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TRANSFERENCIA DE CALOR Y MASA/I. Transferencia de calor/Conducción
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Equation Chapter 1 Section 1
MECANISMOS DE
TRANSFERENCIA DE
CALOR
Aire caliente
Conducción: transferencia de energía de materia a materia
adyacente por contacto directo sin mezclado o flujo de material.
La colisión entre moléculas provoca la transferencia de una de
energía térmica de una molécula a otra. Moléculas muy
energéticas perderán energía y será recibida por las moléculas
de más baja energía. No es necesario involucra el problema de
mecánica de fluidos ya que el único movimiento es a nivel
molecular.
Convección: cuando ocurre el flujo macroscópico, la energía
asociada a un “paquete” de fluido es llevado a otra región del
espacio. Es necesario entender el problema de mecánica de
fluidos para entender el proceso de transferencia de calor por
convección.
Convección natural: el mezclado es debido a la diferencia
de densidades entre el fluido frio y el fluido caliente.
Convección forzada: un agitador mecánico o una diferencia
de presiones externamente impuesta, causa el mezclado.
Radiación: luz infrarroja, ultravioleta, ondas de radio son
emitidas por un cuerpo caliente y son absorbidas por un cuerpo
frío. La vibración molecular provoca radiación electromagnética
y la cantidad de esta radiación estará relacionado con la
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II. CONDUCCIÓN
temperatura de la materia. Esta radiación transmite energía a
través del espacio (incluso a través del vacío) y cuando choca
con otra molécula alguna de esta energía radiante es absorbida
por la molécula receptora.
Considérese el siguiente proceso de transferencia de calor en una
placa plana. Y se puede obtener el siguiente perfil de
temperaturas:
Desde el punto de vista del interés para los ingenieros son
importantes dos preguntas
¿Qué tan rápido fluye el calor a través de la placa?
¿Cómo varía la temperatura dentro de la placa?
Por lo tanto, en este curso nuestro objetivo será
CUANTIFICAR Cantidad de energía / unidad de tiempo los
procesos de transferencia de calor mediante ecuaciones y
modelos matemáticos adecuados
¿DE QUE DEPENDE EL FLUJO DE CALOR?
En general, se puede establecer
Flujo de Fuerza impulsora
calor Resistencia (1.1)
Las variables que pueden influir en el transporte de calor son:
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Diferencia de temperaturas
Área de transferencia
Espesor de la placa
Tipo de material
1). Diferencia de temperaturas o LT T : Si esta diferencia de
incrementa, entonces el flujo de calora también se
incrementa, por le contrario si la diferencia disminuye, el
flujo de calor también disminuye. Se dice que la diferencia
de temperaturas es la fuerza impulsora para transferencia de
calor.
2). Área de transferencia xA : Si el área de transferencia
(normal -perpendicular- al flujo) se incrementa al doble, el
flujo de calor se incrementa al doble y si el área de
transferencia se disminuye a la mitad el flujo de calor
también disminuye a la mitad. Por lo tanto, es razonable
decir que el transporte de calor será directamente
proporcional al área transversal.
3). Espesor de la placa xL : Si la diferencia de temperaturas
se mantiene constante e incrementamos el espesor de la
placa, el flujo de calor disminuye, es decir, la resistencia de
la placa al transporte de calor se incrementa porque hay una
mayor distancia sobre la cual el calor debe ser transportado.
4). Tipo de material: De nuestra experiencia sabemos que el
calor no se transfiere de igual manera en un plástico aislante
que en un metal. Un plástico representa mayor resistencia al
transporte de calor que un metal.
Entonces en principio, podemos concluir que.
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Tabla 1. Rango típico de valores
para la conductividad térmica
/o
W m K
1 / 1.730 /o o
Btu h ft F W m K
Gases 0.001-0.1
Líquidos 0.01-1.0
Sólidos 1.0-100
, , ,x xQ f T A L naturaleza del material (1.2)
y la más simple funcionalidad que se puede establecer es la
siguiente:
o L
x
x
T TQ A
L
(1.3)
La proporcionalidad anterior se puede convertir en una igualdad
si se introduce un coeficiente característico para cada material.
Entonces:
o L
x
x
T TQ kA
L
(1.4)
en donde la constantede proporcionalidad k , es llamada
conductivita térmica / oW m K y representa una característica
del material. En la Tabla 1 se muestran valores característicos de
la conductividad térmica para sólidos, líquidos y gases.
Analicemos ahora las unidades involucradas en la ecuación (1.4)
Por lo tanto Q tiene unidades de /J s y se denomina flujo de
calor. Es conveniente también definir el flux de calor que será
igual al flujo de calor por unidad de área, es decir:
o L
x
x
T TQ k A
L
2 1 o
o
Jm K
sm K
J
ms
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x
x
A (1.5)
Para especificar el flux de calor, es más importante especificar el
área de flujo:
Vamos a reescribir la ecuación (1.6) de la siguiente manera:
o L
x
x
T Tq k
L
(1.6)
¿Qué sucede si o LT T ?. En este caso xq sería una cantidad positiva, pero si o LT T ,
entonces xq sería una cantidad negativa. Sin embargo no hablamos de calor negativo o positivo.
LEY DE FOURIER
La ecuación (1.4) sólo es válida para el caso de trasporte unidireccional de calor en estado
estacionario en coordenadas rectangulares. Es decir, dicha ecuación no se puede aplicar para
situaciones en régimen transitorio o en coordenadas cilíndricas o esféricas. Tampoco puede ser
utilizada para predecir las variaciones de temperatura dentro de la placa. Por lo tanto es necesario
desarrollar una ecuación más general.
Dirección
de
Flujo de
calor
A
0
A
1
A
3 A
2
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Para esto, retornemos a la gráfica de temperatura versus distancia para cualquier tiempo y
supongamos que la ecuación (1.7) se puede aplicar sobre un pequeño incremento x . Recordemos
que del cálculo se tiene la siguiente definición:
T T x x T x (1.7)
y por lo tanto el flujo promedio de calor sobre una distancia x es
, ,
x
T x x t T x tTq k
x x
(1.8)
La relación /T x representa la pendiente promedio sobre la región x de la curva T vs x.
Se puede hacer x cada vez más pequeño y obtener una mejor aproximación a la pendiente real en
el punto x . Así en el límite cuando 0x se obtiene la derivada parcial de T con respecto a x:
0
, ,limx
T x x t T x t T
x x
(1.9)
y entonces para régimen transitorio en cualquier punto del sistema podemos escribir:
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x
Tq k
x
(1.10)
La ecuación anterior es la ley de Fourier de conducción de calor en una dimensión. El signo
negativo indica que el flujo de calor se da de regiones calientes a regiones frías.
Observemos las figuras anteriores. En la figura (a) la curva describe un decremento en la
temperatura, por lo tanto se tiene un gradiente negativo (pendiente negativa) y el flux de calor será
positivo. En la figura (b) la curva describe un incremento en la temperatura, por lo tanto se tiene un
gradiente positivo (pendiente positiva) y el flux de calor será negativo. Físicamente esto significa
que el flujo de calor se da en el sentido negativo del eje coordenado. Por lo tanto, flux y gradiente
tienen signos contrarios.
En general, cuando el flujo de calor se da en todas direcciones, la ecuación (1.10) se
reescribe de la siguiente manera
0
, , , , , ,limx
T x x y z t T x y z tT
x x
(1.11)
y se pueden entonces obtener expresiones semejantes a (1.11) para las otras direcciones de flujo
x y z
T T Tq k q k q k
x y z
(1.12)
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Cada una de estas expresiones relaciona el flujo de calor a través de una superficie con el
gradiente de temperatura en una dirección perpendicular a la superficie. También está implícito que
el medio en el que ocurre la conducción es isotrópico, es decir, la conductividad térmica es
independiente de las coordenadas x y zk k k k .
Es claro que el flujo de calor es una cantidad vectorial y por lo tanto es posible representarlo
de la siguiente forma
x y zq q q q i j k (1.13)
o en una forma más compacta:
T T T
k T kx y z
q i j k (1.14)
en donde es el operador nabla tridimensional. La ecuación anterior no es una expresión que
derive de primeros principios, sino es el resultado de infinidad de pruebas experimentales. Es una
expresión que define a la conductividad térmica y es una expresión vectorial que indica que el flujo
de calor es normal a una isoterma y en dirección de temperatura decreciente. Finalmente, se aplica
para toda materia sin importar su estado: sólido, líquido o gaseoso.
Ejemplo 1. Diferencia entre flujo y flux de calor.
La pared de un horno industrial se construye con ladrillo refractario de 0.15 m de espesor
que tiene una conductividad térmica de 1.7 w/mºK. Mediciones realizadas durante la operación en
estado estable revelan temperaturas de 1400 y 1150 ºK en la superficie interna y externa,
respectivamente. ¿Cuál es la velocidad de pérdida de calor a través de una pared que tiene 0.5m por
0.3 m de lado?
Ejemplo 1. Efecto de la conductividad en el perfil de temperaturas.
En estado estacionario se transfiere calor a una velocidad de 6000 Btu/min (1.054x105 W) a
través de una placa de acero (5 ft x 10 ft) de 2 pulgadas de espesor. La conductividad térmica del
acero es de 27.1 Btu/h ft oF. La temperatura de la cara fría de la placa es de 20 ºC. Calcular:
a) El flux de calor a través de la placa en Btu/h ft2
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b) La temperatura de la cara caliente en ºC y ºK
c) Repetir los cálculos anteriores pero ahora suponiendo que la placa es de cobre k=227
Btu/h ft ºF
d) Graficar temperatura contra posición en una misma gráfica para ambas placas
290
295
300
305
310
315
320
0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05
Tem
pera
tura
(ºK
)
Posición (m)
Cobre
Acero inoxidable
NOTA: para distinguir entre un buen conductor y un aislante debemos comparar las
pendientes de los perfiles de temperatura. Para un perfecto conductor la pendiente tiende a cero y
para un perfecto aislante la pendiente aproxima a infinito.
Ejemplo 3. Conductividad térmica.
Los perfiles de temperatura en estado estacionario en un sistema laminado son de la
siguiente forma:
¿Cuál de los dos materiales tiene mayor conductividad?
Material I Material II
Distancia
Tem
peratu
ra