FUNDAMENTOS DE

MATEMÁTICA APLICADA

ANTONIO PÉREZ CARRIÓ JOSÉ ANTONIO REYES PERALES

FERNANDO GARCÍA ALONSO

Profesores Titulares de la

Escuela Politécnica Superior de la

Universidad de Alicante

Título: Fundamentos de matemática aplicada 2ª Edición Autores: © Antonio Pérez Carrió José Antonio Reyes Perales Fernando García Alonso I.S.B.N.: 84-8454-478-8 Depósito legal: A-978-2005 Edita: Editorial Club Universitario Telf.: 96 567 61 63 C/. Cottolengo, 25 - San Vicente (Alicante) www.ecu.fm Printed in Spain Imprime: Imprenta Gamma Telf.: 965 67 19 87 C/. Cottolengo, 25 - San Vicente (Alicante) www.gamma.fm gamma@gamma.fm

Reservados todos los derechos. Ni la totalidad ni parte de este libro puede reproducirse o transmitirse por ningún procedimiento electrónico o mecánico, incluyendo fotocopia, grabación magnética o cualquier almacenamiento de información o sistema de reproducción, sin permiso previo y por escrito de los titulares del Copyright

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Prólogo

Las matemáticas son una herramienta para los estudiantes de las carreras técnicas, tanto conceptual como de cálculo. Conceptual porque permite comprender los desarrollos teóricos de asignaturas fundamentales, de cálculo porque ayuda a resolver los problemas que habitualmente se presentan en el ejercicio de la profesión.

Las matemáticas tienen un carácter formativo, que genera el hábito de plantear los trabajos con rigor y contribuye al desarrollo de un auténtico método científico del futuro profesional.

El objetivo fundamental que comparten las asignaturas de matemáticas en todas las carreras técnicas, tanto medias como superiores, es el de proporcionar al estudiante una formación matemática básica, que le permita acceder al estudio de cualquier disciplina de matemática aplicada, requerida en su ejercicio profesional, más adelante. Este objetivo puede ser formulado, más detalladamente, del modo siguiente:

• Familiarizar al alumno con el lenguaje y razonamientos matemáticos, situándolo en condiciones

de adquirir por sí mismo, en el futuro, los conocimientos de matemáticas que precise como instrumento de su labor técnica específica.

• Proporcionarle asimismo, métodos útiles para abordar los problemas que aparecen en las diferentes disciplinas de su titulación.

• Dotarle de un repertorio de conceptos, métodos y técnicas de análisis o cálculo adecuados a sus futuras necesidades profesionales.

Matemáticos como Joseph Louis Fourier pensaban que el objeto principal de las matemáticas era el uso público y la explicación de los fenómenos naturales. Otros como Carl Gustav Jacob Jacobi creían que un filósofo como Fourier sabía que el único objetivo de la ciencia es “ el honor del espíritu humano”. La mente versada en ciencias exactas analiza los problemas desde ambas vertientes, puesto que por un lado optimiza las estrategias en la consecución de resultados asociados al mundo científico y por otro saborea, desde el interior, los distintos aspectos de una misma estrategia avalada por el placer que conduce a lo creativo. Cada capítulo se ha elaborado incluyendo un resumen teórico, con la estructura adecuada y la extensión precisa para que el lector pueda abordar los conceptos necesarios con una fluidez que le permita entender los ejercicios resueltos y afianzar sus conocimientos mediante los ejercicios propuestos , todo ello nutrido de una gran cantidad de observaciones junto con notas históricas y curiosidades matemáticas, que hacen que esta obra no sólo sea de consulta sino que además ofrezca al lector la posibilidad de acercarse a las matemáticas desde el lado creativo, bello e incluso sorprendente de las mismas, intentando transmitir, en lo posible, la dualidad de la idea de matemática expresada por Fourier y Jacobi.

El contenido de esta obra se estructura en ocho capítulos; en los cuatro primeros se estudian los conceptos espacio vectorial, espacio euclídeo, espacio afín y espacio afín euclídeo. En los cuatro capítulos restantes se abordan las nociones de límites y continuidad de funciones, derivabilidad, la integral indefinida y la integral de Riemann y sus aplicaciones.

Los autores

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Índice Capítulo 1 ........................................................................................................................ 1 Espacios Vectoriales ....................................................................................................... 1 1.1 Introducción.......................................................................................................... 1 1.2 Estructura de espacio vectorial ............................................................................. 2 1.2.1 Definición de espacio vectorial ................................................................... 2 1.2.2 Ejemplos de espacios vectoriales ................................................................ 3 1.2.3 Propiedades inmediatas ............................................................................... 4 1.3 Sistema de vectores. Combinaciones lineales ...................................................... 4 1.3.1 Definiciones................................................................................................. 4 1.3.2 Consecuencias ............................................................................................. 5 1.4 Sistema libre y sistema ligado .............................................................................. 5 1.4.1 Definición de sistema libre y de sistema ligado .......................................... 5 1.4.2 Propiedades de los sistemas libres y ligados ............................................... 6 1.5 Subespacio vectorial ............................................................................................. 6 1.5.1 Definición de subespacio vectorial.............................................................. 6 1.6 Clausura lineal. Sistema equivalentes .................................................................. 7 1.6.1 Clausura lineal. Sistema generador ............................................................. 7 1.6.2 Sistemas equivalentes .................................................................................. 7 1.7 Operaciones con subespacios vectoriales ............................................................. 8 1.7.1 Suma e intersección de subespacios vectoriales.......................................... 8 1.7.2 Suma directa de dos subespacios vectoriales .............................................. 8 1.8 Bases y dimensión de un espacio vectorial de tipo finito..................................... 8 1.8.1 Definición de base de e.v. de tipo finito. Caracterización........................... 9 1.8.2 Propiedades relativas a las bases y a la dimensión...................................... 9 1.8.3 Cambio de base.......................................................................................... 10 Ejercicios resueltos ....................................................................................................... 11 Ejercicios propuestos.................................................................................................... 53

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Capítulo 2 ...................................................................................................................... 57Espacio Vectorial Euclídeo .......................................................................................... 57 2.1 Introducción........................................................................................................ 57 2.2 Espacio vectorial euclídeo.................................................................................. 58 2.2.1 Definición de producto escalar. Espacio vectorial euclídeo...................... 58 2.2.2 Consecuencias............................................................................................ 59 2.3 Matriz de Gram................................................................................................... 60 2.3.1 Determinación de un producto escalar. ..................................................... 60 2.3.2 Propiedades de la matriz de Gram ............................................................. 61 2.3.3 Matrices de Gram referidas a bases distintas............................................. 61 2.4 Espacio vectorial normado. Espacio Métrico ..................................................... 61 2.4.1 Norma de un vector. Espacio vectorial normado....................................... 61 2.4.2 Espacio métrico ......................................................................................... 62 2.4.3 Norma asociada a un producto escalar ...................................................... 62 2.4.4 Norma que proviene de un producto escalar ............................................. 63 2.4.5 Ángulo entre dos vectores ......................................................................... 64 2.5 Ortogonalidad y ortonormalidad ........................................................................ 65 2.5.1 Vectores ortogonales ................................................................................. 65

2.5.2 Sistema ortogonal de vectores ................................................................... 66 2.5.3 Sistema ortonormal de vectores................................................................. 66

2.5.4 Bases ortonormales .................................................................................... 67 2.5.5 Subespacios ortogonales............................................................................ 67 2.5.6 Subespacio ortogonal suplementario ......................................................... 68 2.6 Proyección ortogonal.......................................................................................... 69 2.6.1 Proyección ortogonal de un vector sobre un subespacio ........................... 69 2.6.2 Matriz proyección ortogonal de un vector sobre un subespacio................ 69 2.7 Coordenadas covariantes y contravariantes........................................................ 71 Ejercicios resueltos ....................................................................................................... 73 Ejercicios propuestos....................................................................................................106 Capítulo 3 ......................................................................................................................109 Espacio Afín ..................................................................................................................109 3.1 Introducción........................................................................................................109 3.2 Espacio afín ........................................................................................................110 3.2.1 Definición de espacio afín .........................................................................110 3.2.2 Primeras propiedades.................................................................................111 3.3 Sistema de referencia afín...................................................................................111 3.3.1 Definición de sistema de referencia afín ...................................................111 3.3.2 Coordenadas de un punto ..........................................................................111 3.3.3 Cambio de sistema de referencia ...............................................................111 3.4 Subespacio afín...................................................................................................114 3.4.1 Definición de variedad lineal afín .............................................................114 3.4.2 Propiedades de los subespacios afines de ( )nA k .....................................114 3.5 Espacio afín tridimensional ................................................................................115 3.5.1 Ecuaciones del plano .................................................................................115 3.5.2 Ecuaciones de la recta................................................................................116 3.5.3 Posiciones relativas ...................................................................................118 3.5.3.1 Posición relativa de dos planos......................................................118

ix

3.5.3.2 Haz de planos ................................................................................118 3.5.3.3 Posición relativa de tres planos .....................................................119 3.5.3.4 Posición relativa de una recta y un plano ......................................120 3.5.3.5 Posición relativa de dos rectas.......................................................121Ejercicios resueltos .......................................................................................................122 Ejercicios propuestos....................................................................................................146 Capítulo 4 ......................................................................................................................149 Espacio Afín Euclídeo ..................................................................................................149 4.1 Introducción........................................................................................................149 4.2 Espacio afín euclídeo..........................................................................................150 4.3 Espacio métrico ..................................................................................................150 4.4 Espacio afín euclídeo tridimensional..................................................................150 4.4.1 Distancia entre dos puntos.........................................................................150 4.4.2 Cósenos directores de un vector ................................................................151 4.4.3 Producto vectorial y mixto ........................................................................151 4.4.4 Vector característico. Ecuación normal de un plano .................................154 4.4.5 Ángulos......................................................................................................155 4.4.6 Distancias ..................................................................................................157 4.4.7 Recta de máxima pendiente.......................................................................159 4.4.8 Planos bisectores de un diedro ..................................................................160 4.4.9 Áreas y volúmenes.....................................................................................160 Ejercicios resueltos .......................................................................................................163 Ejercicios propuestos....................................................................................................194 Capítulo 5 ......................................................................................................................197 Límites y continuidad de funciones.............................................................................197 5.1 Introducción........................................................................................................197 5.2 Nociones de topología de R ..............................................................................198 5.2.1 El cuerpo de los números reales ................................................................198 5.2.2 Clasificación de los puntos de R con respecto de un conjunto D ⊆ R . ..201 5.3 Concepto de función real de variable real ..........................................................202 5.4 Límite de una función.........................................................................................204 5.4.1 Límite finito de una función en un punto ..................................................204 5.4.2 Límite infinito de una función en un punto ...............................................205 5.4.3 Límite finito de una función en el infinito.................................................205 5.4.4 Límite infinito de una función en el infinito..............................................206 5.5 Límites laterales..................................................................................................208 5.5.1 Límites por la derecha ...............................................................................208 5.5.2 Límites por la izquierda.............................................................................208 5.6 Límite de una función por sucesiones ................................................................209 5.7 Propiedades de los límites ..................................................................................209 5.8 Infinitésimos .......................................................................................................210 5.8.1 Definición de infinitésimo.........................................................................210 5.8.2 Propiedades de los infinitésimos ...............................................................210 5.8.3 Comparación de infinitésimos ..................................................................210 5.8.4 Principales infinitésimos equivalentes ......................................................211 5.8.5 Criterios de sustitución de infinitésimos equivalentes ..............................212

x

5.9 Infinitos...............................................................................................................212 5.9.1 Definición de infinitos ...............................................................................212 5.9.2 Propiedades de los infinitos .......................................................................212

5.9.3 Comparación de infinitos ..........................................................................212 5.9.4 Infinitos equivalentes.................................................................................213

5.9.5 Órdenes de infinitud ..................................................................................213 5.9.6 Criterios de sustitución de infinitos equivalentes ......................................213 5.10 Función continua en un punto ..........................................................................213 5.11 Continuidad lateral ...........................................................................................214 5.12 Continuidad por sucesiones ..............................................................................215 5.13 Discontinuidad de una función.........................................................................215 5.14 Propiedades de las funciones continuas ...........................................................216

5.15 Continuidad en un intervalo cerrado ................................................................217 5.16 Continuidad uniforme.......................................................................................218 Ejercicios resueltos .......................................................................................................219 Ejercicios propuestos....................................................................................................239 Capítulo 6 ......................................................................................................................243 Funciones Derivables....................................................................................................243 6.1 Introducción........................................................................................................243 6.2 Derivada de una función en un punto.................................................................244 6.2.1 Función derivable ......................................................................................244 6.2.2 Derivadas laterales.....................................................................................244

6.2.3 Interpretación Física de la derivada ...........................................................245 6.2.4 Recta tangente y normal ............................................................................245 6.3 Diferencial de una función en un punto..............................................................246 6.3.1 Interpretación geométrica de la diferencial de una función en un punto...246 6.4 Función derivada y función diferencial ..............................................................247 6.5 Cálculo de derivadas...........................................................................................247 6.5.1 Derivada de la suma, producto y cociente.................................................247 6.5.2 Derivada de la función compuesta e inversa .............................................248 6.6 Derivadas y diferenciales de orden superior.......................................................249 6.7 Teoremas relativos a las funciones derivables ...................................................249 6.8 Estudio local de una función ..............................................................................254 6.9 Aproximación local de una función....................................................................257 6.9.1 Polinomio de Taylor ..................................................................................257 6.9.2 Fórmula de Taylor .....................................................................................258 6.9.3 Fórmula de Mac-Laurin.............................................................................258 6.9.4 Aplicaciones de la aproximación local de una función .............................260 Ejercicios resueltos .......................................................................................................261 Ejercicios propuestos....................................................................................................309 Capítulo 7 ......................................................................................................................315 La Integral Definida .....................................................................................................315 7.1 Introducción........................................................................................................315 7.2 Preliminares ........................................................................................................315 7.2.1 Propiedades de las funciones circulares ....................................................316 7.2.2 Propiedades de las funciones hiperbólicas ................................................317

xi

7.2.3 Resultados algebraicos ..............................................................................318 7.3 Primitiva de una función ....................................................................................318 7.3.1 Integral indefinida......................................................................................318 7.3.2 Primitivas inmediatas ................................................................................319 7.3.3 Consecuencias de la definición..................................................................320 7.4 Propiedades de la integral indefinida..................................................................320 7.5 Métodos generales de integración ......................................................................321 7.5.1 Integración por descomposición................................................................321 7.5.2 Integración por partes ................................................................................321

7.5.3 Fórmulas de reducción...............................................................................322 7.5.4. Integración por cambio de variable o sustitución.....................................322 7.6 Integración de funciones racionales ...................................................................322 7.6.1 Raíces reales ..............................................................................................323 7.6.2 Raíces complejas simples ..........................................................................324 7.6.3 Raíces complejas múltiples .......................................................................325 7.7 Integración de funciones trigonométricas...........................................................327 7.8. Integración de funciones irracionales ................................................................328 7.8.1 Cambios elementales .................................................................................328 7.8.2 Cambios de Euler ......................................................................................329 7.8.3 Método alemán ..........................................................................................330 7.8.4 Integrales binomias....................................................................................330 Ejercicios resueltos .......................................................................................................332 Ejercicios propuestos....................................................................................................361 Capítulo 8 ......................................................................................................................365 La Integral de Riemann y sus aplicaciones ................................................................365 8.1 Introducción........................................................................................................365 8.2 Partición de un intervalo cerrado........................................................................366 8.3 Integral de Riemann ...........................................................................................367 8.4 Propiedades de la integral de Riemann...............................................................370 8.5 Teorema del Valor Medio (o de la Media) .........................................................371 8.6 Función integral..................................................................................................372 8.6.1 Teorema Fundamental del Cálculo Infinitesimal ......................................372 8.6.2 Regla de Barrow ........................................................................................373 8.7 Técnicas fundamentales de integración..............................................................375 8.7.1 Integración por partes ................................................................................375 8.7.2 Integración por cambio de variable o sustitución......................................375 8.8 Aplicaciones geométricas del cálculo integral ...................................................375 8.8.1 Área de un recinto plano............................................................................375 8.8.1.1 Curvas en forma explícita..............................................................375

8.8.1.2 Curvas en forma paramétrica.........................................................376 8.8.1.3 Curvas en polares ..........................................................................376 8.8.2 Longitud de arco de curva .........................................................................376 8.8.2.1 Curvas en forma explícita..............................................................376 8.8.2.2 Curvas en forma paramétrica.........................................................377 8.8.2.3 Curvas en polares ..........................................................................377 8.8.3 Áreas de superficies de revolución............................................................377 8.8.4 Cálculo de volúmenes................................................................................377 8.8.4.1 Volúmenes por secciones planas ...................................................377

xii

8.8.4.2 Volúmenes de cuerpos de revolución............................................377 8.8.4.3 Método de los discos y del anillo ..................................................378 Ejercicios resueltos .......................................................................................................391 Ejercicios propuestos....................................................................................................459 Bibliografía....................................................................................................................465 Índice alfabético de definiciones..................................................................................467

1

Capítulo 1

Espacio Vectorial

1.1 Introducción

Durante el siglo XIX, aparecieron diversas estructuras muy útiles para la

solución de problemas clásicos, llamadas estructuras ”mixtas”, constituidas por varios conjuntos ”primitivos”, cada uno de ellos dotado de una o varias estructuras, junto con unos axiomas que las relacionan entre sí. Uno de los ejemplos más antiguos es la estructura de espacio vectorial que consta de dos conjuntos ”primitivos”: un cuerpo k y un grupo abeliano ( )U ,+ , junto con otro objeto primitivo, la aplicación:

( )v vλ λ, → ⋅ llamada ”multiplicación por un escalar”, que verifica cuatro axiomas que se concretarán más adelante.

Al concepto de espacio vectorial se llega, como al de cualquier estructura algebraica, mediante la abstracción de teorías matemáticas concretas, como la de los vectores libres tridimensionales, y constituye la base para el estudio del álgebra lineal y de la geometría, empleándose de modo fructífero en otras ramas de las matemáticas.

La estructura de espacio vectorial fue definida en n por Cayley y Grassmann en 1843; siendo una de las más extendidas y útiles por ser el modelo analítico de todos los espacios vectoriales de dimensión n . El ejemplo más característico de esta estructura es el conjunto 2U = donde =k , siendo la multiplicación por un escalar, la homotecia.

La estructura se ha generalizado de muchos modos, pues en los cuatro axiomas de la ley externa, no es necesario suponer que k es un cuerpo, sino que puede sustituirse por un anillo conmutativo A con un elemento unidad, obteniéndose entonces la estructura de −A módulo, elemento central de la teoría de los números algebraicos, establecida por Dedekind en la década de 1860, y de la teoría de las funciones algebraicas concebida por Kronecker en la misma época.

Si se supone que U es un anillo (conmutativo o no), añadiendo a los cuatro axiomas uno nuevo que relaciona la multiplicación en el anillo U con la multiplicación por un escalar:

( ) ( ) ( )u v u v u vλ λ λ⋅ = ⋅ = ⋅ se enriquece la estructura de espacio vectorial, diciéndose entonces que se ha definido una estructura de álgebra. El conjunto de los cuaterniones de Hamilton es una −

Capítulo 1. Espacio Vectorial

2

álgebra. Por otra parte, empobreciendo la estructura de espacio vectorial al sustituir k por un grupo multiplicativo G , el axioma

( )u u uλ µ λ µ+ = + deja de tener sentido y se suprime, dando lugar a lo que se llama ”grupo aditivo U con operadores en el grupo G ”. Tambien se puede eliminar cualquier estructura del conjunto U , conservando tan sólo la aplicación:

( )

G U U

u uλ λ× →

, ⋅

y los axiomas:

( ) ( )

1

u u

u u

λ µ λµ=

=

diciéndose entonces que G actúa sobre U , llamándose acción de G sobre U a la aplicación anterior.

Esta última estructura, que desde Klein (1873) se le designa también como ”geometría del grupo G ”, unifica diversas nociones geométricas que se han ido desarrollando desde principios del XIX.

1.2 Estructura de espacio vectorial 1.2.1 Definición de espacio vectorial Definición. Sea U un conjunto. Sea k un cuerpo conmutativo a cuyos elementos llamaremos escalares. Se dice que U es un espacio vectorial sobre el cuerpo k , y a sus elementos los llamaremos vectores si se dispone de las siguientes operaciones que satisfacen las siguientes propiedades:

i) U U U+ : × → es una ley de composición interna, que verifica:

• asociativa: ( ) ( )u v w u v w u v w U+ + = + + , ∀ , , ∈

• neutro: 0 / 0 0U u u u u U∃ ∈ + = + = , ∀ ∈ • simétrico: para cada ( ) / ( ) ( ) 0u U u U u u u u∈ , ∃ − ∈ + − = − + = • conmutativa: u v v u u v U+ = + , ∀ , ∈

ii) K U U⋅ : × → es una ley de composición externa, que verifica:

( )u v u v u v Uλ λ λ λ• ⋅ + = ⋅ + ⋅ , ∀ , ∈ , ∀ ∈ k ( ) u u u u Uλ µ λ µ λ µ• + ⋅ = ⋅ + ⋅ , ∀ ∈ , ∀ , ∈ k

( ) ( )u u u Uλ µ λµ λ µ• ⋅ ⋅ = ⋅ , ∀ ∈ , ∀ , ∈ k 1 u u u U• ⋅ = , ∀ ∈ siendo 1 el neutro del cuerpo para la 2ª ley

Resumen Teórico

3

1.2.2 Ejemplos de espacios vectoriales

• ( ) espacio vectorial de los números reales sobre el cuerpo de los números reales.

• ( ) espacio vectorial de los números complejos sobre el cuerpo de los números reales.

• ( ) espacio vectorial de los números complejos sobre el cuerpo de los números complejos.

• ( ) espacio vectorial de los números reales sobre el cuerpo de los números racionales.

• ( )n espacio vectorial de los conjuntos ordenados de n elementos sobre el cuerpo de los reales, con la operaciones:

( ) ( ) ( )1 1 1 1,..., ,..., ,...,n n n nu u v v u v u v+ = + + y ( ) ( )1 1,..., ,...,n nu u u uλ λ λ⋅ =

• ( ) ( )2 3, V V espacio vectorial de los vectores libres del plano y del espacio,

respectivamente, sobre el cuerpo de los reales. • ( )P espacio vectorial de los polinomios con una indeterminada y a

coeficientes reales, sobre el cuerpo de los reales, con las operaciones suma de polinomios y producto por un número real.

• ( )F espacio vectorial de las funciones reales de variable real, sobre el cuerpo de los reales, con las operaciones:

( ) ( ) ( ) ( )f g x f x g x+ = + y ( ) ( ) ( )f x f xλ λ⋅ =

• ( )S espacio vectorial de las sucesiones de números reales, sobre el cuerpo de

los reales, con las operaciones { } { } { }n n n na b a b+ = + y { } { }n na aλ λ⋅ = . • ( )m nM × espacio vectorial de las matrices de orden mxn sobre el cuerpo de los

reales, con las operaciones suma de matrices y producto por un número real. Nota: En 1833, William Rowan Hamilton presentó un extenso e importante artículo en la Irish Academy, en el que dio las reglas para operar los números complejos, tratándolos como pares ordena dos de números reales. La multiplicación de complejos la interpretó como una operación en la que intervenía un giro en el plano, e intentó extender la idea a tres dimensiones , pasando de los números complejos ordinarios a+bi a ternas de números ordenados a+bi+cj. Parece que tardó diez años en conseguirlo y que el 16 de octubre del año de 1843, cuando paseaba por el puente de Brougham en su ciudad natal Dublín, le llegó la inspiración y pensó que sus dificultades desaparecerían si utilizaba cuádruplas a+bi+cj+dk en lugar de ternas, y abandonaba la propiedad conmutativa de la multiplicación. En una piedra de dicho puente grabó la inscripción “i 2 = j 2 = k 2 = ijk = -1” y así hicieron su aparición los famosos cuaterniones o hipercomplejos de Hamilton, precursores de lo que

Capítulo 1. Espacio Vectorial

4

hoy en día se conoce como vectores. El descubrimiento de Hamilton supuso una ruptura con la tradición porque abandonaba la ley conmutativa del producto. En 1844 Grassmann publicaba en Alemania unas ideas parecidas, se trataba de un cálculo muy general con vectores de cualquier número de dimensiones e introdujo las definiciones de subespacio, generadores, dimensión, operaciones con subespacios y fórmulas de cambio de base. Los cuaterniones a+bi+cj+dk se utilizaron en la exploración del espacio físico, pero eran demasiado complicados para entenderlos y aplicarlos fácilmente, ya que se manejaba al mismo tiempo su parte escalar a y su parte vectorial bi+cj+dk. El físico americano Josiah Willar Gibbs se percató de que muchos problemas podían resolverse mejor considerando la parte vectorial por separado, exponiendo sus ideas en el Vector Analysis de 1881, iniciando así el análisis vectorial.

En 1888, Giuseppe Peano presentó una definición axiomática, explicando el trabajo de Grassmann. Sin embargo, fue A. Weyl quien en 1918 dio la definición axiomática y abstracta de espacio vectorial en su Space-Time-Matter, como una introducción a la teoría general de la relatividad de Einstein.

El interés por concretar distintos aspectos de la realidad física, hizo progresar el análisis vectorial durante la segunda mitad del siglo XIX. Entre los físicos-matemáticos que contribuyeron a ese desarrollo, además de J.W. Gibss, merecen citarse G. G. Stokes, J. C. Maxwell, O. Heaviside y H. A. Lorentz que introdujeron los conceptos de flujo, divergencia, rotacional, etc.

La difusión del cálculo vectorial a lo largo del siglo XX, se ha debido al amplio campo de sus aplicaciones y al desarrollo del cálculo tensorial. 1.2.3 Propiedades inmediatas U espacio vectorial sobre el cuerpo k . u v U λ µ∀ , ∈ , ∀ , ∈ k , se verifica:

1. 0 0u⋅ = 2. 0 0λ ⋅ = 3. 0 0uλ λ⋅ = ⇒ = ó 0u = 4. ( ) ( )u u uλ λ λ− ⋅ = ⋅ − = − ⋅

5. 0

u u

u

λ µλ µ

⋅ = ⋅ ⇒ =≠

6. 0

u v u vλ λλ

⋅ = ⋅ ⇒ =≠

1.3 Sistema de vectores. Combinaciones lineales 1.3.1 Definiciones Definición. Sea U un espacio vectorial sobre el cuerpo k . Llamaremos sistema (o familia) de vectores de U a ( )1 2, ,..., p

pS u u u U= ∈ .

Observación: Notemos que algunos de esos iu pueden ser iguales, y lo expresaremos como una

−p tupla para indicar que el orden en que se colocan los vectores es esencial para trabajar con

Resumen Teórico

5

coordenadas de vectores; aunque muchas veces, por licencias del lenguaje, expresemos el sistema de

vectores S del modo siguiente { }1 2, ,..., pS u u u=

Definición. Se llama combinación lineal de los vectores de S a cualquier vector:

1 1 2 2 1 2p p pv u u u dondeλ λ λ λ λ λ= ⋅ + ⋅ + ....+ ⋅ , , ,..., ∈ .k

Se dice entonces que el vector v depende linealmente de los vectores del sistema.

También se dice que el vector v se puede expresar como combinación lineal de los vectores del sistema S , si existen p escalares 1 2 pλ λ λ, ,..., ∈ k , llamados coeficiente de la c.l., tales que:

1 1 2 2 p pv u u uλ λ λ= ⋅ + ⋅ + ....+ ⋅ 1.3.2 Consecuencias 1.- El vector nulo es combinación lineal de cualquier sistema. 2.- Todo vector es combinación lineal de sí mismo, y en general, de cualquier sistema que lo contiene. 3.- Si un vector u es c.l. de un sistema S, cuyos vectores son a su vez c.l. de otro sistema S’, entonces u es c.l de los vectores de S’.

1.4 Sistema libre y sistema ligado

El concepto de dependencia lineal tiene su origen geométrico en el estudio de los vectores libres con la misma dirección en el plano y los vectores coplanarios en el espacio. Sea U un espacio vectorial sobre el cuerpo k . 1.4.1 Definición de sistema ligado y de sistema libre Definición. Un sistema de vectores

( )1 2, ,..., pS u u u=

se dice ligado, o de vectores linealmente dependientes, si el vector 0 puede obtenerse mediante una combinación lineal de los elementos de S , en la que no todos sus escalares son nulos; esto es:

1 2p

pλ λ λ

∃ , , , ∈ k con algún 0iλ ≠ tal que 1 1 2 2 0p pu u uλ λ λ⋅ + ⋅ + ....+ ⋅ =

Capítulo 1. Espacio Vectorial

6

Definición. Un sistema de vectores ( )1 2, ,..., pS u u u= se dice libre, o de vectores

linealmente independientes, si no es ligado, esto es:

1 1 2 2 1 20 0p p pu u uλ λ λ λ λ λ⋅ + ⋅ + ....+ ⋅ = ⇒ = = = =

1.4.2 Propiedades de los sistemas libres y ligados

1. Si ( )0u S u≠ ⇒ = es libre.

2. Todo sistema que contenga al vector 0 , es ligado. 3. Si a un sistema ligado se le añade al menos un vector, el nuevo sistema es ligado. 4. Si S es un sistema libre entonces cualquier subsistema de S es libre. 5. La condición necesaria y suficiente para que un sistema sea ligado es que al menos uno de sus vectores sea combinación lineal del resto. 6. Si al añadir a un sistema libre S un vector u , se obtiene un sistema ligado, entonces u es combinación lineal única de los vectores de S .

Nota: Los conceptos de sistema libre o ligado se generalizan sin dificultad al caso no finito. Una familia cualquiera de vectores se dice ligada si algún subsistema finito lo es, y se dice libre, si no es ligada, es decir, si toda subfamilia finita es libre.

1.5 Subespacio vectorial 1.5.1 Definición de subespacio vectorial Definición. Un subconjunto H de un espacio vectorial U sobre un cuerpo k , se dice que es un subespacio vectorial de U cuando H es, con las mismas operaciones definidas en U restringidas a H , espacio vectorial sobre k . Teorema de caracterización. Sea U espacio vectorial sobre el cuerpo k , y H U H⊆ , ≠ ∅. , entonces,

H es subespacio vectorial de U

u v H u v H

u H u Hλ λ

∀ , ∈ : + ∈⇔ ∀ ∈ , ∀ ∈ : ⋅ ∈ k

Observación: Estas dos condiciones son equivalentes a:

u v H u v Hλ µ λ µ∀ , ∈ , ∀ , ∈ : ⋅ + ⋅ ∈k

Resumen Teórico

7

Nota: A los subespacios { }0 y U se les llama subespacios impropios de U , reservándose el término

de propios, para el resto de los posibles subespacios de U .

1.6 Clausura lineal. Sistemas equivalentes

1.6.1 Clausura lineal. Sistema generador Teorema. El conjunto de todas las combinaciones lineales del sistema

( )1 2, ,..., pS u u u= es un subespacio vectorial de U .

Definición. El subespacio anterior se representa por ( )L S o mediante < >S y se llama clausura o envoltura lineal del sistema S . También se dice que < >S está engendrado por el sistema S , o que éste es un sistema generador de < >S . Observación: Cuando < >=S U=1 2 pu ,u ,...,u se dice que S es un sistema generador del

espacio vectorial U . Y como S es un sistema generador de orden finito entonces se dice que el espacio vectorial U es de tipo finito.

Proposición. La 1 2, ,..., pS u u u< >= es el menor subespacio vectorial que contiene

al sistema ( )1 2, ,..., pu u u .

Nota: Los conceptos anteriores se pueden ampliar al caso de una familia o sistema ( )i i Iu

∈

cualquiera, finita o no. Parece natural comenzar por la siguiente definición: Se llama clausura lineal

de una familia ( )i i Iu

∈ al menor subespacio vectorial que la contiene. Se puede probar que dicha

clausura es el conjunto de las combinaciones lineales de cada subfamilia finita de ( )i i Iu

∈

1.6.2 Sistemas equivalentes Definición. Dos sistemas de vectores S y 'S de U , se dicen equivalentes, si engendran el mismo subespacio vectorial. Teorema. Dos sistemas de vectores S y 'S de U , son equivalentes si y sólo si

'S S⊆< > y 'S S⊆< > . Nota: Las principales formas para obtener un sistema equivalente a uno dado son:

• Cambio en el orden de los vectores del sistema. • Multiplicación de un vector del sistema por un escalar distinto de 0. • Añadir al sistema, nuevos vectores combinación lineal de los existentes. • Sumar a un vector del sistema, otro del mismo multiplicado por un escalar.

Capítulo 1. Espacio Vectorial

8

1.7 Operaciones con subespacios vectoriales

1.7.1 Suma e intersección de subespacios vectoriales

Sea U un espacio vectorial sobre el cuerpo k . Sean 1H y 2H subespacios vectoriales de U . Definición. Se define la intersección de los subespacios 1H y 2H del modo siguiente:

1 2 1 2/ H H u U u H y u H

∩ = ∈ ∈ ∈

Proposición. La intersección de subespacios vectoriales de U , es un subespacio vectorial de U . Siendo el subespacio vectorial más amplio, contenido en ellos. Nota: En el caso de que { }1 2 0H H∩ = , los subespacios se dicen disjuntos.

Observación: Es importante resaltar, que en general la unión de dos subespacios vectoriales, no es subespacio vectorial de U . Para ello bastará considerar en 2 ( ) los subespacios

{ }1 ( 0) /H x x= , ∈ y { }2 (0 ) /H y y= , ∈ . Definición. Se define la suma de los subespacios 1H y 2H del modo siguiente:

1 2 1 2 1 1 2 2/ con H H u U u u u u H y u H

+ = ∈ = + , ∈ ∈

Proposición. La suma de un número finito de subespacios vectoriales de U , es un subespacio vectorial de U . Siendo el subespacio vectorial menos amplio que los contiene. 1.7.2 Suma directa de dos subespacios vectoriales Definición. Dados dos subespacios vectoriales de U , 1H y 2H , se dice que la suma

1 2H H+ es directa, y se nota 1 2H H⊕ , si todo vector de dicha suma puede expresarse de manera única como suma de vectores de los subespacios sumandos. En este caso se dice que los subespacios sumandos son independientes. Teorema. (Caracterización de suma directa de dos subespacios vectoriales) La suma

1 2H H+ es directa si y sólo si, { }1 2 0H H∩ =

Definición. Dos subespacios 1H y 2H de U se dicen suplementarios (respecto de U ) si 1 2U H H= ⊕ .

1.8 Bases y dimensión de un espacio vectorial de tipo finito

En el supuesto de ser el sistema ( )1 2, ,..., nS u u u= generador del espacio vectorial, dicho

sistema no será único, sino que podrán encontrarse, en general otros sistemas generadores de U . De entre los distintos sistemas generadores de un espacio de tipo

Resumen Teórico

9

finito son particularmente útiles aquellos que están formados por vectores linealmente independientes. 1.8.1 Definición de base de un e.v. de tipo finito. Caracterización Definición. Se llama base de un espacio vectorial U a cualquier sistema generador de U que sea además libre. Teorema. (Caracterización de una base en un espacio vectorial de tipo finito) Un sistema de vectores ( )1 2, ,..., nS u u u= es una base de U si, y sólo si cualquier vector

u U∈ puede expresarse de forma única como combinación lineal de los vectores del sistema. Definición. Supuesto que el espacio vectorial U admite una base ( )1 2, ,..., nB u u u= , se

llaman coordenadas de un vector x U∈ , respecto de la base B , a los únicos escalares ( )1

nnx x,..., ∈ k para los que se verifica 1 1 n nx x u x u= + ...+ .

Observación 1: Los vectores 1 1, , n nx u x u... se llaman componentes del vector x respecto a la base B . Observación 2: La base más sencilla del espacio vectorial ( )n es :

( )n 1 2 nC = e (1,0,0,...,0),e (0,1,0,...,0),...,e (0,0,0,...,1) .

Pues cualquier vector de ( )n , ( )1, , nu u u= ... tiene por coordenadas en esa base ( )1, , nu u... . A

esta base se le llama base canónica de ( )n

Teorema. (Teorema de existencia de bases) Todo espacio vectorial { }0U ≠ de tipo

finito, posee al menos una base. Teorema. (Teorema de la dimensión) En un espacio vectorial { }0U ≠ de tipo finito

todas las bases tienen el mismo número de vectores. De los dos teoremas anteriores, se deduce que a todo espacio vectorial { }0U ≠ de tipo

finito, se le puede asociar de forma única el número de vectores de cualquier base, teniendo sentido la definición siguiente. Definición. Se llama dimensión de un espacio vectorial { }0U ≠ de tipo finito al

cardinal de cualquier base del espacio. Si la dimensión de U es n, el espacio vectorial se denotará por nU .

Observación 3: El espacio vectorial { }0U = de tipo finito, no tiene ninguna base, se conviene

en decir que tiene dimensión cero.

1.8.2 Propiedades relativas a las bases y dimensión

1. Si nU es un espacio vectorial y ( )1 2, ,..., , pu u u p n< es un sistema libre de U

Capítulo 1. Espacio Vectorial

10

siempre es posible encontrar unos vectores 1,...,p nu u U+ ∈ tales que el sistema

( )1 2 1, ,..., ,...,p p nu u u u u+, sea una base de U .

2. Si U tiene dimensión n , todo sistema de más de n vectores de U es linealmente dependiente.

3. Si un espacio vectorial U es de dimensión n , todo sistema generador de U tiene, al menos, n vectores.

4. Si H es un subespacio propio del espacio vectorial de tipo finito U , entonces dim( ) dim( )H U< .

5. Si dim( )U n= , un sistema ( )1 2, ,..., nB u u u= es una base de U si y sólo si, se

cumple una cualquiera de las condiciones: i) B es un sistema libre. ii) B es un sistema generador.

Observación: Si U es un espacio vectorial de tipo finito, todos sus subespacios vectoriales son también de tipo finito, y en consecuencia, tiene perfecto sentido hablar de bases y dimensiones de tales subespacios. Teorema: (Fórmula de Grassmann) Si 1H y 2H subespacios vectoriales de U , entonces: 1 2 1 2 1 2dim( ) dim dim dim( )H H H H H H+ = + − ∩ en particular: 1 2 1 2dim( ) dim dimH H H H⊕ = +

1.8.3 Cambio de base

Sea U un espacio vectorial sobre el cuerpo k , de dimensión n . Todo vector x U∈ queda unívocamente determinado si se conocen sus coordenadas respecto a una cierta base de U . Ahora bien, si se elige una base distinta en U las coordenadas del vector x respecto a la nueva base serán diferentes de las anteriores. Como quiera que, con relativa frecuencia, es necesario realizar cambios de base en los espacios vectoriales, surge la necesidad de analizar qué relación guardan las coordenadas de un vector respecto de una y otra base; este problema podrá, evidentemente, resolverse cuando sea conocida la interdependencia entre las dos bases. Sean ( )1 2, ,..., nB u u u= y ( )1 2' ', ' ,..., 'nB u u u= bases de U tales que:

1' con 1 2

n

j ij ii

u a u j n=

= = , ,...,∑

Sea x U∈ con coordenadas 1( ),..., nx x en la base B y 1( ' ' )nx x,..., en la base 'B . Entonces:

11 11 12 1

221 222 2

1 2

′ ′ ′

=

n

n

n nnn n n

a a ax xa a ax x

a a ax x

Resumen Teórico

11

o bien de manera más compacta: 'X PX= donde:

• X matriz columna de las coordenadas del vector en la base B • 'X matriz columna de las coordenadas del vector en la base 'B • P matriz cuadrada de orden n , que llamaremos de cambio de base, y que tiene

por columnas las coordenadas de los vectores de la base 'B respecto de la base B .

Si el cambio de base es tal que la relación que obtenemos es 'X QX= , entonces 1−= .Q P La matriz P se puede expresar también de la forma [ ]' :B B indicando el

sentido del cambio de base (de 'B a B ). Observación: En el caso de ( )nk k cuando el cambio de base es hacia la base canónica entonces la matriz de cambio de base tiene por columnas las coordenadas de los vectores de la base B’ respecto de la base canónica.

EJERCICIOS RESUELTOS

1. Estudie si 2 tiene estructura de espacio vectorial sobre con las siguientes operaciones, analizando sólo los axiomas relativos a la ley externa:

a) 1 1 2 2 1 2 1 2 1 1 1 1(x , y ) + (x , y ) = (x + x , y + y ) , λ(x , y ) = (λy ,λx ) , ∈λ . b) 1 1 2 2 1 2 1 2 1 1 1 1(x , y ) + (x , y ) = (x + x , y + y ) , λ(x , y ) = (λx , y ) , ∈λ . c) 1 1 2 2 1 2 1 2 1 1 1(x , y ) + (x , y ) = (x + x , y + y ) , λ(x , y ) = (λx ,λ) , ∈λ . ,

SOLUCIÓN: En primer lugar veamos que 2 con la suma definida, tiene estructura de grupo abeliano o conmutativo: Para ello debemos comprobar que 2( ),+ cumple las propiedades siguientes: i) Ley de composición interna: Si 1 1( )x y, ∈ 2 y 2 2( )x y, ∈ 2 , entonces 1 2 1 2( )x x y y+ , + ∈ 2 pues la suma de números reales es otro número real. ii) Propiedad asociativa:

1 1 2 2 3 3 1 1 2 3 2 3 1 2 3 1 2 3

1 2 3 1 2 3 1 2 1 2 3 3 1 1 2 2 3 3

( ) [( ) ( )] ( ) [ ] ( ( ) ( ))(( ) ( ) ) ( ) ( ) [( ) ( )] ( )

x y x y x y x y x x y y x x x y y yx x x y y y x x y y x y x y x y x y

, + , + , = , + + , + = + + , + + == + + , + + = + , + + , = , + , + ,

Capítulo 1. Espacio Vectorial

12

iii) Existencia de elemento neutro:

∀ 2( )x y, ∈ ∃! 2 0( ) ( ) ( ) ( )

0x a x a

a b x y a b x yy b y b

+ = = , ∈ : , + , = , ⇒ ⇒ + = =

.

Es decir que el par (0,0) es el elemento neutro. iv) Existencia de elemento simétrico para cada elemento de 2 :

∀ 2( )x y, ∈ ∃! 2 0( ) ( ) ( ) (0 0)

0x a a x

a b x y a by b b y

+ = = − , ∈ : , + , = , ⇒ ⇒ + = = −

.

Con lo que el elemento simétrico de ( ),x y es ( )− ,−x y . v) Propiedad conmutativa:

( ) ( )1 1 2 2 1 2 1 2 2 1 2 1 2 2 1 1( ) ( ) , , ( ) ( )x y x y x x y y x x y y x y x y, + , = + + = + + = , + , . En segundo lugar sabemos que ( ), ,+ × con las operaciones suma y producto de números reales tiene estructura de cuerpo conmutativo. En tercer lugar veamos si 2( ),+ tiene estructura de espacio vectorial sobre con la ley externa definida en cada uno de los casos: a) La ley externa viene dada por: 1 1 1 1( ) ( )x y y xλ λ λ λ⋅ , = , , ∈ . NOTA 1: Se utilizará el punto para simbolizar el producto de la ley externa . Para el producto entre reales deberíamos utilizar el aspa, pero para simplificar las expresiones no pondremos ningún símbolo cuando multipliquemos estos últimos. Comprobemos si verifica los 4 axiomas: i) Distributividad respecto de la suma de vectores: ∀ λ ∈ , ∀ 2

1 1 2 2( ) ( )u x y v x y= , , = , ∈ , se verifica que ( )u v u vλ λ λ⋅ + = ⋅ + ⋅ .

1 1 2 2 1 2 1 2

1 2 1 2 1 2 1 2

1 1 2 2 1 1 2 2

( ) [( ) ( )] ( )( ( ) ( )) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

u v x y x y x x y yy y x x y y x x

y x y x x y x y u v

λ λ λλ λ λ λ λ λλ λ λ λ λ λ λ λ

⋅ + = ⋅ , + , = ⋅ + , + == + , + = + , + =

= , + , = ⋅ , + ⋅ , = ⋅ + ⋅ .

ii) Distributividad respecto de la suma de escalares:

Ejercicios resueltos

13

∀ λ µ, ∈ , ∀ 2( )u x y= , ∈ , se verifica que ( ) u u uλ µ λ µ+ ⋅ = ⋅ + ⋅ . En efecto:

( ) ( ) ( , ) (( ) , ( ) ) ( , )

( , ) ( , ) ( , ) ( , )

u x y y x y y x x

y x y x x y x y u u

λ µ λ µ λ µ λ µ λ µ λ µλ λ µ µ λ µ λ µ+ ⋅ = + ⋅ = + + = + + =

= + = ⋅ + ⋅ = ⋅ + ⋅

iii) Asociatividad de escalares: ∀ λ µ, ∈ , ∀ 2( )u x y= , ∈ , se verifica que ( ) ( )u uλ µ λµ⋅ ⋅ = ⋅ .

( )( ) ( ( , )) ( , ) ( , )) ( ) ( , )u x y y x x y y x uλ µ λ µ λ µ µ λµ λµ λµ λ µ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ = ⋅ = = ⋅ ≠ ⋅ Por lo tanto falla este axioma. Al fallar un axioma no hace falta seguir comprobando el resto pues ya no es un espacio vectorial, no obstante comprobemos que también falla el axioma 4. iv) Invarianza de vectores multiplicados por el neutro de escalares para la 2ª operación del cuerpo de escalares:

∀ 2( , )u x y= ∈ : 1 u u⋅ = .

Es obvio que no se cumple pues : 1 1 ( , ) ( , )u x y y x u⋅ = ⋅ = ≠ . En definitiva 2 no es un espacio vectorial. sobre b) La ley externa, en esta ocasión, es: 1 1 1 1( ) ( )x y x yλ λ λ, = , , ∈ . Estudiemos los axiomas: i) Distributividad respecto de la suma de vectores: ∀ λ ∈ , ∀ 2

1 1 2 2( ) ( )u x y v x y= , , = , ∈ , se verifica que ( )u v u vλ λ λ⋅ + = ⋅ + ⋅ En efecto:

1 1 2 2 1 2 1 2

1 2 1 2 1 2 1 2

1 1 2 2 1 1 2 2

( ) [( ) ( )] ( )( ( ) ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

u v x y x y x x y yx x y y x x y y

x y x y x y x y u v

λ λ λλ λ λλ λ λ λ λ λ

⋅ + = ⋅ , + , = ⋅ + , + == + , + = + , + =

= , + , = ⋅ , + ⋅ , = ⋅ + ⋅ .

Capítulo 1. Espacio Vectorial

14

ii) Distributividad respecto de la suma de escalares: ∀ λ µ, ∈ , ∀ 2( )u x y= , ∈ , se verifica que ( ) u u uλ µ λ µ+ ⋅ = ⋅ + ⋅ .

( ) ( ) ( , ) (( ) , ) ( , )

( , ) ( , ) ( , ) ( , ) ( , 2 )

u x y x y x x y

u u x y x y x y x y x x y

λ µ λ µ λ µ λ µλ µ λ µ λ µ λ µ

+ ⋅ = + ⋅ = + = +

⋅ + ⋅ = ⋅ + ⋅ = + = +

de donde:

( ) u u uλ µ λ µ+ ⋅ ≠ ⋅ + ⋅ luego no se cumple y por tanto 2 no es un espacio vectorial sobre NOTA 2: Puede comprobar el lector que los axiomas (iii) e (iv) se cumplen. c) Sea ahora la siguiente ley externa:

1 1 1( ) ( )x y xλ λ λ λ, = , , ∈ . Comprobemos si se cumplen los axiomas: i) Distributividad respecto de la suma de vectores: ∀ λ ∈ , ∀ 2

1 1 2 2( ) ( )u x y v x y= , , = , ∈ , se verifica que ( )u v u vλ λ λ⋅ + = ⋅ + ⋅ .

1 1 2 2 1 2 1 2 1 2 1 2

1 1 2 2 1 2 1 2

( ) [( ) ( )] ( ) ( ( ) ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( 2 )

u v x y x y x x y y x x x x

u v x y x y x x x x

λ λ λ λ λ λ λ λλ λ λ λ λ λ λ λ λ λ λ

⋅ + = ⋅ , + , = ⋅ + , + = + , = + ,

⋅ + ⋅ = ⋅ , + ⋅ , = , + , = + ,

con lo que:

( )u v u vλ λ λ⋅ + ≠ ⋅ + ⋅ por tanto 2 no es un espacio vectorial. sobre NOTA 3: Puede comprobar el lector que el axioma (ii) se cumple, mientras que el (iii) y el (iv) fallan.

≈≈≈≈≈≈≈ 2. Analice si el conjunto de los números reales tiene estructura de espacio vectorial sobre el cuerpo de los racionales. SOLUCIÓN:

El conjunto de los números reales, , tiene estructura de cuerpo conmutativo para las operaciones suma y producto de números reales y por lo tanto tiene estructura