funciones trigonometricas

Escuela Secundaria N° 5Curso: 6° Año

Espacio Curricular: MATEMÁTICA

Docente: Prof. Alicia Carrizo

FUNCIONES TRIGONOMETRICAS

Astronomía : Cálculo del radio de la Tierra, distancia de la Tierra a la Luna, distancia de la Tierra al Sol, predicción de eclipses, confección de calendarios, ...

Artillería : ¿A qué distancia se encuentra un blanco al que se desea disparar con unacatapulta o con un cañón?

Cartografía : Elaboración del mapa de un lugar del que se conocen algunas distancias y algunos ángulos.

Construcciones : Cómo construir un edificio para que cumpla ciertas exigencias de orientación. En qué dirección se excava un túnel para que salga, al otro lado de la montaña, en el lugar deseado.

Navegación : Construcción de cartas marinas en las que se detalle la ubicación de escollos, arrecifes, ...

Podemos extender las definiciones de las razones trigonométricas para ángulos agudos en un triángulo recto a ángulos de cualquier magnitud en el círculo.Recuerde:

Hallar la razón trigonométrica indicada.

(5)sin 4.

) tan(-2403.

)30cos( 2.

)sin( .1

o

815

3827.0

8sin

10cos

33

tan3

4tan

Nota que el 5 representa 5 radianes. Un ángulo que mide 5 radianes está en 4to cuadrante. ¿Puedes explicar por qué?

0.9589-

Se puede observar el comportamiento de las razones trigonométricas a medida que rotamos alrededor del círculo formando ángulos.

Recuerde que aunque aquí se muestran algunos ángulos más conocidos podemos hallar el seno o el coseno a ángulos con cualquier medida.

Funciones Trigonométricas

• Para definir las funciones trigonométricas se define como entrada, ϴ, cualquier ángulo medido en radianes.

• De esta forma el dominio de una función trigonométrica es el conjunto de los números reales.

• El rango de las funciones f(ϴ) = sin(ϴ) y g(ϴ) = cos (ϴ) es [-1,1].

• Estudiaremos algunos detalles sobre las siguientes funciones trigonométricas f(ϴ) = sin(ϴ), g(ϴ) = cos (ϴ) y h(ϴ) = tan (ϴ).

Gráficas de f(x)=sin(x) y g(x) = cos(x)

• Comenzaremos el estudio de las gráficas de las funciones de seno y coseno armando una tabla de valores.

Gráfica de f(x)=sin(x)Localizemos estos puntos en un plano trigonométrico.

Gráfica de g(x)=cos(x)Localizemos estos puntos en un plano trigonométrico.

Gráficas de f(x)=sin(x) y g(x)=cos(x)Observemos las gráficas en un mismo plano trigonométrico.

Gráficas de f(x)=sin(x)

Gráficas de f(x)=cos(x)

Características de f(x)=sin(x) y g(x)=cos(x)

1. En las gráficas anteriores se puede observar el gran parecido que existe entre ambas.

2. De hecho, parece que podemos trasladar la gráfica de g(x)=cos(x) π/2 unidades y obtener la gráfica de f(x)=sin(x).

3. Podemos describir este parecido diciendo que f(x)= sin(x) = cos(x-[/2]).

Es conveniente recordar que el ángulo que mide 90º mide /2 (en números reales o radianes).

Características de f(x)=sin(x) y g(x)=cos(x)

4. En las gráficas anteriores también se puede observar que los valores de ambas funciones se repiten cíclicamente para múltiplos de 2.

5. Este comportamiento se puede describir f(x) = sin(x) = sin(x + 2n ) donde n pertenece a los enteros (n ).

6. También podemos decir queg(x) = cos(x) = cos(x + 2n ) donde n .

Creando nuevas funciones trigonométricas: transformaciones

• Construya una tabla de valores para cada una de las siguientes funciones.

• F(x)=2 sin(x)• F(x) = sin(2x)• F(x) = 2 sin(x +1)• F(x) = 2 sin(x) + 1

Gráfica de f(x) = sin(x) y f(x)= 2 . sin(x)

Gráfica de f(x) = sin(x) y f(x)=sin(2x)

Gráfica de f(x) = sin(x) y f(x)= 2 . sin(x+1)

Gráfica de f(x)= 2 . sin(x) y f(x)= 2 . sin(x)+1

Creando nuevas funciones trigonométricas: transformaciones

• Construya una tabla de valores para cada una de las siguientes funciones.

• F(x)=2 cos(x)• F(x) = cos(2x)• F(x) = 2 cos(x +1)• F(x) = 2 cos(x) + 1

Gráfica de f(x)=2cos(x)

Gráfica de f(x)=cos(2x)

Gráfica de h(x)=tan(x)• Vamos a construir una tabla con algunos valores de

tangente para varios ángulos.• Recordemos que la h(x)=tan(x) NO está definido para

algunos ángulos. ¿Por qué?

No siempre es posible definir la función tangente de un ángulo (x). De hecho, cuando la función coseno del ángulo toma el valor de cero, la función tangente no está definida (¿por qué?).

• Su radio es igual a la unidad.

• Su centro es el origen de coordenadas.

• Sus razones trigonométricas son independientes del radio

Y

LA CIRCUNFERENCIA GONIOMÉTRICA

1

1.- Línea seno: Se representa por la perpendicular trazada desde el extremo del arco, hacia el diámetro horizontal.

Sen a = cateto opuesto hipotenusa

Que por la construcción la hipotenusa vale 1

sen a = y

Seno

0x

ya

Análisis de los cuadrantes

0º360º

90º

180º

270º

0

1

-1

+∞

- ∞

1

-1

0º = 0

90º = 1

180º = 0

270º = -1

360º = 0

LíneaSeno

2.- Línea coseno: Se representa por la perpendicular trazada desde el extremo del arco, hacia el diámetro vertical.

cateto adyacenteCos a = hipotenusa

Que por la construcción la hipotenusa vale 1

cos a = x

Coseno0

x

ya

LíneaCoseno

270º

0º360º

90º

180º 1-1

+∞- ∞0- 1 1

0º = 1

90º = 0

180º = - 1

270º = 0

360º = 1

Tg.

3.- Línea tangente: cateto opuestotg a = --------------------- cateto adyacente

x’=1

0x

ya

y’

x

x’

y

y’Teorema deSemejanza de triangulos(Teorema deTales)y/x=y’/x’

Se empieza a medir de este origen y termina en la intersección de la tangente geométrica con el radio prolongado que pasa por el extremo del arco.

0º360º

90º

180º

270º

0

+∞

- ∞

LíneaTangente

0x

ya

5.- Línea Cotangente: ctg a = 1 tg a

ctg a = x / y

Ctg

4.- Línea secante: sec a = 1 cos a

0x

ya

Seca

nte

0x

ya

5.- Línea Cosecante: Cosec a = 1 Sen a

Cosecante

CIRCUNFERENCIA GONIOMÉTRICA

ÁNGULOS OPUESTOS

α αcos x cos(- )=x

=

P (x,y)

α αsen y sen( ) y

= - =-

α αy y

tg tg(- )x x

-= =

65º -65º

Si sen 65º= 0,9063 entonces sen(-65)=

Si cos 65º= 0,4226 entonces cos(-65)=

Si tg 65º= 2,1445 entonces tg(-65)=

-0,9063

0,4226

2,1445

Q(x, -y)

ÁNGULOS SUPLEMENTARIOS (SUMAN 180º)

α αcos x cos(180º- )=-x =

α αsen y sen(180º ) y = - =

Si sen 20º= 0,342 entonces sen160º=

Si cos 20º= 0, 9396 entonces cos160º=

Si tg 20º= 0,3639 entonces tg 160º=

0,342

-0,9396

-0,3639

180 -

P (x,y)

20º 160º

α αy y

tg tg(180- )x x

= =-

Q(-x,y)

ÁNGULOS COMPLEMENTARIOS (SUMAN 90º)

α αcos x cos(90º- )= y =

α αsen y sen(90º ) x = - =

Si sen 20º= 0,342 entonces sen 70º=Si cos 20º= 0, 9396 entonces cos70º=


0,93960,342

1/0,3639=2,7474

P (x,y)

20º

α αα

y x 1 1tg tg(90º- )

yx y tgx

= = = =

70 º90 -

Q(y,x)

ÁNGULOS QUE DIFIEREN EN 90º

α αcos x cos(90º+ )= - y =

α αsen y sen(90º ) x = + =

Si sen 20º= 0,342 entonces sen 110º=Si cos 20º= 0, 9396 entonces cos110º=


0,9396-0,342

-1/0,3639=- 2,7474

P (x,y)

20º

α αα

y x 1tg tg(90º+ )

x y tg= = =-

-

X

y

Q (-y,x)

90 +110 º

ÁNGULOS QUE DIFIEREN EN 180 º

α αcos x cos(180º+ )=-x =

α αsen y sen(180º ) y = + =-

Si sen 20º= 0,342 entonces sen 200º=

Si cos 20º= 0, 9396 entonces cos200º=


- 0,342

-0,9396

0,3639

180 +

P (x,y)

20º 200º

α α αy y

tg tg(180+ ) tgx x

-= = =

-

Q(-x,-y)

ALGUNOS EJEMPLOS

Expresa cos 225º como un ángulo del primer cuadrante

225º cos 225º

45º

cos 45º

Solución: cos 225º = - cos 45º

α α αHalla las restantes razones trigonométricas de sabiendo tg =-3 y que 180º<

Con la calculadora se obtiene que el ángulo es –71,5650º, o lo que es lo mismo 288,435.

-71,465º

288,535º

288,353 no vale porque es mayor que 180º

Por lo ya estudiado, cuando dos ángulos difieren en 180º tienen la misma tangente

Por lo que el ángulo buscado cumple que:

α α288,435º - = 180º =108,43495ºÞ

Conocido el ángulo se calcula el seno y el coseno con la calculadora

α α αHalla con la calculadora sabiendo que sen = - 0,75 y que 270º<

Con la calculadora se obtiene que el ángulo es -48,5903º que es lo mismo que 311 ,4096º

Debo encontrar un ángulo que tenga el mismo seno que 311,4096 y que sea menor a 270º

311,4096 º

sen 311,4096Mismo seno y es menor que 270º

α 311,4096º 2·41,4096º 228,59036= - =α

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