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Vibraciones/JHT 1 / 28

Fundamentos de espectroscopia:

Vibraciones

Jesus Hernandez Trujillo

Facultad de Quımica, UNAM

Agosto de 2017

Oscilador armonico

Oscilador armonico

Oscilador amortiguado


forzado


Movimiento oscilatorio:

Una partıcula describe un movimiento oscilatorio (vibratorio)

cuando se mueve alrededor de una posicion de equilibrio.

Oscilador armonico

Oscilador armonico



forzado





Un cuerpo elastico se deforma cuando se le aplica una fuerza.

ℓ x

Faplicada

longitud de equilibrio

deformacion

Oscilador armonico

Oscilador armonico



forzado





Un cuerpo elastico se deforma cuando se le aplica una fuerza.

ℓ x

Faplicada

longitud de equilibrio

deformacion

Fuerza de restitucion:

La fuerza con que el material se opone a la defor-

macion.

Oscilador armonico



forzado


Relacion entre las fuerzas de restitucion y aplicada:

F ≡ Frestitucion = −Faplicada

Oscilador armonico



forzado




Ley de Hooke:

La magnitud de la fuerza de restitucion es

proporcional a la deformacion

Oscilador armonico



forzado




Ley de Hooke:

La magnitud de la fuerza de restitucion es

proporcional a la deformacion

Matematicamente:

F = −kx , k > 0

donde:

k es la constante de rigidez del material

x < 0 compresion F > 0x > 0 extension F < 0

Oscilador armonico



forzado


Intervalo de validez de la ley de Hooke:

deformaciones pequenas

x

F ≡ |F |

(depende la naturaleza del material, la temperatura, . . . .)

Oscilador armonico



forzado


Movimiento armonico simple:

��

��

��

��

��

��

ℓk

m O

xlongitud de equilibrio

Oscilador armonico



forzado


Movimiento armonico simple:

��

��

��

��

��

��

ℓk

m O

xlongitud de equilibrio

A partir de la segunda ley

de Newton

F = md2x

dt2

y de la ley de Hooke:

F = −kx

se obtiene

md2x

dt2= −kx

Oscilador armonico



forzado


Por lo tanto:

md2x

dt2+ kx = 0

d2x

dt2+ ω2x = 0 (1)

donde

ω2 =k

m

ω: Frecuencia circular

La solucion de (1) (o sus formas equivalentes anteriores) describe

el movimiento armonico simple.

Oscilador armonico



forzado


Las soluciones de (1) son de la forma

x(t) = A sen(ωt + φ) (2)

A: Amplitud

φ: angulo de fase

Oscilador armonico



forzado


Las soluciones de (1) son de la forma

x(t) = A sen(ωt + φ) (2)

A: Amplitud

φ: angulo de fase

{A,φ} son las constantes de integracion

de la solucion general de (1)

=⇒ Demuestra que (2) es solucion de (1)

Oscilador armonico



forzado


Resumen: Cinematica del oscilador armonico

posicion: x(t) = A sen(ωt + φ)velocidad: v(t) = Aω cos(ωt + φ)aceleracion: a(t) = −Aω2 sen(ωt + φ)

Oscilador armonico



forzado


tt1 t2 t3 t4 t5

tt1 t2 t3 t4 t5

tt1 t2 t3 t4 t5

τx(t) = A sen(ωt + φ)

v(t) = Aω cos(ωt + φ)

a(t) = −Aω2 sen(ωt + φ)

A

−Aφ

(a ∼ −x)

Oscilador armonico



forzado


Definiciones:

Periodo:

τ =2π

ω

Frecuencia:

ν =1

τ=

ω

2π=

1

2π

√

k

m

Oscilador armonico



forzado


Energıa mecanica del oscilador armonico

Energıa cinetica:

T =1

2mv2 =

1

2mA2ω2 cos2(ωt + φ) (4)

Oscilador armonico



forzado


Energıa mecanica del oscilador armonico

Energıa cinetica:

T =1

2mv2 =

1

2mA2ω2 cos2(ωt + φ) (4)

Energıa potencial:

La fuerza del oscilador armonico es conservativa:

∃V (x) tal que F (x) = −dV (x)

dx

Por lo tanto:

V (x) = −

∫

F (x)dx =

∫

kxdx =kx2

2+ c

Oscilador armonico



forzado


Al hacer V (0) = 0 se obtiene: c = 0

Por lo tanto:

V (x) =1

2kx2 =

1

2kA2 sen2(ωt + φ) (5)

Oscilador armonico



forzado


Al hacer V (0) = 0 se obtiene: c = 0

Por lo tanto:

V (x) =1

2kx2 =

1

2kA2 sen2(ωt + φ) (5)

Energıa mecanica:

E = T + V

Ejercicio: Utiliza (4) y (5) para obtener:

E =1

2kA2

(6)

Es decir, E es constante en el tiempo

Oscilador armonico



forzado


Graficamente:

en

erg

ía

t

E=T+V

TV

Oscilador armonico



forzado


Movimiento armonico simple vs movimiento circular

r(t) = R cosωt ı + R senωt

F (t) = −ω2r(t)

Fy ∼ y

Movimiento armonico:

y

y = R senωt,φ = 0

ω

R

luz placa

sombra


Oscilador armonico



forzado


Observacion experimental:

En un movimiento amortiguado, la amplitud de la oscila-

cion disminuye gradualmente en el tiempo

La friccion afecta el movimiento

��

��

��

��


Oscilador armonico



forzado


Observacion experimental:

En un movimiento amortiguado, la amplitud de la oscila-

cion disminuye gradualmente en el tiempo

La friccion afecta el movimiento

Ejemplo:

��

��

��

��

��

��

lıquido

Aproximacion:

La fuerza de friccion es

proporcional a la velocidad:

Ffric ∼ v

Funciona bien a velocidades pequenas

Oscilador armonico



forzado


Ejemplo: Ley de Stokes:

Ffric = −6πηrv

η: viscosidad

r: radio de la esfera

v velocidad

Esfera en un fluido viscoso

η constante, fluido Newtoniano

En contraste, en la salsa catsup: η ∼ fuerza

Oscilador armonico



forzado


Segunda ley de Newton para una partıcula sujeta a la accion de

una fuerza armonica y a una de amortiguamiento lineal

md2x

dt2= −kx − λ

dx

dt

Oscilador armonico



forzado


Segunda ley de Newton para una partıcula sujeta a la accion de

una fuerza armonica y a una de amortiguamiento lineal

md2x

dt2= −kx − λ

dx

dt

Al reordenar:

d2x

dt2+ 2γ

dx

dt+ ω2x = 0 (7)

donde

ω2 = k/m2γ = λ/m

Ecuacion diferencial homogenea de

coeficientes constantes

Oscilador armonico



forzado


Ejercicio Verifica que la ecuacion caracterıstica

r2 + 2γr + ω2 = 0

tiene por raıces:

r1 = −γ +√

γ2 − ω2

r2 = −γ −√

γ2 − ω2

Oscilador armonico



forzado


Ejercicio Verifica que la ecuacion caracterıstica

r2 + 2γr + ω2 = 0

tiene por raıces:

r1 = −γ +√

γ2 − ω2

r2 = −γ −√

γ2 − ω2

7→ Analizar las situaciones posibles:

subamortiguamiento: γ < ω.

amortiguamiento crıtico: γ = ω.

sobreamortiguamiento: γ > ω.

Oscilador armonico



forzado


Resumen:

subamortiguado

amortiguamiento crítico

sobreamortiguado

t

x

Oscilador amortiguado forzado

Oscilador armonico



forzado


Considerar ahora un oscilador

armonico amortiguado sujeto a

una fuerza externa Fext:

��

��

��

��

��

��

Fext

x

m

k

ω2

0= k/m

Frecuencia natural del

sistema masa-resorte


Oscilador armonico



forzado





��

��

��

��

��

��

Fext

x

m

k

ω2

0= k/m



Segunda ley de Newton:

md2x

dt2= −kx − λ

dx

dt+ Fext


Oscilador armonico



forzado





��

��

��

��

��

��

Fext

x

m

k

ω2

0= k/m




md2x

dt2= −kx − λ

dx

dt+ Fext

En el caso:

Fext = F0 cosωft

fuerza externa periodica con fre-

cuencia circular ωf


Oscilador armonico



forzado





��

��

��

��

��

��

Fext

x

m

k

ω2

0= k/m




md2x

dt2= −kx − λ

dx

dt+ Fext

En el caso:

Fext = F0 cosωft



Se tiene

md2x

dt2+ kx + λ

dx

dt= F0 cosωft (11)


Oscilador armonico



forzado





��

��

��

��

��

��

Fext

x

m

k

ω2

0= k/m




md2x

dt2= −kx − λ

dx

dt+ Fext

En el caso:

Fext = F0 cosωft



Se tiene

md2x

dt2+ kx + λ

dx

dt= F0 cosωft (11)

Ecuacion diferencial no homogenea

de coeficientes constantes

Oscilador armonico



forzado


Solucion de la forma

x(t) = xamort(t) + xf(t)

donde

xamort(t): solucion de la ecuacion de movimiento amortiguado

xf(t): solucion particular del movimiento forzado

Oscilador armonico



forzado


Solucion de la forma

x(t) = xamort(t) + xf(t)

donde

xamort(t): solucion de la ecuacion de movimiento amortiguado

xf(t): solucion particular del movimiento forzado

Mediante el metodo de los multiplicadores indeterminados:

xf(t) = c1 cosωft + c2 senωft (12)

Oscilador armonico



forzado


Graficamente:

t

xxamort (t)+xf (t)

xf (t)El sistema amortiguado se

mantiene en movimiento si

se le suministra energıa

Oscilador armonico



forzado


Graficamente:

t

xxamort (t)+xf (t)

xf (t)El sistema amortiguado se

mantiene en movimiento si

se le suministra energıa

Dado que

lımt→∞

xamort(t) = 0

entonces

lımt→∞

x(t) = xf(t)

Oscilador armonico



forzado


Ejercicio:

Obtener los valores de c1 y c2 de xf(t), ec.(12):

c1 =F0(k − ω2

fm)

(k − ω2

fm)2 + ω2

fλ2

(13)

c2 =F0ωfλ

(k − ω2

fm)2 + ω2

fλ2

(14)

Oscilador armonico



forzado


Al sustituir (13) y (14) en (12):

xf(t) =F0

(k − ω2

fm)2 + ω2

fλ2

×[

(k − ω2

fm) cosωft + ωfλ senωft

]

Ademas, el termino entre corchetes es

[ ] = a sen(ωft + α)

donde

a =√

(k − ω2

fm)2 + ω2

fλ2

Oscilador armonico



forzado


Por lo tanto, la solucion particular de (11) es:

xf(t) = A sen(ωft + α) (19)

donde

α = arctank − ω2

fm

ωfλ= arctan

(ω2

0− ω2

f)m

λωf

(20)

y

A(ωf) =F0

√

(k/m − ω2

f)2m2 + ω2

fλ2

(21)

⇒ ω0 es la frecuencia natural (frecuencia de resonancia) del

oscilador.

Oscilador armonico



forzado


λ3>λ2>λ1=0

ω0ωf

A(ω)λ1λ2λ3

Oscilador armonico



forzado


λ3>λ2>λ1=0

ω0ωf

A(ω)λ1λ2λ3

A(ωf) =F0

√

(ω2

0− ω2

f)2m2 + ω2

fλ2

Amax en ωf =√ω2

0− 2γ2

Oscilador armonico



forzado


λ3>λ2>λ1=0

ω0ωf

A(ω)λ1λ2λ3

A(ωf) =F0

√

(ω2

0− ω2

f)2m2 + ω2

fλ2

Amax en ωf =√ω2

0− 2γ2

︸︷︷︸

Amax

Oscilador armonico



forzado


λ3>λ2>λ1=0

ω0ωf

A(ω)λ1λ2λ3

A(ωf) =F0

√

(ω2

0− ω2

f)2m2 + ω2

fλ2

Amax en ωf =√ω2

0− 2γ2

︸︷︷︸

Amax

→ A es grande cuando

ωf ∼ ω0 (resonancia)

Oscilador armonico



forzado


Observaciones:

La velocidad maxima del oscilador es

vmax = ωfA =F0

√(

ω2

0−ω2

f

ωf

)2

m2 + λ2

Oscilador armonico



forzado


Observaciones:


vmax = ωfA =F0

√(

ω2

0−ω2

f

ωf

)2

m2 + λ2

Cuando ωf = ω0 la velocidad y la energıa cinetica son

maximos cuando λ = 0.

Oscilador armonico



forzado


Observaciones:


vmax = ωfA =F0

√(

ω2

0−ω2

f

ωf

)2

m2 + λ2

Cuando ωf = ω0 la velocidad y la energıa cinetica son

maximos cuando λ = 0.

La gran amplitud en la frecuencia de resonancia se debe a la

favorable transferencia de energıa hacia el oscilador cuando

Fext esta en fase con el.

Oscilador armonico



forzado


Ejemplos:

El movimiento de un columpio en fase con la fuerza aplicada.

Oscilador armonico



forzado


Ejemplos:


Las ondas captadas por el sintonizador de un radio.

Oscilador armonico



forzado


Ejemplos:



Un cantante que destruye una copa con su voz.

Oscilador armonico



forzado


Ejemplos:



Un cantante que destruye una copa con su voz.

Espectroscopia atomica y molecular.

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