funciones y sus gráficas
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Función Lineal
Destrezas Previas:
•Hacer gráficas
•Relación y función
•Dominio y campo de valores
Creado por: Profa. Carmen Batiz UGHS
Haz la gráfica de x + y = 5
1. Hacer una tabla de valores con por lo menos 5 puntos.
x x + y =5 y
1 1 + y = 5 4
2 2 + y = 5 3
0 0 + y = 5 5-1 -1 + y = 5 6-2 -2 + y = 5 7
2. Localizar estos puntos en el plano cartesiano.
DominioConjunto de valores de la variable x.
Campo de Valores
Conjunto de valores de la variable y.
3. Se unen todos los puntos
4. Se identifica la función.
x + y = 5
5. Dominio: Reales
6. Rango: Reales
Haz la gráfica de y = 2x
Haz la gráfica de y = 2x
y = 2x
Dominio: Reales
CV: Reales
Haz la gráfica de y x 2
Haz la gráfica de y x 2
y x 2
Dominio: Reales
CV: y >0
Haz la gráfica de y x
Haz la gráfica de y x
y x
Dominio: x >0
CV: y>0
Determina los rangos de las siguientes funciones si el dominio {-3,-2, 0 ,1,2,3}
1
2 2
3 3
4 1
5 2 6
2.
.
.
.
.
y x
y x
y x
y x
y x
Para determinar el rango de éstas funciones, se debe sustituir cada valor del dominio.
Determina los rangos de las siguientes funciones si el dominio {-3,-2, 0 ,1,2,3}
1
2 2
3 3
4 1
5 2 6
2.
.
.
.
.
y x
y x
y x
y x
y x
Para determinar el rango de éstas funciones, se debe sustituir cada valor del dominio.
Resultados:
1. {-9,-4,0,-1,-4,-9}
2. {-1,0,2,3,4,5}
3. {-9,-6,0,3,6,9}
4. {0,0,1, , ,2}
5. {12,10,6,4,2,0}
2 3
Práctica:
Folleto de Ejercicios de práctica Parte I, II, III
Algebra Glencoe p. 275 (1-31) impares
Cuaderno pág. 36 (1-7) pág. 38
Práctica en el salón 1-21 Funciones QWIZDOM
Relación y Función
A. Identificar relaciones que son
funciones por: Gráficas Diagrama
Tabla Pares ordenados
B. Evaluar una función
Creado por: Profa. Carmen Batiz UGHS
Def. Relación
Es un conjunto de pares ordenados.
Def. Función
Es una relación en el cuál no hay dos pares ordenados que tengan la
misma coordenada x.
Ejemplo 1:
y x 2Es una función
No hay puntos que tengan la misma coordenada x
Puntos:
(0,0)
(1,1)
(-1,1)
(2,4)
(-2,4)
Ejemplo 2:
y xNo es una función.
Puntos:
(0,0)
(4,2)
(4,-2)
Hay dos puntos que tienen la misma coordenada x.
*
*
Ejemplo 3:
x y x y
-2 4
-1 1
0 0
1 1
2 4
3 5
4 -7
Función No Función
-5 -1
-4 -8
3 4
7 4
-5 3
9 11
-5 0
Ejemplo 4:
Determina si el conjunto es una solución si:
a. A = {-5,3),(4,3),(11,-1)}
b. B = {(-5,1),(-1,-6),(-1,-5),(4,-6)}
a. Es una función .
b. No es una función porque hay dos puntos que tienen la misma coordenadas de x.
Ejemplo 5
-3 1 015
Dominio Rango
2
5
6 Es Función
4
3
-2
0
3
5No es función
DominioRango
Evaluando una función:
Si , evalúa:f x x( ) 4 8
)13(
8
3
)2(
af
f
f
Evaluando una función:
Si , evalúa :f x x( ) 4 8
)13(
8
3
)2(
af
f
f = -4(-2) + 8 = 8 + 8 = 16
8
8
34
12
8
64
8
52
86
4
86
1
2
4 3 1 8( )a 12 4 8a 12 4a
Función Par
Se dice que una función f es par cuando para cualquier x en el dominio de f se tiene que
f(-x)=f(x). Toda gráfia par es simétrica con respecto al
eje y.
Ejemplo:
Indica si la función es par y gráfica.
f(x) = x2 + 2
Ejemplo:
Indica si la función es par y gráfica.
f(x) = x2 + 2
f(-x) = (-x)2 + 2 = x2 + 2
Si la función es par, entonces f(-x) = f(x)
La función es par.
Gráficaf(x) = x2 + 2 f(-x) = f(x)
Esta gráfica es simétrica con el eje de y.
Función Impar
Se dice que una función f es impar cuando para cualquier x en el dominio de f se tiene que
f(-x)=-f(x). Toda gráfia impar es simétrica con respecto
al origen.
Ejemplo:
Indica si la función es impar y gráfica.
f(x) = x
Ejemplo:
Indica si la función es impar y gráfica.
f(x) = x
f(-x) = (-x) = -x
Si la función es impar, entonces f(-x) = -f(x)
La función es impar.
Gráficaf(x) = -x f(-x) = f(x)
Esta gráfica es simétrica con el eje de y.
Práctica
Determina si las gráficas son pares o impares e indica el por qué.
1
3
4
2
Contestaciones
1. Par; simétrica con el eje de y.
2. Par, simétrica con el eje de y.
3. Impar, simétrica con el origen.
4. Impar, simétrica con el origen.
Indica sin hacer la gráfica si son función par o impar.
x
xxs
xxxt
xxxr
xxxf
xxxP
1)(.5
24)(.4
)(.3
3)(.2
33)(.1
23
3
3
24
Contestaciones.
1. par
2. Impar
3. Ninguna
4. Par
5. ningunax
xxs
xxxt
xxxr
xxxf
xxxP
1)(.5
24)(.4
)(.3
3)(.2
33)(.1
23
3
3
24
Ejercicios:
Folleto de Ejercicios de Práctica Parte IV -VII
Algebra y Trigonometría Barnett 172-174
p.186-187 (35-48)
Algebra Glencoe p. 266-267 (1-33) impares
Cuaderno p.35 p.36
Práctica en el salón 22-40 Funciones QWIZDOM
Función Lineal
Determinar la pendiente de una recta. Hacer gráfica con la pendiente y un punto.Determinar la pendiente de una recta con dos puntos.
Creado por: Profa. Carmen Batiz UGHS
Pendiente
Definición:
Razón de cambio vertical con respecto a cambio horizontal.(m)
m =
x
y
horizontalcambio
verticalcambio
y x
Determina la pendiente de la rectaEj. 1
y x
3
3m 1
m
3
31
Determina la pendiente de la rectaEj. 1
y x 2 3
m 2
1 2
Ej. 2
Haz una gráfica con la información dada.
1. (-5,3); m = -2
3
2. (4,5); m = -3
Haz la gráfica con la información dada.
1. (-5,3); m = -2
3
2. (4,5); m = -3
La pendiente con dos puntos:
1. (5,1), (7,-3)
2. (-6,7),(-4,4)
my y
x x
2 1
2 1
1. (5,1), (7,-3)
2. (-6,7),(-4,4)
12
12
xx
yym
13 1
7 5.m
4
2 2
1. (5,1), (7,-3)
2. (-6,7),(-4,4)
my y
x x
2 1
2 1
2. m = 4 - 7 = -3
-4 – (-6) 2
Descubriendo el Intercerpto de Y
Descubrir :
Ecuación lineal en forma standardSignificado de intercepto en yLa pendiente y el intercepto de una recta dada la ecuación.
Creado por: Profa. Carmen Batiz UGHS
1. y = 3x + 2
2. y = 2x - 3
3. y = -3x + 2
4. y = -2x + 3
5. y = -3x - 2
A. ¿Qué semejanzas hay en estas ecuaciones?
1. y = 3x + 2
2. y = 2x - 3
3. y = -3x + 2
4. y = -2x + 3
5. y = -3x - 2
A. ¿Qué semejanzas hay en estas ecuaciones?
Todas estan escritas de la forma
y = mx + b, esto es la forma estándar de
una ecuación lineal.
B. ¿Qué diferencia existe entre estás ecuaciones?
1. y = 3x + 2
2. y = 2x - 3
3. y = -3x + 2
4. y = -2x + 3
5. y = -3x - 2
Para saberlo hagamo la gráfica de cada una de ellas.
y = 3x + 2
y = 2x - 3
y = -3x + 2
y = -2x + 3
y = -3x -2
B. ¿Qué diferencia existe entre estás ecuaciones?
1. y = 3x + 2
2. y = 2x - 3
3. y = -3x + 2
4. y = -2x + 3
5. y = -3x - 2
Pendiente e interceptos son diferentes.
B. ¿Qué diferencia existe entre estás ecuaciones?
1. y = 3x + 2
2. y = 2x - 3
3. y = -3x + 2
4. y = -2x + 3
5. y = -3x - 2
Llenemos la siguiente tabla para conocer un poco más sobre las diferencias.
pendiente Corte en el eje de y Inclinación positiva/negativa
B. ¿Qué diferencia existe entre estás ecuaciones?
1. y = 3x + 2
2. y = 2x - 3
3. y = -3x + 2
4. y = -2x + 3
5. y = -3x - 2
Llenemos la siguiente tabla para conocer un poco más sobre las diferencias.
pendiente Corte en el eje de y Inclinación positiva/negativa
3 (0,2)Positiva
2 (0,-3) Positiva
-3 (0,2) Negativa
-2 (0,-3) Negativa
-3 (0,-2) Negativa
Intercepto de y
Cuando la ecuación se escribe de la forma
y = mx + bm = pendiente y b = intercepto en y.
¿Qué es intercepto en y?
Es por donde pasa la recta en el eje de y.
Le das valor a la x de 0.
Ejercicio:
Determina la pendiente y el eje de y para cada ecuación.
1. y = -5x –3
2. y = 2x + 1/5
3. y = -1/2 x
4. y = 3x
5. 3x – 5y = 2
6. 3y = -2x – 1
Ejercicio:
Determina la pendiente y el eje de y para cada ecuación.
1. y = -5x –3
2. y = 2x + 1/5
3. y = -1/2 x
4. y = 3x
5. 3x – 5y = 2
6. 3y = -2x – 1
1. m = -5 b = (0,-3)
2. m = 2 b = (0,1/5)
3. m = -1/2 b = (0,0)
4. m = 3 b = (0,0)
5. m = -3/5 b = (0,-2/5)
6. m = -2/3 b = (0,-1/3)
E. ¿Cuál sería el intercepto en x? ¿Se podría obtener de la ecuación
standard?
El intercepto en x, es cuando se le da el valor de y = 0, ó cuando la recta pasa por el el eje de x.
No, no se puede obtener directamente de la ecuación standard.
¿Cómo se obtendría el intercepto en x?
El intercepto en x se define como el punto donde una recta pasa por el eje de x. Se obtiene cuando le damos valor de y = 0.
Ejemplo: Halla el intercepto de x de la recta que pasa por
y = 3x + 2.
El intercepto en x, NO se puede obtener a simple vista, la forma más fácil de obtener es escribiendo la ecuación en forma standard y le da valor y = 0 .
y – 3x = 2 Si y = 0, obtnemos que x = -2/3
Halla los interceptos de x + 2y = 2.
Si x = 0, obtenemos el intercepto en y.
0 + 2y = 2
y = 1 (0,1)
Si y = 0 , obtnemos el intercepto en x.
x + 2(0) = 2
x = 2 (2,0)
Trabajo:
Folleto de trabajo Parte VIII- XIIIAlgebra Glencoe p. .329 (1-35) impares
Pag. 37 , 41
Práctica en el salón 1-25
Función Lineal QWIZDOM
Laboratorio para descubrir la pendiente e interceptos de rectas horizontales o verticales.
Rectas Horizontales y Verticales
Creado por: Profa. Carmen Batiz UGHS
A. Utilizando la calculadora gráfica traza la gráfica de las siguientes ecuaciones y observa la tabla de valores de cada una de ellas.
1. y = 4
2. y = -4
3. y = 2
4. y = -2
5. y = -1/2
A. Utilizando la calculadora gráfica traza la gráfica de las siguientes ecuaciones y observa la tabla de valores de cada una de ellas.
1. y = 4
2. y = -4
3. y = 2
4. y = -2
5. y = -1/2
1. (2,4) ,(0,4),(3,4), (-4,4)…
2. (2,-4), (2,-4), (1,-4)…
3. (0,2),(2,2),(-1,2)…
B. Utilizando un papel cuadriculado y traza la gráfica de las siguientes ecuaciones observa la tabla de valores de cada una de ellas.
1. x = 4
2. x = -4
3. x = 2
4. x = -2
5. x = -1/2
B. Utilizando un papel cuadriculado y traza la gráfica de las siguientes ecuaciones observa la tabla de valores de cada una de ellas.
1. x = 4
2. x = -4
3. x = 2
4. x = -2
5. x = -1/2
1. (4,-1), (4,2), (4,0)…
2. (-4,0),(-4,2), (-4,-1)…
3. (2,4),(2,-1),(2,0)…
A C. Compara las gráficas de la parte A y la parte B. Qué puedes concluir?
A C. Compara las gráficas de la parte A y la parte B. Qué puedes concluir?
Las gráficas de la parte A son gráficas horizontales y las de la parte B son gráficas verticales.
D. Como podrías escribir estas ecuaciones de la forma
estándar?
Parte A:
1. y = 0x + 4
2. y = 0x - 4
3. y = 0x + 2
4. y = 0x – 2
5. y = 0x - 1/2
D. Como podrías escribir estas ecuaciones de la forma
estándar?
Parte A:
1. y = 0x + 4
2. y = 0x - 4
3. y = 0x + 2
4. y = 0x – 2
5. y = 0x - 1/2
Parte B
1. Las gráficas verticales no tienen pendiente y no se podría escribir como forma estándard. Cuando se expresa x = 2 2 es el intercepto en x. (2,0)
E. Encuentra la pendiente y los interceptos de cada una de ellas.
1. x = 42. x = -43. x = 24. x = -25. x = -1/2
E. Encuentra la pendiente y los interceptos de cada una de ellas.
Parte A
1. m = 0 (0,4)
2. m = 0 (0,-4)
3. m = 0 (0,2)
4. m = 0 (0,-2)
5. m = 0 ( 0,-1/2)
Parte B
Las gráficas verticales no tienen pendiente ni intercepto de y.
Ejercicios
Encuentra la pendiente y el intercepto en y de cada una de las siguientes ecuaciones lineales.Determina si es ascendente, descendente, horizontal o vertical.
1. y = 5x – 3
2. y = 4
3. x = 5
4. y = 2x
Ejercicios
Encuentra la pendiente y el intercepto en y de cada una de las siguientes ecuaciones lineales.Determina si es ascendente, descendente, horizontal o vertical.
1. y = 5x – 3
2. y = 4
3. x = 5
4. y = -2x
1. m = 5 ; (0,-3) ascendente
2. m = 0 (0,4) horizontal
3. m= indefinida , no tiene, vertical
4. m = -2, (0,0); descendente
Rectas Paralelas
Grafica
y = 5x
y = 5x – 3
y = 5x + 2
¿Son éstas gráficas paralelas? ¿Qué tienen en común?
Rectas Paralelas
y = 5x
y = 5x – 3
y = 5x + 2
Las rectas paralelas tienen la misma pendiente.
Rectas Perpendiculares
Grafica:
y = 5x
y =
¿Son éstas gráficas perpendiculares? Observa la pendiente en la ecuación. ¿Qué puedes concluir?
35
1 x
Hallando la ecuación de una recta.
Ejemplo 1:
Halla la ecuación de una recta que es paralela a y = 5x – 3 y pasa por (0,4)
Hallando la ecuación de una recta.
Ejemplo 1:
Halla la ecuación de una recta que es paralela a y = 5x – 3 y pasa por (0,4)
La pendiente de la recta paralela es 5.
Si la ecuación de la recta es y = mx + b, donde m es la pendiente y b el intercepto, entonces obtendrémos:
y = 5x + 4
Hallando la ecuación de una recta.
Ejemplo 2:
Halla la ecuación de una recta que es perpendicular a y = 3x – 2 y pasa por (2,4)
Hallando la ecuación de una recta.
Ejemplo 2:
Halla la ecuación de una recta que es perpendicular a y = 3x – 2 y pasa por (2,4)Si la pendiente de la recta es perpendicular a 3, entonces la recta tendrá una pendiente opuesta y recíproca a ésta. Por lo tanto, lo opuesto y recíproco a 3 es: -1/3.
Si tenemos la pendiente un punto (x.,y) obtendrémos entonces el intercepto sustituyendo en
y = mx + b
Hallando la ecuación de una recta.
Ejemplo 2:
Halla la ecuación de una recta que es perpendicular a y = 3x – 2 y pasa por (2,4)
b3
24
y = mx + b
b )2(3
14
b3
24
b3
24
Entonces la ecuación de la recta perpendicular a
y = 3x – 2 es:
3
24
3
1 xy
Ejercicios
Folleto de trabajo Parte XIIIy XIV
Práctica en el salón 26-30
Función Lineal QWIZDOM
Variación Directa
Se describe mediante la ecuación de la forma:
y = kx donde k ≠ 0
K es la constante de variación y se dice que y varía proporcionalmente con x.
x
yk
El número de galones de agua que uno usa depende directamente del tiempo que uno se demora en ducharse.
x(min) y(galones)
3 18
6 36
9 54
12 72
15 90
La ecuación para esta variación directa sería:
y = 6x
La constante de variación es K.
Por lo tanto en este caso es 6.
¿La ecuación y = 2x expresa una variación directa?
¿La ecuación y = 2x expresa una variación directa?
• Si, porque lo podemos expresar como:
2x
y
La constante de proporcionalidad es -6.
kx
y
k4
16
4k
47
y
y = 28
Variación Inversa
Se describe con una ecuación de la forma :
donde k ≠ 0
K es la contante de variación y se dice que y es inversamente proporcional a x.
x
ky
xyk
Ejemplo:
Escribe una ecuación que describa la relación entre y y x.
y x
-4 -16
-32 -2
256 ¼
128 ½
32 2
16 4
8 8
2 32
½ 128
Ejemplo:
Escribe una ecuación que describa la relación entre y y x.
y x
-4 -16
-32 -2
256 ¼
128 ½
32 2
16 4
8 8
2 32
½ 128
La ecuación sería
xy = 64
Variación Combinadas
Práctica
Folleto de trabajo Parte XVI y XVII
Algebra Glencoe p 243
Referencias:
• Las Funciones
http://www.google.com.pr/search?hl=es&q=las+funciones+sonya&meta=