FUNDAMENTOS BÁSICOS DEL CÁLCULO FINANCIERO.

- Valoración del dinero en el tiempo: tipo de interés. - Tipo de interés compuesto. - Tipo de interés efectivo y tipo de interés nominal. - Valor actual: Capitalización y descuento. - Flujos de tesorería múltiples: Rentas financieras. - Ejemplos y ejercicios

Referencia: Principios de Dirección Financiera. R.A. Brealey, S.C. Myers y A.J. Marcus. Ed. McGraw-Hill. Madrid 1999. – Capítulo 3.

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52 PARTE II. EL VALOR

Las empresas invierten en muchas cosas. Algunas son actiuos tangi-b/¿s -esto es, activos que usted puede tocar, como fábricas, maqui-naria y oficinas. Otras son actiuos intangibles, tales como patentes omarcas comerciales. En cada caso la empresa desembolsa ahoraalgún dinero con la esperanza de recibir más dinero posteriormente.

Los individuos también realizan inversiones. Por ejemplo, su edu-cación universitaria puede costarle a usted 30.000 dólares. Esto esuna inversión que usted espera amortizar en la forma de un salariomás alto a lo largo de su vida. Usted esta sembrando ahora y esperarecoger más tarde.

Las empresas pagan sus inversiones acumulando dinero y asu-miendo responsabilidades. Por ejemplo, ellas pueden pedir prestadodinero a un banco y prometer devolverlo con intereses más tarde. Us-ted también puede haber financiado su inversión en educación pidien-do prestado dinero que planea devolver después con ese salario mayor.

Todas estas decisiones financieras exigen comparaciones de losflujos de tesorería en diferentes fechas. ¿Será su sueldo futuro lo sufi-ciente para justificar el gasto actual en educación? ¿Cuánto tendrá quedevolver al banco si pide un préstamo para financiar su educación?

En este capítulo daremos los primeros pasos para entender larelación existente entre el valor de los dólares hoy y su valor en elfuturo. Empezaremos mirando cómo los fondos invertidos a un tipode interés determinado crecerán a 1o largo del tiempo. Entonces, nospreguntaremos cuánto necesitaría usted invertir hoy para produciruna cantidad de dinero determinada en el futuro. Después se descri-birán algunos atajos para calcular el valor de una serie de flujos detesorería. Finalmente, demostraremos cómo valorar un proyecto deinversión simple.

Después de estudiar este capítulo usted debería ser capaz de:o Calcular el valor futuro que alcanzará una inversión a un tipo

de interés determinado.o Comparar tasas de interés en diferentes intervalos de tiempo

-por ejemplo, tasas mensuales uersus tasas anuales.o Calcular el valor actual de flujos de tesorería futuros.o Calcular el valor actual y futuro de una serie de flujos de tesorería.o Calcular el valor actual neto de una inversión simple.

No hay nada complicado en estos cálculos pero para manejarloscon facilidad, usted debería leer el capítulo a fondo, trabajar concuidado a través de los ejemplos (hemos llenado de ellos el capítulo).y estar seguro de que usted es capaz de abordar los autocuestiona-rios. Le estamos proponiendo realizar una inversión ahora paraobtener una rentabilidad después.

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PARTE II. EL VALOR

Valor futuro: Cantidad a la quecrecerá una invers ión despuésde ganar los intereses.

Interés compuesto: Interésganado sobre interés.

Interés simple: lnterós ganadosolo sobre la inversión inicial,los intereses no ganan intereses.

TABLA 3.I.Interés compuesto.

interés de r y un horizonte de / años, el valor futuro de su inversión será

Valor futuro de 100$ : 100$ x (1+ r)r

Note en el ejemplo que sus intereses en el primer año es 6 dólares (6 porciento de 100 dólares), y en el segundo año es 6,36 dólares (6 por ciento de106 dólares). Su renta en el segundo año es más alta porque usted ahoragana intereses sobre arnbos,la inversión inicial de 100 dólares y los 6 dólaresde interés ganados en el año anterior. Esta ganancia de intereses sobre losintereses reinvertidos se conoce como capitalización o interés compuesto. Encontraste, si el banco calculó el interés sólo sobre su inversión inicial, ustedcobraría interés simple.

La Tabla 3.1 y la Figura 3.1 ilustran los mecanismos del interés com-puesto. La Tabla 3.1 muestra que en cada año, usted empieza con un re-sultado mayor en su cuenta -sus ahorros han aumentado por el interés delaño anterior . Como resultado, su renta de intereses también es más alta.

Obviamente, cuanto más alto es el tipo de interés, más rápido creceránsus ahorros. La Figura 3.2 muestra que unos pocos puntos porcentualessumados a la tasa de interés (compuesto) pueden afectar dramáticamente alos resultados futuros de su cuenta de ahorro. Por ejemplo, después de 10 años1.000 dólares invert idos al 10 por ciento crecerán a 1.000$ x (1,10)10 ::2.594$. Si invirtió al5 por ciento sólo crecerá a 1.000$ x (1,05)10 : 1.6295.

Calcular valores futuros es fácil util izando cualquier calculadora. Siusted tiene paciencia, puede multiplicar su inversión inicial por 1 * r (1,06en nuestro ejemplo) una vez por cada año de su inversión. Un sencilloprocedimiento es utilizar la tecla de potencias (la tecla y') en su calculadora.Por ejemplo, para calcular 1,0610, introduzca 1,06, presione la techa _r.'.introduzca 10, presione : y descubra que la respuesta es 1.791. ( Inténtelolr

Si usted no tiene calculadora, puede utllizar una tabla de valores futurostal como la Tabla 3.2. compruebe que usted puede urllizarla para calcularlos valores futuros de una inversión de 10 años al 6 por ciento. Encuentreprimero la fila correspondiente a 10 años. Continúe a lo largo de la filahasta que alcance la columna del 6 por ciento. La entrada muestra que1dólar invert ido durante 10 años al 6 por ciento crece a 1,791 dólares.

Intente ahora otro ejemplo. Si usted invierte un dólar durante 20 años al10 por ciento, ¿cuánto tendrá al final de los veinte años? Su respuestadebería ser 6.127 dólares.

La Tabla 3.2 presenta los valores futuros para una pequeña selección deaños y tipos de interés. La Tabla A.1 al final del libro es una versión mayorde la Tabla 3.2. Ella presenta el valor futuro de una inversión de un dólarpara un amplio rango de periodos de tiempo y tipos de interés.

Resultado Interés ganadoAño al principio del año durante el año

Resultadoal final del año

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100.00 : 6,00106,00 : 6.36t12,36 : 6 .741 1 9 " 1 0 : 7 , 1 5t26,25 : 1 ,57

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56 PARTE rr. EL vALoR

Las tablas de valores futuros son tediosas, y como se demuestra en laTabla 3.2, muestran valores futuros para un limitado conjunto de tipos deinterés y periodos de tiempo. Por ejemplo, suponga que usted quiere calcu-lar valores futuros utilizando un tipo de interés de 7,835 por ciento. La teclade elevar potencias en su calculadora será más rápida y fácil que las tablasde valores futuros. Una tercera alternativa es utilizar una calculadora finan-ciera. Éstas se discuten en un recuadro de la página 75.

EJEMPLO 3.1. La isla de Manhattan.

Uno de los ejemplos, preferidos por casi todo el mundo, del poder delinterés compuesto es la venta de la isla de Manhattan por 24 dólares en1626 a Peter Minuit. Si consideramos los precios actuales de los bienesinmobiliarios en Nueva York parece que el Sr. Minuit obtuvo un buennegocio. Pero consideremos el valor futuro de 24 dólares si hubieran sidoinvertidos durante 368 años (1994 menos 1626) a un tipo de interés del 8 porciento anual:

24$ x (1,08)368 : 47.880 mil lones de dólares

Quizás la inversión no fuera tan buena como parecía. El valor total de latierra en Manhattan está hoy probablemente cerca de 51.000 millones dedó1ares.

Aunque entretenido, este análisis es algo erróneo. Primero, el tipo deinterés del 8 por ciento que hemos utilizado para calcular el valor futuro esbastante alto como estándar histórico. A un 3,5 por ciento de tasa dcinterés, más consistente con la experiencia histórica el valor futuro de 24 dó-lares seria dramáticamente menol sólo 24$ x (1,035)368 : 1.555.444 dó\a-res! Segundo, nosotros hemos subestimado los rendimientos del Sr. Minuiry sus sucesores: hemos ignorado todos los ingresos por alquileres que la islaha generado durante los últimos 3 o 4 siglos.

Considerando todas las cosas, si nosotros hubiéramos estado en 1628.hubiéramos pagado con mucho gusto 24 dólares por la isla.

El poder del crecimiento a tipo compuesto no está restringido al dineroLos propietar ios de bosques intentan predecir la tasa de crecimiento conr-puesta de los árboles, los demógrafos la tasa de crecimiento compuesta de lapoblación. Un sociólogo ha observado que el número de abogados en losEstados Unidos está creciendo a una tasa compuesta mayor que la pobla-ción en su totalidad (3,6 uersus 0,9 por ciento en los años ochenta) y hacalculado que aproximadamente dentro de dos siglos habrá más abogadorque personas.

Suponga que Peter Minuit no fuera el primer magnate inmobil iario deNueva York pero en lugar de ello hubiera invertido sus 24 dólares a la tasadel 5 por ciento de interés en el Banco de Nueva Amsterdam ¿Cuál hubiera

AUTOCUESTIONARIO 3.I.

sido el saldo de su cuenta después de 5 años? ¿Y después de 50 años?

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58 PARTE II. EL VALOR

Tipo de interés nominal (APR):Tipo de interés equivalente enbase anua l u t i l i zando in te réssimple.

En general, el tipo de interés efectivo anual se define como la tasa decrecimiento anual de los fondos incluyendo los efectos de la composición.Por lo tanto,

(1 + tipo anual) : (1 + tipo mensual)12

Cuando se comparan tipos de interés, es mejor utilizar tipos efectivosanuales, porque esto compara el crecimiento de los fondos durante unperiodo común permitiendo posibles composiciones durante el periodo.Desafortunadamente, la práctica común anualiza tipos de interés a cortoplazo utllizando interés simple, multiplicando la tasa por periodo por elnúmero de periodos al año. De hecho, las leyes de transparencia en lospréstamos en Estados Unidos exigen que los tipos se anualicen de estamanera. Estos tipos se denominan tipo de interés anual (APR¡1. Así nuestro1 por ciento al mes de la tarjeta de crédito tiene un tipo compuesto anual de12,68 por ciento pero un APR de 12 por ciento.

Si los tipos cotizan sobre las bases de APR, ¿cómo podemos encontrar eltipo efectivo anual? La solución es sencilla. Primero tome el tipo APR ¡divida por el número de periodos en un año para recuperar el tipo originalpor periodo que actualmente se está cargando en el préstamo. Entoncescalcule el tipo de interés equivalente compuesto anualmente. Por ejemplo, elinterés sobre el préstamo de la tarjeta de crédito cotizará como un APR del12 por ciento. Como el interés se calcula mensualmente, hay 12 periodospara componer en el año. Asi, nosotros dividiremos primero por 12 paraobtener el tipo de interés mensual, 1 por ciento. Entonces, convertiremos aun tipo compuesto anualmente:

(1 + tipo anual) : (1 + tipo mensual)L2 : (1 + 0,01)12 : 1,1268

El tipo de interés anual es 0,1268 : 12,68 por ciento.En general, suponga que el interés sobre el préstamo se paga ¡r¿ veces al

año. Si el interés se capitaliza mensualmenfe, m : 12; si la capitalización essemestral, m : 2. El interés cargado por periodo iguala el APR dividido pornr. Después de un periodo una inversión de 1 dólar se aprecia en 1 ++APR/nr. Así el tipo de interés compuesto anual equivalente es (1 +*APR/n)- - 1.

EJEMPLO 3.3. Los tioos de interés efectivos en cuentas bancarias.

En los años 1960 y 1970la regulación federal limitó el tipo de interés (APR'que los bancos podían pagar sobre cuentas de ahorro. Los Bancos estabanhambrientos de depositarios, y estudiaban diversas formas de incrementar eltipo de interés efectiuo que podría pagarse dentro de las reglas. Su solución

t Las leyes de transparencia en los préstamos se aplican a pÉstamos de tarjetas de crédito.préstamos para adquisición de automóviles, préstamos de mejoras del hogar, y algunos présta-mos para pequeños negocios. Los APR no se utilizan normalmente en las grandes operacionr'.financieras.

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sgrrr sole^Jelul ue za| epec glnclec es ssJelul I0 oluoJ 'elueluoluoncs4

seur solisgdop sol eJqos s?Jelul Ie JelnJI€o o-red ¿¿y otusl[u Ie ]euelu€tu eJa

6S VUEIJNVNI.{ N9IJJAUIC A(I SOIdIJNIUd

60 PARTE lI. EL vALoR

Tasa de descuento: Tipo deinterés utilizado para calcularvalores actuales de flujos detesorería futulos

El valor futuro se calcula multiplicando la inversión actual por 1 más eltipo de interés,0,06, o 1,06. Para calcular el valor actual, nosotros simple-mente invertimos el proceso y dividimos el valor futuro por 1,06:

valor actual : vA - valorJuturo : ry : 100s1,06 1 ,06

¿Cuál es el valor actual de, digamos , 112,36 dólares que serán recibidosdentro de 2 años? De nuevo preguntamos, <¿cuánto necesitaríamos invertirahora?>. La respuesta es obviamente 100 dólares; nosotros ya hemos calcu-lado que al 6 por ciento 100 dólares crecen a 112,36 dólares:

1 0 0 $ x ( 1 , 0 6 ) 2 : 1 1 2 , 3 6 $

Sin embargo, si no lo conocemos, o bien olvidamos la respuesta, dividire-mos el valor futuro por (1,06)2:

vator actual : vA : ii1T,t : 1oo$( r .uoJ-

En general, para un valor futuro o pago dentro de r periodos, el valoractual es

Valor actual :Valor futuro después de r periodos

(1 -t r)t

En este contexto el tipo de interés r se conoce como la tasa de descuento y elvalor actual se denomina a menudo ualor descontado de los flujos futuios.Para calcular el valor actual, descontamos el valor futuro al tioo deinterés r .

EJEMPLO 3.4. Ahorrando para comprar un ordenador nuevo

Suponga que usted necesita 3.000 dólares el próximo año para comprar unordenador nuevo. El tipo de interés es el 8 por ciento anual. ¿cuánto dinerodebería usted apartar ahora para pagar por la compra? calcule el valoractual al 8 por ciento de tipo de interés del pago de 3.000 dólares dentro deun año. Este valor es

v A : T S : 2 . i i 7 , 7 i $1,09

Note que 2.717,77 dólares invertidos durante un año al 8 por ciento conce-derán lo suficiente para comprar el ordenador:

Valor futuro : 2.777,77$ x 1.08 : 3.000S

,('r + t)I

x ornlnJ o8ed :

,("t + I) -- - : vl\

oJnlnJ o¡eo

eluerulen8t soureupod ,(,r +'o]ueJaJrp €rrrJoJ ep seuolssso

:,(,.t + I)lI.rod rectldtllnu

1) -rod ornlnJ o8ed 1e rlpl^lp ep ru8nl uguo aqrJcss es Ienlc€ Jole^ Iep elnuJo,J €'I

$000.000.0I : oe(60,i) x $II¿'€S¿

:seJ€lgp ep seuollru 0I ?]s€q u0c0J3 sog€ 0E elueJnpolsanduroc serelul ep oluolc rod 61e sopluelul sorelgp II¡ESL enb e1o¡1

$II¿ €s¿ : #H+

: vA : Ienrc€ rolel

¿sog€ 0E ep orluop ugrlqlcor es enb sor¿lopep souollrtu 0I op I¿nloe Jol?^ IO se 1gn3?

'oluels :od 6 se sqrelul ep odtl 1E

'vA opuelncl€J '9'€ oTdI ltrfs

'gJpuot JoIBA Joueu 'o;eutp Io reuelqo eJed ru¡edse enb

pelsn e8uei sgru oluenJ 'u¿sBJloJ os soJnlnJ elJoJosol ap so8ed sol opuenJ'1en3r sesoc sul ep olseJ Ie opuelueluetu 'uaec se1enloe soJole^ aot ,tO....

99

ern?rg €l €Jlsontu otuoc 'so3¡31 sgtü sopol¡ad uoc ua€c solen]o¿ seJol€^' so-I'eluasa¡d

I€ oJnlnJ Ie epsop s€oull sel ep o8rul ol 3 sotuepocoJleJ sal€nlc€seJol€^ soru€lncleo opuunc 'olsandruoc s?Jolul uoJ sopluo^ul seJulgp 00Iep ornlnJ role^ Ie uerlsontu ¿'g ernStg BI ep seluepue3s€ seeull sel se;luell4tr'olsenduroc soJelul opuezlllln uelnolec es a;dtuets selenlc€ seJol€^ so-I

',("r + I) :od epr,trp .{ se¡.a¡ 1e oseco:d 1e eltde; 'orn1n¡

o8ed un ep I€nlce Jol€^ Io JeJluocue erc¿',Q * 1) rod IeDIUI uoISJe^.uIey anb17d47nru '.r sgtelut sp odtl IB soge I elueJnp oUeI^.uI IS oJnlnJ Ie uopelsn gJpue] olugnJ Jelncl¿J eJed 'oclsgq oluoltulpecord 1e soutlede¿

'sog€ sop ep orluop sorelgp 000'€ sorusllusol Jouelqo erud serelop ZO'T,L;'Z olos o;ed ogu un ep oJluep serelgp 000'€Jeuelqo e;ed serelop LL'LLL'Z ,{oq rtlre,rul ellseJeu pelsn 'eruo¡ ¿lsa eCI

,(go't )s¿o'¿¿s¿ ::: vA $UUU L

:z(80'I) rod se:e1gP

000'€ sol opuelpl^Ip oJnlnJ o8ed 1ep l€nlJe role^ Ie so{uelncl€J osec aJSeuA 'soge sop ep oJtuep €lseq JopeuepJo olso ep erduroc u1 rauodsod apendpelsn anb eSuodns 'oldurele :o¿ ',{oq JIue^.uI ep p€plseceu ?l se Jouetu'o8ed

1e JeJeq aqep pelsn enb Ie JoIJolu¿ oduet] 1e se :o,{eru o}uenJ

19 VUAIJNVNIC N9IJJAUIC ACI SOIdIJNIUd

62 PARTE rr. EL vALoR

FIGURA 3.3.Valor actual de un flujo detesorería futuro de I dólar.

Factor de descuento: Valoractual de un pago futuro de1 dólar.

0.9oL ^ ^

s u'ó- n 7

a

o 0 6

E 0 5E6 0 4

S 0,3

' - r = S o / s

La expresión llQ * r)' se denomina factor de descuento. Mide el valoractual de 1 dólar recibido en el año t.

La forma más sencilla para encontrar el factor de descuento es utilizaruna calculadora, pero los directores financieros a veces encuentran conve-nientemente calcular el factor de descuento utilizando tablas de factores dedescuento. Por ejemplo, la Tabla 3.4 muestra factores de descuento para unpequeño rango de años y tipos de interés. La Tabla 4.2 situada al final dellibro proporciona un conjunto de factores de descuento para un rangomayor de años y de tipos de interés.

Intente utllizar la Tabla 3.4 para comprobar nuestros cálculos sobrecuánto dinero aparfar parala compra del ordenador de 3.000 dólares . Si eltipo de interés es el 8 por ciento, el valor actual de 1 dólar pagado al finaldel año 1 es 0.926 dólares . Así el valor actual de 3.000 dólares es

VA : 3.000$ * t* : 3.000$ x 0,926 : 2.7785t.0b

TABLA 3.4.Valor actual de I dólar . Tipo de interés anual

Númerode años 5Vo l0Va9Vo7Vo

123451 02030

0,9520,9070,8640.8230,'7840,6140,3770.231

o q41

0,8900,8400,'7920,1470,5580,3120.174

0,9350,8730,8 160,7630,7130,5080,2580 .131

0,9260,8570,7940,7350,6810,4630,2150,099

0,9170,8420,7720,7080,6500,4220,1 780,075

0,9090,8260,7510,6830,6210,3860,1,490,057

., olnlrd€J l3 ue sorxsl€lqeq solle oJqos .ota, ugdrc souoq outoc uocouos as os?3 else ua'9 oge

IJp f€uu lp o8ed oJrun un olos ugJl?p ou€rlelr oulalqoc IJp souoq so'l 'uodn) o tDlnb¿J sy'.t¿tul

un uoqrcsJ souoq ue soloslo^ul sol 'elueull"IuloN 'soroq ouIoJ uacouoc es nol solsg z

'sel€lul3ep seJl ep pnlllcexe uoJ- 8t9'0se 'ourruec op pellul € gise oluencsep op JolseJ Ie oluolc Jod S'¿ ep sqJelulop odrl un eJed 'oluol3 Jod 8 Ie se s?Jelul op odl] Ie IS €9'0 sa ,{ oluels Jod

¿ Ie se sgJalul ep odrl Ie IS 999'0 so soge 9 3 oluoncsep op JolcBJ ¡e anb re,nepend potsn 'orqll

Iop IEuIJ Ie spenlls Z'Y elqe¡- el razqrln soueppod 'o1

-uoncsep op JolceJ Ie JeJluoouo elud e.rope¡n3l€c Bun JezrlrTn ep;e8n¡ ug

^(cr o'r )s8t9:8t9'0 x $0001 x $000'l : vA

t

:sog? 9 ep oluenJsep ep rolc€J Ie:od serelgp 000'I ep oJnlnJ o8ed ¡e soruectldtllntu role^ I3 relnclsJ €JBd

¿ouerlslr ouJolqog Iep OOI un ¡od rc?ed e olsendstp pelsn opelso €relqnqo1u9n3? 'olualJ tod g'¿ ¿Je oJuolrIoru ose ue opeoJelu op s9J31uI ep odtl

IE.soge g op I€uu I€ ser€lgp 000.I ropoesod ¡e re8ed elleuro;d selenc so¡ep oun 3pe3 'snol gllluje olla eJsd 'soge sles eluBJnp soJ€lgp op seuolllur

8t ep our€lsa¡d un .rrped gltseceu oueIIBlI ourelqoD lo 7,66I op orerqeJ uE

sor€lgp ep souollltu 8t uo Bpnepue os oUBII€II ourolqoc IE '9't OI¿IAISfS

''.9 OIUYNOITSSNJOIiIY

'(¿optlues

olse euoll gnb ;o¿?) 'ua,{nuturstp o^onu ep sel¿nlo€ seJol€^ so¡ 'so?re¡

sgru oluenosep ep sopotred etceq 'seurunloo sel ¡od e.tenur es pelsn opu€nJ'e,Ánurursrp

I€nlc€ Jole^ Ie 'so11e sgru seJOluI ep sodrl Btceq esopu?lSlilp

'r't EIqeL €l ep selu se1 ;od elentu es pelsn anb eprperu e enb e1o¡1'oopuopeJ ep seJoJle

so1 :od oJuelueclun y'g o¡druefg lep solnclgc sol ep eJeIJIp olonu ep enb

sr¿s'z: ¿s8'o x $ooo'E: úP x $ooo't: vA I

so sorelgp 000'€ áp Ienlce rols^ I3 o8enl '¿98'0 se soge sop op orluop ope8edr€lgp I op I€ntcu role^ Io enb erlsenru t't €lq€I eT ¿sog€ Z ep orluepelseq euodsod es ;opeuepJo lep e¡du¡oc 3l IS eJJn3o 9nÓ?

't'E oldruefg 1eue o^nlqo es enb Jols^ Ie uoc eplculoc oepuopal ep seJoJJe :od o.t1us Isnc Ie

E9 VUAIJNVNIC N9I]JEUIC ECI SOIdIJNIUd

64 PARTE II. EL VALOR

EJEMPLO 3.7. Encontrando el valor de un crédito sin interés.

Canguro Autos ofrece crédito sin interés sobre un coche de 10.000 dólares.Usted paga 4.000 dólares ahora y el resto dentro de dos años. TortugaMotor no ofrece crédito sin interés pero le rebaja a usted 500 dólares delprecio en tarifa. Si el tipo de interés es el 10 por ciento3. ¿qué compañía estaofreciendo mejores oportunidades?

Note que en total usted paga más al comprar a través de Canguro, pero.como parte del pago se pospone, puede mantener el dinero en el bancodonde continuará ganando intereses. Para comparar las dos ofertas, ustednecesita calcular el valor actual de los Dasos de Cansuro:

vA : 4.000$ + 6.000$ " - : : 4.000s + (6.000s x 0,826) :

(1 .10) ' .

: 4.000$ + 4.958,68$ : 8.958,68$

Si usted paga 4.000 dólares ahora y aparLa 4.958,68 dólares en unacuenta en el banco, tendrá lo suficiente para pagar a Canguro Autos. Elcoste total de 8.958,68 dólares es una oportunidad mejor que los 9.500dólares cargados por Tortuga Motor

Estos cálculos ilustran lo importante que es utilizar valores actuales cuan-do comparamos formas alternativas de pagos. Usted nunca debería compararflujos de tesorería que tengan lugar en diferentes momentos de tiempo sindescontarlos primero a un momento común. Calculando los valores actualesvemos cuánto dinero debe aplazarse hoy para pagar futuros.

Encontrar el Cuando miramos a los IOUs del Gobierno italiano en la sección anterior, setipo de interés utilizó el tipo de interés para calcular un precio de mercado aproximado

para cada IOU. Algunas veces le dan a usted el precio y tiene que calcular elrnterés que se está ofreciendo.

Por -ejemplo,

cuando el Gobierno italiano se endeudó, no anunció untipo de interés; simplemente ofreció la venta de IOU a 648 dolares. De estaforma sabemos oue

V A : 1 . 0 0 0 $ X - : 6 4 8 $( l * r ) "

¿Cuál es el tipo de interés?Hay diferentes formas de aproximar esto. Primero, usted podría utilizar

una tabla de factores de descuento. Usted necesita encontrar el tipo deinterés para el cual el factor de descuento a seis años es igual a 0,648. Mirela Tabla 4.2 situada al final del libro y mueva su dedo a 1o largo de la filacorrespondiente a seis años. Usted puede ver que un tipo de interés del 7 porciento proporciona un factor de descuento mayor y que un tipo de descuen-

3 Suponemos capitalización anual, de forma que no hay necesidad de distinguir APR de lostipos efectivos anuales.

'soJ€lgp 00I ue oluel'uepstulxoJde o^IlcoJe olceJd ns oplJnpeJ eq oJnSueJ

$0s'6s8'8 :

EZ'1,I|V + $LZ'17.1'7, * $000'Z :

(928'0 x $000's) + (606'0 x $000'E) * $000'Z :

[,(orr) I (ot't - \ | " "- - x q000'9 | + t, x $000'el + SOOO'Z : VAL t r \r /

se so8¿d sol ep lelol role^ IA 'sog€ sop e oluenJsop

ep JolJeJ 1e ;od soruectldtl¡ntu 'soge sop e oSed Ie J¿Jole^ e;ed loge un eoluanosep op JoloeJ 1e rod soruectldtllntu ou€ un e o?ed Ie :eJolu^ BJ€d

¿BueJo JorJolu? €l uoJ else .l¿.ledu¡oc ourg3?'7 ove Iep IBurJ Ie sorslgp 000'9 ,( 'I oge Iep IsuIJ I3 serslgp 000'€

'eroq?

seJelgp ggg'¿ .re8ud uo elslsuoJ 'eueJo ns opesl^oJ €q solnY o;n8uu3

oqcor un ep sozeld e erduro3 '8'€ OldIAItrfT

'sol¿n]3s seJol€^. sol solu€Illns,( eperedes €uJoJ ep oun EpEO sotueJolel olueue¡durts 'solnln¡ so8ed soIJeA,{eq opuenc ISV 'solJeluns epend pelsn enb eIrIJoJ ep- so}uelJJoc soJ€lopue sopese;dxe uulso enb se sel€nlce soJole^ sol ep selulue,t sel ep €un

ssrdrrlchr Ylusuossr [c sofnr.{ 'v'E

'(o;qll Iep g¿ eut89d ;e,n) e;etcueut3 er

-opulnJlec eun Jszrlrln u?Iqrusl epend polsll 'osne¡d sgru se olse 1e'teue8 ug

% I'L o 'S¿0'0 : I

9¿o'I : nir(tvg'r): (r + l)

¿oluelJ rod 9'¿ enb ¡ouau¡ o ¡oÁeu¡eros r rs Jr¡op petsn epand? 'solnclgJ sol rBa[BoJ ep saluv ¿seJBIgp S0¿rod ¡6¡ ms Jopuo^ epond oueqult ourotqog Ie IS s?Jolul ep odq ¡e sa ¡un3?'9't oluYNorrssnJor.l \

$819ti9'r ::n(;+I)

: nQ -r I) x $8t9

s000'Is000'r

enb ¡e¡lsoruep e;edBJopelncleo ns Jezrllln ,( uotcence e1 ua :eredo epend pelsn 'opun8ag

'oluatJ ,rod g'¿ un'p€]lur el aluorü€psuuxo,¡de €le ouzllell ouJolqog Iep otuelseJd 1ep sqlalutep odrl IE

'Jouoru oluonosep ep Jolc€J un uuotc;odo¡d oluen :od 3 ¡ep o1

s9 VUSTJNVNIJ N9IJJIUICI aC SOIdIJNIUd

66 PARTE II. EL VALOR

Deuda perpetua

Perpetuidad: Flujo de pagos detesoreria oue no finaliza nunca.

Cuando hay múltiples pagos, usted oirá a las personas de negociosreferirse a una corriente de Jlujos de caja. Ellos calculan el valor actual de esacorriente calculando primero el valor actual de los pagos de cada periodo isumándolos posteriormente.

A veces hay atajos que hacen más fácil el cálculo del valor actual de unactivo que ofrece varios pagos en diferentes periodos. Veamos algunosejemplos.

En ocasiones usted se encuentra con inversiones que realizan un pagoregular a perpetuidad. Por ejemplo, hace algún tiempo el Gobierno Británi-co se endeudó emitiendo deuda perpetua. En lugar de devolver el préstamo.el Gobierno Británico paga a los inversores que posean estos títulos unacantidad fija anual a perpetuidad (para siempre).El tipo de interés de la deuda perpetua es igual al pago anual prometido Cdividido entre el valor actual. Por ejemplo si la deuda perpetua paga 10 dó-lares al año y usted puede comprarla por 100 dólares, ganará un i0 porciento de intereses cada año Dor su inversión. En seneral.

Tipo de interés de la deuda perpetua :pago de tesorería

valor actual

C' V A

Podemos reordenar esta relación para derivar el VA de la deuda perpetuadado el tipo de interés r y el pago de tesorería C:

VA de la deuda perpetua : I :r

pago de tesorería

tipo de interés

Suponga que una noble persona desea hacer una donación de unacátedra en finanzas a su Universidad. Si el tipo de interés es el 10 por cientr-'y el objetivo es conceder 100.000 dólares al año, para siempre, la cantidadque debe ser destinada hoy es

100.000$VA de la deuda perpetua

0 ,10: 1.000.000s

Dos advertencias sobre la fórmula de la deuda perpetua. Primero, sihecha una mirada rápida usted puede confundir fácilmente la fórmula conla del VA de un pago individual. Un pago de 1 dólar al final del año 1 tieneun valor actual de IIG * r).La deuda perpetua tiene un valor de 1/r. Ésto.son bastante diferentes.

Segundo, la fórmula de la deuda perpetua nos dice el valor de unacorriente de pagos regular que comienza dentro de un periodo. Así nuestradonación de un millón de dólares daría por lo tanto a la Universidad elprimer pago de 100.000 dólares dentro de un año. Si el noble donante quiereconceder a la universidad un pago adicional de 100.000 dólares inmediata-mente, el o ella necesitaría donar 1.100.000 dólares.

: q :r

'zSI

SI

sI

SI

$l

$I

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r0+l).¡_.t

II€(.¿ + I)r

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soge t t p¿pll€nuv

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y en¡ad.rad epnoq

IBnlrB rolBAogv

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'I sllJ BI 3p uorsJo^ur el oluoc elJoJo.sol ep soSed souIslur sol oluetuelcexeu€p E ,{ ¿ se¡r¡ s€l op seuolsJe^ul sEI s?}un[ opu¿ulo1 'o1se .le,t opond u?lq-I.ue] pelsn 'soge soJl ¿ pBpllsnue eun so'seJqel8d s€Jlo uE 'soge seJl sol epoun ¿pec Jod og€ Ie Jelgp I op oSed ep Ie^ru un epoJuoc elsg 't'E eJnSIl elep €llJ €JecJel el ue €Jlsonu es enb uoISJeAuI €l oJIlil 'ol.ullln Jbd 't ¿ll.{

,(;+l)"r_r(.r+l)..rIII

op rolel un euer] epeze¡de peprnledred el ISV 'soge

€ ep oluenosep opJolc¿J Ie Jod J/I JecIIdIUnu sotuellseceu ,(oq JolB^ Ie J€Jluocue eJed 'BJoq€

JolE^ Ie so ou es? ored '(1 oge Iep IBuu IB u€zuelluos 3nb so33d uo3 IeIuJouenlodJod €pnep eun gJos 'oluetuotu ese uá enb:od) € og€ Ie ue l¡ ep Jole^un eJpue] enb sorueqes 't og¿ Ie Blseq u€zuoluloo ou so8ud solse o;ed'pep-rnted¡ed ¿ relgp 1 ep so8ed ep ofng un euolorodord ugtqure¡'y'g ern8tg e1ep ellJ epun8es el ue eJlsenur es enb UoISJOAUI el e eJoq€ aJIW 'Z sll.{

'rlI ep Ien]oe role.\ un euerl enledred epnap elsaenb o1sr.,r, sotuor{ e^'I oge Ie ue opezuetuoc p€plnledred e Jelgp 1 ep soSedep ofng un epecuoc e¡.¡ ereurud el uo epeJlsotu uoISJe^uI e'I 'I BIl.{

'seuorsJe^ur €

op soJol€^ so1 ,( eue;ose1 ep sofng sol €Jlsenlu ¡'E ernSrg e'I 'ocnJ] eluetnSts

1ep efelue.t Jeces so eprdg: BrrrJoJ E-I 'seJole^ sol Jeuns ,{ o8ed epecJeJoleA so €luol ¿ruJoJ e-I 'peprlenu€ €un JeJolz¡. ap setuJoJ sop ,{e¡1'selen8r solenu€ sep€prlue3 g¿ ue 'oldruefe ¡od 'sozeld uo eJqoc elueuuctdllopelso Iep €lJelol eun op :opeue8 19

'selen8r sel€nsuolx so8ed gy ue?txaeqcoo un ep erduroc el oJqos sog€ oJlenc ¿ sourelse¡d so1 'selen8t soSedg9g e re8nl elrep olso sog€ 0E u ouelsard un eJ€d 'oue1sgtd

IOp epl^ ?lelueJnp selenSr selensuoru soSed Jezqvet e ouuletdo¡d 1e e,te11 epuol^I^ uunep ecalodrq e1 'oldurela Jod 'soporJed ep opeulluJelop oJeurnu un elueJnpopo¡red upuc eir¡ p€prlu€c eun e?ud enb uotsrelul eun so pBpII¿nuB €un

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'p€prl€nuE eun opueJolP.\'t't vuflcr-{

'seJEIn¡'1-

sole^lelur B aluElsu.:€ueroset ap otn¡g :pupllunu\

sepBpllBnuBTBJOIBA OIU9J

.9'I OIUYNOIISINJOINY¿seJelur ap odrl ¡e e.ra 1gn3?'s€Jqrl 8? ap otcard un €Iual €661 ep otunf ue,{ e¡duars ered oge le sergrl ¡ e?ed oJtugtFg ourelgoD ¡ap peprntedrad uu¡

L9vUETJNVNIJ N9IJJAUTA E(I SOrdrJNrUd

68 PARTE II. EL vALoR

Así el valor de nuestra anualidad lfila 3) debeperpetua de la fila 1 menos el valor de laretrasado:

ser igual al valor de la deudadeuda perpetua de la fila l

Valor actual de una anualidad de 1S durante 3 añosI

(1-T-T

La fórmula general para el valor de una anualidad que paga C dólares alaño durante t años es

_ [ r 1 - ]

Valor actual de una anualidad a f años : Cl ; - ^ |

L , r ( l + r ) '_ .1

la expresión entre corchetes muestra el valor actual de una anualidad deFactor de anualidad: Valor 1 dólar al año durante / años. Esto se conoce en general como el factor deactual de una anualidad de 1$ anualidad de / años. En consecuencia, otra formipara escribir el valor de

una anualidad es

Valor actual de una anualidad a f años : cuantía x factor de anualidad

Recordar las fórmulas es casi tan dificil como recordar el cumpleaños d.'la gente. Pero en la medida en que usted tenga presente en su mente eue uncanualidad es equivalente a la diferencia entre una deuda perpetua inmediat"v una retrasada. no debería tener ninsuna dificultad.

EJEMPLO 3.9. Volvemos a Cansuro Autos

Volvamos a Canguro Autos casi por última vez. Muchos créditos a plazo.utilizan corrientes de flujos de pagos iguales. Así, supongamos que esta vezCanguro ofrece en su proyecto un <pago fácil" de 4.000 dólares al año par"cada uno de los próximos tres años. Primero realicemos los cálculos despa-cio para mostrar que el valor actual de los tres pagos es 9.947,41 dólares

Valor actual

1

r

P r i m c ¡ n q o n

Segundo pagoTercer pagoValor actual total

4.000$i1,10 : 3.636,36$4.000s/1,1O'z : 3.305,79$4.000$/1,103 : 3.005,26S

9.941,415

La fórmula de la anualidad es más rápida:

t 1Valor actual : 4.000$ x l -

L0,10: 4.000S x 2.487

_ 1 - l0,10(1,10)3 1

: 9.94'7,41$

'anDDDdaJd ?DPUDnut)

EUn OIUOC aSJeJOuoJ elans elueluelBlpstrru{ ocuel[rjoJ 3nb ofu €}Jolosa} ep oinu uI} t

'oluolc rod 8 lep sqJolul op odll un e8uodns ¿ollrrord Iop Ienlc€ role^

Io sa IenJ? 'oun Bpec serzlgp 000'S9t op selenue sozeld 0¿ ue esreS€d e;qep

peprlueo BlsE 'soJelop op souofitru €'6 op Jolel un e]uetuleoJ e]uol ou orure¡dns enb J€leges uypod e¡e elsendse-t oIUoJ 'so8tue so,{enu ,{ selueued 'secg

-aueq Soue1ll o s€ul SeuoIOnJIlsuI Op S€u33op op oJoulp ep seuolclled ,{ soesapsouenq 'sepeltcqos ou souolcellclleJ glql)er e11e enb sorueqcedsos 'seJBIgp

op seuollrtu 9'6 :etrolstq sl ep epuBJS sgru otue¡d 1e gtn8tsuoc ,( oua¿ epourse3 Ie uo seJelop zI glsode sogs 09 3p BJeIuJeJue uun'766¡ ap o,(eu ug

'se¡¡ede8u¡l eurnbgu €un uo otu¡e¡d uer8 u¡ '0t'€ OTd¡¡Sf[

$rt6'0l : l69tL'r) $000't + $000't : vA

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(soge ¿ u pepllunu€) YA + $000't : Ienlcs role¡

oseJ eJSo uE 'elueluelBlpelxul opuuzuel'uoc seJelgp 000't ep sel€nu€so8ud serl opt8txe JOq€q ¿IJpod o:n8ue¡ 'oldruefe Jod 'reluoluelelpetuul

ecrleeJ as o8ed ¡erut¡d 1a enb ue8txe opnueu e soze¡d e sourelse;d so1'ogs un op oJluop uezuollxoo enb uyre;ose1 ep so?ud ep ofng un op Jole^

Ia uocrp al sellg 'opoued Iop I€uIJ 1e .re8n¡ uouelJ so8ed so¡erutrd so1 enb

ueuodns sopepll€nu€ se1 ep,{ ¿nled¡ed upnep el ep selnuJoJ s€-1 :osnv

'Blsendsa.l €l euoze¿ ¿soreulfu sop solsaanue uonelor ul so ¡en3? ¿soge t E p€ptlenu" ep rolJBJ ¡a sa ¡9n¡? ¿sogut u oluenJsop op JolJeJ 1a sa ¡enc?

'oluelc rod 3 Je sa selslul ap odrl ¡a 15'¿'t oruYNolrssnJorlt

'opezeyde o8ed out11g

le rEZrIeaJ u:ed eluetct¡ns'$000't : 0I'I x S¿E'9t9'€ e oUB olullln Ie ue €u-ecárc ocueq Io uo €pellsodep peprlu€J elsE 'serelop

L;'gtg'E uoc euepenbes ,{ serelgp 000't ep opeze¡de o8ed opunSos I3 €Irezllser soouo}ue po}sfl'$Ll'gtgL:

0I'l x sgfzv6'g e soralul uoJ u€IJecerJ soJJoq¿ sns 'oge opunSes

Iop I€urJ IV'serelgp ;I'ZV6'g uor pelsn e elopueiap'sorelop ggg'7 ep ozeld¡eu¡ud 1e "re?ud elr€]Isoceu pelsn olso uof '$91'7V6'0I:

0i'I x $IV'LV6'6¿ ogs Jer.uIJd ¡ep leut¡ Ie ueJJeJeJc soJJoq€ sns 'oJuelc Jod 0I Ie sopluo^ul'se.rqeled selso soueqo:dtuo3 'solnv orn8uu3 e soJnlnJ sozeld so1 re8edered oreurp oluelJlJns gJpuet pelsn',(oq soJ€lgp IV'LV6'6 e1:ede pelsn ts'o¡d-urefe ro¿ 'soJnlnJ BIJeJosol ep so8ed ep ofng un ¡e¡eue8 e;ed ,{oq JIuo^uIenb euart olu€nc petsn e uurlsentu el Ienlce rol¿^ 3p totnttlbt,i#ro.

0I Iop sgJolur ep odrl un e¡¿d soge [ ¿ pepllenu€ Eun op Jo]csJ I0 Jel]uoouoepend palsn anb eqen;duo3 '(o.lqll

Iap IeUIJ Ie €'V slqeJ el uo srlsonruos ¿suelxo sgtu uoISJe^ eun) sepeptlunue ep €lqel el ep epnnpoJ uqISJo^ BUnse g'€ elqel e-I 'sopepllenue ep se_lqel ep olunfuoc un rezlllln epend o p¿pll-enu€ ep seJolc¿J sol JelncleJ ered e;opelnclec €un Jezrlrln epend pelsn

VUAIJNVNI.{ NOIJJAUIC EC SOIdIJNIUd

70 PARTE rr. EL vALoR

TABLA 3.5.Tabla de anuaiidades: valoractual de 15 al año paracada uno de los / años.

Tipo de interés anualNúmerode años l0Vo8Va5 % 77a

I23451 02030

0,9521 ,859

3,5464.3297,722

12,46215.3'72

0,9431 ,8332.6733.4651.2127,360

11,47013,165

0,9351,8082.6243,3874,1001,024

10,59412,409

09261.7832.5771 1 1 )1 q q 1

6,7109,8 18

1 1 ,258

0,91 7t ,1592,5313,2403,8906.4189,t29

10,214

0.9091.7 36) 4R1

3, t703,7916,1458,5 14q 4 ) ' 7

El valor actual de estos pagos es simplemente la suma de los valoresactuales de cada pago. Pero en lugar de valorar cada pago de formaseparada, es más fácil tratar los pagos de tesorería como una anualidad de20 años. Para valorar esta anualidad simplemente multiplicamos 465.000dólares Dor e1 factor de una anualidad a 20 años:

VA : 465.000$ x factor anualidad a 20 años

: 4 6 s . o o o s ' I t - - - l - - - lf l r ' ( l - ¡ r ) ' "J

Al tipo de interés del B por ciento, el factor anualidad es

[ 1 1 - ]

L* -

o,os(r-o¡i¡-l : e'818

(También se podría mirar el factor anualidad en la Tabla A.3). El valoractual de 465.000$ x 9,818 : 4.565.000$. Estos <9,3 millones de dólares depremio> tienen un verdadero valor en torno a 4,6 millones de dólares.

Este valor actual es el precio que los inversores ofrecerían por esas serlesde flujos de tesorería. Por ejemplo, el casino podría acordar con una compa-ñía de seguros el pago al afortunado ganador. En este caso, la compañíacobraría algo menos de 4,6 millones de dólares para hacerse cargo de laobligación. Con esta cantidad hoy en la mano, podría generar bastantesingresos por intereses para realizar los 20 pagos antes de dejar su <cuenta> acero.

Cuando calcula el valor de las ganancias de Ia máquina tragapeffas, supone-mos que el primero de los 20 pagos tiene lugar al f inal del año l. Sinembargo, el primer pago probablemente se realizó de lorma inmediata- conlos siguiente pagos extendidos a lo largo de los siguientes l9 años. ¿Cuál esel valor actual del premio de 9.3 millones de dólares?

AUTOCUf,STIONARIO 3.8.

'oluerr rod 89'zf o '89¿i'0

: I - zr(I0'I) so lenue o^IlceJe od4 1E oluarc .rod ¿1 ¡ep UdV un e euple,trnbe olsg ,

el rrcnper erad rrezr]|ln es ($06'82 : IL'666 - I9'820'I) Iensuelu o8ed nsep seJelgp 06i82 olsoJ I3 f saseJelul op 83J€c €l Jod sBplqJosqe uos lBnsueuro8ed opun?os ns ep sorelgp VI[666 onb eIUroJ eCI '$I¿'666 :

6t'IL6'66op oluorc Jod I Iep soseJelut ep e8;ec eun gJqeq 'sour aluetn?ls IA

'seul ose ue ouelsoJcl le oJqos u?1)-DzrtloutD pl eurluousp as selelop I9'82 so-t 'soJBlop

6t'lL6'66 e our¿]se.¡d

Iep oluerpued peprluec BI rlsnpeJ ercd ezqr¡n es sorelop lg'82 ep oruelse;d

¡e ,( ourelsg:d 1e e.rqos sesoJelul ¡e?sd e¡ed ez\rtn es lensuetu o8ed ¡eruudns op ser€lgp 000 I tsv serelgp 000'I o 'sor€lgp

000'00I ep oluelr rod ¡ 1eBJes oru€ls?¡d else ue setu un ep sendsep ope8ue,top s?Jelul 1e

'o¡duefe ;o¿'ouelsg.rd

Iep p€pllu?c el JIOnper emd uezty|n es e]¡ed ,{ ouelsard Ia erqossesoJelur m?ed emd uazrlrtn os selensuotu so8ed sol op e1;ud enb ect¡tu8ts<elqezruorrry>>'alqozu.toLuD olavls?¡d ueuturouep es ecelodlq €l ep €pI^ 3l epo?ru1 o¡ e ueft¡ es solensueru soSud so1 enb 1e ue'otuelsgrd ep odtl elsg

$I9'820t :

8IZ,L6 -$000'00r

onr(Io'I)Io'o _I: melodlt{ o33d$000'00r

socuolug'sseru I€ oluolc;od 1 1e so sgJelul ep odrl ¡e enb eSuodn5

sese{u 099 3 p€prlenuB JolJeJ: ecelodlq o33d

$000'00I$000'00r :

: SeSeüI 09€ ep p€pllBnue rolc¿J x ecel0dtq oSed : I3n1c€ role^

'1sV 'ser€lgp 000'00i ep lznlce role^ un uu8uel enb eurro¡ ep selsnsuetu so8¿d

solse refg ellseoeu ocueq 1g '(seseru g9g) soge 0E sotulxqJd so1 elue'tnp se¡

-€nsuerü so8ed ep so^€J1 e ouelsg;d Ie ellen^ep ¿sec 3l ep.roperduoc 1g¿ecelodrq e¡ emd opensop¿ Isnsueu

o8ed ¡e se ¡gn3? 'leool sorroqv ep eryJ q uoc ecelodlq €un eluelpetu

sotu¿]ser serelgp 000'001 so¡ rod asopugpnepus 'opeluoc 1e

'se:u¡gp 000'92

Bes o 'eJdruoc ep onerd Iep oluetc rod g¿ 1e eSud rope:duoc 1e enb ,{ 'sele¡

-gp 000'SZI €lsenc es€c €un enb ¿Suodns'selensueru sozeld uo e8ed es enbsoge 0[ e oruelsqrd un so unuloJ sglu oruelsg.td ep opJonos 1g

'elsrurulse.td

un B BSec e1 ap orce:d lop elueluoru Ie opulserd ueprd elueuectdll sesecep se:operduoc sol 'oldruefa :o¿ '.{oq opep Jols^ un u€IJepecuoc enb e¡t-eJose] ep so8ud ep salJes sel J€Jluocua JeJlseceu epend polsn sece^ seunS¡y

I0'0I

VvuIITJNVNIC NOTf,f,AXIC aC SOIdIJNIUd

'secelodrg 'II't OIdI IS¡S

72 PARTE I I . EL VALoR

FTGURA 3.5.Amortización hipoteca.

AUTOCUESTIONARIO 3.9.

12.000 -

10.000 *

g 8.000 *

G

6.000 *

4.000 -

2.000 *

0 -l 0 1 3 1 6 t 9 2 2

Años

cantidad pendiente de su préstamo. La amortizacion en el segundo mes e:mayor que en el primer mes porque la cantidad del préstamJha disminui-do, y en consecuencia se toma menos del pago der mes para intereses. Estcprocedimiento continúa cada mes hasta que el último més, cuando la amor-tizacion es suficiente para reducir la cantidad pendiente del préstamo a cero.y el préstamo se cancela.

como el préstamo se cancela de forma continua, la fracción del oasr.mensual dedicada a intereses cae de forma continua, mientras la fraóci6nutllizada para reducir el préstamo (la amortización) aumenta de la mismaforma. Así la reducción en el tamaño del préstamo es mucho más rápida enlos últimos años de la hipoteca. La Figurá 3.5 ilustra como en los piimerosaños_casi todos los pagos de la hipoteca son para intereses. Incluso despué:de 15 años, el grueso de los pagos mensualei es intereses.

r r r r l t l l l l

Iffi

Amortización

Interes pagado

¿cuál será el pago mensual si usted acuerda una hipoteca de 100.000 dólaresa 15 años y un tipo de interés del l por ciento al mes?

EJTMPLO 3.12. ¿cuánto lujo y diversión pueden comprar 37.000 millones dedólares?

El Sultán de Brunei tiene la reputación de ser la persona más rica delmundo, con una riqueza estimada de alrededor de 32.000 millones de dóla-res. Nosotros no conocemos todavía al sultán, y entonces no podemosincluirle a usted en sus planes para asignar los 37.000 millones dé dólaresentre actos de beneficencia y el coste de una vida de lujo y diversión (L&D).Para hacer las cosas más táciles, nos preguntamos ia siguiente preguntahipotética: ¿cuanto podría el Sultán gaslar anualmente en?O aRos de Laosi dedicara la totalidad de los 37.0ó0 millones de dólares a estos fines.lSuponga que su dinero se invierte al 9 por ciento de interés.

'oluelt rod LI'g o'L190'0: I - .,(9000'I) €Iros lenu? o^tlroJr odll lil UdY oluorr:od 9 un e a¡e'ttnbe olsg n

enb odrl Ie se oluelc Jod I '€Icuoncesuo3 ug 'oluelc lod 1 outs ioluetc ¡od

S'0 se ou Jruo^ul eluo[ulenlce epend pelsn enb Ie s?Je]ul ep odtl Io oJed

¿¿J CL$90's9€ :

nr(soo't)soo'oI

$000'zI

_ 900'0I

$000'zIsesetlI 9€ € pepllenuB rolceJ: ¡ensueru o8e¿

s000'zI'ercuencesuoc ug

s000'zI :sesotu g€ € pepllenue Jolc€J x lunsuetu o8ed :

oluelc ;od g'g op sgJOluI ep odrl 1e oSed Iap Ienlc¿ Jole^'tsy 'se.lu1op

000'¿I e ¡en8t €Jes solelulep odrl ep olualJ rod g'g un opu€zlllln selensuoru soSed 9E sol op IsnlceJolB^ Ie

'soge g ep o8re¡ o1 e se¡en8r soze¡d ue e8¿d es ouelsgrd Io IS 'oluelc

"rod g'¡ Io €JenJ sgJOluI ep odrl Ie IS otüoc o8ed ep selonc sel "Jelnclec

,( se;e1-gp 000'ZI erelserd el ropepuel 1e'ropapuen lep EuoJo e1 e¡dece pelsn IS

¿aqcoc Iep olsoc Ie opeuolouenqns otuelse;d else scnpeJ o1u9n3? 'solu Ie oJuels

.rod 11a so opecra{u ep odrl Io IS osnlsul esetu [E oluelJ.tod g'g lep sqJolul 3podrl 1e rope:dutoc 1e erdruoc ep otca;d lep ourzlserd un Jece4o eppod saJ€lgp

000'ZI e oqcoo un epue^ enb :opapue.t un 'o¡druefe ro¿ 'ectis;llAoluolns slJlsnp-ut €l op leuonouord eluoIIrIEJJeq eun se sgJelut ep odq oleq un e JBIJUeUIC

'oqcoc un ep erdruoc e1 rod se.re1ur ep odrl-ofeq e oruelsgrd 1E 'tl't

OldIAISfg

'otuelc rod ¿ ¡ep serolut ep odn un e8uodnS ¿soge 0¿ olll€mpownsuoo ap uuld also ¡el¡odos ured ope.r.roq€ leuol ullsecau olaulp o1uun3?'og?

le serulop 966'99 re¡se8 e.rodsa pstsn oltler ns eluelnp ,{ 'seur soge

0Z ap epr^ sp ezuu;adso Eun uor'soge 0¿ so1 e u¡qnles pelsn anb e8uodn5.OI'T OIUYNIOIISSNJOI 1\

'o1n11dec outxo¡d

Io ue olse eJqos seN ',(oq uer.req ol otuoc 0I0z ou€ Ie ue cT,'I oluul ue:e¡d-tuoc ou seJBIgp ep seuollltu ep salllu 7'g enb etuloJ ep 'eJeluerune

CyIJu¡druoc ap olsoc IE

'uolcelJul BI opelsplsuoc €q es oN :uollns lD ostav

$000 000'6i7.9 : lenu€ ols€c

9¿'0I x lenue olse8 : $000'000'000'¿€pspll€nu? Jolc€J x l"nue ols¿3 : IenlJB Jolu^

'snb euuo¡ eCI '9¿'0I se oluetr .tod 6 1e sog€ 0t ep pepllenuz rolceJ Ia

vUETJNVNIJ NQIJJaUI(I aC SOIdIJNIUd

74 PARTE II. EL VALOR

usted deberia uttlizar para calcular el uerdadero valor actual de estos pagos.El tipo al que usted puede invertir determina cuánto dinero necesita apaÍtafahora para cubrir los pagos mensuales. Entonces, el valor actual de su flujode pagos es

365,06$ x factor anualidad 36 meses :t 1 1

- l36s'06$'

Lopt -

o^o(lpl)- l365,06$ x 30,1110.991$

El préstamo subvencionado entonces reduce el coste del coche de 12.000 dó-lares a 10.991 dólares.

3.5. VALOR ACTUAL NETO:UNA PRIMERA APROXIMACION

Usted debe estar ya familiarizado con los principios básicos del descuentode pagos futuros de tesoreria para encontrar su valor actual. Concluimoseste capítulo aplicando estas ideas parala evaluación de sencillas decisionesde inversión.

Suponga que usted está en el negocio inmobiliario y está considerandola construcción de un edificio de oficinas. El terreno costaría 50.000 dólaresy el coste de construcción sería de 300.000 dólares. Usted prevé una escasezde espacio para oficinas y predice que de aquí a un año el edificio se venderápor 400.000 dólares. De modo que debería invertir ahora 350.000 dólarescon la esperanza de conseguir 400.000 dólares dentro de un año. Usteddebería seguir adelante si el valor actual de los 400.000 dólares es mayorque la inversión de 350.000 dólares .

Suponga de momento que el ingreso de 400.000 dólares es algo seguro.El edificio de oficinas no es la única forma de obtener 400.000 dólaresdentro de un año. Usted podría invertir en IOU a un año del Gobierno deEstados Unidos. Suponga que los IOU ofrecen un interés del 7 por ciento.

¿cuánto debería usted invertir para conseguir 400.000 dólares al final delaño? Esto es fácil: usted debería invertir

400.000$' : : 400.000s x 0,935 : 373.832s1,07

Por tanto, al tipo de interés del 7 por ciento, el valor de 400.000 dólares es373.832 dólares.

Suponga que en el momento en que usted compró el terreno y comenzola construcción del edificio decide hacer líquido su proyecto ¿por cuantopodría venderlo? Como el valor de la propiedad será 400.000 dólares dentrode un año, los inversores deberían estar dispuestos a pagar por él al meno'373.832 dólares ahora. Esto es lo que les costaría conseguir un ingreso de400.000 dólares invirtiendo en títulos del Gobierno. Por supuesto, siemprcsería posible vender su propiedad por menos, pero, ¿por qué venderla pormenos de lo que daría el mercado?

'Jolel I€ €]eu ugIOnqIJJuoc eun €uolcJodo¡d olso- eJsoc ns

op eurcue rod epe.role^ else s€uIJIJo ep uglc€ztu€qJn €l 'serqeled seJlo uE

-"1?;jillfi:,*J:T;T I *"^ r'rcru:epuenber uorsro^ur BI opu'lser €urrurárep as ;,o;i'JJl,1t,nj'r:Hil;i:f"fnXff

olou Ienlce Jolel IA 'seJelop

ZE¡'ET, se (XVrt) olau IEnIJ¿ Jol¿^ Ia'olue] ¡od ro¡e¡:(¡y¡) oleu Junlce ¡ot¿.\',{ se"relgp 000'0S€ optleuro;druoc €q potsn 'oclr sgtu sorelgp Z€8'€¿€ €espelsn enb ecr¡u8rs ou otso o;ad sarelop ZEB'ELE ue operolu^ glse olclJlpe Ig oleu IBnIJB rolüA

'o1ce.{o.rd Ie uo Jrue^ul Ie elcunue.l es anb el e pBpIIIqsluoJ €l se anb¡od

peprunlrodo-ep elsoc n-nf111eg'¡u¡¡dur ¡"p puprun¡róaó áp "rrorl"o-otr¡ ,,r",il*:''jrt:J'JlTffi#",: -roouoc Jes elens -oldruefe oJlsenu ua oluelc rcd ¿- oluenosep 3p esel 3'I

'pnp,¡,qn¡urr rp esel:¡u¡¡duo

'solqereduroJ ugrsJe^ur ap se^r]¿uJolle :od epIJeIo peplllqelueJ ep €sel el ? ¡ap puprunrrodo ap alsoJsoJnlnJ soperedse soJqoo sol sotu€]uocsep'lenlcu JolE^ [0 JulnJI¿c eJed

'opD)JaM ap Jol00o oporraw ap onatd ns u?Iqurel se pepetdord e1 ep lenlcu Jol€A Ie ,{ 'e1qt1ce¡

orce¡d oJrug Io se l€nloe Jole^ Ie '¡e:eue8 uE 'Jopepue,r

1e ,( rope;duroc

I€ oJBJST]€s enb otce¡d oclug Ie se serelgp ZEy'tLt ep I3n13€ role^ IA

's3r€lop 0m'00I rouolqo sFeqep pelsn 'Ad elnrlEc sár

-uoluA '(soU¿ 0€ op sondsep epelecuuc eluaurulalduoc

se ere¡odrq el) 0 : At'l : I 't9'8¿0'I :

,¿r,yd '(ses

-aur) 09€ : a pJznporlul 'ecalodrg €l ep p¿pnueJ €lerouoc as ou enb e8uodng 'olualJ ;od ¡ rm ep sglatu¡ap odrr m Á serelop I9'820'l ep sa¡ensueu soEeduoc ece¡odrq Eun oroplsuoc as II'€ o¡druoig 1o ug

pBpll€nuE 8un ap IEn¡cE ¡olBA 'v

'otuorr -rod g'¿ lo oluoJ t alnJIeJ '0 : JWd:8f9 : ^d :000'I : At :9 : ¡/ opuelsnporlut sar-alul ap odll ue Jouelqo soluapod '19'g o¡durafg ¡eue owoc) sorElop 8?9 ep ,{oq ro1e,r un suol} sog€ 9ep orturp srr¿lgp 000'l ap oEed un enb eEuodng

s?¡alu! rp odll lo opuslsH 't

'solelop 8t9 ep lenlJu lop^ un reu

-elqo ¿Ireqap palsn ^d elnJ[€J seJuolIIE 'O : JW¿

:OOO'I : A¿'g'L : I :9 : u €rznporlul'sep€prt¿nuE,{eq ou 'o^onu aC 'lenlw JolE^ ns telncleJ B}ISe3euas ,{ orn¡n¡ oEed un opuep glse os 'uue¡qord Jlse uA'oluop rod E"¿ IOp €ra seJetur ep odtl Je opuenc sogr€

9 op ortuop grwtlear os enb sarelgp 696'¡ ap o6edun ep luntre rolu^ Ie glnrlm as 9'g o¡druala Ia ug

salsnltG srolB^ 'z

'(sarquou satueJaJrp rauat epend'<olnduloc>>'1WOJ €lrel EI'seropEnrlsr seunE¡e uA) '89'¿ll grp-uelqo f,'A-4 ¡WOJ E3znporlul '(¡g) orn¡n¡ rolu^ looFrl"c enb eropz¡nclEJ ele olunEa¡d eloqv 'solnolgo

sol ua epecrldtur pepr¡enuu eun8uru ,{et¡ ou onbrod¿¡,g¿ or¡sÉa.r le ue 0 ucznporlul 'u o¡lst8a¡ Ia ue ZI 83-mportur '¡euodu¡oc e¡ud sesau ¿¡ ap ueuodslp sorul-gp ml sol oruoc ,{'r orls6er Ie uo I elznporltrl'sarup oluap rod ¡ ¡ap sgrelul ep odr¡ un ap olsendns Ia oz-[€ar as enb o¡sen¿ '¡¿ or¡s6ar la uo 001 mznporlul'otrrpqrr ep elefru¡ ns ep serslgp 00I ap oplus lep oJnl-nJ roleA Io glnoleJ es epuop '¿'g o¡durefg Ie apronso¿

*¡nlnJ se¡olB^ 'l

'o¡n1¡dec

olse op sogdwafe sol ap ounE¡u € elcuaroJo¡ opuo-rJBq BJop€FTJBJ Bl Jezqrln ou¡oo souaJ€cl¡dxg

elurnb el JeJluooue Á .Iea¡osar apand utopepc¡ucEI selq"lrE^ sstso 3p oJtBno sBpec '(p€prlenu€ eun opsepeprluer sq o 'soBed)

JW¿ [ (orn¡q ro¡e,r) 4¡r {¡unt-rE rol?A),,1d {qrelq ap odu) ¡ '(sopouad ap orelunu)il:ssP"ruBll seJarcrrsug sBlcel oculc ouaE EIlg 'eJoPBInc

{8t ns eaJesqo 'soqtl¡s o 's3p€plTsnu€ 'süJmn ?ljaJos3lap sofng urrqdtut enb seue¡qord ra,rloser ered sepeg-esrp uglsa sBJerJu?ul¡ ssJop"lnclsc se¡ ep quo,{uu e1

9L VUAIJNVNI.{ N9IJJEUIC E(I SOIdIJNIUd

PARTE II. EL VALOR

Un comentariosobre riesgo

y valor actual

Otrasdenominacionesdel valor actual

En nuestra discusión sobre la construcción de oficinas hemos supuesto qucse conocía el valor del proyecto completo. Por supuesto, usted nunca puedeIener certeza sobre los valores futuros de los edificios de oficinas. Lo.400.000 dólares representan la mejor predicción, pero no es segura.

Por tanto, nuestra conclusión sobre cuánto pagarían los inversores porel edificio es errónea. Dado que podrian conseguir 400.000 dólares sin riesgoinvirtiendo en títulos del Gobierno de los Estados lJnidos por un valor de373.832 dólares, no comprarían su edificio por esta cantidad. Usted tendríaque reducir su precio pata atraeÍ el interés de los inversores.

Aquí se puede invocar un principio financiero fundamentaT'. un dólar conriesgo uale ntenos que un dólar seguro. La mayoría de los inversores evitan elriesgo cuando pueden hacerlo sin sacrificar la rentabilidad. Sin embargo, losconceptos de valor actual y de coste de oportunidad del capital todavíatienen sentido para los inversores con riesgo. Sigue siendo adecuado descon-tar el ingreso a la tasa de rentabilidad ofrecida por una inversión com-parable. Pero debemos pensar en ingresos esperados y tasa de rentabilidadesperada en otras lnverslones.

No todas las inversiones tienen igual riesgo. La construcción de oficinases más arriesgada que un título del Gobierno pero probablemente seamenos arriesgada que la perloración de un pozo de petróleo. Supongamosque usted cree que el proyecto es tan arriesgado como una inversión en el

mercado de acciones y que prevé una tasa de rentabilidad del 12 pot cientopara las inversiones en el mercado de acciones. Entonces el 12 por ciento se

ionvierte en el coste de oportunidad adecuado del capital. Esto es lo que

usted está sacrificando por no invertir en títulos comparables. Usted puede

ahora tecalcular el VAN:

vA : 400.000$ ̂ : : 400.000$ x 0.893 : 357.143$r . l 2

vAN : VA - 350.000$ : 7.143$

Si otros inversores están de acuerdo con su previsión de un ingreso de

400.000 dólares y con su valoración de un 12 por ciento de coste de

oportunidad del iapital, entonces su propiedad debería valorarse en 357 '143

d-ólares una vez que la construcción se haya iniciado. Si usted intentara

venderla por más de esto, nadie desearía comprarla, porque la propiedad

ofrecería una tasa de rentabilidad esperada menor al 12 por ciento dis-

ponible en el mercado de acciones. El edificio de oficinas tiene un valor neto

positivo pero es mucho menor que lo estimado en los cálculos anteriores'

El valor actual, como los conceptos más importantes, tiene varios nombres'

Los directores financieros pueden decir

Valor actual, o sólo VA.- Valor descontado.- Inversión necesaria para generar determinados pagos futuros.- Precio de mercado.- Valor de mercado.

y quieren decir lo mismo.

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78 PARTE II. EL VALOR

PROBLEMAS

1. Calcule el valor actual de un flujo de tesorería de 100 dólares para las siguientescombinaciones de tasas de descuento y periodos de tiempo:

a) r : 10 por ciento, f : 10 años.b) r : 10 por ciento, ¡ : 20 años.c) r : 15 por ciento, ¿ : 10 años.d) r : i5 por ciento, ¡ - 20 años.

2. Calcule el valor futuro de un flujo de tesorería de 100 dólares para las mismascombinaciones de tasas y periodos de tiempo que en el problema 1.

3. En 1880 se prometió a cinco rastreadores indigenas el equivalente de 100 dólaresaustralianos para ayudar a la captura del famoso proscrito Ned Kelley. En 1993las nietas de dos de los rastreadores comunicaron que la recompensa no habíasido pagada. El primer ministro de Victoria señaló que, si esto era verdad, elgobierno estaría feliz de pagar los 100 dólares. Sin embargo, las nietas tambiénllamaron la atención sobre su derecho al interés compuesto. ¿A cuánto teníanderecho si el t ipo de interés era 5 por ciento? ¿Y si fuera el 10 por ciento?

4. Usted deposita 1.000 dólares en su cuenta en el banco. Si el banco paga un 10por ciento de interés simple, ¿cuánto acumulará usted en su cuenta después de10 años? ¿Y si el banco paga a un interés compuesto? ¿Cuánto de sus gananciases interés sobre intereses?

5. Usted necesitará 100 dólares dentro de 5 años. Si usted gana un 6 por ciento deinterés en sus fondos. ¿Cuánto necesitará invertir hoy para alcanzar su objetivode ahorros?

6. Encuentre el t ipo de interés anual efectivo.

Tipo de interés anual Periodonominal (APR) (7¿) de composición

l0 3 meses8 6 meses6 l m e s

7. Preferiría usted recibir 100 dólares al año durante 10 años o 80 dólares al añodurante 15 años si:

a) El t ipo de interés es 5 por ciento.b) El t ipo de interés es 20 por ciento.c) ¿Por qué sus respuestas en a) y b) son diferentes?

Encuentre el t ipo de interés anual:

- Periodovalof luturo

oe ilempoValor actual

100200100

Lt5,7 6262,r6110 .41

3 años4 anos5 años

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6LVUAIJNVNIC NOIJCAUIC E(I SOIdISNIUd

80 PARTE II, EL VALOR

21.

22.

Una propiedad concederá 10.000 dólares al año a perpetuidad. Si su valor es125.000 dólares, ¿cuál debe ser el coste de oportunidad del capital?

Usted invierte 1.000 dólares al t ipo de interés anual del 6 por ciento, es-tablecido como un APR. El interés es capitaiizado mensualmente. ¿Cuántotendrá usted en un año? ¿Y en año y medio?

Usted invierte 1.000 dólares hoy y espera vender su inversión por 2.000 dólaresdentro de 10 años.

a) ¿Es este un buen plan si el coste de oportunidad del capital es el 5 porciento?

b) ¿Y si el coste de oportunidad del capital es el 10 por ciento?

Si un banco paga un interés del 10 por ciento con composición continua ¿Cuáles el tipo anual efectivo?

Un gran almacén ofrece dos formas de pago. Bajo la forma aplazada , ustedpaga un 25 por ciento al inicio y en cada uno de los 3 próximos años el 25 porciento del precio de compra. Si usted paga la totalidad de la factura inmediata-mente, recibe un 10 por ciento de descuento del precio de compra. ¿Cuál es lamejor alternativa si usted puede prestar y pedir prestado fondos al tipo deinterés del 6 por ciento?

Reconsidere la pregunta anterior. ¿Cómo cambia su respuesta si los pagos delos 4 años del plan aplazado no empiezan hasta dentro de un año?

26. a) Si usted se endeuda en 1.000 dólares y l lega al acuerdo de pagar elpréstamo en cinco pagos iguales anuales al t ipo de interés del 10 porciento. ¿Cuál será el pago?

b) ¿Qué ocurre si usted realiza el primer pago del préstamo inmediatamenteen lugar de realizarlo al final del primer año?

Los préstamos sobre casas típicamente implican <puntos>, que son tasas carga-das por el prestatario. Cada punto cargado significa que la persona que seendeuda debe pagar un I por ciento de la cantidad del préstamo como unatasa. Por ejemplo, si el préstamo es de 100.000 dólares, pero la cantidad netaque la persona que solicita el préstamo recibe es sólo 98.000 dólares. ¿Cuál es eltipo de interés efectivo anual cargado en ese préstamo suponiendo que el pagodel préstamo ocurre a lo largo de 360 meses? Suponga que el t ipo de interés esel I por ciento al mes.

Usted cree que necesitará tener ahorrado 500.000 dólares cuando se retiredentro de 40 años para vivir confortablemente. Si el t ipo de interés es el 4 porciento al año. ¿Cuánto debe usted ahorrar cada año para obtener su objetivode retiro?

29. ¿Cuánto deberían necesitar en el problema 28 si usted creyese que ustedheredará 100.000 dólares dentro de 10 años?

30. Usted cree que gastará 40.000 dólares al año durante 20 años Ltna vez que seretire dentro de 40 años. Si el t ipo de interés es el 4 por ciento al año. ¿Cuántodebe ahorrar usted cada año hasta su retiro para cumplir su objetivo?

23.

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21.

28.

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18 VUAIINVNII N9IJJAUIA :IC SOIdIJNTUd

82 PARTE II. EL VALOR

3.3. La tasa trimestral es 8/4 : 2 por ciento. El t ipo efectivo anual es (1,02)4 - I: 0.0824. o 8.24 por ciento.

3.4. Multiplique el pago de 1.000 dólares por el factor de descuento de cinco años

v A : 1 . o o o ) < - ] - : 6 9 6 , 5 6 $(1.075) '

3.5. 705 x (1 * r )6 : l .000impl icaquer : 0 ,06 o 6porc iento. Ustedsabíaqueel tipo tenía que ser inferior al 7,5 por ciento porque el valor actual de elpréstamo al 7,5 por ciento era 648 dólares. Como el VA es mayor en esteejemplo, el tipo de interés debe se inferior.

3.6. El t ipo es 4148 : 0,0833, aproximadamente 8,3 por ciento.

3.1 . El factor de descuento a 4 años es 1/(1,08¡a : 0'735' El factor de anualidad a4 años es [1/0,08 - 1/(0,08 x 1,084)] : 3,312. Esta es la diferencia entre elvalor actual de una deuda perpetua de I dólar comenzando el año próximo ¡de una deuda perpetua de I dólar comenzando en el año 5:

VA (deuda perpetua comenzando el próximo año) : j : tZ,tOU,Uó

-VA (deuda perpetua comenzando en el año t : * "-+:0.08 ( 1.08)4

: VA (anualidad a 4 años)

: 12,50 x 0,735:9,188: 12.50-9.188:3,312

3.8. Calcule el valor de una anualidad de 19 años, entonces sume el pago inmedia-to de 465.000 dólares:

factor anualidad a 19 años : [ 1 - - =l

L r r ( l + r t " l

[ l I I: l _ _ _ l : 9 . 6 0 410.08 0.08( r,08)' "_.1

VA : 465.000$ x 9,604 : 4.466.000$Valor total : 4.466.000 + 465.000 : 4.931.000$

Comenzar la corriente de flujos de tesorería durante 20 años inmediatamenteen lugar de esperar un año, aumenta el valor aproximadamente en 400.0005

3.9. Quince años significa 180 meses. Entonces

100.000Pago hipoteca :

factor anualidad a 180 meses

100.000

83,32: 1.200,17 dólares al mes

3.10. Usted necesitará el valor actual al 7 por ciento de una anualidad a 20 años de55.000 dólares:

Valor actual : gasto anual x factor anualidad

El factor anualidad es [1/0,07 - l l{0,07 x 1,0720)] : 10,594. Así ustednecesita 55.000 x 10.594 : 582.670$.