fundamentos de geotecnia domcke

UNIVERSIDAD DE SANTIAGO DE CHILE FACULTAD DE INGENIERÍA

DEPARTAMENTO DE INGENIERÍA EN MINAS

AYUDANTÍAS FUNDAMENTOS DE GEOTECNIA

PREPARADO POR: MAURICIO DOMCKE G.

GEOMECÁNICA & GEOTECNIA APLICADA A LA MINERÍA SEGUNDO SEMESTRE 2006 FUNDAMENTOS DE GEOTECNIA PREPARADO POR: MAURICIO DOMCKE

TABLA DE CONTENIDOS CAPÍTULO 1: ESFUERZOS 2D 5 1 CONVENCIÓN DE SIGNOS 5 2 ESFUERZOS EN UN PLANO 5 3 ESFUERZOS PRINCIPALES 6 EJEMPLO DE APLICACIÓN 1 6 EJEMPLO DE APLICACIÓN 1 7

CAPÍTULO 2: ESFUERZOS 3D 14 1 ANÁLISIS DE ESFUERZOS 14 1.1 MATRIZ DE COSENOS DIRECTORES L 15 1.2 INVARIANTES DE ESFUERZOS 16 2 ESFUERZOS PRINCIPALES 16 2.1 VECTOR DE COSENOS DIRECTORES ORTONORMAL 17 EJEMPLO DE APLICACIÓN 1 18

CAPÍTULO 3: DEFORMACIONES 23 1 ANÁLISIS DE DEFORMACIONES 23 1.1 DEFORMACIÓN LONGITUDINAL 23 1.2 DEFORMACIÓN DE CORTE 23 2 DEFORMACIONES EN UN PLANO 24 2.1 DEFORMACIÓN LONGITUDINAL 24 2.2 DEFORMACIÓN DE CORTE γθ 26 3 DEFORMACIONES PRINCIPALES 26 3.1 DEFORMACIONES PRINCIPALES LONGITUDINALES 26 3.2 DEFORMACIONES PRINCIPALES DE CORTE 27 4 CIRCULO DE MOHR DE DEFORMACIONES 28 5 DEFORMACIONES TRIDIMENSIONALES, MÓDULO DE DILATACIÓN VOLUMÉTRICA

28 6 ECUACIONES DE COMPATIBILIDAD 29 EJEMPLO DE APLICACIÓN 1 30 EJEMPLO DE APLICACIÓN 2 34 EJEMPLO DE APLICACIÓN 3 35

CAPÍTULO 4: TEORÍA DE ELASTICIDAD 36 1 GENERALIDADES 36 2 RELACIONES ESFUERZO UNIAXIAL – DEFORMACIÓN 36 2.1 MÓDULO DE YOUNG 36 2.2 RAZÓN DE POISSON 37

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3 RELACIONES ESFUERZO TRIAXIAL – DEFORMACIÓN 37 3.1 LEY DE HOOKE 37 3.2 MÓDULO DE RÍGIDEZ G 38 3.3 CAMBIO UNITARIO DE VOLUMEN 38 3.4 MÓDULO DE COMPRESIBILIDAD K 38 3.5 CONSTANTE DE LAMMÉ 38 EJEMPLO DE APLICACIÓN 1 39 EJEMPLO DE APLICACIÓN 2 41

CAPÍTULO 5: SOLUCIONES CLÁSICAS EN ELASTICIDAD 42 1 SOLUCIÓN ELÁSTICA DE KIRSCH 42 2 CILINDRO DE PARED GRUESA 44 EJEMPLO DE APLICACIÓN 1 45 EJEMPLO DE APLICACIÓN 2 47 EJEMPLO DE APLICACIÓN 3 50

CAPÍTULO 6: CRITERIOS DE FALLA 52

1 APLICABILIDAD CRITERIOS DE FALLA 52 2 ROCA INTACTA 52 2.1 MOHR COULOMB 52 2.2 HOEK & BROWN 55 3 RESISTENCIA AL CORTE DE ESTRUCTURAS 56 3.1 ESTRUCTURAS PLANAS 56 3.2 ESTRUCTURAS RUGOSAS 57 4 MACIZO ROCOSO 58 4.1 HOEK & BROWN (2002) 58 4.2 MOHR - COULOMB 60 EJEMPLO DE APLICACIÓN 1 62 ROCA INTACTA 62 MACIZO ROCOSO 64 EJEMPLO DE APLICACIÓN 2 65

CAPÍTULO 7: APLICACIONES CRITERIOS DE FALLA 67 1 GENERALIDADES 67 2 EFECTOS DE PLANOS DE DEBILIDAD SOBRE DISTRIBUCIONES ELÁSTICAS DE

ESFUERZOS 67 3 DELINACIÓN DE ZONAS DE FALLA EN ROCA 68 EJEMPLO DE APLICACIÓN 1 69 EJEMPLO DE APLICACIÓN 2 71

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CAPÍTULO 8: CLASIFICACIÓN DE MACIZOS ROCOSOS 75 1 GENERALIDADES 75 2 ALGUNOS FACTORES DE ESCALA 75 3 RQD 75 4 SISTEMA DE CLASIFICACIÓN RMR BIENIAWSKI (1989) 76 5 SISTEMA DE CLASIFICACIÓN RMR BIENIAWSKI (1976) 77 6 GEOLOGICAL STRENGTH INDEX (GSI) 77 7 SISTEMA DE CLASIFICACIÓN RMR LAUBSCHER (1996) 78 8 INDICE DE CALIDAD TUNELERA Q BARTON (1974) 81 EJEMPLO DE APLICACIÓN 1 85

REFERENCIAS BILIOGRÁFICAS 87 CAPÍTULO 1 87 CAPÍTULO 2 87 CAPÍTULO 3 87 CAPÍTULO 4 87 CAPÍTULO 5 87 CAPÍTULO 6 87 CAPÍTULO 7 88 CAPÍTULO 8 88

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CAPÍTULO 1: ESFUERZOS 2D

Ecuación 1

1 CONVENCIÓN DE SIGNOS

• Esfuerzos normales : Compresión positiva Tracción negativa

• Esfuerzos de corte : Antihorario positivos Horario negativos

Para realizar cálculo analítico (fórmulas), los valores de τ cambian su signo, es decir, horario positivos y antihorario negativos.

2 ESFUERZOS EN UN PLANO

Conocidos σx, σy y τxy, se puede determinar la magnitud de los esfuerzos normales y de corte que actúan sobre un plano que tiene una orientación, medida desde la horizontal y positiva en sentido antihorario, de (90 + θ)º. Se debe consignar, que la orientación del plano, es distinta a la orientación en la que actúa el esfuerzo, claramente, el desfase son 90º, ya que el esfuerzo actúa en forma normal.

)2()2cos(22

θτθσσσσσθ xysenyxyx+

−+

+=

Ecuación 2

)2(2cos( θ2

) σσθττθ senxy=yx −

−

Figura 1

Ecuación 4

( ) )2()2cos(22

90 θτθσ σ σ σθσ xysenyxyx−

−−

+=+

Ecuación 3

- 5 -


3 ESFUERZOS PRINCIPALES Los esfuerzos principales representan una condición particular del estado tensional al cual está sometido un cuerpo, esto es, cuando los esfuerzos de corte son nulos. Despejando de Ecuación 4 el valor de θ, las orientaciones θ1 y θ3 en las que actúan los esfuerzos principales mayor y menor respectivamente, son: Por último, las magnitudes de los esfuerzos principales son:

Ecuación 5

Ecuación 6

- 6 -


EJEMPLO DE APLICACIÓN 1 Considerar para este ejemplo un cuerpo con forma similar a un rombo, sometido a un campo de esfuerzos tal como se muestra en Figura 2. Todos los valores de esfuerzos tienen como unidad MPa. Se pide encontrar, mediante Circulo de Mohr (CM): 1. Esfuerzos actuantes sobre los ejes X

e Y. 2. Esfuerzos principales y sus

orientaciones. 3. Esfuerzos para un plano inclinado 40º

desde la horizontal. 4. Realizar puntos 1, 2 y 3 mediante un

estudio analítico. En la figura se observan los pares ordenados de esfuerzos: (8,2) y (4,-2).

50º

8

42

2

Figura 2

Paso 1 Se grafican los puntos antes mencionados

Figura 3

- 7 -


Paso 2 Se traza diámetro a partir de puntos anteriores.

Paso 3 Se dibuja CM con el diámetro trazado. Los esfuerzos normal y de corte (8,2) actúan en plano inclinado en (50º + 90º). Se dibuja línea con esta orientación desde punto (8,2) hasta la intercepción con CM. Se puede realizar lo mismo desde punto (4,-2), y trazando una línea con orientación ((50º+90º)+90º). La intercepción se denomina polo u Op.

- 8 -

Figura 4

Figura 5


Paso 4 A partir del polo, se puede determinar la orientación de los esfuerzos actuantes en cualquier plano. σx, actúa en un plano vertical y σy lo hace en uno horizontal, por lo tanto si se trazan estas líneas desde Op, se pueden obtener estos valores, leyendo directamente.

Figura 6

Respuesta 1 En CM se obtienen los valores:

Tabla 1 σx σy τxy τyx

7,62 4,38 -2,31 2,31

- 9 -


Respuesta 2 La magnitud de los esfuerzos principales, se obtiene de la condición de inexistencia de esfuerzos de corte. Por lo tanto, desde el polo se dibujan las líneas hacia los puntos dentro de CM que cumplen esta condición, denominados σ1 y σ3, con σ1>σ3.

Figura 7 Los valores obtenidos son:

Tabla 2 σ1 8.83 σ3 3.17 θ1 27º θ3 117º

Se puede apreciar que la suma de los esfuerzos ortogonales es siempre igual a 12 (σ1 + σ3; σx + σy; etc.).

- 10 -


Respuesta 3 De la misma forma que se obtuvieron los esfuerzos en los planos horizontal y vertical, se realiza para un plano inclinado 40º.

Figura 8

os valores de los esfuerzos normal y de corte, son leídos directamente de las

os resultados son:

Tabla 3 σ

Lproyecciones de la intercepción de la línea trazada desde el polo, con el círculo. L

θ 3,44τθ -1,20

- 11 -


Respuesta 4: ”Una analogía analítica” Respuesta 1: Se requiere encontrar los valores de σx, σy y τxy, a partir del estado tensional para el ángulo θ. Para realizar este cálculo, se ocupan Ecuaciones 2, 3 y 4. Por simplicidad, a la semisuma de los esfuerzos en los ejes x e y, se le denominará S, y a la semidiferencia, D.

σθ = σ50º = 8 = S + D*cos(2*50º) + τxy*sen(2*50º) σθ+90º = σ140º = 4 = S - D*cos(2*50º) - τxy*sen(2*50º)

τ50º = -2 = τxy*cos(2*50º) - D*sen(2*50) Lo que puede ser resuelto para S, D y τxy, de la siguiente forma.

8 1 cos (100º) sen (100º) S 4 = 1 -cos (100º) -sen (100º) D -2 0 -sen (100º) cos (100º) τxy

Arrojando los siguientes resultados

S 6

D 1,622319151

τxy

=

2,316911861

Obteniendo así:

Tabla 4 σx 7,62231915

σy 4,37768085

τxy 2,31691186

Nota: Se puede observar que los valores obtenidos para σx, σy y τxy son iguales en

magnitud que los que resultan tras la solución mediante CM. Por otro lado, para τxy el signo es distinto, esto se debe a que CM considera la dirección antihoraria positiva y la solución analítica, la horaria.

- 12 -


Respuesta 2: Los esfuerzos principales y sus orientaciones son obtenidas mediante Ecuaciones 5 y 6. Los resultados obtenidos concuerdan con la solución de Mohr, y estos son:

Tabla 5 σ1 8,82842712

σ3 3,17157288

δ 55,0º

θ1 27,5º

θ3 117,5º

Respuesta 3: Para un plano inclinado 40º, los esfuerzos actúan en el ángulo que se muestra en Figura 9, es decir 130º ó -50º. La elección de cualquiera de los dos resulta indiferente, ya que lo que se está evaluando, son funciones trigonométricas. De esta forma, se tiene que:

Tabla 6 INPUT OUTPUT

σx σ θ y τxy σθ τθ

7,62 4,38 2 130 3,43 1,20,327,62 4,38 2,32 -50 3,43 1,20

uevamente, los valores son similares en N

magnitud a los obtenidos mediante CM, pero con signo cambiado para el esfuerzo de corte.

Figura 9

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CAPÍTULO 2: ESFUERZOS 3D

1 ANÁLISIS DE ESFUERZOS En tres dimensiones, el estado tensional en un punto, está representado por el tensor de esfuerzos σxyz.

σx τxy τxz

σxyz = τyx σy τyz

τzx τzy σzEcuación 1

Conocido el tensor de esfuerzos, se puede determinar la magnitud de los esfuerzos en un plano que tiene un eje normal a este, x’ (Figura 1).

σx' τx'y' = Lx' * σxyz * LT

τx'z' Ecuación 2

Con: Lx’ : Vector de cosenos directores para el

plano normal a x’. σxyz : Tensor de esfuerzos LT : Matriz de cosenos directores

transpuesta. Figura 1 En donde:

Lx' = lx', mx', nx' Ecuación 3

Como se aprecia, se puede conocer el estado tensional para cualquier plano, a partir del tensor de esfuerzos en los ejes coordenados. Sin embargo, existen ocasiones en que el estado tensional está asignado en términos de la magnitud de los esfuerzos principales, y la orientación que estos tienen. En estas ocasiones, el tensor de esfuerzos se calcula de la siguiente forma:

Ecuación 4

Y a partir del tensor de esfuerzos, obtener la magnitud de los esfuerzos en cualquier otra orientación, mediante la Ecuación:

Ecuación 5

- 14 -


1.1 MATRIZ DE COSENOS DIRECTORES L

lx mx nx L = ly my ny lz mz nz

Ecuación 6 Con:

Ecuación 7

Donde: β : Proyección (º) del vector en el plano XY (EN, respectivamente), medido en

sentido antihorario desde el este (X). δ : Inclinación (º) que tiene el vector, respecto del plano XY. Positiva si la

inclinación es sobre la horizontal. Observación: Dos vectores que tienen cosenos directores opuestos (inverso aditivo) representan exactamente el mismo estado tensional. Por ejemplo: Vector Magnitud (Mpa) β (º) δ (º) l m n

1 20 45,000 5,000 0,704416 0,704416 0,087156 2 20 -135,000 -5,000 -0,704416 -0,704416 -0,087156

Los vectores esfuerzo deben ser ortonormales, es decir, unitarios (Ecuación 8) y ortogonales (Ecuaciones 9, 10 y 11). Vector unitario:

Ecuación 8

Vectores ortogonales:

l1*l2 + m1*m2 + n1*n2 = 0 Ecuación 9

l2*l3 + m2*m3 + n2*n3 = 0

Ecuación 10

l1*l3 + m1*m3 + n1*n3 = 0 Ecuación 11

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1.2 INVARIANTES DE ESFUERZOS Son valores que no dependen de los ejes a los que se les está relacionando, y por lo tanto, son útiles al comprobar que el cambio de coordenadas se ha realizado correctamente. Son tres, denominados I1, I2 e I3, y sus valores corresponden a:

Ecuación 12

2 ESFUERZOS PRINCIPALES Si se conoce el estado tensional para la triada x,y,z, es posible demostrar que si el esfuerzo principal de magnitud σ∗ actúa sobre un plano cuyos cosenos directores son l*, m* y n*; debe cumplirse que:

Ecuación 13

Resolviendo el polinomio cúbico para σ∗, se obtienen los valores, en magnitud, de los tres esfuerzos principales (σ1 > σ2 > σ3). Para obtener las orientaciones de los esfuerzos principales, se deben cumplir las siguientes condiciones:

• El vector de cosenos directores debe ser unitario: • Los planos sobre los cuales actúan los esfuerzos principales deben ser

ortogonales.

- 16 -


2.1 VECTOR DE COSENOS DIRECTORES ORTONORMAL Se definen los siguientes determinantes:

σy – σ* τyzA = τzy σz - σ*

Ecuación 14

τyx τyzB = − τzx σz - σ*

Ecuación 15

τyx σy – σ*

C = τzx τzy

Ecuación 16 Para los cuales se cumple que:

Ecuación 17

Luego, para cada esfuerzo principal, los valores de l*, m* y n* son obtenidos según las siguientes relaciones:

Ecuación 18

Ecuación 19

Ecuación 20

Por último, los valores de β y δ para cada uno de los esfuerzos principales, resulta de resolver Ecuación 7. Recordando la imparidad de las funciones seno y tangente.

Ecuación 21

Ecuación 22

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EJEMPLO DE APLICACIÓN 1 Se dispone de la siguiente medición de esfuerzos:

Tabla 1 Esfuerzos Magnitud (MPa) Azimut (º) Inclinación (º)

σ1 20 140 0 σ2 10 50 5 σ3 5 230 85

Se proyecta realizar una excavación minera con rumbo N40ºW, con una pendiente del 2%. Se pide determinar:

1. Obtener el tensor de esfuerzos para los ejes coordenados. 2. Calcular invariantes del tensor de esfuerzos y de la matriz de esfuerzos

principales. 3. Obtenido el tensor de esfuerzos, realizar el cálculo de forma inversa, de

manera de validar los valores de esfuerzos principales. 4. Obtener orientación y magnitud de esfuerzos principales en el plano que

contiene la sección transversal de la excavación. Desarrollo:

1. Tensor de esfuerzos

El primer paso, consiste en obtener los cosenos direccionales para los vectores σ1, σ2 y σ3. Figura 2 muestra una vista en planta de los vectores que definen a los esfuerzos principales. Tal vista permite identificar claramente el valor de β, mostrando para cada vector el azimut, y el ángulo desde donde se mide β. Por otro lado, la inclinación δ es un dato directo.

Figura 2

- 18 -


De esta forma:

Tabla 2 Esfuerzo β (º) δ (º)

σ1 -50 0 σ2 40 5 σ3 -140 85

Resultando la matriz L de cosenos directores igual a:

0,642788 -0,766044 0,000000 L 0,763129 0,640342 0,087156 -0,066765 -0,056023 0,996195

Se debe cumplir, para cada vector de cosenos directores, la ortonormalidad.

Vectores unitarios l2 + m2 + n2

Lx 1,000000 Ly 1,000000 Lz 1,000000

Vectores ortogonales L●L Lx┴Ly 0,000000 Ly┴Lz 0,000000 Lz┴Lx 0,000000

Y la matriz de esfuerzos principales:

20 0 0 σ123 0 10 0

0 0 5 Finalmente, el tensor de esfuerzos resulta:

14,109471 -4,942741 0,332556 σxyz -4,942741 15,852548 0,279047

0,332556 0,279047 5,037981

2. Invariantes

Tabla 3 Esfuerzos principales Tensor de esfuerzos

I1 35,00 35,00 I2 350,00 350,00 I3 1.000,00 1.000,00

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3. Esfuerzos principales

Resolviendo Ecuación 13, La magnitud de los valores de σ* es:

Tabla 4 σ1 (MPa) 20σ2 (MPa) 10σ3 (MPa) 5

Comparando con la medición de esfuerzos inicial, se comprueba que los datos son correctos: Para obtener la dirección de los esfuerzos principales, se generan los determinantes A, B y C para cada esfuerzo principal, obteniendo:

Tabla 5 σ1 σ2 σ3

A 61,98 -29,12 0,33 B -73,86 -24,43 0,28 C 0,00 -3,33 -4,99

También se deben determinar los cosenos directores l, m y n, para cada esfuerzo principal:

Tabla 6 σ1 σ2 σ3

l 0,642788 -0,763129 0,066765 m -0,766044 -0,640342 0,056023 n 0,000000 -0,087156 -0,996195

Comparando estos valores con la matriz de cosenos directores obtenida inicialmente, se aprecia que para s1 y s2, el signo es opuesto. Se debe recordar observación realizada: Observación: Dos vectores que tienen cosenos directores opuestos (inverso aditivo) representan exactamente el mismo estado tensional. Verificando la condición de Ecuación 17:

σ1 σ2 σ3

l/A 0,01037 0,02621 0,19970 m/B 0,01037 0,02621 0,19970 n/C #¡DIV/0! 0,02621 0,19970

Resultando para cada esfuerzo:

Esfuerzo β (º) δ (º)σ1 -50 0 σ2 40 -5 σ3 40 -85

Se observan diferencias con respecto a los valores inicialmente otorgados (Tabla 2), pero dentro del espacio, estas direcciones representan el mismo estado tensional.

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Esfuerzos principales secundarios en la sección transversal de la excavación

Se debe obtener el tensor de esfuerzos para la sección en la cual se realizará la excavación. Se hace coincidir el rumbo de ésta (N40ºW) con el eje Y’, por lo que el eje X’ también muestra una rotación respecto del este. Por otro lado, debido a que tiene una inclinación positiva (2% pendiente = 1,14º), el eje Z’ presenta una proyección sobre el plano XY, de forma directamente opuesta al rumbo de la excavación. La vista en planta de Figura 3, muestra esta situación. De esta forma, los ángulos que definen la matriz de cosenos directores son:

Figura 3 Tabla 7

β δ X’ 40º 0º Y’ 130º 1,14º Z’ -50º 88,86º

La nueva matriz de cosenos directores, en la cual se comprueba la ortonormalidad es:

0,766044 0,642788 0,000000 L -0,642660 0,765893 0,019895 0,012789 -0,015241 0,999802

Con lo cual, el tensor de esfuerzos resulta ser, (se deben comprobar los invariantes):

9,962019 0,008637 0,434035 σx'y'z' 0,008637 19,994078 -0,297617

0,434035 -0,297617 5,043903 La sección transversal de la galería corresponde al plano x’z’, por lo que el problema se transforma en uno de dos dimensiones, quedando el estado tensional representado por:

9,962019 0,434035 σx'z' 0,434035 5,043903

Luego, la magnitud y orientación de los esfuerzos principales se calcula a partir de las siguientes ecuaciones:

Ecuación 23

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Ecuación 24 Tomando en cuenta que el eje x equivale a x’, que el y a z’, y considerando como valor de τxy = τx’z’ = 0,393288. De esta forma, los esfuerzos principales y la orientación en la actúan se muestran en Tabla 8

Tabla 8 Parámetro Valor

σ1 10,0 MPa σ3 5,0 MPa θ1 5,004º θ3 95,004º

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CAPÍTULO 3: DEFORMACIONES

1 ANÁLISIS DE DEFORMACIONES

Tabla 1 TIPO DE DEFORMACIÓN NOTACIÓN

Longitudinal ε De corte γ

1.1 DEFORMACIÓN LONGITUDINAL

Ecuación 1

Ecuación 2

Ecuación 3

Convención de signos: Una deformación longitudinal positiva corresponde a un

acortamiento en la longitud, y una deformación longitudinal negativa corresponde a un aumento en longitud.

1.2 DEFORMACIÓN DE CORTE

Ecuación 4

Ecuación 5

Ecuación 6

Convención de signos: Una deformación de corte positiva representa un aumento en

el ángulo recto, y una disminución de corte negativa representa una disminución en el ángulo recto. Se debe hacer notar que esta convención cambia (es decir un valor positivo indica una disminución en el ángulo recto) para el desarrollo analítico.

- 23 -


2 DEFORMACIONES EN UN PLANO

El análisis de deformaciones sucedidas en una orientación particular θ, se puede realizar separando la deformación εθ como resultado de las deformaciones εx, εy y γxy, y posteriormente sumándolas, utilizando el principio de superposición.

2.1 DEFORMACIÓN LONGITUDINAL

2.1.1 Deformación εθ debida a εx Considerar el esquema de Figura 1. El elemento no deformado tiene dimensiones Δx, Δy y en la dirección θ, Δr. Se deforma en la dirección de X una distancia ∂x, pero esta distancia es tan pequeña, que se asume no provoca variaciones angulares. Por definición:

Tomando en cuenta la relación:

El valor de ∂r resulta ser:

Por otro lado, por definición:

Y considerando la relación trigonométrica para el elemento sin deformar: El valor de la deformación εθ debida a εx es:

Ecuación 7

Figura 1

- 24 -


2.1.2 Deformación εθ debida a εy

Figura 2

La metodología utilizada es análoga a la sección anterior, pero considerando el esquema de Figura 2. Al igual que en los esquemas anteriores, el elemento dibujado en color azul representa el elemento deformado y el de color rojo, el no deformado. La única diferencia con respecto a la deformación debida a εX, es que la función trigonométrica que relaciona a los diferenciales ∂r y ∂y es el seno, en vez del coseno. Así, la deformación εθ provocada por εy es:

Ecuación 8

2.1.3 Deformación εθ debida a γxy La metodología utilizada es análoga a la sección anterior, pero considerando el esquema de Figura 3. Al igual que en los esquemas anteriores, el elemento dibujado en color azul representa el elemento deformado y el de color rojo, el no deformado. Para pequeños valores de γXY, el valor de Δu es:

La longitud de ∂r es:

El largo de Δr es:

Figura 3

sí, la deformación εθ provocada por γXY es: A

Ecuación 9

2.1.4 Principio de superposición ε

omo se mencionó anteriormente, la deformación longitudinal γθ es la suma de los

θ

Cefectos combinados de εX, εY y γXY. (Principio de superposición). Así:

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Aplicando identidades trigonométricas, se obtiene:

Ecuación 10

2.2 DEFORMACIÓN DE CORTE γθ La θ se realiza mediante un proceso similar al

tilizado para la deformación longitudinal. Esto es, la obtención de los valores de γθ obtención de la deformación de corte γ

uprovocados por εX, εY y γXY. De esta forma, y aplicando simplificaciones e identidades trigonométricas, se llega a la siguiente solución:

Ecuación 11

DEFORMACIONES PRINCIPALES

LONGITUDINALES Da 11, se colige que

stas funciones son periódicas en π, por lo que deben poseer un máximo y mínimo.

3

3.1 DEFORMACIONES PRINCIPALES

da la presencia de los factores cos2θ y sen2θ en Ecuaciones 10 yeDerivando Ecuación 10 con respecto a θ e igualando a 0, se encuentran los valores de las deformaciones principales. El análisis es similar a igualar a 0 Ecuación 11; esto debido a que las deformaciones principales se suceden cuando no existen las de corte.

Y despejando el valor de θ, se obtiene:

Ecuación 12

Para determinar la orientación en la qu n las deformaciones principales, debe

alizarse un análisis similar al hecho para el a sfuerzos, al respecto de las e sucede

nálisis de eremagnitudes y orientaciones de εX, εY y γXY.

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Reemplazando este valor de θ en Ecuación 10, se obtienen las magnitudes de las deformaciones principales εθ1 y εθ3.

Ecuación 13

Ecuación 14

3.2 DEFORMACIONES PRINCIPALES DE CORTE Similarmente a las deformaciones longitudinales, se deriva la función trigonométrica desarrollada para la obtención de la deformación de corte para un plano en particular y se igual a 0

Obteniendo:

Ecuación 15

Finalmente, el valor de la máxima deformación de corte se obtiene de reemplazar este valor en Ecuación 10, lo que es igual a la realizar la diferencia entre εθ1 y εθ3, es decir:

Ecuación 16

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4 CIRCULO DE MOHR DE DEFORMACIONES La forma de trabajar el Círculo de Mohr de deformaciones, es análoga a la metodología utilizada para el trabajo de círculo de Mohr de esfuerzos. Los pasos que se deben seguir, para ciertas componentes de deformaciones (εθ,γθ); (εθ+90º,γθ+90º), son los siguientes:

• Ubicar dentro de un sistema de ejes coordenados ε, γ/2 (Figura 4) los puntos (εθ,γθ); (εθ+90º,γθ+90º).

• Trazar diámetro a partir de puntos obtenidos y posteriormente dibujar circunferencia con diámetro obtenido, y centro (εθ + εθ+90)/2.

Figura 4

• A partir de punto con coordenadas (εθ,γθ), trazar línea que intercepte a la

circunferencia, y que tenga una orientación paralela a la de la componente en la que están ocurriendo las deformaciones (εθ,γθ). La intercepción con la circunferencia es denominada polo u Op. Este punto se puede obtener de forma análoga, a partir de las deformaciones (εθ+90º,γθ+90º).

• El punto Op es la base para determinar las deformaciones ocurridas en

cualquier orientación que se requiera.

5 DEFORMACIONES TRIDIMENSIONALES, MÓDULO DE DILATACIÓN VOLUMÉTRICA

Si se considera un paralelepípedo como el que se muestra en Figura 5, con un volumen inicial (pre deformación) V = ΔXΔYΔZ, resulta simple mostrar que dado el volumen final (post deformación) V’ = (ΔX + δX)(ΔY + δY)(ΔZ + δZ), el módulo de dilatación volumétrica e, el cual mide el cambio de volumen por unidad de volumen, está directamente relacionado con las deformaciones unitarias εX, εY y εZ, mediante las siguientes expresiones:

Ecuación 17

Ecuación 18

Figura 5

Paralelepípedo que muestra el efecto del cambio de volumen

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6 ECUACIONES DE COMPATIBILIDAD En ciertas ocasiones las desplazamientos u, v, w (para las direcciones x, y, z respectivamente), pueden ser definidos como funciones continuas dependientes de las tres direcciones del espacio. De todas formas, las deformaciones son compatibles si ellas generan desplazamientos que no producen separación entre pequeños elementos del cuerpo. De esta forma, existen relaciones que permiten asegurar que el modelo continuo utilizado para describir los desplazamientos es correcto. Estas ecuaciones son denominadas ecuaciones de compatibilidad y son 6:

Ecuación 19

Ecuación 20

Ecuación 21

Ecuación 22

Ecuación 23

Ecuación 24

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EJEMPLO DE APLICACIÓN 1 Se tiene una configuración de roseta de deformación equiangular (0º, 60º, 120º) que presenta los siguientes valores medidos de deformación. ε0º = 5·10-4, ε60º = 6·10-4, ε120º = 6·10-4. Se requiere determinar:

1. Las componentes de deformación en los ejes x e y 2. Magnitud y orientación de las deformaciones principales longitudinales y de

corte. 3. Deformación longitudinal en el plano de corte máximo 4. Deformación en un plano que forma 30º con la horizontal 5. Realice un esquema mostrando los resultados obtenidos en punto 1 6. Realice los pasos 2-5 mediante círculo de Mohr, dados los resultados del punto

1. Solución

1. La ecuación base para resolver una roseta de deformaciones es Ecuación 10, ya que los datos entregados (3) representan deformaciones longitudinales y los valores buscados son εX, εY y γXY (3). De esta forma y obviando para el cálculo la notación científica, se tiene:

Se ocupará la siguiente notación:

De esta manera, se pueden escribir las siguientes ecuaciones:

5 = i + j·cos(0º) + k·sen(0º) 6 = i + j·cos(120º) + k·sen(120º) 6 = i + j·cos(240º) + k·sen(240º)

i 4,66 j 0,37 k

= 1,73

Y así:

εX 5,00·10-4 εY 4,33·10-4 γXY

= 3,46·10-4

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2. Deformaciones principales y sus orientaciones

Aplicando directamente ecuaciones 12 – 16 y teniendo en cuenta que εX > εY, se obtienen los siguientes resultados.

ε1 6,43·10-4

ε3 2,90·10-4

θ1 39º ε θ3 129º

γmax ± 3,52·10-4

γ θ2 -5,44º

3. En el plano de corte máximo, el valor de la deformación longitudinal está dada por:

εγmax = 1/2·(εX + εY) = 4,67·10-4

4. Los valores de las componentes de deformación que ocurren para un plano

inclinado 30º respecto de la horizontal, se obtienen de reemplazar directamente este valor en ecuaciones 10 y 11.

ε30º = 1/2·(εX + εY) + 1/2·(εX - εY)·cos(2·30º) + 1/2·γXY·sen(2·30º)

ε30º = 6,33·10-4

γ30º = γXY·cos(2·30º) - (εX - εY) sen(2·30º) γ30º = 1,15·10-4

5. Considerando la convención de signos adoptada (el corte positivo representa

una disminución del ángulo para el trabajo analítico) y los resultados obtenidos en punto 1, el elemento deformado presenta el siguiente esquema.

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6. Circulo de Mohr de deformaciones

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GEOMECÁNICA & GEOTECNIA APLICADA A LA MINERÍA SEGUNDO SEMESTRE, 2006 MECÁNICA DE ROCAS I PREPARADO POR: MAURICIO DOMCKE

1. Se ubican los puntos (εX,-γXY) y (εY,-γYX), a partir de ellos se traza diámetro de circunferencia con centro (εθ + εθ+90)/2.

2. Desde (εX,-γXY) o (εY,-γYX) se traza línea con orientación paralela a la

componente de deformación (paralela a x o paralela a y respectivamente). El punto en donde se interceptan las líneas (verdes en el diagrama) es denominado polo u Op.

Respuesta 2: Las deformaciones longitudinales principales suceden cuando no existe deformación de corte. Desde el polo se trazan líneas (color rojo) hasta los puntos dentro del círculo, en los cuales las componentes de deformación de corte son 0. se encuentran las deformaciones principales longitudinales principales, con valores 6,43·10-4 y 2,90·10-4. Las orientaciones respectivas son medidas desde la horizontal y en sentido antihorario positivo. De esta forma se tiene que θ1 = 39,5º y θ3 = 129,5º. Por otro lado, la deformación máxima de corte sucede para los máximos valores de la ordenada del gráfico. Esto ocurre para los valores ± 1,76·10-4. de todas formas, este valor corresponde a γmax/2, dada la ordenada del círculo de Mohr, por lo que γmax es igual a ± 3,52·10-4. Desde el polo se debe trazar línea hasta estos puntos. Por razones gráficos, solamente se ha dibujado la deformación de corte positiva. Para este valor, la orientación es de 84,5º.

Respuesta 3: Por el contrario de las deformaciones longitudinales, las deformaciones de corte toman sus valores principales para valores de ε distintos de 0. De todas formas, y aprovechando las bondades geométricas del Círculo de Mohr, se colige que para el plano de máximo corte, el valor de la deformación longitudinal corresponde al centro de la circunferencia, es decir:

Este valor es igual a: 4,67·10-4 Respuesta 4: Desde Op se traza línea con orientación de 30º hasta interceptar círculo de Mohr, las coordenadas son leídas directamente, obteniendo:

ε γ/2 6,33 -0,575

Se obtienen los valores de la deformación normal idénticos a los resultados analíticos. La deformación de corte, sólo representa la mitad de su valor y mostrando el inverso aditivo, dadas las convecciones de signo. Este valor negativo representa una disminución del ángulo recto para esta orientación.

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EJEMPLO DE APLICACIÓN 2 Comprobar que el valor de la deformación volumétrica e = εX + εY + εZ

Tomando en cuenta el cuerpo deformado de Figura 5, se tiene que

V’ = (ΔX + δX)(ΔY + δY)(ΔZ + δZ) V = ΔXΔYΔZ

Considerando las relaciones mostradas en Ecuaciones 1 - 3. El cambio de volumen V’ – V puede escribirse como:

V’ – V = (ΔX + δX)(ΔY + δY)(ΔZ + δZ) - ΔXΔYΔZ

V’ – V = (ΔX + εXΔX)(ΔY + εYΔY)(ΔZ + εZΔZ) - ΔXΔYΔZ

V’ – V = ΔX(1 + εX) ΔY(1 + εY) ΔZ(1 + εZ) - ΔXΔYΔZ

V’ – V = ΔXΔYΔZ[(1 + εX)(1 + εY)(1 + εZ) – 1]

Realizando ahora la división por el valor inicial de volumen V, de forma de obtener el valor de e, resulta:

e = (1 + εX)(1 + εY)(1 + εZ) – 1

e = 1 + εY + εX + εXεY + εZ + εYεZ + εXεZ + εXεYεZ – 1 Tomando en cuenta que los valores de las deformaciones normales son lo suficientemente pequeñas como para despreciar sus productos, finalmente queda:

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EJEMPLO DE APLICACIÓN 3 Las componentes de desplazamiento, definidas de forma continua y tridimensional, pueden ser representadas mediante las siguientes funciones:

u = 3x + 2y – 4z v = 2x – 5z

w = 4x – 3y + 4z

1. Determine los valores de todas las componentes de deformación para los ejes coordenados.

2. ¿Es adecuado utilizar este modelo matemático para describir los desplazamientos ocurridos en el cuerpo?. Apoye su respuesta de forma matemática y fundamentada.

Solución

Respuesta 1: Las componentes de deformación son 6, y son determinadas directamente de la solución de Ecuaciones 1-6. De esta forma, se tiene:

εX 3 εY 0 εZ 4 γXY -4γYZ 8 γZX 0

Respuesta 2: Las componentes de deformación son válidas siempre que ellas generan desplazamientos continuos, esto quiere decir, que no provoquen separaciones entre pequeños elementos del cuerpo en análisis (Definición de continuo). La forma matemática de respaldar esta base es mediante las denominadas ecuaciones de compatibilidad, Ecuaciones 19 – 24. La solución de estas ecuaciones, para este caso en particular, resulta simplemente en equivalencias de ceros, dadas las funciones que definen los desplazamientos. De esta forma, las ecuaciones de compatibilidad son cumplidas, y las expresiones utilizadas para definir los desplazamientos, y las componentes de deformación obtenidas, son válidas.

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CAPÍTULO 4: TEORÍA DE ELASTICIDAD

1 GENERALIDADES La teoría de elasticidad se basa en cuerpos que pueden considerarse continuos y homogéneos, que satisfacen la ley de Hooke, son isótropos y por otro lado, muestran una elasticidad perfecta.

2 RELACIONES ESFUERZO UNIAXIAL – DEFORMACIÓN Si sobre un cuerpo tridimensional se aplica un esfuerzo axial compresivo (Figura 1), en la dirección de aplicación del eje existirá una deformación normal positiva, esto es, un acortamiento, mientras que en las otras dos direcciones ortogonales, existirá un alargamiento. Las expresiones que relacionan los efectos descritos, se muestran a continuación:

Ecuación 1

Ecuación 2

Ecuación 3

En las expresiones descritas recientemente, se aprecian los valores de E y ν, estos valores son módulos elásticos denominados módulo de Young y razón de Poisson respectivamente.

Figura 1

2.1 MÓDULO DE YOUNG Como se aprecia en Ecuación 1, el módulo de Young puede ser definido como la pendiente de la curva Esfuerzo Deformación. Debido a que esta relación no es siempre lineal, se definen tres módulos de Young, basados en el valor de la resistencia a la compresión uniaxial (UCS):

• Módulo medio Em: Pendiente de la recta para valores ubicados entre un 25%UCS – 75%UCS.

• Módulo tangente Et: Pendiente de la recta para UCS/2.

• Módulo secante Es: Pendiente de la recta para la linealización entre valores de

σ entre 0 y UCS.

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2.2 RAZÓN DE POISSON La razón de poisson ν, es la división entre los valores de la deformación en una dirección ortogonal a la aplicación de la carga y la deformación axial (paralela a σ). Debido a que en la dirección axial existe un acortamiento y en los planos ortogonales un alargamiento, la ecuación lleva un signo negativo. De todas formas, este valor es corregido en el tramo “elástico” de la curva esfuerzo deformación, es decir 25%UCS – 75%UCS.

3 RELACIONES ESFUERZO TRIAXIAL – DEFORMACIÓN

3.1 LEY DE HOOKE Conocido el tensor de esfuerzos σXYZ, los valores de las seis componentes de deformación en los ejes coordenados, pueden ser determinados a partir de la Ley de Hooke en tres dimensiones.

Ecuación 4

Ecuación 5

Ecuación 6

Ecuación 7

Ecuación 8

Ecuación 9

Figura 2

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3.2 MÓDULO DE RÍGIDEZ G El valor de G es conocido como el módulo de rigidez o corte (shear), y puede ser obtenido mediante la relación:

Ecuación 10

3.3 CAMBIO UNITARIO DE VOLUMEN Su puede mostrar que el valor del cambio de volumen respecto del valor inicial, debido a la acción triaxial de un campo de esfuerzos es e = εX + εY + εZ. Otra relación para obtener el valor de e, es en base al primer invariante de esfuerzos I1 y los módulos elásticos obtenidos en base a ensayos compresivos uniaxiales.

Ecuación 11

3.4 MÓDULO DE COMPRESIBILIDAD K Bajo un campo de presiones hidrostático, el módulo de compresibilidad K (Bulk), puede ser obtenido mediante la siguiente expresión:

Ecuación 12

3.5 CONSTANTE DE LAMMÉ Este valor (λ) es igual a la expresión:

Ecuación 13

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EJEMPLO DE APLICACIÓN 1 Se ha realizado un ensayo de compresión uniaxial sobre una probeta de roca, de forma que el comportamiento hasta la falla se resume en Tabla 1.

Tabla 1

Hora Def Axial Def Diam Esfuerzo (Mpa)

14:03 0,000000 0,000003 0,00 14:03 0,000122 -0,000019 2,26 14:04 0,000406 -0,000076 9,62 14:04 0,000832 -0,000173 19,81 14:05 0,001371 -0,000310 33,97 14:05 0,001626 -0,000377 40,20 14:06 0,001887 -0,000448 46,42 14:06 0,002116 -0,000515 52,65 14:07 0,002470 -0,000625 61,71 14:07 0,002728 -0,000709 69,64 14:08 0,003188 -0,000871 79,83 14:08 0,003420 -0,000957 85,49 14:09 0,003880 -0,001110 96,81 14:09 0,004200 -0,001067 103,60

A partir de los resultados obtenidos, se pide estimar y calcular: 1. Resistencia a la compresión uniaxial, UCS o σci 2. Módulo de Young medio, Em 3. Módulo de Young tangente, Et 4. Módulo de Young secante, Es 5. Razón de Poisson, ν 6. Módulo de rigidez, G Solución 1. Dado que el resumen del ensayo muestra datos del comportamiento mecánico

que tiene la probeta hasta el momento de la falla, el valor de la resistencia a la compresión uniaxial o UCS corresponde al máximo valor de esfuerzo registrado, es decir 103,60 Mpa

2. El módulo medio, es calculado para el tramo elástico de la curva σ-ε, esto es,

aproximadamente entre un 25% – 75% de la resistencia a la compresión uniaxial. De esta forma, se linealiza la curva para este rango, obteniendo:

Tabla 2

Hora Def Axial Def Diam Esfuerzo (Mpa) 14:04 0,000832 -0,000173 19,81 14:05 0,001371 -0,000310 33,97 14:05 0,001626 -0,000377 40,20 14:06 0,001887 -0,000448 46,42 14:06 0,002116 -0,000515 52,65 14:07 0,002470 -0,000625 61,71 14:07 0,002728 -0,000709 69,64

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Módulo medio

y = 25947x - 1,9559R2 = 0,9992

0

10

20

30

40

50

60

70

80

0,000000 0,000500 0,001000 0,001500 0,002000 0,002500 0,003000

Figura 3

Así, el resultado obtenido para Em corresponde a 24.947 Mpa. 3. Para el módulo tangente se utilizan los rangos medios de los valores de la

curva esfuerzo – deformación. De esta forma: Et = (52,65 – 46,42) / (0,002116 – 0,001887) = 27.194 MPa 4. El módulo secante, resulta de calcular la pendiente de la curva σ-ε corregida a

lo largo de todos los valores registrados hasta la falla. De esta forma:

Módulo secantey = 25069x - 0,4338

R2 = 0,9996

0

20

40

60

80

100

120

0,000000 0,000500 0,001000 0,001500 0,002000 0,002500 0,003000 0,003500 0,004000 0,004500

Figura 4

Es = 25.069 MPa 5. La razón de poisson se evalúa dentro del tramo elástico, Así:

Tabla 3 Def Axial Def Diam -εd / εa ν 0,000832 -0,000173 0,207932690,001371 -0,000310 0,226112330,001626 -0,000377 0,231857320,001887 -0,000448 0,237413880,002116 -0,000515 0,243383740,002470 -0,000625 0,253036440,002728 -0,000709 0,25989736

0,23709054

6. El módulo de rigidez se calcula según lo expuesto en Ecuación 10

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EJEMPLO DE APLICACIÓN 2 Sobre el elemento de roca caracterizado mecánicamente en ejemplo de aplicación 1, se aplicará el siguiente estado tensional

10 0 0 σxyz 0 10 0

0 0 10 Se requiere determinar: 1. Las 6 componentes de deformación que experimentará el cuerpo 2. Cambio volumétrico unitario, e 3. El módulo de compresibilidad, K 4. La constante de Lammé, λ. Solución Como se puede apreciar, el estado tensional aplicado corresponde a un campo de presiones hidrostático. Por lo que las soluciones para los problemas propuestos se simplifican bastante: 1. σX = σY = σZ = σ. Por lo que:

εX = εY = εZ = σ·(1-2ν/E) = 0,00020265

γX = γY = γZ = 0 2. e = εX + εY + εZ = 0,00060795 3. Evaluar Ecuación 12, para calcular el módulo de expansión volumétrica, resulta

idéntico a realizar la razón σ/e. De esta forma, K = 10/0,00020265 = 16.448 MPa.

4. Evaluando Ecuación 13, resulta un valor de λ igual a 9.457 MPa

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CAPÍTULO 5: SOLUCIONES CLÁSICAS EN ELASTICIDAD

1 SOLUCIÓN ELÁSTICA DE KIRSCH

Figura 1

Donde: σr, σθ y τrθ : Estado tensional inducido. θ : Medido desde la horizontal y en sentido antihorario positivo. Define la

orientación del punto sobre el cual se desea conocer el estado tensional inducido.

a : Radio de la excavación. r : Distancia a la cual se desea conocer el estado tensional inducido. σx, σy : Estado tensional in situ. Esta solución permite conocer el estado tensional inducido (σr, σθ y τrθ) a una distancia r (medida desde el centro de la circunferencia) por el efecto de realizar una excavación circular de radio a (considerada de largo semi infinito), conocido el estadio tensional pre minería (σx y σy). Las ecuaciones para obtener los valores de los esfuerzos inducidos son los siguientes

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Ecuación 1

Ecuación 2

Ecuación 3

Los desplazamientos ur y vθ provocados por la acción de los esfuerzos inducidos son:

Ecuación 4

Ecuación 5

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2 CILINDRO DE PARED GRUESA

Figura 2

Donde: po : Presión externa a la que está sometida la excavación. pi : Presión interna a la que está sujeta el cilindro de pared gruesa b : Radio de la excavación. a : Radio interno, que define el borde de la pared gruesa b-a : Espesor elástico de la pared gruesa Se asume un campo de esfuerzos hidrostático (po) alrededor de la excavación. Al igual que en la solución de Kirsch, se pueden obtener los esfuerzos inducidos σr, σθ y τrθ, a una distancia r del centro del cilindro, mediante las siguientes ecuaciones:

Ecuación 6

Ecuación 7

Ecuación 8

El desplazamiento radial generado en el cilindro de pared gruesa

Ecuación 9

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EJEMPLO DE APLICACIÓN 1 Se desea realizar una excavación circular de radio 2 m a una profundidad de 400 m. La excavación se realizará en una andesita primaria, la cual posee las siguientes propiedades.

Tabla 1 Parámetro Valor

σci 120 MPa GSI 55 - 65 Em 23.000 MPaρ 2,78 ton/m3

ν 0.,25 Considere, para efectos de cálculo, que el macizo rocoso se comporta de manera isotrópica y elástica, y que el largo de la excavación, es el suficiente como para ser considerado semi infinito, y que el macizo se comporta bajo un campo hidrostático de presiones. Se requiere determinar el radio de influencia de la excavación: Solución La excavación influirá hasta que los valores de los esfuerzos inducidos, sean similares a los valores del estado pre minería: Estado tensional: Campo hidrostático: σy = σx = σi

σy = ρgh = γh Ecuación 10

σy = 2.780 Kg/m3*9,8 m/s2*400 m

σy = 10,9 MPa = σx = σ

Luego, se comprueban los valores de los esfuerzos inducidos a distintas distancias r, y se comparan estos valores con los obtenidos para el estado in situ. Se puede notar que para un campo de presiones hidrostático, los esfuerzos de corte inducidos son 0 para cualquier orientación. Por otro lado, se aprecia que los esfuerzos radiales y tangenciales inducidos, son independientes de la orientación. De esta forma, se obtienen los valores para los esfuerzos inducidos a distintas distancias r (Tabla 2). Se observa (Figura 2) que aproximadamente a partir de la razón r/a = 6 la curva de estabilización de esfuerzos (esfuerzo inducido / esfuerzo in situ) se vuelve asintótica. De esta forma, se puede establecer que una excavación circular, provoca efectos en el estado tensional hasta una distancia r aproximadamente:

r < 6a

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Tabla 2

σ (MPa) a (m) r (m) σr (MPa) σθ (MPa) σr / σ σθ / σ r / a 10,9 2 2 0,00 21,80 0,00 2,00 1,00 10,9 2 3 6,06 15,74 0,56 1,44 1,50 10,9 2 4 8,18 13,63 0,75 1,25 2,00 10,9 2 5 9,16 12,64 0,84 1,16 2,50 10,9 2 6 9,69 12,11 0,89 1,11 3,00 10,9 2 7 10,01 11,79 0,92 1,08 3,50 10,9 2 8 10,22 11,58 0,94 1,06 4,00 10,9 2 9 10,36 11,44 0,95 1,05 4,50 10,9 2 10 10,46 11,34 0,96 1,04 5,00 10,9 2 11 10,54 11,26 0,97 1,03 5,50 10,9 2 12 10,60 11,20 0,97 1,03 6,00 10,9 2 13 10,64 11,16 0,98 1,02 6,50 10,9 2 14 10,68 11,12 0,98 1,02 7,00 10,9 2 15 10,71 11,09 0,98 1,02 7,50 10,9 2 16 10,73 11,07 0,98 1,02 8,00 10,9 2 17 10,75 11,05 0,99 1,01 8,50 10,9 2 18 10,77 11,03 0,99 1,01 9,00 10,9 2 19 10,78 11,02 0,99 1,01 9,50 10,9 2 20 10,79 11,01 0,99 1,01 10,00 10,9 2 21 10,80 11,00 0,99 1,01 10,50 10,9 2 22 10,81 10,99 0,99 1,01 11,00 10,9 2 23 10,82 10,98 0,99 1,01 11,50 10,9 2 24 10,82 10,98 0,99 1,01 12,00

0,00

0,20

0,40

0,60

0,80

1,00

1,20

1,40

1,60

1,80

2,00

0,00 2,00 4,00 6,00 8,00 10,00 12,00

σθ / σ

σr / σ

Figura 3

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EJEMPLO DE APLICACIÓN 2 La figura muestra la ubicación de dos piques de diámetro cuatro metros cada uno, los cuales se desean excavar en una riolita bastante competente, la que posee una resistencia a la compresión no confinada para la roca intacta de 117 MPa y una densidad de 2,8 ton/m3. El estado tensional pre minería es tal que el esfuerzo principal menor es igual al esfuerzo vertical, el cual está definido por la carga litostática. El esfuerzo principal intermedio es horizontal, actúa en dirección norte, y está definido por una razón de esfuerzos κ = 1,2. Finalmente, el esfuerzo principal mayor también es horizontal, actúa en dirección este, y está definido por una razón de esfuerzos κ = 1,5. Se desea determinar el estado tensional inducido, producido por realizar ambas excavaciones en el punto A. Suponga el análisis a 200 m de profundidad.

Figura 4

Solución: Estado tensional: Interesa conocer los esfuerzos σE y σN, los cuales corresponden a σx y σy respectivamente. De esta forma:

σV = σ3 = ρgh = γh = 5,48 MPa

κ = σH / σVEcuación 11

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Por lo que:

σ1 = σE = 1,5σV = 8,23 MPaσ2 = σN = 1,2σV = 6,59 MPa

Esfuerzos inducidos: Excavación 1:

INPUT OUTPUT σX σY r a θ σr σθ τrθ

8,23 6,59 7 2 0º 7,37 7,18 0 Se puede apreciar que para esta orientación, los esfuerzos inducidos σr y σθ para el ángulo θ, corresponden a σX y σY respectivamente. Figura 5 Excavación 2:

NPUT OUTPUT σX σY r a θ σr σθ τrθ

8,23 6,59 7,43 2 -114º 6,47 8,50 -0,69 En esta ocasión, los valores de esfuerzos obtenidos se encuentran en una orientación distinta de los ejes coordenados X e Y, por lo que para poder conocer el efecto combinado de las excavaciones, se debe conocer los esfuerzos inducidos por la excavación 2, pero en términos de σX y σY. Para esto, se utilizan las siguientes ecuaciones:

)2()2cos(

22θτθσσσσσθ xysenyxyx

+−

++

=

Figura 6

( ) )2()2cos(22

90 θτθσσσσθσ xysenyxyx−

−−

+=+

)2(

2)2cos( θσσθττθ senyxxy −

−=

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Para las cuales: σθ = σr = 6,47 σ(θ + 90º) = σθ = 8,50 τθ = τrθ = -0,69 θ = 66º Esta solución, arroja los siguientes resultados:

σX 8,67

σY 6,29

τXY -0,29

Principio de superposición: Para evaluar los efectos en un mismo punto de realizar una serie de excavaciones, se deben obtener los efectos que provoca cada una en la misma orientación (es conveniente en X e Y) y luego sumar al estado in situ inicial las diferencias entre el estado in situ y el inducido por cada excavación (Ecuación 6 )

Ecuación 12

Para el ejemplo anterior:

σX = 8,23 + (8,23 – 7,37) + (8,23 – 8,67) = 10,14 MPa σY = 6,59 + (6,59 – 7,18) + (6,59 – 6,29) = 6,30 MPa

τXY = 0 + (0 - 0) + (0 – (-0,29)) = 0,29 Mpa

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EJEMPLO DE APLICACIÓN 3 Considere un túnel de sección circular de radio igual a 2 m, el cual contiene un anillo de hormigón en su contorno (resistencia a la compresión hormigón igual a 30 MPa). El cilindro será construido a una profundidad de 100 m, medidos desde la superficie del terreno. El campo de esfuerzos se puede considerar como hidrostático y el esfuerzo vertical está definido por la carga litostática. La roca en la que será realizada la excavación tiene las siguientes propiedades: E = 25.000 MPa, ν = 0,20 y una densidad ρ de 3,0 ton/m3. Se pide determinar el espesor de la pared de hormigón, para tener un factor de seguridad de 1,5. Solución: Lo primero es conocer el estado tensional po que actúa inicialmente en el contorno de la excavación:

σV = po = ρgh = 3,0·9,8·100 = 2,94 MPa

Debido a que no existe presión interna, el valor de pi es igual a 0. Luego, se evalúan los esfuerzos inducidos en el borde de la pared gruesa (r = a), arrojando los siguientes resultados:

Entonces el esfuerzo aplicado sobre el hormigón es igual a σθ. Se debe conocer la distancia b-a, la cual define el espesor de la pared gruesa, en este caso de hormigón. Para esto, se define la idea de factor de seguridad. Un factor de seguridad, es la razón entre la resistencia que presenta un material, y la solicitación o aplicación de esfuerzos a la que se verá sometido. Claramente, si los esfuerzos aplicados son menores a los que resiste este elemento, el factor de seguridad será mayor a 1, por lo que el elemento, en teoría, no debe fallar. De todas formas, cuando se trabaja en roca, existe una incertidumbre asociada al tipo de material relacionado con la actividad minera, por lo que se suele definir un factor de seguridad mayor a 1. Generalmente se utilizan valores iguales a 1,3 o 1,5.

Luego, FS = (σresistido/σaplicado) = 1,5

Luego, el esfuerzo aplicado corresponde a σθ, el esfuerzo resistido corresponde a la resistencia a la compresión del hormigón, igual a 30 Mpa, por lo que:

Resolviendo la ecuación, se tiene:

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5,88b2 = 20b2 – 20a2

0 = 14,12b2 – 20a2

0 = 14,12(b2/a2) – 20

20/14,12 = b2/a2

1,416 = b2/a2

1,19 = b/a

a = 2/1,19

a = 1,68

Luego, dado que el espesor de la capa de hormigón es de b – a = 2 – 1,68 = 0,32 m. se concluye que para obtener un factor de seguridad de 1,5, la excavación cilíndrica debe tener una capa de hormigón de 32 cm.

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CAPÍTULO 6: CRITERIOS DE FALLA

1 APLICABILIDAD CRITERIOS DE FALLA

Tabla 1 Roca intacta Discontinuidades Macizo rocoso

Hoek & Brown Si No Si Mohr - Coulomb Si Si Si Barton - Bandis No Si No

2 ROCA INTACTA Los parámetros que definen la resistencia y deformabilidad son obtenidos a través de ensayos de laboratorio. De esta forma:

Tabla 2 Ensayo Parámetros obtenidos Diagrama

Compresión No-Confinada

Resistencia a la compresión No-Confinada (UCS), módulos de deformabilidad (E y ν)

Tracción directa e indirecta

Resistencia a la tracción

Compresión Confinada Envolventes de falla

2.1 MOHR COULOMB La envolvente de falla se genera a partir de una serie de ensayos triaxiales, en los cuales el esfuerzo de confinamiento (σ3) es constante para cada ensayo. Se aplica un esfuerzo axial (σ1) hasta que se produce la falla. Los parámetros que caracterizan a este criterio son: cohesión (c) y ángulo de fricción interna (φ). Un ejemplo se muestra en Tabla 3.

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Tabla 3

σ3 (MPa) σ1 (MPa)0,0 38,3 5,0 72,4 7,5 80,5

15,0 115,6 20,0 134,3

En el plano σ,τ, se puede representar cada uno de estos ensayos mediante “Semi-Círculos de Mohr”, ya que estos son simétricos (Figura 1). Debido a que cada uno de estos ensayos representa la resistencia a la compresión axial que tiene la roca, bajo distintos esfuerzos de confinamiento, al trazar una recta tangente a estos círculos de Mohr, se obtiene la envolvente de falla deseada (Ecuación 1). Por otro lado, esta envolvente se puede representar en términos de los esfuerzos principales σ1 y σ3 (Ecuación 2). Se puede observar que ambas envolventes son función de la cohesión (c) y el ángulo de fricción (φ).

Figura 1

Ecuación 1

Ecuación 2

La Ecuación 2, puede resolverse convenientemente, de forma de despejar σ1 en función de σ3, de esta forma:

Ecuación 3

ó,

Ecuación 4

El problema con esta metodología es que se sobreestima el valor de la resistencia cohesiva c, por lo que al valor obtenido, se le suele reducir en un 25%.

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2.1.1 Efecto del agua Muchas rocas exhiben una baja en la resistencia, debido al incremento en el contenido de humedad, y el consiguiente deterioro químico . Es por esta razón, que los ensayos de laboratorio, deberían realizarse para especimenes que contengan exactamente el mismo contenido de humedad que en terreno. Un efecto aún más importante, es la reducción en la resistencia mecánica, debido al efecto de la presión de poros (pw). Terzaghi, formuló el concepto de esfuerzo efectivo σ’, igualándolo al esfuerzo aplicado σ, menos la presión de poros pw.

σ’ = σ – pwEcuación 5

En la expresión anterior; σ’, corresponde al esfuerzo efectivo, el cual controla la resistencia y deformabilidad del material; σ, es el esfuerzo total aplicado al espécimen; y pw, es la presión de poros ejercida por el agua. En el plano σ,τ esto se puede observar gráficamente. Figura 2, muestra un material caracterizado por los parámetros c y φ, el cual se encuentra sometido a un estado tensional inicial descrito por el Circulo de Mohr de color rojo. Como se observa, en ningún punto ocurre la intersección del círculo con la envolvente de Mohr – Coulomb, por lo que el material no falla. Si se toma en cuenta la presión de poros, se aprecia un desplazamiento en el círculo de Mohr, por lo que el nuevo estado tensional (Círculo de Mohr azul), define una zona de falla, la cual se muestra achurada para un estado tensional aplicado a ciertos planos particulares.

Figura 2

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2.2 HOEK & BROWN Esta envolvente resulta de los mismos datos en el plano σ1, σ3, y tiene la forma que se observa en Ecuación 6.

Ecuación 6

Con σci : Resistencia a la compresión uniaxial para roca intacta. a : 0,5 para roca intacta. mi, s : Constantes del material, s = 1 para roca intacta. A partir de la serie de ensayos obtenidos, los datos pueden ser linealizados, obteniendo los valores de σci y mi, tal como se muestra en Ecuaciones 7 y 8.

Ecuación 7

Ecuación 8

Por otro lado, el coeficiente de correlación r2, está determinado por

Ecuación 9

En donde y = (σ1 - σ3)2

x = σ3

n = número de ensayos Otra forma de obtener los parámetros σci y mi, es mediante el algoritmo de Marquardt-Levenberg, el cual está dentro del sistema de Roclab (rocscience) y sirve para realizar estimaciones para funciones no lineales. Es por esta razón, que si se ingresa una serie de ensayos triaxiales a Roclab, y se comparan con la anterior metodología, existe una leve diferencia en los resultados. Esto se mostrará posteriormente con un ejemplo.

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3 RESISTENCIA AL CORTE DE ESTRUCTURAS

3.1 ESTRUCTURAS PLANAS Para el cálculo de la resistencia de este tipo de estructuras, se utiliza el criterio de Mohr Coulomb. La resistencia al corte τ, es función del esfuerzo normal σn, (Figura 3). De esta manera, se grafican los esfuerzos de corte en función de los desplazamientos provocados (Figura 4). Obteniendo las curvas que se aprecian en Figura 5.

Figura 3 Se pueden distinguir dos condiciones. La condición peak (antes de la falla), y la condición residual (post falla). Los criterios que definen la falla para ambos casos se muestran en Ecuaciones 10 y 11

Ecuación 10

Ecuación 11

Donde:

Figura 4 τMAX : Esfuerzo de corte máximo σN : Esfuerzo normal φ : Ángulo de fricción c : Cohesión φRES : Ángulo de fricción residual cRES : Cohesión residual

Figura 5

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3.2 ESTRUCTURAS RUGOSAS Para el cálculo de la resistencia de este tipo de estructuras, Patton (1966) realizó una modificación al criterio de Mohr Coulomb, considerando un ángulo denominado dilatancia (i), por el efecto de la rugosidad de las estructuras (Figura 6). El criterio de falla queda entonces definido para las condiciones peak y residual, según las ecuaciones que se muestran en Figura 7.

Figura 6

Figura 7

3.2.1 Criterio de falla de Barton – Bandis Está definido por la siguiente expresión

Ecuación 12

Donde: τMAX : Esfuerzo de corte máximo. σN : Esfuerzo normal. φb : Ángulo de fricción básico de la roca de caja de la estructura. JRC : Coeficiente de rugosidad de la estructura. JCS : Resistencia a la compresión uniaxial de la roca que forma la rugosidad de la

estructura.

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4 MACIZO ROCOSO Para obtener las propiedades que definen mecánicamente al macizo rocoso, se extrapolan las propiedades obtenidas a nivel de roca intacta, en base a adecuados factores de escalamiento, los cuales deben tomar en cuenta el patrón estructural existente, y por otro lado, las condiciones bajo las cuales el macizo rocoso será excavado.

4.1 HOEK & BROWN (2002) Inicialmente (1980), éste criterio de falla consideraba como factor de escalamiento el índice de calidad geotécnica RMRB, pero en 1995, los autores propusieron un nuevo sistema de clasificación, denominado GSI.

B

Clasificación GSI (Geological Strength Index): Tal como su nombre lo indica, este índice entrega información del macizo rocoso que es estrictamente geológica. Esta guarda directa relación con el patrón estructural existente, considerando, por una parte, el grado de fracturamiento, asignando mayor puntaje a macizos rocosos menos diaclasados; y por otra, a la condición de las discontinuidades, dando un mayor “rating” a macizos que presentan estructuras que son más rugosas y menos alteradas por efectos de la intemperización. Los valores del índice fluctúan en el rango de 0 a 100 puntos, aún cuando materiales poco competentes, considerados casi como suelos, tienen puntajes cercanos a 25.

De todas maneras, la aplicación propuesta por Hoek et al debe ser realizada con precaución, y analizando si las condiciones in situ son compatibles con aquellas bajo las cuales el criterio de falla se ha construido. Estas condiciones principalmente tienen que ver con: El volumen del macizo rocoso a caracterizar. El criterio fue diseñado en macizos rocosos fracturados, por lo que la extensión de las estructuras es algo que se debe considerar, tomando en cuenta el punto señalado anteriormente. Por otro lado, actualmente el criterio de falla de Hoek & Brown (2002 Edition) considera otro índice de calidad del macizo rocoso, el cual implica un grado de perturbación en este, debido al efecto de la tronadura. Este índice es denotado con la letra D y su rango de valores fluctúa entre 0 y 1, para macizos sin perturbación, a macizos muy perturbados, respectivamente. Este parámetro toma en cuenta principalmente dos consecuencias de la excavación en roca:

1. Desconfinamiento: Cuando un macizo rocoso es excavado, adyacente a la pared de la galería o al talud que se modificó (aún cuando la excavación sea hecha por otro método que no sea tronadura) se produce un desconfinamiento, por lo que el macizo tenderá a la dilatación y a una expansión volumétrica. Esto influye de manera notoria en la resistencia del macizo rocoso, ya que en los cuales existen varios conjuntos estructurales, la resistencia depende directamente del espaciamiento que existe entre ellos (es decir, de los trozos de roca intacta).

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2. Daño por tronadura: El daño por tronadura provoca una baja de la resistencia del macizo rocoso debido a la creación de nuevas fracturas y la dilatación y abertura de fracturas preexistentes ocasionada por la penetración de gases explosivos.

El criterio generalizado de Hoek & Brown, es similar al que se muestra en Ecuación 6, pero con las constantes a, s y mb, expresadas como función de los índices GSI y D. De la siguiente forma:

Ecuación 13

Con :

Ecuación 14

Ecuación 15

Ecuación 16

Resistencia a la compresión uniaxial del macizo rocoso Al igual que para roca intacta, este parámetro se puede obtener haciendo 0 σ3 en Ecuación 13, resultando

Ecuación 17

Sin embargo, los autores han considerado que este valor es representativo y útil para el modo de propagación de la falla en una excavación, y en ciertas ocasiones, resulta más favorable obtener este valor en términos del comportamiento general del macizo en análisis, tal como un pilar por ejemplo. De esta forma, se propone la siguiente ecuación, la cual es función de los valores obtenidos en Ecuaciones 14, 15 y 16.

Ecuación 18

Resistencia a la tracción del macizo rocoso Está dada por:

Ecuación 19

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Módulo de deformabilidad del macizo rocoso Está dado por:

Ecuación 20

4.2 MOHR - COULOMB Los parámetros obtenidos para esta envolvente, son estimados en base a los de Hoek & Brown, tal cual como se realiza a nivel de roca intacta, pero linealizando dentro del periodo σt < σ3 < σ3max (Figura 8). Este último valor, depende del grado de confinamiento, asociado al tipo de minería. De esta forma, los parámetros de Mohr – Coulomb, para macizo rocoso, son:

Ecuación 21

Con :

Ecuación 22

Figura 8

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Determinación de σ3max

Como se mencionó anteriormente, el valor de σ3max depende del grado de confinamiento existente, asociado al tipo de minería. Es por esto, que se realiza una distinción en su cálculo, dependiendo si la aplicación es subterránea o superficial. De esta forma, este parámetro se determina a partir de Ecuación 23.

Ecuación 23

En ambas ecuaciones, el término γH representa el esfuerzo vertical. Este valor debe ser substituido por el esfuerzo horizontal, en caso de que este último, sea mayor que el debido a la carga litostática. De todas formas, si la aplicación es general, el valor de σ3max es igual a un cuarto de la resistencia a la compresión uniaxial para la roca intacta.

Ecuación 24

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EJEMPLO DE APLICACIÓN 1 En un macizo rocoso de mediana competencia, se pretende realizar una nueva fase de un talud que tiene 150 m de altura con un ángulo de talud global de 50º. Considerando la superposición de todos los eventos geológicos sucedidos en el yacimiento, se puede clasificar el macizo rocoso bajo solo una unidad geotécnica, denominada andesita cuarzo sericítica primaria. Por otro lado, la Superintendencia de Geología Mina ha desarrollado un mapeo estructural del macizo, resultando tres sistemas estructurales ortogonales entre sí, con un FF medio de 14 fracturas por metro, para cada uno, y manteando dos de ellos de forma sub-vertical y el otro sub-horizontal. La condición general de las discontinuidades es levemente rugosa y ligeramente alterada. Ensayos de laboratorio triaxiales para la unidad geotécnica, han entregado como resultado los siguientes valores de resistencia a la compresión axial para distintos esfuerzos de confinamiento.

Tabla 4

σ3 (MPa) σ1 (MPa)0,0 92,6 2,5 107,8 5,0 123,4 7,5 145,7

10,0 168,2 Por otro lado, la tronadura que se aplica ha sido bastante controlada, con detonadores electrónicos y líneas de precorte para evitar un sobredaño, producto de las vibraciones al macizo rocoso. Se requiere determinar:

Tabla 5 ROCA INTACTA MACIZO ROCOSO

Envolvente de Hoek & Brown Envolvente de Hoek & Brown Envolvente de Mohr Coulomb Envolvente de Mohr Coulomb

Modulo de deformabilidad E

ROCA INTACTA

Envolvente de Hoek & Brown Tabla 6

x = σ3 σ1 y = (σ1 - σ3)2 xy x2 y2

0,0 92,6 8.574,8 0,0 0,0 73.526.509,1 2,5 107,8 11.088,1 27.720,2 6,3 122.945.739,8 5,0 123,4 14.018,6 70.092,8 25,0 196.520.024,5 7,5 145,7 19.099,2 143.244,3 56,3 364.780.968,6 10,0 168,2 25.027,2 250.272,4 100,0 626.362.742,0

Σ 25,0 637,7 77.807,9 491.329,7 187,5 1.384.135.984,0

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Tabla 7

H & B 1997 (linealización)

Roclab (H & B Algoritmo Marquardt-Levenberg) 2002

σci (MPa) 85,8974 89,448

mi 19,0535 16,131 r2 0,966 ----

En lo que sigue, se validarán los resultados obtenidos en la primera columna. La envolvente de Hoek & Brown resulta:

Envolvente de Mohr Coulomb Una tendencia lineal de los ensayos en el plano σ1,σ3, arroja los siguientes resultados.

y = 7,564x + 89,72 Con un r2 = 0,9904. Esta ecuación es equivalente a Ecuación 4, por lo que el valor de K en tal ecuación es igual a 7,564. A partir de este número y la equivalencia con Ecuación 3, se obtiene el valor de φ de la siguiente forma:

Ecuación 25

El valor de c, se obtiene substituyendo el valor de φ en el primer término de la derecha de Ecuación 3, el cual se debe igualar a 85,8974. Este resultado (16,31 MPa), es reducido en un 25%, obteniendo:

Tabla 8 c75% (MPa) 12,23

φ (º) 50,04

Figura 9

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MACIZO ROCOSO

Hoek & Brown Con la información entregada, se han seleccionado como parámetros GSI y D, los siguientes valores respectivamente: 55 - 65; 0,7. De esta forma, las envolventes de falla para macizo rocoso son:

Mohr Coulomb Para la obtención de este valor se ha utilizado como datos para σ3max los valores extremos 3,2667 - 3,3568 Mpa (dependiendo del índice GSI), el cual resulta de la aplicación “taludes”, una altura de 150 m, y un peso unitario de la roca de 0,027 MN/m3. De esta forma, los parámetros de Mohr – Coulomb para macizo rocoso son:

Tabla 9 c (MPa) φ (º) GSI = 55 1,209 45,81GSI = 65 1,622 49,90

Módulo de deformabilidad del macizo rocoso Em

Teniendo en cuenta, que el valor de σci es menor a 100, este parámetro resulta:

Tabla 10 Em (MPa) GSI = 55 7.991,40 GSI = 65 14.210,94

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EJEMPLO DE APLICACIÓN 2 Se ha realizado un ensayo de corte directo sobre una estructura relativamente plana y sin relleno. Los resultados del ensayo se presentan en Tabla 11. El esfuerzo normal promedio durante la ejecución del ensayo fue de 200 KPa. El ensayo se realizó completamente, hasta alcanzar la condición de resistencia residual.

Tabla 11: Resultados Ensayo Corte Directo

Se requiere:

1. Graficar la curva esfuerzo deformación asociada a la estructura 2. Determine los parámetros de resistencia peak y residual de la estructura

ensayada. Solución

1.

Figura 10: Solución parte 1

CURVA ESFUERZO DE CORTE DESPLAZAMIENTO

0

50

100

150

200

250

300

0 5 10 15 20 25DEFORMACIÓN POR CORTE (mm)

ES

FUE

RZO

DE

CO

RTE

(KP

a)

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2. Dado que la estructura es relativamente plana y sin relleno, la cohesión tanto peak como residual, puede ser considerada como 0. Por otro lado, los parámetros que determinan la resistencia deben ser graficados en el plano σ – τ. De esta forma, se generan las rectas que se observan en Figura 11:

Figura 11

y = 0,895x

y = 1,205x

0

50

100

150

200

250

300

0 50 100 150 200 250

ESFUERZO NORMAL (KPa)

ES

FUE

RZO

DE

CO

RTE

(KP

a)

PEAKRESIDUALLineal (RESIDUAL)Lineal (PEAK)

De esta forma, los parámetros que definen la resistencia son:

Tabla 12 PEAK RESIDUAL

c (KPa) 0 0 f (º) 50,3º 41,8º

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CAPÍTULO 7: APLICACIONES CRITERIOS DE FALLA

1 GENERALIDADES Los criterios de falla establecen los parámetros límites de resistencia para un material en particular. Lo que sigue, es establecer qué solicitaciones mecánicas se realizan sobre tal material y compararlas con las arrojadas por el criterio de falla. De esta forma, se define un factor de seguridad. El factor de seguridad, es la razón entre la resistencia que presenta un material, y la solicitación o aplicación de esfuerzos a la que se verá sometido. Claramente, si los esfuerzos aplicados son menores a los que resiste este elemento, el factor de seguridad será mayor a 1, por lo que el elemento, en teoría, no debe fallar. De todas formas, cuando se trabaja en roca, existe una incertidumbre asociada al tipo de material relacionado con la actividad minera, por lo que se suele definir un factor de seguridad mayor a 1. Generalmente se utilizan valores iguales a 1,3 o 1,5. Luego,

FS = (σresistido/σaplicado)

Ecuación 1

2 EFECTOS DE PLANOS DE DEBILIDAD SOBRE DISTRIBUCIONES ELÁSTICAS DE ESFUERZOS

Para diseños de excavaciones subterráneas en donde existe la marcada existencia de un plano de debilidad que debe ser incluido dentro del análisis (falla, estructuras mayores, diques, etc.), se puede asumir que la resistencia del plano de debilidad está dada por el criterio de falla de Mohr Coulomb (Ecuación 2) y verificar mediante alguna solución elástica clásica los esfuerzos normales y de corte inducidos por la excavación. Así, y conociendo los parámetros de resistencia del plano de debilidad (c y φ). El factor de seguridad es calculado mediante Ecuación 3.

Ecuación 2

Ecuación 3

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3 DELINACIÓN DE ZONAS DE FALLA EN ROCA Una buena forma para delimitar las zonas de falla, está basada en los ábacos diseñados por Hoek (Figura 1), en los cuales se muestra primero, la forma de la excavación. Luego, a través de líneas segmentadas y continuas, los valores de σ3/σZ y σ1/σZ, respectivamente (equiespaciadas, similares a las curvas de nivel topográficas). Finalmente, en un recuadro inferior existe una proporción con el estado tensional actuante en el macizo rocoso. La metodología consiste en analizar una intersección de líneas para valores de σ3/σZ y σ1/σZ. A partir de esta intersección, corroborar la falla mediante el criterio de Hoek & Brown, utilizando la misma definición de factor de seguridad (Ecuación 4).

Ecuación 4

De esta forma, se construye una tabla que permita analizar para cada intersección de líneas si la falla se produce o no, y así, determinar la delineación de la falla en roca, aceptar o rechazar y cambiar el diseño.

Figura 1

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EJEMPLO DE APLICACIÓN 1 Figura 2, muestra la sección transversal de un diseño de excavación circular de largo que puede ser considerado semiinfinito, el cual desea ser implementado bajo su supervisión. Geología ha identificado la presencia de una falla, cuya geometría se aprecia en la figura, la cual presenta un relleno arcilloso bastante compacto y con en el contacto de sus paredes rugoso (se puede asumir c = 1 MPa). Por otro lado, el roce entre las paredes puede ser definido mediante un coeficiente de roce μ igual a 0,577. El estado tensional está definido por un esfuerzo vertical igual a 10 MPa y uno horizontal igual a 5 MPa. Se pide a usted determinar el máximo esfuerzo de corte generado sobre la falla luego del desarrollo de la excavación y determinar si la distribución elástica de esfuerzos será estable, de forma de aceptar o rechazar el diseño.

Figura 2

Solución Debido a que se requieren evaluar los esfuerzos inducidos de una excavación circular de largo semiinfinito, se utilizará la solución elástica de Kirsch para observar tales efectos. Se variará el ángulo θ y la distancia r hasta interceptar la falla. Los resultados obtenidos se muestran en Tabla 1, y se observan gráficamente en Figura 3. Se aprecia que la distancia r es sólo calculable para valores de r que se encuentran entre los -45º y los 135º. Para el desarrollo se han generado valores espaciados cada 10º.

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Tabla 1

INPUT OUTPUT σX σY a r θ σr (MPa) σθ (MPa) τrθ (MPa)

5 MPa 10 MPa 4 m 37,60 m 125º 6,60 8,44 -2,40 5 MPa 10 MPa 4 m 19,78 m 115º 5,84 9,42 -2,06 5 MPa 10 MPa 4 m 13,70 m 105º 5,39 10,35 -1,44 5 MPa 10 MPa 4 m 10,73 m 95º 5,22 11,15 -0,53 5 MPa 10 MPa 4 m 9,04 m 85º 5,21 11,71 0,55 5 MPa 10 MPa 4 m 8,02 m 75º 6,14 6,77 1,64 5 MPa 10 MPa 4 m 7,42 m 65º 5,50 7,65 2,54 5 MPa 10 MPa 4 m 7,09 m 55º 5,16 8,76 3,13 5 MPa 10 MPa 4 m 7,00 m 45º 5,05 9,95 3,33 5 MPa 10 MPa 4 m 7,09 m 35º 5,09 11,00 3,13 5 MPa 10 MPa 4 m 7,42 m 25º 5,17 11,69 2,54 5 MPa 10 MPa 4 m 8,02 m 15º 5,22 11,93 1,64 5 MPa 10 MPa 4 m 9,04 m 5º 5,21 11,71 0,55 5 MPa 10 MPa 4 m 10,73 m -5º 5,22 11,15 -0,53 5 MPa 10 MPa 4 m 13,70 m -15º 5,39 10,35 -1,44 5 MPa 10 MPa 4 m 19,78 m -25º 5,84 9,42 -2,06 5 MPa 10 MPa 4 m 37,60 m -35º 6,60 8,44 -2,40

Variación de esfuerzos de corte

-3-2-101234125º

115º105º

95º

85º

75º

65º

55º45º35º

25º

15º

5º

-5º

-15º

-25º-35º

Figura 3

Se aprecia que el valor máximo inducido de esfuerzo de corte se produce para un ángulo de 45º, esto es, a la distancia más cercana entre el centro de la excavación y la falla geológica, alcanzando un valor de 3,33 MPa. Para evaluar la seguridad del diseño, se toma en consideración el máximo esfuerzo de corte y el valor del esfuerzo normal provocado sobre la falla geológica, en este caso, correspondiente al esfuerzo radial inducido. Los parámetros de resistencia del plano de debilidad son c = 1 MPa y φ = tg-1(μ) = 30º

Por lo tanto, bajo un análisis determinístico y con un criterio de aceptabilidad de FS > 1, la estructura geológica no sufrirá falla.

- 70 -


EJEMPLO DE APLICACIÓN 2 Considerar una excavación circular ubicada a 200 m de profundidad, que se desea excavar en una andesita secundaria de regular calidad geotécnica, la cual presenta una resistencia a la compresión uniaxial para la roca intacta de 100 MPa, un peso unitario de 0,0027 MN/m3 y un índice geológico de resistencia igual a 45. Considerar un factor de perturbación a la roca debido a tronadura y desconfinamiento, igual a 0,3. El estado tensional en el sector de la excavación es tal que el esfuerzo vertical es igual a 24 MPa, y el esfuerzo horizontal en la sección transversal de la excavación es igual a 38 MPa. Se requiere delimitar la zona de falla alrededor de la excavación, si es que esta existe. Solución Estado tensional

σV = 24 MPa σH = 38 MPa

κ = σH / σV = 1,58

Envolvente de falla para el macizo rocoso El macizo rocoso se caracterizará mediante H&B, extrapolando los valores de roca intacta. Se utiliza criterio de falla de H&B, edición 2002.

INPUT ROCA INTACTA FACTORES DE ESCALAMIENTO OUTPUT MACIZO ROCOSOσci mi (Andesita) GSI D mb s a

100 MPa 25 45 0,3 2,479 0,0011 0,508 De esta forma, la falla a la compresión axial (σ1) queda definida para distintos valores de confinamiento (σ3), mediante la siguiente expresión:

Para analizar la falla, se utiliza el ábaco que se muestra en página siguiente. Se puede apreciar que en el recuadro inferior derecho, el estado tensional no es proporcional al aplicado, pero si se toma el ábaco de forma horizontal, se cumple aproximadamente la razón de esfuerzos (la cual es en realidad 1,58), y dado que la geometría de la excavación no cambia al realizar esta rotación, es válido utilizar éste ábaco.

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Se confecciona entonces la siguiente tabla, obteniendo los contornos delimitados que se muestran en Figura 4

Tabla 2 σ1APL/σZ σ1APL σ3APL/σZ σ3APL σ1RES FS = σ1RES/σ1APL

1,50 36,00 0,30 7,20 49,00 1,36 1,60 38,40 0,30 7,20 49,00 1,28 1,70 40,80 0,30 7,20 49,00 1,20 1,80 43,20 0,30 7,20 49,00 1,13 1,90 45,60 0,30 7,20 49,00 1,07 2,00 48,00 0,30 7,20 49,00 1,02 1,50 36,00 0,25 6,00 44,13 1,23 1,60 38,40 0,25 6,00 44,13 1,15 1,70 40,80 0,25 6,00 44,13 1,08 1,80 43,20 0,25 6,00 44,13 1,02 1,90 45,60 0,25 6,00 44,13 0,97 2,00 48,00 0,25 6,00 44,13 0,92 1,90 45,60 0,20 4,80 38,87 0,85 2,00 48,00 0,20 4,80 38,87 0,81 1,80 43,20 0,20 4,80 38,87 0,90 1,90 45,60 0,15 3,60 33,08 0,73 1,80 43,20 0,15 3,60 33,08 0,77 1,70 40,80 0,15 3,60 33,08 0,81 1,60 38,40 0,15 3,60 33,08 0,86 1,50 36,00 0,15 3,60 33,08 0,92 1,40 33,60 0,15 3,60 33,08 0,98 1,30 31,20 0,15 3,60 33,08 1,06 1,40 33,60 0,10 2,40 26,47 0,79 1,30 31,20 0,10 2,40 26,47 0,85 1,20 28,80 0,10 2,40 26,47 0,92 1,10 26,40 0,10 2,40 26,47 1,00 1,50 36,00 0,10 2,40 26,47 0,74 2,00 48,00 0,10 2,40 26,47 0,55 0,70 16,80 0,05 1,20 18,28 1,09 0,80 19,20 0,05 1,20 18,28 0,95 0,90 21,60 0,05 1,20 18,28 0,85 1,00 24,00 0,05 1,20 18,28 0,76 1,10 26,40 0,05 1,20 18,28 0,69 0,80 19,20 0,00 0,00 3,14 0,16 0,70 16,80 0,00 0,00 3,14 0,19 0,60 14,40 0,00 0,00 3,14 0,22

De esta forma, se delimitan los contornos, se puede apreciar que la sección de la excavación es completamente simétrica, por lo que basta establecer la región de falla para sólo uno de los cuatro cuadrantes y mediante operadores de simetría, aplicarlos al resto de los cuadrantes.

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Figura 4: Región de falla, la mitad inferior es simétrica a la zona delimitada superiormente

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CAPÍTULO 8: CLASIFICACIÓN DE MACIZOS ROCOSOS

1 GENERALIDADES La clasificación del macizo rocoso, es una importante guía para caracterizar mecánicamente a éste volumen mayor de roca; ya que dada la poca viabilidad de realizar ensayos a gran escala que permitan determinar estos parámetros, los distintos sistemas de clasificación constituyen el factor de escalamiento apropiado para extrapolar las propiedades desde ensayos de laboratorio en roca intacta.

PROP. MACIZO ROCOSO = FACTOR DE ESCALA · PROP. DE ROCA INTACTA

La mayoría de los sistemas de clasificación, basan su determinación en las propiedades de la roca intacta (principalmente la resistencia a la compresión uniaxial) y la cantidad y condición de las discontinuidades.

2 ALGUNOS FACTORES DE ESCALA

• RQD • FF • RMR (Bieniawski) • RMR (Laubscher) • Q • GSI • D

3 RQD

Figura 10

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4 SISTEMA DE CLASIFICACIÓN RMR BIENIAWSKI (1989)

Tabla 1: Sistema de Clasificación RMR Bieniawski (1989)

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5 SISTEMA DE CLASIFICACIÓN RMR BIENIAWSKI (1976)

Tabla 2: Sistema de clasificación RMR Bieniawski (1976)

6 GEOLOGICAL STRENGTH INDEX (GSI)

Tabla 3: GSI: Hoek, Kaiser & Bawden (1995)

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7 SISTEMA DE CLASIFICACIÓN RMR LAUBSCHER (1996)

Tabla 4: Sistema de clasificación RMR Laubscher (1996)

El índice RMR de Laubscher es bastante útil para definir sistemas de fortificación y por otro lado, condiciones de estabilidad o hundimiento basados en la geometría de una sector a hundir o de un caserón en particular. De esta manera, se define un índice denominado MRMR (RMR Modificado), el cual toma en cuenta 4 factores de ajuste: Debido a intemperización, debido a orientación de las estructuras, debido a tronadura y debido a humedad.

Ecuación 1

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Tabla 5: Factores de ajuste por intemperización

Tabla 6: Factores de ajuste por orientación de las estructuras

Tabla 7: Factores de ajuste por tipo de tronadura

Tabla 8: Factores de ajuste por aguas

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Luego, las zonas de estabilidad, transición o hundimiento, pueden ser definidas mediante el siguiente ábaco, el cual es función del radio hidráulico de la excavación:

Figura 2: Ábaco de Laubscher

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8 INDICE DE CALIDAD TUNELERA Q BARTON (1974) Este índice se basa en una serie de casos históricos registrados para variadas actividades tanto civiles como mineras. Depende de seis parámetros, RQD, Jn, Jr, Ja, Jw y SRF. Sus valores fluctúan entre 0,001 y 1.000 en una escala logarítmica.

Ecuación 2

Donde: RQD : Índice del grado de fracturamiento (Rock Quality Designation). Jn : Índice de diaclasamiento. Jr : Índice de rugosidad de las discontinuidades. Ja : Índice de alteración de la discontinuidad. Jw : Factor de reducción por la presencia de agua. SRF : Factor de reducción de esfuerzos.

Tabla 9: RQD

Tabla 10: Jn

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Tabla 11: Jr

Tabla 12: Ja

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Tabla 13: Jw

Tabla 14: SRF

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De forma de definir el soporte de una excavación, se ha definido una nueva variable, denominada diámetro equivalente (De). Esta, se obtiene mediante Ecuación 3

Ecuación 3

El valor de ESR, depende del grado de seguridad que se le quiera dar a la excavación, dependiendo la actividad para la cual será utilizada. Barton, sugiere los siguientes valores.

Tabla 15

De esta forma, los sistemas de soportes se presentan a continuación:

Tabla 16: Clases de soportes, basadas en la clasificación Q de Barton (1974)

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EJEMPLO DE APLICACIÓN 1 Se desea excavar el principal socavón de acceso a un nuevo sector productivo en una zona donde el estado tensional queda definido por un esfuerzo principal mayor igual a 30 MPa, horizontal y en dirección E - W; un esfuerzo principal intermedio de 25 MPa, horizontal y en dirección N - S; y un esfuerzo principal menor de 20 MPa, vertical. Los resultados de numerosos mapeos geológicos-geotécnicos y ensayos de mecánica de rocas permiten señalar lo siguiente: • Corresponde a un pórfido con alteración cuarzo sericítica moderada, con un peso

unitario de 2,62 ton/m3 y cuya resistencia a la compresión uniaxial para la roca intacta varía entre 30 y 90 MPa, con un valor medio de 68 MPa y una desviación estándar de 18 MPa.

• Presenta 3 sistemas o familias de estructuras, con las siguientes características

principales:

SISTEMA DIP DIP DIR TIPO DE ESTRUCTURA CARACTERÍSTICAS PRINCIPALES

S1 55º ± 5º 135º ± 10º Planos de

diaclasamiento (joints)

Persistencias de 1 a 5 m, con un espaciamiento medio de 0,55 m. Estructuras limpias o sin relleno, y con poca o ninguna alteración de su roca de caja. A pequeña escala (10 cm) son rugosas (JRC = 14 a 16), y a gran escala (5 m) son algo sinuosas.

S2 75º ± 5º 225º ± 10º

Fallas menores, vetillas (veins) y

planos de diaclasiamiento

(joints)

Persistencias de 3 a 10 m (> 30 m en el caso de las fallas), con un espaciamiento medio de 0,85 m. Estructuras con rellenos de arcilla, yeso, calcita y, en el caso de las fallas de salbanda arcillosa (espesores de 0,5 a 2 cm). Presentan poca o ninguna alteración de su roca de caja. A pequeña escala (10 cm) son poco rugosas (JRC = 8 a 10) a muy rugosas, en el caso de las fallas (JRC = 4 a 6) y a gran escala (10 m o más) son planas a algo sinuosas.

S3 35º ± 5º 180º ± 10º

Vetillas (veins) y planos de

diaclasamiento (joints)

Persistencias de 2 a 12 m, con un espaciamiento medio de 1,05 m. Estructuras con rellenos de arcilla y yeso. Presentan poca o ninguna alteración de su roca de caja. A pequeña escala (10 cm) son poco rugosas (JRC = 8 a 10), y a gran escala (10 m) son sinuosas en varias direcciones

• Presenta una frecuencia de fracturas de 12 a 15 fracturas/metro y, en base a

observaciones de terreno, puede suponerse que su índice RQD se ubica en el rango de 50% a 75%.

• Los afloramientos de roca se observan húmedos y localmente, algunas estructuras

canalizan filtraciones de agua (35 a 45 lt/min) En base a esta información, se requiere determinar los siguientes índices de calidad geotécnica:

• RMR Bieniawski 1989 (RMR89) • RMR Laubscher 1996 (RMR)

• Q Barton et al 1974

• GSI Hoek et al 1995

• Sistema de fortificación mediante algún sistema clasificado anteriormente

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Solución

Tabla 17: índices de calidad geotécnica SISTEMA DE

CLASIFICACIÓN PARÁMETRO VALOR PUNTAJE

Resistencia en compresión no confinada para la roca intacta σci (MPa) 68 ± 18 7

Índice RQD (%) 50 - 75 13 Espaciamiento de las discontinuidades, s (m) 0,55 a 1,05 10 a 15 Condición de las discontinuidades .- Persistencia, p (m) .- Apertura, a (mm) .- Rugosidad, r .- Relleno, t (mm) .- Alteración

3 a 10

0 Lisas > 5

Moderadamente aletada

2 6 0 0 3

Condición de aguas subterráneas, GWC Húmedo 7

BIENAWSKI (1989)

RMR89 Clase III, calidad media 48 - 53

Resistencia en compresión no confinada para la roca intacta IRS (MPa) 68 ± 18 6 a 10

Número de sistemas estructurales, n 3 Frecuencia de fracturas, FF (f/m) 12 a 15 9 a 7

Condición de las discontinuidades (35 a 45 lt/min) .- Sinuosidad de la discontinuidad, A .- Rugosidad, B .- Alteración de la roca de caja de discontinuidad, C .- Rellenos no cementados, D

0,80 a 0,97 0,55 a 0,70

1,00 0,50 a 0,70

9 a 19

LAUBSCHER (1996)

RMR Clase 4, calidad mala 24 a 36

Índice RQD (%) 50 a 75 Número por sistemas estructurales, Jn 9 5,6 a 8,3

Número por rugosidad, Jr 1 Número por alteración 1 a 4 0,25 a 1

Factor de reducción de esfuerzos, SRF 1 a 2,5 Factor de reducción por agua subterránea, Jw 0,66 a 1 0,26 a 1

BARTON ET AL. (1974)

Q74 Clase D, calidad mala 1 a 4

Estructura del macizo rocoso Fracturado en bloques a fuertemente fracturado en bloques

Condición de las discontinuidades Regular a mala HOEK ET AL. (1995)

GSI 45 a 65 Para diseñar el sistema de fortificación, se utilizará la clasificación de Barton et al. Dado que la excavación es un socavón de acceso, se supondrá que tiene dimensiones mínimas de 5 x 6. De esta forma, y considerando que la aplicación es minera y debe ser permanente, se tienen los siguientes valores:

Tabla 18 PARÁMETRO VALOR

Span 5 m ESR 1,6 De 3,125

Dados los valores de Q y el valor de De, de acuerdo a Tabla 16, se está dentro de grupo 4 de fortificación, el cual señala: Pernos sistemáticos de largo 2,4 m, espaciados cada 1,4 m y con capas de shotcrete entre 40 mm - 100 mm.

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REFERENCIAS BILIOGRÁFICAS

CAPÍTULO 1

• GOODMAN R., INTRODUCTION TO ROCK MECHANICS.

CAPÍTULO 2

• GOODMAN R., INTRODUCTION TO ROCK MECHANICS. • CAPÍTULO 2, CURSO DE MECÁNICA DE ROCAS I, DPTO. DE INGENIERÍA

EN MINAS, USACH.

• BRADY, B. & BROWN, E., ROCK MECHANICS FOR UNDERGROUND MINIG, ED. CHAPMAN & HALL.

CAPÍTULO 3

• OBERT & DUVALL, ROCK MECHANICS AND THE DESIGN OF STRUCTURE IN ROCK (1966), John Wiley & Sons.

• LLEDÓ, P. CAPÍTULO 2, CURSO FUNDAMENTOS DE GEOTECNIA, DPTO.

DE INGENIERÍA EN MINAS, USACH.

CAPÍTULO 4

• LLEDÓ P., CAPÍTULO 3, CURSO FUNDAMENTOS DE GEOTECNIA, SEGUNDO SEMESTRE 2006, UNIVERSIDAD DE SANTIAGO DE CHILE.

CAPÍTULO 5

• GOODMAN R., INTRODUCTION TO ROCK MECHANICS. • BRADY B., BROWN E,. ROCK MECHANICS FOR UNDERGROUND MINING,

THIRD EDITION, 2004

• LLEDÓ P. CAPÍTULO 3, CURSO FUNDAMENTOS DE GEOTECNIA, USACH, 2º SEMESTRE 2006.

CAPÍTULO 6

• HOEK & BROWN, PRACTICAL ESTIMATES OF ROCK MASS STRENGTH. • DÍAZ J., CAPITULO 5 CURSO MECÁNICA DE ROCAS I, RESISTENCIA Y

DEFORMACIÓN DE ROCAS, DISCONTINUIDADES Y MACIZOS ROCOSOS.

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• HOEK E., CARRANZA TORRES E., CORTKUM B., HOEK & BROWN FAILURE CRITERION – 2002 EDITION.

CAPÍTULO 7

• HOEK & BROWN, PRACTICAL ESTIMATES OF ROCK MASS STRENGTH. • HOEK E., CARRANZA TORRES E., CORTKUM B., HOEK & BROWN

FAILURE CRITERION – 2002 EDITION.

• BRADY B., BROWN. E., ROCK MECHANICS FOR UNDERGROUND MINING, 3º ED. 2004.

CAPÍTULO 8

• LLEDÓ P., CAPÍTULO 7, CURSO FUNDAMENTOS DE GEOTECNIA, USACH.

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fundamentos de geotecnia domcke

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