1 UNIDADDOS FUNCIONES,TRIGONOMETRAE HIPERNOMETRA 2 UNIDAD DOS: FUNCIONES,TRIGONOMETRAEHIPERNOMETRA CAPITULO UNO: LasFuncionesIntroduccin ............................................................................................... 4 Objetivo General y Objetivos Especficos .................................................4 Sistema De Coordenadas: Coordenadas Rectangulares .........................5 Relaciones ................................................................................................7 Funciones .................................................................................................9 Funciones Segn su tipo de Relacin ......................................................11 Simetra de las Funciones .......................................................................15 Monotona de las Funciones ....................................................................17 Descripcin de Una Funcin ....................................................................18 lgebra de Funciones ..............................................................................22 Clasificacin de Funciones .......................................................................27 Funciones Especiales ..............................................................................27 -Funcin Constante .........................................................................27 -Funcin Idntica ............................................................................28 -Funcin Valor Absoluto .................................................................28 -Funcin Parte Entera ....................................................................29 -Funcin Definida por Partes ..........................................................30 Funciones Algebraicas .............................................................................30 -Funcin Lineal ...............................................................................30 -Funcin Cuadrtica .......................................................................34 -Funcin Cbica .............................................................................39 -Funcin Polinmica .......................................................................39 -Funcin Racional ...........................................................................42 -Funcin Radical .............................................................................47 Funciones Trascendentales .....................................................................51 -Funcin Exponencial .....................................................................51 -Funcin Logartmica ......................................................................54 -FuncionesTrigonomtricas ...........................................................59 -Funciones Hiperblicas ..................................................................78 Trasformacin de Funciones ....................................................................84 Funciones Inversas ..................................................................................92 -Funciones Algebraicas Inversas ...................................................93 -Funciones Exponencial y Logartmica Inversas ............................98 -Funciones Trigonomtricas Inversas .............................................100 -Funciones Hiperblicas Inversas ..................................................105 Aplicacin de las Funciones .....................................................................108 -Algebraicas ....................................................................................108 -Exponencial y Logartmica ............................................................113 -Trigonomtricas .............................................................................117 CAPTULO DOS: Trigonometra Analtica Introduccin ..............................................................................................123 Objetivo General y Objetivos Especficos ................................................123 Identidades Trigonomtricas ....................................................................124 Desarrollo de Identidades Trigonomtricas ..............................................135 Ecuaciones Trigonomtricas ....................................................................141 Anlisis de Tringulos No Rectngulos ....................................................146 3 Tringulos No Rectngulos: Problemas de aplicacin .............................152 CAPTULO TRES: HipernometraIntroduccin ..............................................................................................156 Objetivo General y Objetivos Especficos ................................................156 Identidades Bsicas .................................................................................156 Identidades de Suma yDiferencia ..........................................................158 Identidades de Angulo Doble ...................................................................159 Identidades al cuadrado ...........................................................................159 4 CAPTULO UNO:FUNCIONES INTRODUCCIN En Matemticasuno de los conceptos ms importantes es el de FUNCIN,se creequeelgranmatemticoalemnLeibnizlaintrodujoafinalesdelsiglo XVII.El concepto proviene del latn functo, que quiere decir Actode realizar. TodaslasreasdelasMatemticastienenqueverconfunciones,deallla importanciadesuanlisis,partiendodeladefinicin,suscaractersticasysu clasificacin. Elcaptuloestaestructuradodeunamanerasecuencial,iniciandoconel estudiodelsistemadereferenciamsutilizado,lascaractersticasdelas relaciones y la Conceptualizacin de funcin. Se ha dado bastante importancia alosprincipiossobrefuncionesparaluegoanlisislasclasificacionesms relevantes. Respecto a los tipos de clasificacin, se ha dado en forma macro, con el fin de que cualquier funcin pueda ser consideradadentro de una de las categoras dadas, por supuesto sus aplicaciones. Es importante analizar cada temtica con detenimiento, haciendo losejercicios propuestosparapodercomprenderyafianzarlosconocimientossobre funciones.El tema de funciones es muy interesante y apasionante. ObjetivoGeneral Quelosestudiantescomprendanlosprincipios,leyesypropiedadesdelas relacionesyfunciones,loscamposdeaplicacinylasparticularidadesque tiene la amplia gama de funciones. Objetivos Especficos 1.Analizarycomprenderclaramenteelconceptoderelacin,dominioy rango. 2.Identificarlas4formasdedefinirunafuncin,suspartesysu representacin grfica. 3.Comprender el fundamento de las formas de clasificar las funciones, las caractersticas de cada clase y sus aplicaciones. 4.Resolver problemas sobre funciones 5. Comprender los principios de trigonometra e Hipermetropa. ) ( x f y=5 SISTEMA DE COORDENADAS LosMatemticosyCientfico,haninquietadosusestudiosalas representacionesgrficasdelosfenmenosnaturales,paralocualsehan diseado diversossistemasderepresentacin,lascualestiene unsistemade referencia,llamadaSistemadeCoordenadas,enlascualessehacenlos grficossegnelsistemadefinido.Entrelasmsconocidassetienenlas coordenadascartesianas, las coordenadas polares, las coordenadas esfricas y las coordenadas cilndricas.Para efectos de este curso se van a estudiar las coordenadascartesianas. COORDENADAS CARTESIANAS: Renato Descartes (1.596 1.650) en su gran sabidura estableci que un punto cualquieradelplanogeomtricosepodrailustrarpormediodeunpar ordenado(x,y)querepresentaladistanciaeuclidiaperpendiculardesdelos ejesdelsistemaquelpropusoadichoparordenado.Seconsideroel principal conector entre el lenguaje grfico y el lenguaje algebraico, ya que por medio de ste, se pudo relacionar a una ecuacin con una curva y viceversa. Actualmenteselesconocecomoelsistemadecoordenadascartesianaso rectangulares,lacualseformaalcruzardosrectasperpendicularmente,el punto de corte se le llama origen de coordenadas, de esta manera el plano se fracciona en 4 cuadrantes. Eje de Coordenadas: Porconvencininternacional el nombrede los ejes se presentan as: Horizontal: Abscisa o eje x Vertical: Ordenada o eje y Enestesistemacualquierpareja(x,y)tendrunsignosegnelcuadrante.Sabemos que eleje x se considera positivo hacia la derecha y negativo hacia laizquierdaapartirdelorigen,elejeyseconsiderapositivohaciaarribay negativo hacia abajo a partir del origen, entonces: Primer cuadrante: xeyson positivos Segundo cuadrante: x negativo ey positivo Tercer cuadrante: x e y negativosCuarto cuadrante: x positivo e y negativo Para ilustrar esta convencinveamos el siguiente grafico. Ubicar en el plano cartesianolossiguientespuntos:a(3, 1),b(-3,2),c(2,-3)yd(-2,-2),e(0,5)y f(5,0). 6 Encadaparejaordenadala primeracomponente correspondealejexyla segunda componente al eje y. Se observa que el puntoaes positivaparalasdos componentes,besnegativa paralaprimeracomponenteynegativaparalasegunda componente.Assepuede observarparalasdems puntos. DIAGRAMAS DE VENN: Otra forma de representar un par ordenado, es por medio de los muy conocidos DiagramasdeVenn.JohnVenn,unlgicoBritnico(1.8341.923)propone unsistemadevalospararepresentarlasrelacionesentreparesordenados, propiedadesyoperacionesentreconjuntos.Elsistemabuscabareducirlos anlisislgicosylateoradeconjuntosaunclculosimblico.ActualmenteestaherramientaesmuyusadaenMatemticas,especialmenteenteorade conjuntos y en el estudio de funciones. Cadaparejaordenadaestarelacionadaatravsdeunvaloas:La componente x en el primer valo y la componente y en el segundo valo. EneldiagramadeVenn,se esta representando los mismos puntosquefueronubicados en el plano cartesiano anterior. ElconjuntoAseleconoce comoconjuntodepartidao conjuntoinicialyalconjuntoB se le conoce como conjunto de llegada o conjunto final. Laslneasvandelconjuntode partida al conjunto de llegada e indicanlasparejasordenadas que se relacionan. LoselementosdelconjuntodepartidaA,seubicanenelejexdelplano cartesiano y los elementos del conjunto de llegada B, se ubican en el eje y del plano cartesiano.7 RELACIONES: Enelmundoquenosrodea,existenrelacionesentredosconjuntos,por ejemplo la relacin entre Temperatura y Altitud, la cual establece que a mayor altitud,menortemperatura.Otrocasoeslarelacinentrelenmerode kilmetros recorridos y el costo del servicio en un taxi,el cual esta relacionado queamayorkilometraje,mayorcostodelservicio.Asexistenmuchas relaciones entre dos conjuntos. El concepto de relacin esta asociado a una condicin entre dos conjuntos,de talmaneraqueacadaelementodelconjuntodepartida,lecorrespondeuno varios elementos del conjunto de llegada. Las relaciones se pueden representar por medio de los diagramas de Venn. Las parejas ordenadas graficadas son: (a, 5), (b, 4), (c, 2), (d, 1), (f, 6), ( g, 3) Segn la teora: A = Conjunto de partida B = Conjunto de llegada R = Relacin entre cada para ordenado. Componentes de Una Relacin: Toda relacin presenta varios componentes. Dominio:Correspondenatodosloselementosqueconformanelconjuntode partida; es decir, los elementos del conjunto A. CodominioRango: Correspondealoselementosqueconformanelconjunto de llegada; es decir, los elementos del conjunto B. Regla o Norma: Corresponde a la forma en que se asocianlos elementos del dominio y el codominio,generalmentese representa con la R.

La expresin significa que existe una relacin Rentre los conjuntosAyB. Ejemplo 1: DadalarelacinentrelosconjuntosPyQ,cuyanormaoreglaes:Q=2P, hacereldiagramadeVenneidentificarlasparejasordenadas,tomarlos4 primeros enteros positivos. Sea R: AB R R f :8 Solucin: A partir de las condiciones del problema: R: Q =2P SeaR:PQ Las parejas ordenadas: (1, 2),(2, 4),(3, 6),(4, 8), , (p,2p) Enelconjuntodepartidasetomaronlos4 primerosnmerosenterospositivosporlas condiciones del ejemplo, pero en dicho conjunto sepuedentomarlosvaloresquesedeseen, sean positivos o negativos. Ejemplo 2: DadoslosconjuntosMyN,detalmaneraqueNsealarazcuadradadeM. HacereldiagramadeVennyobtenerlasparejasordenadaspara1,4,9, 16,, mpara m positivo. Solucin: M N R :SeaR: M N Las parejas ordenadas: (1, -1)y(1, -1) (4, 2)y(4, -2) (9, 3)y(9, -3) (16, 4) y (16, -4) En general: (m, n)y (m, -n) 9 FUNCIONES UnodelosconceptosmsimportantesenMatemticaseseldeFuncin,ya queenlascienciaspurasyaplicadassonfundamentalesparaanalizar diferentesfenmenos.EnBiologaelcrecimientodelosorganismoses modeladoporunafuncinexponencial,enEconomaparaladescripcindel costo utilidad de un artculo, en Fsicael anlisis del movimiento se modela por funciones polinmicas, etc. Dentrodelanlisisdefunciones,hayalgunosconceptosquesonpertinentes mencionar. Variables: Se puede decir que es todoaquello que cambia a travs del tiempo oespacio,elmismoespacioytiemposeconsideranvariables.Laclavede este concepto es que ocurre cambio, ya que si esto sucede, se dice que ocurri variacin.Enelestudiodefuncionesseconocendostiposdevariables.VARIABLEINDEPENDIENTE:Seconsideraaquellaquesedefineporsi misma,unadeesasporsunaturalezaeseltiempo,peroexistenotras.Esta variable por lo general se ubica en el eje de las abscisas del plano cartesiano; es decir, en el eje x.VARIABLE DEPENDIENTE: Como su nombre lo indica, sonaquellasquequedandefinidasapartirdeotra;esdecir,dependedeotra para quedar definida. Esta variable es ubicada en el eje de las ordenadas en el plano cartesiano; eje y. Cuando se dice que el rea de un crculo es funcin del radio,lo que se quiere decir es que el rea depende del radio. A = f (R) Constantes: Son trminos que tienen valores fijos; es decir, tiene valores fijos, lo que indica que no cambia enninguna circunstancia.Los valores numricos son el ejemplo tpico de constantes. Enlaantigedadseutilizabanlasvocalesparaindicarlasvariablesylas consonantesparaindicarlasconstantes.Enlaactualidadporconvencin general, las primeras letras del alfabeto se utilizan para indicar las constantes y las ltimas letras para indicar las variables. Con estos elementos se puede hacer una definicin de funcin.

En funciones al conjunto de partida se le llama Dominio y al conjunto de llegada selellamaimagen.Enelplanocartesianoloselementosdeldominioson ubicados en el eje x y los elementos de la imagen son ubicados en le eje y. Por la definicin, se puede inferir que todas las funciones son relaciones,pero NOtodaslasrelacionessonfunciones.(Discutirestaconclusinconlos compaeros del grupo colaborativo) DEFINICIN:Unafuncinesunarelacindondeacadaelementodel conjuntodepartidalecorrespondeunoysolounelementodelconjuntode llegada. 10 Paradeterminarsiunarelacines funcin,bastaconobservarenel diagramadeVenn,quetodoslos elementosdeldominioestn relacionados con algn elemento del rango, pero solo con uno. Grficamente,quedetodoslos elementosdeldominiosalgasolo una flecha. Hay dos casos donde la relacin no es funcin: Cuandoun solo elemento del dominionoesterelacionadoconalgunodelrangoosialgnelementodel dominioesta relacionado con ms de un elemento del rango. Existen4formasdedefinirunafuncin,eneltrabajoconfuncionesestas formassetrabajanindistintamente,loqueindicaquesedebenconocery dominar adecuadamente. 1.DESCRIPTIVA:Esladescripcinverbaldelfenmenoqueseestudia,en esta se detallan las condiciones en que ocurren los hechos. Por ejemplo: La ganancia G que resulta de vender x artculos, en la cual el valor unitario es de $200. 2. NUMRICA: Consiste en hacer una tabla de valores con los datosobtenidos del fenmeno al hacer las mediciones correspondientes. Por ejemplo:

3.GRFICA:Pormediodeunarepresentacingrfica,ubicandopares ordenados enel plano cartesiano, se puede observar la forma de la curva que muestra la funcin dada. Lospuntos ubicados en el planosonlosdescritosen la parte numrica. Enelejexserepresentan los artculos vendidos y en elejeylagananciapor ventas. 4. ANALTICA: Tambin es llamada Matemtica, es aquella que por medio de un modelo matemtico sedescribe el fenmeno, para el ejemplo que estamos analizando seria: x G 20 =11 El modelo describe la ganancia (G) en funcin de nmero de artculos vendidos (x). ELEMENTOS DE UNA FUNCIN: En toda funcin se pueden encontrar 3 elementos. Dominio: Son los elementos del conjunto de partida; es decir, los elementos de x,quecorrespondenalavariableindependiente.Enelejemplomodelola variableindependientesonelnmerodeartculosvendidos.Anteriormentese hizoaclaracinqueloselementos deldominioseubican en elejexdelplano cartesiano. Imagen: Son los elementos del conjunto de llegada; es decir, los elementos de y,quecorrespondenalavariabledependiente.Enelejemplomodeloesla ganancia G.Tambin por convencin los elementos de la imagen se ubican en el eje y del plano cartesiano. ReglaoCondicin:Seconsideraalaformaenqueserelacionanlos elementosdexey.Cadafuncintieneunareglaquerelacionalasdos variables.Solosedebetenerpresentequeacadaelementodexle corresponde solo uno de y.

Ejemplo 1: La relacin entre las variables x e y esta dada de tal manera que y se obtiene elevandoalcuadradolavariablex.apartirdeladescripcindelfenmeno, obtener la tabla de datos, la grfica y el modelo matemtico. Solucin: Los valores: x012345 y01491625 La grafica: Plano Cartesiano. Diagrama de Venn 12 El modelo matemtico: 2x y = Eldominio:Paraelcasoquesepresenta,lavariableindependientepuede tomar cualquier valor real, luego el dominio son todos los reales. LaImagen:Paracualquiervalordelavariableindependiente,elvalordela variabledependienteserpositiva,luegolaimagensontodoslosrealesno negativos. Determinacin del Dominio e Imagen de una Funcin: En el anlisis de funciones, es importante identificar el dominio e imagen de la funcin, lo cual se puede hacer de dos maneras. A Partir de la Grfica: Con la observacin detallada de la grfica, se puedeidentificar el dominio y la imagen de una funcin, veamos dos ejemplos modelos. Grfica AGrfica B GrficaA.Seobservaquelacurvasedesplazaalolargodelejex,tomando valorespositivosynegativos,luegoeldominiosontodoslosvaloresreales.Paralaimagen,lacurvasedesplazaenlapartepositivadelejey,luegola imagen son todos los reales positivos. La notacin ser: +R R f : Grfica B: En la curva se observa que lagrafica puede tomar valores positivosonegativosenelejex,igualparaelejey,luegoeldominioeimagendela funcin son todos los reales. La notacin ser:R R f :

13 A Partir del Modelo Matemtico: (frmula matemtica) Dadaelmodelomatemtico,sepuededeterminarlosvaloresquepueden tomarlavariableindependienteylavariabledependiente.Conalgunos ejemplos modelos se puede comprender la situacin. Sea.Segn el modelo se puede inferir que la variable x puede tomar valores positivos, negativos incluso cero,luego el dominio son todoslosreales.Asseobservaquelavariableytendrvalorespositivosy negativos e incluso cero, luego la imagen son todos los reales; es decir es una funcin de reales en reales. Sea. Se puede ver que la variable x puede tomar valores positivos y negativos, pero NO puede tomar el valor de cero, luego el dominio sern todos losrealesdiferentesdecero.Lavariableyserpositivasixespositivay viceversa,peronuncasercero,luegolaimagensontodoslosreales deferentes de cero. Sea. La variable x puede tomar valores positivos y cero, pero No puede tomar valores negativos, ya que la raz cuadrado de nmeros negativos noesreal,aseldominiosernlosrealespositivosyelcero(realesno negativos). Los valores que puede tomar y sernpositivos y cero negativos, peronolosdos;paraquesepuedaconsideranunafuncin,luegolaimagen son los reales no negativos los reales negativos. EngeneralelDominiodeunafuncinsernlosvaloresquepuedatomarla variablexsinquesepresentenambigedadesenelmomentodehacerla operacin matemtica. Laimagensedeterminadespejandoxdelmodelomatemticoyseobserva qu valores puede tomar la variable y. NOTA: Con la prctica y muchos ejercicios se ganar destreza para determinar el dominio e imagen de una funcin. Notacin Moderna de Funcin: Elmatemtico francsAgustnLouisCauchy (1.789 1.857) dentro de los aportes dados a lamatemtica,comoprecisindelos conceptos de Funcin, Lmites y Continuidad, proponeunanomenclaturaparadefinir esquemticamenteunafuncin,dela siguiente manera.

Fuente: mat.usach.cl/histmat/html/cauc.html Comosehacomentadolavariablexserlavariableindependienteyla variableyserlavariabledependienteofuncin.Asyyf(x)sern equivalentes ya que significan lo mismo. 1 22 3+ + = x x x yxy1=x y=) ( x f y=14 Por ejemplo si escribimos: 1 3 2 ) (2+ = x x x fEs lo mismo que 1 3 22+ = x x y Funciones de Valor Real: Con lo analizado hasta el momento ya estamos en capacidad de responde las siguientes preguntas. Toda relacin es funcin: Toda funcin es relacin:

Conlaaclaracindelasafirmacionesanteriores,ahorasedebeanalizaren quconjuntonumricosepuedentrabajarlasfunciones.Enapartados anterioressediounindiciosobreendondesepuededefinireldominioe imagen de una funcin. Una funcin de valor real, nos indica que los elementos del dominio e imagen sonnmerosreales,porestolasfuncionesdevalorrealsedescribendela siguiente manera:

Es pertinente aclarar los conceptos de rango e imagen.El rango es el conjunto queconformaelcodominiodelarelacinylaimagensonloselementosdel rango que interactan con los elementos del dominio. LAS FUNCIONES SEGN EL TIPO DE RELACIN: Comosesabeenlasfuncioneshayunainteraccinentreloselementosdel dominioyrango.Deacuerdoaltipodeinteraccinexistentresclasesde funciones. Funcin Inyectiva: Tambin llamada Funcin Uno a Uno,son aquellas donde los elementos del rango que son imagen de algn elemento del dominio,solo lo hacer una vez.Las funciones crecientes y decrecientes son inyectivas.

VF VF R R f :DEFINICIN:Sea la funciny = f(x),dados dos elementos del dominiox1 y x2, Si x1 x2,yf (x1)f (x2), entonces la funcin es inyectiva 15 FuncinSobreyectiva:Lasfuncionesy=f(x),dondeTodosloselementos delrangosonalmenosimagendeunoovarioselementosdeldominio.Lo anterior quiere decir que todos los elementos del rango se relacionan con algn o algunos elementos del dominio. Funcin Biyectiva: Una funcin y = f(x) es Biyectiva si, solo si,es inyectiva y Sobreyectiva. En el siguiente grafico identifica que tipo de funcin es cada una. f(x):_____________________________ g(x): _____________________________ h(x): _____________________________ SIMETRA DE LAS FUNCIONES: La simetra es el comportamiento de la curva respecto a los ejes coordenados. Unacurvaessimtricarespectoalejey,silapartederechaeslaimagen especular de la parte izquierda, ser simtrica respecto a x si la parte superior es la imagen especular de la parte inferior. Simetra respecto a eje x Simetra respecto al eje y 16 Simetra respecto al origen de coordenadas La simetra de las funciones esta relacionado con el concepto de funcin par e impar, veamos en que consisten dichos principios. Funcin Par: Una funcin f (x) es par si para todo x en su dominio: f ( - x ) = f ( x ).Este tipo de funciones son simtricas respecto al eje y.El ejemplo tpico son las funciones cuadrticas. Ejemplo 1: Sea la funcin f ( x ) = x 2 + 2,mostrar que es par. Solucin: Lo que se debe hacer es cambiar x por x en la funcin f ( - x ) = ( - x ) 2 + 2=x 2 + 2 Como f ( - x )= f ( x ), entonces la funcin dada es par. Ejemplo 2: Mostrar que las funciones:2 3 2 ) (2 4+ = x x x fy 14) (3+=xx xx gsonsimtricas respecto al eje y. Solucin: Solo se debe reemplazar axpor xen cada unayobservar el resultado,f (x)=f(x)yg(-x)=g(x),lasfuncionessonparesporendeson simtricas respecto al eje y. Funcin Impar: Una funcin f ( x ) es impar si para todo x en su dominio:f ( - x ) = - f ( x ).Este tipo de funciones son simtricas respecto al origen de coordenadas. El ejemplo tpico son las funciones cbicas. 17 Ejemplo 1: Dada la funcin f ( x ) = x 3 2x, determinar si es impar. Solucin: Se debe reemplazara x por x y observar la funcin obtenida. f ( - x ) =( - x ) 3 2 (- x ) = - x 3 + 2 x = - ( x 3 2x ) Comosepuedeverf(-x)=-f(x),Luegolafuncinesimpar,asser simtrica respecto al origen de coordenadas. MONOTONA DE LAS FUNCIONES: Una funcin se considera montona si es creciente o decreciente. FuncinCreciente:Intuitivamenteunafuncinescrecientesiamedidaque aumenta la variable x, tambin aumenta la variable y.

Cuandosedicequelafuncinf(x)estadefinidaenelintervaloI,seesta afirmando que el intervalo I es parte del dominio de la funcin. FUNCINCRECIENTE FuncinDecreciente:Intuitivamenteunafuncinesdecrecientesiamedida que aumenta la variable x, la variable y disminuye.

DEFINICIN: Sea f(x) una funcin definida en el intervalo I, para x1 Iyx2 I, donde x1 < x2.Si f (x1) < f (x2),se dice que la funcin es creciente en el intervalo I. DEFINICIN: Sea f(x) una funcin definida en el intervalo I, para x1 Iyx2 I, donde x1 < x2.Si f (x1) > f (x2),se dice que la funcin es decreciente en el intervalo I. 18 FUNCINDECRECIENTE Descripcin De Una Funcin: Describirunafuncineshacerelanlisisdondeseidentifiqueeldominioyla imagen,sumonotona,susimetraylagrficacorrespondiente,entrelas caractersticas ms importantes. Con algunos ejemplos se puede ilustrar la descripcin de una funcin. Ejemplo 1: Sea la funcin f(x) = 3x 1,hacer una descripcin de la misma. Solucin: Dominio: Como x puede tomar cualquier valor real, sin restricciones, entonces el dominio son todos los reales.D R. Imagen: Para hallar la imagen, debemos despejar la variable x y observar qu valorespuedetomary,comoy=3x1,entonces.x=(y+1)/3As,la variableypuedetomarcualquiervalorreal,luegolaimagensontodoslos realesI R. Decimos:f: R R. Monotona: Se debe identificar si la funcin es creciente o decreciente.Para esto se toman dos valores del dominio: x1 = 2y x2 =3, recordemos quex1 < x2 segn la definicin.Ahora se determina la imagen de cada uno as: f(x1 = 2) = 3(2) 1 = 5 f(x2 = 3) = 3(3) 1 = 8 Como f(x1) < f(x2)la funcin es creciente.Simetra:Se debe buscarque f(-x)= f( x) f(-x)=- f( x),deotra manera no hay simetra. f(-x)=3(-x)1=-3x1=-(3x+1).ComosepuedeverNose cumpleninguna de las dos condiciones, luego la funcin no tiene simetra. 19 Grfico: Para hacer el grfico se debe tomar algunos puntos,veamos:

Ejemplo 2: Sea la funcinx y = Hacer la descripcin dedicha funcin. Solucin: Dominio:Lavariablexestadentrodeunarazcuadrada,luegosolopuede tomar valores positivos y cero, pero no puede tomar valores negativos, luego el dominio son los reales positivos y el cero; es decir, los reales no negativos (R*)D R*

Imagen: Despejamos la variable x, luego: x = y 2esto significa que la variable y solo toma valores positivos o cero (analice porqu). I R*

Se puede expresar: f: R* R*

Monotona:Tomemosdosvalores,digamosx1=1yx2=4,entonces: 1 1 ) (1= = x f y2 4 ) (2= = x f .Comof(x 1 )=0 20 10) (x six six si xx fSeobservaqueestafuncinestadefinidaentrespartes,segnelvalorque tomelavariablex, paralapartepositivadelavariablela funcinesidntica, para la parte negativa la funcin es constante.

FUNCIONES ALGEBRAICAS: Las funciones algebraicas se caracterizan porquela ecuacin que la describe son polinomios,haciendo que stas tengan los principios y caractersticas que tienen los polinomios. Funcin Lineal: Su nombre es dado por la grfica que la representa,la cual es una lnea recta no vertical,adems su ecuacin es de primer grado. DEFINICION: Seab mx x f + = ) ( , donde m y b son reales y a 0. Se define como una funcin lineal, donde mse conoce como la pendiente y b el intercepto. 31 Eldominiodelafuncinlinealsontodoslosrealesaligualquelaimagen.R R f :

La pendiente a se calcula de la siguiente manera, a partir de dos puntos P(x1, y2) y P(x2, y2): 1 21 2x xy ym= . La pendiente puede ser negativa, positiva o cero. Cuandom=0,larectaeshorizontal,aslafuncinnotienemonotona,tampoco simetra. Cuando m > 0 la recta es inclinada hacia la derecha,en este caso la funcin es creciente.Cuando m < 0 la recta es inclinada hacia la izquierda, siendo decreciente para este caso.

El intercepto es el punto donde la recta corta al eje y. Enlagrficase observalostrescasos de la funcin lineal. Paray=2la pendientem=0,la rectaeshorizontalyel intercepto esy = 2. Paray=2x1,la pendientem>0,la rectaescrecienteyel intercepto es y = -1. Para y = -2x la pendiente m < 0, la recta es decreciente y el intercepto es y = o. Como se puede inferir, la monotona de la funcin lineal esta determinada por el valor de la pendiente. En el pequeo grupo colaborativo, analizar la simetra de la funcin lineal. Ejemplo 1: Sea la funcinf(x) = ax +b,por dicha funcin pasa los puntos P(2, 4) y Q(-2, -3).Determinar la ecuacin quedescribe dicha funcin, identificar la pendiente, el intercepto y hacer la grafica. Solucin: Segn la ecuacin que identifica la funcin f(x) = ax +b, loque se debe hallar es a y b, sabiendo que a es la pendiente y b el intercepto.32 Calculemos la pendiente: tomemos como P(x1, y1)y Q(x2, y2) entonces: 472 24 31 21 2= == =x xy ym a Se reemplaza el valor de a en la ecuacin planteada: b x x f + =47) ( .Comolosdospuntosdebensatisfacerdichaecuacin,se reemplaza uno de ellos y as se obtiene b:Tomando el punto P(2, 4), 21274 ) 2 (474 = = + = b bAs la ecuacin que distingue la funcin es: 2147) ( + = x x fLa grfica: Lagrficamuestraquelarectaestainclinada hacialaderecha,luego lapendienteespositiva, loquesepuede corroborarenla ecuacin;adems,es creciente. Noessimtrica,loque sepuedecomprobar sustituyendoaxporx en la ecuacin. Ejemplo 2. Dados los puntos R(-3, 4)y S(3, -2), determinar la ecuacin lineal que contiene dichos puntos, la grfica, sus monotona y establecer si es una funcin lineal. Solucin: La ecuacin ser de la forma: y = mx + b, que es equivalente a la formaf(x) = ax + b Como en el caso anteriordebido a que no se conoce la pendiente lo primero es hallarla. 166) 3 ( 34 21 21 2 == ==x xy ym Ahoraenlaecuacindadasereemplazaunodelospuntos,yasabemos porqu. 1 ) 3 ( 1 4 = + = b b 33 Por consiguiente:1 ) ( + = x x f La grfica:Segn la ecuacin, la pendientees negativa,luegola rectaserinclinada hacialaizquierda,lo que se observa en la grfica. Lafuncines decreciente. (Comprobarlo matemticamente, en el grupo colaborativo) Elinterceptoes1,seveenlagrficayseobservaenlaecuacin.Aslaexpresin obtenida es una funcin. Ejemplo 3: Sean los puntos P(2, 3) y Q(2, -2)que pasan por una recta. Hallar la ecuacin, la grfica y determinar si es funcin. Solucin: Calculemos la pendiente: Indx xy ym == ==052 23 21 21 2 Esto nos indica que NO hay pendiente. As la recta es vertical. La ecuacin es de la forma:x =2 La grfica: LaecuacinobtenidaNo representaunafuncin,yaque parax=2,lasimgenesson infinitas. Aslaexpresinx=2esuna relacin, pero no es funcin. Generalizando,todalnea verticalrepresentaunarelacin ytodalneanovertical representa una funcin.Funcin Cuadrtica: 34 Sunombreesdadoporeltipodepolinomioqueladescribe,unpolinomiode segundo grado.

Eldominioestadentrodelosrealesaligualquelaimagen.R R f : Lagrficadeunafuncincuadrticaesunaparbola,queconstadedos ramales que se unen en un punto llamado vrtice; adems, una recta que pasa porelvrticellamadaejedesimetra,elcualdividelacurvaendospartes iguales.Para que una parbola corresponda a una funcin, el eje de simetra debe ser siempre vertical.

Analizandolaecuacinc bx ax x f + + =2) ( ,sepuedenhaceralgunas particularidades.Cuando b = c = 0, la parbola tiene el vrtice en el origen.Si by/ocson diferentes de cero, el vrtice esta fuera del origen,en este caso el vrtice se haya as: ||

\| ==abf yabx2;2El vrtice ser (x, y) El eje de simetra tiene la ecuacin: abx2= Cuandoa;esdecir,elcoeficientedelavariablealcuadradotomavalores positivos o negativos, la grfica cambia. -) Sia > 0,las ramas de la parbola abren hacia arriba a partir del vrtice. -) Sia < 0,las ramas de la parbola abren hacia abajo a partir del vrtice. Ejemplo 1: DEFINICION: Seac bx ax x f + + =2) ( , donde a, b y c son reales y a 0. Se define como una funcin cuadrtica. 35 Dada la funcin 23 ) ( x x f = hacer la descripcin correspondiente. Solucin: Comolaecuacindadaescuadrtica,sepuedeinferirquesetratadeuna funcin cuadrtica.Se observa que b = c = 0, luego el vrtice esta en el origen. Eldominiosontodoslosreales,yaquelavariablexpuedetomarcualquier valor real.Laimagen:Recordemosquesedespajaxyseobservaquevalorespuede tomar y f(x). 3 33 ) (2 2yxyx x x f y = = = = , esto nos indica que y solo puede tomar valorespositivos,yaquelasracesparessolotienesolucinenrealespara valores positivos y cero.La imagen sern los Reales no negativos. (R*) El eje de simetra ser: 0202= ==abx Como a > 0, ya quea = 3, entonces las ramas abren hacia arriba a partir del vrtice.La funcin es decreciente en) 0 , ( y creciente en [ ) , 0 Porteoradepolinomios, sabemosqueunaecuacin cuadrticatienedosceros,que es donde la curva corta la eje x, paraestecasoelcorteesen cero,luegodichopolinomio tiene dos ceros reales iguales. No debemos olvidar la teora de polinomiosanalizadaenla partedeecuaciones polinmicas,esdemucha ayudaparaelestudiode funciones. Ejemplo 2: Hacer la descripcin de la funcin:5 8 2 ) (2+ + = x x x f Solucin: El dominio: todos los reales. La imagen: Son los reales que sean mayores o iguales a ||

\| abf2, ya que a > 0.Primero se calcula ab2: 2) 2 ( 282 ==ab 36 Ahora se determina||

\| abf2. Veamos: ( ) 3 5 ) 2 ( 8 ) 2 ( 2 22 = + + = f Finalmente se establece quela imagen son los reales mayores o iguales que -3. Vrtice: V(-2, -3) Simetra: Se debe reemplazar x por x en la funcin:5 8 2 5 ) ( 8 ) ( 2 ) (2 2+ = + + = x x x x x f . Se observa que f ( - x ) es diferente a f ( x ). As no hay simetra par.Sifactorizamoselsignose obtiene:) 5 8 2 ( 5 8 2 ) (2 2 + = + = x x x x x f.Tampoco se cumple que f ( - x ) = - f ( x ), luego no hay simetra impar, por consiguiente la funcin no tiene simetra. Monotona:Comoa>o,lasramasabrenhaciaarribaapartirdelvrtice.Luego la funcin presenta la siguiente monotona: De) 2 , ( la funcin es decreciente. De[ ) , 2 la funcin es creciente. La grfica: Comoejercicio,sedebe determinarloscerosdel polinomio;esdecir,dondela curva corta al eje x. Muestre que dichos ceros son: -0,775 y -3,224 Ejemplo 3: Hacer la descripcin de la funcin cuya ecuacin es5 12 3 ) (2 + = x x x fSolucin: Dominio: Todos los realesImagen: Todos los reales que sean menores o iguales que ||

\| abf2, ya que a < 0.2) 3 ( 2122==ab.Ahora:( ) 7 5 ) 2 ( 12 ) 2 ( 3 22= + = f .Laimagensontodoslos reales menores o iguales que 7. 37 VrticeV(2, 7) Simetra:ComoenelcasoanteriorseinfierequeNOhaysimetra,porfavor comprobarloen el grupo colaborativo. Monotona: La curva presenta la siguiente monotona: De ) 2 , (la funcines creciente. De[ ) , 2la funcines decreciente. La grafica: Mostrarqueloscerosdeesta curva son: 0,472y 3,527 38 EJERCICIOS Dada la expresin 1) 1 ( ) (xf x fpara x 1, Hallar el valor de la funcin dada: 1. x x f 3 ) ( =Rta: 3 2.x x f 3 1 ) ( =Rta: -3 3.x x f = ) (Rta: 11+ x Dadas las siguientes funciones, hacer la descripcin identificando: Dominio, Imagen, monotona, simetra, grfica. 4. 6 4 ) ( + = x x f 5.x x x f + = ) ( 6.[ ] x x f 2 ) ( = 7. x x f 4 ) ( = 8. x x x f 5 2 ) (2 = 9. 10 4 3 ) (2 + = x x x f39 Funcin Cbica: Sunombreesdadoporeltipodepolinomioqueladescribe,unpolinomiode tercer grado.

El dominio y la imagen estn en los realesR R f : Cuando b = c = d = 0,se obtiene la funcin caracterstica 3) ( ax x f = . Esta funcinesimpar.Cuandoa>0lafuncinescrecienteycuandoa xComoelnumerador siempreespositivo,entonceselquedeterminaelvalorquepuedetomarla variable x es el denominador, as: x 4 > 0, luego x > 4.El dominio son todos los reales mayores que 4. Imagen:Paraestetipodefuncinsesabequesonlosrealesnonegativos, pero para este casocomo x 4 solo puede ser estrictamente mayor, entonces la imagen sern los reales positivos. Monotona:sisetomasdosvaloresdex,digamosx1=5yx2=6,al reemplazar en la funcin se puedeobservar que f(x1) > f(x2), luego la funcin es decreciente, por consiguiente es montona.Simetra:Estafuncinnoessimtrica,yaquenocumplequef(-x)=f(x), tampoco f (-x) = - f (x). Asntotas: HORIZONTALES: Cuando+ x ,entonces.041) ( = x fAs se presenta una asntota horizontal en y = 0. VERTICAL:Cuando+4 xentonces+ =+4 41) (x fAs se presenta una asntota vertical en x = 4. Grfica:

50 EJERCICIOS Paralasfuncionesdadas,identificardominio,imagen,simetrasilatiene, monotona si la tiene, asntotas si las tiene y hacer una bosquejo de la grfica. 1.4 ) (3 = x x f 2.x x x x f 6 5 ) (2 3+ = 3. 2 3 412 7 ) ( x x x x g + + = 4. 3 42 ) ( x x x g + = 5.12) (+=xx h 6.43) (+=xxx h 7.2) 2 (4) (=xx q 8.42) (2=xxx q 9.Laconcentracindeunfrmacoenlasangre,estadadoporlafuncin: 2) 1 (25) (+=ttt c ( t horas) a-) Cual ser la concentracin inicial del frmaco? Rta: 0 b-) Cuanto frmaco hay a las 4 horas? Rta: 4 10.Identificaralgunasaplicacionesdelasfuncionespolinmicasyracionales enlasreasdeIngeniera,Administracin,CienciasAgrariasyCiencias Sociales. 51 FUNCIONES TRASCENDENTALES: Seconsideranalasfuncionescuyomodelomatemticosonmodelos exponenciales,logartmicos,expresiones trigonomtricas o combinaciones de estas. FuncinExponencial: Se caracteriza porque la variable esta en el exponente, luego su descripcin esta bajo los principios de los exponentes.De este tipo se conocer muchas, pero con el fin de comprenderlas se analizarn algunas. FuncinExponencial Base a: Sonaquellascuyabaseesunnmeroreal positivoyelexponentelavariable independiente. La funcin exponencial tiene las siguientes caractersticas: Dominio:Eselconjuntodelosreales,yaquelavariablexpuedetomar cualquier valor real en el modelomatemtico que la representa. Imagen:Estaenleconjuntodelosrealespositivos,debidoaquepara cualquier valor de x, la funcin no toma valores negativos.La relacin: +R R f : ElIntercepto: Esta funcincorta alejeyenelvalory=1.Laexplicacin es que para x = 0, la imagen siempre es y = 1.Monotona.La funcin exponencialesmontona.Sia>0 lafuncinescreciente, pero si 0 < a < 1, la funcin es decreciente.Simetra: Este tipo de funcin no presenta ningn tipo de simetra. DEFINICION: Sea xa x f = ) ( , para a > 0y a 1. Se define como una funcin exponencial de base a. 52 Todas las funciones de la formaxa x f = ) (tiene la mismaforma, solo cambia lapendientedelacurvatura,segnseaelvalordea.Ashaydostiposde funciones exponenciales muy particulares, que analizaremos a continuacin. FuncinExponencial Decimal: Es aquellafuncin cuya base en 10. Lafuncinexponencialdecimaltienelaspropiedadesdeunafuncin exponencial de base a. FuncinExponencial Natural: Es aquellafuncin cuya base en el nmero de Euler, representado por una e. El gran matemtico Suizo Euler obtuvo el nmero e desarrollando la expresin ... 7182 , 211 ||

\|+xx a medida que x El numero e es un nmero es irracional, pero se ha tomado como la base de la funcinexponencial natural. En la grfica, se observa que la funcin exponencial decimal es ms pendiente que la natural. DEFINICION: Sea xx f 10 ) ( = , Se define como una funcin exponencial decimal DEFINICION: Sea xe x f = ) ( , Se define como una funcin exponencial natural 53 Ejemplo 1: Analizar la funcin xe x f21) ( =y xe x g=21) ( Solucin: Todas las propiedades dadas para funcin exponencial se cumplen para estas funciones, solo veamos las grficas. Estasdosfuncionessonlabasedelasllamadasfuncioneshiperblicas,que se analizarn ms a adelante. Ejemplo 2: Describir la funcin: 2) (xe x f= Solucin: Paraestafuncineldominiosontodoslosreales,perolaimagenesta restringidaa el intervalo (0, 1] Es simtrica respecto al eje y,creciente en el intervalo] 0 , (y decreciente ene. E intervalo ) , 0 ( Analizar estas caractersticas con el grupo colaborativo y luego compartir con el Tutor. 54 Funcin Logartmica: El logaritmo es una operacin inversa a la potenciacin, anlogamentelafuncinlogartmicaesinversaalafuncinexponencial.Los principios, leyes y propiedades de los logaritmos son aplicables a este tipo de funcin. Antes de comenzar a trabajar con funciones logartmica, es pertinente recordar algo sobre los logaritmos. Propiedades de los Logaritmos: Aunqueporestudiosprevios,todostenemosalgodeconocimientossobrelos logaritmos,en el curso de Matemticas Bsicas, se estudian con detenimiento,peroseconsiderapertinentehacerreferenciaaalgunaspropiedadesdeesta operacin. Inversa Suma Diferencia potencia Nulo Operacin Opuesta ) * ( ) ( ) ( y x Log y Log x Loga a a= +) ( ) ( ) (yxLog y Log x Loga a a= ) ( ) ( x kLog x Logaka=x a a Logx Log xaa= =) () (x y x Log yaa= = ) (0 ) 1 ( =aLog55 Cambio de Base: Enocasionessetieneunafuncinlogartmicaenbasea,peroserequiere trabajarunafuncinconotrabase,paraestoexisteunprincipioquepermite cambiar la base de una funcin logartmica sin que sus propiedades se alteren. Sea) (x Log ya= sedeseaquelafuncinsetransformeenunanuevabase, digamos b, entonces: x a x Log yya= = ) (Aplicamos logaritmo en la nueva base a la ltima ecuacin: ) ( ) ( x Log a Log x abyby= =Porlapropiedaddepotenciapara logaritmo, se tiene: ) ( ) ( x Log a yLogb b=Despejamoslavariabley,seobtiene: ) () (a Logx Logybb= Retomando la funcin logartmica inicial, sta se puede escribir as: Ejemplo 1: Dada la funcin ) ( log2x y =,transformarla a base e. Solucin: Para el caso a = 2y b = e, entonces reempleando: ) 2 () () ( log2Lnx Lnx = Ejemplo 2: Trasformar de la base dada a base 4, la funcin ) (x Log y = Solucin: ) 10 () () (44Logx Logx Log = ) () () (a Logx Logx Logbba=56 FuncinLogartmica Base a: Lo que diferencia a las funciones logartmicases la base, as veremos algunas funciones logartmicas muy particulares. Aligualquelafuncinexponencial,lafuncinlogartmicatienealgunas propiedades. ElDominio:Paralasfuncioneslogartmicas,eldominiosontodoslosreales positivos, ya que el logaritmo de reales negativos no existen. La Imagen: La imagen de la funcin logartmica son todos los reales. Entonces la relacin es: R R +

LaMonotona:Lafuncinlogartmicaescrecienteparaa>1ydecreciente para0 < a < 1. Entonces la funcin logartmica es montona. Asntotas: Presenta una asntota vertical en x = 0. Intercepto: La curva corta al eje x en x = 1, pero no corta al eje y.

FuncinLogartmica Base 10: Esta funcin se conoce comnmente como la funcin logartmica decimal. Comoseobservaenladefinicin,lafuncinlogartmicadecimalseescribe comnmente como Log(x), es una de las funciones logartmicas ms conocidas yutilizadas.Todaslaspropiedadesdeloslogaritmossonaplicablesaesta funcin. FuncinLogartmicaBasee:Esta funcinseconocecomnmentecomola funcin logartmica natural. DEFINICION: Sea) ( ) ( ) (10x Log x Log x f = = . Se define como una funcin logartmica decimal DEFINICION: Sea) ( ) ( x Log x fa= , para a > 0 y a 1. Se define como una funcin logartmica de base a. 57 Comoseobservaenladefinicin,lafuncinlogaritmonaturalseescribe comnmentecomoLn(x),tambinesunadelasfuncioneslogartmicasms conocidas y utilizadas.Todas las propiedades de los logaritmos, tambin son aplicables a esta funcin. En las grficas se puede ver que la funcin logaritmo natural es ms pendiente que la funcin logaritmo decimal.Pero las dos son crecientesen su dominio, tambin se observa la asntota en x = 0. DEFINICION: Sea) ( ) ( ) ( x Ln x Log x fe= = . Se define como una funcin logartmica natural 58 EJERCICIOS Describir las funciones dadas a continuacin, incluyendo la grfica. 1. xx f 2 ) ( = 2.xx g 4 ) ( = 3. 2 3 ) ( + =xx h 4. 210 ) (=xx I 5. 1) (=xe x J 6. 4 ) ( + =xe x M Dadaslasfuncioneslogartmicas,describirlascompletamentesegnlo estudiado en ellas. 7.) 4 ( ) (2x Log x f = 8. ) ( ) (4x Log x g = 9. ) 4 ( ) ( + = x Log x h 10.6 ) 2 ( ) ( + = x Ln x N 11.||

\|=2) (xLn x K 12. La relacin entre el ingreso anual x y el nmero de individuos y en un pas capitalistaestadadoporlafuncin:) ( ) ( ) ( x kLog y Log x P = Culserel nmerodeindividuosenunpascapitalistadondek=2yb=12.000,siel ingreso anual es de 10. Rta: 120 59 FUNCIONESTRIGONOMTRICAS: Latrigonometrafuedesarrolladahacemsde2.000aos,siendolosGriegossus gestoresyelMatemticoyAstrnomoHiparcodeNicea(190-120adC)unodesus representantes.Susiniciosfueronmotivadosporlanecesidaddepredecirrutasy posicionesdecuerposcelestes,paramejorarlanavegacin,elclculodetiemposy posiciones de los planetas..Elestudiodelatrigonometrasecentraenel estudiodelosTringulos,lapalabrasederiva delgriegoTrigonomquesignificaTringuloy metresdemedicin.Enestecaptulosolonos centraremosenelestudiodelasfunciones trigonomtricas,susprincipios,caractersticasy aplicaciones. En el captulo de Trigonometra se analizarn aspectos de trigonometra analtica. Sabemospornuestrosconocimientosprevios quetodotringulotienetresladosytres ngulos;adems,quelostringulosrectngulos hay un ngulo conocido. Hiparco de Nicea Fuente:astrocosmo.cl/biografi/b-e_hiparco.htm Los ngulos: En Geometrase estudiaron los ngulos, clases, propiedades y dems. Seanalizarondiversasdefinicionesdengulos,aqusolosedarunadefinicinmuy sencilla y particular. V = Vrtice a = lado inicial b = Lado Terminal = ngulo formado Se puede decir que un nguloes el Espacio formado por los segmentos de recta que secruzanenelvrtice.Porconvencinunnguloespositivocuandosemideen sentidocontrarioalasmanecillasdelrelojynegativocuandosemideensentidode dichas manecillas.Porlogeneralparasimbolizarlos ngulosseusanletrasgriegascomo entre otras, o letras latinas maysculas A, B, C, otros. Lagrficamuestraqueelnguloes positivohaciaarribaynegativohacia abajo. Un ngulose forma cuando dos segmentos de recta se cortan en un puntollamado Vrtice.A los segmentos de recta se le conocen como lado inicial y lado Terminal.60 Medida de loa ngulos: La medida de los ngulos depende de la abertura o separacin que presenten las dos semirrectas.Existen dos sistemas bsicos para medir los ngulos.El Sistema Sexagesimal cuya unidad son los Grados y el sistema Circular cuyaunidad es el Radian. Estos tienen referencias, vemoslo en la grafica siguiente.

Sistema Sexagesimal Sistema Circular Una vuelta equivale a 3600 en el sistema sexagesimal y 2 en el sistema circular. Existeunsistemadeconversinentrelossistemas,segnlasequivalenciasquese pueden ver en las grficas. Para convertir de radianes a grados: Para convertir de grados a radianes. Ejemplo 1: Convertir /3 a grados. Solucin: Para este caso nos sirve la primera frmula. 603180)3(180= = =y Lo anterior significa que / 3equivale a 600. ) (180Grados Radianesy x=) (180Radianes Gradosx y=61 Ejemplo 2: A cuantos radianes equivalen 1200 Solucin: Aqu se debe cambiar de grados a radianes. 321812) 120 (180 = = = y Entonces1200 equivalen a 2 / 3 . Ejemplo 3: Cuantos radianes hay en 4200 Solucin: 371842) 420 (180 = = = y Ejemplo 4: Cuantos gradosy radianes hay en 3 vueltas y media. Solucin: Como una vuelta es de 3600ymedia vuelta es de 1800, entonces tres vueltas y media ser: 3(3600) + 1800 = 1.080 + 1800 =1.2600en grados. Para radianes. 718126) 1260 (180= = = y Entonces 3 vueltas y media equivalen a 1.2600 7 ngulosNotables:ngulosexistenmuchos,peroparafacilitarelanlisisdelos mismos,se han establecido unos ngulos que se les han denominado ngulos notables, ya que a partir de estos se puede analizar cualquier otro.En el sistema de coordenadas rectangulares,elprimercuadranteestacomprendidoentrelosngulos0y/2.El segundo cuadrante esta comprendido entre / 2y, el tercer cuadrante entre y3 / 2 y el cuarto cuadrante esta comprendido entre2 / 2y2Los ngulos notables se obtienen cuando se divide la unidad en 6 partes, as se obtienen 6ngulosyaque180/6=30,entoncesseobtiene6ngulosconunamedidade300 cada uno en la parte superior del plano, de la misma manera en la parte inferior. Los ngulos son: 00, 300, 600, 900, 1200, 1500, 1800,2100, 2400, 2700, 3000, 3300, 3600.62 Perotambinsepuedendividirencuatropartes:180/4=45,entoncesseobtiene4 ngulos con una medida de 450 cada uno. As los ngulos son : 00, 450, 900, 1350, 1800, 2250, 2700, 3150, 3600. Las lneas azules muestras las 6 divisiones de la parte superior y 6 divisiones de la parte inferior. Las lneas cafs muestras las 4 divisiones de la parte superior y las 4 de la parte inferior.De esta manera se muestran los ngulos notables en grados. Paraelcasoderadianes,ladivisinesdelaforma./6,ascadapartees1/6porla parte superiorigual para la parte inferior del plano. Los ngulos sern: 0, / 6, 2 / 6, 3 / 6, 4 / 6, 5 / 6, 6 / 6, 7 / 6, 8 / 6, 9 / 6, 10 / 6, 11 / 6, 12 / 6. Haciendo 4 divisiones se obtienen las siguientes partes: 0, / 4, 2 / 4, 3 / 4, 4 / 4, 5 / 4,6 / 4, 7 / 4,8 / 4. 63 Las lneas azules muestran la divisin en 6 partes y la lnea caf muestra la divisin en 4 partes. Resumiendolaconstruccindelosngulosnotables,enlasiguientetablasepresentan aquellos en los cuadrantes correspondientes. Cuadrante / SistemaSexagesimalCircular Primer cuadrante 00300450600

900

0 /6 /4/3 /2 Segundo Cuadrante120013501500 1800 2/33/45/3 Tercer Cuadrante2100 22502400 2700

7/65/44/33/2 Cuarto Cuadrante30003150 3300 3600 5/37/411/6 2 64 EJERCICIOS Dados los ngulos, hacer la conversin a radianes. 1. 150 Rta:/12 2. 700 Rta:7/18 3. - 250 Rta:67/36 4. 4800 Rta:8/3 5. -780Rta:141/90Convertir a grados los siguientes ngulos dados en radianes. 6.4/3Rta: 2400 7.3/8 Rta: 67,50 8.-7/8 Rta: 202,50 9.7/12Rta: 1050 10. - 9/12Rta: 2250 Para la siguiente figura, Hallar la longitud del arco y el rea del sector circular 11. R = 8 cm. = / 4 Rta: Longitud S = 6,28 cm.rea: 25,13 Cm2 12.La longitud del arco de un sector circular, en una circunferenciamide 37,7 cm.si el ngulo es de2 / 3, Cul ser el valor del radio?. Rta:18 cm. 65 Relaciones Trigonomtricas: Recordandoquelasrelacionessoninteraccionesentredosconjuntos,paraelcasode trigonometra la relacin es el cociente entre dos longitudes.Tomando como referencia el tringulo rectngulo, se puede determinar las relaciones trigonomtricas conocidas. y =Lado Opuesto x = lado adyacente h = Hipotenusa = Angulo A partir de las longitudes de x, y, hse definen 6 relaciones trigonomtricas.

Convencin: ) ( sen=Seno del ngulo ) cos(= coseno del ngulo ) tan( = tangente del ngulo ) cot( = cotangente del ngulo ) sec( = secante del ngulo ) csc( = cosecante del ngulo Lastresprimerasrelacionesseconocencomolasprincipalesylasotrastrescomolas complementarias.Comolasrelacionesoriginanuncociente,sepuedeinferirquela relacin se da entre un ngulo y un nmero real. Ejemplo 1: Seaentringulorectngulocuyosladosmidenx=4yy=3,hallarlasrelaciones trigonomtricas correspondientes. Solucin: Grafiquemos el tringulo correspondiente. Primero hallamos la hipotenusa, lo que sepuedehacerpormediodelteorema de Pitgoras: 16 9 4 32 2 2 2+ = + = + = y x h5 25 16 9 = = + = h hysen = ) (hx= ) cos( xy= ) tan( yx= ) cot( xh= ) sec(yh= ) csc(66 As se tienen los valores de las tres longitudes, luegoya se puede definir las relaciones trigonomtricas. hysen = ) (Entones: 53) ( = senhx= ) cos(Entones: 54) cos( = xy= ) tan(Entones: 43) tan( = yx= ) cot(Entones: 34) cot( = xh= ) sec(Entones: 45) sec( = yh= ) csc(Entones: 35) csc( = Se observa que cada relacin tiene para un ngulo, un valor real. ReduccindengulosalPrimerCuadrante:Sesabequelosnguloselprimer cuadrante van de 0 a /2,cualquier ngulo mayor a estos se puede reducir a un ngulo equivalentedelprimercuadrante.Loanteriorsesustentaenquelasmedidasdelos ngulos se hacen respecto al eje x, luego en el plano cartesiano y para la circunferencia unidad(radio=1)siemprehabr4ngulosequivalentesrespectoalejex,soloque cadaunoestarubicadoencadaunodeloscuadrantes.Conlasiguientesituacinse puede ilustrarla reduccin mencionada. Seobservaquelos4ngulostienenla misma abertura respecto al eje x,solo que estnencuadrantesdiferentes.Para expresarlaaberturaenelprimer cuadrante, se debe hacer una conversin. Del segundo cuadrante: 1800 - 1500 Del tercer cuadrante. 2100 1800

Del cuarto cuadrante: 3600 3300

Generalizando: Sea un ngulo dadoy sea x0 el ngulo equivalente dellevado al primer cuadrante, para cualquier ngulo > /2 se tiene: Del segundo al primer cuadrante: Del terceral primer cuadrante: Del cuarto al primer cuadrante: Ejemplo 1: Reducir la primer cuadrante: 1250 y2250 =0 0180 x0 0180 = x =0 0360 x67 Solucin: El ngulo de 1250esta en el segundo cuadrante, luego: x0 = 1800 1250 = 550

Esto significa que el ngulos de 1250que esta en el segundo cuadrante, es equivalente a 550 en el primer cuadrante. Para el ngulo 2250 que esta en le tercer cuadrante:2250 1800= 450

Paraestecasoelresultadonosindicaque2250ubicadoeneltercercuadrantees equivalente a 450 en el primer cuadrante. Ejemplo 2: Reducir al primer cuadrante los ngulos 3100 y-600 Solucin: Para 3100 por estar en el cuarto cuadrante: x0 = 3600 3100 = 500

Para el caso de -600,el valor en el primer cuadrante es 600(porqu). FuncionesTrigonomtricas de ngulos: Lasfuncionestrigonomtricassonrelacionesenlascualesacadangulole correspondeunniconmeroreal.Eldominiodelasfuncionestrigonomtricasson todas las medidas de los ngulos agudos, pero segn la funcin definida, el dominio se puede extender a otros ngulos. Se va a analizar cada funcin, con el fin de identificar sus particularidades, no sin antes resaltarqueestasfuncionessonperidicas,yaqueserepitencadaciertongulo,es decir:) ( ) ( p x f x f + =ParaP > 0. ValoresdelaFuncintrigonomtrica:Porserlasfuncionestrigonomtricasdetipo trascendental,laobtencindelasparejasordenadasparahacerlagrficaesmuy particular.Elcaminoesrecurriralacircunferenciaunidad,lacualtienecomoradio uno.Por otro lado,hay un teorema que permite identificar los valores de los lados en un tringulo rectngulo CIRCUNFERENCIAUNIDAD(R=1) 68 ANGULO DE0 90: (0, ) Para el ngulo de 00los valores de las coordenadas son: y=0y x = 1. Para el caso de 900 la situacin es la siguiente: y = 1 yx = 0 ANGULO DE 30 60:(/6, /3) Entonces: 2hy =y2 2y h x = Demostracin: lademostracinsedejacomoejercicioparaqueustedestimadoestudiante,la investigue, as se afianzan de manera ms dinmica los conocimientos. Para el caso de la circunferencia unidad: 1 = h212= =hy 234341121122 2 2= = =||

\| = = y h x Entonces el tringulo tendr las siguientes longitudes: Con este resultado, se puede hallar los valores de las funciones trigonomtricas para los ngulos de 300 y 600. TEOREMA:En un tringulo rectngulo 300 - 600, lalongituddelladoopuestoal ngulode300eslamitaddela longitud de la hipotenusa. 69 ANGULO DE 45: (/4) Por geometra bsica sabemos que un tringulo rectngulocon un ngulo de 450,tiene sus lados iguales, ya que el otro ngulo tambin es de 450

Como x = y, entonces por Pitgoras: 2 2y x h + =Reemplazando: x x x x 2 2 12 2 2= = + =Despejandolaincgnita:22 12= = x Por consiguiente:22= = y x Conociendolaslongitudesdelosladosdeuntringulorectnguloparalosngulos notablesenelprimercuadrante,podemosiniciarelestudiodelasfunciones trigonomtricas. FUNCIN SENO: Definida la relacin sen (), podemos definir la funcin seno como sigue: Lo anterior significa que a cada ngulo le corresponde un nmero real. Dominio: Son todos los reales, ya que la variable puede tomar cualquier valor real. Imagen: la imagen de la funcin seno esta en el intervalo [-1, 1], ya que el cociente de la relacin nunca puede superar la unidad.Lo anterior establece que como sen () = y / hsiendo h y, lo mximo es que h =y,as el cociente ser 1, pero si h >y, elcociente estarentre0y1,siendo0cuandoy=0.Elsignonegativosedaenloscuadrantes donde el eje y es negativo. Valores de la Funcin: Para obtener los valoresde los ngulos notables,utilizamos la definicinderelacintrigonomtricaylaslongitudesdeltringuloparalosdiferentes ngulos analizados. 010) 0 ( ) (0= = = senhysen Luego: sen (00) = 0 2212 / 2) 45 (0= = sen2312 / 3) 60 (0= = sen111) 90 (0= = senf (x) = sen() Donde x = y al cual le corresponde un nmero real. 2112 / 1) 30 (0= = sen70 Paraobtenerlosvaloresdelosngulosenlosdemscuadrantes,setieneencuentala equivalenciaentrengulosdelprimercuadranteylosotros.Porejemploelngulode 300es equivalente a 1500, 2100 y 3300, solo se tiene en cuenta el valor de y para cado uno.El eje y es positivo en el primeroy segundo cuadrante (Iy II) y negativo en los dems.Como consecuencia se tiene que para la funcin sen (), el valor de los ngulos en el primero y segundo cuadrante son positivos y en el tercero y cuarto (IIIyIV) son negativos. El siguiente cuadro resumelos valores notables del dominio y su imagen. 00300 450600900120013501500 180021002250240027003000 3150 33003600

0 21 22

23 1 23

22 21 02122 231 23 2221 0 La grfica: Simetra: Para la funcin seno se cumple: sen(-x) = -sen(x), luego es una funcin impar, por consiguiente es simtrica respecto al origen de coordenadas cartesianas. Monotona: La funcin no es montona, ya que presenta crecimiento y decrecimiento a travs de su dominio, como se puede observar en la grfica. Periodicidad:Anteriormentehicimosreferenciaaquelafuncinesperidica,el periododelsenoes2,yaquecumple: ) 2 ( ) ( + = x sen x sen .Estosignificaquela funcin seno se repite cada 2 en las mismas condiciones. Propiedades Adicionales: Por las caractersticas de la funcin seno, es pertinente hacer referencia al as siguientes propiedades: Para x cualquier ngulo de la circunferencia unidad. -) ) ( ) ( x sen x sen = + -) ) ( ) ( x sen x sen = -) ) cos( )2( x x sen = 71 FUNCIN COSENO: Al igual que en el seno, a cada ngulo le corresponde un nmero real. Dominio:Sontodoslosreales,yaquelavariablepuedetomarcualquiervalorreal. ) , ( Imagen: la imagen de la funcin coseno esta dada tambin en el intervalo [-1, 1], ya que el cociente de la relacin nunca puede superar la unidad.Como seexplico para seno, en este caso es lo mismo. Como cos () = x / hsiendo h x, lo mximo es que h = x, as el cociente ser 1, pero si h > x, el cociente estar entre 0 y 1, siendo 0 cuando x = 0.El signo negativo se da en los cuadrantes donde el eje x es negativo. Valores de la Funcin: Para obtener los valoresde los ngulos notables,utilizamos la definicinderelacintrigonomtricaylaslongitudesdeltringuloparalosdiferentes ngulos analizados. 111) 0 cos( ) cos(0= = =hxLuego: cos (00) = 1 2312 / 3) 30 cos(0= =2212 / 2) 45 cos(0= =2112 / 1) 60 cos(0= = 010) 90 cos(0= = Para obtener los valores de los ngulos en los dems cuadrantes, al igual que el seno, se tieneencuentalaequivalenciaentrengulosdelprimercuadranteylosotros cuadrantes.Porejemploelngulode300esequivalentea1500,2100y3300,solose tiene en cuenta el valor de x para cado uno.El eje x es positivo en el primero y cuarto cuadrante(IyIV)ynegativoenlosdems.Comoconsecuenciasetienequeparala funcin cos (), el valor de los ngulos en el primero y cuarto cuadrante son positivos y en el segundo y tercero (IIyIII) son negativos. El siguiente cuadro resumelos valores notables del dominio y su imagen. 00 300 450 60090012001350 150018002100 22502400270030003150 3300 3600

1 23 22

210 -21 -22 -23 1 23

22

210 21

22

231 f (x) = cos() Donde x = y al cual le corresponde un nmero real. 72 La grfica: Simetra: Para la funcin coseno se cumple: cos(-x) = cos(x), luego es una funcin par, por consiguiente es simtrica respecto al eje y de coordenadas cartesianas. Monotona: La funcin no es montona, ya que presenta crecimiento y decrecimiento a travs de su dominio, como se puede observar en la grfica. Periodicidad:Elperiododelcosenoes2,yaquecumple: ) 2 cos( ) cos( + = x x Esto significaqueestafuncin;aligualqueelseno,serepitecada2enlasmismas condiciones. Propiedades Adicionales: Por las caractersticas de la funcin seno, es pertinente hacer referencia al as siguientes propiedades: Para x cualquier ngulo de la circunferencia unidad. -) ) cos( ) cos( x x = + -) ) cos( ) cos( x x = -) ) ( )2cos( x sen x = FUNCIN TANGENTE: Dominio:Sonlosrealesparaloscualesx0,aseldominioserntodoslosvalores excepto los mltiplos de /2, esto debido a que en este ngulo el valor de x es 0, luego el cociente y / x queda indefinido. Imagen: la imagen de la funcin tangente son todos los reales. Valores de la Funcin: Con los mismos argumentos utilizados para seno y coseno,se puede obtener los valores de los ngulos notables. f (x) = tan() La tangente significa que toca en un punto. 73 010) 0 tan( ) tan(0= = =xy Luego: cos (00) = 0 3331232 / 1) 30 tan(0= = = 12 / 22 / 2) 45 tan(0= =3212 / 3) 60 tan(0= =ind = =01) 90 tan(0 La funcin tangente es positiva dondeel producto de las variables x e yes positivo; es decir, la tangentees positiva en los cuadrantes primero y tercero. (I y III) 00 300 450 600 900120013501500180021002250 2400 27003000 315033003600

0331 3 3 1 -33 03313 3 1 330 La Grafica: La funcin tangente tiene Asntotasverticales en x = /2 y 3/2, para la circunferencia unidad, se puede observar en la siguiente grfica. Simetra:Paralafuncintangentesecumple:tan(-x)=-tan(x),luegoesunafuncin impar, por consiguiente es simtrica respecto al origen de coordenadas.Monotona: La funcin tangente es montona, ya que es creciente en su dominio. Periodicidad:Elperiododelatangentees,yaquecumple: ) tan( ) tan( + = x x Esto significa que esta funcin se repite cada en las mismas condiciones. Propiedades Adicionales: Para x cualquier ngulo de la circunferencia unidad. -) ) cot( )2tan( x x = -) ) tan( ) tan( x x = -) ) tan( ) tan( x x = + 74 FUNCIONESCOMPLEMENTARIA: Deestamaneraquedananalizadaslasfuncionestrigonomtricasprincipales,en seguidaseharunadescripcindelasfuncionescomplementarias,conelfindeque usted estimado estudianteindague en diferentes fuentes sobre las mismas, para de esta manera afianzar sus conocimientos. FUNCINDOMINIOIMAGENSIMETRAMONOTONIAPERIODOASNTOTAS Cotangentex R, dondex y x 2 Los RealesFuncin impar. Simetra respectoal origen Es montona. Decreciente en su dominio

x = 0 x = x = 2 Secantex R, dondex /2 y x 3/2 (-, -1] U [1, ] Funcin par. Simetra respectoal eje y.Noesmontona, yaquecrecey decreceensu dominio. 2 x = /2

x = 3/2 Cosecantex R, dondex y x 2 (-, -1] U [1, ] Funcin impar. Simetra respectoal origen Noesmontona, yaquecrecey decreceensu dominio. 2

x = 0 x = x = 2 Graficas: 75 Funcin Cotangente: Funcin Secante: 76 Funcin Cosecante: Losvaloresdelasfuncionescotangente,secanteycosecante,seobtienedelamisma manera como se hizo para las funciones principales. Veamos algunos ejemplos. 32123)6cot( = = =yx 33 232231)6sec( = = = =xh 2211)6csc( = = =yh As sucesivamente. Eltrabajoconsisteenqueustedestimadoestudiantecompletelosvaloresparalos ngulosnotablesenloscuatrocuadrantesenlatablapropuestaenseguida,utilizando los principios dados en el aparte: Valores de la funciones trigonomtricas:

Cotangente: 00 300450 6009001200 13501500 18002100 2250 2400270030003150 33003600

3

Secante: 00 300 450 6009001200 13501500 18002100 2250 2400270030003150 33003600

1 33 2

77 Cosecante: 00 300 450 6009001200 13501500 18002100 2250 2400270030003150 33003600

2

EJERCICIOS 1. Para Los tringulos dados, hallar el valor de las 6 funciones trigonomtricas, segn el ngulo establecido.

2. Para las funciones definidas,hallar las restantes y hacer la grfica explicativa. a-) 210) ( = senb-) 57) tan( = 3.Paralafuncinf(x)=cot(x),enelintervalo0x2,identificarlasasntotas horizontales y verticales, si las tiene. 4. Graficar las siguientes funciones: a-) f(x) = - cot(x) b-) g(x) = - cos(x) c-) h(x) = sen(3x) 5. Hallar el valor de las expresiones propuestas: a-) ( ) ( )6cos2( + sen b-) ( ) ( ) ( ) 03cot4tan( sen + c-) ( ) ( ) ( )4cot3csc6sec( + + d-)( ) ( ) ( )611sec 367tan 465cos( 3 + 78 FuncionesHiperblicas: Dentro de lasfunciones trascendentales existen unas funciones que se obtienena partir delacombinacindelasfuncionesexponencialesysonllamadasfunciones hiperblicasycuyo nombre esta relacionadocon la hiprbola, al igual que el tringulo con las trigonomtricas. La importancia de estas funciones esta en que existen algunas estructurasarquitectnicasquepresentanunacurvaturaque noesprecisamenteunaparbola,comoeselcasodelarco GatewayenE.E.U.U.Tambinsonmuyusadascomo herramienta para resolver ecuaciones diferenciales. Otrocampodeaccindeestetipodefuncinescuandose suspendeuncablehomogneoflexibleentredospuntosala mismaaltura,seformaunacurvadenominadaCatenaria, dicha curva es modelada por una funcin hiperblica. Fuente: wikipedia. SENO HIPERBLICO: Lafuncinsenohiperblicodenotadoporf(x)=senh(x),sedefinedelasiguiente manera: Dominio: Todos los reales, ya que la variable x puede tomar cualquier valor real. Imagen: la imagen de la funcin seno hiperblicoson tambin todos los reales. Simetra: Para la funcin seno hiperblico se cumple: senh(-x) = -senh(x), luego es una funcinimpar,porconsiguienteessimtricarespectoalorigendecoordenadas cartesianas. Monotona:Lafuncinesmontona,yaquecrecienteensudominio,comosepuede observar en la grfica. Lagrfica:Paragraficarestafuncinseutilizadosreferencias,consistenteendos funcionesexponenciales,al saber:xe y21= y xe y =21 Esto debido a que la funcin senh(x) es una combinacin de estas. 2) (x xe ex senh= 79 COSENO HIPERBLICO: Lafuncincosenohiperblicodenotadoporf(x)=cosh(x),sedefinedelasiguiente manera: Dominio: Todos los reales, ya que la variable x puede tomar cualquier valor real. Imagen:laimagendelafuncincosenohiperblicosontodoslosrealesmayorese iguales a uno. (y 1) Simetra:Paralafuncincosenohiperblicosecumple:cosh(-x)=cosh(x),luegoes una funcin par, por consiguiente es simtrica respecto aleje y. Monotona:Lafuncinnoesmontona,yaquecrecienteydecreceensudominio,la grfica permite observar esta situacin. Lagrfica:Paragraficarestafuncinseutilizacomoreferencialassiguientes funciones. xe y21= y xe y=21 Esto debido a que la funcin cosh(x) es una combinacin de estas. 2) cosh(x xe ex+= 80 TANGENTEHIPERBLICO: Lafuncintangentehiperblicadenotadaporf(x)=tanh(x),sedefinedelasiguiente manera: Dominio: Todos los reales, ya que la variable x puede tomar cualquier valor real. Imagen:laimagendelafuncintangentehiperblicosontodoslosreales comprendidos en el intervalo (-1,1). Simetra:Lafuncintangentehiperblicaesunafuncinpar,porconsiguientees simtrica respecto alorigen de coordenadas. Monotona: La funcin tanh(x) es montona, ya que es creciente en su dominio. Asntotas: Esta funcin tiene dos asntotas horizontales, eny = 1y y = -1 Lagrfica:Paragraficarestafuncinseutilizacomoreferencialasfuncionescombinadas de seno y coseno hiperblicos. COTANGENTEHIPERBLICO: La funcin cotangente hiperblica denotada por f (x) = coth(x), se define de la siguiente manera: x xx xe ee ex+= ) tanh( x xx xe ee ex+= ) coth( 81 Dominio: Todos los reales, diferente de cero; es decir, ( ) ( ) , 0 0 , Imagen: la imagen de la funcin cotangente hiperblicoson los reales comprendidos en los intervalos( ) ( ) , 1 1 , Simetra:Lafuncincotangentehiperblicaesunafuncinimpar,yaquecumplela condicincoth(-x)=-coth(x),porconsiguienteessimtricarespectoalorigende coordenadas. Monotona: La funcin coth(x) es montona, ya que es decreciente en su dominio. Asntotas: Esta funcin tiene dos asntotas horizontales, eny = 1y y = -1.Adems una asntota vertical en x = 0. Lagrfica:Paragraficarestafuncinseutilizacomoreferencialasfuncionescombinadas de coseno y seno hiperblicos. Para las funciones secante y cosecante hiperblicas, se hace un resumen en el siguiente cuadro. FUNCINDOMINIOIMAGENSIMETRIAMONOTONAASNTOTAS Sech(x)Los RealesIntervalo (0, 1]Respectoaleje y. No es montonay = 1y = 0 Csch(x)(-,0) U (0, )(-,0) U (0, )Respectoal origen Montona.Es decrecienteensu dominio x = 0 y = 0 Grficas: 82 Funcin secante hiperblica: Funcin cosecante hiperblica: 83 EJERCICIOS 1. Hallarel valor de f(x = a) para las funciones dadas. a-) ) ( ) ( x senh x f =Para x = 0yx = 1. Rta: 212 ey o b-) ) tanh( ) ( x x g = Para x = 2yx = 4.Rta: 11118844++eeyee 2. Dada la funcin f(x) = 4cosh(x). Cual ser el valor de la funcin para: a-) x = 0Rta: 4 b-) x = 2Rta: 2422ee + 3. Verificar que: a-) cosh(x) + senh(x) = ex

b-) cosh(2x) + senh(2x) = e2x 4.Dadas las funciones f(x) = 3coth(x)y g(x) = 4sech(x).Cual ser el valor para: a-) x = 1.Rta: 1813 32 22+++eeee b-) x = 5Rta: 1813 31051010+++eeee 5.Enuncuadrohacerunparalelodelasfuncioneshiperblicas,identificando similitudes ydiferencias. 84 TRANSFORMACIN DE FUNCIONES Lasfuncionesanalizadashastaelmomentosonlasquesepodranconsideranlas funciones modelos o bsicas, pero a partir de estas se pueden obtener nuevas funciones modificandoomejorhaciendociertastransformacionesalasprimeras.Las transformaciones pueden se de tipo traslacin o estiramiento. TRASLACIN:Latraslacinesuncorrimientoquepuedesufrirlafuncinyasea horizontal o verticalmente, debido a que se adiciona una constante a dicha funcin. Corrimiento Vertical: Sea) (x f y =una funcin, si se adiciona una constante k, de tal manera que la funcin queda: k x f y + = ) ( , la funcin sufre un corrimiento vertical. Cuando: K > 0 Elcorrimientoverticaleshacia arribakunidadesapartirdela funcin base. K < 0 Elcorrimientoverticaleshacia abajokunidadesapartirdela funcin base. Corrimiento Horizontal: Sea) (x f y =una funcin, si se adiciona una constante p, de talmaneraquelafuncinqueda: p x f y + = ) ( ,lafuncinsufreuncorrimiento horizontal. Cuando: p > 0 Elcorrimientohorizontales hacialaizquierdapunidades a partir de la funcin base. p < 0 Elcorrimientohorizontales hacia la derecha p unidadesa partir de la funcin base. ) ( c bx af y + =85 Ejemplo 1: Sea la funcin 3x y = A partir de esta obtener: a-)23+ = x yb-) 3) 2 ( = x yc-)2 ) 1 (3 + = x y Solucin: a-) Delafuncinbase 3x y = ,sele adiciono + 2,Alafuncin,luegohuboun corrimientovertical2unidades hacia arriba. b-) Paraestecasoseadicion2ala variable,luegoelcorrimientoes horizontal,dosunidadeshaciala derecha. c-) Para este caso se presenta corrimiento en los dos ejes. Horizontal: Un unidad hacia la izquierda, ya que se adicion + 1 a la variable. Vertical: Dos unidades hacia abajo, ya que se adicion 2 a la funcin. 86 Ejemplo 2: Graficar la funcin: a-)4 ) ( =x x fb-)2 ) ( + =x x gc-) 3 2 ) ( + =x x h Solucin: a-) Lafuncinbaseeslafuncin valorabsoluto,luegoparael primercasoseadiciona4 unidadesnegativasalavariable, ashaycorrimientohorizontalde 4 unidades hacia la derecha. b-) Apartirdelafuncinbase,valor absoluto,seadicionadosunidades positivasalafuncin,luegoestase corre dos unidades hacia arriba; esdecir,sufrecorrimiento vertical. 87 c-) paraestecaso,lafuncin sufrecorrimientotanto vertical como horizontal. Vertical:Comoseadiciono3 unidadespositivasala funcin,entoncesstasube3 unidades. Horizontal:Ademsparala mismafuncinseadicion dosunidadesnegativasala variable,entoncesstase corredosunidadeshaciala derecha. Ejemplo 3: Segn la grafica siguiente, identificar al funcin que la describe. Solucin: a-)) cos( ) ( = x x f b-)) cos( ) ( + = x x g c-)) ( ) ( = x sen x h Aunque la respuesta esta entre estas, por favor justifiquen Cual es y porque? ESTIRAMIENTO:Cuandoaunafuncinseleanteponeuncoeficiente,stapuede presentar estiramiento o compresin, segn los siguientes casos: 88 Lafuncinbaseesla funcinvalor absoluto. Semultiplicala funcinporelvalor 2, as la funcinsufre compresin vertical. Cuandosemultiplico lafuncinpor,sta seestir verticalmente. Lafuncinbaseesla funcin cuadrtica. Se multiplica la variable porelvalor2,asla funcinsufre compresin vertical. Cuandosemultiplicola variablepor,la funcinsufre estiramientoverticalmente. DEFINICIN: Sea f ( x ) una funciny sea k una constantediferente de cero.Si) (x kf y= La funcinsufre compresin vertical en k unidades.Si) (1x fky= La funcin sufre estiramientovertical en 1/k unidades

DEFINICIN: Sea f ( x ) una funciny sea k una constantediferente de cero.Si) (kx f y= La funcinsufre compresin horizontal en k unidades.Si)1( xkf y= La funcin sufre estiramientohorizontal en 1/k unidades 89 Ejemplo 1: Dada la funcin: 3) ( x x f = . Establecer que ocurre si: a-) Se multiplica a f(x) por 3 b-) Se multiplica a f(x) por 1/3 c-) Se multiplica a x por 2 d-) Se multiplica a x por Solucin: En las siguientes grficas se explica los casos presentados. Los casos a y b. Lafuncinbaseeslafuncin cbica.3) ( x x f = Cuandosemultiplicadicha funcinpor3,sepresentauna compresinvertical. Cuandosemultiplicalafuncin por1/3,sepresentaun estiramiento vertical. Casos c, d: Lafuncinbaseeslafuncin cbica.3) ( x x f = Cuando se multiplica la variable por2,lafuncinpresentauna compresinvertical. Cuando se multiplica la variable por1/2,lafuncinpresentaun estiramiento vertical. Ejemplo 2: Para las funciones dadas a continuacin identificar que tipo de estiramiento presentaron. a-)) ( 3 ) ( x sen x f =b-) ) 3 ( ) ( x sen x f = 90 Solucin: Apartirdelafuncin base,queparaestecaso eslafuncinsen(x),al multiplicarlapor 3, sta se estiraverticalmente. Pero si multiplicamos la variablepor3,la funcinseencoge horizontalmente. Conclusiones: A manera de resumen se puede comentar: Cuandoaunafuncinbaseselesumaunaconstantelafuncinsetrasladayasea horizontal o verticalmente. Cuandoaunafuncinbaseselemultiplicaporunaconstante,lafuncinseestirao encoge, pero no se traslada. REFLEXIN: A toda funcin f(x) se le puede hallar otra funcin que sea su reflejo.La funciny su reflejo forman simetra respecto a los ejes coordenados. Veamos esta situacin de manera grfica. Lareflexinqueseobservaescon respecto al eje x. Sea f ( x ) una funcin, entonces- f ( x )es el reflejo respecto al eje x. Sea f ( x ) una funcin, entonces f ( - x )es el reflejo respecto al eje y. 91 Lareflexinesestecasoes con respecto al eje y. EJERCICIOS ParaLasfuncionesdadasacontinuacin,apartirdelafuncinbase,identificarcuales fueron los cambios presentados y hacer la grfica. 1. 4 ) (2+ = x x f 2. 3 ) 2 ( ) (2+ = x x f 3. 5 ) ( =x x g 4. 4 3 2 ) ( + = x x g 5. x x h 6 ) ( = 6. 1 4 ) ( = x x h 7. 2) (=xe x p 8. 43 ) (+ =xe x p 9. )2( ) (+ = x sen x s 10. ) cos( 4 ) ( = x x s 92 FUNCIONES INVERSAS: En las funciones ocurre algo parecido a las operaciones matemticas bsicas,donde la restaanulalasuma,lamultiplicacinanulaladivisin,enesteordendeideaslas funcionesinversasanulanlafuncinbase,secaracterizanporqueeldominioeimagense invierten. Esimportanteresaltarqueparaqueunafuncinsepuedainvertir,stadebese INYECTIVA,larazneslgica,siseinvierteneldominioeimagen,sedebetener cuidado en que no se presenten dominios donde alguno de sus elementos tengan ms de una imagen.

Dada la funcin) (x f y = ,lafuncin inversa se puede expresar de dos maneras Forma Implcita:) ( y f x = Forma Explcita: ) (1x f y= Lapropiedadfundamentaldeinvertirfunciones,establecequeparatodoxeneldominio de la funcin f(x): ( ) ( ) x x f f x x f f = = ) ( ) (1 1 Enlascondicionesanalizadas,sepuedeinferirquelasfuncionesmontonasson invertibles, es decir las funciones crecientes o decrecientes. Veamos las caractersticas bsicas de las funciones inversas: Dominio: El dominio de f-1(x) es la imagen de f(x) Imagen: La imagen de f-1(x) es el dominio de f(x) Simetra: Las funciones f(x) y f-1(x) son simtricas respecto a la recta y = x. Larectay=x,eselejede simetra de las funciones f(x) y f -1(x). ) ( ) (1y f x x f y = =Definicin: Sea y = f(x) una funcin Inyectiva (uno a uno), la inversa de f(x) es la funcin f-1(x),la cual tiene como dominio la imagen def(x) y como imagen el dominio de f(x).93 FUNCIONES ALGEBRICAS INVERSAS: Las funciones polinmicas de grado impar, como las de grado uno y tres son inyectivas, lasfuncionesradicalestambinsoninyectivas,estetipodefuncinesinvertible,en generalcomosedijoanteriormentetodaslasfuncionesmontonas.Existeunmtodo grficoparaidentificarsiunafuncinesinyectiva,consistenteentrazarunarecta horizontal en cualquier punto del plano y verificar que corta a la curva en un solo punto. Se observa que L1 corta la curva en ms de un punto, luego f(x) no es invectiva,para el casodeg(x)larectacortaalacurvasoloenunpunto,porconsiguienteg(x)es inyectiva. Ejemplo 1: Halar la funcin inversa de5 4 ) ( = x x f Solucin: Como la funcin es lineal,se puede obtener suinversa.El procedimiento consiste en despejar la variable x y obtener una nueva funcin donde y es la variable independiente. Veamos: 454 5 5 4+= = + =yx x y x y As la funcin inversa ser: Forma Implcita: 45 +=yx Forma Explcita: 45) (1+=xx f La grficasiguiente nos muestra el comportamiento de la funcin f(x) y su inversa. 94 Ejemplo 2: Dada la funcin: 3) ( x x g =Hallarg-1(x). Solucin: Por la teora analizada, la funcin tiene inversa, ya que es un polinomio de grado impar.Entonces despejamos la variable x.x y x y = =33 La inversa es: Forma Implcita: 3y x = Forma Explicita: 3 1) ( x x f = 95 Ejemplo 3: Identificar la inversa de la funcin: 12) (=xx fSolucin: La funcin es inyectiva, luego tiene inversa.12 2112+ = = =yxyxxyLa inversa en las dos formas: Forma Implcita:12+ =yxForma Explcita:12) (1+ =xx f Ejemplo 4: Determinar la inversa de: 4 31) (+=xxx gSolucin: Despejamos la variable x para obtenerla inversa. 1 4 3 1 4 3 1 ) 4 3 (4 31 = = + = + += y x xy x y xy x x yxxy 1 31 41 4 ) 1 3 ( = = yyx y y xAs la funcininversa es: Forma Implcita: 1 31 4 =yyxForma Explcita: xxxxx g3 11 41 31 4) (1+= = 96 Veamos las grficas. Para comprobar si la inversin de la funcin fue correcta, se puede aplicar la propiedad fundamental: ( ) ( ) x x f f x f f = = ) ( ) (1 1 Apliqumoslo para el ejemplo 1,( ) x xxx f f = + = ||

\|+=5 5 5454 ) (1 Para el ejemplo 2:( ) ( ) x x x g g = =33 1) ( Seobservaquelapropiedadsecumple.Comoejercicioderefuerzo,desarrollelo mismo para los ejemplos e y 4. 97 EJERCICIOS De las siguientes funciones determinar si son inyectivas y justificar la respuesta. 1.6 5 ) ( = x x f Rta: S 2.4 ) (2+ = x x g Rta: No 3.x x h = ) ( Rta: No 4. 24 ) ( x x p = Rta: S 5. 12 4) (2=xx xx m Rta: No Lasfuncionesdadasacontinuacinsoninyectivas,hallarlafuncininversaysu dominio. 6.x x f 4 10 ) ( = Rta: 4541) (1+ =x x f 7. xxx g+=54) ( Rta: xxx g=45) (1 8. 34 ) ( x x l = Rta: 3 14 9 ( =x x l 98 FUNCIONES TRASCENDENTALES INVERSAS: Lasfuncionestrascendentalesinversassonmuyimportantesyaquetienenmucha utilidad en la integracin, en la solucin de ecuaciones y otras reas.

FuncinExponencial:Sabemosquelafuncinexponencialesinyectiva,por consiguiente tiene inversa la cual es la funcin logartmica. Demostracin: A partir de:x y Log a Log y Log a yaxa ax= = = ) ( ) ( ) (Expresndola en forma explcita:) ( ) ( ) (1x Log x f x y Loga a= = Analizando las funciones exponenciales ms conocidas, la natural y la decimal: FuncinLogartmica:Sabemosquelafuncinlogartmicatambinesinyectiva,por consiguiente tiene inversa la cual es la funcin exponencial. Demostracin: A partir de:x a a a x Log yy x Log yaa= = =) () (Expresndola en forma explcita:x ya x f x a = =) (1 Analizando las funciones logartmicas ms conocidas, la natural y la decimal: DEFINICIN: Sea xa x f = ) (, entonces) ( ) (1x Log x fa= ) ( ) ( ) (1x Ln x f e x fx= =) ( ) ( 10 ) (1x Log x f x fx= =DEFINICIN: Sea ) ( ) ( x Log x fa= , entoncesxa x f =) (1 xe x f x Ln x f = =) ( ) ( ) (1xx f x Log x f 10 ) ( ) ( ) (1= =99 EJERCICIOS Para cada una de las funciones dadas,identificar la inversa.1. xe x f2) ( =Rta:) (21) (1x Ln x f = 2. ) ( 3 ) ( x Ln x g + =Rta: 3 1) ( =xe x g 3. 4) (xex h =Rta:) ( ) 4 ( ) (1x Ln Ln x h + = 4. ||

\|+=xxLog x N2) (Rta:1 102) (1=xx N Para las funciones dadas a continuacin, graficas la funcin y su inversa. 5.xx f310 ) ( = 6. xe x g4) ( = 7. ) 4 ( ) ( x Ln x h = 8. ) 2 ( 3 ) ( x Log x J = 100 FuncinTrigonomtricaInversas:Sabemosquelasfuncionestrigonomtricasnosoninyectivas,yaqueporserperidicasserepitencadacientovalordeldominio,por ejemplo la funcin seno se repite cada 2, la funcin tangente cada , as las dems. Parapoderinvertirlasfuncionestrigonomtricas,sehaceunanlisisdeldominio, haciendoloqueseconocecomolaRestriccindelDominio,queconsisteentomar solounapartedeste,dondelafuncinseamontona,yaquedeestamanerasise pueden invertir. Veamos el proceso: Seno: Dominiorestringido paraelsenoes:((

2,2 Enesteintervalola funcin es decreciente Coseno: Eldominiorestringido paraelcosenoes: [ ] , 0 Enesteintervalola funcin es decreciente 101 Tangente: Eldominiorestringidoparaelcoseno es: ((

2,2 Enesteintervalolafuncines creciente Para el caso de las funciones restantes: Cotangente:Dominiorestringido: ( ) , 0enesteintervalolafuncines decreciente. Secante: Dominio restringido( ) , 0excepto 2En este intervalo al funcin escreciente. Cosecante:Dominiorestringido||

\|2,2 excepto0.Enesteintervalolafuncin escreciente. En estas condiciones las funciones trigonomtricas se pueden invertir. Seno Invertido: Dominio: Son los nmeros reales comprendidos: [ ] 1 , 1 Imagen. Los ngulos entre((

2,2 Simetra:lafuncinsen-1(x)esimpar,luegoessimtricarespectoalorigende coordenadas.Monotona: Creciente en su dominio. Coseno Invertido: Sea ) ( ) (1x sen x f= Se define como la funcininversa del senoo arcoseno de la variable x. Sea ) ( cos ) (1x x f= Se define como la funcininversa del cosenoo arco coseno de la variable x. 102 Dominio: Son los nmeros reales comprendidos: [ ] 1 , 1 Imagen. Los ngulos entre[ ] , 0 Simetra:lafuncincos-1(x)esimpar,luegoessimtricarespectoalorigende coordenadas.Monotona: Decreciente en su dominio. Veamos las grficas de estas funciones. Veamos las otras funciones trigonomtricas inversas: FUNCINDOMINIOIMAGENSIMETRAMONOTONA ) ( tan1x( ) , ||

\|2,2 Impar Creciente ) ( cot1x( ) ,( ) , 0Investigar?Investigar? 103 FUNCINDOMINIOIMAGENSIMETRAMONOTONA ) ( sec1x 1 x||

\| ||

\| ,2 2, 0Investigar?Investigar? ) ( csc1x 1 x||

\| ||

\|2, 0 0 ,2 Investigar?Investigar? 104 Ejemplo 1: Hallary = sen-1(1/2) Solucin: Loquesedebehaceresbuscarenelintervalo ((

2,2 queeselconjuntodela imagen del arco seno, un ngulo para el cual el seno vale ,se sabe que el sen(/6) es 1/2 , luego:sen-1(1/2) = /6, entonces: y =/6 Ejemplo 2: Resolver: y = tan-1(1). Solucin: En el intervalo ||

\|2,2 se debe buscar una ngulo para el cual su tangente vale 1.El ngulo para el cual la tangente es 1, corresponde a/4 (450).Entonces:tan-1(1) = /4, por consiguientey = /4 Ejemplo 3: Hallar el ngulo o ngulos para el cual:)22( cos1 = ySolucin: Elarcocosenotienecomoimagen,elintervalo [ ] , 0Sedebebuscarelnguloo ngulos en este intervalo donde el coseno vale 22.Se sabe que el coseno de/4 esigual a22. Entonces:4)22( cos1= Ejemplo 4: Resolver:) 3 ( cot ) 2 / 1 ( cos1 1 + = y Solucin: Se debe hallar el arco coseno de yel arco cotangentede 3 . Para el 3) 2 / 1 ( cos1=(Justifique esta respuesta estimado estudiante) Parala 6) 3 ( cot1=.Recordemosqueparacot-1(x)elintervalodelaimagenes ( ) , 0105 Ahora: 2 6 3) 3 ( cot ) 2 / 1 ( cos1 1 = + = + = y ,As: y=/2 Ejemplo 5: Hallar el ngulo para los valores dados: a-) Sen-1(0,05) b-) cos-1(0,9135) Solucin: a-)ElvalordadoSen-1(0,05)sepuedehallaratravsdelastablasdefunciones trigonomtricas.El valor se encuentra as: ANGULOVALOR 2,820 0,0488 X 0,05 2,920 0,0506 Por interpolacin: x = 2,986 (Compartir con su Profesor el proceso de interpolacin) En el programa D.Sepulsashiftcon sin-1 se ingresa el valor para este caso (0,05) la calculadora arroja el valor2,866que ser el valor del ngulocorrespondiente. b-)Igual que en el caso anterior.cos-1(0,9135)En la tabla corresponde a240 Por la calculadora: shift sin-1 (0,9135) = 24,00640

FuncionesHiperblicasInversas:Delasfuncioneshiperblicas:senh(x), tanh(x), coth(x) y csch(x) son inyectivas, luego tienen inversa.Para el caso de cosh(x) y sech(x), porno ser inyectivas, seles debe restringir su dominio. El siguiente cuadro resume las funciones hiperblicas inversas,en donde se presentela palabra investigar en para que usted estimado estudiante, indague en diferentes fuentes para encontrar la respuesta a dicho interrogante. FUNCINDOMINIOIMAGENSIMETRA MONOTONAEXPLCITA Senh-1(x)RealesRealesImparCreciente ( ) 12+ + x x Ln Cosh-1(x)1 x 0 y InvestigarCreciente ( ) 12+ + x x Ln Para1 xTanh-1(x)-1 < x < 1RealesImparCreciente||

\|+xxLn1121 Coth-1(x)InvestigarInvestigarInvestigarInvestigarInvestigar Sech-1(x)0 < x 11 y InvestigarDecreciente|||

\| +xxLn21 1Para0 < x 1 Csch-1(x)InvestigarInvestigarInvestigarInvestigarInvestigar 106 DelcuadrosurgeunapreguntaCmoseobtienelaformaexplicitadelafuncin?A manera de ejemplo desarrollemos la del cosh-1(x). Sea x xx xe e ye ex y+ = += = 22) ( cosh1

La ltima expresin la multiplicamos por 2ex, luego: 2 2 4 ) ( 2 42+ = + = x x x x x xe ye e e e ye Dividimos por 2 toda la ltima expresin e Igualando a cero se obtiene: 0 1 22= x xe ye Ajustndola a una ecuacin cuadrtica:0 1 ) ( 2 ) (2= + x xe y e Entonces: 124 ) 2 ( 222 + = += y yy yex 12 + = y y ex Despejando la variable x: ) 1 ( ) 1 ( ) (2 2 + = + = y y Ln x y y Ln e Lnx As, aplicando la definicin de inversa: ) 1 ( ) (2 1 + =x x Ln x f Para1 x Enelpequeogrupocolaborativosedebetrabajarenlademostracindelasdems funciones explcitasde las hiperblicas inversas. Luego se debe socializar con el tutor para aclarar las dudas encontradas. 107 EJERCICIOS Desarrolle los siguientes ejercicios, utilizando la tabla de funciones trigonomtricas o la calculadora. Hallar el valor de y para las siguientes funciones. 1.) 1 (1 = sen y Rta: /2 2. ) 1 ( cos1 = y Rta: 0 3.) 3 ( tan1 =y Rta: - /3 4. ) 3 ( cot1 = y Rta: /6 5.) 2 ( sec1 = y Rta: /3 6.) 2 ( csc1 = y Rta: /4 7.) 1743 , 0 ( tan1 = y Rta: 100 8.) 0353 , 1 ( sec1 = y Rta: 150 9.) 707 , 0 ( (cos1 sen Rta: 0,707 10.))6(cos( tan1Rta: 40,90 11. Demuestre que si) ( ) ( x senh x f = ,entonces: ( ) 1 ) ( ) (2 1 1+ + = = x x Ln x senh x fUna ayuda: senh(x) + cosh(x) = ex y que: cosh2(x) + senh2(x) = 1 12. Hallar) 2 ( cosh1xRta: 22212 ee+ 108 APLICACIN DE FUNCIONES Lasfuncionestienenaplicacionesentodaslasreasdelsaber,porlocualsedesea presentar algunas de lasmuchasconocidas, los ejemplos modelos son una motivacin paraqueconestosyotrosquepuedaanalizar,estimadoestudianteadquieramucha destrezapararesolverproblemasconfunciones.Sepresentarncasosconfunciones algebraicas, exponenciales, logartmicas y trigonomtricas. ALGEBRICAS: La mejor manera de explicar estos casos es con ejemplos modelos. Ejemplo 1: Elpermetrodeunrectngulomide120cm.Expresarelreadelrectngulocomo funcin de la longitud de su largo. Solucin: Permetro: 2x + 2y = 120P: x + y = 60 Despejamos y, entones: y = 60 x rea del rectngulo: A =x * y A = x * (60 x)= 60 x x 2 A(x) = 60 x-x 2

As queda expresada el rea en funcin del largo. Ejemplo 2: Larelacinentrelatemperaturadelmedioambienteylaaltitudesaproximadamentelineal, para 0 y 3.500T = grados centgrados (0C)yy = metros.La temperatura a nivel del mar es aproximadamente 160Cal aumentar la altitud a 1.500 metros, la temperatura disminuye en 70C.a-) Hallar T(y); es decir,la temperatura en funcin de la altitud. b-) Qu temperatura ambiental habr a 2.00 metros de altura. c-)A qu altitud la temperatura ser de 00C. Solucin: a-)Porlascondicionesdelproblema:b my T + = dondeTeslatemperatura,mla pendientedelarecta;yaqueesunarelacinlineal,ylaaltitudybelintercepto.El problema nos describe que para T = 160C, y = 0 metros, as se tiene un punto, con este podemos hallar el intercepto b: A partir de:b my T + = reemplazamos: 16 ) 0 ( 16 = + = b b m 109 Para hallar el otro punto que nos permita obtener la pendiente, el problema tambin nos dice que cuandoy = 1.500 m. La temperatura disminuye en 70C, entonces: T = 160C 70C = 90C.Luego por la ecuacin lineal: 16 500 . 1 9 + = m En seguida calculamos la pendiente, despejando m de la ecuacin anterior: 500 . 17500 . 116 9 ===yb Tm As la expresin que describe la temperatura en funcin de la altura es: 16500 . 17+ = y T b-)A 2.00 metros de altura, la temperatura ser:

C T067 , 6 16 ) 000 . 2 (500 . 17= + = C-) A 00C la altitud ser:

1500 * 16 7 16500 . 1716500 . 170 = = + = y y y Finalmente: m y 57 , 428 . 37000 . 24= = Comoy esta en el rango que se considero en el planteamiento del problema, el dato es confiable. Ejemplo 3: Expresar el rea del crculo como funcin del permetro. Solucin: El rea del crculo es:2R A =y el permetro R P 2 = La idea es despajar R de la ecuacin del permetro y reemplazarlo en el rea: 22PR R P = = Ahora: 110 222||

\|= = PA R A Por consiguiente: 4) (2PP A = Ejemplo 4: Untanquedealmacenamientodelquidotieneformadeconocircularrecto,conuna altura de 20 metrosy radio de la base de 5 metros. Expresar el volumen del lquido en cualquier instante como funcin de la altura de lquido. Solucin: Una grfica nos ayudar a resolver el problema. Por geometra sabemos que el volumen de un cono circular recto esta dado por la ecuacin: h r V23= Se observa que el volumen depende del radio y de la altura. Elproblemaconsisteenexpresarelvolumensolo en funcin de la altura. Unabuenaobservacindelafiguraylos conocimientos previos sobre proporcionalidad, nos resuelve el problema. En la figura se observan dos tringulos semejantes (estimado estudiante detctelos)Se sabequecuandohaydostringulossemejantes,susladoscorrespondientesson proporcionales, segn la figura: 4 205520 h hrrh= = =

Ahora reemplazamos en la ecuacin del volumen: 48 4 3 3322hhhh r V =||

\|= = Finalmente: 348) ( h h V= 111 Ejemplo 5: Para el ejemplo 4, A qu altura estar el lquido si el volumen de ste es de 4 m 3? Solucin: Comoseconocelafuncin: 348) ( h h V=reemplazamoslosvaloresy despejamos la incgnita. 19248448) (3 3 3= = = h h h h V m h 938 , 31923= = Ejemplo 6: Elcostodeproduccindeunartculoestadadoporloscostosfijosmsloscostos variables. En una compaa los costos fijos de produccin sonde $50.000, el costo de producir una unidad es de $200Cunto costar producir 1.000 unidades? Solucin: Costototal=Costosfijos+Costosvariables.Lasiguientefuncinpuedeexpresar