Fundamentos de Estadstica:

Resmenes.

A. Roberto Espejo Mohedano.

Arturo Gallego Segador.

TEMA 1: Introduccin a la Estadstica.

La Estadstica y las estadsticas.

Definicin de Estadstica:

o Estadstica Descriptiva.

o Estadstica Matemtica o Inferencial:

Poblacin y muestra.

Escalas de medida:

o Categricas: Ordinales y nominales.

o Numricas: Por intervalos y por ratios.

Herramientas para la Estadstica:

o Tcnicas de conteo.

o Clculo de probabilidades.

Estadstica Multivariante: Modelos probabilsticos.

Fundamentos de Estadstica: Resmenes. 2

Tema 2: Estadstica descriptiva univariante.

TEMA 2: Estadstica descriptiva univariante. MEDIDAS DATOS SIN AGRUPAR DATOS AGRUPADOS MEDIANA (me)

1( )2

e nn impar m x += =

12 2

e n nn par m x + +

= =

Intervalo mediano: Es el primero en el que la frecuencia absoluta acumulada es mayor que n/2.

12

= +i

e ii

n Nm L a

n i

Li= Limite inferior del intervalo mediano. Ni-1= Frecuencia absoluta acumulada del intervalo anterior al mediano. n= Nmero total de datos. ni= Frecuencia absoluta del intervalo mediano. ai= amplitud del intervalo mediano.

MEDIA ( X )

1

1 ni

iX x

n ==

1

1=

= k

i ii

X nn

x

CUARTILES

C1= Valor que deja el 25% de los datos a su izquierda. C2= Igual que C1 con el 50% de los datos. C3= Igual que C1 con el 75% de los datos.

14 ; 1,2,

= + =i

k i ii

n K NC L a k

n3

VARIANZA (S2) ( )2 2

1 1

2 21 1

= =

= =

n n

i ii i

S x x xn n

x ( )221

1=

= k

i ii

S n xn

x

DESVIACION TIPICA (S) 2SS = 2SS = CUASI_VARIANZA ( 2S ) ( )22

1

11

n

ii

S xn =

= x ( )

22

1

11 =

=

k

i ii

S n xn

x

CUASI_ DESVIACION TIPICA ( S )

2S S= 2S S=

MOMENTOS RESPECTO AL ORIGEN DE ORDEN r

1

1 n rr i

ia x

n ==

1

1=

= k

rr i

ia n

n ix

MOMENTOS RESPECTO A LA MEDIA DE ORDEN r ( )

1

1 n rr i

im x

n == x ( )

1

1=

= k

rr i i

im n x

nx

ERROR ESTANDAR .

1S S

n n= =

e s

COEFICIENTE DE VARIACION (V)

SX

=V

RANGO ( R ) R=X(n) - X(1) COEFICIENTE DE ASIMETRIA ( ) 1 3

31 S

m= = 0 Distribucin simtrica. 1

< 0 D. Asimtrica a la izquierda. > 0 D. A. a la derecha. 1 1COEFICIENTE DE CURTOSIS ( ) 2

344

2 = Sm

= 0 Mesocurtica. 2

> 0 Leptocurtica. ; < 0 Platicurtica. 2 2DATOS ANORMALES

iiX X

ZS

= S Z datos normales. [ 2,2i ]RELACION ENTRE S2 Y 2S

2 2( 1)n S n S=

Fundamentos de Estadstica: Resmenes. 3

Tema 2: Estadstica descriptiva univariante.

Tabla de frecuencias.

Frec. Absoluta Frec. Relativa (f.d.d. emprica)

Frec. Absoluta acumulada

Frec. Relativa aculada (f.d.D.

emprica) ni = ii

nf n 1i i iN n N = +

(N0=0) 1i i iF f F = +

(F0=0) Medidas grficas.

-3 -1.9 -1 -0.3 0.3 1 1.9 3

0.1

0.2

0.3

0.4

1

2 3

1

2 3

1

2 3

Histograma Diagrama de sectores (pastel)

0.1 0.3 0.5 0.7 0.9

10

20

30

40

Diagrama de barras Diagrama de frec. acumuladas

Fundamentos de Estadstica: Resmenes. 4

Tema 3: Estadstica descriptiva bivariante.

TEMA 3: Estadstica descriptiva bivariante.

),( YX ),(),......,,(),,( 2211 nn yxyxyx{ }**2*1 ,...,,S rXi xxxx = Posibles valores de X (o sus marcas de clase) { }**2*1 ,...,,S kYi yyyy = Posibles valores de Y (o sus marcas de clase)

Tabla de contingencia

Distribuciones marginales

Frecuencias absolutas

=

=k

jiji nn

1. ; i = 1,..., r (variable X)

=

=r

iijj nn

1. ; j = 1,..., k (variable Y)

Frecuencias relativas

nnf ii .. = ; i = 1,..., r (variable X)

nn

f jj.

. = ; j = 1,..., k (variable Y)

Y

X

M

C

V

X|Y

*1y *2y ... *jy ... *ky .in

*1x 11n 12n ... ... ... kn1 .1n *2x 21n 22n ... ... ... kn2 .2n M M M O M M

*ix M M ijn M M M M M O M M

*rx 1rn rn ... ... ... rkn .rn

n n n n n

Distribuciones condicionadas X

.

ijY X

i

nf

n= j = 1,..., k, i = 1,..., r

Y

.

ijX Y

j

nf

n= i = 1,..., r, j = 1,..., k

edidas de asociacin:

Escala nominal

nnn

fe jiij..= , frecuencias absolutas esperadas en caso de ausencia de asociacin ij

2 de Pearson = =

=

r

i

k

j ij

ijij

fefen

1 1

22 )( [0, nt] t = min {(r 1), (k 1)} 2

oeficiente C de contingencia n

C+

=2

2

C [0 , 1)

de Cramer nt

V2

= V [0,1]

Fundamentos de Estadstica: Resmenes. 5

Tema 3: Estadstica descriptiva bivariante.

Escala ordinal

Coeficientes predictivos : [ ]1,0.

..1

1.

..1...1/

=

=

= ==

jkj

r

ij

kjij

kjXY nmaxn

nmaxnmax

[ ]1,0.

..1

1.

..1...1/

=

=

= ==

iri

k

ji

riij

riYX nmaxn

nmaxnmax

Escala numrica Covarianza

yxyxnn

yxyxn

yyxxn

Sk

jiiij

r

i

n

iii

n

iiixy

=

==

==== 1111

11))((1

Coeficiente de correlacin [ ]1,1- =yx

xyxy SS

Sr

Fundamentos de Estadstica: Resmenes. 6

Tema 4 y 5: Combinatoria y calculo de probabilidades.

TEMA 4 y 5: Combinatoria y calculo de probabilidades. Introduccin.

Inferencia. Probable o improbable?. Fenmenos deterministas. Fenmenos aleatorios o estocsticos.

Conceptos bsicos. Espacio muestral .

Finito. Infinito numerable. Infinito no numerable.

Sucesos A . Suceso simple o elemental. Suceso compuesto. Sucesos impropios. Suceso seguro . Suceso imposible .

Relacin entre sucesos. Inclusin A B. Igualdad A = B.

Operaciones con sucesos. Unin A B. Interseccin A B.

Sucesos incompatibles. Complementacin. Suceso complementario . cA

Teora de conjuntos y sucesos. Propiedades de la y la de sucesos. Asociativa. Conmutativa. Distributiva. E. neutros. Leyes de Morgan. Diferencia entre sucesos A-B = A cB .lgebra de Boole.

lgebra de sucesos A: consecuencias. Sucesos aleatorios o estocsticos.

Extensin del lgebra: -lgebra. Espacio probabilizable ( ,A ).

Fundamentos de Estadstica: Resmenes. 7

Tema 4 y 5: Combinatoria y calculo de probabilidades.

Definicin frecuentista de probabilidad.

Frecuencia relativa del suceso A.

nan(A)rf =

nan

n(A)rfnP(A) == limlim

Propiedades

1

1

) =(rf

0 (A)rf

si A B =. (B)rf(A)rfB)(Arf +=

Definicin de Laplace de probabilidad.

Dados A tales que y e igualmente

verosmiles:

m,...,A,A21 = jAiA iAm

i=

= 1U

posiblescasos

favorablescasosmamP(A) ==

Definicin axiomtica de probabilidad.

Sea P: A tal que: [ 10, ] P() = 1

P(A) 0

P(A B) = P(A)+P(B) si A B=

P Funcin de probabilidad.

(,A, P) Espacio de probabilidad.

Consecuencia de los axiomas:

Si A B P(A) P(B)

P(A) 1

P(A))cP(A = 1

Fundamentos de Estadstica: Resmenes. 8

Tema 4 y 5: Combinatoria y calculo de probabilidades.

Ley aditiva de probabilidades.

si )n

i iP(A)

n

i iAP(

==

= 11U ji;jBiA =

P(AB) = P(A)+P(B)-P(A B)

P(A B C) = [P(A)+P(B)+P(C)]-[P(A B)+P(A C)+P(B C)]+

+[P(A B C)]

Generalizacin:

P(A B C D ...) = [P(A)+P(B)+P(C)+P(D)+...]-

- [P(A B)+P(A C)+P(A D)+...]+[P(A B C)+P(A B D)+...] - ...

(Bonferroni) )i i

P(A)i i

AP( U

-oOo-

Anlisis combinatorio.

REPETICIONES SIN CON

SI ( )!

!, nm

mVV nmnm ==

!, mVP mmm ==

nnm mVR =,

!...!!!

,...,,, kbamPR kbam

=

INFLUYE EL

ORDEN

NO ( ) ( )!!!

, nmnmCC mn

nmnm

=== ( ) ( )( )!1!!11

, +

== +mn

nmCR nmnnm

Fundamentos de Estadstica: Resmenes. 9

Tema 6: Probabilidad condicionada.

TEMA 6: Probabilidad condicionada.

Determinacin concreta del espacio muestral.

Frecuencia relativa condicionada.

(B)rf

B)(Arf

BnBAn)BA(rf

== si 0(B)rf

Probabilidad condicionada.

0>= P(B);P(B)

B)P(A)BAP(

0>= P(A);P(A)

B)P(A)ABP(

Independencia estocstica (aleatoria)

A i B P(A)=P(A/B)

A i B P(AB)=P(A) P(B)

A i B B i A En general, dados los son "mutuamente" independientes

si y slo si:

,...,niiA 1, =A iA

)n)...P(A)P(AP(A)nA...AP(A 2121 =

Teorema de la particin (o de la probabilidad total).

Dados A tales que: ,...,nii 1, =A

==U

n

iiA

1

jinjiAA ji == /,,1, K niAP i ,,1,0)( K=>

Sea B otro suceso, entonces: A

=

=n

iii )P(B/A)P(AP(B)

1

Fundamentos de Estadstica: Resmenes. 10

Tema 6: Probabilidad condicionada.

Demostracin: Basta considerar

1. Un

ii BAB

1

)(=

=

2. P )/()()( iii ABPAPBA = Teorema de Bayes.

Probabilidad a priori. Probabilidad a posteriori. Teorema: Dadas las condiciones del teorema de la particin:

=

= n

iii

jjj

ABPAP

ABPAPBAP

1)/()(

)/()()/(

Donde: )AP Probabilidad a priori. ( i Probabilidad a posteriori. )/( BAP j Verosimilitudes. )/( jABP Demostracin:

=

==

= n

iii

jjPTjjjj

ABPAP

ABPAPBP

ABPAPBP

BAPBAP

1

..

)/()(

)/()()(

)/()()(

)()/(

Fundamentos de Estadstica: Resmenes. 11

Tema 7: Variable aleatoria univariante.

TEMA 7: Variable aleatoria univariante.

P(A)

X-1(B)

Funcin real de lo Variable aleatoria Dado (, A X es v.a. sob Espacio muestral

S = { Funcin de distrib En un sentid

1. limx

2. limx

3. F es4. F es

A

X(A)

1

B

s resultados.

univariante (v.a.).

, P), sea X : R A A X(A) R

re intervalo B R, se tien

(S) de una v.a.

todas las realizaciones X(w), w

ucin (f.d.D.).

o estrictamente matemtico, F: R

0)( =xF

1)( =xF

montona no decreciente. (si x1< x continua por la derecha. ( lim

0,0F

hx

Fundamentos de Estadstica: Res

0

F(x)

R

e que X -1(B) A.

}

[0,1] es una f.d.D. sii:

2 F(x1) F(x2) ) ) )()( xFhx =+

menes. 12

Tema 7: Variable aleatoria univariante.

Funcin de distribucin de una v.a. X. F(x) = P({w / X (w) x}) ( F(x) = P(X x) ) " Distribucin de una unidad de masa sobre la recta real." " F(x) es la masa probabilstica situada a la izquierda del punto x." Variable aleatoria discreta.

El espacio muestral asociado es finito o numerable.

S = {x1, x2, ..., xn, ... } "Puntos donde se concentra la masa probabilstica."

Se entiende por P(X = x) a:

P(X = x) = P(X -1(x)) = P({w / X(w) = x})

Distribucin de probabilidad.

X x1 x2 ... xn P(X=x) P(X=x1) P(X=x2) ... P(X=xn)

===xx

ii

xPxPxF )()()( XX

Funcin de densidad (f.d.d.) de una v.a. (o de cuanta)

=

=SxsixP

Sxxf

)(0

)(X

=xx

ii

xfxF )()(

Variable aleatoria continua.

La v.a. puede tomar un valor cualquiera dentro de un intervalo real.

S puede ser de la forma: (a, b), (-, b), (a, +), (-, +)

}))(/({)),((()( 1 bwawPbaXPbaP

Tema 7: Variable aleatoria univariante.

La f.d.d. de una v.a. X, f(x) es una funcin tal que:

1. 1)( =+

dxxf

2. =

Tema 7: Variable aleatoria univariante.

Esperanza matemtica.

Si la funcin g(x) anterior es la identidad (g(x)=x), a E[X] se le denomina esperanza matemtica o simplemente esperanza de la v.a. X, siendo habitual notarla por . X

Propiedades:

1. [ ] kkE =2. [ ] [XX bEabaE +=+ ]

Momentos.

Momento de orden k respecto del parmetro c.

[ ]kck cEM )( = X Si c = 0. Momentos respecto al origen.

[ ]kk E X=

Si . Momentos centrales. X=c

[ ]kk E )( XX =

Media de una v.a.

"Media o valor medio" de la distribucin de la v.a. X [ ]XX E=== 1

+

==

Sxii

i

dxxfxxfx )(;)(

En general, no tiene porque existir la media.

Varianza de una v.a.

[ ]222 )( === X2X E "Varianza" de la distribucin de la v.a. X.

dxxfxxfxSx

iii

)()(;)()( 2222

+

==

Desviacin tpica de la v.a.

Fundamentos de Estadstica: Resmenes. 15

Tema 7: Variable aleatoria univariante.

2 += "Viene expresada en la mismas unidades que la v.a."

Propiedades:

1. "Teorema de Konning" 2122 =

2. Si Y siendo . Entonces: . Xba += ),( 2XX DX 2X

2Y

2b= Desigualdad de Tchebycheff.

211)(k

kkP +

Tema 8: Principales distribuciones discretas.

TEMA 8: Principales distribuciones discretas.

Distribucin Uniforme.

"La v.a. X toma valores x1, x2, ..., xn con igual probabilidad"

1 2 k1f (x) f (x,k) x x , x , , x (k)k

= = = K U

k

x

k

xk

ii

k

ii

==

== 1

2

21)(

;

.

En el caso de que SX={1,2,...,k} ,

121;

21 22 =+= kk

F(x)

En el caso particular de ser S

X={x0}, la distribuc

singular. Distribucin de Bernouilli o Binaria. "Experimento aleatorio con dos posibles resulta A = {"xito"} = {1} ; P(A) = p B = Ac = {"Fracaso"} = {0} ; P(B) = q =

1(),()( ppxfxf x ==

Proceso de Bernouilli:

1. La probabilidad de xito permanece con2. Los intentos repetidos son independient

[ ] =

=+==1

0

1 0)1(x

xx pppxpE X

[ ] [ ] [ ]( ) =

==1

0

1222 )1(x

xx ppxEEV XXX

Fundamentos de Estadstica:

1

2/k

1/k

1/k

f(x)

x1

xn

x2

in d

dos":

1-p

)1p x

stantees.

=2p

Resm

x1

e X

SX

B

pa

p

ene

x2

se dic

= {0,1

)( p

ra cad

=2p

s.

x3

e degenera

}

a uno de lo

)1( pp

xn

da o

s intentos.

17

Tema 8: Principales distribuciones discretas.

F(x)

q

1=p+q

0 1

f(x)

0

1

q

p

Distribucin binomial.

Dadas n pruebas de Bernouilli repetidas e independientes: )(,,, 21 pn BXXX LLa v.a. X "no de xitos total en las n pruebas" se dice binomial de parmetros n y p.

=

=n

ii pn

1),(bXX

xnx pp

xn

pnxfxf

== )1(),,()(

[ ] [ ] [ ] [ ] [ ] pnEEEEE n =+++=+++= nXXXXXXX KL 2121

[ ] [ ] [ ] [ ] [ ] qpnVVVVV =+++=+++= n21n21 XXXXXXX 222 111 KK

"Asociada a la idea de muestreos con reemplazamiento". Distribucin hipergeomtrica.

"La v.a. X no de xitos en una prueba muestra aleatoria de tamao n seleccionada de entra N resultados posibles, de los cuales a son xitos y b fracasos (a+b=N), se dice hipergeomtrica". ),,( banhX

+

+

==banbxn

ax

nba

xnb

xa

banxfxf ),,,()(

Fundamentos de Estadstica: Resmenes. 18

Tema 8: Principales distribuciones discretas.

[ ] [ ] N n a bE n p ; V nN 1 N N

= =

X X

"Asociada a la idea de muestreos sin reemplazamiento". Distribucin de Poisson. La v.a. X, no de ocurrencias del suceso A (xito) durante un gran nmero de pruebas, se dice de Poisson". En trminos coloquiales: "Una binomial con n grande y p pequeo".

pn= ;)(PX Matemticamente, si: ctepnpn == y0y :

=

+=

=

==

exnnn

xnx

nnnxnnnn

x

nnxnxnpp

xn

xP

xxnx

xnx

x

xnxxnx

!1111111

!

11)1()2)(1(!

1

1)!(!

!)1()(

L

L

X

Por lo tanto: == ex

xfxfx

!),()(

18bieno1.0

50cuando)(),( = >

siendo , (integral gamma), convergente . +

=0

1)( xdexp xp 0>p

[ ] [ ] 2; apV

apE == XX

Fundamentos de Estadstica: Resmenes. 23

Tema 9: Principales distribuciones continuas.

Distribucin exponencial.

Es un caso particular de la distribucin gamma para a=a y p=1.

)()1,( aExaX = .

Su f.d.d. es: >

=

restoaxea

xfax

;00,0;

)(

Distribucin chi-cuadrado.

Es un caso particular de la distribucin gamma para a=1/2 y p=n/2.

2)()2,2

1( nn =X

Su f.d.d. es: ( )

>

=

restoelen

xsiexnxf

xn

n

0

0)2(

21

)(2

112

2

Al parmetro n se le llama grados de libertad. Construccin a partir de la normal:

Sea la v.a. Z , la distribucin de la v.a. X es una y se le suele llamar distribucin cuadrado de la normal.

)1,0(N 2Z= 2 )1(

Sean las v.a. X , independientes entre si. 2 )1(

2)1(2

2)1(1 ,,, nXX K

La v.a. Y:

=

=n

ini

1

2)(XY

2H6L2H1L

2H4L

Fundamentos de Estadstica: Resmenes. 24

Tema 9: Principales distribuciones continuas.

2HnL

0

La distribucin chi-cuadrado es asimtrica y se encuentra tabulada, proporcionando la )( 2XP

2HnL

2 0

Distribucin t de Student.

Una v.a. X cuya f.d.d. es:

R

+

+

=

+

xnx

nn

n

xf

n2

12

1

2

21

)(

se dice que su distribucin pertenece a la familia de distribuciones t de Student con n grados de libertad. . )(ntX Construccin a partir de la normal: Sean las v.a. Z , la distribucin de la v.a.: 2(n)e)1,0( YN

)(n

n

tYZX =

Fundamentos de Estadstica: Resmenes. 25

Tema 9: Principales distribuciones continuas.

Esta distribucin simtrica respecto del origen y que se encuentra tabulada, proporcionado la )( tP X

tHnL

t0 Su forma funcional es algo mas achatada que la curva normal al tener una varianza mayor. Cuando n . )1,0()( Nt n

NH0,1LtHnL

1 10

Distribucin F de Fisher-Snedecor.

Una v.a. cuya f.d.d. es:

R

+

+

=

+

xx

nmx

nm

nmnm

xfnm

m21

2

2

1

22

2)(

se dice que su distribucin pertenece a la familia de distribuciones F de Fisher-Snedecor con n y m grados de libertad. . ),( mnFX

Fundamentos de Estadstica: Resmenes. 26

Tema 9: Principales distribuciones continuas.

Construccin a partir de la normal: Si la v.a. X y la v.a. X y son independientes entre si, la v.a.: 2 )(1 m

2)(2 n

),(2

1

nm

n

m FX

XX =

Es asimtrica, y su forma es del tipo:

FHn1,n2L

Su distribucin se encuentra tabulada, proporcionado la )( FX P

FHn1,n2L

F

Si ),(1

2

),(2

11

mnnm

m

n

n

m FX

X

XFX

XX ==

),(),1(),(,

1

mnnm

=F

F

Fundamentos de Estadstica: Resmenes. 27

Tema 9: Principales distribuciones continuas.

Teorema central del limite de Lindeberg-Levy.

Sean las v.a. X1, X2, ..., Xn independientes entre si y con la misma distribucin . Se verifica que la v.a.: iDX i ),(

2

),( 21

nnNn

ii =

=

XX

o bien:

)1,0(2

Nn

n

X

Relacin de convergencia entre b (n,p), P () y N(0,1): ( n 20, p 0.05 = np < 18 ) )(),( PX pnb

)1,0(),( Nnpq

nppn XX b ( n 30, min(p,q) 0.1 )

),(),( npqnpNpn bX ( Teorema de DMoivre)

( 18 ) o bien ),()( NPX )1,0(N

X

Correccin de continuidad de Yates: Si se quiere aproximar una distribucin discreta por una continua, hay que aplicar una correccin de continuidad consistente en considerar un intervalo en torno al punto que se desea estudiar.

Discreta Continua x = a a-0.5 y a+0.5

a < x < b a+0.5 y b-0.5 a x b a-0.5 y b+0.5 a x < b a-0.5 y b-0.5 a < x b a+0.5 y b+0.5

Fundamentos de Estadstica: Resmenes. 28

Tema 10: Variable aleatoria bivariante.

TEMA 10: Variable aleatoria bivariante. V.a. n-variante.

Dado un espacio de probabilidad ( , una funcin: ),, PA

( ))(,),(),( wwwn

n21 XXXwR:X

La

r

es una v.a. n-variante si intervalo se tiene que X . nRB A-1 )(B

r

Espacio muestral S de la v.a. X .

r

V.a. Bivariante:

( )

( ) ( ) 22

,)(,:,

RYXYXwRYX

=

(w)(w)wa

es v.a. bivariante si intervalo se tiene que ( ) . 2RB AYX, -1 )(B

Clasificacin de v.a. bivariantes: Discretas, continuas y mixtas.

Funcin de Distribucin (f.d.D.).

Dada una v.a. (X,Y) y tal que: [ 1,0: 2 RF ]

( )yxPyxF = YX ;),( se le denomina f.d.D. de la v.a. (X,Y).

Propiedades de la f.d.D.

F(x,y) es montona no decreciente respecto a cada una de las variables. F(x,y) es continua por la derecha respecto a cada una de las variables.

R=

yyxFx

0),(lim

R=

xyxF

y0),(lim

1),(lim

,=

yxF

yx

Fundamentos de Estadstica: Resmenes. 29

Tema 10: Variable aleatoria bivariante.

V.a. bidimensional discreta.

La v.a. (X,Y) es discreta si X e Y son discretas. es un conjunto finito o numerable. ( ){ = ww ;)(YX,S }

( ) ( ) ( )ywxwwPwxPyxP ====== )(;)(/)();(; 11 YXYXYX

Distribucin de probabilidad de la v.a. (X,Y).

X \ Y y1 y2 ... yj ... ym x1 p11 p12 ... p1j ... p1m x2 p21 p22 ... p2j ... p2m ... ... ... ... ... ... ... xi pi1 pi2 ... pij ... pim ... ... ... ... ... ... ... xn pn1 pn2 ... pnj ... pnm

siendo ( ) = =

====n

i

m

jijjiij pyxPp

1 11y;YX

f.d.D. de una v.a. (X,Y)

( ) ( )

====xx yy

jii j

yxPyxPyxF YXYX ;;),(

f.d.d de una v.a. (X,Y) o funcin de cuantia.

( )

====xx yy

jii j

yxfyxFyxPyxf ),(),(;),( YX

V.a. bivariante continua.

Una v.a. (X,Y) es continua si X e Y son continuas. Una v.a. (X,Y) es continua si:

puede expresarse como:

( yxPyxFyxFyxf = YX ;),(con),(/0),( )

+

==x y

yxyxFyxfdvduvufyxF ),(),(),(),(

2

Propiedades:

o +

+

= 1),( dydxyxf

o ( ) =

Tema 10: Variable aleatoria bivariante.

o

( ) ( ) ( ) ( 111221222121 ,,,,; yxFyxFyxFyxFyyxxP += YX ) ( )

Momentos.

Esperanza matemtica de una v.a. (X,Y)

Caso discreto:

Sii yxiiii yxfyx

,),(

Caso continuo: +

+

dydxyxfyx ),(

Momentos: ( ) ( )[ ]hkvu hk vuEM = YX,,

Para u=v=0 , "momentos respecto al origen" hk ,

Para u , "momentos centrales respecto de las medias" 1,00,1 ; == v hk ,

"media de X" "media de Y " "varianza de X" 0,1 1,0 0,2

"varianza de Y " "covarianza entre X e Y " 2,0 1,1

(Teorema de Konning) 1,00,11,11,1 =

Vector de medias:

=

y

x

Matriz de covarianzas:

= 2

2

yyx

xyx

Coeficiente de correlacin: yx

xyxy

=

Fundamentos de Estadstica: Resmenes. 31

Tema 10: Variable aleatoria bivariante.

Distribuciones marginales.

( ) ( )( )RYX,X = APAP ( ) ( )( )BPBP = RYX,Y

Caso discreto:

o Probabilidades marginales:

=

==m

jijx nipp i

1,,2,1 K

=

==n

iijy mjpp j

1,,2,1 K

X\Y y1 ... yj ... ym 1 x1 p11 ... p1j ... p1m px1 ... ... ... ... ... ... ... xi pi1 ... pij ... ... pxi ... ... ... ... ... ... ... xn pn1 ... ... ... ... pxn

o Distribuciones marginales: X x1 x2 ... xn Y y1 y2 ... ym pxi px1 px2 ... pxn 1 pyj py1 py2 ... pym 1

o f.d.D. marginales:

( )

=

Tema 10: Variable aleatoria bivariante.

Caso continuo:

o +

===

x xdttfdydtytfxFxF )(),(),()( 11

donde +

= dyyxfxf ),()(1

o +

===

y ydttfdtdxtxfyFyF )(),(),()( 22

donde +

= dxyxfyf ),()(2

o F1(x) y F2(y) son las f.d.D. marginales o f1(x) y f2(y) son las f.d.d. marginales.

Distribuciones condicionadas.

Caso discreto:

Sea (X,Y) una v.a. con f. de probabilidad pij y distribuciones marginales pxi y pyj:

( ) ( ) ( )( ) 0;;

// >==

======

j

j

yy

ij

j

jijiji pp

pyP

yxPyxPyxP

YYX

YX

( Probabilidad de X=xi condicionada al valor Y=yj )

o Distribuciones de probabilidad condicionada:

pyj > 0 X x1 x2 ... xn

p(xi/yj) p(x1/yj) p(x2/yj) ... p(xn/yj)

( )=ji y 1/ =

n

ixP

1

Caso continuo:

o 0)(;)(),()/( 2

2

>= yfyfyxfyxf (f.d.d. de la v.a. X condicionada al

valor Y=y).

o 0))(;)(

),()/( 2

2

>= yfyf

dtytfyxF

x

(f.d.D. de la v.a. X

condicionada al valor Y=y) Independencia (estocstica) entre v.as.

Fundamentos de Estadstica: Resmenes. 33

Tema 10: Variable aleatoria bivariante.

Dada una v.a (X,Y), las variables X e Y se dicen independientes si intervalo

de R2 de la forma ( (x1,y1),(x2,y2) ) se verifica:

( ) ( ) ( )( ) ( ) (

Tema 11: Introduccin a la Inferencia Estadstica.

TEMA 11: Introduccin a la Inferencia Estadstica. Muestreo.

Poblacin o colectivo: Censo (costos, destruccin del ente, entes relativos, ...).

Muestra. Principio de aleatoriedad (muestra aleatoria simple).

Muestra genrica: X v.a. n-dimensional. )( nX,...,X,X 21=r

x1 x'1 x''1 ... X1

x2 x'2 x''2 ... X2

x3 x'3 x''3 ... X3

... ... ... ... ...

xn x'n x''n ... Xn

x 'x ''x ... X Sx Sx' Sx'' ... SX

Para cada valor de muestra distinta. Realizacin de la muestra. Xr

Conjunto de todas las posibles realizaciones: espacio muestral de X . r

Tipos de muestreo:

o Segn el diseo: Muestreo aleatorio simple.

Muestreo estratificado.

Muestreo por conglomerados.

Muestreo polietpico.

o Segn la forma en que se toman las observaciones: Muestreo independiente o aleatorio simple.

Muestreo dependiente.

o Segn el tamao de la muestra: Muestreo en poblaciones finitas (con o sin reemplazamiento).

Muestreo en poblaciones infinitas.

Funcin de densidad de X (supuesto el muestreo aleatorio simple): r

Fundamentos de Estadstica: Resmenes. 35

Tema 11: Introduccin a la Inferencia Estadstica.

)f(x))f(xf(x),x,,xf(x nn LK 2121 =

llamada tambin funcin de verosimilitud.

Funcin de distribucin emprica de la muestra concreta:

YeXentredenciainterdepen

laamortiguaoocultaZvariableLaxyzxy22

,

Zdeefectoalenteexclusivamcasi

debeseYeXentredenciainterdepenLazxy 0

2,