables, y este comandono se necesita). Es importante destacar que el uso del comando axis vara segn la versinde MATLAB que se utilice.

La grfica resultante de x(t) aparece en la figura 1.10. Observe que la grfica que ge-nera MATLAB es en forma de caja, y los ejes son etiquetados como se muestra. El forma-to de la grfica difiere de las que presentamos con anterioridad. En este libro, las grficasque genera MATLAB siempre tendrn forma de caja, mientras que aquellas que no se ge-neran con este software tendrn la forma utilizada previamente (como en la figura 1.9).

Es importante tomar en cuenta que, cuando generemos grficas de seales de tiempocontinuo con MATLAB, el incremento en el escaln de tiempo debe elegirse lo suficiente-

x1t2 = e-0.1t sen 23 t

K[u10+2 - u10-2]d1t - 02 = Kd1t2

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Seccin 1.2 Seales de tiempo discreto 11

0 5 10 15 20 25 301

0.8

0.6

0.4

0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

x(t)

Tiempo (s)

FIGURA 1.10Grfica en MATLAB para la seal x1t2 = e-0.1t sen 23 t.

mente pequeo para generar una grfica suave. Si el incremento se elige demasiado grande(para una seal dada), entonces cuando los valores de la seal se conecten mediante lneasrectas (en la generacin por computadora de la grfica), el resultado ser que la grfica se ve-r dentada. Para ver este efecto, invitamos al lector a que ejecute de nuevo el programa ante-rior, utilizando un incremento de tiempo de 1 segundo para graficar Paralas grficas de este libro descubrimos que al utilizar de 200 a 400 puntos por grfica, daba co-mo resultado un incremento lo suficientemente pequeo en el tiempo. Para mayor informa-cin sobre cmo seleccionar el incremento en el tiempo, vea el problema 1.2.

El programa que proporcionamos anteriormente, se encuentra almacenado como unarchivo M (M-file) llamado fig1_10.m, y est disponible en el sitio Web http://users.ece.gatech.edu/~bonnie/book3/. Todos los archivos M que utilizamos en este libro, se incluye-ron con un ttulo que coincide con el nmero de figura o el nmero de ejemplo; esto es,ex1_3.m es el archivo M que contiene los comandos del ejemplo 1.3.

1.2 SEALES DE TIEMPO DISCRETO

Se dice que la variable de tiempo t es una variable de tiempo discreto, si t slo toma los va-lores discretos t tn para algn intervalo de valores enteros de n. Por ejemplo, t podra to-mar los valores enteros t 0, 1, 2, ; es decir, t tn n para n 0, 1, 2, . Una seal detiempo discreto es una seal que es una funcin de la variable de tiempo discreto tn; enotras palabras, una seal de tiempo discreto tiene valores (est definida) slo en los puntosde tiempo discreto t tn, donde n toma slo valores enteros. Las seales de tiempo discretosurgen en muchas reas de la ingeniera, ciencia y economa. En aplicaciones a la economa,la variable discreta en el tiempo tn puede ser el da, mes, trimestre, o ao de un periodo es-pecfico. En esta seccin proporcionamos un ejemplo en el que la variable discreta en eltiempo es el da en el que se especifica el precio de cierre de un fondo ndice.

x1t2 = e-0.1t sen 23 t.

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12 Captulo 1 Conceptos bsicos

En este libro, una seal de tiempo discreto, definida en los puntos de tiempo t tn, sedenotar como x[n]. Observe que en la notacin x[n], la variable entera n corresponde alos instantes tn. Tambin observe que los corchetes se utilizan para denotar una seal detiempo discreto x[n], en contraste con la seal de tiempo continuo x(t), la cual se denota conparntesis. La grfica de una seal de tiempo discreto x[n] siempre estar en trminos delos valores de x[n] contra la variable de tiempo entera n. Los valores de x[n] con frecuenciase indican en la grfica mediante crculos rellenos, con lneas verticales que conectan a di-chos crculos con el eje de tiempo. Esto da como resultado una grfica de tallo, la cual esuna forma comn de desplegar seales de tiempo discreto. Por ejemplo, suponga que la se-al de tiempo discreto x[n] est dada por

con x[n] 0 para cualquier otro n. Entonces, la grfica de tallo de x[n] es la que aparece en lafigura 1.11. Una grfica de esta seal puede generarse mediante los comandos de MATLAB

n = 2:6;x = [0 0 1 2 1 0 1 0 0];stem (n,x,'filled');xlabel ('n')ylabel ('x[n]')

La grfica de x[n], generada por MATLAB, aparece en la figura 1.12. Nuevamente observeque la grfica MATLAB tiene forma de caja, a diferencia del formato de la grfica que seaprecia en la figura 1.11.Al igual que en el caso de tiempo continuo, las graficas de MATLABsiempre se despliegan en forma de caja. Las grficas de seales de tiempo discreto no gene-radas con MATLAB tendrn la apariencia de la figura 1.11.

1.2.1 Muestreo

Una de las formas ms comunes en las que surgen seales de tiempo discreto es muestreandoseales de tiempo continuo. Como muestra la figura 1.13, suponga que una seal de tiempocontinuo x(t) se aplica a un interruptor electrnico que se cierra brevemente cada T segun-dos. Si el lapso durante el cual el interruptor se cierra es mucho ms pequeo que T, la salida

x[0] = 1, x[1] = 2, x[2] = 1, x[3] = 0, x[4] = -1

n

x[n]

2

1

1

1 10 2 3 4 5 62

FIGURA 1.11Grfica de tallo de una seal de tiempo discreto.

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Seccin 1.2 Seales de tiempo discreto 13

2 1 0 1 2 3 4 5 61

0.5

0

0.5

1

1.5

2

n

x[n]

FIGURA 1.12Grfica en MATLAB de x[n].

El interruptor se cierrabrevemente cada T segundos

x(t) = seal de tiempo continuo Seal muestreada

FIGURA 1.13Proceso de muestreo.

del interruptor puede considerarse como una seal de tiempo discreto, que es una funcin delos puntos de tiempo discreto tn nT, donde n , 2, 1, 0, 1, 2, . La seal de tiempodiscreto resultante se conoce como versin muestreada de la seal continua original x(t), y a Tse le conoce como periodo de muestreo. Debido a que la duracin T entre instantes adyacen-tes de muestreo tn nT y tn1 (n 1)T es igual a una constante, el proceso de muestreobajo estas consideraciones se conoce como muestreo uniforme. El muestreo no uniforme seutiliza en algunas aplicaciones, pero no lo consideramos en este libro.

Para ser consistentes con la notacin que presentamos anteriormente para las sealesde tiempo discreto, la seal de tiempo discreto resultante de la operacin de muestreo uni-forme que mostramos en la figura 1.13 ser denotada por x[n]. Observe que en este caso, lavariable entera n denota el instante nT. Por definicin del proceso de muestreo, el valor dex[n] para cualquier valor entero de n est dado por

Una amplia gama de seales de tiempo discreto puede generarse mediante el muestreo deseales de tiempo continuo. Por ejemplo, si la seal de tiempo continuo x(t) que ilustra la fi-gura 1.10 es muestreada con T 1, el resultado es la seal de tiempo discreto x[n] que ilus-tra la figura 1.14. Esta grfica puede obtenerse ejecutando el programa que gener la figura1.10, en donde el incremento en el tiempo es de 1 segundo, y el comando plot(t,x) sereemplaza por stem(t,x,filled).

x[n] = x1t2 t = nT = x1nT2

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14 Captulo 1 Conceptos bsicos

n

1

11 22 33 44 5 60

u[n]

(a)

n

1

2

3

4

5

11 22 33 44 50

r[n]

(b)

FIGURA 1.15Funciones de tiempo discreto (a) escaln unitario y (b) rampa unitaria.

1.2.2 Funciones escaln y rampa

Dos ejemplos sencillos de seales de tiempo discreto son las funciones escaln unitario u[n]y rampa unitaria r[n], las cuales se definen como

Estas dos seales de tiempo discreto aparecen graficadas en la figura 1.15.La funcin de tiempo discreto escaln unitario u[n] puede obtenerse muestreando la

funcin de tiempo continuo escaln unitario u(t). Si la funcin rampa unitaria r(t) tu(t) se

r[n] = en, n = 0, 1, 0, n = -1, -2,

u[n] = e1, n = 0, 1, 0, n = -1, -2,

0 5 10 15 20 25 300.6

0.6

0.4

0.2

0

0.2

0.4

0.8

x[n]

n

FIGURA 1.14Seal de tiempo continuo muestreada.

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Seccin 1.2 Seales de tiempo discreto 15

n

T

2T

3T

4T

5T

11 22 33 44 50

r[n]

FIGURA 1.16Funcin de tiempo discreto rampa.

muestrea, el resultado es la funcin de tiempo discreto rampa r[n], dada por

La seal de tiempo discreto r[n] se encuentra graficada en la figura 1.16. Observe que aun-que las seales de tiempo discreto de las figuras 1.15b y 1.16 estn expresadas con la mismanotacin r[n], estas dos seales no son las mismas, a menos que el periodo de muestreo Tsea igual a 1. Para distinguir estas dos seales, podramos denotar a la que est graficada enla figura 1.16 como rT[n], pero la convencin estndar (que es la que seguimos aqu) no espara mostrar la dependencia sobre T en la notacin para la seal muestreada.

1.2.3 Pulso unitario

Primero debemos observar que no existe una versin muestreada del impulso unitario d(t), de-bido a que d(0) no est definido. Sin embargo, existe una seal de tiempo discreto que es lacontraparte discreta del impulso unitario. sta es la funcin pulso unitario d[n], definida como

En la figura 1.17 aparece la grfica de la funcin pulso unitario. Es necesario resaltar qued[n] no es una versin muestreada del impulso unitario d(t).

d[n] = e1, n = 00, n Z 0

r[n] = r1t2 t = nT = r1nT2

1

11234 0 2 3 4n

d[n]

FIGURA 1.17Funcin pulso unitario.

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16 Captulo 1 Conceptos bsicos

1.2.4 Seales de tiempo discreto peridicas

Una seal de tiempo discreto x[n] es peridica si existe un entero positivo r, tal que

As, x[n] es peridica si y slo si existe un entero positivo r, tal que x[n] se repita a s mismaa cada instante r, donde r se conoce como periodo. El periodo fundamental es el valor mspequeo de r, para el que la seal se repite

Por ejemplo, revisemos la periodicidad de una sinusoide de tiempo discreto, dada por

donde V es la frecuencia de tiempo discreto en radianes por unidad de tiempo T, y u es lafase en radianes. La seal es peridica con periodo r, si

Recuerde que la funcin coseno se repite cada 2p radianes, por lo que

para todos los enteros q. Por lo tanto, la seal A cos(Vn u) es peridica si y slo si existeun entero positivo r, tal que Vr 2pq para algn entero q; o de manera equivalente, que lafrecuencia de tiempo discreto V sea tal que V 2pq/r para algunos enteros positivos q y r.El periodo fundamental es el valor entero de r ms pequeo tal que V 2pq/r.

La sinusoide de tiempo discreto x[n] A cos(Vn u) se encuentra graficada en la fi-gura 1.18, con A 1 y con dos diferentes valores de V. Para el caso en que V p/3 y u 0, elcual est graficado en la figura 1.18a, la seal es peridica debido a que V 2pq/r con q 1

A cos1Vn + u2 = A cos1Vn + 2pq + u2

A cos[V1n + r2 + u] = A cos1Vn + u2

x[n] = A cos1Vn + u2

x[n + r] = x[n] para todos los enteros n

10 5 0 5 10 15 20 25 301.5

1

0.5

0

0.5

1

1.5

n

x[n]

FIGURA 1.18aSinusoide de tiempo discreto con V p/3 y u 0.

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Seccin 1.2 Seales de tiempo discreto 17

10 5 0 5 10 15 20 25 301.5

1

0.5

0

0.5

1

1.5

n

x[n]

FIGURA 1.18bSinusoide de tiempo discreto con V 1 y u 0.

y r 6, y el periodo fundamental es igual a 6. El caso en que V 1 y u 0, se encuentragraficado en la figura 1.18b. Observe que en este caso la envolvente de la seal es peridi-ca, pero la seal por s misma no lo es, ya que 1 Z 2pq/r para cualquier entero positivo q y r.

1.2.5 Pulso de tiempo discreto rectangular

Sea L un entero positivo impar. Un ejemplo importante de una seal de tiempo discreto esla funcin pulso de tiempo discreto rectangular pL[n] de longitud L, definida por

La figura 1.19 muestra el pulso de tiempo discreto rectangular.

pL[n] = e1, n = -1L - 12/2, , -1, 0, 1, , 1L - 12/20, todos los dems de n

pL [n]

3 2 1 L 12

1

1

0 2 3(L 1)2

n

FIGURA 1.19Pulso de tiempo discreto rectangular.

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18 Captulo 1 Conceptos bsicos

(a)

0 1

1

12 2 3 4 5n

p3[n 2]

(b)

0

1

3 2 14 1 2 3n

p3[n + 2]

5

FIGURA 1.20Desplazamientos de dos posiciones de p3[n]: (a) desplazamiento por la derecha; (b) desplazamiento por laizquierda.

1.2.6 Seales digitales

Sea 5a1, a2,, aN6 un conjunto de N nmeros reales. Una seal digital x[n] es una seal detiempo discreto cuyos valores pertenecen al conjunto finito 5a1, a2, ..., aN6; es decir, en cadainstante tn, x(tn) x[n] ai para algn i, donde 1 i N. Por lo que una seal digital slopuede tener un nmero finito de valores diferentes.

Una seal continua muestreada no necesariamente es una seal digital. Por ejemplo,la funcin rampa unitaria muestreada r[n], que aparece en la figura 1.16, no es una seal di-gital, ya que r[n] toma un intervalo infinito de valores, cuando n , 2, 1, 0, 1, 2, .

Una seal binaria es una seal digital cuyos valores son iguales a 1 o a 0; es decir, x[n] 0 o 1 para n , 2, 1, 0, 1, 2,. Las funciones escaln unitario y pulso unitario sonejemplos de seales binarias.

1.2.7 Seales desplazadas en el tiempo

Dada una seal discreta x[n] y un entero positivo q, la seal de tiempo discreto x[n q] es eldesplazamiento de q pasos por la derecha de x[n], y x[n q] es el desplazamiento de q pasospor la izquierda de x[n]. Por ejemplo, p3[n 2] es el desplazamiento de 2 posiciones a la dere-cha del pulso rectangular de tiempo discreto p3[n], y p3[n 2] es el desplazamiento de 2 posi-ciones a la izquierda de p3[n]. La figura 1.20 muestra las grficas de las seales desplazadas.

1.2.8 Cmo descargar de la Web informacin de tiempo discreto

Existe un gran nmero de sitios en la Web que contienen informacin sobre seales de tiem-po discreto (con frecuencia conocidas como series de tiempo) que surgen en los campos dela ingeniera, ciencia y economa. ste es en especial el caso de la economa, ya que existenmuchos sitios que contienen una gran variedad de informacin econmica, como cifras men-suales sobre empleo, ventas de viviendas, tasas de inters, precios diarios de consumibles(por ejemplo, aceite, gas, oro, plata, trigo, soya, etctera), y precios diarios de acciones. La in-formacin por lo general se presenta en forma de tabla, donde la primera columna contienepuntos en el tiempo, da por da, semana por semana, mes por mes, etctera, y las dems co-lumnas contienen la informacin correspondiente a los diferentes puntos en el tiempo.

En muchos casos, la informacin contenida en las series de tiempo de los sitios Web,puede descargarse en la computadora y almacenarse en un archivo. Si la computadora tieneinstalado software de hojas de clculo, el archivo puede entonces abrirse y guardarse con di-cho software. De muchos sitios Web, la informacin puede descargarse directamente en unahoja de clculo. Si el software de hojas de clculo puede guardar la informacin en un archivo

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Seccin 1.2 Seales de tiempo discreto 19

con formato csv (valor separado por comas), MATLAB estar preparado para leer el archi-vo, en cuyo caso ser posible aplicar a la informacin diversas tcnicas de anlisis. Ms ade-lante explicaremos el proceso para descargar series de datos en una hoja de clculo. Elsoftware de hojas de clculo que utilizamos para esto es Microsoft Excel.

El desarrollo que presentamos aqu se enfoca en la descarga de informacin histricasobre precios para QQQQ, que es un fondo ndice, cuyo valor da seguimiento al precio delas acciones de 100 empresas que tienen acciones negociadas en la Bolsa de Valores Nas-daq. Para obtener una lista de las 100 empresas y otra informacin relacionada con QQQQ;slo escriba QQQQ en una mquina de bsqueda, y aparecern una multitud de sitios.

El fondo ndice QQQQ puede negociarse a lo largo de cualquier da hbil, como unaaccin ordinaria, por lo que tiene un precio de apertura (el precio a las 9:30 a.m., hora delEste de Estados Unidos), un precio mximo del da, un precio mnimo del da, y un preciodiario de cierre (el precio a las 4:00 p.m., hora del Este de Estados Unidos). La informacinhistrica de precios para QQQQ y otras acciones puede descargarse directamente en unahoja de clculo desde muchos sitios Web. Aqu utilizaremos el sitio Web de Yahoo!

El precio diario de QQQQ es un ejemplo interesante de una seal de tiempo discretoo serie de tiempo, que puede analizarse mediante varias tcnicas matemticas, incluyendolas desarrolladas en este libro. Esto se ilustra hasta cierto punto en la seccin 1.5 y en otroscaptulos del libro. Por supuesto, la informacin sobre los precios de QQQQ es un ejemplode series de datos financieros, no de series de tiempo en ingeniera. Sin embargo, creemos queeste tipo de seal es adecuado para estudiarla como ejemplo en un libro de texto que est di-rigido bsicamente a la profesin de ingeniera. Es probable que muchos ingenieros invier-tan en el mercado de acciones, por lo que tener una idea de cmo aplicar el anlisis tcnico ala informacin de precios de acciones puede ser til para tomar decisiones de inversin.Adems, algunos de los mtodos que pueden aplicarse al anlisis de precios de acciones tam-bin pueden aplicarse a las seales de ingeniera, las cuales se caracterizan por tener unabuena cantidad de ruido (que es el mismo caso de la informacin de precios de acciones).

Para descargar la informacin de precios de QQQQ, primero vaya al sitio http://espa-nol.finance.yahoo.com. Cerca de la parte superior de la pgina Web, escriba el smboloQQQQ, haga un clic en IR, y despus en la columna izquierda que aparece en la pgina,haga clic en Precios Histricos. La tabla que aparece en la pantalla de su computadoradespliega el precio de apertura, que en la tabla aparece como Por Pagar, Mximo, Mnimo,Volumen, y Cierre Ajustado de QQQQ para cada da, durante un periodo de varios aos.La primera lnea de datos de la tabla es el precio ms reciente de QQQQ, y la ltima lneaes el precio correspondiente a la primera fecha del periodo desplegado. Para ver los precioshistricos de QQQQ de un periodo diferente, escriba las Fecha de Inicio y Fecha Final de-seadas, y despus haga clic en Obten Precios. Para obtener informacin de una accindiferente, escriba el smbolo en la pgina Web en la casilla que se encuentra del lado dere-cho Obtener Precios Histricos para:, y despus haga clic en IR. Una vez que tenemosla informacin de una accin especfica para el periodo deseado, podemos descargarla ha-ciendo clic en Descargar la hoja de clculo, ubicada al final de la pgina. A continuacinpresentamos un ejemplo que ilustra este procedimiento

Ejemplo 1.2 Cmo descargar informacin de la Web

Suponga que el objetivo es descargar el precio de cierre de QQQQ para el periodo de 10 das h-biles del 1 de marzo de 2004, al 12 de marzo del mismo ao. Para lograrlo, siga los pasos que des-cribimos anteriormente, y despus escriba como Fecha de Inicio el 1 de marzo de 2004, y comoFecha Final el 12 de marzo de ese ao. Despus haga clic en Obten Precios, y la tabla de datos

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20 Captulo 1 Conceptos bsicos

Date Open High Low Close Volume Adj. Close12-Mar-04 35.18 35.59 35.15 35.51 35.1711-Mar-04 35.07 35.53 34.8 34.87 34.5410-Mar-04 35.75 36 35.13 35.19 34.86

9-Mar-04 35.81 35.98 35.52 35.66 35.328-Mar-04 36.69 36.82 35.73 35.77 35.435-Mar-04 36.42 37.15 36.36 36.63 36.284-Mar-04 36.44 36.83 36.39 36.76 65905600 36.413-Mar-04 36.51 36.63 36.21 36.42 83938304 36.072-Mar-04 36.98 37.18 36.61 36.62 91536000 36.271-Mar-04 36.68 37.07 36.47 37.05 79700704 36.7

1.18E + 081.13E + 081.26E + 081.34E + 081.52E + 081.18E + 08

*

aparecer en su pantalla. Haga un clic en Descargar a hoja de clculo. La figura 1.21 muestrauna copia de la hoja de clculo resultante. La informacin que aparece en esta figura se reprodu-jo con la autorizacin de Yahoo! Inc., 2005 por Yahoo! Inc.YAHOO! y YAHOO! logo son mar-cas registradas de Yahoo! Inc.

Observe que la hoja de clculo de la figura 1.21 consta de 11 filas y 7 columnas. La primerafila y la primera columna contienen texto (no datos), lo que MATLAB no puede leer. MATLABnumera la primera fila como fila 0, y la primera columna como columna 0. Entonces, los datos dela tabla se ubican en las filas 1 a 10 y en las columnas 1 a 6. El valor de un dato de la tabla se deno-ta con el par (F,C), donde F es la fila y C la columna que contiene el valor. Por ejemplo, (1,1) esel valor de la esquina superior izquierda de la tabla, cuyo valor es 35.18, y (10,6) es el valor de laesquina inferior derecha, cuyo valor es 36.7.

Una vez que descargamos los datos en Excel, es necesario invertir el orden de los datospara que la primera fecha aparezca primero en la tabla. Logramos esto haciendo clic con elbotn izquierdo del ratn en la esquina superior izquierda de la hoja de clculo, para resaltartoda la tabla; despus hacemos clic en el botn Orden ascendente de la barra de herramien-tas. Esto invertir el orden de la informacin, para que la primera lnea de datos sea ahora elprecio correspondiente al primer da de nuestro rango de inters. Posteriormente hacemosclic con el botn izquierdo del ratn sobre un punto ubicado fuera de la tabla, y desaparecerel resaltado. Ahora podemos guardar la informacin en formato csv con el nombre de ar-chivo deseado, como datosQQQQ.csv. No olvide aadir la extensin csv al nombre de archi-vo. Guarde el archivo en un subdirectorio que pertenezca al directorio que contiene laversin estudiantil de MATLAB, o en un directorio en la ruta de bsqueda de MATLAB.

Cuando se abre MATLAB, toda o parte de la informacin del archivo puede leerse,mediante el comando csvread(filename, R1,C1,[R1 C1 R2 C2]), donde (R1, C1) repre-senta la esquina superior izquierda, y (R2, C2) a la esquina inferior derecha de la porcin delos datos que se leern con MATLAB.

Ejemplo 1.3 Cmo importar datos en MATLAB

Para la hoja de clculo que creamos en el ejemplo 1.2, reordene la informacin como le indica-mos con anterioridad. Haga clic en Guardar como, y escriba en el nombre del archivo da-tosQQQQ1.csv. Guarde este archivo en su subdirectorio MATLAB, y responda s cuando se lepregunte si desea mantener este formato. Los precios de cierre de QQQQ pueden entonces leer-se con MATLAB mediante el comando csvread(datosQQQQ1.csv, 1, 4,[1 4 10 4]),

FIGURA 1.21Copia de hoja de clculo de Excel.

*Precio cierre ajustado para dividendos y splits.

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Seccin 1.3 Sistemas 21

el cual genera un vector columna c, que contiene los precios de cierre de QQQQ. Observe que elnmero 4 aparece, debido a que estamos leyendo la cuarta columna de la tabla que contiene losdatos numricos. Para verificar que este proceso funciona, una vez creado el archivo da-tosQQQQ1.csv, ejecute los siguientes comandos de MATLAB:

c=csvread('datosQQQQ1.csv',1,4,[1 4 10 4]);n=1:10;plot(n,c(n),n,c(n),'o')gridxlabel('Day (n)')ylabel('Closing Price')

La grfica resultante aparece en la figura 1.22, la cual despliega el precio de cierre deQQQQ durante un periodo de 10 das. Observe que el valor de la grfica en n 1 es el preciode cierre del 1 de marzo de 2004, y el valor de n 10 es el precio de cierre del 12 de marzo de2004. Tambin observe que no estamos utilizando el comando stem para graficar los valores. Ensu lugar, graficamos los puntos con crculos sin rellenar y lneas que conectan los valores. La raznpara hacerlo as es que nos interesa ver la tendencia de los precios de cierre, y es mucho ms no-toria con lneas que conectan los valores que con una grfica de tallo.

1.3 SISTEMAS

Un sistema es una coleccin de uno o ms dispositivos, procesos o algoritmos implementa-dos por computadora, que operan sobre una seal de entrada x para producir una seal desalida y. Cuando la entrada y la salida son seales continuas en el tiempo, x(t) y y(t), se diceque el sistema es un sistema de tiempo continuo o sistema analgico. Cuando las seales deentrada y salida son discretas, x[n] y y[n], se dice que se trata de un sistema de tiempo discreto.

0 2 4 6 8 1034.5

35

35.5

36

36.5

37

37.5

Da (n)

Pre

cio

de c

ierr

e

FIGURA 1.22Precio de cierre de QQQQ del 01/03/04 al 12/03/04.

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22 Captulo 1 Conceptos bsicos

Algunos ejemplos comunes de sistemas que consisten en dispositivos fsicos o proce-sos son los siguientes:

1. Un circuito elctrico con entradas iguales a voltajes y/o corrientes y con salidas igua-les a voltajes y/o corrientes en diversos puntos del circuito.

2. Un sistema de comunicaciones con entradas iguales a las seales por transmitirse ycon salidas iguales a las seales recibidas.

3. Un sistema biolgico, como el corazn humano, con entradas iguales al estmulo elc-trico aplicado al msculo cardiaco y con salidas iguales a la velocidad de flujo de lasangre a travs del corazn.

4. Un manipulador robtico con entradas iguales a las torcas aplicadas a las uniones delrobot y con salidas iguales a la posicin del manipulador final (mano).

5. Una refinera petrolera, con una entrada igual a la velocidad de flujo de petrleo ycon salida igual a la velocidad de flujo de gasolina.

6. Un sistema de manufactura, con entradas iguales a la velocidad de flujo de materiasprimas, y con salidas iguales a la velocidad de produccin de productos terminados.

Adems de los ejemplos de sistemas antes mencionados, existen diversos tipos de sis-temas que procesan seales (conocidos como procesadores de seales), los cuales operansobre una seal de entrada, para producir una seal de salida deseada. Un ejemplo comnde procesador de seales es un filtro, que es diseado para eliminar componentes sinusoi-dales, cuyas frecuencias se encuentran en cierto rango, o para remover el ruido que puedeestar presente en una seal. Para introducir el proceso de eliminacin de ruido, supongaque una seal x(t) puede expresarse de la siguiente manera

(1.4)

donde s(t) es la parte suave de la seal x(t) y e(t) es la parte ruidosa o errtica. Muchas sea-les que surgen con ruido en aplicaciones, pueden expresarse de la forma aditiva (1.4). Porejemplo, suponga que x(t) es la medicin de la distancia (por ejemplo, rango) desde algnobjetivo hasta una antena de radar. Debido a que la energa reflejada desde un objetivo esmuy pequea, las mediciones de radar sobre su posicin siempre son ruidosas y por lo ge-neral inmersas en el ruido de fondo. En este caso, la medicin x(t) puede expresarse en laforma (1.4), donde e(t) es el ruido de fondo y s(t) es la verdadera distancia entre el objetivoy la antena del radar.

Dada una seal de entrada x(t) con la forma (1.4), el objetivo de un filtro es eliminare(t) y dejar pasar s(t), para que la salida del filtro y(t) sea igual a s(t). En la prctica, es raroque esto pueda hacerse, aunque es posible disear un filtro para que y(t) sea parecida as(t). En la siguiente seccin consideraremos un tipo especfico de filtro, y en otros captulosdel libro estudiaremos con ms profundidad el filtrado.

Los procesadores de seales con frecuencia se utilizan no slo para filtrar, sino paradeterminar la informacin contenida en una seal. En general, ste no es un problema sen-cillo; en particular, conocer la forma funcional o los valores de muestra de una seal no re-vela directamente (en general) la informacin que lleva la seal. Un ejemplo interesante esla extraccin de informacin que contiene una seal de voz. Por ejemplo, no es una cuestintrivial el desarrollar un esquema de procesamiento de voz capaz de identificar a la personaque est hablando a partir de un segmento de dilogo. Por supuesto, para poder identificarcorrectamente al parlante, el procesador de voz debe tener almacenados en su memoria los

x1t2 = s1t2 + e1t2

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Seccin 1.3 Sistemas 23

patrones de voz de una serie de personas, uno de los cuales corresponde al parlante. Lapregunta aqu es, cul es un patrn de voz adecuado? En otras palabras, qu es exacta-mente lo que distingue a una voz de otras? Una manera de responder a esto es considerarla caracterizacin de las seales de voz en trminos de sus espectros de frecuencias. En loscaptulos 3 a 5 estudiamos el concepto de espectro de frecuencia de una seal.

La extraccin de informacin a partir de seales tambin es de gran importancia en elcampo mdico, en el procesamiento de seales bioelctricas. Por ejemplo, un problema im-portante es determinar la salud del corazn de una persona a partir de la informacin con-tenida en una coleccin de seales de un electrocardiograma (ECG), tomadas de lasuperficie de los electrodos colocados en la persona. Un objetivo especfico es poder detec-tar si existe algn dao cardiaco que pueda ser el resultado de una enfermedad de la arte-ria coronaria o de un estado prolongado de hipertensin. Un mdico capacitado puededetectar enfermedades cardiacas leyendo las seales de un ECG, pero debido a la com-plejidad de estas seales, quizs un procesador humano no pueda extraer toda la infor-macin contenida en estas seales. sta es un rea donde las tcnicas de procesamiento deseales pueden aplicarse; de hecho, ha habido progresos en el desarrollo de esquemas auto-matizados de procesamiento para seales bioelctricas.

Para llevar a cabo un estudio minucioso de un sistema, como uno de los mencionadosen los ejemplos anteriores, resulta muy til tener un modelo matemtico del sistema. Un mo-delo matemtico consiste en una coleccin de ecuaciones que describen las relaciones entrelas seales que aparecen en el sistema. En muchos casos, las ecuaciones pueden determinar-se a partir de principios fsicos, como las leyes de movimiento de Newton para un sistemamecnico. En el captulo 2, abarcamos esto de alguna manera. Otro mtodo para modelar,conocido como identificacin de sistemas, es deducir funciones matemticas que relacionenun conjunto muestra de datos de entrada, y el conjunto de datos de salida correspondiente.Dejaremos la identificacin de sistemas basada en la entrada y salida de datos para estudiosms avanzados de seales y sistemas, por lo que no la consideraremos en este libro.

Un modelo matemtico de un sistema es, por lo general, una representacin idealiza-da del sistema. En otras palabras, muchos sistemas (fsicos) del mundo real no pueden des-cribirse con exactitud mediante un modelo matemtico, ya que se deben hacer muchassuposiciones para obtener las ecuaciones del sistema. Sin embargo, puede generarse un mo-delo matemtico lo suficientemente preciso para que el comportamiento y las propiedades delsistema se puedan estudiar en trminos del modelo. Los modelos matemticos tambin sonmuy tiles para disear nuevos sistemas que tengan diversas caractersticas deseables deoperacin: por ejemplo, en el diseo de controladores, cuyo propsito es modificar elcomportamiento de un sistema para lograr ciertos objetivos de rendimiento. As, los mode-los matemticos se utilizan ampliamente, tanto en el anlisis como en el diseo de sistemas.

Si el modelo de un sistema va a ser til, debe ser manejable y, por lo tanto, se debe hacersiempre un esfuerzo para construir el modelo ms sencillo posible del sistema bajo estudio.Pero el modelo tambin debe ser lo suficientemente exacto, lo que significa que las caracte-rsticas principales (todos los efectos de primer orden) deben incluirse en el modelo. Por logeneral, entre ms caractersticas se incluyan en el modelo, ste resultar ms complicado,por lo que hay un compromiso mutuo entre su simplicidad y su exactitud.

Existen dos tipos bsicos de modelos matemticos: representaciones de entrada/sali-da, que describen la relacin entre las seales de entrada y salida de un sistema, y el estadoo modelo interno que describe la relacin entre las seales de entrada, de estado y de sali-da de un sistema. En los primeros 10 captulos estudiaremos las representaciones de entrada/salida; y en el captulo 11 consideraremos el modelo de estado.

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24 Captulo 1 Conceptos bsicos

En este libro estudiaremos cuatro tipos de representaciones de entrada/salida:

1. El modelo de convolucin2. La ecuacin en diferencias o ecuacin diferencial de entrada/salida3. La representacin de la transformada de Fourier4. La representacin de la funcin de transferencia

Como demostraremos, la representacin de la transformada de Fourier puede consi-derarse como un caso especial de la representacin de la funcin de transferencia. Por lotanto, bsicamente slo existen tres tipos diferentes de representaciones de entrada/salidaque estudiaremos en este libro.

Las dos primeras representaciones mencionadas y el modelo de estado son conocidoscomo modelos en el dominio del tiempo, ya que estas representaciones estn dadas en tr-minos de funciones de tiempo. Las ltimas dos representaciones mencionadas se conocencomo modelos en el dominio de la frecuencia, ya que estn especificadas en trminos de fun-ciones de una variable compleja que se interpreta como una variable de la frecuencia. Tantoel modelo en el dominio del tiempo, como el modelo en el dominio de frecuencia se utilizanen el anlisis y diseo de sistemas. Estos tipos diferentes de modelos a menudo se empleanjuntos para comprender al mximo el comportamiento del sistema bajo estudio.

1.4 EJEMPLOS DE SISTEMAS

Para ser relativamente concretos respecto al concepto de sistema, en esta seccin propor-cionamos tres ejemplos especficos de sistema. Los dos primeros ejemplos son sistemas detiempo continuo y el tercero es uno de tiempo discreto.

1.4.1 Circuito RC

Considere el circuito RC que muestra la figura 1.23. Este circuito puede considerarse comoun sistema de tiempo continuo, con una entrada x(t) igual a la corriente i(t) dentro de la co-nexin en paralelo, y con una salida y(t) igual al voltaje vC(t) en las terminales del capacitor.Por la ley de corriente de Kirchhoff (vea la seccin 2.4),

(1.5)

donde iC(t) es la corriente en el capacitor e iR(t) es la corriente en el resistor.

iC1t2 + iR1t2 = i1t2

x(t) = i(t) vC(t) = y(t)C

iR(t)

iC(t)

R

FIGURA 1.23Circuito RC.

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Seccin 1.4 Ejemplos de sistemas 25

Ahora

(1.6)

e

(1.7)

Al sustituir las ecuaciones (1.6) y (1.7) en (1.5), obtenemos la siguiente ecuacin diferenciallineal:

(1.8)

La ecuacin diferencial (1.8) se conoce como ecuacin diferencial de entrada/salidadel circuito. sta proporciona una relacin implcita entre la entrada x(t) y la salida y(t). Lasalida y(t) resulta de una entrada x(t) que puede generarse resolviendo la ecuacin diferen-cial de entrada y salida (1.8). Por ejemplo, suponga que la entrada x(t) es igual a la funcinescaln unitario u(t), y la condicin inicial y(0) es igual a cero. Entonces, la respuesta y(t)para t 0 es la solucin a la ecuacin diferencial

(1.9)

con la condicin inicial y(0) 0. La solucin a (1.9) puede encontrarse mediante el uso delmanipulador simblico de MATLAB, el cual consideramos en el captulo 2, o mediante el usode la transformada de Laplace, que estudiaremos en el captulo 6. El resultado es que la res-puesta de salida est dada por

(1.10)

La respuesta de salida y(t) dada por (1.10) se conoce como respuesta al escaln, debido aque y(t) es la salida cuando la entrada es la funcin escaln unitario u(t) con la condicininicial cero [y(0) 0]. Si en t 0 se enciende una fuente constante de corriente de ampli-tud 1 [para que x(t) u(t)], el voltaje resultante en el capacitor estar dado por (1.10). Pa-ra el caso R 1 y C 1, la respuesta escaln es la que se grafica en la figura 1.24. Observeque el voltaje sobre el capacitor alcanza un valor de 1 conforme t : q, en respuesta al en-cendido de una fuente constante de corriente de amplitud 1 en el tiempo t 0.

y1t2 = R[1 - e-11/RC2t], t 0

C dy1t2

dt+

1R

y1t2 = 1, t 7 0

C dy1t2

dt+

1R

y1t2 = i1t2 = x1t2

iR1t2 = 1R vC1t2 =1R

y1t2

iC1t2 = C dvC1t2dt = C dy1t2

dt

1

1

0.5

0 2 3t

y(t)

FIGURA 1.24Respuesta al escaln de un circuito RC, cuando R C 1.

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26 Captulo 1 Conceptos bsicos

1.4.2 Sistema masa-resorte-amortiguador

El modelo ms sencillo de sistemas vibratorios es el sistema masa-resorte-amortiguadorque aparece esquemticamente en la figura 1.25. Este sistema es una representacin exactade muchas estructuras o dispositivos del mundo real; algunos ejemplos incluyen el aceler-metro (un dispositivo para medir la aceleracin), sismmetro (un dispositivo que mide lavibracin de la tierra), y un amortiguador de vibraciones (un dispositivo de montaje utiliza-do para absorber vibraciones de equipos). Otros sistemas, como la herramienta de una m-quina o un compresor sobre un montaje resistente, pueden modelarse como sistemas demasa-resorte-amortiguador para simplificar su anlisis. Este sistema, aunque burdo, de-muestra la mayor parte de los fenmenos asociados con los sistemas vibratorios y, como tal,es el bloque de construccin fundamental para el estudio de la vibracin.

Fsicamente, la masa M es soportada por un resorte con una constante de rigidez K, yun amortiguador con una constante de amortiguamiento D. Una fuerza externa x(t) se apli-ca a la masa y ocasiona que se mueva hacia arriba o hacia abajo, con un desplazamientoy(t), medido respecto a una posicin de equilibrio. (Es decir, y(t) 0 cuando no se aplica fuer-za externa alguna). Cuando la masa se encuentra por encima de su posicin de equilibrio,y(t) 0; y cuando la masa se encuentra por debajo de su posicin de equilibrio, y(t) 0. El re-sorte se resiste al movimiento de la masa (si la masa se mueve hacia abajo, esto comprimeel resorte, el cual acta empujando la masa hacia arriba). El amortiguador acta para disi-par la energa y convertirla de energa mecnica a energa trmica, la cual abandona el sis-tema en forma de calor. Por ejemplo, el absorbente de choques de un coche contiene unamortiguador.

Como mostramos en la seccin 2.4, la ecuacin diferencial de entrada/salida para elsistema masa-resorte-amortiguador, est dada por

En el sitio Web del libro se encuentra disponible una demostracin de un sistema masa-re-sorte-amortiguador. El demo permite al usuario seleccionar diferentes entradas para x(t),como una funcin escaln o un sinusoide, y ver una animacin de la respuesta resultantedel sistema conforme la masa se mueve en respuesta a la entrada. El usuario puede elegir

M d2y1t2

dt2+ D

dy1t2dt

+ Ky1t2 = x1t2

M

K

y(t)

x(t)

D

FIGURA 1.25Diagrama esquemtico de un siste-ma masa-resorte-amortiguador.

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Seccin 1.4 Ejemplos de sistemas 27

0 5 10 150

Tiempo

0.8

0.6

0.4

0.2

y(t)

FIGURA 1.26Respuesta del sistema masa-resorte-amortiguador a una entradade escaln unitario con M 1, K 2, y D 0.5.

diferentes valores de M, D, y K para ver sus efectos en la respuesta del sistema. Para mu-chas combinaciones de valores para M, D y K, la respuesta y(t) a una entrada escaln x(t) u (t), es una oscilacin en decaimiento que se establece en un valor constante (o estado es-table), como muestra la figura 1.26. La oscilacin se debe a la transferencia de energa en-tre la energa cintica (proporcional a la velocidad al cuadrado de la masa) y la energapotencial (energa almacenada en el resorte conforme se comprime o se estira). El decai-miento en la oscilacin se debe a la disipacin de energa que ocurre en el amortiguador.

El objetivo de este ejemplo o del demo en lnea no es una explicacin detallada sobrevibraciones. Sin embargo, el sistema masa-resorte-amortiguador es un sistema cuya res-puesta puede visualizarse sin dificultad mediante la animacin. Un circuito en serie RLCest regido por la misma ecuacin general y responde de la misma manera que este sistema,pero la respuesta no puede visualizarse fcilmente mediante la animacin. Por lo tanto, elsistema masa-resorte-amortiguador y el demo en lnea sern los que utilicemos a lo largodel libro para demostrar los conceptos bsicos de entrada/salida de un sistema.

1.4.3 Filtro de promedio mvil

Dado un entero positivo N, el filtro de promedio mvil (PM) en el punto N es un sistema detiempo discreto dado por la relacin de entrada/salida

(1.11)

donde x[n] es la entrada aplicada al filtro, y y[n] es la respuesta de salida resultante. Porejemplo, si N 3, el filtro PM en el punto 3 est dado por la relacin de entrada/salida

De la ecuacin (1.11) vemos que la salida y[n], al tiempo n del filtro PM en el puntoN, es el promedio de los N valores de entrada x[n], x[n 1], x[n 2],, x[n N 1]. As,el trmino punto N se refiere al nmero de valores de entrada utilizados al calcular la sa-lida del filtro. El filtro se conoce como filtro de promedio mvil, debido a que calculamosel siguiente valor y[n 1] de la salida, moviendo el intervalo de puntos de tiempo sobre el

y[n] =13

[x[n] + x[n - 1] + x[n - 2]]

y[n] =1N

[x[n] + x[n - 1] + x[n - 2] + + x[n - N + 1]]

Sistemamasa-

resorte-amorti-guador

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28 Captulo 1 Conceptos bsicos

que se calcula la salida del filtro. En particular, y[n 1] es el promedio de x[n 1], x[n],x[n 1],, x[n N 2], por lo que

(1.12)

Observe que (1.12) se deriva de (1.11), estableciendo n n 1 en (1.11). Algunos autoresse refieren al filtro PM como filtro de promedio corriente.

Los filtros PM con frecuencia se utilizan para reducir la magnitud del ruido que puedeestar presente en una seal. Para ver cmo es esto posible, suponga que la entrada x[n] estdada en la forma x[n] s[n] e[n], donde s[n] es la parte suave de x[n], y e[n] es la parteerrtica o ruidosa de x[n]. Entonces, la salida y[n] del filtro PM en el punto N est dada por

(1.13)

La parte ruidosa de la salida y[n] del filtro PM dada por (1.13) es el promedio de los valo-res ruidosos e[n], e[n 1], , e[n N 1], que es igual a

(1.14)

Si e[n] vara aleatoriamente alrededor de cero, el trmino ruidoso dado por el promedio(1.14) puede hacerse tan pequeo como se desee (en teora), tomando el valor de N lo sufi-cientemente grande. Esto explica por qu los filtros PM funcionan bien reduciendo la mag-nitud de la parte errtica o ruidosa de una seal.

Si el valor de N es lo suficientemente grande, la salida del filtro PM es aproximada-mente igual a un retraso de tiempo de la parte suave, s[n] de x[n], donde el retraso es igual a(N 1)/2 unidades de tiempo. En el captulo 5 verificaremos de manera matemtica la ocu-rrencia del retraso con la transformada de Fourier de tiempo discreto. El siguiente ejemploilustra el filtro PM en el punto N y el retraso de tiempo que puede ocurrir, y donde el filtrose aplica a informacin de precios para el fondo de acciones QQQQ. Primero, debemos des-tacar que la salida y[n] del filtro dado por (1.11) se calcula fcilmente con el comando sum deMATLAB. En particular, si la seal de entrada x[n] se escribe como el vector columna

entonces la salida y[n] al tiempo n es igual al comando (1/N)*sum(x) de MATLAB.

x = Dx[n - N + 1]x[n - N + 2]o

x[n]

T

1N

[e[n] + e[n - 1] + + e[n - N + 1]]

+1N

[e[n] + e[n - 1] + + e[n - N + 1]]

y[n] =1N

[s[n] + s[n - 1] + + s[n - N + 1]]

y[n + 1] =1N

[x[n + 1] + x[n] + x[n - 1] + + x[n - N + 2]]

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Seccin 1.4 Ejemplos de sistemas 29

10 15 20 25 30 35 40 45 5034

34.5

35

35.5

36

36.5

37

37.5

Da (n)

c[n]

y y

[n]

FIGURA 1.27Grfica en MATLAB de un filtro de entrada y salida.

Ejemplo 1.4 Aplicacin a informacin de precios de acciones

El precio de cierre de QQQQ para un periodo de 50 das hbiles, del 1 de marzo de 2004 hasta el10 de mayo de 2004, es el que consideraremos. Para obtener la informacin, siga el procedimien-to descrito en la seccin 1.2, y despus gurdela en el archivo datosQQQQ2.csv. Al establecer N 11 das, el filtro PM en el punto da 11 puede aplicarse a los precios de cierre de QQQQ, me-diante los comandos de MATLAB

c=csvread('datosQQQQ2.csv',1,4,[1 4 50 4]);for i=11:50;y(i)=(1/11)*sum(c(i-10:i));

end;n=11:50;plot(n,c(n),n,c(n),'o',n,y(n),n,y(n),'*')gridxlabel('Day(n)')ylabel('c[n] and y[n]')

Observe que en este caso la entrada x[n] para el filtro es el precio de cierre c[n] deQQQQ.Tambin observe que el primer valor de la salida del filtro y[n] es la salida y[11] en el da11, debido a que el filtro PM en el da 11 requiere los valores de entrada c[1], c[2], c[3], , c[11],para calcular y[11]. La grfica resultante de MATLAB para la entrada del filtro, c[n], y la salidadel filtro, y[n], aparece en la figura 1.27. En la grfica, los valores de c[n] estn graficados con os,y los valores de y[n] estn graficados con *s. Observe que aunque los precios de cierre son bas-tante errticos, el filtro hace un buen trabajo al suavizar la informacin. Sin embargo, es claroque el filtro retrasa varios das la seal de entrada. Como vimos anteriormente, el retraso esaproximadamente igual a (N 1)/2, que es igual a cinco das en este ejemplo. Si y[n] es despla-

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30 Captulo 1 Conceptos bsicos

5 10 15 20 25 30 35 40 4534

34.5

35

35.5

36

36.5

37

37.5

Da (n)

c[n]

y y

[n+

5]

FIGURA 1.28Grfica en MATLAB de una entrada al filtro y una salida desplazada por la izquierda.

zada hacia la izquierda cinco das (lo que corresponde a la seal desplazada por la izquierday[n 5]), y despus se grafica con c[n], el resultado es el que presenta la figura 1.28. Observe quela salida desplazada por la izquierda y[n 5] coincide muy bien con la informacin de entrada.Por desgracia, la salida desplazada no puede generarse en tiempo real, ya que su clculo requie-re valores futuros de c[n]. Para ver esto, sea r[n] y[n 5]. Despus, al reemplazar n por n 5y establecer N 11, en la ecuacin (1.11), obtenemos

(1.15)

As, el clculo de r[n] en el tiempo n, requiere los valores futuros c[n 5], c[n 4], c[n 3],c[n 2], y c[n 1] de la entrada c[n].

Aplicacin a la negociacin de QQQQ. Las personas que negocian acciones, en algunasocasiones utilizan filtros PM para determinar cundo comprar y cundo vender una accinen particular (como QQQQ). En esta aplicacin, los filtros PM con frecuencia se conocencomo filtros PMS, lo que significa promedio mvil simple. Un tipo de filtro todava ms co-mn que se utiliza en estas negociaciones es el filtro PMPE, tambin llamado filtro PME,donde PMPE significa promedio mvil ponderado exponencialmente. En la seccin 2.1 sedefine el filtro PMPE de N puntos; en la seccin 7.5 se define una versin recursiva del fil-tro PMPE; en esta misma seccin, presentamos un mtodo para la compra y venta de accio-nes QQQQ, en trminos de la diferencia en las respuestas a dos filtros PMPE, con diferentesvalores en sus parmetros. Para ms detalles sobre el uso de los filtros de promedio mvil enla negociacin de acciones, escriba promedio mvil en una mquina de bsqueda.

+ c[n] + c[n - 1] + + c[n - 5]]

r[n] =1

11 [c[n + 5] + c[n + 4] + c[n + 3] + c[n + 2] + c[n + 1]

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Seccin 1.5 Propiedades bsicas de un sistema 31

1.5 PROPIEDADES BSICAS DE UN SISTEMA

El grado de estudio de un sistema mediante el uso de tcnicas analticas depende de laspropiedades del sistema. Dos de las propiedades ms importantes son la linealidad y la in-variancia en el tiempo. En este libro veremos que existe una teora analtica muy amplia pa-ra estudiar los sistemas que presentan las propiedades de linealidad y de invariancia en eltiempo. En esta seccin definimos estas dos propiedades y la propiedad de causalidad.

En las definiciones siguientes, asumimos que y(t) es la respuesta de salida de un siste-ma que resulta de la entrada x(t). Los sistemas considerados en esta seccin estn limitadosa aqullos para los cuales una entrada x(t) 0 para toda t, donde q t q, arroja unasalida de y(t) 0 para toda t. En el siguiente desarrollo, la variable de tiempo t puede tomarvalores reales o slo valores discretos t nT; es decir, el sistema puede ser continuo o dis-creto en el tiempo.

1.5.1 Causalidad

Se dice que un sistema es causal o no anticipativo si para cualquier tiempo t1, la respuesta desalida y(t1) en el tiempo t1, que resulta de la entrada x(t), no depende de los valores de en-trada x(t) para t t1. En un sistema causal, si y(t) es la respuesta a una entrada x(t), y x(t) 0para toda t t2, para alguna t2, entonces y(t) 0 para toda t t2. Se dice que un sistema esanticausal o anticipativo si no es causal. Aunque todos los sistemas que surgen en la natura-leza son causales (o parecen serlo), existen aplicaciones en ingeniera donde surgen los sis-temas no causales. Un ejemplo es el procesamiento fuera de lnea (o procesamiento batch,o por lotes) de informacin. Explicaremos esto en un captulo posterior.

Ejemplo 1.5 Predictor ideal

Considere el sistema de tiempo continuo dado por la relacin de entrada/salida

Este sistema es anticausal, debido a que el valor y(t) de la salida al tiempo t, depende delvalor x(t 1) de la entrada al tiempo t 1. La no causalidad tambin puede verse considerandola respuesta del sistema al pulso de entrada de 1 segundo que aparece en la figura 1.29a. De la re-lacin y(t) x(t 1), podemos ver que la salida y(t) resultante del pulso de entrada es el pulsoque muestra la figura 1.29b. Debido a que el pulso de salida aparece antes de que se apliqueel pulso de entrada, el sistema es anticausal. El sistema con la relacin de entrada/salida y(t) x(t 1) se conoce como predictor ideal.

y1t2 = x1t + 12

0 1

1

x(t)

t0 11

1

y(t)

t

(b)(a)

FIGURA 1.29Pulso (a) de entrada, y (b) de salida, del ejemplo 1.5.

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32 Captulo 1 Conceptos bsicos

0 1

1

x(t)

t0 1 2

1

y(t)

t

(b)(a)

FIGURA 1.30Pulso de (a) entrada, y (b) salida del sistema correspondiente al ejemplo 1.6.

Ejemplo 1.6 Retraso ideal de tiempo

Considere el sistema con la relacin de entrada y salida

Este sistema es causal, debido a que el valor de la salida al tiempo t depende slo del valorde la entrada al tiempo t 1. Si el pulso que aparece en la figura 1.30a se aplica a este sistema, lasalida es el pulso de la figura 1.30b. De la figura 1.30 es claro que el sistema retrasa el pulso deentrada durante 1 segundo. De hecho, el sistema retrasa todas las salidas 1 segundo; en otras pa-labras, el sistema es un retraso ideal de tiempo.

y1t2 = x1t - 12

Ejemplo 1.7 Filtro PM

Considere el filtro PM de N puntos dado por la relacin de entrada/salida

(1.